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★ ルート2が無理数であるというこの証明です / math

証明 ルート2を分数であると仮定する。 ルート2＝ｐ/ｑ（ｐ，ｑは自然数）とおくと， 両辺を2乗して2＝（ｐ/ｑ）＾2＝ｐ＾2/ｑ＾2 分母を払って，2ｑ＾2＝ｐ＾2 ここで，ｐ＾2は指数が偶数であるため，平方数であるが， 2ｑ＾2は素因数2の指数が1と奇数であるので，平方数ではない。 よって，仮定に矛盾するため，ルート2は分数で表わすことができない。 この証明は，正しいか正しくないか意見を求めます。 No.17669 - 2012/05/31(Thu) 14:02:56 ☆ Re: ルート2が無理数であるというこの証明です / らすかる 正しくありません。 > ルート2を分数であると仮定する。 例えば「√8/2」も「分数」ですから、 「分数」と仮定してもp/qとはおけません。 > 2ｑ＾2は素因数2の指数が1と奇数であるので 2q^2の素因数2の指数は1とは限りません。 3かも知れませんし、5かも知れません。 奇数であることには間違いないですが。 No.17670 - 2012/05/31(Thu) 14:24:25

★ 算数オリンピックの問題です / rio

1から99のカードが1枚ずつとA、B2つの箱がある。 箱にカードを2枚入れると、新しいカードが1枚出てくる。 A：小さい順に並べたものが出てくる。12と13なら1213 B：大きい順に並べたものが出てくる。12と13なら1312 新しいカードを再度投入できる。 （１）Bのみで作れない4けたの整数は何通りか （２）A,Bの一方または両方で作れない整数は何通りか 答え （１）1683通り （２）270通り 作れなそうなもの「全部おなじ数字」などを挙げて数えるしかないのでしょうか？計算で出せないですか？ No.17663 - 2012/05/28(Mon) 19:58:30 ☆ Re: 算数オリンピックの問題です / ハオ 興味で解きましたのでもっと良い解説があるかもしれません。 そしてかなり感覚的（実験的）です。数学としてこれでいいのかと悩み証明を付けようかと思いましたが 今の僕の技量では証明は少し難しいです。 まず(1)についてです。 そもそも、Bの箱に入れて作れない4桁の整数なんてそうそうあるのか悩みました。 例えば、何となく作れなそうな1234も最初に12のカードと3のカードを入れる。 すると123が出てくる。123のカードと4のカードを入れる、これで1234が作れます。 え、これ作れない4桁って特殊すぎる。0を起点に考えようって考えました。 ４桁を1000*a+100*b+10*c+dって置くと、c=0の時って絶対作れないと気づきます。 カードは2桁までしかありませんから。 c=0となる4桁の数はaが9通りbが10通りdが10通りで9*10*10=900個---?@ 0を起点に考えて、b=0の時さらにa=cの時は絶対作れません。 a=cに入る数は9通りdは0〜9まで10通りで9*10=90個---?A またb=0の時さらにa＜cの時も作れないと、思いきや例えば2031等は作れます。 例えば20のカードと3のカードを入れて203を取り出し203のカードと1のカードを入れて2031です。 ここで思うのは、じゃあもしこれcとdが同じだったら作れないという事です。 という事でa＜cで更にc=dの時は(1+2+3+・・8)*10=360個---?B 次にdが0の時は必ず10*c+dという二桁の数でなければなりません。 だから作れない数はa＜cの時で36通り(９個の数字から2つ選んで大きいものにc,小さいものにaと 名前をつけてやればこの選び方は9C2）でbは０以外で9通り(これはb=0の時は先ほど考えているから) 36*9=324通り---?C そして、rioさんがおっしゃる通り全て同じ数の時で9通り---?D ?@〜?Dを全部足して1683通りです。 この方法だととても厳密ではなく理論がすきだらけな気がして自分の力の無さを痛感致します。 算数オリンピックという事でもっとエレガントな解き方があると思いますが何かの足しになればと考え 投稿到しました。 No.17665 - 2012/05/28(Mon) 23:37:41 ☆ Re: 算数オリンピックの問題です / ハオ 次に(2)です。(2)でも感覚的になってしまいました。 今(2)はA,Bの一方または両方で作れない４桁の整数です。という事で(1)を利用して (1)で作れない整数の中でAを使っても作れない４桁の整数の個数を考えます。 つまり、(1)で作れない整数の中でAを使って作れる4桁の整数を引いていきます。 一番不安なのが↑の考えです。(1)で作れない整数の中でAを使っても作れない４桁の整数の個数 が(2)の個数と一致するかは集合で証明するべきなのでしょうが、自信がありません。 如何に少しだけ書いておきます。 ４桁の整数全体の集合をUとし、Aを使って出来ない4桁の整数の集合をA,Bを使って出来ない整数の集合をBと置く。 この時、求める(2)はA∩Bで A∩B=A+B-A∪B =B-{(A∪B)-A} でB-{(A∪B)-A}は即ち(1)から(1)で作れない整数の中でAを使って作れる4桁の整数を引いていたもの。 (1)を解く時に求めた?B、?Cの個数はAを使って作ることができます。何故なら条件にa＜cを用いたからです。 よって684個---?Eは作れます。 では、?@の個数の内、作る事の出来る整数の個数は a b 0 dとあった時に三桁a b 0はひと桁のカードaと二桁のカードb 0を使いカードa以外の一桁のカードdを 使って作れます。 その個数 9*9*8=648個---?F ?Aの個数の内Aを使って作る事の出来る個数は9*9=81個---?Gです。 これは例えば7079,7078,7077,7077,7076,7075,7074,7073,7072,7071は作れますが7070は作れない事を考えれば a=cが1〜9でdも1〜9の時は作れるので9*9になります。 ?Dはどう足掻いても作れないのでAを使って作れる個数は0---?Hです。 1683から?E〜?Hまでの和を引いて 1683-(684+648+81+0)=270通りです。 No.17666 - 2012/05/29(Tue) 00:48:41 ☆ Re: 算数オリンピックの問題です / ハオ >作れなそうなもの「全部おなじ数字」などを挙げて数えるしかないのでしょうか？計算で出せないですか？ とありますが、僕のやり方では計算を少しばかり用いていますが結局は「作れなさそうなもの」を挙げていく方針になってしまいました。 僕の議論の進め方が非常に論理に乏しいので他の方からご指摘を頂くと思います。 No.17667 - 2012/05/29(Tue) 00:53:38 ☆ Re: 算数オリンピックの問題です / angel あんまり上手い方法が思い浮かばないので、地道に数え上げることにします。 そこで着目すべきは 0 の扱いです。 二数を連結して新しい数を作る以上、00 という連続した 0 は存在しえません。最上位に 0 が来る数がないからです。 ※ 50 + 07 ⇒ 5007 みたいなことができない さて、(1) では多分「どういう数なら作れるか」に着目した方が数え上げるのは楽です。どの桁に0が来るかでパターンわけしてみますと、 　a0c0, a0cd, abc0, abcd の4パターンです。 ただし、そのままでは数えにくいパターンがあります。 例えば a0cd ですが、c≠d ならば、a0 + c ⇒ a0c, a0c + d ⇒ a0cd と楽に作れますが、c=d ではそうはいきません。c という一桁の数は一度しか使えませんから、代わりの手段として a0 + cd(=cc) ⇒ a0cd ができるかどうかチェックする必要があります。そういった観点で条件を精査すると、 　a0c0 　　A0C0: A0+C0　: A＞C　　: 9C2 = 36通り 　a0cd 　　a0CD: A0+C+D : 無条件 : 9P2×9 = 648通り 　　a0CC: A0+CC　: A＞C　　: 9C2 = 36通り 　abc0　: ab+c0　: a≧c　　: 9H2×9 = 405通り 　abcd 　　abCD: ab+C+D : 無条件 : 9P2×9×9 = 5832通り 　　AbCC: Ab+CC　: A＞C　　: 9C2×9 = 324通り 　　ABAA: AB+AA　: B＞A　　: 9C2 = 36通り と、これだけのパターンで計7317通りあることが分かります。なので答えは、9000-7317=1683通り。 なお、この見方ですが、左からパターン、作り方、a〜dの条件、何通りかを表のようにしていることに注意してください。また、a,b のような小文字は他の桁と関係なく決めて良い所、A,B のような大文字は異なる文字同士が異なる数になることを表しています。( 例えば ABAA は 7977 のようなパターンを表す ) No.17685 - 2012/06/02(Sat) 17:14:49 ☆ Re: 算数オリンピックの問題です / angel さて、上では「どのような数なら作れるか」に着目して数えましたが、(2) のことを考えると、やはり「どのような数が作れないか」を整理した方がやりやすいようです。 なので、上のは参考としてください。改めて数えなおしましょう。 ( 答え合わせには良いかも ) (1) 改めて、どのような数が作れないかパターンを挙げてみます。 ※今回は「作れない」ため、作り方の欄はナシです。 　a000　: 無条件 : 9通り 　a00d　: 無条件 : 9×9 = 81通り 　a0c0　: a≦c　　: 9H2 = 45通り 　ab00　: 無条件 : 9×9 = 81通り 　a0cd 　　a0CC: a≦C　　: 9H2 = 45通り 　ab0d　: 無条件 : 9×9×9 = 729通り 　abc0　: a＜c　　: 9C2×9 = 324通り 　abcd 　　AbAA: b≦A　　: 9H2 = 45通り 　　AbCC: A＜C　　: 9C2×9 = 324通り ということで、めでたく計1683通り、前回の結果ともちゃんと一致しています。 ちなみに説明を端折りましたが、ab0d のパターンは無条件で「作れない」となります。なぜなら 0 が入る関係上 b0 という数を使うことになるのですが、これに一桁の a,d をどうくっつけても、b が最上位に来てしまうからです。 No.17686 - 2012/06/02(Sat) 17:25:45 ☆ Re: 算数オリンピックの問題です / angel では(2)です。 (1)で整理した「(箱Bのみでは)作れない」数が、箱Aも参加させることでどう変わるか、そこに着目します。 そうすると例えば、a0c0 のパターンは a,c の大小関係で作れるかどうかが決まっていましたが… ※ 7050 なら 70+50 ( 箱B )⇒7050 だが、5070 は作れない 箱Aも使えると、グっと制約が小さくなります。 70+50(箱B)⇒7050, 70+50(箱A)⇒5070 どちらもイけますから。唯一困るのは 5050 のような同じ数の繰り返し。同じ数は一度しか使えませんから、これは作れません。 そういった観点で整理すると… ※なお、いずれにしても 0が連続する数はやっぱり作れない 　a000　: 無条件　 : 9通り 　a00d　: 無条件　 : 9×9 = 81通り 　a0c0 　　A0A0: 無条件　 : 9通り 　ab00　: 無条件　 : 9×9 = 81通り 　a0cd　: 該当なし : 0通り 　ab0d 　　Ab0A: 無条件　 : 9×9 = 81通り 　abc0　: 該当なし : 0通り 　abcd 　　AAAA: 無条件　 : 9通り ということで、計270通りです。箱A,B両方が使えると色々作れることがわかります。 (1)からどう変わったかもうちょっと補足すると… 例えば a0cd のパターンだと、a0＞cd なら a0+cd(箱B)⇒a0cd、a0＜cd なら a0+cd(箱A)⇒a0cd いずれにせよ必ず「作れる」ので「該当なし」となります。 他には ab0d のパターンなら、a≠d であれば a+b0(箱A)⇒ab0, ab0+d(箱B)⇒ab0d で作れるけれど、唯一 a=d のパターンは作れない、とか。同じ数が一度しか使えないってのが重要ですね。 No.17688 - 2012/06/02(Sat) 17:47:00 ☆ Re: 算数オリンピックの問題です / rio ありがとうございました！やはり小学生向けということで、大変そうですね。私の考えた方針と違う解法をいただけて助かりました。 No.17700 - 2012/06/02(Sat) 23:28:32

