ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 円周上の有理点 / HG

x^2+y^2=３を満たす有理数x,yは存在しないことを示せ。

という問題の解答で
-------------------------------------------------------
ｙ＝m/n（ｍとｎは互いに素な整数。もちろんｎは０でない）
とおく。

ｘ＾２＝３－ｙ＾２＝（３ｎ＾２－ｍ＾２）/ｎ＾２
ｘ＝√｛（３ｎ＾２－ｍ＾２）/ｎ＾２｝＝√（３ｎ＾２－ｍ＾２）/ｎ
分母は整数なのでｘが有理数であるためには
分子は有理数（もっと言えば整数）
√（３ｎ＾２－ｍ＾２）＝ｋ（ｋは整数）とおく。
ｍ＾２＋ｋ＾２＝３ｎ＾２
右辺が３の倍数だからｍ，ｋは両方とも３の倍数（証明略）
ｍ＝３Ｌ、ｋ＝３Ｊとおいて整理するとｎも３の倍数。
これは最初の仮定ｍ，ｎが互いに素に反するので
命題は証明された。
------------------------------------------------------

とあったのですが、
＞分母は整数なのでｘが有理数であるためには
＞分子は有理数（もっと言えば整数）
のところがよく分かりません。
√（３ｎ＾２－ｍ＾２）/ｎの分子が有理数にならなければならないのは分かるのですが、
そこからなぜ整数でなければならないことが導かれるのでしょうか？

No.17345 - 2012/04/08(Sun) 10:32:36

☆ Re: 円周上の有理点 / らすかる

√(整数) が有理数であれば必ず整数だからです。
√n=p/q (p,qは互いに素)とおいて両辺を2乗すれば
q=1であることが示せます。

No.17346 - 2012/04/08(Sun) 11:17:15

☆ Re: 円周上の有理点 / HG

気付きませんでした。
ありがとうございました。

No.17348 - 2012/04/08(Sun) 12:44:36

★ ☆数量関係のグラフの問題 / 夕凪

ヨッシー様、こんばんわ。

いつも丁寧に解説どうもありがとうございます(o^-^o)

また行き詰ったので、ヒントか解説よろしくお願い致します。

★わかるところまで、考えてみました。

家を出発してＸ分後に引き返すとします。

引き返すまでの距離を出しました。時速４ｋｍ×　X／６０＝４X／６０

ここで解らないのは、文章中の「同じ速さで走って学校に行った」の同じ速さは、時速８ｋｍの事ですか？それとも、最初の時速４ｋｍでしょうか？

時速８ｋｍと考えたとして、家を再出発してから引き返した時点までの時間を求めてみました。４Ｘ／６０÷８／６０＝４Ｘ／８＝０．５Ｘ分

引き返したところから学校までかかった時間　（２－４Ｘ／６０）÷８ｋｍ

ここから、ちょっと解りません(>.<)。

どうか解説よろしくお願い致します。

No.17340 - 2012/04/07(Sat) 21:14:28

☆ Re: ☆数量関係のグラフの問題 / angel

> ここで解らないのは、文章中の「同じ速さで走って学校に行った」の同じ速さは、時速８ｋｍの事ですか？それとも、最初の時速４ｋｍでしょうか？

それはとても良い疑問ですが、同時におしい所です。
実は、2つの点から、時速8kmしかありえないことが分かります。

・前の表現で「時速4kmで歩いて」「時速8kmで走って」とあるところ。
　「同じ速さで走って」を時速4kmと考えるのは日本語としておかしいので、時速8kmだと推測できます。

・時速4kmで行ったのでは大幅な遅刻になってしまうところ。
　家に戻ってから ( いつもと同じ ) 時速4kmで学校に行ったとすると、家～忘れ物に気づいた地点の往復と、忘れ物を家で捜したであろう5分、これらの合計分まるまる遅れてしまいます。
　実際にはたった5分しか遅れていないため、時速8kmで学校に向かったと判断できます。

No.17342 - 2012/04/08(Sun) 00:42:05

☆ Re: ☆数量関係のグラフの問題 / angel

さて、上で挙げた2点の内、後者に気づくと、同時に家を再出発したタイミングが分かるはずです。
つまり、普段は学校→家で30分かかるところ15分で走って、結局到着が5分遅れということは…?
ちょうど、グラフを後ろの方から描いていくような要領だと思ってください。

最終的には、家を出て、忘れ物に気付いて、また家に戻るまでで計15分、内訳は忘れ物に気付くまでが10分、戻るのに5分ということが分かります。この10分・5分という数字は、Xを持ち出して方程式を作って計算しても良いですし ( 中学生以上ならそれが標準 )、「比」の考え方を使っても良いです。( 「比例配分」という計算になります )

No.17343 - 2012/04/08(Sun) 00:52:36

☆ Re: ☆数量関係のグラフの問題 / 夕凪

angel様ー、はじめまして(o^-^o) 。

すごく丁寧に解説どうもありがとうございました(*^.^*)。

家に戻ってから学校には、時速８ｋｍで行ったのは、納得がいきました。

それで、ここまで解いてみたのですが、もうちょっとってところで、解りません(>.<)。

いつもは、２ｋｍを時速４ｋｍで行くので、２÷４／６０（分速）＝３０分

この日は、２ｋｍを時速８ｋｍで行くので、２÷８／６０（分速）＝１５分

これから、家から忘れ物に気付いた時点まで時速４ｋｍで行った時間＋忘れ物に気が付いた時点から時速８ｋｍで家まで戻った時間＝１５分、

この１５分がこの日は、余分にかかったという事ですか？

時速４ｋｍと時速８ｋｍを比例配分すると、２：１

家から時速４ｋｍで忘れ物に気が付いた時点までの時間は、１５分×２／３＝１０分

この１０分に家にいた５分を足さないといけないのですか？

また、宜しければ、解説どうかよろしくお願い致します。

No.17359 - 2012/04/09(Mon) 01:02:52

☆ Re: ☆数量関係のグラフの問題 / ヨッシー

最初に家を出た時刻を 0:00 とすると、
いつもは 0:30 に学校に着く。
この日は 0:35 に学校に着いた。
この日２度目に家を出たのは、0:20 である。
忘れ物を取りに家に着いたのは、0:15 である。

