[ 掲示板に戻る ]
過去ログ閲覧モード
★ 整数 / HJUJ
nを自然数とし、a(k)(k=1,2,…,n)は1,2,3のいずれかの数で
あるとする。どのような自然数m（k)(k=1,2,…,n)に対しても
Ｉ=a(1)^m(1)+a(2)^m(2)+…+a(n)^m(n)が5の倍数となることがないような組（a(1),a(2),…,a(ｎ））の個数を求めよ。
ただし、a(1),a(2),…,a(n)の順序を入れ替えてできる組は
同じ組とする。

お願いします。
No.16212 - 2011/12/19(Mon) 22:53:21
☆ Re: 整数 / らすかる
1^4≡2^4≡3^4≡1(mod5)だから
nが5の倍数のときすべてのm[k]を4とすれば5の倍数になるので
求める組の個数は0個。
nが5の倍数でないとき、a[k]をすべて1とすればm[k]をどんな値にしても
Iは5の倍数にならず条件を満たす。
また、n≡1(mod5)のときは1個だけa[k]=2または3があってもよい。
（その他のa[k]の合計が5の倍数なのでIは5の倍数にならない。）
n≡2,3,4(mod5)のときは1個でもa[k]=2または3があると5の倍数が作れる。
従って
nが5の倍数のとき 0個
nが5で割って1余る数のとき 3個
その他のとき 1個
No.16218 - 2011/12/19(Mon) 23:57:12
☆ Re: 整数 / HJUJ
ありがとうございました。
No.16225 - 2011/12/20(Tue) 21:24:22
★ 模試の問題　高１ / にゃんにゃん
放物線y=x^2をCとする。C上に異なる2点A(a,a^2),B(1,1)がある。ただしaは実数の定数である。
(1) a=-2のとき、∠APB=90°となるC上の点Pのx座標を求めよ。
これの答えは　-2,1 でいいですよね？
(2) A,Bを直径の両端とする円がCと異なる4点で交わっている。このとき、aの値の範囲を求めよ。
(3) (2)のとき、A,B以外の2つの交点を結ぶ線分の中点の軌跡を求めよ。

(2),(3)の解き方が全く分かりません…お願いします。
No.16211 - 2011/12/19(Mon) 22:32:33
☆ Re: 模試の問題　高１ / klmo
っt
No.16215 - 2011/12/19(Mon) 23:25:46
☆ Re: 模試の問題　高１ / ヨッシー
(1)x=-2,x=1 は、点Ａ，Ｂそのものなので違います。
　下の図の、Ｃ，Ｄのｘ座標を求めるのが、この問題です。
　A(-2,4)、B(1,1) を直径とする円の式は、
　　(x+2)(x-1)+(y-4)(y-1)＝0
　　x^2+x+y^2-5y+2=0
　これと、y=x^2 を連立させて
　　x^2+x+x^4-5x^2+2=0
　　x^4-4x^2+x+2=0
　x=-2,x=1 が解であることは明らかなので、(x+2)(x-1) をくくりだして、
　　(x+2)(x-1)(x^2-x-1)=0
　よって、Ｐのｘ座標は、x^2-x-1=0 の解である
　　x=(1±√5)/2
　となります。

(2)(1) と同様に考えて、
　A(a,a^2)、B(1,1) を直径とする円の式は、
　　(x-a)(x-1)+(y-a^2)(y-1)＝0
　　x^2-(a+1)x+y^2-(a^2+1)y+a^2+a=0
　これと、y=x^2 を連立させて
　　x^2-(a+1)x+x^4-(a^2+1)x^2+a^2+a=0
　　x^4-a^2x^2-(a+1)x+a^2+a=0
　x=a,x=1 が解であることは明らかなので、(x-a)(x-1) をくくりだして、
　　(x-a)(x-1){x^2+(a+1)x+a+1}=0
　x^2+(a+1)x+a+1=0 が x=a でも x=1 でもない異なる２実解を
　持つときのａの範囲を求めます。
　x=a を代入して、
　　2a^2+2a+1=0　より　a の実解はなし
　x=1 を代入して、
　　2a+3=0 より a=-3/2
　x^2+(a+1)x+a+1=0 の判別式より
　　(a+1)^2-4(a+1)＞0
　　(a+1)(a-3)＞0
　より　a＜-1 または　a＞3
　以上より　a＜-3/2 または -3/2＜ａ＜-1 または a＞3
　が求めるａの範囲となります。

(3)
　x^2+(a+1)x+a+1=0 の２解をα、β とすると、解と係数の関係より
　α＋β＝-a-1, αβ＝a+1
　奇跡を求める点をＱ(x,y) とすると、
　　ｘ＝(α＋β)/2、ｙ＝(α^2＋β^2)/2
　であるので、
　　ｘ＝(-a-1)/2、ｙ＝{(-a-1)^2−2(a+1)}/2
　a+1＝-2x であるので、
　　ｙ＝(4x^2＋4x)/2＝2x^2+2x
　定義域は、x＜-2 または 0＜x＜1/4 または 1/4＜x
No.16220 - 2011/12/20(Tue) 09:22:49
★ 問題のコメントです(o^-^o) / 夕凪
ヨッシーさん、こんばんは(o^-^o) 。

またグラフの問題ですが、解りそうで解りません(>.<)。

今画像付きで問題アップしましたので、どうかまた解説よろしくお願い致します(o*。_。)o。

ヨッシーさんのサイトの、和算目録っていうのを勉強させてもらっています。つるかめ算とか難しそうですが、解けるようになれるように頑張ります(*^.^*)。

件名を入れ忘れたので、もう１回アップしました。すいません。これから気をつけます。
No.16208 - 2011/12/18(Sun) 22:36:00
★ 算数のグラフの問題です(o^-^o) / 夕凪
アの問題