★ 指数対数 / メーヤ
学校の数学の問題です。 わかりません。 教えてください。 log x*2(x+2) ＜ 1 です。 No.17659 - 2012/05/27(Sun) 23:04:05 ☆ Re: 指数対数 / X 問題の不等式を log[x]{2(x+2)}＜1 と解釈して回答を。 底の範囲により場合分けします。 (i)0＜x＜1のとき 問題の不等式の対数を外すと 2(x+2)＞x ∴… (i)1＜xのとき 問題の不等式の対数を外すと 2(x+2)＜x ∴… No.17660 - 2012/05/27(Sun) 23:34:18

★ 導関数(数II) / Xex

f(x)=x^3-ax^2-2x-ax+2a f'(x)=3x^2-2ax-2-a aの値によらずf(x)が極値を持つことを示せ。 この問題を解くには判別式を使うことが分かっていますが、なぜ「2次式の導関数の判別式で異なる2つの実数解が出る(判別式が常に正)」を出せば示したことになるのかがわかりません。どなたか教えてください。 No.17657 - 2012/05/27(Sun) 21:37:31 ☆ Re: 導関数(数II) / シャロン f'(x)=0の判別式が正なので、 f'(x)=0は異なる実数α、β(α＜β)を解に持つ。 また、x=αの前後ではf'(x)の符号が正から負に変わり、f(x)は増加から減少に移り変わる。 つまり、f(α)はx=αの近くの範囲で最大、つまりf(x)はx=αで極大。 同様に、βの前後でf(x)は減少から増加に移り変わるため、f(x)はx=βで極小となる。 No.17658 - 2012/05/27(Sun) 22:34:37 ☆ Re: 導関数(数II) / Xex 解決しました 回答ありがとうございます No.17664 - 2012/05/28(Mon) 22:07:11

★ 三角関数 / shun

aを正の定数とする。f(θ)=asinθ＋cosθの0≦θ≦π/2における最大値、最小値を求めよ。 解き方を教えて下さい。お願いします。 No.17650 - 2012/05/26(Sat) 22:39:20 ☆ Re: 三角関数 / ヨッシー cosα＝a/√(a^2＋1)、sinα＝1/√(a^2＋1) となる角をαとすると、 　f(θ)＝√(a^2＋1)sin(θ＋α) ここで、ａ＞０ なので、０＜α＜π/2 であり、 θ＋α は、上記の範囲のある角度αとα＋π/2 の間の値を とります。 最大値は　θ＝π/2−α のとき、ｆ(θ)＝√(a^2＋1) 最小値は、 　０＜α＜π/4 のとき、つまり　ａ＞１ のとき 　θ＝０　のとき　f(0)＝１　が最小 　π/4≦α＜π/2 のとき つまり　０＜ａ≦１ のとき 　θ＝π/2 のとき、ｆ(π/2)＝ａ が最小 No.17651 - 2012/05/26(Sat) 23:01:16 ☆ Re: 三角関数 / shun ありがとうございます。 No.17668 - 2012/05/29(Tue) 08:01:04

