ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ ルートの幾何的説明について / math

ルートa×ルートb＝ルートa×b
というのを幾何学的描像を与えて説明するのは不可能でしょうか？
長方形で考えてみたのですが，
1辺ルートaと1辺ルートbの長方形の面積と
1辺aと1辺bの長方形の面積の平方根の正の部分が同じであればよいのですが，出来れば両辺2乗して同じになるという説明は避けて頂きたいです。
よろしくお願いします。

No.17761 - 2012/06/10(Sun) 15:24:45

☆ Re: ルートの幾何的説明について / ヨッシー

どこまでの変形なら許されるかがはっきりしませんが、
例えば、下の図で、
中心が直線Ｌ上にあり、２つの円が外接し、それらの両方を
内部に含む大きな円が、２つの円に接している時、
この直線Ｌ上で、大きな円の外にある点Ａから、
大きい円に引いた接線をＡＣ
点Ａに近い方の小円に引いた接線をＡＤ
点Ａから遠い方の小円に引いた接線をＡＥ
直線Ｌと大きい円の交点で、点Ａに近い方の点をＢとする時
　ＡＢ・ＡＥ＝ＡＣ・ＡＤ
が成り立ちます。
というのは、使って良いでしょうか？

No.17765 - 2012/06/11(Mon) 15:03:14

★ 不等式の証明 / 果物

すいません。

0≦a,1<u, 0<xの時,
e^{-ux} u^{1+[2a]}≦1/(x^{1+[2a]+2}u^2) (但し,[ ]はガウスの記号)

となる事を証明したいのですがどのようにして示せますか?

是非是非ご教示ください。

No.17758 - 2012/06/10(Sun) 01:39:09

☆ Re: 不等式の証明 / X

>>e^{-ux} u^{1+[2a]}≦1/(x^{1+[2a]+2}u^2)
とありますが、タイプミスはありませんか？。
右辺で
>>1+[2a]+2
とわざわざ定数部を整理せずに表記しているのが気になるのですが。

No.17759 - 2012/06/10(Sun) 07:22:04

☆ Re: 不等式の証明 / ITVISION

成立しないのでは？

1+[2a]=n　（nは自然数）として
e^{-ux} u^{1+[2a]}≦1/(x^{1+[2a]+2}u^2) 　を整理すると
e^{-ux} u^n ≦ 1/(x^{n+2}u^2)
e^{-ux} ≦ 1/(x^{n+2}u^(n+2))
e^{ux} ≧ x^{n+2}u^(n+2)　
e^{ux} ≧ (xu)^(n+2)　となり

元の命題は、
「 x＞0,n≧3　（nは自然数）のとき　e^x ≧ x^n」と同値になると思いますが、この命題は偽ですよね。

括弧の解釈などが間違っていればお知らせください。

No.17760 - 2012/06/10(Sun) 10:22:56

☆ Re: 不等式の証明 / 果物

誠に申し訳ありません。正直に白状しますと,

∫_1^k e^{-ux} u^{1+[2a]}du ≦∫_1^k 1/(x^{3+[2a]}u^2) duが1<kに対して成立つ事を示しているのでした。

e^{-ux} u^{1+[2a]}≦1/(x^{3+[2a]}u^2)
⇔
u^{3+[2a]}/e^{ux}≦1/x^{3+[2a]}
で
lim_{u→∞}u^{3+[2a]}/e^{ux}
=lim_{u→∞}(3+[2|s|])(2+[2|s|])…2・1/(x^{3+[2|s|]}e^{ux}) (∵ロピタルの定理)
=0
となる事から
e^{-ux} u^{1+[2a]}のグラフが1/(x^{1+[2a]+2}u^2)よりいずれは下に来るだろうという事は予測できたのですが,
∫_1^k e^{-ux} u^{1+[2a]}duと∫_1^k 1/(x^{1+[2a]+2}u^2) duの値が不明のままでは
∫_1^k e^{-ux} u^{1+[2a]}du ≦∫_1^k 1/(x^{1+[2a]+2}u^2) du
と結論付けられないので苦慮しております。

どのように対処できましょうか?