この 0:00 から 0:15 の15分間に、同じ距離を
歩いて進んで、走って戻っています。
速さの比は４：８＝１：２なので、時間はその逆比で
　歩いている時間：走っている時間＝２：１
です。つまり、
0:00～0:10　学校に向かって歩いている
0:10　忘れ物に気付いた
0:10～0:15　走って家に向かっている
という時間配分になります。

No.17360 - 2012/04/09(Mon) 06:53:03

☆ Re: ☆数量関係のグラフの問題 / 夕凪

ヨッシー様、こんばんわ(o^-^o) 。

解説どうもありがとうございます(*^.^*)。やっと意味が解りました。

０時に家を出たとすると、０時１０分に忘れ物に気付いて、
時速８ｋｍで家まで引き返した時が０時１５分、そこで家にいた５分を足すから、再出発したのは、０時２０分になるんですね。そこから２ｋｍで時速８ｋｍ（１５分）かかるので、到着は０時３５分となるんですよね？

時間は、時速４ｋｍと時速８ｋｍの速さの比の逆になるのもわかります。

ほんとにどうもありがとうございました。

いっぱい解いて勉強します(*^.^*)。

No.17366 - 2012/04/09(Mon) 21:27:57

★ 関数 / 受験生

教えてください。お願いします。

実数を係数とする3次方程式x^3+ax^2+bx+c=0が異なる実数解をもつとする。このときa>0,b>0ならば、少なくとも２つの実数解は負であることを示せ。

No.17332 - 2012/04/06(Fri) 23:06:22

☆ Re: 関数 / らすかる

a＞0,b＞0ならばx^3,ax^2,bxはすべてx≧0で単調増加だから
x^3+ax^2+bxも単調増加、よってx≧0のときx^3+ax^2+bx=-cの解は高々1個。

No.17334 - 2012/04/07(Sat) 02:17:17

☆ Re: 関数 / X

らすかるさんの方針に比べるとかなり泥臭いですが
別解を。

別解)
f(x)=x^3+ax^2+bx+c
と置くと
f'(x)=3x^2+2ax+b
題意からy=f(x)とx軸との交点は少なくとも２つなければ
なりませんので、f(x)は極大値、極小値を持ちます。
よってxの方程式f'(x)=0は異なる実数解を二つ持つことになります。
ここでf'(x)=0の解をp,q(p＜q)とすると解と係数の関係から
p+q=-2a
pq=b
これとa＞0,b＞0により
p＜0,q＜0 (A)
一方f(x)=0の３つの実数解(重解は同じ値の解が２つある
とみなします)のうち、小さい方の二つを
α、β(α≦β)とすると
α≦p≦β≦q (B)
(A)(B)より
α≦β＜0
ですので問題の命題は成立します。

No.17335 - 2012/04/07(Sat) 02:27:35

☆ おまけ / angel

ちょっと解答としては使い辛い話ですが、グラフとして考えることもできます。

まず、「異なる(3)実数解を持つ」という条件から、y=f(x)=x^3+ax^2+bx+c のグラフの概形が分かります。( 添付図の左上 )

加えて、a＞0, b＞0 は、f'(0)＞0 かつ f''(0)＞0 を意味しますから、x=0 というのが添付図の紫の範囲に含まれることが分かります。( 添付図の左下、および中央 )

そうすると、負の実数解を2～3個持つパターン、つまり、3次関数のグラフと x軸の負の部分との共有点が2～3個のパターンしかない事が分かる、ということになります。( 添付図の右 )

No.17339 - 2012/04/07(Sat) 11:58:59

☆ Re: 関数 / 受験生

返事が遅れて申し訳ございません。
みなさん分かりやすい回答ありがとうございました。
参考にさせていただきます。

No.17409 - 2012/04/15(Sun) 22:44:03

★ 確率 / よる

pを0≦ｐ≦１なる定数とする。図のように4つの点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄを5本の線分で結ぶ。各線分が青で塗られる確率はｐ、赤で塗られる確率は1-pであり、各線分はこれらの確率に基づいてあらかじめ青または赤のいずれか一方の色で塗られている。
（１）点Ｂを出発して赤い線分を通らないで青い線分のみを通って点Ｃへ行く事ができる確率を求めよ
（２）点Ａを出発して、赤い線分を通らないで、青い線分のみを通って点Ｄへ行く事ができる確率を求めよ。

※図はひし形ＡＢＤＣがあり、5本の線分とはＡＢ，ＢＤ，ＤＣ，ＣＡ，ＢＣのことです。

答えが合わなくて困っています

自分が作った解）
（１）適するもののうち
5線分のうち
1つの線分が青なのは1通り
２つの線分が青は6通り
3つの線分が青なのは１０通り
4つの線分が青なのは４通り
5つの線分が青なのは１通り
よって
１－ｐ＝ｑとして
求める確率は
pq^4+p^2q^3+10p^3q^2+4p^4q+p^5
（２）同様にして
2p^2q^3+8p^3q^2+5p^4q+p^5

