a,bを負でない整数としa>bとする。a1=a,a2=b,
a(n+2)=la(n+1)-a(n)l(n＝１，２、・・）によって定義される数列｛an}について次の問いに答えよ
（１）a=16,b=3のときa9をもとめよ（できました）
（２）q,rを負でない整数としてa=(2q+1)+r,r<bとする。このとき、初めてa(n)=rとなるｎを求めよ。
で（２）が解答を見ても分かりません
ｑ≧１のときｍ＝0,1,・・,qについて
a(3m+1)={2(q-m)+1}b+r
a(3m+2)=b
a(3m+3)=2(q-m)b+r
（これら３つまとめて（※）
を数学的帰納法で証明する、とあります。
推定帰納法だと思います。しかし※は一体
どうやって推定したのでしょうか？
どなたか分かる方よろしくお願いします
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No.16860 - 2012/02/08(Wed) 00:23:42
| ☆ Re: 推定帰納法 / angel | | | > しかし※は一体どうやって推定したのでしょうか？
それこそが (1) を解かせる目的です。
つまり、(1) はヒントになっているのです。
…それで気づかなければ、自分で別の例を作って、気づくまでにらめっこです。
例えば a=101, b=5 であれば?
a[1]から順に挙げると、
101, 5, 96, 91, 5, 86, 81, 5, 76, 71, 5, 66, 61, 5, 56, …
さて、どうでしょうか。
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No.16862 - 2012/02/08(Wed) 00:47:18 |
| ☆ Re: 推定帰納法 / 原住民 | | | a=101, b=5だと
１０１，９１，８１、・・・と１０ずつ減っていて、
９６，８６，７６、・・・とこれまた１０ずつ減ってますね。しかしそれに気づいたところで
a(3m+1)={2(q-m)+1}b+r
a(3m+3)=2(q-m)b+r
は思い浮かべ（推定、予想でき）ません・・
よろしくおねがいします
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No.16866 - 2012/02/08(Wed) 07:10:20 |
| ☆ Re: 推定帰納法 / ヨッシー  | | | 問題文の a=(2q+1)+r は、a=(2q+1)b+r の間違いでしょうね。
１０というのはもちろんｂの２倍ですね。
すると、a(3m+1)は、ｍ＝０ のとき
a(3m+1)＝ａ(1)＝ａ＝(2q+1)b+r
で、以下、２ｂずつ減っていくので、
a(3m+1)＝(2q+1)b+r-2bm＝{2(q-m)+1}b+r
a(3m+3) は、ｍ＝０ のとき
a(3m+3)＝a(2)−a(1)＝(2q+1)b+r-b＝2qb+r＞０
なので、同様に
a(3m+3)＝2qb+r-2mb＝2(q-m)b+r
となります。
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No.16875 - 2012/02/09(Thu) 07:13:14 |
| ☆ Re: 推定帰納法 / 原住民 | | | 問題文の誤植失礼しました。
納得しました。
しかし実践的には１０ずつ減ったからと言ってｂの2倍かどうかは分かりませんよね？ひょっとしたら((ｂの３倍）-５))だけ減るという規則かもしれないし、（bの4/5倍＋５）だけ減るという規則かもしれないし。
a=101, b=5 で
101, 5, 96, 91, 5, 86, 81, 5, 76, 71, 5, 66, 61
のようなa,bでの実験を少なくとも数回はやらなければ理屈に合わないですよね？
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No.16888 - 2012/02/09(Thu) 21:29:15 |
| ☆ Re: 推定帰納法 / ヨッシー | | | いいえ、まぎれもなくｂの２倍です。
ａがｂに対して十分大きいとき、この数列は、
a, b, a-b, a-2b, b, a-3b, a-4b, b, のように変化しますから、
a4 と a1 の差、a6 と a3 の差はいずれも2b となることから、
容易に推測できます。
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No.16889 - 2012/02/09(Thu) 21:50:24 |
| ☆ Re: 推定帰納法 / angel | | | すいません。問題の誤植に気づかずに話を進めていました。
> しかし実践的には１０ずつ減ったからと言ってｂの2倍かどうかは分かりませんよね？ひょっとしたら((ｂの３倍）-５))だけ減るという規則かもしれないし、（bの4/5倍＋５）だけ減るという規則かもしれないし。