No.17764 - 2012/06/11(Mon) 06:24:26

☆ Re: 不等式の証明 / ITVISION

> 誠に申し訳ありません。正直に白状しますと,
>
> ∫_1^k e^{-ux} u^{1+[2a]}du ≦∫_1^k 1/(x^{3+[2a]}u^2) duが1＜kに対して成立つ事　Ａ　を示しているのでした

> e^{-ux} u^{1+[2a]}のグラフが1/(x^{1+[2a]+2}u^2)よりいずれは下に来るだろうという事　Ｂ　は予測できたのですが,

Ｂ→Ａはいえないと思います。
ほんとに証明すべき正しい命題は何ですか？
Ａが正しい命題である確証はあるのでしょうか？
出典とそこでの表現はどうなっていますか？

※それと、半角の＜を使うとうまく表示されない場合があるので全角の＜を使った方が良いですよ。

No.17767 - 2012/06/11(Mon) 19:11:40

☆ Re: 不等式の証明 / 果物

ちょ,ちょっとお時間下さい。頭を冷やします。

No.17791 - 2012/06/14(Thu) 23:28:02

★ すみません、教えてください。 / papiky

等差数列についてa3=a1×a2が成立している。a4=1のときanを求めよ。

自分で解答してみたのですが、きれいな解答になりません。
よろしくお願いします。

No.17755 - 2012/06/09(Sat) 13:45:26

☆ Re: すみません、教えてください。 / ITVISION

> 自分で解答してみたのですが、きれいな解答になりません。
ご自分の解答をＵＰされると適切なアドバイスがされやすいのでは。

初項ａ、公差ｄとして式を立てると連立方程式（２次方程式と1次方程式）ができます。
※途中の記述量を減らしミスを防ぐため初項はａ1とせずａとしました。

これを代入法により解けば良いと思います。
ａ４＝ａ+３ｄ＝1　→　ａ＝３ｄ－1　を2次方程式に代入
　※ｄ＝1/3（1－ａ）としても良いですが、分数がないほうが間違えにくいので、私はａ＝３ｄ－1としました。

ちょっとした工夫で計算がぐんと楽になる場合もありますが、試験など限られた時間内の場合、なにか工夫を考えるより、普通に素直に解くのが確実の場合も多いと思います。

このへんの見極めが難しいところですね。

No.17756 - 2012/06/09(Sat) 14:19:04

☆ Re: すみません、教えてください。 / papiky

ありがとうございました。
同じところで計算ミスをしていました。

No.17757 - 2012/06/09(Sat) 15:34:48

★ 物理 / ktdg

高さHの天井のある室内の水平な床上の点Pから、水平面と60°の角をなす斜め右上方へ、初速度の大きさvで質量mの小物体Aを投射すると同時に、Aより右にある床上の点Qから水平面と30°の角をなす斜め左上方へ、小物体Bを投射したところ、A、Bは共にそれぞれの放物線の最高点Rで瞬間的に衝突して一体となってRの鉛直真下の床上の点Sに落下した。重力加速度の大きさをgとして、以下の問いに答えよ。
(1)小物体Aが天井と衝突しないためには、vはどのような条件を満たせば良いか。gとHを用いて表せ。
(2)小物体Bを投射してから、床上の点Sに落下するまでの時間を求めよ。
(3)小物体Bの初速度の大きさを求めよ。
(4)PQ間の距離を求めよ。
(5)小物体Bの質量および衝突時に物体Bに働く力積の大きさを求めよ。
自分の答え
(1){2√(6gH)}/3>v
(2)√3v/g
(3)√3v
(4)√3v^2/g
(5)質量...m/3、力積...3mv/2
答え合わせお願いします。

No.17747 - 2012/06/08(Fri) 12:10:55

☆ Re: 物理 / ヨッシー

私は、さほど詳しくはありませんが、(5) の前半までは良いと思います。
力積について、途中式を書いていただけますか？

No.17749 - 2012/06/08(Fri) 17:06:24

☆ Re: 物理 / ktdg

回答ありがとうございます。
自分も今書いていて気づいたのですが、Bの質量をmとして計算していたようです。m/3で計算するとmv/2になると思うのですがそれで大丈夫でしょうか？ちなみに以下が式(自分の考え方)です。
小物体Bは点Rにおいて、衝突直前は左向きに水平方向の速さ√3vcos30°=3v/2。衝突直後は水平方向に速さ0なので、Bのうける力積は右向きにm/3×3v/2=mv/2。

