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★ (No Subject) / DIE
nを正の整数とする
10＾ｎの全ての約数の積を求めよ

（２*５）＾ｎとし、それぞれに等比数列の和を使う。
という方針を考えましたが如何せん回答がなく、正解がわかりません。
模範解答をいただけないでしょうか。
よろしくお願いします。
No.16298 - 2011/12/27(Tue) 19:16:08
☆ Re: / X
方針に問題はありません。
後はその通りに計算するだけです。
求める和は
Σ[k=0〜n]Σ[l=0〜n](2^k)(5^l)
=Σ[k=0〜n](2^k){Σ[l=0〜n](5^l)}
={Σ[l=0〜n](5^l)}{Σ[k=0〜n](2^k)}
=…
No.16299 - 2011/12/27(Tue) 20:10:13
☆ Re: / DIE
では、1/4{2^（n+１）-1}{5^（n+1）-1}であってますでしょうか？？
No.16306 - 2011/12/27(Tue) 20:41:30
☆ Re: / X
>>1/4{2^（n+１）-1}{5^（n+1）-1}
が
(1/4){2^（n+１）-1}{5^（n+1）-1}
という意味であるのなら、それで問題ありません。
No.16312 - 2011/12/28(Wed) 02:15:07
☆ Re: / DIE
表示方法が事足りず申しわけありません。

どうもありがとうございました！
No.16316 - 2011/12/29(Thu) 01:54:15
★ 場合の数 / DIE
添付問題オカキの部分です。
?@１のカードを含む場合
12c3−8c3=164
?A白かつ１を含む場合
残りの二枚は何でもよいので11c2
?B白のカードが含まれる場合
?@と同様

とし、事象A　白のカードが出る
事象B　１のカードが出る
とすればA∨Bを求めればよいので164+164-11c2
と考えました。
この考え方だと答えが不正解となりました。
どうしてでしょうか・・・
どうぞお願いいたします。
No.16297 - 2011/12/27(Tue) 19:11:45
☆ Re: 場合の数 / ヨッシー
１のカードを含む場合
12c3−8c3＝164
ではなく
12Ｃ3−9Ｃ3＝136
です。164 は、白が含まれる場合の数です。

白かつ１を含む場合は
白の１を含む場合とは違います。

白も１も含まない場合を考えて、それを全体から引きます。
12Ｃ3−6Ｃ3＝200 通り
No.16311 - 2011/12/27(Tue) 23:32:21
☆ Re: 場合の数 / DIE
白も１も含まない場合を考えて、それを全体から引きます
という考え方は大いにわかりました。

しかし、このベン図的な考え方ではできないのでしょうか？
白かつ１を含む場合は、白の１を含む場合と違う。というところがわかりません。

教えて頂けると助かります。
No.16323 - 2011/12/29(Thu) 17:49:44
☆ Re: 場合の数 / angel
> 白かつ１を含む場合は、白の１を含む場合と違う。というところがわかりません。

日本語というのは、ひどく曖昧な物言いができるので、自分で自分を騙してしまうことがあります。
「白のカードを含み、かつ1のカードも含む」を「白かつ1」と言ってしまうと、その罠にはまってしまうわけです。
後から見直してみると、「白かつ1」というのは「白い1のカード(を含む)」にしか思えなくなってくる。

ところが、「白のカードを含み、かつ1のカードも含む」というのは、白2・赤1・青3の組み合わせ等でも良いので、「白い1のカードを含む」とは全くの別物 ( より広い条件 ) なのです。

これは、言葉だけの組み合わせで考えを進めると、たびたび起こしてしまう間違いなので、より具体的な事象を頭の中でイメージすることです。
もしくは、具体的に言い直しても良いです。
「白を含む」⇔「白1,白2,白3,白4のいずれかを少なくとも1枚含む」
「1を含む」⇔「白1,赤1,青1のいずれかを少なくとも1枚含む」
No.16339 - 2011/12/30(Fri) 02:06:58
☆ Re: 場合の数 / DIE
よくわかりました。
本当にどうもありがとうございました！！
No.16372 - 2012/01/01(Sun) 18:34:10
★ 確率 / DIE
非常に基礎的な質問なのですが、質問させてください。
よろしくお願いします・・・

一つのさいころを三階ふる
出た眼の数を順にabcとする
abcのうち、abだけが等しいような眼の出方は何通りか

六つの数のうち二つを選び、順列、と考え、6c2*3!/2!と考えましたが、6p2が模範解答となるようです
しかし、この二つは考え方が同じで、同値のように思えるのですが計算後の数が異なります
何故かがわかりません

