ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 文系数学 / オン太朗

放物線C:y=x^2上の点Pにおける法線とは、点PにおけるCの接線と点Pで垂直に交わる直線である。
(1)点(p,p^2)におけるCの法線の方程式を求めよ。
(2)y軸上の点(0,a)を通るCの法線の本数を求めよ。
(1)の答は

x＋2py-p-2p^3=0・・・?@です
(1)は問題ないのですが(2)が分かりません
以下は自分の考え方です。
?@が点(0,a)を通る条件は2pa-p-2p^3=0・・・?A
ここで?Aの式の意味は「点Ｐ(p,p^2)を接点とするＣの接線の方程式と垂直に交わる直線であると同時に点(0,a)を通る直線である」
です(たぶん)
図を描いてみれば分かるように、一つの接点から一本のＣの接線の方程式ができ、同時に一本の法線の方程式が作られます。
ではもし点Ｐのx座標がp=1やp=2やp=3などといった値をとれば点(1,1)、点(2,4)、点(3,9)を接点とするＣの接線の方程式がそれぞれできると同時にＣの接線の方程式に垂直な直線、すなわちＣの法線の方程式が作れます。
しかし、点(1,1)、点(2,4)、点(3,9)等から作られるＣの法線の方程式が
点(0,a)を通るのかはもう少し吟味が必要です。
点(0,a)を通る時のp(点Ｐのx座標)はどうやって調べるのかというと、?Aの解です
?Aは最初に書いたとおり、一つの条件式であり、これは「点(0,a)を通り、なおかつＣの法線の方程式である」というものです。
ならば?Aをpの方程式と見立てたときの解であるpならば点(0,a)をちゃんと通ってくれるＣの法線の方程式を作ってくれるという風に
予測がついて?Aの方程式について考えます。
?Aより因数分解するとp(-2p^2＋2a-1)=0・・・?B
p=0のとき?Bは0=0より成り立つ
この瞬間点(0,a)を通り、なおかつＣの法線の方程式はp=0のとき作られることが分かりました。
次に-2p^2＋2a-1=0・・・?Cについて考えます。
?Cよりa=2p^2＋(1/2)と変形するとaはy座標であるから実数と考えて定数分離の形ができました。
ここまでは自力でなんとかいけたのですがこの後がわかりません。
解答は以下の通りです。
「2pa-p-2p^3=0・・・?A ここで?Aの【異なる実数解p】の個数が点(0,a)を通る法線の本数に一致することより
(i)p=0のとき?Aは任意の実数aで成立
(ii)p≠0のときa=2p^2＋(1/2)・・・?B
p≠0のもとで?Bの異なる実数解pの個数を考えるために図示すると
a>1/2のとき3本 a≦1/2のとき1本」

解答の疑問?@
どうして【異なる実数解p】の個数としているのでしょうか？
疑問?A
(ii)ではp≠0のもとで考えていますが
p(-2p^2＋2a-1)=0の式で-2p^2＋2a-1=0の方程式の解がp=0となる可能性もあるような気がするのですが
どうしてp≠0の下で考えているのでしょうか？

数学がとても苦手で理解できていない所が多々あります
誰か分かる方教えてください
おねがいします＞＜

No.17209 - 2012/03/16(Fri) 09:39:19

☆ Re: 文系数学 / ヨッシー

p(-2p^2＋2a-1)=0 より、
p=0　・・・(i)
-2p^2＋2a-1=0　・・・(ii)
であり、(i) はこれだけで１つの解になっています。
その他に解があるとすれば、-2p^2＋2a-1=0 から得られる解ですが、
当然その中にはp=0 もありえます。
具体的には、a=1/2 のとき、p=0 です。
ところが、ここで、p=0 が得られたとしても、(i) で得られた
p=0 と同じなので、法線の数が増えるわけではありません。

だから、【異なる実数解p】の数が法線の数であり、(ii) では、p=0 は外して考えているのです。

さらに、ａ＜1/2 のときは、(ii) は実数解はなしで、実数解は、(i)から得られるp=0 だけです。
この両者をまとめて、
　ａ≦1/2 のとき、法線は１本
となります。

No.17215 - 2012/03/16(Fri) 13:21:35

☆ Re: 文系数学 / オン太朗

よくわかりました。
本当にありがとうございます。

No.17219 - 2012/03/17(Sat) 00:08:23

★ 数学　確率の最大 / オン太朗

1つのサイコロを10回投げる時3の倍数の目がn回出るときの確率をＰ(ｎ)とする。(n=0,1,2・・・10)
(1)P(n)が最大となるときのnの値を求めよ
1つのサイコロを1回投げて3の倍数の目(3と6)が出る確率は1/3
よって1つのサイコロを10回投げてそのうちn回3の倍数の目が出る確率は(1/3)^n
残りの10-n回に関しては出る目が1or2or4or5であればよいのでその確率は｛2/3｝^(10-n)
また、10回のうちどこでn回3の倍数の目が出るかは10Cn通り
よってPn=10Cn×(1/3)^n×｛2/3}^(10-n)
P(n)の増減を調べるためにP(n＋1)-P(n)の符号を考える。
P(n＋1)=10C(n＋1)×(1/3)^(n＋1)×｛2/3}^(9-n)
(計算省略)
P(n＋1)-P(n)=｛10!・(1/3)^n・{2/3｝^(10-n)/n!(9-n)!｝×{(-11n＋11)/9(n＋1)(10-n)｝
｛10!・(1/3)^n・{2/3｝^(10-n)/n!(9-n)!｝の部分は正なので
(-11n＋11)/9(n＋1)(10-n)の部分の符号について考えればよい。
(i)n=0のときP(n＋1)>P(n)
(ii)n=1,10のときP(n＋1)=P(n)
(iii)2≦n≦9のとき、P(n＋1)(iv)n>10のとき、P(n＋1)>P(n)

