[ 掲示板に戻る ]

★ 変数を固定 / 家３４

3点O(０,０,０）、A(3,0,0),B(1,2,1)がある （１）ｚ軸上の点C(0,0,m)から直線AB上の点Hに降ろした垂線をCHとする。このとき点Hが線分AB上にあるようなｍの値の範囲をもとめよ→-6≦ｍ≦３ （２）点Hが線分AB上にあるとき垂線CHの長さの最大値とそのときのHの座標を求めよ。 （２）で（１）を使わない解法について ベクトルAH=ｋベクトルAB＝ｋ（-2,2,1) とすると ベクトルCH=(３−２ｋ、２ｋ、ｋ−ｍ）より CH^2=(m-k)^2+8k^2-12k+9 mを変数、ｋを定数（０≦ｋ≦１）とすると ｍ＝−６のときCH^2は最大で CH^2=９ｋ＾２＋４５ 次にｋを変数として動かすと ｋ＝１のときCH^2は最大で その値は５４ よってCHの最大値は３√６ このときｋ＝１よりHはBと一致し H(１，２，１） となるはずなのですが なぜか答えはｋ＝０のとき最大値３√５（このときH(3,0,0) となっています。わたしの解答の一体どこか駄目なのか教えてください。よろしくお願いします。 No.17624 - 2012/05/20(Sun) 16:06:55 ☆ Re: 変数を固定 / X CH⊥AB (A) であるという条件を使っていないので誤りです。 (A)より ↑CH・↑AB=0 これよりkとmの間の関係式が求められますので CH^2 からk、又はmを消去することができます。 No.17625 - 2012/05/20(Sun) 20:02:26 ☆ Re: 変数を固定 / 家３４ ー6≦ｍ≦３ を求める過程で すでにCH⊥AB という条件は使っているのですが。。 No.17628 - 2012/05/21(Mon) 04:54:18 ☆ Re: 変数を固定 / X No.17625で ↑CH⊥↑AB (P) から求められる ↑CH・↑AB=0 (A)' という条件を使っていないと書きましたが、 要点は(P)から求められるkのmとの間に成り立つ関係式を CH^2に直接使っていないことが誤りだということです。 単に -6≦m≦3 (B) 0≦k≦1 (C) を使うだけであるのであれば、mはkとは無関係に 値が変化することになりますので。 (B)を使うのであれば(A)'を用いて CH^2 からkを消去して考える必要があります。 No.17629 - 2012/05/21(Mon) 09:06:56

★ 逆行列であることの証明について / しょういち

しょういちと言います。この前、行列の授業で、逆行列の定義を勉強しました。 「ＡＸ＝ＸＡ＝Ｅを満たすＸがＡの逆行列である」 というものです。 ですが、先生は、ＡＸ＝ＥもしくはＸＡ＝Ｅのどちらかが言えたら、ＸはＡの逆行列だよと言ったのですが、なぜですか？なぜ一方だけでよいのですか？ 直観的ではなく、簡単に証明ができるならお教え頂ければと思います。よろしくお願いします。 No.17621 - 2012/05/20(Sun) 00:26:30 ☆ Re: 逆行列であることの証明について / ハオ 僕自身証明の仕方を恥ずかしながら、忘れてしまっていたので教科書を参照します。（線形代数学　木内博文著) 参照した教科書の名前を書いても、内容を丸々写すのは剽窃に値すると困るので掻い摘んで証明をします。 ※それでも問題があるようでしたら削除します。 今、XA＝Eが言えたと仮定する。 1=det(E)=det(XA)=det(X)*det(A) (ただし、det(A)はAの行列式を表す) これよりdet(A)≠0でありAは正則である。 よってA-1(Aインバース)の存在は保証され、XA=Eに右側からA-1をかけてX=A-1 AX=Eも同様に証明できる。 No.17627 - 2012/05/21(Mon) 00:45:47