グラフで切れてるところから後はどうかを考えてみました。

次は、８時２０分Ａ町着　グラフからバスは、２０分でＢ町に到着して１０分間をおいて、Ｂ町を出発するので、次は、８時３０分Ｂ町着→３０分後９時にＡ町着→９時３０分Ｂ町着→１０時Ａ町着で、１０分後にＢ町に向けて出発で、安子さんは、１０時２分に着いてるので、８分だけ待てば良いと考えてよいですか？


イの問題

１回目は、グラフから７時３０分のところだってわかるのですが、２回目は、どうやって同じ時刻で同じ場所が重なるのを発見したら、よいのでしょうか？

★さっきは、件名を入れるの忘れていました。どうもすいません。
No.16207 - 2011/12/18(Sun) 22:34:02
★ (No Subject) / 夕凪
アの問題

グラフで切れてるところから後はどうかを考えてみました。

次は、８時２０分Ａ町着　グラフからバスは、２０分でＢ町に到着して１０分間をおいて、Ｂ町を出発するので、次は、８時３０分Ｂ町着→３０分後９時にＡ町着→９時３０分Ｂ町着→１０時Ａ町着で、１０分後にＢ町に向けて出発で、安子さんは、１０時２分に着いてるので、８分だけ待てば良いと考えてよいですか？


イの問題

１回目は、グラフから７時３０分のところだってわかるのですが、２回目は、どうやって同じ時刻で同じ場所が重なるのを発見したら、よいのでしょうか？
No.16205 - 2011/12/18(Sun) 21:47:23
☆ Re: / angel
ア：正解です。
本当はC社のバスも考えた方が良いのですが、バスの出る時刻が10:05等の中途半端な数値になることはないので、10:10発が一番早いことが分かります。
※なお、C社のバスは10:30にA発

イ：グラフから周期性を読み取り、時刻を書き出して考えます。
C社は、
　5:30 A発→5:50 B着→6:00 B発→6:20 A着
　6:30 A発→ …
の1時間 (60分) 周期、
D社は、
　5:30 B発→6:00 A着→6:10 A発→6:40 B着
　6:50 B発→ …
の1時間20分 ( 80分 ) 周期です。

ということで、A発・B発の時刻をC社60分,D社80分周期で並べていくと、
・A発
　C社: 5:30, 6:30, 7:30, 8:30, …
　D社: 6:10, 7:30, 8:50, 10:10, …
・B発
　C社: 6:00, 7:00, 8:00, 9:00, …
　D社: 5:30, 6:50, 8:10, 9:30, …
ここまでで分かるのは、7:30にA発が最初に一致すること、B発はC社が0分丁度に対し、D社が10,30,50分なので、一致することがないこと。

ということで、2回目の一致もA発です。
C,Dの周期が60分,80分なので、その最小公倍数240分(=4時間)毎に繰り返すことを考えると、7:30の4時間後、11:30が2回目の一致と分かります。
No.16210 - 2011/12/19(Mon) 02:12:05
☆ Re: バスのグラフの問題です（夕凪）。 / 夕凪
ヨッシーさん、こんにちわ(o^-^o)

解説どうも有難うございました(o*。_。)o。

返信が遅くなって、申し訳ありません(。-人-。) 。

アの問題　


片方のバスしか、全然頭になかったです。棒線のがＣ会社のバスで、点線がＤ会社のバス、２通りのバスが、Ａ町を何時に出発するかを考えないといけなかったんですね。

私が考えた方は、点線のＤ会社のバスという事でしょうか？

最初解らなかったけど、何回か読み返したら、なんとなく解りました(o^-^o) 。


イの問題、すごく難しいですねー(゜.゜)。でも、よーく読んだら解りましたー(o^-^o) 。

それぞれの周期を見ないといけないのですね。そしてその最小公倍数を考えればいいのですね。考えてたら頭混乱しそうですが、冷静に１つずつ考えていったら、なんとか解りそうですー(o^-^o) 。


ほんとに丁寧に解説、どうもありがとうございました。しっかり勉強して、解けるようになりますー(*^.^*)。
No.16268 - 2011/12/25(Sun) 11:37:50
★ 高2　関数の極限 / れいひゃー

lim[x→2]　1/(x-2)

と

lim[x→0]　(2x^2+3x)/|x|



の答えが極限はないとなるのは何故ですか？
No.16203 - 2011/12/18(Sun) 19:21:48
☆ Re: 高2　関数の極限 / らすかる
左側極限値と右側極限値が異なるからです。
No.16204 - 2011/12/18(Sun) 19:24:20
★ ２次関数 / FM
a,bを実数とし、xの２つの２次関数y=3x^2+2x-1…?@ y=x^2-ax+b…?AのグラフをそれぞれC1、C2とする。
以下では、C2の頂点はC1上にあるとする。
このとき、b=a^2+a-(ア)であり、C2の頂点の座標をaを用いて表すと[(a/2),(イ)]となる。


