ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 微分のｄを使った計算 / thirsty

曲線y=e^x-1(x≧０）をy軸の周りに一回転して出来る容器がある。長さの単位はｃｍとし、この容器に毎秒aｃｍ＾３の割合で水を注ぐ。
水面の高さがｂｃｍに達した時の水面の上昇する速さおよび水面の面積が増加する速さをa,bを用いて表せ

ｔ秒後の高さがｈのとき、水面の面積をS(h)、体積をV(h)とおくと
V(h)=∫(0～h)S(y)dy=at・・?B
S(y)=π{log(1+y)}^2(0≦ｙ≦ｈ）・・?C

が成立する
?BからdV/dt=S(h)(dh/dt)=a・・?B’とあるのですが

?B’がどうしてこうなったのか分からないのでどなたか分かる方教えてください。よろしくおねがいします

No.16927 - 2012/02/13(Mon) 21:42:56

☆ Re: 微分のｄを使った計算 / ヨッシー

Ｓ(x) の原始関数の一つをＴ(x) とすると、
　Ｖ(h)＝Ｔ(h)－Ｔ(0)
ここで、ｈもｔの関数なので、両辺ｔで微分すると、
　dV/dt＝dT/dh・dh/dt
　　　＝S(h)(dh/dt)
となります。

No.16932 - 2012/02/13(Mon) 23:15:08

☆ Re: 微分のｄを使った計算 / ｔhirsty

回答ありがとうございます

Tというのがいきなりきてますが
　dV/dt＝d(Ｔ(h)－Ｔ(0))/dh・dh/dt
　　　＝S(h)(dh/dt)
ということですよね、よく分かりました

ちなみにこのようにして水面の面積が増加する速さdS/dtを求めることは可能でしょうか？

No.16939 - 2012/02/14(Tue) 05:06:48

☆ Re: 微分のｄを使った計算 / thirsty

どなたかお願いします

No.16955 - 2012/02/16(Thu) 00:37:53

☆ Re: 微分のｄを使った計算 / angel

> 水面の面積が増加する速さdS/dtを求めることは可能でしょうか？

S=(dV/dt)/(dh/dt) であることが分かっているので、後は dh/dt さえ分かれば、
　dS/dt = d( (dV/dt)/(dh/dt) )/dt
　　= ( (d^2V/dt^2)(dh/dt)-(dV/dt)(d^2h/dt^2) )/(dh/dt)^2
という分数関数の微分で求められます。

※ dV/dt=S・dh/dt の両辺を微分した
　　d^2V/dt^2 = dS/dt・dh/dt + S・d^2h/dt^2
　でも同じことです

No.16961 - 2012/02/18(Sat) 09:41:19

★ おりがみ / 油

一辺の長さが1である正方形の紙を2本の対角線の交点を通る直線で折る。このとき紙が重なる部分の面積の最小値を求めよ。
解）一辺の長さが1の正方形をABCD、その対角線の交点をO、ABの中点をMとするとき、『対称性』より、Oを通り、線分AMと共有点を持つ直線ｌで折るとしてよい。

質問１、この『』の対称性は何と何が対称なのですか？どういう意味で使われているのか分かりません

続き）
このときlとABの交点をE、A,Dのｌに関する対称店をA'、D'、∠MOE=θ（０≦θ≦π/4)とし紙が重なる部分の面積をSとする。０≦θ≦π/4のときABとA'D'は交点をもつから、それをFとすると、《対称性》よりSは?儖EFの面積の4倍に等しい

質問2、《　》の対称性は何と何が対称なのか、またどうやって気づけばよいのか教えてください

質問3
求める面積は同じ?凾ｪ4つ分とのことですが、なぜBがD'A'の内側でなく外側にあるのか、や、なぜD'がCBの内側でなく外側にあるのか、など重なる部分の面積の形も納得できてないです

多いですがどなたかよろしくお願いします

No.16921 - 2012/02/13(Mon) 03:47:39

☆ Re: おりがみ / ヨッシー

まず１つ目。
図の点線の折れ線で折った場合も、実線の折れ線で折った場合と
重なる部分の面積は同じ、と言うことです。
厳密に言うと、線分ＢＣと交わる折れ線は、「９０°回転すると、ＡＢ
と交わる折れ線と一致する」という移動ですが、ひっくるめて
「対称性」と言っています。

No.16922 - 2012/02/13(Mon) 06:41:40

☆ Re: おりがみ / ヨッシー

２つ目。
図の４色の三角形が合同だと言うことを言いたいわけですが、
正確な図を描いて、よく見るしかないですね。
特に、△Ａ’ＥＦと合同な三角を見つけることです。

３つ目。
ＯＤ＝ＯＤ’であり、この長さは、ＯからＢＣ上の（ＢとＣを除く）
どの点までの距離よりも長いので、Ｄ’はＢＣの外に来ます。
Ｂについても同様です。

No.16923 - 2012/02/13(Mon) 07:04:22

☆ Re: おりがみ / 油

回答有難うございます

二つ目の質問についてですが
対称性を裏付ける証拠（根拠）はないのでしょうか？
見た目だけで判断するのは危険な気がして..

