ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 虚数について。 / 13

中学3年生が出来る限り理解できるように、虚数について説明してください。
ついでに2次方程式の範囲は全て修了しました。

No.16040 - 2011/12/01(Thu) 20:28:14

☆ Re: 虚数について。 / klmo

虚数の説明と言われても、、、
Newton（ニュートン）という雑誌の2008年 12月号で虚数についての特集があったので、読んでみるといいと思います。図書館なら、雑誌コーナーとかにあるかもしれないので、探してみてください。Amazonで売ってたかな、、、？

No.16061 - 2011/12/03(Sat) 01:14:09

☆ Re: 虚数について。 / angel

…どんなことが知りたいのでしょう？

取り敢えず2次方程式の延長でいくなら、i^2=-1 ( √(-1)=i ) となる数 i ( 虚数単位 ) を導入することで、実数解を持たない ( 判別式が負となる ) 2次方程式でも解を考えることができる、となります。
実際には a+bi (a,bは実数) の形で使うことになって、これを複素数と呼びます。

ということで、複素数というのは実数を拡張した数になっているのですが、自然数～複素数の間にどういう拡張かがあったかを順に挙げていくと、

　自然数→整数：0、負の数の導入により、常に引き算が可能に
　整数→有理数：分数の導入により、常に(0以外での)割り算が可能に
　有理数→実数：無理数の導入により、？？が可能に
　　※ここは難しいので割愛
　実数→複素数：虚数iの導入により、n次方程式が常に解を持つように

という感じでしょうか。

なお、一つ注意が必要な点としては、自然数～実数は1本の数直線上で表現することができ、「大小」関係を決められるのですが、複素数は2個1組の実数値で表現するため、図形的には平面上の点として扱い、大小関係がない、というところです。

さて、こんな複素数を使って何が嬉しいかというと、良く言われるのが電子工学の交流回路で役立つ、というところですね。
交流というのは、直流と違って電源の電圧が周期的に変動するものを指します。一般家庭で使う電気がコレです。
直流の場合のオームの法則
　Ｖ=ＲＩ ( Ｖが電圧、Ｒが抵抗、Ｉが電流 )
に相当するものとして、
　Ｖ=ＺＩ ( Ｖが電圧、Ｚがインピーダンス、Ｉが電流 )
があるのですが、これらＶ,Ｚ,Ｉの表現に複素数が役立ちます。

No.16071 - 2011/12/03(Sat) 12:54:56

☆ Re: 虚数について。 / 13

質問しておいて遅くてすいません_(._.)_
解答ありがとうございます。

>>klmo さん
ニュートンのその記事は、たまたま機会があり読みました。

>>angel
i^2=－1　の式・2乗してマイナスになるものというのは理解しているのですが、複素数と言うのと密接なかかわりがあるというのも分かるのですが、用語が中学数学の知識では理解できず、なんとか中学校時点で虚数と言うモノ自体の性質や具体的にどんな数なのかというのをしっかりと理解したく質問しました。
なので、もう少しレベルを落として、中学数学程度のレベルでも理解できるようにお願いします_(._.)_

具体的には、複素数について　と　虚数がi^2=－1というのは分かるが、その値は具体的になんなのか　というモノです。引き続きお願いします_(._.)_

No.16107 - 2011/12/06(Tue) 19:15:01

☆ Re: 虚数について。 / angel

> もう少しレベルを落として、中学数学程度のレベルでも理解できるようにお願いします
いや、実はね。高校生になったからもっと理解できるかというと、そんなことはなくて。
あくまで i というのは「2乗すると-1になる実数でない数」でしかないのですよ。

> (虚数iの)その値は具体的になんなのか　というモノです。
残念にも、というか。すごく気持ちは分かるのですが、その質問に答はでません。
なんとなく、自然界にある何かを測って、そうするとそれが整数なり実数なりになる、そんなイメージを持っているのかも知れませんが、実際はそうではないのです。
あくまで数というのは人間が作り出したもので、それが上手く適用できるように色々考えを工夫しているのが実際です。
※整数を考える時に出てきた「負の数」というのも、実際に何かを観測して負の数を発見したわけではなくて、負の数というのを作り出した上で、それが「何か基準を下回る状態」を表すのに使おう、という工夫をしているわけです。

まあだから、虚数単位 i ってのは imaginary number ( 想像上の数 ) の略だったりするんですけど、そもそも数って全部想像上の産物なのです。
…とはいえ、自然数～実数までは、大小の概念があって、実際にモノを数えたり測ったりに使えるので、非常に身近に感じることができる数なのですが。

で、中学生範囲では、虚数を使って表せる何か自然現象や何かはないと思います。高校範囲でも苦しいのでは…。
前の回答で挙げた「交流回路」なんかはその一例なのですが…。

No.16128 - 2011/12/09(Fri) 00:35:38

★ チェバ・メネラウスの定理で天秤法と呼ばれるものについての発展事項 / まるこ

天秤法の各頂点や交点に書く添え字（写真の〔〕内の数）からいっきに面積比が出せる面白い性質があるようです。
例えば
?僊PE：?傳CD=Bの添え字×Cの添え字×Dの添え字：Aの添え字×Pの添え字×Eの添え字
つまり?僊PE：?傳CD＝９・８・１５：６・２３・１４

