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★ 絶対値の不等式 / 犬好きオヤジ
aを正の実数とする。|x-a|≦2aであることは、-2≦x≦5であるための十分条件となるような定数aの値の範囲を求めよ。
という問題で、x-aの部分を英正と負に場合分けして見たのですが、それ以降どう解いていったらよいかわかりません。解等には0＜a≦5/3とあるのですが、2≦aという解も出たのですが、なぜ初めの解等だけなのかの理屈がわかりません。解説をお願いできないでしょうか。
No.17320 - 2012/04/04(Wed) 20:01:49
☆ Re: 絶対値の不等式 / ヨッシー
|x-a|≦2a を解いて得られるｘの範囲が、-2≦x≦5 に
すっぽり入るようなａの範囲を求めよ、という問題です。

ｘ＜ａ のとき |ｘ−ａ|＝ａ−ｘ であるので、
　ａ−ｘ≦２ａ　より　ｘ≧−ａ
　よって、−ａ≦ｘ＜ａ　・・・(i)
ｘ≧ａ のとき |ｘ−ａ|＝ｘ−ａ　であるので、
　ｘ−ａ≦２ａ　より　ｘ≦３ａ
　よって、ａ≦ｘ≦３ａ　・・・(ii)
(i)(ii) より　−ａ≦ｘ≦３ａ
このａにいろんな正の数を代入して、
　-0.1≦ｘ≦0.3
　-0.2≦ｘ≦0.6
　−１≦ｘ≦３
などを作っていくとき、−２≦ｘ≦５ に収まるギリギリの所は、
上限が５に一致する、
　-5/3≦ｘ≦５
であり、このときがａの最大値 5/3 です。
よって、０＜ａ≦5/3 となります。
ａが 5/3 を超えると、５を超えるｘや、−２未満のｘでも、
　|x-a|≦2a
が成り立つようになります。たとえば、ａ＝２ では、ｘ＝６
でも、|６−２|≦４ が成り立ちます。
No.17321 - 2012/04/04(Wed) 22:23:49
☆ Re: 絶対値の不等式 / 犬好きオヤジ
ヨッシーさんありがとうございました。とてもわかりやすく、納得できました。
No.17324 - 2012/04/05(Thu) 13:28:20
★ 三角方程式 / Xex(高2)
sin(2θ-π/3)=-1/2 (0≦θ<2π)みたいにθの一次式がある三角方程式について。
解):sin(θ)が0から2πの範囲内で-1/2となるのは
θが4π/3か5π/3となる時だから
2θ-π/3=4π/3,5π/3
2θ=5π/3,6π/3
∴θ=5π/6,π
この解き方が間違っている理由を教えてください。
No.17313 - 2012/04/02(Mon) 18:34:59
☆ Re: 三角方程式 / X
0≦θ<2π (A)
はθの値の範囲であって
2θ-π/3
の値の範囲ではありません。
(A)より
-π/3≦2θ-π/3<11π/3
この範囲で
sin(2θ-π/3)=-1/2
を満たす2θ-π/3の値をまず求めましょう。
No.17316 - 2012/04/02(Mon) 18:43:58
☆ Re: 三角方程式 / Xex(高2)
返信遅れてすみません。
失礼ですが、ますます分からなくなりました。
なぜ解の可能な範囲にマイナスの角度や2πより大きいものが出てくるのですか? 解が2つより多くあるのですか?
自分の答えが間違っているのは確かです。
No.17318 - 2012/04/04(Wed) 18:29:52
☆ Re: 三角方程式 / ヨッシー
「解の可能な範囲に」マイナスがあるのではなく、
「2θ-π/3の範囲に」マイナスがあるのです。

>sin(θ)が0から2πの範囲内で-1/2となるのは
>θが4π/3か5π/3となる時だから
ここも違いますね。もし、0≦θ＜2π の範囲で考えるとしても、
sinθ＝-1/2 の解は、θ＝7π/6, 11π/6 です。

さらに、2θ−π/3 の範囲は、 -π/3≦2θ-π/3<11π/3　と
2θ-π/3 の移動範囲は、4π つまり2回転分あるので、
解は普通４つあります。

sinθ＝1/2　-2π≦θ＜2π の解が　θ＝-5π/6, -π/6, 7π/6, 11π/6 の
４個あるのと同じです。
No.17319 - 2012/04/04(Wed) 19:07:53
☆ Re: 三角方程式 / Xex(高2)
解):この方程式で2θ-π/3の範囲内で-1/2となるのを求める必要があるのですか?ならば-π/6と19π/6が加わって
sin(2θ-π/3)=-1/2
2θ-π/3="-π/6" 7π/6 11π/6 "19π/6"
2θ=π/6 3π/2 13π/6 7π/2
∴θ=π/12 3π/4 13π/12 7π/4
でいいのですか?
自分が最初に出した答えは(まぁ間違っていましたが)0≦2θ-π/3<2πの範囲で出したということ?
No.17323 - 2012/04/05(Thu) 11:01:35
☆ Re: 三角方程式 / ヨッシー
>∴θ=π/12 3π/4 13π/12 7π/4
>でいいのですか?
それでいいのです。

最初の解答は、強いて言えば、
0≦2θ-π/3<2πの範囲で
　sin(2θ-π/3)=-√3/2
を解いたものです。
No.17326 - 2012/04/05(Thu) 15:36:10
★ ログの方程式について / しぶき
Xの方程式　㏒[2](X+1)+㏒[2](3-X)＝㏒[2](ｍ^2-2m)…?@
について、次の問いに答えよ。ただし、ｍは定数とする。

