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★ (No Subject) / 亡霊
α＞β＞０、α^２＋β＾２＝２、２αβ＝１とし
A=(α　β）
（−β　α）

とする
（１）Aが表す一次変換で点P(x,y)がP'(x,y)に移るとき
∠POP'および線分の長さの比OP'：OPを求めよ。ただしOは原点を表す

での解答にα＞β＞０、α^２＋β＾２＝２により
α＝√2cosθ、β＝√２sinθ（０＜θ＜π/4)
とあるのですが、一体ドコから０＜θ＜π/4がきたのでしょうか？

よろしくお願いします
No.16618 - 2012/01/18(Wed) 21:43:29
☆ Re: / ヨッシー
α、β は、半径√2の円の、第１象限部分であり、
しかも、α（ｘ座標）＞β（ｙ座標）なので、
円のうちの、０＜θ＜π/4 の部分となります。
No.16619 - 2012/01/18(Wed) 22:08:47
☆ Re: / 亡霊
ありがとうございます。無事解決しました。

ところで、
α^２＋β＾２＝２⇔α＝√2cosθ、β＝√２sinθ
ですか？

右から左への矢印が成り立つのは明らかですが、、
左から右への矢印はどうなのでしょうか？

よろしくお願いします。
No.16626 - 2012/01/19(Thu) 09:18:35
☆ Re: / 亡霊
はい。左から右への矢印が成り立つのは
１６６２６で述べましたように明らかですね。

それで質問している右から左への矢印はどうなのでしょうか？よろしくお願いします
No.16630 - 2012/01/20(Fri) 10:03:59
☆ Re: / 亡霊
失礼しましたorz
訂正しておきましたので再度よろしくお願いします
No.16641 - 2012/01/21(Sat) 10:30:53
☆ Re: / らすかる
「左から右」が
「実数α,βに対して α^2+β^2=2 が成り立つならば、
α=(√2)cosθ, β=(√2)sinθ となるθが存在する」
という意味でしたら、半径√2の円を考えれば明らかです。

# 元記事の訂正によって噛み合わなくなった私のレスは
# 削除しました。
No.16648 - 2012/01/21(Sat) 19:03:16
★ 平面図形 / JOJO
ある直線に対し異なる２点を通る円の作図方法を教えて下さい。中学１年問題です。バカなので解りやすくお願いします。
No.16614 - 2012/01/18(Wed) 18:43:56
☆ Re: 平面図形 / はにゃーん
直線に「接し」
ですかね？
No.16615 - 2012/01/18(Wed) 19:44:27
☆ Re: 平面図形 / JOJO
> 直線に「接し」
> ですかね？
はい　そうです
No.16616 - 2012/01/18(Wed) 20:19:28
☆ Re: 平面図形 / らすかる
直線をL、2点をA,Bとし、A,Bは直線Lに関して同じ側にあるものとします。
(1) 線分ABの垂直二等分線を描き、直線Lとの交点をCとします。
(2) その垂直二等分線上に適当な点Dをとります。
(3) 点Dから直線Lに垂線DHを下ろします。
(4) Dを中心としてHを通る円を描きます。
(5) 直線CBとその円の交点の一つを点Eとします。
(6) Bを通り直線DEと平行な直線と(1)で描いた垂直二等分線の交点をFとします。
(7) Fを中心として点Aを通る円を描けば、それが求める円です。
No.16622 - 2012/01/18(Wed) 23:36:40
★ 積分 / melphy
y=x^2,x=2-√y,x軸で囲まれた部分をy軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めよ。

答えは3π/4です。

ぜんぜんわからないので最初のほうから式を書いていただけるとありがたいです。
No.16613 - 2012/01/18(Wed) 18:22:31
☆ Re: 積分 / X
曲線
y=x^2
x=2-√y
の交点の座標が(1,1)であることに注意して
グラフを描くことにより、求める体積をVとすると
V=π∫[0→1](2-√y)^2dy-π∫[0→1]ydy
=…
No.16621 - 2012/01/18(Wed) 23:23:00
☆ Re: 積分 / melphy
計算していくと8π/3になってしまいました。
計算間違いだったらすみません。
No.16623 - 2012/01/18(Wed) 23:40:42
☆ Re: 積分 / melphy
答え間違ってました。　
正解は4π/3です。
No.16624 - 2012/01/18(Wed) 23:42:55
★ (No Subject) / Let it be
y=x^2上の点、Ｐ(t,t^2)と平面上の定点A(a,b)との距離APに対して(AP)^2をtの関数とみる。
この関数が極値をただひとつもつ条件を求めよ。



関数は４次関数になり、一次導関数が３次式になるのでこの３次式（３次関数）がゼロ点をひとつもちその前後で符号で変わることが、極値をもつ条件だと思いますが、３次関数が単調である場合とそうでない場合で場合わけをしたのですが方針は正しいでしょうか？
よろしくお願いします。
No.16610 - 2012/01/17(Tue) 22:41:15
☆ Re: / angel
> 方針は正しいでしょうか？
問題ないと思いますよ。
No.16612 - 2012/01/17(Tue) 23:00:22
☆ Re: / Let it be
ありがとうございます！
No.16628 - 2012/01/19(Thu) 21:00:07
★ 定積分 / ゆみ
定積分、簡単に求めれる方法ありますか？？
いつも時間がかかってしまいます＞＜
No.16605 - 2012/01/17(Tue) 19:41:32
☆ Re: 定積分 / Let it be
一般論として簡単に求められることはないと思いますが、個々の問題で早く解けたり、計算の工夫の仕方はあります。
それに質問が抽象的すぎます。数2なのか数3までの範囲でなのか？数2ならやることも限られてきますが。
No.16606 - 2012/01/17(Tue) 22:23:31
★ グラフ / 洗面所工事
ｆ（ｘ）＝ｘlogxのグラフが書けないのですが
ｘ＝０付近ってどうなってるのでしょうか？
lim(x→＋０）ｆ（ｘ）＝０×（−∞）となるのですが
０×∞って０ですか・・・？

