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★ 逆関数とは / 零

ｆ（ｘ）＝ｘ＾2+2ｘ+2（ｘ≧−１）の逆関数を求めよという問題で 答案では ｘ≧−１でｙは単調増加（つまりｘとｙが一対一対応）であることを明記しないとだめだといわれました。そのことについて信憑性があるのか知りたいです。 例えば今回のｆ（ｘ）がｘの定義域が全ての実数だとして 逆関数を求めよ、ということなら ｘ＋１＝±√（ｙ−１）のｘとｙを入れ替えて ｙ＋１＝±√（ｘ−１）が答えで駄目なのでしょうか？ No.17460 - 2012/04/21(Sat) 18:21:04 ☆ Re: 逆関数とは / らすかる 関数とは「一つのxの値に対して一つのyの値が定まるもの」ですから y+1=±√(x-1) は関数ではありません。 No.17461 - 2012/04/21(Sat) 18:54:20 ☆ Re: 逆関数とは / 零 初耳でした・・ ではｙ＝ｘ＾２は関数だがｘ＝ｙ＾２は関数でない ｘ＾２＋ｙ＾２＝１や楕円なども関数ではないということですか？ No.17462 - 2012/04/21(Sat) 19:00:12 ☆ Re: 逆関数とは / らすかる （少なくとも高校以下の数学においては）その通りです。 # 遠い昔のことなので記憶が定かではありませんが、 # 上記の内容は「関数とは何か」という最初の学習段階で習った気がします。 No.17463 - 2012/04/21(Sat) 19:09:13 ☆ Re: 逆関数とは / 零 >>ではｙ＝ｘ＾２は関数だがｘ＝ｙ＾２は関数でない について、文字がｘ、ｙでなくu,vのときはどうなるのでしょうか？ No.17466 - 2012/04/21(Sat) 20:56:57 ☆ Re: 逆関数とは / 零 ｘ＾２＋ｙ＾２＝１のような表し方を陰関数表示と呼ぶようですが、つまり陰関数は関数ではない、ということですか？ No.17467 - 2012/04/21(Sat) 21:05:25 ☆ Re: 逆関数とは / らすかる 「何は何の関数」という言い方をしますので、 v=u^2ならばvはuの関数であり、uはvの関数ではありません。 x=y^2も、yがxの関数でないだけであって、xはyの関数です。 > 陰関数は関数ではない そうは言えません。 陰関数表示であっても、xに対してyがただ一つ決まるものは関数です。 No.17468 - 2012/04/21(Sat) 21:12:26 ☆ Re: 逆関数とは / 零 ちょっと待ってください。 １７４６１でy+1=±√(x-1) は関数ではありません。 とありますが、y+1=±√(x-1)⇔ｘ＝（ｙ＋１）＾２＋１という放物線ですから、これが関数でないのにｘ＝ｙ＾２が関数というのはおかしいと思いますが。。 それに逆関数が存在するには単調増加or単調減少でないと駄目かどうかの議論をしているのに、今しているのは関数の話で解答になっていない気がするのですが。 No.17473 - 2012/04/22(Sun) 11:09:41 ☆ Re: 逆関数とは / らすかる > １７４６１でy+1=±√(x-1) は関数ではありません。 > とありますが、y+1=±√(x-1)⇔ｘ＝（ｙ＋１）＾２＋１という > 放物線ですから、これが関数でないのにｘ＝ｙ＾２が関数というのは > おかしいと思いますが。。 yとxの式が「関数であるかどうか」とだけ聞かれれば、通常は 「yがxの関数であるかどうか」という意味と判断されます。 「１７４６１でy+1=±√(x-1) は関数ではありません。」 というのは y+1=±√(x-1) という式は、“yはxの関数ではない”という意味です。 x=y^2 は上に書いたように「xはyの関数」ではありますが、「yはxの関数」ではありません。 よってただ単に「x=y^2が関数か」と聞かれれば「関数ではない」となります。 > それに逆関数が存在するには単調増加or単調減少でないと駄目かどうかの > 議論をしているのに、今しているのは関数の話で解答になっていない気がするのですが。 単調増加or単調減少であれば、xとyを交換しても単調増加or単調減少になりますから xとyを交換しても「関数」となり、逆関数が存在します。 単調増加or単調減少でない場合、複数のxに対して同じyの値が対応する 可能性があり、その場合xとyを交換したときに「関数」でなくなりますから 「逆関数が存在しない」ということになります。 yがxの関数であるとき、「逆関数が存在する」＝「xがyの関数である」です。 No.17475 - 2012/04/22(Sun) 14:26:10

★ (No Subject) / Ｏ

数列の問題です。 ３つの数a,b,abがあって条件a＜0＜bを満たす これらの３つの数を適当に並べると等差数列になり、 このときに、b=a　である 　　　　　　　↑ ↑に何乗になるかわかりません。aが２つあるから２乗でいいでしょうか。 また、２の条件のもと、３つの数を適当に並べると、 等差数列になり、 このとき、(a、b)＝ ＝からお願いします。 No.17455 - 2012/04/21(Sat) 12:34:55 ☆ Re: / ヨッシー 問題文を、もう一度正確に書いてください。 根本的な間違いは置いておいて、 >このときに、・・・・である。 問題文には「このときに」とは書いていないはず。 >↑に何乗になるか 「↑に」は不自然です。（「↑」ではなく「に」の方です） >aが２つある 「ある」とは何でしょうか？ 足されているのか、掛けられているのか、それ以外か？ >また、２の条件のもと、 「２の条件」とは何ですか？ No.17457 - 2012/04/21(Sat) 12:52:54

★ (No Subject) / A

数?Tの問題です。 実数ｘ,ｙが(√3＋√2)x=√3−√2,(√3−√2)y=√3＋√2 を満たしているとき、ｘ,ｙの整式 Ａ＝２x(ｘ2乗＋3xy)＋２y(ｙ2乗−2x)＋3y(2xy＋1)−３x＋２の値を求めたい。 (1)Ｘ＋Ｙ= 　　　xy= 　Ｘ−Ｙ= 最初の式を解いてみたのですが、XとYがでません。 √3x＋√2x=√3−√2 √3y＋√2y=√3＋√2 と式を考えてみたのですが、√同士の計算ができないため、 ｘとｙを求めるのに困っています。 お願いします。 　　　　 No.17449 - 2012/04/21(Sat) 00:47:32 ☆ Re: / ヨッシー (√3＋√2)x=√3−√2 両辺を √3＋√2 で割ってから、分母を有理化しても良いですが、 表記を簡単にするため、両辺に √3−√2 を掛けてみます。 　(√3＋√2)(√3−√2)＝３−２＝１ なので、 　x=(√3−√2)^2＝５−２√6 同様に 　ｙ＝(√3＋√2)^2＝５＋２√6 ｘ、ｙ が求まったので、ｘ＋ｙ、ｘｙ、ｘ−ｙ が出ますね。 あとは、Ａを、ｘ＋ｙ、ｘｙ、ｘ−ｙ が見える形に変形します。 No.17450 - 2012/04/21(Sat) 01:04:15 ☆ Re: / A 返信ありがとうございます。 数?Tの続きです。 (2)Ａの右辺を変形すると、 　 Ａ＝ (3)以上より、求めるＡの値は Ａ＝ である。 イコールからお願いします。 Ａ＝２x(ｘ2乗＋3xy)＋2y(ｙ2乗−2x)＋3y(2xy＋1)−3x＋2の値を計算してみました。 A=２(ｘ＋ｙ)３乗からわからなくなりました。 No.17454 - 2012/04/21(Sat) 12:27:13 ☆ Re: / ヨッシー Ａ＝２x(ｘ^2＋3xy)＋2y(ｙ^2−2x)＋3y(2xy＋1)−3x＋2 を展開して、 2(x+y)^3 が見つかったら、あとは 　Ａ＝2(x+y)^3−4xy−3x＋3y＋2 ですね。xy と x-y が見えてきませんか？ No.17456 - 2012/04/21(Sat) 12:40:59

