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★ 式変形の進め方 / 信者
直線l:mx+ny=1が、楕円C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a.b>0)に接しながら動くとする。

（１）点（m,n)の軌跡は楕円になる事を示せ

スマートな別解もありますが、それは置いといて、

No.16661のangelさんの記事にある、「0でないなら同値変形のまま進める」「0かもしれない場合は、0の時だけを場合わけして、残りを同値変形で進める」・・（☆）という考え方に基づいて
解答（の一部）を作ってみました
（あえて説明も入れました）


x^2/a^2+y^2/b^2=1・・（※）
両辺に(ab)^2(≠０）をかけて
（（ab)^2≠０より同値は保たれ）

（※）⇔(bx)^2+(ay)^2=(ab)^2・・?B

（?Bにｎ^2をかけたいが、ｎが０か０でないのか分からないのでｎ＝０、ｎ≠０で場合わけをすると）

（?T）ｎ≠０のとき

?Bの両辺にn^2をかけて（ｎ＾２≠０より同値は保たれ）

?B⇔(nbx)^2+a^2(ny)^2=(abn)^2
l:ｍｘ＋ｎｙ＝１・・?@を代入して
（a^2m^2+n^2b^2)x^2-2a^2mx+a^2(1-(bn)^2)=0・・?A

?@）ｍ≠０のとき
?Aが重解を持つ条件は
D/4＝０
a≠０かつｂｎ≠０より
a^2m^2+b^2n^2=1
(m,n)の軌跡はa^2x^2+b^2y^2=1かつx≠±1/a

?A）ｍ=０のとき

(?U）ｎ＝０のとき
?@よりｍ≠０である
よって?Bの両辺にｍ＾２をかけても同値は保たれ
?B⇔（bmx)^2＋(amy)^2=(abm)^2
　
（☆）の教えを守って作りましたが、（☆）の意味はこれで合ってますでしょうか？（☆）の発案者のangelさんまだいらっしゃいましたらどうかご確認ください。よろしくお願いします。
No.16815 - 2012/02/02(Thu) 23:23:22
☆ Re: 式変形の進め方 / angel
こんばんは。angelです。
大体考え方は合っていると思います。
ただ、惜しいところもありますし、解答としては微妙な(減点を喰らいかねない)所もあります。

惜しい所としては(II)
n=0 という非常に特殊な条件なので、m の値も非常に限られます。そこを踏み込むべきです。
具体的には、n=0 の時、直線lは mx=1 の形になり、これは y軸に平行な直線なので、楕円Cに接するとすれば x=±a になります。なので、m=±1/a と絞れます。

なぜ踏み込むべきかというと、それは(I)で埋まらなかった部分を埋める目的があるからです。
問題の目的は「(m,n)の軌跡がある楕円(の全体)であることを示す」です。ところが(I)では、楕円の内 (±1/a,0) が対象外になっています。つまり「楕円の全体」には不足です。そこで、(II)で不足分の(±1/a,0)を埋めようとなるわけです。

あと「微妙」といったところは、折角「同値変形」を使っているのに、そう断言していないところがあることです。
軌跡の問題ですので、最終的には「必要十分条件」を示さねばなりません。そこを「必要条件」しか説明していない ( 「十分条件」が不足 ) と取られると、減点になります。
具体的にどこかというと(I)のD/4=0のところ。
　lとCが接する⇔D/4=0
の同値を一言説明していれば、突っ込み所がありませんでした。

まあ、解答例を作ってみますので、参考にしてください。
No.16819 - 2012/02/03(Fri) 22:05:12
☆ 解答例 / angel
(I) n≠0 の場合
　l の方程式に関して mx+ny=1⇔y=(1-mx)/n であるため、
　lとCが接する
　⇔ y=(1-mx)/n を C の方程式に代入して得られる
　　xの二次方程式が重解を持つ

　ここで、y=(1-mx)/n を C の方程式に代入すると
　　x^2/a^2+(1-mx)^2/(b^2n^2)=1
　　⇔ (a^2m^2+b^2n^2)x^2-2a^2mx+a^2(1-b^2n^2)=0
　重解を持つ⇔判別式D=0 であるため、
　　D/4=a^4m^2-a^2(1-b^2n^2)(a^2m^2+b^2n^2)=0
　これより b^2n^2(a^2m^2+b^2n^2-1)=0
　ゆえに、lとCが接する⇔a^2m^2+b^2n^2=1 であるため、
　(m,n)の軌跡は、楕円 a^2x^2+b^2y^2=1
　ただし、n≠0 であるため (±1/a,0) を除く
(II) n=0 の場合
　l の方程式は mx=1 となり、これは y軸に平行な直線を表す。
　よって、 lがCと接する⇔lがx=±aと一致する
　となるため、m=±1/a
　すなわち (m,n)=(±1/a,0)

以上より、(I),(II)を併せると、(m,n)の軌跡は楕円a^2x^2+b^2y^2=1 である。
No.16820 - 2012/02/03(Fri) 22:20:33
☆ Re: 式変形の進め方 / 信者
ありがとうございます！
また何かあったらよろしくお願いします！
No.16847 - 2012/02/07(Tue) 03:10:42
★ 角度の比です / コギト
AB=9,BC=8,CA=7の?僊BCにおいて、辺BCの中点をMとする。またAB上に∠ACB=∠ANCとなる点Nを取り、∠BCNの二等分線とABの交点をPとする。
１、∠ANC＝∠MNBを求めよ。
２、∠CNM：∠CPMをもっとも簡単な比で求めなさい。

１は出来たのですが、２がお手上げです…
円周角とかも使えず困ってます。

どなたかお願いします。
No.16810 - 2012/02/02(Thu) 02:09:38
☆ Re: 角度の比です / みと
ＭＰが△ＣＮＭの外角(∠ＮＭＢ)の二等分線になるので、2：1

図に記入されている値以外の
ＰＮ＝14/9，ＰＢ＝2，ＭＮ＝28/9
を求めて確認してください
No.16814 - 2012/02/02(Thu) 20:21:53
★ 高校生 / ゴギガガガギゴ
数学 分からない問題です

3つの方程式x^2-2x＋a=0 x^2＋bx＋12=0 x^2-x-20=0について、
どの2つも共通する解をもつとする。
3つすべてに共通する解が存在しないとき、a,bの値を求めよ。