まず式があっているか教えてください

No.17327 - 2012/04/05(Thu) 23:04:27

☆ Re: 確率 / ＿

残念ですが間違っています。数え上げのミスですね。
(1)は4本の線分が青である場合、(2)は3本の線分が青である場合をそれぞれ数え直してみてください。

なお、余事象から考えるのも有効だと思います。

No.17329 - 2012/04/06(Fri) 04:58:04

☆ Re: 確率 / よる

（１）pq^4+p^2q^3+10p^3q^2+５p^4q+p^5で合ってますか？
（２）
ん～５つの線分のうち3本が青なのは５Ｃ２＝１０通りでそのうち8個が適する、で合っていると思うのですが・・・（適さない2通りというのは
ＡＢ，ＡＣが赤のケースとＢＤ，ＢＣが赤のケースの2通りです。

よろしくおねがいします

No.17331 - 2012/04/06(Fri) 22:58:52

☆ Re: 確率 / ＿

うひゃ、そうですね。(2)は私がミスってました。計算して紙に書いたものを読み取るときに何か間違えていたみたいです。

で、(1)はその通りです。とはいえ、2本の線分が青である場合を式に落とすときにミスがありますね。一応書いておきます。

No.17333 - 2012/04/07(Sat) 00:25:40

☆ Re: 確率 / よる

(1)(2)は結局pq^4+p^2q^3+10p^3q^2+５p^4q+p^5
2p^2q^3+8p^3q^2+5p^4q+p^5で合っているのでしょうか？

No.17336 - 2012/04/07(Sat) 04:22:00

☆ Re: 確率 / ヨッシー

(2) は正しいですが、(1) が違います。No.17333 の記事の、
「2本の線分が青である場合を式に落とすときにミスが」が反映されていませんし、
数え間違いもあります。

ＡＣとＢＤは、立体交差と解釈しました。（図の※は、ＡＤは行けない）

たかだか32通りなので、書き上げてみました。

No.17337 - 2012/04/07(Sat) 07:44:38

☆ Re: 確率 / よる

ここまでしてもらって本当に申し訳ないのですが、問題文にあるようにひしがたＡＢＣＤではなくＡＢＤＣなのです。。ひしがたＡＢＤＣがあって線分ＢＣがひしがたＡＢＤＣを二等分しているのです。。

No.17341 - 2012/04/07(Sat) 23:28:07

☆ Re: 確率 / ヨッシー

失礼しました。

ただ、引かれている線分に変わりはないので、場合の数も同じになります。

No.17344 - 2012/04/08(Sun) 08:06:51

☆ Re: 確率 / ＿

ひし形の形状自体は、どっちでも
「Aは直接B,Cと繋がっていて、Bは直接A,C,Dと繋がっていて、Cは直接A,B,Dと繋がっていて、Dは直接B,Cと繋がっている。」という関係自体には変わりはないので本質的には同じ事なのはヨッシーさんも仰っているとおりです。この点において、よるさんの指摘はちょっと的を外しています。

ただし、問題文は(1)BからCへ～であって、BからDへ～ではないです。この点、ヨッシーさんがミスリードされているのではないでしょうか。

No.17336のよるさんの投稿で間違っているのは、No.17333にて私が言及した、式に落とすときのミスのみであろうと思います。

No.17368 - 2012/04/11(Wed) 03:32:00

☆ Re: 確率 / ヨッシー

重ね重ね失礼しました。

No.17369 - 2012/04/11(Wed) 06:34:57

★ アドバイスほしいです / 受験生

鹿児島大学医学部志望で自分の今の偏差値は進研模試で平均73ぐらいです。数学の二次試験対策の良い参考書はないか探しています?ｫなにかオススメの参考書などはありませんか？アドバイスお願いします。

No.17325 - 2012/04/05(Thu) 14:01:56

☆ Re: アドバイスほしいです / フリーザ

いい参考書なんかいくらでもあります。
何年生で受けた模試で73なんでしょうか？
センターは何割とれますか？
鹿児島大の過去問何割とれますか？また何割目標ですか？
数学3Cの学習完了してますか？

質問の内容だけではちゃんとしたアドバイスなんかできません。いい参考書あげるなら誰でもできますよ。

No.17328 - 2012/04/06(Fri) 00:37:27

☆ すみません?ｫ / 受験生

説明不足で申し訳ないです?ｫ
今年浪人2年目です。
浪人1年目で受けた進研模試の平均偏差値が73です。
今年のセンターは?TAが96点・?UBが88点でした。鹿児島大学の過去問では6割～8割ぐらいとれましたが、年によってバラつきがありました。特に去年の過去問は6割ぐらいしかとれませんでした。目標としてはセンターでほぼ満点、二次試験で8割～9割取りたいと考えています。

No.17330 - 2012/04/06(Fri) 11:34:10

☆ Re: アドバイスほしいです / フリーザ

センターはやはり時間を40分くらいで解くトレーニングするとよいです。もちろんあなたのレベルなら時間かければ解けるはずなので。また、そのような対策には駿台の「数学の計算革命」という本をやってみるとよいかもしれませんよ。
もちろん本に書いてある制限時間より少し短い時間を設定してやりましょう。