★ しんどい / トム

行列（入試問題）の問題を解いているのですが、 ー５ａー（ｃー１）（ｂー１）＝０ ｂｃ＋４（ａー１）＝０ という２式を導くところまできました。 （１）の問題が ｃ：４＝５：（ｃー１） が成り立つ事を示せ、とあるのですが、この２式から導く事が出来るのでしょうか？ 行列（２行２列，２行１列）の表記方法が直ぐに浮かばなかったので途中過程を書きました。 No.17435 - 2012/04/19(Thu) 23:00:33 ☆ Re: しんどい / X 文字３つに対して方程式が２式しかありませんので、 導くことはできないと思います。 No.17439 - 2012/04/20(Fri) 01:38:40 ☆ Re: しんどい / トム まずは、速い返信ありがとうございます。 > 文字3つに対して式2つという場合、1つの文字で残り2つの文字を表現していく手法がありますが、それと同じ要領で進めるのかと思ったので… （例） 『実数X、Y、Zがともに0でなく、2X−Y＋Z＝0 と X＋2Y＋8Z＝0 の両方を満たすとき、 （XY＋YZ＋ZX）／（X^2＋Y^2＋Z^2）の値を求めよ。』 のような問題で使う手法です。 僕が考えている行列の問題は 『行列A＝（a b c −5） 【←2次の正方行列で、左上、右上、左下、右下の順番です】 に対し、 A（x y）＝（y x）、 A（y x）＝（y −x）、 （x y）≠（0 0） 【↑実際は2行1列です】 を同時に満たすx、yがある。 この時、 （1）c : 4 ＝5 :（c−1） が成り立つ事を示せ。 （2）a、b、cの値を求めよ。 』 という問題です。 （1）を示すにはどうすれば良いのでしょうか？ No.17443 - 2012/04/20(Fri) 11:25:04 ☆ Re: しんどい / トム （1）は C＾2−C−20＝0 という式が出てきたので C : 4＝5 :（C−1） が示せそうです。 （2）なのですが、 C＝5のとき b＝a と b＝1−a の場合に分けて考えると、答えが2組でてしまうのですが（c＝−4の時は不適でした） 答えは1つだけと言われました。 考え方が間違っているのでしょうか… No.17446 - 2012/04/20(Fri) 17:35:46 ☆ Re: しんどい / ヨッシー 最初の ー５ａー（ｃー１）（ｂー１）＝０ ｂｃ＋４（ａー１）＝０ とのつながりがよく見えません。 C＾2−C−20＝0 を導くまでの過程を書いてもらえますか？ No.17453 - 2012/04/21(Sat) 11:50:25 ☆ Re: しんどい / トム たいへん失礼しました。 その2つの式は途中で沈没した方針で進めた際に出てくるので…そのように追記すべきでした。 ちなみに、 −5a−（c−1）（b−1）＝0 は A（x y）＝（y x）に A ＝（a b c −5）を代入し、 （a b−1 c−1 −5）（x y）＝（0 0） かつ、（x y）≠（0 0）より、 行列式＝0から −5a−（b−1）（c−1）＝0 と求めたものです。 今度は、与えられた2つの式をまとめて、 A（x y y x ）＝（y y x −x） ∴（a b c −5）（x y y x ）＝…… ＝（ax＋by bx＋ay cx−5y −5x＋cy）＝（y y x − x ） より、各成分を比較して cx − 5y＝x と −5x＋cy＝−xの2式からxを消去し、 途中でy≠0を用い、c＾2−c−20＝0 となりました。 行列の表記に苦戦するのですが、正確に伝わっているでしょうか？ 2行2列、2行1列を横並びに書いているので… No.17459 - 2012/04/21(Sat) 15:36:58

