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★ 数学の問題 / アシュリー
数学の問題が分かりません

aを正の実数とする。点(x，y)が，不等式 x^2≦y≦x の定める領域を動くとき，常に 1/2≦(x-a)^2+y≦2 となる。aの値の範囲を求めよ。
http://www.riruraru.com/cfv21/math/htm08f3.htm
y=x^2の0≦x≦1の部分がy=-(x-a)^2＋(1/2)から上にこればよいので
(iii)0≦x≦1においてx^2≧-(x-a)^2＋(1/2)
とありますが、このx^2≧-(x-a)^2＋(1/2)
の式の意味がよくわかりません。
x^2=-(x-a)^2＋(1/2)のときも含んでいるのでこれは0≦x≦1の部分でy=x^2と交わってしまう可能性もあるんじゃないでしょうか？
どうしてx^2≧-(x-a)^2＋(1/2)の式で「y=x^2はy=-(x-a)^2＋(1/2)より上にある。または接する」となるのでしょうか？

また、(i)(0,0)が?Eから下：0≦-(0-a)^2＋2とありますが、
これは図を見たら分かるように(0,0)が?Eより下あるいは?Eのグラフが(0,0)を通る場合の2つ満たす必要があります。
そこで?Eから下(※?E上も含む)の範囲の表し方というのは
y≦(x-a)^2-2・・・(Ａ)ですよね。
(0,0)がこの(Ａ)の範囲にあればよいとのことなので
(0,0)を(Ａ)にそのまま代入してやれば必要なaの条件が求まるという解釈でいいのでしょうか？
(1,1)のときも同じようにやってるとおもうのですが...
範囲を表す式に座標を代入するという作業をやったことがないのでどうもしっくりきません。
誰か分かる方教えてください。お願いします。
No.17070 - 2012/02/28(Tue) 04:32:52
☆ Re: 数学の問題 / ヨッシー
0≦x≦1においてx^2≧-(x-a)^2＋(1/2)
というのは、0≦x≦1 の範囲にあるすべてのｘにおいて、
ｙ＝ｘ^2 のｙの値（図の赤丸のｙ座標）が、
ｙ＝-(x-a)^2＋(1/2) のｙの値（図の青丸のｙ座標)より
大きいか等しいと言うことです。
No.17071 - 2012/02/28(Tue) 06:42:46
☆ Re: 数学の問題 / ヨッシー
y=x^2 と y=-(x-a)^2＋(1/2) が交わっている場合(図の右)は、
x^2=-(x-a)^2＋(1/2) だけではなく、青丸の方が赤丸より上にある、つまり
　x^2＜-(x-a)^2＋(1/2)
となるｘが出来てしまう状態で、これはＮＧです。
ただし、x^2=-(x-a)^2＋(1/2) だけであれば、図の左のように
接するだけなので、これはＯＫです。

＝(イコール)を含んでも良いかどうかは、最初の条件の
与えられ方によります。この問題では、
　1/2≦(x-a)^2+y≦2
なので、＝を含んでもＯＫです。これが
　1/2＜(x-a)^2+y＜2
であれば、＝を含んではダメです。
No.17072 - 2012/02/28(Tue) 07:09:41
☆ Re: 数学の問題 / ヨッシー
図の青で網掛けをした部分（境界線も含む）が、
　y≦(x-a)^2-2・・・(Ａ)
です。(A) に含まれる点(0,0)(1,0) (2,-1) などを、この式に代入すると、
不等式は成り立ちます。
一方、(0,1)(1,2)(3,2) など(A)に含まれない点を(A)に代入しても、
不等式は成り立ちません。

別の見方をすると、
　ｙ＝(x-a)^2-2
の式に、ｘ＝０ を代入したときのｙの値
　(0-a)^2-2
つまり、図の黄色の点のｙ座標よりも、０（＝(0,0) が示す点のｙ座標)
の方が下(または同一点)にありますよ、というのが、
　０≦(0-a)^2-2
の意味です。
No.17073 - 2012/02/28(Tue) 07:31:08
★ 重複組合せ？ / pisco
はじめまして。高3です。

m,nを与えられた自然数とするとき、方程式a_1+a_2+・・・+a_m=nを満たす非負整数(a_1,a_2,・・・,a_m)の組の個数は、重複組合せを使って、mHnと表せることは分かります。
質問したいのは、次の場合です。
上と同じ方程式において、任意のiについて、a_iが0以上k以下であるような(a_1,a_2,・・・,a_m)の組の個数Nをm,n,kで表したいんです。

解が存在するためには、n<=mkが必要ですから、この条件下で考えるものとします。もちろん、k<=nですから、結局、n/m<=k<=nです。
いろいろと考えましたが、k以下という条件が入るととたんに難しくなりました。重複組合せでうまくいかなくなるような気がして、混乱しています。どうか教えて下さい。
No.17064 - 2012/02/27(Mon) 00:28:56
☆ Re: 重複組合せ？ / らすかる
式は
Σ[i=0〜m-1](-1)^i・(n+m-ik-i-1)Ｃ(m-1)・mＣi　（ただし a＜b のとき aＣb=0 とする）
となると思いますが、おそらくこれ以上簡単な式にはならないと思います。
No.17065 - 2012/02/27(Mon) 01:21:33
☆ Re: 重複組合せ？ / pisco
らすかるさん、返信して下さりありがとうございます。
書いていただいた式について質問させて下さい。この式は、どのように考えて導き出されたのでしょうか。ちょっと、考えましたが、分かりませんでした。
特に、(-1)~iが出てくるというのは、どういう背景があるのでしょうか。ぜひ、教えて下さい。
再質問となり、すみません。
No.17066 - 2012/02/27(Mon) 02:15:41
☆ Re: 重複組合せ？ / らすかる
この式は多分合ってはいますが、証明はしていません。
で、この式は昔出した
「サイコロをm個振って出た目の合計がnとなる場合の数」の式を変形したものです。
自分で導出したもので、うまい方法ではないかも知れません。
例えばサイコロ4個の場合、
nが1〜9ならば単純に9個の○と3個の仕切りで(n-1)C3となりますね。
nが10以上になると、(n-1)C3から「7以上を含む場合の数」を引かなければなりません。
7以上を含むパターンは、7以上となった個所から6を引けば「4個で合計がn-6である
パターン」となり、7以上となる個所が4C1個所ありますので
(n-7)C3×4C1通りです。
よってn=10〜15の場合は (n-1)C3-(n-7)C3×4C1 で求まります。
nが16以上になると、13以上の個所があり得ますので、さらに調整が必要になります。
これを続けると、
(n-1)C3-(n-7)C3×mC1+(n-13)C3×mC2-(n-19)C3×mC3+…
という式になり、これをΣでまとめて変形したものが上に書いた式になります。
No.17067 - 2012/02/27(Mon) 03:16:27
☆ Re: 重複組合せ？ / ヨッシー
こちらに関連した質問が来ています。
No.17068 - 2012/02/27(Mon) 07:06:39
☆ Re: 重複組合せ？ / pisco
らすかるさん、ヨッシーさん、返信が遅れてすみません。
詳しく説明していただきありがとうございました。
式の意味を理解出来ました。
本当はシグマがはずれたら嬉しいのですが、難しそうですね。ありがとうございました。
No.17069 - 2012/02/28(Tue) 00:03:40
★ 高2 場合分けについて / klmo
aを定数とする。0≦x≦1のとき、関数y=−4^(−x)+a×2^(−x)+2が最大となるxの値と、そのときの最大値を求めよ。