あとは(i)～(iv)にnの値を入れていって最大となるところを調べればいいと思ったんですけど
最大となる箇所が複数でてきてしまい訳が分からなくなってしまいました。
どこで間違ってしまったんでしょうか？
ちなみに答はn=3です。
数学がかなり苦手なので分かりません。誰か教えてください。お願いします。

No.17203 - 2012/03/16(Fri) 03:45:12

☆ Re: 数学　確率の最大 / シャロン

ぱっと見ですが

> よって1つのサイコロを10回投げてそのうちn回3の倍数の目が出る確率は(1/3)^n

まず、ここが誤りです。

(1/3)^nは、例えば
「n回サイコロを振って、全て3の倍数の目が出る確率」
です。

No.17205 - 2012/03/16(Fri) 05:29:07

☆ Re: 数学　確率の最大 / シャロン

> よって1つのサイコロを10回投げてそのうちn回3の倍数の目が出る確率は
>Pn=10Cn×(1/3)^n×｛2/3}^(10-n)

と続ければ、正しい推論になります。
#オン太朗クンの回答では、文章としての繋がりがおかしい。

> P(n)の増減を調べるためにP(n＋1)-P(n)の符号を考える。

確率の最大値を調べるには、コンビネーションや階乗といった積同士を約分できることが多いので、P(n＋1)/P(n)と1の大小を考えた方が計算が楽な場合が多いです。

また、計算部分にミスがあることが多いので、そこを省略しないほうがいいです。

No.17206 - 2012/03/16(Fri) 05:39:25

☆ Re: 数学　確率の最大 / オン太朗

ありがとうございました＞＜

No.17207 - 2012/03/16(Fri) 06:34:58

★ 証明問題 / ネオン

nを自然数とするとき次の不等式を示せ。
Σ(ｋ=1～ｎ）{２(4k^2+6k+1)/(2k+2)!}<1・・?@
を示せがわかりませんでした。帰納法でn=ｊのとき成り立つと仮定してn=ｊ+1の時にも成り立つを示そうとしてもできません。

?@の左辺のnにｊを代入したもの＜１
?@の左辺のnにｊ+1を代入したもの＜１＋?@の左辺のΣの中にｋ＝ｊ＋１を代入したもの

となるのでどう頑張っても示せません・・
?@の左辺のΣの中にｋ＝ｊ＋１を代入したものが０になれば＜１が示せますがΣの中は常に正なので０にはなりえませんし。。

どう解けばいいのか、できればその解答もお願いします。よろしくおねがいします。

No.17200 - 2012/03/15(Thu) 21:27:17

☆ Re: 証明問題 / rtz

4k^2+6k+1=(2k+2)(2k+1)-1ですから、
(4k^2+6k+1)/(2k+2)!
=((2k+2)(2k+1)-1)/(2k+2)!
=(1/(2k)!) - (1/(2k+2)!)
を使えばいいですね。

No.17201 - 2012/03/15(Thu) 23:10:15

☆ Re: 証明問題 / ネオン

解答有難うございます

おお～そんな変形法があったとは予想だにしてませんでした・・。どういう思考過程で階差の形に変形することを試みたのか教えてください
　　
また、２Σ(1/(2k)!) - (1/(2k+2)!)
＝２(1/2!-1/(2n+2))=1-2/2n+2<1でいいのですよね？

No.17202 - 2012/03/16(Fri) 02:25:56

☆ Re: 証明問題 / rtz

部分分数分解みたいにするんだろうなぁという予想が立ったので、
(2k+2)!という式
→kが1増えれば2つ増えるから2次？確かに分子も2次
→(2k+1)(2k+2)を計算してみたら差が1
→うまくいった、という感じです。
割と適当で申し訳ありません。

本来は
lim[n→∞]Σ[k=1,n]1/(k(k+1))
＝lim[n→∞]Σ[k=1,n]{(1/k)-(1/(k+1))}
＝lim[n→∞]{1-(1/(n+1))}
＝1
のような形を想定させていると想像する方が、
着眼点としては素直かもしれません。

解答の方針としてはそれで問題ありません。

No.17204 - 2012/03/16(Fri) 05:21:34

☆ Re: 証明問題 / ネオン

回答有難うございます

kが1増えれば2つ増えるから2次？
の「2次」が何が2次なのかどうしても分からないので教えてください。

No.17211 - 2012/03/16(Fri) 11:29:20

☆ Re: 証明問題 / rtz

＞kが1増えれば2つ増えるから
すいません、kが1増えれば「2k+2が」2つ増えるから、でした。
言葉足らずで申し訳ありません。

k=1で4!
k=2で6!
…
となるので、
n=kで(2k+1)(2k+2)が消せれば、n=k-1と組み合わせたりして
何とかできないかなぁ、という感じです。

No.17217 - 2012/03/16(Fri) 21:47:30

☆ Re: 証明問題 / ネオン

「2k+2が」2つ増えるとありますが、別に２ｋ＋２は１つだけのきがしますが・・うーんすみません。

(2k+2)!という式
→kが1増えれば2つ増えるから2次？確かに分子も2次
→(2k+1)(2k+2)を計算してみたら差が1
→うまくいった

の説明をもう少し詳しくお願いします

No.17230 - 2012/03/17(Sat) 17:49:23

☆ Re: 証明問題 / rtz

a[n]=(4n^2+6n+1)/(2n+2)!という数列で、
a[1]=11/4!
a[2]=29/6!
…
a[k-1]=(4k^2-2k-1)/(2k)!
a[k]=(4k^2+6k+1)/(2k+2)!
a[k+1]=(4k^2+14k+11)/(2k+4)!
…
となりますが、
これらの総和を求める際、当然そのままでは計算できませんから、それぞれの分母を見て、
a[1]を「2!が分母の分数」と「4!が分母の分数」に分けて、
a[2]を「4!が分母の分数」と「6!が分母の分数」に分けて、
…
a[k-1]を「(2k-2)!が分母の分数」と「(2k)!が分母の分数」に分けて、
a[k]を「(2k)!が分母の分数」と「(2k+2)!が分母の分数」に分けて、
a[k+1]を「(2k+2)!が分母の分数」と「(2k+4)!が分母の分数」に分けて、
…
うまいことそれぞれ直前の項と相殺できないかなぁと考えました。

