平面上の原点Oを始点とする長さ1のベクトル(OA)=(a),(OB)=(b)に対して
(1)ベクトル(a)とベクトル(b)の内積を(a)・(b)=sとするとき、不等式|(a)-s(b)|<=1が成り立つことを示せ
(2)m,nを正の整数とする。平行でないベクトル(a),(b)に対して、|m(a)+n(b)|=1が成り立つとき、(a),(b)のなす角の余弦をmの式で表せ。また、３角形OABの面積が最大となるのはどのようなときか。そのときの３角形の形状について述べよ
()内はすべてベクトルで表されているものです。(1)は不等式の方を二乗して整理するとsの範囲と一致するのでいいでしょうか？ (2)は分かりません。解答よろしくお願いします
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No.15961 - 2011/11/20(Sun) 22:19:53
| ☆ Re: ベクトル / angel | | | まず
> (1)は不等式の方を二乗して整理するとsの範囲と一致するのでいいでしょうか？
二乗は良いです。sの範囲はあまり気にしなくても。こんな感じになるはずです。
|(a)-s(b)|^2
= |(a)|^2-2s(a)(b)+s^2|(b)|^2
= 1-2s^2+s^2
= 1-s^2 ≦ 1 ( ∵s^2≧0 )
よって |(a)-s(b)|≦1
(2) は、三角不等式から m=n に気づけるかどうか。
点X,Y を、(OX)=m(a), (XY)=n(b) にて定義するとき、
(OY)=m(a)+n(b)
(a),(b)は平行でないため三点O,X,Yは三角形を構成し、
OX=m, XY=n, OY=|m(a)+n(b)|=1
※m,nが正であることに注意。負の可能性もあるならば |m|等
よって三角不等式により |m-n|＜1 だが、m,mが整数であるため n=m
|m(a)+n(b)|=1 に n=m を代入し m|(a)+(b)|=1
両辺を平方して m^2( |(a)|^2+2(a)(b)+|(b)|^2 )=1
よって (a)(b)=1/(2m^2)-1
|(a)|=|(b)|=1 のため、(a),(b)のなす角の余弦も 1/(2m^2)-1
△OABの面積を最大にするのは、(a),(b)のなす角の余弦が最も 0 に近くなる m であり、m=1
※90°の時(があれば)面積最大で、cos90°=0 ですから
この時(a),(b)のなす角は120°、△OABはOA=OB=1, ∠AOB=120°の二等辺三角形
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No.15964 - 2011/11/21(Mon) 02:05:55 |
| ☆ Re: ベクトル / イド | | | 三角不等式でしたか！
完璧に忘れていました！
丁寧な解答ありがとうございました
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No.15981 - 2011/11/22(Tue) 00:07:24 |
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