ええ。色々な可能性を考えることは悪いことではありません。
でも取り敢えず、2項おきに(3項周期で) 5(=b) が現れること、その他の項も減少の仕方に規則があることに気づけば、一つ答えに近づいたことになりますよね。
> 実験を少なくとも数回はやらなければ理屈に合わないですよね？
一度の実験で可能性を絞りきれなければ、何度やっても良いです。それはもう、納得のいくまで。むしろ、色々な具体例を試す習慣を持つのは、悪いことではないと思います。…計算力 ( 特に暗算 ) が弱いと辛いけど。
※慣れてくれば、ヨッシーさんの説明にあるように、a,bの文字だけで一発で考えられるようになります。
ただし。この実験は、あくまで原住民さんが、自ら規則性を見つけるために行うものであり、解答として見せる部分ではありません。
※解答として見せるのは、その見つけた規則性が正しいことを帰納法によって説明する部分なので。
だから、何回やらなくてはいけないとか、そういうことは気にせずに。あまり硬く考えないことです。
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No.16895 - 2012/02/10(Fri) 00:00:53 |
| ☆ Re: 推定帰納法 / 原住民 | | | 分かりました
回答有難うございます
次に、ｍ＝0,1,・・,qはどこから来たのか全く分からないので教えてください...
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No.16911 - 2012/02/12(Sun) 02:07:31 |
| ☆ Re: 推定帰納法 / angel | | | > 次に、ｍ＝0,1,・・,qはどこから来たのか全く分からないので教えてください...
それは、件の規則がどこまで続くか、によるものです。
引き続き a=101, b=5 の例でいくと、
| 101, 5, 96, | 91, 5, 86, | 81, …, 16, | 11, 5, 6, | 1, 5, 4, 1, 3, …
というように、いつしか規則性が崩れる所が出てきます。
※また別の規則に切り替わる、といった方が正確ですが。
それを(裏で)計算したら、最初の規則性が続くのが m=0,…,q の範囲だったということです。
原住民さんも、実際に計算して確かめてみてください。
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No.16917 - 2012/02/12(Sun) 17:51:11 |
| ☆ Re: 推定帰納法 / 原住民 | | | 分かりました。ありがとうございます
しかしｍ＝０,・・,「q」の
「q」で終わる理由が正直分かりません。。
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No.16924 - 2012/02/13(Mon) 09:10:45 |
| ☆ Re: 推定帰納法 / angel | | | > しかしｍ＝０,・・,「q」の
> 「q」で終わる理由が正直分かりません。。
あ…。これは、ごめんなさい。
私の挙げた例が悪かったせいです。
(a,b)=(101,5) というのは、問題の状況にあっていない例でした。
せめて、(a,b)=(106,5) ( r=1 ) なら正しかったのですが。
| 106, 5, 101, | 96, 5, 91, | 86, …, 11, | 6, 5, 1, | 4, 3, 1, 2, …
で、
a(3q+1)=b+r
a(3q+2)=b
a(3q+3)=r
に、それぞれ規則性がやぶれる直前の 6,5,1 があっていますから。
念のため、(1)で確かめた (a,b)=(16,3) ( r=1 ) も。
| 16, 3, 13, | 10, 3, 7, | 4, 3, 1, | 2, 1, 1, 0, …
やはり 4,3,1 が b+r,b,r に一致しますね。
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No.16931 - 2012/02/13(Mon) 23:02:45 |
| ☆ Re: 推定帰納法 / 原住民 | | | 回答有難うございます
問題の状況にあわない（a,b）ってどういうことなのか、どうして問題の状況に合わないのか教えてください。
またｍ＝０,・・,「q」の「ｑ 」で終わる理由もやはり実験して自分から見出すしかないのでしょうか？
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No.16938 - 2012/02/14(Tue) 05:02:31 |
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