方針すら思い浮かびません。
誰か数学が得意な方教えてください＞＜
お願いしますm(_ _)m
No.16799 - 2012/02/01(Wed) 01:46:54
☆ Re: 高校生 / シャロン
x^2-x-20=0から、x=-4,5なので、
もう一つの共通解をα(≠-4,5)とおいて、
1) x^2-2x＋a=0の解が-4,α、x^2＋bx＋12=0の解が5,αの場合
2) x^2-2x＋a=0の解が5,α、x^2＋bx＋12=0の解が-4,αの場合
を考えるとよいでしょう。
No.16800 - 2012/02/01(Wed) 06:20:45
☆ Re: 高校生 / ゴギガガガギゴ
回答ありがとうございます。
答はa=-15　b=7となったのですが合っていますでしょうか?
2) x^2-2x＋a=0の解が5,α、x^2＋bx＋12=0の解が-4,αの場合
でα=3となり、これは「どの2つも共通する解をもつとする」という条件と「3つすべてに共通する解が存在しないとき」という条件も満たしていると思うのですがどうなんでしょうか？
No.16803 - 2012/02/01(Wed) 12:33:00
☆ Re: 高校生 / シャロン
解としてはそれでいいのですが、
> 1) x^2-2x＋a=0の解が-4,α、x^2＋bx＋12=0の解が5,αの場合
に題意を満たすαが存在しないことをいっておかなければなりません。
No.16804 - 2012/02/01(Wed) 17:00:58
★ 複素数の計算 / ポパイ

(1-i^5)/(1+i^5)+(1-i^3)/(1+i^3)

お願いします。
No.16792 - 2012/01/31(Tue) 20:20:15
☆ Re: 複素数の計算 / X
(1-i^5)/(1+i^5)+(1-i^3)/(1+i^3)
=(1-i)/(1+i)+(1+i)/(1-i)
={(1-i)^2+(1+i)^2}/2
=0
となります。
No.16796 - 2012/01/31(Tue) 23:35:32
★ 高校生 / ゴギガガガギゴ
数学 理解できていない

実数x,yがx^2＋y^2＝2xを満たすとき、x＋yの最大値、最小値を求めよ

解法を丸暗記しているので解く事はできるのですが、理解ができていません。
解答には「x^2＋y^2=2xかつx＋y=k(kは実数)を満たしている実数x,yが存在する⇔y=k-xより2x^2-2(k＋1)x＋k^2=0・・・?@を満たす実数xが存在する⇔?@の判別式DがD≧0となればよい」
と書いてあります。
以下は自分の考えなのですが、
限りなくある実数の中には当然、x^2＋y^2=2xを満たす実数x,yの組み合わせもあるし、x＋y=kが最大値、最小値となる実数x,yの組み合わせも存在している。
これをふまえて、問題文を見ると「実数x,yがx^2＋y^2=2xを満たす」とあります。
この一文は、限りなくある実数の中のx,yの組み合わせを限定するもの、つまり選ぶことができる実数x,yが限られるということを言ってるんだと思います。
選択肢が限定された実数x,yの中でx＋y=kが最大値、最小値となる実数x,yを選ぶ というのは
限りなくある実数の中で「x^2＋y^2=2xかつx＋y=kを満たしている」実数x,yを選ぶということで
さらにこれをふまえた上で解いていくと
まず、x＋y=kを変形したy=k-xとx^2＋y^2=2xの2式から2x^2-2(k＋1)x＋k^2=0・・・?@という式を作ります。
そして?@に判別式Dを使い実数となるkの範囲を条件D≧0から求めると、その結果でてくるkの値の範囲は
x^2＋y^2=2xとx＋y=kをともに満たしている実数xが得られるんだと思います。
このように理解しているのですが勘違いしてると嫌なので数学カテで数学の得意な方に実のところを教えてもらおうと思い質問した次第です。
数学がとても苦手なので
誰か分かる方教えてください。お願いします。
No.16790 - 2012/01/31(Tue) 19:12:28
☆ Re: 高校生 / ヨッシー
選択肢が限定された実数x,yの中でx＋y=kが最大値、最小値となる実数x,yを選ぶ というのは
限りなくある実数の中で「x^2＋y^2=2xかつx＋y=kを満たしている」実数x,yを選ぶということでが選べるときのｋの
最大値、最小値を見つけるということです。

(中略)

その結果でてくるkの値の範囲は
x^2＋y^2=2xとx＋y=kをともに満たしている実数xが得られる
範囲を表しています。

考え方の方向は正しいですが、日本語に落とすときに、それが
表現しきれていないような気がします。
No.16801 - 2012/02/01(Wed) 10:03:52
★ 高校生 / カジイ
関数f(x)は、次の条件(a)(b)を満たしている。
(a)0≦x<1のとき、f(x)=x^3
(b)任意の実数xに対して、f(x＋1)=f(x)＋3x^2＋3x
問.f(x)＋f(-x)を求めよ。

答にはf(x)＋f(-x)はxが整数でないときは1、xが整数であるときは0とあるのですが
どうやって解いたのかわかりません。
誰か分かる方教えてください。お願いします。
No.16789 - 2012/01/31(Tue) 19:11:10
☆ Re: 高校生 / ヨッシー
±２くらいまで調べて、予測してから、数学的帰納法ですね。

まず、f(x＋1)=f(x)＋3x^2＋3x のｘにｘ−１ を代入して、
　f(x-1)=f(x)-3x^2+3x
を求めておきます。

ｘ＝０のとき
　f(x)＋f(-x)＝0

ある整数ｋについて　f(k)＋f(-k)＝0
が成り立つとします。
　f(k+1)＝f(k)＋3k^2＋3k
　f(-k-1)＝f(-k)-3(-k)^2+3(-k)＝f(-k)-3k^2-3k
よって、
　f(k+1)＋f(-(k+1))＝f(k)+f(-k)＝0
よって、整数ｘについて
　f(x)+f(-x)＝0
が成り立つ。

０＜ｘ＜１ のとき
　f(x)＝b^3
　f(-x)＝f((1-x)-1)＝f(1-x)−3(1-x)^2＋3(1-x)
　　＝(1-x)^3−3(1-x)^2＋3(1-x)
　　＝(1-x){x^2−2x＋1−3＋3x＋3}
　　＝(1-x)(x^2＋x＋1)
　　＝1−x^3
より、f(x)+f(-x)＝1

ある整数以外の実数ｋについて　f(k)＋f(-k)＝1
が成り立つとします。
　f(k+1)＝f(k)＋3k^2＋3k
　f(-k-1)＝f(-k)-3(-k)^2+3(-k)＝f(-k)-3k^2-3k
よって、
　f(k+1)＋f(-(k+1))＝f(k)+f(-k)＝１

よって、任意の整数でない実数ｘについて
　f(x)+f(-x)＝1
が成り立つ。
No.16802 - 2012/02/01(Wed) 11:13:17
★ 対称性 / ヒソカ
０≦ｔ≦2πのとき
x(t)=sint,y(t)=sin2t
で表される点P（x(t),y(t))の軌跡Cを図示し、その囲む面積を求めよ。という問題で

解
x(t+π）＝-x(t),y(t+π)=y(t)
x(π-t)=x(t),y(π-t)=-y(t)
なので0≦t≦π/2
の範囲で調べれば十分

とあったのですがなぜですか？
（P(t)とP(π-t)はｘ軸対称
P(t)とP（π＋ｔ）はｙ軸対象というのは分かりました）

なんとなく、とかじゃなくてちゃんとした説明がほしいです。厚かましいですがよろしくお願いします
No.16787 - 2012/01/31(Tue) 18:34:30
☆ Re: 対称性 / X
まず、問題のCのグラフの概形はx軸を串にして２つの団子が
刺さったような形になっていることはよろしいでしょうか？。

