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★ 素数の問題です / 八重
pを素数としてx∧3+2px∧2+5px+6pを考える。方程式f(x)=0が少なくとも１つの有理数を持つような素数pを全て求めよ。

全然分かりません。模範解答をお願いします！
No.16349 - 2011/12/31(Sat) 14:08:31
☆ Re: 素数の問題です / ハオ
合ってる確証は全くありませんが私なりの解答を示したいと思います。

まず　素数は1と自分以外に約数をもたない。　これを使います。
３次方程式の解の候補は　±6 ±2 ± 3 ±p ±1です。
これは与方程式が少なくとも有理数解を一つ持つことから言えます。
また式の形から解が正ですと　x∧3+2px∧2+5px+6p＞0(∵pは素数）となってしまうのが明らかです
よって -6 -2 -3 -p -1を順に与式に代入していきます。
その式f(-6) f(-2)・・・f(-1)が0になるpを求めそのpが条件を満たすものだけをとりあげると
p= 2 , 3 が得られます。
よってp = 2 p = 3であると考えます。
No.16350 - 2011/12/31(Sat) 18:57:20
☆ Re: 素数の問題です / らすかる
解の候補は他に ±2p ±3p ±6p がありますね。
No.16353 - 2011/12/31(Sat) 20:12:06
☆ Re: 素数の問題です / angel
解は-2,-3,-6の3通りに絞れますので、f(-2)=0, f(-3)=0, f(-6)=0 の3通りの中で、pが素数になるものを挙げると良いです。

まず、f(x)=0 が有理数解を持つとしたら、それは必ず整数になります。
※fが整数係数の多項式なので、有理数解は、(定数項の約数)÷(最高次の係数の約数) の形になる。今、最高次の係数が1なので÷1ということで、整数にしかならない。

では、その整数解をnと置くと、ハオさんの説明にあるとおり、nは負の整数です。
で、
　f(n)=n^3+2pn^2+5pn+6p=p(2n^2+5n+6)+n^3
と p に関してまとめた上で f(n)=0 と比較すると、
　n^3=-p(2n^2+5n+6)
ということで、n^3 は素数pの倍数です。
そうすると、n も素数 p の倍数であることが分かります。
※nがpの倍数でないとすればn^3もpの倍数にならないから。背理法ですね。

あらためて、n=mp ( mは負の整数 ) とおいて一部だけ代入します。
　n^3=-p(2n^2+5n+6)
　⇒ n・n^2=-p(2n^2+5n+6)
　⇒ mp・n^2=-p(2n^2+5n+6)
　⇒ mn^2=-(2n^2+5n+6)
　⇒ mn^2+2n^2+5n = -6
　⇒ n(mn+2n+5)=-6
これより、n は6の約数で負、またnはpの倍数なので-1ではない、ということで n=-2,-3,-6 と絞れます。
No.16359 - 2011/12/31(Sat) 22:51:36
★ (No Subject) / あ
f(θ)=5 sin(2θ-α) θ≦θ≦π/2
f(θ)=aが解をもつようなaの範囲
また異なる2つの解をもつときのaの範囲
No.16345 - 2011/12/31(Sat) 11:14:22
☆ Re: / angel
問題だけあっても、あさんが何を知りたいのか分からないと、割と答えようがないです。
答え？模範解答例？それとも解説？ヒントやとっかかりがほしい？

あと、θ≦θ≦π/2 は、0≦θ≦π/2 の誤植だろうと思いますが、αについて何か条件はありますか？
No.16346 - 2011/12/31(Sat) 13:41:42
★ 数量の変化を表すグラフの問題 / 夕凪
ヨッシーさん、こんばんは(o^-^o)。

この前は、どうも有り難うございました(*^.^*)。また、行き詰まってしまったので、よろしくお願い致します。

画像添付しております。

この問題は、右のグラフで４００ℓのところが、たて８０cm、横１１０cm、高さBG＝AE＝あ、の体積に等しいと考えるのでしょうか？

う、はこの浴槽の高さになると思うのですが、どこで判断して長さをだしてよいか、解りません(>.<)。

それでは、解説よろしくお願い致します。
No.16336 - 2011/12/30(Fri) 01:20:45
☆ Re: 数量の変化を表すグラフの問題 / ヨッシー
グラフの傾きは単位体積当たりの深さの増え方を示していますが、う　の所でそれが変わるのはなぜでしょうか？
その特徴的な高さが　う　となります。
次に、う　の高さになったときの体積がわかっているので、い　の長さがわかります。
No.16343 - 2011/12/30(Fri) 16:53:51
☆ Re: 数量の変化を表すグラフの問題 / 夕凪
ヨッシーさん、こんばんわ。

いつも有難うございます(o^-^o)

さっき掲載に失敗したので、もう１度のせます。

申し訳ないですが、わかりません(>.<)。う、のところでそれが変わるのがなぜかがわかりません(>.<)。たて８０ｃｍ、横１１０ｃｍ、高さＢＧの体積が４００ℓ（４０００００cm3 ）に等しくならないのですか？


馬鹿な質問ですが、この図の中の「こしかけ」ってなんでしょうか？


ほんとに頭が悪くて、すいません。また解説よろしくお願い致します。
No.16355 - 2011/12/31(Sat) 20:50:21
☆ Re: 数量の変化を表すグラフの問題 / はにゃーん

