ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 直方体を乱積みしたときの全体積は？ / maizuruman

各辺がa、b、cの直方体Ｎ個を乱積み（不規則にバラ撒き、自由に積み上げる）する時、期待される全体積（体積）は？

No.16747 - 2012/01/28(Sat) 21:54:20

☆ Re: 直方体を乱積みしたときの全体積は？ / らすかる

「全体積」の意味が「体積の合計」ならば abcN ですが、
そうでないなら「全体積」の定義をお願いします。

No.16749 - 2012/01/29(Sun) 02:48:49

☆ Re: 直方体を乱積みしたときの全体積は？ / maizuruman

申し訳ありませんでした。
全体積について以下のとおり定義付けます。
全体積とは、長さ・幅・高さとも十分な長さを持つ空間の中で、Ｎ個の直方体を順次ひとつずつ、落としておくときに、生ずる空隙を含む体積のことです。

これでご理解いただけるでしょうか？

No.16750 - 2012/01/29(Sun) 10:01:01

☆ Re: 直方体を乱積みしたときの全体積は？ / らすかる

「生ずる空隙を含む体積」では数学的に理解不能ですが、例えば
「すべての直方体を含む最小の凸多面体の体積」と解釈して
よいでしょうか。

No.16751 - 2012/01/29(Sun) 10:11:51

☆ Re: 直方体を乱積みしたときの全体積は？ / ヨッシー

これ、Ｎ＝２のときも、求めるの大変では？

バラ撒いたとき、ａの辺が高さになる場合、ｂの辺が高さになる場合、
ｃの辺が高さになる場合、それぞれの確率を求めないといけませんし、
積み上げるからには、崩れないように重心の計算もしないといけませんし、
２個目を積む位置、角度いずれも確率を計算しないといけませんので。

No.16762 - 2012/01/30(Mon) 07:16:11

☆ Re: 直方体を乱積みしたときの全体積は？ / らすかる

いや、大変ではないと思いますよ。
「長さ・幅・高さとも十分な長さを持つ空間の中」ですから、
N≧2では「十分大きな体積」になってしまって
求まらないだけだと思います。

No.16763 - 2012/01/30(Mon) 10:00:23

★ 逆関数はｙ＝ｘに対称だが・・ / ピジョン

g(x)がf(x)の逆関数の時に2曲線ｙ＝ｆ（ｘ）、ｙ＝ｇ（ｘ）の交点は直線ｙ＝ｘ上にある」とする人がいます。ｆ（ｘ）が増加関数の時は正しいですが、減少関数の時は間違いです

とあったのですがｆ（ｘ）が減少関数だとｇ（ｘ）が増加関数でも減少関数でも間違いということなんでしょうか？

そもそも『ｆ（ｘ）が増加関数の時は正しいですが、減少関数の時は間違い』というのがいまいち納得できないのでどなたか説明お願いできないでしょうか？

よろしくお願いします

No.16727 - 2012/01/26(Thu) 20:17:04

☆ Re: 逆関数はｙ＝ｘに対称だが・・ / ヨッシー

何に載っていた言葉でしょうか？

その前後に、図などの解説はないのでしょうか？
もしくは、この解説の元となった問題はなんですか？

何を以て、「間違いです」と言っているかよく分かりません。

No.16729 - 2012/01/26(Thu) 22:00:21

☆ Re: 逆関数はｙ＝ｘに対称だが・・ / ピジョン

問題は、2つの関数をf(x)=√(x+1)(x≧-1)、g(x)=x^2-1(x≧0）とし、ｙ＝ｆ（ｘ）とｙ＝ｇ（ｘ）で表せる曲線を其々C1、C2とする。（１）ｆ（ｘ）の逆関数がｇ（ｘ）であることをしませ
（２）曲線C１と曲線C2の交点Pの座標を求めよ。

の（２）の解説です（２）でいきなり「交点はy＝x上にあると」と始めないほうが良い、ともあります。

No.16730 - 2012/01/26(Thu) 22:41:11

☆ Re: 逆関数はｙ＝ｘに対称だが・・ / angel

「間違い」というのは正しいです。
例えば、y=1/x の逆関数は y=1/x で自身と同じになりますので、これらの共有点は、y=1/x 上の点全てとなります。y=x上以外にもあることになります。

まあ、これは極端な例ですが、つまりどういうことかというと、もともとの y=f(x) のグラフが、y=x に対称な2点を含んでいるとこういうことが起こるのです。
例えば、y=f(x) が (1,2) と (2,1) 両方を含む場合、y=f(x)とy=f^(-1)(x)は、(1,2),(2,1)を共有点として持ちますね。

でもって、上のようなケースだと、(1,2)→(2,1)で必ず減少しますから、だから「減少関数の時は…」という話にふれているのでしょう。

No.16733 - 2012/01/27(Fri) 00:46:31

☆ 例 / angel

一例として、y=4(x^2+4)/(5x^2) と、y=4/√(5x-4) を挙げます。
y=x 上の点 ( 3次方程式の解で、座標は無理数 ) 以外に、(1,4),(4,1) にも交点があります。

No.16734 - 2012/01/27(Fri) 01:07:41

☆ Re: 逆関数はｙ＝ｘに対称だが・・ / らすかる

> ※ちゃんと逆関数になっています
なっていませんね。計算ミスがあるようです。

> 3次方程式の解で、綺麗に値は求まらない
求めたら、 x=(2/15){(683+15√2073)^(1/3)+(683-15√2073)^(1/3)+2} となりました。

No.16736 - 2012/01/27(Fri) 02:23:39

☆ Re: 逆関数はｙ＝ｘに対称だが・・ / ピジョン

つまり、逆関数にする前の関数、または逆関数にした後の関数どちらか一方でも減少関数ならばｙ＝ｘ以外に交点を持つことがある、ということでよいのでしょうか？

No.16737 - 2012/01/27(Fri) 09:52:21

☆ Re: 逆関数はｙ＝ｘに対称だが・・ / らすかる

「どちらか一方だけが減少関数」ということはあり得ないと思いますが、「減少関数ならばy=x以外に交点を持つ可能性がある」は正しいです。

No.16738 - 2012/01/27(Fri) 10:20:55

☆ Re: 逆関数はｙ＝ｘに対称だが・・ / angel

らすかるさん、ご指摘ありがとうございます。
係数を逆にしていました。No.16734を訂正しました。
※4(x^2+4)/(5x^2)とすべきを4(4x^2+1)/(5x^2)としていました

