ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 二次関数 / DIE

添付問題（１）のTANθの部分です。
TANθ＝TAN（βーγ）とし、β、γのそれぞれをX軸正方向とATとABのそれぞれの傾きとしましたが、あいません。
AT=－２
AB＝－２となります。答えではATの方はー１となるようなのですが・・・
何回考えてもどこに間違いがあるのかわかりません。
座標よりそれぞれ傾きを求めましたが・・・
はまっております・・・
どうかよろしくお願いします。

No.16416 - 2012/01/04(Wed) 17:00:23

☆ Re: 二次関数 / DIE

問題の続きです。

No.16417 - 2012/01/04(Wed) 17:01:20

☆ Re: 二次関数 / ヨッシー

ＡＴは、Ｌ1 上の点なので、－[ツ] として求めた－１が
ＡＴの傾きとなります。

No.16420 - 2012/01/04(Wed) 17:23:34

☆ Re: 二次関数 / DIE

成程です。そこに使える値があったのですね。
しかし因みに、Tを求めると（４，０）になりませんか？
2x＾２-16x+３２=０の結果です。

No.16433 - 2012/01/05(Thu) 14:54:31

★ 高2　微分積分 / れいひゃー

(1)3次関数f(x)=2x^3-3ax^2+2a^2-6がある。ただし、aは正の定数とする。

1≦x≦2　におけるf(x)の最小値をg(a)とする。aが1≦a≦3の範囲で変化するとき、g(a)の最大値を求めよ

max　-130/27(a=4/3)

(2)3次関数f(x)=x^3-(a+3)x^2+3ax-2b　(a、bは定数)があり、f’(2)=-3を満たす。

x≦bにおけるf(x)の最大値がb^2-15であるとき、bの値を求めよ。

b=-1、5、-1+2√5

です
模範解答を見てもよく分かりませんでした。
解説お願いします

No.16412 - 2012/01/04(Wed) 14:35:54

☆ Re: 高2　微分積分 / ヨッシー

(1)
f'(x)＝6x^2－6ax＝6x(x-a)
より、f(x) は、x=0 で極大、x=a で極小となります。

1≦ａ≦2 のとき、x=a で f(x) は最小値 g(a)＝-a^3+2a^2-6
2＜ａ≦3 のとき、x=2 で f(x) は最小値 g(a)＝2a^2－12a＋10
を取ります。

1≦ａ≦2 のとき
　g'(a)＝-3a^2+4a＝a(-3a+4)
より、g(a) は、a=0 で極小値、a=4/3 で極大値となります。
1≦ａ≦2 の範囲では、　a=4/3 で最大値　-130/27

2＜ａ≦3 のとき
　g(a)＝2a^2－12a＋10＝2(a-3)^2－8
より、g(a) は、a=3 で極小値を取り、2＜ａ≦3 の範囲では
単調減少。

以上より、g(a)は、a=4/3 で最大値　-130/27 を取ります。

(2)
f'(x)＝3x^2－2(a+3)x＋3a　より
f'(2)＝12－4a－12＋3a＝-a＝-3
よって、a=3。
このとき、
　f(x)＝x^3－6x^2＋9x－2b
と書けます。
　f'(x)＝3x^2－12x＋9＝3(x-1)(x-3)
より、f(x) は、x=1 で極大、x=3 で極小となります。
また、f(1)＝f(4) となります。

ｂ≦１のとき、f(b) が最大
１＜ｂ≦４　のとき、f(1)＝4-2b が最大
４＜ｂのとき、f(b) が最大
f(b)＝b^3－6b^2＋7b＝b^2－15 を解いて、
　ｂ＝-1,3,5
このうち、b=3 は不適。
f(1)＝4-2b＝b^2-15　を解いて、
　ｂ＝-1±2√5
このうちｂ＝－１－2√5 は不適。