No.16925 - 2012/02/13(Mon) 18:01:35

☆ Re: おりがみ / ヨッシー

少し見方を変えて、折り曲げた部分と、同じパーツを
くっつけると、正方形になります。
２つの正方形は、中心Ｏ（対角線の交点）が同じ位置にあるので、
両者は、Ｏを中心に回転した関係にあると言えます。

すると、頂点あたりに出来る小さい三角形もすべて合同であると
気付きます。

No.16926 - 2012/02/13(Mon) 21:36:59

☆ Re: おりがみ / 油

回答ありがとうございます

図までつけてもらっておいて申し訳ないのですが
「頂点あたりに出来る小さい三角形もすべて合同である」理由が分かりません。（相似だということは幾何的に分かるのですが）

幾何的（図形的）に赤、緑、黄色、青の4つの?凾ｪ全て合同であると示す方法があれば教えてください

No.16930 - 2012/02/13(Mon) 22:47:16

☆ Re: おりがみ / ヨッシー

回転したものに置き換えることが出来ると言うことは理解していただいたとして、
また、小さい三角形は相似であることまでは自明であるとします。

正方形ＡＢＣＤがＯ（対角線の交点）を中心に回転して、
正方形ＥＦＧＨになったとします。
図のようにＪからＺとします。
Ｊ、Ｌ、Ｎ、Ｑ、Ｓ、Ｕ、Ｗ、Ｙは、辺と辺の交点。
その他は、辺の中点です。(詳細は省略)

直角三角形の合同条件（斜辺と他の１辺相等）より、
△ＯＭＮ≡△ＯＰＮ
△ＯＲＳ≡△ＯＴＳ
△ＯＶＷ≡△ＯＸＷ
△ＯＺＪ≡△ＯＫＪ
さらに、
∠ＯＮＭ＝∠ＯＮＰ＝(180°－∠ＡＮＱ)÷２
∠ＯＳＲ＝∠ＯＳＴ＝(180°－∠ＨＳＱ)÷２
∠ＯＷＶ＝∠ＯＷＸ＝(180°－∠ＧＷＵ)÷２
∠ＯＪＺ＝∠ＯＪＫ＝(180°－∠ＦＪＹ)÷２
および　∠ＡＮＱ＝∠ＨＳＱ＝∠ＧＷＵ＝∠ＦＪＹ　より
∠ＯＮＭ＝∠ＯＮＰ＝∠ＯＳＲ＝∠ＯＳＴ＝∠ＯＷＶ＝∠ＯＷＸ＝∠ＯＪＺ＝∠ＯＪＫ
となり、
△ＯＭＮ≡△ＯＰＮ≡△ＯＲＳ≡△ＯＴＳ≡△ＯＶＷ≡△ＯＸＷ≡△ＯＺＪ≡△ＯＫＪ

同様に、
△ＯＫＬ≡△ＯＭＬ≡△ＯＰＱ≡△ＯＲＱ≡△ＯＴＵ≡△ＯＶＵ≡△ＯＸＹ≡△ＯＺＹ

以上より、
△ＯＪＬ≡△ＯＮＬ≡△ＯＮＱ≡△ＯＳＱ≡△ＯＳＵ≡△ＯＷＵ≡△ＯＷＹ≡△ＯＪＹ
が言えます。

No.16934 - 2012/02/13(Mon) 23:52:18

☆ Re: おりがみ / 油

納得しました、ありがとうございます！

No.16959 - 2012/02/16(Thu) 10:11:06

★ (No Subject) / 苦学生

はじめまして、自分自身は大学生なのですが、現在滋賀医科大を受験する学生の家庭教師をしています。
今回お尋ねしたいのは、「ある入試問題のより容易な(大学入試レベルの)別解」です。

先日「赤本の解説がわからない」と、滋賀医科大の過去問(2011,大問4)の質問を受けました。問題自体はハンドルネーム横のリンク先または、http://s3.gazo.cc/up/s3_4911.png　にてご確認ください。

お手元にもし解説があれば見ていただきたいのですが、おそらく滋賀医大の赤本を持っている方が少ないと思いますので、該当箇所の赤本の解説ページもpdfファイル(4.0MB)にてアップロードしました。
http://www5.puny.jp/uploader/download/1329053199.pdf
ダウンロード時のpasswordは「0212」です。(著作権等の問題もあると思いますので、質問の解決後消去いたします。)

上に挙げた赤本では(2)(3)の解説が正直、高校で習う範囲を逸脱しすぎている、というのが印象です。
(2)では高校では範囲外の「コーシーの平均値の定理」を、(3)ではいかにも大学内容を無理に高校範囲に押し込めたような記述が目立ちまったく実践的ではありません。単科医科大は数学がややこしい、といっても答えを掲載する赤本がこれでは、この問題は解けなくてもいい、と言っているようでどうも不可解です。
聖文新社発行「数学入試問題シリーズ」においても大差ない状態でした。

(2)(3)のうち、(2)については(1)を利用した別解を考えました。これなら十分に誘導を活用できていると思うのですが、以下に記しますので、問題点あればご指摘いただけないでしょうか。
-----------------
(1)
g(x)=f'(x)e^(-x)　とおいてg'(x)<0 を確かめればよい。

(2)
(1)より、a<x<b に対して、g(b)<g(x)<g(a) が成り立つので、
　f'(b)e^(-b) < f'(x)e^(-x) < f'(a)e^(-a)
各辺にe^xかけて、
　f'(b)e^(-b)e^x < f'(x) < f'(a)e^(-a)e^x
各辺を区間[a,b]で定積分して、
　f'(b)e^(-b)(e^b-e^a) < f(b)-f(a) < f'(a)e^(-a)(e^b-e^a)
各辺をe^b-e^a (>0) で割って、求める不等式を得る。■
-----------------

