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★ ２次関数 / FM
a,bを実数とし、xの２つの２次関数y=3x^2+2x-1…?@ y=x^2-ax+b…?AのグラフをそれぞれC1、C2とする。
以下では、C2の頂点はC1上にあるとする。
このとき、b=a^2+a-(ア)であり、C2の頂点の座標をaを用いて表すと[(a/2),(イ)]となる。


(ア),(イ)を求める問題なのですが、どのように求めたらいいのか全くわかりません。
解説よろしくお願いします。
No.16198 - 2011/12/17(Sat) 16:03:12
☆ Re: ２次関数 / ヨッシー
　ｙ＝x^2−ax＋b＝(x−a/2)^2＋b−a^2/4
より、Ｃ2の頂点は、
　(a/2, b−a^2/4)
と書けます。これがＣ1 上にあるので、
　b−a^2/4＝3(a/2)^2＋2(a/2)−1
　b＝3a^2/4＋a−1＋a^2/4
　　＝a^2＋a−1
であり、Ｃ2の頂点は
　(a/2, a^2＋a−1−a^2/4)＝(a/2, 3a^2/4＋a−1)
となります。
No.16199 - 2011/12/17(Sat) 16:16:22
☆ Re: ２次関数 / FM
回答ありがとうございます。
凄く助かりましたm(__)m
No.16201 - 2011/12/18(Sun) 02:00:34
★ 対数 / DIE
連続して申し訳ありません。
よろしくお願いします。

添付問題最後の問題です。
私は下のような数直線を書いて、そのまま大小関係はCABDとしましたが正答は逆のようです。
何故そうなるのかがわかりません。
本当にこんがらがってしまいました。
どうかご教授ください・・・
お願いいたします。
No.16184 - 2011/12/16(Fri) 03:22:06
☆ Re: 対数 / 七
> 大小関係はCABDとしました
というのは
c＜a＜b＜dの事ですか？それともd＜b＜a＜cの事でしょうか？
c＜a＜b＜dならば合っていると思います。
No.16188 - 2011/12/16(Fri) 11:45:58
☆ Re: 対数 / DIE
添付画像に小さく書いてある通り、ｂ＜ｄ＜a＜ｃとしました・・・
説明不足をお許しください＞＜
再度よろしくお願いします。
No.16191 - 2011/12/16(Fri) 22:49:50
☆ Re: 対数 / 七
CABDにつられてしまいました。
27＜x＜27√3のとき
3＜log[3]x＜7/2,3/2＜log[9]x＜7/4ですから
−1/2＜a＜0,1/2＜b＜1,−1＜c＜−3/4,0＜d＜1/4です。
したがって
c＜a＜d＜b となります。
No.16193 - 2011/12/17(Sat) 06:38:34
☆ Re: 対数 / DIE
今回このように書けるので、今３＜X<7/2のときはココ　とかいてあるところにあたり、右に該当するｃが一番大きくなり大小関係が逆になるように思えてならないのです。。。
何度も申し訳ないのですが、どうか易しく教えていただけないでしょうか・・・よろしくお願いします・・・
No.16236 - 2011/12/21(Wed) 01:14:40
☆ Re: 対数 / angel
えーと。
とりあえず、x の範囲にかかわらず、
　a=log[3]x - 3.5
　b=log[3]x - 2.5
なので、a＜b ( 同じ数からより大きい数を引いたaの方が小さい )
同じく、
　c=log[9]x - 2.5
　d=log[9]x - 1.5
なので、c＜d
という大小関係は確定しています。この時点で ｂ＜ｄ＜a＜ｃ は間違いだと分かります。
No.16348 - 2011/12/31(Sat) 14:08:00
★ ベクトル / DIE
またまた失礼致します。
添付問題について、最後の方、C`Sについてです。C`S:SD`=a:1-a
となるそうなのですが、何故かさっぱりわかりません。
困ってしまいました。
すみませんがご教授ください、よろしくお願いします。
No.16182 - 2011/12/16(Fri) 03:15:42
☆ Re: ベクトル / DIE
添付問題続きです。
No.16183 - 2011/12/16(Fri) 03:16:12
☆ Re: ベクトル / angel
C`S:SD`=a:1-a というか、CD`=C`S+SD`=1 なので、そのままC`S=a, SD`=1-a なのですが…

　(1) C`S=a, SD`=1-a という結果が正しいかどうか判断する方法が分からない
　(2) C`S=a, SD`=1-a を導く方法が分からない

のどちらでしょう。

(2)に関していうと、カンでも良いような気がしますが ( だって穴埋めだし )、地道に方程式を解けば確実に出せます。
つまり、C`S=x ( SD`=1-x ) とでも置いて、SQ=SR に対して SQ=√(C`S^2+C`Q^2) のように具体的な値をあてはめていけば、せいぜい x の2次方程式(実際は1次になる)を解けば良いと見積もれます。
No.16195 - 2011/12/17(Sat) 09:58:26
☆ Re: ベクトル / DIE
地道に解いて計算があわず、質問をしたのですが、計算があいました＞＜＞＜
よかったです・・・
本当に有難うございました。
No.16234 - 2011/12/21(Wed) 00:56:53
☆ Re: ベクトル / angel
C`S=a, SD`=1-a だと、丁度△QC`S≡△SD`Rになるので、SQ=SRなのです。
それに気付くと、方程式を解かなくても解が分かる、と。
※「カン」と言っていたのがそれ。
No.16240 - 2011/12/21(Wed) 22:26:08
☆ Re: ベクトル / DIE
わかりました。
どうもありがとうございます！
No.16331 - 2011/12/29(Thu) 18:58:52
★ 三角関数 / DIE
こんばんは。いつもお世話になっております。
よろしくお願いします。