＞kが1増えれば2つ増えるから2次？確かに分子も2次
この際、(4k^2+6k+1)/(2k+2)!={f(k)/(2k)!}+{g(k)/(2k+2)!}
の恒等式を解き、f(k),g(k)を求めるわけですが、
式全体を(2k+2)!倍するとちょうど右辺のf(k)に2次式(2k+1)(2k+2)がくっつきます。
左辺も2次式ですから、f(k)は式にkが含まれない定数項になりそうです。

＞(2k+1)(2k+2)を計算してみたら差が1
で、実際(2k+1)(2k+2)=4k^2+6k+2ですから、
4k^2+6k+1との差が1で、g(k)も式にkが含まれない定数項になってくれました。

No.17232 - 2012/03/17(Sat) 20:56:46

★ 確率の問題 / オン太朗

次のような硬貨投げの試行を考える。
はじめに３枚のコインを投げて１回目とし、そのとき表のものがあれば、表のでたコインのみをなげて２回目とする。
そのとき表のものがあれば、それらを投げる。ある回で裏のみがで

た場合、この試行は終了する。このとき、次の問いに答えよ。
（１）１回目でこの試行が終了しない確率
(2)２回投げても終了しない確率
（3）２回目で表が１枚だけでる確率
疑問点?@
問題文の解釈について
「はじめに３枚のコインを投げて表が出れば２回目では１回目で表のでたコインのみを再び投げる。そしてまた表がでたら３回目で２回目で表が出たコインをのみを再び投げる。」ということでいいんでしょうか？
疑問点?A
「２回投げても終了しない確率」の余事象は「2回投げて終了する確率」ですがこの中には
「１回目で終了する確率」・・・(ア)と「２回目で終了する確率」・・・(イ)が含まれると解答に書いてあるのですが
(イ)は分かるとしても(ア)がどうして含まれるのかわかりません。２回投げるという前提があるのに(ア)だとおかしい気がするのですが・・・
以上2点について教えてください。お願いします。

No.17198 - 2012/03/15(Thu) 20:58:53

☆ Re: 確率の問題 / ヨッシー

疑問点?@
その解釈で良いのですが、
「はじめに３枚のコインを投げて表が出れば２回目では１回目で表のでたコインのみを再び投げる。そしてまた表がでたら３回目で２回目で表が出たコインをのみを再び投げる。」
に書いてあることは、すべて
「はじめに３枚のコインを投げて１回目とし、そのとき表のものがあれば、表のでたコインのみをなげて２回目とする。
そのとき表のものがあれば、それらを投げる。」
に書いてあると思うのですが。

疑問点?A
こちらの記事を、どのように理解されたでしょうか？
ほぼ同じことです。

No.17199 - 2012/03/15(Thu) 21:23:44

★ 数学確率の問題解説が分からないです / オン太朗

n を正の整数とする。n 枚の硬貨を同時に投げて表の出たものを取り去り、次に、硬貨が残っていればそれらを同時に投げて表の出たものを取り去ることにする。
(1) 全部なくなる確率を求めよ。
解答をみると「n枚のコインを?@、?A、・・・、nとおき、１枚のコインを続けて２回投げることを?@、?A、・・・、nの順に行うと考える。
1枚のコインを２回投げたときそのコインがなくならない確率は(1/2)・(1/2)=1/4
また、1枚のコインがなくなるためには少なくとも１回表がでればいいので１枚のコインを２回投げた時そのコインがなくなる確率は
1-(1/4)=3/4」とあるのですが
この解説の意味が全く理解できません。
自分が解いたときは直接1枚のコインがなくなる確率を求めようとしました。
つまり(１回投げて表がでる場合の確率)＋(1回目に裏がでて２回目に表がでる場合の確率)＝(1/2)＋｛(1/2)・(1/2)｝
=3/4というふうに求めました。
ですが計算が煩雑になる問題の場合解答のやり方を理解しておいた方がいいそうなのですが
何度読んでも理解できません。だれか「」の部分を解説してください。よろしくお願いします＞＜

No.17195 - 2012/03/15(Thu) 03:42:29

☆ Re: 数学確率の問題解説が分からないです / らすかる

「表が出た場合ももう一回投げる」と考えれば、
表表
表裏
裏表
裏裏
の4通りになって、取り去られるのは「裏裏」以外ですね。

No.17196 - 2012/03/15(Thu) 06:30:40

☆ Re: 数学確率の問題解説が分からないです / オン太朗

ありがとうございました

No.17197 - 2012/03/15(Thu) 20:50:14

★ 数学余事象のとりかた / オン太朗

ADDRESSという語の7文字を全部並べて作られる順列において、母音が両端にきて、かつ同じ文字が隣り合わない順列の数は何個あるか。
「母音が両端にきて、かつ同じ文字が隣り合わない順列」の余事象が
「母音が両端にきて、かつ同じ文字が隣り合う順列」とあるのですが
これを「母音が両端にこない、または同じ文字が隣り合う順列」としてしまったのですがどうしてこれじゃだめなんでしょうか？
一文が長い場合の余事象の取り方がわかりません。。
ちなみに答は24通りです。
誰か分かる方教えてください。お願いします。

No.17187 - 2012/03/14(Wed) 20:45:52

☆ Re: 数学余事象のとりかた / ヨッシー

えーと、場合の数を求める問題ですよね？
余事象を答える問題なのですか？

余事象は、全体から、ある事象を除いたものですから、
全体が何かによって、変わってきます。
「７文字を並べるすべての並べ方」が全体なら、余事象は
「母音の少なくとも１つは両端にない、またはＤとＳの少なくとも
どちらか一方が隣り合っている」です。
ただし、これを数えるのは大変なので、問題の「順列の数は何個あるか」
を解くために、「母音が両端にある、すべての並べ方」を全体とすると、
余事象は「母音が両端にあり、かつＤとＳの少なくとも
どちらか一方が隣り合っている」です。