解答では、2^(−x)=tとして、0≦x≦1より、1/2≦t≦1
与えられた関数をy=−t^2+at+2=−(t−a/2)^2+a^2/4+2と変形して、(?@)a/2<1/2のとき、t=1/2で最大 (?A)1/2≦a/2<1のとき、t=a/2で最大 (?B)1≦a/2のとき、t=1で最大 と場合わけしていたのですが、(?B)は1≦a/2だと軸が定義域の中に入ってしまう場合があるので、(?A)を1/2≦a/2≦1、(?B)を1<a/2とするのが正しいのではないでしょうか?
No.17061 - 2012/02/26(Sun) 22:41:08
☆ Re: 高2 場合分けについて / ヨッシー
どちらでもかまいません。
(iii) で、軸が定義域に入るのは、a/2＝1 の時ですが、
そのときの最大を与えるｔは、t=a/2 でもあり、t=1 でもあるからです。
No.17063 - 2012/02/26(Sun) 23:06:53
☆ Re: 高2 場合分けについて / klmo
ありがとうございます。
No.17080 - 2012/02/28(Tue) 22:30:29
★ 線分の３等分 / たにー
線分ABの3等分点を、定規とコンパスで作図する方法で、今紹介されている21個の方法とは異なる方法(?)を思い付いたので書かせて頂きます。ただ、もしかすると21個の方法のいずれかと実質同じとみなせる方法かもしれません。

線分ABを対角線とする正方形APBQを作り、AR=AP/4となる点Rを線分AP上に、BS=BQ/2となる点Sを線分BQ上にとり、線分PQと線分ABの交点をとると3等分点になります。
No.17051 - 2012/02/25(Sat) 12:44:47
☆ Re: 線分の３等分 / たにー
正方形じゃなくてひし形でも良かったですね。
No.17052 - 2012/02/25(Sat) 13:25:34
☆ Re: 線分の３等分 / ヨッシー
ありがとうございます。

今、自分の書いた記事を読み返してみると、最初の方は、
やたらと正方形が出てきますが、そうでなくても良いものも
結構ありますね。

今、パソコン(というよりホームページ作成ソフト)が調子悪くて、
更新できませんが、少しアレンジして、載せさせていただきます。
No.17057 - 2012/02/25(Sat) 23:02:51
★ 空間図形と無理関数 / ぺたた
?@座標空間内で次の条件をみたす立体Kがある。
　?@、Kは２つの平面ｚ＝０とｚ＝１にはさまれる。
　?A、０＜ｔ＜１において、平面ｚ＝ｔによるKの切り口は，1辺の長さが1のひし形で，対角線の1つは2点（0，0，ｔ），（2ｔ，0，ｔ）を結ぶ線分である。
　?B、平面ｚ＝0またはｚ＝1によるKの切り口は線分である。
　　このとき次の問いに答えよ。
　　（1）立体Kの体積を求めよ。
　　（2）平面ｙ＝１／２によるKの切り口の面積を求めよ。
　

（１）は積分を使って２／３という答えが出たのですが（２）は手つかずです・・・　

?Aｔ＞０とする。ｘの関数ｆ（ｘ）＝（ｘ/2）＋ｔlogｘに対して，曲線C1：ｙ＝ｆ（ｘ）を考える。直線ｙ＝ｘに関してC１と対称な曲線をC2とする。　C1上の点とC2上の
点の距離の最小値をｇ（ｔ）とおく。
（1）C1と直線y＝ｘが共有点を持つようなｔの値の範囲を求めよ。
（2）ｇ（ｔ）を求めよ。
（3）ｔを変化させたときのg（ｔ）の最大値とそのときのｔの値を求めよ。
こっちの問題は（１）から分かりません。ｘ＝ｆ（ｘ）をといてみようとしたり、ｆ（ｘ）の逆関数を求めようとしましたが分かりませんでした。
解説よろしくお願いします。
No.17046 - 2012/02/24(Fri) 16:48:03
☆ Re: 空間図形と無理関数 / X
一問目)
平面z=tによる切り口のひし形において、第１象限にある頂点の座標は
(t,√(1-t^2),t)
よって第１象限にある２つの辺の方程式は
y={(1/t)√(1-t^2)}x,z=t(0≦x≦t) (A)
y=-{(1/t)√(1-t^2)}(x-2t),z=t(t≦x≦2t) (B)
(A)(B)と平面y=1/2との交点をP,Qとすると
P(t/{2√(1-t^2)},1/2,t)
Q(2t-t/{2√(1-t^2)},1/2,t)
よってz=tとすることにより、平面y=1/2による断面の領域は
z/{2√(1-z^2)}≦x≦2z-z/{2√(1-z^2)} (C)
つまり面積を求める図形は２つの曲線
x=z/{2√(1-z^2)}
x=2z-z/{2√(1-z^2)}
で囲まれた領域ということになります。
後は(C)からzの範囲を求めて積分を計算します。
(C)より
z/{2√(1-z^2)}≦2z-z/{2√(1-z^2)}
z≧0に注意してこれを解くと
0≦z≦√3/2
よって求める面積をSとすると
S=∫[0→√3/2]{(2z-z/{2√(1-z^2)})-z/{2√(1-z^2)}}dz
=…
No.17053 - 2012/02/25(Sat) 15:39:24
☆ Re: 空間図形と無理関数 / X
二問目)
(1)
これはf(x)=xが解を持つ条件を考えます。(基本問題です)
h(x)=f(x)-x
と置くと
h'(x)=-1/2+t/x
0＜xにおけるh(x)の増減を考えるとh(x)は極大値
h(2t)=-t+tlog(2t) (A)
を取り更に
lim[x→+0]h(x)=-∞
題意を満たすためには曲線y=h(x)がx軸と交点を持つ必要があるので
h(2t)≧0 (B)
(A)(B)より
0＜t≦e/2

(2)
場合分けをします
(i)0＜t≦e/2のとき
C1,C2の直線y=xに関する対称性と(1)の結果により
g(t)=0
(ii)e/2＜tのとき
C1,C2の直線y=xに関する対称性によりg(t)は
C1上の点と直線y=xとの間の距離の2倍の最小値
となることに着目します。
今、C1上の点(x,x/2+tlogx)と直線y=xとの間の距離を
L(x)とすると、点と直線との間の距離の公式により
L(x)=|x/2+tlogx-x|/√{1^2+(-1)^2}
=|x/2-tlogx|/√2
=-(x/2-tlogx)/√2 (∵)(1)の過程による
よってL(x)のx＞0における増減を考えることにより
L(x)の最小値は
…
となるので…

(3)
(2)の結果を使ってg(t)の増減表を描きましょう。
No.17054 - 2012/02/25(Sat) 15:59:29
☆ Re: 空間図形と無理関数 / ぺたた
コメント有り難うござます。
おかげさまで理解できました。
ほんとうにありがとうございました。
No.17056 - 2012/02/25(Sat) 22:40:09
★ 正領域　負領域 / アシュリー
高2生です。数学の正領域・負領域についてなのですが
たとえば直線なら ＋/− (/は平面上の直線です)という風に
/を境に上側が正領域、下側が負領域ということになるのでしょうか？
また、放物線になると正領域と負領域はどう考えれば良いのでしょうか？
数学は超がつくほど苦手で分からないので教えてください。お願いします。
No.17044 - 2012/02/24(Fri) 09:49:10
☆ Re: 正領域　負領域 / らすかる
直線の上下どちらが正領域でどちらが負領域になるかは
問題によります。上が正領域と決まっているわけではありません。
No.17045 - 2012/02/24(Fri) 16:13:52
☆ Re: 正領域　負領域 / 黄桃
y≧f(x) という領域がどこかよくわからない、ということでしょうか。
まじめに答えるといろいろ大変なので、直感的な説明をします。

y-f(x) という「x,yの関数」を考えます。要するに、いろんな x,y の値を入れると何か値が計算できるというものです。
xy平面を地図と思って、地図上の点(x,y)の標高がこの関数 y-f(x)で表されている、と考えてください。

地図の海岸線、つまり、標高y-f(x)が0になるところを考えます。y-f(x)=0ということは、y=f(x) というわけで、y=f(x)のグラフがちょうど海岸線を表しているわけです。
地図では標高が正の部分は陸で負の部分は海です。海岸線で海と陸が分けられるという当たり前のことですね。
陸の部分は標高が正、つまり、 y-f(x)≧0　⇔ y≧f(x)　であり, 海の部分は y-f(x)≦0 ⇔ y≦f(x) です。

