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★ 微分の変数変換？ / 大学生
ローレンツ変換(画像)をした後の、新しい座標系K'(t',x',y',z')の速度を求める際の計算に関してです。
dx'/dt'=(dx'/dt)・(dt'/dt)=((dx/dt)-V)/(1-V(dx/dt)/c^2))が正解となるのですが、全微分商
dx'/dt'=(∂x'/∂t)・(dt/dt')+(∂x'/∂x)・(dx/dt')
のように計算するとdx'/dt'=dx/dtとなり間違っていることが分かります。しかしどこが間違いなのかがわかりません。このような変数変換で全微分商の考え方が使えない理由と、できればなぜ正解の考え方で良いのかを教えて下さい。
No.80648 - 2022/02/01(Tue) 18:07:13
☆ Re: 微分の変数変換？ / 大学生
すみません、計算ミスでした。自己解決しました。
No.80650 - 2022/02/01(Tue) 18:41:59
★ (No Subject) / あーちゃん
明日、高校入試なんですー！
やばい、これわからないです。
即効どなたかお願いしますっ！
No.80644 - 2022/02/01(Tue) 10:57:38
☆ Re: / ヨッシー
23
(2)
バスの速さは10m/秒、Ａさんの速さは１m/秒なので、
20秒後から10秒間に
　(10−1)×10＝90(m)
離される。
(3)
ｘの変域がなんて書いてあるんですかね？
　0≦ｘ≦4
に見えますが、この範囲なら
　ｙ＝(1/4)ｘ^2
です。
(4)
これもよく見えませんが、４秒後ですかね？
時刻ｘ秒でのＢさんのＰからの距離ｙは
　ｙ＝−３ｘ＋１３５
バスと出会う時刻は
　(1/4)ｘ^2＝−３ｘ＋１３５
なので、展開して解くと
　ｘ^2＋12ｘ−540＝0
　ｘ＝18, −30
0≦18≦20 であるので、18秒＝0.3分

画像を読み取るのに疲れたので、とりあえずここまで。
No.80653 - 2022/02/01(Tue) 21:55:52
☆ Re: 有難うございました＆申し訳ありませんでした。 / あーちゃん
スミマセンでしたm(_ _)mm(_ _)m
画像わるかったですね。。
次お聞きする際はちゃんとやります。
有難うございました！m(_ _)m
No.80823 - 2022/02/09(Wed) 07:03:32
★ 判別式 / にぶちゃん
極値を持つときと、極大値と極小値を持つときがどうして同じ条件なのですか?(1と2)の違いです
No.80640 - 2022/01/31(Mon) 20:53:18
☆ Re: 判別式 / にぶちゃん
わかりました、大丈夫です
No.80642 - 2022/01/31(Mon) 20:59:36
★ 積分 / 高校2年生
面積を求める問題で、504番はピンクのマーカーを引いたところはx=1に囲まれていない、つまり全ての条件が揃っていなくても面積を求めていますが、503番では黄色いマーカーを塗ったところがピンクのマーカーのところと同じく一部条件が揃っていません。しかし面積を求めていません。
この二つの問題の違いは、問題文に2つの部分の面積の和を求めよと書いてあるか書いてないかの違いですか？それとも何か特別な条件があるのでしょうか？ご教授お願いいたします。
No.80633 - 2022/01/31(Mon) 19:01:37
☆ Re: 積分 / けんけんぱ
問題文が読み取れない、ということでしょうか？
No.80634 - 2022/01/31(Mon) 19:16:24
☆ Re: 積分 / X
504では
＞＞〜で囲まれた「２つの」部分
の指定があるので、ピンクのマーキング
した部分の面積を計算しています。

それに対し、503ではその指定がありませんので
黄色のマーキングの領域は面積を求める領域では
ありません。
No.80635 - 2022/01/31(Mon) 19:20:50
☆ Re: 積分 / けんけんぱ
503は黄色部分も含めるのなら、y軸、x=2の指定は不要です。
４つの指定された線、曲線で囲まれた面積ですから、黄色部分は含まれません。(これがわからないと私にはこれ以上の説明はできません)
一方504は、３つの線、曲線で囲まれたところは２つできます。問題文にも２つの部分のとありますので、両方を指していることがわかります。
No.80638 - 2022/01/31(Mon) 20:07:25
★ 確率の問題 / うみ
1から216までの整数が記されたカードが1枚ずつ入った袋がある。この袋から2枚のカードを同時に取り出す。また、自然数mに対して次のように条件Qを定める。
条件Q：mは2で1回割り切れるが2回以上は割り切れない数であり、3でも1回は割り切れるが2回以上は割り切れない数である。例えば、m=30は条件を満たすが、m=60は条件を満たさない。