以上より、
　ｂ＝－１，５，－１＋2√5

No.16424 - 2012/01/04(Wed) 22:50:28

☆ Re: 高2　微分積分 / れいひゃー

一気に2つもすみませんでした；
答えて下さりありがとうございました！

No.16429 - 2012/01/05(Thu) 06:42:48

★ 高2　円 / れいひゃー

Ｏを座標平面上に、半径が全てｒ(ｒは正の実数)である3つの円Ｃ1、Ｃ2、Ｃ3がある。
円Ｃ1、Ｃ2の中心はそれぞれＯ、Ａ(-6,8)である。
また、円Ｃ3は2つの円Ｃ1、Ｃ2に外接し、その中心Ｂは第一象限にある。

円Ｃ1、Ｃ2が2点Ｌ、Ｍで交わり、ＬＭ=5であるとき、ｒの値とＢの座標を求めよ。

で、
ｒ=5√(5)/2
Ｂ=(5,10)
です
全く分からないので説明お願いします

No.16407 - 2012/01/04(Wed) 09:55:51

☆ Re: 高2　円 / ヨッシー

点Ｂは、点Ｏ、点Ａから等距離にあるので、
ＯＡの垂直二等分線　4y＝3x＋25 上にあります。（ただし、ｘ＞０）

ＬＭの中点をＮ(-3,4) とすると、ＡＮ＝ＯＮ＝５であり、
△ＬＮＯにおける三平方の定理より
　ｒ＝ＯＬ＝(5/2)√5

△ＯＮＢにおける三平方の定理より
　ＮＢ＝１０
△ＮＰＢ（ＮＰはｘ軸に平行、ＢＰはｙ軸に平行）において、
　ＢＰ：ＮＰ：ＮＢ＝３：４：５
より、ＮＰ＝８、ＢＰ＝６
よって、N(-3,4) に対して、Ｂは(5,10) となります。

No.16409 - 2012/01/04(Wed) 11:46:22

☆ Re: 高2　円 / れいひゃー

説明ありがとうございます!
質問なのですが、

>ＢＰ：ＮＰ：ＮＢ＝３：４：５

はなんで分かったのでしょうか･･?

No.16411 - 2012/01/04(Wed) 14:15:34

☆ Re: 高2　円 / ヨッシー

ＮＰ（ＯＡに垂直）の傾きが３／４なので、
ＮＰ：ＢＰ＝４：３
あとは、三平方です。

No.16414 - 2012/01/04(Wed) 16:23:39

☆ Re: 高2　円 / れいひゃー

ありがとうございました!

No.16426 - 2012/01/04(Wed) 23:34:37

★ 高校生 / ルイス

s,tがそれぞれ実数全体を動くとする。
O(0,0,0)　P(s+t-3,s+4t-6,s-2t+6)とするとき、OPの最小値を求めよ。

平方完成して解くやり方はできます。
問題は解答のやり方です。
解答には、
OP→＝(s+t-3,s+4t-6,s-2t+6)=(-3,-6,6)+s(1,1,1)+t(1,4,-2)
A(-3,-6,6)　l→=(1,1,1)　m→=(1,4,-2)とおくと、点Pは
【点Aを通りl→とm→に平行な平面α上にある。】
l→とm→にともに垂直なベクトルの一つは
n→=(2,-1,-1)であるから
平面αの方程式は2x-y-z+6=0
求める最小値は、Oとαの距離であり、
|6|/√(2^2+1^2+1^2)=√6

画像を見て頂きたいのですが、m→の始点とl→の始点がともに点Aになっていますよね。
これはどういうことなんでしょうか。
誰か分かる方教えてください。お願いします。

No.16398 - 2012/01/03(Tue) 22:36:10

☆ Re: 高校生 / ルイス

貼り忘れです。失礼しました。

No.16399 - 2012/01/03(Tue) 22:38:02

☆ Re: 高校生 / ルイス

これは自分が書いたものなんですが、これじゃ駄目なんでしょうか？また駄目ならどうして駄目なのか教えてください。お願いします。

No.16400 - 2012/01/03(Tue) 22:39:36

☆ Re: 高校生 / ヨッシー

「これは自分が書いたものなんですが」の図が、どういう意図で
描かれたのか分かりませんので、駄目かどうかは判断できませんが、
たぶん、駄目ではないと思います。

【点Aを通りl→とm→に平行な平面α】
を言い換えると、
【点Aを始点としてl→とm→を描いたとき、両ベクトルを含む平面α】
となります。

「これは自分が書いたものなんですが」の図で、ｓｌ＋ｔｍによって、
決まる平面がありますね？（この図に描かれているｌとｍを含む平面です）
この平面に平行で、点Ａを通る平面を描こうとしたら、自ずと
ｌとｍを点Ａが始点となる位置まで持って行きたくなると思います。

