ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 対称性 / ヒソカ

０≦ｔ≦2πのとき
x(t)=sint,y(t)=sin2t
で表される点P（x(t),y(t))の軌跡Cを図示し、その囲む面積を求めよ。という問題で

解
x(t+π）＝-x(t),y(t+π)=y(t)
x(π-t)=x(t),y(π-t)=-y(t)
なので0≦t≦π/2
の範囲で調べれば十分

とあったのですがなぜですか？
（P(t)とP(π-t)はｘ軸対称
P(t)とP（π＋ｔ）はｙ軸対象というのは分かりました）

なんとなく、とかじゃなくてちゃんとした説明がほしいです。厚かましいですがよろしくお願いします

No.16787 - 2012/01/31(Tue) 18:34:30

☆ Re: 対称性 / X

まず、問題のCのグラフの概形はx軸を串にして２つの団子が
刺さったような形になっていることはよろしいでしょうか？。

このグラフにおける
0≦t≦π/2
に対応する部分(C1とします)は
x軸に関して上半分の右側の半円状の部分
(半円ではありません、念のため)

π/2≦t≦π
に対応する部分(C2とします)は
x軸に関して下半分の右側の半円状の部分

π≦t≦3π/2
に対応する部分(C3とします)は
x軸に関して上半分の左側の半円状の部分

3π/2≦t≦2π
に対応する部分(C4とします)は
x軸に関して下半分の左側の半円状の部分

となっています。
さてこのとき
x(t+π)=-x(t),y(t+π)=y(t)
によりC1とC3、C2とC4はy軸に関して対称
x(π-t)=x(t),y(π-t)=-y(t)
によりC1とC2、C3とC4はx軸に関して対称
以上からCはx軸,y軸に関して対称になっています。
よってC1とx軸で囲まれた面積を4倍すれば求める面積
となります。

No.16788 - 2012/01/31(Tue) 19:07:44

☆ Re: 対称性 / ヒソカ

回答有難うございます

まず、問題のCのグラフの概形はx軸を串にして２つの団子が
刺さったような形になっていることはよろしいでしょうか？とのことですが全くよろしくないです。
求める軌跡の概形がすでに与えられているわけではありません

「x(t+π）＝-x(t),y(t+π)=y(t)
x(π-t)=x(t),y(π-t)=-y(t)」という情報のみから
0≦t≦π/2
の範囲で調べれば十分
といえるのは何故か、

の説明をお願いします。

No.16791 - 2012/01/31(Tue) 19:53:37

☆ Re: 対称性 / らすかる

「の範囲で調べれば十分」は何を調べることを言っているのかよくわかりませんが、

「P(t)とP(π+t)はy軸対称」がわかっているのであれば、
0≦t≦π の範囲の軌跡と π≦t≦2π の範囲の軌跡は
y軸に関して対称ですから、0≦t≦π の範囲を調べれば十分です。
そして「P(t)とP(π-t)はx軸対称」がわかっているのであれば、
0≦t≦π/2 の範囲の軌跡と π/2≦t≦π の範囲の軌跡は
x軸に関して対称ですから、0≦t≦π/2 の範囲を調べれば十分です。

No.16793 - 2012/01/31(Tue) 21:59:03

☆ Re: 対称性 / ヒソカ

期待に沿うように解答していただきありがとうございます。

「P(t)とP(π+t)はy軸対称」だから
0≦t≦π の範囲の軌跡と π≦t≦2π の範囲の軌跡は
y軸に関して対称

「P(t)とP(π-t)はx軸対称」だから
0≦t≦π/2 の範囲の軌跡と π/2≦t≦π の範囲の軌跡は
x軸に関して対称

となる理由を教えてください。これが知りたかったのです。
これをなんとなく、ではなくちゃんとした説明がほしいということでした。

よろしくおねがいします

No.16794 - 2012/01/31(Tue) 22:35:24

☆ Re: 対称性 / らすかる

「P(t)とP(π+t)はy軸対称」だから
tを0からπまで動かしたとき、点P(t)と点P(π+t)は
y軸に関して対称に動きます。
つまり
tを0からπまで動かした場合の点P(t)と
tをπから2πまで動かした場合の点P(t)が
y軸に関して対称に動くのですから、
0≦t≦π の範囲の軌跡と π≦t≦2π の範囲の軌跡は
y軸に関して対称となります。
後半も同様です。

No.16795 - 2012/01/31(Tue) 22:51:50

☆ Re: 対称性 / ヒソカ

P(t)＝(x(t),y(t))
P(π-t)=(x(π-t),y(π-t))
のように置くよう定義します

前半はｔ：0→πとπ＋ｔ：π→２πが対応し、０≦t≦２πが網羅されてるので確かに分かりました

しかし後半はｔ：0→πとπ-t:π→０で０≦t≦２πが網羅されてないのでよくわかりません。

No.16797 - 2012/02/01(Wed) 00:54:19

☆ Re: 対称性 / らすかる

後半は0≦t≦2πを網羅する必要はありません。
前半で「0≦t≦πの範囲だけ調べればよい」とわかったのですから、
tを0からπ/2まで動かして0≦t≦πの範囲が網羅されれば十分です。

No.16798 - 2012/02/01(Wed) 00:57:30

☆ Re: 対称性 / ヒソカ

tを0からπ/2まで動かして・・の「π/2」は解答を書き始めてから本来初登場ですがどこからもって来ましたのか教えてください。勘ですか？つまりx(ｔ)＝0→●とx(π-t)＝π→●を考えた時
ｔの範囲に空白が出来ないような●を唸りながら考える

という筋道ですか？それとも何か方法があるなら教えてください

No.16805 - 2012/02/01(Wed) 18:59:04

☆ Re: 対称性 / らすかる

tを0から増やしていったとき、π-tはπから減っていき、
t=π/2のときにπ-tはtと一致しますね。
t=π-tの解などと考えてもいいですが、
「sin(x)=sin(π-x)であり、sinxはx=π/2に関して対称」
のような知識もありますので
P(t)とP(π-t)を見た瞬間にπ/2が思い浮かび、
「考える」とか「計算する」までもないことのように思います。

No.16807 - 2012/02/01(Wed) 20:53:45

☆ Re: 対称性 / ヒソカ

解答有難うございます

別の問題でも対称性が見抜けるように、というのが趣旨ですので。。
ならばx(t)=sint,y(t)=sin2tではない別のケースで、その場合P(ｔ）をQ(t)とでも置き換えて、
Q(t)とQ（3. 14159265358979323846π-2.71828182845904t)
がｘ軸に関して対称となったとき、ｔはどのような範囲で調べれば（グラフの概形を書くのに）十分ですか？

No.16808 - 2012/02/01(Wed) 21:46:43

☆ Re: 対称性 / らすかる

例えばtの定義域が実数全体ならば、
「t=3. 14159265358979323846π-2.71828182845904t の解」以下（または「以上」）です。
定義域が狭ければ、その定義域によりますので
一概にどうこうとは言えません。

No.16809 - 2012/02/01(Wed) 22:39:47

☆ Re: 対称性 / ヒソカ

解答有難うございます

tの定義域が実数全体ならば、
「t=3. 14159265358979323846π-2.71828182845904t の解」以下（または「以上」）

となる理由を教えてください。
その式が一体全体どこからきたのか教えてください。
P(ｔ）,p(π-t）の時とはｔの係数の絶対値が異なるので
、「tを0から増やしていったとき、π-tはπから減っていき、t=π/2のときにπ-tはtと一致」のような考えではいけない（ｔとπ－ｔ、のｔの増える値と-tの減る値が等しかったからこそできたわざ）
だと思います