★ 中点連結定理 / rio

添付の問題の証明なのですが、中学レベルの中点連結定理で証明できそうですがわかりません。よろしくお願いいたします。 No.17649 - 2012/05/26(Sat) 22:37:43 ☆ Re: 中点連結定理 / ヨッシー ベクトルを使えば、すぐですが、あえて、中学レベルで 解こうというご質問でしょうか？ No.17653 - 2012/05/26(Sat) 23:09:35 ☆ Re: 中点連結定理 / rio ありがとうございます。そうです。中学生向けの説明を考えています。 No.17654 - 2012/05/27(Sun) 00:48:35 ☆ Re: 中点連結定理 / ヨッシー 描画の都合上ＰＱとＲＳは消しています。 ＡＢ’の中点をＴ、ＤＣ’の中点をＵとすると、 中点連結定理より ＱＴとＲＵは、平行かつ同じ長さ ＴＰとＵＳは、平行かつ同じ長さ より、ＱＴＵＲ、ＰＴＵＳはともに平行四辺形となり(以下略) No.17655 - 2012/05/27(Sun) 08:12:45 ☆ Re: 中点連結定理 / rio 詳細な図も含めありがとうございました。理解できました。なんとも発想が難しいですね。すごいと思います。 No.17656 - 2012/05/27(Sun) 19:51:44 ☆ Re: 中点連結定理 / ヨッシー 平行四辺形Ａ’Ｂ’Ｃ’Ｄ’は任意なので、 ＡＤを固定してＡ’Ｄ’を平行移動させても、ＰＳの向きと 長さは変わらない と考え、 ＡＤとＡ’Ｄ’，ＡＤとＢ’Ｃ’で調べて、次にＢ’Ｃ’を固定して Ｂ’Ｃ’とＡＤ、Ｂ’Ｃ’とＢＣで調べようと思って、 ＡＤ、Ａ’Ｄ’、Ｂ’Ｃ’の図を描いていたら、ひらめきました。 No.17662 - 2012/05/28(Mon) 09:27:01

★ 偶数項と奇数項に分けて極限をとることについて / 近藤（高３）

例えば、a_n={1-(-1)^n}/2nの極限値を求める場合，次のように偶数項と奇数項に分けて考えました。 偶数項は全ての偶数項は０になります。 奇数項は分子が２で分母が増えていくので極限は２/∞となりやはり０に収束。 よって、偶数項も奇数項も共に０に収束するので、a_nは０に収束する。 この考え方はよいですか？自分で言うのもなんですが、極限を求めるのに、偶数項と奇数項に分けて極限を取ったのでダメな気もします。 つまり偶数項と奇数項でそれぞれ極限をとって一致（例えばαに収束）したら、その数列の極限はαになるんですか？ No.17645 - 2012/05/25(Fri) 22:40:14 ☆ Re: 偶数項と奇数項に分けて極限をとることについて / シャロン 直接的ではないですが、 すべてのnについて 0≦{1-(-1)^n}/2n≦2/2n=1/n がいえて、1/n→0から、挟み撃ちの原理でa[n]→0とすればよいかとおもいます。 No.17646 - 2012/05/25(Fri) 23:15:56 ☆ Re: 偶数項と奇数項に分けて極限をとることについて / 近藤（高３） 模範解答はそうなっていました。ありがとうございます。 僕の解答は、このように偶数項と奇数項に分けたのですが、この解答は正しいのでしょうか？ No.17647 - 2012/05/25(Fri) 23:21:34 ☆ Re: 偶数項と奇数項に分けて極限をとることについて / ＩＴＶＩＳＩＯＮ > 僕の解答は、このように偶数項と奇数項に分けたのですが、この解答は正しいのでしょうか？ 下記の点を除き正しいと思います。 >奇数項は分子が２で分母が増えていくので極限は２/∞となりやはり０に収束。 「分母が増えていくので」・・・という表現は、不十分です。 例えば、2　−　（1/2)^n　が分母の場合、増えては行きますが、分母 ＜　2　で　分母の極限値は２です。 >つまり偶数項と奇数項でそれぞれ極限をとって一致（例えばαに収束）したら、その数列の極限はαになるんですか？ そうなります。厳密にはε-Ｎ方式によります。 No.17648 - 2012/05/25(Fri) 23:35:45

★ (No Subject) / ktdg

lim(n→∞)n^p/r^n=0(p=1,2,,,、r>1)の証明の仕方を教えてください。 No.17643 - 2012/05/24(Thu) 21:55:21 ☆ Re: / ＩＴＶＩＳＩＯＮ 括弧の対応が間違っているかも知れませんご容赦を。 r＞1なので、r=1+h (h>0)とおける。 n ＞ 2ｐのときを考えれば良い。 ( n ≧ p+1　でいいですが後の計算が分りやすいので　n ＞ 2ｐとします） 2項定理により r^n = (1+h)^n = Σ[k=0〜n](nＣk)h^k ＞{ nＣ(p+1)}h^(p+1) 　　=　（（n(n-1)(n-2)…(n-p)）/（p+1)!）(h^(p+1)) よって 0 ＜ (n^p)／(r^n) ＜ ((n^p)（p+1)!)／(n(n-1)(n-2)…(n-p)(h^(p+1)) 　　　　　　　　　＝　（p+1)!／(n(1-(1/n))(1-(2/n))…(1-(p/n))(h^(p+1)) 　　　　　　　　　＝　（p+1)!/(h^(p+1))（1／n）(1/((1-1/n)(1-2/n)…(1-(p/n)) 　　　　　　　　　＜　（p+1)!/(h^(p+1))（1／n）(1/((1-p/n)(1-p/n)…(1-(p/n)) 　　　　　　　　　＜　（p+1)!/(h^(p+1))（1／n）(1/((1-1/2)(1-1/2)…(1-(1/2)) 　　　　　　　　　＝ （p+1)!/(h^(p+1))（1／n）(1/(1/2)^p) 　　　　　　　　　＝ (((p+1)!(2^p))/(h^(p+1)))（1／n） 後は分かりますよね。 No.17644 - 2012/05/25(Fri) 21:41:46 ☆ Re: / ktdg ありがとうございます。 No.17661 - 2012/05/28(Mon) 02:01:21

★ 三角比　空間図形への応用 / まゆ

四面体ABCDにおいて、AB=AC=AD=3、BC=CD=DB=√3のとき、その体積を求めよ。 という問題で、 解答を見てもなぜその式になるのかわからないので解説お願いします。 〜解答〜 BCの中点をMとすると 　AM=√(AB^2-BM^2) 　　=√{3^2-(√3/2)^2} 　　=√33/2 　DM=BDsin60°=√3*√3/2=3/2 △AMDにおいて、余弦定理により 　cos∠AMD=(AM^2+DM^2-AD^2)/(2AM*DM) 　　　　　={(√33/2)^2+(3/2^2)-3^2}/(2*√33/2*3/2) 　　　　　=1/√33 0°<∠AMD<180°であるから　sin∠AMD>0 よって 　sin∠AMD=√(1-cos^2∠AMD)=√{1-(1/√33)^2} 　　　　　=4√2/√33 頂点Aから線分DMに垂線AHを下ろすと 　AH=AMsin∠AMD 　　=√33/2*4√2/√33 　　=2√2 したがって、求める四面体ABCDの体積Vは 　V=1/3△BCD*AH=1/3*(1/2*√3*3/2)*2√2 　 =√6/2 No.17636 - 2012/05/23(Wed) 20:17:19 ☆ Re: 三角比　空間図形への応用 / ヨッシー どの部分がわからないですか？ No.17637 - 2012/05/23(Wed) 22:17:25 ☆ Re: 三角比　空間図形への応用 / まゆ すみません＞＜ 解決しました＞＜ No.17638 - 2012/05/24(Thu) 12:07:10