No.16402 - 2012/01/04(Wed) 00:50:34

☆ Re: 高校生 / ルイス

すみません。僕の図は間違ってます。
「sl→+m→」としていますがそれならばl→、m→ではなく
sl→、tm→としないといけませんよね；

補足なんですが、
【点Aを始点としてl→とm→を描いたとき、両ベクトルを含む平面α】のところで、私自身平面に関する理解ができていないことに気付きました。
上の１番目の図でいう互いに一次独立のl→とm→が作っている平面というのは、いまAB→=l→　AC→=m→ AD→=AB→+AC→=l→+m→　とするならば、四角形ABCDの部分のことをいうのでしょうか？
理解力が乏しいのでもう少しおつきあいお願い致します。

No.16404 - 2012/01/04(Wed) 03:07:04

☆ Re: 高校生 / ヨッシー

別にｌとｍとｓｌ＋ｔｍとの間に
平行四辺形が描かれているようでもなさそうなので、これはこれで良いと思います。

ポイントは、ｓやｔをいろいろ変化させても、ｓｌ＋ｔｍは、ｌとｍとで出来る
平面上にあり、平面外には出ないということです。

上のようにＡＢＣＤを置くならば、
ｌとｍが作る平面とは、３点Ａ，Ｂ，Ｃを
３つとも含む平面となります。（Ｄは黙っててもこの平面に含まれます)
四角形ＡＢＣＤの内部だけではありません。

No.16410 - 2012/01/04(Wed) 12:00:45

★ 高2　確率 / れいひゃー

箱の中に0の数が書かれたカードが3枚
　　　　　1の数が書かれたカードが3枚
　　　　　2の数が書かれたカードが2枚
　　　　　3の数が書かれたカードが1枚入っている
箱の中から同時に2枚のカードを取り出し、2枚のカードに書かれた数を記録してそれらを箱に戻す。
この操作を3回繰り返して行う。

記録した6個の数の積が8である確率は(？)である

という問題で、
答えは1/144なのですが、
模範解答に書かれていた式が

31×1/12×/1/6×1/36+(1/6)^3

となっていて、最初の31がなんなのかさっぱり分かりません
解説お願いします。

No.16397 - 2012/01/03(Tue) 22:24:30

☆ Re: 高2　確率 / angel

それは 31 ではなく 3! ( 3の階乗 ) でしょう。
+ を挟んだ前半部分は、2-2, 2-1, 1-1 が1回ずつ出る場合の確率、後半部分は 2-1 が3回出る場合の確率を表しています。

No.16401 - 2012/01/03(Tue) 23:59:40

☆ Re: 高2　確率 / れいひゃー

見間違えだったんですね；
教えてくださって有難うございました!

No.16406 - 2012/01/04(Wed) 09:36:46

☆ Re: 高2　確率 / れいひゃー

あの、
3!で考えてたらなんで3!なのか分からなくなってしまったのですが、3!っているんですか?