添付の問題一番最後のところです。
正答は二番目の添付のように図示されていましたが、このグラフだとSIN２α、COS2αのグラフが考慮されていませんでした。何故でしょうか。その図示の左に書いてあるのが私が考えた答案ですが、そのように考えるのではないのでしょうか？？
最近ひどく頭が混乱してきました・・・＞＜
すみませんがよろしくお願いします・・・
No.16180 - 2011/12/16(Fri) 03:03:51
☆ Re: 三角関数 / DIE
これが正答と、私の回答です。
No.16181 - 2011/12/16(Fri) 03:04:19
☆ Re: 三角関数 / 七
正答の「sin2α≧cos2αかつsinα≧cosα」
の部分は「sin2α≧cos2αかつsinα＞cosα」
ではないかと思うのですが…
図のグラフは
sinβとcosβのグラフです。
β＝2αととればsin2α≧cos2αを考えることができ,
β＝αととればsinα＞cosαを考えることができます。
No.16187 - 2011/12/16(Fri) 11:09:24
☆ Re: 三角関数 / DIE
よくわかりました。

そのように短縮できるとすごくいいですね。
本当に助かりましたありがとうございました！
No.16235 - 2011/12/21(Wed) 01:01:53
★ 解説有難うございます(o^-^o) / 夕凪
ヨッシーさん、こんばんは。

丁寧に解説して頂いて、ほんとに助かります。どうも有難うございます(o^-^o) 。あともうちょっとで解りそうなので、もう少しお聞きしてもいいですか？

?@の問題ですが、ヨッシーさんの書いて頂いた図に、私が書き加えました。Ａ町からＢ町に向かうバスを黄緑の線、ＢからＡに向かうバスを水色の線とすると、ちょうど２つの線が交差するところが１２ｋｍで、黄緑の丸い点と水色の丸い点のところが１６ｋｍ、だからそれぞれ１６−１２＝４ｋｍでその２倍だから、８ｋｍって考えていいでしょうか？

１６×２−２４＝８が、ちょっと解りません(゜.゜)。

?Aの解説よく解りました。要するに、Ａ町からＢ町に向かうバスの線は、この図では線が４本あるから、４回運行してて、Ｂ町からＡ町に向かうバスも線が４本だから、４回運行してるという事でしょうか？
もしそうなら、Ａ町からＢ町に向かうバスが追い越すところと花子さんが動いた線の重なるところだけを考えればいいのですね(o^-^o) 。

ほんとに何回も質問して、すいません(。-人-。) 。
No.16179 - 2011/12/16(Fri) 00:16:36
☆ Re: 解説有難うございます(o^-^o) / ヨッシー
考え方はそれで良いです。

二台合わせて、24km 進んだところで、両者は出会い、
それ以上進んだ分だけ、離れるので、
　16×２−２４
という式になります。

両者12kmずつ進んだのと、さらに 4km 進んだのを区別すると、
　(１２＋４)×２−２４
　＝２４＋４×２−２４＝４×２
と、夕凪さんの考えと同じ式になります。
No.16190 - 2011/12/16(Fri) 13:50:24
☆ Re: 解説有難うございます(o^-^o) / 夕凪
ヨッシーさん、こんばんは(o^-^o) 。

解説どうも有り難うございました。だいたい解りましたあー(*^.^*)。ほんとに解りやすい解説で、助かりますー(*^.^*)。

また行き詰ったら、ご質問させて頂きます。よろしくお願い致します。
No.16200 - 2011/12/17(Sat) 23:38:38
★ さっきの問題もう１回アップします。 / 夕凪
さっきは、問題文が小さくて、見えづらくて、ごめんなさい。もう１回アップしましたので、お願い致します(o^-^o) 。
No.16169 - 2011/12/15(Thu) 00:43:51
★ 算数のダイヤグラムの問題です(o^-^o) / 夕凪
ヨッシーさん、こんばんは(o^-^o)

この前は、どうも有り難うございました。またすごく簡単な問題で行き詰ってしまったので、よろしくお願い致します。

?@バスは、３０分で２４ｋｍ進んでるので、２４÷３０＝０．８ｋｍ／分が速さ。
２０分後の距離は、２０×０．８＝１６　
でも、ここから解りません(>.<)。

?A花子さんがＡ町からＢ町に着くまでの道を線で引いてみました。その線をＡ町からＢ町行きのバスは、赤の線が３回通って重なっていますが、３回には、ならないのでしょうか？
No.16168 - 2011/12/15(Thu) 00:35:35
☆ Re: 算数のダイヤグラムの問題です(o^-^o) / ヨッシー
(1)
１分間に0.8km進むので、20分間で、16km ずつ進みます。
ＡＢ間は24km であるので、両者 12km ずつ進んだところで、
すれ違って、そこから4km ずつ離れていきます。
つまり、20分後には、両者は 8km 離れています。
式で書くと、
　16☓2−24＝8(km)
です。

(2)
図のように、ＡからＢに行くバスに追い越されるのは２回（青い点）です。
他の４回はすれ違い（黄色の点）です。
No.16172 - 2011/12/15(Thu) 01:17:18
☆ Re: 算数のダイヤグラムの問題です(o^-^o) / 夕凪
ヨッシーさん、申し訳ないのですが、もう１回お聞きしてもいいでしょうか？頭が悪くて、すいません。

?@１分間に0.8km進むので、20分間で、16km ずつ進みます。
　　これは、わかります。でも、どうして１２ｋｍ進んだところですれ違うのですか？両方のバスの速さは同じなのもわかりますが、そこがちょっと解らなくて(>.<)。