★ 場合の数 / 魔女の宅急便

1,2,3,4,5,6,7の７つの数字から異なる４つの数字を取ってできる４桁の数について、 小さい方から並べて４３４番目にくる数を ４３４＝｛３×（６×５×４）＋３×（５×４）＋３×４＋１｝＋１と表せる事を用いて 求めよ。 解） ４×１０＾３＋５×１０＾２＋６×１０＋２ ＝４５６２・・・答え なのですが ４×１０＾３＋５×１０＾２＋６×１０＋２ がどこから来たのか分かりません。 どなたか分かる方よろしくお願いします。別解は不要です。 No.17632 - 2012/05/22(Tue) 20:25:32 ☆ Re: 場合の数 / ハオ 興味本位で解きましたので、考えに間違いがあるかもしれません。思考の参考になれば幸いと考え投稿します。 この問題を見て頭の中に、グルグルとレバーを回すとどんどん数字が変わっていく機械が思い浮かびました。 最小の数は明らかに1,2,3,4です。二番目は？1,2,3,5です。三番目は？1,2,3,6です。 四番目は？1,2,3,7です。五番目は？1,2,4,3です。 こういう風に考えていくと、レバーをグルグル４回、回すと十の位が変わることが分かります。 百の位が変わるのはレバーを何回回したときなんだろうか、気になります。 十の位は3,4,5,6,7と変わり、7以上はないので、7まで変わったら次は百の位が変わると想像が付きます。 よって百の位が変わるのは4*5=20回で変わると分かります。 同様に千の位は20*6=120回レバーをグルグルすると変わります。 434={3*(6*5*4)+3*(5*4)+3*(4)+1}+1 でした。 レバーを434回グルグルすると、千の位は3回変わります。 今、434=120*3+20*3+4*3+2 であるからまず、レバーを434回回すと考えるのではなく120*3回回し、20*3回回し・・・という様に 分けて考えます。（これは千の位、百の位、十の位、一の位を順番に決定していきたいからです） 120*3回回すことで1から2へ　2から3へ　3から4へ３回変化します。よって千の位は4です。 今、120*3回回すことで4,1,2,3となりました。 次に20*3回回します。1から2へ　2から3へ　3から5へ３回変化します。よって百の位は5です。 3から5へ変化したのは4は千の位で使っている為です。こういう理由もあり千の位など高い位から決定していく必要があります。 よって今機械の状態は、4,5,1,2です。 次に4*3回回す事で同様に十の位は6に変化し、機械の状態は4,5,6,1です。 最後に一の位ですが、じつはこのレバーを回すという行為の回数と1〜7までで4つ選んで、小さい順に並べたときの順番は 一致しません。 例えばレバーを２回回すと1,2,3,6ですが小さい順にならべて2番目の数は1,2,3,5です。 これは僕の考え方に甘さがあるのかもしれませんが、何しろ与えられた順番の数だけ回してしまうと 本来求めるべき答えより1だけ多くなってしまいます。 これより最後は2回回すのではなく1回だけレバーを回して一の位は2となります。 よって 千の位は4 百の位は5　十の位は6　一の位は2なので ４×１０＾３＋５×１０＾２＋６×１０＋２ =4562となります。 No.17633 - 2012/05/22(Tue) 22:03:57 ☆ Re: 場合の数 / ハオ と投稿してから気づきましたが、No.17633の考えは別解の気がしてきました。 まぁ不要とありましたが、一生懸命考えたので見てやってください。宜しくお願い致します。 No.17634 - 2012/05/22(Tue) 22:07:39 ☆ Re: 場合の数 / ヨッシー ハオさんの考え方で良いと思います。 レバーを１回回すと、それはもう２番目の数なので、 レバーを回す数は４３３回で良いのです。 これは、 ４３４＝｛３×（６×５×４）＋３×（５×４）＋３×４＋１｝＋１ で、１だけ｛　｝から外してあることからもわかります。 ポイントは、１２３４、１２３５と数えて、１２０個目が １７６５（１０００台の最大）で、１２１個目が２１３４となり、 さらに２４１個目が３１２４，３６１個目が４１２３と、 １２０個ごとに千の位が増えると言うことです。 なぜなら、千の位が１の数は、１以外の、２から７の６個の数から ３つ取って、下３桁に並べた場合の数だけ作れるので、 　6Ｐ3＝6×5×4＝120 です。 同様に百の位は　5Ｐ2＝5×4＝20 個ごとに増え、十の位は 4 個ごとに増えます。 ｛３×（６×５×４）＋３×（５×４）＋３×４＋１｝の ３，３，３，１ は、それぞれ千、百、十、一の位の数が、 最小の状態から３，３，３，１増えたことを表し、つまり 最小から４番目、４番目、４番目、２番目の数であることを 意味します。 千の位に来る数は、４番目に小さい４。 百の位に来る数は、４を除いた中で４番目に小さい５。 十の位は、４，５を除いた中で４番目に小さい６。 一の位は、４，５，６を除いた中で２番目に小さい２。 となります。 これをこのまま、４５６２と書いても良いですが、一応、 千の位、百の位・・・とわかるように、 　４×１０＾３＋５×１０＾２＋６×１０＋２ と書いてあります。 No.17635 - 2012/05/22(Tue) 23:21:50 ☆ Re: 場合の数 / 魔女の宅急便 回答ありがとうございます 最小の数は明らかに1,2,3,4です。二番目は？1,2,3,5です。三番目は？1,2,3,6です。 四番目は？1,2,3,7です。五番目は？1,2,4,3です。 の最初の部分からよく分からないです・・。 １〜７で最小の数は１〜４ですが、二番目は？の二番目というのは何の二番目なのでしょうか？どういうレバーなのかまだ正直分かりません。 No.17639 - 2012/05/24(Thu) 20:23:50 ☆ Re: 場合の数 / ast > １〜７で最小の数は１〜４ですが そうではなくて「1,2,3,4,5,6,7の7つの数字から異なる4つの数字を取ってできる4桁の数の最小が1234」ですね. > どういうレバーなのか レバーを引くごとに表示がだんだん大きな数になっていくデジタルカウンターだと思いますよ. 各桁の数値が1,2,3,4,5,6,7の7種類しかない4桁のデジタルカウンターです. No.17640 - 2012/05/24(Thu) 20:42:51 ☆ Re: 場合の数 / ＩＴＶＩＳＩＯＮ よくある解法と説明は １○○○　○○○は６×５×４通り ２○○○ ３○○○　３×（６×５×４） ４１○○　○○は５×４通り ４２○○ ４３○○　３×（５×４） ４５１○　○は４通り ４５２○ ４５３○　３×４ ４５６１　１ ４５６２　１ と順に数え上げる方法です。 （ご存知と思いますが参考までに） No.17641 - 2012/05/24(Thu) 21:08:03 ☆ Re: 場合の数 / ハオ ヨッシーさんastさん僕の拙い説明を汲んでくださり有難うございます。 分かりづらくて申し訳ないです、確かにこの問題に対してデジタルカウンターを持ち出すのは不適切な気がしてきました。 ITVISIONさんの仰る様な解き方が一番わかりやすく適切な気がします。 No.17642 - 2012/05/24(Thu) 21:32:28