基礎的で大変申し訳ないのですが、教えて頂けると助かります。
お願いします・・・
No.16294 - 2011/12/27(Tue) 12:57:58
☆ Re: 確率 / らすかる
具体的に考えてみれば何がおかしいかわかると思います。
6C2*3!/2! という式で、
例えば6C2で3と5が選ばれたとします。
*3!/2!ということは、3と5が選ばれた場合に
出方が3通りあることになりますが、
ではこの3通りを具体的に書いてみて下さい。
No.16295 - 2011/12/27(Tue) 13:17:55
☆ Re: 確率 / DIE
３３５
３５３
５３３
の三通りということではないのでしょうか・・・？
No.16296 - 2011/12/27(Tue) 19:00:24
☆ Re: 確率 / らすかる
出た目の順にabcとしてaとbが等しいと言っているのですから
「353」や「533」は条件に合いませんね。
No.16309 - 2011/12/27(Tue) 22:10:38
☆ Re: 確率 / DIE
そうですよね。
最近変な勘違いが多く、我ながらほとほと困ってしまいます。。。本当にありがとうございました。
No.16317 - 2011/12/29(Thu) 01:55:38
★ (No Subject) / おれんじ
f(θ)＝4cos^2θ-4sin^2θ+6sinθcosθ (0≦θ<2π)
f(θ)=1を満たすθの値は何個？
また、そのうち最小のものをβ、最大のものをγとすると
tan(β+γ)=？
このふたつの解き方を教えてください
No.16292 - 2011/12/27(Tue) 08:25:57
☆ Re: / X
(前半)
f(θ)=4cos2θ+3sin2θ=5sin(2θ+α)
(但しαはtanα=4/3,0＜α＜π/2なる角 (A))
∴f(θ)=1のとき
sin(2θ+α)=1/5 (B)
ここで
0≦θ＜2π
により
α≦2θ+＜4π+α (C)
又(A)より
π/4＜α＜π/3 (D)
(B)(C)(D)により
2θ+α=π-a,2π+a,3π-a,4π+a
(但しaはsina=1/5,0＜a＜π/4なる角)
∴θ=(π-a-α)/2,π+(a-α)/2,(3π-a-α)/2,2π+(a-α)/2
(E)
なので求める個数は4個です。

後半)
(E)を使うと
β=…
γ=…
と表すことができますので…。
No.16293 - 2011/12/27(Tue) 11:05:39
★ 数列 / momo
こんばんは　


数列｛ａn｝の初項ａ1から第ｎ項までの和Ｓｎが　Ｓｎ＝2n＋3ａnを満
たす。
(1)　ａ1とa2を求めよ

(2)ａn+1をａnの式で表せ

(3)一般項anと和Ｓnを求めよ


この3題の解説をお願いします。
No.16287 - 2011/12/26(Mon) 22:16:42
☆ Re: 数列 / ヨッシー
(1)
a1＝S1＝2+3a1 より
　-2a1＝2
　a1=-1
S2＝a1＋a2＝-1＋a2＝4＋3a2 より
　-2a2＝5
　a2＝-5/2
(2)
S(n+1)＝Sn＋a(n+1) より、
　2(n+1)＋3a(n+1)＝2n＋3an＋a(n+1)
　2a(n+1)＝3an−2
よって、
　a(n+1)＝(3an−2)/2
(3)
　a(n+1)＝(3an−2)/2
が
　a(n+1)−α＝(3/2)(an−α)
と書けたとすると、α＝２
　a(n+1)−2＝(3/2)(an−2)
bn＝an−2 とおくと、b1＝-1−2＝-3 より
　bn＝-3(3/2)^(n-1)
　an＝-3(3/2)^(n-1)＋2
和は、等比数列の公式より導くことができます。
No.16288 - 2011/12/26(Mon) 23:59:59
★ 微積　場合わけ　面積 / DIE
こんばんは。
質問させてください。

添付問題についてです。
No.16285 - 2011/12/26(Mon) 20:11:32
☆ Re: 微積　場合わけ　面積 / DIE
続きです。
こちらの（３）についてなのですが、今回誘導に従わないといけないので逆に私は煩雑で複雑に思えましたが、これを誘導梨で与えられた問題だとすると、
?@２＜aのとき
?A3/4a<2<2a
?B3/4a<2
という場合わけで正しいでしょうか・・・？
因みに、０＜X＜２の範囲を動かして（正確にはｘ＝２を）考えた場合わけです。
しかし、するとこの問題の誘導の場合わけにはそぐっていないのです・・・＞＜
どうかご教授ください。
よろしくお願いいたします。
No.16286 - 2011/12/26(Mon) 20:15:26
☆ Re: 微積　場合わけ　面積 / angel
いいえ。誘導されているわけではなく、最終的に3通りに答が分かれるのです。
途中の場合分けをどうしようとも自由ですが、答は同じようにまとめられますし、まとめなければなりません。

さて、今回求めるのは添付の図の青色の領域の面積ですから、結局∫[0,2]1/8・x^2dx からピンク色の部分の面積を引くことで計算できます。
3通りの場合分けというのは、このピンク色の部分がどうなるか、によるのです。
No.16344 - 2011/12/30(Fri) 21:02:09
☆ Re: 微積　場合わけ　面積 / DIE
わかりました！
本当にどうもありがとうございました＾＾
No.16389 - 2012/01/02(Mon) 21:25:17
★ 不等式と等式の違い / 涙
√５−２＜ｓ＜√５＋２ (A)
9/2＜t＜13/2 (B)
√５-17/2＜s-t＜√５-5/2（C)
「AかつB」⇒Cとなります。このCという条件に何か条件を付け足して（付け足す条件をC'とする）
「AかつB」⇔C＋C'とするようなC'を教えてください。