(1)カードに記された2数の最大公約数が条件Qを満たす場合は何通りあるか。
(2)カードに記された2数の最大公約数が条件Qを満たすとき、少なくとも一方のカードの数が条件Qを満たす条件付確率を求めよ。

考え方や途中式も書いてくださると幸いです。
学年は高校1年生です。
No.80623 - 2022/01/31(Mon) 16:49:14
☆ Re: 確率の問題 / ヨッシー
(1)
２数をａ，ｂとします。
ａもｂも６の倍数なので、ａ，ｂに入る候補として、
６の倍数だけを考えます。
ａ，ｂを６で割った数をａ’，ｂ’とすると
ａ’，ｂ’ は、１から３６の整数を取ります。
これら 36 個の数を４つのグループに分けます。
Ａ：２でも３でも割り切れない数
　1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 35 の 12個
　36×1/2×2/3＝12　としても求められます。
Ｂ：２の倍数だが、３の倍数でない数
　2, 4, 8, 10, 14, 16, 20, 22, 26, 28, 32, 34 の 12個
　36×1/2×2/3＝12　としても求められます。
Ｃ：３の倍数だが、２の倍数ではない数
　3, 9, 15, 21, 27, 33 の６個
　36×1/2×1/3＝6　としても求められます。
Ｄ：２でも３でも割り切れる数
　6, 12, 18, 24, 30, 36 の６個
　36÷6＝6 としても求められます。
ａ’，ｂ’の組み合わせとして考えられるのは、
　ＡとＡ：12Ｃ2＝66(通り)
　ＡとＢ：12×12＝144(通り)
　ＡとＣ：12×6＝72(通り)
　ＡとＤ：12×6＝72(通り)
　ＢとＣ：12×6＝72(通り)　の426通り　・・・答え
※ＡとＢとは、引いた２数がＡグループの１つとＢグループの１つであるということを表す。

(2)
426通り中、ＢＣ以外は、Ａである方の数が条件Ｑを満たすので、
　(426−72)/426＝354/426＝59/71　・・・答え
No.80630 - 2022/01/31(Mon) 18:48:46
★ 東京工業大学　整数問題 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
こんにちは

何卒宜しくお願い致します。

以下問題の(3)です
No.80621 - 2022/01/31(Mon) 16:22:23
☆ Re: 東京工業大学　整数問題 / IT
まず、a(1),a(2),a(3),a(4)、a(5)、 a(6) を計算してみてください。
No.80624 - 2022/01/31(Mon) 17:10:42
☆ Re: 東京工業大学　整数問題 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
ご回答ありがとうございます。

一つ質問があります
＞まず、a(1),a(2),a(3),a(4)、a(5)、 a(6) を計算してみてください。

既に計算していますが、それをどう使うのでしょうか。
No.80627 - 2022/01/31(Mon) 17:46:29
☆ Re: 東京工業大学　整数問題 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
この問題の考え方の指針を教えてください。

何卒宜しくお願い致します。
No.80628 - 2022/01/31(Mon) 17:48:16
☆ Re: 東京工業大学　整数問題 / IT
> 一つ質問があります
> ＞まず、a(1),a(2),a(3),a(4)、a(5)、 a(6) を計算してみてください。
>
> 既に計算していますが、それをどう使うのでしょうか。

どうなりましたか？

分子、分母の　各素因数の指数や、全体のサイズに注目すると絞れるかも知れません。
No.80629 - 2022/01/31(Mon) 18:45:12
☆ Re: 東京工業大学　整数問題 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
早速のご返答ありがとうござい

質問があります

私もnに制限を設ける策で試行錯誤していますが、nは最大いくつまで制限を設けるべきでしょうか

何卒宜しくお願い致します。
No.80631 - 2022/01/31(Mon) 18:50:11
☆ Re: 東京工業大学　整数問題 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
私は次のように考えました
No.80636 - 2022/01/31(Mon) 19:41:40
☆ Re: 東京工業大学　整数問題 / IT
私もこれからやってみるところですが、
分子が(n+2)(n+3)(n+4) なので､素因数３の方が数えやすいかも知れませんね。

ある素因数p（２とか３）について
ある自然数nで
　a(1)a(2)a(3)...a(n)の分子のpの指数＜分母のpの指数となり、かつ
　任意のm＞n について　
　　a(m)の分子のpの指数≦a(m)の分母のpの指数
となることを示せれば

n 未満について　個別に調べればいいですね。
a(k)が整数でないkについて　
　a(1)a(2)a(3)...a(k) が整数になるかどうかを調べる。
（p以外の素因数の指数について確認すれば良いです。）