No.16740 - 2012/01/27(Fri) 22:35:23

★ 無限級数の和 / のぞみ

大学一年です。
∞
Σ[(n+2)/{n(n+1)2^n}] = 1
n=1
の計算方法がわかりません。
シグマの中身を
(n+2)/n(n+1) * (1/2)^n という風に分けて計算したのですが、最後に
Σ(1/n) がどうしても残ってしまい、答えが１になりません。

どなたかよろしくお願いします。

No.16711 - 2012/01/24(Tue) 17:56:30

☆ Re: 無限級数の和 / X

部分分数に分ける例のパターンですね。
但し少しひねってあります。
(n+2)/{n(n+1)2^n}=2{1/(n2^n)-1/{(n+1)2^(n+1)}}
と変形してみましょう。

No.16712 - 2012/01/24(Tue) 20:35:07

☆ Re: 無限級数の和 / のぞみ

回答ありがとうございます。
確かにそのように変形したら、答えが１になりました！
ありがとうございます。
ところで、べき乗が分母にある場合、そのように変形するのがお決まりなのですか？

そしてすみません、もう一つ。
∞
Σ{(-1)^(n-1)}*(2n+1)/{n(n+1)} = 1
n=1

など、(-1)^(n-1)が分子にある場合は、どのように変形したら上手くいくでしょうか？
アドバイス、お願いいたします。

No.16717 - 2012/01/24(Tue) 23:11:12

☆ Re: 無限級数の和 / X

決まりというわけではありません。

和を取るときに部分分数に分ける方針というのは
もっと一般的に考えると階差数列の和の形、つまり
Σ[k=1～n]{a[k]-a[k+1]} (A)
にすると考えられます。
最初に質問された問題では
1/{n(n+1)}
を部分分数に分けた場合から類推して(A)において
a[k]=1/(k2^k)
と考えてはどうだろうか、ということで導いています。
同様の方針で件の問題も考えてみて下さい。

No.16718 - 2012/01/25(Wed) 00:04:41

☆ Re: 無限級数の和 / のぞみ

回答ありがとうございます。

アドバイスありがとうございます。
同様の考え方で、もう一つの方も解くことが出来ました。
ありがとうございました。

No.16719 - 2012/01/25(Wed) 00:54:56

★ 中点連結定理、線分比の範囲 / すないでる

向かい合う２辺が平行でない四角形ABCDに対して
Aを通りBCと平行な直線とCDの交点をB'
Bを通りCDと平行な直線とDAの交点をC'
Cを通りDAと平行な直線とABの交点をD'
Dを通りABと平行な直線とBCの交点をA'
とするときAA'、BB'、CC'、DD'は１点で交わることを証明せよ

この問題に１晩を費やしてしまいました…(笑)
どなたかよろしくお願いします。

No.16701 - 2012/01/24(Tue) 09:15:44

☆ Re: 中点連結定理、線分比の範囲 / angel

まず、A'～D'の決め方が非常に綺麗に循環していることに着目します。つまり、一部分だけ証明すれば“同様に～”が使える形。
なので、これだけ示せれば十分です。
　AA'とBB'の交点とBB'とCC'の交点は一致する
その後は、同様にBB'とCC'の交点とCC'とDD'の交点は一致すると言えるため、これら交点が全て一致と相成ります。

で、AA'とBB'の交点、BB'とCC'の交点ですが…
これらはともにBB'上にあることは共通で、そうするとBB'上のどこの位置にあるか、調べることになります。
で、至る所「平行」が転がっているこの状況だと、結局交点というのがBB'を何対何に内分する点か、現れる相似形の相似比を見ればすむことに気づきます。
二組の相似比はそれぞれBA':B'A、BC':B'Cですから、これらの一致を示せば、それがすなわち「交点の一致」を意味します。

これでゴールが BA':B'A=BC':B'C ( ⇔BA'・B'C=B'A・BC' ) と明確になりました。
後は…
添付の図のように、メネラウスの定理で出てくるような形を考えて、適当に長さの比を文字で置いてあげれば、いろいろな長さの比が判明しますから、ごり押しでも計算できそうだとわかります。

No.16731 - 2012/01/26(Thu) 23:48:44

☆ Re: 中点連結定理、線分比の範囲 / angel

とは言え、ごり押しするのはちょっと面倒なので、上手いこと線分の長さの比を使えないか考えます。

で、色々「平行」があって、三角形の相似が生じているこの状況だと、

　BA'=BC・PD/PC　(△CA'D∽△CBP)
　B'C=PC・AB/PB　(△PAB'∽△PBC)
　B'A=BC・PA/PB　(△PAB'∽△PBC)
　BC'=PD・AB/PA　(△ABC'∽△APD)

と表せることが分かります。これでBA'・B'CとB'A・BC'を計算して一致を確かめれば良し、と。

なお、BC'=CD・QB/QC のように別の表現もできたりしますが、QとPを混在させた形にするとうまくまとまりません。

後余談としては、上の絵だとPが□ABCDから見て上、Qが右になっていますが、Pが上下、Qが左右どちらに来るかは実は決まっていません。都合4通りの場合わけになるのですが、それでも式の形はまったく一緒になります。
解答を書く上で、この話に触れる必要はないと思いますが、一応自分で確認しておいた方が良いでしょう。

No.16732 - 2012/01/26(Thu) 23:59:53

★ 一般の場合に成り立てばとある場合でも確かに成り立つ。しかし・・ / 行列初心者

A=(a b)
(c d)

とする。2以上のある自然数ｎに対してA^(n-1)
≠０,A^n=0が成り立つとする。
（１）ad-bc=0であることを示せ
（２）a+d=0である事を示せ
（３）A^2=0である事を示せ

問題は（２）です。
解答を写しますと
A^2=(a+d)A・・?@
これにAをかけてA^2
に再び?@を用いるとA^3=(a＋ｄ)A^2
これを繰り返し、『一般にA^k=(a+d)^(k-1)A(k≧２）・・?A
が成り立つ。A^n=0より(a+d)^(n-1)A=0』
a+d=0またはA=0
もしA=0ならばn-1≧１のときA^(n-1)＝０になりA^(n-1)≠に反する。よってA≠０よってa+d=0

