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★ 数学　高２ / 数学わからない

確率の問題 立方体の各面に，隣り合った面の色は異なるように，色を塗りたい． ただし，. 立方体を回転させて一致する塗り方は同じとみなす． (１)異なる５色をすべて使って塗る場合 解答には 「色を１，２，３，４，５とする。同じ色を２つ使う色を仮に１とする。 １回しか使わない２，３，４，５について着目する。 上面に２をぬると下面は３，４，５の３通り。 ５色あるうちどの色を２回つかうかで５通り。 よって、５・３＝１５通り」 ここで疑問におもったのですが、上面の色の塗り方について最初自分は４通りとしてしまって 答が５・３・４＝６０通りになったですが、なんで上面の４通りは解答ではカットされているのでしょうか？ 自分なりに色々考えてみたところ、上面の色の選び方にわざわざ４通りをいれてしまうと、本来裏返すことで一致するはずの色の組み合わせがダブルカウントされてしまっている？のではないかと思ったのですかどうなんでしょうか？ 確率は大の苦手なので誰かわかる方教えてください。おねがいします。 No.15544 - 2011/10/21(Fri) 15:46:10 ☆ Re: 数学　高２ / らすかる > 上面の色の選び方にわざわざ４通りをいれてしまうと、本来裏返すことで一致 > するはずの色の組み合わせがダブルカウントされてしまっている？のではないか その通りです。 塗り終わった立方体の向きを変えれば必ず「上面が２」であるように 出来ますので、「上面が２」のパターンだけ考えれば良いということです。 No.15545 - 2011/10/21(Fri) 16:17:47

★ 積分　大学 / RIKAO
わからない問題があるので 解説お願いします。 ∫(x^7)/(x^12 + 1)dx （x^4=tに置換） よろしくお願いします。 No.15538 - 2011/10/20(Thu) 00:23:02 ☆ Re: 積分　大学 / X x^4=t と置くと (x^3)dx=(1/4)dt ∴∫{(x^7)/(x^12+1)}dx=(1/4)∫{t/(t^3+1)}dt ここで t/(t^3+1)=t/{(t+1)(t^2-t+1)} ∴t/(t^3+1)=a/(t+1)+(bt+c)/(t^2-t+1) と部分分数分解することができるとして係数a,b,cの 値を求めると…。 No.15541 - 2011/10/20(Thu) 09:13:15

