ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 高校生 / ルイス

s,tがそれぞれ実数全体を動くとする。
O(0,0,0)　P(s+t-3,s+4t-6,s-2t+6)とするとき、OPの最小値を求めよ。

平方完成して解くやり方はできます。
問題は解答のやり方です。
解答には、
OP→＝(s+t-3,s+4t-6,s-2t+6)=(-3,-6,6)+s(1,1,1)+t(1,4,-2)
A(-3,-6,6)　l→=(1,1,1)　m→=(1,4,-2)とおくと、点Pは
【点Aを通りl→とm→に平行な平面α上にある。】
l→とm→にともに垂直なベクトルの一つは
n→=(2,-1,-1)であるから
平面αの方程式は2x-y-z+6=0
求める最小値は、Oとαの距離であり、
|6|/√(2^2+1^2+1^2)=√6

画像を見て頂きたいのですが、m→の始点とl→の始点がともに点Aになっていますよね。
これはどういうことなんでしょうか。
誰か分かる方教えてください。お願いします。

No.16398 - 2012/01/03(Tue) 22:36:10

☆ Re: 高校生 / ルイス

貼り忘れです。失礼しました。

No.16399 - 2012/01/03(Tue) 22:38:02

☆ Re: 高校生 / ルイス

これは自分が書いたものなんですが、これじゃ駄目なんでしょうか？また駄目ならどうして駄目なのか教えてください。お願いします。

No.16400 - 2012/01/03(Tue) 22:39:36

☆ Re: 高校生 / ヨッシー

「これは自分が書いたものなんですが」の図が、どういう意図で
描かれたのか分かりませんので、駄目かどうかは判断できませんが、
たぶん、駄目ではないと思います。

【点Aを通りl→とm→に平行な平面α】
を言い換えると、
【点Aを始点としてl→とm→を描いたとき、両ベクトルを含む平面α】
となります。

「これは自分が書いたものなんですが」の図で、ｓｌ＋ｔｍによって、
決まる平面がありますね？（この図に描かれているｌとｍを含む平面です）
この平面に平行で、点Ａを通る平面を描こうとしたら、自ずと
ｌとｍを点Ａが始点となる位置まで持って行きたくなると思います。

No.16402 - 2012/01/04(Wed) 00:50:34

☆ Re: 高校生 / ルイス

すみません。僕の図は間違ってます。
「sl→+m→」としていますがそれならばl→、m→ではなく
sl→、tm→としないといけませんよね；

補足なんですが、
【点Aを始点としてl→とm→を描いたとき、両ベクトルを含む平面α】のところで、私自身平面に関する理解ができていないことに気付きました。
上の１番目の図でいう互いに一次独立のl→とm→が作っている平面というのは、いまAB→=l→　AC→=m→ AD→=AB→+AC→=l→+m→　とするならば、四角形ABCDの部分のことをいうのでしょうか？
理解力が乏しいのでもう少しおつきあいお願い致します。

No.16404 - 2012/01/04(Wed) 03:07:04

☆ Re: 高校生 / ヨッシー

別にｌとｍとｓｌ＋ｔｍとの間に
平行四辺形が描かれているようでもなさそうなので、これはこれで良いと思います。

ポイントは、ｓやｔをいろいろ変化させても、ｓｌ＋ｔｍは、ｌとｍとで出来る
平面上にあり、平面外には出ないということです。

上のようにＡＢＣＤを置くならば、
ｌとｍが作る平面とは、３点Ａ，Ｂ，Ｃを
３つとも含む平面となります。（Ｄは黙っててもこの平面に含まれます)
四角形ＡＢＣＤの内部だけではありません。

No.16410 - 2012/01/04(Wed) 12:00:45

★ 高2　確率 / れいひゃー

箱の中に0の数が書かれたカードが3枚
　　　　　1の数が書かれたカードが3枚
　　　　　2の数が書かれたカードが2枚
　　　　　3の数が書かれたカードが1枚入っている
箱の中から同時に2枚のカードを取り出し、2枚のカードに書かれた数を記録してそれらを箱に戻す。
この操作を3回繰り返して行う。