このグラフにおける
0≦t≦π/2
に対応する部分(C1とします)は
x軸に関して上半分の右側の半円状の部分
(半円ではありません、念のため)

π/2≦t≦π
に対応する部分(C2とします)は
x軸に関して下半分の右側の半円状の部分

π≦t≦3π/2
に対応する部分(C3とします)は
x軸に関して上半分の左側の半円状の部分

3π/2≦t≦2π
に対応する部分(C4とします)は
x軸に関して下半分の左側の半円状の部分

となっています。
さてこのとき
x(t+π)=-x(t),y(t+π)=y(t)
によりC1とC3、C2とC4はy軸に関して対称
x(π-t)=x(t),y(π-t)=-y(t)
によりC1とC2、C3とC4はx軸に関して対称
以上からCはx軸,y軸に関して対称になっています。
よってC1とx軸で囲まれた面積を4倍すれば求める面積
となります。
No.16788 - 2012/01/31(Tue) 19:07:44
☆ Re: 対称性 / ヒソカ
回答有難うございます

まず、問題のCのグラフの概形はx軸を串にして２つの団子が
刺さったような形になっていることはよろしいでしょうか？とのことですが全くよろしくないです。
求める軌跡の概形がすでに与えられているわけではありません

「x(t+π）＝-x(t),y(t+π)=y(t)
x(π-t)=x(t),y(π-t)=-y(t)」という情報のみから
0≦t≦π/2
の範囲で調べれば十分
といえるのは何故か、

の説明をお願いします。
No.16791 - 2012/01/31(Tue) 19:53:37
☆ Re: 対称性 / らすかる
「の範囲で調べれば十分」は何を調べることを言っているのかよくわかりませんが、

「P(t)とP(π+t)はy軸対称」がわかっているのであれば、
0≦t≦π の範囲の軌跡と π≦t≦2π の範囲の軌跡は
y軸に関して対称ですから、0≦t≦π の範囲を調べれば十分です。
そして「P(t)とP(π-t)はx軸対称」がわかっているのであれば、
0≦t≦π/2 の範囲の軌跡と π/2≦t≦π の範囲の軌跡は
x軸に関して対称ですから、0≦t≦π/2 の範囲を調べれば十分です。
No.16793 - 2012/01/31(Tue) 21:59:03
☆ Re: 対称性 / ヒソカ
期待に沿うように解答していただきありがとうございます。

「P(t)とP(π+t)はy軸対称」だから
0≦t≦π の範囲の軌跡と π≦t≦2π の範囲の軌跡は
y軸に関して対称

「P(t)とP(π-t)はx軸対称」だから
0≦t≦π/2 の範囲の軌跡と π/2≦t≦π の範囲の軌跡は
x軸に関して対称

となる理由を教えてください。これが知りたかったのです。
これをなんとなく、ではなくちゃんとした説明がほしいということでした。

よろしくおねがいします
No.16794 - 2012/01/31(Tue) 22:35:24
☆ Re: 対称性 / らすかる
「P(t)とP(π+t)はy軸対称」だから
tを0からπまで動かしたとき、点P(t)と点P(π+t)は
y軸に関して対称に動きます。
つまり
tを0からπまで動かした場合の点P(t)と
tをπから2πまで動かした場合の点P(t)が
y軸に関して対称に動くのですから、
0≦t≦π の範囲の軌跡と π≦t≦2π の範囲の軌跡は
y軸に関して対称となります。
後半も同様です。
No.16795 - 2012/01/31(Tue) 22:51:50
☆ Re: 対称性 / ヒソカ
P(t)＝(x(t),y(t))
P(π-t)=(x(π-t),y(π-t))
のように置くよう定義します

前半はｔ：0→πとπ＋ｔ：π→２πが対応し、０≦t≦２πが網羅されてるので確かに分かりました

しかし後半はｔ：0→πとπ-t:π→０で０≦t≦２πが網羅されてないのでよくわかりません。
No.16797 - 2012/02/01(Wed) 00:54:19
☆ Re: 対称性 / らすかる
後半は0≦t≦2πを網羅する必要はありません。
前半で「0≦t≦πの範囲だけ調べればよい」とわかったのですから、
tを0からπ/2まで動かして0≦t≦πの範囲が網羅されれば十分です。
No.16798 - 2012/02/01(Wed) 00:57:30
☆ Re: 対称性 / ヒソカ
tを0からπ/2まで動かして・・の「π/2」は解答を書き始めてから本来初登場ですがどこからもって来ましたのか教えてください。勘ですか？つまりx(ｔ)＝0→●とx(π-t)＝π→●を考えた時
ｔの範囲に空白が出来ないような●を唸りながら考える

という筋道ですか？それとも何か方法があるなら教えてください
No.16805 - 2012/02/01(Wed) 18:59:04
☆ Re: 対称性 / らすかる
tを0から増やしていったとき、π-tはπから減っていき、
t=π/2のときにπ-tはtと一致しますね。
t=π-tの解などと考えてもいいですが、
「sin(x)=sin(π-x)であり、sinxはx=π/2に関して対称」
のような知識もありますので
P(t)とP(π-t)を見た瞬間にπ/2が思い浮かび、
「考える」とか「計算する」までもないことのように思います。
No.16807 - 2012/02/01(Wed) 20:53:45
☆ Re: 対称性 / ヒソカ
解答有難うございます

別の問題でも対称性が見抜けるように、というのが趣旨ですので。。
ならばx(t)=sint,y(t)=sin2tではない別のケースで、その場合P(ｔ）をQ(t)とでも置き換えて、
Q(t)とQ（3. 14159265358979323846π-2.71828182845904t)
がｘ軸に関して対称となったとき 、ｔはどのような範囲で調べれば（グラフの概形を書くのに）十分ですか？
No.16808 - 2012/02/01(Wed) 21:46:43
☆ Re: 対称性 / らすかる
例えばtの定義域が実数全体ならば、
「t=3. 14159265358979323846π-2.71828182845904t の解」以下（または「以上」）です。
定義域が狭ければ、その定義域によりますので
一概にどうこうとは言えません。
No.16809 - 2012/02/01(Wed) 22:39:47
☆ Re: 対称性 / ヒソカ
解答有難うございます

tの定義域が実数全体ならば、
「t=3. 14159265358979323846π-2.71828182845904t の解」以下（または「以上」）

となる理由を教えてください。
その式が一体全体どこからきたのか教えてください。
P(ｔ）,p(π-t）の時とはｔの係数の絶対値が異なるので
、「tを0から増やしていったとき、π-tはπから減っていき、t=π/2のときにπ-tはtと一致」のような考えではいけない（ｔとπ−ｔ、のｔの増える値と-tの減る値が等しかったからこそできたわざ）
だと思います