No.17750 - 2012/06/08(Fri) 18:41:26

☆ Re: 物理 / angel

(5)力積 mv/2 で正解でしょう．
BではなくA側で考えた方が多分簡単です．
すなわち，作用・反作用の法則がありますから，Aに働く力積はBに働く力積と同じ大きさで向きが逆，ということを利用するわけです．

でもって，Aに関して言えば，水平方向の v/2 (=vcos60°) の速度が衝突によって 0 に減じている訳なので，運動量として mv/2 の変化，つまりこれがAに働いた力積ということです．

No.17752 - 2012/06/09(Sat) 02:10:29

☆ Re: 物理 / ktdg

ありがとうございます。

No.17754 - 2012/06/09(Sat) 09:03:45

☆ Re: 物理 / ヨッシー

ちょっと作ってみました。

No.17772 - 2012/06/12(Tue) 14:56:25

☆ Re: 物理 / ヨッシー

もういっちょ。
黒玉１個おきに白玉がぶつかります。

No.17787 - 2012/06/14(Thu) 10:17:34

☆ Re: 物理 / ヨッシー

もはや悪ノリ

No.17792 - 2012/06/15(Fri) 11:36:27

★ ロピタルの定理での疑問 / みきちゃん

こんにちは。
「lim_{x→a}f(x)=lim_{x→a}g(x)=0 or ±∞ (但し,aは実数か±∞とする) で
f,gはa以外で微分可能でg'(a)≠0とする時,
lim_{x→a}f(x)/g(x)=lim_{x→a}f'(x)/g'(x)が成立つ」
というのがロピタルの定理ですよね。

lim_{x→a}f'(x)/g'(x)が更に不定形ならlim_{x→a}f"(x)/g"(x)の極限値を求めればよい(つまり,繰り返しロピタルの定理を使え)。
と聞いたのですがこれは
lim_{x→a}f(x)/g(x)=lim_{x→a}f'(x)/g'(x)=lim_{x→a}f"(x)/g"(x)
が成立つという事ですよね?

然し,lim_{x→a}f(x)/g(x)=lim_{x→a}f'(x)/g'(x)の部分はlim_{x→a}f'(x)/g'(x)が不定形だというのだから
g'(a)≠0を満たしていない事になりますよね。
、、なのでlim_{x→a}f'(x)/g'(x)=lim_{x→a}f"(x)/g"(x)の箇所にはロピタルの定理は使用可能ですが
lim_{x→a}f(x)/g(x)=lim_{x→a}f'(x)/g'(x)の箇所にはロピタルの定理は使用不能だと思うのです。

一体,どのように解釈すれば宜しいのでしょうか?

No.17744 - 2012/06/06(Wed) 23:28:03

☆ Re: ロピタルの定理での疑問 / X

>>f,gはa以外で微分可能でg'(a)≠0とする時,
間違っています。f,gはa以外で微分可能ですが
g'(a)の存在については何も議論されません。
つまりg'(a)≠0という条件が蛇足です。

No.17746 - 2012/06/07(Thu) 06:29:58

☆ Re: ロピタルの定理での疑問 / みきちゃん

ご回答誠に有難うございます。

>>> f,gはa以外で微分可能でg'(a)≠0とする時,
> 間違っています。f,gはa以外で微分可能ですが
> g'(a)の存在については何も議論されません。
> つまりg'(a)≠0という条件が蛇足です。

えーと、つまり,
「「lim_{x→a}f(x)=lim_{x→a}g(x)=0 or ±∞ (但し,aは実数か±∞とする) で
f,gはa以外で微分可能でlim_{x→a}f'(x)/g'(x)が存在する時,
lim_{x→a}f(x)/g(x)=lim_{x→a}f'(x)/g'(x)が成立つ」
が正しいロピタルの定理なのですね。

No.17751 - 2012/06/08(Fri) 22:58:09

☆ Re: ロピタルの定理での疑問 / X

その通りです。

No.17753 - 2012/06/09(Sat) 08:32:10

★ 群数列 / PINK

分母が2の累乗、分子が奇数であって、0より大きく1より小さい分数を次のように並べる。

1/2,1/4,3/4,1/8,3/8,5/8,7/8,1/16,3/16,5/16,7/16,9/16
13/16,15/16,1/32,....

