ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ サイコロの目の和に関して / ハオ

今n個のサイコロを一度の振り出た目の数の和がmとなる確率を求めなさい。
という問題なのですけれど、とあるサイトで
m=n+aとおいて数学的帰納法でa≦5 a=6 a=7・・・・と調べていって一般形を求めている方がいらっしゃいました。

>a=7のとき和がｎ＋７となるのは７以上の目を許せばnH７通り
>このうち７以上の目が出来てしまう箇所はｎ通りで、そのう>ちの１通りに対して８の目または７と２の目が出来る場合の>数はnH1通り
と書いてあったのですがどこからnH1通りという計算が出てくるのか全く分かりません
a=8の時は該当箇所がnH2通りになっていました。

また
>a=12の時
>同様に考えると、ｎＨ12－ｎ・ｎＨ6 通りである。
>しかし、ｎ・ｎＨ6 通りの中には２箇所で７になる場合も含>まれているので、この場合は除外しなければならない。２箇>所で７になる場合の数は、ｎＣ2・ｎＨ0 通りなので、
とあるのですが何故除外する必要があるのか分かりません。
またその場合の数の計算もなぜそれで求まるのか分かりません。
恥ずかしい程理解力に乏しい事を露呈しているような質問かもしれませんが３時間位考えても分かりませんでした。
よろしくお願いします。

No.16842 - 2012/02/06(Mon) 16:22:00

☆ Re: サイコロの目の和に関して / ヨッシー

例えば、サイコロが１０個で、和が１７とします。

これを、Ａ～Ｊの１０個の箱に１７個の玉を、どの箱も最低１個、
最大６個入れると考えます。
まず、最初にすべての箱に１個ずつ入れると、残りは７個です。
その７個を、「最大６個」を考えずに分配すると、10Ｈ7 です。
ここから、７個以上入る場合を引くわけですが、
７個以上入る箱はたかだか１箱です。
その１箱はＡ～Ｊの１０通り考えられますが、例えば、Ａの箱に
７個以上入るとします。
そこで、Ａに６個加えて、７個にすると、残り１個です。
この１個を、Ａに入れる、Ｂに入れる・・・Ｊに入れる、の
１０通り（実はこれが 10Ｈ1）を考えると、Ａに入れたときは、
Ａだけ８個、他は全部１個。
その他の箱に入れたときは、その箱が２個、Ａは７個、他の８箱は１個。
となり、いずれにしても、Ａが７個以上になる場合の数は、これで全部です。
Ｂが７個の場合も、10Ｈ1 通りあります。
Ｃ～Ｊについても同様です。
よって、７個以上が起こるのは、１０×10Ｈ1 となります。

ｎ＝８の時は、Ａに６個入れた時点で、２個余っているので、
これを、Ａ～Ｊに入れる方法は、10Ｈ2 です。

次に、サイコロが１０個で、和が２２とします。
つまり、箱が１０個で、玉が２２個です。
全部に１個ずつ入れると残り１２個です。
Ａを７個以上として、６個入れると、残り６個です。
この６個を、Ａ～Ｊに入れる方法は、10Ｈ6 通りですが、
この中には、Ｂに６個入れて、ＡとＢが７個、他は１個。
Ｃに６個入れて、ＡとＣが７個、他は１個。
Ｄに・・・（以下、Ｊまで同じ）

ところが、このあと、
Ｂを７個以上として、Ｂに６個入れ、残りは６個。
これを、Ａ～Ｊに入れる方法は、10Ｈ6 通り　としたとき、
ＡとＢが７個、他は１個、という場合がまた出てきます。
ＢとＣが７個、他は１個、というのも、このあと、Ｃの時に出てきます。
すると、このように、２つの箱が７個、他は１個という場合は、
２回ずつ現れます。
よって、この分は、引きすぎているので、１回分は足し戻して
やる必要があります。
７個となる２つの箱の選び方は10Ｃ2 で、それらに６個ずつ
入れて７個にすると、残りは０個。
この０個を、１０個の箱に入れる方法は、10Ｈ0 通りで、
あわせて、10Ｃ2×10Ｈ0 となります。
「この０個を・・・」の部分は要らないように見えますが、
ｎ＝１３以降を考える時に必要になります。

No.16844 - 2012/02/06(Mon) 17:04:02

☆ Re: サイコロの目の和に関して / ハオ

なるほどです
返信が遅くなって申し訳ありません
ありがとうございました

No.16896 - 2012/02/10(Fri) 07:19:04

★ 放物線の相似 / 金子

CとDがもし放物線ｙ＝ｂ（ｘ－ｃ）＾２＋ｄ（ｂ＞０）と
ｙ＝-e(x-f)^2+g(e>0)なら(s-r)/(q-p)=b/eが成立
(共通接線とCの交点のｘ座標をp,q(p<q),Dとの交点のx座標をr,s(r<s)）

与えられた事実は
?@全ての放物線は相似。相似比は放物線の2次の係数の絶対値の逆比

?AC、Dの共通接線の交点は放物線の相似の中心
です

自分なりに考えてみました
ｘ座標がp,q,r,sである点をそれぞれP、Q、R、S、相似の中心をMとおきます。

放物線の相似の関係からRM:MQ=b:e,SM:MP=b:eよって二組の辺の比とその間の角が相等しいので三角形RMSと三角形QMPが相似で相似比b:e。これでSR=s-r,QP=q-eならと思いましたが違いました。。

文脈から察するに簡単に示せるはずなのですが、ちょっと分からないので分かる方どなたかお願いしますorz
よろしくお願いします

No.16841 - 2012/02/06(Mon) 00:38:55

☆ Re: 放物線の相似 / ヨッシー

ＰＱ//ＲＳなので、ＰＱ、ＲＳをそれぞれ斜辺とし、
他の２辺がｘ軸、ｙ軸に平行な直角三角形ＰＱＴ、ＳＲＵは
相似で、相似比は、ｅ：ｂ。
よって、(q-p)：(s-r)＝ｅ：ｂ　となります。