よろしくおねがいします
No.16812 - 2012/02/02(Thu) 15:13:14
☆ Re: 対称性 / らすかる
> 「tを0から増やしていったとき、π-tはπから減っていき、t=π/2のときに
> π-tはtと一致」のような考えではいけない（ｔとπ−ｔ、のｔの増える値と
> -tの減る値が等しかったからこそできたわざ）
> だと思います

なぜですか？
「t=3. 14159265358979323846π-2.71828182845904t の解」以下
に対するグラフが描けたら、
「t=3. 14159265358979323846π-2.71828182845904t の解」以上
のグラフはそれをx軸に関して対称移動したものですから、
増える値と減る値が等しいかどうかは関係ないですね。
No.16813 - 2012/02/02(Thu) 17:18:25
☆ Re: 対称性 / ヒソカ
まずt=3. 14159265358979323846π-2.71828182845904t
という式の意味が全く分からないので教えてください。
また、この解ｔはどういうｔですか？
No.16821 - 2012/02/04(Sat) 00:57:35
☆ Re: 対称性 / らすかる
質問の意味がよくわかりませんが、
とりあえず長ったらしい数字は説明しにくいので
「Q(t)とQ(a-bt)がx軸に関して対称」にします。
例えば
t=0とするとQ(0)とQ(a)がx軸に関して対称
t=0.1とするとQ(0.1)とQ(a-0.1b)がx軸に関して対称
t=0.2とするとQ(0.2)とQ(a-0.2b)がx軸に関して対称
・・・
のようにQ(t)とQ(a-bt)はtの変化に応じてx軸に対称に移動していくわけですが、
これはt=a-btとなるところでぶつかります。
つまりt=a-btの解t=a/(b+1)に対してQ(t)=Q(a-bt)=Q(a/(b+1))となります。
よってt≦a/(b+1)のぶんのグラフを描いたら、
それをx軸に関して対称に移動したグラフがt≧a/(b+1)のグラフですから
グラフ全体の概形を知るにはt≦a/(b+1)の範囲について調べれば（あとは対称コピーで）済みます。
No.16822 - 2012/02/04(Sat) 01:20:17
★ 文字の置き換え / ゴン
点（2,0）を通る直線と曲線x^2-2y^2-4x-4y=0との共有点の個数を調べよ。

直線がx軸に垂直の時共有点の個数は0

直線がx軸に垂直でない時、ｙ＝ｍ（ｘ−２）とおく。これを?@に代入し
(x-2)^2-2{m(x-2)+1}^2=2
x-2=Xとおくと
(1-2m^2)x^2-4mX-4=0
○1-2m=0のとき〜
○1−2m＾2≠０のとき
D/4＝４（１−ｍ＾２）

よって答え〜

という解答の流れなのですが、なぜx-2=Xと置いたまま判別式を解いてよいのか分かりません。Xが解を持つようなｍの範囲とｘが解を持つようなｘの範囲がなぜ同じと判断できたのでしょうか？

結果論としては
ｘ−２＝Xとおかずに
直線の式を代入した式
(1-2m^2)x^2-4(2m+1)(1-m)x+8m(1-m)=0
の判別式＞０を解いても（驚くべき事に）同じｍの範囲が出ました

分かる方どなたか教えてください
お願いします
No.16785 - 2012/01/31(Tue) 17:14:03
☆ Re: 文字の置き換え / らすかる
X=αがXの式の解ならばx=α+2がxの式の解であり
x=βがxの式の解ならばX=β-2がXの式の解ですから
「Xの式が解を持つmの範囲」＝「xの式が解を持つmの範囲」です。
No.16811 - 2012/02/02(Thu) 06:53:42
★ 別解 / 十二支ジン
xy平面上の点Fの座標を（0,2）、直線ｌの方程式をｙ＝１とする。Fを焦点、ｌを準線とする放物線の方程式を求めよ。H0(０，１）として頂点はFH0の中点（０、3/2)、ｘ＾２の係数は1/(2FH0)で、ｙ＝1/2)x^2+1とあったのですが

ｘ＾２の係数は1/(2FH0)はどこから来たのでしょうか？
No.16781 - 2012/01/31(Tue) 14:49:55
☆ Re: 別解 / ヨッシー
焦点(0,a), 準線 y=-a の放物線は
　x^2 = 4ay
であることは、知っているものとすると、
この問題の放物線は、焦点(0, 0.5), 準線 y=-0.5 の放物線
　x^2＝2y
　y=x^2/2
を、ｙ軸方向に1.5 移動したものなので、
　y=x^2/2＋1.5

さて、質問に戻りますが、
　x^2 = 4ay
は
　y=x^2/4a
と書けるので、係数(1/4a) は、焦点と準線の距離2a の逆数の
1/2 倍となり、1/(2FH0) となります。
No.16784 - 2012/01/31(Tue) 17:07:45
☆ Re: 別解 / 十二支ジン
よくわかりました！ありがとうございます！
No.16786 - 2012/01/31(Tue) 18:20:52
★ 数学　高1 / カジイ
?@(√5＋√3)/(√5-√3)の小数部分をaとおくとき、a^2＋6a＋10の値を求めよ。
値が16となったのですがあっているのでしょうか？

?A正の数aの小数部分を{a}で表す。例えば{1,23}=0,23 {3}=0 ｛√2}=√2-1
(ア)√17-{√17｝を求めよ
(イ)｛2/(√5-2)｝を求めよ
(ウ)2つの数｛(√6＋2)/(√6-2)｝、｛(-2√3/2) ＋ 12/√6｝の大小を比較せよ。

(ア)と(イ)はそれぞれ答が4,-4＋2√5となったのですがあっているのでしょうか？
(ウ)はとりあえず｛(√6＋2)/(√6-2)｝の小数部分から探そうと思い、
中の数は有利化すると
√6 ＋(5/2)となったのですがここからどうやって小数部分を求めればいいのかわかりません。
誰か数学の得意な方教えてくださいお願いします。
No.16779 - 2012/01/31(Tue) 11:06:36
☆ Re: 数学　高1 / X
(1)
問題ないと思います。

(2)
(ア)(イ)
問題ないと思います。
(ウ)
2=√4＜√6＜√9=3
であることを使いたくなりますが、この問題の場合、
これでは√6の近似精度が荒すぎます。
もう少し精度を上げて
2=√4＜√6＜√6.25=2.5
であることを使いましょう。
No.16780 - 2012/01/31(Tue) 13:07:25
★ 数学　高校生 / ルイス
座標平面上に与えられた2点P(0,1)、A(a,0)(a≧0)に対し、点Qを直線AP上にAからみてPと同じ側にAP・AQ＝a(a＋1)を満たすようにとる。
(1)a>0のときx軸上に点B(b,0)(b≦0)をAP・AQ＝AO・ABを満たすようにとる。ただし、点Oは原点を表す。このときbの値を求めよ。