以上を踏まえて、残された問題は、海岸線で区切られた１つの領域が陸か海かを判定することです。
海かどうかは、その領域のどこでもいいから1点の標高をみて、それが負ならいいわけです。もし正ならその領域は海ではなく陸とわかります。選ぶ1点は領域内のどれでもかまわないことはおわかりでしょう。
正領域、負領域も同じで、y=f(x)のグラフを描いて、区切られた領域がy≦f(x)? y≧f(x)?と迷ったら、その領域の点をなんでもいいから１つとって y≧f(x)とy≦f(x)のどっちが成立するか確認すればOKです。
y>f(x)のような形でない、例えば、x^2+y^2>5　という領域でも、x^2+y^2-5>0 と変形して考えればいいので同じことです。

いろんな問題で練習して慣れてくればみただけで「こっちが正領域」とわかるようになります。

慣れてくる前でも極端な値（x=0 でyがすごーく大きい、とか、y=0でxがマイナスですごーく小さい）を代入してみると見当がつきやすいです。

こうした考え方は結構便利で、円と直線など、いろんな「海岸線」が出てくる複雑な場合でも「１つの領域は海か陸のどちらか」で「海岸線を横切ると一般に陸と海が入れ替わる」（ちょうど海岸線が谷間になる場合だとかわらないこともありえますが、そんな場合はまずでてきません）ことを知ってると応用がききます。
No.17047 - 2012/02/24(Fri) 23:43:33
★ 一次変換は2点の像で決まる / ぶう
A＝（a,1-a)(1-a,a))
=(（a,b)(c,d))のような表記にならいました）

一次変換fによって、直線ｌ：２ｘ＋ｙ＝３が直線ｍ：ｘ＋２ｙ＝３へ移されるとき、aの値を求めよ。
冊子にある解）
２ｘ＋ｙ＝３上の点（０，３）の像（３（1-a),3a)はｘ＋２ｙ＝３上にあるから３（1-a)+6a=3よりa=0


私の思う解）
ｌ上の点L（ｔ、３−２ｔ）として
AベクトルOL＝（at+(1-a)(3-2t),(1-a)t+(3-2t))
この座標をｍに代入した式において
ｔについての恒等式より
係数比較してa=0

なぜ冊子のような解法をしてよいのでしょうか？
問題によって像をどこか自分で見つけていく流れと
ｔについての恒等式の流れの両方見かけます。一次変換は2点の像で一意に決まる、というフレーズにも引っかかっています。この問題は一点しか調べてないではないか、と。
No.17041 - 2012/02/24(Fri) 05:05:11
☆ Re: 一次変換は2点の像で決まる / ぶう
上記の像とは原像のことです。（移したとき簡単な形になるように選びます）
自分で原像を見つけて・・・の解法が取れるか否かはｆが一次変換か明記されているかどうかで変わってくるのでしょうか？

少しアバウトな質問ですがどうかお察しください。よろしくお願いします
No.17042 - 2012/02/24(Fri) 05:18:57
☆ Re: 一次変換は2点の像で決まる / 黄桃
冊子の答は多分略解で、a=0 という必要条件が得られ、このあと十分であることを確認する作業を省略しているのでしょう。
あるいは、答があるとしたら a=0 だし、出題される以上「解なし」が答のはずがない、という出題者を信用した（記述式には使えない）受験技術かもしれません。

恒等式の方が模範解答で、多分、これで許してもらえるとは思うのですが、厳密にいえば、これだけでは「直線lの像が直線mの1点（全体を動くとは限らない）」である可能性を残してはいます。

自分で原像を見つけて云々は私にはよく意味がわかりません。

「一次変換は2点の像で一意に決まる」のは大体本当ですが、数学の命題としては偽です。
一番簡単な例は2点のうち１つをOとした場合です。1次変換ではOは必ずOに移りますから、もう1点だけで1次変換が決まることになってしまいます。
1次変換を表す行列を A 、２つの点をx,y, xの移る先を z, ｙの移る先を w とすれば、
Ax=z, Ay=w という式になり、これらをまとめてかくと
A(x y)=(z w) ((x y) は縦ベクトルx,yを並べて書いた2x2行列。(z w)も同様）
となります。だから、もし、行列X=(x y) に逆行列X^(-1)があれば、それを右からかければ
A=(z w)X^(-1)
とAが求まります。そして、もちろん、このようなAは A(x y)=(z w)を満たすのですから、xがzにyがwに移る1次変換の行列を表しています。
ただし、X^(-1)が存在しない場合はアウトなので、x,yはなんでもいいから２つ、というわけではありません。
このことを理解した上で「一次変換は2点の像で一意に決まる」から、X^(-1)が存在するような x,y を利用するのはいいと思います。

＃原像云々というのは x,y,z,w で(z w)X^(-1)が楽に計算できる組を見つける、ということなんでしょうかね。
No.17048 - 2012/02/24(Fri) 23:46:04
☆ Re: 一次変換は2点の像で決まる / ぶう
回答有難うございます。♯はそのとおりです。

必要条件ですか・・ということはaが例えば二つ出てきたら一報は間違いの時もあるということですか。十分性の確認はどうやったらよいのでしょうか？

恒等式の方が模範解答で、多分、これで許してもらえるとは思うが、厳密にいえば、これだけでは「直線lの像が直線mの1点（全体を動くとは限らない）」である可能性を残してはいる、については、問題文に直線ｍ：ｘ＋２ｙ＝３へ移される、とあり直線ｍ：ｘ＋２ｙ＝３全体へ移る、とはかかれていないため、at+(1-a)(3-2t)にa=0を代入した値３−２ｔが（ｔが任意の時）任意の値を取るという記述は要らないと思うのですが

よろしくお願いします
No.17074 - 2012/02/28(Tue) 12:35:33
☆ Re: 一次変換は2点の像で決まる / 黄桃
しばらく留守にしてたので返事が遅れました。

>aが例えば二つ出てきたら一報は間違いの時もあるということですか。十分性の確認はどうやったらよいのでしょうか？

aが限定されれば(例えばこの問題のようにa=0)、行列Aはすべての成分が既知なわけですから、直線の像がどうなるかは直接計算できます。
本問のa=0の場合は、A=[(0 1)(1 0)] に対して実際に直線lの点がAによりmに移ることを確認すればいいわけです。
Aの成分がすべてわかってますから、l上の点を(x,-2x+3)と置いて計算すればいいだけです。

>直線ｍ：ｘ＋２ｙ＝３全体へ移る、とはかかれていないため、

については、私の感覚では「直線ｌが直線ｍへ移される」という文章の意味は「直線lをAで移した像が直線mになる」ということだと思います。つまり、像は直線m全体です。この感覚はかなり自信があります。
微妙な差ですが、移される主語が点であって、「直線l上の点はすべて直線m上の点に移される」ならば直線lの像が1点でも構わないと思います。

＃この差が致命的になる問題はでないと思いますが。
No.17123 - 2012/03/05(Mon) 04:23:34
★ ベクトル / ポパイ
平面上に、一直線にない３点 Ｏ、Ａ、Ｂあり、
ＯＰ<ベクトル>＝ｓＯＡ<ベクトル>＋ｔＯＢ<ベクトル>と定める。

ｓ、ｔが　0<=s<=1 ,0<=t<=1 の条件を満たすときの
点Ｐの存在する範囲はどうなるのですか？
No.17037 - 2012/02/22(Wed) 21:36:30
☆ Re: ベクトル / ヨッシー
s=0 として、tを０から１まで動かしてみましょう。
s=0.1 として、tを０から１まで動かしてみましょう。
s=0.2 として、tを０から１まで動かしてみましょう。
　・・・
s=1 として、tを０から１まで動かしてみましょう。

こちらも参照して下さい。
No.17038 - 2012/02/22(Wed) 21:51:17
★ 高2　二次曲線 / れいひゃー
x＋2y＝1、x^2＋4y^2＝4
直線が曲線によって切り取られる弦の長さと中点を求めろ


中点は求めれましたが
弦の長さが求められません


xを消去して作った式、
8y^2−4y−3＝0
の実数会をα、βとすると
α＋β＝1/2
αβ＝−3/8
で、x＝1−2yより、弦の両端を(−2α＋1、α)、(−2β＋1、β)おけるはずなので、
弦の長さは
√{((−2α＋1)−(−2β＋1))^2＋(α−β)^2}
だと思ってといたのですが、違いました