という風に向かい合うように添え字の積を書けば面積比が出て、実際これは確かめたらちゃんと合ってました。
実際に?儕AB:?僊BC、?儕BC:?僊BC、?儕CA：?僊BC、?僊DE：?僊BC、?傳DF：?僊BC、?僂EF：?僊BC
は実験して確かに合いました。

しかし?僖EF:?僊BC＝６・９・８：１５・１４・１７
とはならず?僖EF:?僊BCの場合は使えないようです。

どういう時に使えてどういう時に使えないのか教えてください。

さらに?僊CF:?僥EPや三角形ADE：四角形ADFCや三角形DBE：５角形ADPFCなど三角形以外の面積比にも拡張できるのかどうかも教えてください。

知恵袋で質問しましたが正しいと思われる回答が出てこなかったので最後の頼みの綱として投稿させてもらいました。どうかよろしく御願いします。

天秤法についての参考URL
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail.php?qid=1476403054
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1357193258

追記　すみません、写真のAE：ECは４：３の誤植でした。

No.16033 - 2011/11/30(Wed) 18:13:55

☆ Re: チェバ・メネラウスの定理で天秤法と呼ばれるものについての発展事項 / ヨッシー

これらの添え字は、各辺ならびにＣＤ，ＢＥ，ＡＦ上での
分割比なので、これらの線で出来た三角形の場合にのみ
成り立ちます。

No.16034 - 2011/11/30(Wed) 19:16:40

☆ (No Subject) / まるこ

回答本当にありがとうございます。

各辺（全ての辺？）ならびにＣＤ，ＢＥ，ＡＦで出来た三角形の場合にのみ成り立つという事ですが
?僊DE＝?僊BC・(4/7)・（3/5)より?僊DE:?僊BC＝１２：３５
?僊DE:?僊BC＝６・９・８：６・１５・１４＝１２：３５
で一致するので各辺ならびにＣＤ，ＢＥ，ＡＦ上にないAEを使った三角形でも成り立ってしまう（反例が見つかってしまう）のですが。

No.16035 - 2011/12/01(Thu) 00:02:12

☆ Re: チェバ・メネラウスの定理で天秤法と呼ばれるものについての発展事項 / ヨッシー

これらの添え字は、
　ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ，ＣＤ，ＢＥ，ＡＦ
上での分割比なので、これらの線を２本以上含む三角形の場合にのみ
成り立ちます。

でどうでしょう？

結局、ＤＥＦだけ例外です。

もともと、これらの添え字は辺の比によって、決められたものなので、
面積比較される２つの三角形が、下の図のように、
辺の比が面積の比に反映されるような変形で移せる場合に
このやり方が使えます。

もう少し詳しく調べると、△ＤＥＦの場合は、
２倍大きな比になることが分かります。

No.16036 - 2011/12/01(Thu) 06:39:05

☆ Re: チェバ・メネラウスの定理で天秤法と呼ばれるものについての発展事項 / まるこ

回答ありがとうございます。

そういうことだったんですね！理解力が乏しくてすみませんでした。。

しつこくて申し訳ないですが、四角形ADFE：?儕ECや?僖PE:五角形ADPFCや四角形ADFE：五角形ADPFCなど三角形以外にも拡張できないのでしょうか？

あと、△ＤＥＦの場合は、
２倍大きな比になる理由もどうやって調べたのか迷惑でなければ聞いてもいいですか？

よろしく御願いします

No.16037 - 2011/12/01(Thu) 11:22:26

☆ Re: チェバ・メネラウスの定理で天秤法と呼ばれるものについての発展事項 / ヨッシー

四角形、五角形で成り立つとは、考えにくいですね。

△ＤＥＦについては、
16033の記事の図のようにＡＢＣＤＥＦＰがあり、
Ａ，Ｂ，Ｃにそれぞれ、ａ，ｂ，ｃが添え字として書かれているとします。
このときＤ(a+b)，Ｅ(c+a)，Ｆ(b+c)，Ｐ(a+b+c) となります。
同時に、
ＡＤ：ＤＢ＝ｂ：ａ、ＡＥ：ＥＣ＝ｃ：ａ、ＢＦ：ＦＣ＝ｃ：ｂ
であるので、
　△ＡＤＥ＝{b/(a+b)}{c/(c+a)}△ＡＢＣ
　△ＢＤＦ＝{a/(a+b)}{c/(b+c)}△ＡＢＣ
　△ＣＥＦ＝{a/(c+a)}{b/(b+c)}△ＡＢＣ
なので、
　△ＤＥＦ＝△ＡＢＣ－△ＡＤＥ－△ＢＤＦ－△ＣＥＦ
に、これらを代入して、ゴリゴリ計算すると、
　△ＤＥＦ＝{2abc/(a+b)(b+c)(c+a)}△ＡＢＣ
になります。これは、添字の積から得られる
　abc/(a+b)(b+c)(c+a)
の２倍となります。