(ア),(イ)を求める問題なのですが、どのように求めたらいいのか全くわかりません。
解説よろしくお願いします。
No.16198 - 2011/12/17(Sat) 16:03:12
☆ Re: ２次関数 / ヨッシー
　ｙ＝x^2−ax＋b＝(x−a/2)^2＋b−a^2/4
より、Ｃ2の頂点は、
　(a/2, b−a^2/4)
と書けます。これがＣ1 上にあるので、
　b−a^2/4＝3(a/2)^2＋2(a/2)−1
　b＝3a^2/4＋a−1＋a^2/4
　　＝a^2＋a−1
であり、Ｃ2の頂点は
　(a/2, a^2＋a−1−a^2/4)＝(a/2, 3a^2/4＋a−1)
となります。
No.16199 - 2011/12/17(Sat) 16:16:22
☆ Re: ２次関数 / FM
回答ありがとうございます。
凄く助かりましたm(__)m
No.16201 - 2011/12/18(Sun) 02:00:34
★ 対数 / DIE
連続して申し訳ありません。
よろしくお願いします。

添付問題最後の問題です。
私は下のような数直線を書いて、そのまま大小関係はCABDとしましたが正答は逆のようです。
何故そうなるのかがわかりません。
本当にこんがらがってしまいました。
どうかご教授ください・・・
お願いいたします。
No.16184 - 2011/12/16(Fri) 03:22:06
☆ Re: 対数 / 七
> 大小関係はCABDとしました
というのは
c＜a＜b＜dの事ですか？それともd＜b＜a＜cの事でしょうか？
c＜a＜b＜dならば合っていると思います。
No.16188 - 2011/12/16(Fri) 11:45:58
☆ Re: 対数 / DIE
添付画像に小さく書いてある通り、ｂ＜ｄ＜a＜ｃとしました・・・
説明不足をお許しください＞＜
再度よろしくお願いします。
No.16191 - 2011/12/16(Fri) 22:49:50
☆ Re: 対数 / 七
CABDにつられてしまいました。
27＜x＜27√3のとき
3＜log[3]x＜7/2,3/2＜log[9]x＜7/4ですから
−1/2＜a＜0,1/2＜b＜1,−1＜c＜−3/4,0＜d＜1/4です。
したがって
c＜a＜d＜b となります。
No.16193 - 2011/12/17(Sat) 06:38:34
☆ Re: 対数 / DIE
今回このように書けるので、今３＜X<7/2のときはココ　とかいてあるところにあたり、右に該当するｃが一番大きくなり大小関係が逆になるように思えてならないのです。。。
何度も申し訳ないのですが、どうか易しく教えていただけないでしょうか・・・よろしくお願いします・・・
No.16236 - 2011/12/21(Wed) 01:14:40
☆ Re: 対数 / angel
えーと。
とりあえず、x の範囲にかかわらず、
　a=log[3]x - 3.5
　b=log[3]x - 2.5
なので、a＜b ( 同じ数からより大きい数を引いたaの方が小さい )
同じく、
　c=log[9]x - 2.5
　d=log[9]x - 1.5
なので、c＜d
という大小関係は確定しています。この時点で ｂ＜ｄ＜a＜ｃ は間違いだと分かります。
No.16348 - 2011/12/31(Sat) 14:08:00
★ ベクトル / DIE
またまた失礼致します。
添付問題について、最後の方、C`Sについてです。C`S:SD`=a:1-a
となるそうなのですが、何故かさっぱりわかりません。
困ってしまいました。
すみませんがご教授ください、よろしくお願いします。
No.16182 - 2011/12/16(Fri) 03:15:42
☆ Re: ベクトル / DIE
添付問題続きです。
No.16183 - 2011/12/16(Fri) 03:16:12
☆ Re: ベクトル / angel
C`S:SD`=a:1-a というか、CD`=C`S+SD`=1 なので、そのままC`S=a, SD`=1-a なのですが…

　(1) C`S=a, SD`=1-a という結果が正しいかどうか判断する方法が分からない
　(2) C`S=a, SD`=1-a を導く方法が分からない

のどちらでしょう。

(2)に関していうと、カンでも良いような気がしますが ( だって穴埋めだし )、地道に方程式を解けば確実に出せます。
つまり、C`S=x ( SD`=1-x ) とでも置いて、SQ=SR に対して SQ=√(C`S^2+C`Q^2) のように具体的な値をあてはめていけば、せいぜい x の2次方程式(実際は1次になる)を解けば良いと見積もれます。
No.16195 - 2011/12/17(Sat) 09:58:26
☆ Re: ベクトル / DIE
地道に解いて計算があわず、質問をしたのですが、計算があいました＞＜＞＜
よかったです・・・
本当に有難うございました。
No.16234 - 2011/12/21(Wed) 00:56:53
☆ Re: ベクトル / angel
C`S=a, SD`=1-a だと、丁度△QC`S≡△SD`Rになるので、SQ=SRなのです。
それに気付くと、方程式を解かなくても解が分かる、と。
※「カン」と言っていたのがそれ。
No.16240 - 2011/12/21(Wed) 22:26:08
☆ Re: ベクトル / DIE
わかりました。
どうもありがとうございます！
No.16331 - 2011/12/29(Thu) 18:58:52
★ 三角関数 / DIE
こんばんは。いつもお世話になっております。
よろしくお願いします。

添付の問題一番最後のところです。
正答は二番目の添付のように図示されていましたが、このグラフだとSIN２α、COS2αのグラフが考慮されていませんでした。何故でしょうか。その図示の左に書いてあるのが私が考えた答案ですが、そのように考えるのではないのでしょうか？？
最近ひどく頭が混乱してきました・・・＞＜
すみませんがよろしくお願いします・・・
No.16180 - 2011/12/16(Fri) 03:03:51
☆ Re: 三角関数 / DIE
これが正答と、私の回答です。
No.16181 - 2011/12/16(Fri) 03:04:19
☆ Re: 三角関数 / 七
正答の「sin2α≧cos2αかつsinα≧cosα」
の部分は「sin2α≧cos2αかつsinα＞cosα」
ではないかと思うのですが…
図のグラフは
sinβとcosβのグラフです。
β＝2αととればsin2α≧cos2αを考えることができ,
β＝αととればsinα＞cosαを考えることができます。
No.16187 - 2011/12/16(Fri) 11:09:24
☆ Re: 三角関数 / DIE
よくわかりました。

