ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 数学　分数式の恒等式 / オン太朗

参考書に
「(x^2＋3x＋5)/{(x＋1)^2(x＋2)｝ =｛(px＋q)/(x＋1)^2｝＋｛r/(x＋2)}・・・ア
が恒等式となるp,q,rを恒等式となる条件「n次式P(x)、Q(x)について異なるn＋1個のxの値に対してP(x)=Q(x)が成立する」・・・?@を用いて求める。
アは分母を0にするxの値であるx=-1,-2以外で成り立つ式であるから
この分母を払ったx^2＋3x＋5＝(px＋q)(x＋2)＋r(x＋1)^2・・・イもx=-1,-2以外で成り立つ式である。
ところが-1,-2以外の実数は無限個あるのでイを成り立たせるxの値は無限個あり、
?@によりイは整式の恒等式となる。整式の恒等式なのでx=-1,-2でも成立する。」とあるのですが
意味がよく分かりません。
自分なりに意味を解釈すると
「イの左辺をＰ(x)右辺をQ(x)とした時異なる3個のxについてＰ(x)=Q(x)が成り立てば恒等式」・・・(A)なので
例えばx=1,2,3(異なる3個)というxの値を代入して「P(1)=Q(1)かつP(2)=Q(2)かつP(3)=Q(3)」・・・?@となってくれれば
(A)よりx=-1,-2を代入してもOKということですよね？
しかしこの問題の場合どうしてx=1,2,3を代入したときにそれぞれ?@となってくれることがわかるのでしょうか？
実際に?@を解くとp,q,rが求まり、これは逆を言えばこの求まったp,q,rの値のときに?@が成り立つということですよね。
こうしたものが見つかればその瞬間任意のxに対してＰ(x)=Q(x)が成り立つという恒等式になるということなんでしょうか？
よく分からないので教えてください。お願いします。

No.17241 - 2012/03/18(Sun) 16:22:33

☆ Re: 数学　分数式の恒等式 / angel

問題の大前提として、「アの等式が恒等式」というのが元々あって、
なおかつ、アが恒等式という条件は、イが恒等式であることと同値であることがわかっているからです。
※そのことを説明しているのが、オン太郎さんの載せた参考書の文章です。

でもって、わざわざ参考書が x=-1,-2 の話をしているのはなぜかというと…。
※別にx=-1,-2のことを気にしなくても、問題は解けるのですが

それは、x=-1,-2 で計算するのが一番楽だからです。
※実際は x の値が3種類要るので、後もうひとつ ( 多分 x=1 が計算しやすい ) 計算することになりますけど

最初から、x=1,2,3 での計算をするのなら、
つまり、「P(1)=Q(1)かつP(2)=Q(2)かつP(3)=Q(3)」を解いてp,q,rを求めるのなら、x=-1,-2のことは気にする必要はありません。
しかし、x=-1,-2での計算をしたいのならば、
　ア…x=-1,-2以外の全てのxで成立する恒等式
　イ…全てのx ( x=-1,-2含む ) で成立する恒等式
と、xの条件が微妙に違いますから、なぜ x=-1,-2 を使って良いのかは知っておく必要があります。
参考書の文章は、そのための解説なのです。

No.17243 - 2012/03/18(Sun) 17:56:05

★ ★量の関係を表すグラフの問題 / 夕凪

ヨッシーさん、こんばんは(o^-^o) 。

いつも丁寧に解説、どうもありがとうございます。

また同じような問題で行き詰ったので、よろしくお願い致します。

?@は、２×X÷２＝６で、BCの長さ　６ｃｍ

?Aのアの数の求め方が解りません(>.<)。グラフからＰＣが２．５cmの時の面積が４．８となっていますが、ここの高さ求めたら、アの数を求めるのと関係がありますか？

どうかヒントか解説をよろしくお願い致します。

No.17231 - 2012/03/17(Sat) 18:11:36

☆ Re: ★量の関係を表すグラフの問題 / はにゃーん

折れ曲がっているのはなぜでしょう？
それはPがCD上にあるときとDA上にあるときで面積の変化率が変わるからです。
よって、折れ曲がるのはPがDにいるときですので、(1)と同様にADを求めれば(ア)=CD+DAより(ア)が求まります。

No.17233 - 2012/03/18(Sun) 00:59:46

☆ Re: ★量の関係を表すグラフの問題 / 夕凪

はにゃーん様、こんばんわ(o^-^o) 。

ご回答どうもありがとうございます。

でも、もうちょっと解らないので、聞いてもいいですか？

PがCD上にある時とDA上にある時で面積の変化率が変わるのは、なんとか解りました。

それで、面積が４．８cm2になるのは、点Pが点Dと重なって三角形ABPになる時ですよね？

２×AD÷２＝４．８　

AD＝４．８cm

これにCDの長さを足したらアの長さになるのは、解ります。

CDの長さは、どうやって求めればいいのですか？

ほんとに頭が悪くて、すいません(。-人-。) 。

宜しければ、またご回答お願い致します。

No.17234 - 2012/03/18(Sun) 02:04:37

☆ Re: ★量の関係を表すグラフの問題 / ヨッシー

グラフから読み取れることをまとめてみましょう。
Ｃからの距離０の時の面積が６→△ＡＢＣの面積が６→ＢＣの長さが６
Ｃからの距離２．５の所でグラフが曲がっている→ＣＤの長さが２．５
Ｃからの距離２．５の時の面積が４．８→△ＡＢＤの面積が４．８→ＡＤの長さが４．８→Ｃ～Ｄ～Ａの距離が７．３・・・(ア)

No.17235 - 2012/03/18(Sun) 02:14:30

☆ Re: ★量の関係を表すグラフの問題 / 夕凪

ヨッシー様、おはようございます(o^-^o)。

丁寧に解説、どうもありがとうございます。

グラフから読み取れる事は、解りました。

同じような事を聞いて申し訳ないのですが、Ｃからの距離２．５の所でグラフが曲がっていたら、ＣＤの長さは、２．５になるのですか？

変化率が変わるというのは、なんとなく解りますが、この感覚がどうも理解出来なくて(゜.゜)。

ほんとになかなか理解しなくて、すいません(。-人-。) 。

No.17236 - 2012/03/18(Sun) 09:54:55

☆ Re: ★量の関係を表すグラフの問題 / ヨッシー

グラフの横軸は点Ｃからの距離であり、それが２．５のところで曲がっています。
折れ曲がるのは、そこで、点ＰがＤを通過したためです。
点Ｐが２．５進んだところで、Ｄを通過したのですから、
ＣからＤまでは２．５です。