(2)については上記解法を思いついたのですが、(3)については(1)(2)を誘導として活用した解法が思いつきません。(3)について、大学入試範囲で違和感の無い解法をご教授していただけないでしょうか。

長々と失礼しました。お手数をおかけしますが、よろしくお願いいたします。

No.16919 - 2012/02/12(Sun) 23:18:26

☆ Re: / angel

(2)については、苦学生さんの解答で問題ないように思います。
こちらの方が分かりやすくて良いのではないでしょうか。

(3)については、書き方の問題はあるにしても、本質的に赤本にある話以上のことはできないと思います。
なぜなら、x→-∞の極限を持ち出さざるを得ないからです。

どういうことかというと、例えば f'(x)＞f''(x) を満たす f'(x) が見つかったとしましょう。これを g(x) とします。
また、G'(x)=g(x) というG(x)も用意したとします。

そうすると、f(x)=∫g(t)dt=G(x)+C と表せることが分かりますが、問題の条件 f(x)＞0 を満たすCも考えるのが厄介なのです。
つまり、まず lim[x→-∞]G(x)=-∞だと f(x)＞0 を常には満たさず不適、lim[x→-∞]G(x) が収束したとしても、C＜-lim[x→-∞]G(x) だとやっぱり不適。

ということで、x→-∞の話にはどうしても触れざるを得なくて、あまり他の良い方法が見つからないのです。
なお、f'(x)＞0 を考える時には、似たような話で x→+∞ のことを持ち出すことになります。

No.16933 - 2012/02/13(Mon) 23:47:05

☆ Re: / akashiya

(2)
曲線；x=e^t , y=f(t)　と　すると　　dy/dx=f'(t)/e^t
[傾き]=f(b)-f(a)/(e^b-e^a)　の接線が引けて
f(b)-f(a)/(e^b-e^a)=f'(ξ)/e^ξ
又は、
f(b)-f(a)/(e^b-e^a)＝f(logB)-f(logA)/(B-A)　に　平均値

(3)
f'(a)/e^a＞-f(a)/(e^b-e^a)
両辺に　lim[b→∞]　を付けると
f'(a)≧0
f'(a)=0　とすると、仮定より　　f''(a)＜f'(a)=0
一方、f'(x)≧f'(a)　だからf'の極値になって、　　f''(a)=0

No.16940 - 2012/02/14(Tue) 15:10:21

☆ Re: / 苦学生

angelさん、akashiyaさん、ありがとうございました。
問題の性質上、(3)は極限操作が必要なことが分かりました。

ありがとうございました。

No.16949 - 2012/02/15(Wed) 19:56:02

★ 高２ / 山口

問題
　正四面体OABCにおいて、辺OAを1:2に内分する点をD、辺OCの中点をE、辺BCを3:1に内分する点をFとし、辺AB上に点Gをとると、線分DF、EGは点Hで交わる。vec{OA}=vec{a}、vec{OB}={b}、vec{OC}=vec{c}とおくとき、次の問いに答えなさい。

(1) vec{ED}、vec{EF}をそれぞれvec{a}、vec{b}、vec{c}で表せ。
(2) AG:GEを求めよ。
(3) 直線OHと平面ABCの交点をIとし、四面体OIAB、OIBC、OICAの体積をそれぞれV1、V2、V3とおくとき、V1:V2:V3を求めよ。

(1)は
vec{ED}=1/3vec{a}-1/2vec{c}
vec{EF}=1/4vec{b}+1/4vec{c}

(2)からわかりません＾＾；

No.16910 - 2012/02/12(Sun) 01:04:05

☆ Re: 高２ / ヨッシー

基本事項
　直線ＡＢ上の任意の点をＧとすると
　　ＯＧ＝sａ＋tｂ　(s+t=1)
　　　または
　　ＯＧ＝(i-t)ａ＋tｂ
　△ＡＢＣと同一平面上の任意の点をＫとすると
　　ＯＫ＝sａ＋tｂ＋uｃ　(s+t+u=1)
　と書けます。

(2) はＡＧ：ＧＢ　ですよね？
(2)解法１
　ＡＧ：ＧＢ＝ｓ：（１－ｓ）
　ＤＨ：ＨＦ＝ｔ：（１－ｔ）
　ＥＨ：ＨＧ＝ｕ：（１－ｕ）
とします。これらより、
　ＯＧ＝(1-s)ａ＋sｂ　・・・(1)
　ＯＨ＝(1-t)ＯＤ＋tＯＦ　・・・(2)
　ＯＨ＝(1-u)ＯＥ＋uＯＧ　・・・(3)
(3) に (1) を代入して、ａ、ｂ、ｃのみの式にすると、
　ＯＨ＝(1-t)ａ/3＋tｂ/4＋3tｃ/4
　ＯＨ＝(1-s)uａ＋suｂ＋(1-u)ｃ/2
となります。ａ、ｂ、ｃは互いに独立なので、係数比較して、
　(1-t)/3＝(1-s)u
　t/4＝su
　3t/4＝(1-u)/2
これらを解いて、
　s=2/5, t=8/17, u=5/17
となり、ＡＧ：ＧＢ＝２：３　となります。