こしかけは腰をかけるところです。
お風呂の中が階段状になっていると考えてください。
その腰掛けの部分は水が入りません。
まずは問題の状況を理解して下さいね。

そしてなぜグラフが折れ線なのか？その折れるポイントはどこなのか？考えてみてください。

っていうか、普通はお風呂いっぱいに水は入れませんよ。
だから高さがBGが400リットルの時というふうに考えた時
ちょっとおかしいと思ってほしいです。
グラフと図から400リットルのとき高さは(あ)ですしね。
No.16357 - 2011/12/31(Sat) 22:14:08
☆ Re: 数量の変化を表すグラフの問題 / 夕凪
はにゃーん様、はじめまして、こんばんわ(*^.^*)。

ご回答どうもありがとうございますー(o^-^o) 。でも頭が悪いので、まだ解りません(>.<)。

もうちょっとお聞きしてもいいでしょうか？こしかけは、腰をかける部分で、水が入らない部分だとは、気が付きませんでした。これは、解りました(o^-^o) 。

だから、たて８０ｃｍ×横ＦＧ×高さ３０ｃｍの腰かけの部分を、あ、の深さまで入った全体の水の量４００ℓからひいたものが、水が入った部分の全体の体積と考えるのでしょうか？

でも、なぜグラフが折れ線なのか？その折れるポイントはどこなのか？は、申し訳ないけど、解りません(>.<)。

また、よろしければ、解説お願い致します(o^-^o) 。
No.16368 - 2012/01/01(Sun) 17:02:12
☆ Re: 数量の変化を表すグラフの問題 / はにゃーん
例えばですね、同じ高さのコップとお鍋があるとしますね。台所の蛇口から水を注ぐ時、コップのほうがお鍋よりも速く水位が上がりますよね。これらの間には水位の上昇スピードに差があるわけです。
この問題でも同様で、腰掛けの高さまではコップに注ぐ時と、腰掛けの高さ以上ではお鍋に注ぐ時と同じように水位の上昇スピードに差があるわけです。

ちょっと縮尺とか違いますが、断面図と思ってください。お風呂に水が溜まっていく様子です。


上記の説明や図からわかるように、水位の上昇スピードが変わる時というのは水位がちょうど腰掛けの高さになった時ですね。ですから最初に求まるのは
（う）= HF = 30cm
です。このときの体積が216リットルなので
縦80cm × 横（い）× 高さ30cm = 216リットル = 216×1000cm^3
という方程式を立てて解くと（い）= 90cm

>たて８０ｃｍ×横ＦＧ×高さ３０ｃｍの腰かけの部分を、あ、の深さまで入った全体の水の量４００ℓからひいたものが、水が入った部分の全体の体積と考えるのでしょうか？

400リットルから腰掛けの部分をひいちゃダメです。

400リットル = 縦80cm×横110cm ×高さ（あ）- 腰掛けの部分の体積

となりますよね。(あ) = 40cmになります。
No.16377 - 2012/01/02(Mon) 01:49:27
☆ Re: 数量の変化を表すグラフの問題 / 夕凪
はにゃーん様ー、こんにちわ(o^-^o)

ほんとに解りやすく丁寧な解説、どうもありがとうございますー(*^.^*)。画像まで付けて頂いて、感謝(^人^)しています。

よく解る説明で素晴らしいです。馬鹿な私でも、これだったら、わかりますー(o^-^o) 。


?@の問題は、もう大丈夫です。


?Aの問題の、水面から底までの深さが４５ｃｍになるのは、何分何秒後か？ですが、


３０ｃｍまでの体積は、２１６０００cm3で、あと１５ｃｍの部分は、たて８０cm×横１１０ｃｍ×１５＝１３２０００cm3で合計したら、３４８０００cm3


１分２０ℓ入るから、３４８ℓ÷２０＝１７．４分　１７分２４秒でいいかなあ？


★勉強して解けるようになりますう(o^-^o) 。また、機会がありましたら、ご回答どうぞよろしくお願い致します(*^^*ゞ
No.16380 - 2012/01/02(Mon) 12:16:39
☆ Re: 数量の変化を表すグラフの問題 / はにゃーん
すいません。(あ)は50.9cmでしたね。

(2)はそれでいいとおもいますよ。
No.16381 - 2012/01/02(Mon) 12:47:09
★ (No Subject) / DIE
もう一問お願いいたします。
f(t)=∫［t→０〜１］｜t^2-x^2｜dtのMINを求めよ

中の関数について二つの場合わけをし、より小さいものを適用して、-1/3としましたが、あっていますでしょうか？
回答がないため、正解不正解を知ることができません。
すみませんがよろしくお願いします。

また、０≦ーxの計算は、符号はそのままでしたでしょうか？０がくる場合は特殊な何かがあったような気がするのですがおぼろげです・・・
No.16327 - 2011/12/29(Thu) 18:43:45
☆ Re: / X
>>f(t)=∫［t→０〜１］｜t^2-x^2｜dt
ですが
f(x)=∫［t→０〜１］｜t^2-x^2｜dt
のタイプミスであると見て回答します。
>>-1/3としましたが
まずf(x)の式の積分により、少なくとも
f(x)＞0
となりますので、最小値は-1/3にはなりえません。
もう一度計算過程を見直しましょう。