記録した6個の数の積が8である確率は(？)である

という問題で、
答えは1/144なのですが、
模範解答に書かれていた式が

31×1/12×/1/6×1/36+(1/6)^3

となっていて、最初の31がなんなのかさっぱり分かりません
解説お願いします。

No.16397 - 2012/01/03(Tue) 22:24:30

☆ Re: 高2　確率 / angel

それは 31 ではなく 3! ( 3の階乗 ) でしょう。
+ を挟んだ前半部分は、2-2, 2-1, 1-1 が1回ずつ出る場合の確率、後半部分は 2-1 が3回出る場合の確率を表しています。

No.16401 - 2012/01/03(Tue) 23:59:40

☆ Re: 高2　確率 / れいひゃー

見間違えだったんですね；
教えてくださって有難うございました!

No.16406 - 2012/01/04(Wed) 09:36:46

☆ Re: 高2　確率 / れいひゃー

あの、
3!で考えてたらなんで3!なのか分からなくなってしまったのですが、3!っているんですか?

No.16408 - 2012/01/04(Wed) 09:58:33

☆ Re: 高2　確率 / らすかる

3回で2-2,2-1,1-1が1回ずつ出るのは
2-2,2-1,1-1
2-2,1-1,2-1
2-1,2-2,1-1
2-1,1-1,2-2
1-1,2-2,2-1
1-1,2-1,2-2
の3!通りあるからです。

No.16413 - 2012/01/04(Wed) 15:28:41

☆ Re: 高2　確率 / れいひゃー

ありがとうございます！

No.16423 - 2012/01/04(Wed) 20:07:57

★ 高校生　場合の数 / ルイス

9人のうち、5人が男、4人が女であるとする。3人、3人、3人の3つの組に分け、かつ、どの組にも男女がともにいる分け方は何通りか。
(自分の解答)
人は区別する必要があるので9人をそれぞれ
b1 b2 b3 b4 b5 g1 g2 g3 g4と区別する。(※b=boy g=girl)
さらに、3つの組をA,B,Cと区別する。
問題文より、どの組にも男女がともに入るのであらかじめそれぞれの組に男女を各々1人ずつ選んで入れておく。
そのような選び方は、まず男についてはAにb1~b5から一人選んで入れればよいから5通り。
BにはAに入れた男を除いた4通り
CにはA,Bに入れた男を除いた3通り
よって、男の選び方は5・4・3=60通り
次に、女についてはAにg1~g4から一人選んで入れればよいから4通り。BにはAにいれた女を除いた3通り
CにはA,Bにいれた女を除いた2通り
よって、女の選び方は4・3・2=24通り。
ここまででA,B,Cには男女がそれぞれ一人ずつ入っていることになる。
残りの人数の内訳は男2人、女1人で計3人。
この3人はA,B,Cの中に自由に入れれば良いので3!通り。
したがって、区別がある時の選び方は60×24×3!=8640通り
区別をなくすと、8640/3!=1440通り

となったのですが、答は180通りでした。
どこが間違っているのか考えてもわかりません。
誰か分かる方教えてください。お願いします。

No.16382 - 2012/01/02(Mon) 13:48:20

☆ Re: 高校生　場合の数 / ヨッシー

A,B,C にb1,b2,b3 をこの順に入れ、同じくg1,g2,g3 を入れ
その後b4,b5,g4を入れた場合と、b4,b5,b3を入れ、g1,g2,g3を入れ
その後b1,b2,g4を入れた場合は同じ結果となります。
このように同じ分け方を重複して数えているものがあるため
実際より多くなっています。

