ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / オン太朗

-2≦x≦2の範囲で、関数
f(x)=x^2＋2x-2 g(x)=-x^2＋2x＋a＋1
について、次の命題が成り立つようなaの値の範囲をそれぞれ求めよ。
(1)すべてのxに対してf(x)(2)あるxに対してf(x)<g(x)
(3)ある組x1,x1に対してf(x1)<g(x2)

(1)は解答にh(x)=g(x)-f(x)とおくと
h(x)=-2x^2＋a＋3
求める条件は-2≦x≦2において、つねにh(x)>0となることでh(±2)>0よってa>5
これは理解できます。
ですが(2)の解答は-2≦x≦2において、h(x)>0をみたすxが存在することでh(0)>0
a＋3>0
a>-3
とあります。
これは図を描いてみると分かるとおもうのですが
(1)と同じ場合も単純にa＋3>0とするだけではありえますよね？
だから問題文の条件「あるxに対してf(x)(1)の-3<a<5とすべきなんじゃないかと思ったのですがどうなんでしょうか？
a>-3だと(1)のa>5を満たすaの値も含まれておりそれらはすべて(1)の条件を満たすaなので
(2)ではそのようなaを含んではいけないように思うのですが。。
また、(3)について解答には「f(x)の最小値<g(x)の最大値となればよい」とあるのですが、問題文にあるx1とx2はx1≠x2と考えてよいのでしょうか？
x1=x2のときも含めるならば、f(x1)<g(x2)とならない場合があるとおもうのですがどうなんでしょうか。
文系で数学は超がつくほど苦手科目です。
誰か分かる方教えてください。お願いします＞＜

No.17167 - 2012/03/12(Mon) 15:59:59

☆ Re: / ヨッシー

まず、上の記事を書き直しておきますね。
これは、半角の＜を使うと、その直後に来る文字によっては、
制御文字と見なされて、起こります。

上の記事はこう書いています。

-2≦x≦2の範囲で、関数
f(x)=x^2＋2x-2 g(x)=-x^2＋2x＋a＋1
について、次の命題が成り立つようなaの値の範囲をそれぞれ求めよ。
(1)すべてのxに対してf(x)＜g(x)
(2)あるxに対してf(x)＜g(x)
(3)ある組x1,x2に対してf(x1)＜g(x2)

(1)は解答にh(x)=g(x)-f(x)とおくと
h(x)=-2x^2＋a＋3
求める条件は-2≦x≦2において、つねにh(x)＞0となることでh(±2)＞0よってa＞5
これは理解できます。
ですが(2)の解答は-2≦x≦2において、h(x)＞0をみたすxが存在することでh(0)＞0
a＋3＞0
a＞-3
とあります。
これは図を描いてみると分かるとおもうのですが
(1)と同じ場合も単純にa＋3＞0とするだけではありえますよね？
だから問題文の条件「あるxに対してf(x)＜g(x)」を満たすためには
(1)の-3＜a＜5とすべきなんじゃないかと思ったのですがどうなんでしょうか？
a＞-3だと(1)のa＞5を満たすaの値も含まれておりそれらはすべて(1)の条件を満たすaなので
(2)ではそのようなaを含んではいけないように思うのですが。。
また、(3)について解答には「f(x)の最小値＜g(x)の最大値となればよい」とあるのですが、問題文にあるx1とx2はx1≠x2と考えてよいのでしょうか？
x1=x2のときも含めるならば、f(x1)＜g(x2)とならない場合があるとおもうのですがどうなんでしょうか。
文系で数学は超がつくほど苦手科目です。
誰か分かる方教えてください。お願いします＞＜

No.17168 - 2012/03/12(Mon) 20:04:22

☆ Re: / ヨッシー

(2) あるｘは、すべてのｘを否定するものではありません。
「あるｘについて成り立つ」とは「全く成り立たないわけではない」
または「１カ所でも成り立てばＯＫ」であって「成り立たないときもある」ではありません。
よって、ａ＞５も含みます。

(3) も同じで、「ある組x1,x2に対して」は「１カ所(１組)でも成り立てばよい」
であって、「成り立たないときがあってはいけない」ではありません。
よって、x1＝x2 の場合も、考えに入れてもよろしいです。

No.17169 - 2012/03/12(Mon) 20:14:22

☆ Re: / ヨッシー

グラフで描くと、図のような位置関係になります。
y=g(x) （上に凸のグラフ）が、図の位置より上にあるのが
求められる状態です。

No.17171 - 2012/03/12(Mon) 20:48:32

☆ Re: / オン太朗

補足ですみません。
(2)についてa-5≦0であるときも一部h(x)>0を満たすxが存在しますが
a-3>0のときとどう違うのかわかりません。
考え方次第でa-5≦0としてしまいそうなのですが。。。
よかったらこの点にもお答えお願いします＞＜

No.17172 - 2012/03/13(Tue) 02:48:00

☆ Re: / オン太朗

a-5≦0のときでたとえばa-5=0ならば
y=h(x)の2解は-2,2でx軸と交わる。
x=-2,2ではともにh(x)=0となりh(x)>0は成り立たないが
-20が成り立っている。
これより、あるxについてh(x)>0は成り立っているといえる
と思ったのですがこれじゃだめなんでしょうか？

No.17173 - 2012/03/13(Tue) 02:55:16

☆ Re: / ヨッシー

まず、17173 の記事を訂正しておきます。
< ではなく＜を使うようにしてください。

a-5≦0のときでたとえばa-5=0ならば
y=h(x)の2解は-2,2でx軸と交わる。
x=-2,2ではともにh(x)=0となりh(x)＞0は成り立たないが
-2＜x＜2ではh(x)＞0が成り立っている。
これより、あるxについてh(x)＞0は成り立っているといえる
と思ったのですがこれじゃだめなんでしょうか？

No.17174 - 2012/03/13(Tue) 07:04:27

☆ Re: / ヨッシー

No.17172 の回答
a-5≦0(つまり a≦5)であっても、たとえば、a=3, a=1 のように、
a+3＞0(つまり a＞-3)であれば、あるｘで　h(x)＞0 は成り立ちます。
それはあくまでも、 a＞-3 だからであって、a がもっと小さい
a=-5 などになれば、h(x)＞0 は成り立ちません。

まとめると、-2≦x≦2 であるｘについて、
ａ＞５：すべてのｘについて　h(x)＞０が成り立つ。もちろん、あるｘについても　h(x)＞０が成り立つ。
-3＜a≦5：すべてのｘについては h(x)＞は成り立たないが、あるｘについては h(x)＞０が成り立つ。
ａ＜-3：すべてのｘについて h(x)＞０は成り立たない。
となります。