＞＞また、０≦ーxの計算は、符号はそのままでしたでしょうか？
意味不明です。
No.16335 - 2011/12/29(Thu) 23:04:35
☆ Re: / angel
とりあえず、答は 1/4 です。
で、明らかに f(-x)=f(x) なので、x＜0 のことは考える必要はありません。
※最小値を求めるだけなので。もし最小値を取る時の x を求めよ、といわれたなら、x≧0 の範囲で f(1/2) が最小なのを調べてから、x=±1/2 を答にしてあげれば十分。

> 中の関数について二つの場合わけをし、
0≦x≦1 に対して、
　f(x)=∫[0,1] |t^2-x^2| dt
　= ∫[0,x] (x^2-t^2)dt + ∫[x,1] (t^2-x^2) dt
ということでしょうか? それであれば問題ありません。
なお、x＞1 の範囲を考える必要がないのも良いでしょうか…?

なおグラフとして考えると、f(x)というのは添付の図の斜線部の面積(合計)に相当します。
No.16340 - 2011/12/30(Fri) 02:40:42
☆ Re: / angel
ちなみに、f(1/2)が最小であることは、f(x)を計算しなくても図形的に分かります。( 解答には書けませんが )
まず、f(x) の表す数値が上の図の面積に相当するというのを念頭において下さい。

さて、そこで下の図を見てください。
1/2より大きいxの値を少しだけ小さくしたら、面積( f(x)の値 ) はどうなるか、を表すものです。
※結構たくさん変化させているように見えますが、ほんのわずかだけxを変化させていると考えてください。
青斜線の増加分よりも、赤斜線の減少分の方が大きいですよね。つまり、x＞1/2 の場合は x を減らした方が、f(x) も小さくなるということ。

逆に、x＜1/2 の場合は x を増やした方が f(x) は小さくなります。同じように図を描いて確かめてみてください。

ということで、f(x)が最小となるのは f(1/2) しかない、と分かります。
No.16341 - 2011/12/30(Fri) 02:56:38
☆ Re: / DIE
ご丁寧な解説有難うございます。
しかしなんだかわけがわからなくなっています・・・

そもそも、今tの積分より、f(t)を考えているのではないのでしょうか・・・？
えーっとこのように場合わけをし考えたのですが・・・。
No.16371 - 2012/01/01(Sun) 18:25:56
☆ Re: / angel
えーと、その図は多分間違いです。

私が載せた図は、軸がf(t)になっているのは間違いでした。

で、ちょっと描き直しました。下の3通りどれで考えても良いですが、私の第1感は一番左だったということで。問題文に沿って素直に描くなら一番右ですね。
No.16392 - 2012/01/03(Tue) 17:10:07
☆ Re: / DIE
では右の図を素直に使いたいのですが、そうするとこのような二つの場合わけになりませんでしょうか？？？
間違いありますでしょうか？？？
No.16545 - 2012/01/10(Tue) 02:46:44
★ (No Subject) / おれんじ
数列の問題についての質問です！

等差数列 a_n=3n-1,b_n=4n-3があり、
数列{a_n}と{b_n}の共通な項を小さい順に並べた数列を{cn}とすると
c_n=12n-7である。

また、2つの数列{a_n}と{b_n}の少なくとも一方に含まれている項を小さい順に並べて
d_1,d_2,d_3･････とする。ただし、共通な項はいずれか一方のみを並べるものとする。

このとき、d_n>100を満たす最小の整数nは[アイ]であり、
d_[ｱｲ]=[ウエオ]である。

さらにΣ[k=1〜[アイ]]=[カキクケ]である




これのやり方なんですが
自分は
d_n=a_n+b_n-c_n
　　3n-1+4n-3-(12n-7)>100
というやり方でといたのですが
　　答えが違うみたいで・・
　　詳しく解説おねがいします
No.16326 - 2011/12/29(Thu) 18:29:15
☆ Re: / X
項と項数をごちゃごちゃにして考えているものと思いますが
＞＞d_n=a_n+b_n-c_n
とはなりません。

a[n]＞100 (A)
を解くと
n＞101/3=33+2/3
∴(A)を満たす最小のnは34であり
a[34]=101 (A)'
一方
b[n]＞100 (B)
を解くと
n＞103/4=25+3/4
∴(A)を満たす最小のnは26であり
b[26]=101 (B)'
更に
c[n]=101のときn=9 (C)
(A)'(B)'(C)によりd[n]＞100となる最小のnは
34+26-9=51
となります。

残りの問題はもう一度ご自分で考えてみてください。
No.16334 - 2011/12/29(Thu) 22:51:35
★ 条件 / DIE
今日もよろしくお願いいたします。

添付問題コ　の部分です
No.16324 - 2011/12/29(Thu) 18:06:01
☆ Re: 条件 / DIE
範囲で考えるのが自分的に一番しっくりくるので、このように図を書いてみたのですがこのようにして考えるのは間違いやかんばしくない点などありますでしょうか？？