★ 不等式　 / HCL

不等式 x^10≧10^x を解け。但し、x>0とする。 xが整数なら帰納法でできそうなんですが、 xは実数なので、どうすればいいのか。 できれば解答をお願いします。 No.17614 - 2012/05/19(Sat) 14:59:18 ☆ Re: 不等式　 / X x^10=10^x は超越方程式ですので、近似解しか求められません。 従って問題の不等式も近似解でしか求められません。 No.17615 - 2012/05/19(Sat) 19:32:24 ☆ Re: 不等式　 / ＩＴＶＩＳＩＯＮ x>0におけるx^10＝10^xのひとつの解　ｘ＝10は簡単に分りますが、もう一つの解はＸさんのおしゃるとおりのような気がします。 これをx＝αとすると　α≦ｘ≦10　が求める解です。 log(x)はx＞0で単調増加で連続なので x^10、10^x　の対数について大小比較します f(x)=10log(x) - xlog(10) f'(x)=10/x -log(10) x>0におけるf(x)の増減を調べる f'(x)は　x = 10/log(10) のとき　0 　　　0＜ x ＜ 10/log(10) のとき　正 　　　x ＞ 10/log(10) のとき　負 よってf(x)は x = 10/log(10) のとき最大値をとる f(10/log(10))=10log(10/log(10)）-（10/log(10)）log(10) 　　　　　=10log(10/log(10)） - 10 　　　　　=10（log(10/log(10)） - 1）＞ 0 f(1) < 0,f(10/log(10)) > 0,f(10)=0　なので　 f(x) = 0　（ただしx＞0）は、ちょうど２つの異なる解を持つ ２つの解をα、β（α＜β）とすると　β＝10であり 　0＜α＜ 10/log(10) ＜ β＝10 もう少し調べると １^10 ＜ 10^1　、2^10 ＞ 10^2　ですから　1＜α＜２です。 No.17616 - 2012/05/19(Sat) 20:30:56 ☆ Re: 不等式　 / らすかる x^10=10^x の解は 10logx=xlog10 logx/x=log10/10 t=log10/10 とおくと logx/x=t logx=tx x=e^(tx) x/e^(tx)=1 -tx*e^(-tx)=-t -tx=W(-t) x=W(-t)/(-t)=W(-log10/10)/(-log10/10)=-10W(-log10/10)/log10 W(-log10/10)は2価 W0(-log10/10) と W1(-log10/10) で -10W0(-log10/10)/log10=10 -10W1(-log10/10)/log10=1.37128857423862353686… であり、増減を調べることによってx^10≧10^xの解は -10W1(-log10/10)/log10≦x≦10 (1.37128857423862353686…≦x≦10) No.17617 - 2012/05/19(Sat) 21:27:32 ☆ Re: 不等式　 / HCL 解けないんですね。 三角関数、指数対数関数、逆三角関数等を含む方程式を 超越方程式というと調べたら出てきました。 ＞-tx*e^(-tx)=-t ＞-tx=W(-t) W(-t)って何ですか？ No.17618 - 2012/05/19(Sat) 22:40:52 ☆ Re: 不等式　 / ＩＴＶＩＳＩＯＮ > 解けないんですね。 「解ける」「解けない」の定義が難しいと思いますが 例えば、e≦x≦πなどと既知の定数や関数を使って表せる（これも曖昧な表現ですが）と「解ける」ってことになるのでしょうか？「解けない」ってことになるのでしょうか？（e、πは超越数です。） ｘ^2　＝　２　も　有理数の範囲では解けませんが、√というものを考えるとｘ＝-√2、√2と「解ける」（？）んですよね・・・ No.17619 - 2012/05/19(Sat) 23:40:08 ☆ Re: 不等式　 / らすかる > W(-t)って何ですか？ W(　)はランベルトのW関数でf(x)=xe^xの逆関数です。 この関数を使えば「解けます」。 No.17620 - 2012/05/19(Sat) 23:52:30

★ 二次関数 高3 / ktdg

aは実数の定数とし、f(x)=x^4-2ax^3-10x^2-2ax+1とおくとき、f(x)=0の異なる実数解の個数をaの値で場合を分けて求めよ。 t=x+1/xー?@とおくと、f(x)=t^2-2at-12と表せる。これをg(t)とおく。 ?@の判別式Dとおくと、 (?@)D>0のとき⇔t>2、t<-2のとき、?@は異なる二つの実数解をもつ (?A)D=0のとき⇔t=2のとき、?@は重解をもつ (?B)D<0のとき⇔-2<t<2のとき、?@は実数解をもたない したがって、(?@)のとき、tの値一つに対してxの値は二つ。(?A)のとき、tの値一つに対してxの値は一つとなる。 ここから、f(x)の解の個数と、g(t)のグラフの形を考えて場合わけすると、おそらく14通りできます。 もっと簡単な方法はありますか? No.17611 - 2012/05/19(Sat) 00:14:06 ☆ Re: 二次関数 高3 / X g(t)=0 (A) をtの２次方程式と見たときの解の判別式を D[2]とすると D[2]/4=a^2+12＞0 ∴(A)はaの値によらず、常に異なる2つの実数解tを 持つ場合しかありません。 従って場合分けは(i)(ii)(iii)の３つの場合のみで 14通りも場合分けする必要はありません。 No.17612 - 2012/05/19(Sat) 07:24:54 ☆ Re: 二次関数 高3 / ktdg 確かにそうですね… ありがとうございます No.17613 - 2012/05/19(Sat) 09:58:11

★ 因数分解 / yuku
(a+b)(b+c)(c+a)+abc =(b+c){a^2+(b+c)a+bc}+abc =(b+c)a^2+(b+c)^2 a+bc(b+c)+abc =(b+c)a^2+(b^2+3bc+c^2)a+bc(b+c)　←★ . . . =(a+b+c)(ab+ac+bc) ★のところでなぜ +abcが消えたのかというところと 　3という数が出てくるのかというのがわかりません。 お願いします(´･ω･｀) No.17607 - 2012/05/16(Wed) 20:11:51 ☆ Re: 因数分解 / ヨッシー＠携帯 (b+c)^2 を展開して出来る2bcと、一番最後のabcをカッコの中に入れて出来たbcとで3bcです。 No.17608 - 2012/05/16(Wed) 21:16:38