よろしくおねがいします

No.16812 - 2012/02/02(Thu) 15:13:14

☆ Re: 対称性 / らすかる

> 「tを0から増やしていったとき、π-tはπから減っていき、t=π/2のときに
> π-tはtと一致」のような考えではいけない（ｔとπ－ｔ、のｔの増える値と
> -tの減る値が等しかったからこそできたわざ）
> だと思います

なぜですか？
「t=3. 14159265358979323846π-2.71828182845904t の解」以下
に対するグラフが描けたら、
「t=3. 14159265358979323846π-2.71828182845904t の解」以上
のグラフはそれをx軸に関して対称移動したものですから、
増える値と減る値が等しいかどうかは関係ないですね。

No.16813 - 2012/02/02(Thu) 17:18:25

☆ Re: 対称性 / ヒソカ

まずt=3. 14159265358979323846π-2.71828182845904t
という式の意味が全く分からないので教えてください。
また、この解ｔはどういうｔですか？

No.16821 - 2012/02/04(Sat) 00:57:35

☆ Re: 対称性 / らすかる

質問の意味がよくわかりませんが、
とりあえず長ったらしい数字は説明しにくいので
「Q(t)とQ(a-bt)がx軸に関して対称」にします。
例えば
t=0とするとQ(0)とQ(a)がx軸に関して対称
t=0.1とするとQ(0.1)とQ(a-0.1b)がx軸に関して対称
t=0.2とするとQ(0.2)とQ(a-0.2b)がx軸に関して対称
・・・
のようにQ(t)とQ(a-bt)はtの変化に応じてx軸に対称に移動していくわけですが、
これはt=a-btとなるところでぶつかります。
つまりt=a-btの解t=a/(b+1)に対してQ(t)=Q(a-bt)=Q(a/(b+1))となります。
よってt≦a/(b+1)のぶんのグラフを描いたら、
それをx軸に関して対称に移動したグラフがt≧a/(b+1)のグラフですから
グラフ全体の概形を知るにはt≦a/(b+1)の範囲について調べれば（あとは対称コピーで）済みます。

No.16822 - 2012/02/04(Sat) 01:20:17

★ 数学　高校生 / ルイス

座標平面上に与えられた2点P(0,1)、A(a,0)(a≧0)に対し、点Qを直線AP上にAからみてPと同じ側にAP・AQ＝a(a＋1)を満たすようにとる。
(1)a>0のときx軸上に点B(b,0)(b≦0)をAP・AQ＝AO・ABを満たすようにとる。ただし、点Oは原点を表す。このときbの値を求めよ。

答b=-1
(2)点Aがa>0を満たしながらx軸上を移動するとき、点Qは同一の円Cの周上にある。この円の中心の座標と半径を求めよ。
答　中心(-1/2、1/2)　半径√2/2
(3)点Qのy座標の値が最大となるときの点Qの座標を求めよ。またそのときのaの値を求めよ。
Q(　-1/2、(√2＋1)/2　)　a=√2＋1
数学が苦手なので初見では解けませんでした。
解答には、(2)は(1)の結果を利用してAP・AQ＝AO・ABから方べきの定理の逆を使っていました。
すると、線分PBは円Cの直径になるので中心は線分PBの中点を求めるという方法でした。
ここでふと思ったのですが、(1)の結果をどうして(2)でも使えるのでしょうか？
AP・AQ＝AO・ABを満たしていないと方べきの定理の逆は使えないと思うのですが、どうして(2)では使える前提で解いているのでしょうか？
また(3)については自分がやるとどうしてもa=1/(√2-1)となるのですがどうしてなのでしょうか。
直線ＰＱを求めればその上に点Aがあるのでその座標を直線ＰＱの式に代入すればaの値が求まるはずなのですが...

誰か分かる方教えてください。お願いします。

No.16771 - 2012/01/30(Mon) 22:30:51

☆ Re: 数学　高校生 / X

>>(1)の結果をどうして(2)でも使えるのでしょうか？
(1)の結果から、逆にB(-1,0)なる点Bを取ると、と考えて下さい。

>>a=1/(√2-1)となるのですがどうしてなのでしょうか。
分母を有理化してみて下さい。

No.16774 - 2012/01/31(Tue) 00:28:40

★ 一次変換 / ぐしゃ

M＝（(a,b)(c,d)）

?@ベクトルaとベクトルｂが一次独立（⇔ad-bc≠０⇔Mが逆行列を持つ）
⇒平面全体は平面全体に移る

?Aベクトルaとベクトルbは一次従属かつ、ベクトルa、ベクトルbの少なくとも一方が０ベクトルでない（⇔Mが逆行列を持たず、M≠０）
⇒平面全体は、原点を通り方向ベクトルがベクトルaまたはベクトルｂの直線に移る

?Bベクトルa＝ベクトルｂ＝０ベクトル（⇔M=0)
⇒平面全体は原点Oに移る

以上?@～?Bが逆もいえるのかどうか教えてください。

また、逆もいえるのならその理由も知りたいですが
贅沢すぎる気もするので無ければ無くてもかまいません。

よろしくお願いします

No.16767 - 2012/01/30(Mon) 15:08:50

☆ Re: 一次変換 / ヨッシー

ここで言うベクトルは、列ベクトルですね？(特に?A）

逆はすべて成り立ちます。

?@の逆
平面全体が平面全体に移るときの行列が一次従属とすると、
?Aおよび?Bより、平面全体に移ることと矛盾する。

?A点（１，０）が（ｓａ，ｓｂ）、（０，１）が（ｔａ，ｔｂ）に移るとする。
ここで、（ｓａ，ｓｂ）（ｔａ，ｔｂ）ともに（０，０）とすると、
平面上の任意の点（ｍ，ｎ）＝ｍ（１，０）＋ｎ（０，１）も、
Ｍによって、（０，０）に移るので、（ｓａ，ｓｂ）（ｔａ，ｔｂ）の
少なくとも一方は、（０，０）でない。
すると、Ｍを表す行列について、
ベクトルaとベクトルbは一次従属かつ、ベクトルa、ベクトルbの少なくとも一方が０ベクトルでない
が成り立つ。

?B
例えば２点（１，０）（０，１）も（０，０）に移るので、
成分計算して、＝０とすると、全成分０となることが導けます。

No.16770 - 2012/01/30(Mon) 21:40:53

★ 恒等式 / 半日数学

行列A＝(a,b)(c,d)(a≠０）のよる座標平面上の一次変換をfとする。ｆにより放物線ｙ＝ｘ＾２が放物線C1：ｙ＝ｘ（ｘ－１）全体に移される。次の問いに答えよ
（１）点（ｔ、ｔ＾２）のｆによる像を考える事によりAをaを用いてあらわせ

ですが写真で線を引いてる部分がなぜ必要なのか全くわかりません。

どなたかご教授ください。よろしくお願いします。

No.16766 - 2012/01/30(Mon) 13:33:59

☆ Re: 恒等式 / ヨッシー

ｆにより放物線ｙ＝ｘ^2 上のすべての点が移った先の点は、常にＣ1 上にある、
ではなくて、Ｃ1 全体に移る、なので、定義域が全実数でないといけません。

No.16768 - 2012/01/30(Mon) 21:04:46

☆ Re: 恒等式 / 半日数学

確かにｙ＝ｘ（ｘ－１）全体に移されるとありますね。全く気づきませんでした！しかしそれと「at+bt^2が全ての実数値を取りうる」が何の関係があるのか全く分かりません・・。