そのように短縮できるとすごくいいですね。
本当に助かりましたありがとうございました！
No.16235 - 2011/12/21(Wed) 01:01:53
★ 解説有難うございます(o^-^o) / 夕凪
ヨッシーさん、こんばんは。

丁寧に解説して頂いて、ほんとに助かります。どうも有難うございます(o^-^o) 。あともうちょっとで解りそうなので、もう少しお聞きしてもいいですか？

?@の問題ですが、ヨッシーさんの書いて頂いた図に、私が書き加えました。Ａ町からＢ町に向かうバスを黄緑の線、ＢからＡに向かうバスを水色の線とすると、ちょうど２つの線が交差するところが１２ｋｍで、黄緑の丸い点と水色の丸い点のところが１６ｋｍ、だからそれぞれ１６−１２＝４ｋｍでその２倍だから、８ｋｍって考えていいでしょうか？

１６×２−２４＝８が、ちょっと解りません(゜.゜)。

?Aの解説よく解りました。要するに、Ａ町からＢ町に向かうバスの線は、この図では線が４本あるから、４回運行してて、Ｂ町からＡ町に向かうバスも線が４本だから、４回運行してるという事でしょうか？
もしそうなら、Ａ町からＢ町に向かうバスが追い越すところと花子さんが動いた線の重なるところだけを考えればいいのですね(o^-^o) 。

ほんとに何回も質問して、すいません(。-人-。) 。
No.16179 - 2011/12/16(Fri) 00:16:36
☆ Re: 解説有難うございます(o^-^o) / ヨッシー
考え方はそれで良いです。

二台合わせて、24km 進んだところで、両者は出会い、
それ以上進んだ分だけ、離れるので、
　16×２−２４
という式になります。

両者12kmずつ進んだのと、さらに 4km 進んだのを区別すると、
　(１２＋４)×２−２４
　＝２４＋４×２−２４＝４×２
と、夕凪さんの考えと同じ式になります。
No.16190 - 2011/12/16(Fri) 13:50:24
☆ Re: 解説有難うございます(o^-^o) / 夕凪
ヨッシーさん、こんばんは(o^-^o) 。

解説どうも有り難うございました。だいたい解りましたあー(*^.^*)。ほんとに解りやすい解説で、助かりますー(*^.^*)。

また行き詰ったら、ご質問させて頂きます。よろしくお願い致します。
No.16200 - 2011/12/17(Sat) 23:38:38
★ さっきの問題もう１回アップします。 / 夕凪
さっきは、問題文が小さくて、見えづらくて、ごめんなさい。もう１回アップしましたので、お願い致します(o^-^o) 。
No.16169 - 2011/12/15(Thu) 00:43:51
★ 算数のダイヤグラムの問題です(o^-^o) / 夕凪
ヨッシーさん、こんばんは(o^-^o)

この前は、どうも有り難うございました。またすごく簡単な問題で行き詰ってしまったので、よろしくお願い致します。

?@バスは、３０分で２４ｋｍ進んでるので、２４÷３０＝０．８ｋｍ／分が速さ。
２０分後の距離は、２０×０．８＝１６　
でも、ここから解りません(>.<)。

?A花子さんがＡ町からＢ町に着くまでの道を線で引いてみました。その線をＡ町からＢ町行きのバスは、赤の線が３回通って重なっていますが、３回には、ならないのでしょうか？
No.16168 - 2011/12/15(Thu) 00:35:35
☆ Re: 算数のダイヤグラムの問題です(o^-^o) / ヨッシー
(1)
１分間に0.8km進むので、20分間で、16km ずつ進みます。
ＡＢ間は24km であるので、両者 12km ずつ進んだところで、
すれ違って、そこから4km ずつ離れていきます。
つまり、20分後には、両者は 8km 離れています。
式で書くと、
　16☓2−24＝8(km)
です。

(2)
図のように、ＡからＢに行くバスに追い越されるのは２回（青い点）です。
他の４回はすれ違い（黄色の点）です。
No.16172 - 2011/12/15(Thu) 01:17:18
☆ Re: 算数のダイヤグラムの問題です(o^-^o) / 夕凪
ヨッシーさん、申し訳ないのですが、もう１回お聞きしてもいいでしょうか？頭が悪くて、すいません。

?@１分間に0.8km進むので、20分間で、16km ずつ進みます。
　　これは、わかります。でも、どうして１２ｋｍ進んだところですれ違うのですか？両方のバスの速さは同じなのもわかりますが、そこがちょっと解らなくて(>.<)。


?Aですが、すれ違うのと追い越すのって、違うのですか？
どう判断すれば、いいのでしょうか？

ほんとに馬鹿な質問で、すいません。
No.16174 - 2011/12/15(Thu) 02:07:59
☆ Re: 算数のダイヤグラムの問題です(o^-^o) / ヨッシー
(1)
両方のバスは同じ速さなので、ＡＢ間（距離は24km）の
ちょうど真ん中で出会います。

(2)
花子さんはＡからＢに向かっています。
バスが横を通るのは、
後ろから来たバス（ＡからＢに向かう）に追い越される場合と、
前から来たバス（ＢからＡに向かう）とすれ違う場合とがあります。
グラフで言うと、赤の線と、右上がりの黒線が交わる所が、
追い越される点です。
No.16176 - 2011/12/15(Thu) 06:45:02
★ 条件 / DIE
こんばんは。
またまた失礼します。