?Aですが、すれ違うのと追い越すのって、違うのですか？
どう判断すれば、いいのでしょうか？

ほんとに馬鹿な質問で、すいません。
No.16174 - 2011/12/15(Thu) 02:07:59
☆ Re: 算数のダイヤグラムの問題です(o^-^o) / ヨッシー
(1)
両方のバスは同じ速さなので、ＡＢ間（距離は24km）の
ちょうど真ん中で出会います。

(2)
花子さんはＡからＢに向かっています。
バスが横を通るのは、
後ろから来たバス（ＡからＢに向かう）に追い越される場合と、
前から来たバス（ＢからＡに向かう）とすれ違う場合とがあります。
グラフで言うと、赤の線と、右上がりの黒線が交わる所が、
追い越される点です。
No.16176 - 2011/12/15(Thu) 06:45:02
★ 条件 / DIE
こんばんは。
またまた失礼します。

三角形ABCにおいてcosAcosBcosC>0が成り立つことは三角形ABCが鋭角三角形であるための**条件。
**を求めよ。

というものですが、まず右の条件について、
+++か+--の組み合わせが存在する

そして左の条件はcosA cosB cosCいずれかが少なくとも＞０
しかし、++-のときもアリ

というわけで左が右を包括すると思い、十分条件ではある画必要条件ではない
としましたが、正答は必要十分条件である。だそうです。

私のどこの考え方が間違っているのか、ご指摘いただけると助かります・・・
お手数おかけしますが、よろしくお願いします。。。
No.16163 - 2011/12/14(Wed) 23:43:42
☆ Re: 条件 / はにゃーん
必要条件であることは明らかですね。

一見、確かに示された式の三角形の内角の余弦は+++と+--の組み合わせがあるように見えます。しかし、鈍角三角形の鈍角は2つ以上は存在しないので、必然的に+++の組みしかないわけです。すなわち鋭角三角形であると言えます。
No.16164 - 2011/12/15(Thu) 00:05:31
☆ Re: 条件 / DIE
すみません。左と右　を逆に説明してしまいました。

それを踏まえて・・・
確かに、左は+++のみですね！
しかし、右は+++と++-などの場合が存在しませんでしょうか？そうなるとやはり右に左は包括されると思うのですが・・・

よろしくお願いします。。。
No.16170 - 2011/12/15(Thu) 00:44:57
☆ Re: 条件 / はにゃーん
＞しかし、右は+++と++-などの場合が存在しませんでしょうか？
三角形ABCが鋭角三角形ならばある角の余弦が負の場合がある、とどのようにして考えられたのでしょうか？

三角形ABCが鋭角三角形のときA, B, Cも0°より大きく90°より小さいです。
すなわちcosA＞0, cosB＞0, cosC＞0です。
No.16171 - 2011/12/15(Thu) 01:04:51
☆ Re: 条件 / DIE
三角形の定義が曖昧になっていました。
解決しました。
本当に有難うございました。
宜しければ、もうひとつの質問もみていただけると幸いですお願いいたします・・・
No.16173 - 2011/12/15(Thu) 01:29:35
★ 面積公式 / DIE
こんばんは。
よろしくお願いします。

添付した図についてですが、放物線のαが二つで一致しない場合はS3の|α|の部分はどうなるのでしょうか？
よろしくお願いいたします。
No.16162 - 2011/12/14(Wed) 23:11:18
☆ Re: 面積公式 / angel
αというか、2次の係数aのことでしょうか?
それであれば、S3に相当する面積は簡単には計算できないでしょう。
そもそも、S3に相当する部分が何箇所できるかも定かではないですし。

例えば、y=2x^2 と y=(x-1)^2 の場合。
y=0 が分かりやすい共通接線ですが、これ以外にも y=-8x-8 というのもあります。なので、S3に相当する部分は2箇所になりますね。
共通接線を求めるときに2次方程式を解くことになりますから、その先の計算はちょっと一般化し辛いです。
No.16175 - 2011/12/15(Thu) 02:17:02
☆ Re: 面積公式 / コートダジュール
2つの放物線?@、?Aの係数をそれぞれｐ、ｑ
?@と?Aの交点のｘ座標をγとおくと、
S3=（S3のｘ＝γより左側）＋（S3のｘ＝γより右側）
＝(lpl/3)(γーα）＾３＋（lql/3）(β-γ）＾３
となります。このときγは(α＋β)/2にはなりません。

?@と?Aの係数が同じでないと、交点のｘ座標は(α＋β)/2
とはならないので、それぞれに1/3公式を使うしかないのです。
No.16185 - 2011/12/16(Fri) 04:05:04
☆ Re: 面積公式 / DIE
接線が、二つ存在する場合もあるので一般化できないということはわかりました。

すると、コートダジュールさんのそれぞれに三分の一公式を使うしかない、というのはどういう意味でしょうか？？
三分の一公式なんてありましたでしょうか・・・？？？？

よろしくお願いいたします・・・
No.16262 - 2011/12/25(Sun) 01:18:51
★ (No Subject) / まなみ
高２ですがIIICの範囲での解答でも大丈夫です。

0＜ｘ0＜a≦1/2とする。
ｘn+1={1/(1-a)}(1-ｘn)ｘn
(n=0,1,2,…)
によって定義される{ｘn}についてlimｘn=aを示せ。
n→∞