(問)?@が２つの異なる実数解をもち、それをα，βとするとき、
　　2＾α+2＾β＝5となるように、ｍの値を求めよ。

２＾α＋２＾β＝５の式の扱いがわかりません。
教えてくださいm(__)m
No.17311 - 2012/04/02(Mon) 15:34:28
☆ Re: ログの方程式について / X
まず問題の方程式(1)を変形すると、xの二次方程式になりますので
解と係数の関係により
α+β=… (A)
次に
2^α=a,2^β=b
と置くと
a+b=5 (B)
又(A)により
ab=2^(α+β)=… (C)
(B)(C)よりa,bはtの二次方程式
t^2-5t+…=0 (D)
の二つの解となります。
(D)を解いて
t=…
となりますから…
No.17315 - 2012/04/02(Mon) 18:38:53
★ 高2　微分積分 / れいひゃー
次の関数をxで微分せよ

1、y^2＝x＋3

2、y^2＝4x

3、xy＝1

4、x^2＋y^2＝1


答えは
1、dy/dx＝±1/(2√(x+3))

2、y´＝2/y

3、ｙ´＝−y/x

4、y＝-x/y



です

1は　x＝y^2-3　と変形してから
dx/dy＝1/2y　で
yに　y＝2√(x+3)　を代入しているのに

2は、2yy´＝4　で
y´＝2/y
で終わって、yに代入していないのは何故ですか？
3、4も2と同じ様にしているのはどうしてなのでしょう？
1の様にといてはいけないのですか？
No.17307 - 2012/04/01(Sun) 18:39:19
☆ Re: 高2　微分積分 / X
問題文には「xで微分せよ」とは書いてありますが
y'をxの式で表せとは書いてありません。
ですので(1)は
y'=1/(2y)
でも正解です。
No.17312 - 2012/04/02(Mon) 18:23:05
★ 高3、四角錐の体積 / モホロビチッチ
底面が１辺aの正方形で高さがhの四角錐の体積?Xは
?X=(1/3)*(a^2)*hとなることを示せ。

底面をxy平面におき，平面z=kで切った断面積が
１辺a*(h-k)/hの正方形であることを利用して　
Ｓ(k)={a*(h-k)/h}＾2とし、
?X=∫[0→h]Ｓ(k)dkを求める様ですが、2つ疑問があります。




正方形の中心と頂点を結ぶ直線が底面と垂直な直四角錐の場合は、各断面が正方形になるのはわかるのですがそうでない場合、各断面が正方形になることはどのように分かるのでしょうか？？またそれを証明する必要はありますか？？
（断面の四角形の1辺はすべてa*(h-k)/hで等しいから、
ひし形になることまでは分かるのですが・・・）

教えてください、お願いします。
No.17304 - 2012/04/01(Sun) 16:20:33
☆ Re: 高3、四角錐の体積 / らすかる
上から見た図で考えれば図形の相似からわかります。
ほとんど明らかですから、証明する必要はないと思います。
No.17305 - 2012/04/01(Sun) 17:35:00
☆ Re: 高3、四角錐の体積 / モホロビチッチ
亀ですいません。
らすかるさんありがとうございました（＾▽＾）
No.17317 - 2012/04/03(Tue) 13:22:41
★ 内接する条件 / ぶうー
方程式x^2+y^2-4y+2=0で定義される円Cを考える
点A(-√２，０）と原点を通り、、円Cに内接する円の中心座標を求めよ。

2円が外接する場合は図より(-√2/2、,0)と分かりますが
内接の場合がどうしても分かりません。
円Cと内接する円をC2（C2は題意の2点で交わるのでCを含むように内接する）とすると図を書けば中心の座標は
ｘ＝−√2/2ということは分かりますが。。

解答がないのでどなたか分かる方教えてください。よろしくおねがいします
No.17301 - 2012/04/01(Sun) 03:38:50
☆ Re: 内接する条件 / らすかる
内接する円の中心のx座標が-√2/2で、内接する円は原点を通りますので、
内接する円の方程式は x^2+(√2)x+y^2+ay=0 とおけます。
円Cの式とこの式からxを消去すると
(a^2+8a+18)y^2-(4a+24)y+8=0
判別式D/4=-4a(a+4)=0を解いて a=0,-4
a=0は外接の場合なのでa=-4が内接。
よって中心座標は(-√2/2,2)となります。
No.17302 - 2012/04/01(Sun) 12:08:48
★ 中学数学　因数分解 / もこもこ
１　X²＋XY-２X＋３Y−１５

２　３X²＋XYー２ｙ²＋６X＋ｙ＋３

を教えてください。
No.17300 - 2012/04/01(Sun) 01:18:15
☆ Re: 中学数学　因数分解 / はにゃーん
大文字と小文字は区別するので記述するときは統一しましょう。

1.
X^2 + YX - 2X + 3Y - 15
= X^2 + (Y - 2)X + 3(Y - 5)

x^2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)
なので今回はa = 3, b = Y - 5と見れば

(X + 3)(X + Y - 5)
となります。

2.同様に
3X^2 + XY - 2Y^2 + 6X + Y + 3
= 3X^2 + (Y + 6)X - 2Y^2 + Y + 3
= 3X^2 + (Y + 6)X - (2Y - 3)(Y + 1)
= (3X - 2Y + 3)(X + Y + 1)
No.17303 - 2012/04/01(Sun) 12:09:24
★ 順列組合せ（数学検定２級） / のんです
問題　Σ_[r=0,n](nCr)^2をｎの式で表しなさい。

解説を読んでも全くわかりません。

模範解答には、
［考え方］として、二項定理を用いて、与式は(1+x)^2nのx^nの係数に等しい。
とあり、
［解答］は、
二項定理(1+x)^n=Σ_[r=0,n]nCr*x^r=Σ_[s=0,n]nCn-s*x^n-s
を掛けると
(1+x)^2n=(Σ_[r=0,n]nCr*x^r)(Σ_[s=0,n]nCn-s*x^n-s)を展開して、s=rの項を考えると、
それはx^nの係数である。
それはΣ_[r=0,n]nCr*nCn-r=Σ_[r=0,n](nCr)^2に等しく
2nCn=(2n)!/(n!)^2と表される。