答b=-1
(2)点Aがa>0を満たしながらx軸上を移動するとき、点Qは同一の円Cの周上にある。この円の中心の座標と半径を求めよ。
答　中心(-1/2、1/2)　半径√2/2
(3)点Qのy座標の値が最大となるときの点Qの座標を求めよ。またそのときのaの値を求めよ。
Q(　-1/2、(√2＋1)/2　)　a=√2＋1
数学が苦手なので初見では解けませんでした。
解答には、(2)は(1)の結果を利用してAP・AQ＝AO・ABから方べきの定理の逆を使っていました。
すると、線分PBは円Cの直径になるので中心は線分PBの中点を求めるという方法でした。
ここでふと思ったのですが、(1)の結果をどうして(2)でも使えるのでしょうか？
AP・AQ＝AO・ABを満たしていないと方べきの定理の逆は使えないと思うのですが、どうして(2)では使える前提で解いているのでしょうか？
また(3)については自分がやるとどうしてもa=1/(√2-1)となるのですがどうしてなのでしょうか。
直線ＰＱを求めればその上に点Aがあるのでその座標を直線ＰＱの式に代入すればaの値が求まるはずなのですが...

誰か分かる方教えてください。お願いします。
No.16771 - 2012/01/30(Mon) 22:30:51
☆ Re: 数学　高校生 / X
>>(1)の結果をどうして(2)でも使えるのでしょうか？
(1)の結果から、逆にB(-1,0)なる点Bを取ると、と考えて下さい。

>>a=1/(√2-1)となるのですがどうしてなのでしょうか。
分母を有理化してみて下さい。
No.16774 - 2012/01/31(Tue) 00:28:40
★ 一次変換 / ぐしゃ
M＝（(a,b)(c,d)）

?@ベクトルaとベクトルｂが一次独立（⇔ad-bc≠０⇔Mが逆行列を持つ）
⇒平面全体は平面全体に移る

?Aベクトルaとベクトルbは一次従属かつ、ベクトルa、ベクトルbの少なくとも一方が０ベクトルでない（⇔Mが逆行列を持たず、M≠０）
⇒平面全体は、原点を通り方向ベクトルがベクトルaまたはベクトルｂの直線に移る

?Bベクトルa＝ベクトルｂ＝０ベクトル（⇔M=0)
⇒平面全体は原点Oに移る

以上?@〜?Bが逆もいえるのかどうか教えてください。

また、逆もいえるのならその理由も知りたいですが
贅沢すぎる気もするので無ければ無くてもかまいません。

よろしくお願いします
No.16767 - 2012/01/30(Mon) 15:08:50
☆ Re: 一次変換 / ヨッシー
ここで言うベクトルは、列ベクトルですね？(特に?A）

逆はすべて成り立ちます。

?@の逆
平面全体が平面全体に移るときの行列が一次従属とすると、
?Aおよび?Bより、平面全体に移ることと矛盾する。

?A点（１，０）が（ｓａ，ｓｂ）、（０，１）が（ｔａ，ｔｂ）に移るとする。
ここで、（ｓａ，ｓｂ）（ｔａ，ｔｂ）ともに（０，０）とすると、
平面上の任意の点（ｍ，ｎ）＝ｍ（１，０）＋ｎ（０，１）も、
Ｍによって、（０，０）に移るので、（ｓａ，ｓｂ）（ｔａ，ｔｂ）の
少なくとも一方は、（０，０）でない。
すると、Ｍを表す行列について、
ベクトルaとベクトルbは一次従属かつ、ベクトルa、ベクトルbの少なくとも一方が０ベクトルでない
が成り立つ。

?B
例えば２点（１，０）（０，１）も（０，０）に移るので、
成分計算して、＝０とすると、全成分０となることが導けます。
No.16770 - 2012/01/30(Mon) 21:40:53
★ 恒等式 / 半日数学
行列A＝(a,b)(c,d)(a≠０）のよる座標平面上の一次変換をfとする。ｆにより放物線ｙ＝ｘ＾２が放物線C1：ｙ＝ｘ（ｘ−１）全体に移される。次の問いに答えよ
（１）点（ｔ、ｔ＾２）のｆによる像を考える事によりAをaを用いてあらわせ

ですが写真で線を引いてる部分がなぜ必要なのか全くわかりません。

どなたかご教授ください。よろしくお願いします。
No.16766 - 2012/01/30(Mon) 13:33:59
☆ Re: 恒等式 / ヨッシー
ｆにより放物線ｙ＝ｘ^2 上のすべての点が移った先の点は、常に Ｃ1 上にある、
ではなくて、Ｃ1 全体に移る、なので、定義域が全実数でないといけません。
No.16768 - 2012/01/30(Mon) 21:04:46
☆ Re: 恒等式 / 半日数学
確かにｙ＝ｘ（ｘ−１）全体に移されるとありますね。全く気づきませんでした！しかしそれと「at+bt^2が全ての実数値を取りうる」が何の関係があるのか全く分かりません・・。
No.16772 - 2012/01/30(Mon) 22:34:27
☆ Re: 恒等式 / angel
仮にですけど、今回はありえないパターンですが、a=b=1 だったらどうでしょう?
at+bt^2=t+t^2=(t+1/2)^2-1/4 ですから、at+bt^2≧-1/4 ですね。
ってことは、(at+bt^2,XXX) で表される点のx座標は常に-1/4以上、つまりこれらの点は x＜-1/4の領域には存在できないのです。

今、(at+bt^2,XXX) で表される点で C1 全体をカバーしないといけないので、a=b=1 のようにカバーできない範囲ができるのはマズいのです。

それを言っているのが、「at+bt^2が全ての実数値を取りうる」ということです。
No.16776 - 2012/01/31(Tue) 00:52:18
☆ Re: 恒等式 / 半日数学
よく分かりました。ありがとうございます
No.16783 - 2012/01/31(Tue) 16:13:52
★ 階段状グラフの問題です。 / 夕凪
ヨッシーさん、こんばんわ。

いつも丁寧に解説、ありがとうございます(o^-^o)

また行き詰ったので、よろしくお願い致します。

?@は、（８００−４５０）÷５＝７０で、１メモリが７０だから、４５０＋７０×３＝６６０円

?Aが、ちょっと解りません(>.<)。１．５ｋｍ（１５００ｍ）までが４５０円かかるので、あとは、６２００−１５００＝４７００ｍが、いくらかかるかを考えたらいいんですよね？

そこからは、０．５ｋｍ（５００ｍ）増えるごとに７０円かかるのはわかります。４７００ｍの中に５００ｍがいくら入るか考えてみました。４７００÷５００＝９．４

ここからどうしていいのか、解りません(>.<)。４５０＋７０×９．４ですか？

?Bグラフから１５００ｍまでは、４５０円だから、１５００−４５０＝１０５０円

このあとの１０５０円の中に７０円がいくら入るかを考えればいいのですか？　１０５０÷７０＝１５ｋｍ

ちょっとここから、解りません(>.<)。

ほんとに頭が悪くて、すいません(。-人-。)