No.16038 - 2011/12/01(Thu) 14:23:45

☆ Re: チェバ・メネラウスの定理で天秤法と呼ばれるものについての発展事項 / まるこ

回答本当にありがとうございます。

恐縮ですが、追加でもう２点質問させてください。

?@この添え字の掛け算を線分比に使った時の適用条件
?A「ベクトルで始点を合わせたとき、残りのアルファベットが係数と一致する」の適用条件

を教えてください

それぞれ画像の?@、?Aと対応しています

どうかよろしく御願いします

No.16039 - 2011/12/01(Thu) 20:26:28

☆ Re: チェバ・メネラウスの定理で天秤法と呼ばれるものについての発展事項 / ヨッシー

?@同一直線上にある２つまたは３つの線分に適用
?Aの前半
　三角形の頂点から伸びる３本の半直線上のベクトルで、
　三角形の辺上の２つのベクトルと、三角形上を横切る直線上のベクトルの関係式に適用
?Aの後半
　同一直線上、同一方向の２つまたは３つのベクトルに適用（線分比と同じ）
ただし、いずれも、始点終点は、アルファベットでい示された点であること。

No.16048 - 2011/12/02(Fri) 06:59:21

☆ Re: チェバ・メネラウスの定理で天秤法と呼ばれるものについての発展事項 / まるこ

回答ありがとうございます。?Aの前半は
２３ベクトルAP＝・・の場合か
１７ベクトルAF=・・・
の場合しか使えない（・・・はベクトル９AB,８AC,１５AD,１４AEのいずれかの組み合わせ）ということでいいんでしょうか？

よろしくお願いします。

No.16106 - 2011/12/06(Tue) 18:40:23

☆ Re: チェバ・メネラウスの定理で天秤法と呼ばれるものについての発展事項 / まるこ

だれかおねがいします

No.16130 - 2011/12/09(Fri) 03:42:45

☆ Re: チェバ・メネラウスの定理で天秤法と呼ばれるものについての発展事項 / ヨッシー

ベクトルの表記は省略します。

２３ＡＰ＝９ＡＢ＋８ＡＣ
と書いてありますが、最初の考え(線分の両端の添え字を掛ける）で行くと、
　６・２３ＡＰ＝６・９ＡＢ＋６・８ＡＣ
ですよね？この考えで行くと
　Ｌ＝Ｍ＋Ｎ　の
Ｌには　６・１７ＡＦ、６・２３ＡＰ、１７・２３ＰＦ
Ｍには　６・９ＡＢ，６・１５ＡＤ，９・１５ＤＢ
Ｎには　６・８ＡＣ、６・１４ＡＥ，８・１４ＥＣ
のいずれを入れても成り立ちます。
また、ＢＥ，ＢＡ，ＢＣ方向やＣＤ，ＣＡ，ＣＢ方向の
ベクトルについても成り立ちます。

基本は　内分の公式による
　ＡＦ＝(９ＡＢ＋８ＡＣ)/１７
を変形した
　１７ＡＦ＝９ＡＢ＋８ＡＣ
です。これに、Ａの添え字を掛けた
　６・１７ＡＦ＝６・９ＡＢ＋６・８ＡＣ
あとは、線分比の時と同じ考えで、
　６・１７ＡＦ＝６・２３ＡＰ＝１７・２３ＰＦ
　６・９ＡＢ＝６・１５ＡＤ＝９・１５ＤＢ
　６・８ＡＣ＝６・１４ＡＥ＝８・１４ＥＣ
にそれぞれ、置き換えることが出来ます。

No.16131 - 2011/12/09(Fri) 06:28:02

★ 必要条件十分条件 / ウンディネ

自然数ｍ、ｎについて
p:mは2の倍数
ｔ：３ｍ＋２ｎは6の倍数
「ｐかつｔバー」ならば「n^2+αは3の倍数」が新であるような2桁の自然数αは全部で何個あるか？

という問題で解説の理解はできるのですがｍ、ｎが自然数という条件を無視しているのでそれで本当に漏れが無いのかの確信が持てません。（なぜこの解答でいいのかが分かりません）

ｐかつｔばーのときすなわち
ｍが2の倍数でかつ３ｍ＋２ｎが6の倍数でないとき、
３ｍは６の倍数であるから、２ｎは6の倍数ではない。
よってｎは３の倍数ではない。
このときｎ＝３ｌ±１（ｌは整数）と表す事ができ
ｎ＾２＋α＝３（　）＋１＋α
が3の倍数となるような自然数αは３で割った余りが２となるものであり、そのうち2桁のものはα＝１１，１４，１７、・・、９８の30個。

解説は省略せずにすべて書きました。

解説を始めから順に見て行きます。
ｐかつｔばー
⇔ｍが2の倍数でかつ３ｍ＋２ｎが6の倍数でない
⇔ｍが２の倍数でかつ２ｎは6の倍数ではない。（ｎは3の倍数ではない）
まずここから疑問があります。ｍ、ｎ≧１を考慮すると
３ｍ＋２ｎ≧５ですよね。でもかといって5以上の全ての自然数というわけでもないですよね。３ｍ＋２ｎ＝１２など実現不可能ですし。

