自然数x,yについて、2x^3-1=y^3を満たす、x,yの組を求めよ。
x=y=1以外成り立たなそうなのですが、変形等しても上手くできず、お力添えいただきたく存じます。
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No.81385 - 2022/03/20(Sun) 19:23:56
| ☆ Re: 整数 / 積分研究会 | | | もっと簡単な証明方法があると思うので参考程度にお願いします。技巧的なので。
証明
2x^3-1 = y^3(x,yは自然数)...(1)
に対して,2x^3-y^3をf(y)とおくと,f(y)はyが大きくなるにしたがって減少している.
ここで,y = 2xのとき,f(y) = -6x^3だから,xにかかわらず負である.
しかしこれは1に一致しないから,このとき(1)は成立しない.
このこととf(y)が減少関数であることを考慮すれば,
yはy<2xでなければならない...(2)
次に,(1)を以下のように変形する.
2x^3-y^3 = 1⇔ x^3-y^3 = 1-x^3 ⇔ (x-y)(x^2+xy+y^2) = (1-x)(1+x+x^2)...(3)
y≠1のとき,すべてのxに対して(1+x+x^2) < (y^2+yx+x^2)であるから,
(3)の式が成立するためには,x-y < 1-x ⇔ 2x-1 < y とならなければならない...(4)
(2)と(4)から,2x-1 < y < 2xとなるが2x-1と2xはともに整数であるから,その間に整数は存在しえない.
∴ そのようなyは存在しない.
y = 1のとき,2x^3 - 1 = 1⇔ x^3 = 1よりx=1から,
(1)を満たす自然数x,yはx=y=1のみである.
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No.81388 - 2022/03/21(Mon) 06:29:31 |
| ☆ Re: 整数 / 高校三年生 | | | 「x-y < 1-x」
ここおかしいと思います。両辺は共に負値ですよね？
なら、絶対値は右辺のほうが大きくならねばならないので、
不等号は逆向きかと。
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No.81389 - 2022/03/21(Mon) 07:34:18 |
| ☆ Re: 整数 / m | | | 英語の掲示板で議論されていた：https://math.stackexchange.com/q/61014
> https://math.stackexchange.com/q/691196
体論?を使った証明
>https://math.stackexchange.com/a/500176
オイラーは x^3 + y^3 = 2z^3 の整数解は x = ±y であることを示した．（これは元の問題の一般化になっている）
日本語の証明があった
http://wasmath.la.coocan.jp/x3+y3=2z3.pdf
ので，今からこれを読んでみようと思う．
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No.81399 - 2022/03/21(Mon) 17:23:12 |
| ☆ Re: 整数 / 積分研究会 | | | > 「x-y < 1-x」
>
> ここおかしいと思います。両辺は共に負値ですよね？
> なら、絶対値は右辺のほうが大きくならねばならないので、
> 不等号は逆向きかと。
うん、勘違いしていた。
申し訳ない.
一応正しい証明が得られたので載せておく.
これは些細なミスはあるかもしれないけど、きちんと見直したので間違っていないはず.
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No.81400 - 2022/03/21(Mon) 22:46:07 |
| ☆ Re: 整数 / 積分研究会 | | | 証明
まず、2x^3 - 1 = y^3から
x <= y < 2^(1/3)x...(1)であることを示す.
まず,xとyはともに正数だから,
x <= y ⇔ x^3 <= y^3 = 2x^3 - 1⇔ 1 <= x^3 ⇔ 1 <= x.
また,y < 2^(1/3)x ⇔ y^3 = 2x^3 - 1 < 2x^3 ⇔ -1 < 0.
(1)よりyは,
y = (x+n)(n=0,1,2,3...)...(2)の形に限られるので,
2x^3 - 1 = (x+n)^3を満たすxとnを求めればよい...(3)
ここで,(x+2^(1/3)x-x)^3 = 2x^3だから,
2x^3 - 1 = (x+[2^(1/3)x-x])^3を満たすxが唯一の解である.※[]はガウス記号
なぜなら,もしn < [2^(1/3)x-x]となる整数nのとき,
2x^3 - 1 = (x+n)^3を満たすなら,
(1)から2x^3 <= (x+[2^(1/3)x-x])^3となってこれは矛盾する.
※2^(1/3)x-xが整数となることはない.
[2^(1/3)x-x] = [2^(1/3)x]-xであることを用いれば,
(2^(1/3)x)^3 - ([2^(1/3)x])^3 - 1 = 0...(4)を満たす自然数xのみが解となる.
ここで,2^(1/3) = 1.2,,,であるから,2^(1/3) = 1+c(0<c<1)とおいて(4)の左辺に代入すると,
((1+c)x)^3 - ([(1+c)x])^3 - 1 = 0...(5),以後(5)の左辺をf(x)(x=1,2,3,...)と表す.