No.16383 - 2012/01/02(Mon) 15:20:10

☆ Re: 高校生　場合の数 / ルイス

回答ありがとうございます。
「この3人はA,B,Cの中に自由に入れれば良いので3!通り。」の部分で、重複するものを含んでしまったということですよね？

No.16384 - 2012/01/02(Mon) 17:32:02

☆ Re: 高校生　場合の数 / らすかる

そうです。

No.16388 - 2012/01/02(Mon) 18:58:51

★ 高校生 / ルイス

高校数学早稲田1989年
座標平面において、原点を中心とする半径1の円をAとし、点(4,0)を中心とする半径3の円をBとする。

点Pが円Aの周上を動き、点Qが円Bの周上を動く。このとき、線分PQの中点Ｍの動き得る範囲を図示し、その面積を求めよ。
(答)点(4,0)をO'とする。まず点Qを固定し点Ｐだけ動かすと、点Mは、点Qを中心に円Aを1/2に相似縮小した円Cを描く。
その中心をRとすると、RはOQの中点である。
次に点Qを動かすと、点Ｒは、原点Oを中心に円Bを1/2に相似縮小した円Dを描くから、結局点Mの描く領域は(省略)
その面積はπ×2^2-π×1^2=3π

画像は自分の書いた図です。(汚くてすみません)
以下は自分は自分の疑問点や考え方を述べたものです。
数学は苦手なので色々間違っている所があると思いますがお許しください。
まず、図のように点Qをとりました。そしてこの点Qから円A上に直線を引いていきますと、円A上のPの動きが分かります。
すると、円Aに接する2つの接線(図の∠みたいなやつです）の中に新たに円が作れるのが分かります。
これが図もにある円Cです。正直いって僕は答をみて初めて円Cが作られることが分かりました。
解答には言及されていませんが、この円Cはおそらく線分PQの中点Mの軌跡だと思います。
点をたどっていくと確かに円っぽくなるのですがちゃんとした根拠がみいだせません。
たしか、数学Aで共通接線の性質というのをやった記憶があるのですがそれと同じなんでしょうか？
この共通接線の性質が図の円Aと円Bにも適用できるならば円の外部の点Qと円Cの中心R（とします）と円Aの中心Oは一直線上にありますよね。
ここで、円Cの中心の点R、円Aの中心の点Oからそれぞれ図の上部の接線に下した点をC,Dとするならば
線分比より、QC:QD=QR:QO=CR:DO=1:2だからここでやっと、答にある「RはOQの中点」「円Aを1/2に縮小したものが円C」の意味が分かりました。
ですが、この後どうすればいいのか全く分かりません。
はじめに固定した点Qを自由に動かしたとき、点Rはどのように動くのでしょうか。
また、答にある「点Qを中心に～」「原点Oを中心に～」の言葉の意味が全く理解できません。

友達は皆この問題を簡単に解けるのに対して僕は何時間悩んでも解けません。
解答を読んでも理解できない自分の理解力の無さに呆れてしまいます。
どうしたらこのような問題を理解して解く事ができるようになるのでしょうか。
試験本番で出されたら0点間違いなしです。
誰か分かる方教えてください。お願いいたします。