★ 数学証明問題 / ftmm

a,b,cを実数とする。 a^2+b^2(a^2+b^2-c^2)(p^2+q^2-r^2) ≦(ap+bq-cr)^2 を証明せよ。 という問題で、 条件よりa^2＋b^2-c^2<0 p^2＋q^2-r^2<0なので (a^2+b^2-c^2)(p^2+q^2-r^2) >0 よって(ap＋bq-cr)^2≧0を示せばよい。 となり、(数式)^2≧0が成り立つので (ap＋bq-cr)^2≧0は成り立つ。としたらやっぱりダメですよね＾＾； どうやって示せばいいんでしょうか。 誰か分かる方教えてください。お願いします。 No.17603 - 2012/05/15(Tue) 12:56:44 ☆ Re: 数学証明問題 / ftmm すみません。色々と抜けていたので訂正します。 「a,b,cを実数とする。 a^2+b^2<c^2 ,p^2+q^2<r^2 のとき、 (a^2+b^2-c^2)(p^2+q^2-r^2) ≦(ap+bq-cr)^2 を証明せよ。」 投稿してから気付いたのですが (ap＋bq-cr)^2≧0を示せばよい。というのはおかしいですよね； (a^2+b^2-c^2)(p^2+q^2-r^2) はたしかに0より大きいですが 0になるとは断定できないので左辺を0にして(ap＋bq-cr)^2≧0を示すというのは明らかおかしいと思います。 たとえば、(a^2+b^2-c^2)＝-3.(p^2+q^2-r^2)=-4のとき (a^2+b^2-c^2)(p^2+q^2-r^2)=12となって このときは、(ap＋bq-cr)^2≧12を示さないといけないですし・・・ やはり右辺-左辺≧0が成り立つことを示すべきなんでしょうか？ このやり方を試みたもののうまくいかなかったのでどうしたらいいのかわかりません・・・ 文系なんで数学は2Bまでの知識しかないです。 誰か分かる方教えてください。お願いします。 No.17604 - 2012/05/15(Tue) 13:44:20 ☆ Re: 数学証明問題 / ハオ 申し訳ありませんが興味の範囲で解いたものなので間違っているかもしれません。 何か思考の糧になればと思い投稿します。 (a^2+b^2＜c^2 ,p^2+q^2＜r^2 のとき) から円が浮かんだので円を書いて考えてみます。 座標(a,b)は半径cの円の内部にあり、座標(p,q)は半径rの円の内部にあります。 よってa=s*cosθ b=s*sinθ p=t*cosφ q=t*sinφ　（ただしs＜c t＜r) 今c≦rでもr≦cでも式の対称性からどちらでも良いのでc≦rとします。 ここで不安なのがp,q,rは実数という条件がないので虚数も許しているのか？という点です。 という事で、場合分けして考えます。 i)p,q,rが実数の時 以上の様にa,b,p,q,は書ける。 今θ=φの時を考える。 与えられた不等式は (s^2-c^2)(t^2-r^2)≦(s*cosθ*t*cosθ+s*sinθ*t*sinθ-cr)^2と書き換えられる。 右辺-左辺=(sr-ct)^2≧0 よって左辺≦右辺である。 次にθ≠φの時を考える。 与えられた不等式は (s^2-c^2)(t^2-r^2)≦(s*cosθ*t*cosφ+s*sinθ*t*sinφ-cr)^2と書き換えられる。 右辺-左辺= {stcos(θ-φ)}^2 -2stcr*cos(θ-φ)-(st)^2+(sr)^2+(ct)^2 ---☆(加法定理を途中用いて整理した） ここで思うのは先ほど証明したのはcos(θ-φ)=1の時であった。 -1≦cos(θ-φ)≦1　またcos(θ-φ)の連続性よりcos(θ-φ)=-1の時を証明すれば、 すべてのcos(θ-φ)について証明した事になる。←正直ここの自信がありません。別の方にご指摘頂くと思います。 cos(θ-φ)=-1の時 ☆=(sr+ct)^2≧0 よって左辺≦右辺である。 以上から、p,q,rが全て実数の時は証明できた。 p,q,rの内少なくとも一つが虚数の時は、申し訳ありませんまだ考えていません。 No.17605 - 2012/05/16(Wed) 13:55:43 ☆ Re: 数学証明問題 / ＩＴＶＩＳＩＯＮ >（ただしs＜c t＜r) c、rは正とは限らないので、|s|＜|c|, |t|＜|r|　とすべきだと思います。 >今c≦rでもr≦cでも式の対称性からどちらでも良いのでc≦rとします これは、使っておられないようですが？ >-1≦cos(θ-φ)≦1　またcos(θ-φ)の連続性よりcos(θ-φ)=-1の時を証明すれば、 >すべてのcos(θ-φ)について証明した事になる。←正直ここの自信がありません。 右辺−左辺をcos(θ-φ)の関数と考えたとき-1≦cos(θ-φ)≦1で単調であることを示す必要があると思います。 x＝cos(θ-φ)とおくと　-1≦x≦1 {stcos(θ-φ)}^2 -2stcr*cos(θ-φ)-(st)^2+(sr)^2+(ct)^2 ＝{(st)^2}x^2 - (2stcr)x - (st)^2 + (sr)^2 + (ct)^2 ＝ f(x)　とおく f(x)は、-1≦x≦1で単調減少か単調増加（微分法か平方完成により増減を調べる。途中|s|＜|c|,|t|＜|r|を使う） また、f(-1)=(sr+ct)^2≧0 かつ f(1)=(sr-ct)^2≧0 よって、-1≦x≦1で　f(x)≧0 ※「p,q,rは、すべて実数」ではない場合は、反例があります。 ・a=1,b=1,c=2,p=i,q=i,r=iのとき (a^2+b^2-c^2)(p^2+q^2-r^2)=2 ＞ (ap+bq-cr)^2=(i+i-2i)^2=0 ・a=1,b=1,c=2,p=i,q=i,r=0のとき (a^2+b^2-c^2)(p^2+q^2-r^2)=4　＞ (ap+bq-cr)^2=(i+i-0)^2=-4 ・a=1,b=1,c=2,p=i,q=i,r=1のとき (a^2+b^2-c^2)(p^2+q^2-r^2)=6　、(ap+bq-cr)^2=(i+i-2)^2=-8i 右辺は実数でない。 No.17610 - 2012/05/18(Fri) 20:48:10 ☆ Re: 数学証明問題 / ハオ ITVISONさんご指摘有難う御座います。これからも迷惑をかけるかと思いますがよろしくお願いします。 No.17623 - 2012/05/20(Sun) 02:02:03 ☆ Re: 数学証明問題 / ＩＴＶＩＳＩＯＮ ftmmさんへ >文系なんで数学は2Bまでの知識しかないです。 どこの問題ですか？文系には、難問すぎるような気がします。数十年前の理系の私もハオさんの答えがないと分りませんでした。 No.17626 - 2012/05/20(Sun) 22:27:10