No.17237 - 2012/03/18(Sun) 10:24:13

☆ Re: ★量の関係を表すグラフの問題 / ヨッシー

それはそうと、これは何のテキスト(書籍)ですか？

現実にあり得ない図形として、クレームを付けても良いたぐいの
欠陥があります。

No.17238 - 2012/03/18(Sun) 10:31:24

☆ Re: ★量の関係を表すグラフの問題 / らすかる

最初の面積は6.3cm^2じゃないと辻褄が合わないですね。

No.17239 - 2012/03/18(Sun) 10:58:22

☆ Re: ★量の関係を表すグラフの問題 / 夕凪

ヨッシー様　何度も解説どうもありがとうございました(o^-^o) 。
あまり深く考えると、余計に解らなくなりますね（笑）。

折れ曲がるのは、そこで、点ＰがＤを通過した為なのですね。

この問題は、小学生高学年用の「力の５０００題」という問題集の中に載っていました。

こういう図形に欠陥のある問題もあるのですね。そんな事は考えもしなかったです。

解けるようになるように頑張りますので、またよろしくお願い致します(*^.^*)。どうも有難うございました。

それと、らすかる様、図形やっぱり少しおかしいですか？
コメントどうもありがとうございました(o^-^o) 。

No.17240 - 2012/03/18(Sun) 11:57:08

★ 数学分かりません / オン太朗

f(x)=x^4+2x^3+10x^2+(10-2√2)x+23とする。実数αに対して, f(x)をx^2+αで割ったときのあまりを求めよ。このことを用いてf(x)を実数の範囲で因数分解せよ。
余りは(-2α＋10-2√2)x＋(α^2-10α＋23)なので
f(x)=(x^2＋α)(x^2＋2x＋10-α)＋(-2α＋10-2√2)x＋(α^2-10α＋23)とすることができますが
解答には「余りが0に一致すれば因数分解できるので・・・」とあります。確かに余りが０になってくれれば
f(x)はx^2＋αで割り切れてくれるので
f(x)=(x^2＋α)(x^2＋2x＋10-α)の形に因数分解できそうです。
しかし、たとえばf(x)=(x^2＋α)(x^2＋2x＋10-α)＋(-2α＋10-2√2)x＋(α^2-10α＋23)を展開して得られる4次式が
因数分解できる可能性もありそうです。つまり疑問なのは(余り)≠0のときに展開すると因数分解できる4次式がでてくるかもしれないのでは？ということです。
解答ではこの点には一切触れていません。
まだよくわかっていないので誰か教えてください。お願いします。

No.17224 - 2012/03/17(Sat) 10:21:32

☆ Re: 数学分かりません / ヨッシー

>解答ではこの点には一切触れていません。
触れる必要がないからです。

x^2+α というのはx の項がないという特殊な形の２次式で、
すべての２次式をカバーしているわけではありません。
そして、すべての４次式が x^2+α という形の２次式で
割り切れるわけではありません。
よって、この問題のポイントは、
　(-2α＋10-2√2)x＋(α^2-10α＋23)＝０
がｘの恒等式となるαがあるかどうかというところです。

果たして、そのようなαは５－√2 として存在するので、
　f(x)=(x^2＋α)(x^2＋2x＋10-α)＝(x^2＋５－√2)(x^2＋2x＋５＋√2)
と因数分解できます。

もし、
　(-2α＋10-2√2)x＋(α^2-10α＋23)＝０
をｘの恒等式とするようなαが見つからなければ、また
別の方法を考える必要がありますが、見つかった以上その可能性を
考える必要はありません。

なぜなら、f(x) は (x^2＋５－√2)(x^2＋2x＋５＋√2)
以外に因数分解されないからです。

No.17225 - 2012/03/17(Sat) 11:33:46

☆ Re: 数学分かりません / オン太朗

(x^2＋α)(x^2＋2x＋10-α)＋(-2α＋10-2√2)x＋(α^2-10α＋23)＝0の4次式の解をp,q,r,s(重解も含む)とすると
f(x)=(x^2＋α)(x^2＋2x＋10-α)＋(-2α＋10-2√2)x＋(α^2-10α＋23)=(x-p)(x-q)(x-r)(x-s)という風に因数分解することは不可能ということなんでしょうか？
f(x)=(x^2＋α)(x^2＋2x＋10-α)＋(-2α＋10-2√2)x＋(α^2-10α＋23)において余りが0となってくれるならば
因数分解されている部分【(x^2＋α)(x^2＋2x＋10-α)】だけ残すことができるのは分かるのですが・・・

No.17227 - 2012/03/17(Sat) 12:41:37

☆ Re: 数学分かりません / ヨッシー

x^4+2x^3+10x^2+(10-2√2)x+23　と
(x^2＋α)(x^2＋2x＋10-α)＋(-2α＋10-2√2)x＋(α^2-10α＋23)　とは
同じ式なので、もちろん
　(x-p)(x-q)(x-r)(x-s)
の形に因数分解できます。（ただし、複素数まで許せば）

では、どんなふうに因数分解を見つけるために
　(-2α＋10-2√2)x＋(α^2-10α＋23)＝０
がｘの恒等式となるαを探すのです。
なってくれるのではなく、なるようにαで調整するのです。

それでも見つからなければ、ｘ^2＋α の形の因数は持たないと
あきらめて、別の方法を探すのですが、運良く（というか
そういうふうに作った問題なので）
その心配はなく、因数分解は完成します。