(1)　1/256は第何項であるか

(2)　第255項を求めよ

(3)　初項から第255項までの和を求めよ

この3問お願いします。

No.17730 - 2012/06/05(Tue) 18:02:53

☆ Re: 群数列 / X

問題の数列を
{1/2}
,{1/4,3/4}
,{1/8,3/8,5/8,7/8,1/16,3/16,5/16,7/16,9/1613/16,15/16}
,{1/32,....
というような群に分けます。
このとき、第m群の数列を
{a[m,n]}
とすると
a[m,n]=(2n-1)/2^m (A)
(n=1,2,…,2^(m-1))
(1)
1/256=1/2^8
∴1/256が第N項であるとすると
N=Σ[m=1～7]2^(m-1)+1=…
(2)
第255項が第m群に属しているとすると
Σ[k=1～m-1]2^(k-1)≦255＜Σ[k=1～m]2^(k-1)
この不等式を解いて、まずmの値を求めます。
次に第m-1群の末項が全体の数列での第何項であるかを
求めると、第255項が第m群の何項目であるかが求められます。
(3)
第k群の初項から末項までの和をT[k]とすると
T[k]=Σ[i=1～2^(k-1)]a[k,i]=…
よって元の数列の初項から第m-1群の末項までの和をS[m-1]とすると
S[m-1]=Σ[k=1～m-1]T[k]=…
後は(2)の計算過程を使います。

No.17735 - 2012/06/05(Tue) 19:30:04

★ (No Subject) / なぜくん

男女6人ずつで合計12人のクラスがある。このクラスには男子のA君、B君と女子のCさんがいる。このくらすをくじ引きで4人ずつの３班に分ける。
（１）A君がB君と同じ班になる確率は_である。
（２）
（３）
（４）
について
場合の数や確率を求める際、人間は全員区別して考えると習いました。ですからABC以外にもDEFGHIJKLと名前をつけてこれらの確率を求めても良いのでしょうか？

No.17727 - 2012/06/05(Tue) 07:44:53

☆ Re: / ヨッシー

場合の数の場合は、区別する／しないは、問題に書かれているはずですので、
それに従います。

確率の場合は、基本区別すると思って良いでしょう。
この問題の場合、人を区別する他に、班を区別するかどうか
という問題があります。

(i)
生徒をＡ，Ｂ，Ｃ・・・Ｌ、班をア、イ、ウと区別し、
生徒を１列に並べ、前から４人ずつ、ア、イ、ウの班となるようにする場合。
並べ方は　１２！通り
Ａ君とＢ君がアの班で一緒になる場合の数は、
Ａの並ぶ位置が１番目から４番目の４通り
Ｂの並ぶ位置が１～４番目で、Ａの位置以外の３通り
残り１０人の並び方は１０！通り。
よって、４×３×１０！
イの班、ウの班で一緒になる場合の数も同じなので、求める確率は、
　(３×４×３×１０！)/１２！＝３／１１

(ii)
生徒をＡ，Ｂ，Ｃ・・・Ｌ、班をア、イ、ウと区別し、
班内の並び方は区別しない場合
班の分け方は 12Ｃ4×8Ｃ4×4Ｃ4（通り）
ＡとＢが、アで一緒になる場合の数は、
　10Ｃ2×8Ｃ4×4Ｃ4（通り）
イの班、ウの班で一緒になる場合の数も同じなので、求める確率は、
　(3×10Ｃ2)/12Ｃ4＝３／１１

(iii)
生徒をＡ，Ｂ，Ｃ・・・Ｌと区別し、班は区別しない場合
班の分け方は 12Ｃ4×8Ｃ4×4Ｃ4÷３！（通り）
ＡとＢが一緒になる場合の数は、
　10Ｃ2×8Ｃ4×4Ｃ4÷２（通り）
求める確率は、
　(10Ｃ2÷２)/(12Ｃ4÷３！)＝３／１１