★ Re: 高三　微分積分 / れいひゃー

次の関数の増減を調べ、極値を求めよ (1)ｙ＝(ｌｏｇ[ｘ])/ｘ (2)ｙ＝ｘ−２ｌｏｇ[ｘ] 微分したら (1)ｙ´＝(１−ｌｏｇ[ｘ])/ｘ＾２ (2)ｙ´＝１−２/ｘ となるんだと思ったのですが、もしかしてこれさえ違うのでしょうか？ どうしても答えがあいません。 解答を教えて下さい。お願いします No.17596 - 2012/05/13(Sun) 19:07:38 ☆ Re: 高三　微分積分 / ヨッシー [　]は、ガウス記号でなくて、絶対値|　|ですかね。 微分は合っています。 (1) ｘ＜−ｅ で　f'(x)＜０ ｘ＝−ｅ　で　f'(x)＝０　(極小) −ｅ＜ｘ＜０ で　f'(x)＞０ ｘ＝０　で定義不能 ０＜ｘ＜ｅ　で　f'(x)＞０ ｘ＝ｅ　で　f'(x)＝０　(極大) ｅ＜ｘ で　f'(x)＜０ (2) ｘ＜０ で　f'(x)＞０ ｘ＝０　で　定義不能 ０＜ｘ＜２　で　f'(x)＜０ ｘ＝２　で　f'(x)＝０　(極小) ｘ＞２　で　f'(x)＞０ です。 No.17598 - 2012/05/13(Sun) 20:31:01

★ (No Subject) / 受験生

教えてください。お願いします。 ?@∫(1〜n)logx dx < log(n!) < ∫(1〜n+1)logx dx を示せ ?AKn={(n!/n^n)}^1/n　とするとき、lim(n →無限）Kn = 1/e を示せ　なお必要ならばlim(x→無限）logx/x を用いてもよい。 No.17594 - 2012/05/13(Sun) 16:02:20 ☆ Re: / ヨッシー log(n!)＝log(1)＋log(2)＋・・・＋log(n) なので、 下の真ん中の図のようにｎ個（うち１個は高さ０）の 面積の合計として表されます。 それは、∫(1〜n)logx dx（図の黄色）を完全に含み、 ∫(1〜n+1)logx dx（図の青）に完全に含まれます。 No.17595 - 2012/05/13(Sun) 19:05:04 ☆ Re: / ヨッシー >必要ならばlim(x→無限）logx/x を用いてもよい。 の右辺がありませんが。 Ｌn＝log(Kn)とすると、 　Ｌn＝(1/n)log{(1/n)(2/n)(3/n)・・・(n/n)} より、lim[n→∞]Ｌn＝∫[0〜1]logｘdx＝−１ という手順でしょう。 No.17597 - 2012/05/13(Sun) 20:16:09

★ 整数問題です^^ / トゥイードルディ

0<a<=b<1を満たす有理数a,bに対し、 f(n)=an^3+bn とおく。このとき、どうのような整数nに対してもf(n)は整数となり、かつ、nが偶数ならばf(n)も偶数となるようなa,bの組をすべて求めよ 初めf(n+2)-f(n)=(偶数)でできるとふんだんですけど、なんか出来ません。簡単な解答お願いします-^-^- No.17590 - 2012/05/12(Sat) 19:47:57 ☆ Re: 整数問題です^^ / Ｖ > 0> f(n)=an^3+bn > とおく。このとき、どうのような整数nに対してもf(n)は整数となり、かつ、nが偶数ならばf(n)も偶数となるようなa,b まず、n=1の場合を考えるとどうなりますか？ No.17591 - 2012/05/12(Sat) 20:34:44 ☆ Re: 整数問題です^^ / Ｖ （略解） n=1の場合を考える f(1)=a1^3+b1=a+bは整数 0<a<=b<1より　0<a+b<2 よってa+b=1　したがって　b=1-a a<=bより a <= 1-a 　　　　　2a<= 1　よって　0<a<= 1/2　　 b=1-aを　f(n)=an^3+bnに代入 f(n)=an^3+(1-a)n = an^3+(1-a)n =an^3-an+n =(n^3-n)a+n = n(n+1)(n-1)a + n =(n-1)n(n+1)a + n n=2の場合を考える f(2)=6a + 2 は整数、　これと 0<a<= 1/2　から a=1/6、2/6、3/6 「nが偶数ならばf(n)も偶数」より、f(2)=6a + 2 は偶数、なので a=2/6=1/3、b=2/3　でなければならない -------------------------------------------- 逆にa=1/3、b=2/3のとき 0<a<=b<1　であり、a,bは有理数 f(n)=(1/3)n^3+(2/3)n=(1/3)(n^3-n) + n =(1/3)(n-1)n(n+1) + n 任意の整数nについて「(n-1)n(n+1)は6の倍数」（証明略）なので、 どのような整数nに対してもf(n)は整数となる。 また、nが偶数なら f(n)=(1/3)(n-1)n(n+1) + n は偶数となる。（この証明は、ご自分でどうぞ。） 以上のとおり、a=1/3、b=2/3はすべての条件を満たす。 ------------------------------------------ したがって 求めるa,bの組は、a=1/3、b=2/3　である。 No.17593 - 2012/05/12(Sat) 22:01:44