No.17228 - 2012/03/17(Sat) 13:29:32

☆ Re: 数学分かりません / オン太朗

ありがとうございました

No.17242 - 2012/03/18(Sun) 16:23:35

★ 文系数学基礎 / オン太朗

(a＋b)^5のa^2b^3の係数を求めよという問題で、解法を暗記しているため答は出せるのですが理解が全くできていません。
参考書には
「(a＋b)^5=(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b)＝?@×?A×?B×?C×?D　とすると
たとえば?@?Aからa、?B?C?Dからbを取り出して掛け合わせるとa^2b^3の項を作ることができる。」
と書いてあるのですがイメージが湧きません。
またこれとは別に
(x^5＋ax^4＋bx^3＋cx^2＋dx＋e)^4
=(x^5＋ax^4＋・・・)(x^5＋ax^4＋・・・)(x^5＋ax^4＋・・・)(x^5＋ax^4＋・・・)
=?@×?A×?B×?C
この式から次数が19の項を作り出す問題に出くわしたのですが
(a＋b)^5という簡単な場合が理解できていないので太刀打ちできませんでした。
この際しっかり理解しておきたいので誰か分かる方教えてください。お願いします。

No.17216 - 2012/03/16(Fri) 21:24:50

☆ Re: 文系数学基礎 / ヨッシー

(a+b)^2＝(a+b)(a+b)＝?@×?A を考えてみます。
a^2 を作るには、?@からa, ?Aからa を取り出して掛けたときの１通り。
ab を作るには、?@からa, ?Aからb、および ?@からb, ?Aからa の２通り。
b^2 を作るには、?@からb, ?Aからb の１通り。
よって、(a+b)^2 を展開すると、
　a^2＋2ab＋b^2
となります。

(a+b)^3＝(a+b)(a+b)(a+b)＝?@×?A×?B を考えます。
a^3 を作るには?@からa,?Aからa,?Bからa (これを(a,a,a)と書くことにします)の１通り。
a^2b を作るには (a,a,b)(a,b,a)(b,a,a) の３通り。
ab^2 を作るには (a,b,b)(b,a,b)(b,b,a) の３通り。
b^3 を作るには (b,b,b) の１通り。
よって、(a+b)^3 を展開すると、
　a^3＋3a^2b＋3ab^2＋b^3
となります。

(a+b)^4＝(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)＝?@×?A×?B×?C を考えます。
a^4 を作るには(a,a,a,a) の１通り。
a^3b を作るには、４つの( )の中から、a を取る(　)を３つ選ぶことなので、4Ｃ3＝４(通り)
a^2b^2 を作る選び方は 4Ｃ2＝６(通り)
ab^3 を作る選び方は　4Ｃ1＝４(通り)
b^4 を作る選び方は　4Ｃ0＝１(通り)
よって、(a+b)^4 を展開すると
　a^4＋4a^3b＋6a^2b^2＋4ab^3＋b^4
となります。

(a+b)^5＝(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(a+b) を考えます。
a^2b^3 を作るには　５つの( )の中から、a を取る(　)を２つ選ぶことなので、5Ｃ2＝１０(通り)
よって、a^2b^3の係数は１０です。

(x^5＋ax^4＋bx^3＋cx^2＋dx＋e)^4 を展開してx^19 を得るには、
x^5,x^5,x^5,x^4 の４項を掛ければいいので、
４つある(　)のうち３つからx^5 を、１つからax^4 を取り出せばよい。
取り出し方は、
(x^5,x^5,x^5,ax^4),(x^5,x^5,ax^4,x^5),
(x^5,ax^4,x^5,x^5),(ax^4,x^5,x^5,x^5)
の4通り。(計算でいうと、4Ｃ3＝４　です）
つまり、ax^19 が４つ出来るので、4ax^19という項が出来ます。

No.17218 - 2012/03/16(Fri) 23:29:41

★ 文系数学 / オン太朗

放物線C:y=x^2上の点Pにおける法線とは、点PにおけるCの接線と点Pで垂直に交わる直線である。
(1)点(p,p^2)におけるCの法線の方程式を求めよ。
(2)y軸上の点(0,a)を通るCの法線の本数を求めよ。
(1)の答は

x＋2py-p-2p^3=0・・・?@です
(1)は問題ないのですが(2)が分かりません
以下は自分の考え方です。
?@が点(0,a)を通る条件は2pa-p-2p^3=0・・・?A
ここで?Aの式の意味は「点Ｐ(p,p^2)を接点とするＣの接線の方程式と垂直に交わる直線であると同時に点(0,a)を通る直線である」
です(たぶん)
図を描いてみれば分かるように、一つの接点から一本のＣの接線の方程式ができ、同時に一本の法線の方程式が作られます。
ではもし点Ｐのx座標がp=1やp=2やp=3などといった値をとれば点(1,1)、点(2,4)、点(3,9)を接点とするＣの接線の方程式がそれぞれできると同時にＣの接線の方程式に垂直な直線、すなわちＣの法線の方程式が作れます。
しかし、点(1,1)、点(2,4)、点(3,9)等から作られるＣの法線の方程式が
点(0,a)を通るのかはもう少し吟味が必要です。
点(0,a)を通る時のp(点Ｐのx座標)はどうやって調べるのかというと、?Aの解です
?Aは最初に書いたとおり、一つの条件式であり、これは「点(0,a)を通り、なおかつＣの法線の方程式である」というものです。
ならば?Aをpの方程式と見立てたときの解であるpならば点(0,a)をちゃんと通ってくれるＣの法線の方程式を作ってくれるという風に
予測がついて?Aの方程式について考えます。
?Aより因数分解するとp(-2p^2＋2a-1)=0・・・?B
p=0のとき?Bは0=0より成り立つ
この瞬間点(0,a)を通り、なおかつＣの法線の方程式はp=0のとき作られることが分かりました。
次に-2p^2＋2a-1=0・・・?Cについて考えます。
?Cよりa=2p^2＋(1/2)と変形するとaはy座標であるから実数と考えて定数分離の形ができました。
ここまでは自力でなんとかいけたのですがこの後がわかりません。
解答は以下の通りです。
「2pa-p-2p^3=0・・・?A ここで?Aの【異なる実数解p】の個数が点(0,a)を通る法線の本数に一致することより
(i)p=0のとき?Aは任意の実数aで成立
(ii)p≠0のときa=2p^2＋(1/2)・・・?B
p≠0のもとで?Bの異なる実数解pの個数を考えるために図示すると
a>1/2のとき3本 a≦1/2のとき1本」

