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★ (No Subject) / 川島
Oを原点とする座標平面上にA(10,0)B(10,8)C(0,8)P(3,6)があります。Pを通ってOA、BCと交わる線分のOAとの交点をX、BCとの交点をYとします。
線分XYが長方形ABCDの面積を2分するとき、点Yのx座標はいくつですか。

すみません、答えはわかるのですが綺麗な解法が思いつかなくて･･･よろしくおねがいします。
No.16145 - 2011/12/11(Sun) 19:42:49
☆ Re: / 川島
失礼、長方形はOABCでした。
No.16146 - 2011/12/11(Sun) 19:44:06
☆ Re: / X
図形的に考えます。

点Pを通る直線と辺OA,BCとの交点をQ,Rとし、線分QRの中点を
Sとします。
点Sからx軸、辺BCにに下ろした垂線の足をT,Uとして
△OTSを切り離し△BUSに重ねるように移動させることを
考えると、題意を満たすためには点Sが長方形OABCの
対角線の交点である
点(5,4)
と一致しなくてはなりません。

後は直線PSの方程式を導けば…。
No.16147 - 2011/12/11(Sun) 19:59:07
☆ Re: / 川島
ありがとうございます。
もう一度考えて見ます。
No.16148 - 2011/12/11(Sun) 22:57:20
★ (No Subject) / るぺ
a(n+1)=ra(n)+f(n)(r≠1,f(n)は整式でｎのｋ次式）
の一般項はa(n)=ar^n+g(n)(g(n)は整式でｎのｋ次式）
とあったのですがこのｋは一般に０でも言えますか？
整式ってのはｎの次数が非負整数ってことですよね？

どうかよろしくお願いします
No.16143 - 2011/12/11(Sun) 02:02:31
☆ Re: / らすかる
言えます。
No.16144 - 2011/12/11(Sun) 07:43:50
★ (No Subject) / ちまき
?@次の逆関数を求めよ。
(1)y=３^X
(2)y=２^X(−１≦X≦２)
(3)y=log7(X＋２)
(4)y=log3X−1

(3)の7は小さいです
(4)の3は小さいです
ちなみに(4)に()はないです


?A(ｆоf)(X)=Xかつｆ(−２)=−５を満たす１次関数ｆ(X)を求めよ




解答解説よろしくお願いします。

No.16135 - 2011/12/10(Sat) 01:16:49
☆ Re: / ヨッシー
まる１番
(1) の答えは ｙ＝log[3]ｘ　です。
(2) はよく似た答えになりますが、定義域が(1/2≦ｘ≦４)になります。

(3)(4) は、(1) をよく吟味してから、もう一度考えてください。

まる２番
f(x)＝ax+b とすると、f(-2)＝-2a+b=-5　・・・(1)
ｆоf(X)=a(aX+b)+b＝X　より
　(a^2−1)X＋b(a+1)＝0　・・・(2)
a=-1 のとき、(2) は常に成り立つ。(1) に代入して、
　b=-7
　ｙ＝-x-7
a≠-1 のとき、(2) の両辺を a+1 で割って、
　(a-1)X＋b＝0
これが、X についての恒等式になるので、
　a=1, b=0
ところが、これは(1) を満たさない。
以上より、y=-x+7 のみが答えとなります。
No.16136 - 2011/12/10(Sat) 01:34:05
☆ Re: (No Subject) / ちまき
もう一度教科書買います。
すこし思い出しました!!

ありかとうございます。
やってみます。
No.16137 - 2011/12/10(Sat) 02:21:16
★ 正葉曲線 / マコト
Oを原点とする座標平面上の２点(cosθ,0),(0,sinθ)を通る直線がある。この直線に関する原点Oの対称点をPとしえて、θを0<=θ<=π/2の範囲で変化させるとき、点Pの描く曲線をCとする。

(1)点Pの座標を(x,y)とするとき、x,yをθを用いて表せ
(2)y(dx/dθ)を、２θを用いて表せ
(3)曲線Ｃによって囲まれる部分の面積を求めよ

(1)はx=sin2θsinθ,y=sin2θcosθになりますか？
(2),(3)は全然です
一応全部の模範解答をお願いしたいです
No.16124 - 2011/12/08(Thu) 23:37:56
☆ Re: 正葉曲線 / はにゃーん
(1)はあってます。代表的な点を代入して確認しましょう。
例えばθ=0, π/4, π/2

(2)dx/dθ = 2cos2θsinθ + sin2θcosθ
なので
y(dx/dθ) = sin22θ(3cos2θ+1)/2

(3)積分を計算して答えはπ/8
三角関数は周期関数であり、積分すると0になる場合があるので積分計算する前に考えとくと計算が楽になります。

ちなみにこの曲線は極方程式でr=sin2θとかけるので
∫[0,π/2]sin22θdθを解くほうがすっきり。
No.16139 - 2011/12/10(Sat) 15:27:50
☆ (1)模範解答例 / angel
(1)の模範解答例です。