★ 数学わかりません。 / 数学わからない

半径１の円に内設する正六角形の頂点をＡ1、Ａ2、・・・、Ａ6とする。これらから任意に選んだ３点を頂点とする三角形の面積の期待値を求めよ。ただし、２つ以上が一致するような３点が選ばれたときは、三角形の面積 という問題ですが、解答では(ア)正三角形の場合 (イ)直角三角形の場合 (ウ)二等辺三角形の場合 の３つに場合分けして考えています。それで(ア)についてなんですが、解答には以下のように書かれています。 「最初の点は６つのうちどれを選んでいいので６通り。次に選ぶ点は正三角形となるように選べば２通りしかない。 よって６×２×１＝１２通り。」 正六角形を書いたときの１番上にある頂点をＡ１として時計まわりにＡ２、Ａ３、・・・Ａ６と取っていくとします。 それで、最初の点にＡ１を選んだとします。すると正三角形をつくるにはＡ３、Ａ５が必要です。 順番を考慮するなら△Ａ１Ａ３Ａ５を始め3!=6通りつくれます。 また、もう一つ、最初の点にＡ２を選んだ時、正三角形をつくるためには、Ａ４、Ａ６が必要です。 順番を考慮するなら△Ａ２Ａ４Ａ６を始め3!=6通りつくれます。 ２つを足すと6＋6＝12通り 解答はこういうことをいっているとおもうのですが、 実際正六角形の頂点を使って作れる正三角形の数は２個だけだと思います。 しかし、答には12通りとあります。 これはなぜなのでしょうか？また、解答には「３点のとりかたは６^3=216通り」とあるのですがこれもわかりません。 またまた別の問題になるのですが nを自然数とする。正6n角形の異なる３頂点を結んで三角形を作る。 (１)正三角形の数を求めよ。 上の問題の解き方と同じ方針でやると、 まず最初の点は6n個ある頂点のうちどれを選んでもよいので6n通り。 次に、正三角形をつくるには２通りの頂点がある。 よって、６ｎ×２×１＝１２ｎ通り。 となるはずなのですが、答は２ｎ通りです。 ちなみに、この問題の答には「正三角形になる３点は2nだけ離れているので、Ａ１，Ａ２，・・・，Ａ２ｎの中から１つ選び、あとは2nおきに取っていきます。たとえば、Ａ１を取ったら次はＡ【２n＋1】を、次はＡ【４ｎ＋１】 (わかりやすくするために【】をつけときました) よって正三角形は合計で２ｎ個ある。」 これはＡ１〜Ａ２ｎまでの間に正三角形をつくるのに必要な頂点があるのでそれを１つ選んでおけば残りの２つの頂点は自動的に選ばれるので１通り。よって２ｎ×１＝２ｎ通り(個)ということなんでしょうか？ なんだか釈然としません。 本当によくわからないので誰かわかる方がいましたら教えてください。お願いします。 No.15529 - 2011/10/19(Wed) 18:53:20 ☆ Re: 数学わかりません。 / ヨッシー 期待値を求めるには、その前に確率を求めないといけません。 確率を求める場合、順列で数え上げるか、組み合わせで数え上げるか どちらでも良いのですが、肝心なのは、その一つ一つが同じ 確からしさであるということです。 この問題の場合、組み合わせで数えると、３回続けて同じ点を 選ぶ場合、２回同じ場合、三角形が出来る場合によって、 確からしさが違うので、順列で数える方が確実です。 すべての選び方は、 　１回目がＡ1〜Ａ6 の６通り。その各場合において、 　２回目がＡ1〜Ａ6 の６通り。さらに、 　３回目がＡ1〜Ａ6 の６通り。ですから、 全部で、６×６×６＝２１６(通り)　の選び方があります。 書き上げるなら、 (A1,A1,A1),(A1,A1,A2)・・・(A1,A1,A6) (A1,A2,A1),(A1,A2,A2)・・・(A1,A2,A6) 　　・・・ (A6,A6,A1),(A6,A6,A2)・・・(A6,A6,A6) の２１６通りです。 このうち、正三角形になるのは (A1,A3,A5),(A1,A5,A3),(A3,A1,A5),(A3,A5,A1),(A5,A1,A3),(A5,A3,A1) (A2,A4,A6),(A2,A6,A4),(A4,A2,A6),(A4,A6,A2),(A6,A2,A4),(A6,A4,A2) の１２通りです。 前半の６つ、後半の６つはそれぞれ同じ正三角形になりますが、 点を選ぶ順番が違います。 No.15532 - 2011/10/19(Wed) 22:42:48 ☆ Re: 数学わかりません。 / ヨッシー 後半です。 こちらは、正三角形の数を聞いているので、点を選ぶ順が違っても、 結果同じ正三角形になるものは、１つの正三角形です。 前半は、確率を求めるために、順番を気にしています。 後半は順番は気にしていません。 質問の中で、数学わからないさんが、 「正六角形の頂点を使って作れる正三角形の数は２個だけだと思います。」 の考え方です。 No.15533 - 2011/10/19(Wed) 22:48:38 ☆ Re: 数学わかりません。 / 数学わからない 順列で考える場合は出来上がる図形(正三角形)は同じでも 頂点の取る順番まで考慮しないといけない　というところがいまいち釈然としません。 よかったこの部分をもうすこし教えていただけないでしょうか？お願いします。 No.15535 - 2011/10/19(Wed) 23:27:46 ☆ Re: 数学わかりません。 / ヨッシー 確率は、 　(ある事象の起こる場合)／(全事象の起こる場合) です。 全事象の起こる場合の数え上げを、頂点を取る順番でおこなっているので、 ある事象(この場合、正三角形が出来る)も、頂点の取る順番を 区別して数えないといけません。 この問題が「正六角形の頂点から３個を選んで、三角形を作るとき、 正三角形になる確率を求めよ」であれば、 ＜順列で考える場合＞ 　すべての選び方は、6Ｐ3＝６×５×４＝１２０ 　（この１２０通りの起こり方はすべて等しい) 　正三角形となるのは、６×２×１＝１２ 　確率は、１２／１２０＝１／１０ ＜組み合わせで考える場合＞ 　すべての選び方は、6Ｃ3＝２０ 　（この２０通りの起こり方はすべて等しい) 　正三角形となるのは、２通り 　確率は、２／２０＝１／１０ のどちらでも良いですが、上の問題では、三角形にならない場合も 考慮するので、すべて起こり方が等しいすべての選び方を 設定することが困難なので、順列（重複順列といいます）で、 考えるのが妥当です。 No.15536 - 2011/10/19(Wed) 23:48:49