よろしくお願いします。
No.16325 - 2011/12/29(Thu) 18:08:01
☆ Re: 条件 / angel
何となく、「間違ってないだろう」とは思うものの、
その画像に描かれている内容だけでは、何とも言えません。
折角グラフで条件を可視化 ( 「見える化」って言うと流行っぽい ) するのであれば、こういう図が描けると説得力があるかな、と思います。
No.16337 - 2011/12/30(Fri) 01:30:48
☆ Re: 条件 / angel
コの部分に関してはこんな感じ。
結局、~r ( グラフ全域から長方形部分を抜いた範囲 ) に p ( 直線 t=s ) が全て含まれているため、p→~r ということで、p は ~r であるための十分条件。( 必要十分ではない )
No.16338 - 2011/12/30(Fri) 01:33:44
☆ Re: 条件 / DIE
ありがとうございます！
因みに図示するより、もっと簡単な方法があるのでしょうか？？？
No.16373 - 2012/01/01(Sun) 18:44:02
☆ Re: 条件 / angel
図示が一番簡単ではないでしょうかね。
※でも、その裏づけになる計算は色々必要ですが。
別に紙に描かなくても、頭の中でイメージできれば、それでも良いですよ。
No.16393 - 2012/01/03(Tue) 17:12:58
★ (No Subject) / DIE
条件の問題です。
No.16318 - 2011/12/29(Thu) 02:04:45
☆ Re: / DIE
この、ソ　タ　の部分なのですが、以下の様に考えました。しかし不正解でした。
何度も見直しをし、考え方に誤りがないように思えるのですが、どの部分が間違っているのでしょうか？？
どうかよろしくお願いいたします。
No.16319 - 2011/12/29(Thu) 02:07:40
☆ Re: / らすかる
「x∈A または x∈B」であればそのようなベン図になりますが、
「x∈A または y∈B」ですから違います。
No.16320 - 2011/12/29(Thu) 03:37:49
☆ Re: / DIE
よくわかりました。
本当にありがとうございます。
No.16322 - 2011/12/29(Thu) 17:38:41
★ 微分 / yuika
a＞0とし、二つの放物線y=(a/2)x^2、y=(-a/2)x^2+a/(1+a)を考える。

二つの放物線の交点のx座標はx=±ア/√(イ+ウ)であり、二つの放物線に囲まれた部分の面積SはS=エ/オ×a/√｛(イ+ウ)^カ｝となる。

ここで、t=1/√(イ+ウ)とおくと、キ＜t＜クであり、S=エ/オ×(t-t^ケ)となる。

t=1/√コのとき、Sは最大値をとる。

したがって、a=サのとき面積Sは最大となり、その値はシ/スセ√ソである。

カタカナに数字か文字が入ります。スセは10というように二桁の数字です。

アイウが1,1,aだと出たのですが、エから1/6公式を使っても四角に合いません。

申し訳ないんですが答えはありません。

できれば計算過程があればありがたいです。

すみませんがよろしくお願いします。
No.16313 - 2011/12/28(Wed) 15:34:19
☆ Re: 微分 / X
条件から
S=∫[-1/√(1+a)→1/√(1+a)]{-a{x-1/√(1+a)}{x+1/√(1+a)}}dx
これに1/6公式を適用すると
S=-(-a/6){1/√(1+a)-{-1/√(1+a)}}^3
=(4/3)×a/{√(1+a)}^3

Sの計算が合わなくてその先の計算が進められないと
見ました。
ですのでここからはもう一度ご自分で計算してみて下さい。
No.16314 - 2011/12/28(Wed) 22:01:22
☆ Re: 微分 / yuika
ありがとうございます。

今、やってみたんですがキクが0、1だとわかったんですが、その後がまた進まなくなってしまいました・・・
No.16315 - 2011/12/28(Wed) 22:05:38
☆ Re: 微分 / X
t=1/√(1+a)
と置くと
a=…
∴S=…
No.16321 - 2011/12/29(Thu) 10:28:46
☆ Re: 微分 / yuika
解けました！

ありがとうございます。
No.16342 - 2011/12/30(Fri) 16:11:03
★ 対数 / DIE
log（3）nが無理数となる２０１１以下の正の整数ｎは全部でいくつか

ｎは３の階乗のときのみ有理数となるので、２０１１−６＝２００５

という風に考えましたが、どうでしょうか？？

回答がないので正解をいただければ助かります。
よろしくお願いします。
No.16307 - 2011/12/27(Tue) 20:46:21
☆ Re: 対数 / ヨッシー
3^6=729, 3^7=2157 で、2011 以下になるのは 3^6 までですが、
3^0=1 も、除くべきｎなので、引くのは７になります。
答えは2004。

ちなみに、階乗ではなく、累乗またはべき乗といいます。
No.16310 - 2011/12/27(Tue) 22:45:43
☆ Re: 対数 / DIE
そうですね。間違えました。ありがとうございました！
No.16328 - 2011/12/29(Thu) 18:50:47
★ 数学くん / Re:Re:双曲線の問題
中学一年生の簡単な比例の双曲線の問題です！！！
どうか、お願いしますm(_ _)m
No.16302 - 2011/12/27(Tue) 20:20:56
★ 双曲線の問題 / 数学くん
双曲線で、点（4,-3）を通るとき、
x=6の時のYの値を求めよ。