2点(cosθ,0),(0,sinθ)を通る直線は xsinθ+ycosθ=sinθcosθ
θ=0,π/2の時、この直線は原点を通るため、Pは原点と一致する。
0＜θ＜π/2 の時、Pの座標を(p,q)とすると、
・OPの中点(p/2,q/2)をこの直線が通る
　すなわち、psinθ+qcosθ=2sinθcosθ …(i)
・直線OP qx-py=0 は、この直線と垂直である
　すなわち qsinθ-pcosθ=0 …(ii)

(i)・sinθ-(ii)・cosθ より p((sinθ)^2+(cosθ)^2)=2(sinθ)^2・cosθ
(i)・cosθ+(ii)・sinθ より q((sinθ)^2+(cosθ)^2)=2sinθ(cosθ)^2

よって、p=2(sinθ)^2・cosθ, q=2sinθ(cosθ)^2
θ=0,π/2を代入したときも p=q=0 となるため、この式はθ=0,π/2の時のPの座標にも適合する。
Pの座標を(x,y)とするとき、x=2(sinθ)^2・cosθ, y=2sinθ(cosθ)^2
※2sinθcosθ=sin(2θ)を使って、x=sin(2θ)sinθ, y=sin(2θ)cosθとしても正解です。
No.16140 - 2011/12/10(Sat) 20:17:07
★ 極方程式で表される曲線の面積 / マコト
極方程式r=2-cost (0<=t<=π)で表される曲線が囲む図形の面積Sを求めよ

x,yに分けて微分していくと思ったんですけど、なんかできません。模範解答をお願いしたいです
No.16123 - 2011/12/08(Thu) 23:28:58
☆ Re: 極方程式で表される曲線の面積 / X
問題の曲線だけでは閉じた図形はできません。
問題文にタイプミスはありませんか？。
No.16125 - 2011/12/08(Thu) 23:43:17
☆ Re: 極方程式で表される曲線の面積 / マコト
タイプミスはなかったです..
多分曲線とx軸で囲った面積になると思うんですが
No.16127 - 2011/12/09(Fri) 00:16:00
☆ Re: 極方程式で表される曲線の面積 / らすかる
> 多分曲線とx軸で囲った面積になると思うんですが
この問題文ではそのようには読み取れません。
（勝手に予想して条件を付け加えてはいけません。）
問題文が一字一句間違いなくその通りならば、
「囲む図形がないので解なし」が正解だと思います。
No.16132 - 2011/12/09(Fri) 09:51:42
☆ Re: 極方程式で表される曲線の面積 / はにゃーん
まあ、問題の不備は置いておくとしてx軸とその曲線が囲む面積は、面積は微小な扇形(1/2)r^2dθを0からπまで集めた
∫[0,π/2](1/2)(2-cost)^2dθ
で求められます。
No.16138 - 2011/12/10(Sat) 15:18:36
★ (No Subject) / すずき　高２
こんにちは。

画像の問題を解いたのですが、合ってるかお目を通していただけないでしょうか。

●解答
ベクトル省略で・・・
条件より a・b=3・・・?@
c=pa+qb とおく
AC⊥OB より
（c-a）・b
＝｛（p-1)a＋qb}・ｂ
＝3（p-1)＋4q=0
3p+4q=3・・・?A
同様にBC⊥OA より
（c-b）・a
＝｛pa＋（q-1)b}・a
＝9p+3(q-1)=0
3p+q=1・・・?B
?A−?Bより
q=2/3
?Bに代入
p=1/9
以上より
ｃ＝1/9*a+2/3*b･･･（答）
│ｃ│^2＝（1/9*a+2/3*b）・（1/9*a+2/3*b)
,,,,,,,,,,,,,,＝1/9+4/9＋16/9＝7/3･･･（答）

ｄOCとABの交点をDとする
ｃ＝（a+6b)/9かつd=kcより→ｄ＝（a+6b)/7→c=7/9*d
したがって
AD:DB=6:1、OC:CD=7:2
△OAB=1/2*2*3*sin60°＝3√3/2

△OAC=6/7*7/9*△OAB
,,,,,,,,,,,＝2/3＊3√3/2＝√3･･･（答）


宜しくお願いします。

No.16120 - 2011/12/08(Thu) 22:12:21
☆ Re: / すずき　高２
申し訳ありません。

画像が間違っておりました。
以下の画像の問題でお願いします。
No.16121 - 2011/12/08(Thu) 22:15:17
☆ Re: / ヨッシー
AC⊥OB や BC⊥OA は成り立ちません。
これでは、Ｃは垂心ということになります。
ＯＡの中点をＤ、ＯＢの中点をＥとすると、
　ＣＤ⊥ＯＡ　ＣＥ⊥ＯＢ
が成り立ちます。

これからｐ、ｑを求めると、p=4/9, q=1/6 になるはずです。
No.16122 - 2011/12/08(Thu) 22:26:29
☆ Re: / すずき　高２
あっ、そうですね！
おっしゃる通りです。
答え及びその他の点は大丈夫ですか？
No.16129 - 2011/12/09(Fri) 01:38:06
☆ Re: / ヨッシー
上に書いたとおり、p=4/9, q=1/6 　なので、
答えも違いますね。
No.16133 - 2011/12/09(Fri) 16:47:55
☆ Re: / すずき　高２
あれ！？ほんとですね！！