両端以外の５つの場所にＤＤＲＳＳを並べることについて
すべての並べ方は　５！／２！２！＝３０
このうち　Ｄが隣り合っているのはＤＤを１つの塊と見て、
　４！／２！＝１２（通り）
Ｓが隣り合うのも１２通り
ＤもＳも隣り合うのが　３！＝６（通り）
よって、少なくとも１組の同じ文字が並ぶのは
　１２＋１２－６＝１８
これを引いて、
　３０－１８＝１２
母音の並び方が　左にＡ右にＥ　と　左にＥ右にＡ　の２通りあるので、
　１２×２＝２４（通り）
です。

No.17190 - 2012/03/14(Wed) 22:45:28

★ 三重県高校入試 / ぽにょ

画像の問題です。AB＝15ｃｍ　BC＝14ｃｍ　AC＝13ｃｍです。
このときのAB：AFとAC:AEを求めなさいという問題ですがまったくわかりません。高校2年生ですが試しにやってショックを受けました。
できれば中学の範囲での解法と高校の範囲での解法の両方を示していただけるとありがたいです。

No.17186 - 2012/03/14(Wed) 19:34:33

☆ Re: 三重県高校入試 / ヨッシー

その３辺の長さだけでは、この問題は解けません。
問題の文の部分も撮ってもらえますか？

No.17188 - 2012/03/14(Wed) 22:30:42

☆ Re: 三重県高校入試 / ぽにょ

これだけです。しいて言えば点Fの接線が直線HFということくらいです。

No.17191 - 2012/03/14(Wed) 22:46:50

☆ Re: 三重県高校入試 / ヨッシー

あら残念。
問題文も見せてもらえたら
AB：AFとAC:AE　なのか　AC：AFとAB：AE なのかもはっきりしたのですが。

点Ｆで接することは、上の画像でもチラッと窺えますが、
でも、これは絶対欠かしてはいけない条件です。

では、AB：AFとAC:AE ということで進めます。

というか、ひょっとして問題文に
　AB：AF＝AC:AE＝ｍ：ｎ
と書いてあるのではありませんか？

No.17193 - 2012/03/14(Wed) 23:21:28

☆ Re: 三重県高校入試 / ヨッシー

まず、ＨＣ＝ｘとおいて、
△ＡＣＨ、△ＡＢＨにおける三平方の定理よりＡＨ^2 を
表すと、
　ＡＣ^2＋ＨＣ^2＝ＡＢ^2＋ＢＨ^2
より
　１３^2－ｘ^2＝１５^2－(１４－ｘ)^2
展開して解くと、　ｘ＝５
また、ＡＨ^2＝１４４　より　ＡＨ＝１２

一方、
　△ＡＧＦと△ＡＣＨの相似、△ＡＧＥと△ＡＢＨの相似より
　ＡＧ・ＡＨ＝ＡＣ・ＡＦ＝ＡＢ・ＡＥ
よって、
　ＡＢ：ＡＦ＝ＡＣ：ＡＥ

さらに、∠ＣＡＨを●、∠ＡＣＨを○として、
分かる角に印を付けます。
△ＡＨＦと△ＦＨＧの相似より
　ＧＨ：ＨＦ＝ＦＨ：ＨＡ
ここで、ＦＨ＝ＨＣ＝５および　ＡＨ＝１２　より
　ＧＨ＝25/12
よって、ＡＧ＝119/12
　ＡＦ＝ＡＧ×(12/13)＝119/13
以上より
　ＡＢ：ＡＦ＝１５：(119/13)＝195：119

No.17194 - 2012/03/15(Thu) 00:39:10

★ 数学苦手 / オン太朗

数学確率の問題が分かりません

箱の中に１０個の白球と５個の黒球が入っている。箱から順に１個ずつ、５個の球を並べる時、２番目の球が黒球である確率を求めよ。
この問題を場合分けせずに考える場合
たとえばいまAさん、Bさん、Cさん、Dさん、Eさんが箱の前にいるとします。
取り出す順番はAさんからです。
問題の２番目の球が黒球とはこの場合、Ｂさんが黒球を取る確率を求めよというふうに言い換えることができます。
では、Aさんが白10個黒5個がぎっしり詰まっている箱の中から球を取り出します。
たとえばAさん黒玉を取り出したとします。この確率は5/15です。
しかし、Aさんがこの結果をBさん、Cさん、Dさん、Eさんに伝えないとします。
今、箱の中にはAさんが取り出した玉を除いた14個はいっています。
ここでＢさんが黒球を取り出す確率を考えて全事象を14(通り)としてしまうとどういうことが起こるのか。
Aさんが黒球を取り出したのか白球を取り出したのかBさんには分かりません。
なので箱の中には14個あるけど黒球が１個減ったのか？それとも白球が１個減ったのかは分かりません。
なので、Bが黒球を取り出す確率を4/14としてしまうと、これはBがAは黒球を取ったということを知らされていないにもかかわらず勝手に想定しているのでおかしいし、5/14としてしまうと、これはBがAは白玉をとったということを知らされていないもかかわらず勝手に想定しているのでおかしくなります。(場合分けして考える分にはアリですが)
なのでAが何を取り出したのか分からない状態でBが黒球を取り出す確率として正しいのは5/15だと思います。
これならばAの手元にあるのが黒球か白球かは分からないけれどもとにかく黒球を取り出す確率は一番最初の状態(箱に球が15個ある)と変わらないので5/15であるということができるとおもいます。
つまり、Aが何を取り出したのかという情報が全く与えられていない状況では一番最初の状態で黒球を取り出す確率に等しいということです。
解答には「黒球を２番目に取りだす確率は黒球を３番目に取り出す確率としても同じであり結果は5/15=1/3」とあります。
おそらく上記で自分が書いたようなことを言っていると思うのですが
数学が苦手なのでよくわかりません。
誰か分かる方教えてください。お願いします。