本質的なことではないですが、
2^2,2^2,2^3,も、2,2,3 と指数だけ記述した方が早いですよ。
No.80637 - 2022/01/31(Mon) 20:03:56
☆ Re: 東京工業大学　整数問題 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
ご返答ありがとうございます

今日は疲れてしまい
明日またご質問致します。

ありがとうございました
No.80643 - 2022/01/31(Mon) 22:09:57
☆ Re: 東京工業大学　整数問題 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
後は自分で処理出来そうです

ありがとうございました
No.80647 - 2022/02/01(Tue) 17:23:46
☆ Re: 東京工業大学　整数問題 / IT
任意のm＞n について　
　　a(m)の分子(m+2)(m+3)(m+4)のpの指数≦a(m)の分母m!のpの指数
となることを簡明に示すことがポイントだと思います。

なお、m！の素因数p の指数計算は、整数の典型問題の一つです。
（そんなに厳密に計算しなくても良いかも知れませんが）
No.80649 - 2022/02/01(Tue) 18:31:31
☆ Re: 東京工業大学　整数問題 / 黄桃
終わったようなので、簡単にコメントします。
おそらく、(1),(2),(3)と順にヒントになっているのでしょう。
(1)で「a(n)はnが2以上で狭義単調減少で急速に0に収束する」(a(n+1)=(n+5)/((n+2)(n+1)) * a(n))ことがわかるので、これを使って
(2)ではa(n)が1より小さくなるところ(実際a(6)=1)までを調べればよい、とわかる。
すると、これより先はa(n)<1で、a(n)は急激に小さくなるので、
(3)でも、意外と早くa(1)a(2)...a(n)<1 となるnが見つかるのではないか、
と考えて試しにa(1)...a(7),a(1)...a(8),a(1)...a(9)を計算してみれば、予想が正しそう、とわかり、
a(1)...a(10)まで計算すれば答がわかるようになっているようです。
No.80657 - 2022/02/02(Wed) 00:13:29
☆ Re: 東京工業大学　整数問題 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
IT先生、黄桃先生

本当に有難うございました
No.80660 - 2022/02/02(Wed) 03:38:37
★ 強制振動の解　運動方程式 / ななし
次のローレンツモデルにおける強制振動の解(21.2)が運動方程式を満たすことを確認せよと言う問題なのですがうまくいきません。
どなたか教えてください
No.80619 - 2022/01/31(Mon) 15:40:36
☆ Re: 強制振動の解　運動方程式 / X
(d/dx)e^(iωt)=iωe^(iωt)
(d^2/dx^2)e^(iωt)=(-ω^2)e^(iωt)
以上を踏まえて、(21.2)を(21.1)の左辺に
代入した式を計算してみましょう。
No.80626 - 2022/01/31(Mon) 17:36:55
☆ Re: 強制振動の解　運動方程式 / ななし
> (d/dx)e^(iωt)=iωe^(iωt)
> (d^2/dx^2)e^(iωt)=(-ω^2)e^(iωt)
> 以上を踏まえて、(21.2)を(21.1)の左辺に
> 代入した式を計算してみましょう。
係数の関係で消えないんですよね
No.80632 - 2022/01/31(Mon) 18:58:52
☆ Re: 強制振動の解　運動方程式 / X
提示する式が違っていました。
(d/dx)e^(iωt)=iωe^(iωt)
(d^2/dx^2)e^(iωt)=(-ω^2)e^(iωt)
ではなくて
(d/dx)e^(-iωt)=-iωe^(-iωt)
(d^2/dx^2)e^(-iωt)=(-ω^2)e^(-iωt)
です。


分かりやすくするため、(21.2)のe^(-iωt)の係数
をαとします。
つまり
X=αe^(-iωt)
α=-(e/m)E[0]/(ω[0]^2-ω^2-iωΓ)
このとき
((21.1)の左辺)=mα(-ω^2-iΓω+ω[0]^2)e^(-iωt)
=mα(ω[0]^2-ω^2-iωΓ)e^(-iωt)
=-eE[0]e^(-iωt)
=((21.1)の右辺)
No.80639 - 2022/01/31(Mon) 20:47:12
☆ Re: 強制振動の解　運動方程式 / ast
> 係数の関係で消えないんですよね
# 誤植の可能性も考えて実際に代入してみましたが, ちゃんと成立する式ですね.

代入して満たされることを確かめればよい単純計算系の問題ですから, うまくいかないのは途中計算に誤りがあるとか (この場合微分に関する?) 基本的な計算で勘違いがあるとかそういうことだろうと思いますが, であるからこそ回答側が質問者側の犯しているその種の間違いを想像することは難しい (きちんと計算すれば間違わない) ので, 質問者側が現状開示するほうが有効だと思います.