班は、区別する場合と区別しない場合とで、確率の分母分子ともに、
同じ数が掛けられるだけですので、確率は変わりません。
こういう場合は、区別する区別しないはどちらでも良いですが、
区別した方が確実です。

人については、区別しないと全体の場合の数自体計算出来ないので、
区別せざるを得ません。
もし区別しないと、(班は区別します)
ＡとＢが同じ班の場合・・・アで同じ、イで同じ、ウで同じ　の３通り
ＡとＢが違う班の場合・・・ＡがアでＢがイ、・・・　の６通り
よって、求める確率は３／９＝１／３ということになってしまいます。
これは、上記(ii)の場合において、
　ＡとＢがアで同じとなる場合の数　　10Ｃ2×8Ｃ4×4Ｃ4（通り）
に対して、
　ＡがアでＢがイとなる場合の数　10Ｃ3×7Ｃ3×4Ｃ4
と、同じでないためで、単純に３／(３＋６)とは出来ないのです。

No.17728 - 2012/06/05(Tue) 09:22:55

☆ Re: / なぜくん

回答ありがとうございます。

?B）のＡとＢが一緒になる場合の数が
　10Ｃ2×8Ｃ4×4Ｃ4÷２（通り）
というのが全く分かりません・・。良かったら教えてください＞＜

No.17734 - 2012/06/05(Tue) 19:18:29

☆ Re: / ヨッシー

>班の分け方は 12Ｃ4×8Ｃ4×4Ｃ4÷３！（通り）
こちらの方はわかるのでしょうか？

１つめの班に12人の中から4人選んで入れるのが 12Ｃ4
２つめの班に８人の中から4人選んで入れるのが 8Ｃ4
３つめの班に４人の中から４人を入れるのが　4Ｃ4
以上より、３つの班への分け方は、
　12Ｃ4×8Ｃ4×4Ｃ4　通り
ただし、３つの班は区別しないので、班を入れ換えると同じ
入れ方になるものが３！通りずつあるので、
　12Ｃ4×8Ｃ4×4Ｃ4÷３！　通り

ＡとＢが一緒になる場合は、
Ａ，Ｂ以外の１０人から２人選んで、Ａ，Ｂと同じ班に入れる入れ方が　10Ｃ2
それ以外の班の１つに８人の中から4人選んで入れるのが 8Ｃ4
残りの班に４人の中から４人を入れるのが　4Ｃ4
Ａ，Ｂが入っていない２つの班は区別しないので、
　10Ｃ2×8Ｃ4×4Ｃ4÷２（通り）
となります。

(ii) に倣って、Ａ，Ｂが同じ班になる入れ方を
　３×10Ｃ2×8Ｃ4×4Ｃ4（通り）
としたなら、３つの班の入れ替えになりますので、
　３×10Ｃ2×8Ｃ4×4Ｃ4÷６！
となります。
答えは同じです。

No.17737 - 2012/06/05(Tue) 20:56:52

☆ Re: / なぜくん

回答ありがとうございます

Ａ，Ｂが入っていない２つの班は区別しないのはなぜですか？その2つの班の構成員は4人と4人ですがこの8人は全員違う人ですから2つの班の区別はつくはずですよね？

No.17739 - 2012/06/05(Tue) 21:33:46

☆ Re: / ヨッシー

(iii)では、班は区別しないと決めているからです。つまり

(ABCD)(EFGH)(IJKL) と (ABCD)(IJKL)(EFGH) は同じです。
10Ｃ2×8Ｃ4×4Ｃ4 では、こういう２組を別のものとして数えているので、
２！で割ります。

No.17740 - 2012/06/05(Tue) 21:36:44

☆ Re: / なぜくん

回答ありがとうございます。
10Ｃ2×8Ｃ4×4Ｃ4 では、こういう２組を別のものとして数えている、ということはこういう2組のEFGHの組とIJKLの組の順番も考慮しているということになり
Cの連続積では順列が発生するということですよね？？