No.17181 - 2012/03/14(Wed) 03:17:06

☆ Re: 数学苦手 / ヨッシー

この手の「くじ引きの問題」は、「場合分けをしないで」というところに
若干無理があります。
上の記事の
>なのでAが何を取り出したのか分からない状態でBが黒球を取り出す確率として正しいのは5/15だと思います。
は、なぜ 5/15 と言えるのでしょうか？

直感的には、５人が一斉に箱に手を入れて玉をつかみ、Ａから
順番に公表していく状況を考えれば、全員の条件が同じと分かりますが、
ちゃんと計算するなら、場合分け（Ａが黒の場合、白の場合）を
する必要があります。

この問題に出会う前に
「１０本のうち１本が当たりのくじがある。一度引いたくじは戻さないとして、
１．１人目が当たる確率を求めよ。
２．２人目が当たる確率を求めよ。
３．３人目が当たる確率を求めよ。
　・・・・」
という問題をやったはずです。
やっていないなら、今やりましょう。
この問題を理解せずに、上のような応用問題に挑むのは、正しい勉強方法とは言えません。

No.17183 - 2012/03/14(Wed) 06:24:23

★ (No Subject) / オン太朗

-2≦x≦2の範囲で、関数
f(x)=x^2＋2x-2 g(x)=-x^2＋2x＋a＋1
について、次の命題が成り立つようなaの値の範囲をそれぞれ求めよ。
(1)すべてのxに対してf(x)(2)あるxに対してf(x)<g(x)
(3)ある組x1,x1に対してf(x1)<g(x2)

(1)は解答にh(x)=g(x)-f(x)とおくと
h(x)=-2x^2＋a＋3
求める条件は-2≦x≦2において、つねにh(x)>0となることでh(±2)>0よってa>5
これは理解できます。
ですが(2)の解答は-2≦x≦2において、h(x)>0をみたすxが存在することでh(0)>0
a＋3>0
a>-3
とあります。
これは図を描いてみると分かるとおもうのですが
(1)と同じ場合も単純にa＋3>0とするだけではありえますよね？
だから問題文の条件「あるxに対してf(x)(1)の-3<a<5とすべきなんじゃないかと思ったのですがどうなんでしょうか？
a>-3だと(1)のa>5を満たすaの値も含まれておりそれらはすべて(1)の条件を満たすaなので
(2)ではそのようなaを含んではいけないように思うのですが。。
また、(3)について解答には「f(x)の最小値<g(x)の最大値となればよい」とあるのですが、問題文にあるx1とx2はx1≠x2と考えてよいのでしょうか？
x1=x2のときも含めるならば、f(x1)<g(x2)とならない場合があるとおもうのですがどうなんでしょうか。
文系で数学は超がつくほど苦手科目です。
誰か分かる方教えてください。お願いします＞＜

No.17167 - 2012/03/12(Mon) 15:59:59

☆ Re: / ヨッシー

まず、上の記事を書き直しておきますね。
これは、半角の＜を使うと、その直後に来る文字によっては、
制御文字と見なされて、起こります。

上の記事はこう書いています。

-2≦x≦2の範囲で、関数
f(x)=x^2＋2x-2 g(x)=-x^2＋2x＋a＋1
について、次の命題が成り立つようなaの値の範囲をそれぞれ求めよ。
(1)すべてのxに対してf(x)＜g(x)
(2)あるxに対してf(x)＜g(x)
(3)ある組x1,x2に対してf(x1)＜g(x2)

(1)は解答にh(x)=g(x)-f(x)とおくと
h(x)=-2x^2＋a＋3
求める条件は-2≦x≦2において、つねにh(x)＞0となることでh(±2)＞0よってa＞5
これは理解できます。
ですが(2)の解答は-2≦x≦2において、h(x)＞0をみたすxが存在することでh(0)＞0
a＋3＞0
a＞-3
とあります。
これは図を描いてみると分かるとおもうのですが
(1)と同じ場合も単純にa＋3＞0とするだけではありえますよね？
だから問題文の条件「あるxに対してf(x)＜g(x)」を満たすためには
(1)の-3＜a＜5とすべきなんじゃないかと思ったのですがどうなんでしょうか？
a＞-3だと(1)のa＞5を満たすaの値も含まれておりそれらはすべて(1)の条件を満たすaなので
(2)ではそのようなaを含んではいけないように思うのですが。。
また、(3)について解答には「f(x)の最小値＜g(x)の最大値となればよい」とあるのですが、問題文にあるx1とx2はx1≠x2と考えてよいのでしょうか？
x1=x2のときも含めるならば、f(x1)＜g(x2)とならない場合があるとおもうのですがどうなんでしょうか。
文系で数学は超がつくほど苦手科目です。
誰か分かる方教えてください。お願いします＞＜

No.17168 - 2012/03/12(Mon) 20:04:22

☆ Re: / ヨッシー

(2) あるｘは、すべてのｘを否定するものではありません。
「あるｘについて成り立つ」とは「全く成り立たないわけではない」
または「１カ所でも成り立てばＯＫ」であって「成り立たないときもある」ではありません。
よって、ａ＞５も含みます。

(3) も同じで、「ある組x1,x2に対して」は「１カ所(１組)でも成り立てばよい」
であって、「成り立たないときがあってはいけない」ではありません。
よって、x1＝x2 の場合も、考えに入れてもよろしいです。

No.17169 - 2012/03/12(Mon) 20:14:22

☆ Re: / ヨッシー

グラフで描くと、図のような位置関係になります。
y=g(x) （上に凸のグラフ）が、図の位置より上にあるのが
求められる状態です。

No.17171 - 2012/03/12(Mon) 20:48:32

☆ Re: / オン太朗

補足ですみません。
(2)についてa-5≦0であるときも一部h(x)>0を満たすxが存在しますが
a-3>0のときとどう違うのかわかりません。
考え方次第でa-5≦0としてしまいそうなのですが。。。
よかったらこの点にもお答えお願いします＞＜