No.16843 - 2012/02/06(Mon) 16:29:33

☆ Re: 放物線の相似 / 金子

回答有難うございます。なんでPQとRSが平行かと思いましたが∠MRS=∠MQPより平行線の錯角より平行でしたね。

ところでC、Dの共通接線の交点が放物線の相似の中心になるのはなぜですか？

No.16848 - 2012/02/07(Tue) 03:58:36

☆ Re: 放物線の相似 / ヨッシー

一方を
　Ｃ：ｙ＝ｂ(ｘ－ｃ)^2＋ｄ（ｂ＞０）
他方を
　Ｄ：ｙ＝－ｅ(ｘ－ｆ)^2＋ｇ
とします。
ＣとＤが相似であり、相似比はｅ：ｂであるという事実は
受け入れるとすると、軸が並行である限り、どこかに相似の中心があります。

まずは、相似の中心は、頂点（ｃ，ｄ）と頂点（ｆ，ｇ）を
通る線上にあることはまちがいありません。
次に、Ｃ上で頂点からｘ軸方向にｐ進んだ点Ｐ(c+p, p^2+d)に対応するＤ上の点は
相似比から、頂点から-bp/e 進んだ点Ｑ(f-bp/e, (bp/e)^2+g)になり、
この２点を結んだ直線上に相似の中心はあります。

一方、
Ｃを微分すると、ｙ’＝２ｂ（ｘ－ｃ）
Ｄを微分すると、ｙ’＝－２ｅ（ｘ－ｆ）
なので、
ＰにおけるＣの接線の傾きは　２ｂｐ
ＱにおけるＤの接線の傾きも　２ｂｐ
となります。
つまり、対応する２点はその傾きが等しく、２点を結ぶ直線
と接線との角度は常に等しい関係にあります。
その角度が０になる時が、共通接線であるときで、共通接線は、
相似の中心を通ります。

No.16853 - 2012/02/07(Tue) 19:30:43

☆ Re: 放物線の相似 / 金子

回答有難うございます！

Ｃ上で頂点からｘ軸方向にｐ進んだ点Ｐ(c+p, d)では・・？

ＱにおけるＤの接線の傾きも　２ｂｐとありますが、
QはC上なのですが・・。それでQにおける傾きは2bqなのですが・・

私の勘違いだったらすみません・・

察するに、共通接線上（or頂点同士を結んだ線分上）のどこかに相似の中心はただ1つ存在するのだから、それら２直線の交わる所が相似の中心とならざるをえない、という理解であってますか？

No.16857 - 2012/02/07(Tue) 20:17:24

☆ Re: 放物線の相似 / ヨッシー

あ、ＰとかＱはすでに使われていますね。

まぁ、Ｐ→Ｖ、Ｑ→Ｗ　くらいに読み替えてください。

>Ｃ上で頂点からｘ軸方向にｐ進んだ点Ｐ(c+p, d)では・・？
それは、頂点(c,d)からｘ軸に平行にｐ進んだ点で、
Ｃ上ではありませんね。
たとえば、ｙ＝ｘ^2 において、頂点（０，０）から、
放物線上で、ｘ軸方向に２動いた点は、（２，４）です。
これで、イメージわきますか？

>頂点から-bp/e 進んだ点Ｑ(f-bp/e, (bp/e)^2+g)になり、
の頂点はＤの頂点(f,g) です。

No.16859 - 2012/02/07(Tue) 23:22:25

★ 相加相乗平均の適用条件 / 小心者

相加平均≧相乗平均の公式に適用条件というのはあるのでしょうか？

「相加相乗平均の公式が使えるのは1）●、△がともに正数で●＋△が一定、または、2）●、△がともに正数で●×△が一定の場合」・・（※）
だとどこかで習っていたのですが、●＋△が一定でないのに相加相乗平均の公式を使っているものが見つかりました

問い
正数ｘ、ｙが(1/x)+(1/y)=1を満たして変化する時、ｘ＋ｙの最小値を求めよ。

１＝1/x+1/y≧２√(1/x)(1/y)より√xy≧２（これは和が一定なので今までの知識（※）通りですが

x+y≧２√xy≧２・２＝４の最左辺≧中辺の部分がｘ＋ｙが一定でもｘ・ｙが一定でもないのに相加相乗平均の関係を使っています。一体どういうことなんでしょうか。

どなたか分かる方いらっしゃいましたら教えてください。宜しくお願いします

No.16831 - 2012/02/05(Sun) 00:45:51

☆ Re: 相加相乗平均の適用条件 / デフォルメ

こんばんは。僕は単なる通りすがりの高校生で、別にどこかの予備校で数学を教えたりいたりなんかはしませんので内容の信憑性については何とも言えないのですが、思ったことがあったので今回コメントさせていただきます。

僕はそもそも相加相乗平均について変数の値が一定かどうかなど考えて使ったことはありません。なので公式を適応する変数の値が一定である必要は無いのではないかというのが僕の結論です。
そもそも考えてみれば以下の流れで相加相乗平均についての公式が得られます。

(√x-√y)^2≧0 より
x+y≧2√xy
(当然、x≧0かつy≧0)

そう考えるとx、yが共に正の整数ならばいつでも、即ち値が仮に変動するものであっても上記の条件の下ならば常に成立するはずです。
よって小心者さんが言うような適用条件は無いように思われます。

No.16835 - 2012/02/05(Sun) 02:00:28

☆ Re: 相加相乗平均の適用条件 / angel

> 相加相乗平均の公式が使えるのは…(略)…

× 相加相乗平均の公式が使えるのは
○ 相加相乗平均の公式が「便利に」使えるのは

公式はあくまで相加平均と相乗平均の大小関係を言っているだけであって、どちらかが一定になるかどうかは関係ありません。正の数が対象であれば常に成り立ちます。

でも、最大値/最小値を求める時には、どちらかが定数になってくれないと、問題を解くのに役立ちません。そういう意味では「使えない」になります。
※useful/useless と applicable/inapplicable のどちらも、日本語では「使える/使えない」になるので注意。