# ケアレスミスの類いなら自力で発見できるほうがよいので回答者は模範答案の提示をためらうでしょうし,
# 根本的な勘違いがあるなら本人以外が検討して指摘したほうがよいでしょうから,
# いずれにしても質問者が具体的にどういう計算をやったかを他人が確認できる状況に自らもっていく
# というのは質問力として重要なファクターだと考えます.
No.80641 - 2022/01/31(Mon) 20:54:16
★ GDPの成長率の問題 / るみ
今後10年でGDPを3倍にするという計画を達成するには毎年平均何パーセントの成長率が必要になりますか。
複利計算を使うのですがどうしても答えがわかりません。
解説していただけるとうれしいです。
No.80616 - 2022/01/30(Sun) 22:02:08
☆ Re: GDPの成長率の問題 / X
平均成長率をx[%]とすると、条件から
(1+x/100)^10=3
これより
x=100・{3^(1/10)-1}≒11.6
∴約11.6%です。
No.80617 - 2022/01/30(Sun) 23:52:04
★ 浜学園の算数　6年の問題です / ゆうくん
斜線部分の面積を求める問題です。
解答は(17x25-5x9)÷2=190 （cm2）
ですが、解説をいただけると嬉しいです。よろしくお願いいたします。
No.80602 - 2022/01/30(Sun) 18:14:59
☆ Re: 浜学園の算数　6年の問題です / ヨッシー

図において、四角形ＡＢＣＤが求める四角形です。
一方、四角形ＡＢＥＤ＝25×17÷2 ですが、
これに比べて、四角形ＡＢＣＤはどれだけ小さいかというと、
△ＢＥＣと△ＤＥＣの差だけ小さいです。
両者は底辺ＥＣ＝9cm が共通で、高さが5cm 違うので、
△ＤＥＣは△ＢＥＣより
　9×5÷2
だけ小さいです。
No.80609 - 2022/01/30(Sun) 19:13:54
☆ Re: 浜学園の算数　6年の問題です / ゆうくん
返信ありがとうございました。図を見ることができないのですが、どのようにしたら見ることができるのでしょうか？ご教授お願い致します。
No.80610 - 2022/01/30(Sun) 19:57:53
☆ Re: 浜学園の算数　6年の問題です / ゆうくん
すみません。今、図を見ることができました。解説を確認します。
No.80611 - 2022/01/30(Sun) 20:02:37
☆ Re: 浜学園の算数　6年の問題です / ゆうくん
分かりやすい解説ありがとうございました。受験直前で浜の先生にも聞けず、困っておりましたが助かりました。感謝いたします。
No.80612 - 2022/01/30(Sun) 20:09:33
☆ Re: 浜学園の算数　6年の問題です / ヨッシー
やや反則ですが、答えだけ知りたい場合は、こういう極端な
場合を考えるのも１つの手です。

No.80614 - 2022/01/30(Sun) 21:30:03
☆ Re: 浜学園の算数　6年の問題です / ゆうくん
別解まで教えていただき、ありがとうございます。もし可能でしたら、この等積変形の解説もいただけると助かります。よろしくお願いいたします。
No.80620 - 2022/01/31(Mon) 16:18:13
☆ Re: 浜学園の算数　6年の問題です / ヨッシー
いや、これは邪道なので、きれいに解説できるものではありません。

問題を見て、
　どの位置に9cm，5cm をとっても、作図できる。
→どの位置に9cm，5cm をとっても、面積は同じ
　でないと、問題が成立しない。
→9cm，5cm を右下に寄せてきた究極が上の図。
という発想です。
ずるい！
No.80622 - 2022/01/31(Mon) 16:29:33
☆ Re: 浜学園の算数　6年の問題です / ゆうくん
よくわかりました！息子もスゴイ！と感謝しております。ありがとうございました。
No.80625 - 2022/01/31(Mon) 17:23:41
★ (No Subject) / tommy
こちらの画像の式の導出が理解できておりません。よろしくお願いいたします。
No.80601 - 2022/01/30(Sun) 17:42:34
☆ Re: / ast
字が乱れていてよく読み取れないが, 「〜を示す」の次の行の右辺, 分母は Σ_i の添え字 i に依存しない定数 (ですよね?) だから, そもそもそれを最初に括りだしてしまったほうが見通しはよいのではないか, と思います.