さらにｎ＝３ｌ±１もｌは整数、つまりｎが自然数という条件より広い整数という条件で設定しています。

これらが特に気になっています。

よろしく御願いします。

No.16023 - 2011/11/28(Mon) 20:41:57

☆ Re: 必要条件十分条件 / angel

この場合、「m,nが自然数」というのは問題の前提です。
なので、
> ｐかつｔばー
> ⇔ｍが2の倍数でかつ３ｍ＋２ｎが6の倍数でない
> ⇔ｍが２の倍数でかつ２ｎは6の倍数ではない。（ｎは3の倍数ではない）
これをより正確に言うと、
　m,nが自然数かつｐかつｔバー
　⇔ m,nが自然数かつmが2の倍数かつ3m+2nが6の倍数でない
　⇔ m,nが自然数かつmが2の倍数かつ2nが6の倍数でない
のようになります。
毎回「m,nが自然数」と書くのもくどいので、これは省略していると思ってください。
そうすると、3m+2n=4 などは「m,nが自然数かつ…」の条件にもともとあてはまらないので、考える必要がありません。

No.16026 - 2011/11/29(Tue) 01:29:43

☆ Re: 必要条件十分条件 / ウンディネ

m,nが自然数かつmが2の倍数かつ2nが6の倍数でない
の後ｎ＝３ｌ±１（ｌは整数）とおきますが、これはｎが自然数という条件よりも広くとってますよね。（ｎが負の場合も含めてしまっている）そしてｎ＾２＋αに代入して解答を進めています。ということは本来のｎ：自然数という条件より広く取ってしまった分、不適なケースがでてくるのではないでしょうか？（必要条件で考えたので最後に吟味が必要なのではないでしょうか？）
さらにm,nが自然数かつmが2の倍数かつ2nが6の倍数でない
という条件なので最後に出したｎそれぞれに対してｍが２の倍数でかつ自然数かどうかの吟味が必要なのではないでしょうか？

それらの吟味をなぜしなくていいのかが分かりません。
どうかご教授ください。

No.16093 - 2011/12/05(Mon) 15:07:22

★ 確立と漸化式 / klmo

袋の中に赤玉4個と白玉6個が入っている。3個を同時に袋から取り出し、取り出された赤玉の個数を記録してから袋に戻す。この試行をn回繰り返した時、記録された赤玉の個数の合計が奇数である確率をPnとする。
P(n+1)をPnで表せ。

解答には、
取り出された赤玉の個数について、（n+1）回目までの合計が奇数であるのは次の2つの場合である。
1…n回目までの合計が奇数で、（n+1）回目の個数が偶数
2…n回目までの合計が偶数で、（n+1）回目の個数が奇数
各回の試行は独立であるから、どの回でも取り出される赤玉の個数が奇数の確率はP1=（4C1×6C2）/10C3+4C3/10C3=8/15、偶数の確率は1-P1=7/15
ゆえに、
P(n+1)=(7/15)Pn+(8/15)(1-Pn)ー☆
と書いてありました。

どうしていきなり☆が出るのか分かりません。
解説お願いします。

No.16011 - 2011/11/27(Sun) 21:57:27

☆ Re: 確立と漸化式 / ヨッシー

ｎ回までの合計が奇数である確率はＰn、ｎ＋１回目が偶数である確率は 7/15 であるので、上記の
1…n回目までの合計が奇数で、（n+1）回目の個数が偶数
の確率は、Ｐｎ×7/15
ｎ回までの合計が偶数である確率は１－Ｐn、ｎ＋１回目が奇数である確率は 8/15 であるので、上記の
2…n回目までの合計が偶数で、（n+1）回目の個数が奇数
の確率は、(1－Ｐｎ)×8/15
両者を合わせて、☆の式となります。

No.16012 - 2011/11/27(Sun) 22:29:32

☆ Re: 確立と漸化式 / klmo

素早い返信有難うございます。
明日テストなので助かりました。

No.16014 - 2011/11/27(Sun) 23:05:46

★ 確率の基礎知識 / なき

４Ｃ２と４Ｐ２の違いがよくわかりません

よろしくお願いします

No.16004 - 2011/11/27(Sun) 14:24:35

☆ Re: 確率の基礎知識 / なき

６人の生徒を（１）Ａ、Ｂ，Ｃの３つの組に二人ずつわける方法

（２）ただ二人ずつ三つの組にわける方法

（1）と（２）の違いがよくわかりません。

何故、（２）では（１）の答を３！で割るのですか？

追加してすいません

No.16006 - 2011/11/27(Sun) 16:40:21

☆ Re: 確率の基礎知識 / angel

> ４Ｃ２と４Ｐ２の違いがよくわかりません

違い…ね。
どこまで知っていて、どこが分からなくなっているか、もう少し自分の中で整理して貰ったほうが良いように思います。
取り敢えず、C,Pがどんなものかといえば、

　・CはCombination(組み合わせ)の頭文字、PはPermutation(順列)の頭文字
　・計算式は、
　　4P2=4×3, 4C2=4×3÷(2×1)
　　別の数字の例だと、
　　9P3=9×8×7, 9C3=9×8×7÷(3×2×1)
　・P,Cの関係式で言うと、
　　4C2=4P2÷2!
　　も一つ例を挙げると、9C3=9P3÷3!
　・P,Cそれぞれの性質としては、
　　4P4=4!, 9P9=9! (左右の数が同じなら、階乗 ! と同じ)
　　4P2=4!÷(4-2)!, 9P3=9!÷(9-3)!
　　9C3=9C(9-3) (9個中3個を選ぶは、9個中6個を残す、と同じこと)
　　nP0=nC0=1 ( nは任意の非負整数 )、ついでに 0!=1