今回は、一つの不等式だけでは解けないので、そのままでは「使えない」ところ、二つの不等式を組み合わせて「使える」ように工夫した、と考えれば良いと思います。

No.16837 - 2012/02/05(Sun) 10:59:43

☆ Re: 相加相乗平均の適用条件 / 小心者

納得しました！感謝感謝です！

No.16838 - 2012/02/05(Sun) 13:52:00

★ 表記法 / あでぃすあべば

写真では、行列の１，１成分と２，１成分をまとめてベクトル表記し、１，２成分と２，２成分をまとめてベクトル表記
してひとつの行列の（　）の中にベクトルを二つ表記していますが、この書き方は入試答案などで正式に認められているのでしょうか？このような表記法を他で見たことが無いので不安に思っています。どなたか教えてください。よろしくお願いします。

No.16827 - 2012/02/04(Sat) 21:03:21

☆ Re: 表記法 / ＿

とりあえず、見てすぐ意味がわかる書き方であると思いますし、実際よく見る書き方です。

---

ただ、これが入試で認められるかというと話は別です。というか、あなたの受ける試験で実際に採点に関係する人にしか明確な回答はできないと思います。

試験には、採点に関する基準というものが設定され、それに従って採点がされます。この基準が全ての学校で共通しているわけではないでしょうし、もっと言えば試験毎に設定されうるものでしょう。ある試験では「すぐ見りゃわかるからこれでいいでしょ」であっても、また別の試験では「高校の教科書に使われていない書き方なのでダメ」という事もあるかもしれません。

結局、ご自身で判断下さい、ということになるかと。私ならそういうことを気にしている暇があったら一問でも多く解きます。

No.16829 - 2012/02/04(Sat) 22:05:37

☆ Re: 表記法 / あでぃすあべば

よく見る書き方、とありますが、一体どこで‘よく’見るのか教えてください。

この書き方は数学的に正しいと認められているものなのですか？

No.16832 - 2012/02/05(Sun) 00:49:29

☆ Re: 表記法 / ＿

線形代数のテキストとかですかねえ。多分入門用の本でもそういう書き方をしてるのではないかと思います。

厳密に同じ表記法ということになると、ベクトルに矢印を付しているような高校数学の流儀での書き方ということになって、とりあえず手元に今高校数学の本がほとんどなくて例が1つしか挙げられないのですが、『モノグラフ　行列』(科学新興新社)には載ってました。

No.16833 - 2012/02/05(Sun) 01:05:14

☆ Re: 表記法 / あでぃすあべば

この書き方は数学的に正しいと認められているものなのか教えてください

No.16849 - 2012/02/07(Tue) 05:36:31

☆ Re: 表記法 / ヨッシー

「数学的に正しいと認められている」とはどういう状態でしょうか？

＋、－、×、÷、√、sin などは「数学的に正しいと認められている」のでしょうか？
仮に、
１）教科書に載っている
２）多くの人がそれを認めている
ことをそう呼ぶのだとすると、行列をベクトルを並べて書く方法は、
１）高校の教科書ではまず見かけませんが、大学の線形代数のテキストには、普通に見られます。
ここでいう「普通に」は、「例外なく」ではなく「たいした苦労もせずに」という意味です。
私の手元には１冊しかありませんが、これにも載っています。

２）したがって、大学で線形代数を受けた人や、興味を持って
勉強している人は、疑問なく認めています。

よって、「数学的に正しいと認められている」と言えます。

「入試答案などで正式に認められているか」については、上で
＿さんが書かれたとおりです。
そう考えると、添付の書物に、こういう表記がしてあるのは
やや不注意かとは思います。（事前に、あるいは、シリーズを通して、定義されていれば別です)

No.16850 - 2012/02/07(Tue) 07:18:28

★ 固有値 / アディスアベバ

2次正方行列A,Bについて、逆行列を持つ適当な二次正方行列Pが存在しP^-1AP=Bを満たすならば、AとBの固有方程式は一致する事を示せ。
解）略

コメント）『A,Bが実数の固有値を持つ場合、それは固有方程式の解』《ですから、当然一致する事になりますね。》

『』部は分かるのですが《　》部が分かりません。私にとっては当然でないのでどこが当然なのか教えてください

No.16825 - 2012/02/04(Sat) 19:21:54

☆ Re: 固有値 / angel

2通りの切り口があります。

・固有ベクトルに着目
　Aが固有値λと、それに対応する固有ベクトルvを持つ、
　つまり Av=λv (v≠o) だとすると、
　ベクトル u=P^(-1)v (この時u≠o) に対して
　　Bu=P^(-1)AP・P^(-1)v
　　　=P^(-1)Av
　　　=P^(-1)・λv
　　　=λP^(-1)v = λu
　なので、自動的にBも固有値λと、対応する固有ベクトルuを持つことが分かります。
　で、これはAの全ての固有値で同様のお話になりますから、A,Bの持つ固有値は全て同じ、ということで固有方程式も一致することになります。

・行列式の性質に着目
　B=P^(-1)AP であることから、λE-B=P^(-1)( λE-A )P が成立します。
　※計算して確かめてください
　で、行列式の性質
　　det(XY)=det(X)det(Y)
　　det(X^(-1))=1/det(X) ( 1=det(E)=det(XX^(-1))=det(X)det(X^(-1)) より )
　から、
　　det(λE-B)=det(P^(-1))det(λE-A)det(P)=det(λE-A)
　ということで、Aの固有方程式 det(λE-A)=0 も、Bの固有方程式 det(λE-B)=0 も同じ形になるわけです。