どなたかお願いします！
No.16598 - 2012/01/17(Tue) 11:58:23
☆ Re: グラフ / らすかる
「0×∞」にしてしまったらもう求まりません。
f(x)=logx+1/√x の増減を調べることにより
x＞0のとき logx+1/√x＞0 すなわち logx＞-1/√x とわかるので
0≧lim[x→+0]xlogx≧lim[x→+0]-x/√x=0
∴lim[x→+0]xlogx=0
No.16600 - 2012/01/17(Tue) 14:22:57
☆ Re: グラフ / 洗面所工事
回答ありがとうございます！
f(x)=logx+1/√xを導入する事を暗記していないと解けないというわけですね。あっさり書いてますがf(x)≧f(1/4)=loge^2/4>0ということで合ってますよね？

ところで0≧lim[x→+0]xlogx≧lim[x→+0]-x/√x=0
の最左辺の「0≧」はどこからきたのか教えてください
No.16602 - 2012/01/17(Tue) 16:47:33
☆ Re: グラフ / らすかる
私は暗記していたわけではありません。
logxの入った式のlimを計算するときによく
√x を使って挟みうちすることがあるので、
それを元に考えました。

f(1/4)=log(e^2/4)＞0 は合ってます。

左辺の0≧は、xが+0に近いときx＞0,logx＜0より
xlogx＜0だからです。
No.16604 - 2012/01/17(Tue) 17:38:17
☆ logx絡みの極限 / angel
私は lim[x→+∞] logx/x = 0 をベースにしますね。
汎用的には lim[x→+∞] logx/x^a = 0 ( aは正の定数 )
つまり、logx は ( x^(1/2)=√x 等も含め ) どんな x^a よりも弱い発散の仕方をするわけです。
…弱いというのは多分に曖昧な言い方ですが、まあ、お察しください。

さて、lim[y→+∞] logy/y = 0 に対して、x=1/y とすると
　lim[x→+0] log(1/x)/(1/x) = 0
　lim[x→+0] (-xlogx) = 0
ということで、 lim[x→+0] xlogx = 0 が分かります。
No.16607 - 2012/01/17(Tue) 22:26:18
★ (No Subject) / １０：３０
関数ｆ（ｘ）が任意の実数uに対して次の関係を満たすものとする

∫(0~-u)t{(d/dt)f(t+u)}dt=-e^(-u)cosu+uf(0)-u+a
このときf(x)と定数aを求めなさい

という問題ですが、まずは私の解答を見てください
（a=1は明らかなので略）

∫(-u~0)t{(d/dt)f(t+u)}dt
＝∫(0~u)(t-u){(d/dt)f(t)}dt
=∫(0~u)t{d/dtf(t)}dt-u∫（0~u){d/dtf(t)}dt
ここで
∫(0~u)t{d/dtf(t)}dt
＝[t{d/dtf(t)}(0~u)-∫(0~u)f(t)dt
＝uf'(u)-∫(0~u)f(t)dt

uf'(u)-∫(0~u)f(t)dt-u(f(u)-f(0))==-e^(-u)cosu+uf(0)-u+１
⇔uf'(u)-∫(0~u)f(t)dt-uf(u)==-e^(-u)cosu-u+１

この後どうすればいいのか分かりません。
解答は手元にあるので解答を知りたいわけではありません。
この後どうすればよいのか、またこのやり方ではもうどうしようもないのか、それならどこが駄目だったのか、煩雑な式計算を見てもらった上に厚かましいですがどうか教えてください。
No.16597 - 2012/01/17(Tue) 10:26:32
☆ Re: / X
>>ここで
>>∫(0~u)t{d/dtf(t)}dt
>>＝[t{d/dtf(t)}(0~u)-∫(0~u)f(t)dt
>>＝uf'(u)-∫(0~u)f(t)dt
計算を間違えています。
∫(0~u)t{(d/dt)f(t)}dt
＝[tf(t)](0~u)-∫(0~u)f(t)dt
＝uf(u)-∫(0~u)f(t)dt
これに基づいて、それ以下も計算し直しましょう。
No.16601 - 2012/01/17(Tue) 16:20:56
☆ Re: / １０：３０
解決しました！ありがとうございます
No.16603 - 2012/01/17(Tue) 16:58:25
★ 高3です(^o^) / あすぱら
再び投稿します!!

校内のネズミの数を調べたい。
トラップを仕掛け10匹捕まえ、
印をして放した。
後日、40匹を捕まえたら
7匹に印があった。
校内にネズミは全部で何匹？


全くわからないです(ToT)
申し訳ありませんが
教えて下さい…


No.16591 - 2012/01/16(Mon) 22:47:51
☆ Re: 高3です(^o^) / らすかる
印を付けたネズミで捕まえていないのは10-7=3匹だから、
答えは40+3=「43匹以上」。
No.16592 - 2012/01/16(Mon) 22:59:27
☆ Re: 高3です(^o^) / あすぱら

夜に申し訳ないです(´Д｀)

ありがとうございます!!