申し訳ありませんが鹿児島医の過去問探しましたがなかったのでちゃんとしたアドバイスできないかもしれないですけど・・・。二浪目ということで基本～標準はすでに終わっているので応用問題にとりくみたいかと思いますが、二年目は今の時期は来年こそと思っていても同じ勉強の繰り返しでモチベーションも下がってきたりします勉強が応用問題一本の単調な勉強にならないように注意してください。
まだ入試まで時間はあるので大学への数学の１対1対応などをさらっと仕上げるのはいかがでしょう（手も足もでない問題はあまりないと思いますがやはり医学部といえどこのレベルをさらっと解ける力は大事です。さらっとってのがポイントです笑。でも有名な本なのでもうやってしまったかもしれないですが・・・。特に数３なんかは完成度高いとおもいます。

あとは個人的に昔やった問題集ですが

河合出版・やさしい理系数学→1対1プラスαのレベルで別解も豊富です。

河合出版・ハイレベル理系数学→難しいです。あまり深追いはしないほうがいいかも・・・。

大数・新数学演習→これも力をつけるのにはいいですが問題はやや時代遅れのも散見されます。立体の球積問題はなかなかいい問題多いです。

あとは予備校などいかれてないのなら月刊の大学への数学もいいかもです。毎月学力コンテストもありますし。

あとは単元で苦手なのがあれば対処したいところですね！

> 説明不足で申し訳ないです?ｫ
> 今年浪人2年目です。
> 浪人1年目で受けた進研模試の平均偏差値が73です。
> 今年のセンターは?TAが96点・?UBが88点でした。鹿児島大学の過去問では6割～8割ぐらいとれましたが、年によってバラつきがありました。特に去年の過去問は6割ぐらいしかとれませんでした。目標としてはセンターでほぼ満点、二次試験で8割～9割取りたいと考えています。

No.17338 - 2012/04/07(Sat) 09:47:19

★ 絶対値の不等式 / 犬好きオヤジ

aを正の実数とする。|x-a|≦2aであることは、-2≦x≦5であるための十分条件となるような定数aの値の範囲を求めよ。
という問題で、x-aの部分を英正と負に場合分けして見たのですが、それ以降どう解いていったらよいかわかりません。解等には0＜a≦5/3とあるのですが、2≦aという解も出たのですが、なぜ初めの解等だけなのかの理屈がわかりません。解説をお願いできないでしょうか。

No.17320 - 2012/04/04(Wed) 20:01:49

☆ Re: 絶対値の不等式 / ヨッシー

|x-a|≦2a を解いて得られるｘの範囲が、-2≦x≦5 に
すっぽり入るようなａの範囲を求めよ、という問題です。

ｘ＜ａのとき |ｘ－ａ|＝ａ－ｘであるので、
　ａ－ｘ≦２ａ　より　ｘ≧－ａ
　よって、－ａ≦ｘ＜ａ　・・・(i)
ｘ≧ａのとき |ｘ－ａ|＝ｘ－ａ　であるので、
　ｘ－ａ≦２ａ　より　ｘ≦３ａ
　よって、ａ≦ｘ≦３ａ　・・・(ii)
(i)(ii) より　－ａ≦ｘ≦３ａ
このａにいろんな正の数を代入して、
　-0.1≦ｘ≦0.3
　-0.2≦ｘ≦0.6
　－１≦ｘ≦３
などを作っていくとき、－２≦ｘ≦５に収まるギリギリの所は、
上限が５に一致する、
　-5/3≦ｘ≦５
であり、このときがａの最大値 5/3 です。
よって、０＜ａ≦5/3 となります。
ａが 5/3 を超えると、５を超えるｘや、－２未満のｘでも、
　|x-a|≦2a
が成り立つようになります。たとえば、ａ＝２では、ｘ＝６
でも、|６－２|≦４が成り立ちます。

No.17321 - 2012/04/04(Wed) 22:23:49

☆ Re: 絶対値の不等式 / 犬好きオヤジ

ヨッシーさんありがとうございました。とてもわかりやすく、納得できました。

No.17324 - 2012/04/05(Thu) 13:28:20

★ 三角方程式 / Xex(高2)

sin(2θ-π/3)=-1/2 (0≦θ<2π)みたいにθの一次式がある三角方程式について。
解):sin(θ)が0から2πの範囲内で-1/2となるのは
θが4π/3か5π/3となる時だから
2θ-π/3=4π/3,5π/3
2θ=5π/3,6π/3
∴θ=5π/6,π
この解き方が間違っている理由を教えてください。

No.17313 - 2012/04/02(Mon) 18:34:59

☆ Re: 三角方程式 / X

0≦θ<2π (A)
はθの値の範囲であって
2θ-π/3
の値の範囲ではありません。
(A)より
-π/3≦2θ-π/3<11π/3
この範囲で
sin(2θ-π/3)=-1/2
を満たす2θ-π/3の値をまず求めましょう。

No.17316 - 2012/04/02(Mon) 18:43:58

☆ Re: 三角方程式 / Xex(高2)

返信遅れてすみません。
失礼ですが、ますます分からなくなりました。
なぜ解の可能な範囲にマイナスの角度や2πより大きいものが出てくるのですか? 解が2つより多くあるのですか?
自分の答えが間違っているのは確かです。

No.17318 - 2012/04/04(Wed) 18:29:52

☆ Re: 三角方程式 / ヨッシー

「解の可能な範囲に」マイナスがあるのではなく、
「2θ-π/3の範囲に」マイナスがあるのです。

>sin(θ)が0から2πの範囲内で-1/2となるのは
>θが4π/3か5π/3となる時だから
ここも違いますね。もし、0≦θ＜2π の範囲で考えるとしても、
sinθ＝-1/2 の解は、θ＝7π/6, 11π/6 です。