No.16830 - 2012/02/04(Sat) 22:11:35

☆ Re: 固有値 / アディスアベバ

回答有難うございます。

その2つの切り口ってそれってもうこの問題を解いちゃってますよね。そうじゃなくて何らかの事実から解かなくても（証明しなくても）（証明すべきことは）明らかだ、という文脈かと思っていたので、その事実とは何なのかと知りたい、と思ったのですが・・。

No.16834 - 2012/02/05(Sun) 01:10:33

☆ Re: 固有値 / angel

> その2つの切り口ってそれってもうこの問題を解いちゃってますよね。そうじゃなくて…(略)…

いや、そりゃ、ちゃんと計算過程を書かないと、説明にならないでしょうが。

アディスアベバさんの求める「事実」というのは、行列の固有値・固有ベクトルに関する性質そのものです。「明らか」と思えないのであれば、固有値・固有ベクトルの持つ意味をもうちょっと見つめ直すしかないです。

No.16836 - 2012/02/05(Sun) 10:41:14

☆ 対角化の話 / angel

あー、ひょっとしたらこの話の方が分かりやすいかもしれません。話としては「固有ベクトルに着目」と同じようなものですけど。添付の図をご覧ください。
※なお、図の文章中「同じ形に対角化」といっているのは、λ1,λ2を含んでいる行列 ( 対角成分以外が全て0なので、対角行列 ) が同じであることを言っています。

No.16840 - 2012/02/05(Sun) 23:50:39

★ １０’10月P62 / ８４

A=((a b)(c d))
としAの固有方程式の解は相異なる二つの0でない実数解α、βを持つと仮定する。

α、βに対して其々の方向の異なる（一次独立な）2つのベクトル、ベクトルｑ、ベクトルｒが存在し、
Aベクトルｑ＝αベクトルｑ
Aベクトルｒ＝βベクトルｒ
を満たす事を示せ

解答をそのまんま写しますと

αE－A＝(（α-a -b)(-c α-d))とし二つの行ベクトル（第１，２行）をベクトルa1,ベクトルa2とするとベクトルa1,ベクトルa2は同時に０ベクトルとなることはなく
lxE-Al=0よりベクトルa1,ベクトルa2（この内の少なくとも一方は0ベクトルではない）
そこでベクトルa1（またはベクトルa2）に垂直な方向のベクトルの1つをベクトルｑとすれば
（αE-A)ベクトルｑ＝０ベクトル
となる。すなわちAベクトルｑ＝αベクトルｑとなるベクトルｑ（≠０ベクトル）が存在する。以下略

ですが冒頭辺りのベクトルa1,ベクトルa2の成分が解答の書き方では分からないので、どなたか解答の他の部分から逆算して教えてください

よろしくお願いします

No.16816 - 2012/02/03(Fri) 02:51:36

☆ Re: １０’10月P62 / angel

解答にあるような αE-A の成分で考えると書くのが面倒なので、ちょっと問題を分解してシンプルにしましょう。

一つ目は
・行列X (X≠O) に対し、det(X)=0 の時、Xu=o (u≠o) となるベクトル u が存在する
です。この証明は添付の図をご覧ください。
※念のためですが、det(X) は X の行列式を表します
※元の話のベクトルa1,a2がどうこうの話はここに該当します

これが示されれば、det(αE-A)=det(βE-A)=0 であることから、(αE-A)q=o, (βE-A)r=o となる q,r の存在が示せます。
※2個の異なる固有値を持つことから、αE-A≠O, βE-A≠O です。さもなくば、固有方程式が重解を持つことになりますから。

で、(αE-A)q=o ⇔ αEq-Aq=o ⇔ αq-Aq=o ⇔ Aq=αq
ということで、問題にある形になります。( r,βの組み合わせについても同様 )

で、二つ目は
・Aq=αq, Ar=βr ( q,r≠o, α≠β ) に関して、q,rは一次独立
です。
こっちは簡単です。
もし一次独立でない ( 一次従属 ) とすると、q=γr なる実数γ(γ≠0)が存在するため、
　Xq=X(γr)=γXr=γβr
一方
　Xq=αq=αγr
両者を比較し γβr=αγr
r≠o のため γβ=αγ、これは α≠β かつ γ≠0 に矛盾するという寸法で。

No.16823 - 2012/02/04(Sat) 11:30:35

☆ Re: １０’10月P62 / ８４

回答ありがとうございます

結果・・a1とa2の成分はどうなるのでしょうか？

また※2個の異なる固有値を持つことから、αE-A≠O, βE-A≠O です。さもなくば、固有方程式が重解を持つことになる、というのがよくわかりません

よろしくおねがいします

No.16826 - 2012/02/04(Sat) 19:55:03

☆ Re: １０’10月P62 / angel

> 結果・・a1とa2の成分はどうなるのでしょうか？

上の図の証明の中で a1, a2 にあたるのは (a,b), (c,d) です。(a,b)と(b,-a)、(c,d)と(d,-c) は内積を計算すればすぐに垂直であることが分かると思います。

> また※2個の異なる固有値を持つことから、αE-A≠O, βE-A≠O です。さもなくば、固有方程式が重解を持つことになる、というのがよくわかりません

　さもなくば
　… A=αE または A=βE ならば
　固有方程式が重解を持つことになる
　… 実際に固有方程式を計算して確かめてください

例えば A=αE ならば、det(xE-A)=det((x-α)E)=(x-α)^2 ですから、固有方程式は (x-α)^2=0 で重解を持ちますよね。

No.16828 - 2012/02/04(Sat) 21:48:49

★ 式変形の進め方 / 信者

直線l:mx+ny=1が、楕円C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a.b>0)に接しながら動くとする。