よろしくお願い致します。




No.17292 - 2012/03/28(Wed) 21:26:55
☆ Re: 順列組合せ（数学検定２級） / ヨッシー
簡単な例で見てみましょう。
　(x+1)^5＝5Ｃ0＋5Ｃ1ｘ＋5Ｃ2ｘ^2＋5Ｃ3ｘ^3＋5Ｃ4ｘ^4＋5Ｃ5ｘ^5
(x+1)^5＝5Ｃ0ｘ^5＋5Ｃ1ｘ^4＋5Ｃ2ｘ^3＋5Ｃ3ｘ^2＋5Ｃ4ｘ＋5Ｃ5
と書けます。
※上の解答より、nＣr＝nＣn-r を適用するのを早めています。
この２式を掛けて、
(x+1)^10＝(5Ｃ0＋5Ｃ1ｘ＋5Ｃ2ｘ^2＋5Ｃ3ｘ^3＋5Ｃ4ｘ^4＋5Ｃ5ｘ^5)(5Ｃ0ｘ^5＋5Ｃ1ｘ^4＋5Ｃ2ｘ^3＋5Ｃ3ｘ^2＋5Ｃ4ｘ＋5Ｃ5)
右辺で、ｘ^5 の項の係数を考えると、
　(5Ｃ0)^2＋(5Ｃ1)^2＋(5Ｃ2)^2＋(5Ｃ3)^2＋(5Ｃ4)^2＋(5Ｃ5)^2＝Σ(5Ｃr)^2
となります。
一方、(1+x)^10 のｘ^5 の係数は 10Ｃ5 です。

これを一般化すると、上のようになります。
No.17293 - 2012/03/28(Wed) 22:33:18
☆ Re: 順列組合せ（数学検定２級） / のんです
お礼が遅れて申し訳ありません。

具体例を用いて一般的な形から理解できました。ありがとうございました。
No.17306 - 2012/04/01(Sun) 18:10:33
★ ゴロ / てぃん
sin15°＝√６-√２/4
をゴロで暗記したいのですが何か言い語呂合わせはないでしょうか？色々募集します！
以後ろにし、とかですね。意味が分からないので不採用ですが・・
No.17289 - 2012/03/28(Wed) 18:16:29
☆ Re: ゴロ / らすかる
↓こちらにいろいろありました。
http://www.d2.dion.ne.jp/~hmurata/goro/suugaku.html
No.17295 - 2012/03/29(Thu) 10:31:39
☆ Re: ゴロ / ヨッシー
鯉は ジュースを与えると濁るので弱る。
は笑えますね。
全然、暗記に役立ちそうもないゴロが多いですが。

私はむしろ、意味がない言葉で覚えてましたね。
ネカズンザースンネドイド水銀：原子番号１０の倍数の元素
やみうひうふかしおてさい：１２星座
サコサパサ、コササピサ、コココパコ、ササコピコペッ：さて何でしょう？
No.17296 - 2012/03/29(Thu) 14:02:19
☆ Re: ゴロ / 4月から高校3年
> サコサパサ、コササピサ、コココパコ、ササコピコペッ：さて何でしょう？

僕は
シッコシタシ
コッシシマッシ
コッココタッコ
シンシンフコフコ
ですｗｗ


日本史選択者には
イクヤマイマイ…：歴代総理大臣
という王道があります
No.17297 - 2012/03/29(Thu) 23:00:40
☆ Re: ゴロ / らすかる
私が暗記しているあまり役に立たないもの
（数学とは関係ありません）

ああいえおかきこしししすすせたちちとなねぶみめ

# 元素周期表は中学の時にそのまんま
# 「水素ヘリウムリチウムベリリウム・・・ローレンシウム」
# と覚えました。
No.17298 - 2012/03/31(Sat) 00:43:48
★ 確率 / JOY
7個の箱を選んで7個のボールを入れる。
このとき、縦・横・斜めのいずれか一列に3個のボールが並んだら、一列につき１点を得るものとする。
例えば、1,2,3,4,5,8,9の番号がついた箱を選んだときは３点となる。

?@?A?B
?C?D?E
?F?G?H

(1)得点が５点である確率を求めよ。

という問題で全事象を9個の箱から７個の箱の選び方は9C7=36通り
としているのですが、問題文には「7個の箱を選んで7個のボールを入れる。」と書いています。
確率の問題ではすべてのものを区別することが原則なので当然7個の箱も7個のボールも区別されます。
今、箱は?@?A?B?C?D?E?F?G?Hと区別がされているので
ボールの方もa,b,c,d,e,f,gとします。
すると、まず7個の箱を選ぶときは９個ある箱から７個選ぶので9C7は問題ないと思います。
たとえば?@?A?B?C?D?E?Fの箱が選ばれたとします。
するとこんどは、この箱に7個のボールを入れるので7!通りです。
なので全事象は9C7×7!=9P7
だと思ったのですがどうして違うのでしょうか？
誰か分かる方教えてください。お願いします。
No.17285 - 2012/03/28(Wed) 01:19:50
☆ Re: 確率 / rtz
別にどちらでもいいですよ。

例えば問題文中の、
＞1,2,3,4,5,8,9の番号がついた箱を選んだときは３点
の場合、
ボール自体を区別しなければ上の1通りですが、
ボールを全て区別するなら、7!通りあります。