No.16374 - 2012/01/01(Sun) 21:10:51

☆ Re: 高校生 / ルイス

貼り忘れです。失礼しました。

No.16375 - 2012/01/01(Sun) 21:11:51

☆ Re: 高校生 / ハオ

一応解いてみましたがルイスさんの提供して下さった模範解答の方針はガン無視で進めているのでお役に立てるか分かりません。

２つの点を同時に動かすのは厄介である。だからまずは片方を固定して考え点の動きを探り、そのあともう片方を動かし全体像を把握します。
軌跡の問題ですので関数式を求めようと考えます。
Q(s,t)を固定します。そして一般的に考えるためP(p,q)と置きます。Pの座標はp^2 + q^2 =1---?@を満たします。
すると中点Mはx=(p+s)/2 , y=(q+t)/2 となります。
p,qについて解いて
p=2x-s q=2y-t
これを?@に代入して
(x - s/2 )^2 + (y - t/2)^2 = 1/4 を得ます。
これはつまり
Mは点( s/2 , t/2 )を中心とする半径1/2の円Cの周上を動くことになります。
ではこの円Cの中心の挙動はどうなるでしょうか。
s,tを動かして考えてみます。
x=s/2 y=t/2を
s,tについて解いて
s=2x t=2y
s,tは円B上の点ですから　(x-4)^2 + y^2 =9を満たしますので代入して
(x-2)^2 + y^2 =9/4
これは
円Cの中心は　(2,0)を中心とする半径3/2の円Dの周上を動くことを意味します。

あとは上を満たす円を四つ程書けば求めたい図形がドーナツ状になる事が分かります。
よって
π*2^2 - π*1^2=3πです。
半径が2なのは3/2+1/2からです。（最も遠いところに着目しました）
半径が1なのは3/2-1/2からです。（最も近いところに着目しました）

あとこれ固定する点を最初円A上の点にして同じように話を進めると答えが合わなくなってしまいます。
何故なのか考えても分かりませんでした。
もしかしたらこの解法は誤っていてたまたま答えがあっていただけに過ぎませんので他の方の解答も参考にして頂けると幸いです。

No.16378 - 2012/01/02(Mon) 04:22:36

☆ Re: 高校生 / ルイス

ありがとうございました

No.16385 - 2012/01/02(Mon) 17:32:28

★ 数IIです / み

平面上の3点A(0,1)、B(2,3)、Cが正三角形の頂点となるとき、点Cの座標を求めよ。

よろしくお願いします

No.16358 - 2011/12/31(Sat) 22:44:37

☆ Re: 数IIです / ハオ

検算しましたので答えには一応自信があります。
今求める座標Cを(p,q)と置きます。
そして点Aを原点に移すべくy座標を-1します。
（これは原点を中心として60度回転する行列を用いたいからです）
ここで今移動後の点をプライムをつけて表しますと
A'(0,0) B'(2,2) C'(p,q-1)となります

ではA'を中心としてB'を±60°回転させてあげれば求めたいC'に一致するので
(cos(±60°) -sin(±60°))( 2)
( )( ) =C'
(sin(±60°) cos(±60°) )( 2)

と立式して（ずれてたらスイマセン）
C’＝（1-√3 , 1+√3)
(1+√3 , 1-√3)
と出てきます

ですから求めたいCはy座標に+1してあげまして
　　　C=（1-√3 , 2+√3)
(1+√3 , 2-√3)
となり求まります。

No.16360 - 2011/12/31(Sat) 23:26:02

☆ Re: 数IIです / らすかる

もし行列を習っていない場合は
AB^2=8なので
Aを中心としてBを通る円の方程式は x^2+(y-1)^2=8 … (1)
Bを中心としてAを通る円の方程式は (x-2)^2+(y-3)^2=8 … (2)
(1)-(2)から y=-x+3 … (3)
(3)を(1)に代入してxの二次方程式を解くと x=1±√3
これを(3)に代入してCの座標は (x,y)=(1+√3,2-√3),(1-√3,2+√3)

No.16361 - 2012/01/01(Sun) 00:07:38

★ (No Subject) / 0

n次正行列Aの余因子行列Ａの行列式|Ａ|は｜A｜^n-1に等しいことを証明せよ。

全くわかりません。
よろしくお願いします。

No.16356 - 2011/12/31(Sat) 20:55:01

☆ Re: / ハオ

問題が少しだけ不明なので改変してみますと
n次正方行列Aの余因子行列adj(A)の行列式|adj(A)|は
|A|^n-1 に等しいことを証明せよ。
これで仰りたいことは合っていますか？
まず
inv(A)= adj(A)/ det(A) (inv(A)はAの逆行列 det(A)はAの行列式を表します。）
を用いて
det(A)*inv(A) = adj(A)----?@
ところでkB=k^n*|B|は大丈夫ですか？(Bはn次正方行列で多重線形性をもつため）