三角形ABCにおいてcosAcosBcosC>0が成り立つことは三角形ABCが鋭角三角形であるための**条件。
**を求めよ。

というものですが、まず右の条件について、
+++か+--の組み合わせが存在する

そして左の条件はcosA cosB cosCいずれかが少なくとも＞０
しかし、++-のときもアリ

というわけで左が右を包括すると思い、十分条件ではある画必要条件ではない
としましたが、正答は必要十分条件である。だそうです。

私のどこの考え方が間違っているのか、ご指摘いただけると助かります・・・
お手数おかけしますが、よろしくお願いします。。。
No.16163 - 2011/12/14(Wed) 23:43:42
☆ Re: 条件 / はにゃーん
必要条件であることは明らかですね。

一見、確かに示された式の三角形の内角の余弦は+++と+--の組み合わせがあるように見えます。しかし、鈍角三角形の鈍角は2つ以上は存在しないので、必然的に+++の組みしかないわけです。すなわち鋭角三角形であると言えます。
No.16164 - 2011/12/15(Thu) 00:05:31
☆ Re: 条件 / DIE
すみません。左と右　を逆に説明してしまいました。

それを踏まえて・・・
確かに、左は+++のみですね！
しかし、右は+++と++-などの場合が存在しませんでしょうか？そうなるとやはり右に左は包括されると思うのですが・・・

よろしくお願いします。。。
No.16170 - 2011/12/15(Thu) 00:44:57
☆ Re: 条件 / はにゃーん
＞しかし、右は+++と++-などの場合が存在しませんでしょうか？
三角形ABCが鋭角三角形ならばある角の余弦が負の場合がある、とどのようにして考えられたのでしょうか？

三角形ABCが鋭角三角形のときA, B, Cも0°より大きく90°より小さいです。
すなわちcosA＞0, cosB＞0, cosC＞0です。
No.16171 - 2011/12/15(Thu) 01:04:51
☆ Re: 条件 / DIE
三角形の定義が曖昧になっていました。
解決しました。
本当に有難うございました。
宜しければ、もうひとつの質問もみていただけると幸いですお願いいたします・・・
No.16173 - 2011/12/15(Thu) 01:29:35
★ 面積公式 / DIE
こんばんは。
よろしくお願いします。

添付した図についてですが、放物線のαが二つで一致しない場合はS3の|α|の部分はどうなるのでしょうか？
よろしくお願いいたします。
No.16162 - 2011/12/14(Wed) 23:11:18
☆ Re: 面積公式 / angel
αというか、2次の係数aのことでしょうか?
それであれば、S3に相当する面積は簡単には計算できないでしょう。
そもそも、S3に相当する部分が何箇所できるかも定かではないですし。

例えば、y=2x^2 と y=(x-1)^2 の場合。
y=0 が分かりやすい共通接線ですが、これ以外にも y=-8x-8 というのもあります。なので、S3に相当する部分は2箇所になりますね。
共通接線を求めるときに2次方程式を解くことになりますから、その先の計算はちょっと一般化し辛いです。
No.16175 - 2011/12/15(Thu) 02:17:02
☆ Re: 面積公式 / コートダジュール
2つの放物線?@、?Aの係数をそれぞれｐ、ｑ
?@と?Aの交点のｘ座標をγとおくと、
S3=（S3のｘ＝γより左側）＋（S3のｘ＝γより右側）
＝(lpl/3)(γーα）＾３＋（lql/3）(β-γ）＾３
となります。このときγは(α＋β)/2にはなりません。

?@と?Aの係数が同じでないと、交点のｘ座標は(α＋β)/2
とはならないので、それぞれに1/3公式を使うしかないのです。
No.16185 - 2011/12/16(Fri) 04:05:04
☆ Re: 面積公式 / DIE
接線が、二つ存在する場合もあるので一般化できないということはわかりました。

すると、コートダジュールさんのそれぞれに三分の一公式を使うしかない、というのはどういう意味でしょうか？？
三分の一公式なんてありましたでしょうか・・・？？？？

よろしくお願いいたします・・・
No.16262 - 2011/12/25(Sun) 01:18:51
★ (No Subject) / まなみ
高２ですがIIICの範囲での解答でも大丈夫です。

0＜ｘ0＜a≦1/2とする。
ｘn+1={1/(1-a)}(1-ｘn)ｘn
(n=0,1,2,…)
によって定義される{ｘn}についてlimｘn=aを示せ。
n→∞

よろしくお願いします！
No.16160 - 2011/12/14(Wed) 20:45:25
☆ Re: / 豆
x[n+1]=(1-x[n])x[n]/(1-a)　と解釈します
（添え字が明確になる書き方をしましょう）
この手の問題は、この場合ならy=xとy=(1-x)x/(1-a)のグラフ
を書いてみれば、x[n]がどう変化してaに収束するかが分かります。