★ 変数を固定 / 家３４

3点O(０,０,０）、A(3,0,0),B(1,2,1)がある （１）ｚ軸上の点C(0,0,m)から直線AB上の点Hに降ろした垂線をCHとする。このとき点Hが線分AB上にあるようなｍの値の範囲をもとめよ→-6≦ｍ≦３ （２）点Hが線分AB上にあるとき垂線CHの長さの最大値とそのときのHの座標を求めよ。 （２）で（１）を使わない解法について ベクトルAH=ｋベクトルAB＝ｋ（-2,2,1) とすると ベクトルCH=(３−２ｋ、２ｋ、ｋ−ｍ）より CH^2=(m-k)^2+8k^2-12k+9 mを変数、ｋを定数（０≦ｋ≦１）とすると ｍ＝−６のときCH^2は最大で CH^2=９ｋ＾２＋４５ 次にｋを変数として動かすと ｋ＝１のときCH^2は最大で その値は５４ よってCHの最大値は３√６ このときｋ＝１よりHはBと一致し H(１，２，１） となるはずなのですが なぜか答えはｋ＝０のとき最大値３√５（このときH(3,0,0) となっています。わたしの解答の一体どこか駄目なのか教えてください。よろしくお願いします。 No.17624 - 2012/05/20(Sun) 16:06:55 ☆ Re: 変数を固定 / X CH⊥AB (A) であるという条件を使っていないので誤りです。 (A)より ↑CH・↑AB=0 これよりkとmの間の関係式が求められますので CH^2 からk、又はmを消去することができます。 No.17625 - 2012/05/20(Sun) 20:02:26 ☆ Re: 変数を固定 / 家３４ ー6≦ｍ≦３ を求める過程で すでにCH⊥AB という条件は使っているのですが。。 No.17628 - 2012/05/21(Mon) 04:54:18 ☆ Re: 変数を固定 / X No.17625で ↑CH⊥↑AB (P) から求められる ↑CH・↑AB=0 (A)' という条件を使っていないと書きましたが、 要点は(P)から求められるkのmとの間に成り立つ関係式を CH^2に直接使っていないことが誤りだということです。 単に -6≦m≦3 (B) 0≦k≦1 (C) を使うだけであるのであれば、mはkとは無関係に 値が変化することになりますので。 (B)を使うのであれば(A)'を用いて CH^2 からkを消去して考える必要があります。 No.17629 - 2012/05/21(Mon) 09:06:56

★ 逆行列であることの証明について / しょういち

しょういちと言います。この前、行列の授業で、逆行列の定義を勉強しました。 「ＡＸ＝ＸＡ＝Ｅを満たすＸがＡの逆行列である」 というものです。 ですが、先生は、ＡＸ＝ＥもしくはＸＡ＝Ｅのどちらかが言えたら、ＸはＡの逆行列だよと言ったのですが、なぜですか？なぜ一方だけでよいのですか？ 直観的ではなく、簡単に証明ができるならお教え頂ければと思います。よろしくお願いします。 No.17621 - 2012/05/20(Sun) 00:26:30 ☆ Re: 逆行列であることの証明について / ハオ 僕自身証明の仕方を恥ずかしながら、忘れてしまっていたので教科書を参照します。（線形代数学　木内博文著) 参照した教科書の名前を書いても、内容を丸々写すのは剽窃に値すると困るので掻い摘んで証明をします。 ※それでも問題があるようでしたら削除します。 今、XA＝Eが言えたと仮定する。 1=det(E)=det(XA)=det(X)*det(A) (ただし、det(A)はAの行列式を表す) これよりdet(A)≠0でありAは正則である。 よってA-1(Aインバース)の存在は保証され、XA=Eに右側からA-1をかけてX=A-1 AX=Eも同様に証明できる。 No.17627 - 2012/05/21(Mon) 00:45:47

★ 不等式　 / HCL

不等式 x^10≧10^x を解け。但し、x>0とする。 xが整数なら帰納法でできそうなんですが、 xは実数なので、どうすればいいのか。 できれば解答をお願いします。 No.17614 - 2012/05/19(Sat) 14:59:18 ☆ Re: 不等式　 / X x^10=10^x は超越方程式ですので、近似解しか求められません。 従って問題の不等式も近似解でしか求められません。 No.17615 - 2012/05/19(Sat) 19:32:24 ☆ Re: 不等式　 / ＩＴＶＩＳＩＯＮ x>0におけるx^10＝10^xのひとつの解　ｘ＝10は簡単に分りますが、もう一つの解はＸさんのおしゃるとおりのような気がします。 これをx＝αとすると　α≦ｘ≦10　が求める解です。 log(x)はx＞0で単調増加で連続なので x^10、10^x　の対数について大小比較します f(x)=10log(x) - xlog(10) f'(x)=10/x -log(10) x>0におけるf(x)の増減を調べる f'(x)は　x = 10/log(10) のとき　0 　　　0＜ x ＜ 10/log(10) のとき　正 　　　x ＞ 10/log(10) のとき　負 よってf(x)は x = 10/log(10) のとき最大値をとる f(10/log(10))=10log(10/log(10)）-（10/log(10)）log(10) 　　　　　=10log(10/log(10)） - 10 　　　　　=10（log(10/log(10)） - 1）＞ 0 f(1) < 0,f(10/log(10)) > 0,f(10)=0　なので　 f(x) = 0　（ただしx＞0）は、ちょうど２つの異なる解を持つ ２つの解をα、β（α＜β）とすると　β＝10であり 　0＜α＜ 10/log(10) ＜ β＝10 もう少し調べると １^10 ＜ 10^1　、2^10 ＞ 10^2　ですから　1＜α＜２です。 No.17616 - 2012/05/19(Sat) 20:30:56 ☆ Re: 不等式　 / らすかる x^10=10^x の解は 10logx=xlog10 logx/x=log10/10 t=log10/10 とおくと logx/x=t logx=tx x=e^(tx) x/e^(tx)=1 -tx*e^(-tx)=-t -tx=W(-t) x=W(-t)/(-t)=W(-log10/10)/(-log10/10)=-10W(-log10/10)/log10 W(-log10/10)は2価 W0(-log10/10) と W1(-log10/10) で -10W0(-log10/10)/log10=10 -10W1(-log10/10)/log10=1.37128857423862353686… であり、増減を調べることによってx^10≧10^xの解は -10W1(-log10/10)/log10≦x≦10 (1.37128857423862353686…≦x≦10) No.17617 - 2012/05/19(Sat) 21:27:32 ☆ Re: 不等式　 / HCL 解けないんですね。 三角関数、指数対数関数、逆三角関数等を含む方程式を 超越方程式というと調べたら出てきました。 ＞-tx*e^(-tx)=-t ＞-tx=W(-t) W(-t)って何ですか？ No.17618 - 2012/05/19(Sat) 22:40:52 ☆ Re: 不等式　 / ＩＴＶＩＳＩＯＮ > 解けないんですね。 「解ける」「解けない」の定義が難しいと思いますが 例えば、e≦x≦πなどと既知の定数や関数を使って表せる（これも曖昧な表現ですが）と「解ける」ってことになるのでしょうか？「解けない」ってことになるのでしょうか？（e、πは超越数です。） ｘ^2　＝　２　も　有理数の範囲では解けませんが、√というものを考えるとｘ＝-√2、√2と「解ける」（？）んですよね・・・ No.17619 - 2012/05/19(Sat) 23:40:08 ☆ Re: 不等式　 / らすかる > W(-t)って何ですか？ W(　)はランベルトのW関数でf(x)=xe^xの逆関数です。 この関数を使えば「解けます」。 No.17620 - 2012/05/19(Sat) 23:52:30