どうやって解けばいいのか教えて下さい
No.17032 - 2012/02/22(Wed) 06:29:52
☆ Re: 高2　二次曲線 / X
＞＞√{((−2α＋1)−(−2β＋1))^2＋(α−β)^2}
に問題はありませんのでその後の計算にミスがあるものと
思います。
この後の計算過程とその結果、及び問題に添付されている
解答の弦の長さの値をアップして下さい。
No.17035 - 2012/02/22(Wed) 07:26:15
★ 高2 三角関数 / klmo
実数x、yが11x^2+12xy+6y^2=4を満たす時、x^2+y^2の最大値と最小値を次のように求める。
xy平面上の原点Oと他の点P(x,y)を結ぶ線分OPの長さをr、x軸と動径OPのなす角をθとすると、
1/r^2(11x^2+12xy+6y^2)=(ア)cos^2θ+(イウ)sinθcosθ+(エ)
=(オ)/(カ)cos2θ+(キ)sin2θ+(クケ)/(コ)=(サシ)/(ス)sin(2θ+α)+(クケ)/(コ)である。
但し、sinα=(セ)/(ソタ)、cosα=(チツ)/(テト)である。
従って、x^2+y^2の最大値は(ナ)、最小値は(ニ)/(ヌネ)である。

(オ)~(ト)は2倍角、合成だと思うんですがそこ以外のイメージが全くわきません。図などを使って説明してくれるとありがたいです。よろしくお願いします。
No.17028 - 2012/02/22(Wed) 00:28:02
☆ Re: 高2 三角関数 / X
>>xy平面上の原点Oと他の点P(x,y)を結ぶ線分OPの長さをr、
>>x軸と動径OPのなす角をθとすると、
回りくどく書いてありますが、これは
x=rcosθ (A)
y=rsinθ (B)
と置く、つまりPの座標を極座標に変換するということです。
このとき
x^2+y^2=r^2 (C)
また(A)(B)を
11x^2+12xy+6y^2=4
に代入すると
r^2{(ア)cos^2θ+(イウ)sinθcosθ+(エ)}=4
よって
r^2=4/{(ア)cos^2θ+(イウ)sinθcosθ+(エ)} (D)
(C)(D)より
x^2+y^2=4/{(ア)cos^2θ+(イウ)sinθcosθ+(エ)}
∴x^2+y^2は
(ア)cos^2θ+(イウ)sinθcosθ+(エ)が最小のとき最大
(ア)cos^2θ+(イウ)sinθcosθ+(エ)が最大のとき最小
となります。
No.17034 - 2012/02/22(Wed) 07:20:57
☆ Re: 高2 三角関数 / klmo
ありがとうございます。理屈はわかったのですが、やはりイメージがわきません。
11x^2+12xy+6y^2=4というxy平面上の図形(？）を通るx^2+y^2(原点中心の円)の半径の最大、最小というのは、図形的にはどういうことなんでしょうか?
No.17040 - 2012/02/24(Fri) 02:17:57
☆ Re: 高2 三角関数 / X
その理解の仕方が間違っています。
まず
11x^2+12xy+6y^2=4 (A)
ですがこれは平面上の曲線です。
次に
x^2+y^2
はその曲線(A)上の点Pと原点との間の距離の二乗と
考えて下さい。
つまりこの問題は曲線(A)と原点との距離の最大値と最小値
を求めることと等価になります。
No.17050 - 2012/02/25(Sat) 04:06:53
☆ Re: 高2 三角関数 / klmo
何度もすみません。
「平面上の曲線」についてですが、実数x、yに制限はないので最大値はとり得ないんじゃないでしょうか。
No.17060 - 2012/02/26(Sun) 21:37:24
☆ Re: 高2 三角関数 / ヨッシー
11x^2+12xy+6y^2=4 は、図のように、楕円になりますので、
最大値も存在します。
No.17062 - 2012/02/26(Sun) 23:01:04
☆ Re: 高2 三角関数 / klmo
なるほど、楕円でしたか
理解できました。ありがとうございます。
No.17081 - 2012/02/28(Tue) 22:33:02
★ 変形 / ピン子
ｘ＾３−（ｋ＋１２）ｘ＋ｋ＋１１
＝（ｘ−１）（ｘ−α）（ｘ−β）・・?@
＝（ｘ−α）＾３＋（２αーβー１）（ｘ−α）＾２＋（αー１）（αーβ）（ｘ−α）・・?A
?@から?Aにどうやって変形したのか教えてください。何かちょっとした公式まがいのものがあったような気がするのですが。
（ｋを実数として曲線C：ｙ＝ｘ＾３−１２ｘ＋６と直線ｌ；ｙ＝ｋｘ＋ｋ−５の交点をα、β（α＜β））

よろしくお願いします
No.17013 - 2012/02/21(Tue) 09:58:15
☆ Re: 変形 / X
x-α=tと置くと
x=t+α
∴(x-1)(x-α)(x-β)=t(t+α-1)(t+α-β)
これを展開して、tを元に戻してみましょう。
No.17017 - 2012/02/21(Tue) 12:02:16
☆ Re: 変形 / ハオ
横から失礼します。
x-α=tと置く置き方をみると置換積分を思い出してしまいます。
この問題に対してx-α=tと置いて?Aのように変形する事に対するメリットは何なのでしょうか？
折角因数分解してx=1を解に持つことが分かりグラフで考察できそうになったのに?Aの様に式変形すると素人目には汚くなっているように見えるのです。
No.17021 - 2012/02/21(Tue) 16:22:51
☆ Re: 変形 / シャロン
> この問題に対してx-α=tと置いて?Aのように変形する事に対するメリットは何なのでしょうか？

x=αでの微分係数を求める場合、
○2における、(x-α)^n (但し、n=2、3)の項がy'では、n(x-α)^(n-1)の倍数となり、x=αでそれらの項が0となるので、
この形からなら計算が楽です。
No.17022 - 2012/02/21(Tue) 17:15:19
☆ Re: 変形 / ハオ
なるほど！
勉強になりました。わざわざありがとうございます。
ピン子さん横から失礼致しました
No.17025 - 2012/02/21(Tue) 20:38:26
★ 数学イミフ君 / 大和
aを正の実数とする。点(x，y)が，不等式 x^2≦y≦x の定める領域を動くとき，常に 1/2≦(x-a)^2+y≦2 となる。aの値の範囲を求めよ。

答は1≦a≦√2で答え合わせする際に
http://www.riruraru.com/cfv21/math/htm08f3.htm
を参照にしたのですが、この解説の(i)(0,0)が?Eから下：0≦-a^2＋2
の部分が分かりません。
正領域と負領域の考えを使っているのでしょうか？
f(x,y)=y＋(x-a)^2 -2と置くと、(i)の場合、原点(0,0)が?Eのグラフの内側にあればいい。
そのための条件は原点(0,0)が?Eの負領域にあればよいからf(0,0)=0＋(0-a)^2-2≦0
よりa^2≦2
よって-√2≦a≦2
となったのですがこの考えであっているのでしょうか？
それと正領域と負領域についてなのですが
直線の場合、その直線より上にある点は正領域の点、逆に下にある点は負領域の点
放物線の場合、その放物線より上にある点は正領域の点、逆に下にある点は負領域の点
という風に理解しているのですが数学は本でしか読んだことがないため理解が曖昧です。
誰か分かる方教えてください。お願いします！
No.16999 - 2012/02/21(Tue) 01:16:35
☆ Re: 数学イミフ君 / ヨッシー
正領域、負領域という言葉を、ここであえて使うべきかは分かりませんが、
単に、
　ｙ＞-(x-a)^2+2　を満たす領域（便宜上?Eの上と言っています）と、
　ｙ＜-(x-a)^2+2　を満たす領域（便宜上?Eの下と言っています）とが、
あると考えられます。
(0,0) が?Eの下にあるので、ｙ＞-(x-a)^2+2 に代入して、
　０＞-(0-a)^2+2
としています。