よろしくお願いします！
No.16160 - 2011/12/14(Wed) 20:45:25
☆ Re: / 豆
x[n+1]=(1-x[n])x[n]/(1-a)　と解釈します
（添え字が明確になる書き方をしましょう）
この手の問題は、この場合ならy=xとy=(1-x)x/(1-a)のグラフ
を書いてみれば、x[n]がどう変化してaに収束するかが分かります。

a-x[n+1]=(a-x[n])(1-a-x[n])/(1-a)　・・・＊
n=0を代入して、
a-x[1]=(a-x[0])(1-a-x[0])/(1-a)
右辺＞0なので、a-x[1]＞0　
同様にすれば（厳密には帰納法）　a-x[n]＞0が示される
x[n+1｣-x[n]=x[n](a-x[n])/(1-a)＞0より　
この数列は
0＜x[0]＜x[1]＜・・・＜x[n]＜・・・＜a　となっている
（グラフを書けば良く分かる）
従って、
b=(1-a-x[0])/(1-a)＞(1-a-x[n])/(1-a)　を＊にあてはめれば、
a-x[n+1]＜b(a-x[n])
繰り返せば
0＜a-x[n+1]＜b^n(a-x[0])
ここで、0<b＜1なので、
n→∞のとき　a-x[n+1]→0
No.16189 - 2011/12/16(Fri) 12:01:58
★ 初書き込みです。高３です。 / あう
n桁の自然数のうち、ある自然数の平方となっているものの集合をＥnとする。Ｅnの要素で、その最高位の数が１であるものの個数をａn、２であるものの個数をｂnとする。lim(n→∞)(ａn/ｂn)を求めよ。
お願いします。
No.16159 - 2011/12/14(Wed) 20:38:45
☆ Re: 初書き込みです。高３です。 / angel
「n桁の自然数」とか、「ある自然数の平方となっているものの個数」とか、そういった所を具体化すること。
例えば 2桁の自然数 k というと 10≦k≦99 のこと。3桁なら 100≦k≦999 のこと。まあ、ただ、それぞれ 10≦k＜100、100≦k＜1000 という形にした方が後々やり易い。
さらに「最高位の数が1」という条件を付け加えると、10≦k＜20、100≦k＜200 となるため、一般化すると、n桁の自然数で最高位が1であるk⇔10^(n-1)≦k＜2・10^(n-1) というように言えます。

では「自然数の平方となっているものの個数」は?
例えば 1〜9999 の範囲なら、1^2,2^2,…,98^2,99^2 の99個ということで、大体のところは √10000 という計算で分かります。
これが、1000〜9999 というように、1でない数から始まる範囲なら、1〜9999 にある 1^2,2^2,…,99^2 の99個から、1〜999 にある 1^2,2^2,…,31^2 の31個 ( 31^2=961＜1000, 32^2=1024≧1000 ) を差っ引いた 68個で、大体√10000-√1000 という計算です。

ということで、これはあくまで概算なので解答にそのままは書けませんが、
　a[n]≒√(2・10^(n-1)) - √(10^(n-1))
　b[n]≒√(3・10^(n-1)) - √(2・10^(n-1))
　a[n]/b[n]≒(√2-1)/(√3-√2)
求める極限値は (√2-1)/(√3-√2) だと分かります。( 分数有理化をして √6+2-√3-√2 )

実際に解答を書く場合には、個数をある範囲に絞り込むようにして評価します。
つまり、1〜9999 の範囲にある平方数の個数 x ( x=99 ) というのは、
　√10000-2＜x≦√10000-1
であると、幅 1の範囲で評価できるわけです。
なので、a[n] を評価する場合、
　1〜10^(n-1)-1 の範囲の平方数の個数 x に対して
　　√(10^(n-1))-2＜x≦√(10^(n-1))-1
　1〜2・10^(n-1)-1 の範囲の平方数の個数 y に対して
　　√(2・10^(n-1))-2＜y≦√(2・10^(n-1))-1
　a[n]=y-x に対して
　　( √(2・10^(n-1))-2 )-( √(10^(n-1))-1 )＜a[n]＜( √(2・10^(n-1))-1 )-( √(10^(n-1))-2 )
　　つまり、√(2・10^(n-1))-√(10^(n-1))-1＜a[n]＜√(2・10^(n-1))-√(10^(n-1))+1
　　というように、幅2の範囲に絞り込んで評価することができます。( 上限のケースと下限のケースの差を取っている )
　最終的に a[n]/b[n] も、a[n],b[n] それぞれの上限・下限の分数で評価して、範囲を絞り込みます。
No.16194 - 2011/12/17(Sat) 09:45:13
★ 一次関数 / 受験生
兄と弟は、A地を同時に出発してB地を通りC地まで行きました。
兄はA地からC地まで毎時４kmの速さで歩き、弟はA地からB地まで毎時６km、B地からC地まで毎時３kmの９速さで歩いたところ、兄は弟より３分遅れてC地に着きました。
また、A地からB地までの道のりはB地からC地までの道のりの4/3倍です。このとき、A地からC地までの道のりを求めなさい。



初めてですが、解説おねがいしますm(_ _)m
No.16157 - 2011/12/14(Wed) 20:27:28
☆ Re: 一次関数 / 受験生
すいません!!!
一次方程式の間違いでした。
学年の記載も忘れていました!!
中３ですm(_ _)m
No.16158 - 2011/12/14(Wed) 20:30:58
☆ Re: 一次関数 / moto
A地からB地までの道のりを、x【km】
B地からC地までの道のりを、y【km】