さらに、2θ－π/3 の範囲は、 -π/3≦2θ-π/3<11π/3　と
2θ-π/3 の移動範囲は、4π つまり2回転分あるので、
解は普通４つあります。

sinθ＝1/2　-2π≦θ＜2π の解が　θ＝-5π/6, -π/6, 7π/6, 11π/6 の
４個あるのと同じです。

No.17319 - 2012/04/04(Wed) 19:07:53

☆ Re: 三角方程式 / Xex(高2)

解):この方程式で2θ-π/3の範囲内で-1/2となるのを求める必要があるのですか?ならば-π/6と19π/6が加わって
sin(2θ-π/3)=-1/2
2θ-π/3="-π/6" 7π/6 11π/6 "19π/6"
2θ=π/6 3π/2 13π/6 7π/2
∴θ=π/12 3π/4 13π/12 7π/4
でいいのですか?
自分が最初に出した答えは(まぁ間違っていましたが)0≦2θ-π/3<2πの範囲で出したということ?

No.17323 - 2012/04/05(Thu) 11:01:35

☆ Re: 三角方程式 / ヨッシー

>∴θ=π/12 3π/4 13π/12 7π/4
>でいいのですか?
それでいいのです。

最初の解答は、強いて言えば、
0≦2θ-π/3<2πの範囲で
　sin(2θ-π/3)=-√3/2
を解いたものです。

No.17326 - 2012/04/05(Thu) 15:36:10

★ 順列組合せ（数学検定２級） / のんです

問題　Σ_[r=0,n](nCr)^2をｎの式で表しなさい。

解説を読んでも全くわかりません。

模範解答には、
［考え方］として、二項定理を用いて、与式は(1+x)^2nのx^nの係数に等しい。
とあり、
［解答］は、
二項定理(1+x)^n=Σ_[r=0,n]nCr*x^r=Σ_[s=0,n]nCn-s*x^n-s
を掛けると
(1+x)^2n=(Σ_[r=0,n]nCr*x^r)(Σ_[s=0,n]nCn-s*x^n-s)を展開して、s=rの項を考えると、
それはx^nの係数である。
それはΣ_[r=0,n]nCr*nCn-r=Σ_[r=0,n](nCr)^2に等しく
2nCn=(2n)!/(n!)^2と表される。

よろしくお願い致します。

No.17292 - 2012/03/28(Wed) 21:26:55

☆ Re: 順列組合せ（数学検定２級） / ヨッシー

簡単な例で見てみましょう。
　(x+1)^5＝5Ｃ0＋5Ｃ1ｘ＋5Ｃ2ｘ^2＋5Ｃ3ｘ^3＋5Ｃ4ｘ^4＋5Ｃ5ｘ^5
(x+1)^5＝5Ｃ0ｘ^5＋5Ｃ1ｘ^4＋5Ｃ2ｘ^3＋5Ｃ3ｘ^2＋5Ｃ4ｘ＋5Ｃ5
と書けます。
※上の解答より、nＣr＝nＣn-r を適用するのを早めています。
この２式を掛けて、
(x+1)^10＝(5Ｃ0＋5Ｃ1ｘ＋5Ｃ2ｘ^2＋5Ｃ3ｘ^3＋5Ｃ4ｘ^4＋5Ｃ5ｘ^5)(5Ｃ0ｘ^5＋5Ｃ1ｘ^4＋5Ｃ2ｘ^3＋5Ｃ3ｘ^2＋5Ｃ4ｘ＋5Ｃ5)
右辺で、ｘ^5 の項の係数を考えると、
　(5Ｃ0)^2＋(5Ｃ1)^2＋(5Ｃ2)^2＋(5Ｃ3)^2＋(5Ｃ4)^2＋(5Ｃ5)^2＝Σ(5Ｃr)^2
となります。
一方、(1+x)^10 のｘ^5 の係数は 10Ｃ5 です。

これを一般化すると、上のようになります。

No.17293 - 2012/03/28(Wed) 22:33:18

☆ Re: 順列組合せ（数学検定２級） / のんです

お礼が遅れて申し訳ありません。

具体例を用いて一般的な形から理解できました。ありがとうございました。

No.17306 - 2012/04/01(Sun) 18:10:33

★ ゴロ / てぃん

sin15°＝√６-√２/4
をゴロで暗記したいのですが何か言い語呂合わせはないでしょうか？色々募集します！
以後ろにし、とかですね。意味が分からないので不採用ですが・・

No.17289 - 2012/03/28(Wed) 18:16:29

☆ Re: ゴロ / らすかる

↓こちらにいろいろありました。
http://www.d2.dion.ne.jp/~hmurata/goro/suugaku.html

No.17295 - 2012/03/29(Thu) 10:31:39

☆ Re: ゴロ / ヨッシー

鯉はジュースを与えると濁るので弱る。
は笑えますね。
全然、暗記に役立ちそうもないゴロが多いですが。

私はむしろ、意味がない言葉で覚えてましたね。
ネカズンザースンネドイド水銀：原子番号１０の倍数の元素
やみうひうふかしおてさい：１２星座
サコサパサ、コササピサ、コココパコ、ササコピコペッ：さて何でしょう？

