A=(a b)
(c d)
とする。2以上のある自然数ｎに対してA^(n-1)
≠０,A^n=0が成り立つとする。
（１）ad-bc=0であることを示せ
（２）a+d=0である事を示せ
（３）A^2=0である事を示せ
問題は（２）です。
解答を写しますと
A^2=(a+d)A・・?@
これにAをかけてA^2
に再び?@を用いるとA^3=(a＋ｄ)A^2
これを繰り返し、『一般にA^k=(a+d)^(k-1)A(k≧２）・・?A
が成り立つ。A^n=0より(a+d)^(n-1)A=0』
a+d=0またはA=0
もしA=0ならばn-1≧１のときA^(n-1)＝０になりA^(n-1)≠に反する。よってA≠０よってa+d=0
ですが『』の部分が分かりません。このA^n＝０というのは（2以上の）とあるｎでしか成り立たないので、『 』以降の議論はとあるｎのときの場合のみしか考えていない事になります。問題文のa+d=0を示せというのはどんなｎのときでもa+d=0となるのを示せ、といっているのですから、A^(n-1)
≠０,A^n=0が成り立たないようなｎのときを考えていないのと思うのです。
どなたか疑問を解消させてください。連投ですがよろしくお願いします
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No.16694 - 2012/01/23(Mon) 17:40:09
| ☆ Re: 一般の場合に成り立てばとある場合でも確かに成り立つ。しかし・・ / ヨッシー  | | | 問題文のa+d=0を示せというのはどんなｎのときでもa+d=0 となるのを示せ、
といっていません。
たとえば、ある行列Ａについて、Ａ^2, Ａ^3, ・・・Ａ^100・・・
などの結果が書かれたカードがあって、どれか１枚を引いたとき、
その結果が０であったら、その結果だけで、（Ａ^2, Ａ^3 などが
いくつであるか調べるまでもなく)ａ＋ｄ＝０ が示せる、
という意味です。
(3) で結局２以上のすべての整数ｎについて、Ａ^n＝０ が
示されますが、それは別の問題です。
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No.16696 - 2012/01/23(Mon) 21:56:53 |
| ☆ Re: 一般の場合に成り立てばとある場合でも確かに成り立つ。しかし・・ / 行列初心者 | | | 回答ありがとうございます
問題文のa+d=0を示せというのはどんなｎのときでもa+d=0 となるのを示せ、
といっていません。＞しかしそれならばa+d=0となるようなｎが存在する事を示せ、と問うのではないですか？
どれか１枚を引いたとき、
その結果が０＞この０というのは行列が０という意味ですか？それともa+dが０という意味ですか?
ちょっとどういうことなのかよく分からないのでもう少し詳しくお願いします。
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No.16697 - 2012/01/23(Mon) 23:11:41 |
| ☆ Re: 一般の場合に成り立てばとある場合でも確かに成り立つ。しかし・・ / ヨッシー | | | 本当は、
Ａをいくつか（2個以上）掛けていって、どこでＡ^n＝０ になるか
分からないけれども、もし、そういうｎがあったら、そのような
Ａは必ずａ＋ｄ＝０ を満たす。
と書きたかったのですが、(3) の結果を踏まえると、
いくつか掛けていったら、ｎ個目にＡ^n＝０ になったという
ニュアンスに語弊が生じると思い、カードのたとえにしました。
表にＡ^2、Ａ^3 などと書いてあり、裏にその計算結果が書いてあるとしましょう。
適当なカードを引いて、その裏に０（０行列）が書かれていたら、
それがＡの何乗であっても、Ａはａ＋ｄ＝０を満たす行列である、という意味です。
a+d=0となるようなｎが存在する事を示せ、とも違います。
あるｎでＡ^n が成り立つならば、ａ＋ｄ＝０ が成り立つ。
です。
ｎが何であるかは、カードをめくるごとく無作為です。
そのときたまたまＡ^n が０行列だった、というのが、この話の
始まりです。
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No.16698 - 2012/01/23(Mon) 23:57:26 |
| ☆ Re: 一般の場合に成り立てばとある場合でも確かに成り立つ。しかし・・ / 行列初心者 | | | 回答ありがとうございます。
まだよく分からないので一つ一つ丁寧に見ていきます
Ａをいくつか（2個以上）掛けていって、どこでＡ^n＝０ になるか分からないけれども、もし、そういうｎがあったら、そのようなＡは必ずａ＋ｄ＝０ を満たす、ことを示せということですか？
表にＡ^2、Ａ^3 などと書いてあり、裏にその計算結果が書いてあるとして適当なカードを引いて、その裏に０（０行列）が書かれていたら、それがＡの何乗であっても、Ａはａ＋ｄ＝０を満たす行列であることを示せ、ということですか？
あるｎでＡ^n が成り立つならば、ａ＋ｄ＝０ が成り立つことを示せ、ということですか？
何を示すのかとその根拠が釈然としないのでまずははっきりさせたいです。
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No.16700 - 2012/01/24(Tue) 00:21:20 |
| ☆ Re: 一般の場合に成り立てばとある場合でも確かに成り立つ。しかし・・ / ast | | | 初めから (問題文にもヨッシーさんのご回答にも) 明確に述べられているとおり, 「行列 A が A^n=0 かつ A^(n-1)≠0 となるような自然数 n(≥2) を一つでも持つならばそのような行列 A は必ず a+d=0 を満たす行列である」ことを示すことが求められている問題です.