(1)時間について
　兄は、A地からC地までの(x＋y)【km】を、4【km/時】の速さで歩いた
　　(x＋y)/4【時間】

　弟は、A地からB地までのx【km】を、6【km/時】
　　　　B地からC地までのy【km】を、3【km/時】の速さで歩いた
　　(x/6)＋(y/3)【時間】

　兄は弟より3【分】遅れてC地に着いた(3【分】→3/60＝1/20【時間】)
　兄のかかった時間は、弟のかかった時間より、1/20【時間】多い
　　(x＋y)/4＝(x/6)＋(y/3)＋(1/20)

(2)道のりについて
　A地からB地までの道のりx【km】は、B地からC地までの道のりy【km】の(4/3)倍
　　x＝(4/3)y

(1)(2)を{x，y}についての連立方程式として解いて
　　x＝12/5，y＝9/5

確認
　弟は、A地からB地までの(12/5)【km】を、6【km/時】で歩き、(2/5)【時間】→24【分】
　　　　B地からC地までの(9/5)【km】を、3【km/時】で歩き、(3/5)【時間】→48【分】
　　60【分】→1【時間】
　兄は、A地からC地までの(21/5)【km】を、4【km/時】の速さで歩いた
　　21/20【時間】→1【時間】3【分】
　兄は弟より3【分】遅れてC地に着いた。
　A地からB地までの道のり(12/5)【km】は、B地からC地までの道のり(9/5)【km】の4/3倍

答え
　A地からC地までの道のりは、(21/5)【km】
No.16167 - 2011/12/15(Thu) 00:31:12
☆ Re: 一次関数 / 受験生
分かりやすくありがとうございました(*^_^*)
No.16178 - 2011/12/15(Thu) 17:47:51
★ 数の表現 / かな
１０進数８.１３を３２ビット浮動小数点表示（ＩＢＭ３６０方式）に変換せよ

よろしくお願いします
No.16154 - 2011/12/13(Tue) 22:30:34
☆ Re: 数の表現 / angel
え…、IEEE754でなくて、IBM360方式?
今時なんでまた。

取り敢えず、
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%B5%AE%E5%8B%95%E5%B0%8F%E6%95%B0%E7%82%B9%E6%95%B0#IBM.E6.96.B9.E5.BC.8F.EF.BC.88.E3.82.A8.E3.82.AF.E3.82.BB.E3.82.B964_.E5.BD.A2.E5.BC.8F.EF.BC.89
で良いのでは。
No.16155 - 2011/12/14(Wed) 01:17:46
☆ Re: 数の表現 / かな
ありがとうございました
No.16161 - 2011/12/14(Wed) 21:59:10
★ (No Subject) / G7
問い）ｘ＞０のときｆ（ｘ）＝ｘ＋(１/ｘ)の値域を求めよx>0,1/x>0なので相加相乗平均の不等式より
f(x)≧２√（x・1/x)=2であり、
ｘ＝１のとき等号が成り立つので、
ｆ（ｘ）の値域はｆ（ｘ）≧2

上の答案の不備が分かりますか？

というチラシがあったのですが、どこが不備なのでしょうか。。気になるので教えてください。よろしくおねがいします。
No.16149 - 2011/12/12(Mon) 20:13:23
☆ Re: / のぼりん
こんばんは。

では、次の間違いは分かりますか？

【問】ｘ＞０ のとき、ｆ（ｘ）＝（ｓｉｎ ｘ＋２）/２＋２/（ｓｉｎ ｘ＋２） の値域を求めよ。

【誤解答】ｘ＞０ のとき、（ｓｉｎ ｘ＋２）/２＞０、２/（ｓｉｎ ｘ＋２）＞０ なので、相加相乗平均の不等式より
　　　ｆ（ｘ）≧２√｛（ｓｉｎ ｘ＋２）/２・２/（ｓｉｎ ｘ＋２）｝＝２
であり、ｘ＝２π のとき等号が成り立つので、ｆ（ｘ） の値域は
　　　ｆ（ｘ）≧２　　■
No.16150 - 2011/12/12(Mon) 21:47:14
☆ Re: / G7
ｘ＞０でしか定義されていないのでｘ＝０で等号が成り立っても意味が無い、というところですかね・・？
No.16151 - 2011/12/12(Mon) 23:30:23
☆ Re: / angel
f(x)≧2 という不等式があった時、文脈にもよりますが、大きく2通りの意味にとれます。

1つは、純粋に大小関係を表す意味。つまり、例えばf(x)=2 になる瞬間はないかもしれないけれど、f(x)と2を比較すると前者の方が大きいか等しいよ、ということを表すものです。
不等式を解いて x の範囲を求めるような話の進め方をする場合もこちらですね。

もう1つは、値として取りうる範囲を表す意味。つまり、適切なxの値を選べば、2以上の数ならなんでも f(x) の値として取り得ますよ、ということを表すものです。
逆に、取り得ない値があってはダメです。

例えば、
　f(x)=(x^2-4)/(x-2) (x≧0)
というf(x)は、2以上の値なら何でも取り得ますが、f(x)=4 にだけはなりません。
なので、前者の意味では f(x)≧2 は正しいですが、後者の意味では f(x)≧2 は間違いです。
※後者の意味なら、正しくは f(x)≧2, f(x)≠4 もしくは 2≦f(x)＜4, f(x)≧4 が正解

…さて、ここまでを踏まえて。
元の問題の答としてあげている f(x)≧2 はこのどちらの用法で考えるべきでしょうか。また、相加相乗平均の不等式はどちらの意味を持っているのでしょうか。それを考えてみてください。
No.16152 - 2011/12/13(Tue) 00:37:23
☆ Re: / のぼりん
あちゃ〜、揚げ足を取られてしまいました… まぁ、誤字ですから自業自得ですか。 正しくは、「ｘ＝２π のとき等号が成り立つので」とすべきでしたね。 元回答を直しておきました。