ですが『』の部分が分かりません。このA^n＝０というのは（2以上の）とあるｎでしか成り立たないので、『　』以降の議論はとあるｎのときの場合のみしか考えていない事になります。問題文のa+d=0を示せというのはどんなｎのときでもa+d=0となるのを示せ、といっているのですから、A^(n-1)
≠０,A^n=0が成り立たないようなｎのときを考えていないのと思うのです。

どなたか疑問を解消させてください。連投ですがよろしくお願いします

No.16694 - 2012/01/23(Mon) 17:40:09

☆ Re: 一般の場合に成り立てばとある場合でも確かに成り立つ。しかし・・ / ヨッシー

問題文のa+d=0を示せというのはどんなｎのときでもa+d=0 となるのを示せ、
といっていません。

たとえば、ある行列Ａについて、Ａ^2, Ａ^3, ・・・Ａ^100・・・
などの結果が書かれたカードがあって、どれか１枚を引いたとき、
その結果が０であったら、その結果だけで、（Ａ^2, Ａ^3 などが
いくつであるか調べるまでもなく)ａ＋ｄ＝０が示せる、
という意味です。

(3) で結局２以上のすべての整数ｎについて、Ａ^n＝０が
示されますが、それは別の問題です。

No.16696 - 2012/01/23(Mon) 21:56:53

☆ Re: 一般の場合に成り立てばとある場合でも確かに成り立つ。しかし・・ / 行列初心者

回答ありがとうございます

問題文のa+d=0を示せというのはどんなｎのときでもa+d=0 となるのを示せ、
といっていません。＞しかしそれならばa+d=0となるようなｎが存在する事を示せ、と問うのではないですか？

どれか１枚を引いたとき、
その結果が０＞この０というのは行列が０という意味ですか？それともa+dが０という意味ですか?

ちょっとどういうことなのかよく分からないのでもう少し詳しくお願いします。

No.16697 - 2012/01/23(Mon) 23:11:41

☆ Re: 一般の場合に成り立てばとある場合でも確かに成り立つ。しかし・・ / ヨッシー

本当は、
Ａをいくつか（2個以上）掛けていって、どこでＡ^n＝０になるか
分からないけれども、もし、そういうｎがあったら、そのような
Ａは必ずａ＋ｄ＝０を満たす。
と書きたかったのですが、(3) の結果を踏まえると、
いくつか掛けていったら、ｎ個目にＡ^n＝０になったという
ニュアンスに語弊が生じると思い、カードのたとえにしました。

表にＡ^2、Ａ^3 などと書いてあり、裏にその計算結果が書いてあるとしましょう。
適当なカードを引いて、その裏に０（０行列）が書かれていたら、
それがＡの何乗であっても、Ａはａ＋ｄ＝０を満たす行列である、という意味です。

a+d=0となるようなｎが存在する事を示せ、とも違います。
あるｎでＡ^n が成り立つならば、ａ＋ｄ＝０が成り立つ。
です。
ｎが何であるかは、カードをめくるごとく無作為です。
そのときたまたまＡ^n が０行列だった、というのが、この話の
始まりです。

No.16698 - 2012/01/23(Mon) 23:57:26

☆ Re: 一般の場合に成り立てばとある場合でも確かに成り立つ。しかし・・ / 行列初心者

回答ありがとうございます。

まだよく分からないので一つ一つ丁寧に見ていきます

Ａをいくつか（2個以上）掛けていって、どこでＡ^n＝０になるか分からないけれども、もし、そういうｎがあったら、そのようなＡは必ずａ＋ｄ＝０を満たす、ことを示せということですか？

表にＡ^2、Ａ^3 などと書いてあり、裏にその計算結果が書いてあるとして適当なカードを引いて、その裏に０（０行列）が書かれていたら、それがＡの何乗であっても、Ａはａ＋ｄ＝０を満たす行列であることを示せ、ということですか？

あるｎでＡ^n が成り立つならば、ａ＋ｄ＝０が成り立つことを示せ、ということですか？

何を示すのかとその根拠が釈然としないのでまずははっきりさせたいです。

No.16700 - 2012/01/24(Tue) 00:21:20

☆ Re: 一般の場合に成り立てばとある場合でも確かに成り立つ。しかし・・ / ast

初めから (問題文にもヨッシーさんのご回答にも) 明確に述べられているとおり, 「行列 A が A^n=0 かつ A^(n-1)≠0 となるような自然数 n(≥2) を一つでも持つならばそのような行列 A は必ず a+d=0 を満たす行列である」ことを示すことが求められている問題です.

むしろ, それ以外の内容だと解釈できるとするほうが不可解です.
> A=((a b),(c d))とする。2以上のある自然数ｎに対してA^(n-1)≠0,A^n=0が成り立つとする。
が前提,
> a+d=0である事
が結論ですから, 前提を P, 結論を Q と書けば, この問題は「PならばQを示せ」というよく見る類いの命題であることに気がつくはずです.

なお, 「ある○○に対して××が成り立つ」と「××が成り立つ○○が存在する」や「少なくとも一つの○○は××を満たす」などは皆同じ意味です.

No.16708 - 2012/01/24(Tue) 15:55:05

☆ Re: 一般の場合に成り立てばとある場合でも確かに成り立つ。しかし・・ / 行列初心者

それ以外の内容だと解釈できるとするほうが不可解です、とありますがなぜ不可解なのか、その根拠を教えてください。

「a+d=0を示せ」には「上記のとある自然数ｎのときのAがa+d=0を示せ」とは書かれていません

「行列 A が A^n=0 かつ A^(n-1)≠0 となるような自然数 n(≥2) を一つでも持つならばそのような行列 A は必ず a+d=0 を満たす行列である」ことを示すと解釈した理由を教えてください。