ただ、各パターンごとに7!通りあるわけで、
確率の場合、分母にも分子にも7!がかけられて結局消えますから、
それなら、ボールには区別がないと考えても結局は一緒になるよね、ということです。
No.17286 - 2012/03/28(Wed) 01:34:07
★ 早稲田文系08 / るしだ
f(x)＝Σ[k=1〜100]|kx‐1|＝|x‐1|＋|2x‐1|＋|3x‐1|＋‥‥＋|100x‐1|を最小にするxの値を求めよ。
という問題で
x≧1のとき絶対値の中身は正or0
というのはわかるんですが
絶対値の中身が負になるときと
絶対値の中身が正と負の交互になるときの場合分けがわかりません。
回答には
{1/(i＋1)}≦x≦{(1/i)}のとき絶対値の中身は正と負の両方がでてくる。とあるのですが
どうしてこのような形で表せるんですか？
発想の根拠が知りたいです。
また、問題の答がないので誰か教えてください。よろしくお願いします。
No.17280 - 2012/03/27(Tue) 12:54:00
☆ Re: 早稲田文系08 / X
a[k]=kx-1
と置くと
f(x)=Σ[k=1〜100]|a[k]|
(i)k=1,…,100に対し、a[k]＞0のとき
1/k＜x(k=1,…,100)
ですので
1＜x
f(x)=Σ[k=1〜100]a[k]=…
(ii)k=1,…,100に対し、a[k]＜0のとき
x＜1/k(k=1,…,100)
ですので
x＜1/100
このとき
f(x)=-Σ[k=1〜100]a[k]=…
(iii)(i)(ii)以外、つまり1/100≦x≦1のとき
0＜xですのでa[k]はkに関して単調増加になります。
よって
k≦iのときa[k]≦0
i+1≦kのとき0≦a[k]
となるようなiを考えることができます。
このとき
ix-1≦0
0≦(i+1)-1
これより
1/(i+1)≦x≦1/i
このとき
f(x)=-Σ[k=1〜i]a[k]+Σ[k=i+1〜100]a[k]
=…
となります。

後は(i)(ii)(iii)の結果を元に、境界となっている
x=1/k(k=1,…,100)
のときのf(x)の値、つまり
ｆ(1/k)(k=1,…,100)
の値の大小関係を考えます。
これらのうち、最も小さい値に対するxの値が求める値
となります。
No.17282 - 2012/03/27(Tue) 13:41:39
☆ Re: 早稲田文系08 / るしだ
「よって
k≦iのときa[k]≦0
i+1≦kのとき0≦a[k]
となるようなiを考えることができます。」
k≦iということはa[i]=ix-1となり、さらに
a[k]=kx-1の傾きより急ということですよね？
状況がいまいち掴めません；
k≦iのときa[k]≦0とは一体
i+1≦kのとき0≦a[k]とは一体どういうことなんでしょうか？
また、「ix-1≦0
0≦(i+1)-1
これより
1/(i+1)≦x≦1/i
このとき
f(x)=-Σ[k=1〜i]a[k]+Σ[k=i+1〜100]a[k]
=…
となります。」
この式変形がよくわかりません＞＜
理解力がないのでもう少しお付き合いよろしくお願いいたします。
No.17284 - 2012/03/27(Tue) 21:33:41
☆ Re: 早稲田文系08 / ヨッシー
たとえば、x=0.11 だとすると、
　x-1,2x-1,3x-1,・・・9x-1 までは負で
　10x-1 以降は正となります。
つまり、k≦9 のとき a[k]≦0 で、k≧9+1 のとき a[k]≧0 で、
この場合のｉは９です。

すると、f(x) の計算は、
k=1〜9 は −a[k] を足し、k=10〜100 は a[k] を足すことになります。
No.17288 - 2012/03/28(Wed) 10:54:41
★ ブンケイすうがく / 恨めし
数列{a[n]}をa[1]=1/2,a[n＋1]=1-a[n]^2(n=1,2,3・・・)
(1)0<a[2n-1]≦1/2を示せ
という問題を数学的帰納法で解いたのですが
n=1のときは成り立ち
n=kを仮定したとき
n=k＋1も成り立つことを示すと
示すべき式は0<a[(2k＋1)-1]≦1/2です。
結果的に0<a[(2k＋1)-1]≦7/16<1/2となったのですが
示すべき式のa[(2k＋1)-1]には1/2が含まれていますが
帰納法で示した結果0<a[(2k＋1)-1]≦7/16<1/2になりました。
これは成り立つとしてもよいんでしょうか？
誰か分かる方教えてください。お願いします。
No.17277 - 2012/03/27(Tue) 00:21:04
☆ Re: ブンケイすうがく / ヨッシー
「1/2が含まれています」というのは、
　0＜a[2n-1]≦1/2
では、a[2n-1]＝1/2 であることも許しているのに、実際は
a1 以外は全部 a[2n-1]＜1/2 だが良いのか？
ということでしょうか？

それは良いのです。

第一、a[1]＝1/2 であるわけですし、a[2n-1]＜1/2 は、
a[2n-1]≦1/2 より強い条件なので、a[2n-1]≦1/2 を満たしていると言えます。
No.17278 - 2012/03/27(Tue) 05:39:43
☆ Re: ブンケイすうがく / 恨めし
「第一、a[1]＝1/2 であるわけですし、a[2n-1]＜1/2 は、
a[2n-1]≦1/2 より強い条件なので・・・」
強い条件というのはどういうことなんでしょうか？
考えてみたのですが分からなかったのでお願いします。
No.17279 - 2012/03/27(Tue) 12:53:07
☆ Re: ブンケイすうがく / ヨッシー
厳しい条件といったほうが良いでしょうか？
a[2n-1]＜1/2　が成り立てば、　a[2n-1]≦1/2　は
必ず成り立つ、という意味です。
No.17283 - 2012/03/27(Tue) 19:14:56
★ ★数量関係のグラフの問題 / 夕凪
ヨッシーさん、こんばんわ(o^-^o) 。

いつも丁寧で解りやすい解説、どうも有り難うございます。

また同じような問題ですが、どうかよろしくお願い致します。

解るところまで、考えてみましたが、やっぱり難しいですー(>.<)。

画像添付していますので、よろしくお願い致します(*^.^*)。

?@グラフからAとB合わせて９分で３０cm入ってるから、３０cmまでの体積は、１２０×８０×３０＝２８８０００cm3→２８８ℓ

９分で２８８ℓ入るので、１分では、２８８÷９＝３２ℓ


?@は、こんな考え方で合っていますか？


?Aは、ちょっと解りませんが、グラフから読み取れる事を書き出してみました。


グラフからAのじゃ口側のグラフは、グラフが折れ曲がるまで、４分で３０cm入ってます。

Bのじゃ口側のグラフは、グラフが折れ曲がるまで、４分で５cm入っています。


Aだけ個別に１分間に出る水の量を求めようとするにも、この真ん中の仕切りは、何cmのところに入れてるのかが解りません。あと、グラフのAとBが折れ曲がってるのは、何か意味（変化）があるんですよね？それが、何か解りませんが、Bが折れ曲がってるのは、もしかして、仕切りを越えたという事ですか？