No.16595 - 2012/01/17(Tue) 00:16:01
☆ Re: 高3です(^o^) / Let it be
ランダムに40匹とってきてそのうち7匹がしるしをつけたやつだったので、全体の7/40が10ということになります。
したがって、全体×(7/40)=10より
全体=57.1…となり
57匹いると推定できます。
No.16608 - 2012/01/17(Tue) 22:28:51
★ (No Subject) / 悩める人
とある式があって両辺に何か未知の文字をかけた場合、
同値は崩れますよね？

具体的には
ｘ、ｙ実数、０＜a＜２πで
(cos2a-cosa)x=(sin2a-sina)y
かつ
(sin2a)x=-(cos2a-cosa)y
が成り立つ時、
ｘ＝ｙ＝０を示せという問題なのですが

(cos2a-cosa)x=(sin2a-sina)y
かつ
(sin2a-sina)x=-(cos2a-cosa)y
・・・?@（2式あわせて）
⇒
(cos2a-cosa)(sin2a-sina)x=(sin2a-sina)^2y
かつ
(sin2a-sina)(cos2a-cosa)x=-(cos2a-cosa)^2y

ですがこの⇒を⇔にするにはどういう条件を加えればよいのか教えてください。

よろしくお願いします
No.16588 - 2012/01/16(Mon) 18:58:32
☆ 同値変形するかどうか / angel
まず、
> (cos2a-cosa)x=(sin2a-sina)y
> かつ
> (sin2a)x=-(cos2a-cosa)y
というのは、
　(cos2a-cosa)x=(sin2a-sina)y
　かつ
　(sin2a-sina)x=-(cos2a-cosa)y
のことでしょうかね。

行列の知識があれば同値変形もできますけど、無理に同値変形にこだわることもないですよ。
つまり、A⇔Bを示す時に、同値変形を繰り返す方法もありますが、A⇒BとB⇒Aの2つを個別に示してもよいのです。

今回、
　Aとして (cos2a-cosa)x=(sin2a-sina)yかつ(sin2a-sina)x=-(cos2a-cosa)y
　Bとして x=y=0
とすると、B⇒Aは明らかに成り立ちます。
なので、同値変形を気にせずにA⇒Bを示せば終わりです。
No.16589 - 2012/01/16(Mon) 21:47:59
☆ Re: / 悩める人
回答ありがとうございます。問題文の誤植失礼しました。

この質問の主旨は問題をいかにして解くか、ということではなく、この問題を題材にして式変形の基本について質問、確認したい、というものでしたので、恐れ入りまずがまずは質問にお答えください。

とある式があって両辺に何か未知の文字をかけた場合、
同値は崩れますよね？

この⇒を⇔にするにはどういう条件を加えればよいのか

よろしくお願いします
No.16593 - 2012/01/16(Mon) 23:02:21
☆ Re: / らすかる
「掛ける未知の文字が0でない」という条件を加えれば⇔になると思います。
No.16594 - 2012/01/16(Mon) 23:14:37
☆ Re: / 悩める人
回答ありがとうございます

(cos2a-cosa)x=(sin2a-sina)y
　かつ
　(sin2a-sina)x=-(cos2a-cosa)y
⇔
「(cos2a-cosa)(sin2a-sina)x=(sin2a-sina)^2yかつ
sin2a-sina≠０」
かつ
「(cos2a-cosa)(sin2a-sina)x=-(cos2a-cosa)^2y
かつcos2a-cosa≠０」

ということですよね

「掛ける未知の文字が0でない」という条件を加えれば⇔になるという理由は分かりませんが（できればなぜそうなるのか説明をお願いしたいですが）その事実はこの問題に限らずどんな場合でも成り立つのでしょうか？

よろしくお願いします
No.16596 - 2012/01/17(Tue) 10:10:14
☆ Re: / らすかる
c≠0 ならば
a=b⇒ac=bc （両辺にcを掛ける）
ac=bc⇒a=b （両辺に1/cを掛ける）
なので
a=b⇔ac=bc
です。
No.16599 - 2012/01/17(Tue) 13:37:10
☆ Re: / angel
いや、その考えは危ない。
> (cos2a-cosa)x=(sin2a-sina)y
> かつ
> (sin2a-sina)x=-(cos2a-cosa)y
> ⇔
> 「(cos2a-cosa)(sin2a-sina)x=(sin2a-sina)^2y かつ sin2a-sina≠０」
> かつ
> 「(cos2a-cosa)(sin2a-sina)x=-(cos2a-cosa)^2y かつ cos2a-cosa≠０」
> ということですよね
違います。
というか、勝手に sin2a-sina≠0 とか cos2a-cosa≠0 なんてことを決めてはいけません。
※実際、a=π/3, π, 5π/3 の時は sin2a-sina=0 ですし、a=2π/3,4π/3 の時は cos2a-cosa=0 です。

「『掛ける未知の文字が0でない』という条件を加えれば」って意味が違います。自分で「0でない」という条件を勝手に付け加えるのではなくて、「もし0でないという前提があったならば、⇒(必要条件)ではなく⇔(同値変形)になるのになあ」という、なんというか仮定法みたいなお話です。
つまり、
　× a=b ⇔ ( ac=bc かつ c≠0 )
　○ c≠0 ならば ( a=b ⇔ ac=bc )
　　※c≠0 と特定できないなら、a=b ⇒ ac=bc