★ 集合の切断、完備化について / ハオ

集合の切断又完備化についてよく理解できません 特に青の波線部分の理解で合っているのか自信がありません。理解に誤りがあったらご指摘お願いします。 No.17586 - 2012/05/12(Sat) 13:18:57 ☆ Re: 集合の切断、完備化について / ハオ C(X)が完備である事の証明は参考書からです。 その証明になぞって自分で具体例をあてて考えてみましたが、どうも納得できないのです。 No.17587 - 2012/05/12(Sat) 13:26:46 ☆ Re: 集合の切断、完備化について / angel こんにちは。 とりあえず、ですが。参考書的な定義なり証明と、自身で考えた例示の部分は分けておかないと、見ている方で分からないです。 話の流れとしては、Xの切断から完備であるC(X)を作り出すお話が参考書上であって、それに対して自分で X={ {1},{1,2},{1,2,3},{1,2,3,4} } ( a≦b ≡ a⊂b として≦を定義 ) を作ってみた、ということでしょうか。 もしそうだとすると、実例としてマズいです。 なぜなら、そのXは稠密でもなければ「最小元を持たない」という性質も満たさないからです。 ※まあ、完備性の説明をするときには稠密であるという条件は使いませんが… 「切断」の概念を使って完備性を説明するのは、実数以外での応用が思いつかないので、やはりイメージするにしても、有理数→実数の拡張の事例くらいしかないのかな、と思います。 P.S. ちょうど http://d.hatena.ne.jp/Cuz-orz/20090613/p1 にあるような話を勉強しているのでしょうか? No.17588 - 2012/05/12(Sat) 16:07:17 ☆ Re: 集合の切断、完備化について / angel 画像上の青の波線部分について 1. 最小元が除かれたから… もとの最小元φが除かれても、新たに {1} が最小元になっているため不適です 2. α4 が切断でない理由 特に問題はないです。 ※もっとあっさり、「α4=X だから、切断αの持つ性質α≠X に反する」でも。 3. Aは上に有界だから… 詳しい話は多分後で説明が出てくるところでしょうから一言だけ。 今は上に有界なAに対しての性質を考察しているので、「Aは上に有界だから…」で始めないとそもそも論理としてN.G.です。 4. もしβに最大元があれば… 感覚的に「そもそも最大元を持たない集合の和集合がβなので、明らかにβは最大元を持たないのでは」というのは、今回は正しいです。 ただ、無限の操作を行っている ( 今回は無限個の集合の和集合をとっている ) ため、直感的に正しそうなことが本当にそうか、と言われると、それはちゃんと検証しないといけません。 ※今回とは無関係な例ですが、有限個の開集合の積はやはり開集合ですが、無限個だと感覚に反して閉集合になることもあったりして、(特に無限の操作が絡むと)感覚だけで進めてはダメなのです。 5. αがいつから切断になったか? 背理法の仮定として α∈A⊂C(X)≡Xの切断の集合 だからです。 ※直前の「もしβに最大限aがあれば〜α∈Aがある」が該当 No.17589 - 2012/05/12(Sat) 16:46:10 ☆ Re: 集合の切断、完備化について / ハオ 解説有難うございます。説明不足にも関わらず伝えたい事を把握して下さり有難うございます。 具体例がマズイ理由はとてもよく分かりました。 では∀x∈R(実数), 0 ＜x≦１なら自己稠密で最小元は存在しませんよね？ と思い0<x≦1では切断の全体を考えますと、感覚的に幾つもの和集合となり最終的に0＜x＜1でいいのでしょうか？ No.17599 - 2012/05/14(Mon) 17:29:54 ☆ Re: 集合の切断、完備化について / ハオ 考え直しました 切断の集合が0＜x＜1はおかしいですね 要素が無限にある集合でしょうか？ その要素は0＜x＜1を埋め尽くす様な要素で、何というか段々幅が1に近づいていく要素ですか？ ちょうど http://d.hatena.ne.jp/Cuz-orz/20090613/p1 の部分を参考書で学んでいました、読ませていただきます。 No.17600 - 2012/05/14(Mon) 18:46:10 ☆ Re: 集合の切断、完備化について / angel > では∀x∈R(実数), 0 ＜x≦１なら自己稠密で最小元は存在しませんよね？ はい。そのようにXを定めれば今回の話に適合します。 ※ただし、それでは既に ( わざわざC(X)を作らなくとも ) Xが完備なので面白みはありません。せめて X={ q∈Q | 0＜q≦1 } とか。 ちょっと悩みのポイントが私には見えないのでアレなんですが、具体例としてはやはり「デデキントの切断」を考えてはどうでしょうかね。 これを使うと、有理数と集合の概念で実数を説明できるのです。…四則演算等も含めて。 No.17601 - 2012/05/14(Mon) 23:16:39 ☆ Re: 集合の切断、完備化について / ハオ なるほどです。面白みがある方がいいです！ X={q∈Q| 0＜q≦1}で考えてみます。 この場合Xの切断の全体の集合C(X)はどのような形で表されるのでしょうか？ 感覚的には分かるのですが、数学的に記述する事は可能なのでしょうか？何度もすいません。 No.17602 - 2012/05/15(Tue) 00:08:25 ☆ Re: 集合の切断、完備化について / angel > この場合Xの切断の全体の集合C(X)はどのような形で表されるのでしょうか？ > 感覚的には分かるのですが、数学的に記述する事は可能なのでしょうか？ この場合、ひとつの「切断」がひとつの「実数」に対応します。 例えば、{ q∈Q | 0＜q＜√(1/2) } ( 有理数だけを使って表現するなら { q∈Q | q＞0 and q^2＜1/2 } ) に対しては 無理数 √(1/2) が、{ q∈Q | 0＜q＜1/2 } に対しては有理数1/2が対応します。 なので、非常にざっくりとした表現では、 　C(X) = { { q∈Q | 0＜q＜r } | r∈R, 0＜r＜1 } ですかね。 ちなみにこれは、Q を完備化した R を予め知っているからこそできる表現であることに注意。 ※本来の話の流れとしては、X=Q の場合に完備化した C(X)を作って、C(X) を改めて R としましょう、となるわけなので。 No.17609 - 2012/05/18(Fri) 02:49:10 ☆ Re: 集合の切断、完備化について / ハオ ナルホドです。ひとつの切断がひとつの実数に対応するという理解は、とても役に立ちました。有難うございます。 切断を用意してあげたら、その切断の上限が切断と対応するのですね。 C(X)は集合の集合だから｛｝を２つ用いればいいのは当たり前でしたね、気付かず質問してしまいすいませんでした。 わざわざ、考えが浅い僕の為に時間を割いて頂き有難う御座いました。数学を質問をしに行く身近な人がいないので、またお世話になるかと思いますが、その時はどうぞ宜しくお願いします。 P.S. 学校で確率論の初歩を習ったのですが、実数上のボレル集合体（全ての半開区間(a,b]を含む最小のσ-集合体）がこの様に定義するだけで[a,b]や(a,b)や[a,b)等を含む証明として [a,b]= ∩_[n=1,∞](a-1/n,b]　 と書けて、(a-1/n , b]は半開区間であり、σ-集合体に含まれるので、その積集合もσ-集合体に含まれる。 と板書している時、あぁこれがangelさんが仰っていた >無限個だと感覚に反して閉集合になることもあったりして なんだなと分かり少し嬉しくなりました。 No.17622 - 2012/05/20(Sun) 01:56:23