なんか滅茶苦茶になっちゃいました＾＾；
なんと正解にかたどり着けたようです。
すみません面倒おかけしました。ありがとうございました！
No.16134 - 2011/12/09(Fri) 18:14:56
★ 接線 / 赤いボールペン
y=ax^3+bx^2+cx+d(=f(x)とする）の原点における接線はｙ＝cx+dになるという記述があったのですが、
この「原点における」というのはf(x)上にない原点からの接線という意味でも使えるのでしょうか？

f(x)上に原点があるときは計算するとｙ＝ｃｘになりました。f（x）が原点にあることを考えればｄ＝０なのでつじつまは合います。

原点がf（x）上にないとき、接点をｔとおくと

接線ｌ：y=(3at^2+2bt+c)(x-t)+f(t)
これが原点を通るので
０＝c(-t)+d
t=d/c
・・・・

となったのですが、本当にy=cx+dに変形できるのでしょうか？よろしくおねがいします
No.16117 - 2011/12/08(Thu) 13:49:00
☆ Re: 接線 / らすかる
y=cx+d は f(x)の(0,f(0))における接線ですね。
そもそもy=cx+dはd≠0のとき原点を通りませんから
普通「原点における接線」とは言いませんね。
No.16118 - 2011/12/08(Thu) 14:17:31
☆ Re: 接線 / ヨッシー
ｙ切片における接線なら、ｙ＝ｃｘ＋ｄ　になりますね。
No.16119 - 2011/12/08(Thu) 16:37:50
☆ Re: 接線 / 赤いボールペン
確かに(０、f(0))における接線はｙ＝ｃｘ＋ｄになりますね！驚きです！どうやら誤植のようですね！お二方ありがとうございます！

完全に余談ですが、ｙ切片という表現は原点も含めていいのでしょうか？
No.16141 - 2011/12/10(Sat) 21:27:39
☆ Re: 接線 / ヨッシー
原点を通るグラフであれば、原点がｙ切片になります。
No.16142 - 2011/12/10(Sat) 23:35:02
★ (No Subject) / みちゃす
数列a(n+1)=a(n)-6n+3(n=1、２、・・・）の初項って必ず１３になりますか？
No.16115 - 2011/12/07(Wed) 23:55:00
☆ Re: / X
なりません。
漸化式のみでは初項の値は定まりません。
No.16116 - 2011/12/08(Thu) 00:20:18
★ (No Subject) / 玄武
実数aに対し、ｘの方程式
log[4](x-1)+log[4](4-x)=log[4](a-x)・・?@
がただ１つの解を持つようなaの範囲を求めよ。
[4]はガウス記号ではなく単に対数の底を表します。

自分が作った解答
真数条件より1?@⇔x^2-6x+a+4=0(左辺をｆ（ｘ）とする）
(i）a<4のとき
ただ１つの実数解をもつのは
「f(1)f(a)<0」または「3<a(<4)かつD=0」
⇔(a-1)^2(a-4)<0またはa=5
a<4をみたすaは存在しない

(?A）４＜aのとき
「f(1)>0かつｆ(4)<0」または1<x<4で重解を持つ
⇔「1<a<4」またはa=5
⇔a=5(∵４＜a)

(?B）a=4のとき
真数条件は1<x<4
方程式はx^2-6x+8=0より
ｘ＝２、４
適するのはｘ＝２のみ。よって
a=4は適する

以上より
求めるaの条件は
a=4,5

しかし答えは１＜a≦４、a=5でした。
どこが駄目だったのか教えてください。よろしくおねがいします。
No.16108 - 2011/12/06(Tue) 22:21:04
☆ Re: / ヨッシー
自分が作った解答　の下の行は、
真数条件より1＜x＜4かつx＜a
と書いてあります。
No.16109 - 2011/12/06(Tue) 22:46:06
☆ Re: / ヨッシー
答えが分かっているので、例えば、ａ＝３　だとなぜＯＫなのか
考えてみます。
x^2-6x+a+4=0 より　x^2-6x+7=0
これを解いて、
　ｘ＝3±√2
ｘ＝３＋√２ は、１＜ｘ＜４ も、 ｘ＜ａ も満たしませんが、
ｘ＝３−√2≒１．６　は、両方満たします。
よって、解は１個です。

このように、重解でなくても、片方が真数条件を満たしていない
ような場合も、解は１つとなります。
No.16110 - 2011/12/06(Tue) 22:57:41
☆ Re: / 玄武
片方が真数条件を満たしていない
ような場合はf(1)f(a)<0の場合でちゃんと考慮していると思うのですが・・。
No.16111 - 2011/12/06(Tue) 23:23:33
☆ Re: / ヨッシー
>(a-1)^2(a-4)<0またはa=5
の続きは、
これより
ａ＜４　または　ａ＝５
よって、１＜ａ＜４ の範囲のａであれば、１＜ｘ＜ａ の範囲に
解が一つだけ存在する。
よって、１＜ａ＜４
となります。
これと、ａ＝４，ａ＝５ とを合わせて、
　１＜ａ≦４　または　ａ＝５
です。
No.16112 - 2011/12/06(Tue) 23:57:02
★ (No Subject) / ウンディネ
次のページに流れてしまったので再度お願いします。