あるｘについて成り立つか成り立たないかの境目は、ａ＝－３であって、
ａ＝５のところは、関係ありません。

No.17176 - 2012/03/13(Tue) 10:40:11

☆ Re: / ヨッシー

No.17173 の回答
>x=-2,2ではともにh(x)=0となりh(x)＞0は成り立たないが
>-2＜x＜2ではh(x)＞0が成り立っている。
>これより、あるxについてh(x)＞0は成り立っているといえる
それで正しいです。

どうも、「『すべてのｘについて成り立つ』は『あるｘについて成り立つ』ではない」
と思われている節がありますが、そこを改めてもらわないと、
この手の疑問が絶えませんので、今一度確認して下さい。

No.17177 - 2012/03/13(Tue) 10:47:26

☆ Re: / オン太朗

回答ありがとうございます。
つまり、「あるxについてh(x)＞０」が成り立つとは
「すべてのxについてh(x)＞０」が成り立つ場合も含んでいるということでしょうか？

No.17180 - 2012/03/14(Wed) 03:16:48

☆ Re: / ヨッシー

そういうことです。

上で書いた「あるｘは、すべてのｘを否定するものではありません」も
つまりはそういうことです。

No.17182 - 2012/03/14(Wed) 06:10:10

★ 関数 / yuku

中3(新高1)のものです。
宿題がでたのですが、一部まったく手のつけられない問題がありましたので質問させてただきます。

２次関数y=ax^2・・・・?@のグラフは
点A(4,2)を通っている。
y軸上に点BをAB=OB(Oは原点)となるようにとる

(1)(2)(3)ともわかりませんでした。

a=(1/8)x^2だということがわかっただけです・・・・。
お願いします。

No.17163 - 2012/03/12(Mon) 09:40:42

☆ Re: 関数 / ヨッシー

(1)ＡＢ＝ＯＢなので、△ＡＢＯは二等辺三角形であり、
ＡＯの中点(2,1) とＢを結んだ直線は、ＡＯと垂直になります。
そこで、(2,1) を通って、ＡＯと垂直な直線の式を出して、
その直線とｙ軸との交点（ｙ切片）を求めます。
(2) (1) で求めた直線が、∠ＯＢＡの二等分線です。

(3) ＯＣ＝ＡＣなので、点Ｃも、(2) で求めた直線上にあります。
それと、ｙ＝x^2/8 との交点が、Ｃなので、直線と、y=x^2/8 を
連立させｙを消去すると、ｘの２次方程式になります。
ｘをｔに置き換えたものが、求める方程式で、あとはそれを解くだけです。

No.17164 - 2012/03/12(Mon) 11:01:32

☆ Re: 関数 / yuku

各設問の解説はよくわかりました。

⇒(2,1) を通って、ＡＯと垂直な直線の式を出す。
ここでつまずいてしまいました。
わかる数字が少なくて、直線B-OA中点の式が出せません。

No.17165 - 2012/03/12(Mon) 13:21:58

☆ Re: 関数 / ヨッシー

この図が掛ければ、もう少しですね。
手順は、
(1) ＯＡの傾きを求める。
(2) y=ax+b, y=cx+d ２つの直線が直交⇔ac=-1 から、
　直線B-OA中点の直線の傾きを求める。
(3) (2) で求めた傾きを持つ直線で、(2,1) を通る直線の式を求める。
です。

No.17166 - 2012/03/12(Mon) 13:50:08

☆ Re: 関数 / yuku

返信遅れました。
直交だということから発展できなかったみたいで
ツマヅいていたみたいです。

すべて解けました。ありがとうございました！

No.17175 - 2012/03/13(Tue) 09:19:36

★ 漸化式 / レアル

高校２年です。
２２７番の問題ですが、解き方がわかりません。
答えは、
(1)ァ　－２　　イ　２ an=-2n+3

(2)ウ　－２　　エ　２　 an=-2n+3 *nはn乗です。
よろしくお願いします。

No.17156 - 2012/03/10(Sat) 20:40:16

☆ Re: 漸化式 / ヨッシー

(1)
「導き」の部分は、
　a(n+1)＝2an－3
の両辺から３を引いて、右辺を２でくくるだけです。
{an－3} が、と書いてあるので、とりあえず、
　a1－3, a2－3, a3－3, a4－3, ・・・
を求めてみましょう。どんな数列になりますか？

(2)
「導き」の部分は、
　a(n+1)＝2an－3
　a(n+2)＝2a(n+1)－3
下の式から、上の式を引くだけです。
{an} の階差数列が、と書いてあるので、
　bn＝a(n+1)－an
とおいて、
　b1,b2,b3,b4,・・・
を求めてみましょう。どんな数列になりますか？

No.17157 - 2012/03/10(Sat) 21:24:10

☆ Re: 漸化式 / レアル

(1)an+1=2n-3の式からα=2α-3という式を引いてでてきた　　　an+1-3=2(an－3)のan-3をbとおいて計算するという方法　　で習いましたが、αの置き方がわかりません。
　　すみませんが、解りやすく教えてください。よろしくお　　願いします。

No.17158 - 2012/03/10(Sat) 21:59:40

☆ Re: 漸化式 / ヨッシー

それは、何も手がかりが与えられていないときの方法で、
今回の問題は、
「・・・・を導き、」とあるので、その式になるように、
変形していけば良いです。

もし、何も手がかりのない状況で解くならば、こちらをご覧下さい。
または、a(n+1)＝2an－3 が、
　a(n+1)＋α＝2(an＋α)
と変形できたと仮定して、αを求める方法もあります。

No.17159 - 2012/03/10(Sat) 23:03:07

☆ Re: 漸化式 / レアル

ありがとうございます。
最初にヨッシーに教えていただいた方法で求めてみます。

No.17160 - 2012/03/10(Sat) 23:20:13

★ 計算 / 物理

物理の問題なのですが、具体的にどう計算して整理しているのか教えてください

何度試みても合わず、バラバラの答えになってしまいます
この場合に限らず、計算力をつけるコツなども教えてくれるとありがたいです

No.17152 - 2012/03/10(Sat) 13:26:37

☆ Re: 計算 / X

運動量保存の法則とエネルギー保存の法則それぞれから
立てた２つの式が物理さんの立てたそれと合わない
ということでしょうか？。
それともその２つの式から導き出した、添付されている図の
一番最下段の式の形が異なっているのでしょうか？
いずれにしても、「合わない」という物理さんの計算過程を
アップして下さい。

No.17153 - 2012/03/10(Sat) 14:14:04

☆ Re: 計算 / 物理

>運動量保存の法則とエネルギー保存の法則それぞれから
>立てた２つの式が物理さんの立てたそれと合わない
>ということでしょうか？。
>それともその２つの式から導き出した、添付されている図の
>一番最下段の式の形が異なっているのでしょうか？