a-x[n+1]=(a-x[n])(1-a-x[n])/(1-a)　・・・＊
n=0を代入して、
a-x[1]=(a-x[0])(1-a-x[0])/(1-a)
右辺＞0なので、a-x[1]＞0　
同様にすれば（厳密には帰納法）　a-x[n]＞0が示される
x[n+1｣-x[n]=x[n](a-x[n])/(1-a)＞0より　
この数列は
0＜x[0]＜x[1]＜・・・＜x[n]＜・・・＜a　となっている
（グラフを書けば良く分かる）
従って、
b=(1-a-x[0])/(1-a)＞(1-a-x[n])/(1-a)　を＊にあてはめれば、
a-x[n+1]＜b(a-x[n])
繰り返せば
0＜a-x[n+1]＜b^n(a-x[0])
ここで、0<b＜1なので、
n→∞のとき　a-x[n+1]→0
No.16189 - 2011/12/16(Fri) 12:01:58
★ 初書き込みです。高３です。 / あう
n桁の自然数のうち、ある自然数の平方となっているものの集合をＥnとする。Ｅnの要素で、その最高位の数が１であるものの個数をａn、２であるものの個数をｂnとする。lim(n→∞)(ａn/ｂn)を求めよ。
お願いします。
No.16159 - 2011/12/14(Wed) 20:38:45
☆ Re: 初書き込みです。高３です。 / angel
「n桁の自然数」とか、「ある自然数の平方となっているものの個数」とか、そういった所を具体化すること。
例えば 2桁の自然数 k というと 10≦k≦99 のこと。3桁なら 100≦k≦999 のこと。まあ、ただ、それぞれ 10≦k＜100、100≦k＜1000 という形にした方が後々やり易い。
さらに「最高位の数が1」という条件を付け加えると、10≦k＜20、100≦k＜200 となるため、一般化すると、n桁の自然数で最高位が1であるk⇔10^(n-1)≦k＜2・10^(n-1) というように言えます。

では「自然数の平方となっているものの個数」は?
例えば 1〜9999 の範囲なら、1^2,2^2,…,98^2,99^2 の99個ということで、大体のところは √10000 という計算で分かります。
これが、1000〜9999 というように、1でない数から始まる範囲なら、1〜9999 にある 1^2,2^2,…,99^2 の99個から、1〜999 にある 1^2,2^2,…,31^2 の31個 ( 31^2=961＜1000, 32^2=1024≧1000 ) を差っ引いた 68個で、大体√10000-√1000 という計算です。

ということで、これはあくまで概算なので解答にそのままは書けませんが、
　a[n]≒√(2・10^(n-1)) - √(10^(n-1))
　b[n]≒√(3・10^(n-1)) - √(2・10^(n-1))
　a[n]/b[n]≒(√2-1)/(√3-√2)
求める極限値は (√2-1)/(√3-√2) だと分かります。( 分数有理化をして √6+2-√3-√2 )

実際に解答を書く場合には、個数をある範囲に絞り込むようにして評価します。
つまり、1〜9999 の範囲にある平方数の個数 x ( x=99 ) というのは、
　√10000-2＜x≦√10000-1
であると、幅 1の範囲で評価できるわけです。
なので、a[n] を評価する場合、
　1〜10^(n-1)-1 の範囲の平方数の個数 x に対して
　　√(10^(n-1))-2＜x≦√(10^(n-1))-1
　1〜2・10^(n-1)-1 の範囲の平方数の個数 y に対して
　　√(2・10^(n-1))-2＜y≦√(2・10^(n-1))-1
　a[n]=y-x に対して
　　( √(2・10^(n-1))-2 )-( √(10^(n-1))-1 )＜a[n]＜( √(2・10^(n-1))-1 )-( √(10^(n-1))-2 )
　　つまり、√(2・10^(n-1))-√(10^(n-1))-1＜a[n]＜√(2・10^(n-1))-√(10^(n-1))+1
　　というように、幅2の範囲に絞り込んで評価することができます。( 上限のケースと下限のケースの差を取っている )
　最終的に a[n]/b[n] も、a[n],b[n] それぞれの上限・下限の分数で評価して、範囲を絞り込みます。
No.16194 - 2011/12/17(Sat) 09:45:13
★ 一次関数 / 受験生
兄と弟は、A地を同時に出発してB地を通りC地まで行きました。
兄はA地からC地まで毎時４kmの速さで歩き、弟はA地からB地まで毎時６km、B地からC地まで毎時３kmの９速さで歩いたところ、兄は弟より３分遅れてC地に着きました。
また、A地からB地までの道のりはB地からC地までの道のりの4/3倍です。このとき、A地からC地までの道のりを求めなさい。



初めてですが、解説おねがいしますm(_ _)m
No.16157 - 2011/12/14(Wed) 20:27:28
☆ Re: 一次関数 / 受験生
すいません!!!
一次方程式の間違いでした。
学年の記載も忘れていました!!
中３ですm(_ _)m
No.16158 - 2011/12/14(Wed) 20:30:58
☆ Re: 一次関数 / moto
A地からB地までの道のりを、x【km】
B地からC地までの道のりを、y【km】

(1)時間について
　兄は、A地からC地までの(x＋y)【km】を、4【km/時】の速さで歩いた
　　(x＋y)/4【時間】

　弟は、A地からB地までのx【km】を、6【km/時】
　　　　B地からC地までのy【km】を、3【km/時】の速さで歩いた
　　(x/6)＋(y/3)【時間】

　兄は弟より3【分】遅れてC地に着いた(3【分】→3/60＝1/20【時間】)
　兄のかかった時間は、弟のかかった時間より、1/20【時間】多い
　　(x＋y)/4＝(x/6)＋(y/3)＋(1/20)

(2)道のりについて
　A地からB地までの道のりx【km】は、B地からC地までの道のりy【km】の(4/3)倍
　　x＝(4/3)y

(1)(2)を{x，y}についての連立方程式として解いて
　　x＝12/5，y＝9/5

確認
　弟は、A地からB地までの(12/5)【km】を、6【km/時】で歩き、(2/5)【時間】→24【分】
　　　　B地からC地までの(9/5)【km】を、3【km/時】で歩き、(3/5)【時間】→48【分】
　　60【分】→1【時間】
　兄は、A地からC地までの(21/5)【km】を、4【km/時】の速さで歩いた
　　21/20【時間】→1【時間】3【分】
　兄は弟より3【分】遅れてC地に着いた。
　A地からB地までの道のり(12/5)【km】は、B地からC地までの道のり(9/5)【km】の4/3倍