定性的な説明は angel さんの通りです。 他の反例としては、

【問２】〔　〕をガウス記号とする。 ｘ＞０ のとき、ｆ（ｘ）＝〔ｘ＋１〕＋１/〔ｘ＋１〕 の値域を求めよ。

【誤解答】ｘ＞０ のとき、〔ｘ＋１〕＞０、１/〔ｘ＋１〕＞０ なので、相加相乗平均の不等式より
　　　ｆ（ｘ）≧２√（〔ｘ＋１〕・１/〔ｘ＋１〕）＝２
であり、ｘ＝０．５ のとき等号が成り立つので、ｆ（ｘ） の値域は
　　　ｆ（ｘ）≧２　　■

【問３】ａ＝１、ｘ＞０ のとき、ｆ（ｘ）＝１＋１ の値域を求めよ。

【誤解答】ｘ＞０ のとき、１＞０、１＞０ なので、相加相乗平均の不等式より
　　　ｆ（ｘ）≧２√（１・１）＝２
であり、ｘ＝１ のとき等号が成り立つので、ｆ（ｘ） の値域は
　　　ｆ（ｘ）≧２　　■

等もあります。
No.16153 - 2011/12/13(Tue) 19:43:51
☆ Re: / G7
遅くなりましたが回答ありがとうございます

angelさんのf(x)≧2 はこのどちらの用法で考えるべきか、は
値域を求めよ、とのことなので、値として取りうる範囲を表す意味。

また、相加相乗平均の不等式はどちらの意味を持っているのか、は正直よく分からないというか、教科書に載ってないので知っているわけではないですが、経験上、最小値を求める時によく使っていることを思い出すと「純粋に大小関係を表す意味」だと思います

あってますでしょうか？

私の質問したものも、のぼりさんの誤答例も値域を求めよではなく、最小値を求めよ、なら正解ということですよね？

よろしくお願いします。
No.16186 - 2011/12/16(Fri) 04:19:06
☆ Re: / G7
どなたかおねがいします・・・
No.16192 - 2011/12/17(Sat) 01:09:59
☆ Re: / angel
> angelさんのf(x)≧2 はこのどちらの用法で考えるべきか、は
> 値域を求めよ、とのことなので、値として取りうる範囲を表す意味。

はい。正解です。

> 相加相乗平均の不等式は…(中略)…「純粋に大小関係を表す意味」だと思います

こちらも正解です。
なお、ここらへんの判断は教科書にも載っていない ( というか、何故か全員いつの間にかできることが前提になっている ) 話なので、資料を見ても分からないはずです。私も学校で聴いたり、教科書で視たりした記憶はありません。

まあ結論としては、2つの不等式の意味が食い違っているものを組み合わせて論理展開しても役に立たないですよ、ということになります。
※もっとも、「範囲を表す不等式」を「単純な大小関係を表す不等式」とみなして使うのは問題ないですけど。その逆(今回のケース)はN.G.
No.16196 - 2011/12/17(Sat) 10:17:13
☆ Re: / angel
> のぼりさんの誤答例も値域を求めよではなく、最小値を求めよ、なら正解ということですよね？

これについては注意が必要。
「『最小値を求めよ』には役立つことが多い」としておいた方が無難です。
例 ( 予め言うと、どちらもN.G. ) を挙げると、
(1) f(x)=x+1/x (x＞0) の最小値を求めよ
　相加相乗平均の関係より f(x)=x+1/x≧2・√(x・1/x)=2
　よって f(x) の最小値は 2
(2) f(x)=x+1/x (x≧2) の最小値を求めよ
　相加相乗平均の関係より f(x)=x+1/x≧2・√(x・1/x)=2
　よって f(x) の最小値は 2

これ、(1)は答えは合っていますが説明で減点、(2)にいたっては答えすら合っていません。
※(2)は f(2)=5/2 が最小値
なぜかというと、これらの相加相乗平均の不等式から求めた f(x)≧2 というのは、単純な大小関係としては正しいのですが f(x)=2 となる瞬間が存在するかどうかまでは保証していないからです。
なので、(1) は f(1)=2 という「実際に最小値を取るxの存在」を見つけて、説明を追加してはじめて正解となります。
No.16197 - 2011/12/17(Sat) 10:28:57
☆ Re: / G7
回答ありがとうございます。よく分かりました。

問い）ｘ＞０のときｆ（ｘ）＝ｘ＋(１/ｘ)の値域を求めよの
解答を完成させたいと思います
x>0,1/x>0なので相加相乗平均の不等式より
f(x)≧２√（x・1/x)=2であり、
ｘ＝１のとき等号が成り立つので、
ｆ（ｘ）の最小値は２。
あとはf(x)が（0,∞）の定義域で連続である事が言えればよい。
この後どうすればいいのか分からないので教えてください。
よろしくお願いします。
No.16202 - 2011/12/18(Sun) 04:23:41
☆ Re: / angel
> あとはf(x)が（0,∞）の定義域で連続である事が言えればよい。
> この後どうすればいいのか分からないので教えてください。

数IIIか数Cあたり ( 数IIでもいける? ) なら、その方針で解答をつくることもできますが、少なくとも数Iだと無理なので注意して下さい。
※つまり数I範囲だと、相加相乗平均の不等式は、値域を求める問題には使えない。

