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★ (No Subject) / のんちゃん
四角形ABCDにおいて,
∠BAD=∠BCD=90°,∠ABD=45°,∠CBD=60°,BD=4 である。

（1）頂点Cから対角線BDに下ろした垂線の足をEとすると,
CE=√[ア]で対角線ACの長さはAC=√[イ]+√[ウ]である。
ただし[イ]＞[ウ]とする。

（2）△ABC,△ADCの面積の比は
△ABC:△ADC=1:√[エ]である。

（3）2つの対角線AC,BDの交点をPとすると,BP,PDの長さは
BP=2(√[オ]-[カ]),PD=2([キ]-√[ク])である。

という問題なのですが
どうやって解くのでしょうか？
解説お願いします！
No.15893 - 2011/11/18(Fri) 00:18:43
☆ Re: / ヨッシー
まず、△ＡＢＤは1：1：√2 の直角二等辺三角形
△ＢＣＤは1:2:√3 の直角三角形であることを押さえておきます。
ついでに、ＡＢ＝ＡＤ＝2√2、ＢＣ＝2、ＣＤ＝2√3 も出しておきます。

(1)
△ＢＣＥは、1:2:√3 の直角三角形なので、
　ＣＥ＝ＢＣ×√3/2＝√3

△ＡＢＣにおける余弦定理により
　ＡＣ^2＝ＡＢ^2＋ＢＣ^2−２ＡＢ・ＢＣcos∠ＡＢＣ
　　＝８＋４−8√2cos(45°＋60°)
　　＝12−8√2(cos45°cos60°−sin45°sin60°)
　　＝8＋4√3＝8＋2√12
よって、
　ＡＣ＝√6＋√2

(2)
∠ＡＤＣ＝180°−∠ＡＢＣなので、
　sin∠ＡＤＣ＝sin∠ＡＢＣ
よって、
△ＡＢＣ：△ＡＤＣ＝(ＡＢ・ＢＣ)：(ＡＤ・ＤＣ)
　　＝4√2：4√6＝1：√3

(3)
ＢＰ：ＰＤ＝△ＡＢＣ：△ＡＤＣ＝1：√3　なので、
　ＢＰ＝ＢＤ/(√3＋1)＝4/(√3＋1)＝2(√3−1)
　ＰＤ＝√3ＢＰ＝2(3−√3)
No.15894 - 2011/11/18(Fri) 05:32:00
☆ Re: / のんちゃん
本当にありがとうございます！
No.15955 - 2011/11/20(Sun) 18:08:21
★ f(x)の決定 / イド
関数f(x)範囲x>-1において第２次導関数f''(x)をもち、さらに
(x+1)^2f(x)-2∫[0,x](x-t)f'(t)dt-1/2=0
を満たすとき

(1)f(0),f'(0)を求めよ
(2)f(x)を求めよ

(1)はそれぞれ1/2,-1/2ってでたんですけど合ってますか？
(2)が全然分からなくて上の条件をどう使うかも分かりません
模範解答をお願いします
No.15891 - 2011/11/17(Thu) 23:19:17
☆ Re: f(x)の決定 / X
(1)
f'(0)の値が間違っています。

問題の等式から
{(x+1)^2}f(x)-2x{f(x)-f(0)}+2∫[0,x]tf'(t)dt-1/2=0
{(x+1)^2}f(x)-2x{f(x)-f(0)}+2xf(x)-2∫[0,x]f(t)dt-1/2=0
{(x+1)^2}f(x)+2xf(0)-2∫[0,x]f(t)dt-1/2=0
両辺をxで微分すると
2(x+1)f(x)+{(x+1)^2}f'(x)+2f(0)-2f(x)=0
2xf(x)+{(x+1)^2}f'(x)+2f(0)=0 (A)
これにx=0,f(0)=1/2を代入して
f'(0)=-1
となります。

(2)
(1)の結果より(A)は
2xf(x)+{(x+1)^2}f'(x)+1=0
これをf(x)の微分方程式と見て解くわけですが
最終的にf(x)は解析関数で表すことができない積分が
混じる式になります。
(ちなみにf"(x)が存在するという条件も使いません。)
問題の等式にタイプミスはありませんか？。
No.15895 - 2011/11/18(Fri) 13:24:58
☆ Re: f(x)の決定 / イド
∫の中が間違えてました
(x+1)^2f(x)-2∫[0,x]((x-t)f'(t))dt-1/2=0
多分こうです

だから等式から
{(x+1)^2}f(x)-2x∫[0,x]f'(t)dt+2∫[0,x]tf'(t)dt-1/2=0
ってならないですか？
多分僕が間違ってると思うんですけど
No.15899 - 2011/11/18(Fri) 21:39:08
☆ Re: f(x)の決定 / X
＞＞∫の中が間違えてました
訂正前後で式の形が全く変わっていませんが…。
積分の中の
＞＞(x-t)f'(x)
は
(x-t)f(x)
のタイプミスではありませんか？。