自然数ｍ、ｎについて
p:mは2の倍数
ｔ：３ｍ＋２ｎは6の倍数
「ｐかつｔバー」ならば「n^2+αは3の倍数」が新であるような2桁の自然数αは全部で何個あるか？

という問題で解説の理解はできるのですがｍ、ｎが自然数という条件を無視しているのでそれで本当に漏れが無いのかの確信が持てません。（なぜこの解答でいいのかが分かりません）

ｐかつｔばーのときすなわち
ｍが2の倍数でかつ３ｍ＋２ｎが6の倍数でないとき、
３ｍは６の倍数であるから、２ｎは6の倍数ではない。
よってｎは３の倍数ではない。
このときｎ＝３ｌ±１（ｌは整数）と表す事ができ
ｎ＾２＋α＝３（　）＋１＋α
が3の倍数となるような自然数αは３で割った余りが２となるものであり、そのうち2桁のものはα＝１１，１４，１７、・・、９８の30個。

解説は省略せずにすべて書きました。

解説を始めから順に見て行きます。
ｐかつｔばー
⇔ｍが2の倍数でかつ３ｍ＋２ｎが6の倍数でない
⇔ｍが２の倍数でかつ２ｎは6の倍数ではない。（ｎは3の倍数ではない）
まずここから疑問があります。ｍ、ｎ≧１を考慮すると
３ｍ＋２ｎ≧５ですよね。でもかといって5以上の全ての自然数というわけでもないですよね。３ｍ＋２ｎ＝１２など実現不可能ですし。

さらにｎ＝３ｌ±１もｌは整数、つまりｎが自然数という条件より広い整数という条件で設定しています。

これらが特に気になっています。

よろしく御願いします。


No.16023 - 2011/11/28(Mon) 20:41:57

--------------------------------------------------------------------------------
☆ Re: 必要条件十分条件 / angel 引用
この場合、「m,nが自然数」というのは問題の前提です。
なので、
> ｐかつｔばー
> ⇔ｍが2の倍数でかつ３ｍ＋２ｎが6の倍数でない
> ⇔ｍが２の倍数でかつ２ｎは6の倍数ではない。（ｎは3の倍数ではない）
これをより正確に言うと、
　m,nが自然数かつ ｐ かつ ｔバー
　⇔ m,nが自然数かつmが2の倍数かつ3m+2nが6の倍数でない
　⇔ m,nが自然数かつmが2の倍数かつ2nが6の倍数でない
のようになります。
毎回「m,nが自然数」と書くのもくどいので、これは省略していると思ってください。
そうすると、3m+2n=4 などは「m,nが自然数かつ…」の条件にもともとあてはまらないので、考える必要がありません。


No.16026 - 2011/11/29(Tue) 01:29:43

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☆ Re: 必要条件十分条件 / ウンディネ 引用
m,nが自然数かつmが2の倍数かつ2nが6の倍数でない
の後ｎ＝３ｌ±１（ｌは整数）とおきますが、これはｎが自然数という条件よりも広くとってますよね。（ｎが負の場合も含めてしまっている）そしてｎ＾２＋αに代入して解答を進めています。ということは本来のｎ：自然数という条件より広く取ってしまった分、不適なケースがでてくるのではないでしょうか？（必要条件で考えたので最後に吟味が必要なのではないでしょうか？）
さらにm,nが自然数かつmが2の倍数かつ2nが6の倍数でない
という条件なので最後に出したｎそれぞれに対してｍが２の倍数でかつ自然数かどうかの吟味が必要なのではないでしょうか？

それらの吟味をなぜしなくていいのかが分かりません。
どうかご教授ください。


No.16093 - 2011/12/05(Mon) 15:07:22
No.16105 - 2011/12/06(Tue) 18:29:24
☆ Re: / angel
> …(前略)…の後ｎ＝３ｌ±１（ｌは整数）とおきますが、これはｎが自然数という条件よりも広くとってますよね。（ｎが負の場合も含めてしまっている）

うーん…。
広く取っていません、と言っても良いのですが…。
逆に広く取っていたら、何か問題があるでしょうか。
> 不適なケースがでてくるのではないでしょうか？
実際に不適なケースはないので、「広く取っている」と解釈しても問題がない、ともいえますね。

以下の論理展開に納得することはできるでしょうか。

　…(略)…
　n=3l±1 (lは整数) と表すことができる。
　よって、n^2 を3で割った余りは1
　よって、「ｐかつｔバー」ならば「n^2を3で割った余りは1」が真である
No.16113 - 2011/12/07(Wed) 00:53:44
☆ Re: / ウンディネ
できると思います