　…(前略)…
　f(x)の最小値はf(1)=2
　また、lim[x→+0] f(x)=+∞
　※lim[x→+∞] f(x)=+∞ を使っても良い
　f(x) は x＞0 の範囲で連続のため、f(x) の値域は f(x)≧2

lim[〜] f(x)=+∞ ということは、f(x) は幾らでも大きな値を取り得るということ、かつ、f(x) は連続のため ( 高校範囲で証明は不要、というかできない )、結局最小値2以上の値は何でも取り得る、ということになります。
…微分を習っていれば、グラフの形状を描いて説明する時に、ここら辺の話は自然とこなすことになります。

なお、数I範囲で解く場合は、
　f(x)=x+1/x=k と置いたときに、x+1/x=k が x＞0 なる実数解を持つ k の範囲を求めよ
という、実は二次方程式の問題と同等になります。
No.16209 - 2011/12/19(Mon) 00:31:17
★ (No Subject) / 川島
Oを原点とする座標平面上にA(10,0)B(10,8)C(0,8)P(3,6)があります。Pを通ってOA、BCと交わる線分のOAとの交点をX、BCとの交点をYとします。
線分XYが長方形ABCDの面積を2分するとき、点Yのx座標はいくつですか。

すみません、答えはわかるのですが綺麗な解法が思いつかなくて･･･よろしくおねがいします。
No.16145 - 2011/12/11(Sun) 19:42:49
☆ Re: / 川島
失礼、長方形はOABCでした。
No.16146 - 2011/12/11(Sun) 19:44:06
☆ Re: / X
図形的に考えます。

点Pを通る直線と辺OA,BCとの交点をQ,Rとし、線分QRの中点を
Sとします。
点Sからx軸、辺BCにに下ろした垂線の足をT,Uとして
△OTSを切り離し△BUSに重ねるように移動させることを
考えると、題意を満たすためには点Sが長方形OABCの
対角線の交点である
点(5,4)
と一致しなくてはなりません。

後は直線PSの方程式を導けば…。
No.16147 - 2011/12/11(Sun) 19:59:07
☆ Re: / 川島
ありがとうございます。
もう一度考えて見ます。
No.16148 - 2011/12/11(Sun) 22:57:20
★ (No Subject) / るぺ
a(n+1)=ra(n)+f(n)(r≠1,f(n)は整式でｎのｋ次式）
の一般項はa(n)=ar^n+g(n)(g(n)は整式でｎのｋ次式）
とあったのですがこのｋは一般に０でも言えますか？
整式ってのはｎの次数が非負整数ってことですよね？

どうかよろしくお願いします
No.16143 - 2011/12/11(Sun) 02:02:31
☆ Re: / らすかる
言えます。
No.16144 - 2011/12/11(Sun) 07:43:50
★ (No Subject) / ちまき
?@次の逆関数を求めよ。
(1)y=３^X
(2)y=２^X(−１≦X≦２)
(3)y=log7(X＋２)
(4)y=log3X−1

(3)の7は小さいです
(4)の3は小さいです
ちなみに(4)に()はないです


?A(ｆоf)(X)=Xかつｆ(−２)=−５を満たす１次関数ｆ(X)を求めよ




解答解説よろしくお願いします。

No.16135 - 2011/12/10(Sat) 01:16:49
☆ Re: / ヨッシー
まる１番
(1) の答えは ｙ＝log[3]ｘ　です。
(2) はよく似た答えになりますが、定義域が(1/2≦ｘ≦４)になります。

(3)(4) は、(1) をよく吟味してから、もう一度考えてください。

まる２番
f(x)＝ax+b とすると、f(-2)＝-2a+b=-5　・・・(1)
ｆоf(X)=a(aX+b)+b＝X　より
　(a^2−1)X＋b(a+1)＝0　・・・(2)
a=-1 のとき、(2) は常に成り立つ。(1) に代入して、
　b=-7
　ｙ＝-x-7
a≠-1 のとき、(2) の両辺を a+1 で割って、
　(a-1)X＋b＝0
これが、X についての恒等式になるので、
　a=1, b=0
ところが、これは(1) を満たさない。
以上より、y=-x+7 のみが答えとなります。
No.16136 - 2011/12/10(Sat) 01:34:05
☆ Re: (No Subject) / ちまき
もう一度教科書買います。
すこし思い出しました!!

ありかとうございます。
やってみます。
No.16137 - 2011/12/10(Sat) 02:21:16
★ 正葉曲線 / マコト
Oを原点とする座標平面上の２点(cosθ,0),(0,sinθ)を通る直線がある。この直線に関する原点Oの対称点をPとしえて、θを0<=θ<=π/2の範囲で変化させるとき、点Pの描く曲線をCとする。

(1)点Pの座標を(x,y)とするとき、x,yをθを用いて表せ
(2)y(dx/dθ)を、２θを用いて表せ
(3)曲線Ｃによって囲まれる部分の面積を求めよ

(1)はx=sin2θsinθ,y=sin2θcosθになりますか？
(2),(3)は全然です
一応全部の模範解答をお願いしたいです
No.16124 - 2011/12/08(Thu) 23:37:56
☆ Re: 正葉曲線 / はにゃーん
(1)はあってます。代表的な点を代入して確認しましょう。
例えばθ=0, π/4, π/2

(2)dx/dθ = 2cos2θsinθ + sin2θcosθ
なので
y(dx/dθ) = sin22θ(3cos2θ+1)/2

(3)積分を計算して答えはπ/8
三角関数は周期関数であり、積分すると0になる場合があるので積分計算する前に考えとくと計算が楽になります。

ちなみにこの曲線は極方程式でr=sin2θとかけるので
∫[0,π/2]sin22θdθを解くほうがすっきり。
No.16139 - 2011/12/10(Sat) 15:27:50
☆ (1)模範解答例 / angel
(1)の模範解答例です。