どうしても計算が合いません。
できれば計算過程もよろしくお願いします。
No.16300 - 2011/12/27(Tue) 20:13:09
☆ Re: 双曲線の問題 / X
一言で双曲線といってもどのような式を数学くんさんが
想定しているのか、この質問だけでは分かりません。
ですので、計算が合わないという数学くんさんの
計算過程をアップして下さい。
No.16301 - 2011/12/27(Tue) 20:19:06
☆ Re: 双曲線の問題 / 数学くん
中学一年生の簡単な比例の双曲線の問題です！！！
どうか、お願いしますm(_ _)m

とりあえずマスのところにかいて実際にやってみました。
No.16304 - 2011/12/27(Tue) 20:38:19
☆ Re: 双曲線の問題 / X
問題の双曲線の方程式を
y=a/x
と置くと点(4,-3)を通るので
-3=a/4
これより
a=-12
となるので双曲線の方程式は
y=-12/x
よってx=6のとき
y=-2
となります。
No.16305 - 2011/12/27(Tue) 20:40:52
☆ Re: 双曲線の問題 / 数学くん
あ！！
解けました！！！

よく考えたら単純な事ですねｗｗｗ
本当にありがとうございます！

また分からない問題があればいただきます！
No.16308 - 2011/12/27(Tue) 20:52:34
★ (No Subject) / DIE
nを正の整数とする
10＾ｎの全ての約数の積を求めよ

（２*５）＾ｎとし、それぞれに等比数列の和を使う。
という方針を考えましたが如何せん回答がなく、正解がわかりません。
模範解答をいただけないでしょうか。
よろしくお願いします。
No.16298 - 2011/12/27(Tue) 19:16:08
☆ Re: / X
方針に問題はありません。
後はその通りに計算するだけです。
求める和は
Σ[k=0〜n]Σ[l=0〜n](2^k)(5^l)
=Σ[k=0〜n](2^k){Σ[l=0〜n](5^l)}
={Σ[l=0〜n](5^l)}{Σ[k=0〜n](2^k)}
=…
No.16299 - 2011/12/27(Tue) 20:10:13
☆ Re: / DIE
では、1/4{2^（n+１）-1}{5^（n+1）-1}であってますでしょうか？？
No.16306 - 2011/12/27(Tue) 20:41:30
☆ Re: / X
>>1/4{2^（n+１）-1}{5^（n+1）-1}
が
(1/4){2^（n+１）-1}{5^（n+1）-1}
という意味であるのなら、それで問題ありません。
No.16312 - 2011/12/28(Wed) 02:15:07
☆ Re: / DIE
表示方法が事足りず申しわけありません。

どうもありがとうございました！
No.16316 - 2011/12/29(Thu) 01:54:15
★ 場合の数 / DIE
添付問題オカキの部分です。
?@１のカードを含む場合
12c3−8c3=164
?A白かつ１を含む場合
残りの二枚は何でもよいので11c2
?B白のカードが含まれる場合
?@と同様

とし、事象A　白のカードが出る
事象B　１のカードが出る
とすればA∨Bを求めればよいので164+164-11c2
と考えました。
この考え方だと答えが不正解となりました。
どうしてでしょうか・・・
どうぞお願いいたします。
No.16297 - 2011/12/27(Tue) 19:11:45
☆ Re: 場合の数 / ヨッシー
１のカードを含む場合
12c3−8c3＝164
ではなく
12Ｃ3−9Ｃ3＝136
です。164 は、白が含まれる場合の数です。

白かつ１を含む場合は
白の１を含む場合とは違います。

白も１も含まない場合を考えて、それを全体から引きます。
12Ｃ3−6Ｃ3＝200 通り
No.16311 - 2011/12/27(Tue) 23:32:21
☆ Re: 場合の数 / DIE
白も１も含まない場合を考えて、それを全体から引きます
という考え方は大いにわかりました。

しかし、このベン図的な考え方ではできないのでしょうか？
白かつ１を含む場合は、白の１を含む場合と違う。というところがわかりません。

教えて頂けると助かります。
No.16323 - 2011/12/29(Thu) 17:49:44
☆ Re: 場合の数 / angel
> 白かつ１を含む場合は、白の１を含む場合と違う。というところがわかりません。

日本語というのは、ひどく曖昧な物言いができるので、自分で自分を騙してしまうことがあります。
「白のカードを含み、かつ1のカードも含む」を「白かつ1」と言ってしまうと、その罠にはまってしまうわけです。
後から見直してみると、「白かつ1」というのは「白い1のカード(を含む)」にしか思えなくなってくる。

ところが、「白のカードを含み、かつ1のカードも含む」というのは、白2・赤1・青3の組み合わせ等でも良いので、「白い1のカードを含む」とは全くの別物 ( より広い条件 ) なのです。