★ 放物線と直線で囲まれた部分の面積 / イド

放物線y=a^2-x^2(aは正の定数)の第一象限にある部分をCとし、C上の点Pにおける接線をL,Lとx軸との交点をA,原点をOとする。CとLおよびx軸とで囲まれる部分の面積をS1,三角形OAPの面積をS2とするとき、S2=3S1が成り立つような点Pの座標を求めよ お願いします No.15528 - 2011/10/19(Wed) 17:56:59 ☆ Re: 放物線と直線で囲まれた部分の面積 / X y=a^2-x^2 より y'=-2x ∴条件から P(t,a^2-t^2) (0＜t＜a) (A) と置くとLの方程式は y=-2t(x-t)+a^2-t^2 つまり y=-2tx+a^2+t^2 ∴A(t/2+(a^2)/(2t),0) なので S[1]=∫[t→a]{(-2tx+a^2+t^2)-(a^2-x^2)}dx +∫[a→t/2+(a^2)/(2t)](-2tx+a^2+t^2)dx =… (B) S[2]=(1/2){t/2+(a^2)/(2t)}(a^2-t^2) =… (C) (B)(C)を S[2]=3S[1] に代入してtについての方程式を導き、(A)の範囲の解を求めます。 No.15530 - 2011/10/19(Wed) 19:55:40

★ 中点の存在範囲 / サーシャ

xy平面上の２曲線 　C1;y=x^2 (-2<=x<=2) C2;y=x^2+2 (-2<=x<=2) を考える。点PがC1上を、点QがC2上を動くとき、線分PQの中点が存在する範囲の面積を求めよ 通過領域的な考えですか？ 解説お願いします No.15523 - 2011/10/19(Wed) 01:22:38 ☆ Re: 中点の存在範囲 / ヨッシー ある中点のｘ座標がｔであるとき、その点は、 　(ｔ−α、(ｔ−α)^2) と (ｔ＋α、(ｔ＋α)^2＋２) の中点か 　(ｔ＋α、(ｔ＋α)^2) と (ｔ−α、(ｔ−α)^2＋２) の中点ですが、 いずれも、 　(ｔ、ｔ^2＋α^2＋１) となります。 対称性から0≦ｘ≦2 で考えます。 面積を求める図形を、ｘ＝ｔ　の位置で切ったとき、 ｙ軸方向に、ある幅が出来ますが、それは、 ｔ^2＋α^2＋１ を 0≦α≦２−ｔ の範囲で動かしたときの 最小値と最大値の範囲となります。 最小値は、α＝０　のときの　ｔ^2＋１ 最大値は、α＝２−ｔ のときの　２ｔ^2−４ｔ＋５ よって、幅は　ｔ^2−４ｔ＋４　となります。 これを、ｔ＝０から２まで積分して、２倍すれば出来上がりです。 No.15526 - 2011/10/19(Wed) 07:11:11