よろしくお願いします。

No.16744 - 2012/01/28(Sat) 19:49:46

☆ 日本語の問題 / angel

> なぜ不可解なのか、その根拠を教えてください。
日本語の解釈の問題であり、astさんの説明に特に問題は見られませんから、逆に言えば、それ以外の解釈ならば「不可解」と言っても差し支えないでしょう。根拠の有無の問題ではないのです。
とはいえ、日本語の問題でありながら、国語の授業では習わない ( なぜか数学の範囲になる ) でしょうから、慣れないと分かりにくいかも知れません。
行列初心者さんがどういう内容と認識しているのか書いて頂ければ、他の方もより詳しく指摘しやすいでしょう。

No.16755 - 2012/01/29(Sun) 17:37:02

☆ あるnに対して… / angel

とりあえず、今回の問題の(2)で示すことは、

　[a] ある自然数 n ( n≧2 ) に対して A^n=O ならば a+d=0 である

ですね。前提部分と(2)の問題文を単純に連結したものです。
※A^(n-1)≠O は今回あってもなくてもあまり違いはないので、省スペース化のため省略しました

でもって、n の条件は「n≧2の自然数であること」以外には示されていませんから、2以上の自然数であるかぎり、何であっても成立しなければなりません。つまり、

　[b] A^2=O⇒a+d=0 かつ A^3=O⇒a+d=0 かつ A^4=O⇒a+d=0 かつ …

言い方を変えると、

　[c] (A^2=O または A^3=O または A^4=O または …)⇒a+d=0

という、無限通りのパターンについて成立を示すことになるわけです。
※で、無限通りを示すことは単純にはできないので、数学的帰納法等を用いることになります。

なお、[c] にある「A^2=O または A^3 または A^4=O または…」というのがつまり「ある自然数n(n≧2)に対してA^n=O」のことなのですが、「A^n=Oとなる自然数n(n≧2)が(少なくとも一つ)存在する」等のastさんがNo.16708で挙げたような別の表現も同じ意味を持ちます。

以上のことを把握すれば、行列初心者さんのNo.16700の質問の答えは全てyesになることが分かると思いますが…？

No.16756 - 2012/01/29(Sun) 18:14:39

★ 二項定理 / 行列初心者

B=A－ｋEとおく。
自然数ｎに対してA^n=nk^(n-1)B+k^nEが成り立つ事を示せ。
（A,Bは行列でともに実数成分の２×２行列）
解
A=kE+Bであり、A^n=(kE＋B)^nを二項展開するとｎ≧２のとき
A^n=k^nE+nC1k^(n-1)B+nC2k^(n-2)B^2+・・・＋nCn-1kB^(n-1)+nCnB^n
以下略

とあるのですが、このｎ≧２はどこから来たものでしょうか？二項定理自体は(a+b)^n=Σ（ｋ＝０～ｎ）nCka^kb^(n-k)にあるようにｎ≧０で成立しますよね。（この問題だと問題文よりｎ≧１ですが）

nC2k^(n-2)B^2があるからｎ≧２だ、と言う人もいるかもしれませんが、もしそうならA^n=k^nE+nC1k^(n-1)B+nC2k^(n-2)B^2+nC3k^(n-3)B^3・・・＋nCn-1kB^(n-1)+nCnB^nと書けばn≧３と書くということになってしまいます。しかし・・・の部分はどこまで書くかは個人のセンスによるのでそれはおかしいんじゃないかと思います。

連投ですがどなたかご教授ください。

No.16693 - 2012/01/23(Mon) 16:27:22

☆ Re: 二項定理 / 行列頑張り隊

簡単な質問ではないですが、よろしくお願いします

No.16705 - 2012/01/24(Tue) 13:18:44

☆ Re: 二項定理 / ast

必ずしも分けなければいけないというわけではないですが, 提示されている模範解答は冒頭で既に「n=1のときは自明に成り立っている」ことを断っているので, 処理済みのn=1を含める意味がそもそもありませんから, そうしてあるのでしょう. むしろその模範解答でn≥2を書かない場合, n=1のときを二重に述べているわけですから, 「二項定理がいつ成立するか」ということと「何を言うために二項定理を利用したのか」ということとを, 峻別できていない可能性を疑われる虞があるかもしれません (些細な点ですし, 定期試験や入試くらいだとそこまで厳しく見るとも思えませんが).

> ｎ≧０で成立しますよね
行列に関する二項定理がいつ成立するかを, 文字式(多項式)に関する二項定理から即断するのは早計です. 少なくとも, 二項定理の成立には交換法則の成立が不可欠です (から, 多項式の不定元に行列を「代入」するのは一変数多項式に限るようにしたほうが安全です). また, A や B は正則かどうかはっきりしません (模範解答の省略部分には B^2, B^3, ... が消える事などが続きそうですが, だとするとBは正則でない) が, n=0のときも考えるというならば, 正則でない正方行列の0乗とは何かということは, 直観的に明らかというわけではないことに注意しなければなりません (xを0以外の実数とすれば, 逆数を掛ける事と冪乗x^n冪指数nを1だけ減らすこととを対応させることでx^0=1などと「定義」しました. このことの行列に対するアナロジーは, Xが行列式が0でない行列のとき, その逆行列を掛けることとXの冪乗X^nの冪指数nを1減らすことを対応付けることです. もちろんこれは, 逆行列を持たない場合には無力です).

> nC2k^(n-2)B^2があるからｎ≧２だ、と言う人もいるかもしれませんが、
おそらく居ないでしょう, さすがにナンセンスすぎます.

それはそうと, 問題が何か不自然ではないですか? 2次以降が消える理由がBの冪零性によるものなら, Aが一般ならBは必ずしも冪零行列には限られないはずですから変です. あるいは仮に2行2列の場合でケーリー・ハミルトンを使って1次まで落としたというのなら係数が変ですし.
# 模範解答はあまり省略しないことを薦めます (別な部分で答案の意図が垣間見える場合もわりとあるので).