(2)解法２
３点Ｄ，Ｅ，Ｆを通る平面上の点をＫとすると、
　ＯＫ＝sＯＤ＋tＯＥ＋uＯＦ　(s+t+u=1)
と書けるので、
　ＯＫ＝sａ/3＋tｃ/2＋u(ｂ＋3ｃ)/4
　　＝sａ/3＋uｂ/4＋(t/2＋3u/4)ｃ
これが、ＡＢ上にあるためには、
　s/3＋u/4＝１
　t/2＋3u/4＝0
これと、s+t+u＝1 とを合わせて解くと、
　s=9/5, t=-12/5, u=8/5
このとき、ＫはＧと重なり
　ＯＫ＝(3/5)ａ＋(2/5)ｂ
であるので、ＡＧ：ＧＢ＝２：３

(3)
高さは一定なので、Ｖ１：Ｖ２：Ｖ３＝△IAB：△IBC：△ICA となります。
△ＯＧＣを考えると、点Ｅ，Ｈもこの三角形上にあるので、点Ｉもこの三角形上にあります。
つまり、点Ｉは、線分ＧＣ上にあります。
同様に、点Ｉは線分ＡＦ上にあり、△ＡＢＣ上の点Ｉの位置は図のようになります。
図より、
　△ＩＡＣ：△ＩＢＣ＝ＡＧ：ＧＢ＝２：３
　△ＩＡＣ：△ＩＡＢ＝ＣＦ：ＦＢ＝１：２＝２：４
よって、
　Ｖ１：Ｖ２：Ｖ３＝△IAB：△IBC：△ICA＝４：３：２

No.16913 - 2012/02/12(Sun) 10:09:56

★ 高2　関数の連続性 / れいひゃー

f(x)＝lim[x→∞](x^(2n＋2)＋ax^(2n+1)＋bn)/(x^2n＋1)　が全てのxについて連続であるように定数a,bの値を求めよ

という問題の類題で、
ｱ、lxl＜1　のとき
ｲ、lxl＞1　のとき
ｳ、x＝1　のとき
ｴ、x＝－1　のとき
と四つに場合分けしろと参考書の方には書いているのですが、

>ｲ、lxl＞1　のとき

の、絶対値はどうしてついているのですか?
教えて下さいお願いします

No.16904 - 2012/02/11(Sat) 16:20:23

☆ Re: 高2　関数の連続性 / シャロン

「x＞1」では、他のアウエとあわせても実数全体を網羅できていない(x＜-1の部分がカバーできない)ことになるから。

No.16905 - 2012/02/11(Sat) 20:14:29

☆ Re: 高2　関数の連続性 / れいひゃー

なるほど！

でも、1個思ったので質問させていただきます；

数列{r^n}のとき、
r＞1のとき　lim[n→∞]r^n＝∞
r≦－1のとき　lim[n→∞]r^nは振動(極限なし)

とありますよね？
lxl＞1　のときって、x＞1、x＜－1　であるのに、
lim[n→∞]x^n＝∞
って参考書はなっているのは何なんでしょう？

わかりにくくてすみません；

No.16906 - 2012/02/11(Sat) 23:26:43

☆ Re: 高2　関数の連続性 / シャロン

|x|＞1で
> lim[n→∞]x^n＝∞
は誤りです。

参考書の記述は
lim[n→∞]x^(2n)＝∞
あるいは同じですが
lim[n→∞](x^2)^n＝∞
ではないですか？

No.16912 - 2012/02/12(Sun) 07:45:13

☆ Re: 高2　関数の連続性 / れいひゃー

一週間も遅れてすみません；

参考書は
lim[n→∞]x^(2n)＝∞
と書いてありました
見間違えでしたすみません；

|x|＞1で
> lim[n→∞]x^n＝∞
と
>lim[n→∞]x^(2n)＝∞
はちがうのですか？
n乗が2n乗になっても大差ないと思うのですが…

No.16971 - 2012/02/19(Sun) 14:21:07

☆ Re: 高2　関数の連続性 / ヨッシー

|x|＞１　ということは、-2 も、これに当てはまりますね。
では、－２を
２乗します。
３乗します。
４乗します。
　・・・・
で、(プラスの)∞に飛びますか？

－２を
２乗します。
４乗します。
６乗します。
こちらは∞に飛びますね。

No.16974 - 2012/02/19(Sun) 17:10:00

☆ Re: 高2　関数の連続性 / れいひゃー

なるほど!
lim[n→∞]x^n＝∞
では確かに∞に飛びませんね…

ありがとうございます!
融けました^^

No.17023 - 2012/02/21(Tue) 19:13:59

★ n=1 / 背中の傷

数列{a(n)}がa1=2,a(n+1)=(a(n)+2)/(a(n)+1)(n=１,2・・）
で定められる時a(n)>1を示せ
解答を作ったので間違いが無いか見てもらえたら幸いです
ｎの範囲が少し不安です。

（証明）
a1=2,a(n+1)=(a(n)+2)/(a(n)+1)より
帰納的にa(n)>0・・?@
a(n+1)-1=(a(n)+2)/(a(n)+1)-1（n=1,2,・・）
=1/(a(n)+1)(n=1,2,・・）＞０（?@より）