# 少なくともその次の次の行で Σ を分母と分子のそれぞれに「分けて」いるようすですが,
# これは誤りで, まったく不可能な操作だと思います.
## 不可能なことがもし Σ の記法のせいで分からないなら "+" の記法を使って書いてみてください,
## (足すには通分しないといけない場面だと思います).
No.80603 - 2022/01/30(Sun) 18:17:07
☆ Re: / tommy
> 字が乱れていてよく読み取れないが, 「〜を示す」の次の行の右辺, 分母は Σ_i の添え字 i に依存しない定数 (ですよね?) だから, そもそもそれを最初に括りだしてしまったほうが見通しはよいのではないか, と思います.
→分母はx_i-x-（エックスバー）×x_iのため添え字iには依存してしまいます。
>
> # 少なくともその次の次の行で Σ を分母と分子のそれぞれに「分けて」いるようすですが,
> # これは誤りで, まったく不可能な操作だと思います.
> ## 不可能なことがもし Σ の記法のせいで分からないなら "+" の記法を使って書いてみてください,
> ## (足すには通分しないといけない場面だと思います).
→そうですよね、どうにか１にしようと書いてたのですが…
どうすれば１になるのでしょうか。
No.80604 - 2022/01/30(Sun) 18:31:31
☆ Re: / X
横から失礼します。

以下、xの平均を\xを書くことにします。

T_xx=Σ[i=1〜n](x[i]-\x)^2
=Σ[i=1〜n](x[i])^2-2Σ[i=1〜n]x[i]\x+Σ[i=1〜n](\x)^2
=Σ[i=1〜n](x[i])^2-2(\x)Σ[i=1〜n]x[i]+Σ[i=1〜n](\x)^2
=Σ[i=1〜n](x[i])^2-2n(\x)^2+n(\x)^2
=Σ[i=1〜n](x[i])^2-n(\x)^2
一方、
Σ[i=1〜n](x[i]-\x)x[i]
=Σ[i=1〜n](x[i])^2-Σ[i=1〜n]x[i]\x
=Σ[i=1〜n](x[i])^2-n(\x)^2
∴
T_xx=Σ[i=1〜n](x[i]-\x)x[i]
です。
No.80605 - 2022/01/30(Sun) 18:40:05
☆ Re: Σの扱いについて / tommy
xさんご教示いただきありがとうございます。
私もそうしたいのですが今回は下記のようにΣ{((x[i]-\x)xi)/Σ(x[i]-\x)^2)}となっております。
それでも可能でしょうか。
知識不足で申し訳ございませんが何卒宜しくお願い致します。
No.80607 - 2022/01/30(Sun) 18:56:50
☆ Re: / ast
> →分母はx_i-x-（エックスバー）×x_iのため添え字iには依存してしまいます。

これが根本的な誤りの原因だと思いますよく見たらこの式分子じゃん, 分母の話したいんだよ……. 分母 Txx の中に隠れている Σ と, 今計算しようとしている Σ は添え字が同じものではありません (二つの添え字は同期しませんので, 式全体の Σ の添え字 i とは区別して Txx の計算内の Σ の添え字は j とか k とか i とは別の文字にしてください).
# そういう意味で,画像では添え字を明示せずに誤魔化していることが根本原因だともいえるかと思います.

もう一度繰り返しますが, Σ_i の「分母」Txx は和をとる見かけの変数 i に関して定数です (Txx=Σ_j(x_j-\x)^2 の見かけの変数 j は和をとった時点で消えます).
No.80608 - 2022/01/30(Sun) 18:58:53
☆ Re: / tommy
astさん、追記いただきありがとうございます。
無事、導出出来ました。
私の理解不足により、お手数をおかけ致しました。
No.80613 - 2022/01/30(Sun) 20:09:47
★ 最小二乗法の不偏推定量の証明 / tommy
最小二乗法で得られた、推定値β~が母集団のその値βの不偏推定量であることを導出して確認したいのですが、画像の緑色の下線部が導出できず、困っております。ご教示いただけないでしょうか。
No.80599 - 2022/01/30(Sun) 17:39:53
☆ Re: 最小二乗法の不偏推定量の証明 / tommy
> 最小二乗法で得られた、推定値β~が母集団のその値βの不偏推定量であることを導出して確認したいのですが、画像の緑色の下線部が導出できず、困っております。ご教示いただけないでしょうか。
No.80600 - 2022/01/30(Sun) 17:41:05
★ (No Subject) / The meaning of goodbye
f(x)=x^3-(a+2)x^2+a^2x-1が極大値と極小値を持つaの値とそのときの極大値と極小値の差を求めよ