No.16408 - 2012/01/04(Wed) 09:58:33

☆ Re: 高2　確率 / らすかる

3回で2-2,2-1,1-1が1回ずつ出るのは
2-2,2-1,1-1
2-2,1-1,2-1
2-1,2-2,1-1
2-1,1-1,2-2
1-1,2-2,2-1
1-1,2-1,2-2
の3!通りあるからです。

No.16413 - 2012/01/04(Wed) 15:28:41

☆ Re: 高2　確率 / れいひゃー

ありがとうございます！

No.16423 - 2012/01/04(Wed) 20:07:57

★ 高校生　数学A / ルイス

数学場合の数です。
8冊の本のうち同じ本が4冊あるとする。
(1)分け方に条件をつけずに、4人の人a,b,c,dに本を2冊ずつ分ける方法は何通りか。
本をAAAA(同じ本４冊)BCDEとする。
分け方としては(a,b,c,d)=(AA,AA,BC,DE)、(AA,AA,DE,BC)、(AA,AC,AB,DE)等あると思います。
これを求める時、a,b,c,dの区別を無視して○○○○○○○○の中にAAAABCDEから選んで入れていけばいいと思って
同じものを含む順列の公式より 8!/4!1!1!1!1!=1680通りとしました。
ですが答は204通りでした。
どうしてこれじゃダメなんでしょうか？
分かる方教えてください。お願いします。

No.16386 - 2012/01/02(Mon) 17:33:33

☆ Re: 高校生　数学A / らすかる

○の先頭二つがa、次の二つがb、・・・ということですよね？
そうすると
AAABACDE
AAABACED
AABAACED
など同じ結果になるものが多数ありますね。

No.16387 - 2012/01/02(Mon) 18:58:23

☆ Re: 高校生　数学A / ルイス

ありがとうございます

No.16394 - 2012/01/03(Tue) 18:00:31

★ 高校生　場合の数 / ルイス

9人のうち、5人が男、4人が女であるとする。3人、3人、3人の3つの組に分け、かつ、どの組にも男女がともにいる分け方は何通りか。
(自分の解答)
人は区別する必要があるので9人をそれぞれ
b1 b2 b3 b4 b5 g1 g2 g3 g4と区別する。(※b=boy g=girl)
さらに、3つの組をA,B,Cと区別する。
問題文より、どの組にも男女がともに入るのであらかじめそれぞれの組に男女を各々1人ずつ選んで入れておく。
そのような選び方は、まず男についてはAにb1~b5から一人選んで入れればよいから5通り。
BにはAに入れた男を除いた4通り
CにはA,Bに入れた男を除いた3通り
よって、男の選び方は5・4・3=60通り
次に、女についてはAにg1~g4から一人選んで入れればよいから4通り。BにはAにいれた女を除いた3通り
CにはA,Bにいれた女を除いた2通り
よって、女の選び方は4・3・2=24通り。
ここまででA,B,Cには男女がそれぞれ一人ずつ入っていることになる。
残りの人数の内訳は男2人、女1人で計3人。
この3人はA,B,Cの中に自由に入れれば良いので3!通り。
したがって、区別がある時の選び方は60×24×3!=8640通り
区別をなくすと、8640/3!=1440通り

となったのですが、答は180通りでした。
どこが間違っているのか考えてもわかりません。
誰か分かる方教えてください。お願いします。

No.16382 - 2012/01/02(Mon) 13:48:20

☆ Re: 高校生　場合の数 / ヨッシー

A,B,C にb1,b2,b3 をこの順に入れ、同じくg1,g2,g3 を入れ
その後b4,b5,g4を入れた場合と、b4,b5,b3を入れ、g1,g2,g3を入れ
その後b1,b2,g4を入れた場合は同じ結果となります。
このように同じ分け方を重複して数えているものがあるため
実際より多くなっています。

No.16383 - 2012/01/02(Mon) 15:20:10

☆ Re: 高校生　場合の数 / ルイス

回答ありがとうございます。
「この3人はA,B,Cの中に自由に入れれば良いので3!通り。」の部分で、重複するものを含んでしまったということですよね？

No.16384 - 2012/01/02(Mon) 17:32:02

☆ Re: 高校生　場合の数 / らすかる

そうです。

No.16388 - 2012/01/02(Mon) 18:58:51

★ 高校生 / ルイス

高校数学早稲田1989年
座標平面において、原点を中心とする半径1の円をAとし、点(4,0)を中心とする半径3の円をBとする。

点Pが円Aの周上を動き、点Qが円Bの周上を動く。このとき、線分PQの中点Ｍの動き得る範囲を図示し、その面積を求めよ。
(答)点(4,0)をO'とする。まず点Qを固定し点Ｐだけ動かすと、点Mは、点Qを中心に円Aを1/2に相似縮小した円Cを描く。
その中心をRとすると、RはOQの中点である。
次に点Qを動かすと、点Ｒは、原点Oを中心に円Bを1/2に相似縮小した円Dを描くから、結局点Mの描く領域は(省略)
その面積はπ×2^2-π×1^2=3π