★ 二次関数 高3 / ktdg

aは実数の定数とし、f(x)=x^4-2ax^3-10x^2-2ax+1とおくとき、f(x)=0の異なる実数解の個数をaの値で場合を分けて求めよ。 t=x+1/xー?@とおくと、f(x)=t^2-2at-12と表せる。これをg(t)とおく。 ?@の判別式Dとおくと、 (?@)D>0のとき⇔t>2、t<-2のとき、?@は異なる二つの実数解をもつ (?A)D=0のとき⇔t=2のとき、?@は重解をもつ (?B)D<0のとき⇔-2<t<2のとき、?@は実数解をもたない したがって、(?@)のとき、tの値一つに対してxの値は二つ。(?A)のとき、tの値一つに対してxの値は一つとなる。 ここから、f(x)の解の個数と、g(t)のグラフの形を考えて場合わけすると、おそらく14通りできます。 もっと簡単な方法はありますか? No.17611 - 2012/05/19(Sat) 00:14:06 ☆ Re: 二次関数 高3 / X g(t)=0 (A) をtの２次方程式と見たときの解の判別式を D[2]とすると D[2]/4=a^2+12＞0 ∴(A)はaの値によらず、常に異なる2つの実数解tを 持つ場合しかありません。 従って場合分けは(i)(ii)(iii)の３つの場合のみで 14通りも場合分けする必要はありません。 No.17612 - 2012/05/19(Sat) 07:24:54 ☆ Re: 二次関数 高3 / ktdg 確かにそうですね… ありがとうございます No.17613 - 2012/05/19(Sat) 09:58:11

★ 因数分解 / yuku
(a+b)(b+c)(c+a)+abc =(b+c){a^2+(b+c)a+bc}+abc =(b+c)a^2+(b+c)^2 a+bc(b+c)+abc =(b+c)a^2+(b^2+3bc+c^2)a+bc(b+c)　←★ . . . =(a+b+c)(ab+ac+bc) ★のところでなぜ +abcが消えたのかというところと 　3という数が出てくるのかというのがわかりません。 お願いします(´･ω･｀) No.17607 - 2012/05/16(Wed) 20:11:51 ☆ Re: 因数分解 / ヨッシー＠携帯 (b+c)^2 を展開して出来る2bcと、一番最後のabcをカッコの中に入れて出来たbcとで3bcです。 No.17608 - 2012/05/16(Wed) 21:16:38

★ 数学証明問題 / ftmm

a,b,cを実数とする。 a^2+b^2(a^2+b^2-c^2)(p^2+q^2-r^2) ≦(ap+bq-cr)^2 を証明せよ。 という問題で、 条件よりa^2＋b^2-c^2<0 p^2＋q^2-r^2<0なので (a^2+b^2-c^2)(p^2+q^2-r^2) >0 よって(ap＋bq-cr)^2≧0を示せばよい。 となり、(数式)^2≧0が成り立つので (ap＋bq-cr)^2≧0は成り立つ。としたらやっぱりダメですよね＾＾； どうやって示せばいいんでしょうか。 誰か分かる方教えてください。お願いします。 No.17603 - 2012/05/15(Tue) 12:56:44 ☆ Re: 数学証明問題 / ftmm すみません。色々と抜けていたので訂正します。 「a,b,cを実数とする。 a^2+b^2<c^2 ,p^2+q^2<r^2 のとき、 (a^2+b^2-c^2)(p^2+q^2-r^2) ≦(ap+bq-cr)^2 を証明せよ。」 投稿してから気付いたのですが (ap＋bq-cr)^2≧0を示せばよい。というのはおかしいですよね； (a^2+b^2-c^2)(p^2+q^2-r^2) はたしかに0より大きいですが 0になるとは断定できないので左辺を0にして(ap＋bq-cr)^2≧0を示すというのは明らかおかしいと思います。 たとえば、(a^2+b^2-c^2)＝-3.(p^2+q^2-r^2)=-4のとき (a^2+b^2-c^2)(p^2+q^2-r^2)=12となって このときは、(ap＋bq-cr)^2≧12を示さないといけないですし・・・ やはり右辺-左辺≧0が成り立つことを示すべきなんでしょうか？ このやり方を試みたもののうまくいかなかったのでどうしたらいいのかわかりません・・・ 文系なんで数学は2Bまでの知識しかないです。 誰か分かる方教えてください。お願いします。 No.17604 - 2012/05/15(Tue) 13:44:20 ☆ Re: 数学証明問題 / ハオ 申し訳ありませんが興味の範囲で解いたものなので間違っているかもしれません。 何か思考の糧になればと思い投稿します。 (a^2+b^2＜c^2 ,p^2+q^2＜r^2 のとき) から円が浮かんだので円を書いて考えてみます。 座標(a,b)は半径cの円の内部にあり、座標(p,q)は半径rの円の内部にあります。 よってa=s*cosθ b=s*sinθ p=t*cosφ q=t*sinφ　（ただしs＜c t＜r) 今c≦rでもr≦cでも式の対称性からどちらでも良いのでc≦rとします。 ここで不安なのがp,q,rは実数という条件がないので虚数も許しているのか？という点です。 という事で、場合分けして考えます。 i)p,q,rが実数の時 以上の様にa,b,p,q,は書ける。 今θ=φの時を考える。 与えられた不等式は (s^2-c^2)(t^2-r^2)≦(s*cosθ*t*cosθ+s*sinθ*t*sinθ-cr)^2と書き換えられる。 右辺-左辺=(sr-ct)^2≧0 よって左辺≦右辺である。 次にθ≠φの時を考える。 与えられた不等式は (s^2-c^2)(t^2-r^2)≦(s*cosθ*t*cosφ+s*sinθ*t*sinφ-cr)^2と書き換えられる。 右辺-左辺= {stcos(θ-φ)}^2 -2stcr*cos(θ-φ)-(st)^2+(sr)^2+(ct)^2 ---☆(加法定理を途中用いて整理した） ここで思うのは先ほど証明したのはcos(θ-φ)=1の時であった。 -1≦cos(θ-φ)≦1　またcos(θ-φ)の連続性よりcos(θ-φ)=-1の時を証明すれば、 すべてのcos(θ-φ)について証明した事になる。←正直ここの自信がありません。別の方にご指摘頂くと思います。 cos(θ-φ)=-1の時 ☆=(sr+ct)^2≧0 よって左辺≦右辺である。 以上から、p,q,rが全て実数の時は証明できた。 p,q,rの内少なくとも一つが虚数の時は、申し訳ありませんまだ考えていません。 No.17605 - 2012/05/16(Wed) 13:55:43 ☆ Re: 数学証明問題 / ＩＴＶＩＳＩＯＮ >（ただしs＜c t＜r) c、rは正とは限らないので、|s|＜|c|, |t|＜|r|　とすべきだと思います。 >今c≦rでもr≦cでも式の対称性からどちらでも良いのでc≦rとします これは、使っておられないようですが？ >-1≦cos(θ-φ)≦1　またcos(θ-φ)の連続性よりcos(θ-φ)=-1の時を証明すれば、 >すべてのcos(θ-φ)について証明した事になる。←正直ここの自信がありません。 右辺−左辺をcos(θ-φ)の関数と考えたとき-1≦cos(θ-φ)≦1で単調であることを示す必要があると思います。 x＝cos(θ-φ)とおくと　-1≦x≦1 {stcos(θ-φ)}^2 -2stcr*cos(θ-φ)-(st)^2+(sr)^2+(ct)^2 ＝{(st)^2}x^2 - (2stcr)x - (st)^2 + (sr)^2 + (ct)^2 ＝ f(x)　とおく f(x)は、-1≦x≦1で単調減少か単調増加（微分法か平方完成により増減を調べる。途中|s|＜|c|,|t|＜|r|を使う） また、f(-1)=(sr+ct)^2≧0 かつ f(1)=(sr-ct)^2≧0 よって、-1≦x≦1で　f(x)≧0 ※「p,q,rは、すべて実数」ではない場合は、反例があります。 ・a=1,b=1,c=2,p=i,q=i,r=iのとき (a^2+b^2-c^2)(p^2+q^2-r^2)=2 ＞ (ap+bq-cr)^2=(i+i-2i)^2=0 ・a=1,b=1,c=2,p=i,q=i,r=0のとき (a^2+b^2-c^2)(p^2+q^2-r^2)=4　＞ (ap+bq-cr)^2=(i+i-0)^2=-4 ・a=1,b=1,c=2,p=i,q=i,r=1のとき (a^2+b^2-c^2)(p^2+q^2-r^2)=6　、(ap+bq-cr)^2=(i+i-2)^2=-8i 右辺は実数でない。 No.17610 - 2012/05/18(Fri) 20:48:10 ☆ Re: 数学証明問題 / ハオ ITVISONさんご指摘有難う御座います。これからも迷惑をかけるかと思いますがよろしくお願いします。 No.17623 - 2012/05/20(Sun) 02:02:03 ☆ Re: 数学証明問題 / ＩＴＶＩＳＩＯＮ ftmmさんへ >文系なんで数学は2Bまでの知識しかないです。 どこの問題ですか？文系には、難問すぎるような気がします。数十年前の理系の私もハオさんの答えがないと分りませんでした。 No.17626 - 2012/05/20(Sun) 22:27:10