No.16772 - 2012/01/30(Mon) 22:34:27

☆ Re: 恒等式 / angel

仮にですけど、今回はありえないパターンですが、a=b=1 だったらどうでしょう?
at+bt^2=t+t^2=(t+1/2)^2-1/4 ですから、at+bt^2≧-1/4 ですね。
ってことは、(at+bt^2,XXX) で表される点のx座標は常に-1/4以上、つまりこれらの点は x＜-1/4の領域には存在できないのです。

今、(at+bt^2,XXX) で表される点で C1 全体をカバーしないといけないので、a=b=1 のようにカバーできない範囲ができるのはマズいのです。

それを言っているのが、「at+bt^2が全ての実数値を取りうる」ということです。

No.16776 - 2012/01/31(Tue) 00:52:18

☆ Re: 恒等式 / 半日数学

よく分かりました。ありがとうございます

No.16783 - 2012/01/31(Tue) 16:13:52

★ 階段状グラフの問題です。 / 夕凪

ヨッシーさん、こんばんわ。

いつも丁寧に解説、ありがとうございます(o^-^o)

また行き詰ったので、よろしくお願い致します。

?@は、（８００－４５０）÷５＝７０で、１メモリが７０だから、４５０＋７０×３＝６６０円

?Aが、ちょっと解りません(>.<)。１．５ｋｍ（１５００ｍ）までが４５０円かかるので、あとは、６２００－１５００＝４７００ｍが、いくらかかるかを考えたらいいんですよね？

そこからは、０．５ｋｍ（５００ｍ）増えるごとに７０円かかるのはわかります。４７００ｍの中に５００ｍがいくら入るか考えてみました。４７００÷５００＝９．４

ここからどうしていいのか、解りません(>.<)。４５０＋７０×９．４ですか？

?Bグラフから１５００ｍまでは、４５０円だから、１５００－４５０＝１０５０円

このあとの１０５０円の中に７０円がいくら入るかを考えればいいのですか？　１０５０÷７０＝１５ｋｍ

ちょっとここから、解りません(>.<)。

ほんとに頭が悪くて、すいません(。-人-。)

解説よろしくお願い致します。

No.16758 - 2012/01/29(Sun) 21:36:24

☆ Re: 階段状グラフの問題です。 / ヨッシー

0.0km超1.5km以下　450円
1.5km超2.0km以下　520円
2.0km超2.5km以下　590円
2.5km超3.0km以下　660円
3.0km超3.5km以下　730円
3.5km超4.0km以下　800円
4.0km超4.5km以下　870円
4.5km超5.0km以下　940円
5.0km超5.5km以下　1010円
5.5km超6.0km以下　1080円
6.0km超6.5km以下　1150円
6.5km超7.0km以下　1220円
7.0km超7.5km以下　1290円
7.5km超8.0km以下　1360円
8.0km超8.5km以下　1430円
8.5km超9.0km以下　1500円

こんなふうに書いていけば確実です。

メーターが、70円増えるのを、ランクアップと呼ぶとします。
例えば、1600m だと、1600－1500＝100
　100÷500＝0.2
ですが、1500 を少しでも超えると、70円増えるので、この 0.2 は
切り上げて１（ランクアップ）として、
　450＋70×1＝520（円）
です。6200m だと、6200－1500＝4700
　4700÷500＝9.4
ですが、500ｍ×９　とさらに200ｍ進んでいるので、
１０ランクアップしたことになります。よって、
　450＋70×10＝1150

1500円は　(1500－450）÷70＝15(ランクアップ)
なので、一番効率良いのは、1500＋15×500＝9000(m) ちょうどで
降りたときで、一番効率悪いのは、8500m をほんの少しだけ
オーバーしたときです。
よって、1500円払うのは
　8.5km を超えて、9km以下
の距離の時です。

No.16759 - 2012/01/29(Sun) 23:26:25

☆ Re: 階段状グラフの問題です。 / 夕凪

ヨッシーさん、こんばんわ(o^-^o)。

解説どうもありがとうございます。こんなに丁寧に解説して頂いてるのに、解りません(>.<)。

もうちょっと聞いてもいいでしょうか？

ヨッシーさんの解説の中の、「メーターが、70円増えるのを、ランクアップと呼ぶとします。
例えば、1600m だと、1600－1500＝100
　100÷500＝0.2
ですが、1500 を少しでも超えると、70円増えるので、この 0.2 は
切り上げて１（ランクアップ）として」とありますが、

この上の１００÷５００＝０．２の意味が解りません(>.<)。

１００ｍは、４５０円の基本料金１５００円分よりも超えた分の１００ｍだとわかります。５００ｍは、５００ｍごとに７０円ずつの割合で増えていくからだと思いますが、どうして、１００ｍを５００ｍで割るのでしょうか？

ほんとに馬鹿ですいません(。-人-。) 。

１６００ｍの場合、一つずつ書いた表で、1.5km超2.0km以下　ってところを見れば、５２０円ってわかるのですが、この１００÷５００の意味と、ランクアップの意味がよく解りません(>.<)。

頑張って理解するので、どうかまた解説よろしくお願い致します。

No.16769 - 2012/01/30(Mon) 21:35:05

☆ Re: 階段状グラフの問題です。 / ヨッシー

0.0km超1.5km以下　450円　　基本料金
1.5km超2.0km以下　520円　　１ランクアップ
2.0km超2.5km以下　590円　　２ランクアップ
2.5km超3.0km以下　660円　　３ランクアップ
3.0km超3.5km以下　730円　　４ランクアップ
3.5km超4.0km以下　800円　　５ランクアップ
4.0km超4.5km以下　870円　　６ランクアップ
4.5km超5.0km以下　940円　　７ランクアップ
5.0km超5.5km以下　1010円　　８ランクアップ
5.5km超6.0km以下　1080円　　９ランクアップ
6.0km超6.5km以下　1150円　　10ランクアップ
6.5km超7.0km以下　1220円　　11ランクアップ
7.0km超7.5km以下　1290円　　12ランクアップ
7.5km超8.0km以下　1360円　　13ランクアップ
8.0km超8.5km以下　1430円　　14ランクアップ
8.5km超9.0km以下　1500円　　15ランクアップ

このように、1500ｍを超えた後は、500m ごとに
１ランクアップすると考えます。
料金は、
　450＋70×(ランクアップ数)
で求められます。

さらに、乗った距離から1500mをひいた距離を500mで割った値が
０超１以下　　１ランクアップ
１超２以下　　２ランクアップ
２超３以下　　３ランクアップ
　・・・
n-1超ｎ以下　　ｎランクアップ
となり、
1600mは、
　(1600-1500)÷500＝0.2
で、
０超１以下　　１ランクアップ
　450＋70×１＝520(円)
となります。

さらに、6200m は
　(6200-1500)÷500＝9.4
の10ランクアップで　　450＋70×10＝1150(円)　です。
（これは、上ですでに書いていますね)