なので、今回の問題でそういう同値変形が使いたいのであれば、
・cos2a-cosa=0 かつ sin2a-sina=0 の場合
　… 起こりえないため、除外 ( 計算して確かめてください )
・cos2a-cosa=0 かつ sin2a-sina≠0 の場合
　0=(sin2a-sina)y かつ (sin2a-sina)x=0 のため、x=y=0
・cos2a-cosa≠0 かつ sin2a-sina=0 の場合
　(cos2a-cosa)x=0 かつ 0=-(cos2a-cosa)y のため、x=y=0
・cos2a-cosa≠0 かつ sin2a-sina≠0 の場合
　(cos2a-cosa)x=(sin2a-sina)y かつ (sin2a-sina)x=-(cos2a-cosa)y
　⇔ (cos2a-cosa)(sin2a-sina)x=(sin2a-sina)^2y かつ (cos2a-cosa)(sin2a-sina)x=-(cos2a-cosa)^2y
　⇔ …(いろいろ計算)… ⇔ x=y=0
いずれにしても x=y=0

というように、場合わけして「0でない状況」というのを作り出し、「0かも知れない状況」は別途ケアしないといけません。
※だから、「そこまでして同値変形にこだわるか」というお話になるわけで。
No.16611 - 2012/01/17(Tue) 22:49:21
☆ Re: / 悩める人
誤解してしまう所でした。本当にありがとうございます。

次に、話題を変えて
(cos2a-cosa)x=(sin2a-sina)y
かつ
(sin2a-sina)x=-(cos2a-cosa)y
・・・?@（2式あわせて）
⇒
(cos2a-cosa)(sin2a-sina)x=(sin2a-sina)^2y・・?@
かつ
(sin2a-sina)(cos2a-cosa)x=-(cos2a-cosa)^2y・・?A
・・（※←2式合わせて）
以降の話に移りたいと思います。

※⇔{sin2a-sina)^2+(cos2a-cosa)^2}y=0かつ?@

そこで
sin2a=sina=cos2a=cosaとなるようなaを求めてみると
sin2a=sina
⇔a＝π、π/3、5π/3
しかし
sina=cosa
⇔a=π/4,5π/4
sin2a-sina=0かつcos2a-cosa=0となるようなaは存在しない
よってｙ＝０
※⇔ｙ＝０かつ?@
⇔ｙ＝０かつ(sin2a-sina)(cos2a-cosa)x=0

A⇒B（ｙ＝０）を示すという方針で行きましたが、この後、ｘ＝０をどうやって導けばよいのでしょうか？

よろしくお願いします
No.16617 - 2012/01/18(Wed) 21:08:34
☆ Re: / angel
> A⇒B（ｙ＝０）を示すという方針で行きましたが、この後、ｘ＝０をどうやって導けばよいのでしょうか？

二元連立一次方程式を解くときの事を思い出してください。
yの値が求まったら、それを代入して次にxを求めるようなことをやった記憶があると思います。
今回も同じことです。それで同値変形になっています。

後は余談ですが、
> sin2a-sina=0かつcos2a-cosa=0となるようなaは存在しない
今回は、
　α=β=0 ⇔ α^2+β^2=0 ( α,βが実数の場合 )
を利用して、
　(sin2a-sina)^2+(cos2a-cosa)^2≠0
を確認するのがスッキリしています。
※三角比は自乗して足すとかの操作と相性がよいので
No.16620 - 2012/01/18(Wed) 22:54:24
☆ Re: / 悩める人
具体的にはどうしたらよいのでしょうか？
最後の(sin2a-sina)(cos2a-cosa)x=0
(sin2a-sina)(cos2a-cosa)の(sin2a-sina)か(cos2a-cosa)
が０で、ｘ≠０となる場合もあるので、示すべきｘ＝０が示せないのですが。。
No.16625 - 2012/01/19(Thu) 09:09:50
☆ Re: / angel
ああ、ごめんなさい。今度は同値変形でない話でしたね。
最初に
　(cos2a-cosa)x=(sin2a-sina)y　…(i)
　(sin2a-sina)x=-(cos2a-cosa)y　…(ii)
の状態から、
　(i)×(sin2a-sina)-(ii)×(cos2a-cosa)
を計算してy=0を得ているので、今度は逆に
　(i)×(cos2a-cosa)+(ii)×(sin2a-sina)
を計算すれば、x=0が得られます。
No.16629 - 2012/01/19(Thu) 21:28:06
☆ Re: / 悩める人
回等ありがとうございました。やはりｙ＝０を利用してｘ＝０を求めることはできないようですね。

ところで、１６６１１に戻ってしまいますが
１６６１１前半の説明ですが、つまるところ、未知の（0かどうか何も分からない文字）をかける時は一回一回０かどうか確かめないと駄目（（連立方程式など）うかつに文字をかけることはできない）ということなのでしょうか？
No.16644 - 2012/01/21(Sat) 14:31:40
☆ Re: / angel
> やはりｙ＝０を利用してｘ＝０を求めることはできないようですね。
そうですね。掛ける数が0でないことが確定していない場合は、できません。
※もちろん場合わけして0でない状況を分離してしまえば、そこではできますけど。

