nを自然数とするとき、つぎの各不等式を証明せよ
(1) (1/(n+1))<∫[n,n+1](1/x)dx<(1/2)((1/n)+1/(n+1))
(2) Σ[k=1,n](1/k)>logn+(1/2)
どのように証明すればいいのかが分かりません
模範解答をぜひお願いしたいです！
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No.16064 - 2011/12/03(Sat) 10:01:18
| ☆ (1) / angel | | | (1)については、添付の図のようなグラフをイメージして、積分を図形的に考えること。
※最悪、このグラフだけ描いておけば、ある程度点になるでしょうし。
1/(n+1) というのは、緑斜線部の面積に相当し、
∫[n,n+1](1/x)dx というのは、曲線とx軸にn≦x≦n+1の範囲で挟まれた部分、つまり緑斜線部とオレンジ斜線部の面積の合計に相当し、
(1/2)(1/n+1/(n+1))というのは、台形の面積、つまり緑斜線部とオレンジ斜線部と紫斜線部の面積の合計に相当します。
ということで、図で見ると明らかなんですね。
証明を書く場合は、各直線・曲線の上下関係を明らかにしてあげればよいです。
つまり、
n＜x＜n+1 において、
1/(n+1)＜1/x＜( (n,1/n)と(n+1,1/(n+1))を結ぶ直線の式 )
※x=n,n+1ではイコールになりますが、そこは無視して良いです
のため、
∫[n,n+1]1/(n+1)・dx＜∫[n,n+1]1/x・dx＜∫[n,n+1] (直線の式)dx
で、
∫[n,n+1]1/(n+1)・dx=1/(n+1)
∫[n,n+1](直線の式)dx = (1/2)(1/n+1/(n+1))
ということを書けば終わり。
最初の不等式は、計算を頑張って証明してください。
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No.16067 - 2011/12/03(Sat) 11:38:13 |
| ☆ (2) / angel | | | (2)は、想像していたかも知れませんが、(1)の結果を使います。
つまり、
1/2・(1/k+1/(k+1))＞∫[k,k+1]1/x・dx
これです。( nをkに置き換えています )
** n≧2 の場合 **、k=1 から順に並べると、
1/2・(1/1+1/2 )＞∫[1,2]1/x・dx
1/2・( 1/2+1/3 )＞∫[2,3]1/x・dx
1/2・( 1/3+1/4 )＞∫[3,4]1/x・dx
…
1/2・( 1/(n-1)+1/n)＞∫[n-1,n]1/x・dx
で、辺々足すと、
1/2・(1/1+1/n)+(1/2+1/3+…+1/(n-1))＞∫[1,n]1/x・dx
です。
※1/2〜1/(n-1)は2回ずつ現れるため
左辺を少し変形すると、
(左辺)=1/1+1/2+1/3+…+1/(n-1)+1/n - 1/2・(1/1+1/n)
※1/1,1/nだけ1回しかない分を、(2-1)回と考えてあげる
で、右辺はそのまま
(右辺)=logn
この不等式の結果を使えば、(2)が説明できるという寸法です。
なお、この計算は n≧2 の時の話なので、n=1 の時は別途説明が必要です。
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No.16068 - 2011/12/03(Sat) 11:50:46 |
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