★ 反例 / ああ

x>yならばx/y>1 は偽。その反例は、 x=1,y=0 以上のように書いた答案は正しいのでしょうか? No.17429 - 2012/04/19(Thu) 00:04:18 ☆ Re: 反例 / X 問題ありません。 No.17430 - 2012/04/19(Thu) 00:12:32 ☆ Re: 反例 / ああ ありがとうございます。 x=1,y=0は、x/y>1に代入できないので、よくないといわれたのですが。 No.17431 - 2012/04/19(Thu) 00:24:47 ☆ Re: 反例 / らすかる x=1,y=0のときx/yは未定義で真偽が判定できませんので ダメだと思います。 No.17432 - 2012/04/19(Thu) 16:19:51 ☆ Re: 反例 / ああ えーっ、Xさんとらすかるさんでご回答が違うと混乱します。 よろしければ他の方のご意見を伺えればと思います。 No.17434 - 2012/04/19(Thu) 22:20:39 ☆ Re: 反例 / angel 私はらすかるさんの方を推します。 > x＞yならばx/y＞1 という時点で、「x/yが計算できる範囲(つまりy≠0)において」という暗黙の前提があると見るのが自然だからです。 No.17437 - 2012/04/19(Thu) 23:59:54 ☆ Re: 反例 / ああ angelさん、ご意見いただきまことにありがとうございます。 実はまだ混乱しております。 No.17438 - 2012/04/20(Fri) 00:24:43 ☆ Re: 反例 / ああ 別問題を考えました。 x≠yならばx/y≠1 これは真ですか、偽ですか？ 真であるという方はその証明を、 偽であるという方はその反例をどうか教えてください。 No.17440 - 2012/04/20(Fri) 03:07:41 ☆ Re: 反例 / ヨッシー それは真です。 対偶をとっても良いですが、まともにやるなら ｘ＞ｙ　のときにおいて 　ｙ＜０　のとき　ｘ／ｙ＜１ 　ｙ＞０　のとき　ｘ／ｙ＞１ ｘ＜ｙ　のときにおいて 　ｙ＜０　のとき　ｘ／ｙ＞１ 　ｙ＞０　のとき　ｘ／ｙ＜１ いずれの場合も　ｘ／ｙ≠１　である。 それより、最初の質問と、いくつかのやりとりで、 x=1,y=0 のように、ｙを０にするという発想は、排除できたのでしょうか？ No.17441 - 2012/04/20(Fri) 07:12:47 ☆ Re: 反例 / 黄桃 元の問題の例はいい例ではないと思います（「そんな重箱の隅のような例よりもっとはっきりした反例があるだろ」と突っ込みたくなる）が、間違いではないと思います。 x/yが未定義ということは少なくとも x/y>0 が真ではない、ということでしょう。 ＃この反例を認めないと ＃「a,b,x が実数の時 ax=b ⇒ x=b/a 」 ＃も真になりますが、さすがにまずい気がします。 ＃＃命題に応じて、変数の動く範囲が変わるのでは、一般的な命題を扱う形式論理が使えなくなります。 別問題は常にヨッシーのおっしゃる通り真です。 ＃ただし、「x,yが実数の時、x/y≠1 ならば x≠y」であれば x=1,y=0 が反例なので偽です。 ＃x/y≠1 は「x/yは1でない」の意味であり、「x/yは1とは違う数である」を意味しないと思います。 No.17442 - 2012/04/20(Fri) 07:51:57 ☆ Re: 反例 / ああ ヨッシー様。 僕は、 x>yならばx/y>1 は偽。その反例は、x=1,y=0を正解と考えております。 また、別問題においても、 x≠yならばx/y≠1 は偽。その反例は、x=1,y=0と考えております。 ネットの皆様の意見も分かれて、とても混乱しております。 No.17444 - 2012/04/20(Fri) 11:40:06 ☆ Re: 反例 / ああ 黄桃様。 黄桃さんも、 x>yならばx/y>1 は偽。その反例は、x=1,y=0を正解 ということで、ヨッシーさんとご意見が違い、僕は混乱して降ります。 別問題において、恐縮ながら、黄桃さんは勘違いなされているように思えるのですが。 > ＃ただし、「x,yが実数の時、x/y≠1 ならば x≠y」であれば x=1,y=0 が反例なので偽です。 x=1,y=0 は結論の「x≠y」を満たすので、反例ではないです。 No.17445 - 2012/04/20(Fri) 11:45:50 ☆ Re: 反例 / 黄桃 >x>yならばx/y>1 について、もう少し説明します。 A={(x,y)|x,yは実数で x>y} B={(x,y)|x,yは実数でx/y>1} という集合をxy平面に図示してください。 「（すべての実数x,yについて）x>yならばx/y>1」とはA⊂Bが成立するということです。したがって、Aの元でBの元でないものがあればそれが反例です。 Bではy=0の部分は除かれますから、(1,0)はBの元ではありません。しかし、Aの元ではありますから、これは反例です。 >> ＃ただし、「x,yが実数の時、x/y≠1 ならば x≠y」であれば x=1,y=0 が反例なので偽です。 >x=1,y=0 は結論の「x≠y」を満たすので、反例ではないです。 おっと、失礼。x=0,y=0 にしてください。 ＃あちこちで質問するなら、過去の経緯をURLを示すなりして、提示したほうがいいですよ。 No.17448 - 2012/04/21(Sat) 00:37:15 ☆ Re: 反例 / ああ 黄桃様。ありがとうございます。 今日は僕は休日だったために、時間をもてあまして、他のところでも質問させていただきました。すみません。 x>yならばx/y>1 は偽。その反例は、 x=1,y=0 というのは正解か？ という最初の質問において、 正解というご返答：X様、黄桃様 不正解というご返答：らすかる様、angel様、ヨッシー様 でした。 今回の問題はどちらのご意見が正しいのか、自然なのか、多数派なのか、まだよく分かりませんが、解釈の違いがあるのだということは確かなようです。 数学の質問のご返答で、真っ二つにご意見が分かれたことは驚きでした。 No.17451 - 2012/04/21(Sat) 01:09:50 ☆ Re: 反例 / angel > 最初の質問において、 > 正解というご返答：X様、黄桃様 > 不正解というご返答：らすかる様、angel様、ヨッシー様 > でした。 いや、正解か不正解かという問題ではないのです。 前提条件をどこまで省略できるか、というお話です。 おそらく“x＞yならばx/y＞1”という、元の問題にある(偽の)命題は、“y≠0 において、x＞yならばx/y＞1”の省略形です。 なぜそう判断したかと言うと、x/y という形が出てきているためです。 似たような話としては、 　“x＞y⇒log[2]x＞log[2]y”の真偽を判定せよ という問題で、 　x=0,y=-1 の場合 log[2]x, log[2]y が定義できず log[2]x＞log[2]y は成立しない。 　よって反例が存在するため偽である とか言うと、まあ、多分×を貰います。 本当は、x,y の範囲をきっちり決めていない問題自身がビミョーなのですが、そういう暗黙の前提というのは受け入れざるを得ないものだと思います。 ※というか、今回わざわざ y=0 を持ち出さなくとも反例は示せるんだし… No.17452 - 2012/04/21(Sat) 03:06:28 ☆ Re: 反例 / ああ ありがとうございます。 x＞yならばx/y＞1 において、y≠0 を省かないとしたら、 （x＞y）ならば（y≠０　かつ　x/y＞1） と解釈するか、 （y≠０）ならば｛（x＞y）ならば（x/y＞1）｝ と解釈するかの違いがあります。いままでのご回答では「問題不明確」というお返事はありません。皆様はどちらかの解釈をごく自然にされて、最初の質問に対して、「正解」か「不正解」と明言されました。 そのように、優秀な方々の自然な解釈が、真っ二つに分かれたことが驚きでした。 “x＞y⇒log[2]x＞log[2]y”の真偽を判定せよ これもx>0,y>0を省かないとして、二つの解釈があります。 （x＞y）ならば（ｘ＞０　かつ　ｙ＞０　かつ　x/y＞1） と解釈するか、 （ｘ＞０かつｙ＞０）ならば｛（x＞y）ならば（x/y＞1）｝ 僕にとっては前者で解釈することが自然ですが、angel様は後者で解釈されるのかもしれません。 分母≠0や真数＞0の暗黙の了解を、どこに適用するか(数式だけに適用か、問題文全体に適用か)の暗黙の了解はあるのでしょうか。 No.17458 - 2012/04/21(Sat) 15:36:29 ☆ Re: 反例 / らすかる いや、私も「問題不明確」とは思いましたよ。 でも、数学の問題はいつも完璧に明確とは限りません。 解釈の仕方によって別の答えになる問題はたくさんあり、 そういう問題に出会ったときに最も妥当な解釈は何かを 判断する能力も身につけないといけないと思います。 私が「ダメ」と考えた理由は、対偶を考えてのことです。 普通に考えて、 x＞y の否定は x≦y x/y＞1 の否定は x/y≦1 ですから、 「x＞y ならば x/y＞1」 の対偶は普通に考えれば 「x/y≦1 ならば x≦y」 となりますよね。 もし「未定義」まで考慮しなければならないとしたら、 「x＞y ならば x/y＞1」 の対偶は 「『x/yが定義されないか、またはx/yは定義されるがx/yと1の比較が定義されないか、 あるいはx/yもx/yと1の比較も定義されてx/y≦1』ならば 『xとyの比較が定義されないか、またはxとyの比較が定義されてx≦y』」 なんていうとんでもないことになります。 こんな考え方は普通しませんよね。 で、元の命題と対偶命題は同値ですから、普通に対偶を考えれば 「x/y≦1 ならば x≦y」と同値、すなわちy=0は最初から除外されるべきもの、と 考えて上のような回答になりました。 > 分母≠0や真数＞0の暗黙の了解を、どこに適用するか(数式だけに適用か、 > 問題文全体に適用か)の暗黙の了解はあるのでしょうか。 通常、問題文のどこかにx/yが入っていればy=0が除外されるのが 暗黙の了解のように思います。 方程式でも、どこか1個所でもlog[x]yとあれば x≠1, x＞0, y＞0 が暗黙の了解になっていますよね。 No.17464 - 2012/04/21(Sat) 19:54:01 ☆ Re: 反例 / ああ ありがとうございます。僕にとって、 x/y＞1 の否定は (y＝0　または　x/y≦1) が妥当な解釈で、他の方も同じように考えると思っていましたが、らすかる様の解釈とは違うようで、いい刺激になりました。 ｐ⇒ｑという命題のｑに、x/yが入っていれば、命題全体でy≠0とするのがらすかる様の解釈ですが、ｑだけでy≠0とするの僕の解釈です。 解釈の違いという意味で、6÷2(1+2)=? の話題と少し似ていると感じます。 No.17469 - 2012/04/21(Sat) 22:05:15 ☆ Re: 反例 / らすかる > x/y＞1 の否定は (y＝0　または　x/y≦1) これは高校数学では一般的ではないと思います。 「x/y＞1」と書いてあれば、yの定義域は「0以外の実数」と考えるのが普通です。 そういうふうに考えるのであれば、 「√x＞1」の否定は「x＜0 または 0≦√x≦1」と考えるのですか？ No.17470 - 2012/04/21(Sat) 23:35:28 ☆ Re: 反例 / 黄桃 >「x/y＞1」と書いてあれば、yの定義域は「0以外の実数」と考えるのが普通です。 このように、元の命題でx,yの動く範囲が明確でないのが問題なのは間違いないです。x,yが動く範囲を複素数としてよけれえばx=i,y=1 の時 x/y>1 は偽です。 >「√x＞1」の否定は「x＜0 または 0≦√x≦1」と考えるのですか？ xの動く範囲が実数全体であれば「x＜0 または 0≦x≦1」と同値で間違いありません。問題にx≧0の条件がついていれば、 0≦x≦1と同じになります。 ＃高校数学では、偽の命題の扱いがおかしいように思います（特に条件文の仮定の場合はひどい）。 ＃x/yとかかれていればy≠0というのは、関数の定義域と命題の真偽を混同している気がします。 ＃＃もっといえば、x/yと書いたらy=0の場合は除く、 ＃＃という考え方に固執しすぎると、a,b,c,dを実数, ad-bc≠0とするとき ＃＃{f(x)|f(x)=(ax+b)/(cx+d)} という関数の集合を考える、 ＃＃という場合に、共通の定義域がないから考えられない、 ＃＃という不自由なことになりませんか？ 参考書などには、 √a√b=√(ab) は必ずしも正しくない(a<0,b<0の時偽） log(a)+log(b)=log(ab)とは限らない(a<0,b<0の時左辺は定義できないが右辺は定義できる） a+b>0, ab>0 ⇒ a>0, b>0 とは限らない(a,bが虚部が0でない共役複素数の時 a>0, b>0 は偽） という類のことが書いてあります。 これらでは変数の動く範囲が実数全体であったり、複素数全体であったりして、確かに統一性がありません。 ただ、特に条件がつかなければ変数の動く範囲は実数全体と考えるのも普通ではないでしょうか。 ＃変数の動く範囲を明示する方がいいのは確かです。 ＃でも、明示されていないから「こう解釈して答えた」というのはありで、その解釈が荒唐無稽でなければ尊重されるべきだと思います。 No.17472 - 2012/04/22(Sun) 09:27:27 ☆ Re: 反例 / ああ ありがとうございます。 「√x＞1」を解けといわれれば、同値変形で、 ⇔「x≧0かつx＞1」⇔「x＞1」とします。したがって、 「√x＞1」の否定は「x＜0 または 0≦√x≦1」と考えるのが自然だと僕は解釈します。 「√x＞1」を解けという問題は高校数学では「問題不明確」ではありません。「√x＞1の否定は」という問題も同じと思っていましたが、らすかる様とは異なるようです。 改めて高校教科書を見直してみました。集合と命題の分野の練習問題では、「xは実数とする」などと変数の範囲が丁寧すぎるくらい書かれていました。「x>yならばx/y>1は偽。その反例を述べよ」「√x＞1の否定」という表現は教科書ではアウトと思います。 それが、参考書や校内テストではある程度許される表現なので、今回のこのような解釈の違いが現れたと思いました。 もし自分が問題作成する立場なら、方程式の分野では、多少は変数の範囲を省いてもいいかもしれないけど、命題の分野では、変数の範囲を省かないほうがいいと反省しています。 No.17474 - 2012/04/22(Sun) 14:14:36

