x>yならばx/y>1
は偽。その反例は、
x=1,y=0
以上のように書いた答案は正しいのでしょうか?
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No.17429 - 2012/04/19(Thu) 00:04:18
| ☆ Re: 反例 / X | | | No.17430 - 2012/04/19(Thu) 00:12:32 |
| ☆ Re: 反例 / ああ | | | ありがとうございます。
x=1,y=0は、x/y>1に代入できないので、よくないといわれたのですが。
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No.17431 - 2012/04/19(Thu) 00:24:47 |
| ☆ Re: 反例 / らすかる  | | | x=1,y=0のときx/yは未定義で真偽が判定できませんので
ダメだと思います。
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No.17432 - 2012/04/19(Thu) 16:19:51 |
| ☆ Re: 反例 / ああ | | | えーっ、Xさんとらすかるさんでご回答が違うと混乱します。
よろしければ他の方のご意見を伺えればと思います。
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No.17434 - 2012/04/19(Thu) 22:20:39 |
| ☆ Re: 反例 / angel | | | 私はらすかるさんの方を推します。
> x＞yならばx/y＞1
という時点で、「x/yが計算できる範囲(つまりy≠0)において」という暗黙の前提があると見るのが自然だからです。
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No.17437 - 2012/04/19(Thu) 23:59:54 |
| ☆ Re: 反例 / ああ | | | angelさん、ご意見いただきまことにありがとうございます。
実はまだ混乱しております。
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No.17438 - 2012/04/20(Fri) 00:24:43 |
| ☆ Re: 反例 / ああ | | | 別問題を考えました。
x≠yならばx/y≠1
これは真ですか、偽ですか？
真であるという方はその証明を、
偽であるという方はその反例をどうか教えてください。
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No.17440 - 2012/04/20(Fri) 03:07:41 |
| ☆ Re: 反例 / ヨッシー | | | それは真です。
対偶をとっても良いですが、まともにやるなら
ｘ＞ｙ のときにおいて
ｙ＜０ のとき ｘ／ｙ＜１
ｙ＞０ のとき ｘ／ｙ＞１
ｘ＜ｙ のときにおいて
ｙ＜０ のとき ｘ／ｙ＞１
ｙ＞０ のとき ｘ／ｙ＜１
いずれの場合も ｘ／ｙ≠１ である。
それより、最初の質問と、いくつかのやりとりで、
x=1,y=0 のように、ｙを０にするという発想は、排除できたのでしょうか？
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No.17441 - 2012/04/20(Fri) 07:12:47 |
| ☆ Re: 反例 / 黄桃 | | | 元の問題の例はいい例ではないと思います（「そんな重箱の隅のような例よりもっとはっきりした反例があるだろ」と突っ込みたくなる）が、間違いではないと思います。
x/yが未定義ということは少なくとも x/y>0 が真ではない、ということでしょう。
＃この反例を認めないと
＃「a,b,x が実数の時 ax=b ⇒ x=b/a 」
＃も真になりますが、さすがにまずい気がします。
＃＃命題に応じて、変数の動く範囲が変わるのでは、一般的な命題を扱う形式論理が使えなくなります。
別問題は常にヨッシーのおっしゃる通り真です。
＃ただし、「x,yが実数の時、x/y≠1 ならば x≠y」であれば x=1,y=0 が反例なので偽です。
＃x/y≠1 は「x/yは1でない」の意味であり、「x/yは1とは違う数である」を意味しないと思います。
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No.17442 - 2012/04/20(Fri) 07:51:57 |
| ☆ Re: 反例 / ああ | | | ヨッシー様。
僕は、
x>yならばx/y>1
は偽。その反例は、x=1,y=0を正解と考えております。
また、別問題においても、
x≠yならばx/y≠1
は偽。その反例は、x=1,y=0と考えております。
ネットの皆様の意見も分かれて、とても混乱しております。
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No.17444 - 2012/04/20(Fri) 11:40:06 |
| ☆ Re: 反例 / ああ | | | 黄桃様。
黄桃さんも、
x>yならばx/y>1
は偽。その反例は、x=1,y=0を正解
ということで、ヨッシーさんとご意見が違い、僕は混乱して降ります。
別問題において、恐縮ながら、黄桃さんは勘違いなされているように思えるのですが。
> ＃ただし、「x,yが実数の時、x/y≠1 ならば x≠y」であれば x=1,y=0 が反例なので偽です。
x=1,y=0 は結論の「x≠y」を満たすので、反例ではないです。
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No.17445 - 2012/04/20(Fri) 11:45:50 |