> つまるところ、未知の（0かどうか何も分からない文字）をかける時は一回一回０かどうか確かめないと駄目

yesともnoとも言えるので難しいところ。
注意をしなければいけないのは確かですが、心がけ次第というところもあって。
というのは、同値変形⇔の繰り返しだけで話を進めるつもりか、そうでないのか、ということ。
もし同値変形でいくのであれば、未知の文字をかけることは同値関係を崩すことになりますから、厳重に注意しなければいけません。
しかし、同値にこだわらないのであれば、必要条件⇒さえ守れていれば良いので、別に注意する必要はなくなります。
※その代わり、最後に十分条件を確実に確かめる

個人的には、後者の方が気が楽ですけど。
※同値が崩れていないかを毎回気にするより、最後に一回だけ十分条件を確認する方が、大体楽。

いやもちろん、同値関係かどうかを見極められた方が実力はつくでしょうから、「気にするな」とは言いません。
ただ、まあ、選択肢は色々ありますので、肩の力をもうちょっと抜いても良いような気はします。
No.16654 - 2012/01/22(Sun) 01:48:23
☆ Re: / 悩める人
回答ありがとうございます。その充分条件を確認する、というのは具体的に言うとかけた文字が０でないことを確認するという意味でいいんでしょうか？

例えば
x^-4x+4=0
の両辺にｘをかけると
x(x-2)^2=0
⇔x=0,2

という風に０という解が増えてしまう事が問題なのですよね？
No.16656 - 2012/01/22(Sun) 09:38:59
☆ Re: / angel
> 具体的に言うとかけた文字が０でないことを確認するという意味でいいんでしょうか？

いいえ。
「0でないことを確認する」のであれば、それは同値変形で進める場合です。
つまり、「0でないなら同値変形のまま進める」「0かもしれない場合は、0の時だけを場合わけして、残りを同値変形で進める」という考え方になります。

悩める人さんが挙げた「x^2-4x+4=0を解く」という例で「十分条件を確認する」のであれば…。

まず、最終的に求めるべきは x^2-4x+4=0⇔x=2 ですね。
だからもし、
　x^2-4x+4=0 ⇒ x(x^2-4x+4)=0 ⇒ x(x-2)^2=0 ⇒ x=0,2
　※一番最初の⇒以外は⇔だけど、気にしなくて良い
　　なぜなら⇔は⇒を兼ねるから
と必要条件を求めたなら、
　x=0⇒x^2-4x+4=0 は不成立
　x=2⇒x^2-4x+4=0 は成立
　よって、x^2-4x+4=0⇔x=2
とするのが「十分条件を確かめる」です。
この「十分条件を確かめる」というのは、特に軌跡の問題(やったことありますよね?)なんかで良く出てくる話ですが、色々な場面で使えます。
No.16661 - 2012/01/22(Sun) 11:59:38
☆ 今回の問題の一般形 / angel
今回の問題をちょっと整理しておきましょう。

一般形は、
　ad-bc≠0 という前提で、次の連立一次方程式の解はx=y=0のみである
　　ax+by=0
　　cx+dy=0
になります。
※今回の問題では、ad-bc≠0という条件 ( (cos2a-cosa)^2+(sin2a-sina)^2≠0 に相当 ) は実は見えていなくて、自分で確かめないといけないですが

これを同値変形主体でいくなら、a,b,c,dが0かどうか分からないため、0の場合を場合わけして、そこは別途考えることになります。
※今回の問題では、a=d, b=-c になるので実質2種類しか値がなく、場合わけもそれほど大変ではありませんが

では、必要条件と十分条件に分離して考えるなら、
・必要条件
　ax+by=0かつcx+dy=0
　⇒ c(ax+by)-a(cx+dy)=0 かつ d(ax+by)-b(cx+dy)=0
　⇒ -(ad-bc)y=0 かつ (ad-bc)x=0
　⇒ x=y=0 (∵ad-bc≠0という前提のため)
・十分条件
　x=y=0 ⇒ ax+by=0かつcx+dy=0
　※明らかに成立
・結論
　よって、ax+by=0かつcx+dy=0⇔x=y=0

という感じになります。同値変形いらないので、「0かどうか」を気にする必要はありません。
なお、こういう風に解答を書かなければいけない、ということではなく、こういう流れで考えていることになるという、道筋だと思ってください。
No.16662 - 2012/01/22(Sun) 12:19:30
★ 積分定数 / まゆ
教科書では、積分定数の記号にＣを使うけど、他のアルファベットでもいいのですか？？
No.16583 - 2012/01/15(Sun) 19:51:43
☆ Re: 積分定数 / らすかる
数学的には、使われている文字とかぶらず、「○は積分定数」と
ちゃんと断っていれば、何でもいいです（漢字でも構いません）。
ただし、テストなどで違う記号を使っていると、
手違いなどで×にされる危険性が増えますので、
なるべく大勢が使っている文字を使った方が良いと思います。
No.16584 - 2012/01/15(Sun) 21:53:19
☆ Re: 積分定数 / まゆ
ありがとうございます＞＜
No.16590 - 2012/01/16(Mon) 21:53:32
☆ Re: 積分定数 / Let it be
余談ですがＣはconstantの頭文字からきています、たぶん・・・（笑）定数という意味です
No.16609 - 2012/01/17(Tue) 22:33:50
★ 二重根号以外？ / 悩めるバイト
∠B=15°∠C=30°の三角形ABCがある。辺BC上に∠BAD=90°BE=EDとなるように点D、Eを取る。（AC)/（AD)の値を答えなさい。（日大習志野高校H20後期）という問題なのですが、どうしても二重根号を解くような解法しか思いつきません。中学生が理解できる解法があるでしょうか。（図が描けなくてすみません）
No.16578 - 2012/01/15(Sun) 12:17:59
☆ Re: 二重根号以外？ / ヨッシー
図のような角度になるので、
　ＡＣ／ＡＤ＝(１＋√3)/√2
となります。
No.16581 - 2012/01/15(Sun) 16:49:12
☆ Re: 二重根号以外？ / 悩めるバイト
ヨッシーさんありがとうございました。
こんなことを思いつかないとは情けないです。
No.16586 - 2012/01/16(Mon) 12:30:08
★ 可能でしょうか？ / 職人
対象学年はわかりません。