★ 積分 / 受験生

今年、受験生で現在積分をならっています。 今、あたまが混乱しています。助けてください。 数?Vの微分でyをxで微分したものをdy/dxで表すと習いました。しかしこれはもちろん分数のことではないですよね？ 今日、積分の勉強しているときに本に 　dy/dx=2 つまり dy=2dx となっていました。 そこでわけわからなくなりました。分数でもないのになんでこんなことができるのでしょうか？ 　 バカな僕におしえてください。お願いします。 No.17424 - 2012/04/17(Tue) 23:16:11 ☆ Re: 積分 / sorede ∫f(x)dx　　 この表現自体 dx を　単独で使った表現になっている . http://ja.wikisource.org/wiki/%E8%A7%A3%E6%9E%90%E6%A6%82%E8%AB%96/%E7%AC%AC3%E7%AB%A0/%E7%A9%8D%E5%88%86%E5%A4%89%E6%95%B0%E3%81%AE%E5%A4%89%E6%8F%9B http://mixedmoss.com/math_reading/Integral/integral_as_a_sum.pdf http://ja.wikisource.org/wiki/%E8%A7%A3%E6%9E%90%E6%A6%82%E8%AB%96/%E7%AC%AC2%E7%AB%A0/%E5%BE%AE%E5%88%86_%E5%B0%8E%E5%87%BD%E6%95%B0 No.17425 - 2012/04/18(Wed) 10:34:30 ☆ Re: 積分 / ast 分数ではありませんが, 記号的な操作として「あたかも分数であるかのように振舞うように見える」ということであり, これはこの記法 (ライプニッツの記法) の優れた点の一つとしてよく挙げられる性質です. 高校の範囲では dy=2dx というような式 (あるいは dy や dx といった「無限小」もしくは微分形式) はそれ単独では正当化できない意味のないものですが, これは適当な性質を満たす任意の函数 f(y) (y=y(x)) を使って, ∫f(y(x))(dy/dx)dx = ∫f(y)dy という形に書いて初めて正当性を持ちます (これはもちろん置換積分の公式に他ならない). その上で, 積分記号と f(y)=f(y(x)) は両辺に共通ですから, この公式は見かけ上 dy = (dy/dx)dx (今の場合 = 2dx) と言っている「ように見え」るわけです. あくまで記号的にそうやったように見えるだけです. 高校の範囲であれば, 置換積分以外の文脈でこのような無限小の等式が現れることはありませんので, 置換積分の式を作った時点でそのような記号的操作が全て正当化されますから, そのように理解したうえで単に便法として利用すればよいということになります. なお, 積分から切り離した単独での無限小の定式化や無限小に関する演算については, いくつか正当化のやり方がありますが, 差し当たって大学初年度級の解析学を学んでいけば, sorede 氏の提示されているような文献を十分に読めるようになるはずです. 個人的には「微分形式」 (=「余接ベクトル束の切断」) として捉えることが多いですが, 「超準解析」上の概念として捉える方もあるでしょうし, 他にもあると思いますが, これらはより進んだ数学が必要になりますので, 言葉を提示するにとどめます. No.17427 - 2012/04/18(Wed) 15:35:13

★ (No Subject) / math
(1)の、この8人を4人ずつの2つのグループの分け方は35通りと分かったのですが、どの夫婦も別のグループに分かれる分け方の解き方がわかりません。 解説おねがいします。 No.17419 - 2012/04/17(Tue) 11:01:14 ☆ Re: / ヨッシー リプライは「返信」ボタンからお願いします。 ８人をＡａＢｂＣｃＤｄ とします。（同じ字の大文字小文字が夫婦） Ａとａ は別のグループに入ります。 Ｂとｂについて、ＢがＡ側に入るか、ａ側に入るか Ｃとｃについて、ＣがＡ側に入るか、ａ側に入るか 　・・・ と考えます。答えは８通り。 No.17420 - 2012/04/17(Tue) 11:22:26

★ (No Subject) / math

4組の夫婦，合計8人の男女がいる。 (1)この8人を4人ずつの２つのグループに分け方は、全部で何通りあるか。 このとき、どの夫婦も別のグループに分かれる分け方は何通りか。 (2)この8人を、それぞれ2人以上の2つのグループに分ける分け方は、全部で何通りあるか。 　また、このとき、男性だけのグループができるような分け方は何通りか。男性だけのグループも女性だけのグループもできない分け方は何通りか。 (3)1つの円卓で食卓をするために、この8人の座席を決めたい。このとき、(?@)男女が交互に座る座り方は何通りあるか。 (?A)男女が交互に座るとは限らないとして、どの夫婦も隣り合った席に座る座り方は何通りか。 長文ですみません よろしくおねがいします。 No.17416 - 2012/04/16(Mon) 23:55:05 ☆ Re: / ＿ あなた自身はまずどのように考え、どのように方針を立てましたか？ No.17417 - 2012/04/17(Tue) 00:30:03 ☆ Re: / ヨッシー 場合の数の問題は、ご質問の例のように、応用的な設問が 数珠つなぎに出て来ます。 そのくせ、難易度は、一桁の足し算と、二桁以上の掛け算くらいの 差があります。 当然、一桁の足し算が出来なければ、掛け算も出来ません。 (1) の前半が、この一桁の足し算に当たります。 まずは、これをいかにして解くかに集中しましょう。 「こんなのは出来るよ」というなら、どこまで出来てどこから出来ないのか、 明確にして下さい。 No.17418 - 2012/04/17(Tue) 08:53:13 ☆ Re: / math (2)はどのように解けばよいか全くわかりません。2人以上は 3人でもよいのでしょうか。3人で計算すると、ごちゃごちゃになって答えがでませんでした。 解説おねがいします。 No.17421 - 2012/04/17(Tue) 17:34:38 ☆ Re: / ヨッシー (2) ４人と４人に分ける　・・・これは (1) でやりました。 ３人と５人に分ける　・・・これはむしろ(1)より簡単 ２人と６人に分ける　・・・同上 １人と７人に分ける　・・・２人以上でないのでダメ (1) の前半が出来れば、出来るはずです。 というか、(1) はどうやって３５を求めましたか？ No.17422 - 2012/04/17(Tue) 21:43:42