画像は自分の書いた図です。(汚くてすみません)
以下は自分は自分の疑問点や考え方を述べたものです。
数学は苦手なので色々間違っている所があると思いますがお許しください。
まず、図のように点Qをとりました。そしてこの点Qから円A上に直線を引いていきますと、円A上のPの動きが分かります。
すると、円Aに接する2つの接線(図の∠みたいなやつです）の中に新たに円が作れるのが分かります。
これが図もにある円Cです。正直いって僕は答をみて初めて円Cが作られることが分かりました。
解答には言及されていませんが、この円Cはおそらく線分PQの中点Mの軌跡だと思います。
点をたどっていくと確かに円っぽくなるのですがちゃんとした根拠がみいだせません。
たしか、数学Aで共通接線の性質というのをやった記憶があるのですがそれと同じなんでしょうか？
この共通接線の性質が図の円Aと円Bにも適用できるならば円の外部の点Qと円Cの中心R（とします）と円Aの中心Oは一直線上にありますよね。
ここで、円Cの中心の点R、円Aの中心の点Oからそれぞれ図の上部の接線に下した点をC,Dとするならば
線分比より、QC:QD=QR:QO=CR:DO=1:2だからここでやっと、答にある「RはOQの中点」「円Aを1/2に縮小したものが円C」の意味が分かりました。
ですが、この後どうすればいいのか全く分かりません。
はじめに固定した点Qを自由に動かしたとき、点Rはどのように動くのでしょうか。
また、答にある「点Qを中心に～」「原点Oを中心に～」の言葉の意味が全く理解できません。

友達は皆この問題を簡単に解けるのに対して僕は何時間悩んでも解けません。
解答を読んでも理解できない自分の理解力の無さに呆れてしまいます。
どうしたらこのような問題を理解して解く事ができるようになるのでしょうか。
試験本番で出されたら0点間違いなしです。
誰か分かる方教えてください。お願いいたします。

No.16374 - 2012/01/01(Sun) 21:10:51

☆ Re: 高校生 / ルイス

貼り忘れです。失礼しました。

No.16375 - 2012/01/01(Sun) 21:11:51

☆ Re: 高校生 / ハオ

一応解いてみましたがルイスさんの提供して下さった模範解答の方針はガン無視で進めているのでお役に立てるか分かりません。

２つの点を同時に動かすのは厄介である。だからまずは片方を固定して考え点の動きを探り、そのあともう片方を動かし全体像を把握します。
軌跡の問題ですので関数式を求めようと考えます。
Q(s,t)を固定します。そして一般的に考えるためP(p,q)と置きます。Pの座標はp^2 + q^2 =1---?@を満たします。
すると中点Mはx=(p+s)/2 , y=(q+t)/2 となります。
p,qについて解いて
p=2x-s q=2y-t
これを?@に代入して
(x - s/2 )^2 + (y - t/2)^2 = 1/4 を得ます。
これはつまり
Mは点( s/2 , t/2 )を中心とする半径1/2の円Cの周上を動くことになります。
ではこの円Cの中心の挙動はどうなるでしょうか。
s,tを動かして考えてみます。
x=s/2 y=t/2を
s,tについて解いて
s=2x t=2y
s,tは円B上の点ですから　(x-4)^2 + y^2 =9を満たしますので代入して
(x-2)^2 + y^2 =9/4
これは
円Cの中心は　(2,0)を中心とする半径3/2の円Dの周上を動くことを意味します。