1／6公式を使うらしいのですが…
解説よろしくお願いします
No.80597 - 2022/01/30(Sun) 16:14:43
☆ Re: / The meaning of goodbye
f'(x)=3x^2-2(a+2)x+a^2
f'(x)=0の二つの解をα、βとおくと極大値と極小値の差はf(α)-f(β)と表すことができる。
f(a)-f(b)=インテグラル(β→α)f'(x)dx
=3×インテグラル(β→α)(x-α)(x-β)dx

で1／6公式を使うのだと思うのですが…
No.80618 - 2022/01/31(Mon) 00:04:09
★ (No Subject) / 春紫苑
放物線y=x^2と曲線y=(1/3)x^3+x^2-ax+2aの共有点のうちx>0の範囲にあるものの個数を求めよ

進めていって曲線y=(1/3)x^3と直線y=a(x-2)の共有点のうちx>0の範囲にあるものの個数を求めるというところまで行ったのですがその先がわかりません
No.80596 - 2022/01/30(Sun) 16:08:28
☆ Re: / X

問題の共有点のx座標はxの方程式
x^2=(1/3)x^3+x^2-ax+2a
つまり
(1/3)x^3-ax+2a=0
の解。
よって
f(x)=(1/3)x^3-ax+2a
と置くと、問題は
曲線y=f(x)とx軸の正の部分との交点の個数
を求めることに帰着します。

ここで
f'(x)=x^2-a
となることからf(x)の増減表を書くと
(i)a＜0のとき
f(x)は単調増加であり
f(0)=2a＜0
∴問題の共有点の数は1個
(ii)a=0のとき
f(x)は単調増加であり
f(0)=2a=0
∴問題の共有点の数は0個
(iii)a＞0のとき
f(x)は
極大値f(-√a)=(2/3)a√a+2a＞0
極小値f(√a)=-(2/3)a√a+2a=-(2/3)a(√a-3)
を持ち、更に
f(0)=2a＞0
∴
f(√a)＜0、つまり9＜aのとき、
問題の共有点は2個
f(√a)=0、つまりa=9のとき、
問題の共有点は1個
f(√a)＞0、つまり0＜a＜9のとき
問題の共有点は0個

以上から求める個数は
0≦a＜9のとき0個
a＜0,a=9のとき1個
9＜aのとき2個
No.80615 - 2022/01/30(Sun) 21:33:37
★ 多項定理 / 名前
(a+b+c)^n の展開式のうちa,bの次数が均しい項の和を求めたいです。
ご教授願います。
No.80592 - 2022/01/30(Sun) 14:45:11
★ せきぶん / おる
最初の方から分からなくなり困っています。
ここからの計算を知りたいです！
No.80584 - 2022/01/30(Sun) 09:00:37
☆ Re: せきぶん / おる
写真忘れてました、、
No.80590 - 2022/01/30(Sun) 12:48:18
☆ Re: せきぶん / X
l=∫[1→2]√{1+(1/x)^2}dx
=∫[1→2](1/x)√(1+x^2)dx
ここで
√(1+x^2)=t
と置くと
x^2=t^2-1
xdx=tdt
∴l=∫[√2→√5](1/x)t(t/x)dt
=∫[√2→√5]{(t^2)/(t^2-1)}dt
=…
No.80591 - 2022/01/30(Sun) 13:44:11
☆ Re: せきぶん / おる
とけました！ありがとうございます！
No.80593 - 2022/01/30(Sun) 14:51:43
☆ Re: せきぶん / X
ごめんなさい。もう見ていないかもしれませんが
No.80591に誤りがありましたので、直接
修正しました。
再度ご覧下さい。
No.80594 - 2022/01/30(Sun) 15:24:30
★ (No Subject) / ケイ
１年間で1÷1250000（0.00008％）の確率で起こることがあるとします。
80年間生きると起こる確率は何％になるのでしょうか？
計算式だけでなく答えも書いて頂けるとありがたいです。自分の答えと照合したいです。
No.80575 - 2022/01/30(Sun) 04:32:21
☆ Re: / IT
80年間起こらない確率を求めて１から引きます。
(1-(1-1/1250000)^80)*100　（％）

https://ja.wolframalpha.com/input/?i=%281-%281-1%2F1250000%29%5E80%29*100
No.80588 - 2022/01/30(Sun) 11:29:40
☆ Re: / ケイ
助かりました！
本当にありがとうございます！
No.80589 - 2022/01/30(Sun) 12:17:43
★ 数列の極限 / 桜蔭学園中等部２年　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
数列の極限

以下問題教えてください

質問は(1)だけです

何卒宜しくお願い致します。
No.80572 - 2022/01/29(Sat) 23:49:31
☆ Re: 数列の極限 / IT
a(n+1)/a(n)＝(n+5)/((n+2)(n+1))≦2/(n+1) なので

nが3以上のとき
　0＜a(n+1)/a(n)≦1/2
　∴0＜a(n+1)≦(1/2)a(n)≦((1/2)^(n-2))a(3)