と、ざっとこれくらいの話はありますけど。

No.16007 - 2011/11/27(Sun) 17:02:56

☆ Re: 確率の基礎知識 / angel

> ６人の生徒を（１）Ａ、Ｂ，Ｃの３つの組に二人ずつわける方法
>（２）ただ二人ずつ三つの組にわける方法
>（1）と（２）の違いがよくわかりません。

生徒を a,b,c,d,e,f としましょうか。
(1) は、例えば a,b/c,d/e,f と組に分かれる場合に、
　Aにa達(a,b)、Bにc達(c,d)、Cにe達(e,f)
　Aにa達、Bにe達、Cにc達
　Aにc達、Bにa達、Cにe達
　Aにc達、Bにe達、Cにa達
　Aにe達、Bにa達、Cにc達
　Aにe達、Bにc達、Cにa達
というケースをそれぞれ区別して、計6通りだと数えます。
※この6は、3!=6 として計算できます。

ところが、(2)はこれらを区別しません。
つまり、あくまで誰と誰が一緒になるかだけを見ていて、そのグループにA,B,Cといった名前をつけないわけです。

結局、a～f がどのように分かれるにせよ、(1),(2)ではこの6倍の違いがでるため、(2)は(1)の答を6で割ったものになるわけです。

No.16008 - 2011/11/27(Sun) 18:34:29

☆ Re: 確率の基礎知識 / なき

追加問題の区別の問題はわかりました

ありがとうございました

しかし，４Ｃ２と４Ｐ２の違いについてです。例えば男子四人女子四人の計八人から，三人のリレーの選手を選ぶとき，すべての場合の数を求める問題があったとします

何故、8Ｃ３にしてはいけないのですか？

No.16015 - 2011/11/27(Sun) 23:28:31

☆ Re: 確率の基礎知識 / らすかる

「男子四人女子四人の計八人から，三人のリレーの選手を選ぶ」だけなら
8C3で合ってますよ。

No.16016 - 2011/11/28(Mon) 00:09:19

☆ Re: 確率の基礎知識 / なく

すいませんで。８Ｃ３ではなく８Ｐ３の場合です

No.16017 - 2011/11/28(Mon) 00:44:23

☆ Re: 確率の基礎知識 / angel

> しかし，４Ｃ２と４Ｐ２の違いについてです。例えば男子四人女子四人の計八人から，三人のリレーの選手を選ぶとき，すべての場合の数を求める問題があったとします
> 何故、8Ｃ３にしてはいけないのですか？

その問題がどういう状況を考えさせるものかによります。
「選ぶ」なら C(ombination)、「並べる」ならP(ermutation) とはならないこともあります。

もしそのリレーの問題が、
・計8人から3人を選び、さらに走る順番まで考える
という内容であれば 8P3 になります。
これは、8人中3人を、1番走者・2番走者・アンカー(3番走者)という枠に並べるのと同じことだからです。

でも、走る順番まで考えなくて良い問題であれば、8C3 になります。これは問題に書いてあることを良く読んで、意図を把握するしかないです。

No.16018 - 2011/11/28(Mon) 01:11:29

☆ Re: 確率の基礎知識 / なき

大変よくわかりました！

本当にありがとうございました！

No.16021 - 2011/11/28(Mon) 18:59:27

★ 数列 / イド

数列 a1,a2,a3,…を次のように定める。
a1=1,a2=a3=2,a4=a5=a6=3,……
（１）与えられた自然数nに対して，ai=n となるようなiの範囲を求めよ。
（２）mを自然数とするとき，この数列の初項から第2m^2項までの総和を求めよ。

(1)は
(1/2)n(n-1)+1≦i≦(1/2)n(n+1)って感じになったんですけど、あってますか？　それに根拠がそのように書けばいいか分かりません
(2)は2m^2を代入してもなんかできません

模範解答をお願いしたいです

No.16002 - 2011/11/27(Sun) 12:23:53

☆ Re: 数列 / angel

(1)正解です。
根拠といっても、あまり書くことはないのですが ( 割と書きようがない )、解答としてはこんな感じでしょうか。

　a[i]≦n を満たす項数は、
　1+2+…+n = 1/2・n(n+1)
　※より厳密に書くなら Σ[k=1,n]k=1/2・n(n+1)
　であるため、a[i]=n となる最後の項は 1/2・n(n+1)項目
　また、連続した n項が a[i]=n となるため、a[i]=n となる最初の項は、
　1/2・n(n+1)-n+1=1/2・n(n-1)+1
　であり、求める i の範囲は 1/2・n(n-1)+1≦i≦1/2・n(n+1)