後者です

No.17154 - 2012/03/10(Sat) 14:56:15

☆ Re: 計算 / X

７行目の左辺の二番目の()の外のuが抜けてますが、これは
()内が相殺されるのでこの間違い箇所はこれ以降の計算に
影響を及ぼしていません。
ですが、次の８行目が問題です。
左辺の一つ目の{}の中ですが
>>(1/2)m(m+M)+(m^2){(cosθ)^2-(cosθ)^2}
ではなくて
(1/2)m(m+M)+(m^2){(1/2)(cosθ)^2-(cosθ)^2}
です。

それと計算過程で気になった点ですが、７行目から８行目で
分母となっているm+Mを払っている点です。
分母を払う方針を採るなら、もう少し徹底して1/2も
払ってみましょう。

No.17155 - 2012/03/10(Sat) 15:57:50

★ ｎの範囲 / ｊｊとむそん

2以上の自然数ｎに対してfn(x)=(x^n/n!)e^(-x)(x≧０）とおくとき次の問いに答えよ。
In=∫(0～1)fn(x)dxをｎを用いて表せ

略解
In=I2-1/eΣ(k=3～n)1/k!(n≧３）より

In=１－５/2e-1/eΣ(k=3～n)1/k!(n≧３)・・答え
とあるのですが
問題文にｎ≧２と書かれているのになぜｎ≧３
で答えにして良いのか分かりません。
誤植なら「誤植」と教えてください。

よろしくお願いします

No.17143 - 2012/03/09(Fri) 14:44:29

☆ Re: ｎの範囲 / ヨッシー

n=2 のときの値、つまり I2 は別に求めてあって、
n≧3 の整数については、その I2 になにがしかを足した式として、
表すことが出来る
ということなので、誤植ではありません。

No.17144 - 2012/03/09(Fri) 16:45:41

☆ Re: ｎの範囲 / ｊｊとむそん

ありがとうございます。

確かにIn=１－５/2e-1/eΣ(k=3～n)1/k!(n≧３)が正しい事を表していますが、このInの式にはｎ＝２が代入できないですよね。問題文ではｎ≧２とあるので

数列anの一般項を求めよ、でan=1(n=1),2n-2(n=２．３．４．・・）と答えるように、

今回もｎ＝２の場合は別途に書かなくてはならないと思うのですが（ｎ≧２で定義されているのにｎ≧３のときのIｎしか答えていないということが気になっています）

よろしくおねがいします

No.17150 - 2012/03/09(Fri) 21:31:33

☆ Re: ｎの範囲 / ヨッシー

なるほど。I2 が独立して書いていないのですね。
確かに書いた方が良いですね。

で、ここからは解釈ですが、
Σ(k=3～2) という場合を、「何も足さない」と定義すれば
この式は正しいと言えます。
数学上のΣの定義ではどうなのか知りませんが、
プログラムではよく使います。

No.17151 - 2012/03/09(Fri) 22:40:54

★ 高校数学 / カロリ。

数学的帰納法の問題がわかりません

y軸上に下から順に点A0,A1,・・・、曲線y=x^2上のxが正の部分に点B1,B2、・・・があり点A0は原点で、n=1,2,・・・に対して、3点An-1、An、Bnは正三角形となる。
(1)点B1の座標を求めよ
(2)点B2の座標を求めよ
(3)点Anの座標が(0 、n(n＋1)/3)であることを数学的帰納法により証明せよ。

(1)はB1(√3/3、1/3) (2)はB2(2√3/3、4/3)となったのですが合っているのでしょうか？
答がないため分かりません。
また、(3)は(1)(2)の答が正しいとすれば(1)(2)よりn=1 n=2のとき成立しているので証明する必要ないんじゃないかと思ったんですが答がないので証明するならどのように書いていけばよいのかわかりません。
最初にn = 1のときに成立することを示して
次に、n=k のとき成立するとしたときに、n=k+1でも成立することを示す。
つまり、n=k のとき、Ak (0,k(k+1)/3) と仮定し、
そこから Bk+1 の座標 ( (k+1)/√3, (k+1)^2/3 ) と Ak+1 の座標 (0, (k+1)(k+2)/3) を求めて、Ak+1でも成立することを示す。とあるのですがよくわかりません。
数学的帰納法はかなり苦手な分野なので誰か分かる方教えてください。お願いします。

No.17138 - 2012/03/07(Wed) 00:55:18

☆ Re: 高校数学 / カロリ。

補足です
「Bk+1 の座標 ( (k+1)/√3, (k+1)^2/3 )」とありますがこれは(1)(2)で求めたB1の座標から一般化したのでしょうか？

No.17139 - 2012/03/07(Wed) 01:29:53

☆ Re: 高校数学 / シャロン

> また、(3)は(1)(2)の答が正しいとすれば(1)(2)よりn=1 n=2のとき成立しているので証明する必要ないんじゃないかと思ったんですが

誤りです。

例えば、
【(n-1)(n-2)=0という式は、n=1、2のとき成立しているので、すべての自然数で成り立つ。】
とはいえませんね。

>そこから Bk+1 の座標 ( (k+1)/√3, (k+1)^2/3 ) と Ak+1 の座標 (0, (k+1)(k+2)/3) を求めて、Ak+1でも成立することを示す。とあるのですがよくわかりません。

求められたA[k+1]の座標が、仮定したA[n]の座標にn=k+1を代入したものになっていれば、仮定がn=k+1でも成り立つということになりますね。

No.17140 - 2012/03/07(Wed) 06:37:37

☆ Re: 高校数学 / ヨッシー

証明の手順は、ヒントに書かれているように、
>n = 1のときに成立することを示して
>n=k のとき、Ak (0,k(k+1)/3) と仮定し、そこから
>Bk+1 の座標 ( (k+1)/√3, (k+1)^2/3 ) と
>Ak+1 の座標 (0, (k+1)(k+2)/3) を求めて、
>Ak+1でも成立することを示す。
なので、
A1＝(0, 2/3) ・・・B2 を調べる過程で A1 を調べているはずなので、これは良いでしょう。
Ak (0,k(k+1)/3) と仮定する。
この点から、ｘ軸と30°をなす直線を引き、y=x^2 とｘ＞０の
位置で交わるところが、B(k+1) で、 ( (k+1)/√3, (k+1)^2/3 ) に
なるのでしょう。
そして、Ak と B(k+1) の長さを調べて、その長さ分だけ、Ak から
上(y軸方向)に進んだ点がA(k+1) です。
これが、 (0, (k+1)(k+2)/3) になったら、この証明は終わりです。