「ｐかつｔバー」⇒n=3l±1 (lは整数)⇒「n^2を3で割った余りは1」ということですよね
No.16114 - 2011/12/07(Wed) 20:17:04
☆ Re: / angel
それに納得できるのであれば、

「ｐかつｔバー」
⇒n=3l±1 (lは整数)
⇒「n^2を3で割った余りは1」
⇔ αが3で割って2余る数ならば、n^2+αは3で割り切れる

ということで、αの条件が確定するのも良いでしょうか。
結局「必要条件」(⇒での推移) というのは、結果的に範囲がどんどん広くなっていく方向に話が進むのです。
※n=3l±1 に対する n^2 と、3で割って1余る数とでは、後者の方が範囲が広い
今回それで問題が出ていないので、まあ、気にすることはない、ということです。
※どんどん範囲を広げていってもαは3で割って2余る数なのだから、逆に元の狭い範囲で見ても、やっぱりαは3で割って2余る数と言える。
No.16126 - 2011/12/09(Fri) 00:10:39
★ 数学の部屋より / ヨッシー
こちらの
http://www.ryogoku-h.metro.tokyo.jp/nyusi/image/23/23suugaku.pdf

↑ の大問４の[問３]を教えてください。

という問題の回答です。

図のように書きかえると、△ＤＰＱは、方眼紙にぴったり収まる
三角形になります。
No.16104 - 2011/12/06(Tue) 07:21:03
★ (No Subject) / おれんじ
α＝3-√5 β＝8/α　α＋β＝９＋√5のとき
[2x-α-β]≦Κが解を1つ以上持つときのKの範囲

答えはk≧３−√5
No.16102 - 2011/12/06(Tue) 06:19:04
☆ Re: / ヨッシー
こちらと同じでしょうか？

ちなみに、上の問題では、k≧３−√5 にはなりません。
せっかくですので、どこが抜けているのか、こちらと比較してみるのも良いでしょう。
No.16103 - 2011/12/06(Tue) 07:00:09
★ ★ 小学校の算数の時間と距離の問題 / 夕凪
ヨッシーさん、初めまして、こんばんわ。

４０代で趣味で算数と数学の勉強をやってる物です。

突然の質問、失礼致します。

頭が固くて飲み込みが非常に遅いので、どうか解りやすく解説して頂ければ、うれしく思います(o^-^o) 。よろしくお願い致します。

小学校の算数の時間と距離の問題ですが、?Aが解りません(>.<)。

★問題

右のグラフは、A君が家を出たあと、兄さんが自転車で追いかけた様子を表しています。

?@A君と兄さんのそれぞれの分速を求めなさい。

?A兄さんがA君に追いつくのにかかった時間を求めなさい。


?@は、A君の分速は、グラフから３０００÷４０＝７５
　　　B君の分速は、２０００÷１０＝２００

?Aは、どうやって求めたら、いいのでしょうか？

解き方は、方程式を使わない解き方と使う解き方、両方教えて頂ければ、助かります。

よろしくお願い致します(o^-^o) 。


No.16098 - 2011/12/05(Mon) 21:13:37
☆ Re: ★ 小学校の算数の時間と距離の問題 / ヨッシー
兄が家を出るときに、Ａ君はすでに
　７５×２０＝１５００(m)
先に進んでいます。これを、１分間に
　２００−７５＝１２５(m)
ずつ差を詰めていくので、追いつくまでに
　１５００÷１２５＝１２(分)
かかります。

これが、方程式を使わない方法です。

方程式を使うならば、
兄がＡ君に追いつくまでにｘ分かかるとします。
Ａ君が歩いた時間はｘ＋２０分なので、進んだ距離は
　７５(ｘ＋２０)
兄が進んだ距離は
　２００ｘ
これらが等しいので、
　７５(ｘ＋２０)＝２００ｘ
これを解いて
　ｘ＝１２(分)
となります。
No.16099 - 2011/12/05(Mon) 23:35:22
☆ Re: ★ 小学校の算数の時間と距離の問題 / 夕凪
ヨッシーさん、丁寧に解りやすく解説して頂いて、ほんとに有難うございますー(o^-^o) 。どう解いたら良いのか、なかなか思い浮かばなかったけど、理解出来ましたあ(*^.^*)。
これからも、質問させて頂いても、いいでしょうか？頭がめちゃくちゃ固いので、理解するのに時間が相当かかりますが、出来るところまで、頑張って解くので、どうかよろしくお願い致します(o*。_。)o。
No.16100 - 2011/12/06(Tue) 00:39:31
★ 余弦定理で得られる２解の意味 / ケツァル
三角形CBB'とBB'上にAがあります。
ただし、∠CAB＝∠A≦90°、CB=CB'=a,CA=b,a>b
三角形CABに余弦定理を用いて
AB=ｘとして2次方程式を解くと正の解と負の解が得られます。
このとき正の解はABを表すというのは分かるのですが
なぜ負の解の絶対値がAB'の長さを表すのか分かりません。