例えば
「x+y=3かつ
2x+3y=1」
⇒2x+3(3-x)=1しか成り立ちませんが

ここにx+y=3を付け加えると
「x+y=3かつ
2x+3y=1」
⇔「2x+3(3-x)=1かつx+y=3」

という風に⇔にできます。

このようなことが不等式でもできないのか？という試みです。

よろしくおねがいします
No.16282 - 2011/12/26(Mon) 01:52:40
☆ Re: 不等式と等式の違い / らすかる
例えば C'を「AかつB」とすれば「⇔」になります。
No.16284 - 2011/12/26(Mon) 10:41:27
☆ Re: 不等式と等式の違い / 涙
回等ありがとうございます

Cかつ「AかつB」ですか？
Cまたは「AかつB]ですか？

また、A,Bどちらか片方だけではだめなのでしょうか？


よろしくおねがいします
No.16289 - 2011/12/27(Tue) 00:20:21
☆ Re: 不等式と等式の違い / らすかる
Cかつ「AかつB」です。
A,Bどちらか片方だけではだめです。

例えば 「x=3」⇒「x＜10」 という命題で
「⇒」を「⇔」にするには、普通に考えて
右辺に「x=3」に相当する条件を加えないといけないですよね。
右辺の「x＜10」という条件は、「⇔」にするためには何の役にも立ちません。
（ただし「x=3またはx=20」のような条件にすると「x＜10」も役に立ちます。）

これと同様で、元の(C)もかなり緩い条件になってしまっているので
結局簡単に「⇔」にするためには「AかつB」という条件を加える必要がある、ということです。
No.16290 - 2011/12/27(Tue) 02:01:45
☆ Re: 不等式と等式の違い / 黄桃
らすかるさんのおっしゃることはごもっともですが、元の質問の趣旨に沿うと思われる考え方の例を紹介します。

準備：
x>0,y>0 という領域は、「xy>0 かつ x+y>0」と書くことができます。
つまり「x>0 かつ y>0」⇔「xy>0 かつ x+y>0」です（x+y>0 の代わりに px+qy>0 (p,q>0) としても構いませんが、x-y を使っては同値にすることができません)。
同様に、「x<0, y<0」⇔「xy>0 かつ x+y<0」、「x>0, y<0」⇔「xy<0 かつ x-y>0」、「x<0, y>0」⇔「xy<0 かつ y-x>0」です。

a「x-a>0 かつ x-b<0 かつ y-c>0 かつ y-d<0 」
と書くことができます。

これを
「(x-a>0 かつ y-c>0)かつ(x-b<0 かつ y-d<0)」
と考えれば準備でやったように(x-a, y-c などを1つの固まりとみます）
「(x-a)(y-c)>0 かつ x+y-a-c>0 かつ (x-b)(y-d)<0 かつ x+y-b-d<0」
と書くことができます。だから、Cとして x+y-a-c>0 のような条件が選ばれていればいいのですが、今のCは x-y-a+c>0 という条件なので、これではダメでC'は４つ全部必要になります。

ところが
「(x-a>0 かつ y-d<0)かつ(x-b<0 かつ y-c>0)」
とみると、
「(x-a)(y-d)<0 かつ x-y-a+d>0 かつ (x-b)(y-c)<0 かつ x-y-b+c<0」
と同値になり、Cに相当する条件が見えてきます。

以上を踏まえて、元の問題に返れば、
a=√5-2, b=√5+2, c=9/2, d=13/2, x=s, y=t とすれば
(A) a<x<b
(B) c<y<d
(C) a-d<x-y<b-c すなわち x-y-a+d>0 かつ x-y-b+c<0
となっていますから、C'を
(C')(x-a)(y-d)<0 かつ (x-b)(y-c)<0
とすれば「(A)かつ(B)」⇔「(C)かつ(C')」になります。

＃あくまでも(C')の１つの例です。
No.16291 - 2011/12/27(Tue) 04:36:13
★ 問題文間違えました!! / 高3 ここ

間違えてました!!


面積1の直角二等辺三角形に
内接する円の半径を求めよ。

でした。


申し訳ないですが
もう一度、教えて下さい(T^T)



No.16275 - 2011/12/25(Sun) 20:07:12
☆ Re: 問題文間違えました!! / ヨッシー
△ＡＢＣにおいて、ＡＢ＝ＡＣ＝√2、ＢＣ＝２ とすると、
面積は１となります。