2点(cosθ,0),(0,sinθ)を通る直線は xsinθ+ycosθ=sinθcosθ
θ=0,π/2の時、この直線は原点を通るため、Pは原点と一致する。
0＜θ＜π/2 の時、Pの座標を(p,q)とすると、
・OPの中点(p/2,q/2)をこの直線が通る
　すなわち、psinθ+qcosθ=2sinθcosθ …(i)
・直線OP qx-py=0 は、この直線と垂直である
　すなわち qsinθ-pcosθ=0 …(ii)

(i)・sinθ-(ii)・cosθ より p((sinθ)^2+(cosθ)^2)=2(sinθ)^2・cosθ
(i)・cosθ+(ii)・sinθ より q((sinθ)^2+(cosθ)^2)=2sinθ(cosθ)^2

よって、p=2(sinθ)^2・cosθ, q=2sinθ(cosθ)^2
θ=0,π/2を代入したときも p=q=0 となるため、この式はθ=0,π/2の時のPの座標にも適合する。
Pの座標を(x,y)とするとき、x=2(sinθ)^2・cosθ, y=2sinθ(cosθ)^2
※2sinθcosθ=sin(2θ)を使って、x=sin(2θ)sinθ, y=sin(2θ)cosθとしても正解です。
No.16140 - 2011/12/10(Sat) 20:17:07
★ 極方程式で表される曲線の面積 / マコト
極方程式r=2-cost (0<=t<=π)で表される曲線が囲む図形の面積Sを求めよ

x,yに分けて微分していくと思ったんですけど、なんかできません。模範解答をお願いしたいです
No.16123 - 2011/12/08(Thu) 23:28:58
☆ Re: 極方程式で表される曲線の面積 / X
問題の曲線だけでは閉じた図形はできません。
問題文にタイプミスはありませんか？。
No.16125 - 2011/12/08(Thu) 23:43:17
☆ Re: 極方程式で表される曲線の面積 / マコト
タイプミスはなかったです..
多分曲線とx軸で囲った面積になると思うんですが
No.16127 - 2011/12/09(Fri) 00:16:00
☆ Re: 極方程式で表される曲線の面積 / らすかる
> 多分曲線とx軸で囲った面積になると思うんですが
この問題文ではそのようには読み取れません。
（勝手に予想して条件を付け加えてはいけません。）
問題文が一字一句間違いなくその通りならば、
「囲む図形がないので解なし」が正解だと思います。
No.16132 - 2011/12/09(Fri) 09:51:42
☆ Re: 極方程式で表される曲線の面積 / はにゃーん
まあ、問題の不備は置いておくとしてx軸とその曲線が囲む面積は、面積は微小な扇形(1/2)r^2dθを0からπまで集めた
∫[0,π/2](1/2)(2-cost)^2dθ
で求められます。
No.16138 - 2011/12/10(Sat) 15:18:36
★ (No Subject) / すずき　高２
こんにちは。

画像の問題を解いたのですが、合ってるかお目を通していただけないでしょうか。

●解答
ベクトル省略で・・・
条件より a・b=3・・・?@
c=pa+qb とおく
AC⊥OB より
（c-a）・b
＝｛（p-1)a＋qb}・ｂ
＝3（p-1)＋4q=0
3p+4q=3・・・?A
同様にBC⊥OA より
（c-b）・a
＝｛pa＋（q-1)b}・a
＝9p+3(q-1)=0
3p+q=1・・・?B
?A−?Bより
q=2/3
?Bに代入
p=1/9
以上より
ｃ＝1/9*a+2/3*b･･･（答）
│ｃ│^2＝（1/9*a+2/3*b）・（1/9*a+2/3*b)
,,,,,,,,,,,,,,＝1/9+4/9＋16/9＝7/3･･･（答）

ｄOCとABの交点をDとする
ｃ＝（a+6b)/9かつd=kcより→ｄ＝（a+6b)/7→c=7/9*d
したがって
AD:DB=6:1、OC:CD=7:2
△OAB=1/2*2*3*sin60°＝3√3/2

△OAC=6/7*7/9*△OAB
,,,,,,,,,,,＝2/3＊3√3/2＝√3･･･（答）


宜しくお願いします。

No.16120 - 2011/12/08(Thu) 22:12:21
☆ Re: / すずき　高２
申し訳ありません。

画像が間違っておりました。
以下の画像の問題でお願いします。
No.16121 - 2011/12/08(Thu) 22:15:17
☆ Re: / ヨッシー
AC⊥OB や BC⊥OA は成り立ちません。
これでは、Ｃは垂心ということになります。
ＯＡの中点をＤ、ＯＢの中点をＥとすると、
　ＣＤ⊥ＯＡ　ＣＥ⊥ＯＢ
が成り立ちます。

これからｐ、ｑを求めると、p=4/9, q=1/6 になるはずです。
No.16122 - 2011/12/08(Thu) 22:26:29
☆ Re: / すずき　高２
あっ、そうですね！
おっしゃる通りです。
答え及びその他の点は大丈夫ですか？
No.16129 - 2011/12/09(Fri) 01:38:06
☆ Re: / ヨッシー
上に書いたとおり、p=4/9, q=1/6 　なので、
答えも違いますね。
No.16133 - 2011/12/09(Fri) 16:47:55
☆ Re: / すずき　高２
あれ！？ほんとですね！！

なんか滅茶苦茶になっちゃいました＾＾；
なんと正解にかたどり着けたようです。
すみません面倒おかけしました。ありがとうございました！
No.16134 - 2011/12/09(Fri) 18:14:56
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