と書いても、数学的帰納法が何たるかを理解していないと、キョトンとしているかも知れませんね。

数学的帰納法を使う状況は以下の通りです。
自然数ｎについて、成り立つ式を求めたい問題があります。
ｎ＝１のときの値はわかっています。
ｎとｎ＋１との関係式(漸化式)もわかっています。
求めたい式も、ｎ＝１，２，３あたりを調べて、
大体予測はつくけれども、すべての自然数ｎについて成り立つかは証明しないといけない。
この証明に、数学的帰納法を使います。

数学的帰納法の仕組は以下の通りです。
予測した式（Ａとします)（上の問題では「点Anの座標が(0 、n(n＋1)/3)であること」です）が、
ｎ＝１について成り立つことを確認。　・・・(a)
Ａがｎ＝ｋのとき成り立つと仮定して、そのときに、ｎ＝ｋ＋１
のときにも、Ａが成り立つことを示す。　・・・(b)
です。
上の問題で、Ａがｎ＝ｋのとき成り立つと仮定とは、
　点Akの座標が(0 、k(k＋1)/3)であると仮定すること
です。そして、n=k+1 のときにも、Ａが成り立つとは、
　点A(k+1)の座標が(0 、(k+1)(k+2)/3)であることを導くことです。

なぜ、これですべての自然数について、示したことになるかというと、
n=1 の時に成り立つ。これは実際に当てはめるので、事実です。
n=1 のときＡが成り立つことが事実ならば、n=2 のときもＡが成り立ちます。
これは、(b) から言えることです。
これで、n=2 のときＡが成り立つことが事実となります。
n=2 のときＡが成り立つことが事実ならば、n=3 のときもＡが成り立つことが、やはり(b)から言えます。
よって、n=3 のときＡが成り立つことも事実となります。
n=3 のときＡが成り立つことが事実ならば、n=4 のときも・・・
もう良いですね。
このように、すべての自然数ｎについてＡが成り立つことを、
連鎖的に示すのが、数学的帰納法です。

No.17141 - 2012/03/07(Wed) 10:42:47

☆ Re: 高校数学 / カロリ。

なるほど！
おかげで理解することができました。
この度はどうもありがとうございました。

No.17142 - 2012/03/07(Wed) 14:42:50

★ 高校数学 / wakaba

正の数列a[1],a[2],・・・,a[n]正の数列b[1],b[2],・・・,b[n]について
(1)a[2]/b[2]≦a[1]/b[1]であれば(a[1]＋a[2])/(b[1]＋b[2]) ≦a[1]/b[1]が成立することを証明せよ。
(2)記号max｛a[1]/b[1] , a[2]/b[2] , a[3]/b[3]｝は3つの数a[1]/b[1]、a[2]/b[2]、a[3]/b[3]のなかで最大の数を表すとする。このとき(a[1]＋a[2]＋a[3])/(b[1]＋b[2]＋b[3]) ≦max｛a[1]/b[1]、a[2]/b[2]、a[3]/b[3]｝となることを証明せよ。

a(1)/b(1) を最大とする。
{a(1) + a(2)}/{b(1) + b(2)} ≦ a(1)/b(1) と a(3)/b(3) ≦ a(1)/b(1) については
(1) より
[{a(1) + a(2)} + a(3)]/[{b(1) + b(2)} + b(3)] ≦ a(1)/b(1) より
{a(1) + a(2) + a(3)/{b(1) + b(2) + b(3) ≦ a(1)/b(1)
なので成り立つ。
【 {a(1) + a(2)}/{b(1) + b(2)} ≦ a(1)/b(1) と a(3)/b(3) ≦ a(1)/b(1) については
(1) より
[{a(1) + a(2)} + a(3)]/[{b(1) + b(2)} + b(3)] ≦ a(1)/b】の部分がよくわかりません。
分かる方教えてください。お願いします

No.17126 - 2012/03/06(Tue) 00:00:07

☆ Re: 高校数学 / wakaba

↑は(2)の解答です。書き忘れて申し訳ありませんでした。

No.17127 - 2012/03/06(Tue) 00:00:55

☆ Re: 高校数学 / ヨッシー

{a(1) + a(2)}/{b(1) + b(2)} と a(3)/b(3) の比較において、
{a(1) + a(2)}/{b(1) + b(2)} ≦ a(3)/b(3) ならば
　{a(1) + a(2) + a(3)}/{b(1) + b(2) + b(3)} ≦ a(3)/b(3)
{a(1) + a(2)}/{b(1) + b(2)} ≧ a(3)/b(3) ならば
　{a(1) + a(2) + a(3)}/{b(1) + b(2) + b(3)} ≦ {a(1) + a(2)}/{b(1) + b(2)}
が(1) より導けます。
いずれの右辺も、a(1)/b(1) 以下なので、
　{a(1) + a(2) + a(3)}/{b(1) + b(2) + b(3)} ≦ a(1)/b(1)
が成り立ちます。

と言いたいのだと思われます。
「・・・については」の使い方が良くないですね。

No.17128 - 2012/03/06(Tue) 06:27:43

☆ Re: 高校数学 / wakaba

回答ありがとうございます。
(2)の問題についてなんですが
答には「(1)の結果よりa[1]とa[2]、b[1]とb[2]を入れ替えるとa[1]/b[1]≦a[2]/b[2]のとき(a[1]＋a[2])/(b[1]＋b[2])≦a[2]/b[2]も成り立つ。」とあるのですが
入れ替えるという作業がいまいち釈然としません。
以下a[2]/b[2]＝B a[1]/b[1]＝A　(a1+a2)/(b1+b2)＝☆とします。
最初の正の数列に関して問題では具体的な項の値は示されていないので
自由にB≦Aとなるような数列を選んだり
また、逆にB≧Aとなるような数列を選んだりすることは可能なんでしょうか？
可能ならたしかに(1)の結果を適用してB≦Aならば☆≦A
A≦Bならば☆≦Bと出来ると思います。
またこれらに限った話じゃなく自分が(1)の結果が成り立つように数列を設定すればa[1]とa[3]とかの組み合わせでもいけますよね。
ですがそんな勝手なことをしていいのか不安です。
まだ理解ができていないのでもう少しお付き合いの方よろしくお願いいたします。