全てのxに対して,f(x)<f(x+1)を示す.
f(x+1) = ((1+c)x+1+c)^3 - ([(1+c)x+1+c])^3 - 1
= (1+c)^3x^3+3(1+c)^3x^2+3(1+c)^3x+(1+c)^3 - ([(1+c)x]^3 + 1(or 2)) - 1
f(n) = ((1+c)x)^3 - ([(1+c)x])^3 - 1 < (1+c)^3x^3+3(1+c)^3x^2+3(1+c)^3x+(1+c)^3 - ([(1+c)x]^3 + 1(or 2)) - 1
⇔ 0 < 3(1+c)^3x^2+3(1+c)^3x+(1+c)^3 - 1(or 2)で,1+c,x>=1より明らか.
このことから,もしf(x)=0を満たす自然数xがあれば,
それよりも小さいあるいは大きい自然数x'について常にf(x') ≠ 0 ということがいえる.
つまり解はあったとしてもひとつしかない.
実際,x = 1のときf(1) = 2^(1/3)^3 - 1 - 1 = 0より満たすので,
x = y = 1が唯一の解である.
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No.81401 - 2022/03/21(Mon) 22:54:08 |
| ☆ Re: 整数 / らすかる | | | ([(1+c)x+1+c])^3
を
([(1+c)x]^3 + 1(or 2))
としている変形は正しくないのでは？
例えばx=10のとき
([(1+c)x+1+c])^3=13^3=2197
([(1+c)x]^3 + 1(or 2))=12^3+1(or 2)=1729(or 1730)
となり等しくありません。
（もし私の勘違いでしたらご指摘下さい。）
実際、f(x)を具体的に計算してみると
x=1,2,3,…に対するf(x)の値は
0,7,26,2,33,88,173,23,126,271,464,80,297,574,917,191,564,…
のようになっており、
「全てのxに対してf(x)＜f(x+1)」は成り立っていません。
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No.81402 - 2022/03/22(Tue) 01:02:47 |
| ☆ Re: 整数 / 積分研究会 | | | > ([(1+c)x+1+c])^3
> を
> ([(1+c)x]^3 + 1(or 2))
> としている変形は正しくないのでは？
> 例えばx=10のとき
> ([(1+c)x+1+c])^3=13^3=2197
> ([(1+c)x]^3 + 1(or 2))=12^3+1(or 2)=1729(or 1730)
> となり等しくありません。
> （もし私の勘違いでしたらご指摘下さい。）
> 実際、f(x)を具体的に計算してみると
> x=1,2,3,…に対するf(x)の値は
> 0,7,26,2,33,88,173,23,126,271,464,80,297,574,917,191,564,…
> のようになっており、
> 「全てのxに対してf(x)＜f(x+1)」は成り立っていません。
おっしゃる通りです。
改善案です。
あってると思うのですが...
https://drive.google.com/file/d/1W5OXxEZFxN721TUM11Bo83KUt9jQLiGV/view?usp=sharing
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No.81432 - 2022/03/23(Wed) 00:54:23 |
| ☆ Re: 整数 / らすかる | | | > 「今,1以上のnに対して,[n/c]≧(n+1)/c-1であることを用いると,
これは正しくないと思います。
n=1のとき(左辺)=3、(右辺)=6.69…となります。
というより、任意のnで成り立ちません。
# y=f(x)をグラフソフトで描画するとx軸と無限回交わるようなので、
# その方向性で証明するのは無理っぽいと思うのですが…
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No.81434 - 2022/03/23(Wed) 01:28:36 |
| ☆ Re: 整数 / 積分研究会 | | | > > 「今,1以上のnに対して,[n/c]≧(n+1)/c-1であることを用いると,
> これは正しくないと思います。
> n=1のとき(左辺)=3、(右辺)=6.69…となります。
> というより、任意のnで成り立ちません。
>
> # y=f(x)をグラフソフトで描画するとx軸と無限回交わるようなので、
> # その方向性で証明するのは無理っぽいと思うのですが…
[n/x]≧n/x - (x-1)/xは一般のx,n>0について成り立つとウィキペディアに書いてありましたので使いました。
ちゃんと見直すべきでした。
ちょっと、別の方法おもいつけば証明してみようと思います。
返事ありがとうございます。
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No.81436 - 2022/03/23(Wed) 02:09:52 |
| ☆ Re: 整数 / らすかる | | | > [n/x]≧n/x - (x-1)/xは一般のx,n>0について成り立つとウィキペディアに
確かに書いてありましたが、これはひどいですね。
[n/x]≦n/x であり、0＜x＜1のとき(x-1)/x＜0ですから
0＜x＜1のときは明らかに[n/x]＜n/x - (x-1)/xですね。
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No.81439 - 2022/03/23(Wed) 05:17:13 |
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