No.16709 - 2012/01/24(Tue) 16:33:39

☆ Re: 二項定理 / 行列頑張り隊

回答ありがとうございます

確認】なるほどなるほど。。つまりこのｎ≧２は、例えばｎ≧２として階差数列を求めた後、ｎ＝１で成り立つか確認、などといったほどの重要な意味を持つｎ≧２ではないのですね。

参考】A=((a,b)(c,d)),a+d=2k,ad-bc=k^2(a,b,c,d,kは実数）
(1)(A-kE)^2=0を示せという流れでした

No.16716 - 2012/01/24(Tue) 21:26:18

☆ Re: 二項定理 / 行列頑張り隊

どなたか確認】の確認をお願いします

No.16746 - 2012/01/28(Sat) 19:52:08

☆ Re: 二項定理 / angel

> …(略)…などといったほどの重要な意味を持つｎ≧２ではないのですね。

いや、根本的に模範解答中の表現に意味を求めるのはやめた方が良いです。
気にするべきは、n≧1 として問題のない局面かどうか、くらい。
良くある階差数列 a[n]=a[1]+Σ[k=1,n-1] b[k] だったら、そもそも n=1 の場合に不適となりますから、n≧2 とせざるを得ません。( n≧3 とかでも良いけど )

> A^n=k^nE+nC1k^(n-1)B+nC2k^(n-2)B^2+・・・＋nCn-1kB^(n-1)+nCnB^n

これは別に n≧1 でも成立します。もちろん n≧2 でも成立します。模範解答であえて n≧2 としているのは、n=1 の分を示す必要がなかったからでしょうね。(後の話の展開として)
まあ意図といえばこんな所でしょうか。でも、この意図が分かったからといって、何かの役に立つわけでもないので…。

No.16777 - 2012/01/31(Tue) 01:09:35

☆ Re: 二項定理 / 行列頑張りたい

答案に書かないと減点になるかどうかという点で知っておくべきだと思ったのです。（答案として自己採点して）○にしてよいのか△（不十分）なのかかという不安な心境から解放されました。ありがとうございました。

No.16806 - 2012/02/01(Wed) 19:07:46

★ 行列 / 行列初心者

行列A=(1 -3)
(2 -4)

X=(x)
(y)

について、次の問いに答えよ。ただし、Xは零行列でないとする
問い1
P=(x1 x2)
(y1 y2)
とするとき、P^(-1)APを求めよ。
（ただしy1=x1,3y2=2x2）
答えp^(-1)AP=(-2 0)
(0 -1)

問い2
A^30を求めよ
解）P=(1 3)
(1 2)

B=(-2 0)
(0 -1)
として
A^30=PB^30P^(-1) =

として求めているのですが
なぜ
P=(1 3)
(1 2)

とおいてよいのか分かりません。
このPを
P=(2 9)
(2 6)
と置いても確かにP^(-1)APの値に変化はありませんが

A^30=PB^30P^(-1) のPやP^(-1)
に代入する際、
P=(1 3)
(1 2)

を代入した時と本当にA^30の値が同じになるのかどうかは分からないと思うのです。

行列の表記は見た目どうりです。Aの行列は１、１成分は
１。２，１成分は２。１－２成分はー３。２－２成分はー４という具合です。
行列の下のほうの成分（２－１成分と２－２成分）はなぜかずれてしまって上の成分と合わせられないので
右にずらして見てください。
どうかお察しください。よろしくお願いします

No.16692 - 2012/01/23(Mon) 15:39:58

☆ Re: 行列 / 行列頑張り隊

回答お待ちしております

No.16704 - 2012/01/24(Tue) 13:17:55

☆ Re: 行列 / ast

B=P^(-1)AP ならば B^2=P^(-1)A{PP^(-1)}AP=P^(-1)A^2P, ..., B^n=P^(-1)A^nP, ... (今の計算では PP^(-1)=E であることだけが重要で, P の具体的な成分を全く問題にしていないことに注意) だから, このような正則行列 P が存在する限り, P によらず必ず PB^nP^(-1)=A^n です (B^n=P^(-1)A^nP の両辺に, 左から P を, 右から P^(-1) を掛けるだけ). 故に, B が B^n を計算しやすい行列になるような正則行列 P であれば何でも構わない, ということになります.

ここでは B は対角行列という非常に扱いやすい形にしています (いわゆる対角化) が, 大学で線型代数学をやれば, 固有値を用いた対角化やそれに類似するいくつかの標準化について知ることになるでしょう.

No.16710 - 2012/01/24(Tue) 16:57:28

☆ Re: 行列 / 行列頑張り隊

おさらい）B=P^(-1)APのP、P^(-1）は対角化さえできれば何でもいいPとP^(-1)。そのP,P^(-1)を用いたB=P^(-1)APから式変形してA^ｎ=PB^ｎP^(-1)が出来るのだからA^nのPとP^(-1)はB=P^(-1)APのP、P^(-1)と同じものだという事ですね？

正則行列・・は初めて聞いたのですが逆行列をもつ行列のことでいいんですかね？

回答ありがとうございました

No.16714 - 2012/01/24(Tue) 21:11:13

☆ Re: 行列 / 行列頑張り隊

どなたかおさらい）の確認をお願いします

No.16745 - 2012/01/28(Sat) 19:51:20

★ tr,detの有名性質 / 行列初心者

tr(uX+vY)=utr(X)+vtr(Y)(X,Yは2×２行列、u,vは実数）

のような線形性のようなものが成り立つようですが、これは３×３行列などにもいえるのでしょうか？また、trはdetにしてもこれは成り立ちますか？

また、このような有名性質のまとめサイトなどがあったら教えてください

よろしくお願いします。

No.16688 - 2012/01/22(Sun) 23:13:35

☆ Re: tr,detの有名性質 / 行列頑張り隊

回答お待ちしております

No.16703 - 2012/01/24(Tue) 13:17:08

☆ Re: tr,detの有名性質 / 黄桃

trについて
一般の正方行列で成立します。成分で書けば証明も簡単です。

det について
すでに2次の正方行列で成立しません。det(2E)=4 ですが、2*det(E)=2 です。
行列を列ベクトルで表現して、A=[a, b] とかいたすると、
det[a+b,c]=det[a,c]+det[b,c]
det[a,b+c]=det[a,b]+det[a,c]
ということはいえます。定数倍については、kを実数として(a,bはベクトル）
det[ka,b]=k det[a,b]
det[a,kb]=k det[a,b]
ということもいえます。
これらから、u,vを実数、x,y,zをベクトルとすれば、
det[ux+vy,z]=u det[x,z]+ v det[y,z]
det[x,uy+vz]=u det[x,y]+ v det[x,z]
ということもでます。これらを組み合わせることもできます。
一般の正方行列でも同様で、多重線型性と呼ばれています。