一方、内接円の中心をＩ、半径をｘとし、
△ＡＢＣを△ＡＢＩ、△ＢＣＩ、△ＣＡＩに分けて考えると、
それらの面積は(√2/2)ｘ，ｘ，(√2/2)ｘ であるので、
足しあわせて、
　(√2＋１)ｘ＝１
であるので、ｘ＝1/(√2＋１)＝√2−1
No.16276 - 2011/12/25(Sun) 22:07:04
☆ Re: 問題文間違えました!! / らすかる
別解です。
ヨッシーさんの図でIA=(√2)xですから
三角形の高さはx+(√2)x=1、よってx=1/(√2+1)=√2-1
No.16277 - 2011/12/25(Sun) 22:11:17
☆ Re: 問題文間違えました!! / ヨッシー
この問題に限っての別解ですが、ＢＣ上の接点をＤ，ＡＣ上の接点をＥ
ＡＢ上の接点をＦとすると、
四角形ＡＥＩＦは正方形なので、ＡＥ が求める半径。
ＣＥ＝ＣＤ＝１ より、ＡＥ＝ＡＣ−ＣＥ＝√2−1
No.16278 - 2011/12/26(Mon) 00:28:52
☆ Re: / ここ
何度もすみませんでした(^^;

ありがとうございます(^^ゞ


No.16283 - 2011/12/26(Mon) 09:34:49
★ 高2　点の移動と1次変換 / れいひゃー
直線y=4x　に関する対称移動fは
1次変換であることを示し、fを表す行列を求めよ。

答えは
(　−15/17　8/17　)
　　8/17　 15/17

です
一応2行2列の行列のつもりです…
答えにはこれしか書いていなくて、
示し方とか、求め方とか書いてくれていないしさっぱり分かりません
教えて下さいお願いします!
No.16272 - 2011/12/25(Sun) 15:40:18
☆ Re: 高2　点の移動と1次変換 / のぼりん
こんにちは。 高二であれば、ベクトルはご存じですね。 成分計算でやっても勿論構いませんが、計算が煩雑になるので、ベクトルを使って解いてみます。 なお、ベクトル記号は掲示板で表示できないので、以下、位置ベクトルを太文字で示します。

直線 ℓ に関する対称移動 ｆ を考えます。 ｎ を直線 ℓ と直交するベクトルとすると、ℓ は、方程式 ｎ・ｖ＝０ で表される点 ｖ 全体です。

平面上の任意の点 ｗ を取ります。 ｗ から ℓ に下ろした垂線との交点を ｖ０ とすると、
　　　ｎ・ｖ０＝０　…　?@
　　　ｖ０−ｗ＝ｔｎ　…　?A
を満たす実数 ｔ が存在します。 ?Aを?@に代入して ｖ０ を消去すると、
　　　ｎ・（ｗ＋ｔｎ）＝０
　　　ｔ＝−ｎ・ｗ/｜ｎ｜２
です。
　　　ｆ（ｗ）＝ｗ＋２ｔｎ＝ｗ−２ｎ・ｗ/｜ｎ｜２ｎ　…　?B
です。

本問の場合、ｎ＝（４，−１）〔本当は縦ベクトル。 以下同様〕と取れます。 ｗ＝（ｘ，ｙ） として、?Bに代入すると、
　　　ｆ（ｘ，ｙ）＝（ｘ，ｙ）−２（４ｘ−ｙ）/１７（４，−１）
　　　＝（ｘ，ｙ）＋（−３２ｘ/１７＋８ｙ/１７，８ｘ/１７−２ｙ/１７）
　　　＝（−１５/１７・ｘ＋８/１７・ｙ，８/１７・ｘ＋１５/１７・ｙ）
です。 これを行列表示してみましょう。
No.16273 - 2011/12/25(Sun) 16:38:45
☆ Re: 高2　点の移動と1次変換 / angel
一般に、直線 l:y=tanθ・x に関する対象移動は、
　(cos2θ sin2θ)
　(sin2θ -cos2θ)
で表される一次変換になります。

なぜかというと、
　・任意の点X(x,y)と直線l を、-θ回転させる
　　→ 直線lはx軸に移り、Xとlの移った先の位置関係は変わらず
　・Xの移った点をx軸に関して対称移動する
　・対称移動した点、x軸をθ回転させる
　　→ x軸は元のlに戻り、対称移動した点は元のXとlに関して対称
となるため、これらを表す行列を逆順にかけたもの
　(cosθ -sinθ)(1　0)(cosθ　sinθ)
　(sinθ　cosθ)(0 -1)(-sinθ cosθ)
として計算できるためです。
No.16279 - 2011/12/26(Mon) 00:50:59
★ こんにちわ(^^)/ / ここ

直角二等辺三角形に内接する円の面積は1です。
この円の半径を求めよ。


答えは√2-1なのですが
解き方がわかりません?ﾎ

申し訳ないですが
教えて下さい(T^T)


No.16269 - 2011/12/25(Sun) 12:52:30
☆ Re: こんにちわ(^^)/ / らすかる
円の面積が1ならば、円の半径はπr^2=1からr=1/√πです。
√2-1にはなりませんし、直角二等辺三角形も関係ありません。
No.16270 - 2011/12/25(Sun) 13:39:14
☆ Re: / ここ

ありがとうございます(^^ゞ


No.16274 - 2011/12/25(Sun) 17:24:10
★ 数列 / DIE
続けて失礼致します。
添付問題です。
（?A）と（３）の問題の質問の意図が、どちらも同じように感じてしまい、違いがわかりません・・・・

申し訳ありませんが、教えてください。
よろしくお願いいたします。。。
No.16261 - 2011/12/25(Sun) 01:11:18
☆ Re: 数列 / angel
意図…って。
c[k]のことは、画像の下方にある「レクチャー」の欄にありますから、そこは良いですよね…?