解答の疑問?@
どうして【異なる実数解p】の個数としているのでしょうか？
疑問?A
(ii)ではp≠0のもとで考えていますが
p(-2p^2＋2a-1)=0の式で-2p^2＋2a-1=0の方程式の解がp=0となる可能性もあるような気がするのですが
どうしてp≠0の下で考えているのでしょうか？

数学がとても苦手で理解できていない所が多々あります
誰か分かる方教えてください
おねがいします＞＜

No.17209 - 2012/03/16(Fri) 09:39:19

☆ Re: 文系数学 / ヨッシー

p(-2p^2＋2a-1)=0 より、
p=0　・・・(i)
-2p^2＋2a-1=0　・・・(ii)
であり、(i) はこれだけで１つの解になっています。
その他に解があるとすれば、-2p^2＋2a-1=0 から得られる解ですが、
当然その中にはp=0 もありえます。
具体的には、a=1/2 のとき、p=0 です。
ところが、ここで、p=0 が得られたとしても、(i) で得られた
p=0 と同じなので、法線の数が増えるわけではありません。

だから、【異なる実数解p】の数が法線の数であり、(ii) では、p=0 は外して考えているのです。

さらに、ａ＜1/2 のときは、(ii) は実数解はなしで、実数解は、(i)から得られるp=0 だけです。
この両者をまとめて、
　ａ≦1/2 のとき、法線は１本
となります。

No.17215 - 2012/03/16(Fri) 13:21:35

☆ Re: 文系数学 / オン太朗

よくわかりました。
本当にありがとうございます。

No.17219 - 2012/03/17(Sat) 00:08:23

★ 数学　確率の最大 / オン太朗

1つのサイコロを10回投げる時3の倍数の目がn回出るときの確率をＰ(ｎ)とする。(n=0,1,2・・・10)
(1)P(n)が最大となるときのnの値を求めよ
1つのサイコロを1回投げて3の倍数の目(3と6)が出る確率は1/3
よって1つのサイコロを10回投げてそのうちn回3の倍数の目が出る確率は(1/3)^n
残りの10-n回に関しては出る目が1or2or4or5であればよいのでその確率は｛2/3｝^(10-n)
また、10回のうちどこでn回3の倍数の目が出るかは10Cn通り
よってPn=10Cn×(1/3)^n×｛2/3}^(10-n)
P(n)の増減を調べるためにP(n＋1)-P(n)の符号を考える。
P(n＋1)=10C(n＋1)×(1/3)^(n＋1)×｛2/3}^(9-n)
(計算省略)
P(n＋1)-P(n)=｛10!・(1/3)^n・{2/3｝^(10-n)/n!(9-n)!｝×{(-11n＋11)/9(n＋1)(10-n)｝
｛10!・(1/3)^n・{2/3｝^(10-n)/n!(9-n)!｝の部分は正なので
(-11n＋11)/9(n＋1)(10-n)の部分の符号について考えればよい。
(i)n=0のときP(n＋1)>P(n)
(ii)n=1,10のときP(n＋1)=P(n)
(iii)2≦n≦9のとき、P(n＋1)(iv)n>10のとき、P(n＋1)>P(n)

あとは(i)～(iv)にnの値を入れていって最大となるところを調べればいいと思ったんですけど
最大となる箇所が複数でてきてしまい訳が分からなくなってしまいました。
どこで間違ってしまったんでしょうか？
ちなみに答はn=3です。
数学がかなり苦手なので分かりません。誰か教えてください。お願いします。

No.17203 - 2012/03/16(Fri) 03:45:12

☆ Re: 数学　確率の最大 / シャロン

ぱっと見ですが

> よって1つのサイコロを10回投げてそのうちn回3の倍数の目が出る確率は(1/3)^n

まず、ここが誤りです。

(1/3)^nは、例えば
「n回サイコロを振って、全て3の倍数の目が出る確率」
です。

No.17205 - 2012/03/16(Fri) 05:29:07

☆ Re: 数学　確率の最大 / シャロン

> よって1つのサイコロを10回投げてそのうちn回3の倍数の目が出る確率は
>Pn=10Cn×(1/3)^n×｛2/3}^(10-n)

と続ければ、正しい推論になります。
#オン太朗クンの回答では、文章としての繋がりがおかしい。

> P(n)の増減を調べるためにP(n＋1)-P(n)の符号を考える。

確率の最大値を調べるには、コンビネーションや階乗といった積同士を約分できることが多いので、P(n＋1)/P(n)と1の大小を考えた方が計算が楽な場合が多いです。

また、計算部分にミスがあることが多いので、そこを省略しないほうがいいです。

No.17206 - 2012/03/16(Fri) 05:39:25

☆ Re: 数学　確率の最大 / オン太朗

ありがとうございました＞＜

No.17207 - 2012/03/16(Fri) 06:34:58

★ 証明問題 / ネオン

nを自然数とするとき次の不等式を示せ。
Σ(ｋ=1～ｎ）{２(4k^2+6k+1)/(2k+2)!}<1・・?@
を示せがわかりませんでした。帰納法でn=ｊのとき成り立つと仮定してn=ｊ+1の時にも成り立つを示そうとしてもできません。

?@の左辺のnにｊを代入したもの＜１
?@の左辺のnにｊ+1を代入したもの＜１＋?@の左辺のΣの中にｋ＝ｊ＋１を代入したもの

となるのでどう頑張っても示せません・・
?@の左辺のΣの中にｋ＝ｊ＋１を代入したものが０になれば＜１が示せますがΣの中は常に正なので０にはなりえませんし。。

どう解けばいいのか、できればその解答もお願いします。よろしくおねがいします。

No.17200 - 2012/03/15(Thu) 21:27:17

☆ Re: 証明問題 / rtz

4k^2+6k+1=(2k+2)(2k+1)-1ですから、
(4k^2+6k+1)/(2k+2)!
=((2k+2)(2k+1)-1)/(2k+2)!
=(1/(2k)!) - (1/(2k+2)!)
を使えばいいですね。