どうかよろしくお願いします！
No.16094 - 2011/12/05(Mon) 15:35:10
☆ Re: 余弦定理で得られる２解の意味 / ヨッシー
AB=x とすると、余弦定理より
　a^2＝x^2＋b^2−2xbcos∠Ａ
bcos∠Ａ＝d, a^2−b^2＝e とおいて整理すると、
　x^2−2dx−e＝０　・・・(1)
一方、AB'=y とすると、
　a^2＝y^2＋b^2＋2ybcos∠Ａ
同じく整理すると、
　y^2＋2dx−e＝０　・・・(2)
(1) の解は、
　x＝d±√(d^2＋e)
(2) の解は
　y＝−d±√(d^2＋e)
となり、(1) の負の解
　x＝d−√(d^2＋e)
と(2) の正の解
　y＝−d＋√(d^2＋e)
は、|x|＝y の関係にあります。
No.16095 - 2011/12/05(Mon) 17:07:33
★ 媒介変数での表し方 / gg
こんにちは。

複素平面上に図のような曲線が与えられた時,この曲線を媒介変数tを使って表したいのですが一体どのようにすればいいのでしょうか?
No.16090 - 2011/12/05(Mon) 11:42:13
☆ Re: 媒介変数での表し方 / X
区間を分けて考えると
z=t+irsinα (t:c→rcosα)
z=re^(it) (t:α→2π-α)
z=t-irsinα (t:rcosα→c)
となります。
No.16091 - 2011/12/05(Mon) 12:12:52
☆ Re: 媒介変数での表し方 / gg
どうも有難うございます。
No.16101 - 2011/12/06(Tue) 00:41:38
★ 数?Vの定積分の問題です。 / ひゅるり
(1) 00を示せ。
(2)定積分 I=∫［0→π］｜sinxーax｜(0<a<1) を
最小にするaの値を求めよ。

(1)は左辺の微分してとくと、x=0、πとなりどう示すか
分かりません。
(2)は(1)の形を使うと考ましたが、cosxとaの範囲が異なり
よく分かりませんでした。

模範解答よろしくお願いします。
No.16078 - 2011/12/04(Sun) 17:35:46
☆ Re: 数?Vの定積分の問題です。 / ひゅるり
すみません、(1)は sinxーxcosx>0 です。
No.16079 - 2011/12/04(Sun) 17:38:16
☆ Re: 数?Vの定積分の問題です。 / X
(1)
条件が足りません。問題文は正確に全て記入して下さい。
No.16081 - 2011/12/04(Sun) 22:10:40
☆ Re: 数?Vの定積分の問題です。 / ひゅるり
失礼します。
00を示せ。
という問題でした。
No.16082 - 2011/12/04(Sun) 22:16:50
☆ Re: 数?Vの定積分の問題です。 / ひゅるり
何故か表示されないので、
申し訳ないですがひらがなで書きます。

xが0より大きくπより小さいとき、上に書いたものが
成り立つことを示せ。という問題でした。
No.16083 - 2011/12/04(Sun) 22:20:05
☆ Re: 数?Vの定積分の問題です。 / ヨッシー
(1) 0＜x＜πのとき、sinx−xcosx＞0を示せ。
(2)定積分 I=∫［0→π］｜sinx−ax｜(0＜a＜1) を
最小にするaの値を求めよ。

と書いてあります。

表示されないのは、半角の"＜" に続いて、x があるため、
ページの書式を制御する文字と認識されるためです。
全角の"＜"を使うと防げます。
No.16085 - 2011/12/04(Sun) 22:46:57
☆ Re: 数?Vの定積分の問題です。 / X
(1)
問題となるのは導関数の符号の変化です。

f(x)=sinx-xcosx
と置くと
f'(x)=xsinx
よって0＜x＜πにおいてf'(x)＞0ゆえf(x)は単調増加。
∴f(x)＞lim[x→+0]f(x)=f(0)=0
ですので問題の不等式は成立します。
No.16086 - 2011/12/04(Sun) 23:47:26
☆ Re: 数?Vの定積分の問題です。 / X
(2)
誤りがありましたら修正をお願いします。