下の図の条件だけで、「X」を求める事は可能でしょうか？

よろしくお願いします。
No.16571 - 2012/01/15(Sun) 02:12:27
☆ Re: 可能でしょうか？ / らすかる
条件から方程式を立てると
4X^4-8BX^3+4(A^2+B^2-C^2)X^2+4BC^2X+C^4-4A^2C^2=0
という四次方程式になりますので、一応「可能」です。
No.16574 - 2012/01/15(Sun) 04:31:43
☆ Re: 可能でしょうか？ / 職人
早々のご回答有難う御座います。
建築物の配置の仕方なのですがここまで難解だとは･･･
四次方程式なるものをググって計算式までたどり着きましたが、Xの4乗の後ろは「-」なのでしょうか？
解もX1,X2･･･となりやら不明です。
やる気だけではどうにもならないレベルなのでしょうか？
No.16579 - 2012/01/15(Sun) 12:29:41
☆ Re: 可能でしょうか？ / はにゃーん
四次方程式を解くフリーソフトがいくつかあるみたいなので、試してみてはいかがでしょう。
No.16580 - 2012/01/15(Sun) 15:51:03
☆ Re: 可能でしょうか？ / らすかる
数値解を求めれば良いだけでしたら、ニュートン法でも良いかと思います。
S=-2B
T=A^2+B^2-C^2
U=BC^2
V=C^4/4-A^2C^2
X=C√{1+(B/A)^2}
として
X←X-(X^4+SX^3+TX^2+UX+V)/(4X^3+3SX^2+2TX+U)
を何回か計算し、値が変わらなくなったら
その値が答えです。

もちろんフリーソフトが入手できればその方が簡単だと思います。

他に、WEBで計算する方法もあります。
http://www.wolframalpha.com/
で入力欄に方程式を入力すれば、
Real solutions:
の欄に答えが表示されます。
No.16582 - 2012/01/15(Sun) 17:02:34
☆ Re: 可能でしょうか？ / 職人
教えていただいた式の意味を、フェラーリ法、ニュートン法とともに
少しずつ調べていきたいと思います。

ありがとうございました。
No.16585 - 2012/01/16(Mon) 02:07:54
★ (No Subject) / あずみ
次の数列が収束するような実数ｘの値の範囲を求めよ。

(１)[(ｘ/(１＋２ｘ))^n]

(２)[ｘ(ｘ^2−５ｘ＋５)^n-1]


悩んだ末分からなかった問題です。解説と解答をお願いします。
No.16563 - 2012/01/14(Sat) 02:10:06
☆ Re: / X
(1)
題意から
-1＜x/(1+2x)＜1
これを解くと…。

(2)
題意から
-1＜x^2-5x+5＜1
これを解くと…。
No.16566 - 2012/01/14(Sat) 21:04:00
☆ Re: / Halt0
正しくは
(1) -1＜x/(1+2x)≦1
(2)-1＜x^2-5x+5)≦1
だと思います. (lim_[n→∞] 1^n=1 で収束するので)
とにかく、この方程式を解けば OK です.
No.16572 - 2012/01/15(Sun) 02:52:32
☆ Re: / angel
(2)については x=0 の場合も忘れないでください。
つまり、a[n]=a・r^(n-1) という、まあ等比数列に対して、
a=0 であれば、全項 a[n]=0 となりますから、これも収束です。
a≠0 の場合は、他の方の説明にあるとおり -1＜r≦1 の時が収束です。
No.16576 - 2012/01/15(Sun) 10:41:20
☆ Re: / X
>>Halt0さん、angelさんへ
ご指摘ありがとうございます。
>>あずみさんへ
ごめんなさい。上記のお二人の仰るとおりです。
No.16587 - 2012/01/16(Mon) 18:51:14
★ 角度の問題です。 / ポテチ
三角形 ABC の∠B、∠C の二等分線がそれぞれ AC, AB と交わる点を各々 D,Eとするとき∠ABC:∠BDE:∠CED=2:3:4であるという.∠Aは 何度か.

よろしくお願いします。
No.16561 - 2012/01/13(Fri) 10:35:41
☆ Re: 角度の問題です。 / らすかる
問題が正しければ、角度は定まらないと思います。
No.16562 - 2012/01/13(Fri) 20:37:16
☆ Re: 角度の問題です。 / ポテチ
そうなんですか？(>_<)

この問題、過去に数学オリンピックに出題されている問題なのですが…定まらないという答え方もありなんですかね？ヽ(´o｀；
No.16564 - 2012/01/14(Sat) 11:39:19
☆ Re: 角度の問題です。 / らすかる
ごめんなさい、私が条件を見落としていました。
ちゃんと定まります。
∠A=40°になると思いますが、理由はちょっと考えます。
No.16565 - 2012/01/14(Sat) 15:42:11
☆ Re: 角度の問題です。 / angel
∠A=40°で正解のようです。
これっていつの問題でしょう？ 年度等わかれば、図書館で問題集を探して解説を読むこともできると思いますよ。
ちなみに、形を整理してみると∠A=40°以外にきれいな数字が見つからないので、もし1次予選だったら検証せずに取り敢えず答だけ書きそうな所です。