No.17296 - 2012/03/29(Thu) 14:02:19

☆ Re: ゴロ / 4月から高校3年

> サコサパサ、コササピサ、コココパコ、ササコピコペッ：さて何でしょう？

僕は
シッコシタシ
コッシシマッシ
コッココタッコ
シンシンフコフコ
ですｗｗ

日本史選択者には
イクヤマイマイ…：歴代総理大臣
という王道があります

No.17297 - 2012/03/29(Thu) 23:00:40

☆ Re: ゴロ / らすかる

私が暗記しているあまり役に立たないもの
（数学とは関係ありません）

ああいえおかきこしししすすせたちちとなねぶみめ

# 元素周期表は中学の時にそのまんま
# 「水素ヘリウムリチウムベリリウム・・・ローレンシウム」
# と覚えました。

No.17298 - 2012/03/31(Sat) 00:43:48

★ 確率 / JOY

7個の箱を選んで7個のボールを入れる。
このとき、縦・横・斜めのいずれか一列に3個のボールが並んだら、一列につき１点を得るものとする。
例えば、1,2,3,4,5,8,9の番号がついた箱を選んだときは３点となる。

?@?A?B
?C?D?E
?F?G?H

(1)得点が５点である確率を求めよ。

という問題で全事象を9個の箱から７個の箱の選び方は9C7=36通り
としているのですが、問題文には「7個の箱を選んで7個のボールを入れる。」と書いています。
確率の問題ではすべてのものを区別することが原則なので当然7個の箱も7個のボールも区別されます。
今、箱は?@?A?B?C?D?E?F?G?Hと区別がされているので
ボールの方もa,b,c,d,e,f,gとします。
すると、まず7個の箱を選ぶときは９個ある箱から７個選ぶので9C7は問題ないと思います。
たとえば?@?A?B?C?D?E?Fの箱が選ばれたとします。
するとこんどは、この箱に7個のボールを入れるので7!通りです。
なので全事象は9C7×7!=9P7
だと思ったのですがどうして違うのでしょうか？
誰か分かる方教えてください。お願いします。

No.17285 - 2012/03/28(Wed) 01:19:50

☆ Re: 確率 / rtz

別にどちらでもいいですよ。

例えば問題文中の、
＞1,2,3,4,5,8,9の番号がついた箱を選んだときは３点
の場合、
ボール自体を区別しなければ上の1通りですが、
ボールを全て区別するなら、7!通りあります。

ただ、各パターンごとに7!通りあるわけで、
確率の場合、分母にも分子にも7!がかけられて結局消えますから、
それなら、ボールには区別がないと考えても結局は一緒になるよね、ということです。

No.17286 - 2012/03/28(Wed) 01:34:07

★ 早稲田文系08 / るしだ

f(x)＝Σ[k=1～100]|kx‐1|＝|x‐1|＋|2x‐1|＋|3x‐1|＋‥‥＋|100x‐1|を最小にするxの値を求めよ。
という問題で
x≧1のとき絶対値の中身は正or0
というのはわかるんですが
絶対値の中身が負になるときと
絶対値の中身が正と負の交互になるときの場合分けがわかりません。
回答には
{1/(i＋1)}≦x≦{(1/i)}のとき絶対値の中身は正と負の両方がでてくる。とあるのですが
どうしてこのような形で表せるんですか？
発想の根拠が知りたいです。
また、問題の答がないので誰か教えてください。よろしくお願いします。

No.17280 - 2012/03/27(Tue) 12:54:00

☆ Re: 早稲田文系08 / X

a[k]=kx-1
と置くと
f(x)=Σ[k=1～100]|a[k]|
(i)k=1,…,100に対し、a[k]＞0のとき
1/k＜x(k=1,…,100)
ですので
1＜x
f(x)=Σ[k=1～100]a[k]=…
(ii)k=1,…,100に対し、a[k]＜0のとき
x＜1/k(k=1,…,100)
ですので
x＜1/100
このとき
f(x)=-Σ[k=1～100]a[k]=…
(iii)(i)(ii)以外、つまり1/100≦x≦1のとき
0＜xですのでa[k]はkに関して単調増加になります。
よって
k≦iのときa[k]≦0
i+1≦kのとき0≦a[k]
となるようなiを考えることができます。
このとき
ix-1≦0
0≦(i+1)-1
これより
1/(i+1)≦x≦1/i
このとき
f(x)=-Σ[k=1～i]a[k]+Σ[k=i+1～100]a[k]
=…
となります。

後は(i)(ii)(iii)の結果を元に、境界となっている
x=1/k(k=1,…,100)
のときのf(x)の値、つまり
ｆ(1/k)(k=1,…,100)
の値の大小関係を考えます。
これらのうち、最も小さい値に対するxの値が求める値
となります。

No.17282 - 2012/03/27(Tue) 13:41:39

☆ Re: 早稲田文系08 / るしだ

「よって
k≦iのときa[k]≦0
i+1≦kのとき0≦a[k]
となるようなiを考えることができます。」
k≦iということはa[i]=ix-1となり、さらに
a[k]=kx-1の傾きより急ということですよね？
状況がいまいち掴めません；
k≦iのときa[k]≦0とは一体
i+1≦kのとき0≦a[k]とは一体どういうことなんでしょうか？
また、「ix-1≦0
0≦(i+1)-1
これより
1/(i+1)≦x≦1/i
このとき
f(x)=-Σ[k=1～i]a[k]+Σ[k=i+1～100]a[k]
=…
となります。」
この式変形がよくわかりません＞＜
理解力がないのでもう少しお付き合いよろしくお願いいたします。