★ 複素数 / 高2

pを実数としてf(x)=x^3+(p+2)x^2+(p+2)x-2p+4とおく。 3次方程式f(x)=0はx=-2を解に持つ。 このとき、方程式f(x)=0が異なる3つの解を持ち、これらのうちある1つの解を2乗すると残りの解のいずれかになるようなpの値をすべて求めよ。ただし方程式の解は複素数の範囲で考えるものとする。 まずx=-2を解にもつので、 f(x)=(x+2)(x^2+px-p+2) と因数分解してみましたが、この後の問題の意味が分かりません。 (これらのうちある1つの解を2乗すると残りの解のいずれかになる) 解答解説よろしくお願いします。 No.15519 - 2011/10/18(Tue) 23:26:16 ☆ Re: 複素数 / ヨッシー まず 　x^2+px-p+2＝０ は、異なる２つの解（実数とは限らない）α、βをもち、 それらはいずれも、−２ではない。 ３つの解−２，α、βにおいて、 「ある1つの解を2乗すると残りの解のいずれかになる」とは、 　(-2)^2＝α 　(-2)^2＝β 　α^2＝−２ 　α^2＝β 　β^2＝−２ 　β^2＝α となるということです。 ６つの式、それぞれからｐが求められるかも知れませんし、 ｐが求められない式が、あるかも知れません。 No.15525 - 2011/10/19(Wed) 06:50:21 ☆ Re: 複素数 / 高2 返信ありがとうございます。 　(-2)^2＝α 　(-2)^2＝β の場合からは方程式に代入してp=-6が得られました。 　α^2＝−２ β^2＝−２ からは虚数解√2iが得られたので、実数係数の方程式だから-√2iもまた解であるとし、解と係数の関係からp=0を得ました。 　α^2＝β 　β^2＝α からはどうやってpを求めればいいのか、あるいはpが求められないことをどう示せばよいのか分かりません。 もう少しお付き合いください。お願いします。 No.15539 - 2011/10/20(Thu) 01:10:15 ☆ Re: 複素数 / ヨッシー x^2+px-p+2＝０　の解を　α、α^2 とすると、 解と係数の関係より 　α＋α^2＝−ｐ 　α^3＝−ｐ＋２ ｐを消去して、整理すると 　α^3−α^2−α−２＝０ 最初、ｐ＝−６ を求めたときに、x^2+px-p+2＝０ の解は ｘ＝２，４ だったので、α＝２ は１つの解です。 よって、α−２ をくくりだして、 　α^3−α^2−α−２＝(α−２)(α^2＋α＋１) よって、α＝２ 以外に、α^2＋α＋１＝０ から得られる解(虚数解) があります。 　α^2＋α＋１＝０ より 　α^2＋α＝−１＝−ｐ よって 　ｐ＝１ このとき、x^2+px-p+2＝０　は、 　ｘ^2＋ｘ＋１＝０ となり、解は　ｘ＝(−１±√３ｉ)/２ で、確かに 　{(−１＋√３ｉ)/２}^2＝(−１−√３ｉ)/２ 　{(−１−√３ｉ)/２}^2＝(−１＋√３ｉ)/２ となります。 No.15540 - 2011/10/20(Thu) 05:33:31 ☆ Re: 複素数 / 高2 よく分かりました。ありがとうございました。 No.15542 - 2011/10/20(Thu) 19:55:34

★ 非回転体の体積 / ｓｓｓ

x,y,z空間においてx^2+y^2≦1、y^2+z^2≧1、z^2+x^2≦1 をすべて満たす点の集合からなる体積を求めよ。 おねがいします。 No.15518 - 2011/10/18(Tue) 22:06:26 ☆ Re: 非回転体の体積 / ヨッシー y^2+z^2≧1　は　y^2+z^2≦1　の誤りですね。 こちらの解答に、応用編として 同じ問題があります。 No.15524 - 2011/10/19(Wed) 06:42:00 ☆ Re: 非回転体の体積 / ｓｓｓ ありがとうございます No.15527 - 2011/10/19(Wed) 08:06:10 ☆ Re: 非回転体の体積 / ｓｓｓ サイト内の　V/8=V1+3V2の意味がよく分かりません No.15531 - 2011/10/19(Wed) 20:19:02 ☆ Re: 非回転体の体積 / ヨッシー 上の右の図で、 　V/8＝Ｖ１＋Ｖ２＋Ｖ３＋Ｖ４ ですが、Ｖ２，Ｖ３，Ｖ４ は等しいので、 　V/8＝Ｖ１＋３Ｖ２ です。 ただし、Ｔ３の体積をＶ３，Ｔ４の体積をＶ４　としています。 ８で割っているのは、ｘ≧０、ｙ≧０、ｚ≧０ で考えたものが 上下前後左右、計８個集まって、全体の立体になるからです。 No.15534 - 2011/10/19(Wed) 23:10:04 ☆ Re: 非回転体の体積 / ｓｓｓ ありがとうございます。 No.15543 - 2011/10/20(Thu) 19:59:20