まとめサイトは知りませんが、大学数学の線型代数（せんけいだいすう；線形代数とも書く）という分野で勉強するので、そういう類のサイトや教科書を見ればいいでしょう。

No.16742 - 2012/01/28(Sat) 07:37:03

☆ Re: tr,detの有名性質 / 行列初心者

回答有難うございました。よくわかりました

No.16765 - 2012/01/30(Mon) 13:23:21

★ 数検 / まゆ

数検準２級の過去問です＞＜
わからないので、解き方を教えて下さい＞＜

・（ｘ-ｙ）（4ｘ+ｙ）-（2ｘ-ｙ）（2ｘ+ｙ）＝-3ｘｙ
　と　
　（√5+2√2）（√5-√2）-2√5/√2
　と
　（ｘ-6ｙ）（ｘ＾2+6ｘｙ+36ｙ＾2）
簡単な解き方忘れたので教えて下さい＞＜

・∧と∨の使い分け忘れました＞＜
　Ａ∧Ｂ、Ａ∨Ｂ、あとこの二つにバーをつけたのの答えと解き方を教えて下さい＞＜
ちなみにＡ＝（１，３，７，８）、Ｂ＝（１，４，６，７）で全体は１～９です＞＜

・0°＜＝θ＜＝180°のときsinθ＝cosθを満たすθを求めなさい。
やりかた忘れました＞＜

・8051+7＾2＝90＾2という等式が成り立つことを利用して、8051を素因数分解しなさい。

・３つの正の整数、l,m,nに対して、l+m＾2＝n＾2という等式が成り立つものとします。n-m＜＞1であるとき、lは素因数分解できることを示しなさい。

・下の等式が成り立つような正の整数mの値を求めなさい。
10Ｐ4＝m！

・55,141,2332のように、逆から読んでも同じ数になる数のことを回分数といいます。回文数の中でも、11,313,12421のように素数である数のことを回文素数といいます。
３桁以上の回文素数の特徴は、すべて桁数が奇数であることです。４桁以上の整数で、桁数が偶数の回文素数は存在しません。なぜなら、このような回文数は必ずある正の整数ａの倍数になるからです。このときのａの値をもとめなさい。

長くなりましたがよろしくお願いします。

No.16687 - 2012/01/22(Sun) 23:09:52

☆ Re: 数検 / ヨッシー

(ｘ-ｙ)(4ｘ+ｙ) を展開して 4x^2-3xy-y^2
(2ｘ-ｙ)(2ｘ+ｙ) を展開して 4x^2-y^2
上から下を引いて -3xy です。

(√5+2√2)(√5-√2) を展開して 1+√10
2√5/√2 分母子√2で割って √10
上から下を引いて 1 です。

公式：(x-y)(x^2+xy+y^2)＝x^3－y^3 より
　(ｘ-6ｙ)(ｘ^2+6ｘｙ+36ｙ^2)＝x^3－216y^3

Ａにバーを付けたものをＡ~ で表すとします。
Ａ＝(1,3,7,8), Ｂ＝(1,4,6,7) に対し
Ａ~＝(2,3,4,5,9), Ｂ~＝(2,3,4,8,9)
であるので、
Ａ∧ＢはＡとＢの共通要素で、(1,7)
Ａ∨ＢはＡとＢの少なくとも一方に含まれる要素で(1,3,4,6,7,8)
Ａ~ やＢ~ についても、考え方は同じです。

0°≦θ≦180°のときsinθ＝cosθを満たすθを求めなさい。
これは、単位円を描いて見つけるのが確実ですが、
90°≦θ≦180° には存在しないことは明らかなので、
第１象限に絞れば良いでしょう。
ｙ＝sinｘとｙ＝cosｘのグラフを、重ねて書くのも、
有効な方法です。

8051＋7^2＝90^2　より
8051＝90^2－7^2　とかけるので、公式 x^2－y^2＝(ｘ＋ｙ)(ｘ－ｙ) より
　8051＝97・83
となります。

・３つの正の整数、l,m,nに対して、l+m＾2＝n＾2という等式が成り立つものとします。n-m≠1であるとき、lは素因数分解できることを示しなさい。
上の 8051の素因数分解の問題と同じ考え方です。

・下の等式が成り立つような正の整数mの値を求めなさい。
10Ｐ4＝m！
10Ｐ4 をまず求めます。
次に、４！、５！、６！・・・を順に求めて、10Ｐ4 と等しくなるところを見つけます。

>なぜなら、このような回文数は必ずある正の整数ａの倍数になるからです。このときのａの値をもとめなさい。
結論から言うと、ａ＝１１です。
11で割り切れるかどうかの見分け方を、ネットで検索すれば、
理由はわかるでしょう。

No.16691 - 2012/01/23(Mon) 12:47:25

★ 連立方程式 / ばるぼッさ

x^2+yz=7
y(x+w)=-1
(x+w)z=8
yz+w^2=-1
を満たすｘ、ｙ、ｚ、ｗの値を求める、その途中過程を教えてください。

(x+w)(y+z)=7=x^2+yz
(x-w)(x+w)=8=(x+w)
(x-w-1)(x+w)=0
など惜しい所？まではいけたのですが結局もとまりませんでした。
ちなみにｘ～ｚは全て実数です。

よろしくお願いします

No.16679 - 2012/01/22(Sun) 19:41:09

☆ Re: 連立方程式 / らすかる

x^2+yz=7 … (1)
y(x+w)=-1 … (2)
(x+w)z=8 … (3)
yz+w^2=-1 … (4)
(2)×(3)から yz(x+w)^2=-8 なので
yz=t とおくと
x^2+t=7 … (5)
t(x+w)^2=-8 … (6)
t+w^2=-1 … (7)
(6)から t(x^2+w^2+2wx)=-8
(5)からx^2=7-t、(7)からw^2=-1-tなので
代入して整理すると
twx=(t-4)(t+1)
両辺を2乗して x^2=7-t, w^2=-1-tを代入して整理すると
(t+1)(t+2)=0
∴t=-1,-2
t=-1のとき
(x,y,z,w)=(±2√2,干√2/4,干2√2,0)　（複号同順）
t=-2のとき、x^2=7-t, w^2=-1-t から
(x,w)=(±3,±1)　（複合任意）となるが、
このうち(x,w)=(3,1)(-3,-1)は(6)に合わず不適なので
(x,w)=(±3,干1)　（複合同順）
このとき
(x,y,z,w)=(±3,干1/2,±4,干1)　（複合同順）
よって答えは
(x,y,z,w)=(±2√2,干√2/4,干2√2,0), (±3,干1/2,±4,干1)　（複号同順）