No.17172 - 2012/03/13(Tue) 02:48:00

☆ Re: / オン太朗

a-5≦0のときでたとえばa-5=0ならば
y=h(x)の2解は-2,2でx軸と交わる。
x=-2,2ではともにh(x)=0となりh(x)>0は成り立たないが
-20が成り立っている。
これより、あるxについてh(x)>0は成り立っているといえる
と思ったのですがこれじゃだめなんでしょうか？

No.17173 - 2012/03/13(Tue) 02:55:16

☆ Re: / ヨッシー

まず、17173 の記事を訂正しておきます。
< ではなく＜を使うようにしてください。

a-5≦0のときでたとえばa-5=0ならば
y=h(x)の2解は-2,2でx軸と交わる。
x=-2,2ではともにh(x)=0となりh(x)＞0は成り立たないが
-2＜x＜2ではh(x)＞0が成り立っている。
これより、あるxについてh(x)＞0は成り立っているといえる
と思ったのですがこれじゃだめなんでしょうか？

No.17174 - 2012/03/13(Tue) 07:04:27

☆ Re: / ヨッシー

No.17172 の回答
a-5≦0(つまり a≦5)であっても、たとえば、a=3, a=1 のように、
a+3＞0(つまり a＞-3)であれば、あるｘで　h(x)＞0 は成り立ちます。
それはあくまでも、 a＞-3 だからであって、a がもっと小さい
a=-5 などになれば、h(x)＞0 は成り立ちません。

まとめると、-2≦x≦2 であるｘについて、
ａ＞５：すべてのｘについて　h(x)＞０が成り立つ。もちろん、あるｘについても　h(x)＞０が成り立つ。
-3＜a≦5：すべてのｘについては h(x)＞は成り立たないが、あるｘについては h(x)＞０が成り立つ。
ａ＜-3：すべてのｘについて h(x)＞０は成り立たない。
となります。

あるｘについて成り立つか成り立たないかの境目は、ａ＝－３であって、
ａ＝５のところは、関係ありません。

No.17176 - 2012/03/13(Tue) 10:40:11

☆ Re: / ヨッシー

No.17173 の回答
>x=-2,2ではともにh(x)=0となりh(x)＞0は成り立たないが
>-2＜x＜2ではh(x)＞0が成り立っている。
>これより、あるxについてh(x)＞0は成り立っているといえる
それで正しいです。

どうも、「『すべてのｘについて成り立つ』は『あるｘについて成り立つ』ではない」
と思われている節がありますが、そこを改めてもらわないと、
この手の疑問が絶えませんので、今一度確認して下さい。

No.17177 - 2012/03/13(Tue) 10:47:26

☆ Re: / オン太朗

回答ありがとうございます。
つまり、「あるxについてh(x)＞０」が成り立つとは
「すべてのxについてh(x)＞０」が成り立つ場合も含んでいるということでしょうか？

No.17180 - 2012/03/14(Wed) 03:16:48

☆ Re: / ヨッシー

そういうことです。

上で書いた「あるｘは、すべてのｘを否定するものではありません」も
つまりはそういうことです。

No.17182 - 2012/03/14(Wed) 06:10:10

★ 関数 / yuku

中3(新高1)のものです。
宿題がでたのですが、一部まったく手のつけられない問題がありましたので質問させてただきます。

２次関数y=ax^2・・・・?@のグラフは
点A(4,2)を通っている。
y軸上に点BをAB=OB(Oは原点)となるようにとる

(1)(2)(3)ともわかりませんでした。

a=(1/8)x^2だということがわかっただけです・・・・。
お願いします。

No.17163 - 2012/03/12(Mon) 09:40:42

☆ Re: 関数 / ヨッシー

(1)ＡＢ＝ＯＢなので、△ＡＢＯは二等辺三角形であり、
ＡＯの中点(2,1) とＢを結んだ直線は、ＡＯと垂直になります。
そこで、(2,1) を通って、ＡＯと垂直な直線の式を出して、
その直線とｙ軸との交点（ｙ切片）を求めます。
(2) (1) で求めた直線が、∠ＯＢＡの二等分線です。

(3) ＯＣ＝ＡＣなので、点Ｃも、(2) で求めた直線上にあります。
それと、ｙ＝x^2/8 との交点が、Ｃなので、直線と、y=x^2/8 を
連立させｙを消去すると、ｘの２次方程式になります。
ｘをｔに置き換えたものが、求める方程式で、あとはそれを解くだけです。

No.17164 - 2012/03/12(Mon) 11:01:32

☆ Re: 関数 / yuku

各設問の解説はよくわかりました。

⇒(2,1) を通って、ＡＯと垂直な直線の式を出す。
ここでつまずいてしまいました。
わかる数字が少なくて、直線B-OA中点の式が出せません。

No.17165 - 2012/03/12(Mon) 13:21:58

☆ Re: 関数 / ヨッシー

この図が掛ければ、もう少しですね。
手順は、
(1) ＯＡの傾きを求める。
(2) y=ax+b, y=cx+d ２つの直線が直交⇔ac=-1 から、
　直線B-OA中点の直線の傾きを求める。
(3) (2) で求めた傾きを持つ直線で、(2,1) を通る直線の式を求める。
です。