★ (No Subject) / 受験生

よろしくおねがいします。 点Oを中心とする円周の６等分点をP1,P2,...P6とする。サイコロを三回振り、出た目が準にi,k,jのときの得点を次のように定める。i,k,jの中に同じものがあれば0点とする。i,j,kがすべて異なるときは,円の中心Oが△PiPjPkの内部にあれば３点、返上にあれば２点、外部にあれば１点とする。得点に期待値を求めよ。 No.17410 - 2012/04/15(Sun) 22:49:50 ☆ Re: / ヨッシー 目の出方は全部で　６3＝216 (通り) ３つの目がすべて違うのは、６×５×４＝１２０(通り) １点となるのは図のような場合で、 　三角形が P1P2P3,P2P3P4,・・・P6P1P2 の6個 　1つの三角形につき目の出る順は6通りあるので、 　全部で6×6＝36(通り) ３点となるのは図のような場合で、 　三角形が P1P3P5, P2P4P6 の2個 　1つの三角形につき目の出る順は6通りあるので、 　全部で 6×2＝12(通り) 残り、120−36−12＝72(通り) が２点 以上より、求める期待値は、 　(1×36＋2×72＋3×12)/216＝１(点)　・・・(答え) No.17411 - 2012/04/15(Sun) 23:15:04 ☆ Re: / ＿ このくらいなら数え上げられそうです。ということでこんな解き方。 i=1とする。j,kの値によって得点は下表のようになる。 j＼k 1 2 3 4 5 6 1 0 0 0 0 0 0 2 0 0 1 2 2 1 3 0 1 0 2 3 2 4 0 2 2 0 2 2 5 0 2 3 2 0 1 6 0 1 2 2 1 0 i=2〜6の時も同様で、求める期待値は (1/6)・(0・16/36 + 1・6/36 + 2・12/36 + 3・2/36)・6 = 1 No.17412 - 2012/04/16(Mon) 00:56:24 ☆ Re: / 受験生 みなさん、ほんとうに丁寧に答えてくれてありがとうございました。 No.17423 - 2012/04/17(Tue) 23:11:01

★ 三角関数の相互関係 / Xex 高3

3cos2x+4sin2x=k (0≦x≦π/4) とする時、tanxをkを用いて表せ。 一向にわかりません。どなたか教えてくださいお願いします。[ニューアクションオメガIIBより] No.17406 - 2012/04/15(Sun) 19:28:45 ☆ Re: 三角関数の相互関係 / X 方針だけ。 3cos2x+4sin2x=k (A) から (i)x≠π/4のとき 3+4tan2x=k/cos2x 3+4tan2x=k/{2(cosx)^2-1} (A)' ∴tanx=tと置くと、(A)'は 3+8t/(1-t^2)=k/{2/(1+t^2)-1} これより 3+8t/(1-t^2)=k(1+t^2)/(1-t^2) 3(1-t^2)+8t=k(1+t^2) (k+3)t^2-8t+k-3=0 (B) ここで(A)の左辺を合成すると 0≦x≦π/4においてk＞0 となることが分かります(確かめて下さい)。 従って k+3≠0 ですので(B)はtの二次方程式となります。よって…。 (ii)x=π/4のとき (i)の結果にx=π/4を代入した結果が(A)でx=π/4のときの kの値と矛盾しないかチェックします。 矛盾するようであれば、この場合だけ別の解答となります。 No.17407 - 2012/04/15(Sun) 19:52:55

★ べき級数の収束半径（大1） / ワイリー

べき級数Σ{c(n)*x＾n}の収束半径rは r=　lim[n→∞]{|c(n)/c(n＋1)|} であることをダランベールの判定法で示す方法がよく分りません。 ダランベールの判定法によりΣ|c(n)*x＾n|が、 (|x|/r)<1なら収束し(|x|/r)>1なら発散する。ここで絶対収束する数列は収束するから、(|x|/r)<1ならΣ{c(n)*x＾n}は収束する。 ここまでは分るのですが、(|x|/r)>1なら、Σ{c(n)*x＾n}は発散するということはどうやってわかるのですか？ Σ|c(n)*x＾n|が発散していてもΣ{c(n)*x＾n}は条件収束するかもしれませんよね？ No.17404 - 2012/04/15(Sun) 14:52:30 ☆ Re: べき級数の収束半径（大1） / ワイリー すいません一応補足します。 rをlim[n→∞]{|c(n)/c(n＋1)|}とおいたとき、 そのrと|x|の大小関係が変わる部分でΣ{c(n)*x＾nの 収束発散が変わることを証明したいということです。 No.17408 - 2012/04/15(Sun) 22:43:28 ☆ Re: べき級数の収束半径（大1） / ワイリー お願いします、誰か教えてください（T_T） No.17414 - 2012/04/16(Mon) 21:04:06 ☆ Re: べき級数の収束半径（大1） / sorede c(n)*x＾n　→　0　　　と成らない . http://ja.wikisource.org/wiki/%E8%A7%A3%E6%9E%90%E6%A6%82%E8%AB%96/%E7%AC%AC4%E7%AB%A0/%E5%8F%8E%E6%9D%9F%E3%81%AE%E5%88%A4%E5%AE%9A%E6%B3%95(%E7%B5%B6%E5%AF%BE%E5%8F%8E%E6%9D%9F) http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/kaisekikiso/node18.html#hantei No.17426 - 2012/04/18(Wed) 10:39:01 ☆ Re: べき級数の収束半径（大1） / ワイリー なるほど！0に収束しない数列を無限に足すと発散しますもんね！ ありがとうございます（＾▽＾） No.17447 - 2012/04/20(Fri) 23:59:17

★ ★台形とグラフの数量関係の問題 / 夕凪

ヨッシー様、こんにちわ(o^-^o) いつも丁寧に解説、どうもありがとうございます(o^-^o) 。 また同じような問題で行き詰ってるので、ヒントか解説どうかよろしくお願い致します。 こうかなって思うところまで、解いてみましたが、ここから思い浮かびません(>.<)。 ?@点Ｐが点Ｄに重なる時の三角形ＰＢＣの面積が１０秒後で２４０cm2 ＢＣ×２０÷２＝２４０　ＢＣ＝２４ｃｍ グラフから点Ｐが点Ｄから点Ａまで進むのに、１４．５−１０＝４．５秒かかっていますか？ そして、この４．５秒の間は、ずっと面積が２４０cm2なんでしょうか？ こっからどうやって、ＡＤの長さとＡＢの長さを求めていったらいいのか、ちょっと思い浮かびません(>.<)。 ?Aも、?@が解らないので、解らないですが、 　 （ＡＤ＋２４）×２０÷２＝２５３．２ この台形の面積から、ＡＤを出して、Ｐが出発してから何秒後か考えるのですか？ どうか、解説よろしくお願い致します。 No.17403 - 2012/04/15(Sun) 12:23:27 ☆ Re: ★台形とグラフの数量関係の問題 / ヨッシー 面積が、増えていく時期、変わらない時期、減っていく時期が あるというのが、下の図からわかると思います。 そして、その変わり目が、点Ｄや点Ａの頂点であることは、 これまでの問題でも経験してきたことです。 よって、 >点Ｐが点Ｄから点Ａまで進むのに、１４．５−１０＝４．５秒かかっていますか？ >そして、この４．５秒の間は、ずっと面積が２４０cm2なんでしょうか？ ここに疑問符は要りません。 話の流れとしては、ＣＤを進む時間から、点Ｐの速さがわかります。 その速さと、ＤＡ間の時間から、ＡＤの長さがわかります。 同様にＡＢの長さもわかります。 以上から、数の長さは求められます。 四角形ＣＤＡＰが253.2cm^2 であることから、△ＢＰＣの面積がわかり、 このときのＢＣを底辺としたときの△ＢＰＣの高さがわかり、 さらには、ＢＰの長さ、逆算してＡＰの長さがわかります。 すると、Ｃ→Ｄ→Ａ→Ｐの距離がわかり、そこまでの時間がわかります。 No.17405 - 2012/04/15(Sun) 15:27:17 ☆ Re: ★台形とグラフの数量関係の問題 / 夕凪 ヨッシー様、こんばんわ(o^-^o) 。 丁寧に解説して頂いて、どうも有難うございます。 図まで添付して頂いて、(^人^)感謝♪しています。 ここまで考えたのですが、頭が混乱してきました(>o<")。 ?@点Ｐが点Ｄに重なる時の三角形ＰＢＣの面積が１０秒後で２４０cm2 ＢＣ×２０÷２＝２４０ ＢＣ＝２４ｃｍ CDは、１０秒で２０cm進むので、１秒では２ｃｍ 点Ｄから点Ａまでは、グラフから１４．５−１０＝４．５秒 ２×４．５＝９ ＡＤの長さは、９ｃｍ 点Ａから点Ｂまでは、グラフから２７−１４．５＝１２．５秒 ２×１２．５＝２５ ＡＢの長さは、２５cm 台形ABCDの周囲の長さは、２４＋２０＋９＋２５＝７８cm ?A四角形CDAPの面積２５３．２cm2−三角形CDAの面積９０cm2 　＝１６３．２cm2 　 　台形ABCDの面積（９＋２４）×２０÷２＝３３０cm2 　三角形ABCの面積＝台形ABCDの面積３３０cm2−三角形CDAの　面積９０cm2＝２４０cm2 　三角形ABC２４０cm2−三角形CAP１６３．２cm2＝７６．８　cm2 三角形PBCの高さをXとする。 BCの長さ２４cm×　X÷２＝７６．８ 三角形PBCの高さ＝６．４cm 高さ２０cmを移動するのに、２７−１４．５＝１２．５秒 ２０：１２．５＝６．４：X ２０X＝８０ X＝４秒 ちょっと頭が混乱してきました(>o<")。 どうか、アドバイスよろしくお願い致します。 No.17433 - 2012/04/19(Thu) 21:45:36 ☆ Re: ★台形とグラフの数量関係の問題 / ヨッシー Ｂまで行った状態から、高さ6.4cm だけ戻ったと考えれば？ No.17436 - 2012/04/19(Thu) 23:32:03 ☆ Re: ★台形とグラフの数量関係の問題 / 夕凪 ヨッシー様、こんばんわ。 アドバイスどうもありがとうございます(o^-^o) 。 C→D→A→Bまで到着するのに２７秒かかってるので、６．４cmで４秒かかった分、上に戻ればいいという事ですか？ ２７秒−４秒＝２３秒後ですか？ No.17484 - 2012/04/23(Mon) 20:19:36 ☆ Re: ★台形とグラフの数量関係の問題 / ヨッシー はい、正解です。 ちなみに、Ａ→Ｐ まで、高さ13.6cm 降りていると考えて、 その時間 8.5秒 を求め、 　14.5＋8.5＝23(秒) としても求められます。 No.17488 - 2012/04/24(Tue) 06:22:23 ☆ Re: ★台形とグラフの数量関係の問題 / 夕凪 ご解答どうも有難うございました。 こっちの求め方もよく解りました(o^-^o) 。 No.17527 - 2012/04/29(Sun) 22:35:36