なお、a[i]≦n-1 の範囲を考えて、その次から…というように話を持っていく場合、n=1 を特別扱いする必要がありますので注意。

No.16009 - 2011/11/27(Sun) 18:49:14

☆ Re: 数列 / イド

解答ありがとうございます
一応(2)も解けたんですけど、これでいいでしょうか？

(1/2)n(n-1)+1≦2m^2≦(1/2)n(n+1)
より
(1/2)n(n-1)+1≦2m^2 (A)
2m^2≦(1/2)n(n+1) (B)
(A)より
n^2-n+2-4m^2≦0
∴{1-√(16m^2-7)}/2≦n≦{1+√(16m^2-7)}/2 (A)'
(B)より
n^2+n-4m^2≧0
∴n≦{-1-√(16m^2-1)}/2,{-1+√(16m^2-1)}/2≦n (B)'
(A)'(B)'より
{-1+√(16m^2-1)}/2≦n≦{1+√(16m^2-7)}/2 (C)
更に
{1+√(16m^2-7)}/2<(1+4m)/2=1/2+2m (D)
又
(16m^2-1)-(4m-1)^2=8m-2>0
∴{-1+√(16m^2-1)}/2>{-1+(4m-1)}/2=2m-1 (E)
(C)(D)(E)より
2m-1<n<2m+1/2
よって
n=2m

No.16010 - 2011/11/27(Sun) 19:38:20

☆ Re: 数列 / angel

> 一応(2)も解けたんですけど、これでいいでしょうか？
多分間違えてはいないのですが、コレやってたら解答書くの大変です、というのと、n=2m が分かった先まだまだ続きます、ということで。
もっとサラリと書いて問題ないです。

　n=2m に対して、
　　(1/2)n(n-1)+1=(1/2)・2m(2m-1)=2m^2-m＜2m^2
　　(1/2)n(n+1)=(1/2)・2m(2m+1)=2m^2+m＞2m^2
　よって、a[2m^2]=2m

どうやって n=2m の見当をつけたのか、問題を解く人にとっては重要事ですが、解答には載せる必要はないのです。
さて、この後何をするかというと、a[i]の値が 1～2m-1 の間の合計と、2m の部分の合計を分けて考えることになります。

　a[i]≦2m-1 となる項数は 2m^2-m ← 上の計算の結果より
　この範囲の合計は、
　　1・1+2・2+…+(2m-1)(2m-1)=(1/6)(2m-1)(2m-1+1)(2(2m-1)+1)
　　= (1/3)m(2m-1)(4m-1)
　a[i]=2m となる項数は 2m^2-(2m-2-m)=m
　この範囲の合計は、
　　m・2m = 2m^2
　求める総和は、この2個の値の合計
　　(1/3)m(8m^2+1)

No.16013 - 2011/11/27(Sun) 23:02:40

★ 確率 / かな

４人でじゃんけんを行う。このとき４人がグー、チョキ，パーをだす割合はすべて等しいとする。

２人が勝つ確率を求めよ

この確率の事象がなぜ　４Ｃ２×３　になるのかわかりません

No.15998 - 2011/11/25(Fri) 23:39:04

☆ Re: 確率 / かな

あと全事象が３の４乗になる理由がわからないです

No.15999 - 2011/11/25(Fri) 23:42:19

☆ Re: 確率 / klmo

全事象が3の4乗になる理由
A、B、C、Dの4人がじゃんけんをする時、Aはグー、チョキ、パーの3通りの出し方があり、そのそれぞれに対してBはグー、チョキ、パーの3通りの出し方があります。（Aがグーを出した時、Bはグー、チョキ、パーの3通り、Aがチョキ、パーの時も同様。）また、CはBのそれぞれに対して3通り、DもCのそれぞれに対して3通りの出し方があるので、3×3×3×3=3の4乗となります。

2人が勝つ場合の数が4C2×3になる理由
例えば、AとBがグーで勝つ時、CとDはチョキで負け、その場合の数はただ1通り（Aがグー、Bがグー、Cがチョキ、Dがチョキ→1通り）なので、グーで勝つ2人が決まれば、その2人がグーで勝つ場合の数は、ただ1通りになります。従って、4人から2人を選ぶので、場合の数は4C2となり、また、チョキで勝つ場合、パーで勝つ場合もあるので、求める場合の数は4C2×3となります。

長々と文章で書きましたが、『樹形図』をかけばすぐにわかると思います。

No.16000 - 2011/11/26(Sat) 02:48:10

☆ Re: 確率 / angel

> 全事象が３の４乗になる理由がわからないです
全事象が3^4に「なる」のではなく、3^4に「した」の方が正確です。

純粋に全員（以下a,b,c,d）のグー・チョキ・パー（以下G,C,P）の組み合わせを列挙すると、
　(a,b,c,d)=(G,G,G,G),(G,G,G,C),(G,G,G,P),(G,G,C,G),…,(P,P,P,C),(P,P,P,P)
の3^4通りあり、これらは全て同一の確率1/3^4なので、このうち問題で考えている事象が何通りあるかを見て確率を考えますよ、と宣言しているわけです。
　※なぜこれが3^4なのかは、人数を少なくして全部列挙すれば、類推できるでしょう。
　　例えばa,bの2人なら、
　　(a,b)=(G,G),(G,C),(G,P),(C,G),(C,C),(C,P),(P,G),(P,C),(P,P)
　　の3^2となります。
なので、全体の事象を3^4としない考え方だってできます。3^4と決まっているのではなく、あくまでどう考えるかによって自分で選ぶことなのです。
※そうはいっても、これが一番分かりやすいけど…