★ Re: 高三　微分積分 / れいひゃー

次の関数の増減を調べ、極値を求めよ (1)ｙ＝(ｌｏｇ[ｘ])/ｘ (2)ｙ＝ｘ−２ｌｏｇ[ｘ] 微分したら (1)ｙ´＝(１−ｌｏｇ[ｘ])/ｘ＾２ (2)ｙ´＝１−２/ｘ となるんだと思ったのですが、もしかしてこれさえ違うのでしょうか？ どうしても答えがあいません。 解答を教えて下さい。お願いします No.17596 - 2012/05/13(Sun) 19:07:38 ☆ Re: 高三　微分積分 / ヨッシー [　]は、ガウス記号でなくて、絶対値|　|ですかね。 微分は合っています。 (1) ｘ＜−ｅ で　f'(x)＜０ ｘ＝−ｅ　で　f'(x)＝０　(極小) −ｅ＜ｘ＜０ で　f'(x)＞０ ｘ＝０　で定義不能 ０＜ｘ＜ｅ　で　f'(x)＞０ ｘ＝ｅ　で　f'(x)＝０　(極大) ｅ＜ｘ で　f'(x)＜０ (2) ｘ＜０ で　f'(x)＞０ ｘ＝０　で　定義不能 ０＜ｘ＜２　で　f'(x)＜０ ｘ＝２　で　f'(x)＝０　(極小) ｘ＞２　で　f'(x)＞０ です。 No.17598 - 2012/05/13(Sun) 20:31:01

★ (No Subject) / 受験生

教えてください。お願いします。 ?@∫(1〜n)logx dx < log(n!) < ∫(1〜n+1)logx dx を示せ ?AKn={(n!/n^n)}^1/n　とするとき、lim(n →無限）Kn = 1/e を示せ　なお必要ならばlim(x→無限）logx/x を用いてもよい。 No.17594 - 2012/05/13(Sun) 16:02:20 ☆ Re: / ヨッシー log(n!)＝log(1)＋log(2)＋・・・＋log(n) なので、 下の真ん中の図のようにｎ個（うち１個は高さ０）の 面積の合計として表されます。 それは、∫(1〜n)logx dx（図の黄色）を完全に含み、 ∫(1〜n+1)logx dx（図の青）に完全に含まれます。 No.17595 - 2012/05/13(Sun) 19:05:04 ☆ Re: / ヨッシー >必要ならばlim(x→無限）logx/x を用いてもよい。 の右辺がありませんが。 Ｌn＝log(Kn)とすると、 　Ｌn＝(1/n)log{(1/n)(2/n)(3/n)・・・(n/n)} より、lim[n→∞]Ｌn＝∫[0〜1]logｘdx＝−１ という手順でしょう。 No.17597 - 2012/05/13(Sun) 20:16:09

★ 整数問題です^^ / トゥイードルディ

0<a<=b<1を満たす有理数a,bに対し、 f(n)=an^3+bn とおく。このとき、どうのような整数nに対してもf(n)は整数となり、かつ、nが偶数ならばf(n)も偶数となるようなa,bの組をすべて求めよ 初めf(n+2)-f(n)=(偶数)でできるとふんだんですけど、なんか出来ません。簡単な解答お願いします-^-^- No.17590 - 2012/05/12(Sat) 19:47:57 ☆ Re: 整数問題です^^ / Ｖ > 0> f(n)=an^3+bn > とおく。このとき、どうのような整数nに対してもf(n)は整数となり、かつ、nが偶数ならばf(n)も偶数となるようなa,b まず、n=1の場合を考えるとどうなりますか？ No.17591 - 2012/05/12(Sat) 20:34:44 ☆ Re: 整数問題です^^ / Ｖ （略解） n=1の場合を考える f(1)=a1^3+b1=a+bは整数 0<a<=b<1より　0<a+b<2 よってa+b=1　したがって　b=1-a a<=bより a <= 1-a 　　　　　2a<= 1　よって　0<a<= 1/2　　 b=1-aを　f(n)=an^3+bnに代入 f(n)=an^3+(1-a)n = an^3+(1-a)n =an^3-an+n =(n^3-n)a+n = n(n+1)(n-1)a + n =(n-1)n(n+1)a + n n=2の場合を考える f(2)=6a + 2 は整数、　これと 0<a<= 1/2　から a=1/6、2/6、3/6 「nが偶数ならばf(n)も偶数」より、f(2)=6a + 2 は偶数、なので a=2/6=1/3、b=2/3　でなければならない -------------------------------------------- 逆にa=1/3、b=2/3のとき 0<a<=b<1　であり、a,bは有理数 f(n)=(1/3)n^3+(2/3)n=(1/3)(n^3-n) + n =(1/3)(n-1)n(n+1) + n 任意の整数nについて「(n-1)n(n+1)は6の倍数」（証明略）なので、 どのような整数nに対してもf(n)は整数となる。 また、nが偶数なら f(n)=(1/3)(n-1)n(n+1) + n は偶数となる。（この証明は、ご自分でどうぞ。） 以上のとおり、a=1/3、b=2/3はすべての条件を満たす。 ------------------------------------------ したがって 求めるa,bの組は、a=1/3、b=2/3　である。 No.17593 - 2012/05/12(Sat) 22:01:44