これは、言葉だけの組み合わせで考えを進めると、たびたび起こしてしまう間違いなので、より具体的な事象を頭の中でイメージすることです。
もしくは、具体的に言い直しても良いです。
「白を含む」⇔「白1,白2,白3,白4のいずれかを少なくとも1枚含む」
「1を含む」⇔「白1,赤1,青1のいずれかを少なくとも1枚含む」
No.16339 - 2011/12/30(Fri) 02:06:58
☆ Re: 場合の数 / DIE
よくわかりました。
本当にどうもありがとうございました！！
No.16372 - 2012/01/01(Sun) 18:34:10
★ 確率 / DIE
非常に基礎的な質問なのですが、質問させてください。
よろしくお願いします・・・

一つのさいころを三階ふる
出た眼の数を順にabcとする
abcのうち、abだけが等しいような眼の出方は何通りか

六つの数のうち二つを選び、順列、と考え、6c2*3!/2!と考えましたが、6p2が模範解答となるようです
しかし、この二つは考え方が同じで、同値のように思えるのですが計算後の数が異なります
何故かがわかりません

基礎的で大変申し訳ないのですが、教えて頂けると助かります。
お願いします・・・
No.16294 - 2011/12/27(Tue) 12:57:58
☆ Re: 確率 / らすかる
具体的に考えてみれば何がおかしいかわかると思います。
6C2*3!/2! という式で、
例えば6C2で3と5が選ばれたとします。
*3!/2!ということは、3と5が選ばれた場合に
出方が3通りあることになりますが、
ではこの3通りを具体的に書いてみて下さい。
No.16295 - 2011/12/27(Tue) 13:17:55
☆ Re: 確率 / DIE
３３５
３５３
５３３
の三通りということではないのでしょうか・・・？
No.16296 - 2011/12/27(Tue) 19:00:24
☆ Re: 確率 / らすかる
出た目の順にabcとしてaとbが等しいと言っているのですから
「353」や「533」は条件に合いませんね。
No.16309 - 2011/12/27(Tue) 22:10:38
☆ Re: 確率 / DIE
そうですよね。
最近変な勘違いが多く、我ながらほとほと困ってしまいます。。。本当にありがとうございました。
No.16317 - 2011/12/29(Thu) 01:55:38
★ (No Subject) / おれんじ
f(θ)＝4cos^2θ-4sin^2θ+6sinθcosθ (0≦θ<2π)
f(θ)=1を満たすθの値は何個？
また、そのうち最小のものをβ、最大のものをγとすると
tan(β+γ)=？
このふたつの解き方を教えてください
No.16292 - 2011/12/27(Tue) 08:25:57
☆ Re: / X
(前半)
f(θ)=4cos2θ+3sin2θ=5sin(2θ+α)
(但しαはtanα=4/3,0＜α＜π/2なる角 (A))
∴f(θ)=1のとき
sin(2θ+α)=1/5 (B)
ここで
0≦θ＜2π
により
α≦2θ+＜4π+α (C)
又(A)より
π/4＜α＜π/3 (D)
(B)(C)(D)により
2θ+α=π-a,2π+a,3π-a,4π+a
(但しaはsina=1/5,0＜a＜π/4なる角)
∴θ=(π-a-α)/2,π+(a-α)/2,(3π-a-α)/2,2π+(a-α)/2
(E)
なので求める個数は4個です。

後半)
(E)を使うと
β=…
γ=…
と表すことができますので…。
No.16293 - 2011/12/27(Tue) 11:05:39
★ 数列 / momo
こんばんは　


数列｛ａn｝の初項ａ1から第ｎ項までの和Ｓｎが　Ｓｎ＝2n＋3ａnを満
たす。
(1)　ａ1とa2を求めよ

(2)ａn+1をａnの式で表せ

(3)一般項anと和Ｓnを求めよ


この3題の解説をお願いします。
No.16287 - 2011/12/26(Mon) 22:16:42
☆ Re: 数列 / ヨッシー
(1)
a1＝S1＝2+3a1 より
　-2a1＝2
　a1=-1
S2＝a1＋a2＝-1＋a2＝4＋3a2 より
　-2a2＝5
　a2＝-5/2
(2)
S(n+1)＝Sn＋a(n+1) より、
　2(n+1)＋3a(n+1)＝2n＋3an＋a(n+1)
　2a(n+1)＝3an−2
よって、
　a(n+1)＝(3an−2)/2
(3)
　a(n+1)＝(3an−2)/2
が
　a(n+1)−α＝(3/2)(an−α)
と書けたとすると、α＝２
　a(n+1)−2＝(3/2)(an−2)
bn＝an−2 とおくと、b1＝-1−2＝-3 より
　bn＝-3(3/2)^(n-1)
　an＝-3(3/2)^(n-1)＋2
和は、等比数列の公式より導くことができます。
No.16288 - 2011/12/26(Mon) 23:59:59
★ 微積　場合わけ　面積 / DIE
こんばんは。
質問させてください。

添付問題についてです。
No.16285 - 2011/12/26(Mon) 20:11:32
☆ Re: 微積　場合わけ　面積 / DIE
続きです。
こちらの（３）についてなのですが、今回誘導に従わないといけないので逆に私は煩雑で複雑に思えましたが、これを誘導梨で与えられた問題だとすると、
?@２＜aのとき
?A3/4a<2<2a
?B3/4a<2
という場合わけで正しいでしょうか・・・？
因みに、０＜X＜２の範囲を動かして（正確にはｘ＝２を）考えた場合わけです。
しかし、するとこの問題の誘導の場合わけにはそぐっていないのです・・・＞＜
どうかご教授ください。
よろしくお願いいたします。
No.16286 - 2011/12/26(Mon) 20:15:26
☆ Re: 微積　場合わけ　面積 / angel
いいえ。誘導されているわけではなく、最終的に3通りに答が分かれるのです。
途中の場合分けをどうしようとも自由ですが、答は同じようにまとめられますし、まとめなければなりません。