解説よろしくお願い致します。
No.16758 - 2012/01/29(Sun) 21:36:24
☆ Re: 階段状グラフの問題です。 / ヨッシー
0.0km超1.5km以下　450円
1.5km超2.0km以下　520円
2.0km超2.5km以下　590円
2.5km超3.0km以下　660円
3.0km超3.5km以下　730円
3.5km超4.0km以下　800円
4.0km超4.5km以下　870円
4.5km超5.0km以下　940円
5.0km超5.5km以下　1010円
5.5km超6.0km以下　1080円
6.0km超6.5km以下　1150円
6.5km超7.0km以下　1220円
7.0km超7.5km以下　1290円
7.5km超8.0km以下　1360円
8.0km超8.5km以下　1430円
8.5km超9.0km以下　1500円

こんなふうに書いていけば確実です。

メーターが、70円増えるのを、ランクアップと呼ぶとします。
例えば、1600m だと、1600−1500＝100
　100÷500＝0.2
ですが、1500 を少しでも超えると、70円増えるので、この 0.2 は
切り上げて１（ランクアップ）として、
　450＋70×1＝520（円）
です。6200m だと、6200−1500＝4700
　4700÷500＝9.4
ですが、500ｍ×９　とさらに200ｍ進んでいるので、
１０ランクアップしたことになります。よって、
　450＋70×10＝1150

1500円は　(1500−450）÷70＝15(ランクアップ)
なので、一番効率良いのは、1500＋15×500＝9000(m) ちょうどで
降りたときで、一番効率悪いのは、8500m をほんの少しだけ
オーバーしたときです。
よって、1500円払うのは
　8.5km を超えて、9km以下
の距離の時です。
No.16759 - 2012/01/29(Sun) 23:26:25
☆ Re: 階段状グラフの問題です。 / 夕凪
ヨッシーさん、こんばんわ(o^-^o)。

解説どうもありがとうございます。こんなに丁寧に解説して頂いてるのに、解りません(>.<)。

もうちょっと聞いてもいいでしょうか？


ヨッシーさんの解説の中の、「メーターが、70円増えるのを、ランクアップと呼ぶとします。
例えば、1600m だと、1600−1500＝100
　100÷500＝0.2
ですが、1500 を少しでも超えると、70円増えるので、この 0.2 は
切り上げて１（ランクアップ）として」とありますが、

この上の１００÷５００＝０．２の意味が解りません(>.<)。

１００ｍは、４５０円の基本料金１５００円分よりも超えた分の１００ｍだとわかります。５００ｍは、５００ｍごとに７０円ずつの割合で増えていくからだと思いますが、どうして、１００ｍを５００ｍで割るのでしょうか？

ほんとに馬鹿ですいません(。-人-。) 。

１６００ｍの場合、一つずつ書いた表で、1.5km超2.0km以下　ってところを見れば、５２０円ってわかるのですが、この１００÷５００の意味と、ランクアップの意味がよく解りません(>.<)。

頑張って理解するので、どうかまた解説よろしくお願い致します。



No.16769 - 2012/01/30(Mon) 21:35:05
☆ Re: 階段状グラフの問題です。 / ヨッシー
0.0km超1.5km以下　450円　　基本料金
1.5km超2.0km以下　520円　　１ランクアップ
2.0km超2.5km以下　590円　　２ランクアップ
2.5km超3.0km以下　660円　　３ランクアップ
3.0km超3.5km以下　730円　　４ランクアップ
3.5km超4.0km以下　800円　　５ランクアップ
4.0km超4.5km以下　870円　　６ランクアップ
4.5km超5.0km以下　940円　　７ランクアップ
5.0km超5.5km以下　1010円　　８ランクアップ
5.5km超6.0km以下　1080円　　９ランクアップ
6.0km超6.5km以下　1150円　　10ランクアップ
6.5km超7.0km以下　1220円　　11ランクアップ
7.0km超7.5km以下　1290円　　12ランクアップ
7.5km超8.0km以下　1360円　　13ランクアップ
8.0km超8.5km以下　1430円　　14ランクアップ
8.5km超9.0km以下　1500円　　15ランクアップ

このように、1500ｍを超えた後は、500m ごとに
１ランクアップすると考えます。
料金は、
　450＋70×(ランクアップ数)
で求められます。

さらに、乗った距離から1500mをひいた距離を500mで割った値が
０超１以下　　１ランクアップ
１超２以下　　２ランクアップ
２超３以下　　３ランクアップ
　・・・
n-1超ｎ以下　　ｎランクアップ
となり、
1600mは、
　(1600-1500)÷500＝0.2
で、
０超１以下　　１ランクアップ
　450＋70×１＝520(円)
となります。

さらに、6200m は
　(6200-1500)÷500＝9.4
の10ランクアップで　　450＋70×10＝1150(円)　です。
（これは、上ですでに書いていますね)
No.16778 - 2012/01/31(Tue) 07:12:57
☆ Re: 階段状グラフの問題です。 / 夕凪
ヨッシーさん、こんばんは(o^-^o) 。

返信遅くなって、申し訳ありません(。-人-。) 。

ほんとに丁寧に解説どうもありがとうございました。

?Bの問題は、７０円払う区間（５００ｍの区間）が１５回あったと考えるのですね。それで、９ｋｍが最大値、８、５ｋｍが最小値というように、一番得する距離と、一番損な距離を考えればいいのですね(o^-^o) 。

だいたい理解できた感じです(*^.^*)。

また行き詰まりましたら、お願い致します。
No.16839 - 2012/02/05(Sun) 20:40:23
★ ｒ＞０で考える？ / ぷ〜
次の極方程式の表す曲線を直交座標に関する方程式で表せr=1/(2+√3cosθ）
解答を丸写ししますと
r=1/(2+√3cosθ）
の分母を払うと
r(2+√3cosθ）＝1
⇔2r=1-√３ｒcosθ
⇔２√（ｘ＾２＋ｙ＾２）＝１−√３ｘ
⇔4（x＾2＋y＾2）＝（1−√3x）＾2かつ1−√3x≧０
⇔（x＋√3）＾2＋4y＾2＝4かつx≦１/√3
（２次曲線が面白いほど分かる本から抜粋）

ですが
次にｒ＝√６/（2＋√6cosθ）の表す曲線を直交座標（x、y）に関する方程式で表せ、を同じ方法で解いてみました（徳島大学入試問題）


r=√６/(2+√６cosθ）
の分母を払うと
r(2+√６cosθ）＝√6
⇔2r=√6-√６ｒcosθ
⇔２√（ｘ＾２＋ｙ＾２）＝√6（１−ｘ）
⇔4（x＾2＋y＾2）＝６（1−x）＾2かつ1−x≧０
⇔（x−３）＾2/6-y＾2/3＝1かつx≦１