No.16778 - 2012/01/31(Tue) 07:12:57

☆ Re: 階段状グラフの問題です。 / 夕凪

ヨッシーさん、こんばんは(o^-^o) 。

返信遅くなって、申し訳ありません(。-人-。) 。

ほんとに丁寧に解説どうもありがとうございました。

?Bの問題は、７０円払う区間（５００ｍの区間）が１５回あったと考えるのですね。それで、９ｋｍが最大値、８、５ｋｍが最小値というように、一番得する距離と、一番損な距離を考えればいいのですね(o^-^o) 。

だいたい理解できた感じです(*^.^*)。

また行き詰まりましたら、お願い致します。

No.16839 - 2012/02/05(Sun) 20:40:23

★ ｒ＞０で考える？ / ぷ～

次の極方程式の表す曲線を直交座標に関する方程式で表せr=1/(2+√3cosθ）
解答を丸写ししますと
r=1/(2+√3cosθ）
の分母を払うと
r(2+√3cosθ）＝1
⇔2r=1-√３ｒcosθ
⇔２√（ｘ＾２＋ｙ＾２）＝１－√３ｘ
⇔4（x＾2＋y＾2）＝（1－√3x）＾2かつ1－√3x≧０
⇔（x＋√3）＾2＋4y＾2＝4かつx≦１/√3
（２次曲線が面白いほど分かる本から抜粋）

ですが
次にｒ＝√６/（2＋√6cosθ）の表す曲線を直交座標（x、y）に関する方程式で表せ、を同じ方法で解いてみました（徳島大学入試問題）

r=√６/(2+√６cosθ）
の分母を払うと
r(2+√６cosθ）＝√6
⇔2r=√6-√６ｒcosθ
⇔２√（ｘ＾２＋ｙ＾２）＝√6（１－ｘ）
⇔4（x＾2＋y＾2）＝６（1－x）＾2かつ1－x≧０
⇔（x－３）＾2/6-y＾2/3＝1かつx≦１

となるのですが、実際の答えは双曲線のx≧√6＋３
の部分も含まったものでした。

つまりx≦１は不要という事になってしまうのですが、このx≦１がどこから来たかというとｒ＝√（ｘ＾２＋ｙ＾２）代入した所からきています、ということは「２次曲線が面白いほど分かる本」の解は不正解ということなのでしょうか？

極方程式を始めたばかりなので混乱しています。
ｒ＝（θを含んだ式）→ｘ、ｙに関する方程式
にするにはどういう手順を踏んだら良いのか教えてください

No.16757 - 2012/01/29(Sun) 19:15:34

☆ Re: ｒ＞０で考える？ / のぼりん

こんばんは。

＞　実際の答えは双曲線のx≧√6＋３の部分も含まったものでした。

「実際の答え」とは、その本の解答でしょうか。
そうだとしたら、その本の間違いであり、貴兄の解答が正しいのでご安心下さい。
その双曲線のｘ≧√６＋３の部分は、極方程式ｒ＝√６/(２＋√６ｃｏｓθ）では表せません。

No.16761 - 2012/01/30(Mon) 03:25:34

☆ Re: ｒ＞０で考える？ / ぷ～

「実際の答え」は予備校が公開している解答です。
また、同じ問題を「大学への数学一対一対応の演習」も扱っていますが、その方でもx≧√6＋３が含まったのものでしたが・・

No.16764 - 2012/01/30(Mon) 13:20:08

☆ Re: ｒ＞０で考える？ / 黄桃

こういう場合は、（x－３）＾2/6-y＾2/3＝1　上のx≧√6＋３を満たす点、例えば(9,√15)が最初の極方程式をみたすかどうか代入して確認すれば、どれが正しいのか、直ちにわかると思います。

＃数学に限らず、誰それが言ったから正しいのではありません。
＃正しいかどうかは常に自分で確認しないといけません。

No.16773 - 2012/01/31(Tue) 00:06:52

☆ Re: ｒ＞０で考える？ / angel

極座標って、負の動径を考える流儀もありませんでしたっけ。
つまり、(-r,θ)=(r,θ+π) というように。

No.16775 - 2012/01/31(Tue) 00:46:57

☆ Re: ｒ＞０で考える？ / ぷ～

（x－３）＾2/6-y＾2/3＝1　上のx≧√6＋３を満たす点、例えば(9,√15)が最初の極方程式をみたすかどうか代入して確認とありますが、
どう確認すればいいのか分かりません。ｒが定数ならわかりますが。

それで結論はどうなのでしょうか・・。ｒが正とか負とかはよく分かりません。

No.16782 - 2012/01/31(Tue) 15:52:25

☆ Re: ｒ＞０で考える？ / angel

> ｒが正とか負とかはよく分かりません。
つまり、範囲外かどうかが争点になっている
(x-3)^2/6-y^2/3＝1 (x≧√6+3) の部分ですが…。
例えば (x,y)=(√6+3,0) を極座標形式で (r,θ)=(√6+3,0) とすると r=√6/(2+√6cosθ) は満たしませんが、(r,θ)=(-(√6+3),π) とするなら満たすのです。

負の動径を考えるかどうか、それはつまり
　x=rcosθ=(-r)cos(θ+π)
　y=rsinθ=(-r)sin(θ+π)
という関係があるところで (r,θ)=(-r,θ+π) とするかどうか、ということです。

負の動径も考えるなら、
> 2r=√6-√6rcosθ
> ⇔2√(x^2+y^2)=√6(1-x)
ではなく、
　±2√(x^2+y^2)=√6(1-x)
となります。

No.16824 - 2012/02/04(Sat) 14:19:24

★ 直方体を乱積みしたときの全体積は？ / maizuruman

各辺がa、b、cの直方体Ｎ個を乱積み（不規則にバラ撒き、自由に積み上げる）する時、期待される全体積（体積）は？

No.16747 - 2012/01/28(Sat) 21:54:20

☆ Re: 直方体を乱積みしたときの全体積は？ / らすかる

「全体積」の意味が「体積の合計」ならば abcN ですが、
そうでないなら「全体積」の定義をお願いします。

No.16749 - 2012/01/29(Sun) 02:48:49

☆ Re: 直方体を乱積みしたときの全体積は？ / maizuruman

申し訳ありませんでした。
全体積について以下のとおり定義付けます。
全体積とは、長さ・幅・高さとも十分な長さを持つ空間の中で、Ｎ個の直方体を順次ひとつずつ、落としておくときに、生ずる空隙を含む体積のことです。

これでご理解いただけるでしょうか？

No.16750 - 2012/01/29(Sun) 10:01:01

☆ Re: 直方体を乱積みしたときの全体積は？ / らすかる

「生ずる空隙を含む体積」では数学的に理解不能ですが、例えば
「すべての直方体を含む最小の凸多面体の体積」と解釈して
よいでしょうか。

No.16751 - 2012/01/29(Sun) 10:11:51

☆ Re: 直方体を乱積みしたときの全体積は？ / ヨッシー

これ、Ｎ＝２のときも、求めるの大変では？

バラ撒いたとき、ａの辺が高さになる場合、ｂの辺が高さになる場合、
ｃの辺が高さになる場合、それぞれの確率を求めないといけませんし、
積み上げるからには、崩れないように重心の計算もしないといけませんし、
２個目を積む位置、角度いずれも確率を計算しないといけませんので。

No.16762 - 2012/01/30(Mon) 07:16:11

☆ Re: 直方体を乱積みしたときの全体積は？ / らすかる

いや、大変ではないと思いますよ。
「長さ・幅・高さとも十分な長さを持つ空間の中」ですから、
N≧2では「十分大きな体積」になってしまって
求まらないだけだと思います。