★ 二次関数 / あか

次の関数の最大値、最小値および、それらをとるxの値を求めよ。 ただし、aは定数とする。 y=x^2−2x (a≦x≦a+1) 答えは a<0、0≦a<1/2、a=1/2、1/2<a≦1、a>1というように場合分けされるのですが、1/2がどこから出てくるのかわからないです。 よろしくお願いします。 No.17399 - 2012/04/14(Sat) 17:27:09 ☆ Re: 二次関数 / シャロン f(x)=x^2-2xとする。 放物線の軸がx=1にあるため、a＜1＜a+1となる範囲では、f(x)はa＜x＜1で減少、1＜x＜a+1で増加となるため、a＜x＜a+1における最大値の候補は、f(a)かf(a+1)に限られる。 f(a)＞f(a+1)なら最大値はf(a) f(a)＜f(a+1)なら最大値はf(a+1) なので、f(a)＞f(a+1)となるaの範囲を求める必要がある。 No.17401 - 2012/04/14(Sat) 21:55:31

★ 2次関数 / ktdg

関数f(x)(0≦x<1)を f(x)=2x (0≦x<1/2)、2x−1 (1/2≦x<1) のように定義するとき、y=f(f(x))のグラフをかけ 解答では、0≦x<1/4のとき、1/4≦x<1/2のとき、1/2≦x<3/4のとき、3/4≦x<1のときで場合わけをしているのですが、どうしてそこで場合わけをするのですか? No.17389 - 2012/04/12(Thu) 20:52:38 ☆ Re: 2次関数 / X 題意からf(f(x))は次の場合分けが必要になります。 (i)0≦x＜1/2かつ0≦f(x)＜1/2のとき f(f(x))=2f(x)=2(2x) (ii)0≦x＜1/2かつ1/2≦f(x)＜1のとき f(f(x))=2f(x)-1=2(2x)-1 (iii)1/2≦x＜1かつ0≦f(x)＜1/2のとき f(f(x))=2f(x)=2(2x-1) (iv)1/2≦x＜1かつ1/2≦f(x)＜1のとき f(f(x))=2f(x)-1=2(2x-1)-1 それぞれの場合のxの値の範囲を計算してみましょう。 No.17391 - 2012/04/13(Fri) 00:16:03 ☆ Re: 2次関数 / ktdg 解りました。ありがとうございます No.17398 - 2012/04/14(Sat) 00:37:16

★ 確率 / 喪失君

サイコロを4回投げる出た目を順にa,b,c,dとする 積abcdが４の倍数になる確率を求めよ 積abcdが4の倍数になるのは ?@）a,b,c,dのうち少なくとも二つが2の倍数（４は含まない） ?A）a,b,c,dのうち少なくとも1つが４ ?@）a,bが２の倍数の時 2^2×3^2=6^2通り ∴a~dのうち二つだけ2の倍数となるのは6^2×４Ｃ２通り a,b,cが2の倍数の時 2^3*3通り a~dのうち3つだけ2の倍数になるのは2^3*３＊4C3＝３＊２＾５通り a,b,c,dのうち4つが2の倍数になるのは２＾４通り ∴?@）の確率は6^5+3*2^5+2^4/６^4 ?A）１−（a~dが全て4以外の確率） ＝１−5^4/6^4 ?@）?A）は互いに排反より 9/16 何十回やっても答えが合いませんどこが悪いのかご指摘お願いします No.17384 - 2012/04/12(Thu) 18:18:29 ☆ Re: 確率 / ＿ ：∴?@）の確率は6^5+3*2^5+2^4/６^4 6^5はどこからきたのですか？ なお、余事象を考えるという手もあります。参考までに。 4の倍数とならないのは (1)a,b,c,dすべてが奇数 (2)a,b,c,dのうち3つが奇数、1つが2か6 これらは排反なので…(略) No.17385 - 2012/04/12(Thu) 19:09:20 ☆ Re: 確率 / 喪失君 あ、それは6^3のつもりです、タイピングミスです。 それを踏まえても9/16になってしまうのです。 No.17387 - 2012/04/12(Thu) 20:27:40 ☆ Re: 確率 / ＿ であれば、丁寧に計算をしてみてください、ということになります。 一つ一つ計算のステップをここに書いて頂ければ何かアドバイスできると思います。 No.17388 - 2012/04/12(Thu) 20:34:10 ☆ Re: 確率 / 喪失君 ∴?@）の確率は6^5+3*2^5+2^4/６^4 ?A）の確率は１−5^4/6^4 というところまでは合っているのですか？ この?@）＋?A）の計算を丁寧に、ということですか？ No.17392 - 2012/04/13(Fri) 01:15:17 ☆ Re: 確率 / ＿ そうです。(6^3+3*2^5+2^4)/6^4 + 1 - 5^4/6^4の計算を丁寧に行ってみてください(太字部は、訂正が反映されてないようなので一応…) No.17393 - 2012/04/13(Fri) 01:41:35