で、問題として考えるならおそらく(3)より(2)の方が面倒。

(3)は、(1)が b[n]=2(n-1)^2+2 と解けた時点で、
　第n群：b[n]=2(n-1)^2+2 〜 b[n+1]-2=2n^2 の公差2の等差数列、項数 2n-1
と分かるので、
　1/2・( 2(n-1)^2+2 + 2n^2 )(2n-1)
で終わり。( 等差数列の和は、(初項+末項)×項数÷2 )

対して、(2)は
　c[k]=b[k]+2(k-1)=2(k^2-k+1)
と c[k] を具体的に求めてから、
　Σ[k=1,n] c[k]
　= 2Σ[k=1,n] (k^2-k+1)
　= 2( 1/6・n(n+1)(2n+1) - 1/2・n(n+1) + n )
と、Σk^2 や Σk の計算をすることになって、やることが少し多いです。
※Σ[k=1,n] (k^2-k)
　= Σ[k=1,n] 1/3・( -(k-2)(k-1)k + (k-1)k(k+1) )
　= 1/3・( -(1-2)(1-1)1 + (n-1)n(n+1) )
　と計算しても良いけど、そんなに楽になるわけでもない。

ということで、問題としては別物だと思います。
No.16266 - 2011/12/25(Sun) 02:28:45
☆ Re: 数列 / DIE
よくよく考えると、わかりました。
全然別物ですね。
本当に有難うございました！！
No.16330 - 2011/12/29(Thu) 18:57:46
★ 数列 / DIE
こんばんは。
質問よろしくお願いいたします。

添付の問題です。
自分は、Σ［K=１〜ｎ］1/k*Ak+Σ［K＝１〜ｎ］1/k*1/k(k+1)と変形し、
Σ［ｋ＝１〜ｎ］1/k*Ak=2^n
題意の式を式変形しました。
ここからこの問題を解くことはできないのでしょうか？？？

どうか宜しくお願いいたします・・・。
No.16260 - 2011/12/25(Sun) 01:04:38
☆ Re: 数列 / はにゃーん
Σ［ｋ＝１〜ｎ］1/k*Ak=2^nの左辺をSnとおくと
S[n] - S[n-1] = a[n]/n
　　　　　　　= 2^n - 2^(n-1) = 2^(n-1) (n≧2)
ということではなくて、ということでしょうか。
No.16263 - 2011/12/25(Sun) 01:22:03
☆ Re: 数列 / DIE
Σ［ｋ＝１〜ｎ］1/k*Ak=2^nの左辺をSnとおくと
S[n] - S[n-1] = a[n]/n
　　　　　　　= 2^n - 2^(n-1) = 2^(n-1) (n≧2)
ということではなくて、ということでしょうか。

とはどういう意味でしょうか・・・？？
何度も読み返しましたが、おっしゃっている意図がわかりません・・・

すみませんがもう一度説明いただけますでしょうか。
No.16329 - 2011/12/29(Thu) 18:54:07
☆ Re: 数列 / angel
はにゃーんさん本人でなくてナンですが、
> …(略)…
> とはどういう意味でしょうか・・・？？

DIEさんの質問に対して、その内容からはにゃーんさんは、DIEさんが
> Σ［ｋ＝１〜ｎ］1/k*Ak=2^nの左辺をSnとおくと
> S[n] - S[n-1] = a[n]/n
> 　　　　　　　= 2^n - 2^(n-1) = 2^(n-1) (n≧2)
という解き方を(漠然とかもしれないけど)考えているのではないか、と推測したのでしょう。

もしDIEさんがはにゃーんさんの提示した解き方を考えていたのであれば、その解き方で問題はありませんし、もともとの「ここからこの問題を解くことはできないのでしょうか？？？」という質問の答としては「解くことができます」になります。

もし、この解き方が身に覚えがないのであれば、改めてこの解き方を良く見て試してみれば良いと思います。
No.16347 - 2011/12/31(Sat) 13:50:01
★ 不等式同士の足しざん引き算 / 涙
√５−２＜ｓ＜√５＋２かつ9/2<t<13/2・・?@
⇒√５-17/2<s-t<√５-5/2
とあり、どうやら不等式同士を足したり引いたりすると
本当のs-tの範囲よりもより大きな範囲になってしまうようです。
?@⇔●＜s-t<◎
という風に同値変形することはできないのでしょうか？

よろしくお願いします
No.16254 - 2011/12/24(Sat) 21:29:50
☆ Re: 不等式同士の足しざん引き算 / X
√５−２＜ｓ＜√５＋２ (A)
9/2＜t＜13/2 (B)
において(A)から(B)を辺々引いて…と計算していませんか？。
もしそうであるなら、その計算は誤りです。
等式と違い、不等式「同士」の場合には注意が必要です。