| ☆ Re: 反例 / 黄桃 | | | >x>yならばx/y>1
について、もう少し説明します。
A={(x,y)|x,yは実数で x>y}
B={(x,y)|x,yは実数でx/y>1}
という集合をxy平面に図示してください。
「（すべての実数x,yについて）x>yならばx/y>1」とはA⊂Bが成立するということです。したがって、Aの元でBの元でないものがあればそれが反例です。
Bではy=0の部分は除かれますから、(1,0)はBの元ではありません。しかし、Aの元ではありますから、これは反例です。
>> ＃ただし、「x,yが実数の時、x/y≠1 ならば x≠y」であれば x=1,y=0 が反例なので偽です。
>x=1,y=0 は結論の「x≠y」を満たすので、反例ではないです。
おっと、失礼。x=0,y=0 にしてください。
＃あちこちで質問するなら、過去の経緯をURLを示すなりして、提示したほうがいいですよ。
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No.17448 - 2012/04/21(Sat) 00:37:15 |
| ☆ Re: 反例 / ああ | | | 黄桃様。ありがとうございます。
今日は僕は休日だったために、時間をもてあまして、他のところでも質問させていただきました。すみません。
x>yならばx/y>1
は偽。その反例は、
x=1,y=0
というのは正解か？
という最初の質問において、
正解というご返答：X様、黄桃様
不正解というご返答：らすかる様、angel様、ヨッシー様
でした。
今回の問題はどちらのご意見が正しいのか、自然なのか、多数派なのか、まだよく分かりませんが、解釈の違いがあるのだということは確かなようです。
数学の質問のご返答で、真っ二つにご意見が分かれたことは驚きでした。
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No.17451 - 2012/04/21(Sat) 01:09:50 |
| ☆ Re: 反例 / angel | | | > 最初の質問において、
> 正解というご返答：X様、黄桃様
> 不正解というご返答：らすかる様、angel様、ヨッシー様
> でした。
いや、正解か不正解かという問題ではないのです。
前提条件をどこまで省略できるか、というお話です。
おそらく“x＞yならばx/y＞1”という、元の問題にある(偽の)命題は、“y≠0 において、x＞yならばx/y＞1”の省略形です。
なぜそう判断したかと言うと、x/y という形が出てきているためです。
似たような話としては、
“x＞y⇒log[2]x＞log[2]y”の真偽を判定せよ
という問題で、
x=0,y=-1 の場合 log[2]x, log[2]y が定義できず log[2]x＞log[2]y は成立しない。
よって反例が存在するため偽である
とか言うと、まあ、多分×を貰います。
本当は、x,y の範囲をきっちり決めていない問題自身がビミョーなのですが、そういう暗黙の前提というのは受け入れざるを得ないものだと思います。
※というか、今回わざわざ y=0 を持ち出さなくとも反例は示せるんだし…
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No.17452 - 2012/04/21(Sat) 03:06:28 |
| ☆ Re: 反例 / ああ | | | ありがとうございます。
x＞yならばx/y＞1
において、y≠0 を省かないとしたら、
（x＞y）ならば（y≠０ かつ x/y＞1）
と解釈するか、
（y≠０）ならば｛（x＞y）ならば（x/y＞1）｝
と解釈するかの違いがあります。いままでのご回答では「問題不明確」というお返事はありません。皆様はどちらかの解釈をごく自然にされて、最初の質問に対して、「正解」か「不正解」と明言されました。
そのように、優秀な方々の自然な解釈が、真っ二つに分かれたことが驚きでした。
“x＞y⇒log[2]x＞log[2]y”の真偽を判定せよ
これもx>0,y>0を省かないとして、二つの解釈があります。
（x＞y）ならば（ｘ＞０ かつ ｙ＞０ かつ x/y＞1）
と解釈するか、
（ｘ＞０かつｙ＞０）ならば｛（x＞y）ならば（x/y＞1）｝
僕にとっては前者で解釈することが自然ですが、angel様は後者で解釈されるのかもしれません。
分母≠0や真数＞0の暗黙の了解を、どこに適用するか(数式だけに適用か、問題文全体に適用か)の暗黙の了解はあるのでしょうか。
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No.17458 - 2012/04/21(Sat) 15:36:29 |
| ☆ Re: 反例 / らすかる | | | いや、私も「問題不明確」とは思いましたよ。
でも、数学の問題はいつも完璧に明確とは限りません。
解釈の仕方によって別の答えになる問題はたくさんあり、
そういう問題に出会ったときに最も妥当な解釈は何かを
判断する能力も身につけないといけないと思います。
私が「ダメ」と考えた理由は、対偶を考えてのことです。
普通に考えて、
x＞y の否定は x≦y
x/y＞1 の否定は x/y≦1
ですから、
「x＞y ならば x/y＞1」
の対偶は普通に考えれば
「x/y≦1 ならば x≦y」
となりますよね。
もし「未定義」まで考慮しなければならないとしたら、
「x＞y ならば x/y＞1」
の対偶は
「『x/yが定義されないか、またはx/yは定義されるがx/yと1の比較が定義されないか、
あるいはx/yもx/yと1の比較も定義されてx/y≦1』ならば
『xとyの比較が定義されないか、またはxとyの比較が定義されてx≦y』」