★ 疑問 / ｂｂｙ

aは実数とする。3次方程式x^3+3ax^2+3ax+a^3=0の異なる実数会の個数は定数aの値によってどのように変わるか調べよ。 でｆ'(x)=0の判別式をＤとすると Ｄ≦０(0≦a≦１）のときは単調増加となるのでf(x)=0を満たす実数ｘは一個 Ｄ＞０のとき ?@の2解をα、β（α＜β）とするとｆ（ｘ）はｘ＝αで極大、ｘ＝βで極小となります ｆ（α）ｆ（β）＝（a(1-a))^2(5a+4)a よって 「ｆ（α）ｆ（β）＞０のとき１個 ｆ（α）ｆ（β）＝０のとき２個 ｆ（α）ｆ（β）＜０のとき３個」 という流れですが、なぜこれで済ませてよいのか分かりません。「　」　の部分が疑問です。 まずｆ（α）ｆ（β）＜０となるようなaの範囲を、ｘが３つ存在するaの範囲としてしまっていますが ｆ（α）ｆ（β）＜０の範囲をそのまま解いてしまうとf(α）＜０かつｆ（β）＞０というあり得ないaの範囲も余分に含んでしまう事になりますよね？（ｆ（ｘ）のｘ＾３の係数は正だから） なぜ除外しなくて良いのか教えてください。 かなり難しい質問かとは思いますがどなたか分かる方よろしくお願いします。 No.17380 - 2012/04/12(Thu) 16:52:45 ☆ Re: 疑問 / ヨッシー f(α) は極大値、f(β)は極小値ですので、 その積の正負と、グラフの関係は以下のようになります。 赤の●で示した部分が、実数解になり、それぞれ、３個、２個、１個となります。 f(α）＜０かつｆ（β）＞０というあり得ない不等式からは、 ａの範囲は求まって来ません(無理に解いても、解なしになります)ので、 わざわざ除外することもないのです。 No.17382 - 2012/04/12(Thu) 17:21:01 ☆ Re: 疑問 / ｂｂｙ ｆ（α）ｆ（β）＝（a(1-a))^2(5a+4)a<0⇔-4/5<a<0 と解いたということはf(α）＜０かつｆ（β）＞０」または「f(α）＞０かつｆ（β）＜０」となるaの範囲ですよね？ f(α）＜０かつｆ（β）＞０というあり得ない不等式からは、ａの範囲は求まって来ない(無理に解いても、解なしになる）、とありますがf(α）＜０かつｆ（β）＞０の煩雑な連立不等式を解いてこれをみたすaが存在しないということが分かって初めて「-4/5<a<0」が（3つのｘを持つaの範囲として除外される範囲もなく）答えになるということですか？ たぶん違うと思います。 なぜｆ（α）ｆ（β）＜０を解いたものをそのまま答えにして良いのか教えてください。 よろしくお願いします No.17383 - 2012/04/12(Thu) 18:09:35 ☆ Re: 疑問 / ヨッシー -4/5＜a＜0 の範囲のａはすべて ｆ(α)＞０ かつ ｆ(β)＜０ を満たすものです。 なぜなら、グラフの形状、増減表などから考えて、 　ｆ(α）＜０＜ｆ(β) となるような状態はあり得ないからです。 つまり、 >f(α）＜０かつｆ（β）＞０というあり得ないaの範囲 は、ないのです。 No.17386 - 2012/04/12(Thu) 19:31:42 ☆ Re: 疑問 / bby 回答有難うございます グラフの形状、増減表などから考えて、 　ｆ(α）＜０＜ｆ(β) となるような状態はあり得ない →ｆ（α）＞ｆ（β）ですから確かにそれは分かります しかしだからといって（それが理由で） -4/5＜a＜0 の範囲のａはすべて ｆ(α)＞０ かつ ｆ(β)＜０ を満たすといえる理由がよく分かりません。 ひらめいたのですが、もしかして f(α）ｆ（β）＜０ ⇔ｆ（α）＞０かつｆ（β）＜０orｆ（α）＜０かつｆ（β）＞０ ⇔ｆ（α）＞０かつｆ（β）＜０ ⇔-4/5＜a＜0 ということでしょうか？ No.17394 - 2012/04/13(Fri) 01:52:05 ☆ Re: 疑問 / シャロン > f(α）ｆ（β）＜０ > ⇔ｆ（α）＞０かつｆ（β）＜０orｆ（α）＜０かつｆ（β）＞０ > ⇔ｆ（α）＞０かつｆ（β）＜０ > ⇔-4/5＜a＜0 > > ということでしょうか？ 推論の筋道が違います。 -4/5＜a＜0は、f(α）ｆ（β）＜０をといて得られた式なので、 f(α）ｆ（β）＜０ ⇔ -4/5＜a＜0 という推論と、 f(α）ｆ（β）＜０⇔ｆ（α）＞０かつｆ（β）＜０orｆ（α）＜０かつｆ（β）＞０ という推論、さらに、 「ｆ（α）＞０かつｆ（β）＜０orｆ（α）＜０かつｆ（β）＞０」かつ『「ｆ（α）＜０かつｆ（β）＞０」でない』 ⇔ｆ（α）＞０かつｆ（β）＜０ という推論から、論理式の同値関係から、 ｆ（α）＞０かつｆ（β）＜０ ⇔ -4/5＜a＜0 という結論を導き出しています。 No.17395 - 2012/04/13(Fri) 05:45:48

★ 同値な言い換え / がるがる

実数ｘ、ｙがｘ＾２＋ｙ＾２＝１の関係を満たして変化する時、2x+yのとりうる値の最大値を求めよ。 2x+yがｋという値をとりうる・・?@ための条件は ｘ＾２＋ｙ＾２＝１かつ2x+y＝ｋを満たす実数ｘ、ｙが存在する・・?A事であり、 この条件はx^2+(k-2x)^2=1（かつｙ＝ｋ−２ｘ）をみたす実数ｘが存在する事と同値・・?Bというのが分かりません。 ?@⇔?A⇔?Bのうち?@⇔?Aはなんとなくかろうじて分かりましたが、?A⇔?Bがどうしても分からないので教えてください。 ?A→?B、?B→?Aの両方ともお願いします。なぜ（かつｙ＝ｋ−２ｘ　）のように（　）にしてよいのかも詳しくお願いします 例えば、x^2+(k-2x)^2=1の式について実数ｘが存在して、の意味はたぶんこの式のｘに何か値を代入した時ｋ＝２などの値が出ることを意味するので?Bは「x^2+(k-2x)^2=1をみたす実数ｘが存在すると同時にｋも存在する」と言い換えてもよいのでしょうか？ No.17376 - 2012/04/12(Thu) 00:59:39 ☆ Re: 同値な言い換え / X 見る角度を変えて最初から考えてみましょう。 この問題はx,yの連立方程式 x^2+y^2=1 (A) 2x+y=k (B) が実数解の組(x,y)を持つときのkの最大値を求める ことと同値です。 連立方程式の解法の基本は1文字消去ですが、例えば(B)を y=k-2x (B)' と変形して(A)からyを消去してxの二次方程式 x^2+(k-2x)^2=1 (C) を導いたとき、(C)が実数解を持てば、(B)'によりyも 実数になります。 従って、(C)が実数解を持つ条件のみを考えれば 問題ありません。 No.17390 - 2012/04/13(Fri) 00:05:02 ☆ Re: 同値な言い換え / がるがる (C)が実数解を持てば、(B)'によりyも 実数になります。 とありますが kを実数としてよいのはなぜですか？それが問題なのです。 No.17400 - 2012/04/14(Sat) 19:32:43 ☆ Re: 同値な言い換え / ast この問題では, 実数 k は (具体的な値は未知でも) 所与だからです. 何だか分からないけれど一つ k の値を (無作為に) 決めたところで, そのような x, y の存在を問題にします. 言い換えれば「実数 k の存在」は議論の前提であり, 疑問を持つ余地がありません. No.17413 - 2012/04/16(Mon) 08:03:06

★ 高三　微分積分 / れいひゃー

次のことが成り立つことを証明しろ y=x√(1+x^2)　　のとき　　(1+x^2)y´´＋xy´＝４y 何度やっても　左辺＝右辺　となりません 教えて下さいお願いします 計算過程もおしえてくださるとありがたいです； No.17373 - 2012/04/11(Wed) 18:07:06 ☆ Re: 高三　微分積分 / ヨッシー √(1+x^2)＝(1+x^2)^(1/2) なので、これの微分は、 　(1/2)(1+x^2)^(-1/2)・(2x)＝x(1+x^2)^(-1/2) よって ｙ’＝(1+x^2)^(1/2)＋x^2(1+x^2)^(-1/2) (1+x^2)^(-1/2) の微分は、 (-1/2)(1+x^2)^(-3/2)・(2x)＝-x(1+x^2)^(-3/2) よって、 ｙ”＝x(1+x^2)^(-1/2)＋2x(1+x^2)^(-1/2)-x^3(1+x^2)^(-3/2) 　＝3x(1+x^2)^(-1/2)-x^3(1+x^2)^(-3/2) 以上より、 (左辺)＝3x(1+x^2)^(1/2)-x^3(1+x^2)^(-1/2)＋x(1+x^2)^(1/2)＋x^3(1+x^2)^(-1/2) 　＝4x(1+x^2)^(1/2)＝４ｙ となります。 No.17374 - 2012/04/11(Wed) 19:03:04 ☆ Re: 高三　微分積分 / れいひゃー なるほど、やっと納得できました とても助かりました！ ありがとうございます＾＾ No.17381 - 2012/04/12(Thu) 17:18:45