（１）点（m,n)の軌跡は楕円になる事を示せ

スマートな別解もありますが、それは置いといて、

No.16661のangelさんの記事にある、「0でないなら同値変形のまま進める」「0かもしれない場合は、0の時だけを場合わけして、残りを同値変形で進める」・・（☆）という考え方に基づいて
解答（の一部）を作ってみました
（あえて説明も入れました）

x^2/a^2+y^2/b^2=1・・（※）
両辺に(ab)^2(≠０）をかけて
（（ab)^2≠０より同値は保たれ）

（※）⇔(bx)^2+(ay)^2=(ab)^2・・?B

（?Bにｎ^2をかけたいが、ｎが０か０でないのか分からないのでｎ＝０、ｎ≠０で場合わけをすると）

（?T）ｎ≠０のとき

?Bの両辺にn^2をかけて（ｎ＾２≠０より同値は保たれ）

?B⇔(nbx)^2+a^2(ny)^2=(abn)^2
l:ｍｘ＋ｎｙ＝１・・?@を代入して
（a^2m^2+n^2b^2)x^2-2a^2mx+a^2(1-(bn)^2)=0・・?A

?@）ｍ≠０のとき
?Aが重解を持つ条件は
D/4＝０
a≠０かつｂｎ≠０より
a^2m^2+b^2n^2=1
(m,n)の軌跡はa^2x^2+b^2y^2=1かつx≠±1/a

?A）ｍ=０のとき

(?U）ｎ＝０のとき
?@よりｍ≠０である
よって?Bの両辺にｍ＾２をかけても同値は保たれ
?B⇔（bmx)^2＋(amy)^2=(abm)^2
　
（☆）の教えを守って作りましたが、（☆）の意味はこれで合ってますでしょうか？（☆）の発案者のangelさんまだいらっしゃいましたらどうかご確認ください。よろしくお願いします。

No.16815 - 2012/02/02(Thu) 23:23:22

☆ Re: 式変形の進め方 / angel

こんばんは。angelです。
大体考え方は合っていると思います。
ただ、惜しいところもありますし、解答としては微妙な(減点を喰らいかねない)所もあります。

惜しい所としては(II)
n=0 という非常に特殊な条件なので、m の値も非常に限られます。そこを踏み込むべきです。
具体的には、n=0 の時、直線lは mx=1 の形になり、これは y軸に平行な直線なので、楕円Cに接するとすれば x=±a になります。なので、m=±1/a と絞れます。

なぜ踏み込むべきかというと、それは(I)で埋まらなかった部分を埋める目的があるからです。
問題の目的は「(m,n)の軌跡がある楕円(の全体)であることを示す」です。ところが(I)では、楕円の内 (±1/a,0) が対象外になっています。つまり「楕円の全体」には不足です。そこで、(II)で不足分の(±1/a,0)を埋めようとなるわけです。

あと「微妙」といったところは、折角「同値変形」を使っているのに、そう断言していないところがあることです。
軌跡の問題ですので、最終的には「必要十分条件」を示さねばなりません。そこを「必要条件」しか説明していない ( 「十分条件」が不足 ) と取られると、減点になります。
具体的にどこかというと(I)のD/4=0のところ。
　lとCが接する⇔D/4=0
の同値を一言説明していれば、突っ込み所がありませんでした。

まあ、解答例を作ってみますので、参考にしてください。

No.16819 - 2012/02/03(Fri) 22:05:12

☆ 解答例 / angel

(I) n≠0 の場合
　l の方程式に関して mx+ny=1⇔y=(1-mx)/n であるため、
　lとCが接する
　⇔ y=(1-mx)/n を C の方程式に代入して得られる
　　xの二次方程式が重解を持つ

　ここで、y=(1-mx)/n を C の方程式に代入すると
　　x^2/a^2+(1-mx)^2/(b^2n^2)=1
　　⇔ (a^2m^2+b^2n^2)x^2-2a^2mx+a^2(1-b^2n^2)=0
　重解を持つ⇔判別式D=0 であるため、
　　D/4=a^4m^2-a^2(1-b^2n^2)(a^2m^2+b^2n^2)=0
　これより b^2n^2(a^2m^2+b^2n^2-1)=0
　ゆえに、lとCが接する⇔a^2m^2+b^2n^2=1 であるため、
　(m,n)の軌跡は、楕円 a^2x^2+b^2y^2=1
　ただし、n≠0 であるため (±1/a,0) を除く
(II) n=0 の場合
　l の方程式は mx=1 となり、これは y軸に平行な直線を表す。
　よって、 lがCと接する⇔lがx=±aと一致する
　となるため、m=±1/a
　すなわち (m,n)=(±1/a,0)

以上より、(I),(II)を併せると、(m,n)の軌跡は楕円a^2x^2+b^2y^2=1 である。

No.16820 - 2012/02/03(Fri) 22:20:33

☆ Re: 式変形の進め方 / 信者

ありがとうございます！
また何かあったらよろしくお願いします！

No.16847 - 2012/02/07(Tue) 03:10:42

★ 高校生 / ゴギガガガギゴ

数学理解できていない

実数x,yがx^2＋y^2＝2xを満たすとき、x＋yの最大値、最小値を求めよ

解法を丸暗記しているので解く事はできるのですが、理解ができていません。
解答には「x^2＋y^2=2xかつx＋y=k(kは実数)を満たしている実数x,yが存在する⇔y=k-xより2x^2-2(k＋1)x＋k^2=0・・・?@を満たす実数xが存在する⇔?@の判別式DがD≧0となればよい」
と書いてあります。
以下は自分の考えなのですが、
限りなくある実数の中には当然、x^2＋y^2=2xを満たす実数x,yの組み合わせもあるし、x＋y=kが最大値、最小値となる実数x,yの組み合わせも存在している。
これをふまえて、問題文を見ると「実数x,yがx^2＋y^2=2xを満たす」とあります。
この一文は、限りなくある実数の中のx,yの組み合わせを限定するもの、つまり選ぶことができる実数x,yが限られるということを言ってるんだと思います。
選択肢が限定された実数x,yの中でx＋y=kが最大値、最小値となる実数x,yを選ぶというのは
限りなくある実数の中で「x^2＋y^2=2xかつx＋y=kを満たしている」実数x,yを選ぶということで
さらにこれをふまえた上で解いていくと
まず、x＋y=kを変形したy=k-xとx^2＋y^2=2xの2式から2x^2-2(k＋1)x＋k^2=0・・・?@という式を作ります。
そして?@に判別式Dを使い実数となるkの範囲を条件D≧0から求めると、その結果でてくるkの値の範囲は
x^2＋y^2=2xとx＋y=kをともに満たしている実数xが得られるんだと思います。
このように理解しているのですが勘違いしてると嫌なので数学カテで数学の得意な方に実のところを教えてもらおうと思い質問した次第です。
数学がとても苦手なので
誰か分かる方教えてください。お願いします。

