f(x+1)-f(x)=x(x+1) f(0)=0を満たす整式f(x)を求めよ。
解答(ii)
f(x＋1)-f(x)=x(x＋1)でx=nとすると、f(n＋1)-f(n)=n(n＋1) (n=0.1.2,・・・)
よってn≧2のときf(0)=0だから
f(n)=f(0)＋[n-1]Σ[k=0]k(k＋1)=(n-1)n(n＋1)/3・・・?B
ここで、g(x)=f(x)-{(x^3-x)/3}とおくと、f(x)は整式だからg(x)も整式
よって、g(x)の次数をNとすると、?Bより
g(1)=g(2)=・・・=g(Ｎ)=g(N＋1)=0
すなわち、N次式g(x)がN＋１個の相異なるxの値でg(x)=0だから
g(x)=0⇔f(x)=(x^3-x)/3
疑問点?@
【n≧2のときf(0)=0だから
f(n)=f(0)＋[n-1]Σ[k=0]k(k＋1)=(n-1)n(n＋1)/3・・・?B】
の部分がよくわかりません。
式が階差数列のようになっていますが
[n-1]Σ[k=0] とk=0からn-1までの和になっています。
階差数列の公式ではk=1からn-1までとなっているのでたぶん違うと思います。
どういうことなのか教えてください。お願いします。
疑問点?A
g(x)=0⇔f(x)=(x^3-x)/3
というのは
g(x)=f(x)-{(x^3-x)/3}において
P(x)=f(x) Q(x)=(x^3-x)/3と置き換えると
g(x)=Ｐ(x)-Q(x)
g(x)=0のとき
Ｐ(x)-Q(x)=0
たとえば今、xの値にa,b.c.dという相異なる4つの値があるとします。
するとＰ(a)-Q(a)=0
Ｐ(b)-Q(b)=0
Ｐ(c)-Q(c)=0
Ｐ(d)-Q(d)=0
がそれぞれ成り立つので
この条件と因数定理を使ってＰ(x)-Q(x)=0
が成り立つかどうかをやってみると実際示すことができました。
ということはxにどんな値を入れても
Ｐ(x)-Q(x)=0
が成り立つ。つまりＰ(x)とＱ(x)は恒等的に等しいことがわかりました。
ここで【g(x)=0⇔f(x)=(x^3-x)/3】の部分を見てみると
xにどの値を入れても0になるならばf(x)=(x^3-x)/3が成り立つ という風に言い換えられると思うんですが
なんだかよくわかりません。
誰か分かる方教えてください。お願いします。
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No.16494 - 2012/01/07(Sat) 23:34:56
| ☆ Re: 文系 数学 / angel | | | ?@
> 階差数列の公式ではk=1からn-1までとなっているのでたぶん違うと思います。
いいえ。紛れもなくこれは階差数列です。
とはいえ、公式を鵜呑みにするなかれ。
よく見かける形は、数列a[n]に対する階差数列d[n]=a[n+1]-a[n]に関して
a[n]=a[1]+Σ[k=1,n-1]d[k] ( n≧2 )
でしょうが、今回は 0 から始まっています。つまり、
f(n)=f(0)+Σ[k=0,n-1] k(k+1) ( n≧1 )
別の書きかたをすると、
f(n)=f(0)+(f(1)-f(0))+(f(2)-f(1))+…+(f(n)-f(n-1))
=f(0)+0(0+1)+1(1+1)+…+(n-1)((n-1)+1)
ということ。
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No.16496 - 2012/01/08(Sun) 01:10:43 |
| ☆ Re: 文系 数学 / angel | | | ?A
恒等式は因数定理と関係はない…ことはないですが、ちょっとポイントが違います。
例えば、ですが、2次以下の式 p(x) と q(x)=x+1 があったとして p(1)=q(1) だったとします。この時整式として p(x)=q(x) ( つまり恒等式 ) かというと、そうとは言い切れません。p(x)=x^2+1 とかでも p(1)=q(1) は成立しますから。
では、p(1)=q(1) かつ p(3)=q(3) と条件が2個に増えればどうでしょうか。
それでも、p(x)=x^2-3x+4 とかで p(1)=q(1), p(3)=q(3) は成立します。なので恒等式ではありません。
ところが、p(1)=q(1) かつ p(3)=q(3) かつ p(6)=q(6) と条件が3個になると、今度は恒等式になります。
なぜなら、恒等式でないとすれば、p(x)-q(x)=0 という2次以下の方程式が x=1,3,6 という3個の解を持つことになってしまい、おかしいからです。
※2次方程式の持つ解の個数は高々2個
ということで、3箇所での値が分かればめでたく2次(以下の)式 p(x)=q(x) と特定できる、というのが恒等式の使い方。
一般にN次式であれば N+1 箇所が必要です。
で、今回の問題に戻りますが、何箇所特定すれば良いかというと、4箇所ではないのです。片一方は (x^3-x)/3 と3次式ですが、f(x) が何次式か分からないからです。
※たとえ4箇所特定しても、f(x) が4次以上の整式だったらどうするんだ、とツッコミを喰らう。
でも心配はいりません。なぜなら、f(x)=(x^3-x)/3 となる x の値は無限にあるからです。( x=0,1,2,… と全ての非負整数がそう )
とは言え、「無限にあるから」では説明にならないので、「f(x)がN次式だとしても、N+1箇所以上で一致するよ ( だから恒等式だよ )」と先に次数を抑えてしまうのです。
ちなみに、
・N次以下の p(x),q(x) に対し、N+1個のxで p(x)=q(x) であれば、p(x)=q(x)は恒等式
・N次以下の p(x),q(x) と r(x)=p(x)-q(x) に対し、N+1個のxで r(x)=0 であれば r(x)=0 は恒等式、つまり p(x)=q(x) も恒等式
この2つは全く同じことを言っています。
この問題の解答例では後者の方で説明していますね。
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No.16497 - 2012/01/08(Sun) 01:39:12 |
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