> ２人が勝つ確率を求めよ
> この確率の事象がなぜ　４Ｃ２×３　になるのかわかりません

kimoさんが既に説明されていますが、
「2人が勝つ」の時点で、誰が何を出すか区別しなければG,G,C,C か C,C,P,P か P,P,G,G の3通り
その中で、例えば G,G,C,C のケースなら
(a,b,c,d)=(G,G,C,C),(G,C,G,C),(G,C,C,G),(C,G,G,C),(C,G,C,G),(C,C,G,G)
と、4人のうちGを出す2人を選ぶ4C2通りあることが分かり、これは他のケースでも同様ですから、4C2×3となります。

話を戻して、全体を3^4としないやり方としては、
aの出すのをグー・チョキ・パーにかかわらず“=”として、b,c,dはそれに勝つ手“+”、引き分ける手“=”、負ける手“-”とする方法があります。
この場合は全体が3^3、2人が勝つのはb,c,dが(=,-,-),(+,+,=)の組み合わせの場合なので、3C1×2と計算できます。
もちろん、割り算して確率を出せば答は同じです。

No.16001 - 2011/11/26(Sat) 10:06:01

☆ Re: 確率 / かな

ありがとうございました

No.16003 - 2011/11/27(Sun) 14:21:23

★ 場合の数 / DIE

こんばんは。よろしくお願いします。
添付の問題です。

（5）です。
自分の回答は
?@AB一個ずつ入る場合
二個入るのはCDのいずれかで、残りは順列
5c2＊2＊3！
?AAB二個ずつで残りはCDのいずれかに自動的
5c2＊3c2＊2
?BAB空のとき
CDのいずれかに入る
2＾5
とやりましたが?@だけ数字が答えとあわなかったので間違っているようなのですが、どこが間違っているのかいくら考えてもわかりませんでした。
すみませんが教えてください・・・。
最近この単元が非常に心もとないです・・・。
よろしくお願いします。

No.15995 - 2011/11/25(Fri) 23:10:54

☆ Re: 場合の数 / angel

?Bと同じように考えれば紛れなかったでしょう。
> ?BAB空のとき
> CDのいずれかに入る
> 2^5
と同じようにすれば、
　?@AB一個ずつ入る場合
　A,Bに入る2個は順列 5P2
　残り3個はCDのいずれかに入り 2^3
　5P2×2^3=160
となります。

翻って、
> ?@AB一個ずつ入る場合
> 二個入るのはCDのいずれかで、残りは順列
> 5c2＊2＊3！
のどこに問題があったかというと、Cに3個Dが空 ( もしくは逆のケース ) の場合の 40通りが含まれていなかった所です。

No.15996 - 2011/11/25(Fri) 23:31:57

☆ おまけ / angel

えーと、考え方をそろえて元の?A,?Bの折衷のように統一すれば、
?@Aに1個、Bに1個、残り3個はC,Dいずれか
　5C1×4C1×2^3
?AAに2個、Bに2個、残り1個はC,Dいずれか
　5C2×3C2×2^1
?BAに0個、Bに0個、残り5個はC,Dいずれか
　5C0×5C0×2^5
ともかけます。
もちろん、あえて 5C0 (=1) を書く必要はないのですが、こうすると?@～?Bすべて同じ考え方で計算できる、ということです。

No.15997 - 2011/11/25(Fri) 23:38:00

☆ Re: 場合の数 / DIE

よくわかりました。
本当にどうもありがとうございました！！

No.16051 - 2011/12/02(Fri) 21:51:47

★ 確率の問題です / 八重

1番から12番までの12枚の番号札を、無作為に4枚ずつ3組に分ける。その上で、次の順で合計7枚の札を選び出す。
(a) 各組の一番小さい番号の札を取り出す。
(b) 残っている札の中から、各組の一番小さい番号の札を取り出す。
(c) 残り6枚の中で、一番小さい番号の札を取り出す。
次の問いに答えよ。
(1) 何番までの札は確実に選び出されるか。
(2) 6番の札が、(a)で取り出される確率を求めよ。
(3) 6番の札が、選び出される確率を求めよ。