★ 高校生です / rangu

４つの複素数（相異なるものとする）で、等差数列にも等比数列にもなるように並べることができるものは存在するか。存在するなら例を挙げ、条件を満たすことを証明せよ。また、存在しないならば、示せ。 という問題です。お願いします。 No.15514 - 2011/10/18(Tue) 20:02:58 ☆ Re: 高校生です / ヨッシー ａ，ｄを複素数とし、等差数列 　ａ，ａ＋ｄ，ａ＋２ｄ，ａ＋３ｄ を考えます。 ４つの数、ｓ，ｔ，ｕ，ｖ が、この順に等比数列である必要条件は、 　ｓｖ＝ｔｕ ですので、 　ａ，ａ＋ｄ，ａ＋２ｄ，ａ＋３ｄ を並べ替えて、等比数列になるためには、 　ａ(ａ＋３ｄ)＝(ａ＋ｄ)(ａ＋２ｄ)　・・・(1) 　ａ(ａ＋ｄ)＝(ａ＋２ｄ)(ａ＋３ｄ)　・・・(2) 　ａ(ａ＋２ｄ)＝(ａ＋ｄ)(ａ＋３ｄ)　・・・(3) のいずれかが成り立たないといけません。 (1) は計算すると、ｄ＝０ となり不適。 (2)(3) からはいずれも、ｄ＝−２ａ／３　が得られ、 　ａ，ａ＋ｄ，ａ＋２ｄ，ａ＋３ｄ は、 　ａ．ａ／３，−ａ／３，−ａ の４数となります。 ３数　ｓ，ｔ，ｕ がこの順に等比数列であるための必要条件は 　ｔ^2＝ｓｕ ですが、 　ａ．ａ／３，−ａ／３，−ａ において、 　ａが中央の項として、残りの　ａ／３，−ａ／３，−ａ　から、 ２数を選んで掛け合わせて、ａ^2 が出来ることは・・・(以下略) No.15515 - 2011/10/18(Tue) 21:01:13

★ 数Aの必要十分条件についてお聞きします / 梶

p:x^2-6x+9=0⇔q:x=3となる理由が分かりません 十分条件なのは分かるのですが、必要条件になることが理解できません。 問題集に付属の答案には解説が載っていませんでした。 解説をよろしくお願いします。 No.15505 - 2011/10/18(Tue) 06:12:08 ☆ Re: 数Aの必要十分条件についてお聞きします / ヨッシー 例えば、 ｐ：x^2-5x+6=0、ｑ：x=3　だと ｑ→ｐ　のみ成り立つので、ｐはｑであるための、必要条件ですが、 十分条件ではありません。 なぜなら、x^2-5x+6=0 が与えられても、x=2 の可能性もあるので、 x=3 とは限らないからです。（ｐ→ｑ ではない） 一方、x=3 が与えられれば、x^2-5x+6=0 は必ず成り立ちます。（ｑ→ｐである） x^2-6x+9=0 の場合は、解は x=3(重解)のみなので、x=3 以外の可能性は ありません。 よって、十分条件も成り立ち、必要十分条件となります。 No.15507 - 2011/10/18(Tue) 06:39:16