No.17130 - 2012/03/06(Tue) 17:56:14

☆ Re: 高校数学 / ヨッシー

一度、解答を全部書きだしてもらえますか？
上の部分だけ読めば、確かに入れ替える意図がわかりませんが、
その後の話の展開で、その意味がわかってくると思いますので。

No.17133 - 2012/03/06(Tue) 18:37:32

☆ Re: 高校数学 / wakaba

「(1)の結果よりa[1]とa[2]、b[1]とb[2]を入れ替えるとa[1]/b[1]≦a[2]/b[2]のとき(a[1]＋a[2])/(b[1]＋b[2])≦a[2]/b[2]・・・?@も成り立つ。
よって(1)と?@より
(a[1]＋a[2])/(b[1]＋b[2])≦max{a[1]/b[1],a[2]/b[2]｝
a[1]＋a[2]=a[4]
b[1]＋b[2]=b[4]とすると、
(a[4]＋a[3])/(b[4]＋b[3])≦max{a[4]/b[4],a[3]/b[3]｝
＝max{(a[1]＋a[2])/(b[1]＋b[2]),a[3]/b[3]｝
≦max{max(a[1]/b[1],a[2]/b[2]),a[3]/b[3]｝
≦max{a[1]/b[1],a[2]/b[2],a[3]/b[3]｝
よって題意は示された。」
とありますが
当方数学が苦手な高校生ですので何度解答を読んでも冒頭の部分が理解できません(泣)

No.17135 - 2012/03/06(Tue) 20:29:36

☆ Re: 高校数学 / ヨッシー

入れ替えるという言い方が大いに誤解を生んでいるようですね。
a[1]/b[1] と a[2]/b[2] があって、
a[1]/b[1]≧a[2]/b[2]　ならば　(a[1]＋a[2])/(b[1]＋b[2])≦a[1]/b[1]　・・・(i)
a[1]/b[1]≦a[2]/b[2]　ならば　(a[1]＋a[2])/(b[1]＋b[2])≦a[2]/b[2]　・・・(ii)
であると言っているだけです。
もちろん、a[1]/b[1]＝a[2]/b[2] でない限り、
これら両方が同時に成り立つことはありません。

で、a[1]/b[1] と a[2]/b[2] とで、どちらが大きいか分からないけれども、
大きい方（正確には小さくない方）は、
(a[1]＋a[2])/(b[1]＋b[2]) より大きい（または等しい）
ということが、上の(i)(ii) から言えます。
この、a[1]/b[1] と a[2]/b[2] とで、大きい方を max{a[1]/b[1],a[2]/b[2]}
と書く約束ですから、
　(a[1]＋a[2])/(b[1]＋b[2])≦max{a[1]/b[1],a[2]/b[2]}
と表せます。

あとの、
>a[1]＋a[2]=a[4]
>b[1]＋b[2]=b[4]とすると、
以降は、式のいじくりだけです。
max{max(a[1]/b[1],a[2]/b[2]),a[3]/b[3]} の所が少しややこしいですが、
言葉で書くと、a[1]/b[1] と a[2]/b[2] とで大きい方と、
a[3]/b[3] とを比べて、より大きい方
という意味ですから、
max{a[1]/b[1],a[2]/b[2],a[3]/b[3]} と同じ意味になります。
ちなみに、一番下の≦は＝ですね。

No.17136 - 2012/03/06(Tue) 21:01:18

★ ★Ａ町とＢ町のグラフの問題 / 夕凪

ヨッシーさん、こんばんは(o^-^o)

いつも丁寧な解説、どうもありがとうございます。

また同じようなグラフの問題で行き詰ったので、よろしくお願い致します。

?@トラックの速さは、２０ｋｍを２４分で進んでるので、
２０÷２４／６０＝５０ｋｍ

?A自転車の速さは、２０分のところで、トラックと太郎がすれ違っていますが、ここの距離を求めればいいのですか？
でも、もしそうだとしても、ここの距離は、どうやって求めればいいのでしょうか？

?B追い越されるっていうのは、トラックの右側の棒線がＡの線と重なるところでしょうか？でも、この距離とか時間は、どうやって求めたらいいのでしょうか？

馬鹿な質問ばかりで、ほんとにすいません(。-人-。) 。

No.17124 - 2012/03/05(Mon) 21:26:09

☆ Re: ★Ａ町とＢ町のグラフの問題 / ヨッシー

(2)
トラックは、24分で20km を進むので、20分のときには、
　20×20/24＝50/3
より、Ａまで、20－50/3＝10/3(km) 手前にいます。
自転車は、この 10/3km を20分掛けて進むので、速さは、
　10/3÷20/60＝10(km/時)

別の考え方をすると、Ａからトラックと自転車がすれ違った
地点までを、トラックは4分、自転車は20分で進むので、
自転車はトラックの1/5 の速さで、
　50÷5＝10(km/時)

(3)
トラックは30分にＡ地点を出発しますが、このとき自転車は
Ａ地点から　10×30/60＝5(km)　の所にいます。
これを、トラックが追いかけるわけですが、１時間に付き
　50－10＝40(km)
ずつ縮まるので、
　5÷40/60＝7.5(分)
最初の30分を足して、37.5分後　となります。

No.17125 - 2012/03/05(Mon) 23:51:35

☆ Re: ★Ａ町とＢ町のグラフの問題 / 夕凪

ヨッシーさん、こんにちわ(o^-^o)

この前は、丁寧な解説どうもありがとうございます(*^.^*)

返信遅くなって、すいません(。-人-。)

申し訳ないのですが、?Aの問題について、もうちょっと質問させて下さい。

ヨッシーさんの解説では、

「トラックは、24分で20km を進むので、20分のときには、
　20×20/24＝50/3
より、Ａまで、20－50/3＝10/3(km) 手前にいます。
自転車は、この 10/3km を20分掛けて進むので、速さは、
　10/3÷20/60＝10(km/時)」
となっています。

トラックは、?@で時速５０ｋｍと求めてるので、５０×２０／６０＝５０／３になる事まで解ります。

でも自転車の速さは、５０／３ｋｍのところで、自転車はトラックとすれ違っています。Ａが出発して２０分ですれ違ってるので、このＡの２０分後が５０／３ｋｍの距離と等しくなると考えて、５０／３÷２０／６０＝５０ｋｍには、ならないのでしょうか？
画像も添付しています。

ほんとになかなか理解しなくて、すいません(。-人-。)

またご回答よろしくお願い致します。

No.17161 - 2012/03/11(Sun) 11:06:51

☆ Re: ★Ａ町とＢ町のグラフの問題 / ヨッシー

50/3km というのは、Ｂからすれ違った地点までの距離であって、
トラックが20分掛けて進んだ距離です。

一方、自転車は残りの10/3km を20分で進んだので、時速10kmです。

No.17162 - 2012/03/11(Sun) 11:55:12

☆ Re: ★Ａ町とＢ町のグラフの問題 / 夕凪

ヨッシーさん、こんばんは(o^-^o) 。

解説どうも有り難うございました(*^.^*)。やっと理解出来ました。

また行き詰ったら、よろしくお願い致します。

No.17170 - 2012/03/12(Mon) 20:39:53

★ cosの連続性？？？ / あーる

曲線ｙ＝sin^nx(0<x<π/2、n=2、３・・)
の変極点の座標を（an,bn)としたときの
の途中式で
lim(ｎ→∞）cosan=0したがってcosの連続性より
lim(ｎ→∞）an=π/2とあるのですが
「cosの連続性」はどういう意味で使われているのでしょうか？0<x<π/2ではcosは連続というのは分かりますがそれがここで一体何の関係があるのか全く分かりません