また、正領域、負領域ですが、例えば、ｙ＝２ｘ＋１ という直線について、
　f(x,y)＝ｙ−２ｘ−１
と定義すれば、直線より上が正領域ですし、
　f(x,y)＝２ｘ−ｙ＋１
と定義すれば、直線より下が正領域となります。
No.17059 - 2012/02/26(Sun) 19:45:35
★ 漸化式 / インジャリー
∫（α〜β）sin^nxdx=(n-1/n)∫(α〜β）sin^(n-2)xdx

（α、βはπ/2の整数倍）とあったのですが
α＝０、β＝π/４のとき成り立ちませんでした。誤植のようです。（α、βはπ/2の整数倍）はどのように訂正すればよいでしょうか？

どなたかよろしくお願いします。
No.16990 - 2012/02/20(Mon) 12:56:18
☆ Re: 漸化式 / らすかる
「π/4」は「π/2」の1/2倍であって、整数倍ではありません。
No.16991 - 2012/02/20(Mon) 13:00:51
☆ Re: 漸化式 / インジャリー
回答有難うございます。
うっかりしてました。

例えばβ＝−11π/2、α＝101π/2など（α、βがπ/2の整数倍）のときには上記の漸化式はいかなる場合でも成り立つと言う事でよいのでしょうか？
No.16993 - 2012/02/20(Mon) 15:03:26
☆ Re: 漸化式 / らすかる
そんな極端な数字を出さなくても、sinxの周期性を考えれば、
α=0,β=π/2で成り立てば任意のπ/2の整数倍で成り立つことは
すぐにわかりますね。
No.16998 - 2012/02/20(Mon) 17:41:40
☆ Re: 漸化式 / インジャリー
α=0,β=π/2で成り立つというのは良いですが

「sinxの周期性を考えれば、
α=0,β=π/2で成り立てば任意のπ/2の整数倍で成り立つ」が全く分からないのでどうか教えてください。

よろしくお願いします
No.17002 - 2012/02/21(Tue) 02:45:57
☆ Re: 漸化式 / らすかる
sinxはx=π/2に関して対称ですから、
∫[0〜π/2]f(sinx)＝∫[π/2〜π]f(sinx) です。
sinxの偶数乗はx=πに関して対称ですから、
∫[0〜π/2]f((sinx)^2)＝∫[π/2〜π]f((sinx)^2)
＝∫[π〜3π/2]f((sinx)^2)＝∫[3π/2〜2π]f((sinx)^2) です。
sinxの奇数乗は点(π,0)に関して対称ですから、g(x)がsinxの奇数乗の式のとき
∫[0〜π/2]g(x)＝∫[π/2〜π]g(x)
＝−∫[π〜3π/2]g(x)＝−∫[3π/2〜2π]g(x) です。
そしてsinxの周期は2πですから、その他の部分も同じ繰り返しになります。
従って0〜π/2で与式が成り立てば、任意の整数mに対して
m(π/2)〜(m+1)(π/2)でも与式が成り立ちますから、
それらを合わせた大きい区間でも与式が成り立ちます。
No.17004 - 2012/02/21(Tue) 03:20:08
☆ Re: 漸化式 / インジャリー
回答ありがとうございます。

まず∫[0〜π/2]f(sinx)＝∫[π/2〜π]f(sinx)が理解できないので、誰か解説をお願いします。。
No.17005 - 2012/02/21(Tue) 03:52:02
☆ Re: 漸化式 / らすかる
図形的に考えれば、
f(x)がx=π/2に関して対称の場合、
「0〜π/2の範囲のグラフとx軸に挟まれる部分の面積」と
「π/2〜πの範囲のグラフとx軸に挟まれる部分の面積」が
等しいのは直感的に明らかですよね？
直感的に納得がいかないのであれば、式で示すと
sin(π-x)=sinx ですから、π-x=tとすれば
∫[π/2〜π]f(sinx)dx
=∫[π/2〜0]-f(sin(π-t))dt
=∫[0〜π/2]f(sint)dt
=∫[0〜π/2]f(sinx)dx
となります。
もし、f(sinx)という一般的な式のせいでわからないのでしたら、
f(sinx)を(sinx)^nとでも置いて上と同様に計算してみて下さい。
No.17008 - 2012/02/21(Tue) 04:37:24
☆ Re: 漸化式 / インジャリー
よくわかりました。

「0〜π/2で与式が成り立てば、任意の整数mに対して
m(π/2)〜(m+1)(π/2)でも与式が成り立つから、
それらを合わせた大きい区間でも与式が成り立つ」
というのがいまいち分からないのでどういうことなのか
より具体的に教えてください＞＜
No.17014 - 2012/02/21(Tue) 10:27:56
☆ Re: 漸化式 / らすかる
どこまでわかったのでしょうか。
「任意の整数mに対してm(π/2)〜(m+1)(π/2)でも与式が成り立つ」まで
わかったのであれば、
最初の∫[α〜β]を
∫[α〜α+π/2] + ∫[α+π/2〜α+π] + ∫[α+π〜α+3π/2]
+ … + ∫[β-π/2〜β]
のように幅π/2の区間に分けて考えれば、
どんなに大きな区間でも成り立つことがわかりますね。
No.17019 - 2012/02/21(Tue) 13:56:45
★ 同値変形 / ゾロ
ｘについての次の不等式の解を同値変形により求めよ
x≧√(x+1)
√（x＋1)≧ｘ−１
√(x^2-1)≧√（ｘ−２）
『A≧√B⇔A≧０、B≧０、A^2≧B
√A≧B⇔A≧０かつ（B<0またはA≧B＾２）
√A≧√B⇔A≧０、B≧０、A≧B』


『　』の導き方を教えてください

よろしくお願いします
No.16986 - 2012/02/20(Mon) 06:55:14
☆ Re: 同値変形 / ゾロ
やはり難しいようですね
A≧√B⇔A≧０、B≧０、A^2≧B
について←は分かるのですが⇒をどうやって示したのかわかりません。A≧√B⇒A≧０かつB≧０まではわかりますが
そのあとが分かりません
No.17039 - 2012/02/23(Thu) 02:59:36
☆ Re: 同値変形 / シャロン
元の質問自体が難しいのでなく、『』の『がみえづらかったので、どの範囲を説明したらいいのかがわからなかったのです。失礼しました。


> A≧√B⇔A≧０、B≧０、A^2≧B

A≧√B⇒A^2≧A√B (∵両辺に等しい非負の数Aをかけた)

また、A≧√B⇒A√B≧(√B)^2=B (∵両辺に等しい非負の数√Bをかけた)

まとめると、A^2≧A√B≧B
No.17049 - 2012/02/25(Sat) 00:08:52
★ 式の表す図形10/7.34 / ラストサムライ
次の式の表す図形を求めよ。図示などで説明せよ
（２）ｘ＋ｙ＝lx+yl・・?@
実際の答えは「ｙ≧−ｘの表す領域」
とあるのですが、納得できません

自分が考えた解答を作りますと
?@はｘ＋ｙ＜０では左辺＜０、右辺＞０となり不適
よって
?@⇔ｘ＋ｙ＝ｘ＋ｙかつｘ＋ｙ≧０
⇔ｘ＋ｙ＝０かつｘ＋ｙ≧０
⇔ｘ＋ｙ＝０・・答え

どこがいけないのか教えてください。よろしくお願いします
No.16985 - 2012/02/20(Mon) 06:30:12
☆ Re: 式の表す図形10/7.34 / X
x+y=x+y⇔x+y=0
が誤りです。
x+y=x+y
において右辺を左辺へ移項すると、
0=0
となります。
No.16988 - 2012/02/20(Mon) 08:34:13
☆ Re: 式の表す図形10/7.34 / ラストサムライ
あ、なるほど。全然気づきませんでした。ご指摘ありがとうございます

どう変形したら?@⇔「ｙ≧−ｘの表す領域」
にできるのか教えてください
No.16989 - 2012/02/20(Mon) 12:46:55
☆ Re: 式の表す図形10/7.34 / X
残っているx+y≧0に着目してください。
x+y≧0⇔y≧-x
です。
No.16997 - 2012/02/20(Mon) 17:27:20
☆ Re: 式の表す図形10/7.34 / ラストサムライ
回答有難うございます