＞＞だから等式から〜
その通りですが、更にそこから左辺の２箇所の積分の項を
∫[0,x]f'(t)dt=f(x)-f(0)
∫[0,x]tf'(t)dt=[tf(x)][0,x]-∫[0,x]f(t)dt
=xf(x)-∫[0,x]f(t)dt
と変形します。
No.15902 - 2011/11/18(Fri) 22:26:46
☆ Re: f(x)の決定 / イド
＞＞(x-t)f'(x)
は
(x-t)f(x)
のタイプミスではありませんか？

問題文は普通に
(x-t)f'(t)なんですけど
問題文が間違っていますか？
No.15903 - 2011/11/18(Fri) 22:41:49
☆ Re: f(x)の決定 / X
＞＞(x-t)f'(x)
が
(x-t)f(x)
のタイプミスであるならば、f"(x)が存在するという条件を使って
f(x)を解析関数で表す(つまり高校数学のレベルで解く)
ことができます。

もしタイプミスがないのであれば、最終的にf(x)の式の中に
∫{e^{1/(x-1)}}dx
という、解析関数で表すことのできない積分が
混じってしまいます。
No.15905 - 2011/11/18(Fri) 22:50:44
☆ Re: f(x)の決定 / イド
もし(x-t)f(x)
この形だとどうやってf(x)を出すんですか？
解答お願いします！
No.15906 - 2011/11/18(Fri) 23:03:20
☆ Re: f(x)の決定 / はにゃーん
もし出典がわかればタイプミスかどうかわかるかもしれません。
No.15916 - 2011/11/19(Sat) 01:33:00
☆ Re: f(x)の決定 / イド
出典は分からないです
問題文に書かれてるのは、初めに投稿した文しか書いていません
No.15923 - 2011/11/19(Sat) 10:46:05
☆ Re: f(x)の決定 / X
>>この形だとどうやってf(x)を出すんですか？
問題の等式は
{(x+1)^2}f(x)-2∫[0,x](x-t)f(t)dt-1/2=0 (A)
(1)
(A)にx=0を代入して
f(0)=1/2 (B)
又(A)を変形すると
{(x+1)^2}f(x)-2x∫[0,x]f(t)dt+2∫[0,x]tf(t)dt-1/2=0
両辺xで微分して
2(x+1)f(x)+{(x+1)^2}f'(x)-2∫[0,x]f(t)dt-2xf(x)+2xf(x)=0
∴2(x+1)f(x)+{(x+1)^2}f'(x)-2∫[0,x]f(t)dt=0 (A)'
(A)'にx=0,(B)を代入して
f'(0)=-1 (C)
(2)
(A)'を更にxで微分すると
∴2f(x)+2(x+1)f'(x)+2(x+1)f'(x)+{(x+1)^2}f"(x)-2f(x)=0
4(x+1)f'(x)+{(x+1)^2}f"(x)=0
4f'(x)+(x+1)f"(x)=0
これをf'(x)についての微分方程式と見て(C)の下で解くと
f'(x)=-1/(x+1)^4
これと(B)により
f(x)=-1/{3(x+1)^3}+1/6
となります。
No.15924 - 2011/11/19(Sat) 12:36:36
★ 定積分と不等式 / yamato
(1)a,bをa<bなる定数とする。関数f(x)は[a,b]で連続で,(a,b)でf''(x)<0が存在する。このとき次の不等式の証明せよ
∫[a,b]f(x)dx<∫[a,b]((f(b)-f(a))/(b-a)+(bf(a)-af(b))/(b-a))dx

(2)次の不等式を証明せよ。但し,nは正の整数とする
1+√2+√3+...+√n<1/6√n(4n+3)

正直さっぱりです。どうやって解くのかと、解答をお願いしたいです。
No.15890 - 2011/11/17(Thu) 23:01:46
☆ Re: 定積分と不等式 / はにゃーん
凸関数の性質を使って面積から不等式が得られるように思いますが、(1)の右辺の被積分関数は合っていますか？
(2)の右辺は1/(6√(n(4n+3)))ですか？
No.15896 - 2011/11/18(Fri) 19:34:30
☆ Re: 定積分と不等式 / yamato
xを忘れていました
∫[a,b]f(x)dx<∫[a,b]((f(b)-f(a))x/(b-a)+(bf(a)-af(b))/(b-a))dx

(2)は(1/6)・√n・(4n+3)です
No.15900 - 2011/11/18(Fri) 21:42:34
☆ Re: 定積分と不等式 / angel
(1)に関しては、f''(x)＞0 でないと問題として成立しないと思います。
その上で(1)は、a,b を定数として固定してしまうと行き詰ってしまうので、b だけ変数として考えると良いでしょう。
具体的には、
先に、
　∫[a,b]((f(b)-f(a))x/(b-a)+(bf(a)-af(b))/(b-a))dx
　= 1/2・(b-a)(f(b)+f(a))
　※4点 (a,0),(a,f(a)),(b,f(b)),(b,0) からなる台形の面積
はサクっと計算しておいて、
　g(t)=1/2・(t-a)(f(t)+f(a))-∫[a,t]f(x)dx
不等式の右辺から左辺を引いて b を t に置き換えた形、これが t＞a において g(t)＞0 と持って行くわけです。
g(a)=0 かつ t＞a において g'(t)＞0 (単調増加) を元に説明したいところですが、先に g'(t)＞0 を示す必要があります。ここで2階の導関数 g''(t) を使います。