あとは上を満たす円を四つ程書けば求めたい図形がドーナツ状になる事が分かります。
よって
π*2^2 - π*1^2=3πです。
半径が2なのは3/2+1/2からです。（最も遠いところに着目しました）
半径が1なのは3/2-1/2からです。（最も近いところに着目しました）

あとこれ固定する点を最初円A上の点にして同じように話を進めると答えが合わなくなってしまいます。
何故なのか考えても分かりませんでした。
もしかしたらこの解法は誤っていてたまたま答えがあっていただけに過ぎませんので他の方の解答も参考にして頂けると幸いです。

No.16378 - 2012/01/02(Mon) 04:22:36

☆ Re: 高校生 / ルイス

ありがとうございました

No.16385 - 2012/01/02(Mon) 17:32:28

★ 数IIです / み

平面上の3点A(0,1)、B(2,3)、Cが正三角形の頂点となるとき、点Cの座標を求めよ。

よろしくお願いします

No.16358 - 2011/12/31(Sat) 22:44:37

☆ Re: 数IIです / ハオ

検算しましたので答えには一応自信があります。
今求める座標Cを(p,q)と置きます。
そして点Aを原点に移すべくy座標を-1します。
（これは原点を中心として60度回転する行列を用いたいからです）
ここで今移動後の点をプライムをつけて表しますと
A'(0,0) B'(2,2) C'(p,q-1)となります

ではA'を中心としてB'を±60°回転させてあげれば求めたいC'に一致するので
(cos(±60°) -sin(±60°))( 2)
( )( ) =C'
(sin(±60°) cos(±60°) )( 2)

と立式して（ずれてたらスイマセン）
C’＝（1-√3 , 1+√3)
(1+√3 , 1-√3)
と出てきます

ですから求めたいCはy座標に+1してあげまして
　　　C=（1-√3 , 2+√3)
(1+√3 , 2-√3)
となり求まります。

No.16360 - 2011/12/31(Sat) 23:26:02

☆ Re: 数IIです / らすかる

もし行列を習っていない場合は
AB^2=8なので
Aを中心としてBを通る円の方程式は x^2+(y-1)^2=8 … (1)
Bを中心としてAを通る円の方程式は (x-2)^2+(y-3)^2=8 … (2)
(1)-(2)から y=-x+3 … (3)
(3)を(1)に代入してxの二次方程式を解くと x=1±√3
これを(3)に代入してCの座標は (x,y)=(1+√3,2-√3),(1-√3,2+√3)

No.16361 - 2012/01/01(Sun) 00:07:38

★ (No Subject) / 0

n次正行列Aの余因子行列Ａの行列式|Ａ|は｜A｜^n-1に等しいことを証明せよ。

全くわかりません。
よろしくお願いします。

No.16356 - 2011/12/31(Sat) 20:55:01

☆ Re: / ハオ

問題が少しだけ不明なので改変してみますと
n次正方行列Aの余因子行列adj(A)の行列式|adj(A)|は
|A|^n-1 に等しいことを証明せよ。
これで仰りたいことは合っていますか？
まず
inv(A)= adj(A)/ det(A) (inv(A)はAの逆行列 det(A)はAの行列式を表します。）
を用いて
det(A)*inv(A) = adj(A)----?@
ところでkB=k^n*|B|は大丈夫ですか？(Bはn次正方行列で多重線形性をもつため）

?@より両辺のdetをとりまして
det(A)^n det(inv(A))=det(adj(A))
det(A)^n-1 = det(adj(A))

これでいかがでしょうか？

No.16365 - 2012/01/01(Sun) 15:24:54

☆ 「件名は必ず入れてください。」と書かれています / のぼりん

こんにちは。
横から失礼します。
Ａは逆行列を持つとは限らないので、Ｅを単位行列としたとき、ハオさんの記号に従えば、行列式の展開に関する定理により、
　　Ａ・ａｄｊ（Ａ）＝ａｄｊ（Ａ）・Ａ＝｜ａｄｊ（Ａ）｜Ｅ
となることを用いればいかがでしょうか。

No.16369 - 2012/01/01(Sun) 17:02:40