No.17743 - 2012/06/06(Wed) 22:39:03

☆ Re: / ヨッシー

そうです。
組と組の順番です。

No.17745 - 2012/06/07(Thu) 06:18:13

★ 数列高２ / 指師

c[n]=(2n-1)・3^(n-1)のとき、c[n]を2で割った余りをp[n]
c[n]を3で割った余りをq[n]とするとき
[n]Σ[k=1][k^2｛(2^(p[k])＋3^(q[k])｝]=n^3＋(ア/イ)n^2＋(ウ/エ)n＋(オ)　(n=1,2,3・・・)である。

解答にはp[n]=1(n=1,2,3,・・・)
「q[1]=1,q[n]=0(n=2,3,4・・・)であるので
【n≧2のとき】
[n]Σ[k=1][k^2｛(2^(p[k])＋3^(q[k])｝]
=(計算省略)
=n^3＋(3/2)n2^＋(1/2)n＋2
【これにn=1を代入すると5となるのですべての自然数nに対して】、
[n]Σ[k=1][k^2｛(2^(p[k])＋3^(q[k])｝]=n^3＋(3/2)n2^＋(1/2)n＋2である」

疑問点?@
どうして【n≧2】のときとする必要があるんでしょうか？
疑問点?A
【これにn=1を代入すると5となるのですべての自然数nに対して】はなんの確認なのでしょうか？
さっぱりです。
以上の２点について誰か分かる方教えてください。お願いします。

No.17721 - 2012/06/04(Mon) 08:02:29

☆ Re: 数列高２ / ヨッシー

(計算省略) の部分に、その疑問を解く鍵があります。

きっと、n=1 のときには、ありえない表現があると思います。
一番の可能性は、q[1]=1,q[n]=0(n=2,3,4・・・) のように、
n=1 と n≧2 とで q[n] の値が違う所です。
そして導かれた n^3＋(3/2)n2^＋(1/2)n＋2 は、n≧2 の時に
成り立つ式であり、n=1 の時に成り立つかはわかりませんので、
n=1 の時も成り立つことを確認します。

マークシートでは、そういうことはありませんが、記述式で、
もし、n=1 のときに成り立たなければ、
　n=1 のとき、Σ(・・・)=・・・
　n≧2 のとき、Σ(・・・)=・・・
という答え方になります。

No.17722 - 2012/06/04(Mon) 09:17:58

★ 合成関数の問題 / のん

問題　関数f(x)=ax(1-x)がある。ただし、a>0とする。
(1)f(x)=xを満たす正の数xが存在するときのaの値の範囲を求めよ。
(2)f(f(x))=xを満たす正の数xがちょうど２個存在する場合はあるか。

横浜国立大学の問題です。

(1)は解けました。
(2)の模範解答は以下の通りで、２つ質問があります。

f(f(x))=xより　af(x)｛1-f(x)｝=x
これより　a^2*x(1-x)(1-ax+ax^2)=x
x｛a^3*x^3-2a^3*x^2+a^2(a+1)x-a^2+1｝=0
ここで、方程式f(x)=xの解をx=αとすると、・・・Ｑ１
f(α)=αであるから
f(f(α))=f(α)=α
よって、x=αは方程式f(f(x))=xの解である。
(1)より、方程式の左辺はax-a+1で割り切れるから・・・Ｑ２
x(ax-a+1)｛a^2*x^2-(a^2+a)x+(a+1)｝=0
ここで、二次方程式a^2*x^2-(a^2+a)x+(a+1)=0・・・?@
の判別式をＤとすると
Ｄ=(a^2+a)^2-4a^2*(a+1)=a^2*(a+1)(a-3)
?@の２つの解をx1,x2とすると、a>0より
解と係数の関係を用いて
x1+x2=(a~2+a)/a^2>0
x1*x2=(a+1)/a^2>0
であるから、?@が実数解を持てばそれは正である。
また、?@がx=(a-1)/aを解に持つとすると
(a-1)^2-(a+1)(a-1)+a+1=0
これより、-a+3=0となり a=3
このとき　Ｄ=0となり、?@はx=(a-1)/aを重解にもつ。
これらより、f(f(x))=x の正の解の個数は
01<a<3のとき　１個
a=3のとき　１個
a>3のとき　３個
したがって、f(f(x))=xを満たす正の数xがちょうど２個
存在する場合はない。