(2) に関して、図形的にとらえてみましょう。
まず左辺の 1+√2+√3+… は、添付の図の赤い長方形群の面積の和に相当します。( それぞれ横幅が 1 になっていると思ってください )
No.15907 - 2011/11/19(Sat) 00:23:28
☆ 続き / angel
さて、左辺を上回る面積をどう作り出すか、ですが、
次の図のように、
・曲線とx軸で挟まれた部分の面積
・赤い三角形それぞれの面積
の和が、長方形の面積の和を上回っていることに着目します。

なんで上回っているかという説明には、(1) の結果が必要なわけですが。
まあ、でも計算としてはそれだけです。
No.15909 - 2011/11/19(Sat) 00:27:11
★ 教えて下さい / なは
式|x＋1|＋|x−2|をつぎのように場合分けをして
絶対値記号をはずし簡単にすると、
（1）x≦ｰ1のとき
（2）ｰ1＜x≦2のとき
（3）2＜xのとき
No.15886 - 2011/11/17(Thu) 20:35:00
☆ Re: 教えて下さい / ヨッシー
（1）x≦-1のとき
x＋1≦0 より |x＋1|＝-x-1
x-2≦0 より|x−2|＝-x+2
よって、
　|x＋1|＋|x−2|＝-x-1-x+2＝-2x+1
と言った具合です。
No.15889 - 2011/11/17(Thu) 22:44:52
★ (No Subject) / TSN
(1)xy平面上に原点Oを一つの頂点とする正方形OABCがある。直線OAの傾きが無理数ならば、この正方形の周上にO以外の格子点は二つ以上存在しないことを示せ。

(2)任意の自然数nに対してxy平面上の正方形でその周上および内部に合計でちょうどn個の格子点を含むものが存在することを示せ。
No.15884 - 2011/11/17(Thu) 14:51:09
☆ Re: / らすかる
(1)
直線OAの傾きが無理数ならば直線AB,直線BC,直線COの傾きはすべて無理数なので
どの直線上にも格子点は最大一つしかない。
直線OAと直線COは原点を通るので他に格子点は通らない。
もし正方形の周上にO以外の格子点が二つ以上あるとすれば、
直線AB上、直線BC上にはそれぞれ最大１個なので、
辺AB上に１個、辺BC上に１個となる（いずれも頂点を含まない）。
辺BC上の格子点の座標を(a,b)とすると、これを原点に関して90°右回転した
点(b,-a)は直線AB上にあるが辺AB上にはない。
よって直線AB上に格子点が２個あることになり矛盾。

(2)
原点を一つの頂点とし直線OAの傾きが無理数である十分小さい正方形を考える。
この正方形の周上および内部にある格子点の個数は１個。
直線OAの傾きを変えずにこの正方形の辺を大きくしていくと
正方形の周上および内部にある格子点が増えていくが、
(1)により同時に２個増えることはないので、順に１個ずつ増える。
よってn個の格子点を含む正方形が存在する。
No.15885 - 2011/11/17(Thu) 17:22:02
★ (No Subject) / らめ
三種類の裏返されたカードがある。毎回無作為に二枚のカードが選ばれ、選ばれた一方が表向きなら自動的にどちらも表向きになる。0回目の操作で三種類のうち一枚のカードを表にした。n回目(n=0,1,2,…)の操作後に表向きのカードの枚数の期待値をもとめよ。

お願い致します。
No.15882 - 2011/11/17(Thu) 14:16:51
☆ Re: (No Subject) / らめ
あ、すいません、付け足します:
選んだとき、カードのどちらも表向きならそのまま、どちらも裏向きでもそのままとする。
No.15883 - 2011/11/17(Thu) 14:18:49
☆ Re: / ヨッシー
表を○、裏を●とします。
０回目：○●●
１回目：○○●　が2/3、○●●　が1/3。
○○●　のあとの２回目：○○○が2/3、○○●が1/3
○●●　のあとの２回目：○○●が2/3、○●●が1/3　よって、
２回目：○○○　が4/9、○○●が4/9、○●●が1/9