No.16790 - 2012/01/31(Tue) 19:12:28

☆ Re: 高校生 / ヨッシー

選択肢が限定された実数x,yの中でx＋y=kが最大値、最小値となる実数x,yを選ぶというのは
限りなくある実数の中で「x^2＋y^2=2xかつx＋y=kを満たしている」実数x,y~~を選ぶということで~~が選べるときのｋの
最大値、最小値を見つけるということです。

(中略)

その結果でてくるkの値の範囲は
x^2＋y^2=2xとx＋y=kをともに満たしている実数xが得られる
範囲を表しています。

考え方の方向は正しいですが、日本語に落とすときに、それが
表現しきれていないような気がします。

No.16801 - 2012/02/01(Wed) 10:03:52

★ 対称性 / ヒソカ

０≦ｔ≦2πのとき
x(t)=sint,y(t)=sin2t
で表される点P（x(t),y(t))の軌跡Cを図示し、その囲む面積を求めよ。という問題で

解
x(t+π）＝-x(t),y(t+π)=y(t)
x(π-t)=x(t),y(π-t)=-y(t)
なので0≦t≦π/2
の範囲で調べれば十分

とあったのですがなぜですか？
（P(t)とP(π-t)はｘ軸対称
P(t)とP（π＋ｔ）はｙ軸対象というのは分かりました）

なんとなく、とかじゃなくてちゃんとした説明がほしいです。厚かましいですがよろしくお願いします

No.16787 - 2012/01/31(Tue) 18:34:30

☆ Re: 対称性 / X

まず、問題のCのグラフの概形はx軸を串にして２つの団子が
刺さったような形になっていることはよろしいでしょうか？。

このグラフにおける
0≦t≦π/2
に対応する部分(C1とします)は
x軸に関して上半分の右側の半円状の部分
(半円ではありません、念のため)

π/2≦t≦π
に対応する部分(C2とします)は
x軸に関して下半分の右側の半円状の部分

π≦t≦3π/2
に対応する部分(C3とします)は
x軸に関して上半分の左側の半円状の部分

3π/2≦t≦2π
に対応する部分(C4とします)は
x軸に関して下半分の左側の半円状の部分

となっています。
さてこのとき
x(t+π)=-x(t),y(t+π)=y(t)
によりC1とC3、C2とC4はy軸に関して対称
x(π-t)=x(t),y(π-t)=-y(t)
によりC1とC2、C3とC4はx軸に関して対称
以上からCはx軸,y軸に関して対称になっています。
よってC1とx軸で囲まれた面積を4倍すれば求める面積
となります。

No.16788 - 2012/01/31(Tue) 19:07:44

☆ Re: 対称性 / ヒソカ

回答有難うございます

まず、問題のCのグラフの概形はx軸を串にして２つの団子が
刺さったような形になっていることはよろしいでしょうか？とのことですが全くよろしくないです。
求める軌跡の概形がすでに与えられているわけではありません

「x(t+π）＝-x(t),y(t+π)=y(t)
x(π-t)=x(t),y(π-t)=-y(t)」という情報のみから
0≦t≦π/2
の範囲で調べれば十分
といえるのは何故か、

の説明をお願いします。

No.16791 - 2012/01/31(Tue) 19:53:37

☆ Re: 対称性 / らすかる

「の範囲で調べれば十分」は何を調べることを言っているのかよくわかりませんが、

「P(t)とP(π+t)はy軸対称」がわかっているのであれば、
0≦t≦π の範囲の軌跡と π≦t≦2π の範囲の軌跡は
y軸に関して対称ですから、0≦t≦π の範囲を調べれば十分です。
そして「P(t)とP(π-t)はx軸対称」がわかっているのであれば、
0≦t≦π/2 の範囲の軌跡と π/2≦t≦π の範囲の軌跡は
x軸に関して対称ですから、0≦t≦π/2 の範囲を調べれば十分です。

No.16793 - 2012/01/31(Tue) 21:59:03

☆ Re: 対称性 / ヒソカ

期待に沿うように解答していただきありがとうございます。

「P(t)とP(π+t)はy軸対称」だから
0≦t≦π の範囲の軌跡と π≦t≦2π の範囲の軌跡は
y軸に関して対称

「P(t)とP(π-t)はx軸対称」だから
0≦t≦π/2 の範囲の軌跡と π/2≦t≦π の範囲の軌跡は
x軸に関して対称

となる理由を教えてください。これが知りたかったのです。
これをなんとなく、ではなくちゃんとした説明がほしいということでした。

よろしくおねがいします

No.16794 - 2012/01/31(Tue) 22:35:24

☆ Re: 対称性 / らすかる

「P(t)とP(π+t)はy軸対称」だから
tを0からπまで動かしたとき、点P(t)と点P(π+t)は
y軸に関して対称に動きます。
つまり
tを0からπまで動かした場合の点P(t)と
tをπから2πまで動かした場合の点P(t)が
y軸に関して対称に動くのですから、
0≦t≦π の範囲の軌跡と π≦t≦2π の範囲の軌跡は
y軸に関して対称となります。
後半も同様です。