例えば
1＜x＜2 (P)
3＜y＜4 (Q)
のとき
1+3＜x+y＜2+4 (R)
とはなりますが見かけはともかくとして、これは
辺々足したわけではありません。
(P)(Q)から
1+3＜1+y＜x+y＜2+y＜2+4
ということで(R)が導き出されています。

さてこのときx-yの値の範囲は
…＜1+(-y)=1-y＜x-y＜2-y=2+(-y)＜…

同様にs-tの値の範囲は…？。
No.16256 - 2011/12/24(Sat) 22:13:31
☆ Re: 不等式同士の足しざん引き算 / 涙
それは大丈夫だと思います。

?@をs-tのとりうる値を含む同値な言い換えで表せないか、ということです。

本当のs-tの範囲よりもより大きな範囲になってしまう、というのは、言い換えると
√５-17/2<s-t<√５-5/2は大小の不等式としては正しいが、取りうる値の範囲としては正しくない
ということです。
No.16257 - 2011/12/24(Sat) 22:24:05
☆ Re: 不等式同士の足しざん引き算 / X
ごめんなさい。No.16254でs-tの値の範囲も書かれていますね。

条件が
√５−２＜ｓ＜√５＋２ (A)
9/2＜t＜13/2 (B)
のみであるなら
√５-17/2＜s-t＜√５-5/2
で問題ありません。
(横軸にt,縦軸にsを取り、(A)(B)が示す領域と
直線s-t=p
との関係から、pの取りうる値の範囲を考えてみて下さい。)
(A)(B)が何かの問題の一部分で、他に条件があるという
ことはありませんか？。
No.16258 - 2011/12/24(Sat) 22:33:33
☆ Re: 不等式同士の足しざん引き算 / 涙
私の勘違いだったようです確かに√５-17/2＜s-t＜√５-5/2
はとり得る範囲になってますね。
√５−２＜ｓ＜√５＋２ (A)
9/2＜t＜13/2 (B)
√５-17/2＜s-t＜√５-5/2（C)
「AかつB」⇒Cは分かりましたが

「AかつB」⇔DとするにはCにどのような条件をつければいいのか教えてください。
よろしくお願いします
No.16259 - 2011/12/24(Sat) 23:52:49
☆ Re: 不等式同士の足しざん引き算 / X
最初の質問のきっかけである(C)が計算間違いでないことが
分かったのに
(A)かつ(B)⇔(C)
が成立する条件にこだわる理由が分かりません。
同値変形ができるかどうかの質問の理由は(C)が計算間違い
であることではなかったのですか？。
No.16271 - 2011/12/25(Sun) 15:16:11
☆ Re: 不等式同士の足しざん引き算 / 涙
こだわる理由は、探究心です。質問内容が変わるようなので改めて質問しなおします

ありがとうございました
No.16280 - 2011/12/26(Mon) 01:40:50
★ 指数が対数の計算 / 鈴木
log|y|＝log|x|+C　　を変形して、　|y|＝|x|e^C　　になる過程を分かりやすく教えていただけませんか？

指数が対数のときの計算の仕方を簡単に教えて頂きたいです。

低レベルな質問ですみません。
No.16250 - 2011/12/24(Sat) 14:12:21
☆ Re: 指数が対数の計算 / はにゃーん
対数の性質は教科書やウィキペディアで確認してください。

C = log(e^C)
なので、
logy = logx + log(e^C) = log(xe^C)
y = xe^C
No.16251 - 2011/12/24(Sat) 15:23:12
☆ Re: 指数が対数の計算 / 鈴木
御回答ありがとうございます。

おっしゃる通りですね。

調べた結果、a^(log[a]x)=xという公式が見つかりました。
性質からすぐ成り立つのですね。知りませんでした・・・。
調べる努力を惜しんでしまいました。

またよろしくお願いします^^
No.16253 - 2011/12/24(Sat) 21:25:50
★ 数列 / 焦ってる人
数列｛Cn｝を
Cn=a(n)(nが奇数の時）=2n-1、
b(n)(nが偶数の時）=2^(n-1)+1
で定める。また
S(n)=Σ(k=1~n)C(k)(n=1.2.3...)
とする
nが偶数の時S(n)を求めよ。

（私が考えた解答（誤答））

S(n)=c1+c3+c5+・・+c(n-1)
+c2+c4+c6+・・＋ｃ(2n)
nが偶数より
S(n）というのは
a(2n-1)の初項〜n-1項までの和＋b(2n)の初項〜ｎ項までの和
Σ(k=1~n)a(2k-1)(n=1.2.3...)＝k（２k−１）
Σ(k=1~n)b(2k)(n=1.2.3...)=2/3(4^k-1)+k

より

S(n)=(n-1)(2n-3)+2/3(4^n-1)+n(誤答）


と考えたのですが、どこが間違っているのか教えてください

よろしくお願いします
No.16245 - 2011/12/23(Fri) 20:40:27
☆ Re: 数列 / らすかる
> S(n)=c1+c3+c5+・・+c(n-1)
> +c2+c4+c6+・・＋ｃ(2n)