さて。答のウラを取るには結構計算が必要 ( な方法しか思いつかなかった ) ですが、取っ掛かりは補助線と二等辺三角形ですかね。
Dを通りABに平行な直線を引くと、B,Dを含んだひし形を作ることができます。そこから更に2種類の二等辺三角形が見つかります。で角度や長さを整理し、最終的に正弦定理に持っていくことができます。
ちなみに、BDとCEの交点は内心になるのですが、今回その点は無視した方がすっきりしそうに思います。
No.16567 - 2012/01/14(Sat) 22:51:53
☆ Re: 角度の問題です。 / angel
図にしてみました。
図中、丸付数字で描いているのは、角度の大きさ(比率)です。
丸2だったら2θ、丸4だったら4θのように大きさを表してます。で、答えとしては丸1個分が10°になるわけで、それ以外にきれいな数値を思いつかないのです。

さてこの図は、問題文にある角度の比を満たすようにし、ひし形を中心にして描いたものです。二等辺三角形が2種類できているのが分かるでしょうか。
ひし形の1辺の長さを元に、これら二等辺三角形の辺の長さを表すことができ、更に△CRP∽△CEB (∵PDとBQは平行) からCRの長さも分かります。
最後に、CEが∠Cの二等分線であることから、△CDRにおける正弦定理から、三角比の方程式が立ちます。
項がたくさんあって面倒ですが、積和・和積を使ってまとめていくと、最終的に cos9θ=0 より θ=10°となるため、∠A=40°が答になります。
No.16568 - 2012/01/14(Sat) 23:47:57
☆ Re: 角度の問題です。 / ポテチ
ご親切な回答ありがとうございます。

ただ、まだ三角比とか習っていないので
できれば別解を探してみたいのですが…

他に解き方ありますかね＞＜
No.16569 - 2012/01/15(Sun) 01:07:37
☆ Re: 角度の問題です。 / Halt0
Google 検索したところ 1998年 第8回 日本数学オリンピック予選 の9問目のようですね.
気になったので手元の『数学オリンピック辞典』という本で解答を調べてみました. (基礎編 p.212) 以下は引用です(図は省略):

∠ABD=∠DBC=x とおくと,
∠BDE=3x, ∠CED=4x
である. また,
∠AED=∠ABD+∠BDE=4x
である. さらに
∠ACE=∠ECB=∠AEC-∠ABC=6x
となる. BC の延長線の C 側に点 P をとる. 三角形 BCE に注目し, 直線 BD は内角 ∠CBE の二等分線, ED は外角 ∠AEC の二等分線であるから, 点 D は 三角形 BCE の傍心である.
したがって, ∠DCE=∠DCP となり,
∠ECB=∠ACE=∠ACP=60°=6x
が導かれる. したがって x=10° となり, ∠A=40° である. □
No.16573 - 2012/01/15(Sun) 03:45:52
☆ Re: 角度の問題です。 / ポテチ
傍心だとは全く気付きませんでした！
傍心に気がつけばこんなにあっさり解けちゃうんですね＞＜

わざわざ調べてくださってありがとうございます
No.16575 - 2012/01/15(Sun) 08:45:45
☆ Re: 角度の問題です。 / angel
傍心か…! やられた。
No.16577 - 2012/01/15(Sun) 10:42:57
★ 放物線です / ponta28
1)pを正の定数とし点F(0,p)を焦点にもちy＝‐pを準線
とする放物線をＣとするＣ上の点Ｑ（x[0]、y[0]）ただし
x[0]≠０QとFを通る直線をl[1]Qを通り放物線の主軸に平行な直線をl[2]とするこのときQにおけるCの接線lはl[1],l[2]の
なす角を二等分すること示せ

2)放物線y=x^2-2(√２)x+４上の点R(a,b)a>√2
における接線と直線x=aのなす角をθとし０＜θ＜π/2とする
点Rを通り傾きが(1-tan^2θ)/2tanθである直線は
aによらない定点を通ることを示し
その座標を求めよ

2)で解説には(1-tan^2θ)/2tanθ＝1/tan2θ
=tan(π/2-2θ）

だから1)のl[1]にあたると書いてあるのですがそこがよくわかりませんお願いします
No.16557 - 2012/01/12(Thu) 14:35:58
☆ Re: 放物線です / X
(1)でQにおける接線とl[2]のなす角をθとして図を描いてみましょう。
その図に
l[1]とQにおける接線とのなす角
l[1]とx軸とのなす角
を描き入れるとどうでしょうか？。
No.16559 - 2012/01/12(Thu) 15:23:10
★ (No Subject) / jk
F=A￣BC￣+AB￣C￣+ABC￣ ドントケア項ＡＢ

上の式の簡単化をおしえてください

よろしくお願いします
No.16549 - 2012/01/10(Tue) 11:35:28
★ (No Subject) / DIE
添付問題について質問です
No.16543 - 2012/01/10(Tue) 02:36:13
☆ Re: / DIE
この（２）です