さて、今回求めるのは添付の図の青色の領域の面積ですから、結局∫[0,2]1/8・x^2dx からピンク色の部分の面積を引くことで計算できます。
3通りの場合分けというのは、このピンク色の部分がどうなるか、によるのです。
No.16344 - 2011/12/30(Fri) 21:02:09
☆ Re: 微積　場合わけ　面積 / DIE
わかりました！
本当にどうもありがとうございました＾＾
No.16389 - 2012/01/02(Mon) 21:25:17
★ 不等式と等式の違い / 涙
√５−２＜ｓ＜√５＋２ (A)
9/2＜t＜13/2 (B)
√５-17/2＜s-t＜√５-5/2（C)
「AかつB」⇒Cとなります。このCという条件に何か条件を付け足して（付け足す条件をC'とする）
「AかつB」⇔C＋C'とするようなC'を教えてください。

例えば
「x+y=3かつ
2x+3y=1」
⇒2x+3(3-x)=1しか成り立ちませんが

ここにx+y=3を付け加えると
「x+y=3かつ
2x+3y=1」
⇔「2x+3(3-x)=1かつx+y=3」

という風に⇔にできます。

このようなことが不等式でもできないのか？という試みです。

よろしくおねがいします
No.16282 - 2011/12/26(Mon) 01:52:40
☆ Re: 不等式と等式の違い / らすかる
例えば C'を「AかつB」とすれば「⇔」になります。
No.16284 - 2011/12/26(Mon) 10:41:27
☆ Re: 不等式と等式の違い / 涙
回等ありがとうございます

Cかつ「AかつB」ですか？
Cまたは「AかつB]ですか？

また、A,Bどちらか片方だけではだめなのでしょうか？


よろしくおねがいします
No.16289 - 2011/12/27(Tue) 00:20:21
☆ Re: 不等式と等式の違い / らすかる
Cかつ「AかつB」です。
A,Bどちらか片方だけではだめです。

例えば 「x=3」⇒「x＜10」 という命題で
「⇒」を「⇔」にするには、普通に考えて
右辺に「x=3」に相当する条件を加えないといけないですよね。
右辺の「x＜10」という条件は、「⇔」にするためには何の役にも立ちません。
（ただし「x=3またはx=20」のような条件にすると「x＜10」も役に立ちます。）

これと同様で、元の(C)もかなり緩い条件になってしまっているので
結局簡単に「⇔」にするためには「AかつB」という条件を加える必要がある、ということです。
No.16290 - 2011/12/27(Tue) 02:01:45
☆ Re: 不等式と等式の違い / 黄桃
らすかるさんのおっしゃることはごもっともですが、元の質問の趣旨に沿うと思われる考え方の例を紹介します。

準備：
x>0,y>0 という領域は、「xy>0 かつ x+y>0」と書くことができます。
つまり「x>0 かつ y>0」⇔「xy>0 かつ x+y>0」です（x+y>0 の代わりに px+qy>0 (p,q>0) としても構いませんが、x-y を使っては同値にすることができません)。
同様に、「x<0, y<0」⇔「xy>0 かつ x+y<0」、「x>0, y<0」⇔「xy<0 かつ x-y>0」、「x<0, y>0」⇔「xy<0 かつ y-x>0」です。

a「x-a>0 かつ x-b<0 かつ y-c>0 かつ y-d<0 」
と書くことができます。

これを
「(x-a>0 かつ y-c>0)かつ(x-b<0 かつ y-d<0)」
と考えれば準備でやったように(x-a, y-c などを1つの固まりとみます）
「(x-a)(y-c)>0 かつ x+y-a-c>0 かつ (x-b)(y-d)<0 かつ x+y-b-d<0」
と書くことができます。だから、Cとして x+y-a-c>0 のような条件が選ばれていればいいのですが、今のCは x-y-a+c>0 という条件なので、これではダメでC'は４つ全部必要になります。

ところが
「(x-a>0 かつ y-d<0)かつ(x-b<0 かつ y-c>0)」
とみると、
「(x-a)(y-d)<0 かつ x-y-a+d>0 かつ (x-b)(y-c)<0 かつ x-y-b+c<0」
と同値になり、Cに相当する条件が見えてきます。

以上を踏まえて、元の問題に返れば、
a=√5-2, b=√5+2, c=9/2, d=13/2, x=s, y=t とすれば
(A) a<x<b
(B) c<y<d
(C) a-d<x-y<b-c すなわち x-y-a+d>0 かつ x-y-b+c<0
となっていますから、C'を
(C')(x-a)(y-d)<0 かつ (x-b)(y-c)<0
とすれば「(A)かつ(B)」⇔「(C)かつ(C')」になります。

＃あくまでも(C')の１つの例です。
No.16291 - 2011/12/27(Tue) 04:36:13
★ 問題文間違えました!! / 高3 ここ

間違えてました!!