まずここが間違っています。
　S(n)=c1+c3+c5+・・+c(n-1)
　+c2+c4+c6+・・＋ｃ(n)
です。
その後も添え字2nまで足してしまっては合いませんね。
No.16246 - 2011/12/23(Fri) 21:15:51
☆ Re: 数列 / 焦ってる人
回答ありがとうございます。確かにそのとおりでした。
解説にはわざわざｎ＝２ｍとおいてS(2m)をｍの式で表した後、ｍ＝n/2を代入しているのですが
S(n)=Σ(k=1~n/2)a(2k-1)+Σ(k=1~n/2)b(2k)
でも良いですか？
No.16247 - 2011/12/23(Fri) 21:42:00
☆ Re: 数列 / らすかる
はい、それでも構いません。
No.16248 - 2011/12/24(Sat) 00:12:00
★ (No Subject) / さくら
RECORDERの8文字を左から1列にならべる
[１]CODが左からこの順で並ぶ並び方の総数
[２]CODが左から順にあり、かつRが２以上続く並べ方の総数
No.16244 - 2011/12/23(Fri) 09:28:19
★ (No Subject) / おれんじ
f(x)=(x+2)(x+2a+5)
f(x)の解はx=−２と-2a-5
ここまではいいのですが
f(x)<0が解をもたないのは
-2=-2a-5の時と答えにかいてありました。
なぜこのときに解をもたないのですか？
No.16241 - 2011/12/22(Thu) 21:56:42
☆ Re: / ヨッシー
グラフを考えましょう。

f(x)=0 は、必ず実数解を持ちます。それは、
(i) ２つの異なる実数解
(ii) 重解である
の２通りです。

(i) の時は、-2 ≠ -2a-5 であるわけですが、
この場合、図の青い部分のように、f(x)＜0 の部分が存在します。
(ii) の時に限り、この青い部分がなくなり、f(x)＜0 となる
ｘは存在しません。
No.16242 - 2011/12/22(Thu) 22:50:41
★ 必要十分 / DIE
またまた質問失礼致します。

自然数ｎについて条件ｐｑｒｓを次のように定める。
ｐ　ｎが２で割り切れる
ｑ　ｎが４で割り切れる
ｒ　ｎ＾２が４で割り切れる
ｓ　ｎ＾２が８で割り切れる

ｑはｓであるための**条件である

この**を求めよ

まず私は、ｑをｎ＝４ｋ、ｓをｎ＝２√２ｋと置き換えました
そうするとｑとｓはそれぞれベンズのような範囲をとると思ったので、必要でも十分でもないとしました。
しかし、正答は必要十分条件だそうです。
この考え方は間違っているのでしょうか。。
申し訳ないのですが教えてください。
よろしくお願いします。
No.16233 - 2011/12/20(Tue) 23:46:22
☆ Re: 必要十分 / angel
「自然数n」のお話なので、√は持ち出さないのが吉。

でもって、これは、
　n^2が2で割り切れる⇔nが2で割り切れる
の応用のようなもの。
※一般的には素数pに対し、n^2がpの倍数⇔nがpの倍数

条件sを調べると、まずn^2が8で割り切れる時点でnが偶数であることが必要なので、n=2mと置くと、
　n^2が8で割り切れる
　⇔ n=2m なる自然数mが存在し、(2m)^2 が8で割り切れる
　⇔ n=2m なる自然数mが存在し、m^2が2で割り切れる
　⇔ n=2m なる自然数mが存在し、mが2で割り切れる
　⇔ nが4で割り切れる
ということで、やはり q⇔s です。
No.16237 - 2011/12/21(Wed) 01:38:31
☆ Re: 必要十分 / DIE
つまり、今回自然数ｎについてなので、n^2=2mということは、n=√２ｍではなく、n=2mとしていい。という解釈であっていますでしょうか？？
No.16265 - 2011/12/25(Sun) 01:52:54
☆ Re: 必要十分 / angel
ええと、分かりにくかったならごめんなさい。
「√を使って表現しても、自然数(整数)の問題には役に立ちませんよ」ということ。

感覚としては、素因数分解をした形で考えると良いです。
例えば、n=18=2^1・3^2 の場合、n^2=2^2・3^4 というように指数部分は 1→2, 2→4 と倍の偶数になります。

ということは逆に言うと、n^2 が 2 で割り切れる、つまり n^2=2m の形をしている時に素因数分解を考えても、n^2=2^1・3^k・… のように、指数が奇数になることはないわけです。
必ず、n^2=2^2・3^k・… とか、n^2=2^4・3^k・… といった具合に指数は偶数になるのです。
そうすると2の指数は2以上の偶数なので、n^2は2^2=4 で割り切れる ( nは2で割り切れる ) ということになります。

n^2が8=2^3で割り切れるときも同じ。
n^2=2^3・3^k・… ということはなくて、n^2=2^4・3^k・… とか、n^2は少なくとも 2^4 で割り切れる数になります。( つまりnは2^2で割り切れる )