No.16763 - 2012/01/30(Mon) 10:00:23

★ 逆関数はｙ＝ｘに対称だが・・ / ピジョン

g(x)がf(x)の逆関数の時に2曲線ｙ＝ｆ（ｘ）、ｙ＝ｇ（ｘ）の交点は直線ｙ＝ｘ上にある」とする人がいます。ｆ（ｘ）が増加関数の時は正しいですが、減少関数の時は間違いです

とあったのですがｆ（ｘ）が減少関数だとｇ（ｘ）が増加関数でも減少関数でも間違いということなんでしょうか？

そもそも『ｆ（ｘ）が増加関数の時は正しいですが、減少関数の時は間違い』というのがいまいち納得できないのでどなたか説明お願いできないでしょうか？

よろしくお願いします

No.16727 - 2012/01/26(Thu) 20:17:04

☆ Re: 逆関数はｙ＝ｘに対称だが・・ / ヨッシー

何に載っていた言葉でしょうか？

その前後に、図などの解説はないのでしょうか？
もしくは、この解説の元となった問題はなんですか？

何を以て、「間違いです」と言っているかよく分かりません。

No.16729 - 2012/01/26(Thu) 22:00:21

☆ Re: 逆関数はｙ＝ｘに対称だが・・ / ピジョン

問題は、2つの関数をf(x)=√(x+1)(x≧-1)、g(x)=x^2-1(x≧0）とし、ｙ＝ｆ（ｘ）とｙ＝ｇ（ｘ）で表せる曲線を其々C1、C2とする。（１）ｆ（ｘ）の逆関数がｇ（ｘ）であることをしませ
（２）曲線C１と曲線C2の交点Pの座標を求めよ。

の（２）の解説です（２）でいきなり「交点はy＝x上にあると」と始めないほうが良い、ともあります。

No.16730 - 2012/01/26(Thu) 22:41:11

☆ Re: 逆関数はｙ＝ｘに対称だが・・ / angel

「間違い」というのは正しいです。
例えば、y=1/x の逆関数は y=1/x で自身と同じになりますので、これらの共有点は、y=1/x 上の点全てとなります。y=x上以外にもあることになります。

まあ、これは極端な例ですが、つまりどういうことかというと、もともとの y=f(x) のグラフが、y=x に対称な2点を含んでいるとこういうことが起こるのです。
例えば、y=f(x) が (1,2) と (2,1) 両方を含む場合、y=f(x)とy=f^(-1)(x)は、(1,2),(2,1)を共有点として持ちますね。

でもって、上のようなケースだと、(1,2)→(2,1)で必ず減少しますから、だから「減少関数の時は…」という話にふれているのでしょう。

No.16733 - 2012/01/27(Fri) 00:46:31

☆ 例 / angel

一例として、y=4(x^2+4)/(5x^2) と、y=4/√(5x-4) を挙げます。
y=x 上の点 ( 3次方程式の解で、座標は無理数 ) 以外に、(1,4),(4,1) にも交点があります。

No.16734 - 2012/01/27(Fri) 01:07:41

☆ Re: 逆関数はｙ＝ｘに対称だが・・ / らすかる

> ※ちゃんと逆関数になっています
なっていませんね。計算ミスがあるようです。

> 3次方程式の解で、綺麗に値は求まらない
求めたら、 x=(2/15){(683+15√2073)^(1/3)+(683-15√2073)^(1/3)+2} となりました。

No.16736 - 2012/01/27(Fri) 02:23:39

☆ Re: 逆関数はｙ＝ｘに対称だが・・ / ピジョン

つまり、逆関数にする前の関数、または逆関数にした後の関数どちらか一方でも減少関数ならばｙ＝ｘ以外に交点を持つことがある、ということでよいのでしょうか？

No.16737 - 2012/01/27(Fri) 09:52:21

☆ Re: 逆関数はｙ＝ｘに対称だが・・ / らすかる

「どちらか一方だけが減少関数」ということはあり得ないと思いますが、「減少関数ならばy=x以外に交点を持つ可能性がある」は正しいです。

No.16738 - 2012/01/27(Fri) 10:20:55

☆ Re: 逆関数はｙ＝ｘに対称だが・・ / angel

らすかるさん、ご指摘ありがとうございます。
係数を逆にしていました。No.16734を訂正しました。
※4(x^2+4)/(5x^2)とすべきを4(4x^2+1)/(5x^2)としていました

No.16740 - 2012/01/27(Fri) 22:35:23

★ 無限級数の和 / のぞみ

大学一年です。
∞
Σ[(n+2)/{n(n+1)2^n}] = 1
n=1
の計算方法がわかりません。
シグマの中身を
(n+2)/n(n+1) * (1/2)^n という風に分けて計算したのですが、最後に
Σ(1/n) がどうしても残ってしまい、答えが１になりません。

どなたかよろしくお願いします。

No.16711 - 2012/01/24(Tue) 17:56:30

☆ Re: 無限級数の和 / X

部分分数に分ける例のパターンですね。
但し少しひねってあります。
(n+2)/{n(n+1)2^n}=2{1/(n2^n)-1/{(n+1)2^(n+1)}}
と変形してみましょう。

No.16712 - 2012/01/24(Tue) 20:35:07

☆ Re: 無限級数の和 / のぞみ

回答ありがとうございます。
確かにそのように変形したら、答えが１になりました！
ありがとうございます。
ところで、べき乗が分母にある場合、そのように変形するのがお決まりなのですか？

そしてすみません、もう一つ。
∞
Σ{(-1)^(n-1)}*(2n+1)/{n(n+1)} = 1
n=1

など、(-1)^(n-1)が分子にある場合は、どのように変形したら上手くいくでしょうか？
アドバイス、お願いいたします。

No.16717 - 2012/01/24(Tue) 23:11:12

☆ Re: 無限級数の和 / X

決まりというわけではありません。

和を取るときに部分分数に分ける方針というのは
もっと一般的に考えると階差数列の和の形、つまり
Σ[k=1～n]{a[k]-a[k+1]} (A)
にすると考えられます。
最初に質問された問題では
1/{n(n+1)}
を部分分数に分けた場合から類推して(A)において
a[k]=1/(k2^k)
と考えてはどうだろうか、ということで導いています。
同様の方針で件の問題も考えてみて下さい。

No.16718 - 2012/01/25(Wed) 00:04:41

☆ Re: 無限級数の和 / のぞみ

回答ありがとうございます。

アドバイスありがとうございます。
同様の考え方で、もう一つの方も解くことが出来ました。
ありがとうございました。

No.16719 - 2012/01/25(Wed) 00:54:56

★ 中点連結定理、線分比の範囲 / すないでる

向かい合う２辺が平行でない四角形ABCDに対して
Aを通りBCと平行な直線とCDの交点をB'
Bを通りCDと平行な直線とDAの交点をC'
Cを通りDAと平行な直線とABの交点をD'
Dを通りABと平行な直線とBCの交点をA'
とするときAA'、BB'、CC'、DD'は１点で交わることを証明せよ