No.17166 - 2012/03/12(Mon) 13:50:08

☆ Re: 関数 / yuku

返信遅れました。
直交だということから発展できなかったみたいで
ツマヅいていたみたいです。

すべて解けました。ありがとうございました！

No.17175 - 2012/03/13(Tue) 09:19:36

★ 漸化式 / レアル

高校２年です。
２２７番の問題ですが、解き方がわかりません。
答えは、
(1)ァ　－２　　イ　２ an=-2n+3

(2)ウ　－２　　エ　２　 an=-2n+3 *nはn乗です。
よろしくお願いします。

No.17156 - 2012/03/10(Sat) 20:40:16

☆ Re: 漸化式 / ヨッシー

(1)
「導き」の部分は、
　a(n+1)＝2an－3
の両辺から３を引いて、右辺を２でくくるだけです。
{an－3} が、と書いてあるので、とりあえず、
　a1－3, a2－3, a3－3, a4－3, ・・・
を求めてみましょう。どんな数列になりますか？

(2)
「導き」の部分は、
　a(n+1)＝2an－3
　a(n+2)＝2a(n+1)－3
下の式から、上の式を引くだけです。
{an} の階差数列が、と書いてあるので、
　bn＝a(n+1)－an
とおいて、
　b1,b2,b3,b4,・・・
を求めてみましょう。どんな数列になりますか？

No.17157 - 2012/03/10(Sat) 21:24:10

☆ Re: 漸化式 / レアル

(1)an+1=2n-3の式からα=2α-3という式を引いてでてきた　　　an+1-3=2(an－3)のan-3をbとおいて計算するという方法　　で習いましたが、αの置き方がわかりません。
　　すみませんが、解りやすく教えてください。よろしくお　　願いします。

No.17158 - 2012/03/10(Sat) 21:59:40

☆ Re: 漸化式 / ヨッシー

それは、何も手がかりが与えられていないときの方法で、
今回の問題は、
「・・・・を導き、」とあるので、その式になるように、
変形していけば良いです。

もし、何も手がかりのない状況で解くならば、こちらをご覧下さい。
または、a(n+1)＝2an－3 が、
　a(n+1)＋α＝2(an＋α)
と変形できたと仮定して、αを求める方法もあります。

No.17159 - 2012/03/10(Sat) 23:03:07

☆ Re: 漸化式 / レアル

ありがとうございます。
最初にヨッシーに教えていただいた方法で求めてみます。

No.17160 - 2012/03/10(Sat) 23:20:13

★ 計算 / 物理

物理の問題なのですが、具体的にどう計算して整理しているのか教えてください

何度試みても合わず、バラバラの答えになってしまいます
この場合に限らず、計算力をつけるコツなども教えてくれるとありがたいです

No.17152 - 2012/03/10(Sat) 13:26:37

☆ Re: 計算 / X

運動量保存の法則とエネルギー保存の法則それぞれから
立てた２つの式が物理さんの立てたそれと合わない
ということでしょうか？。
それともその２つの式から導き出した、添付されている図の
一番最下段の式の形が異なっているのでしょうか？
いずれにしても、「合わない」という物理さんの計算過程を
アップして下さい。

No.17153 - 2012/03/10(Sat) 14:14:04

☆ Re: 計算 / 物理

>運動量保存の法則とエネルギー保存の法則それぞれから
>立てた２つの式が物理さんの立てたそれと合わない
>ということでしょうか？。
>それともその２つの式から導き出した、添付されている図の
>一番最下段の式の形が異なっているのでしょうか？

後者です

No.17154 - 2012/03/10(Sat) 14:56:15

☆ Re: 計算 / X

７行目の左辺の二番目の()の外のuが抜けてますが、これは
()内が相殺されるのでこの間違い箇所はこれ以降の計算に
影響を及ぼしていません。
ですが、次の８行目が問題です。
左辺の一つ目の{}の中ですが
>>(1/2)m(m+M)+(m^2){(cosθ)^2-(cosθ)^2}
ではなくて
(1/2)m(m+M)+(m^2){(1/2)(cosθ)^2-(cosθ)^2}
です。

それと計算過程で気になった点ですが、７行目から８行目で
分母となっているm+Mを払っている点です。
分母を払う方針を採るなら、もう少し徹底して1/2も
払ってみましょう。

No.17155 - 2012/03/10(Sat) 15:57:50

★ ｎの範囲 / ｊｊとむそん

2以上の自然数ｎに対してfn(x)=(x^n/n!)e^(-x)(x≧０）とおくとき次の問いに答えよ。
In=∫(0～1)fn(x)dxをｎを用いて表せ

略解
In=I2-1/eΣ(k=3～n)1/k!(n≧３）より

In=１－５/2e-1/eΣ(k=3～n)1/k!(n≧３)・・答え
とあるのですが
問題文にｎ≧２と書かれているのになぜｎ≧３
で答えにして良いのか分かりません。
誤植なら「誤植」と教えてください。

よろしくお願いします

No.17143 - 2012/03/09(Fri) 14:44:29

☆ Re: ｎの範囲 / ヨッシー

n=2 のときの値、つまり I2 は別に求めてあって、
n≧3 の整数については、その I2 になにがしかを足した式として、
表すことが出来る
ということなので、誤植ではありません。

No.17144 - 2012/03/09(Fri) 16:45:41

☆ Re: ｎの範囲 / ｊｊとむそん

ありがとうございます。

確かにIn=１－５/2e-1/eΣ(k=3～n)1/k!(n≧３)が正しい事を表していますが、このInの式にはｎ＝２が代入できないですよね。問題文ではｎ≧２とあるので

数列anの一般項を求めよ、でan=1(n=1),2n-2(n=２．３．４．・・）と答えるように、

今回もｎ＝２の場合は別途に書かなくてはならないと思うのですが（ｎ≧２で定義されているのにｎ≧３のときのIｎしか答えていないということが気になっています）

よろしくおねがいします

No.17150 - 2012/03/09(Fri) 21:31:33

☆ Re: ｎの範囲 / ヨッシー

なるほど。I2 が独立して書いていないのですね。
確かに書いた方が良いですね。

で、ここからは解釈ですが、
Σ(k=3～2) という場合を、「何も足さない」と定義すれば
この式は正しいと言えます。
数学上のΣの定義ではどうなのか知りませんが、
プログラムではよく使います。