★ 高3 空間図形 証明 / ktdg

二原子からなる面心立方格子結晶(NaClなど)において、ある原子の中心からn番目に近い原子の中心までの距離が√nであることは証明可能ですか? No.17583 - 2012/05/11(Fri) 23:24:13 ☆ Re: 高3 空間図形 証明 / ktdg 訂正します 立方体の一辺の長さをaとし、同じ大きさの立方体が空間に敷き詰められているとき、ある頂点からn番目に近い頂点までの長さはa√nと表せることは証明可能かということです。 No.17584 - 2012/05/12(Sat) 01:02:31 ☆ Re: 高3 空間図形 証明 / rtz 三個の平方数の和 - Wikipedia http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E5%80%8B%E3%81%AE%E5%B9%B3%E6%96%B9%E6%95%B0%E3%81%AE%E5%92%8C 私の考え違いでなければ、これは以下のように置き換えができます。 2つの格子点間の距離の2乗となる自然数nが常に存在する ⇔3個の平方数の和は全ての自然数を表現できる となりますから、間違いでは？ 上記Wikipediaでの例で、n=7のとき 7=0+0+7=0+1+6=1+1+5 ですから(√7)aとなるような長さがとれないのでは。 No.17585 - 2012/05/12(Sat) 01:49:29

★ 複素数 / さい

(1)（1-i)^100を求めると？ (2)nが自然数のときド・モアブルの公式を証明せよ 　(数学的帰納法を用いて) No.17580 - 2012/05/09(Wed) 22:45:31 ☆ Re: 複素数 / ヨッシー (2)からやった方が良いでしょう。 ド・モアブルの公式は、 　(cosθ+isinθ)^n=cos(nθ)+isin(nθ)　・・・(i) ですが、n=1 のときに、成り立つのは明らかで、 n=k のとき、 　(cosθ+isinθ)^k=cos(kθ)+isin(kθ) が成り立っているとき、n=k+1 を考えると、 　(cosθ+isinθ)^(k+1)={cos(kθ)+isin(kθ)}(cosθ+isinθ) 　＝{cos(kθ)cosθ−sin(kθ)sinθ}＋ｉ{sin(kθ)cosθ＋cos(kθ)sinθ} 　＝cos(kθ＋θ)＋ｉsin(kθ＋θ) 　＝cos(k+1)θ＋ｉsin(k+1)θ となり、(i) が成り立ちます。よって、すべての自然数ｎについて、 ド・モアブルの公式が成り立ちます。 (1) (1-i)＝√2{cos(-π/4)＋ｉsin(-π/4)} と書けるので、 　(1-i)^100＝(√2)^100{cos(-25π)＋ｉsin(-25π)} 　　　＝2^50(-1)＝-(2^50) No.17581 - 2012/05/09(Wed) 23:08:17 ☆ Re: 複素数 / さい わかりやすい説明ありがとうございます No.17582 - 2012/05/10(Thu) 00:22:11

★ (No Subject) / プリン

二つの円がほんの少し交わってます。円１、円２の中心をそれぞれＣ１，Ｃ２とします。２つの円に共通外接線を引き、接点をそれぞれＴ１，Ｔ２とします。Ｔ１とＴ２の中点をＭ、２円の交点をＡ，ＢとしてＡＢの中点をＮとします。ＭＮ⊥Ｃ１Ｃ２となる理由を教えてください。ただし、Ｔ１Ｔ２⊥ＡＢとし、（方べきの定理よりＣ１Ｍ＝ＭＣ２、接線の性質より∠Ｃ１Ｔ１Ｍ＝∠Ｃ２Ｔ２Ｍ＝９０度は分かっています） よろしくお願いします No.17574 - 2012/05/07(Mon) 20:28:13 ☆ Re: / ヨッシー ＡＢ⊥Ｃ1Ｃ2 の証明は省略します。 ＡＢの延長線とＴ1Ｔ2 の交点をＰとします。 方べきの定理より 　ＰＡ・ＰＢ＝ＰＴ22 　ＰＡ・ＰＢ＝ＰＴ12 よって、ＰＴ1＝ＰＴ2 となり、ＰはＭに一致します。 以上より、Ｍ，ＮともにＡＢ上にあり、ＭＮ⊥Ｃ1Ｃ2が言えます。 No.17575 - 2012/05/07(Mon) 21:14:53 ☆ Re: / プリン ＡＢ⊥Ｃ1Ｃ2 の証明がむしろ知りたいです。 Ｃ１ＡはＣ２に接するとは限らないですよね No.17576 - 2012/05/07(Mon) 22:55:04 ☆ Re: / ヨッシー △ＡＣ1Ｃ2≡△ＢＣ1Ｃ2　（３辺相等） より、△ＡＢＣ2 において、ＡＣ2＝ＢＣ2 かつ　∠ＡＣ2Ｃ1＝∠ＢＣ2Ｃ1 より Ｃ1Ｃ2 は、二等辺三角形ＡＢＣ2 の∠ＡＣ2Ｂ の二等分線になっているので、 底辺ＡＢに直交します。 No.17577 - 2012/05/07(Mon) 23:05:23 ☆ Re: / プリン ありがとうございました！よくわかりました！ No.17578 - 2012/05/07(Mon) 23:34:25