∴lim(n→∞)a(n)=0
No.80573 - 2022/01/30(Sun) 02:06:13
☆ Re: 数列の極限 / 桜蔭学園中等部２年　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
お世話になります

以下のような考え方でも正しいでしょうか。

ご指導ください

何卒宜しくお願い致します。
No.80577 - 2022/01/30(Sun) 07:30:48
☆ Re: 数列の極限 / IT
考え方は良いと思いますが
２行目　、「n≧4 のとき」　などとした方がいいです。
３行目　、計算ミスか記入ミスがあるのでは？　再確認してください。

１行目　の記述は不要

４行目の前に「ゆえに」とか「∴」とかの接続詞を入れた方が良いです。
No.80579 - 2022/01/30(Sun) 07:53:37
☆ Re: 数列の極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　 　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
ありがとうございました
No.80645 - 2022/02/01(Tue) 12:40:25
★ 整数問題 / 桜蔭学園中学
何卒宜しくお願い致します。

以下問題

質問(2)のみです
No.80564 - 2022/01/29(Sat) 21:08:30
☆ Re: 整数問題 / IT
具体的に確認するのが早いかも
n=1,2,3,4 のときはOk が容易に分かる。
n=5のとき分子は５で割り切れない、分母は５の倍数なのでNG
n=6のときa(6)＝1　OK
No.80565 - 2022/01/29(Sat) 21:46:06
☆ Re: 整数問題 / IT
n≧7のとき
分母＞n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)
＝{n(n-5)}{(n-1)(n-4)}{(n-2)(n-3)}
≧(2n)(3n-3)(4n-8)＞(n+2)(n+3)(n+4)＝分子＞0
なのでNG
No.80566 - 2022/01/29(Sat) 21:57:27
☆ Re: 整数問題 / IT
a(6)=1 以降は
nが２以上のとき
　0＜a(n+1)/a(n)=(n+5)/((n+2)(n+1))＜1 であることを使えばいいですね
No.80567 - 2022/01/29(Sat) 22:09:59
☆ Re: 整数問題 / 桜蔭学園中学
ご回答ありがとうございます。

私は、次のように考えました

以下

適切か見ていただけると幸いです。
No.80568 - 2022/01/29(Sat) 22:25:00
☆ Re: 整数問題 / IT
n=1,2,3 のとき　１行目の式はまずいのでは？

g(n)とf(n) の大小関係がそのよう（nが8以上のときg(n)＜f(n))になること は、（正しいのですが）なぜ言えますか？
No.80570 - 2022/01/29(Sat) 22:50:46
☆ Re: 整数問題 / 桜蔭学園中学
ご指摘ありがとうございます。

以下のように答案を書き直しました

何卒宜しくお願い致します。
No.80571 - 2022/01/29(Sat) 23:11:52
☆ Re: 整数問題 / IT
ダメだと思います。
「グラフより・・・f,g 共に、単調に増加している(B)’」
グラフから単調増加が分かるのではないです。なぜ、そのようなグラフになると分かるのですか？

最後から２行目「・・・1,2,3,4,5,6を調べればよい。（∵(B)')」

なぜ(B)'から、上記が言えるのですか？
No.80576 - 2022/01/30(Sun) 07:28:03
☆ Re: 整数問題 / 桜蔭学園中等部２年　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
お世話になっております。

早速ですが

> グラフから単調増加が分かるのではないです

具体的にどういうことでしょうか、わからないときを、具体的にお示しください
No.80580 - 2022/01/30(Sun) 07:54:51
☆ Re: 整数問題 / 桜蔭学園中等部２年　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
f　は４以上から、ｇはー２から単調増加になることを示せということですか

何卒宜しくお願い致します。
No.80581 - 2022/01/30(Sun) 08:04:04
☆ Re: 整数問題 / IT
> > グラフから単調増加が分かるのではないです
>
> 具体的にどういうことでしょうか、わからないときを、具体的にお示しください

繰り返しになりますが、
y=f(x)のグラフが右肩上がりだから、f(x) が単調増加と分かるのではなくて、

何らかの数学的方法でf(x)が単調増加と分かったから、y=f(x)のグラフを右肩上がりで描いてよい。のです。
No.80582 - 2022/01/30(Sun) 08:15:51
☆ Re: 整数問題 / 桜蔭学園中等部２年　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
ご連絡ありがとうございます。