★ 数?Tです。 / みなこ

方程式|x`2−2x−8|＝aについて、次の問に答えよ。 ただし、aは定数とする。 この方程式の解の個数が4個になるとき、aの値の範囲を求めよ。 解説よろしくお願いします！ No.15503 - 2011/10/18(Tue) 01:31:28 ☆ Re: 数?Tです。 / ヨッシー ２つのグラフ 　ｙ＝|ｘ^2−２ｘ−８| 　ｙ＝ａ の交点のｘ座標が、|ｘ^2−２ｘ−８|＝ａ　の解となります。 　ｘ^2−２ｘ−８＝(ｘ＋２)(ｘ−４) より、ｙ＝|ｘ^2−２ｘ−８| のグラフは下のようになります。 これに、ｘ軸に平行なグラフ　ｙ＝ａ　を交わらせたとき、 交点が４個になるのは、(以下略) No.15504 - 2011/10/18(Tue) 05:48:35 ☆ Re: 数?Tです。 / みなこ 解説ありがとうございます！ あと一つ質問なんですが、Ｙ軸の9というのはどこからでてきたのでしょうか… No.15510 - 2011/10/18(Tue) 15:52:15 ☆ Re: 数?Tです。 / ヨッシー ということは、このグラフを実際に描いていませんね？ No.15511 - 2011/10/18(Tue) 17:00:49 ☆ Re: 数?Tです。 / みなこ グラフを書いてもいまいち理解できていないですTT 交点が四つになる所が範囲なんですよね？ No.15512 - 2011/10/18(Tue) 18:29:44 ☆ Re: 数?Tです。 / ヨッシー 二次関数のグラフを描くときは、軸と頂点は外せないはずですが。 No.15513 - 2011/10/18(Tue) 19:29:43 ☆ Re: 数?Tです。 / みなこ グラフは書けました！ ｘ軸に平行な線を書いて交点が四つになるところを調べたんですが、Ｙ軸＜０にも四つになるところがあるんですが、Ｙ軸＞０だけなのはどうしてなんでしょう… No.15516 - 2011/10/18(Tue) 21:47:56 ☆ Re: 数?Tです。 / ヨッシー ｙ＜０ の範囲には、グラフはありません。 なぜなら、絶対値を取っているので、マイナスになることはないからです。 点線は、元のグラフを残してあるだけで、実線だけが本当のグラフです。 No.15517 - 2011/10/18(Tue) 21:55:42 ☆ Re: 数?Tです。 / みなこ 絶対値のことをすっかりそっちのけにしてました…！ おかげで無事解決しました！ ありがとうございました＾＾ No.15522 - 2011/10/19(Wed) 01:05:36

★ ベクトル / サーシャ

空間内４点O,A,B,Cを頂点とする四面体Vがあり、Vは 　OG↓=(OA↓+OB↓+OC↓)/4 で表される点Gを中心とする球面に内接しているものとする (1)OB↓とOC↓の内積OB↓・OC↓を|OA↓|,|OB↓|,|OC↓|を用いて表せ (2)vの４つの面はすべて互いに合同であることを示せ わかりやすい説明お願いします No.15502 - 2011/10/18(Tue) 01:25:41 ☆ Re: ベクトル / ヨッシー ａ＝ＯＡ、ｂ＝ＯＢ、ｃ＝ＯＣ とおきます。 　ＯＧ＝(ａ＋ｂ＋ｃ)/４ 　ＡＧ＝(−３ａ＋ｂ＋ｃ)/４ 　ＢＧ＝(ａ−３ｂ＋ｃ)/４ 　ＣＧ＝(ａ＋ｂ−３ｃ)/４ ＯＧ＝ＡＧ　より 　|ＯＧ|^2＝(|ａ|^2＋|ｂ|^2＋|ｃ|^2＋２ｂ・ｃ＋２ｃ・ａ＋２ａ・ｂ)/１６ 　|ＡＧ|^2＝(９|ａ|^2＋|ｂ|^2＋|ｃ|^2＋２ｂ・ｃ−６ｃ・ａ−６ａ・ｂ)/１６ これらを、等号で結んで整理すると、 　８|ａ|^2−８ｃ・ａ−８ａ・ｂ＝０　・・・(i) ＯＧ＝ＢＧ，ＯＧ＝ＣＧ より同様に、 　８|ｂ|^2−８ａ・ｂ−８ｂ・ｃ＝０　・・・(ii) 　８|ｃ|^2−８ｂ・ｃ−８ｃ・ａ＝０　・・・(iii) (i)、(ii)、(iii) からｃ・ａ、ａ・ｂ を消去して整理すると、 　|ａ|^2−|ｂ|^2−|ｃ|^2＋２ｂ・ｃ＝０ よって、 (1) 　ＯＢ・ＯＣ＝(|ＯＢ|^2＋|ＯＣ|^2−|ＯＡ|^2)/２ (2) (1) の式は変形すると、 　ＯＡ^2＝ＯＢ^2＋ＯＣ^2−２ＯＢ・ＯＣcos∠ＢＯＣ となります。これと、△ＯＢＣ における余弦定理の式 　ＢＣ^2＝ＯＢ^2＋ＯＣ^2−２ＯＢ・ＯＣcos∠ＢＯＣ を比較すると、 　ＯＡ＝ＢＣ であることが分かります。 同様に、ＯＢ＝ＡＣ，ＯＣ＝ＡＢ が成り立ち、 ｖの４つの面はすべて、３辺が相等の合同な三角形になります。 No.15509 - 2011/10/18(Tue) 07:27:42 ☆ Re: ベクトル / サーシャ ありがとうございます！ 理解できました！ No.15521 - 2011/10/19(Wed) 00:52:38