★ 数学困ってます / アシュ

異なる9個の球がある。 (1)2個、３個、４個の３組に分ける方法は何通りか (2)２個、３個、４個の３組に分け、その３組を３人に与える方法は何通りか (3)A,B,Cの３人に３個ずつ与える方法は何通りか (4)3個ずつ３組に分ける方法は何通りか (5)5個、2個、2個の３組に分け、その３組を３人に与える方法は何通りあるか。 <自分の解答> (1)2個、3個、4個の３組は個数の点から見て区別されているので 分け方は9C2×7C3×4C4＝1260通り (2)3人を田中、山田、松田とする。 (1)で分けたそれぞれの球をこの３人に分ける方法は(1)×3!通り よって1260×3!=7560通り (3)人は区別されるので3人を田中、山田、松田とする。 田中、山田、松田の３人にそれぞれ３個ずつ球を分配する方法は9C3×6C3×3C3=1680通り (4)３組をA,B,Cとして区別をつける。３個ずつA,B,Cにわける方法は(３)より1680通り。 区別をなくすと3!ずつ同じものが存在しているので 求める場合の数は1680/3!=280通り (5)3組をA,B,Cと区別をつける。 ９個の球をA,B,Cに分ける方法は9C5×4C2×2C2＝756通り 区別をなくすと2!ずつ同じものが存在しているので752/2!=276通り さらにこれらの球を3人に分けると、３人は区別がなされるので田中、山田、松田の３人に分配されると考えると 求める場合の数は276×3!=1656通り となったのですが学校を休んでしまったため合っているのかわかりません。 数学が大の苦手なので誰か分かる方教えてください。お願いします。 No.17567 - 2012/05/06(Sun) 01:21:29 ☆ Re: 数学困ってます / Ｖ (1)〜（4)は、合っていると思います。 (5)は考え方は合っていますが、計算が違っているようです。 再計算してみてください。 No.17568 - 2012/05/06(Sun) 06:47:12

★ 事象の独立条件 / のん

事象の独立条件について教えてください。 ２つの事象ＡとＢが独立である条件は、 P(A∩B)=P(A)*P(B)・・・?@ PA(B)=P(B) ・・・・・・?A PB(A)=P(A) ・・・・・・?B のいずれかが成立することとあるのですが、 ?Aが成り立つ場合に独立であるとするならば、?@を 　P(A∩B)=P(A)*PA(B) 同様に、?Bが成り立つ場合ＡとＢは独立なので、?@を 　P(A∩B)=PB(A)*P(B) としても構わないのでしょうか？ もし、ダメならばその理由も教えてください。 よろしくお願いいたします。 No.17564 - 2012/05/05(Sat) 20:07:56 ☆ Re: 事象の独立条件 / X それで問題ありません。 そもそも独立である条件は条件付き確率の定義に対する 特別な場合に過ぎないわけですから。 No.17565 - 2012/05/05(Sat) 21:10:26 ☆ Re: 事象の独立条件 / のん ありがとうございました。 すっきりしました。 No.17569 - 2012/05/06(Sun) 11:03:09

★ 極限値は? / Vivian

aを実数,n=0,1,2,…とせよ。 lim_{x→0}[x^{n-1+a}・(e^x)^2・sin(arg(x))]/(e^x-1) の極限を調べよ。 という問題なのです。 すいません。お手上げ状態です。どうかお力をお貸しください。 No.17562 - 2012/05/05(Sat) 09:04:10 ☆ Re: 極限値は? / X (与式)=lim[x→0]{x^(n-2+a)}sin(arg(x)) ・[{e^(2x)}{x/(e^x-1)}] []内はx→0のとき1に収束しますので L=lim[x→0]{x^(n-2+a)}sin(arg(x)) について考えます。 (i)n-2+a＞0、つまり2-n＜aのとき |{x^(n-2+a)}sin(arg(x))|≦|x^(n-2+a)| ですのではさみうちの原理により L=0 ∴(与式)=0 (ii)n-2+a≦0、a≦2-nつまりのとき Lは収束しませんので与式も収束しません。 No.17563 - 2012/05/05(Sat) 15:13:58