No.17284 - 2012/03/27(Tue) 21:33:41

☆ Re: 早稲田文系08 / ヨッシー

たとえば、x=0.11 だとすると、
　x-1,2x-1,3x-1,・・・9x-1 までは負で
　10x-1 以降は正となります。
つまり、k≦9 のとき a[k]≦0 で、k≧9+1 のとき a[k]≧0 で、
この場合のｉは９です。

すると、f(x) の計算は、
k=1～9 は－a[k] を足し、k=10～100 は a[k] を足すことになります。

No.17288 - 2012/03/28(Wed) 10:54:41

★ ブンケイすうがく / 恨めし

数列{a[n]}をa[1]=1/2,a[n＋1]=1-a[n]^2(n=1,2,3・・・)
(1)0<a[2n-1]≦1/2を示せ
という問題を数学的帰納法で解いたのですが
n=1のときは成り立ち
n=kを仮定したとき
n=k＋1も成り立つことを示すと
示すべき式は0<a[(2k＋1)-1]≦1/2です。
結果的に0<a[(2k＋1)-1]≦7/16<1/2となったのですが
示すべき式のa[(2k＋1)-1]には1/2が含まれていますが
帰納法で示した結果0<a[(2k＋1)-1]≦7/16<1/2になりました。
これは成り立つとしてもよいんでしょうか？
誰か分かる方教えてください。お願いします。

No.17277 - 2012/03/27(Tue) 00:21:04

☆ Re: ブンケイすうがく / ヨッシー

「1/2が含まれています」というのは、
　0＜a[2n-1]≦1/2
では、a[2n-1]＝1/2 であることも許しているのに、実際は
a1 以外は全部 a[2n-1]＜1/2 だが良いのか？
ということでしょうか？

それは良いのです。

第一、a[1]＝1/2 であるわけですし、a[2n-1]＜1/2 は、
a[2n-1]≦1/2 より強い条件なので、a[2n-1]≦1/2 を満たしていると言えます。

No.17278 - 2012/03/27(Tue) 05:39:43

☆ Re: ブンケイすうがく / 恨めし

「第一、a[1]＝1/2 であるわけですし、a[2n-1]＜1/2 は、
a[2n-1]≦1/2 より強い条件なので・・・」
強い条件というのはどういうことなんでしょうか？
考えてみたのですが分からなかったのでお願いします。

No.17279 - 2012/03/27(Tue) 12:53:07

☆ Re: ブンケイすうがく / ヨッシー

厳しい条件といったほうが良いでしょうか？
a[2n-1]＜1/2　が成り立てば、　a[2n-1]≦1/2　は
必ず成り立つ、という意味です。

No.17283 - 2012/03/27(Tue) 19:14:56

★ ★数量関係のグラフの問題 / 夕凪

ヨッシーさん、こんばんわ(o^-^o) 。

いつも丁寧で解りやすい解説、どうも有り難うございます。

また同じような問題ですが、どうかよろしくお願い致します。

解るところまで、考えてみましたが、やっぱり難しいですー(>.<)。

画像添付していますので、よろしくお願い致します(*^.^*)。

?@グラフからAとB合わせて９分で３０cm入ってるから、３０cmまでの体積は、１２０×８０×３０＝２８８０００cm3→２８８ℓ

９分で２８８ℓ入るので、１分では、２８８÷９＝３２ℓ

?@は、こんな考え方で合っていますか？

?Aは、ちょっと解りませんが、グラフから読み取れる事を書き出してみました。

グラフからAのじゃ口側のグラフは、グラフが折れ曲がるまで、４分で３０cm入ってます。

Bのじゃ口側のグラフは、グラフが折れ曲がるまで、４分で５cm入っています。

Aだけ個別に１分間に出る水の量を求めようとするにも、この真ん中の仕切りは、何cmのところに入れてるのかが解りません。あと、グラフのAとBが折れ曲がってるのは、何か意味（変化）があるんですよね？それが、何か解りませんが、Bが折れ曲がってるのは、もしかして、仕切りを越えたという事ですか？

?Bは、だいぶ考えたけど、解りません(>.<)。

どうか、解りやすく何かヒントか解き方を教えて頂ければ、うれしいです(o^-^o)

それでは、よろしくお願い致します。

No.17275 - 2012/03/26(Mon) 22:36:42

☆ Re: ★数量関係のグラフの問題 / X

(1)
それで合っています。

(2)
A,Bのじゃ口で同じ４分間にそれぞれ３０ｃｍ、５ｃｍ入りますので
30÷5=6
で６倍となります。

(3)
(2)の結果を使って、Aのじゃ口から出る水の量と、
A,B両方のじゃ口から出る量との割合を考えてみましょう。
後はそれを(1)の結果に掛け算すれば求められますね。

No.17276 - 2012/03/26(Mon) 22:52:57

☆ Re: ★数量関係のグラフの問題 / 夕凪

X様、はじめまして(o^-^o)。

返信遅くなって、申し訳ありません(。-人-。) 。

回答して頂いて、どうもありがとうございました。

?@は、この考え方で合っていたのですね(o^-^o) 。

それで、?Aの問題なのですが、実は解答の方を確認すると、
６倍ではなく、３倍となっています。解答を読んでるのですが、ちょっと私には、解りません(>.<)。

もしかして、最初の４分間だけで、判断してはいけないのでしょうか？他に考えられる事があれば、教えて頂けないでしょうか？

?Bは、それからもう１回X様の解説を読んで、考えてみたいと思いますので、よろしくお願い致します。

No.17290 - 2012/03/28(Wed) 21:13:07

☆ Re: ★数量関係のグラフの問題 / X

(2)
ごめんなさい。仕切りが容器の中央につけられているものと
思い込んで計算していました。

仕切りを挟んで、じゃ口Bに近い側の部分に水が入る間を
考えてみます。
グラフを見ると
9-4=5[分]
の間にA,Bからの水で
30[cm]-5[cm]=25[cm]
入ることが分かりますので、１分間に
25÷5=5[cm]
入っていることが分かります。
一方、最初の5分の間にBのみの水が入っていたときは
１分間に
5÷4=5/4[cm]
入っています。
よって、この部分に１分間にAの水は
5-5/4=15/4[cm]
入りますので
15/4÷5/4=3
ということで３倍となります。