# 「ちなみにｘ～ｚは全て実数です。」ということは
# 「x,y,zはすべて実数」ということですから
# wは虚数でもいいのかな、と思いましたが
# (2)で虚数は否定されました。

No.16682 - 2012/01/22(Sun) 21:22:13

☆ Re: 連立方程式 / ばるぼッさ

大変失礼しました。ｘ～ｗは全て実数です。の間違いでした。長い計算を本当にありがとうございました。

まさか式同士をかけるとは思いませんでした。ところで（２）と（３）をかけたりtwx=(t-4)(t+1)
の両辺を二乗したりと、この連立方程式の解き方は同値性をどんどん崩して（崩す事を気にせずに）進めて、最後に←の議論として十分性の確認をするという流れですよね。だとすれば、もし厳密な答案を書くとしたら、最後に得られた値が（１）（２）（３）（４）の式全てを満たす事の確認はしなきゃだめですよね？

No.16684 - 2012/01/22(Sun) 22:10:25

☆ Re: 連立方程式 / らすかる

もちろん確認は必要ですし、それを明記する必要もありますね。
上では書きませんでしたが、すべて確認しました。

No.16689 - 2012/01/22(Sun) 23:34:52

★ 因数分解する過程を教えて欲しい / たちっこ

こんにちは。

どの数字に着目すれば、といていけるのか、ということを軸に教えて欲しいです。質問するのにえらそうに注文してすみません。

問題なんですが

(a-b)^(3)+(b-c)^(3)+(c-a)^(3)

この式を因数分解する方法を教えて欲しいです。

教科書の回答がいきなり

(1-1)a^(3)-3(b-c)a^(2)+3{b^(2)-c^(2)}a+(b-c)^(3)+c^(3)-b^(3)

となっています。

これはどういうことでしょうか？
(a-b)^(3)+(b-c)^(3)+(c-a)^(3)をすべて解きほぐして、aに着目したしきにしているのでしょうか？

では、(1-1)a^(3)-3(b-c)a^(2)+3{b^(2)-c^(2)}a+(b-c)^(3)+c^(3)-b^(3)
で出てくる、(1-1)はどこからきたのでしょうか？

ここら辺の問題を交代式の性質利用というそうですが、
すごく苦手です。
詳しく丁寧に教えて欲しいです。
すみません、おねがいします。

No.16675 - 2012/01/22(Sun) 16:21:18

☆ Re: 因数分解する過程を教えて欲しい / angel

> これはどういうことでしょうか？
> (a-b)^(3)+(b-c)^(3)+(c-a)^(3)をすべて解きほぐして、aに着目したしきにしているのでしょうか？

その認識で特に問題はありません。
もちろん、aを中心にまとめるのが目的であれば (b-3)^3 は ( aを全然含まない形なので ) 展開せずに取り敢えずそのままにします。( 後で展開するかもしれないけど )

> では、(1-1)a^(3)-3(b-c)a^(2)+3{b^(2)-c^(2)}a+(b-c)^(3)+c^(3)-b^(3)
> で出てくる、(1-1)はどこからきたのでしょうか？

(a-b)^3 から出てくる a^3 の項の係数は 1
(c-a)^3 から出てくる a^3 の項の係数は -1
なので合計で a^3 の項の係数は (1-1) です。

No.16686 - 2012/01/22(Sun) 22:32:30

☆ Re: 因数分解する過程を教えて欲しい / 豆

質問の趣旨とは異なりますが、因数分解は非常に簡単です。
A^3+B^3+C^3-3ABC=(A+B+C)(A^2+B^2+C^2-BC-CA-AB)
という公式を知っていれば、
A=a-b,B=b-c,C=c-aとおけば、
問題は、
A^3+B^3+C^3= A^3+B^3+C^3-3ABC+3ABC
=(A+B+C)(A^2+・・・)+3ABC
=3ABC　(∵A+B+C=0)
=3(a-b)(b-c)(c-a)

3乗の和が3個あって、足して0であれば
この公式の活用をイメージしましょう

No.16690 - 2012/01/23(Mon) 09:17:30

★ 行列 / ジャックスパロー２

行列　（1 1)　　をCとするとC=Aとなる理由が分かりません
(1 -1)

B=(x)
(y)

とすると
AB=CB
(A-C)B=0
ですがA－C=0とは限らないはずですよね（行列の性質上）

なんとなくが嫌いな性格なのでとても気になってます。どなたか分かる方がいらっしゃれば教えてください。よろしくお願いします

No.16666 - 2012/01/22(Sun) 13:07:26

☆ Re: 行列 / ヨッシー

Ｂが任意のｘ、ｙに対するものならば、
　(Ａ－Ｃ)Ｂ＝０　⇔　Ａ－Ｃ＝０
です。

ところで、元の問題は何ですか？
>行列・・・をCとするとC=Aとなる理由が分かりません
だけでは、何のことか分かりません。

No.16669 - 2012/01/22(Sun) 13:17:13

☆ Re: 行列 / ジャックスパロー2

失礼しました

行列Aで表される移動によって点（ｘ、ｙ）は
点（ｘ＋ｙ、ｘ－ｙ）に移る。行列Aを求めよ。です

No.16674 - 2012/01/22(Sun) 14:17:41

☆ Re: 行列 / ast

催促するまでもなくヨッシーさんのNo.16669で十分に説明は尽きていると思いますが.

点 (x,y) は任意ですから, 特に (x,y)=(1,0) および (x,y)=(0,1) を考えれば, A の成分が決まります (これら二点を写した先が A のそれぞれ第一および第二列ベクトルを与えることに注意).