★ 数学文系高1 / ゆづき

数学 確率の問題が分からないです 3つのサイコロを同時にふって出た目の積をXとする。 (1)Xが15の倍数となる確率を求めよ 先生の解答は 「Xは15の倍数であるのだから、 少なくとも3の倍数と5の倍数の目が1つずつ含むとき 「3または6の目」「5の目」「1または2または4の目」の個数がそれぞれ (1,1,1)・・・?@(1,2,0)・・・?A(2,1,0)・・・?Bの3通りが考えられる。 ?@のとき2C1×1C1×3C1×3!=36通り ?Aのとき3C2×1C1×2^2=12通り ?Bのとき3C1×2C2×2=6通り よって?@〜?Bより1/4」でした。 この?@の計算式については 3または6の目の場合をa 5の目の場合をb 1または2または4の目をcとします。 初め順番を考えずとりあえず a,b,cというふうに並んでいるとします。 aは3or6なのでので目の選び方は2C1＝2通り bは5オンリーなので1通り cは1or2or4なので目の選び方は3C1=3通り その上で3つのサイコロは区別がつくので順番を考慮して3!をかけてやれば?@の式のできあがりということでいいのでしょうか？ また、以下は自分の考えなのですが たとえば、３つのさいころをはじめから区別してA,B,Cとします。 目出方のパターンを先ほどと同様のa,b,cとします。 これはさらに分かり易くいうと 異なるa,b,cの3冊の本を区別のついたA,B,Cの中に1冊ずつ入れる問題ですよね？ よって3C1×2C1×1となりますがこの設定でCを使うとなんだか気持ち悪いです。 なぜならnCrは異なるn個の物からr個選ぶ んですよね？ 異なる3冊(個)のa,b,cの中からA,B,Cのどれかに入る物を1個選ぶ ＝3C1通り という風になるのでなんだか気持ち悪いです。 異なる３冊のa,b,cから2冊選ぶ というのなら単純にa,b,cの中から2冊選ぶので3C2とするのはなんの問題もありません。 たとえば、さいころを人に見立ててAさんBさんCさんがそれぞれ児童相談所の人だとします。 そして、親から虐待を受けていた子供のaくん、bくん、cくんをそれぞれA,B,Cが引き取りにやってきたという場面で考えてみます。 (1,1,1)の場合 Aさんは3人a,b,cの中から1人選ぶので3C1通り BさんはAさんが選んだ子を除いた2人の中から1人選ぶので2C1通り Cさんは残りの1人で1通り aくんは「3の目」という名前と「6の目」という名前の2つ持っているので2通り、 cくんは「1の目」「2の目」「4の目」という3つの名前をもっているので3通り、 よってこれらをかけあわせたの場合の数が(1,1,1)の場合の数である。とするなら納得できるのですが こんな解釈でいいんでしょうか？ 数学が苦手なので誰か分かる方教えてください。お願いします。 No.17560 - 2012/05/04(Fri) 21:36:16 ☆ Re: 数学文系高1 / ゆづき 「気持ち悪い」という表現に少し語弊がありそうなので訂正します。 正確には「釈然としない」といった感じです。 教科書にあるCの定義とこの問題の場合のCの使い方が合っていない感じがします。 No.17561 - 2012/05/04(Fri) 21:38:52 ☆ Re: 数学文系高1 / ヨッシー >?@の式のできあがりということでいいのでしょうか？ ここまでは良いです。 中盤ですが、 >異なる3冊(個)のa,b,cの中からA,B,Cのどれかに入る物を1個選ぶ ＝3C1通り ではなく、 　異なる3冊のa,b,cの中から A に入る物を1個選ぶ ＝3C1通り です。続いて、 　異なる3冊のa,b,cのうち、A に入らなかった２冊の中から B に入る物を1個選ぶ ＝2C1通り 　異なる3冊のa,b,cのうち、A にも B にも入らなかった１冊の中から C に入る物を1個選ぶ ＝1C1通り で、3C1×2C1×1C1＝6 です。でも、普通は、3☓2×1＝6 または 3!＝6 と書きます。 後半の児童相談所を例にした解釈は、複数の名を持つという所が現実的ではありませんが、 考え方は正しいです。 ただし、 >?@のとき2C1×1C1×3C1×3!=36通り と照らし合わせると、 >Aさんは3人a,b,cの中から1人選ぶので3C1通り >BさんはAさんが選んだ子を除いた2人の中から1人選ぶので2C1通り >Cさんは残りの1人で1通り ここまでが 3!、 >aくんは「3の目」という名前と「6の目」という名前の2つ持っているので2通り、 これが 2C1、 >cくんは「1の目」「2の目」「4の目」という3つの名前をもっているので3通り、 これが 3C1 です。 No.17570 - 2012/05/07(Mon) 09:50:55 ☆ Re: 数学文系高1 / ヨッシー ちなみに、 >?Aのとき3C2×1C1×2^2=12通り >?Bのとき3C1×2C2×2=6通り は、逆で、 ?Aのとき3C1×2C2×2=6通り ?Bのとき3C2×1C1×2^2=12通り です。 No.17571 - 2012/05/07(Mon) 09:57:57

★ (No Subject) / H75
1と1は互いに素でしょうか？ No.17556 - 2012/05/03(Thu) 23:31:55 ☆ Re: / シャロン はい。 ２整数が互いに素であるとは、その２整数の最大公約数が1であることです。 1と1の最大公約数は1ですから、1と1は互いに素です。 No.17558 - 2012/05/04(Fri) 06:00:24

★ (No Subject) / あか
y=e^(−2x^2)のグラフを書くとき、何故、x軸がこの曲線の漸近線になるのかよくわからないです。 よろしくお願いします。 No.17555 - 2012/05/03(Thu) 23:06:52 ☆ Re: / シャロン 直線y=ax+bが曲線y=f(x)の漸近線であるとは、 lim_{x→∞}(f(x)-(ax+b))=0 あるいは lim_{x→-∞}(f(x)-(ax+b))=0 となることをいいます。 lim_{x→±∞}e^(-2x^2) = 0 ですから、直線y=(0･x)+0、つまりx軸はこの曲線の漸近線です。 No.17557 - 2012/05/04(Fri) 05:54:42

★ 物理2 / あか
一辺が10cmの正三角形ABCの各頂点にそれぞれQ1=1[C],Q2=1[C],Q3=−2[C]の電荷が置かれている。Q1に働く力の大きさ｜F1｜と方向を求めよ。 よろしくお願いします。 No.17550 - 2012/05/03(Thu) 00:57:11 ☆ Re: 物理2 / ヨッシー 個々の力の大きさは、下の記事のような計算をしてもらうとして、 Ｂ点の電荷から受ける斥力と、Ｃ点の電荷から受ける引力(斥力の２倍)との 合成になります。 No.17572 - 2012/05/07(Mon) 15:17:03

全22745件 [ ページ : << 1 ... 906 907 908 909 910 911 912 913 914 915 916 917 918 919 920 ... 1138 >> ]

---

---