?Bは、だいぶ考えたけど、解りません(>.<)。

どうか、解りやすく何かヒントか解き方を教えて頂ければ、うれしいです(o^-^o)

それでは、よろしくお願い致します。
No.17275 - 2012/03/26(Mon) 22:36:42
☆ Re: ★数量関係のグラフの問題 / X
(1)
それで合っています。

(2)
A,Bのじゃ口で同じ４分間にそれぞれ３０ｃｍ、５ｃｍ入りますので
30÷5=6
で６倍となります。

(3)
(2)の結果を使って、Aのじゃ口から出る水の量と、
A,B両方のじゃ口から出る量との割合を考えてみましょう。
後はそれを(1)の結果に掛け算すれば求められますね。
No.17276 - 2012/03/26(Mon) 22:52:57
☆ Re: ★数量関係のグラフの問題 / 夕凪
X様、はじめまして(o^-^o)。

返信遅くなって、申し訳ありません(。-人-。) 。

回答して頂いて、どうもありがとうございました。

?@は、この考え方で合っていたのですね(o^-^o) 。

それで、?Aの問題なのですが、実は解答の方を確認すると、
６倍ではなく、３倍となっています。解答を読んでるのですが、ちょっと私には、解りません(>.<)。

もしかして、最初の４分間だけで、判断してはいけないのでしょうか？他に考えられる事があれば、教えて頂けないでしょうか？

?Bは、それからもう１回X様の解説を読んで、考えてみたいと思いますので、よろしくお願い致します。
No.17290 - 2012/03/28(Wed) 21:13:07
☆ Re: ★数量関係のグラフの問題 / X
(2)
ごめんなさい。仕切りが容器の中央につけられているものと
思い込んで計算していました。

仕切りを挟んで、じゃ口Bに近い側の部分に水が入る間を
考えてみます。
グラフを見ると
9-4=5[分]
の間にA,Bからの水で
30[cm]-5[cm]=25[cm]
入ることが分かりますので、１分間に
25÷5=5[cm]
入っていることが分かります。
一方、最初の5分の間にBのみの水が入っていたときは
１分間に
5÷4=5/4[cm]
入っています。
よって、この部分に１分間にAの水は
5-5/4=15/4[cm]
入りますので
15/4÷5/4=3
ということで３倍となります。

(3)についてはNo.17276の考え方で問題ありません。
No.17294 - 2012/03/28(Wed) 23:48:19
☆ Re: ★数量関係のグラフの問題 / 夕凪
X様ー、こんにちわ(o^-^o)。

丁寧に解説して頂いて、どうもありがとうございます。

でも、もうちょっとっていうところで、解りません(>.<)。

もう少し質問させて下さい。

この部分から解りません(>.<)。

「よって、この部分に１分間にAの水は
5-5/4=15/4[cm]
入りますので
15/4÷5/4=3
ということで３倍となります。」


どうして、５cmから引くのでしょうか？

最初の5分の間にBのみの水が入っていたときは
１分間に5÷4=5/4[cm]というのは、解ります。１分間に5/4[cm]Bは入るけど、Aは、どうして５ｃｍから引いたら１分間に入る深さが求められるのですか？

なんか頭が混乱してきて、すいません(。-人-。) 。

また、宜しければ、解説お願い致します。
No.17299 - 2012/03/31(Sat) 11:19:16
☆ Re: ★数量関係のグラフの問題 / ヨッシー
例によって、グラフから読み取れることを書き上げてみます。

Ｂの蛇口からの水を、Ｂ側の部分に水を入れると、水位は４分間に５ｃｍ増える。
Ａの蛇口、Ｂの蛇口両方からの水を、Ｂ側の部分に水を入れると、水位は５分間に２５ｃｍ増える。

水位が増える速度を求めると、
Ｂの蛇口だけ：５÷４＝5/4(cm/分)
ＡとＢの両方：２５÷５＝５(cm/分)
なので、
Ａの蛇口だけで、Ｂ側の部分に入れると水位の上昇速度は、
　５−５／４＝１５／４
よって、Ａ(15/4) はＢ(5/4) の３倍となります。
No.17308 - 2012/04/01(Sun) 18:43:52
☆ Re: ★数量関係のグラフの問題 / 夕凪
ヨッシーさん、こんばんわ(o^-^o) 。

（２）の解説どうもありがとうございました。これは、すごく解りやすかったです(*^.^*)。

それで、（３）なんですが、Ａの蛇口から出る水の量が１５／４で、Ｂの蛇口から出る水の量が５／４で、

比率が１５／４：５／４＝３：１になり、?@のＡ，Ｂあわせて１分間に３２ℓ入ってるから、Ａの蛇口から出る水の量は、３２×３／４＝２４ℓ

この考え方で合っていますか？

宜しければ、またご回答よろしくお願い致します。
No.17309 - 2012/04/01(Sun) 23:28:57
☆ Re: ★数量関係のグラフの問題 / ヨッシー
それで合っています。
ただ、(2) で、ＡはＢの３倍、とわかっているので、即座に
　Ａの水量：Ｂの水量＝３：１
で良いです。
No.17310 - 2012/04/01(Sun) 23:41:05
☆ Re: ★数量関係のグラフの問題 / 夕凪
ヨッシーさん、やっと解りました(o^-^o) 。