これを踏まえて
ｎ回目に○○○である確率をA[n]、○○●である確率をB[n]、○●●である確率をC[n]とすると、
　A[n+1]＝A[n]＋2B[n]/3　・・・(1)
　B[n+1]＝B[n]/3＋2C[n]/3　・・・(2)
　C[n+1]＝C[n]/3　　　　・・・(3)
A[0]＝0、B[0]＝0、C[0]＝1
(3) より直ちに c[n]＝1/3^n とわかります。
(2) より
　B[n+1]＝B[n]/3＋2/3^(n+1)
B[1]＝2/3
B[2]＝2/9＋2/9＝4/9
B[3]＝4/27+2/27＝6/27
より B[n]＝2n/3^n と推測できます。（証明は数学的帰納法で）
　A[n]＝1-B[n]-C[n] なので、A[n]＝１−2n/3^n−1/3^n
よって、求める期待値は
　3A[n]＋2B[n]＋C[n]＝３−2n/3^n−2/3^n
No.15888 - 2011/11/17(Thu) 22:42:56
★ (No Subject) / ponchan
円Oに内接する五角形ABCDEにおいて
AB=DE=1,BD=EA=3,∠BAE=120°である。
縁に内接する四角形の対角の和は180°であることが知られている。
（1）△ABEに面積を求めよ。
また対角線BE,BD,CEの長さと円Oの半径Ｒを求めよ。
（2）∠CED=θとおくとき,cosθの値とCDの長さを求めよ。
（3）五角形ABCDEの面積Tを求めよ。

解説をお願いします！！
No.15878 - 2011/11/17(Thu) 01:18:29
☆ Re: / ヨッシー
点Ｃ以外の４点ＡＢＤＥで出来る四角形ＡＢＤＥは、
平行四辺形であり、円に内接する平行四辺形は長方形なので、
∠ＢＡＥ＝120°にはなり得ません。

問題文の見直しをお願いします。
No.15880 - 2011/11/17(Thu) 05:34:44
☆ Re: (No Subject) / ponchan
ホントにすみません!

∠BAE=120゜は合っているのですが、B[C]=EA=3で間違っていました。

本当にすみませんでした!

改めてよろしくお願いします！
No.15881 - 2011/11/17(Thu) 10:31:42
☆ Re: / ヨッシー
(1)
△ＡＢＥの面積は
　(1/2)ＡＢ・ＡＥsin∠ＢＡＥ＝3√3/4
△ＡＢＥにおける余弦定理より
　ＢＥ^2＝ＡＢ^2＋ＡＥ^2−２ＡＢ・ＡＥcos∠ＢＡＥ＝１３
より　ＢＥ＝√13
△ＢＥＤにおいて、∠ＢＤＥ＝60°なので、余弦定理より
　ＢＥ^2＝ＢＤ^2＋ＤＥ^2−２ＢＤ・ＤＥcos∠ＢＤＥ
　１３＝ＢＤ^2＋１−ＢＤ
これを解いて　ＢＤ＝４
△ＢＣＥについても同様にして
　ＣＥ＝４

(2)対称性より
四角形ＡＢＣＥ、四角形ＡＢＤＥは等脚台形で、
ＢＤとＣＥの交点をＦとすると、四角形ＡＢＦＥは平行四辺形
となります。
　∠ＡＢＣ＝∠ＢＡＥ＝120°
　∠ＢＣＥ＝∠ＡＥＣ＝∠ＡＢＤ＝60°
よって、
　∠ＣＥＤ＝∠ＣＢＤ＝∠ＡＢＣ−∠ＡＢＤ＝60°
　（前半は円周角です）
よって、cosθ＝1/2
△ＣＤＥにおける余弦定理より
　ＣＤ^2＝ＣＥ^2＋ＤＥ^2−２ＣＥ・ＣＤcosθ
　　＝16＋１−４＝１３
よって　ＣＤ＝√13
(3)
(2)より、対称性より四角形ＢＣＤＥも等脚台形とわかります。
△ＡＢＥ＝3√3/4　に対して、△ＢＣＥはその4倍で、3√3
（高さ共通で、底辺が４倍）
△ＢＣＥ＝3√3 に対して、△ＣＤＥはその1/3倍で√3
(高さ共通で、底辺1/3倍）
以上より、五角形ＡＢＣＤＥの面積Ｔは、
　Ｔ＝3√3/4＋3√3＋√3＝19√3/4
No.15887 - 2011/11/17(Thu) 22:07:48
☆ Re: / ponchan
ありがとうございます！！！

理解しました！！
もう一度やってみたいと思います！
No.15892 - 2011/11/18(Fri) 00:06:59
★ (No Subject) / Ｆ
?@７^81(7の81乗)の最高位の数が２であることを示せ。ただしlog10の2＝0.3010、log10の3＝0.4771とする。

?A７^81の1の位の数を求めよ。


やり方と解答お願いします。
No.15877 - 2011/11/16(Wed) 07:31:37
☆ Re: / らすかる
常用対数の底は省略します。
log7=log2401/4＞log2400/4=(2+3log2+log3)/4=0.845025
log7=log117649/6＜log118098/6=(log2+10log3)/6=0.845333…
∴0.845＜log7＜0.84534
0.845*81＜81log7＜0.84534*81
68.445＜log(7^81)＜68.47254
log2＜0.445＜log(7^81)-68＜0.47254＜log3
よって最高位の数は2

7^4=2401だから7^80=(7^4)^20の1の位も1
よって7^81の1の位の数は7
No.15879 - 2011/11/17(Thu) 04:33:05
★ (No Subject) / yamato
塾の問題で載ってたやつなんですけど、３０分考えてみても全然方針が立たないくて分かりません。方針と証明をお願いします