y=sinx (A)
とすると
y'=cosx
∴0≦x≦πにおいてy'≦1であることと
0＜a＜1 (B)
であることに注意すると曲線(A)と直線
y=ax (C)
は0≦x≦πにおいて交点を一つのみ持ちます。
そのx座標をtとすると
0＜t＜π (D)
sint-at=0 (E)
I=∫[0→t](sinx-ax)dx-∫[t→π](sinx-ax)dx
=2{-cost-(1/2)at^2}+(1/2)aπ^2 (F)
(F)より
dI/da=2(sint-at)(dt/da)+(1/2)(π^2-t^2)
(E)を代入して
dI/da=(1/2)(t^2)(π^2-t^2)
=-(1/2)(t^2)(t-π)(t+π)
よって(D)においてdI/da＞0なので
(B)においてIは単調増加。
このこととaの端点が存在しないことから
題意を満たすaの値は存在しません。
No.16087 - 2011/12/05(Mon) 00:20:04
☆ Re: 数?Vの定積分の問題です。 / ひゅるり
解答ありがとうございます。
(1)は理解できました。
(2)は答えしかわからないのですが、
a={(2^1/2) / π} sin(π/2^1/2) となっていました。
No.16088 - 2011/12/05(Mon) 01:02:06
☆ Re: 数?Vの定積分の問題です。 / 豆
Xさんの途中より
I=-2cost-at^2+(π^2/2)a　
にa=sint/tを代入すると、
I=-2cost-tsint+(π^2/2)(sint/t)
tで微分して整理すると、
dI/dt=(sint-tcost)(1-π^2/(2t^2))
t=π/√2　のとき極小かつ最小
この時、a=√2sin(π/√2)/π　は0＜a＜1の範囲なのであてはまる
No.16089 - 2011/12/05(Mon) 10:34:05
☆ Re: 数?Vの定積分の問題です。 / X
>>豆さんへ
ご指摘ありがとうございます。
>>ひゅるりさんへ
ごめんなさい。No.16087で
>>dI/da=2(sint-at)(dt/da)+(1/2)(π^2-t^2)
としていましたがこれは
dI/da=2(sint-at)(dt/da)+(1/2)(π^2-2t^2)
の誤りです。
ですがこの方針ではaとtの増減の対応関係を別に考える
必要があり計算が煩雑になります(この回答はIがaに対して
単調になる、と言う前提で方針を組み立てていました)。
その点で豆さんの回答の方が適切だと思います。
No.16092 - 2011/12/05(Mon) 12:22:12
☆ Re: 数?Vの定積分の問題です。 / ひゅるり
X様、豆様丁寧な解説ありがとうございました。
お陰さまで理解できました。
No.16096 - 2011/12/05(Mon) 20:55:20
★ 極 / パラパラ
円x^2+y^2=1をCとする。aを-1/2
という問題で、極（極線）の知識を全面的に使って答えを出そうとしたところ
ｌはax-y=2aすなわち(1/2)a-(1/2a)y=1^2と変形できるので
Q(1/2,-1/(2a))となります。よってQの軌跡はｘ＝1/2上で、後は軌跡の限界を求めるだけで、

-1/2<a<0を変形して

-1/2<a<0
⇔-2<1/a<0
⇔0<-1/(2a)<1
となるのでQの軌跡はｘ＝１/2上の０＜ｙ＜１の部分・・答え

としたのですが実際の答えはｙ＞１の部分でした。どこがいけなかったのか分かりません。どなたか教えてください。よろしくお願いします><
No.16076 - 2011/12/04(Sun) 17:15:45
☆ 再アップ / パラパラ
円x^2+y^2=1をCとする。
aを-1/2＜a＜0を満たす実数とし、点P(2,0)を通り、傾きaの直線をｌとする。（ｌ：ｙ＝a(x-2))さらにｌとCの交点をA.Bとし、Aは第一象限にあるものとする。A,BにおけるCの2つの接線の交点をQ（極）とする。aが上の範囲を動く時、Qの軌跡を求めよ

という問題で、極（極線）の知識を全面的に使って答えを出そうとしたところ
ｌはax-y=2aすなわち(1/2)a-(1/2a)y=1^2と変形できるので
Q(1/2,-1/(2a))となります。よってQの軌跡はｘ＝1/2上で、後は軌跡の限界を求めるだけで、

-1/2
-1/2<a<0
⇔-2<1/a<0
⇔0<-1/(2a)<1
となるのでQの軌跡はｘ＝１/2上の０＜ｙ＜１の部分・・答え

としたのですが実際の答えはｙ＞１の部分でした。どこがいけなかったのか分かりません。どなたか教えてください。よろしくお願いします><
No.16077 - 2011/12/04(Sun) 17:21:56
☆ Re: 極 / klmo
> -1/2> ⇔-2<1/a<0
ここが間違ってます。
aに具体的な数字、例えばa=−1/10とかを入れるとわかります。
a=−1/10を入れて、パラパラさんと同じ手順でやってみると、
−1/2<−1/10<0
⇔−2<−10<0
このようになります。
逆数にするときは、不等号の向きを変えなくてはならないんですね。（自分も初めて気がつきました。）
0は逆数にしても変わらないので
−1/2<a<0
⇔−2>1/a<0
⇔−2>1/a、1/a<0
⇔1<−1/(2a)、−1/(2a)>0
⇔1<−1/(2a)
となります。
No.16084 - 2011/12/04(Sun) 22:22:08
★ べき乗 / U.N.known
Xの3分の１乗って表せますか？
確か２分の1乗は√なので、、、つけられたら教えて下さい
No.16073 - 2011/12/04(Sun) 07:23:39
☆ Re: べき乗 / angel
Xの1/3乗とは、Xの3乗根のこと。
なぜなら、(X^1/3)^3 = X^(1/3・3) = X だから。
紙に書くときには√の記号の左肩に3を乗せますが、掲示板で表現するなら [3]√X のようにすれば分かりやすいと思います。
No.16074 - 2011/12/04(Sun) 08:19:36
☆ Re: べき乗 / らすかる
記号の書き方は↓こちらをご覧下さい。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A0%B9%E5%8F%B7#.E5.86.AA.E6.A0.B9
No.16075 - 2011/12/04(Sun) 08:26:30
★ 不等式の定積分の問題について / すずき　高２
こんにちは。