No.17201 - 2012/03/15(Thu) 23:10:15

☆ Re: 証明問題 / ネオン

解答有難うございます

おお～そんな変形法があったとは予想だにしてませんでした・・。どういう思考過程で階差の形に変形することを試みたのか教えてください
　　
また、２Σ(1/(2k)!) - (1/(2k+2)!)
＝２(1/2!-1/(2n+2))=1-2/2n+2<1でいいのですよね？

No.17202 - 2012/03/16(Fri) 02:25:56

☆ Re: 証明問題 / rtz

部分分数分解みたいにするんだろうなぁという予想が立ったので、
(2k+2)!という式
→kが1増えれば2つ増えるから2次？確かに分子も2次
→(2k+1)(2k+2)を計算してみたら差が1
→うまくいった、という感じです。
割と適当で申し訳ありません。

本来は
lim[n→∞]Σ[k=1,n]1/(k(k+1))
＝lim[n→∞]Σ[k=1,n]{(1/k)-(1/(k+1))}
＝lim[n→∞]{1-(1/(n+1))}
＝1
のような形を想定させていると想像する方が、
着眼点としては素直かもしれません。

解答の方針としてはそれで問題ありません。

No.17204 - 2012/03/16(Fri) 05:21:34

☆ Re: 証明問題 / ネオン

回答有難うございます

kが1増えれば2つ増えるから2次？
の「2次」が何が2次なのかどうしても分からないので教えてください。

No.17211 - 2012/03/16(Fri) 11:29:20

☆ Re: 証明問題 / rtz

＞kが1増えれば2つ増えるから
すいません、kが1増えれば「2k+2が」2つ増えるから、でした。
言葉足らずで申し訳ありません。

k=1で4!
k=2で6!
…
となるので、
n=kで(2k+1)(2k+2)が消せれば、n=k-1と組み合わせたりして
何とかできないかなぁ、という感じです。

No.17217 - 2012/03/16(Fri) 21:47:30

☆ Re: 証明問題 / ネオン

「2k+2が」2つ増えるとありますが、別に２ｋ＋２は１つだけのきがしますが・・うーんすみません。

(2k+2)!という式
→kが1増えれば2つ増えるから2次？確かに分子も2次
→(2k+1)(2k+2)を計算してみたら差が1
→うまくいった

の説明をもう少し詳しくお願いします

No.17230 - 2012/03/17(Sat) 17:49:23

☆ Re: 証明問題 / rtz

a[n]=(4n^2+6n+1)/(2n+2)!という数列で、
a[1]=11/4!
a[2]=29/6!
…
a[k-1]=(4k^2-2k-1)/(2k)!
a[k]=(4k^2+6k+1)/(2k+2)!
a[k+1]=(4k^2+14k+11)/(2k+4)!
…
となりますが、
これらの総和を求める際、当然そのままでは計算できませんから、それぞれの分母を見て、
a[1]を「2!が分母の分数」と「4!が分母の分数」に分けて、
a[2]を「4!が分母の分数」と「6!が分母の分数」に分けて、
…
a[k-1]を「(2k-2)!が分母の分数」と「(2k)!が分母の分数」に分けて、
a[k]を「(2k)!が分母の分数」と「(2k+2)!が分母の分数」に分けて、
a[k+1]を「(2k+2)!が分母の分数」と「(2k+4)!が分母の分数」に分けて、
…
うまいことそれぞれ直前の項と相殺できないかなぁと考えました。

＞kが1増えれば2つ増えるから2次？確かに分子も2次
この際、(4k^2+6k+1)/(2k+2)!={f(k)/(2k)!}+{g(k)/(2k+2)!}
の恒等式を解き、f(k),g(k)を求めるわけですが、
式全体を(2k+2)!倍するとちょうど右辺のf(k)に2次式(2k+1)(2k+2)がくっつきます。
左辺も2次式ですから、f(k)は式にkが含まれない定数項になりそうです。

＞(2k+1)(2k+2)を計算してみたら差が1
で、実際(2k+1)(2k+2)=4k^2+6k+2ですから、
4k^2+6k+1との差が1で、g(k)も式にkが含まれない定数項になってくれました。

No.17232 - 2012/03/17(Sat) 20:56:46

★ 確率の問題 / オン太朗

次のような硬貨投げの試行を考える。
はじめに３枚のコインを投げて１回目とし、そのとき表のものがあれば、表のでたコインのみをなげて２回目とする。
そのとき表のものがあれば、それらを投げる。ある回で裏のみがで

た場合、この試行は終了する。このとき、次の問いに答えよ。
（１）１回目でこの試行が終了しない確率
(2)２回投げても終了しない確率
（3）２回目で表が１枚だけでる確率
疑問点?@
問題文の解釈について
「はじめに３枚のコインを投げて表が出れば２回目では１回目で表のでたコインのみを再び投げる。そしてまた表がでたら３回目で２回目で表が出たコインをのみを再び投げる。」ということでいいんでしょうか？
疑問点?A
「２回投げても終了しない確率」の余事象は「2回投げて終了する確率」ですがこの中には
「１回目で終了する確率」・・・(ア)と「２回目で終了する確率」・・・(イ)が含まれると解答に書いてあるのですが
(イ)は分かるとしても(ア)がどうして含まれるのかわかりません。２回投げるという前提があるのに(ア)だとおかしい気がするのですが・・・
以上2点について教えてください。お願いします。

No.17198 - 2012/03/15(Thu) 20:58:53

☆ Re: 確率の問題 / ヨッシー

疑問点?@
その解釈で良いのですが、
「はじめに３枚のコインを投げて表が出れば２回目では１回目で表のでたコインのみを再び投げる。そしてまた表がでたら３回目で２回目で表が出たコインをのみを再び投げる。」
に書いてあることは、すべて
「はじめに３枚のコインを投げて１回目とし、そのとき表のものがあれば、表のでたコインのみをなげて２回目とする。
そのとき表のものがあれば、それらを投げる。」
に書いてあると思うのですが。