座標空間において,x座標,y座標,z座標のすべてが整数であるような点を格子点という
(1)原点Oと、Oと異なる格子点P(a,b,c)に対して、線分OP上にOとP以外の格子点が存在しないことと、３つの整数a,b,cの最大公約数が１であることとは同値であることを示せ
(2)aを整数として、２点A(3,4,5),B(a+1,a,12)をとる。線分AB上にはAとB以外の格子点は存在しないことを示せ
No.15875 - 2011/11/16(Wed) 00:25:09
☆ Re: / ヨッシー
(1)
必要条件、十分条件それぞれの対偶
ＯＰ以外の格子点がある→最大公約数が１でない。
最大公約数が１でない→格子点がある
を示します。

線分OP上にOとP以外の格子点Ｑ(d,e,f)が存在するならば、
０＜ｍ＜１ なる実数ｍに対して
　ｄ＝ｍａ，ｅ＝ｍｂ，ｆ＝ｍｃ
が成り立つ。ここで、ｍは d/a または e/b または f/c と書けるので、有理数です。
ｍ＝s/t　（０＜|ｓ|＜|ｔ|、ｓとｔは互いに素な整数）とおくと、
　a=td/s，b=te/s，c=tf/s
と書けます。ａ，ｂ，ｃ は整数であり、ｓはｔの２以上の約数でないので、
ａ，ｂ，ｃ ともに、２以上の整数 |t| の倍数となります。
よって、ａ，ｂ，ｃ の最大公約数は１ではない。
　
ａ，ｂ，ｃが２以上の最大公約数ｋを持つならば、
　ａ＝ｋｓ，ｂ＝ｋｔ，ｃ＝ｋｕ　（ｓ，ｔ，ｕは整数）
と書け、点（ｓ，ｔ，ｕ）はＯＰ上の格子点となります。

(2)
ＡＢ間に格子点Ｃ(s,t,u) が存在するなら、３点Ａ，Ｂ，Ｃを
(-3,-4,-5) だけ平行移動した
Ａ’(0,0,0)、Ｂ’(a-2,a-3,7)、Ｃ’(s-3,t-4,u-5) も
格子点となります。
ところが、そういうＣ’は存在しない（証明はご自分で）ので、
線分AB上にはAとB以外の格子点は存在しない。
No.15876 - 2011/11/16(Wed) 06:26:00
★ x+yのとりうる / サーシャ
実数x,yがx^3+y^3=2(x>=0,y>=0)を満たしながら動くとき、x+yのとりうる値の範囲を求めよ

x+y,xyでわけて考えるのかと思ったんですけど、なんかうまくいかないです。どのような考え方で問いていくのか解答をおねがいします
No.15870 - 2011/11/15(Tue) 01:27:28
☆ Re: x+yのとりうる / はにゃーん

こちらの記事が参考になるかと。
No.15871 - 2011/11/15(Tue) 02:43:42
☆ Re: x+yのとりうる / ヨッシー
というか、あの時マスターされたのでは？＞＞ぷるおさん
No.15874 - 2011/11/15(Tue) 23:08:28
★ ベクトル / イド
四面体OABCにおいて、点Gを
　OG→=1/5(OA→+OB→+OC→)　で定める
また、３点P,Q,Rを　
　OP→=1/2OA→
OQ→=qOB→
OR→=rOC→　　(0<q<1,0<r<1)
で定め、４点G,P,Q,Rは同一平面上の点とする

四面体OABCの体積を1とするとき、四面体OPQRの体積の最小値とそのときのqとrの体積を求めよ

解法手順が分かりません。詳しい解説よろしくおねがいします
No.15869 - 2011/11/15(Tue) 01:19:09
☆ Re: ベクトル / ヨッシー
一般に、３点Ａ，Ｂ，Ｃで決まる平面上の点Ｐの位置ベクトルは
　ＯＰ＝ｓＯＡ＋ｔＯＢ＋ｕＯＣ　(s+t+u=1)
で表されます。
よって、この問題では　
　ＯＧ＝ｓＯＰ＋ｔＯＱ＋ｕＯＲ
　＝(s/2)ＯＡ＋qtＯＢ＋ruＯＣ
となるので、
　s/2＝qt＝ru＝1/5
ｓ＝2/5 なので、t+u＝3/5。よって、
　q=1/5t, r=1/5u＝1/5(3/5-t)＝1/(3-5t)
ｔを消去して
　1/q＋1/r＝３
この条件下で、ｑｒの最小値を求めます。
０＜ｑ，ｒ＜１　なので、ｑｒが最小の時　1/qr は最大。
　(1/q＋1/r)≧2/√qr　（相加・相乗平均の関係）
等号は1/q=1/r=3/2 つまり、ｑ＝ｒ＝2/3 のときで、
その時の体積は、(1/2)×(2/3)×(2/3)＝2/9
No.15872 - 2011/11/15(Tue) 06:23:10
★ 整数問題 / ジャシュガン
n,pは0以上の整数で、pは奇数とする。
pが3^nで割り切れるが3^(n+1)で割り切れないとき、2^p+1は3^(n+1)で割り切れるが3^(n+2)では割り切れないことを示せ