どなたか分かるかたよろしくおねがいします。

No.17115 - 2012/03/03(Sat) 21:52:31

☆ Re: cosの連続性？？？ / らすかる

lim[n→∞]cosa[n]=0
cos(lim[n→∞]a[n])=0
∴lim[n→∞]a[n]=π/2
としているわけですが、
lim[n→∞]cosa[n] を
cos(lim[n→∞]a[n]) に置き換えられるのは
cosが連続だからです。

No.17118 - 2012/03/04(Sun) 01:29:12

☆ Re: cosの連続性？？？ / あーる

回答有難うございます。
『lim[n→∞]cosa[n] を
cos(lim[n→∞]a[n]) に置き換えられるのは
cosが連続だから』、とあるのですが、これがよくわかりません。

なぜcosが連続だと
lim[n→∞]cosa[n] を
cos(lim[n→∞]a[n]) に置き換えられるのか、
また、連続でなければなぜ置き換えられないのか
教えてください

よろしくおねがいします

No.17120 - 2012/03/04(Sun) 15:47:17

☆ Re: cosの連続性？？？ / angel

あーるさんは高校生でしょうか?
> なぜcosが連続だと
> lim[n→∞]cosa[n] を
> cos(lim[n→∞]a[n]) に置き換えられるのか、
これは高校範囲では説明できません。
そういうものだと思ってください。

ただ、敢えてイメージを言うなら、「影(跡)を見て本体を追うことができる」ような性質が「連続」なのだということになります。
例えば、雪の上に足跡が残っていれば、そこを歩いた人がどこに向かったか、その足跡から推測できますよね? (トリックを使えば別ですが)
それと同じ。今回 cos(a[n]) というのは a[n] の影のようなものなのです。
※なお、異なる x で cosx が同じ値にならない ( 単射 ) という前提が別途必要なのですけどね

> また、連続でなければなぜ置き換えられないのか
「連続」というのが、そういうものだからです。
…というのはなんなので、反例をひとつ。
次のような f(x) (0≦x≦1) を考えてください。

　f(x)=1-x ( xが有理数 )
　　　　x ( xが無理数 )

ちなみに、これは上の※で書いた「単射」を満たし、連続でない関数です。
ここで、
　数列 a[n]：0.79, 0.799, 0.7999, 0.79999, …
　数列 b[n]：√0.039, √0.0399, √0.03999, √0.039999, …
としましょう。lim[n→∞] a[n]=0.8, lim[n→∞] b[n] = 0.2 は良いでしょうか。

では、lim[n→∞] f(a[n]), lim[n→∞] f(b[n]) は…?
実は、これらはいずれも 0.2 に一致するのです。( 計算してみてください )
つまり、lim[n→∞] f(x[n])=0.2 だからといって、lim[n→∞] x[n]=0.2 とは限らない、ということですね。
※そもそも x[n]：a[1],b[2],a[3],b[4],… みたいな数列でも良くて、これは x[n] 自体収束しない。

No.17121 - 2012/03/04(Sun) 16:20:26

☆ Re: cosの連続性？？？ / らすかる

もう一つ別の例
a[n]=1-1/n, f(x)=[x]　（[　]はガウス記号）とすると
lim[n→∞]f(a[n])=0 ですが
f(lim[n→∞]a[n])=1 となり異なりますね。
これはf(x)がx=1で連続でないためです。

No.17122 - 2012/03/05(Mon) 01:01:08

★ 極限値とは / がうちゃん

次の極限値を求めよ
(1)lim(x→∞）log(ax+b)/logx(a,b>0)

解
lim(x→∞）{(log(ax+b)/logx)-1}
=lim(x→∞）{log(a+b/x)/logx}=0より
lim(x→∞）log(ax+b)/logx＝１・・答

合ってるかどうか、不備があればご指摘お願いします
よろしくお願いします

No.17114 - 2012/03/03(Sat) 21:07:16

☆ Re: 極限値とは / シャロン

正しいとおもいます。

No.17116 - 2012/03/03(Sat) 22:24:04

☆ Re: 極限値とは / がうちゃん

an=log(ax+b)/logx),bn=1として
lim(x→∞）(an-bn)=0・・?@
lim(x→∞）an=lim(x→∞）bn・・?A
lim(x→∞）bn＝lim(x→∞）１＝１より
lim(x→∞）an=1・・答え
という流れで答えを出していると思うのですが
lim(x→∞）an、lim(x→∞）bnがそれぞれ収束するという条件がなければ?@から?Aににはできない（lim(x→∞）an、lim(x→∞）bnがそれぞれ収束するという条件の元でしか?@→?Aへとできない）と思うのですが。

No.17117 - 2012/03/04(Sun) 00:40:39

☆ Re: 極限値とは / らすかる

lim[x→∞](a[x]-1)=0 ならば
lim[x→∞]1=1 を加えて
lim[x→∞]((a[x]-1)+1)=0+1=1 なので
lim[x→∞]a[x]=1 です。

No.17119 - 2012/03/04(Sun) 01:39:03

☆ Re: 極限値とは / がうちゃん

回答ありがとうございます。

うまい変形ですね。
lim(x→∞）{(log(ax+b)/logx)-1}＝０・・?@として
lim(x→∞）｛{log(a+b/x)/logx-1}+1＝０＋１＝１
より

lim(x→∞）{log(a+b/x)/logx｝＝１と書かなければ
ちゃんとした解答としてはまずいですか？

No.17129 - 2012/03/06(Tue) 10:15:56

☆ Re: 極限値とは / らすかる

そこまで細かく書く必要はありません。
冒頭の書き方で十分です。

No.17137 - 2012/03/06(Tue) 21:18:31

★ 座標平面 / kare

xy平面上の放物線ｙ＝ｘ＾2とｙ軸まわりに回転してできる回転面の容器がある。ｙ軸の正の向きを鉛直上向きにしてこの
容器に半径r（>0）の球を上からいれるとき、すき間ができるのは、r＞ア　のときで、球の中心のｙ座標はr^2+イ
接点のy座標はr^2-ウ　
（2）すき間の体積を求めよ。

ア～ウに入る数字と（２）をお願いします。

No.17104 - 2012/03/02(Fri) 18:52:01

☆ Re: 座標平面 / ast

対称性から, xy-平面で切ったときの切り口を考えれば十分です. また放物線の対称性と円(球の切り口)の対称性から, 円の(従って球の)中心は放物線y=x^2の対称の軸である y-軸上にありますので, それを Q:(0,q) とします.