∴a(n+1)>1(n=1,2・・）
これはa2>1,a3>1,a4>1,・・a(n)>1,a(n+1)>1
を意味する

さらにa1=2>1より
a(n)>1(n=1,2・・）（証明終）

数学的帰納法による解法は手元にあるので紹介なさらずとも結構です。

よろしくお願いします。

No.16899 - 2012/02/11(Sat) 05:21:55

☆ Re: n=1 / angel

特に間違いはないです。
ただ、
> 帰納的にa(n)＞0・・?@
はちょっと避けた方が良いかなあ、と思います。説明が不十分と見られる可能性はあります。

> 数学的帰納法による解法は手元にあるので紹介なさらずとも結構です。
多分、手元にあるのは、
　a(1)＞1, a(k)＞1⇒a(k+1)＞1
を示す帰納法だと思うのですが、背中の傷さんの解答も立派に帰納法ですよ。「帰納的に a(n)＞0」と書いているではないですか。

ただ、最初に書いたとおり、説明が不十分と取られる可能性もあるので、ちゃんと帰納法の形を取った方が良いです。
なにも、(i)n=1の時、(ii)n=kが成立した場合にn=k+1の時…なんて堅苦しく書かなくても良くて、

　数学的帰納法により a(n)＞0 である。
　実際、問題の前提により a(1)=2＞0、また a(k)＞0 であれば、明らかに a(k+1)=(a(k)+2)/(a(k)+1)＞0 が成立するからである。

とサラリと書く位でも十分なので。
※ちゃんと、n=1の時成立と n=kの時成立⇒n=k+1の時も成立の2箇所を押さえているので。

No.16900 - 2012/02/11(Sat) 12:49:15

★ 方程式 / 蛹

放物線ｙ＝ｘ＾２上に点Pをとる。点Pを通るC：y=x^2の法線が丁度二本存在するような点Pの座標を全て求めよ。

ベクトルOA＝(t,t^2-1)より
Aにおける接線ベクトルはd/dtベクトルOA＝(1,2t)
よって法線ｌ：1・(x-t)+2t(y-(t^2-1)}=0
ｘ+2ty+t-2t^3=0

lがP(u,u^2)を通る時
u+2tu+t-2t^3=0・・?@
を満たす実数tが丁度二つ存在すればよい
?@⇔2t^3-(2u^2+1)t-u=0
⇔(t+u)(2t^2-2ut-1)=0

2t^2-2ut-1=ｇ（ｔ）の判別式/4=u^2+2>0より
g(t)=0は異なる二つの実数解を持ち、重解ということはない。
１）t+u=0かつ2t^2-2ut-1=0のとき
ｔ=-uを代入して2u^2+2u^2-1=0⇔u=±1/2

2)t+u＝０かつ2t^2-2ut-1≠０のとき
?@をみたすtはｔ＝－uの1つしかないので不適

３）t+u≠０かつ2t^2-2ut-1=０のとき
2t^2-2ut-1=ｇ（ｔ）の判別式/4=u^2+2>0より
確かに?@は相異2実解をもち、題意を満たす
このときu= ?

ここまで自分流に解答を作りましたが、この先が分からないのでどなたか分かる方教えてください。
よろしくお願いします

No.16897 - 2012/02/11(Sat) 02:33:05

☆ Re: 方程式 / angel

> この先が分からないので

先はないですよ。
u=±1/2 が出た時点でほぼ終わり。後は答えとして P(±1/2,1/4) を書くだけです。
※ちなみに C の方程式は y=x^2-1 で良いでしょうか。

ただし、解き方の理解には問題なさそうですが、解答の書き方は突っ込み所が多いです。それは見直した方が良いでしょう。

No.16908 - 2012/02/12(Sun) 00:19:09

☆ Re: 方程式 / 蛹

解答の書き方も変なところがあれば訂正してくれたら嬉しいです。

うーん、
１）t+u=0かつ2t^2-2ut-1=0のときu=±1/2
2)t+u＝０かつ2t^2-2ut-1≠０のとき
不適なのでuの値はなし
ここまではいいですが、

３）t+u≠０かつ2t^2-2ut-1=０のとき
uの値が出ないのですが..どうすればよいのでしょうか？
異なる二つのｔをもつのだからこのときのPの座標を求めないといけないと思うのですが。

よろしくお願いします

No.16909 - 2012/02/12(Sun) 01:03:44

☆ Re: 方程式 / angel

結局のところ、
　(t+u)(2t^2-2ut-1)=0　…(※)
を満たす t の個数が問題になっていて、丁度2個である時の u が答えになるわけです。

一方、2t^2-2ut-1=0 を満たす t の個数は既に2個と分かっています。
この解(tの値)をα,βとしましょうか。(α≠β)
ということは、t=-u という(※)の解はα,βのどちらかに一致するわけです。一致しなければ、(※)を満たすのは、t=α,β,-u の3個となってこれは不適切なので。

ということで、蛹さんが書いた 1) のケースだけで終わりです。( 書き方はともかくとして )

No.16915 - 2012/02/12(Sun) 16:45:33

☆ Re: 方程式 / angel

> 解答の書き方も変なところがあれば訂正してくれたら嬉しいです。

まず全般的に、未知の文字や関数等を出す時は、必ず説明を入れること。例えば、いきなり「ベクトルOA」と言われても、何のことか分かりません。

具体的な書き方としては、
> ベクトルOA＝(t,t^2-1)より
→ C上の点Aに対し、ベクトルOA=(t,t^2-1) と置くと、
　※もしくは、「置くと」ではなく「置ける」で一旦文を切るとか