この問題に１晩を費やしてしまいました…(笑)
どなたかよろしくお願いします。

No.16701 - 2012/01/24(Tue) 09:15:44

☆ Re: 中点連結定理、線分比の範囲 / angel

まず、A'～D'の決め方が非常に綺麗に循環していることに着目します。つまり、一部分だけ証明すれば“同様に～”が使える形。
なので、これだけ示せれば十分です。
　AA'とBB'の交点とBB'とCC'の交点は一致する
その後は、同様にBB'とCC'の交点とCC'とDD'の交点は一致すると言えるため、これら交点が全て一致と相成ります。

で、AA'とBB'の交点、BB'とCC'の交点ですが…
これらはともにBB'上にあることは共通で、そうするとBB'上のどこの位置にあるか、調べることになります。
で、至る所「平行」が転がっているこの状況だと、結局交点というのがBB'を何対何に内分する点か、現れる相似形の相似比を見ればすむことに気づきます。
二組の相似比はそれぞれBA':B'A、BC':B'Cですから、これらの一致を示せば、それがすなわち「交点の一致」を意味します。

これでゴールが BA':B'A=BC':B'C ( ⇔BA'・B'C=B'A・BC' ) と明確になりました。
後は…
添付の図のように、メネラウスの定理で出てくるような形を考えて、適当に長さの比を文字で置いてあげれば、いろいろな長さの比が判明しますから、ごり押しでも計算できそうだとわかります。

No.16731 - 2012/01/26(Thu) 23:48:44

☆ Re: 中点連結定理、線分比の範囲 / angel

とは言え、ごり押しするのはちょっと面倒なので、上手いこと線分の長さの比を使えないか考えます。

で、色々「平行」があって、三角形の相似が生じているこの状況だと、

　BA'=BC・PD/PC　(△CA'D∽△CBP)
　B'C=PC・AB/PB　(△PAB'∽△PBC)
　B'A=BC・PA/PB　(△PAB'∽△PBC)
　BC'=PD・AB/PA　(△ABC'∽△APD)

と表せることが分かります。これでBA'・B'CとB'A・BC'を計算して一致を確かめれば良し、と。

なお、BC'=CD・QB/QC のように別の表現もできたりしますが、QとPを混在させた形にするとうまくまとまりません。

後余談としては、上の絵だとPが□ABCDから見て上、Qが右になっていますが、Pが上下、Qが左右どちらに来るかは実は決まっていません。都合4通りの場合わけになるのですが、それでも式の形はまったく一緒になります。
解答を書く上で、この話に触れる必要はないと思いますが、一応自分で確認しておいた方が良いでしょう。

No.16732 - 2012/01/26(Thu) 23:59:53

★ 一般の場合に成り立てばとある場合でも確かに成り立つ。しかし・・ / 行列初心者

A=(a b)
(c d)

とする。2以上のある自然数ｎに対してA^(n-1)
≠０,A^n=0が成り立つとする。
（１）ad-bc=0であることを示せ
（２）a+d=0である事を示せ
（３）A^2=0である事を示せ

問題は（２）です。
解答を写しますと
A^2=(a+d)A・・?@
これにAをかけてA^2
に再び?@を用いるとA^3=(a＋ｄ)A^2
これを繰り返し、『一般にA^k=(a+d)^(k-1)A(k≧２）・・?A
が成り立つ。A^n=0より(a+d)^(n-1)A=0』
a+d=0またはA=0
もしA=0ならばn-1≧１のときA^(n-1)＝０になりA^(n-1)≠に反する。よってA≠０よってa+d=0

ですが『』の部分が分かりません。このA^n＝０というのは（2以上の）とあるｎでしか成り立たないので、『　』以降の議論はとあるｎのときの場合のみしか考えていない事になります。問題文のa+d=0を示せというのはどんなｎのときでもa+d=0となるのを示せ、といっているのですから、A^(n-1)
≠０,A^n=0が成り立たないようなｎのときを考えていないのと思うのです。

どなたか疑問を解消させてください。連投ですがよろしくお願いします

No.16694 - 2012/01/23(Mon) 17:40:09

☆ Re: 一般の場合に成り立てばとある場合でも確かに成り立つ。しかし・・ / ヨッシー

問題文のa+d=0を示せというのはどんなｎのときでもa+d=0 となるのを示せ、
といっていません。

たとえば、ある行列Ａについて、Ａ^2, Ａ^3, ・・・Ａ^100・・・
などの結果が書かれたカードがあって、どれか１枚を引いたとき、
その結果が０であったら、その結果だけで、（Ａ^2, Ａ^3 などが
いくつであるか調べるまでもなく)ａ＋ｄ＝０が示せる、
という意味です。

(3) で結局２以上のすべての整数ｎについて、Ａ^n＝０が
示されますが、それは別の問題です。

No.16696 - 2012/01/23(Mon) 21:56:53

☆ Re: 一般の場合に成り立てばとある場合でも確かに成り立つ。しかし・・ / 行列初心者

回答ありがとうございます

問題文のa+d=0を示せというのはどんなｎのときでもa+d=0 となるのを示せ、
といっていません。＞しかしそれならばa+d=0となるようなｎが存在する事を示せ、と問うのではないですか？

どれか１枚を引いたとき、
その結果が０＞この０というのは行列が０という意味ですか？それともa+dが０という意味ですか?

ちょっとどういうことなのかよく分からないのでもう少し詳しくお願いします。

No.16697 - 2012/01/23(Mon) 23:11:41

☆ Re: 一般の場合に成り立てばとある場合でも確かに成り立つ。しかし・・ / ヨッシー

本当は、
Ａをいくつか（2個以上）掛けていって、どこでＡ^n＝０になるか
分からないけれども、もし、そういうｎがあったら、そのような
Ａは必ずａ＋ｄ＝０を満たす。
と書きたかったのですが、(3) の結果を踏まえると、
いくつか掛けていったら、ｎ個目にＡ^n＝０になったという
ニュアンスに語弊が生じると思い、カードのたとえにしました。

表にＡ^2、Ａ^3 などと書いてあり、裏にその計算結果が書いてあるとしましょう。
適当なカードを引いて、その裏に０（０行列）が書かれていたら、
それがＡの何乗であっても、Ａはａ＋ｄ＝０を満たす行列である、という意味です。

a+d=0となるようなｎが存在する事を示せ、とも違います。
あるｎでＡ^n が成り立つならば、ａ＋ｄ＝０が成り立つ。
です。
ｎが何であるかは、カードをめくるごとく無作為です。
そのときたまたまＡ^n が０行列だった、というのが、この話の
始まりです。

No.16698 - 2012/01/23(Mon) 23:57:26

☆ Re: 一般の場合に成り立てばとある場合でも確かに成り立つ。しかし・・ / 行列初心者

回答ありがとうございます。

まだよく分からないので一つ一つ丁寧に見ていきます

Ａをいくつか（2個以上）掛けていって、どこでＡ^n＝０になるか分からないけれども、もし、そういうｎがあったら、そのようなＡは必ずａ＋ｄ＝０を満たす、ことを示せということですか？

表にＡ^2、Ａ^3 などと書いてあり、裏にその計算結果が書いてあるとして適当なカードを引いて、その裏に０（０行列）が書かれていたら、それがＡの何乗であっても、Ａはａ＋ｄ＝０を満たす行列であることを示せ、ということですか？

あるｎでＡ^n が成り立つならば、ａ＋ｄ＝０が成り立つことを示せ、ということですか？

何を示すのかとその根拠が釈然としないのでまずははっきりさせたいです。

No.16700 - 2012/01/24(Tue) 00:21:20

☆ Re: 一般の場合に成り立てばとある場合でも確かに成り立つ。しかし・・ / ast

初めから (問題文にもヨッシーさんのご回答にも) 明確に述べられているとおり, 「行列 A が A^n=0 かつ A^(n-1)≠0 となるような自然数 n(≥2) を一つでも持つならばそのような行列 A は必ず a+d=0 を満たす行列である」ことを示すことが求められている問題です.