答え
　A地からC地までの道のりは、(21/5)【km】
No.16167 - 2011/12/15(Thu) 00:31:12
☆ Re: 一次関数 / 受験生
分かりやすくありがとうございました(*^_^*)
No.16178 - 2011/12/15(Thu) 17:47:51
★ 数の表現 / かな
１０進数８.１３を３２ビット浮動小数点表示（ＩＢＭ３６０方式）に変換せよ

よろしくお願いします
No.16154 - 2011/12/13(Tue) 22:30:34
☆ Re: 数の表現 / angel
え…、IEEE754でなくて、IBM360方式?
今時なんでまた。

取り敢えず、
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%B5%AE%E5%8B%95%E5%B0%8F%E6%95%B0%E7%82%B9%E6%95%B0#IBM.E6.96.B9.E5.BC.8F.EF.BC.88.E3.82.A8.E3.82.AF.E3.82.BB.E3.82.B964_.E5.BD.A2.E5.BC.8F.EF.BC.89
で良いのでは。
No.16155 - 2011/12/14(Wed) 01:17:46
☆ Re: 数の表現 / かな
ありがとうございました
No.16161 - 2011/12/14(Wed) 21:59:10
★ (No Subject) / G7
問い）ｘ＞０のときｆ（ｘ）＝ｘ＋(１/ｘ)の値域を求めよx>0,1/x>0なので相加相乗平均の不等式より
f(x)≧２√（x・1/x)=2であり、
ｘ＝１のとき等号が成り立つので、
ｆ（ｘ）の値域はｆ（ｘ）≧2

上の答案の不備が分かりますか？

というチラシがあったのですが、どこが不備なのでしょうか。。気になるので教えてください。よろしくおねがいします。
No.16149 - 2011/12/12(Mon) 20:13:23
☆ Re: / のぼりん
こんばんは。

では、次の間違いは分かりますか？

【問】ｘ＞０ のとき、ｆ（ｘ）＝（ｓｉｎ ｘ＋２）/２＋２/（ｓｉｎ ｘ＋２） の値域を求めよ。

【誤解答】ｘ＞０ のとき、（ｓｉｎ ｘ＋２）/２＞０、２/（ｓｉｎ ｘ＋２）＞０ なので、相加相乗平均の不等式より
　　　ｆ（ｘ）≧２√｛（ｓｉｎ ｘ＋２）/２・２/（ｓｉｎ ｘ＋２）｝＝２
であり、ｘ＝２π のとき等号が成り立つので、ｆ（ｘ） の値域は
　　　ｆ（ｘ）≧２　　■
No.16150 - 2011/12/12(Mon) 21:47:14
☆ Re: / G7
ｘ＞０でしか定義されていないのでｘ＝０で等号が成り立っても意味が無い、というところですかね・・？
No.16151 - 2011/12/12(Mon) 23:30:23
☆ Re: / angel
f(x)≧2 という不等式があった時、文脈にもよりますが、大きく2通りの意味にとれます。

1つは、純粋に大小関係を表す意味。つまり、例えばf(x)=2 になる瞬間はないかもしれないけれど、f(x)と2を比較すると前者の方が大きいか等しいよ、ということを表すものです。
不等式を解いて x の範囲を求めるような話の進め方をする場合もこちらですね。

もう1つは、値として取りうる範囲を表す意味。つまり、適切なxの値を選べば、2以上の数ならなんでも f(x) の値として取り得ますよ、ということを表すものです。
逆に、取り得ない値があってはダメです。

例えば、
　f(x)=(x^2-4)/(x-2) (x≧0)
というf(x)は、2以上の値なら何でも取り得ますが、f(x)=4 にだけはなりません。
なので、前者の意味では f(x)≧2 は正しいですが、後者の意味では f(x)≧2 は間違いです。
※後者の意味なら、正しくは f(x)≧2, f(x)≠4 もしくは 2≦f(x)＜4, f(x)≧4 が正解

…さて、ここまでを踏まえて。
元の問題の答としてあげている f(x)≧2 はこのどちらの用法で考えるべきでしょうか。また、相加相乗平均の不等式はどちらの意味を持っているのでしょうか。それを考えてみてください。
No.16152 - 2011/12/13(Tue) 00:37:23
☆ Re: / のぼりん
あちゃ〜、揚げ足を取られてしまいました… まぁ、誤字ですから自業自得ですか。 正しくは、「ｘ＝２π のとき等号が成り立つので」とすべきでしたね。 元回答を直しておきました。

定性的な説明は angel さんの通りです。 他の反例としては、

【問２】〔　〕をガウス記号とする。 ｘ＞０ のとき、ｆ（ｘ）＝〔ｘ＋１〕＋１/〔ｘ＋１〕 の値域を求めよ。

【誤解答】ｘ＞０ のとき、〔ｘ＋１〕＞０、１/〔ｘ＋１〕＞０ なので、相加相乗平均の不等式より
　　　ｆ（ｘ）≧２√（〔ｘ＋１〕・１/〔ｘ＋１〕）＝２
であり、ｘ＝０．５ のとき等号が成り立つので、ｆ（ｘ） の値域は
　　　ｆ（ｘ）≧２　　■