> 2t^2-2ut-1=ｇ（ｔ）の判別式/4=u^2+2>0より
→ g(t)=2t^2-2ut-1 と置くと、方程式 g(t)=0 の判別式 D/4=…
　※判別式は方程式に対するものなので、「g(t)の判別式」ではなく「g(t)=0の判別式」が正しい

続いて、d(ベクトルOA)/dt という表現ですが、高校範囲では「ベクトルの微分」は習わないはずです。なのでN.G.
※あくまで接線の方向ベクトルが (dx/dt,dy/dt) になると習っているだけで、それが d(x,y)/dt というベクトルの微分だとは習っていないはず
結果としては正しいのですが、ベクトルの微分を扱えるのは大学の「ベクトル解析」以降の話なので…。

それから、これはまあ、しっかり書ける人の方が少ないのですが、
「…であればよい」はダメです。解説程度なら良いですけど、解答に使って良い表現ではありません。
> lがP(u,u^2)を通る時
> u+2tu+t-2t^3=0・・?@
> を満たす実数tが丁度二つ存在すればよい
→
　lがP(u,u^2)を通るとき、tは u+2tu+t-2t^3=0…?@を満たす
　よって、題意を満たす ( Pを通るlが丁度2本存在する ) ためには、
　?@を満たす実数 t が丁度2つ存在することが必要十分
　( もしくは、「?@が丁度2つの実数解を持つことが必要十分」)
　※これは、tの条件を示す方程式と、その方程式の解の個数という2個の事柄を説明しているので、1文で無理やりつなげずに、2文に分ける方が良い。

最後に、1) から場合わけしている所は、上で説明した通りに場合わけする必要はないため、

　方程式g(t)=0は、t=-uを解に持つ ( ことが必要十分 )。
　g(-u)=0 を解いて u=±1/2
　求める P(u,u^2) は、(±1/2,1/4)

位で終わりです。
※g(-u)=0 の計算は、もう少し詳しく書いても良いけど。

No.16916 - 2012/02/12(Sun) 17:08:28

☆ Re: 方程式 / 蛹

回答有難うございます

確かにt+u=０のときは2t^2-2ut-1=0の2解のどちらか一方がｔでなければいけません

しかし
t+u≠０の時も2t^2-2ut-1=０が判別式＞０より常に二つ実数解ｔをもち、?@を満たす実数 t が丁度2つ存在する、という条件を満たしているので

この場合も考えなければいけないと思うのです。

No.16920 - 2012/02/13(Mon) 02:41:16

☆ Re: 方程式 / angel

ん? ちょっとまった。
t+u=0 の時、とか、t+u≠0 の時、というのはおかしい。

今までの話でしているのは、
(t+u)(2t^2-2ut-1)=0 の解の一つである t=-u に関して、-u がどのような条件を満たす数であるべきか、です。
でもって、t=-u は必ず解になりますから、この -u の条件を考えないわけにはいきません。

そうしたら、自動的に u の条件は決まってしまいます。
t=-u 以外の解の条件を考える意味はありません。

もういちど念のため。
> t+u≠０の時も2t^2-2ut-1=０が判別式＞０より常に二つ実数解ｔをもち、?@を満たす実数 t が丁度2つ存在する、という条件を満たしているので
t=-u は常に (t+u)(2t^2-2ut-1)=0 の解です。なので、t=-u を解として持たない場合は考える意味はありません。

No.16935 - 2012/02/14(Tue) 00:04:57

☆ Re: 方程式 / 蛹

確かに(x-2)(x-3)(x-4)=0
などのときグラフを書けばｘ＝２，３，４で交わっているからｘ＝２，３，４が解であり、x-2≠０のときｘ－２＝０のとき、など場合わけはしませんね・・。

しかし突き詰めてみると

(x-2)(x-3)(x-4)=0
⇔x-2=0またはx-3=0またはx-4=0・・?@

ですから?@だけをみるとｘ－２≠０のときもあるように見えますし、x≠３のときもあるように見えちゃうのです。
実際「または」ですから・・。

No.16936 - 2012/02/14(Tue) 00:45:01

☆ Re: 方程式 / angel

> ですから?@だけをみるとｘ－２≠０のときもあるように見えますし、x≠３のときもあるように見えちゃうのです。

確かに t (or x) の値は複数通りあります。
でも、今問題となっているのはなんでしょう。
「それが何通りあるか」です。x=2 の解も x≠2 ( x=3とか ) の解は「同時に」存在しているもので、それを場合わけするのは意味がありませんし、何通りあるかを数える方向に話を進めないと解けないですよ。

何より、途中から t の話ではなくなっていることに気付いていますか?
面倒くさいから普通はやりませんが、こういう解き方でも同じなのですよ。

　(t+u)(2t^2-2ut-1)=0 を解いて t=-u,(u±√(u^2+2))/2
　この方程式の実数解の個数が丁度2個であることから、
　また (u+√(u^2+2))/2≠(u-√(u^2+2))/2 であることから、
　-u=(u+√(u^2+2))/2 または -u=(u-√(u^2+2))/2
　この条件を満たす u は、( …計算の結果… ) より u=±1/2