むしろ, それ以外の内容だと解釈できるとするほうが不可解です.
> A=((a b),(c d))とする。2以上のある自然数ｎに対してA^(n-1)≠0,A^n=0が成り立つとする。
が前提,
> a+d=0である事
が結論ですから, 前提を P, 結論を Q と書けば, この問題は「PならばQを示せ」というよく見る類いの命題であることに気がつくはずです.

なお, 「ある○○に対して××が成り立つ」と「××が成り立つ○○が存在する」や「少なくとも一つの○○は××を満たす」などは皆同じ意味です.

No.16708 - 2012/01/24(Tue) 15:55:05

☆ Re: 一般の場合に成り立てばとある場合でも確かに成り立つ。しかし・・ / 行列初心者

それ以外の内容だと解釈できるとするほうが不可解です、とありますがなぜ不可解なのか、その根拠を教えてください。

「a+d=0を示せ」には「上記のとある自然数ｎのときのAがa+d=0を示せ」とは書かれていません

「行列 A が A^n=0 かつ A^(n-1)≠0 となるような自然数 n(≥2) を一つでも持つならばそのような行列 A は必ず a+d=0 を満たす行列である」ことを示すと解釈した理由を教えてください。

よろしくお願いします。

No.16744 - 2012/01/28(Sat) 19:49:46

☆ 日本語の問題 / angel

> なぜ不可解なのか、その根拠を教えてください。
日本語の解釈の問題であり、astさんの説明に特に問題は見られませんから、逆に言えば、それ以外の解釈ならば「不可解」と言っても差し支えないでしょう。根拠の有無の問題ではないのです。
とはいえ、日本語の問題でありながら、国語の授業では習わない ( なぜか数学の範囲になる ) でしょうから、慣れないと分かりにくいかも知れません。
行列初心者さんがどういう内容と認識しているのか書いて頂ければ、他の方もより詳しく指摘しやすいでしょう。

No.16755 - 2012/01/29(Sun) 17:37:02

☆ あるnに対して… / angel

とりあえず、今回の問題の(2)で示すことは、

　[a] ある自然数 n ( n≧2 ) に対して A^n=O ならば a+d=0 である

ですね。前提部分と(2)の問題文を単純に連結したものです。
※A^(n-1)≠O は今回あってもなくてもあまり違いはないので、省スペース化のため省略しました

でもって、n の条件は「n≧2の自然数であること」以外には示されていませんから、2以上の自然数であるかぎり、何であっても成立しなければなりません。つまり、

　[b] A^2=O⇒a+d=0 かつ A^3=O⇒a+d=0 かつ A^4=O⇒a+d=0 かつ …

言い方を変えると、

　[c] (A^2=O または A^3=O または A^4=O または …)⇒a+d=0

という、無限通りのパターンについて成立を示すことになるわけです。
※で、無限通りを示すことは単純にはできないので、数学的帰納法等を用いることになります。

なお、[c] にある「A^2=O または A^3 または A^4=O または…」というのがつまり「ある自然数n(n≧2)に対してA^n=O」のことなのですが、「A^n=Oとなる自然数n(n≧2)が(少なくとも一つ)存在する」等のastさんがNo.16708で挙げたような別の表現も同じ意味を持ちます。

以上のことを把握すれば、行列初心者さんのNo.16700の質問の答えは全てyesになることが分かると思いますが…？

No.16756 - 2012/01/29(Sun) 18:14:39

★ 二項定理 / 行列初心者

B=A－ｋEとおく。
自然数ｎに対してA^n=nk^(n-1)B+k^nEが成り立つ事を示せ。
（A,Bは行列でともに実数成分の２×２行列）
解
A=kE+Bであり、A^n=(kE＋B)^nを二項展開するとｎ≧２のとき
A^n=k^nE+nC1k^(n-1)B+nC2k^(n-2)B^2+・・・＋nCn-1kB^(n-1)+nCnB^n
以下略

とあるのですが、このｎ≧２はどこから来たものでしょうか？二項定理自体は(a+b)^n=Σ（ｋ＝０～ｎ）nCka^kb^(n-k)にあるようにｎ≧０で成立しますよね。（この問題だと問題文よりｎ≧１ですが）

nC2k^(n-2)B^2があるからｎ≧２だ、と言う人もいるかもしれませんが、もしそうならA^n=k^nE+nC1k^(n-1)B+nC2k^(n-2)B^2+nC3k^(n-3)B^3・・・＋nCn-1kB^(n-1)+nCnB^nと書けばn≧３と書くということになってしまいます。しかし・・・の部分はどこまで書くかは個人のセンスによるのでそれはおかしいんじゃないかと思います。

連投ですがどなたかご教授ください。

No.16693 - 2012/01/23(Mon) 16:27:22

☆ Re: 二項定理 / 行列頑張り隊

簡単な質問ではないですが、よろしくお願いします

No.16705 - 2012/01/24(Tue) 13:18:44

☆ Re: 二項定理 / ast

必ずしも分けなければいけないというわけではないですが, 提示されている模範解答は冒頭で既に「n=1のときは自明に成り立っている」ことを断っているので, 処理済みのn=1を含める意味がそもそもありませんから, そうしてあるのでしょう. むしろその模範解答でn≥2を書かない場合, n=1のときを二重に述べているわけですから, 「二項定理がいつ成立するか」ということと「何を言うために二項定理を利用したのか」ということとを, 峻別できていない可能性を疑われる虞があるかもしれません (些細な点ですし, 定期試験や入試くらいだとそこまで厳しく見るとも思えませんが).

> ｎ≧０で成立しますよね
行列に関する二項定理がいつ成立するかを, 文字式(多項式)に関する二項定理から即断するのは早計です. 少なくとも, 二項定理の成立には交換法則の成立が不可欠です (から, 多項式の不定元に行列を「代入」するのは一変数多項式に限るようにしたほうが安全です). また, A や B は正則かどうかはっきりしません (模範解答の省略部分には B^2, B^3, ... が消える事などが続きそうですが, だとするとBは正則でない) が, n=0のときも考えるというならば, 正則でない正方行列の0乗とは何かということは, 直観的に明らかというわけではないことに注意しなければなりません (xを0以外の実数とすれば, 逆数を掛ける事と冪乗x^n冪指数nを1だけ減らすこととを対応させることでx^0=1などと「定義」しました. このことの行列に対するアナロジーは, Xが行列式が0でない行列のとき, その逆行列を掛けることとXの冪乗X^nの冪指数nを1減らすことを対応付けることです. もちろんこれは, 逆行列を持たない場合には無力です).

> nC2k^(n-2)B^2があるからｎ≧２だ、と言う人もいるかもしれませんが、
おそらく居ないでしょう, さすがにナンセンスすぎます.

それはそうと, 問題が何か不自然ではないですか? 2次以降が消える理由がBの冪零性によるものなら, Aが一般ならBは必ずしも冪零行列には限られないはずですから変です. あるいは仮に2行2列の場合でケーリー・ハミルトンを使って1次まで落としたというのなら係数が変ですし.
# 模範解答はあまり省略しないことを薦めます (別な部分で答案の意図が垣間見える場合もわりとあるので).