解説どうもありがとうございました(*^.^*)。

また行き詰ったら、よろしくお願い致します。
No.17322 - 2012/04/04(Wed) 23:53:30
★ (No Subject) / うｂｈ
A,B,C,Dの４人がじゃんけんをして
Aが２回目で優勝する確率
（残りが一人だけになることを優勝とします）

を教えてください
No.17273 - 2012/03/26(Mon) 21:23:12
☆ Re: / ヨッシー
まず、全部の手の出し方は、１回につき 3^4＝81(通り)
(i)２種類の手だけでる場合（その１）
１人だけ違う手を出す場合。
Ａだけ違う、Ｂだけ違う、Ｃだけ違う、Ｄだけ違うの４通り。
グー１人にチョキ３人、グー１人にパー３人
チョキ１人にパー３人、チョキ１人にグー３人
パー１人にグー３人、パー１人にチョキ３人　の６通り。
あわせて、２４通り。
(ii)２種類の手だけでる場合（その２）
２人と２人に分かれる場合。
ＡＢ／ＣＤ、ＡＣ／ＢＤ、ＡＤ／ＢＣ　の３通り。
左がグー、右がチョキ
左がグー、右がパー
左がチョキ、右がパー
左がチョキ、右がグー
左がパー、右がグー
左がパー。右がチョキ　の６通り。
あわせて、１８通り。

(iii)
これ以外の３９通りはあいこ。

１回目(iii) で、２回目(i) でＡが勝つ
　39/81×3/81＝13/729
１回目(ii) でＡが勝ち、２回目２人でやってＡが勝つ
　9/81×1/3＝1/27
１回目(i) でＡが勝ち、２回目３人でやってＡだけが勝つ
　9/81×1/9＝1/81
全部足して、
　49/729
No.17274 - 2012/03/26(Mon) 22:12:22
★ 数学　微積 / きちんじょーじ
f(a)=∫[0→2]|x^2-(a＋1)x＋a|dxとする。ただし0≦a≦1とする。
このときf(a)を求めよ。
また、f(a)=17/24となるaの値を求めよ。

絶対値の中身が正の場合と負の場合で場合分け計算したら
どうしてもf(a)=定数
となってしまいます＾＾；
また0<a<1ならば
f(a)=∫[1→2](x-a)(x-1)dx+∫[a→1]-(x-a)(x-1)dx
+∫[0→a](x-a)(x-1)dx
というふうに分けて考える事もできると思うのですが
0≦a≦1とaには0と1も入るのでうまくいきません。
どうやってとけばいいんでしょうか？
誰か分かる方教えてください。お願いします。
No.17271 - 2012/03/26(Mon) 04:20:12
☆ Re: 数学　微積 / ヨッシー
>また0＜a＜1ならば　・・・　考える事「も」できる
ということは、0≦a≦1 だと、別の考え方をするということでしょうか？なぜ、
>aには0と1も入るのでうまくいきません
なのでしょう？

0≦a≦1 でも、
f(a)=∫[1→2](x-a)(x-1)dx+∫[a→1]{-(x-a)(x-1)}dx
+∫[0→a](x-a)(x-1)dx
で良いです。
No.17272 - 2012/03/26(Mon) 07:11:38
★ (No Subject) / えらんび
3sin2θ＋５cos２θ＋６（０≦θ≦π/2)の最小値って求まるのでしょうか？

√３４sin（2θ＋α）＋６
と変形できて
π/4<α＜π/2より
π/4＜2θ+α＜3/2π
でsin（2θ＋α）は
2θ+α＝π/2のとき最大ですが
2θ+α＜3/2πであるため、最小値が求められません。
というか最小値なし、が答えでは駄目なのでしょうか？

よろしくおねがいします
No.17268 - 2012/03/25(Sun) 22:34:35
☆ Re: / ヨッシー
αは、cosα＝3/√34，sinα＝5/√34 を満たす角です。
よって、2θ＋α の範囲および、sin(2θ＋α) の最大(max)、
最小(min) は、図のようになります。
No.17269 - 2012/03/25(Sun) 23:16:35
☆ Re: / えらんび
なるほど！０≦２θ≦πだからこそできる技ですね。
気づきませんでした、ありがとうございました。
No.17270 - 2012/03/26(Mon) 00:33:13
★ 確率 / きちんじょーじ
1から7までの番号が1つずつ書いてある7枚のカードの中から、1枚ずつ3回抜き出す試行を考える。ただし抜き出したカードはもとには戻さないものとする。この試行において、最後（3回目）に抜き出したカードの番号が1回目および2回目に抜き出したカードの番号より大きければ、最後に抜き出したカードの番号が得点として与えられ、それ以外の得点は０とする。

（１）最後に抜き出したカードの番号が3である確率はア/イであり、また、得点が3である確率はウ/エオカである。


（２）得点がk（3≦k≦7）である確率は(k-キ)(k-ク)/ケコサであり、得点が0である確率はシ/スである。ただし、キ＜クである。

(1)
AさんBさんCさんの３人がそれぞれこの順にカードを取り出すとする。
このとき３回目にカードを引くのはCさんなのでCさんが３の数字が書かれたカードを取り出す確率を求めればよい。
Aさん、Bさんの引いたカードがなんであろうがCが3の数字が書かれたカードを取り出す確率は1/7である。
得点が3である確率は(1回目,2回目,3回目)=(2,1,3)(1,2,3)の２通り
よって2/7P3=1/105
(2)
3回目にkがでて、
１回目と２回目には1〜k-1の数字が書かれたカードの中から２枚取り出せばいいから
(k-1)P2通り
よって、(k-1)(k-2)/210

３回目に取り出すカードが１のとき
１回目と２回目は２〜７から２枚とりだせばいいので取り出し方は6P2
３回目に取り出すカードが2のとき
１回目と２回目に３〜７から２枚取り出せばいいので取り出し方は5P2
以下３回目に取り出すカードが3のとき、4のとき、5のときとやっていくと
得点が0になる事象は6P2＋5P2＋4P2＋3P2＋2P2=70(通り)
よって得点が０になる確率は70/210=1/3