私はこのように考えたのですが、どうもうまくいきませんでした。
ここから上手く利用して答えを導く方法はありませんでしょうか？？？？？

どうかよろしくお願いします。
No.16544 - 2012/01/10(Tue) 02:37:37
☆ Re: / ヨッシー
ｎが偶数の時、ａn も偶数になります。
よって、ａ1〜ａ2n の2n個の中には偶数はｎ個あります。
従って、ａ2n〜ａ4n を考えると、
　ａ1〜ａ2n　に偶数はｎ個
　ａ1〜ａ4n　に偶数は２ｎ個
なので、２ｎ−ｎ＋１＝ｎ＋１(個)です。

（上の解答のｎ＝２のときはａ4,ａ6,ａ8 の３個です。）

後半は問題文が切れていて推測になりますが、
ａ2n〜ａ4nの中の偶数の和であるとすると、
初項ａ2n＝６ｎ−２、末項ａ4n＝１２ｎ−２、項数ｎ＋１なので、
　(ｎ＋１){(６ｎ−２)＋(１２ｎ−２)}／２＝(ｎ＋１)(１８ｎ−４)／２
　＝９ｎ^2＋７ｎ−２
となります。
No.16547 - 2012/01/10(Tue) 06:15:53
☆ Re: / DIE
よくわかりましたありがとうございました！！
No.16560 - 2012/01/12(Thu) 20:03:24
★ 平面図形・面積の問題です。しつこいようですがお願いします。 / 少年
「数学大好き少年」は、名前を「少年」に変えました。
一辺の長さがkの正n角形(nは整数)の面積を求める公式は存在しますか?
No.16535 - 2012/01/09(Mon) 21:06:07
☆ Re: 平面図形・面積の問題です。しつこいようですがお願いします。 / X
ありますが、小５ではその公式の意味が理解できないと
思います。
少年さんは三角関数は既に学習されていますか？。
No.16537 - 2012/01/09(Mon) 21:14:49
☆ Re: 平面図形・面積の問題です。しつこいようですがお願いします。 / 少年
sincostanのグラフと、加法定理と、ラジアンはなんとか・・・
No.16550 - 2012/01/10(Tue) 19:04:59
☆ Re: 平面図形・面積の問題です。しつこいようですがお願いします。 / ヨッシー
sin,cos,tan のグラフも重要ですが、その意味（定義）を
押さえておきましょう。

下の図において、
　sinθ＝b/a, cosθ＝c/a, tanθ＝b/c
変形して、
　b＝a×sinθ, c＝a×cosθ, （b＝c×tanθ）
特にａ＝１のとき
　b＝sinθ, c=cosθ
となります。
No.16553 - 2012/01/10(Tue) 23:50:40
☆ Re: 平面図形・面積の問題です。しつこいようですがお願いします。 / ヨッシー
図の正ｎ角形から切り取った、全体の1/n の面積を持つ
二等辺三角形を考えます。

図において●は180°/n です。

△ＡＣＯにおいて、sin●＝ＡＣ/ＡＯ であるので、
　ＡＯ＝(k/2)÷sin(180°/n)
となります。さらに、△ＡＢＤにおいて　cos●＝ＡＤ/ＡＢ であるので、
　ＡＤ＝ＡＢ×cos(180°/ｎ)
　　＝k×cos(180°/ｎ)
となります。

すると、△ＡＢＯ の面積は
　ＢＯ×ＡＤ÷２＝ＡＯ×ＡＤ÷２
　　＝(k/2)÷sin(180°/n)×k×cos(180°/ｎ)÷２
　　＝(k^2/4)×cos(180°/ｎ)÷sin(180°/n)
ここで
　tanθ＝sinθ÷cosθ
という公式を使うと
　△ＡＢＯ＝(k^2/4)÷tan(180°/n)
と書けます。

これがｎ個集まったのが、正ｎ角形ですから、その面積は
　ｎ×(k^2/4)÷tan(180°/ｎ)
と書けます。
No.16554 - 2012/01/11(Wed) 05:46:14
☆ Re: 平面図形・面積の問題です。しつこいようですがお願いします。 / 数学大好き少年
Xさん、ヨッシーさん、ありがとうございました。
特に、ヨッシーさんの図と説明は、ものすごく分かりやすかったです。
今後もよろしくお願いします。
No.16555 - 2012/01/11(Wed) 20:47:30
★ 突然気になりました。 / 数学大好き少年
先ほどの問題の次数が3の場合、どうなりますか？（すいません他人ばかり頼って）
No.16534 - 2012/01/09(Mon) 20:33:31
☆ Re: 突然気になりました。 / らすかる
「先ほどの問題の次数が3の場合」とは、
n^3と(n+1)^3で構成数字が同じになるもの、という意味でしょうか。
それでしたら、ありません。
No.16546 - 2012/01/10(Tue) 04:43:59
☆ Re: 突然気になりました。 / 少年
そうだったんですか。ありがとうございます。
No.16551 - 2012/01/10(Tue) 19:09:38
★ (No Subject) / 数学大好き少年
いいえ、逆には使わないで下さい。
それと追加ですが規則性があればそれも教えてください。あと、明日から学校があるのでぼくが返答できる時間は限られてしまいますｽｲﾏｾﾝ　
No.16529 - 2012/01/09(Mon) 18:35:18
☆ Re: / らすかる
元の記事の「返信」をクリックして書きましょう。
No.16531 - 2012/01/09(Mon) 18:40:00
☆ Re: / 数学大好き少年
らすかるさん、大変ありがとうございました。それと、返信をクリックできてませんでした。すいませんでした。
No.16533 - 2012/01/09(Mon) 19:00:46
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