どこから手をつければよいか分かりません。
分かりやすい解説をお願いします！
No.15867 - 2011/11/15(Tue) 01:06:21
☆ Re: 整数問題 / angel
割り切れる・割り切れないだけではイマイチあいまいで、計算を進められません。
形からすると、3^(n+1)で割るとか実際にやるのは大変なので、nに関する帰納法になると考えられますが、その前に問題をより具体化します。

まず、pです。pは、「3^nで割り切れるが3^(n+1)で割り切れない奇数」です。
一番単純な所で n=0 の時を考えると、
　pは3で割り切れない奇数
ということで、6で割った余りを考えればよくて、p=6m+1,6m+5 (mは0以上の整数) と表せます。
一般のnの場合も同じで、結局 p=3^n・(6m+1), 3^n・(6m+5) という2通りを考えることになります。

では、2^p+1についてです。
pが2通りあるわけなので、2^p+1の値も2通りに分けられるのではないかと予想できます。
実際、
・p=3^n・(6m+1) の例として p=7 (n=0) の場合
　2^p+1=129=3・43=3(3・14+1)
・p=3^n・(6m+5) の例として p=5 (n=0) の場合
　2^p+1=33=3・11=3(3・3+2)
というわけで、「3^(n+2)で割り切れない」も、3で割って1余るか、2余るかに分かれそうだと分かります。

結局、具体化した形としては、
　p=3^n・(6m+1) の時、2^p+1=3^(n+1)・(3r+1) となる整数 r が存在し、
　p=3^n・(6m+5) の時、2^p+1=3^(n+1)・(3r+2) となる整数 r が存在する
という問題を帰納法で説明すればO.K.です。
No.15873 - 2011/11/15(Tue) 22:42:27
☆ Re: 整数問題 / ジャシュガン
この２パターンが成り立つことを帰納法でそれぞれ証明すればいいんですね

詳しい解説ありがとうございます
No.15901 - 2011/11/18(Fri) 21:45:17
★ 計算 / DIE
円と方程式の話題です。
添付の問題について、自分で解いてみたのですが、方針はあっているようですし途中計算も何度も見直しているのですが答えが合いません。
すみませんがどこが間違えているのかご指摘願えないでしょうか。
よろしくお願いします。
No.15863 - 2011/11/14(Mon) 01:28:08
☆ Re: 計算 / DIE
こちらが自分の回答です。
No.15864 - 2011/11/14(Mon) 01:28:43
☆ Re: 計算 / DIE
途中計算です。
No.15865 - 2011/11/14(Mon) 01:29:29
☆ Re: 計算 / 7
2x+4y-7+k(x+y-2)＝0
(2+k)x+(4+k)y-7−2k＝0
と(0,0)との距離
|−7−2k|/√((2＋k)^2+(4+k)^2)＝1/√2
両辺2乗して分母を払うと
2(49＋28k＋4k＾2)＝4＋4k＋k＾2＋16＋8k＋k＾2
整理して
3k＾2＋22k＋39＝0
(k＋3)(3k＋13)＝0
x＝−3,−13/3
No.15866 - 2011/11/14(Mon) 05:26:44
☆ Re: 計算 / DIE
７さんありがとうございます。
７さんの計算方法はわかるのですが・・・
私の式計算は、途中部分で両辺の√２を払いましたがそれでも何故あわないのでしょう。
私のこの回答において、式はあっているのに答えを出す最終段階の二次方程式が正答と合致しないということは、どこかしら計算ミスがあるのかと思うのですが、いくら見直してもその箇所が見つかりません。
助けてください・・・お願いします＞＜
No.15915 - 2011/11/19(Sat) 01:27:15
☆ Re: 計算 / ヨッシー
7+2k とすべき所が 7-2k になっています。
No.15922 - 2011/11/19(Sat) 08:41:32
☆ Re: 計算 / DIE
本当ですね＞＜＞＜
ありがとうございます＞＜＞＜
No.15994 - 2011/11/25(Fri) 22:50:24
★ (No Subject) / はあ
1から4までの目がついた正四面体のｻｲｺﾛを1回投げるとき底面の目の数X

解説お願いします
No.15852 - 2011/11/13(Sun) 20:35:42
☆ Re: / らすかる
目は1から4までですから、底面の目の数Xも1から4になります。
No.15853 - 2011/11/13(Sun) 20:41:37
★ (No Subject) / ﾗﾌﾞｨ
1から7までの7枚の番号札の中から同時に5枚取り出すとき最大の数をXとする｡Xの期待値を求めよ｡