上記は自分の解答です。
(2)の答しかのっていなくて(k-1)(k-2)/210はあっていたのですが
得点が０になる確率が2/3でした。
なぜ2/3になるのでしょうか？
また(１)に関しては答がないので分かりませんでした。
誰か分かる方教えてください。お願いします。
No.17264 - 2012/03/25(Sun) 04:15:16
☆ Re: 確率 / ヨッシー
(1)
>Aさん、Bさんの引いたカードがなんであろうが
>Cが3の数字が書かれたカードを取り出す確率は1/7である。
は、乱暴すぎます。
Ａが３を引かない確率　6/7
そのときにＢが３を引かない確率　5/6
その上で、Ｃが３を引く確率　1/5
よって求める確率は、 6/7×5/6×1/5＝1/7
くらいは書かないといけません。
1/105 までのくだりはＯＫです。

(2)
>３回目に取り出すカードが2のとき
>１回目と２回目に３〜７から２枚取り出せばいいので取り出し方は5P2
これは誤りで、１回目か２回目の少なくとも１回に３以上を
引けばよい(どちらかで１を引いても良い)ので、それも加えないといけません。

前半で求めた　(k-1)(k-2)/210　をつかって、
得点３の確率　2/210
得点４の確率　6/210
得点５の確率　12/210
得点６の確率　20/210
得点７の確率　30/210　合わせて　70/210＝1/3
これ以外は得点０なので、その確率は　2/3

あるいは、すべての引き方210通りの中には、
　(1,2,3)(1,3,2)(2,1,3)(2,3,1)(3,1,2)(3,2,1)
のように、同じ３つの数を並べ替えたものが６つずつ存在します。
そのうち、得点となるものは２通り、得点０のものは４通りなので、
得点０の確率は　2/3

などの解き方があります。
No.17265 - 2012/03/25(Sun) 09:44:08
☆ Re: 確率 / きちんじょーじ
回答ありがとうございます。
もう一つ疑問が湧いてきたのですが
「3回目にkがでて、
１回目と２回目には1〜k-1の数字が書かれたカードの中から２枚取り出せばいいから
(k-1)P2通り
よって、(k-1)(k-2)/210」
としていますすが、
3回目にkがでるのは1通りで大丈夫なんでしょうか？
kは3〜7を取りうる値なので5通りとしなくてもいいんでしょうか？
少し混乱しています；
No.17266 - 2012/03/25(Sun) 15:52:28
☆ Re: 確率 / ヨッシー
サイコロを１回振ったとき、出た目がｋ以下になる確率は？
と聞かれたとき
　ｋ＝１ のときは１通り
　ｋ＝２ のときは２通り
　　・・・
　ｋ＝６ のときは６通り
よって、確率はｋ/６、ですね？つまり、ｋ＝１から順に
　1/6, 1/3, 1/2, 2/3, 5/6, 1

ｋは１〜６を取り得るので、６倍して・・・
とはしませんよね？
No.17267 - 2012/03/25(Sun) 16:06:39
★ 数学　恒等式 / きちんじょーじ
数学 分かりません

1/(x＋1)^2(x^2＋x＋1) ＝{ア/(x＋1)^2} ＋{イ/(x＋1)} ＋｛ウx＋ｴ/(x^2＋x＋1)}

ア、イ、ウ、エに入る数を求めよ。
という問題で
解答には1/(x＋1)^2(x^2＋x＋1) ＝{a/(x＋1)^2} ＋{b/(x＋1)} ＋｛cx＋d/(x^2＋x＋1)}・・・?@とおいてるのですが
部分分数分解について
「分母がA^2BCの形の場合は(分母より低次)/A^2BCを(a'/A^2)＋(a/A)＋(b/B)＋(c/C)と表せる。」と書いてあるので
この問題も実数p,q,rを使って
「{p/(x＋1)^2} ＋{q/(x＋1)} ＋｛r/(x^2＋x＋1)}・・・?Aと表せますよね？
実際これを使ってといてみたのですが答があいません。
なぜ?@ならよくて?Aではダメなんでしょうか？
数学苦手なので誰か教えてください。お願いします。
No.17260 - 2012/03/25(Sun) 02:13:56
☆ Re: 数学　恒等式 / X
>>「分母がA^2BCの形の〜と表せる。」
とありますがこれはA,B,Cが全て一次式の場合に限られます。
問題の場合
A=x+1,B=x^2+x+1,C=1
つまりBは二次式ですので上記の方針は使えません。
つまり(2)のように置くのは誤りです。
No.17262 - 2012/03/25(Sun) 03:49:47
☆ Re: 数学　恒等式 / X
ではこの問題の場合はどのように考えればよいかですが
まず問題の分数式を
(x+1)^2,x^2+x+1
の分母を持つ２つの分数式に分解することを考えます。
その際、分子の次数は分母の次数より１つ小さくなるよう
に置かなくてはなりません。
つまり分子は１次式になるということで
(与式)=(px+q)/(x+1)^2+(rx+s)/(x^2+x+1)
そうするとこの式の第一項は先程の
>>「分母がA^2BCの形の〜と表せる。」
が適用でき
(px+q)/(x+1)^2=a/(x+1)^2+b/(x+1)
の形に分解できますので全体では
(与式)=a/(x+1)^2+b/(x+1)+(rx+s)/(x^2+x+1)
と置くことができます。
No.17263 - 2012/03/25(Sun) 03:56:01
★ 数学初心者 / きちんじょーじ
f(x)=x^2-2mx＋2m＋3とする。
(1)xのどんな実数値に対してもf(x)>0が成り立つようなmの値の範囲を求めよ。
(2)0≦x≦4であるxのどんな値に対してもf(x)>0が成り立つようなmの値の範囲を求めよ。