No.17151 - 2012/03/09(Fri) 22:40:54

★ 高校数学 / カロリ。

数学的帰納法の問題がわかりません

y軸上に下から順に点A0,A1,・・・、曲線y=x^2上のxが正の部分に点B1,B2、・・・があり点A0は原点で、n=1,2,・・・に対して、3点An-1、An、Bnは正三角形となる。
(1)点B1の座標を求めよ
(2)点B2の座標を求めよ
(3)点Anの座標が(0 、n(n＋1)/3)であることを数学的帰納法により証明せよ。

(1)はB1(√3/3、1/3) (2)はB2(2√3/3、4/3)となったのですが合っているのでしょうか？
答がないため分かりません。
また、(3)は(1)(2)の答が正しいとすれば(1)(2)よりn=1 n=2のとき成立しているので証明する必要ないんじゃないかと思ったんですが答がないので証明するならどのように書いていけばよいのかわかりません。
最初にn = 1のときに成立することを示して
次に、n=k のとき成立するとしたときに、n=k+1でも成立することを示す。
つまり、n=k のとき、Ak (0,k(k+1)/3) と仮定し、
そこから Bk+1 の座標 ( (k+1)/√3, (k+1)^2/3 ) と Ak+1 の座標 (0, (k+1)(k+2)/3) を求めて、Ak+1でも成立することを示す。とあるのですがよくわかりません。
数学的帰納法はかなり苦手な分野なので誰か分かる方教えてください。お願いします。

No.17138 - 2012/03/07(Wed) 00:55:18

☆ Re: 高校数学 / カロリ。

補足です
「Bk+1 の座標 ( (k+1)/√3, (k+1)^2/3 )」とありますがこれは(1)(2)で求めたB1の座標から一般化したのでしょうか？

No.17139 - 2012/03/07(Wed) 01:29:53

☆ Re: 高校数学 / シャロン

> また、(3)は(1)(2)の答が正しいとすれば(1)(2)よりn=1 n=2のとき成立しているので証明する必要ないんじゃないかと思ったんですが

誤りです。

例えば、
【(n-1)(n-2)=0という式は、n=1、2のとき成立しているので、すべての自然数で成り立つ。】
とはいえませんね。

>そこから Bk+1 の座標 ( (k+1)/√3, (k+1)^2/3 ) と Ak+1 の座標 (0, (k+1)(k+2)/3) を求めて、Ak+1でも成立することを示す。とあるのですがよくわかりません。

求められたA[k+1]の座標が、仮定したA[n]の座標にn=k+1を代入したものになっていれば、仮定がn=k+1でも成り立つということになりますね。

No.17140 - 2012/03/07(Wed) 06:37:37

☆ Re: 高校数学 / ヨッシー

証明の手順は、ヒントに書かれているように、
>n = 1のときに成立することを示して
>n=k のとき、Ak (0,k(k+1)/3) と仮定し、そこから
>Bk+1 の座標 ( (k+1)/√3, (k+1)^2/3 ) と
>Ak+1 の座標 (0, (k+1)(k+2)/3) を求めて、
>Ak+1でも成立することを示す。
なので、
A1＝(0, 2/3) ・・・B2 を調べる過程で A1 を調べているはずなので、これは良いでしょう。
Ak (0,k(k+1)/3) と仮定する。
この点から、ｘ軸と30°をなす直線を引き、y=x^2 とｘ＞０の
位置で交わるところが、B(k+1) で、 ( (k+1)/√3, (k+1)^2/3 ) に
なるのでしょう。
そして、Ak と B(k+1) の長さを調べて、その長さ分だけ、Ak から
上(y軸方向)に進んだ点がA(k+1) です。
これが、 (0, (k+1)(k+2)/3) になったら、この証明は終わりです。

と書いても、数学的帰納法が何たるかを理解していないと、キョトンとしているかも知れませんね。

数学的帰納法を使う状況は以下の通りです。
自然数ｎについて、成り立つ式を求めたい問題があります。
ｎ＝１のときの値はわかっています。
ｎとｎ＋１との関係式(漸化式)もわかっています。
求めたい式も、ｎ＝１，２，３あたりを調べて、
大体予測はつくけれども、すべての自然数ｎについて成り立つかは証明しないといけない。
この証明に、数学的帰納法を使います。

数学的帰納法の仕組は以下の通りです。
予測した式（Ａとします)（上の問題では「点Anの座標が(0 、n(n＋1)/3)であること」です）が、
ｎ＝１について成り立つことを確認。　・・・(a)
Ａがｎ＝ｋのとき成り立つと仮定して、そのときに、ｎ＝ｋ＋１
のときにも、Ａが成り立つことを示す。　・・・(b)
です。
上の問題で、Ａがｎ＝ｋのとき成り立つと仮定とは、
　点Akの座標が(0 、k(k＋1)/3)であると仮定すること
です。そして、n=k+1 のときにも、Ａが成り立つとは、
　点A(k+1)の座標が(0 、(k+1)(k+2)/3)であることを導くことです。

なぜ、これですべての自然数について、示したことになるかというと、
n=1 の時に成り立つ。これは実際に当てはめるので、事実です。
n=1 のときＡが成り立つことが事実ならば、n=2 のときもＡが成り立ちます。
これは、(b) から言えることです。
これで、n=2 のときＡが成り立つことが事実となります。
n=2 のときＡが成り立つことが事実ならば、n=3 のときもＡが成り立つことが、やはり(b)から言えます。
よって、n=3 のときＡが成り立つことも事実となります。
n=3 のときＡが成り立つことが事実ならば、n=4 のときも・・・
もう良いですね。
このように、すべての自然数ｎについてＡが成り立つことを、
連鎖的に示すのが、数学的帰納法です。

No.17141 - 2012/03/07(Wed) 10:42:47

☆ Re: 高校数学 / カロリ。

なるほど！
おかげで理解することができました。
この度はどうもありがとうございました。

No.17142 - 2012/03/07(Wed) 14:42:50