7C5しかわかりません

教えて下さい
No.15851 - 2011/11/13(Sun) 20:32:37
☆ Re: / らすかる
全部で7C5通りのうち
X=7となるのが6C4通り、X=6となるのが5C4通り、X=5となるのが4C4通りなので
期待値は (7×6C4+6×5C4+5×4C4)/7C5
No.15855 - 2011/11/13(Sun) 20:45:07
★ (No Subject) / うさぎ
4枚の硬貨を投げるとき裏の出る枚数を応じて次の表のように賞金を決める｡
ただし△のついている賞金はその額を支払うものとする｡このとき賞金の期待値を求めよ｡

裏の出る枚数4 3 2 1 0
賞金 200 25 10 △25 △100

お願いします。
No.15850 - 2011/11/13(Sun) 20:30:30
☆ Re: / ヨッシー
４枚の硬貨を投げるとき裏が
４枚出る確率を求めよ。
３枚出る確率を求めよ。
２枚出る確率を求めよ。
１枚出る確率を求めよ。
０枚である確率を求めよ。
全部出来ますか？

聞いているのは、期待値ですが、そのベースには
上のような確率の問題があります。
確率は、問題が単純なので、問題数も多く、急速に
応用編に突入するので、こういう基本を抜かさずに、
問題をこなしていかないと取り返しがつかなくなりますよ。
No.15857 - 2011/11/13(Sun) 21:28:10
★ (No Subject) / PUCA
xyz空間内の原点O（0, 0, 0)を中心とし、点A(0, 0, -1)を通る球面をSとする。Sの外側にある点P(x, y, z)に対し、OPを直径とする球面とSとの交わりとして得られる円を含む平面をLとする。点Pと点Aから平面Lへ下した垂線の足をそれぞれQ,Rとする。このとき、PQ≦ARであるような点Pの動く範囲Vを求め、Vの体積は10より小さいことを示せ。
No.15847 - 2011/11/13(Sun) 18:40:36
☆ Re: / ヨッシー
３点Ａ，Ｏ，Ｐ でこの２つの球を切った断面を考えます。
このとき改めて、ＯＡをｙ軸、Ａを(0,-1) とし、原点を通って
ｙ軸に垂直な直線をｘ軸とします。
Ｐの座標を(x,y) とすると、Ｐをｙ軸周りに回転させた円周が、
実際の空間座標上でのＰの存在範囲になります。

球面Ｓの断面は、ｘ^2＋ｙ^2＝１ であり、Ｐ(xp, yp) とすると、
ＯＰを直径とする球面の断面は
　ｘ^2−xpｘ＋ｙ^2−ypｙ＝０
であるので、平面Ｌの断面である直線は、
　xpｘ＋ypｙ−１＝０
となります。
この直線と点Ｐまでの距離ＰＱは
　ＰＱ＝|xp^2＋yp^2−１|/√(xp^2＋yp^2)
Ｐは球Ｓの外側にあり、xp^2＋yp^2＞１ なので、
　ＰＱ＝(xp^2＋yp^2−１)/√(xp^2＋yp^2)
一方、点Ａからの距離ＡＲは
　ＡＲ＝|−yp−１|/√(xp^2＋yp^2)
ＰＱ≦ＡＲ より
　xp^2＋yp^2−１≦|−yp−１|

yp≧−１ のとき、
　xp^2＋yp^2−１≦yp＋１
より
　xp^2＋(yp-1/2)^2≦9/4

yp＜−１ のとき
　xp^2＋yp^2−１≦−yp−１
より
　xp^2＋(yp+1/2)^2≦1/4
これより、Ｐの存在範囲を図示すると、下のようになります。

これよりＰの存在範囲は、点(0,0,1/2) 中心、半径3/2 の
球の内部で、
球Ｓの外部になります。
大きい球の体積は
　(4/3)π(3/2)^3＝9π/2
球Ｓの体積は4π/3 なので、
　9π/2−4π/3＝19π/6＜10
となります。
No.15854 - 2011/11/13(Sun) 20:44:52
★ (No Subject) / チョコレート
赤玉3個､白玉2個が入った袋から玉を1個取り出してはもとに戻すことを3回繰り返す。次の2つの場合のうちどちらの方が得か｡
?@赤玉1個につき250円もらう
?A白玉2個出たときだけ2000円貰う


お願いします。
No.15838 - 2011/11/12(Sat) 23:34:43
☆ Re: / らすかる
白玉が3個出たら2000円貰えるんですか？
No.15840 - 2011/11/13(Sun) 00:32:21
☆ Re: (No Subject) / チョコレート
白玉が2個出たとき2000円が出ます
No.15845 - 2011/11/13(Sun) 13:02:12
☆ Re: / X
横から失礼します。
らすかるさんが聞きたいのは
白球が３個出た場合は白球が２個以上出たと考えて
２０００円貰えると考えていいのか？
という意味だと思います。
ですが、(2)の条件が白玉が３個出た場合を含まない
としてもこの問題の場合は得な方は(2)となります。