はい、確かにそれは分かりますが、

ｘ＋ｙ＝ｘ＋ｙ
をどう処理したらよいのかが気になってます

もしやと思ったのですが
ｘ＋ｙ＝ｘ＋ｙはあらゆる（任意の）ｘ、ｙで成りたつ、つまり座標上では全ての点の集合とみなせれば
全ての点の集合かつy≧−ｘ
⇔y≧−ｘの部分の点の集合

と考えられると、思ったのですがどうでしょうか？

よろしくお願いします
No.17003 - 2012/02/21(Tue) 02:58:43
☆ Re: 式の表す図形10/7.34 / X
それで問題ありません。
No.17011 - 2012/02/21(Tue) 05:59:10
★ マイナスの指数乗は正か負か / ビン君
y=(tanx)^(sinx)の導関数を求めよ、で両辺logをとって対数微分法をとるのですが(tanx)^(sinx)が正だという保障はどこにあるのか教えてください

よろしくお願いします
No.16980 - 2012/02/20(Mon) 02:54:52
☆ Re: マイナスの指数乗は正か負か / X
tanx＜0のときはyはsinxが整数の場合にしか定義できません。
従ってtanx＜0のときのy'は存在しませんので
tanx≧0
です。
No.16995 - 2012/02/20(Mon) 17:25:38
☆ Re: マイナスの指数乗は正か負か / ビン君
ん・・ tanx＜0のときはyはsinxが整数の場合にしか定義できないとありますが、これは一体ドコからきたのですか？もし高校の範囲外の知識を使うなら、（これは高3の問題ですが、）両辺にlogをとる解法は（結果的には正しいが）不可ということになりますよね。


No.17006 - 2012/02/21(Tue) 04:17:37
☆ Re: マイナスの指数乗は正か負か / ハオ
y=(tanx)^(sinx)の導関数を求めよ。
対数微分法は定義域の問題もあるので両辺に絶対値をつけてから対数とって微分をつけるのが普通です。
保障が曖昧なら自分で保証を与えてやればいいです。
No.17015 - 2012/02/21(Tue) 11:24:52
☆ Re: マイナスの指数乗は正か負か / ハオ
因みにmathematicaで導関数のグラフを書いたらこんな感じになりました。
No.17016 - 2012/02/21(Tue) 11:33:00
☆ Re: マイナスの指数乗は正か負か / ＿
＞ん・・ tanx＜0のときはyはsinxが整数の場合にしか定義できないとありますが、これは一体ドコからきたのですか？

何か高級な知識が必要という訳ではありません。冷静に考えてみましょう。

数学IIの指数・対数関数のあたりで、それまで指数というのは自然数しか考えられなかったわけですが、正の数については、0乗や(負の整数)乗や(有理数)乗、さらには(実数)乗まで拡張して考えることができるようになりました。

で、その際、正の数ではなく、0や負の数についての扱いは一体、どうだったでしょう？　ということですね。教科書を見直してみると良いかと思います。

＃なんかケアレスミスしてたのでちょっと書き直し。
No.17020 - 2012/02/21(Tue) 14:07:45
☆ Re: マイナスの指数乗は正か負か / ビン君
回答ありがとうございます

対数微分法は定義域の問題もあるので両辺に絶対値をつけてから対数とって微分をつける、とありますが、両辺に絶対値をつけると、この問題の場合最後の答えにlogltanxlという風に絶対値が残っちゃって答えが変わっちゃうと思うのですが。さらに、sinxの符号が分かってないのに
logl(tanx)^sinxl=sinxlogltanxlなどとできるのでしょうか？こういう操作をやったことがないのでちょっとよく分かりません。

教科書にはa^x(01)のグラフのみ載っており、aが0や負の数についての扱いは載ってませんね、そのことから０や負の数の実数乗は定義されていないことを察しろ、ということですか？
定義されていないから問題を解く上でも気にしなくてよい、という思考過程ですか？
No.17033 - 2012/02/22(Wed) 07:03:18
☆ Re: マイナスの指数乗は正か負か / 黄桃
要するに、教科書に書いてない、と文句をいいたいだけでしょうか？

そもそも a<0, x:実数に対して a^x が定義できる場合は、xが分母が奇数の有理数の場合しかないわけです（整数は分母が1と考えます）。
(-1)^(1/2)が定義できれば複素数なんて考える必要がありません。このことは複素数導入の時に説明されているはずで、全然「察する」ではありません。

そして、導関数の定義では、h→0 という時の h は分母が奇数の有理数以外も動くわけですから、a<0 の場合、そもそも「導関数の定義が出来ない」ことは明らかです。

＃それを「察しろとはひどい」というのは自由ですが、それならほとんどの数学の問題は「そんな解き方を察しろとはひどい」となるでしょう。

＃＃y=5Cn という「nの関数」を考えれば、これの定義域は普通は 0から5までの整数、でしょう。
＃＃この関数の導関数を求めよ、って問題がでたら「そんなの意味不明」と思いませんか？
＃＃それとも「これの導関数が定義できないことを察しろというのはひどい」と思いますか？

絶対値をとれ、という意味がわかりませんが、tan(x)<0の時も定義できるように |tan(x)|^sin(x)と定義域を拡張しても同じように計算できるのは事実です（それでも tan(x)=0 の場合は除かれています）。
ですが、別に定義域を拡張する必要はありません。絶対値がついていても使える、くらいに考えるべきでしょう。
拡張して絶対値がついていても、そもそも tan(x)>0 の場合しかもとの関数は定義されておらす、その場合は|tan(x)|=tan(x) だから答としては同じです。
個人的には絶対値をつけた答はおかしい（計算途中、といった方がいいかも）と思いますが、答自体が誤りではありません。

なお、何か誤解しているようですが、この(tan(x)>0の)場合指数部分 sin(x)の符号は負でも問題ありません。

＃y=0^x という指数関数なら、x<0では 0^x=1/(0^(-x))=1/0 が定義できない(ついでにx=0 の0^0も不定で定義できない）からxが負では困りますが。
No.17043 - 2012/02/24(Fri) 07:59:59
★ 高2　放物線 / れいひゃー
放物線　y=x^2　上の点Pと、定点A(a,0)との距離の最小値を求めよ。　ただし、aは実数の定数とする


P(x,y)とおいて、

AP=√(x^2+(x^2-a)^2))
　=√((x^2+(1-2a)/2)^2+(1-4a)/4)

で、x^2=t(t≧0)とおくと、

AP=√((t+(1-2a)/2)^2+(1-4a)/4)

まではいけたのですが、

a≧1/2　のとき　√(a−1/4)
a＜1/2　のとき　lal

となるのがよくわからないです

説明をお願いします！
No.16972 - 2012/02/19(Sun) 14:54:40
☆ Re: 高2　放物線 / ヨッシー
まずは、
　AP=√((t+(1-2a)/2)^2+(4a-1)/4)
ですね。このとき、最小値の現れ方は、
　t+(1-2a)/2
が、０になるかどうかで変わってきます。
　(1-2a)/2
が負であるとき、つまり、a＞1/2 のときは、
ｔ＝(2a-1)/2 のときに、t+(1-2a)/2＝０ となり、
このとき最小値
　AP＝√((4a-1)/4)＝√(a-1/4)
になり、それ以外の時は、ｔ＝０ の時に最小値
　AP＝√(((1-2a)/2)^2+(4a-1)/4)＝√a^2＝|a|
となります。
No.16973 - 2012/02/19(Sun) 16:05:22
☆ Re: 高2　放物線 / れいひゃー
>AP＝√(((1-2a)/2)^2+(4a-1)/4)＝√a^2＝|a|

の
>√a^2＝|a|
は
√a^2＝a
だけど、a＜1/2で負かもしれないから絶対値つき
というような解釈で大丈夫でしょうか…?
No.17024 - 2012/02/21(Tue) 19:20:15
☆ Re: 高2　放物線 / ヨッシー
「√a^2＝a だけど」という言い方は微妙ですが、
「負かもしれないから絶対値つき」という考え方は正しいです。