隙間ができるのは円と放物線の接点が二つの場合ですが, 対称性からそのうちの第一象限にできる接点を A:(a,a^2) (a > 0) とすると, この接点での円と放物線の共通接線の傾きは 2a で, 円の性質によりこの接線が半径 QA に直交することから, Q は A を通り傾きが -(1/2a) の直線の y-切片であり, 従って q が a の式として表せます. a を 0 に近づければ, q は隙間ができない最大の半径「ア」に近づきます. また QA は円の半径ですから, その長さは r に等しく, このことから a を r で表すことができるので「イ」と「ウ」が出ます.

(2) は同じように xy-平面での切り口で, 円と放物線とy-軸が囲む図形を回転させれば隙間の形になるので, 回転体の体積の公式などを利用して求めます. 回転の軸が y-軸ですから, y-軸方向に積分する必要はありますが, 基本的に定石通り求められるはずです.

No.17110 - 2012/03/03(Sat) 01:59:53

☆ Re: 座標平面 / kare

ありがとうございます。

No.17113 - 2012/03/03(Sat) 16:33:53

★ 下に凸 / 追究する人

C：ｙ＝√（x^2+1)（ｘ≧０）上の点Pと原点Oを結ぶ直線とCが交わるということはないのでしょうか？Cはｙ＝ｘを漸近線にもつ双曲線ですが、Cの上昇の程度によっては交わりそうな気がするのですが。。

よろしくお願いします

No.17100 - 2012/03/02(Fri) 09:25:08

☆ Re: 下に凸 / シャロン

P(1,√2)を考えると、

OP:y=(√2)x

ここで、C上の点(0,1)はOPより上、(2,√5)はOPより下にある(∵√5＜√8=2√2)ので、OPはCと(接するのでなく)交わります。

No.17101 - 2012/03/02(Fri) 12:33:44

☆ Re: 下に凸 / 追究する人

解答有難うございます

質問の仕方が悪かったようです、つまり直線OPとCが２点で交わる事があるのか知りたいということです。

（P(1,√2)に限った話だと
√ｘ＝√（ｘ＾２＋１）⇔ｘ＝１より一点でしか交わらないようですが）

よろしくおねがいします

No.17103 - 2012/03/02(Fri) 18:46:27

☆ Re: 下に凸 / シャロン

ありません。

P(p,√(p^2+1)) (p＞0)とすれば、OP; y=((√(p^2+1))/p)xと表せます。

OPとCの交点のx座標をx(x≧0)とすれば、
((√(p^2+1))/p)x=√（x^2+1)
(1+(1/p^2))x^2=x^2+1
x^2=p^2
x=p (∵x, pは共に非負)
よって、p＞0の場合には、OPとCはPのみを共有します。

また、P(0,1)の場合は明らかにOP; x=0ですので、Pでのみ交わるのは明らかです。

よって、OPとCの共有点は、Pのみです。

>√ｘ＝√（ｘ＾２＋１）⇔ｘ＝１より一点でしか交わらないようですが）

(√2)ｘ＝√（ｘ＾２＋１）ですね？

No.17105 - 2012/03/02(Fri) 18:55:57

☆ Re: 下に凸 / 追究する人

解答有難うございます。

やはりそのように実際に解を求めないと分からないのでしょうか？ｙ＝ｘが漸近線であること、下に凸であること、などを利用して解を求めずに（割と視覚的に？）分かる方法はないのでしょうか？

よろしくお願いします

No.17106 - 2012/03/02(Fri) 20:21:08

☆ Re: 下に凸 / らすかる

「Cは下に凸」と「Cはy≦xと共有点を持たない」は既知とします。
Cが原点を通る傾きが正の直線と2点以上で交わったと仮定して、
そのうちx座標が最大のものをP、次に大きいものをQとします。
Cは下に凸なのでCのPQ間のグラフは直線OPより下にあり、
CのPより右の部分は直線OPより上にあります。
よって直線OPのPより右の部分はy=xより下にあり、矛盾します。

No.17108 - 2012/03/02(Fri) 20:44:26

☆ Re: 下に凸 / 追究する人

解答有難うございます

途中までは分かりましたが、最後の一行よって直線OPのPより右の部分はy=xより下にあり、矛盾というのがちょっと意味が分からないので、より詳しくお願いします。理解力が乏しくてすみません。よろしくお願いします

No.17111 - 2012/03/03(Sat) 15:25:27

☆ Re: 下に凸 / らすかる

CのPより右の部分が直線OPより上にある
→はるか遠くの右では、直線OPはCより下にある
→はるか遠くの右では、直線OPは漸近線より下にあるか漸近線と一致
　（漸近線より上なら、はるか遠くの右ではCより上になるから）
→直線OPははるか遠くの右でy≦xの部分に含まれるから、x＞0でy≦xの部分に含まれる
→よってx＞0でCとの共有点がない
となります。

No.17112 - 2012/03/03(Sat) 16:03:06

★ (No Subject) / シブキ

三角形ＡＢＣにおいて、辺ＢＣの中点をМ、ＡＢ＝a,ＡＣ＝b,∠ＣＡＭ＝２∠ＢＡＭとするとき、次の問いに答えよ。
(１)aの取りうる値の範囲を求めよ。
(２)bをaの式で表せ。
わかりません。どうか解説お願いできますでしょうか。

No.17094 - 2012/03/01(Thu) 22:36:23

☆ Re: / ヨッシー

(2)はともかく、このままでは(1) は、ａ＞０ということに
なってしまいます。

その他の条件はありませんか？

No.17098 - 2012/03/02(Fri) 06:13:44

☆ Re: / シブキ

> 三角形ＡＢＣにおいて、辺ＢＣの中点をМ、ＡＢ＝a,ＡＣ＝1,ＡＭ＝b,∠ＣＡＭ＝２∠ＢＡＭとするとき、次の問いに答えよ。
> (１)aの取りうる値の範囲を求めよ。
> (２)bをaの式で表せ。
> わかりません。どうか解説お願いできますでしょうか。

先ほどの問題文に間違いがあったので訂正しました。

No.17107 - 2012/03/02(Fri) 20:42:48

☆ Re: / ヨッシー

図のような状況になります。
(1)
ＡＭと２本の点線は平行で、間隔は同じです。
●１個をθとすると、ＢＤ＝ＣＥ　より
　ａsinθ＝sin2θ　(０＜θ＜π/３)
sinθ＞０より　ａ＝2cosθ
０＜θ＜π/３の範囲では、　１＜ａ＜２