(∵)
赤玉がn個出る確率をp[n]とすると
p[1]=(3C1)(3/5)(2/5)^2=36/125
p[2]=(3C2){(3/5)^2}(2/5)=54/125
p[3]=(3C3)(3/5)^3=27/125
∴(1)の場合のもらえる金額の期待値をE[1]とすると
E[1]=250p[1]+500p[2]+750p[3]
=(250/125)(36+2・54+3・27)=450[円]
一方(2)の場合のもらえる金額の期待値をE[2]とすると
白玉3個のときが2000円を貰える条件に含まれないとき
E[2]=2000p[1]=16・36=576[円] (A)
白玉3個のときが2000円を貰える条件に含まれるときの
E[2]は(A)より大きくなりますので、いずれにしても
(2)の方が得になります。
No.15846 - 2011/11/13(Sun) 17:11:16
★ (No Subject) / miwa
6枚のｶｰﾄﾞのうち4枚に○印がついている。この中から同時に3枚取り出し○印のついたｶｰﾄﾞの枚数だけ100円硬貨をもらうとき､もらえる金額の期待値を求めよ｡
No.15837 - 2011/11/12(Sat) 23:28:41
☆ Re: / t
●教科書等の例題そのままに近い基本問題なので
考えればできるはずですが、実際できていないので以下を･･･

●考えかた、以下を計算すれば求められます。
取り出した3枚の中に○のついたカードが1枚ある確率＊100
＋取り出した3枚の中に○のついたカードが2枚ある確率＊200
＋取り出した3枚の中に○のついたカードが3枚ある確率＊300

●確率が求められないときの為に･･･
取り出した3枚の中に○のついたカードが1枚ある確率
　分子【○のついた4枚から1枚を選ぶ場合＊○のついていない2枚から2枚選ぶ場合】
　分母【カード全体6枚から3枚選ぶ場合】

取り出した3枚の中に○のついたカードが2枚ある確率
　分子【○のついた4枚から2枚を選ぶ場合＊○のついていない2枚から1枚選ぶ場合】
　分母【カード全体6枚から3枚選ぶ場合】

取り出した3枚の中に○のついたカードが3枚ある確率
　分子【○のついた4枚から3枚を選ぶ場合】
　分母【カード全体6枚から3枚選ぶ場合】

●場合の数が求められないときの為に
　4枚から1枚を選ぶ4Ｃ1、4枚から2枚を選ぶ4Ｃ2、4枚から3枚を選ぶ4Ｃ3
　2枚から2枚を選ぶ2Ｃ2、2枚から1枚を選ぶ2Ｃ1、6枚から3枚を選ぶ6Ｃ3

●Ｃの計算ができないときの為に
　4Ｃ1＝4/1、4Ｃ2＝{4＊3}/{2*1}、4Ｃ3＝{4＊3＊2}/{3＊2＊1}
　2Ｃ2＝{2＊1}/{2＊1}、2Ｃ1＝2/1、6Ｃ3＝{6＊5＊4}/{3＊2＊1}

●約分ができないときの為に
　4/1＝4，{4＊3}/{2*1}＝6、{4＊3＊2}/{3＊2＊1}＝4
　{2＊1}/{2*1}＝1、2/1＝2、{6＊5＊4}/{3＊2＊1}＝20
No.15839 - 2011/11/13(Sun) 00:21:08
☆ 注意 / angel
一応、
　4/6×3×100=200
で答は出ます。
なおかつ、この計算式も答も全く正しいものです。

しかし、なぜこの計算で良いか、それなりにちゃんと理解しておかないと危険です。
もし習っているならばその理屈の再確認を。習った覚えがないのならば、使わない方が賢明でしょう。
No.15842 - 2011/11/13(Sun) 02:21:21
★ (No Subject) / なな
1個のｻｲｺﾛを投げて出た目の数が4以下のとき1点､5以上のとき2点が与えられるｹﾞｰﾑがある｡6回投げたときの得点の合計が9点となる確率を求めよ。

6回のうち何回あるかわかりません

教えて下さい
No.15835 - 2011/11/12(Sat) 19:06:30
☆ Re: / ヨッシー
たかだか６回なので、
１点が６回と２点が０回で何点。
１点が５回と２点が１回で何点。
　・・・・
と調べていけばどうでしょう？
No.15836 - 2011/11/12(Sat) 20:23:23
☆ Re: (No Subject) / なな
0〜6回の場合をやってみたんですけど答えが違いました｡計算ミスでしょうか？
No.15856 - 2011/11/13(Sun) 21:06:36
☆ Re: / ヨッシー
どんな計算をしたか分かりませんので、計算ミスかどうかは分かりません。

まずは、６回のうち、何回が１点で、何回が２点ですか？

答えは 160/729 です。
No.15858 - 2011/11/13(Sun) 21:33:04
☆ Re: (No Subject) / なな
式がわかりません｡
教えて下さい

No.15859 - 2011/11/13(Sun) 21:50:14
☆ Re: / ヨッシー
言葉のキャッチボールが出来ていませんね。

まずは、
「６回のうち、何回が１点で、何回が２点ですか？」
に答えてください。

次に、計算ミスをしながらも答えを出したという、その式を
書いてください。
No.15860 - 2011/11/13(Sun) 22:51:30
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