No.16707 - 2012/01/24(Tue) 15:40:47

☆ Re: 行列 / ジャックスパロー２

回答ありがとうございます。

なるほど！任意で成り立つなら確かに特定の場合でも成り立ちますね。

ところでなぜ
Ｂが任意のｘ、ｙに対するものならば、
　(Ａ－Ｃ)Ｂ＝０　⇔　Ａ－Ｃ＝０
が成立するのか教え（証明し）てください。（右から左は明らかですが。）

よろしくお願いします

No.16713 - 2012/01/24(Tue) 21:01:39

☆ Re: 行列 / ヨッシー

Ｄ＝Ａ－Ｃ　とおいて、Ｄを
(a b)
(c d)
とします。このとき　ＤＢ＝０を成分ごとに計算すると、
　ａｘ＋ｂｙ＝０
　ｃｘ＋ｄｙ＝０
これらがｘ、ｙについての恒等式になるので、
　ａ＝ｂ＝ｃ＝ｄ＝０
となります。

No.16715 - 2012/01/24(Tue) 21:12:00

☆ Re: 行列 / ジャックスパロー

回答有難うございます

Ｂが任意のｘ、ｙに対するものであるとき
　(Ａ－Ｃ)Ｂ＝０　⇒　Ａ－Ｃ＝０
が成立を示すのには
A、C、Bのままやる方法など他の示し方はないのでしょうか？

あったら教えてください。よろしくお願いしますorz

No.16720 - 2012/01/25(Wed) 20:13:31

☆ Re: 行列 / ヨッシー

結局、成分を意識することになりますが、
Ｂ＝(1 0) 本当は列ベクトル
とすると、Ａ－Ｃの第一列が、
Ｂ＝(0 1)
とすると、Ａ－Ｃの第二列が得られ、それらがいずれも
(0 0) なので、Ａ－Ｃの成分はすべて０となります。
というやり方も出来ます。

No.16721 - 2012/01/25(Wed) 22:46:50

★ ★量の関係を表すグラフの問題です / 夕凪

ヨッシーさん、こんにちわ。

いつも算数の解説ありがとうございます(o^-^o) 。

また算数の問題で行き詰ったので、よろしくお願い致します。

画像添付しておきます。

?@秒速２ｃｍだから、１０秒後は、２０cmで、点Ｐは、ＣからＤ寄りの８ｃｍのところにあると思います。そこで、三角形ＡＰＥの面積は、台形ＡＥＰＤの面積から三角形ＡＤＰと三角形ＥＣＰの面積を引いて出しました。

（１２＋２０）×２０÷２＝３２０
　８×１２÷２＝４８　
　１２×２０÷２＝１２０

　３２０－（４８＋１２０）＝１５２cm2

これ以外にもっと簡単に三角形ＡＰＥの面積を出す方法は、ありますか？

?Aどうやって、グラフを作っていっていいのか、解りません(>.<)。１０ｃｍの時、２０ｃｍの時、３０ｃｍの時って感じで、１０cm単位ぐらいで面積をそれぞれ出して、グラフに記入していくしかないのでしょうか？

簡単に書ける方法があれば、教えて下さい。

No.16657 - 2012/01/22(Sun) 10:14:43

☆ Re: ★量の関係を表すグラフの問題です / ヨッシー

「簡単である」を少ない式で出せるという意味だとすると、
ＥからＢＣに垂直に延ばした線と、ＡＰの交点をＱとすると、
　ＥＱ×２０÷２
で出ますが、「ミスをしにくい」こととは一致しません。
三角形を一つ一つ引いていくのが確実でしょう。

１０ｃｍ、２０ｃｍ、３０ｃｍだけでは不足です。
面積は、Ｅ～Ｃ、Ｃ～Ｄ、Ｄ～Ａで、それぞれ変化のしかたが
違いますので、点Ｃ，Ｄも含める必要があります。
結果から言うと、点Ｐが点Ｃ，Ｄにある時の面積さえあれば
グラフは引けます。

No.16667 - 2012/01/22(Sun) 13:11:11

☆ Re: ★量の関係を表すグラフの問題です / 夕凪

ヨッシーさん、こんばんは。

解説どうもありがとうございます(o^-^o)

でも、ヨッシーさんの解説の中で、まだ解らないところがあります。

「ＥからＢＣに垂直に延ばした線と、ＡＰの交点をＱとすると、ＥＱ×２０÷２」の意味がよく解りません(>.<)。

図に表すと、こんな感じなのでしょうか？

ほんとに頭が悪くて、すいません(。-人-。) 。

グラフの書き表し方は、方眼紙に１つずつ書き込んでいったら、出来ました(o^-^o) 。でも、すごく手間がかかりますね。

また、ご回答よろしくお願い致します。

No.16695 - 2012/01/23(Mon) 21:09:23

☆ Re: ★量の関係を表すグラフの問題です / ヨッシー

こういう等積変形をします。

△ＢＣＱが△ＡＥＰと等しくなります。

No.16699 - 2012/01/24(Tue) 00:17:15

☆ Re: ★量の関係を表すグラフの問題です / 夕凪

ヨッシーさん、こんばんわ(o^-^o)

解説どうもありがとうございます。でも、もうちょっとのところで、解りません(>.<)。

等積変形で△ＢＣＱが△ＡＥＰと等しくなるのは、解りました(o^-^o) 。でも、ＥＱの長さって、どうやって、求めればいいのでしょうか？

何度も申し訳ありませんが、よろしくお願い致します。

No.16722 - 2012/01/26(Thu) 01:00:52

☆ Re: ★量の関係を表すグラフの問題です / ヨッシー

ＥＱとＡＤの交点をＲとすると、
　ＱＲ：ＰＤ＝ＡＲ：ＡＤ＝８：２０＝２：５
であり、ＰＤ＝１２　なので、
　ＱＲ＝４．８
　ＥＱ＝２０－４．８＝１５．２
となります。

この解き方は、式が少ないというだけで、易しくはありません。

No.16724 - 2012/01/26(Thu) 05:37:15

☆ Re: ★量の関係を表すグラフの問題です / 夕凪

ヨッシーさん、こんにちわ(o^-^o)

ＥＱの長さの出し方の解説、どうもありがとうございました。

△ＡＱＲと△ＡＰＤの相似の性質を利用するのですね。

式が少ないだけで、易しくないのがよく解りました(*^.^*)。

解けるように頑張ります(o^-^o) 。

No.16743 - 2012/01/28(Sat) 16:33:05