となるのですが、実際の答えは双曲線のx≧√6＋３
の部分も含まったものでした。

つまりx≦１は不要という事になってしまうのですが、このx≦１がどこから来たかというとｒ＝√（ｘ＾２＋ｙ＾２）代入した所からきています、ということは「２次曲線が面白いほど分かる本」の解は不正解ということなのでしょうか？

極方程式を始めたばかりなので混乱しています。
ｒ＝（θを含んだ式）→ｘ、ｙに関する方程式
にするにはどういう手順を踏んだら良いのか教えてください
No.16757 - 2012/01/29(Sun) 19:15:34
☆ Re: ｒ＞０で考える？ / のぼりん
こんばんは。

＞　実際の答えは双曲線のx≧√6＋３の部分も含まったものでした。

「実際の答え」とは、その本の解答でしょうか。
そうだとしたら、その本の間違いであり、貴兄の解答が正しいのでご安心下さい。
その双曲線の ｘ≧√６＋３ の部分は、極方程式 ｒ＝√６/(２＋√６ｃｏｓθ） では表せません。
No.16761 - 2012/01/30(Mon) 03:25:34
☆ Re: ｒ＞０で考える？ / ぷ〜
「実際の答え」は予備校が公開している解答です。
また、同じ問題を「大学への数学一対一対応の演習」も扱っていますが、その方でもx≧√6＋３が含まったのものでしたが・・
No.16764 - 2012/01/30(Mon) 13:20:08
☆ Re: ｒ＞０で考える？ / 黄桃
こういう場合は、（x−３）＾2/6-y＾2/3＝1　上のx≧√6＋３を満たす点、例えば(9,√15)が最初の極方程式をみたすかどうか代入して確認すれば、どれが正しいのか、直ちにわかると思います。

＃数学に限らず、誰それが言ったから正しいのではありません。
＃正しいかどうかは常に自分で確認しないといけません。
No.16773 - 2012/01/31(Tue) 00:06:52
☆ Re: ｒ＞０で考える？ / angel
極座標って、負の動径を考える流儀もありませんでしたっけ。
つまり、(-r,θ)=(r,θ+π) というように。
No.16775 - 2012/01/31(Tue) 00:46:57
☆ Re: ｒ＞０で考える？ / ぷ〜
（x−３）＾2/6-y＾2/3＝1　上のx≧√6＋３を満たす点、例えば(9,√15)が最初の極方程式をみたすかどうか代入して確認とありますが、
どう確認すればいいのか分かりません。ｒが定数ならわかりますが。

それで結論はどうなのでしょうか・・。ｒが正とか負とかはよく分かりません。
No.16782 - 2012/01/31(Tue) 15:52:25
☆ Re: ｒ＞０で考える？ / angel
> ｒが正とか負とかはよく分かりません。
つまり、範囲外かどうかが争点になっている
(x-3)^2/6-y^2/3＝1 (x≧√6+3) の部分ですが…。
例えば (x,y)=(√6+3,0) を極座標形式で (r,θ)=(√6+3,0) とすると r=√6/(2+√6cosθ) は満たしませんが、(r,θ)=(-(√6+3),π) とするなら満たすのです。

負の動径を考えるかどうか、それはつまり
　x=rcosθ=(-r)cos(θ+π)
　y=rsinθ=(-r)sin(θ+π)
という関係があるところで (r,θ)=(-r,θ+π) とするかどうか、ということです。

負の動径も考えるなら、
> 2r=√6-√6rcosθ
> ⇔2√(x^2+y^2)=√6(1-x)
ではなく、
　±2√(x^2+y^2)=√6(1-x)
となります。
No.16824 - 2012/02/04(Sat) 14:19:24
★ 直方体を乱積みしたときの全体積は？ / maizuruman
各辺がa、b、cの直方体Ｎ個を乱積み（不規則にバラ撒き、自由に積み上げる）する時、期待される全体積（体積）は？
No.16747 - 2012/01/28(Sat) 21:54:20
☆ Re: 直方体を乱積みしたときの全体積は？ / らすかる
「全体積」の意味が「体積の合計」ならば abcN ですが、
そうでないなら「全体積」の定義をお願いします。
No.16749 - 2012/01/29(Sun) 02:48:49
☆ Re: 直方体を乱積みしたときの全体積は？ / maizuruman
申し訳ありませんでした。
全体積について以下のとおり定義付けます。
全体積とは、長さ・幅・高さとも十分な長さを持つ空間の中で、Ｎ個の直方体を順次ひとつずつ、落としておくときに、生ずる空隙を含む体積のことです。

これでご理解いただけるでしょうか？
No.16750 - 2012/01/29(Sun) 10:01:01
☆ Re: 直方体を乱積みしたときの全体積は？ / らすかる
「生ずる空隙を含む体積」では数学的に理解不能ですが、例えば
「すべての直方体を含む最小の凸多面体の体積」と解釈して
よいでしょうか。
No.16751 - 2012/01/29(Sun) 10:11:51
☆ Re: 直方体を乱積みしたときの全体積は？ / ヨッシー
これ、Ｎ＝２ のときも、求めるの大変では？

バラ撒いたとき、ａの辺が高さになる場合、ｂの辺が高さになる場合、
ｃの辺が高さになる場合、それぞれの確率を求めないといけませんし、
積み上げるからには、崩れないように重心の計算もしないといけませんし、
２個目を積む位置、角度いずれも確率を計算しないといけませんので。
No.16762 - 2012/01/30(Mon) 07:16:11
☆ Re: 直方体を乱積みしたときの全体積は？ / らすかる
いや、大変ではないと思いますよ。
「長さ・幅・高さとも十分な長さを持つ空間の中」ですから、
N≧2では「十分大きな体積」になってしまって
求まらないだけだと思います。
No.16763 - 2012/01/30(Mon) 10:00:23
★ 体積 / スピアー
x=sint,y=sin2t(0≦t≦π/2)で表される曲線をy軸周りに一回転させてできる回転体の体積を求める問題で

V/π=-∫(0〜π/2）x^2(dy/dt)dtまでは解答に載ってあり正しいです

そこからｘ、ｙを代入して

V＝π∫（π/2〜０）sin^2t・2cos2tdt
=-π∫（０〜π/2)2sin^2(t)(1-2sin^2(t))dt
=2π∫（０〜π/2)(sin^2(t)-2sin^4(t))dt
までこじつけ、以後計算していったのですが答えが合いません。この時点でどこか誤りはあるでしょうか？見つけたらどうか教えてください。よろしくお願いします
No.16739 - 2012/01/27(Fri) 19:38:33
☆ Re: 体積 / らすかる
2行目の先頭にある「−」が3行目でなくなっています。
No.16741 - 2012/01/28(Sat) 03:17:27
★ 逆関数はｙ＝ｘに対称だが・・ / ピジョン
g(x)がf(x)の逆関数の時に2曲線ｙ＝ｆ（ｘ）、ｙ＝ｇ（ｘ）の交点は直線ｙ＝ｘ上にある」とする人がいます。ｆ（ｘ）が増加関数の時は正しいですが、減少関数の時は間違いです