(3)についてはNo.17276の考え方で問題ありません。

No.17294 - 2012/03/28(Wed) 23:48:19

☆ Re: ★数量関係のグラフの問題 / 夕凪

X様ー、こんにちわ(o^-^o)。

丁寧に解説して頂いて、どうもありがとうございます。

でも、もうちょっとっていうところで、解りません(>.<)。

もう少し質問させて下さい。

この部分から解りません(>.<)。

「よって、この部分に１分間にAの水は
5-5/4=15/4[cm]
入りますので
15/4÷5/4=3
ということで３倍となります。」

どうして、５cmから引くのでしょうか？

最初の5分の間にBのみの水が入っていたときは
１分間に5÷4=5/4[cm]というのは、解ります。１分間に5/4[cm]Bは入るけど、Aは、どうして５ｃｍから引いたら１分間に入る深さが求められるのですか？

なんか頭が混乱してきて、すいません(。-人-。) 。

また、宜しければ、解説お願い致します。

No.17299 - 2012/03/31(Sat) 11:19:16

☆ Re: ★数量関係のグラフの問題 / ヨッシー

例によって、グラフから読み取れることを書き上げてみます。

Ｂの蛇口からの水を、Ｂ側の部分に水を入れると、水位は４分間に５ｃｍ増える。
Ａの蛇口、Ｂの蛇口両方からの水を、Ｂ側の部分に水を入れると、水位は５分間に２５ｃｍ増える。

水位が増える速度を求めると、
Ｂの蛇口だけ：５÷４＝5/4(cm/分)
ＡとＢの両方：２５÷５＝５(cm/分)
なので、
Ａの蛇口だけで、Ｂ側の部分に入れると水位の上昇速度は、
　５－５／４＝１５／４
よって、Ａ(15/4) はＢ(5/4) の３倍となります。

No.17308 - 2012/04/01(Sun) 18:43:52

☆ Re: ★数量関係のグラフの問題 / 夕凪

ヨッシーさん、こんばんわ(o^-^o) 。

（２）の解説どうもありがとうございました。これは、すごく解りやすかったです(*^.^*)。

それで、（３）なんですが、Ａの蛇口から出る水の量が１５／４で、Ｂの蛇口から出る水の量が５／４で、

比率が１５／４：５／４＝３：１になり、?@のＡ，Ｂあわせて１分間に３２ℓ入ってるから、Ａの蛇口から出る水の量は、３２×３／４＝２４ℓ

この考え方で合っていますか？

宜しければ、またご回答よろしくお願い致します。

No.17309 - 2012/04/01(Sun) 23:28:57

☆ Re: ★数量関係のグラフの問題 / ヨッシー

それで合っています。
ただ、(2) で、ＡはＢの３倍、とわかっているので、即座に
　Ａの水量：Ｂの水量＝３：１
で良いです。

No.17310 - 2012/04/01(Sun) 23:41:05

☆ Re: ★数量関係のグラフの問題 / 夕凪

ヨッシーさん、やっと解りました(o^-^o) 。

解説どうもありがとうございました(*^.^*)。

また行き詰ったら、よろしくお願い致します。

No.17322 - 2012/04/04(Wed) 23:53:30

★ (No Subject) / うｂｈ

A,B,C,Dの４人がじゃんけんをして
Aが２回目で優勝する確率
（残りが一人だけになることを優勝とします）

を教えてください

No.17273 - 2012/03/26(Mon) 21:23:12

☆ Re: / ヨッシー

まず、全部の手の出し方は、１回につき 3^4＝81(通り)
(i)２種類の手だけでる場合（その１）
１人だけ違う手を出す場合。
Ａだけ違う、Ｂだけ違う、Ｃだけ違う、Ｄだけ違うの４通り。
グー１人にチョキ３人、グー１人にパー３人
チョキ１人にパー３人、チョキ１人にグー３人
パー１人にグー３人、パー１人にチョキ３人　の６通り。
あわせて、２４通り。
(ii)２種類の手だけでる場合（その２）
２人と２人に分かれる場合。
ＡＢ／ＣＤ、ＡＣ／ＢＤ、ＡＤ／ＢＣ　の３通り。
左がグー、右がチョキ
左がグー、右がパー
左がチョキ、右がパー
左がチョキ、右がグー
左がパー、右がグー
左がパー。右がチョキ　の６通り。
あわせて、１８通り。

(iii)
これ以外の３９通りはあいこ。

１回目(iii) で、２回目(i) でＡが勝つ
　39/81×3/81＝13/729
１回目(ii) でＡが勝ち、２回目２人でやってＡが勝つ
　9/81×1/3＝1/27
１回目(i) でＡが勝ち、２回目３人でやってＡだけが勝つ
　9/81×1/9＝1/81
全部足して、
　49/729

No.17274 - 2012/03/26(Mon) 22:12:22