★ 集合の切断、完備化について / ハオ

集合の切断又完備化についてよく理解できません 特に青の波線部分の理解で合っているのか自信がありません。理解に誤りがあったらご指摘お願いします。 No.17586 - 2012/05/12(Sat) 13:18:57 ☆ Re: 集合の切断、完備化について / ハオ C(X)が完備である事の証明は参考書からです。 その証明になぞって自分で具体例をあてて考えてみましたが、どうも納得できないのです。 No.17587 - 2012/05/12(Sat) 13:26:46 ☆ Re: 集合の切断、完備化について / angel こんにちは。 とりあえず、ですが。参考書的な定義なり証明と、自身で考えた例示の部分は分けておかないと、見ている方で分からないです。 話の流れとしては、Xの切断から完備であるC(X)を作り出すお話が参考書上であって、それに対して自分で X={ {1},{1,2},{1,2,3},{1,2,3,4} } ( a≦b ≡ a⊂b として≦を定義 ) を作ってみた、ということでしょうか。 もしそうだとすると、実例としてマズいです。 なぜなら、そのXは稠密でもなければ「最小元を持たない」という性質も満たさないからです。 ※まあ、完備性の説明をするときには稠密であるという条件は使いませんが… 「切断」の概念を使って完備性を説明するのは、実数以外での応用が思いつかないので、やはりイメージするにしても、有理数→実数の拡張の事例くらいしかないのかな、と思います。 P.S. ちょうど http://d.hatena.ne.jp/Cuz-orz/20090613/p1 にあるような話を勉強しているのでしょうか? No.17588 - 2012/05/12(Sat) 16:07:17 ☆ Re: 集合の切断、完備化について / angel 画像上の青の波線部分について 1. 最小元が除かれたから… もとの最小元φが除かれても、新たに {1} が最小元になっているため不適です 2. α4 が切断でない理由 特に問題はないです。 ※もっとあっさり、「α4=X だから、切断αの持つ性質α≠X に反する」でも。 3. Aは上に有界だから… 詳しい話は多分後で説明が出てくるところでしょうから一言だけ。 今は上に有界なAに対しての性質を考察しているので、「Aは上に有界だから…」で始めないとそもそも論理としてN.G.です。 4. もしβに最大元があれば… 感覚的に「そもそも最大元を持たない集合の和集合がβなので、明らかにβは最大元を持たないのでは」というのは、今回は正しいです。 ただ、無限の操作を行っている ( 今回は無限個の集合の和集合をとっている ) ため、直感的に正しそうなことが本当にそうか、と言われると、それはちゃんと検証しないといけません。 ※今回とは無関係な例ですが、有限個の開集合の積はやはり開集合ですが、無限個だと感覚に反して閉集合になることもあったりして、(特に無限の操作が絡むと)感覚だけで進めてはダメなのです。 5. αがいつから切断になったか? 背理法の仮定として α∈A⊂C(X)≡Xの切断の集合 だからです。 ※直前の「もしβに最大限aがあれば〜α∈Aがある」が該当 No.17589 - 2012/05/12(Sat) 16:46:10 ☆ Re: 集合の切断、完備化について / ハオ 解説有難うございます。説明不足にも関わらず伝えたい事を把握して下さり有難うございます。 具体例がマズイ理由はとてもよく分かりました。 では∀x∈R(実数), 0 ＜x≦１なら自己稠密で最小元は存在しませんよね？ と思い0<x≦1では切断の全体を考えますと、感覚的に幾つもの和集合となり最終的に0＜x＜1でいいのでしょうか？ No.17599 - 2012/05/14(Mon) 17:29:54 ☆ Re: 集合の切断、完備化について / ハオ 考え直しました 切断の集合が0＜x＜1はおかしいですね 要素が無限にある集合でしょうか？ その要素は0＜x＜1を埋め尽くす様な要素で、何というか段々幅が1に近づいていく要素ですか？ ちょうど http://d.hatena.ne.jp/Cuz-orz/20090613/p1 の部分を参考書で学んでいました、読ませていただきます。 No.17600 - 2012/05/14(Mon) 18:46:10 ☆ Re: 集合の切断、完備化について / angel > では∀x∈R(実数), 0 ＜x≦１なら自己稠密で最小元は存在しませんよね？ はい。そのようにXを定めれば今回の話に適合します。 ※ただし、それでは既に ( わざわざC(X)を作らなくとも ) Xが完備なので面白みはありません。せめて X={ q∈Q | 0＜q≦1 } とか。 ちょっと悩みのポイントが私には見えないのでアレなんですが、具体例としてはやはり「デデキントの切断」を考えてはどうでしょうかね。 これを使うと、有理数と集合の概念で実数を説明できるのです。…四則演算等も含めて。 No.17601 - 2012/05/14(Mon) 23:16:39 ☆ Re: 集合の切断、完備化について / ハオ なるほどです。面白みがある方がいいです！ X={q∈Q| 0＜q≦1}で考えてみます。 この場合Xの切断の全体の集合C(X)はどのような形で表されるのでしょうか？ 感覚的には分かるのですが、数学的に記述する事は可能なのでしょうか？何度もすいません。 No.17602 - 2012/05/15(Tue) 00:08:25 ☆ Re: 集合の切断、完備化について / angel > この場合Xの切断の全体の集合C(X)はどのような形で表されるのでしょうか？ > 感覚的には分かるのですが、数学的に記述する事は可能なのでしょうか？ この場合、ひとつの「切断」がひとつの「実数」に対応します。 例えば、{ q∈Q | 0＜q＜√(1/2) } ( 有理数だけを使って表現するなら { q∈Q | q＞0 and q^2＜1/2 } ) に対しては 無理数 √(1/2) が、{ q∈Q | 0＜q＜1/2 } に対しては有理数1/2が対応します。 なので、非常にざっくりとした表現では、 　C(X) = { { q∈Q | 0＜q＜r } | r∈R, 0＜r＜1 } ですかね。 ちなみにこれは、Q を完備化した R を予め知っているからこそできる表現であることに注意。 ※本来の話の流れとしては、X=Q の場合に完備化した C(X)を作って、C(X) を改めて R としましょう、となるわけなので。 No.17609 - 2012/05/18(Fri) 02:49:10 ☆ Re: 集合の切断、完備化について / ハオ ナルホドです。ひとつの切断がひとつの実数に対応するという理解は、とても役に立ちました。有難うございます。 切断を用意してあげたら、その切断の上限が切断と対応するのですね。 C(X)は集合の集合だから｛｝を２つ用いればいいのは当たり前でしたね、気付かず質問してしまいすいませんでした。 わざわざ、考えが浅い僕の為に時間を割いて頂き有難う御座いました。数学を質問をしに行く身近な人がいないので、またお世話になるかと思いますが、その時はどうぞ宜しくお願いします。 P.S. 学校で確率論の初歩を習ったのですが、実数上のボレル集合体（全ての半開区間(a,b]を含む最小のσ-集合体）がこの様に定義するだけで[a,b]や(a,b)や[a,b)等を含む証明として [a,b]= ∩_[n=1,∞](a-1/n,b]　 と書けて、(a-1/n , b]は半開区間であり、σ-集合体に含まれるので、その積集合もσ-集合体に含まれる。 と板書している時、あぁこれがangelさんが仰っていた >無限個だと感覚に反して閉集合になることもあったりして なんだなと分かり少し嬉しくなりました。 No.17622 - 2012/05/20(Sun) 01:56:23

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