(2)
ＡＤ＝ａcosθ＝ａ^2/２
ＡＥ＝cos２θ＝２cos^2θ－１＝ａ^2/２－１
よって、ＤＥ＝ＡＤ－ＡＥ＝１
ＭＤ＝ＭＥ＝1/2
ＢＤ＝ａsinθ＝ａ√(１－cos^2θ)＝ａ√(１－ａ^2/４)
よって、△ＢＤＭにおいて、
　ｂ^2＝ＢＤ^2＋ＭＤ^2
　　＝ａ^2(１－ａ^2/４)＋1/4
以下略

No.17109 - 2012/03/03(Sat) 00:26:08

★ (No Subject) / ゾロ

ｘについての次の不等式の解を同値変形により求めよ
x≧√(x+1)
√（x＋1)≧ｘ－１
√(x^2-1)≧√（ｘ－２）
を解くのには『　』を自分で導かなければ解けませんが
『√A≧B⇔A≧０かつ（B<0またはA≧B＾２）
√A≧√B⇔A≧０、B≧０、A≧B』

『　』の導き方を教えてください

よろしくお願いします

No.17093 - 2012/03/01(Thu) 15:50:24

☆ Re: / ast

シャロンさんのNo.17049のご回答は問題ないと思うのですが, それには触れずに再度同内容でスレを立てたのは, 何かご不満があったということでしょうか. まあ前のスレでは不明瞭だったご質問の意図がより明確になった点は評価すべきところかもしれません.

上記の同値変形を「自分で導かなければ解けない」というのは, 少し違和感があります.

不等式を考える時点で, その両辺 (√A や B) が実数であることは暗黙の了解ですが大前提です. また, 平方根 (√A) が実数である時点で, 中身 (A) が非負であることも大前提ですし, 根号の約束として √A は正の実数の方だというのも, やはり大前提としてあります. つまり, √A ≥ B という式が意味を持つ時点で, これは本来的には (A ≥ 0 かつ √A ≥ 0 かつ √A ≥ B) と書いてあるはずのものだということです. 文脈について共通認識があるものとして省略してあるだけです. 省略してあった前提条件も, 議論の途中で必要があれば, その都度明示的に書きますが, それは導き出されたのとは違います.

そういった省略されている前提を除くと, そもそも本問で実質的に考慮すべきことは, "x ≥ 0 かつ y ≥ 0 のとき, x^2 ≥ y^2 ⇔ x ≥ y" という命題くらいで, 問題の設定からしてこの命題は「既知」(というか既習) と考える方が自然なように思われます (つまり, "導く"/"導かない" よりは知ってることに "気付く"/"気付かない" が問題になる場面じゃないのかという「違和感」).

閑話休題, 上記の命題は素直に書けば

(*)　[(x ≥ 0 かつ y ≥ 0) かつ x^2 ≥ y^2] ⇔ [(x ≥ 0 かつ y ≥ 0) かつ x ≥ y]

が成り立つというのを, 共通する "x ≥ 0 かつ y ≥ 0" を前提として切り出して見易い形に書いたものです.

ここで x=√A, y=B として, 最初に書いたいくつかの大前提も (*) の両辺に全部「かつ」で繋げるとほぼ『　』になります. 「ほぼ」というのは y=B が負のときが抜けているからですが, (Bが実数) ⇔ (B ≥ 0 または B < 0) なので, [(X または Y)かつ Z] ⇔ [(X かつ Z)または(Y かつ Z)] であることなどに注意して埋めればよいでしょう.

No.17097 - 2012/03/02(Fri) 04:29:13

☆ 証明 / ゾロ

「A≧√B⇔A≧０、B≧０、A^2≧B」
「√A≧B⇔A≧０かつ（B<0またはA≧B＾２）」
「√A≧√B⇔A≧０、B≧０、A≧B」
の３つの証明法について、最初の１つしか取り上げられなかったので残りの二つを質問させてもらいました。

A,Bは実数とする
√A≧Bの必要十分条件はA≧０かつ（B<0またはA≧B＾２）であることを示せ

√A≧√Bの必要十分条件はA≧０、B≧０、A≧Bであることを示せ。

という問題があります。分かる方、どなたか解答をお願いします。よろしくお願いします。

No.17099 - 2012/03/02(Fri) 09:21:04

☆ Re: / ast

ほぼ繰り返しになりますが, それらはいずれも本質的には
(*)　"x ≥ 0 かつ y ≥ 0 のとき, x^2 ≥ y^2 ⇔ x ≥ y"
という命題の特殊化 (要するに代入するだけで出てくるもの) でしかありませんので, 一つ説明すれば十分な (= 他も同じ論法で分かる) はずです (そのままだと抜けがある部分は前回のレスで指摘しました). この命題は既習のはずですし, 未習だったとしてもその証明はシャロンさんがNo.17049でやったことと同じですから, 少し我慢してこれまでの回答を手を動かしながら読み返して見られることをお勧めします.

また前のレスで「違和感」と書きましたが, 例えば √A ≥ B の場合, 何もかも "⇔" で繋ぐ必要は無くて (「または」は要するに「場合わけ」なので)

　[i] B < 0 のとき; 常に √A ≥ 0 だから, √A ≥ B は常に成り立つ.
　[ii] B ≥ 0 のとき; √A ≥ 0 かつ B ≥ 0 だから, 命題 (*) より √A ≥ B ⇔ A ≥ B^2.
　　[i][ii]をまとめて (√A ≥ B) ⇔ [B < 0 または (B ≥ 0 かつ A ≥ B^2)]
というような解答が自然であるように思われます (「命題 (*) より」の部分は具体的にシャロンさんがやったような解答で置き換えるかもしれませんが).

これでもちゃんと最後には最初の不等式と同値な表現が得られていますし, 最初の x に関する不等式を解けと言われれば, こういう形で解答を作成するほうが普通なように思うのです. なんというか『　』はかなり中途半端な一般化ですし, またやはり「同値変形で解く」という問題文や, 「同値変形を導かなければ」など, 不自然さというか同値変形という言葉に拘りすぎな印象を受けるというか, そのあたり気がかりです.

# 新しくスレッドを建てた理由は分かりましたが,
# 前のスレッドが話の途中で放り出されている状況はよくありません.
# 読んだことや新しいスレを建てる理由がわかるように
#「一つ分かったが未だ分からないことがある」とか
#「ずいぶんスレが下がってしまったから」など
# 一言沿えた上で「新しく書きます」などとして,
# 前のスレッドで話が終わったことを明示するようにした方がよいです.
# また, 新しい方でも, 新しくして続ける趣旨は
# 最初から書いておく方が, どういうことを求めているのかが
# 相手方に伝わって話をしやすくなるので,
# そういった手間をぜひ惜しまないでいただきたい.

No.17102 - 2012/03/02(Fri) 18:39:27