No.16709 - 2012/01/24(Tue) 16:33:39

☆ Re: 二項定理 / 行列頑張り隊

回答ありがとうございます

確認】なるほどなるほど。。つまりこのｎ≧２は、例えばｎ≧２として階差数列を求めた後、ｎ＝１で成り立つか確認、などといったほどの重要な意味を持つｎ≧２ではないのですね。

参考】A=((a,b)(c,d)),a+d=2k,ad-bc=k^2(a,b,c,d,kは実数）
(1)(A-kE)^2=0を示せという流れでした

No.16716 - 2012/01/24(Tue) 21:26:18

☆ Re: 二項定理 / 行列頑張り隊

どなたか確認】の確認をお願いします

No.16746 - 2012/01/28(Sat) 19:52:08

☆ Re: 二項定理 / angel

> …(略)…などといったほどの重要な意味を持つｎ≧２ではないのですね。

いや、根本的に模範解答中の表現に意味を求めるのはやめた方が良いです。
気にするべきは、n≧1 として問題のない局面かどうか、くらい。
良くある階差数列 a[n]=a[1]+Σ[k=1,n-1] b[k] だったら、そもそも n=1 の場合に不適となりますから、n≧2 とせざるを得ません。( n≧3 とかでも良いけど )

> A^n=k^nE+nC1k^(n-1)B+nC2k^(n-2)B^2+・・・＋nCn-1kB^(n-1)+nCnB^n

これは別に n≧1 でも成立します。もちろん n≧2 でも成立します。模範解答であえて n≧2 としているのは、n=1 の分を示す必要がなかったからでしょうね。(後の話の展開として)
まあ意図といえばこんな所でしょうか。でも、この意図が分かったからといって、何かの役に立つわけでもないので…。

No.16777 - 2012/01/31(Tue) 01:09:35

☆ Re: 二項定理 / 行列頑張りたい

答案に書かないと減点になるかどうかという点で知っておくべきだと思ったのです。（答案として自己採点して）○にしてよいのか△（不十分）なのかかという不安な心境から解放されました。ありがとうございました。

No.16806 - 2012/02/01(Wed) 19:07:46

★ 行列 / 行列初心者

行列A=(1 -3)
(2 -4)

X=(x)
(y)

について、次の問いに答えよ。ただし、Xは零行列でないとする
問い1
P=(x1 x2)
(y1 y2)
とするとき、P^(-1)APを求めよ。
（ただしy1=x1,3y2=2x2）
答えp^(-1)AP=(-2 0)
(0 -1)

問い2
A^30を求めよ
解）P=(1 3)
(1 2)

B=(-2 0)
(0 -1)
として
A^30=PB^30P^(-1) =

として求めているのですが
なぜ
P=(1 3)
(1 2)

とおいてよいのか分かりません。
このPを
P=(2 9)
(2 6)
と置いても確かにP^(-1)APの値に変化はありませんが

A^30=PB^30P^(-1) のPやP^(-1)
に代入する際、
P=(1 3)
(1 2)

を代入した時と本当にA^30の値が同じになるのかどうかは分からないと思うのです。

行列の表記は見た目どうりです。Aの行列は１、１成分は
１。２，１成分は２。１－２成分はー３。２－２成分はー４という具合です。
行列の下のほうの成分（２－１成分と２－２成分）はなぜかずれてしまって上の成分と合わせられないので
右にずらして見てください。
どうかお察しください。よろしくお願いします

No.16692 - 2012/01/23(Mon) 15:39:58

☆ Re: 行列 / 行列頑張り隊

回答お待ちしております

No.16704 - 2012/01/24(Tue) 13:17:55

☆ Re: 行列 / ast

B=P^(-1)AP ならば B^2=P^(-1)A{PP^(-1)}AP=P^(-1)A^2P, ..., B^n=P^(-1)A^nP, ... (今の計算では PP^(-1)=E であることだけが重要で, P の具体的な成分を全く問題にしていないことに注意) だから, このような正則行列 P が存在する限り, P によらず必ず PB^nP^(-1)=A^n です (B^n=P^(-1)A^nP の両辺に, 左から P を, 右から P^(-1) を掛けるだけ). 故に, B が B^n を計算しやすい行列になるような正則行列 P であれば何でも構わない, ということになります.

ここでは B は対角行列という非常に扱いやすい形にしています (いわゆる対角化) が, 大学で線型代数学をやれば, 固有値を用いた対角化やそれに類似するいくつかの標準化について知ることになるでしょう.

No.16710 - 2012/01/24(Tue) 16:57:28

☆ Re: 行列 / 行列頑張り隊

おさらい）B=P^(-1)APのP、P^(-1）は対角化さえできれば何でもいいPとP^(-1)。そのP,P^(-1)を用いたB=P^(-1)APから式変形してA^ｎ=PB^ｎP^(-1)が出来るのだからA^nのPとP^(-1)はB=P^(-1)APのP、P^(-1)と同じものだという事ですね？

正則行列・・は初めて聞いたのですが逆行列をもつ行列のことでいいんですかね？

回答ありがとうございました

No.16714 - 2012/01/24(Tue) 21:11:13

☆ Re: 行列 / 行列頑張り隊

どなたかおさらい）の確認をお願いします

No.16745 - 2012/01/28(Sat) 19:51:20

★ tr,detの有名性質 / 行列初心者

tr(uX+vY)=utr(X)+vtr(Y)(X,Yは2×２行列、u,vは実数）

のような線形性のようなものが成り立つようですが、これは３×３行列などにもいえるのでしょうか？また、trはdetにしてもこれは成り立ちますか？

また、このような有名性質のまとめサイトなどがあったら教えてください

よろしくお願いします。

No.16688 - 2012/01/22(Sun) 23:13:35

☆ Re: tr,detの有名性質 / 行列頑張り隊

回答お待ちしております

No.16703 - 2012/01/24(Tue) 13:17:08

☆ Re: tr,detの有名性質 / 黄桃

trについて
一般の正方行列で成立します。成分で書けば証明も簡単です。

det について
すでに2次の正方行列で成立しません。det(2E)=4 ですが、2*det(E)=2 です。
行列を列ベクトルで表現して、A=[a, b] とかいたすると、
det[a+b,c]=det[a,c]+det[b,c]
det[a,b+c]=det[a,b]+det[a,c]
ということはいえます。定数倍については、kを実数として(a,bはベクトル）
det[ka,b]=k det[a,b]
det[a,kb]=k det[a,b]
ということもいえます。
これらから、u,vを実数、x,y,zをベクトルとすれば、
det[ux+vy,z]=u det[x,z]+ v det[y,z]
det[x,uy+vz]=u det[x,y]+ v det[x,z]
ということもでます。これらを組み合わせることもできます。
一般の正方行列でも同様で、多重線型性と呼ばれています。

まとめサイトは知りませんが、大学数学の線型代数（せんけいだいすう；線形代数とも書く）という分野で勉強するので、そういう類のサイトや教科書を見ればいいでしょう。

No.16742 - 2012/01/28(Sat) 07:37:03

☆ Re: tr,detの有名性質 / 行列初心者

回答有難うございました。よくわかりました

No.16765 - 2012/01/30(Mon) 13:23:21