?@より両辺のdetをとりまして
det(A)^n det(inv(A))=det(adj(A))
det(A)^n-1 = det(adj(A))

これでいかがでしょうか？

No.16365 - 2012/01/01(Sun) 15:24:54

☆ 「件名は必ず入れてください。」と書かれています / のぼりん

こんにちは。
横から失礼します。
Ａは逆行列を持つとは限らないので、Ｅを単位行列としたとき、ハオさんの記号に従えば、行列式の展開に関する定理により、
　　Ａ・ａｄｊ（Ａ）＝ａｄｊ（Ａ）・Ａ＝｜ａｄｊ（Ａ）｜Ｅ
となることを用いればいかがでしょうか。

No.16369 - 2012/01/01(Sun) 17:02:40

★ 素数の問題です / 八重

pを素数としてx∧3+2px∧2+5px+6pを考える。方程式f(x)=0が少なくとも１つの有理数を持つような素数pを全て求めよ。

全然分かりません。模範解答をお願いします！

No.16349 - 2011/12/31(Sat) 14:08:31

☆ Re: 素数の問題です / ハオ

合ってる確証は全くありませんが私なりの解答を示したいと思います。

まず　素数は1と自分以外に約数をもたない。　これを使います。
３次方程式の解の候補は　±6 ±2 ± 3 ±p ±1です。
これは与方程式が少なくとも有理数解を一つ持つことから言えます。
また式の形から解が正ですと　x∧3+2px∧2+5px+6p＞0(∵pは素数）となってしまうのが明らかです
よって -6 -2 -3 -p -1を順に与式に代入していきます。
その式f(-6) f(-2)・・・f(-1)が0になるpを求めそのpが条件を満たすものだけをとりあげると
p= 2 , 3 が得られます。
よってp = 2 p = 3であると考えます。

No.16350 - 2011/12/31(Sat) 18:57:20

☆ Re: 素数の問題です / らすかる

解の候補は他に ±2p ±3p ±6p がありますね。

No.16353 - 2011/12/31(Sat) 20:12:06

☆ Re: 素数の問題です / angel

解は-2,-3,-6の3通りに絞れますので、f(-2)=0, f(-3)=0, f(-6)=0 の3通りの中で、pが素数になるものを挙げると良いです。

まず、f(x)=0 が有理数解を持つとしたら、それは必ず整数になります。
※fが整数係数の多項式なので、有理数解は、(定数項の約数)÷(最高次の係数の約数) の形になる。今、最高次の係数が1なので÷1ということで、整数にしかならない。

では、その整数解をnと置くと、ハオさんの説明にあるとおり、nは負の整数です。
で、
　f(n)=n^3+2pn^2+5pn+6p=p(2n^2+5n+6)+n^3
と p に関してまとめた上で f(n)=0 と比較すると、
　n^3=-p(2n^2+5n+6)
ということで、n^3 は素数pの倍数です。
そうすると、n も素数 p の倍数であることが分かります。
※nがpの倍数でないとすればn^3もpの倍数にならないから。背理法ですね。

あらためて、n=mp ( mは負の整数 ) とおいて一部だけ代入します。
　n^3=-p(2n^2+5n+6)
　⇒ n・n^2=-p(2n^2+5n+6)
　⇒ mp・n^2=-p(2n^2+5n+6)
　⇒ mn^2=-(2n^2+5n+6)
　⇒ mn^2+2n^2+5n = -6
　⇒ n(mn+2n+5)=-6
これより、n は6の約数で負、またnはpの倍数なので-1ではない、ということで n=-2,-3,-6 と絞れます。