つまり、問題の焦点は t そのものではなくて、t の解たる値たちに移ってしまっているのです。
そういう意味でも、t=… という場合わけは役に立っていません。
※元の問題で 2t^2-2u-1=0 の形を残しているのは、単に (u±√(u^2+2))/2 という形を持ち出すのが面倒だからです。

No.16937 - 2012/02/14(Tue) 01:25:56

☆ Re: 方程式 / 蛹

x=2 の解も x≠2 ( x=3とか ) の解‘も’「同時に」存在している

ということですよね？（細かいようですがこの部分こそが一番のネックの気がするので確認させてください）

よろしくお願いします

No.16944 - 2012/02/15(Wed) 00:20:21

☆ Re: 方程式 / angel

> x=2 の解も x≠2 ( x=3とか ) の解‘も’「同時に」存在しているということですよね？

そうですね。

No.16952 - 2012/02/15(Wed) 23:01:29

☆ Re: 方程式 / 蛹

回答有難うございます

「または」なのに意味合い的には「かつ」というなんとも不思議な感触ですね

No.16954 - 2012/02/16(Thu) 00:36:17

★ (No Subject) / 夕凪

ヨッシーさん、こんばんは(o^-^o)

いつも丁寧に解説ありがとうございます。

またちょっと解らないので、教えて下さい。

よろしくお願い致します。

?@２０÷２＝１０

?A６－２＝４

?Bがちょっと解りません(>.<)。Bを開いて水を出した時間は４分で、１０ℓの水が出るから、１分では、２．５ℓの水が出るのじゃないんでしょうか？

No.16890 - 2012/02/09(Thu) 21:53:53

☆ Re: / ヨッシー

２分から６分の間、Ａを止めていたとしたら、
　１０÷４＝２．５
で良いです。
Ａから毎分１０Ｌの水を入れているのに、水が減っていると言うことは、
Ｂはかなりの量を排水しているはずですね。

No.16891 - 2012/02/09(Thu) 22:05:50

☆ Re: 水の量のグラフの問題です。 / 夕凪

ヨッシーさん、こんばんは(o^-^o)

いつも解説ありがとうございます(*^.^*)。

もうちょっと解らないので、教えて下さい。

Aを開きながらBも開いてるから、２．５ℓ以上の水がBから出る事は解りました。では、どれだけの水の量がBから出るのでしょうか？４分間、Aが入るのと同じ量だけ出て行くのですか？

馬鹿な質問ばかりで、ほんとにすいません(。-人-。) 。

よろしくお願い致します。

No.16928 - 2012/02/13(Mon) 21:45:13

☆ Re: / ヨッシー

「Ｂからは、１分間に」と書いていますので、
２分から６分の間の、ある１分を考えましょう。
たとえば、２分から３分を考えます。
２分の時、水は２０Ｌです。
そこから１分間にＡからは１０Ｌ入ります。
合わせて、３０Ｌになっているはずです。
ところが実際は、１７．５Ｌです。
Ｂから出たのは、３０－１７．５＝１２．５（Ｌ）となります。

これは、何のことはない、１０＋２．５です。
Ａから入ってきた１０Ｌを排出して、さらに２．５Ｌ減らす、
ということです。

No.16929 - 2012/02/13(Mon) 22:14:25

☆ Re: 水道のグラフの問題 / 夕凪

ヨッシーさん、こんばんは。

いつも丁寧な解説どうもありがとうございます(o^-^o) 。

でもまだちょっと解らないので、質問させて下さい。

合わせて３０ℓになってるのは、３分の時でしょうか？

ところが実際は、１７．５ℓというのは、グラフから読み取るのでしょうか？どうやって計算して、１７．５ℓになるのでしょうか？

ほんとになかなか理解しなくて、すいません(。-人-。)

またご回答よろしくお願い致します。

No.16950 - 2012/02/15(Wed) 22:06:51

☆ Re: / ヨッシー

Ｂから排水しなくて、Ａからのみ注水するとすると、
３分の時に２０＋１０＝３０（Ｌ）になっていると言うことです。

１７．５はグラフから読むというか、２分から６分までの４分間に
１０Ｌ減っているので、１分で２．５Ｌ減って
　２０－２．５＝１７．５
です。

No.16951 - 2012/02/15(Wed) 22:32:31

☆ Re: 水道のグラフの問題 / 夕凪

ヨッシーさん、こんばんは(o^-^o) 。

なんとか解りました。解説どうもありがとうございました(*^.^*)。

No.16963 - 2012/02/18(Sat) 20:43:09

★ (No Subject) / 天才小６ルーク

正の数の数列、[abc]があります。最小公倍数が636の時

No.16879 - 2012/02/09(Thu) 18:00:07

☆ Re: / 天才小６ルーク

正の数の数列、[abc]があります。最小公倍数が636の時[abc]は何通り考えられますか。ただし、[abc]と[bac]は区別して考えます。

No.16880 - 2012/02/09(Thu) 18:04:45

☆ Re: / 天才小６ルーク

すみません。まちがえて２回送ってしまいました。

No.16881 - 2012/02/09(Thu) 18:06:54

☆ Re: / ヨッシー

636=2×2×3×53 です。

a,b,c 3つの箱があって、次のルールで、数字を入れていきます。
（入れた数字は全部掛け合わされます。何も入っていな箱は１です）
ルール
●２はどの箱にも２個まで入れられ、どれか１個以上の箱には２個入っている。
●３はどの箱にも１個まで入れられ、どれか１個以上の箱には１個入っている。
●53はどの箱にも１個まで入れられ、どれか１個以上の箱には１個入っている。