No.16795 - 2012/01/31(Tue) 22:51:50

☆ Re: 対称性 / ヒソカ

P(t)＝(x(t),y(t))
P(π-t)=(x(π-t),y(π-t))
のように置くよう定義します

前半はｔ：0→πとπ＋ｔ：π→２πが対応し、０≦t≦２πが網羅されてるので確かに分かりました

しかし後半はｔ：0→πとπ-t:π→０で０≦t≦２πが網羅されてないのでよくわかりません。

No.16797 - 2012/02/01(Wed) 00:54:19

☆ Re: 対称性 / らすかる

後半は0≦t≦2πを網羅する必要はありません。
前半で「0≦t≦πの範囲だけ調べればよい」とわかったのですから、
tを0からπ/2まで動かして0≦t≦πの範囲が網羅されれば十分です。

No.16798 - 2012/02/01(Wed) 00:57:30

☆ Re: 対称性 / ヒソカ

tを0からπ/2まで動かして・・の「π/2」は解答を書き始めてから本来初登場ですがどこからもって来ましたのか教えてください。勘ですか？つまりx(ｔ)＝0→●とx(π-t)＝π→●を考えた時
ｔの範囲に空白が出来ないような●を唸りながら考える

という筋道ですか？それとも何か方法があるなら教えてください

No.16805 - 2012/02/01(Wed) 18:59:04

☆ Re: 対称性 / らすかる

tを0から増やしていったとき、π-tはπから減っていき、
t=π/2のときにπ-tはtと一致しますね。
t=π-tの解などと考えてもいいですが、
「sin(x)=sin(π-x)であり、sinxはx=π/2に関して対称」
のような知識もありますので
P(t)とP(π-t)を見た瞬間にπ/2が思い浮かび、
「考える」とか「計算する」までもないことのように思います。

No.16807 - 2012/02/01(Wed) 20:53:45

☆ Re: 対称性 / ヒソカ

解答有難うございます

別の問題でも対称性が見抜けるように、というのが趣旨ですので。。
ならばx(t)=sint,y(t)=sin2tではない別のケースで、その場合P(ｔ）をQ(t)とでも置き換えて、
Q(t)とQ（3. 14159265358979323846π-2.71828182845904t)
がｘ軸に関して対称となったとき、ｔはどのような範囲で調べれば（グラフの概形を書くのに）十分ですか？

No.16808 - 2012/02/01(Wed) 21:46:43

☆ Re: 対称性 / らすかる

例えばtの定義域が実数全体ならば、
「t=3. 14159265358979323846π-2.71828182845904t の解」以下（または「以上」）です。
定義域が狭ければ、その定義域によりますので
一概にどうこうとは言えません。

No.16809 - 2012/02/01(Wed) 22:39:47

☆ Re: 対称性 / ヒソカ

解答有難うございます

tの定義域が実数全体ならば、
「t=3. 14159265358979323846π-2.71828182845904t の解」以下（または「以上」）

となる理由を教えてください。
その式が一体全体どこからきたのか教えてください。
P(ｔ）,p(π-t）の時とはｔの係数の絶対値が異なるので
、「tを0から増やしていったとき、π-tはπから減っていき、t=π/2のときにπ-tはtと一致」のような考えではいけない（ｔとπ－ｔ、のｔの増える値と-tの減る値が等しかったからこそできたわざ）
だと思います

よろしくおねがいします

No.16812 - 2012/02/02(Thu) 15:13:14

☆ Re: 対称性 / らすかる

> 「tを0から増やしていったとき、π-tはπから減っていき、t=π/2のときに
> π-tはtと一致」のような考えではいけない（ｔとπ－ｔ、のｔの増える値と
> -tの減る値が等しかったからこそできたわざ）
> だと思います

なぜですか？
「t=3. 14159265358979323846π-2.71828182845904t の解」以下
に対するグラフが描けたら、
「t=3. 14159265358979323846π-2.71828182845904t の解」以上
のグラフはそれをx軸に関して対称移動したものですから、
増える値と減る値が等しいかどうかは関係ないですね。

No.16813 - 2012/02/02(Thu) 17:18:25

☆ Re: 対称性 / ヒソカ

まずt=3. 14159265358979323846π-2.71828182845904t
という式の意味が全く分からないので教えてください。
また、この解ｔはどういうｔですか？

No.16821 - 2012/02/04(Sat) 00:57:35

☆ Re: 対称性 / らすかる

質問の意味がよくわかりませんが、
とりあえず長ったらしい数字は説明しにくいので
「Q(t)とQ(a-bt)がx軸に関して対称」にします。
例えば
t=0とするとQ(0)とQ(a)がx軸に関して対称
t=0.1とするとQ(0.1)とQ(a-0.1b)がx軸に関して対称
t=0.2とするとQ(0.2)とQ(a-0.2b)がx軸に関して対称
・・・
のようにQ(t)とQ(a-bt)はtの変化に応じてx軸に対称に移動していくわけですが、
これはt=a-btとなるところでぶつかります。
つまりt=a-btの解t=a/(b+1)に対してQ(t)=Q(a-bt)=Q(a/(b+1))となります。
よってt≦a/(b+1)のぶんのグラフを描いたら、
それをx軸に関して対称に移動したグラフがt≧a/(b+1)のグラフですから
グラフ全体の概形を知るにはt≦a/(b+1)の範囲について調べれば（あとは対称コピーで）済みます。

No.16822 - 2012/02/04(Sat) 01:20:17

★ 数学　高校生 / ルイス

座標平面上に与えられた2点P(0,1)、A(a,0)(a≧0)に対し、点Qを直線AP上にAからみてPと同じ側にAP・AQ＝a(a＋1)を満たすようにとる。
(1)a>0のときx軸上に点B(b,0)(b≦0)をAP・AQ＝AO・ABを満たすようにとる。ただし、点Oは原点を表す。このときbの値を求めよ。