ただ、指数が偶数になるとか、そういうのが説明し辛いので、証明では背理法を使います。
つまり、nが偶数でないとするとn^2も偶数になり得ないから、n^2が偶数ならnも偶数、という理屈です。
※偶数の代わりに、「素数pの倍数」にしても同じです。が、合成数の時は適用できない可能性があります。
No.16267 - 2011/12/25(Sun) 02:54:20
☆ Re: 必要十分 / DIE
よくわかりました。
ややこしかったです＞＜
どうもありがとうございました！
No.16332 - 2011/12/29(Thu) 19:22:44
★ 確率 / DIE
こんばんは。
今日もよろしくお願いいたします。
添付問題です。
No.16227 - 2011/12/20(Tue) 23:15:07
☆ Re: 確率 / DIE
続きです。
No.16228 - 2011/12/20(Tue) 23:15:44
☆ Re: 確率 / DIE
（３）答えです。
この（３）について質問させてください。

得点が０となるとき、
X=0+0+0
X=６=２+２+２
で、下の回答のようになるそうです。

まずX=0となるときは、少なくとも一回０がでるときなので、1/2*1/2*1/2では、三回とも０がでるときの確率になってしまうのでおかしいように思います。

そして、いまいち問題の把握ができていないようなのですが、
少なくとも一回０がでるとき
一回も数字0が出ないとき、
という二つに場合を分けて提示されていますが、下は上の余事象に当たるので同時には存在しえないといいますか、X,6-Xをどちらも独立事象として和をとってもあまり意味を成さないように思えてしまうのです・・・
言葉足らずかもしれませんが、兎に角問題の意図が上手く取れません。
どうか、救いの手を差し伸べていただけないでしょうか・・・・
どうぞよろしくお願いいたします。
No.16229 - 2011/12/20(Tue) 23:23:46
☆ Re: 確率 / angel
それは、問題文の解釈の問題だと思います。
(3)でXと言っているのは、この問4の冒頭にある「3回投げて出た目の和」のままです。
なので、(3)で言っているのは、

　A:3回の内1回でも0が出たら、出た目の和を得点にする
　B:0が1回も出なかったら、6-(出た目の和)を得点にする

ということ。
例えば、0,0,2 と出ればAのパターンに相当し、得点は2、
1,2,2 と出ればBのパターンに相当し、得点は1になります。

で、出目のパターンとしては、順番を考えなければ
　0,0,0 … パターンA X=0,得点0
　0,0,1 … パターンA X=1,得点1
　0,0,2 … パターンA X=2,得点2
　0,1,1 … パターンA X=2,得点2
　0,1,2 … パターンA X=3,得点3
　0,2,2 … パターンA X=4,得点4
　1,1,1 … パターンB X=3,得点3
　1,1,2 … パターンB X=4,得点2
　1,2,2 … パターンB X=5,得点1
　2,2,2 … パターンB X=6,得点0
の10通りが考えられます。
No.16232 - 2011/12/20(Tue) 23:41:10
☆ Re: 確率 / DIE
よくわかりました。
意図がとれず落胆してしまいました。。。
本当に有難うございました。
No.16333 - 2011/12/29(Thu) 19:55:22
★ 納得できません。 / UNknown
０！＝１の理由がわかりません
教えてください。
No.16222 - 2011/12/20(Tue) 20:00:01
☆ Re: 納得できません。 / はにゃーん
こちらはどうでしょうか？
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/index.htm
No.16224 - 2011/12/20(Tue) 20:21:53
☆ Re: 納得できません。 / angel
一言で言うと、それが一番都合が良いからです。
…それでは納得し辛いかも知れませんから、別の説明をしてみると、乗法(掛け算)における単位元が1だからです。

単位元というのは、どんな数に対して計算をしても、その数を変化させないものを指します。
加法(足し算)で言えば、単位元は0です。
つまり、どんな数 x に対しても、x+0=0+x=x と答は元の x のままです。
同様に、乗法(掛け算)における単位元は1です。

なんで単位元が出てくるかというと…
0のことを思い返してください。0というのは足しても何も変化のない数ですから、「何も足さない」というのを「0を足す」と言い換えることが出来るはずです。

では同じように、1というのは掛けても何も変化のない数ですから、「何も掛けない」というのを「1を掛ける」と言い換えることが出来るでしょう。

で、0! に話を戻します。
n＞0 に対して n! というのは、n個のモノを並べる場合の数を表していて、計算上は n,n-1,…,1 を掛け合わせることになります。
では、0! というのは「何も並べない」と見なすなら、! 自体が元々掛け合わせる演算ですから、「何も掛けない」とも言えるわけで、それなら一番適しているのは 1 だろう、ということにならないでしょうか?

…それ以上に、nPm=n!/(n-m)! や nCm=n!/(m!・(n-m)!) といった計算にぴったり合うのが 0!=1 だから、という理由が大きそうですが。
No.16243 - 2011/12/23(Fri) 02:56:35
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