Ｑ１の行については、なぜこのように置くのかがわかりません。

Ｑ２の行については、なぜ左辺がax-a+1で割り切れるかわかりません。

根本的なところから解っていないと思います。詳しく教えていただけると助かります。よろしくお願いいたします。

No.17713 - 2012/06/03(Sun) 15:58:50

☆ Re: 合成関数の問題 / X

>>x{a^3*x^3-2a^3*x^2+a^2(a+1)x-a^2+1}=0
を解く際に{}内を因数定理を使って、因数分解するわけですが、
その際には当然
f(f(x))=x
つまり
f(f(x))-x=0
のx≠0なる解の一つ、が分からないと先に進めません。
で、このQ1～Q2で言いたいことは何かというと

f(x)=xの解はf((x))=x、つまりf(f(x))-x=0の解である。
よってf(x)=xの解をx=αと置くと
因数定理によりf(f(x))-xはx-αで割り切れる。

ということです。
要するにQ1でf(x)=xはf((x))=xの解の一つを求める手段と
して持って来たに過ぎません。
ですのでどうしてもf(x)=xを使って解かなくてはいけないと
いう類のものではないことを言っておきます。
(解法としては確かに美しいですが。)

その上でf(x)=xを解いて、解の一つが
x=(a-1)/a
であることから、割る式の定数倍も考慮すると
f(f(x))-xはa{x-(a-1)/a}で割り切れる
つまり
f(f(x))-xはax-a+1で割り切れる
となります。

No.17714 - 2012/06/03(Sun) 18:00:07

☆ Re: 合成関数の問題 / のん

ありがとうございます。因数定理思い出しました。

f(f(x))=x
つまり、f(f(x))-x=0 の左辺がx-αで割り切れることと、
(1)より、f(x)=0の解が　x=(a-1)/a であることまでは
わかりました。

そこでまた質問なのですが、「割る式の定数倍も考慮すると」という部分がわかりません。

定数倍しても割り切れるとは一般的にはどういうことをいうのでしょうか。また、簡単な具体例も知りたいのですが、よろしくお願いいたします。

No.17720 - 2012/06/03(Sun) 22:01:09

☆ Re: 合成関数の問題 / X

例えば
f(x)=x^2-3x+2
であるとき
f(1)=0
ですのでf(x)はx-1を因数に持ちます。
実際
f(x)=(x-1)(x-2)
しかしながらこれは
f(x)={2(x-1)}{(1/2)(x-2)}
とも変形できますので
f(x)は2(x-1)で割り切れる
ともいえます。

もっと簡単に言うと、一般に整式は0以外の定数で
割り切れる、ということです。

No.17724 - 2012/06/04(Mon) 11:04:52

☆ Re: 合成関数の問題 / のん

わかりやすい解説、大変感謝しております。
ありがとうございました。

No.17736 - 2012/06/05(Tue) 20:29:27

★ 高１数学 / ヨシオ

高校数学がわかりません。

三角形ABCの3つの内角∠A,∠B,∠Cの大きさをそれぞれA,B,Cとするとき、sinA:sinB:sinC=2:3:4であり、AB=2である。
このとき三角形ABCの外接円の半径はアであり、BC=イ CA=ウである。
cosA、cosB,cosCの値のうち最大値はエであり、sinA,sinB,sinCの値のうち最大値はオである。

とりあえずaとbとcの比がほしいのですがどうやって求めたらよいのかわかりません。
a/sinA ： b/sinB ： c/sinC＝(1/k) (kは実数)とすると、
sinA/a : sinB/b :sinC/c =kだから
sinA=ka sinB=kb sinC=kc
sinA:sinB:sinC=2:3:4なので
sinA:sinB:sinC=ka:kb:kc=2:3:4
ここで手がとまってしまいました。
kで割ってしまうとa:b:c=2/k:3/k:4/kとなっておかしいですよね；どうすればよいんでしょうか。
小学生の頃、比でつまづいて以来比が苦手です；
誰か分かる方教えてください。お願いします。

No.17696 - 2012/06/02(Sat) 22:18:20

☆ Re: 高１数学 / ヨッシー

2:4:6 は、全部２で割って、1:2:3 として良い、あるいは、
1:2:3 を 2:4:6 や 3:6:9 にして良いように、
a:b:c=2/k:3/k:4/k も、全部ｋを掛けて、2:3:4 にして良いのです。