２の入れ方を、例えば、ａに２個、ｂに１個、ｃに０個入っている
状態を(2,1,0) で表すとすると、
(2,0,0)(0,2,0)(0,0,2)(2,1,1)(1,2,1)(1,1,2)
(2,1,0)(2,0,1)(1,0,2)(1,2,0)(0,1,2)(0,2,1)
(2,2,0)(2,0,2)(0,2,2)(2,2,1)(2,1,2)(1,2,2)
(2,2,2)
２の入れ方は19通り

これを計算でやると、
a,b,c に入る２の個数は、０，１，２の３通りなので、
３×３×３＝２７
この中には、２個入っている箱がひとつもない場合も含まれていますが、
そのような入れ方は、
a,b,c に入る２の個数は、０，１の２通りなので、
２×２×２＝８
で求められ、これを引いて、
　２７－８＝１９
です。

そう考えると、３の入れ方は、
　２×２×２－１×１×１＝７
５３の入れ方も同じ７通りです。

以上より、数字の入れ方（ａ，ｂ，ｃの数のパターンは）
　１９×７×７＝９３１（通り）
となります。

No.16882 - 2012/02/09(Thu) 18:34:45

★ 変わった求め方 / 昆虫

y=x^2-1上の点A(t,t^2-1)における法線の方程式を求めよ
ベクトルをつかって解いてみますと
ｆ’（ｘ）＝２ｘより
Aにおける接線ベクトルは（ｔ、２ｔ）より
(t,2t)・(x-t,y-(t^2-1))=0(ベクトルの内積＝０⇔垂直）
t(x-t)+2t{y-(t^2-1)}=0
tx+2ty-2t^3-t^2-2t=0
となるのですがなぜか合いません
ドコがダメなのでしょうか？

No.16863 - 2012/02/08(Wed) 01:19:40

☆ Re: 変わった求め方 / angel

> ドコがダメなのでしょうか？

　× Aにおける接線ベクトルは（ｔ、２ｔ）より
　○ Aにおける接線ベクトルは（1、２ｔ）より

ここですね。

No.16864 - 2012/02/08(Wed) 01:39:47

☆ Re: 変わった求め方 / 昆虫

あ、なるほど、全然気づきませんでした。ありがとうございます。

ところで後になって接線ベクトルｖ＝（d/dt)(ベクトルOA)という公式を見つけたのですが、（確かに本問も（ｔ、２ｔ）をｔで微分して（１，２ｔ）になる）この公式はどのようにして導かれるものなのでしょうか？
別の質問ですが
よろしくお願いします

No.16872 - 2012/02/08(Wed) 22:51:20

☆ Re: 変わった求め方 / ヨッシー

媒介変数表示で表された関数の導関数
というのがあり、
　dy/dx＝(dy/dt)/(dx/dt)
という公式があります。
接線ベクトルは、(1, dy/dx) なので．．．

No.16876 - 2012/02/09(Thu) 11:43:28

☆ Re: 変わった求め方 / 昆虫

回答有難うございます。それは分かってます...

ベクトルOA＝(t^2,3t)として
接線ベクトル
ｖ＝（d/dt)(ベクトルOA)＝((d/dt)(t^2),(d/dt)(3t))となる理由を教えてください

よろしくお願いします

No.16886 - 2012/02/09(Thu) 21:08:39

☆ Re: 変わった求め方 / angel

ベクトルかそうでないかにかかわらず、微分の基本的な性質として、
　Δy≒Δx・dy/dx (Δx,Δyはx,yの微小変化)
というのがあります。
例えば y=x^2 の場合、dy/dx=2x ですから、x=1 の近辺では
(yの変化量)≒(xの変化量)×2 となるわけです。
x=1.001 だと y=1.002001 ですから、Δx=0.001 に対して Δy=0.002001、やはりほぼ2倍ですね。

さて、ではベクトルの場合。
t=a の時の A の位置を Aa としましょうか。
t=a を基準に考えた場合、
　Δ→OA = →OA - →OAa = →AaA
一方、微分の性質として
　Δ→OA ≒ Δt・d/dt(→OA)
この2つを組み合わせて、→AaA≒Δt・d/dt(→OA) ということで、Aa近辺のAの軌跡は d/dt(→OA) を方向ベクトルとした直線に近似できるわけです。なので、接線ベクトルとして、この方向ベクトル d/dt(→OA) が使えます。
ちなみに、方向ベクトルは別に大きさに決まりはないため、
d/dt(→OA) をそのまま使えば (dx/dt,dy/dt) になりますし、大きさを 1/(dx/dt) 倍すれば (1,dy/dx) になります。

なお、以上の話では≒を使ってますが、あくまでイメージを説明するためなので、厳密な表現ではありません。解答などで≒は使わないように注意してください。

No.16894 - 2012/02/09(Thu) 23:33:18

☆ Re: 変わった求め方 / 昆虫

理解力が無くてあまり良くわかりませんでしたが、ある文字を含む状態で表された接点の座標をその文字で微分したらその点における接線ベクトルが求まると言う風に覚えておこうと思います。
ありがとうございました。

No.16898 - 2012/02/11(Sat) 02:36:54