No.16359 - 2011/12/31(Sat) 22:51:36

★ 数量の変化を表すグラフの問題 / 夕凪

ヨッシーさん、こんばんは(o^-^o)。

この前は、どうも有り難うございました(*^.^*)。また、行き詰まってしまったので、よろしくお願い致します。

画像添付しております。

この問題は、右のグラフで４００ℓのところが、たて８０cm、横１１０cm、高さBG＝AE＝あ、の体積に等しいと考えるのでしょうか？

う、はこの浴槽の高さになると思うのですが、どこで判断して長さをだしてよいか、解りません(>.<)。

それでは、解説よろしくお願い致します。

No.16336 - 2011/12/30(Fri) 01:20:45

☆ Re: 数量の変化を表すグラフの問題 / ヨッシー

グラフの傾きは単位体積当たりの深さの増え方を示していますが、う　の所でそれが変わるのはなぜでしょうか？
その特徴的な高さが　う　となります。
次に、う　の高さになったときの体積がわかっているので、い　の長さがわかります。

No.16343 - 2011/12/30(Fri) 16:53:51

☆ Re: 数量の変化を表すグラフの問題 / 夕凪

ヨッシーさん、こんばんわ。

いつも有難うございます(o^-^o)

さっき掲載に失敗したので、もう１度のせます。

申し訳ないですが、わかりません(>.<)。う、のところでそれが変わるのがなぜかがわかりません(>.<)。たて８０ｃｍ、横１１０ｃｍ、高さＢＧの体積が４００ℓ（４０００００cm3 ）に等しくならないのですか？

馬鹿な質問ですが、この図の中の「こしかけ」ってなんでしょうか？

ほんとに頭が悪くて、すいません。また解説よろしくお願い致します。

No.16355 - 2011/12/31(Sat) 20:50:21

☆ Re: 数量の変化を表すグラフの問題 / はにゃーん

こしかけは腰をかけるところです。
お風呂の中が階段状になっていると考えてください。
その腰掛けの部分は水が入りません。
まずは問題の状況を理解して下さいね。

そしてなぜグラフが折れ線なのか？その折れるポイントはどこなのか？考えてみてください。

っていうか、普通はお風呂いっぱいに水は入れませんよ。
だから高さがBGが400リットルの時というふうに考えた時
ちょっとおかしいと思ってほしいです。
グラフと図から400リットルのとき高さは(あ)ですしね。

No.16357 - 2011/12/31(Sat) 22:14:08

☆ Re: 数量の変化を表すグラフの問題 / 夕凪

はにゃーん様、はじめまして、こんばんわ(*^.^*)。

ご回答どうもありがとうございますー(o^-^o) 。でも頭が悪いので、まだ解りません(>.<)。

もうちょっとお聞きしてもいいでしょうか？こしかけは、腰をかける部分で、水が入らない部分だとは、気が付きませんでした。これは、解りました(o^-^o) 。

だから、たて８０ｃｍ×横ＦＧ×高さ３０ｃｍの腰かけの部分を、あ、の深さまで入った全体の水の量４００ℓからひいたものが、水が入った部分の全体の体積と考えるのでしょうか？

でも、なぜグラフが折れ線なのか？その折れるポイントはどこなのか？は、申し訳ないけど、解りません(>.<)。

また、よろしければ、解説お願い致します(o^-^o) 。

No.16368 - 2012/01/01(Sun) 17:02:12

☆ Re: 数量の変化を表すグラフの問題 / はにゃーん

例えばですね、同じ高さのコップとお鍋があるとしますね。台所の蛇口から水を注ぐ時、コップのほうがお鍋よりも速く水位が上がりますよね。これらの間には水位の上昇スピードに差があるわけです。
この問題でも同様で、腰掛けの高さまではコップに注ぐ時と、腰掛けの高さ以上ではお鍋に注ぐ時と同じように水位の上昇スピードに差があるわけです。