疑問点?A
こちらの記事を、どのように理解されたでしょうか？
ほぼ同じことです。

No.17199 - 2012/03/15(Thu) 21:23:44

★ 数学確率の問題解説が分からないです / オン太朗

n を正の整数とする。n 枚の硬貨を同時に投げて表の出たものを取り去り、次に、硬貨が残っていればそれらを同時に投げて表の出たものを取り去ることにする。
(1) 全部なくなる確率を求めよ。
解答をみると「n枚のコインを?@、?A、・・・、nとおき、１枚のコインを続けて２回投げることを?@、?A、・・・、nの順に行うと考える。
1枚のコインを２回投げたときそのコインがなくならない確率は(1/2)・(1/2)=1/4
また、1枚のコインがなくなるためには少なくとも１回表がでればいいので１枚のコインを２回投げた時そのコインがなくなる確率は
1-(1/4)=3/4」とあるのですが
この解説の意味が全く理解できません。
自分が解いたときは直接1枚のコインがなくなる確率を求めようとしました。
つまり(１回投げて表がでる場合の確率)＋(1回目に裏がでて２回目に表がでる場合の確率)＝(1/2)＋｛(1/2)・(1/2)｝
=3/4というふうに求めました。
ですが計算が煩雑になる問題の場合解答のやり方を理解しておいた方がいいそうなのですが
何度読んでも理解できません。だれか「」の部分を解説してください。よろしくお願いします＞＜

No.17195 - 2012/03/15(Thu) 03:42:29

☆ Re: 数学確率の問題解説が分からないです / らすかる

「表が出た場合ももう一回投げる」と考えれば、
表表
表裏
裏表
裏裏
の4通りになって、取り去られるのは「裏裏」以外ですね。

No.17196 - 2012/03/15(Thu) 06:30:40

☆ Re: 数学確率の問題解説が分からないです / オン太朗

ありがとうございました

No.17197 - 2012/03/15(Thu) 20:50:14

★ 数学余事象のとりかた / オン太朗

ADDRESSという語の7文字を全部並べて作られる順列において、母音が両端にきて、かつ同じ文字が隣り合わない順列の数は何個あるか。
「母音が両端にきて、かつ同じ文字が隣り合わない順列」の余事象が
「母音が両端にきて、かつ同じ文字が隣り合う順列」とあるのですが
これを「母音が両端にこない、または同じ文字が隣り合う順列」としてしまったのですがどうしてこれじゃだめなんでしょうか？
一文が長い場合の余事象の取り方がわかりません。。
ちなみに答は24通りです。
誰か分かる方教えてください。お願いします。

No.17187 - 2012/03/14(Wed) 20:45:52

☆ Re: 数学余事象のとりかた / ヨッシー

えーと、場合の数を求める問題ですよね？
余事象を答える問題なのですか？

余事象は、全体から、ある事象を除いたものですから、
全体が何かによって、変わってきます。
「７文字を並べるすべての並べ方」が全体なら、余事象は
「母音の少なくとも１つは両端にない、またはＤとＳの少なくとも
どちらか一方が隣り合っている」です。
ただし、これを数えるのは大変なので、問題の「順列の数は何個あるか」
を解くために、「母音が両端にある、すべての並べ方」を全体とすると、
余事象は「母音が両端にあり、かつＤとＳの少なくとも
どちらか一方が隣り合っている」です。

両端以外の５つの場所にＤＤＲＳＳを並べることについて
すべての並べ方は　５！／２！２！＝３０
このうち　Ｄが隣り合っているのはＤＤを１つの塊と見て、
　４！／２！＝１２（通り）
Ｓが隣り合うのも１２通り
ＤもＳも隣り合うのが　３！＝６（通り）
よって、少なくとも１組の同じ文字が並ぶのは
　１２＋１２－６＝１８
これを引いて、
　３０－１８＝１２
母音の並び方が　左にＡ右にＥ　と　左にＥ右にＡ　の２通りあるので、
　１２×２＝２４（通り）
です。

No.17190 - 2012/03/14(Wed) 22:45:28

★ 三重県高校入試 / ぽにょ

画像の問題です。AB＝15ｃｍ　BC＝14ｃｍ　AC＝13ｃｍです。
このときのAB：AFとAC:AEを求めなさいという問題ですがまったくわかりません。高校2年生ですが試しにやってショックを受けました。
できれば中学の範囲での解法と高校の範囲での解法の両方を示していただけるとありがたいです。

No.17186 - 2012/03/14(Wed) 19:34:33

☆ Re: 三重県高校入試 / ヨッシー

その３辺の長さだけでは、この問題は解けません。
問題の文の部分も撮ってもらえますか？

No.17188 - 2012/03/14(Wed) 22:30:42

☆ Re: 三重県高校入試 / ぽにょ

これだけです。しいて言えば点Fの接線が直線HFということくらいです。

No.17191 - 2012/03/14(Wed) 22:46:50

☆ Re: 三重県高校入試 / ヨッシー

あら残念。
問題文も見せてもらえたら
AB：AFとAC:AE　なのか　AC：AFとAB：AE なのかもはっきりしたのですが。

点Ｆで接することは、上の画像でもチラッと窺えますが、
でも、これは絶対欠かしてはいけない条件です。

では、AB：AFとAC:AE ということで進めます。

というか、ひょっとして問題文に
　AB：AF＝AC:AE＝ｍ：ｎ
と書いてあるのではありませんか？

No.17193 - 2012/03/14(Wed) 23:21:28

☆ Re: 三重県高校入試 / ヨッシー

まず、ＨＣ＝ｘとおいて、
△ＡＣＨ、△ＡＢＨにおける三平方の定理よりＡＨ^2 を
表すと、
　ＡＣ^2＋ＨＣ^2＝ＡＢ^2＋ＢＨ^2
より
　１３^2－ｘ^2＝１５^2－(１４－ｘ)^2
展開して解くと、　ｘ＝５
また、ＡＨ^2＝１４４　より　ＡＨ＝１２