なんていうとんでもないことになります。
こんな考え方は普通しませんよね。
で、元の命題と対偶命題は同値ですから、普通に対偶を考えれば
「x/y≦1 ならば x≦y」と同値、すなわちy=0は最初から除外されるべきもの、と
考えて上のような回答になりました。
> 分母≠0や真数＞0の暗黙の了解を、どこに適用するか(数式だけに適用か、
> 問題文全体に適用か)の暗黙の了解はあるのでしょうか。
通常、問題文のどこかにx/yが入っていればy=0が除外されるのが
暗黙の了解のように思います。
方程式でも、どこか1個所でもlog[x]yとあれば
x≠1, x＞0, y＞0 が暗黙の了解になっていますよね。
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No.17464 - 2012/04/21(Sat) 19:54:01 |
| ☆ Re: 反例 / ああ | | | ありがとうございます。僕にとって、
x/y＞1 の否定は (y＝0 または x/y≦1)
が妥当な解釈で、他の方も同じように考えると思っていましたが、らすかる様の解釈とは違うようで、いい刺激になりました。
ｐ⇒ｑという命題のｑに、x/yが入っていれば、命題全体でy≠0とするのがらすかる様の解釈ですが、ｑだけでy≠0とするの僕の解釈です。
解釈の違いという意味で、6÷2(1+2)=? の話題と少し似ていると感じます。
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No.17469 - 2012/04/21(Sat) 22:05:15 |
| ☆ Re: 反例 / らすかる | | | > x/y＞1 の否定は (y＝0 または x/y≦1)
これは高校数学では一般的ではないと思います。
「x/y＞1」と書いてあれば、yの定義域は「0以外の実数」と考えるのが普通です。
そういうふうに考えるのであれば、
「√x＞1」の否定は「x＜0 または 0≦√x≦1」と考えるのですか？
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No.17470 - 2012/04/21(Sat) 23:35:28 |
| ☆ Re: 反例 / 黄桃 | | | >「x/y＞1」と書いてあれば、yの定義域は「0以外の実数」と考えるのが普通です。
このように、元の命題でx,yの動く範囲が明確でないのが問題なのは間違いないです。x,yが動く範囲を複素数としてよけれえばx=i,y=1 の時 x/y>1 は偽です。
>「√x＞1」の否定は「x＜0 または 0≦√x≦1」と考えるのですか？
xの動く範囲が実数全体であれば「x＜0 または 0≦x≦1」と同値で間違いありません。問題にx≧0の条件がついていれば、 0≦x≦1と同じになります。
＃高校数学では、偽の命題の扱いがおかしいように思います（特に条件文の仮定の場合はひどい）。
＃x/yとかかれていればy≠0というのは、関数の定義域と命題の真偽を混同している気がします。
＃＃もっといえば、x/yと書いたらy=0の場合は除く、
＃＃という考え方に固執しすぎると、a,b,c,dを実数, ad-bc≠0とするとき
＃＃{f(x)|f(x)=(ax+b)/(cx+d)} という関数の集合を考える、
＃＃という場合に、共通の定義域がないから考えられない、
＃＃という不自由なことになりませんか？
参考書などには、
√a√b=√(ab) は必ずしも正しくない(a<0,b<0の時偽）
log(a)+log(b)=log(ab)とは限らない(a<0,b<0の時左辺は定義できないが右辺は定義できる）
a+b>0, ab>0 ⇒ a>0, b>0 とは限らない(a,bが虚部が0でない共役複素数の時 a>0, b>0 は偽）
という類のことが書いてあります。
これらでは変数の動く範囲が実数全体であったり、複素数全体であったりして、確かに統一性がありません。
ただ、特に条件がつかなければ変数の動く範囲は実数全体と考えるのも普通ではないでしょうか。
＃変数の動く範囲を明示する方がいいのは確かです。
＃でも、明示されていないから「こう解釈して答えた」というのはありで、その解釈が荒唐無稽でなければ尊重されるべきだと思います。
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No.17472 - 2012/04/22(Sun) 09:27:27 |
| ☆ Re: 反例 / ああ | | | ありがとうございます。
「√x＞1」を解けといわれれば、同値変形で、
⇔「x≧0かつx＞1」⇔「x＞1」とします。したがって、
「√x＞1」の否定は「x＜0 または 0≦√x≦1」と考えるのが自然だと僕は解釈します。
「√x＞1」を解けという問題は高校数学では「問題不明確」ではありません。「√x＞1の否定は」という問題も同じと思っていましたが、らすかる様とは異なるようです。
改めて高校教科書を見直してみました。集合と命題の分野の練習問題では、「xは実数とする」などと変数の範囲が丁寧すぎるくらい書かれていました。「x>yならばx/y>1は偽。その反例を述べよ」「√x＞1の否定」という表現は教科書ではアウトと思います。
それが、参考書や校内テストではある程度許される表現なので、今回のこのような解釈の違いが現れたと思いました。
もし自分が問題作成する立場なら、方程式の分野では、多少は変数の範囲を省いてもいいかもしれないけど、命題の分野では、変数の範囲を省かないほうがいいと反省しています。
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No.17474 - 2012/04/22(Sun) 14:14:36 |
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