むしろ, それ以外の内容だと解釈できるとするほうが不可解です.
> A=((a b),(c d))とする。2以上のある自然数ｎに対してA^(n-1)≠0,A^n=0が成り立つとする。
が前提,
> a+d=0である事
が結論ですから, 前提を P, 結論を Q と書けば, この問題は「PならばQを示せ」というよく見る類いの命題であることに気がつくはずです.
なお, 「ある○○に対して××が成り立つ」と「××が成り立つ○○が存在する」や「少なくとも一つの○○は××を満たす」などは皆同じ意味です.
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No.16708 - 2012/01/24(Tue) 15:55:05 |
| ☆ Re: 一般の場合に成り立てばとある場合でも確かに成り立つ。しかし・・ / 行列初心者 | | | それ以外の内容だと解釈できるとするほうが不可解です、とありますがなぜ不可解なのか、その根拠を教えてください。
「a+d=0を示せ」には「上記のとある自然数ｎのときのAがa+d=0を示せ」とは書かれていません
「行列 A が A^n=0 かつ A^(n-1)≠0 となるような自然数 n(≥2) を一つでも持つならばそのような行列 A は必ず a+d=0 を満たす行列である」ことを示すと解釈した理由を教えてください。
よろしくお願いします。
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No.16744 - 2012/01/28(Sat) 19:49:46 |
| ☆ 日本語の問題 / angel | | | > なぜ不可解なのか、その根拠を教えてください。
日本語の解釈の問題であり、astさんの説明に特に問題は見られませんから、逆に言えば、それ以外の解釈ならば「不可解」と言っても差し支えないでしょう。根拠の有無の問題ではないのです。
とはいえ、日本語の問題でありながら、国語の授業では習わない ( なぜか数学の範囲になる ) でしょうから、慣れないと分かりにくいかも知れません。
行列初心者さんがどういう内容と認識しているのか書いて頂ければ、他の方もより詳しく指摘しやすいでしょう。
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No.16755 - 2012/01/29(Sun) 17:37:02 |
| ☆ あるnに対して… / angel | | | とりあえず、今回の問題の(2)で示すことは、
[a] ある自然数 n ( n≧2 ) に対して A^n=O ならば a+d=0 である
ですね。前提部分と(2)の問題文を単純に連結したものです。
※A^(n-1)≠O は今回あってもなくてもあまり違いはないので、省スペース化のため省略しました
でもって、n の条件は「n≧2の自然数であること」以外には示されていませんから、2以上の自然数であるかぎり、何であっても成立しなければなりません。つまり、
[b] A^2=O⇒a+d=0 かつ A^3=O⇒a+d=0 かつ A^4=O⇒a+d=0 かつ …
言い方を変えると、
[c] (A^2=O または A^3=O または A^4=O または …)⇒a+d=0
という、無限通りのパターンについて成立を示すことになるわけです。
※で、無限通りを示すことは単純にはできないので、数学的帰納法等を用いることになります。
なお、[c] にある「A^2=O または A^3 または A^4=O または…」というのがつまり「ある自然数n(n≧2)に対してA^n=O」のことなのですが、「A^n=Oとなる自然数n(n≧2)が(少なくとも一つ)存在する」等のastさんがNo.16708で挙げたような別の表現も同じ意味を持ちます。
以上のことを把握すれば、行列初心者さんのNo.16700の質問の答えは全てyesになることが分かると思いますが…？
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No.16756 - 2012/01/29(Sun) 18:14:39 |
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