一方、
　△ＡＧＦと△ＡＣＨの相似、△ＡＧＥと△ＡＢＨの相似より
　ＡＧ・ＡＨ＝ＡＣ・ＡＦ＝ＡＢ・ＡＥ
よって、
　ＡＢ：ＡＦ＝ＡＣ：ＡＥ

さらに、∠ＣＡＨを●、∠ＡＣＨを○として、
分かる角に印を付けます。
△ＡＨＦと△ＦＨＧの相似より
　ＧＨ：ＨＦ＝ＦＨ：ＨＡ
ここで、ＦＨ＝ＨＣ＝５および　ＡＨ＝１２　より
　ＧＨ＝25/12
よって、ＡＧ＝119/12
　ＡＦ＝ＡＧ×(12/13)＝119/13
以上より
　ＡＢ：ＡＦ＝１５：(119/13)＝195：119

No.17194 - 2012/03/15(Thu) 00:39:10

★ 数学苦手 / オン太朗

数学確率の問題が分かりません

箱の中に１０個の白球と５個の黒球が入っている。箱から順に１個ずつ、５個の球を並べる時、２番目の球が黒球である確率を求めよ。
この問題を場合分けせずに考える場合
たとえばいまAさん、Bさん、Cさん、Dさん、Eさんが箱の前にいるとします。
取り出す順番はAさんからです。
問題の２番目の球が黒球とはこの場合、Ｂさんが黒球を取る確率を求めよというふうに言い換えることができます。
では、Aさんが白10個黒5個がぎっしり詰まっている箱の中から球を取り出します。
たとえばAさん黒玉を取り出したとします。この確率は5/15です。
しかし、Aさんがこの結果をBさん、Cさん、Dさん、Eさんに伝えないとします。
今、箱の中にはAさんが取り出した玉を除いた14個はいっています。
ここでＢさんが黒球を取り出す確率を考えて全事象を14(通り)としてしまうとどういうことが起こるのか。
Aさんが黒球を取り出したのか白球を取り出したのかBさんには分かりません。
なので箱の中には14個あるけど黒球が１個減ったのか？それとも白球が１個減ったのかは分かりません。
なので、Bが黒球を取り出す確率を4/14としてしまうと、これはBがAは黒球を取ったということを知らされていないにもかかわらず勝手に想定しているのでおかしいし、5/14としてしまうと、これはBがAは白玉をとったということを知らされていないもかかわらず勝手に想定しているのでおかしくなります。(場合分けして考える分にはアリですが)
なのでAが何を取り出したのか分からない状態でBが黒球を取り出す確率として正しいのは5/15だと思います。
これならばAの手元にあるのが黒球か白球かは分からないけれどもとにかく黒球を取り出す確率は一番最初の状態(箱に球が15個ある)と変わらないので5/15であるということができるとおもいます。
つまり、Aが何を取り出したのかという情報が全く与えられていない状況では一番最初の状態で黒球を取り出す確率に等しいということです。
解答には「黒球を２番目に取りだす確率は黒球を３番目に取り出す確率としても同じであり結果は5/15=1/3」とあります。
おそらく上記で自分が書いたようなことを言っていると思うのですが
数学が苦手なのでよくわかりません。
誰か分かる方教えてください。お願いします。

No.17181 - 2012/03/14(Wed) 03:17:06

☆ Re: 数学苦手 / ヨッシー

この手の「くじ引きの問題」は、「場合分けをしないで」というところに
若干無理があります。
上の記事の
>なのでAが何を取り出したのか分からない状態でBが黒球を取り出す確率として正しいのは5/15だと思います。
は、なぜ 5/15 と言えるのでしょうか？

直感的には、５人が一斉に箱に手を入れて玉をつかみ、Ａから
順番に公表していく状況を考えれば、全員の条件が同じと分かりますが、
ちゃんと計算するなら、場合分け（Ａが黒の場合、白の場合）を
する必要があります。

この問題に出会う前に
「１０本のうち１本が当たりのくじがある。一度引いたくじは戻さないとして、
１．１人目が当たる確率を求めよ。
２．２人目が当たる確率を求めよ。
３．３人目が当たる確率を求めよ。
　・・・・」
という問題をやったはずです。
やっていないなら、今やりましょう。
この問題を理解せずに、上のような応用問題に挑むのは、正しい勉強方法とは言えません。

No.17183 - 2012/03/14(Wed) 06:24:23

★ (No Subject) / オン太朗

-2≦x≦2の範囲で、関数
f(x)=x^2＋2x-2 g(x)=-x^2＋2x＋a＋1
について、次の命題が成り立つようなaの値の範囲をそれぞれ求めよ。
(1)すべてのxに対してf(x)(2)あるxに対してf(x)<g(x)
(3)ある組x1,x1に対してf(x1)<g(x2)

(1)は解答にh(x)=g(x)-f(x)とおくと
h(x)=-2x^2＋a＋3
求める条件は-2≦x≦2において、つねにh(x)>0となることでh(±2)>0よってa>5
これは理解できます。
ですが(2)の解答は-2≦x≦2において、h(x)>0をみたすxが存在することでh(0)>0
a＋3>0
a>-3
とあります。
これは図を描いてみると分かるとおもうのですが
(1)と同じ場合も単純にa＋3>0とするだけではありえますよね？
だから問題文の条件「あるxに対してf(x)(1)の-3<a<5とすべきなんじゃないかと思ったのですがどうなんでしょうか？
a>-3だと(1)のa>5を満たすaの値も含まれておりそれらはすべて(1)の条件を満たすaなので
(2)ではそのようなaを含んではいけないように思うのですが。。
また、(3)について解答には「f(x)の最小値<g(x)の最大値となればよい」とあるのですが、問題文にあるx1とx2はx1≠x2と考えてよいのでしょうか？
x1=x2のときも含めるならば、f(x1)<g(x2)とならない場合があるとおもうのですがどうなんでしょうか。
文系で数学は超がつくほど苦手科目です。
誰か分かる方教えてください。お願いします＞＜