(1)は3番であっていますか？
それ以降がよく分かりません
解説付きの解答お願いしたいです

No.15982 - 2011/11/22(Tue) 00:09:19

☆ Re: 確率の問題です / ヨッシー

(1)は３番です。
全部の分け方は、まず４枚を選び(12Ｃ4)、残り８個から
４枚を選び(8Ｃ4)、３組は区別しないので、３！で割ります。
　12Ｃ4×8Ｃ4÷３！＝5775（通り）
(2)
ある組において、６が一番小さい数である場合に、(a) で６が
取り出されます。
６を含む組の札の組み合わせは、6Ｃ3
残り８枚を、４枚ずつ２組に分けるのは、8Ｃ4÷２！
よって、(a)で６が取り出されるのは、
　6Ｃ3×8Ｃ4÷２！＝700(通り)
よってその確率は、700/5775＝4/33
(3)
(b) で６が取り出されるのは、ある組で６が２番目に小さい場合なので、
６を含む組の組み合わせは、5Ｃ1×6Ｃ2
残り８枚を、４枚ずつ２組に分けるのは、8Ｃ4÷２！
よって、(b)で６が取り出されるのは、
　5Ｃ1×6Ｃ2×8Ｃ4÷２！＝2625(通り)
(c) で６が取り出されるのは、ある組で６が３番目に小さく、
６より小さい残り３枚が、２枚はある組に、１枚は別の組になる場合。
６を含む組の組み合わせは、5Ｃ2×6Ｃ1
６より小さい３枚から１枚選び、６より大きい５枚から３枚選ぶのは、
　3Ｃ1×5Ｃ3
よって、(c) で６が取り出されるのは
　5Ｃ2×6Ｃ1×3Ｃ1×5Ｃ3＝1800（通り）
以上より、６が取り出される場合の数は、
　700+2625+1800＝5125（通り）
その確率は、205/231

No.15983 - 2011/11/22(Tue) 06:27:39

★ 教科書ガイドの指針文(関数の極致) / すずき　高２

数?Vの教科書ガイドの、問題を解くにあたっての指針の文の一部について質問します。

●y＝|x+1|の極限を求めよ。
●指針
微分可能でない点における極限
関数f(x)がx＝aにおいて微分可能でない場合にも、x＝aの前後でf'(x)の符号が変化すればf(a)が極限になる。そこで、微分可能である範囲におけるf'(x)の符号と、微分可能でないxの値の符号の前後におけるf'(x)の符号を調べて増減表を書けばよい。この場合、x＝-１で微分可能でない。

この文中の、『微分可能である範囲におけるf'(x)の符号』と『微分可能でないxの値の符号の前後におけるf'(x)の符号』が区別されて書かれているように読み取ったのですが、どちらも同じ意味で、重複しているように思ったのですが、この考えで正しいですか？
それぞれの文の意味と、異なる点を教えていただきたいです。

宜しくお願いします。

No.15972 - 2011/11/21(Mon) 16:49:18

☆ Re: 教科書ガイドの指針文(関数の極致) / らすかる

「微分可能でないxの値の符号の前後におけるf'(x)の符号」は意味不明ですので
「微分可能でないxの値の前後におけるf'(x)の符号」と解釈します。

『微分可能である範囲におけるf'(x)の符号』は
「xの定義域全体から微分不可能な点を除いた範囲におけるf'(x)の符号」
という意味です。それに対し、
『微分可能でないxの値の前後におけるf'(x)の符号』は
「xの直前、直後のf'(x)の符号」
という意味ですから、意味は異なります。

No.15973 - 2011/11/21(Mon) 17:59:57

☆ Re: 教科書ガイドの指針文(関数の極致) / すずき　高２

ご回答有難うございました。
なるほど。
ｘ軸に極限を持つときは、微分不可能な点以外は、全てが正か全てが負のどちらかなので、「微分可能でないxの値の前後におけるf'(x)の符号」は、それを区別していて、
『微分可能でないxの値の前後におけるf'(x)の符号』は
おっしゃる通り「xの直前、直後のf'(x)の符号」という意味だから全然意味が違うのですね。

はっきりしました。
幼稚な質問ばかりで申し訳ないです。

有難う御座いました！

No.15977 - 2011/11/21(Mon) 19:10:45

★ 関数の問題 / すずき　高２

こんにちは。
数?V教科書の問題です。以下の解答の一部について質問します。

●問題
関数y＝x+１/xの増減を調べよ。

●解答
関数yの定義は、x≠0である。
y'＝１-１/x＾２
　＝(x+１)(x-１)/x^２
y'＝０とすると　x＝±１
よって、yの増減は次のようになる。

ｘ｜…｜-１｜…｜０｜…｜１
y'｜+ ｜０｜- ｜／｜０｜+
y ｜↗ ｜-2 ｜↘ ｜／｜２｜↗

ゆえに、yは区間x≦-１、１≦xで単調に増加し、
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
ここまではできたのですが、単調に減少する区間は

・区間-１≦x≦１で減少する。
・区間-１≦x<０、０<x≦１で単調に減少する。

のどちらにすればいいのか分かりません。
『y＝ｘ＾３は単調に増加する』と習ったので、前者(上の文)が正しいように思ったのですが、適切な方をお手数ですがご説明と共に教えていただきたいです。

宜しくお願いします。

No.15968 - 2011/11/21(Mon) 16:08:02

☆ Re: 関数の問題 / らすかる

「y=x^3は単調に増加する」は、y=x^3はx=0でも定義されていますので正しいですが
この問題ではx=0を含んではまずいので
「区間-１≦x＜０、０＜x≦１で単調に減少する」
とするべきでしょう。

No.15974 - 2011/11/21(Mon) 18:04:46

☆ Re: 関数の問題 / すずき　高２

らすかるさん、ご回答有難うございます。
定義域に含まれるかどうかで判断するのですね。
やっと理解できました。
有難う御座いました。

No.15975 - 2011/11/21(Mon) 18:58:11