ちょっと縮尺とか違いますが、断面図と思ってください。お風呂に水が溜まっていく様子です。

上記の説明や図からわかるように、水位の上昇スピードが変わる時というのは水位がちょうど腰掛けの高さになった時ですね。ですから最初に求まるのは
（う）= HF = 30cm
です。このときの体積が216リットルなので
縦80cm × 横（い）× 高さ30cm = 216リットル = 216×1000cm^3
という方程式を立てて解くと（い）= 90cm

>たて８０ｃｍ×横ＦＧ×高さ３０ｃｍの腰かけの部分を、あ、の深さまで入った全体の水の量４００ℓからひいたものが、水が入った部分の全体の体積と考えるのでしょうか？

400リットルから腰掛けの部分をひいちゃダメです。

400リットル = 縦80cm×横110cm ×高さ（あ）- 腰掛けの部分の体積

となりますよね。(あ) = 40cmになります。

No.16377 - 2012/01/02(Mon) 01:49:27

☆ Re: 数量の変化を表すグラフの問題 / 夕凪

はにゃーん様ー、こんにちわ(o^-^o)

ほんとに解りやすく丁寧な解説、どうもありがとうございますー(*^.^*)。画像まで付けて頂いて、感謝(^人^)しています。

よく解る説明で素晴らしいです。馬鹿な私でも、これだったら、わかりますー(o^-^o) 。

?@の問題は、もう大丈夫です。

?Aの問題の、水面から底までの深さが４５ｃｍになるのは、何分何秒後か？ですが、

３０ｃｍまでの体積は、２１６０００cm3で、あと１５ｃｍの部分は、たて８０cm×横１１０ｃｍ×１５＝１３２０００cm3で合計したら、３４８０００cm3

１分２０ℓ入るから、３４８ℓ÷２０＝１７．４分　１７分２４秒でいいかなあ？

★勉強して解けるようになりますう(o^-^o) 。また、機会がありましたら、ご回答どうぞよろしくお願い致します(*^^*ゞ

No.16380 - 2012/01/02(Mon) 12:16:39

☆ Re: 数量の変化を表すグラフの問題 / はにゃーん

すいません。(あ)は50.9cmでしたね。

(2)はそれでいいとおもいますよ。

No.16381 - 2012/01/02(Mon) 12:47:09

★ (No Subject) / DIE

もう一問お願いいたします。
f(t)=∫［t→０～１］｜t^2-x^2｜dtのMINを求めよ

中の関数について二つの場合わけをし、より小さいものを適用して、-1/3としましたが、あっていますでしょうか？
回答がないため、正解不正解を知ることができません。
すみませんがよろしくお願いします。

また、０≦ーxの計算は、符号はそのままでしたでしょうか？０がくる場合は特殊な何かがあったような気がするのですがおぼろげです・・・

No.16327 - 2011/12/29(Thu) 18:43:45

☆ Re: / X

>>f(t)=∫［t→０～１］｜t^2-x^2｜dt
ですが
f(x)=∫［t→０～１］｜t^2-x^2｜dt
のタイプミスであると見て回答します。
>>-1/3としましたが
まずf(x)の式の積分により、少なくとも
f(x)＞0
となりますので、最小値は-1/3にはなりえません。
もう一度計算過程を見直しましょう。

＞＞また、０≦ーxの計算は、符号はそのままでしたでしょうか？
意味不明です。

No.16335 - 2011/12/29(Thu) 23:04:35

☆ Re: / angel

とりあえず、答は 1/4 です。
で、明らかに f(-x)=f(x) なので、x＜0 のことは考える必要はありません。
※最小値を求めるだけなので。もし最小値を取る時の x を求めよ、といわれたなら、x≧0 の範囲で f(1/2) が最小なのを調べてから、x=±1/2 を答にしてあげれば十分。

> 中の関数について二つの場合わけをし、
0≦x≦1 に対して、
　f(x)=∫[0,1] |t^2-x^2| dt
　= ∫[0,x] (x^2-t^2)dt + ∫[x,1] (t^2-x^2) dt
ということでしょうか? それであれば問題ありません。
なお、x＞1 の範囲を考える必要がないのも良いでしょうか…?