面積1の直角二等辺三角形に
内接する円の半径を求めよ。

でした。


申し訳ないですが
もう一度、教えて下さい(T^T)



No.16275 - 2011/12/25(Sun) 20:07:12
☆ Re: 問題文間違えました!! / ヨッシー
△ＡＢＣにおいて、ＡＢ＝ＡＣ＝√2、ＢＣ＝２ とすると、
面積は１となります。

一方、内接円の中心をＩ、半径をｘとし、
△ＡＢＣを△ＡＢＩ、△ＢＣＩ、△ＣＡＩに分けて考えると、
それらの面積は(√2/2)ｘ，ｘ，(√2/2)ｘ であるので、
足しあわせて、
　(√2＋１)ｘ＝１
であるので、ｘ＝1/(√2＋１)＝√2−1
No.16276 - 2011/12/25(Sun) 22:07:04
☆ Re: 問題文間違えました!! / らすかる
別解です。
ヨッシーさんの図でIA=(√2)xですから
三角形の高さはx+(√2)x=1、よってx=1/(√2+1)=√2-1
No.16277 - 2011/12/25(Sun) 22:11:17
☆ Re: 問題文間違えました!! / ヨッシー
この問題に限っての別解ですが、ＢＣ上の接点をＤ，ＡＣ上の接点をＥ
ＡＢ上の接点をＦとすると、
四角形ＡＥＩＦは正方形なので、ＡＥ が求める半径。
ＣＥ＝ＣＤ＝１ より、ＡＥ＝ＡＣ−ＣＥ＝√2−1
No.16278 - 2011/12/26(Mon) 00:28:52
☆ Re: / ここ
何度もすみませんでした(^^;

ありがとうございます(^^ゞ


No.16283 - 2011/12/26(Mon) 09:34:49
★ 高2　点の移動と1次変換 / れいひゃー
直線y=4x　に関する対称移動fは
1次変換であることを示し、fを表す行列を求めよ。

答えは
(　−15/17　8/17　)
　　8/17　 15/17

です
一応2行2列の行列のつもりです…
答えにはこれしか書いていなくて、
示し方とか、求め方とか書いてくれていないしさっぱり分かりません
教えて下さいお願いします!
No.16272 - 2011/12/25(Sun) 15:40:18
☆ Re: 高2　点の移動と1次変換 / のぼりん
こんにちは。 高二であれば、ベクトルはご存じですね。 成分計算でやっても勿論構いませんが、計算が煩雑になるので、ベクトルを使って解いてみます。 なお、ベクトル記号は掲示板で表示できないので、以下、位置ベクトルを太文字で示します。

直線 ℓ に関する対称移動 ｆ を考えます。 ｎ を直線 ℓ と直交するベクトルとすると、ℓ は、方程式 ｎ・ｖ＝０ で表される点 ｖ 全体です。

平面上の任意の点 ｗ を取ります。 ｗ から ℓ に下ろした垂線との交点を ｖ０ とすると、
　　　ｎ・ｖ０＝０　…　?@
　　　ｖ０−ｗ＝ｔｎ　…　?A
を満たす実数 ｔ が存在します。 ?Aを?@に代入して ｖ０ を消去すると、
　　　ｎ・（ｗ＋ｔｎ）＝０
　　　ｔ＝−ｎ・ｗ/｜ｎ｜２
です。
　　　ｆ（ｗ）＝ｗ＋２ｔｎ＝ｗ−２ｎ・ｗ/｜ｎ｜２ｎ　…　?B
です。

本問の場合、ｎ＝（４，−１）〔本当は縦ベクトル。 以下同様〕と取れます。 ｗ＝（ｘ，ｙ） として、?Bに代入すると、
　　　ｆ（ｘ，ｙ）＝（ｘ，ｙ）−２（４ｘ−ｙ）/１７（４，−１）
　　　＝（ｘ，ｙ）＋（−３２ｘ/１７＋８ｙ/１７，８ｘ/１７−２ｙ/１７）
　　　＝（−１５/１７・ｘ＋８/１７・ｙ，８/１７・ｘ＋１５/１７・ｙ）
です。 これを行列表示してみましょう。
No.16273 - 2011/12/25(Sun) 16:38:45
☆ Re: 高2　点の移動と1次変換 / angel
一般に、直線 l:y=tanθ・x に関する対象移動は、
　(cos2θ sin2θ)
　(sin2θ -cos2θ)
で表される一次変換になります。

なぜかというと、
　・任意の点X(x,y)と直線l を、-θ回転させる
　　→ 直線lはx軸に移り、Xとlの移った先の位置関係は変わらず
　・Xの移った点をx軸に関して対称移動する
　・対称移動した点、x軸をθ回転させる
　　→ x軸は元のlに戻り、対称移動した点は元のXとlに関して対称
となるため、これらを表す行列を逆順にかけたもの
　(cosθ -sinθ)(1　0)(cosθ　sinθ)
　(sinθ　cosθ)(0 -1)(-sinθ cosθ)
として計算できるためです。
No.16279 - 2011/12/26(Mon) 00:50:59
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