とあったのですがｆ（ｘ）が減少関数だとｇ（ｘ）が増加関数でも減少関数でも間違いということなんでしょうか？

そもそも『ｆ（ｘ）が増加関数の時は正しいですが、減少関数の時は間違い』というのがいまいち納得できないのでどなたか説明お願いできないでしょうか？

よろしくお願いします
No.16727 - 2012/01/26(Thu) 20:17:04
☆ Re: 逆関数はｙ＝ｘに対称だが・・ / ヨッシー
何に載っていた言葉でしょうか？

その前後に、図などの解説はないのでしょうか？
もしくは、この解説の元となった問題はなんですか？

何を以て、「間違いです」と言っているかよく分かりません。
No.16729 - 2012/01/26(Thu) 22:00:21
☆ Re: 逆関数はｙ＝ｘに対称だが・・ / ピジョン
問題は、2つの関数をf(x)=√(x+1)(x≧-1)、g(x)=x^2-1(x≧0）とし、ｙ＝ｆ（ｘ）とｙ＝ｇ（ｘ）で表せる曲線を其々C1、C2とする。（１）ｆ（ｘ）の逆関数がｇ（ｘ）であることをしませ
（２）曲線C１と曲線C2の交点Pの座標を求めよ。

の（２）の解説です（２）でいきなり「交点はy＝x上にあると」と始めないほうが良い、ともあります。
No.16730 - 2012/01/26(Thu) 22:41:11
☆ Re: 逆関数はｙ＝ｘに対称だが・・ / angel
「間違い」というのは正しいです。
例えば、y=1/x の逆関数は y=1/x で自身と同じになりますので、これらの共有点は、y=1/x 上の点全てとなります。y=x上以外にもあることになります。

まあ、これは極端な例ですが、つまりどういうことかというと、もともとの y=f(x) のグラフが、y=x に対称な2点を含んでいるとこういうことが起こるのです。
例えば、y=f(x) が (1,2) と (2,1) 両方を含む場合、y=f(x)とy=f^(-1)(x)は、(1,2),(2,1)を共有点として持ちますね。

でもって、上のようなケースだと、(1,2)→(2,1)で必ず減少しますから、だから「減少関数の時は…」という話にふれているのでしょう。
No.16733 - 2012/01/27(Fri) 00:46:31
☆ 例 / angel
一例として、y=4(x^2+4)/(5x^2) と、y=4/√(5x-4) を挙げます。
y=x 上の点 ( 3次方程式の解で、座標は無理数 ) 以外に、(1,4),(4,1) にも交点があります。
No.16734 - 2012/01/27(Fri) 01:07:41
☆ Re: 逆関数はｙ＝ｘに対称だが・・ / らすかる
> ※ちゃんと逆関数になっています
なっていませんね。計算ミスがあるようです。

> 3次方程式の解で、綺麗に値は求まらない
求めたら、 x=(2/15){(683+15√2073)^(1/3)+(683-15√2073)^(1/3)+2} となりました。
No.16736 - 2012/01/27(Fri) 02:23:39
☆ Re: 逆関数はｙ＝ｘに対称だが・・ / ピジョン
つまり、逆関数にする前の関数、または逆関数にした後の関数どちらか一方でも減少関数ならばｙ＝ｘ以外に交点を持つことがある、ということでよいのでしょうか？
No.16737 - 2012/01/27(Fri) 09:52:21
☆ Re: 逆関数はｙ＝ｘに対称だが・・ / らすかる
「どちらか一方だけが減少関数」ということはあり得ないと思いますが、「減少関数ならばy=x以外に交点を持つ可能性がある」は正しいです。
No.16738 - 2012/01/27(Fri) 10:20:55
☆ Re: 逆関数はｙ＝ｘに対称だが・・ / angel
らすかるさん、ご指摘ありがとうございます。
係数を逆にしていました。No.16734を訂正しました。
※4(x^2+4)/(5x^2)とすべきを4(4x^2+1)/(5x^2)としていました
No.16740 - 2012/01/27(Fri) 22:35:23
★ (No Subject) / ピジョン
OPが左回りに動く時線分OPの通過する面積Sは
S=∫（○〜△）(1/2)(x(dy/dt)-y(dx/dt))dt(ガウスグリーンの定理）という記述があったのですが、右回りだとS
をどのように修正すればよいのか教えてください。どなたかよろしくお願いします。
No.16723 - 2012/01/26(Thu) 03:07:37
☆ Re: / ピジョン
○＜△

です
No.16728 - 2012/01/26(Thu) 21:27:25
☆ Re: / 森の水だより
S=ー∫（○〜△）(1/2)(x(dy/dt)-y(dx/dt))dt
と−を付ければよいだけです。
No.16735 - 2012/01/27(Fri) 02:02:58
★ 無限級数の和 / のぞみ
大学一年です。
∞
Σ[(n+2)/{n(n+1)2^n}] = 1
n=1
の計算方法がわかりません。
シグマの中身を
(n+2)/n(n+1) * (1/2)^n という風に分けて計算したのですが、最後に
Σ(1/n) がどうしても残ってしまい、答えが１になりません。

どなたかよろしくお願いします。
No.16711 - 2012/01/24(Tue) 17:56:30
☆ Re: 無限級数の和 / X
部分分数に分ける例のパターンですね。
但し少しひねってあります。
(n+2)/{n(n+1)2^n}=2{1/(n2^n)-1/{(n+1)2^(n+1)}}
と変形してみましょう。
No.16712 - 2012/01/24(Tue) 20:35:07
☆ Re: 無限級数の和 / のぞみ
回答ありがとうございます。
確かにそのように変形したら、答えが１になりました！
ありがとうございます。
ところで、べき乗が分母にある場合、そのように変形するのがお決まりなのですか？

そしてすみません、もう一つ。
∞
Σ{(-1)^(n-1)}*(2n+1)/{n(n+1)} = 1
n=1

など、(-1)^(n-1)が分子にある場合は、どのように変形したら上手くいくでしょうか？
アドバイス、お願いいたします。
No.16717 - 2012/01/24(Tue) 23:11:12
☆ Re: 無限級数の和 / X
決まりというわけではありません。

和を取るときに部分分数に分ける方針というのは
もっと一般的に考えると階差数列の和の形、つまり
Σ[k=1〜n]{a[k]-a[k+1]} (A)
にすると考えられます。
最初に質問された問題では
1/{n(n+1)}
を部分分数に分けた場合から類推して(A)において
a[k]=1/(k2^k)
と考えてはどうだろうか、ということで導いています。
同様の方針で件の問題も考えてみて下さい。
No.16718 - 2012/01/25(Wed) 00:04:41
☆ Re: 無限級数の和 / のぞみ
回答ありがとうございます。

アドバイスありがとうございます。
同様の考え方で、もう一つの方も解くことが出来ました。
ありがとうございました。
No.16719 - 2012/01/25(Wed) 00:54:56
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