正確には、
ａ≧0 のとき　√a^2＝a
ａ＜0 のとき　√a^2＝−a
で、いずれの場合も、非負なので、√a^2＝|a|
ということです。
No.17026 - 2012/02/21(Tue) 21:29:48
☆ Re: 高2　放物線 / れいひゃー
詳しくありがとうございました！
No.17031 - 2012/02/22(Wed) 06:17:45
★ 滋賀医科大の問題に対する追加質問 / 苦学生
再度書き込まさせていただきます。

http://www2.rocketbbs.com/11/bbs.cgi?id=yosshy&mode=pickup&no=16919
で滋賀医科大の問題について投稿させていただいた者です。

問題を再掲します。
------------
2回微分可能な関数f(x)、すなわちf(x)の導関数f'(x)およびf'(x)の導関数f''(x)が存在する関数が、すべての実数xについて、f'(x)＞f''(x)を満たしている。またa＜bとする。

(1)　f'(a)/e^(a)＞f'(b)/e^(b)を示せ。
(2)　f'(a)/e^(a)＞{f(b)-f(a)}/{e^b-e^a}＞f'(b)/e^(b)を示せ。
(3)　すべての実数xについてf(x)＞0であるとき、すべての実数xについてf(x)＞f'(x)＞0が成立することを示せ。
------------

前回は、この問題の(3)に対する別解に対する案を質問させていただき、高校範囲では難しく赤本の示すような不自然な解答にならざるを得ないとのことで僕も納得しました。

今回河合塾の出版する大学入試問題集(ハイレベル理系演習)に上記(3)の類題と思われる部分があり、この考え方を利用した別解は考えられないかどうか、質問させていただきます。河合塾の同問題集に掲載されている問題が以下です。
------------
関数f(x)が連続な導関数を持ち、条件f'(x)＜−f(x)＜0 (−∞＜x＜∞)を満たすとき、
lim[x→∞]f(x)、lim[x→−∞]f(x)を求めよ。
------------

滋賀医大の問題に対して各社が掲載している解答と、この河合塾の問題の解答をpdfファイル(6.0M)として上げなおしました。滋賀医大の問題(p.1)、赤本の解答(p.2〜p.4)、聖文新社発行「数学入試問題シリーズ」の解答(p.5)、河合塾の解答(p.6)です。ダウンロード時のpasswordは「0219」です。(著作権等の問題もあると思いますので、質問の解決後消去します。)
http://www4.puny.jp/uploader2/download/1329582333.pdf

河合塾の問題の解答では、f(x)とf'(x)の比をとって積分、あるいはe^(x)を掛け合わせることによって不等式を作り、はさみうち、という2通りの方法がとられています。滋賀医大の問題と題材が似たような問題ですが、解法はかなりスマートです。これらの方法を使った別解は考えられないでしょうか？
今一度考えたのですが上手くいきませんでした。

皆様のアドバイスいただければ幸いです。
質問が長文化し恐縮ですが、よろしくお願いいたします。
No.16966 - 2012/02/19(Sun) 01:33:40
☆ Re: 滋賀医科大の問題に対する追加質問 / angel
えーと、私も ( log f(x) )' = f'(x)/f(x) やら ( e^(-x)・f(x) )'=-e^(-x)・(f(x)-f'(x)) を利用した方法は前回考えてみたのですが、うまくはいきませんでした。

結局のところ±∞の極限をいかに捌くかがメインなので、そういった変形は役に立たないのではないか、という感想を持っています。

後、赤本の解法も、私は特別ひどいとは思っていなくて。
赤本そのままは確かに分かりにくいですが、全く同じ方針でも、もうちょっと分かりやすい解答は作れるのではないでしょうか?
No.16978 - 2012/02/20(Mon) 01:01:50
☆ (3)解答例 / angel
私ならこう書くかなあ、という解答例を載せてみます。
--
(i)任意のxに対してf'(x)＞0であることを背理法により示す。
　ある a に対し、f'(a)≦0 であると仮定する。
　すると、g(x)=f'(x)/e^x なる g(x) に関して g(a)≦0
　また、(1)の結果よりg(x)は単調減少である。
　よって、ある b＞a に対して g(b)＜0, x＞b⇒g(x)＜g(b)⇒f'(x)＜e^x・g(b)＜e^b・g(b)
　今、x＞b において f(x)=f(b)+∫[b,x]f'(t)dt であるため、
　f(x)＜f(b)+e^b・g(b)(x-b)
　この不等式の右辺はx→+∞において-∞に発散するため、lim[x→+∞]f(x)=-∞
　これは、任意のxでf(x)＞0 であることに矛盾する。
　以上により、任意のxに対してf'(x)＞0であることが示された。
(ii)任意のxに対して f(x)＞f'(x)であることを背理法により示す。
　ある b に対し、f(b)≦f'(b)であると仮定する。
　すると、h(x)=f(x)-f'(x) なる h(x) に関して h(b)≦0
　ところで、問題の前提により任意のxに対してf'(x)＞f''(x) であることから、
　任意のxに対して h'(x)=f'(x)-f''(x)＞0 すなわち h(x) は単調増加
　よって、ある a＜b に対し、h(a)＜0
　また、(2)の結果より、
　　x＜a⇒(f(a)-f(x))/(e^a-e^x)＞f'(a)/e^a
　　⇒f(a)-f(x)＞(e^a-e^x)f'(a)/e^a
　　⇒f(a)-f'(a)＞f(x)-e^xf'(a)/e^a
　　⇔h(a)＞f(x)-e^xf'(a)/e^a
　ここで f(x)＞0、また(i)よりf'(a)＞0 より
　　x＜a⇒h(a)＞-e^xf'(a)/e^a
　　⇒e^x＞-e^ah(a)/f'(a)
　しかし、lim[x→-∞]e^x=0 に対し h(a)＜0 より -e^ah(a)/f'(a)＞0 であるため矛盾
　※もっと単純に、x≦log(-e^ah(a)/f'(a)) に対し e^x≦-e^ah(a)/f'(a) であることに矛盾、でも良いかも
　以上により、任意のxに対して f(x)＞f'(x)であることが示された。
(i),(ii)により、任意のxに対して f(x)＞f'(x)＞0
No.16979 - 2012/02/20(Mon) 02:02:53
☆ Re: 滋賀医科大の問題に対する追加質問 / 苦学生
angel 氏
何度もありがとうございます。

赤本や他の問題集の解答に対してひどいと言ったことは少し語弊があったかもしれません。問題自体が、そう答えざるを得ないようなものであるなら、大学入試の問題として適当なのかと思ったからです。
今まで普通にチャート式や各種問題集で数?Vを学んできた受験生はこの問題が解けたでしょうか？
その点が疑問だったのでそんな書き方になってしまいました。

書いていただいた解答ですが、非常にわかりやすく理解もしやすいと思います。
ありがとうございました。
No.17029 - 2012/02/22(Wed) 02:23:53
☆ Re: 滋賀医科大の問題に対する追加質問 / akashia
「両手ですれば具合よくできることを強いて片手でしてみたり，両足でらくに歩けるのを片足で跳ねていくようなことは，特別の理由がない限り，無益な難行苦行というものであろう．」
(高木貞治)
No.17030 - 2012/02/22(Wed) 02:51:18
★ 長方形と正方形を移動させる数量グラフの問題 / 夕凪
ヨッシーさん、こんばんは(o^-^o) 。

いつも丁寧に解説どうもありがとうございます(*^.^*)。

何度も問題を読み返してるのですが、この問題は、何をどう考えていったらいいのか、解りません(>.<)。

どうか最初はヒントだけでもいいので、よろしくお願い致します(*^.^*)。
No.16964 - 2012/02/18(Sat) 21:29:40
☆ Re: 長方形と正方形を移動させる数量グラフの問題 / シャロン
ヨッシーさんではありませんが。

(1)
図1の状態から1秒後の状態を考えましょう。

重なる部分は、横が1cm、縦が長方形の縦の長さと同じです。

グラフから、1秒後の「重なる部分の面積」は○cm^2なので、...