No.17698 - 2012/06/02(Sat) 22:48:20

☆ Re: 高１数学 / ITVISION

ヨシオさんへ。＞
三角形ABCの外接円の半径をＲとしたとき正弦定理はどう書けますか？

a/sinA ： b/sinB ： c/sinC＝(1/k)　という比例式（の表現）はおかしいです。
a/sinA ＝ b/sinB ＝ c/sinC＝(1/k)　ではないですか？

比のことは、ヨッシーさんが回答しておられましたね。

No.17699 - 2012/06/02(Sat) 22:49:22

★ (No Subject) / DJ１

一般に行列B＝(（x1 x2)(x2 y2))(例((a b)(c d))の行列式はad-bc))について
B^-1が存在しない
⇔ｘ１ｙ２－ｘ２ｙ２＝０
⇔（x1 y1)平行（ｘ２　ｙ２）（一方が０ベクトルの時を含む）

とありましたが
ｘ１ｙ２－ｘ２ｙ１＝０・・?@
⇔（x1 y1)平行（ｘ２　ｙ２）（一方が０ベクトルの時を含む）
の一番簡単でごまかしの無い証明法を教えてください。
ｙ１ｙ２≠０のとき?@の両辺をｙ１ｙ２で割って～
ｙ１ｙ２＝０のとき～

などとも考えてはみましたが上手く行きませんでした

どなたかよろしくおねがいします

No.17692 - 2012/06/02(Sat) 20:38:42

☆ Re: / X

(i)y[1]y[2]≠0のとき
証明方針に問題はないようなので省略します。
(ii)y[1]y[2]=0のとき
細かい場合分けが必要ですが、
x[1]y[2]-y[2]x[1]=0
と連立させると、どの場合分けについても
↑a=0、↑b=↑0のいずれかが成立します。
(但し↑a=(x[1],y[1]),↑b=(x[2],y[2]))
後は例えば↑a=↑0とすると
↑a=0・↑b
ということで
↑a//↑b
が成立します。

No.17704 - 2012/06/03(Sun) 09:22:15

☆ Re: / ITVISION

> 一般に行列B＝(（x1 x2)(x2 y2))(例((a b)(c d))の行列式はad-bc))について
> B^-1が存在しない
> ⇔ｘ１ｙ２－ｘ２ｙ２＝０
> ⇔（x1 y1)平行（ｘ２　ｙ２）（一方が０ベクトルの時を含む）
>
> とありましたが
> ｘ１ｙ２－ｘ２ｙ１＝０・・?@
> ⇔（x1 y1)平行（ｘ２　ｙ２）（一方が０ベクトルの時を含む）

DJ１さん、記入ミスがいくつかあるようです。
まず問題や模範解答を正確に転記されることが重要だと思います。（まれにはテキストに誤植があることもありますが）

No.17705 - 2012/06/03(Sun) 09:25:59

☆ Re: / DJ1

確かにB＝(（x1 ｙ１)(x2 y2))
でした、申し訳ありません。

y[1]y[2]=0のとき
細かい場合分けが必要ですが、
x[1]y[2]-y[2]x[1]=0
と連立させると、どの場合分けについても
↑a=0、↑b=↑0のいずれかが成立
について、
どういう場合わけをし、どのように連立させたのか知りたいです。

x[1]y[2]-y[2]x[1]=0はこれであっているのでしょうか？
x[1]y[2]-ｘ[2]ｙ[1]=0でしょうか？

No.17707 - 2012/06/03(Sun) 09:59:35

☆ Re: / X

y[1]y[2]=0のとき
次の二つに場合分けされます。
(i)y[1]=0のとき
(ii)y[2]=0のとき
(i)について
x[1]y[2]-x[2]y[1]=0
より
x[1]y[2]=0
よって更にここから
(I)x[1]=0のとき
(II)y[2]=0のとき
に場合分けされます。
(ii)についても同様です。

それと、ごめんなさい。(II)の場合は↑e=(1,0)としたとき
↑a//↑e,↑b//↑e
が証明できることから
↑a//↑b
が成立する、という手順をふみます。

No.17716 - 2012/06/03(Sun) 19:02:25