【問３】ａ＝１、ｘ＞０ のとき、ｆ（ｘ）＝１＋１ の値域を求めよ。

【誤解答】ｘ＞０ のとき、１＞０、１＞０ なので、相加相乗平均の不等式より
　　　ｆ（ｘ）≧２√（１・１）＝２
であり、ｘ＝１ のとき等号が成り立つので、ｆ（ｘ） の値域は
　　　ｆ（ｘ）≧２　　■

等もあります。
No.16153 - 2011/12/13(Tue) 19:43:51
☆ Re: / G7
遅くなりましたが回答ありがとうございます

angelさんのf(x)≧2 はこのどちらの用法で考えるべきか、は
値域を求めよ、とのことなので、値として取りうる範囲を表す意味。

また、相加相乗平均の不等式はどちらの意味を持っているのか、は正直よく分からないというか、教科書に載ってないので知っているわけではないですが、経験上、最小値を求める時によく使っていることを思い出すと「純粋に大小関係を表す意味」だと思います

あってますでしょうか？

私の質問したものも、のぼりさんの誤答例も値域を求めよではなく、最小値を求めよ、なら正解ということですよね？

よろしくお願いします。
No.16186 - 2011/12/16(Fri) 04:19:06
☆ Re: / G7
どなたかおねがいします・・・
No.16192 - 2011/12/17(Sat) 01:09:59
☆ Re: / angel
> angelさんのf(x)≧2 はこのどちらの用法で考えるべきか、は
> 値域を求めよ、とのことなので、値として取りうる範囲を表す意味。

はい。正解です。

> 相加相乗平均の不等式は…(中略)…「純粋に大小関係を表す意味」だと思います

こちらも正解です。
なお、ここらへんの判断は教科書にも載っていない ( というか、何故か全員いつの間にかできることが前提になっている ) 話なので、資料を見ても分からないはずです。私も学校で聴いたり、教科書で視たりした記憶はありません。

まあ結論としては、2つの不等式の意味が食い違っているものを組み合わせて論理展開しても役に立たないですよ、ということになります。
※もっとも、「範囲を表す不等式」を「単純な大小関係を表す不等式」とみなして使うのは問題ないですけど。その逆(今回のケース)はN.G.
No.16196 - 2011/12/17(Sat) 10:17:13
☆ Re: / angel
> のぼりさんの誤答例も値域を求めよではなく、最小値を求めよ、なら正解ということですよね？

これについては注意が必要。
「『最小値を求めよ』には役立つことが多い」としておいた方が無難です。
例 ( 予め言うと、どちらもN.G. ) を挙げると、
(1) f(x)=x+1/x (x＞0) の最小値を求めよ
　相加相乗平均の関係より f(x)=x+1/x≧2・√(x・1/x)=2
　よって f(x) の最小値は 2
(2) f(x)=x+1/x (x≧2) の最小値を求めよ
　相加相乗平均の関係より f(x)=x+1/x≧2・√(x・1/x)=2
　よって f(x) の最小値は 2

これ、(1)は答えは合っていますが説明で減点、(2)にいたっては答えすら合っていません。
※(2)は f(2)=5/2 が最小値
なぜかというと、これらの相加相乗平均の不等式から求めた f(x)≧2 というのは、単純な大小関係としては正しいのですが f(x)=2 となる瞬間が存在するかどうかまでは保証していないからです。
なので、(1) は f(1)=2 という「実際に最小値を取るxの存在」を見つけて、説明を追加してはじめて正解となります。
No.16197 - 2011/12/17(Sat) 10:28:57
☆ Re: / G7
回答ありがとうございます。よく分かりました。

問い）ｘ＞０のときｆ（ｘ）＝ｘ＋(１/ｘ)の値域を求めよの
解答を完成させたいと思います
x>0,1/x>0なので相加相乗平均の不等式より
f(x)≧２√（x・1/x)=2であり、
ｘ＝１のとき等号が成り立つので、
ｆ（ｘ）の最小値は２。
あとはf(x)が（0,∞）の定義域で連続である事が言えればよい。
この後どうすればいいのか分からないので教えてください。
よろしくお願いします。
No.16202 - 2011/12/18(Sun) 04:23:41
☆ Re: / angel
> あとはf(x)が（0,∞）の定義域で連続である事が言えればよい。
> この後どうすればいいのか分からないので教えてください。

数IIIか数Cあたり ( 数IIでもいける? ) なら、その方針で解答をつくることもできますが、少なくとも数Iだと無理なので注意して下さい。
※つまり数I範囲だと、相加相乗平均の不等式は、値域を求める問題には使えない。

　…(前略)…
　f(x)の最小値はf(1)=2
　また、lim[x→+0] f(x)=+∞
　※lim[x→+∞] f(x)=+∞ を使っても良い
　f(x) は x＞0 の範囲で連続のため、f(x) の値域は f(x)≧2

lim[〜] f(x)=+∞ ということは、f(x) は幾らでも大きな値を取り得るということ、かつ、f(x) は連続のため ( 高校範囲で証明は不要、というかできない )、結局最小値2以上の値は何でも取り得る、ということになります。
…微分を習っていれば、グラフの形状を描いて説明する時に、ここら辺の話は自然とこなすことになります。

なお、数I範囲で解く場合は、
　f(x)=x+1/x=k と置いたときに、x+1/x=k が x＞0 なる実数解を持つ k の範囲を求めよ
という、実は二次方程式の問題と同等になります。
No.16209 - 2011/12/19(Mon) 00:31:17
全22533件 [ ページ : << 1 ... 912 913 914 915 916 917 918 919 920 921 922 923 924 925 926 ... 1127 >> ]