要するの

f なら　f(5/2)・f(4) <　0

などの記述が必要ということですか

何卒宜しくお願い致します。
No.80583 - 2022/01/30(Sun) 08:39:39
☆ Re: 整数問題 / IT
この問題のf,g に限って言えば、
単に「n≧4でf(n),g(n)共に、単調増加している。」で良いと思います。「グラフより」は、無い方が良い。
ということです。

「明らかに」などと書く人もありますが、無駄・邪魔だと思います。
また、nが３以下のところのグラフ（特に f(n)）は、描かない方が良いと思います。


なお、ポイントは、最後から２行目「・・・1,2,3,4,5,6を調べればよい。（∵(B)')」

なぜ(B)'から、上記が言えるのですか？　の方だと思います。
No.80585 - 2022/01/30(Sun) 09:02:28
☆ Re: 整数問題 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
ありがとうございました
No.80646 - 2022/02/01(Tue) 12:41:08
★ 数学三 微積分 / ひで
次の問題を解けずに困っています。
助けていただければ幸いです。

kは定数。-2 <= x <= 2で定義された関数f(x)=k+x+root(4-x^2)について、
曲線C y=f(x)を考える。
(1)曲線Cとx軸が共有点を持つためのkの条件
(2)-2 <= x <= 2, 0 <= y <=絶対値f(x) で表される領域をx軸の周りに一回転させてできる立体の体積Vを、kを用いて表せ。
(3) (1)のkの範囲でVが最小となるkの値と、その時のVの値を求めよ。

(1)では、f(x)がx=root(2)で極大。
増減表を考えて、
f(-2)<0,f(root2)>0 または f(2)<0,f(root2)>0
と考えましたが合っているのでしょうか？
No.80561 - 2022/01/29(Sat) 14:59:50
☆ Re: 数学三 微積分 / X
間違えています。

問題のf(x)は
極大値f(√2)=k+2√2
を取り、更に
f(-2)=k-2
f(2)=k+2
∴f(-2)＜f(2)＜f(√2)
∴求める条件は
f(-2)f(√2)＜0
です。
No.80562 - 2022/01/29(Sat) 19:06:37
☆ Re: 数学三 微積分 / ひで
Xさま
返信ありがとうございます。
その方針で解けました。
(2)はどうすれば良いのでしょうか？
絶対値f(x) にkがあるので、グラフの概形を考えるのも難しいです。
No.80563 - 2022/01/29(Sat) 19:15:32
☆ Re: 数学三 微積分 / X
問題のx軸で回転させる領域は、
y=|f(x)|
とx軸で囲まれた領域ですので、
回転により領域が被ることは
ありません。

このことと
{|f(x)|}^2={f(x)}^2
により、単に公式通り
π∫[-2→2]{{f(x)}^2}dx
を計算すれば問題ありません。
No.80574 - 2022/01/30(Sun) 02:33:46
☆ Re: 数学三 微積分 / ひで
Xさま

π∫[-2→2]{{f(x)}^2}dx
で計算できるのですね。
それなら自分で出来そうです。
ありがとうございました！
No.80606 - 2022/01/30(Sun) 18:43:51
★ 確認 / ひで
次の問題が解けずに困っています。
教えていただければ幸いです。

1つのサイコロを四回投げて、出た目をa,b,c,d、またN=a*b*c*dとする。
(1)N=720となる確率
(2)N=360となる確率
(3)N>720となる確率

(1),(2)は720,360を素因数分解することまでは考えましたが、そこからのやり方が思い浮かびません。
(3)は最大数、最小数に着目してみましたが、解決できませんでした。
どうかよろしくお願いします。
No.80557 - 2022/01/29(Sat) 14:05:53
☆ Re: 確認 / らすかる
(1)
720=2^4×3^2×5なので
・一つは5
・3か6が二つ
・4が一つ以上
であることから、組合せは自動的に(4,5,6,6)と決まります。
a,b,c,dが4,5,6,6になる組合せは4P2通りなので、
求める確率は4P2/6^4=1/108となります。

(2)
360=2^3×3^2×5なので
・一つは5
・3か6が二つ
なので、4がない場合は(2,5,6,6)、ある場合は(3,4,5,6)となります。
よって求める確率は(4P2+4!)/6^4=1/36となります。

(3)
720=4×5×6×6なので、これより大きくなるのは
(4,6,6,6),(5,5,5,6),(5,5,6,6),(5,6,6,6),(6,6,6,6)の5つしかありません。
順に4通り、4通り、4C2通り、4通り、1通りなので、求める確率は
(4+4+4C2+4+1)/6^4=19/1296となります。
No.80559 - 2022/01/29(Sat) 14:23:48
☆ Re: 確認 / ひで
なるほど！
ありがとうございました。
No.80560 - 2022/01/29(Sat) 14:31:03
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