No.17167 - 2012/03/12(Mon) 15:59:59

☆ Re: / ヨッシー

まず、上の記事を書き直しておきますね。
これは、半角の＜を使うと、その直後に来る文字によっては、
制御文字と見なされて、起こります。

上の記事はこう書いています。

-2≦x≦2の範囲で、関数
f(x)=x^2＋2x-2 g(x)=-x^2＋2x＋a＋1
について、次の命題が成り立つようなaの値の範囲をそれぞれ求めよ。
(1)すべてのxに対してf(x)＜g(x)
(2)あるxに対してf(x)＜g(x)
(3)ある組x1,x2に対してf(x1)＜g(x2)

(1)は解答にh(x)=g(x)-f(x)とおくと
h(x)=-2x^2＋a＋3
求める条件は-2≦x≦2において、つねにh(x)＞0となることでh(±2)＞0よってa＞5
これは理解できます。
ですが(2)の解答は-2≦x≦2において、h(x)＞0をみたすxが存在することでh(0)＞0
a＋3＞0
a＞-3
とあります。
これは図を描いてみると分かるとおもうのですが
(1)と同じ場合も単純にa＋3＞0とするだけではありえますよね？
だから問題文の条件「あるxに対してf(x)＜g(x)」を満たすためには
(1)の-3＜a＜5とすべきなんじゃないかと思ったのですがどうなんでしょうか？
a＞-3だと(1)のa＞5を満たすaの値も含まれておりそれらはすべて(1)の条件を満たすaなので
(2)ではそのようなaを含んではいけないように思うのですが。。
また、(3)について解答には「f(x)の最小値＜g(x)の最大値となればよい」とあるのですが、問題文にあるx1とx2はx1≠x2と考えてよいのでしょうか？
x1=x2のときも含めるならば、f(x1)＜g(x2)とならない場合があるとおもうのですがどうなんでしょうか。
文系で数学は超がつくほど苦手科目です。
誰か分かる方教えてください。お願いします＞＜

No.17168 - 2012/03/12(Mon) 20:04:22

☆ Re: / ヨッシー

(2) あるｘは、すべてのｘを否定するものではありません。
「あるｘについて成り立つ」とは「全く成り立たないわけではない」
または「１カ所でも成り立てばＯＫ」であって「成り立たないときもある」ではありません。
よって、ａ＞５も含みます。

(3) も同じで、「ある組x1,x2に対して」は「１カ所(１組)でも成り立てばよい」
であって、「成り立たないときがあってはいけない」ではありません。
よって、x1＝x2 の場合も、考えに入れてもよろしいです。

No.17169 - 2012/03/12(Mon) 20:14:22

☆ Re: / ヨッシー

グラフで描くと、図のような位置関係になります。
y=g(x) （上に凸のグラフ）が、図の位置より上にあるのが
求められる状態です。

No.17171 - 2012/03/12(Mon) 20:48:32

☆ Re: / オン太朗

補足ですみません。
(2)についてa-5≦0であるときも一部h(x)>0を満たすxが存在しますが
a-3>0のときとどう違うのかわかりません。
考え方次第でa-5≦0としてしまいそうなのですが。。。
よかったらこの点にもお答えお願いします＞＜

No.17172 - 2012/03/13(Tue) 02:48:00

☆ Re: / オン太朗

a-5≦0のときでたとえばa-5=0ならば
y=h(x)の2解は-2,2でx軸と交わる。
x=-2,2ではともにh(x)=0となりh(x)>0は成り立たないが
-20が成り立っている。
これより、あるxについてh(x)>0は成り立っているといえる
と思ったのですがこれじゃだめなんでしょうか？

No.17173 - 2012/03/13(Tue) 02:55:16

☆ Re: / ヨッシー

まず、17173 の記事を訂正しておきます。
< ではなく＜を使うようにしてください。

a-5≦0のときでたとえばa-5=0ならば
y=h(x)の2解は-2,2でx軸と交わる。
x=-2,2ではともにh(x)=0となりh(x)＞0は成り立たないが
-2＜x＜2ではh(x)＞0が成り立っている。
これより、あるxについてh(x)＞0は成り立っているといえる
と思ったのですがこれじゃだめなんでしょうか？

No.17174 - 2012/03/13(Tue) 07:04:27

☆ Re: / ヨッシー

No.17172 の回答
a-5≦0(つまり a≦5)であっても、たとえば、a=3, a=1 のように、
a+3＞0(つまり a＞-3)であれば、あるｘで　h(x)＞0 は成り立ちます。
それはあくまでも、 a＞-3 だからであって、a がもっと小さい
a=-5 などになれば、h(x)＞0 は成り立ちません。

まとめると、-2≦x≦2 であるｘについて、
ａ＞５：すべてのｘについて　h(x)＞０が成り立つ。もちろん、あるｘについても　h(x)＞０が成り立つ。
-3＜a≦5：すべてのｘについては h(x)＞は成り立たないが、あるｘについては h(x)＞０が成り立つ。
ａ＜-3：すべてのｘについて h(x)＞０は成り立たない。
となります。

あるｘについて成り立つか成り立たないかの境目は、ａ＝－３であって、
ａ＝５のところは、関係ありません。

No.17176 - 2012/03/13(Tue) 10:40:11

☆ Re: / ヨッシー

No.17173 の回答
>x=-2,2ではともにh(x)=0となりh(x)＞0は成り立たないが
>-2＜x＜2ではh(x)＞0が成り立っている。
>これより、あるxについてh(x)＞0は成り立っているといえる
それで正しいです。

どうも、「『すべてのｘについて成り立つ』は『あるｘについて成り立つ』ではない」
と思われている節がありますが、そこを改めてもらわないと、
この手の疑問が絶えませんので、今一度確認して下さい。

No.17177 - 2012/03/13(Tue) 10:47:26

☆ Re: / オン太朗

回答ありがとうございます。
つまり、「あるxについてh(x)＞０」が成り立つとは
「すべてのxについてh(x)＞０」が成り立つ場合も含んでいるということでしょうか？

No.17180 - 2012/03/14(Wed) 03:16:48

☆ Re: / ヨッシー

そういうことです。

上で書いた「あるｘは、すべてのｘを否定するものではありません」も
つまりはそういうことです。

No.17182 - 2012/03/14(Wed) 06:10:10