なおグラフとして考えると、f(x)というのは添付の図の斜線部の面積(合計)に相当します。

No.16340 - 2011/12/30(Fri) 02:40:42

☆ Re: / angel

ちなみに、f(1/2)が最小であることは、f(x)を計算しなくても図形的に分かります。( 解答には書けませんが )
まず、f(x) の表す数値が上の図の面積に相当するというのを念頭において下さい。

さて、そこで下の図を見てください。
1/2より大きいxの値を少しだけ小さくしたら、面積( f(x)の値 ) はどうなるか、を表すものです。
※結構たくさん変化させているように見えますが、ほんのわずかだけxを変化させていると考えてください。
青斜線の増加分よりも、赤斜線の減少分の方が大きいですよね。つまり、x＞1/2 の場合は x を減らした方が、f(x) も小さくなるということ。

逆に、x＜1/2 の場合は x を増やした方が f(x) は小さくなります。同じように図を描いて確かめてみてください。

ということで、f(x)が最小となるのは f(1/2) しかない、と分かります。

No.16341 - 2011/12/30(Fri) 02:56:38

☆ Re: / DIE

ご丁寧な解説有難うございます。
しかしなんだかわけがわからなくなっています・・・

そもそも、今tの積分より、f(t)を考えているのではないのでしょうか・・・？
えーっとこのように場合わけをし考えたのですが・・・。

No.16371 - 2012/01/01(Sun) 18:25:56

☆ Re: / angel

えーと、その図は多分間違いです。

私が載せた図は、軸がf(t)になっているのは間違いでした。

で、ちょっと描き直しました。下の3通りどれで考えても良いですが、私の第1感は一番左だったということで。問題文に沿って素直に描くなら一番右ですね。

No.16392 - 2012/01/03(Tue) 17:10:07

☆ Re: / DIE

では右の図を素直に使いたいのですが、そうするとこのような二つの場合わけになりませんでしょうか？？？
間違いありますでしょうか？？？

No.16545 - 2012/01/10(Tue) 02:46:44

★ (No Subject) / おれんじ

数列の問題についての質問です！

等差数列 a_n=3n-1,b_n=4n-3があり、
数列{a_n}と{b_n}の共通な項を小さい順に並べた数列を{cn}とすると
c_n=12n-7である。

また、2つの数列{a_n}と{b_n}の少なくとも一方に含まれている項を小さい順に並べて
d_1,d_2,d_3･････とする。ただし、共通な項はいずれか一方のみを並べるものとする。

このとき、d_n>100を満たす最小の整数nは[アイ]であり、
d_[ｱｲ]=[ウエオ]である。

さらにΣ[k=1～[アイ]]=[カキクケ]である

これのやり方なんですが
自分は
d_n=a_n+b_n-c_n
　　3n-1+4n-3-(12n-7)>100
というやり方でといたのですが
　　答えが違うみたいで・・
　　詳しく解説おねがいします

No.16326 - 2011/12/29(Thu) 18:29:15

☆ Re: / X

項と項数をごちゃごちゃにして考えているものと思いますが
＞＞d_n=a_n+b_n-c_n
とはなりません。

a[n]＞100 (A)
を解くと
n＞101/3=33+2/3
∴(A)を満たす最小のnは34であり
a[34]=101 (A)'
一方
b[n]＞100 (B)
を解くと
n＞103/4=25+3/4
∴(A)を満たす最小のnは26であり
b[26]=101 (B)'
更に
c[n]=101のときn=9 (C)
(A)'(B)'(C)によりd[n]＞100となる最小のnは
34+26-9=51
となります。

残りの問題はもう一度ご自分で考えてみてください。

No.16334 - 2011/12/29(Thu) 22:51:35