また、完全に重なっているときが重なる部分の面積が最大になっているので、このときの面積△cm^2が長方形全体の面積です。
縦の長さは上でわかっているので、...



(2)
重ならない部分の面積 = 長方形全体の面積 - 重なる部分の面積 ですね。
No.16967 - 2012/02/19(Sun) 02:41:53
☆ Re: 長方形と正方形を移動させる数量グラフの問題 / 夕凪
シャロン様ー、はじめまして、こんにちわ(o^-^o)

ご回答どうもありがとうございます。まだ解らないので、もうちょっと質問させてもらってもいいでしょうか？

長方形の重なる部分の横は、どうして１ｃｍって解るのでしょうか？

ほんとに頭が悪くて、すいません(。-人-。) 。
No.16969 - 2012/02/19(Sun) 10:07:56
☆ Re: 長方形と正方形を移動させる数量グラフの問題 / ヨッシー
毎秒１cm なので、図１の状態を０秒とすると、１秒後に
重なっている幅（横の長さ）は、１ｃｍです。
No.16975 - 2012/02/19(Sun) 18:54:57
☆ Re: 長方形と正方形を移動させる数量グラフの問題 / 夕凪
ヨッシーさん、ご回答どうもありがとうございますー(o^-^o) 。

なかなか理解しなくて、ほんとにすいません(。-人-。) 。

もうちょっと質問させて下さい。多分まだ解ってないと思います(>.<)

グラフから、1秒後の「重なる部分の面積」は4cm2で合っていますか？

その時の長方形の横は、１ｃｍで、縦は、４ｃｍで合っていますか？

完全に重なっている時というのは、この長方形が図の正方形と完全に重なっている状態を言うのでしょうか？正方形全体が斜線になるという事でしょうか？

ヨッシーさんでもシャロンさんでもいいので、また宜しければ、ご回答よろしくお願い致します(o^-^o) 。
No.16976 - 2012/02/19(Sun) 21:15:52
☆ Re: 長方形と正方形を移動させる数量グラフの問題 / ヨッシー
>グラフから、1秒後の「重なる部分の面積」は4cm2で合っていますか？
合っています。
>その時の長方形の横は、１ｃｍで、縦は、４ｃｍで合っていますか？
合っています。

あとは、図を参照してください。（1秒刻みの図です）
No.16977 - 2012/02/19(Sun) 22:04:11
☆ Re: 長方形と正方形を移動させる数量グラフの問題 / 夕凪
ヨッシーさん、こんにちわ(o^-^o)

返信遅くなって、すいません。やっと意味が解りました(o^-^o) 。解りやすい動く図解でほんとに助かります(＠⌒ο⌒＠)ｂ 。

ほんとにどうも有難うございました(o*。_。)o。

最初に回答して頂いたシャロンさんも、有難うございました(o*。_。)o。
No.17058 - 2012/02/26(Sun) 13:53:28
★ 変数変換 / なぜなぜ君
a>0とする。f(x)を０≦x≦aで連続な実数値関数で
f(x）+f(a-x)≠０）（0≦x≦a)とする

∫（０〜a/2)f(x)/(f(x)+f(a-x))dx=bのとき
∫（a/2〜a)f(x)/(f(x)+f(a-x))dxの値を求めよ

の方針の解説で
『ｙ＝ｆ（ｘ）とｙ＝ｆ(a-x)のグラフは直線ｘ＝a/2に関して対称』です。したがって『ｘ＝a/2に関して対称な移動をする変数変換ｔ＝a-x』をしたら良いのではないかと見当をつけます

の『』部が分かりません

『ｙ＝ｆ（ｘ）とｙ＝ｆ(a-x)のグラフは直線ｘ＝a/2に関して対称』になる根拠が全く分かりません

ｘ＝a/2に関して対称な移動をする変数変換、とはどういう意味ですか？またどのようにしてｔ＝a-xがｘ＝a/2に関して対称な移動をする変数変換だと導いたのか教えてください

よろしくお願いいたします
No.16960 - 2012/02/18(Sat) 07:54:56
☆ 線対称とは / angel
>『y=f(x)とy=f(a-x)のグラフは直線x=a/2に関して対称』になる根拠が全く分かりません

先に確認させてください。
「直線…に対して対称」というのは「線対称」のことですが、それがどういう性質を指すのか、言葉を変えると、どういう条件を満たせば線対称と言えるのか、把握していますか? 簡単で良いので、自分の言葉で説明できますか?
No.16962 - 2012/02/18(Sat) 10:02:38
☆ Re: 変数変換 / なぜなぜ君
直線ｘ＝１に対して対称とは
点（１＋α、ｙ１）と（１−α、ｙ１）、
点（１＋α、ｙ２）と（１−α、ｙ２）、
点（１＋α、ｙ３）と（１−α、ｙ３）、
・・・
がｘ＝１に関して対称であること

です
No.16965 - 2012/02/19(Sun) 01:02:39
☆ Re: 変数変換 / ヨッシー
ｙの方が、１，２，３ となっているので、αの方もそのようにして、
点（１＋α1、ｙ１）と（１−α1、ｙ１）
点（１＋α2、ｙ２）と（１−α2、ｙ２）
点（１＋α3、ｙ３）と（１−α3、ｙ３）
は、それぞれ、ｘ＝１ に対して対称である。
とした方が良いしょう。これらをまとめて、
任意の点（１＋ｐ、ｑ）に対して、
　（１−ｐ、ｑ）
は、ｘ＝１ に対して対称な点である。とすると、一般的な表現になります。
さらに、ｘ＝１ に限ったことではないので、
任意の点（ｔ＋ｐ、ｑ） に対して、
　（ｔ−ｐ、ｑ）
は、ｘ＝ｔ に対して対称である。とすると、対称軸も、点も、
すべての線と点を表すことが出来ます。

それはさておき、

ｙ＝ｆ（ｘ）･･･(1)
と
ｙ＝ｆ(a-x)･･･(2) について、
(1) 上の任意の点　(a/2＋p, q1) と、(2) 上の点
(a/2−p, q2) において、q1＝q2 であれば、(1)と(2) は、ｘ＝a/2 に
対して、対称と言えるわけです。
　q1＝f(a/2+p)
ですね？　q2 はどうなりますか？
No.16968 - 2012/02/19(Sun) 07:10:59
☆ Re: 変数変換 / なぜなぜ君
回答ありがとうございます

q2=f(a/2+p)でq1=q2になります
No.16970 - 2012/02/19(Sun) 10:24:04
☆ Re: 変数変換 / なぜなぜ君
ｘ＝a/2に関して対称な移動をする変数変換、とはどういう意味ですか？またどのようにしてｔ＝a-xがｘ＝a/2に関して対称な移動をする変数変換だと導いたのか教えてください

よろしくお願いいたします
No.16981 - 2012/02/20(Mon) 02:56:33
☆ Re: 変数変換 / ヨッシー
点（ｘ、ｙ）を、直線ｘ＝a/2 に対して、対称に移動すると、
どんな点になりますか？

言い換えると、
上で、(a/2＋ｐ、ｑ）と(a/2−ｐ、ｑ）は、ｘ＝a/2 に対して
対称だと分かりましたね？
では、元の点(a/2＋ｐ、ｑ）を（ｘ、ｙ）とおくと、移動先の点(a/2−ｐ、ｑ）は、ｘ，ｙ，ａを使って、どう表せますか？
No.16983 - 2012/02/20(Mon) 05:26:00
☆ Re: 変数変換 / なぜなぜ君
移動先の点を（X,Y)とおくと
X=a/2-p=x+2p
Y=y
(x+2p,y)と表せます・・・しかしそれとｔ＝a-xの何の関係があるのかわかりません・・
No.17007 - 2012/02/21(Tue) 04:25:43
☆ Re: 変数変換 / ast
> (x+2p,y)と表せます・・

落ち着いて, 言われたとおりのことをやれているか確認しましょう. ヨッシーさんは
> ｘ，ｙ，ａを使って、どう表せますか？
と仰っていますよ.
No.17036 - 2012/02/22(Wed) 17:37:23
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