(1)は単純に(判別式)<0であることを用いて-1<m<3・・・?@となりました。
(2)についてなんですが、自分は以下のように考えました。
「軸の位置x=mで場合分けする。
(i)m<0のとき
0≦x≦4の範囲で常にf(x)>0が成り立つためには
D≧0かつf(0)>0より-3/2(ii)m>4のとき
D≧0かつf(4)>0であるが
m>4を満たすmが存在しないので不適。
よって0≦x≦4の範囲で常にf(x)>0が成り立つ条件は(1)の結果?@と?Aより
-3/2となりました。
答はあっていたのですが解答とは違っていて
解答はm≦0のとき 0<m<4のとき m≧4のとき
とそれぞれ場合分けして考えていました。
このやり方も分かるのですが、
自分はm<1とm>4のそれぞれの範囲でグラフがx軸と２点で交わるor１点で接し、そのうえで0≦x≦4の範囲でつねにf(x)>0となる条件を反映させて求まった範囲に、(1)の結果を合わせればいいのではないか？と思ったのですがこれは合っているんでしょうか？
(1)の結果を使えば0≦x≦4とか関係なしにすべてのxに対してf(x)>0が成り立っているんで0≦m≦4の場合分けは不要だと思うのですが違うのでしょうか？
自分より数学のできる友達に聞いても間違っていると言われてしまい
どこが間違っているのかよく分からずじまいです＾＾；
誰か分かる方どこが間違っているのか教えてください。お願いします。
No.17258 - 2012/03/24(Sat) 00:22:13
☆ Re: 数学初心者 / ヨッシー
結論から言うと、考え方は正しいですが、伝わりきっていないですね。

普通は、ｍ＜０ のときはこう、０≦ｍ≦４ のときはこう、ｍ＞４ のときはこう、と
網羅して説明するのが一般的ですが、きちんじょーじさんの場合は、
すべてのｘについて成り立つ(1) の結果がまずあって、そこに
0≦x≦4 という条件を加えた場合、(1) の条件であった、Ｄ＜０ が
成り立たなくても、0≦x≦4 ならＯＫな場合を付け足そうという
発想ですね。

なので、普通は付けないＤ≧０ が付いているのだと、一晩おいて、
ようやく理解しました。
というくらい、伝わっていないです。

(2) の解答の冒頭に、
「0≦ｘ≦4 の範囲以外では、f(x)＞0 を満たさないが、0≦x≦4 では f(x)＞0 を満たすｍの範囲を、(1) で得られた
-1＜ｍ＜3 に追加することを考える。」
のようなことを書いておくと、理解されやすいでしょう。
No.17259 - 2012/03/24(Sat) 08:12:59
☆ Re: 数学初心者 / きちんじょーじ
ありがとうございました
No.17261 - 2012/03/25(Sun) 02:14:14
★ 数学　分からない / オン太朗
数学 分かりません

a,bを整数とする。３次方程式x^3+ax^2+bx-1=0・・・?@ は３つの実数解α,β,γ をもち、0<α<β<γ<3 で、α,β,γ のうちどれかは整数である。a,b を求めよ。
解答です。「?@の整数解のとりうる値はx=1or2です。
場合分けして考えてみると
(i)x=2のとき
2a＋b=-7/2となり、これはa,bが整数であるのに右辺が分数になっているのでおかしいので不適
(ii)x=1のとき
b=-aより
x^3＋ax^2-ax＋1=(x-1)｛x^2＋(a＋1)x＋1}=0
f(x)=(x-1)｛x^2＋(a＋1)x＋1}とおくと
0<α<β<γ<3より３つの解はそれぞれ異なるのでf(x)の2解も異なる解となるので【x≠1の異なる２つの実数解をもつ条件について0<x<3の範囲で考える。】」
【x≠1の異なる２つの実数解をもつ条件について0<x<3の範囲で考える。】の部分について自分の解釈があっているか教えてください。
考え得る場合は
0<1<β<γ<3・・・a
0<α<1<γ<3・・・b
0<α<β<1<3・・・c
の３通りあります。このそれぞれの場合を図に書いてみます。(?@とx軸が交わっている図です)
aについて
βとγはx≠1でなおかつ0<x<3の範囲にある
bについて
α、γはx≠1でなおかつ0<x<3の範囲にある
cについて
α、βはx≠1でなおかつ0<x<3の範囲にある

以上より、a,b,cに共通する条件は「x=1以外の残りの2解はx≠1でなおかつ0<x<3の範囲にあればよい」とすることができ
この条件を満たしさえすれば問題ないということでしょうか？
【共通する条件】を探して、それを満たしさえすればa,b,cを満たしていることになる。
こういう問題を解くときは【共通する条件】に着目するのも一つの手なんでしょうか？
数学がとても苦手なので理解にも時間がかかってしまいます＞＜；
誰か分かる方教えてください。お願いします
No.17255 - 2012/03/23(Fri) 01:30:20
☆ Re: 数学　分からない / X
その考え方で問題ありません。

実数解を具体的にα、β、γと与えているので却って難しく
見えますが、この問題は読み替えると、
問題の３次方程式(1)が次の条件を持つときの
a,bの値を求めることになります。
(i)異なる３つの実数解を持つこと
(値が異なれば大小関係ができます。)
(ii)３つの実数解は0より大きく3より小さいこと
(iii)３つの実数解のうち、1つは整数であること
No.17256 - 2012/03/23(Fri) 16:49:02
☆ Re: 数学　分からない / 豆
具体的な解き方ですが、x=1以外の解は
x^2＋(a＋1)x＋1=0
を満たす正数ですが、解と係数の関係から
2解の積は１なので、１の前後となり、
０＜α＜β=1＜γ＜3　　の関係になります。
1＜γ＜3　なので、1/3＜α＜1　となります。
２解の和を考えれば
1/3+1＜α+γ=-(a+1)＜1+3
よって、-5＜a＜-7/3
a=-4,-3に関して調べればよいですね。
No.17287 - 2012/03/28(Wed) 10:46:28
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