★ 図形と方程式の軌跡 / なっち　学年は新高2

(1)座標平面上の原点に点Aが固定されている。2点B、Cが以下の条件を満たしながら動くとき、点Bの軌跡を求めなさい。 条件：3点A、B、Cは∠Aが直角である直角二等辺三角形で、点Cは(0,10)を中心とする半径1の円周上を動く。 (2)(1)で原点に固定されていた点Aを、原点を中心とする半径1の円周上で動かすとき、点Bの軌跡を求めなさい。 (1)でB(x,y)、C(cost,sint+10)とおいてAB:AC:BC=1:1:√2の連立方程式を解こうとしたんですが無理でした。Cが円周上を動くときBも何かの円周上を動くような気がするんですが、どうやって示せばいいのかわからないです。教えてください。よろしくお願いします。 No.17372 - 2012/04/11(Wed) 16:14:42 ☆ Re: 図形と方程式の軌跡 / ヨッシー 点Ｃを点Ａを中心に90°回転させると点Ｂになります。 点（ｘ、ｙ）を原点周りに90°回すと（−ｙ，ｘ）または（ｙ，−ｘ）になります。 前者が反時計回り、後者が時計回りです。 点Ｃを(cosｔ，sinｔ＋10) とおくと、 反時計回りの場合 　点Ｂは(x,y)＝(−sinｔ−10，cosｔ) と書け、 　sinｔ＝-x-10，cosｔ＝ｙ　より 　(x+10)^2＋y^2＝１　という円になります。 時計回りの場合 　点Ｂは(x,y)＝(sinｔ＋10，−cosｔ) と書け、 　sinｔ＝x-10，cosｔ＝−ｙ　より 　(x−10)^2＋y^2＝１　という円になります。 No.17375 - 2012/04/11(Wed) 22:24:16 ☆ Re: 図形と方程式の軌跡 / なっち　学年は新高2 御回答ありがとうございます。 ＞点（ｘ、ｙ）を原点周りに90°回すと（−ｙ，ｘ）または（ｙ，−ｘ） これは二直線の垂直条件が傾きの積=-1なので、y/xの傾きと積が-1になるものを考えると、それは-x/yまたはx/(-y)のどちらかになるからということでしょうか？それとも公式なんですか？ (1)の解き方はよくわかりました。(2)ですが、(1)でわかったことは、線分の片方の端が円周上を動くならもう片方の端も円周上を動くということなので、Aを円周上で動かしたら(1)で考えた円全体がやはり何かの円周上に沿って動くのでしょうか？AもCも動くので、どういう図を描けばいいのかわからないです。こちらの方も教えていただけないでしょうか？お願いします。 No.17377 - 2012/04/12(Thu) 02:05:20 ☆ Re: 図形と方程式の軌跡 / ＿ ：傾きの積が-1 たとえば回転角が45°などであれば巧く行かなかったところですが、この問題の場合はその考え方でも合っています(ただし、原点からの距離に関する考察もお忘れなく)。 一次変換を習っていれば、回転行列を使って変換して機械的に処理するだけなのですが、まだ習っていないのならこう考えてみるのはどうでしょう。 原点ではない点(x,y)は、適当な実数r(r＞0)、とθ(0°≦θ＜360°)を用いて、(rcosθ,rsinθ)と表せます。このあたりは、C(cost,sint+10)とおけることが分かっているならすぐ理解できることと思います。 そうすると、この点を原点を中心として±90°回転させた点は(rcos(θ±90°),rsin(θ±90°))となります。あとはこれを加法定理でバラすなり三角関数の定義を考えてみるなりすれば、(干rsinθ,±rcosθ)=(干y,±x)となります。 (1)で分かったこととして挙げていることは、なかなか鋭いのですが、もうちょっと掘り下げられます。新たにできた円周の中心と半径はどのようになりますか？ そして、AもCも動くので、確かに同時に動かすと混乱します。そういうときは、1つずつ順番に動かせばいいのです。つまり、Aが定点の場合、Cはどのような軌跡を描くでしょう。そしてその後、Aが動いたらCの描いていた軌跡はどのような軌跡を描くでしょう？　ということです。 こんな感じで。 No.17379 - 2012/04/12(Thu) 05:44:23 ☆ Re: 図形と方程式の軌跡 / なっち　学年は新高2 図を添えての回答をしてくださってありがとうございます。 ですがなかなか理解が進まないです^^; 加法定理は未習でしたが、少し予習してみました。これは座標を60°や30°回転させたときの座標を求めるのに利用するんでしょうか？ ＞新たにできた円周の中心と半径 (1)において、Aが原点にあるときはBは中心(±10,0)、半径1の円周上を動きます。Aを原点を中心とする半径1の円周上の1点(cosu,sinu)に一致するように図形全体を平行移動させると、Aが固定された状態で、Cが(0,10)を中心とする半径1の円周上を動くと、Bは(cosu±10,sinu)を中心とする半径1の円周上を動くことになると思いますが、ここから先、(1)のようなsin、cosの文字消去ができず計算がどうしても進まないです。どうしたらよいのでしょうか？教えてください。お願いします。 No.17396 - 2012/04/13(Fri) 16:18:27 ☆ Re: 図形と方程式の軌跡 / ヨッシー まず、直角に曲がることのとらえ方ですが、 ある点Ｃから　ｘ方向にｓ，ｙ方向にｔだけ進むと、 点Ａに行き着くとき、（これを (s,t) 進むということにします） 点Ａから、(t,-s) または、(-t,s) 進んだ点Ｂを考えると、 ∠ＣＡＢ＝90°、ＡＢ＝ＡＣ　となります。 これは、座標平面上で、確認できます。 ここからが(2) の説明ですが、 Ｃ(cosｔ, sinｔ＋10) が動点で、Ａ(cosｕ，sinｕ) が定点とします。 ＣからＡまでは、(cosｕ−cosｔ, sinｕ−sinｔ−10) だけ進むので、 そこから、(sinｕ−sinｔ−10, cosｔ−cosｕ) または (10−sinｕ＋sinｔ, cosｕ−cosｔ) 進んだ点が点Ｂとなります。 ここでは、(sinｕ−sinｔ−10, cosｔ−cosｕ) 進んだ場合について 解いてみます。 点Ｂの座標は、(cosｕ＋sinｕ−sinｔ−10, sinｕ＋cosｔ−cosｕ) と書けます。 これを、 　ｘ＝cosｕ＋sinｕ−sinｔ−10 　ｙ＝sinｕ＋cosｔ−cosｕ とおいて、 　sinｔ＝−ｘ＋cosｕ＋sinｕ−10 　cosｔ＝ｙ−sinｕ＋cosｕ より、ｔを消去すると、 　(ｘ−cosｕ−sinｕ＋10)^2＋(ｙ−sinｕ＋cosｕ)^2＝１ のように、 　(cosｕ＋sinｕ−10, sinｕ−cosｕ)中心で、半径１の円になります。 半径１は固定であるので、今度は、中心座標 　(cosｕ＋sinｕ−10, sinｕ−cosｕ) が、ｕに連れてどういう動きをするかという話になります。 これも、ｘ＝cosｕ＋sinｕ−10, ｙ＝sinｕ−cosｕ より 　ｘ＋１０＝cosｕ＋sinｕ　と　ｙ をそれぞれ２乗して足してみましょう。 No.17397 - 2012/04/13(Fri) 17:09:10 ☆ Re: 図形と方程式の軌跡 / なっち　学年は新高2 大変お詳しく教えてくださってありがとうございました。無事に円の方程式が出せました。今度は幾何的な考察に挑戦してみます^^/ このたびはご親切にありがとうございました。 No.17402 - 2012/04/15(Sun) 00:03:53

★ 微分法 接線の方程式 / まっちょ
曲線y=x^2-2x上の点(3,3)における 接線の方程式は何か。 この問題の解説を見ると、 y'=2x-2から、… と書かれているのですが、 このy'とはどこから でてきたものなのですか？ No.17364 - 2012/04/09(Mon) 18:33:59 ☆ Re: 微分法 接線の方程式 / ヨッシー y=x^2-2x を x で微分して得られます。 No.17365 - 2012/04/09(Mon) 18:42:55 ☆ Re: 微分法 接線の方程式 / まっちょ なるほど、 ありがとうございます！ No.17367 - 2012/04/09(Mon) 23:03:19

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