答b=-1
(2)点Aがa>0を満たしながらx軸上を移動するとき、点Qは同一の円Cの周上にある。この円の中心の座標と半径を求めよ。
答　中心(-1/2、1/2)　半径√2/2
(3)点Qのy座標の値が最大となるときの点Qの座標を求めよ。またそのときのaの値を求めよ。
Q(　-1/2、(√2＋1)/2　)　a=√2＋1
数学が苦手なので初見では解けませんでした。
解答には、(2)は(1)の結果を利用してAP・AQ＝AO・ABから方べきの定理の逆を使っていました。
すると、線分PBは円Cの直径になるので中心は線分PBの中点を求めるという方法でした。
ここでふと思ったのですが、(1)の結果をどうして(2)でも使えるのでしょうか？
AP・AQ＝AO・ABを満たしていないと方べきの定理の逆は使えないと思うのですが、どうして(2)では使える前提で解いているのでしょうか？
また(3)については自分がやるとどうしてもa=1/(√2-1)となるのですがどうしてなのでしょうか。
直線ＰＱを求めればその上に点Aがあるのでその座標を直線ＰＱの式に代入すればaの値が求まるはずなのですが...

誰か分かる方教えてください。お願いします。

No.16771 - 2012/01/30(Mon) 22:30:51

☆ Re: 数学　高校生 / X

>>(1)の結果をどうして(2)でも使えるのでしょうか？
(1)の結果から、逆にB(-1,0)なる点Bを取ると、と考えて下さい。

>>a=1/(√2-1)となるのですがどうしてなのでしょうか。
分母を有理化してみて下さい。

No.16774 - 2012/01/31(Tue) 00:28:40

★ 一次変換 / ぐしゃ

M＝（(a,b)(c,d)）

?@ベクトルaとベクトルｂが一次独立（⇔ad-bc≠０⇔Mが逆行列を持つ）
⇒平面全体は平面全体に移る

?Aベクトルaとベクトルbは一次従属かつ、ベクトルa、ベクトルbの少なくとも一方が０ベクトルでない（⇔Mが逆行列を持たず、M≠０）
⇒平面全体は、原点を通り方向ベクトルがベクトルaまたはベクトルｂの直線に移る

?Bベクトルa＝ベクトルｂ＝０ベクトル（⇔M=0)
⇒平面全体は原点Oに移る

以上?@～?Bが逆もいえるのかどうか教えてください。

また、逆もいえるのならその理由も知りたいですが
贅沢すぎる気もするので無ければ無くてもかまいません。

よろしくお願いします

No.16767 - 2012/01/30(Mon) 15:08:50

☆ Re: 一次変換 / ヨッシー

ここで言うベクトルは、列ベクトルですね？(特に?A）

逆はすべて成り立ちます。

?@の逆
平面全体が平面全体に移るときの行列が一次従属とすると、
?Aおよび?Bより、平面全体に移ることと矛盾する。

?A点（１，０）が（ｓａ，ｓｂ）、（０，１）が（ｔａ，ｔｂ）に移るとする。
ここで、（ｓａ，ｓｂ）（ｔａ，ｔｂ）ともに（０，０）とすると、
平面上の任意の点（ｍ，ｎ）＝ｍ（１，０）＋ｎ（０，１）も、
Ｍによって、（０，０）に移るので、（ｓａ，ｓｂ）（ｔａ，ｔｂ）の
少なくとも一方は、（０，０）でない。
すると、Ｍを表す行列について、
ベクトルaとベクトルbは一次従属かつ、ベクトルa、ベクトルbの少なくとも一方が０ベクトルでない
が成り立つ。

?B
例えば２点（１，０）（０，１）も（０，０）に移るので、
成分計算して、＝０とすると、全成分０となることが導けます。

No.16770 - 2012/01/30(Mon) 21:40:53

★ 恒等式 / 半日数学

行列A＝(a,b)(c,d)(a≠０）のよる座標平面上の一次変換をfとする。ｆにより放物線ｙ＝ｘ＾２が放物線C1：ｙ＝ｘ（ｘ－１）全体に移される。次の問いに答えよ
（１）点（ｔ、ｔ＾２）のｆによる像を考える事によりAをaを用いてあらわせ

ですが写真で線を引いてる部分がなぜ必要なのか全くわかりません。

どなたかご教授ください。よろしくお願いします。

No.16766 - 2012/01/30(Mon) 13:33:59

☆ Re: 恒等式 / ヨッシー

ｆにより放物線ｙ＝ｘ^2 上のすべての点が移った先の点は、常にＣ1 上にある、
ではなくて、Ｃ1 全体に移る、なので、定義域が全実数でないといけません。

No.16768 - 2012/01/30(Mon) 21:04:46

☆ Re: 恒等式 / 半日数学

確かにｙ＝ｘ（ｘ－１）全体に移されるとありますね。全く気づきませんでした！しかしそれと「at+bt^2が全ての実数値を取りうる」が何の関係があるのか全く分かりません・・。

No.16772 - 2012/01/30(Mon) 22:34:27

☆ Re: 恒等式 / angel

仮にですけど、今回はありえないパターンですが、a=b=1 だったらどうでしょう?
at+bt^2=t+t^2=(t+1/2)^2-1/4 ですから、at+bt^2≧-1/4 ですね。
ってことは、(at+bt^2,XXX) で表される点のx座標は常に-1/4以上、つまりこれらの点は x＜-1/4の領域には存在できないのです。

今、(at+bt^2,XXX) で表される点で C1 全体をカバーしないといけないので、a=b=1 のようにカバーできない範囲ができるのはマズいのです。

それを言っているのが、「at+bt^2が全ての実数値を取りうる」ということです。

No.16776 - 2012/01/31(Tue) 00:52:18

☆ Re: 恒等式 / 半日数学

よく分かりました。ありがとうございます

No.16783 - 2012/01/31(Tue) 16:13:52