関数f(x)範囲x>-1において第２次導関数f''(x)をもち、さらに
(x+1)^2f(x)-2∫[0,x](x-t)f'(t)dt-1/2=0
を満たすとき
(1)f(0),f'(0)を求めよ
(2)f(x)を求めよ
(1)はそれぞれ1/2,-1/2ってでたんですけど合ってますか？
(2)が全然分からなくて上の条件をどう使うかも分かりません
模範解答をお願いします
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No.15891 - 2011/11/17(Thu) 23:19:17
| ☆ Re: f(x)の決定 / X | | | (1)
f'(0)の値が間違っています。
問題の等式から
{(x+1)^2}f(x)-2x{f(x)-f(0)}+2∫[0,x]tf'(t)dt-1/2=0
{(x+1)^2}f(x)-2x{f(x)-f(0)}+2xf(x)-2∫[0,x]f(t)dt-1/2=0
{(x+1)^2}f(x)+2xf(0)-2∫[0,x]f(t)dt-1/2=0
両辺をxで微分すると
2(x+1)f(x)+{(x+1)^2}f'(x)+2f(0)-2f(x)=0
2xf(x)+{(x+1)^2}f'(x)+2f(0)=0 (A)
これにx=0,f(0)=1/2を代入して
f'(0)=-1
となります。
(2)
(1)の結果より(A)は
2xf(x)+{(x+1)^2}f'(x)+1=0
これをf(x)の微分方程式と見て解くわけですが
最終的にf(x)は解析関数で表すことができない積分が
混じる式になります。
(ちなみにf"(x)が存在するという条件も使いません。)
問題の等式にタイプミスはありませんか？。
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No.15895 - 2011/11/18(Fri) 13:24:58 |
| ☆ Re: f(x)の決定 / イド | | | ∫の中が間違えてました
(x+1)^2f(x)-2∫[0,x]((x-t)f'(t))dt-1/2=0
多分こうです
だから等式から
{(x+1)^2}f(x)-2x∫[0,x]f'(t)dt+2∫[0,x]tf'(t)dt-1/2=0
ってならないですか？
多分僕が間違ってると思うんですけど
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No.15899 - 2011/11/18(Fri) 21:39:08 |
| ☆ Re: f(x)の決定 / X | | | ＞＞∫の中が間違えてました
訂正前後で式の形が全く変わっていませんが…。
積分の中の
＞＞(x-t)f'(x)
は
(x-t)f(x)
のタイプミスではありませんか？。
＞＞だから等式から〜
その通りですが、更にそこから左辺の２箇所の積分の項を
∫[0,x]f'(t)dt=f(x)-f(0)
∫[0,x]tf'(t)dt=[tf(x)][0,x]-∫[0,x]f(t)dt
=xf(x)-∫[0,x]f(t)dt
と変形します。
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No.15902 - 2011/11/18(Fri) 22:26:46 |
| ☆ Re: f(x)の決定 / イド | | | ＞＞(x-t)f'(x)
は
(x-t)f(x)
のタイプミスではありませんか？
問題文は普通に
(x-t)f'(t)なんですけど
問題文が間違っていますか？
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No.15903 - 2011/11/18(Fri) 22:41:49 |
| ☆ Re: f(x)の決定 / X | | | ＞＞(x-t)f'(x)
が
(x-t)f(x)
のタイプミスであるならば、f"(x)が存在するという条件を使って
f(x)を解析関数で表す(つまり高校数学のレベルで解く)
ことができます。
もしタイプミスがないのであれば、最終的にf(x)の式の中に
∫{e^{1/(x-1)}}dx
という、解析関数で表すことのできない積分が
混じってしまいます。
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No.15905 - 2011/11/18(Fri) 22:50:44 |
| ☆ Re: f(x)の決定 / イド | | | もし(x-t)f(x)
この形だとどうやってf(x)を出すんですか？
解答お願いします！
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No.15906 - 2011/11/18(Fri) 23:03:20 |
| ☆ Re: f(x)の決定 / はにゃーん | | | もし出典がわかればタイプミスかどうかわかるかもしれません。
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No.15916 - 2011/11/19(Sat) 01:33:00 |
| ☆ Re: f(x)の決定 / イド | | | 出典は分からないです
問題文に書かれてるのは、初めに投稿した文しか書いていません
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No.15923 - 2011/11/19(Sat) 10:46:05 |
| ☆ Re: f(x)の決定 / X | | | >>この形だとどうやってf(x)を出すんですか？
問題の等式は
{(x+1)^2}f(x)-2∫[0,x](x-t)f(t)dt-1/2=0 (A)
(1)
(A)にx=0を代入して
f(0)=1/2 (B)
又(A)を変形すると
{(x+1)^2}f(x)-2x∫[0,x]f(t)dt+2∫[0,x]tf(t)dt-1/2=0
両辺xで微分して
2(x+1)f(x)+{(x+1)^2}f'(x)-2∫[0,x]f(t)dt-2xf(x)+2xf(x)=0
∴2(x+1)f(x)+{(x+1)^2}f'(x)-2∫[0,x]f(t)dt=0 (A)'
(A)'にx=0,(B)を代入して
f'(0)=-1 (C)
(2)
(A)'を更にxで微分すると
∴2f(x)+2(x+1)f'(x)+2(x+1)f'(x)+{(x+1)^2}f"(x)-2f(x)=0
4(x+1)f'(x)+{(x+1)^2}f"(x)=0
4f'(x)+(x+1)f"(x)=0
これをf'(x)についての微分方程式と見て(C)の下で解くと
f'(x)=-1/(x+1)^4
これと(B)により
f(x)=-1/{3(x+1)^3}+1/6
となります。
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No.15924 - 2011/11/19(Sat) 12:36:36 |
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