数?V教科書の問題です。教科書ガイドの解答の一部に関して質問します。

●問題
次のことを証明せよ。
x≧１のとき　1/(x^2)≦1/(x^2-x+1)≦1/x


●質問
下の画像はガイドの模範解答です。下線をひいてある部分の『ｘ＞０』は何のために書いてあるのかご教授頂きたいです。

問題文の『ｘ＞１』で十分だと思ったのですが、テストに出た場合これを書かないと減点されますか？
No.16069 - 2011/12/03(Sat) 12:28:07
☆ Re: 不等式の定積分の問題について / ヨッシー
書かなくても良いでしょうし、この解答のように、ただ　ｘ＞０ だけが
書いてあるのも、どうかと思います。

・・・-3/4＞０　これと ｘ＞０ とから以下の式が導ける。
みたいに日本語をしっかり書いた方が良いでしょう。
No.16070 - 2011/12/03(Sat) 12:39:51
☆ Re: 不等式の定積分の問題について / すずき　高２
ヨッシーさんご回答有難うございます。

そうですか。
確認できて、モヤモヤが晴れたようです。
有難う御座いました。
またよろしくお願いします。
No.16072 - 2011/12/03(Sat) 14:43:26
★ 不等式証明です / 八重
nを自然数とするとき、つぎの各不等式を証明せよ

(1) (1/(n+1))<∫[n,n+1](1/x)dx<(1/2)((1/n)+1/(n+1))
(2) Σ[k=1,n](1/k)>logn+(1/2)

どのように証明すればいいのかが分かりません
模範解答をぜひお願いしたいです！
No.16064 - 2011/12/03(Sat) 10:01:18
☆ (1) / angel
(1)については、添付の図のようなグラフをイメージして、積分を図形的に考えること。
※最悪、このグラフだけ描いておけば、ある程度点になるでしょうし。

1/(n+1) というのは、緑斜線部の面積に相当し、
∫[n,n+1](1/x)dx というのは、曲線とx軸にn≦x≦n+1の範囲で挟まれた部分、つまり緑斜線部とオレンジ斜線部の面積の合計に相当し、
(1/2)(1/n+1/(n+1))というのは、台形の面積、つまり緑斜線部とオレンジ斜線部と紫斜線部の面積の合計に相当します。

ということで、図で見ると明らかなんですね。

証明を書く場合は、各直線・曲線の上下関係を明らかにしてあげればよいです。
つまり、

　n＜x＜n+1 において、
　　1/(n+1)＜1/x＜( (n,1/n)と(n+1,1/(n+1))を結ぶ直線の式 )
　※x=n,n+1ではイコールになりますが、そこは無視して良いです
　のため、
　　∫[n,n+1]1/(n+1)・dx＜∫[n,n+1]1/x・dx＜∫[n,n+1] (直線の式)dx
　で、
　　∫[n,n+1]1/(n+1)・dx=1/(n+1)
　　∫[n,n+1](直線の式)dx = (1/2)(1/n+1/(n+1))

ということを書けば終わり。
最初の不等式は、計算を頑張って証明してください。
No.16067 - 2011/12/03(Sat) 11:38:13
☆ (2) / angel
(2)は、想像していたかも知れませんが、(1)の結果を使います。
つまり、
　1/2・(1/k+1/(k+1))＞∫[k,k+1]1/x・dx
これです。( nをkに置き換えています )
** n≧2 の場合 **、k=1 から順に並べると、
　1/2・(1/1+1/2　　　　　　　　　　　)＞∫[1,2]1/x・dx
　1/2・(　　1/2+1/3　　　　　　　　　)＞∫[2,3]1/x・dx
　1/2・(　　　　1/3+1/4　　　　　　　)＞∫[3,4]1/x・dx
　…
　1/2・(　　　　　　　　　1/(n-1)+1/n)＞∫[n-1,n]1/x・dx
で、辺々足すと、
　1/2・(1/1+1/n)+(1/2+1/3+…+1/(n-1))＞∫[1,n]1/x・dx
です。
※1/2〜1/(n-1)は2回ずつ現れるため
左辺を少し変形すると、
　(左辺)=1/1+1/2+1/3+…+1/(n-1)+1/n - 1/2・(1/1+1/n)
　※1/1,1/nだけ1回しかない分を、(2-1)回と考えてあげる
で、右辺はそのまま
　(右辺)=logn
この不等式の結果を使えば、(2)が説明できるという寸法です。
なお、この計算は n≧2 の時の話なので、n=1 の時は別途説明が必要です。
No.16068 - 2011/12/03(Sat) 11:50:46
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