★ 自然数解 / サーシャ

a,bを自然数とし、x,yの方程式 　x^2/a^2-y^2/b^2=1.....?@ の自然数解を考える。 (1)a=3,b=6のとき、?@の自然数解を求めよ (2)a.bが互いに素であるならば、?@の自然数解は存在しないことを示せ (2)がさっぱりです。よろしくお願いします。 No.15501 - 2011/10/18(Tue) 01:18:22 ☆ Re: 自然数解 / ヨッシー 自然数解ｘ、ｙが存在したとします。 (1) の両辺にa^2b^2 を掛けると、 　b^2x^2−a^2y^2＝a^2b^2 となります。両辺a の倍数であることから、b^2x^2 もaの倍数で ないといけませんが、ｂはａと互いに素なので、ｘがａの倍数となります。 同様に、ｙはｂの倍数です。 そこで、ｘ＝ｍａ、ｙ＝ｎｂ　（ｍ、ｎは自然数）とおくと、 　m^2a^2b^2−n^2a^2b^2＝a^2b^2 両辺a^2b^2(≠０)で割って、 　m^2−n^2＝１ 　(m-n)(m+n)＝1 となりますが、このような自然数ｍ、ｎは存在しません。 よって、自然数解ｘ、ｙは存在しません。 No.15508 - 2011/10/18(Tue) 06:47:55 ☆ Re: 自然数解 / サーシャ ありがとうございます！ 理解できました！ No.15520 - 2011/10/19(Wed) 00:52:20

★ (No Subject) / ponchan

a,b.x.yがa+b=4,ab=2,x+y=3,xy=1を満たす。ax+by=X,ay+bx=Yとおくとき、次の問いに答えよ。 (1)X+Yの値を求めよ。 (2)XYの値を求めよ。 (3)X^3+X^2Y+XY^2+Y^3の値を求めよ。 という問題なのですが （1）X+Y=12 （2）XY=26 （3）X^3+X^2Y+XY^2+Y^3=1104 となるらしいのですが、 （2）の答えがどうしてもXY=26にならないんです。 私の解答は XY=(ax+by)(ay+bx) =ab(x^2+y^2)+xy(a^2+b^2) =ab(x+y)^2-2xy+xy(a+b)-2ab =18-2+16-4 =28 となります。 どうしたらいいのでしょうか？ (1)X+Y=12を使っても変な答えが出てくるんですが・・・ よろしくお願いします！！ No.15492 - 2011/10/16(Sun) 16:03:44 ☆ Re: / angel > =ab(x^2+y^2)+xy(a^2+b^2) ここから > =ab(x+y)^2-2xy+xy(a+b)-2ab ここの間が間違い。 正しくは、 　=ab{ (x+y)^2-2xy } + xy{ (a+b)^2-2ab } 　=ab(x+y)^2 - 2abxy + xy(a+b)^2 - 2abxy 　=ab(x+y)^2 + xy(a+b)^2 - 4abxy で、ちゃんと26になります。 No.15494 - 2011/10/16(Sun) 16:44:36 ☆ Re: / ponchan なるほどぉ！！ ありがとうございます！！ No.15496 - 2011/10/16(Sun) 17:00:11

★ 四面体の体積です / ぷるお

四面体OABCにおいて OA=OB=OC=1　 ∠BOC=∠COA=∠AOB=θ のとき、この体積Vが最大になるときのθの大きさを求めよ 展開図を使うと思ったんですけどなんかできません 詳しい解説お願いします No.15486 - 2011/10/16(Sun) 00:53:01 ☆ Re: 四面体の体積です / はにゃーん ベクトルを使うとよさそうです。 点Oからの位置ベクトルをa, b, cのように表します。 Oから平面ABCへ下ろした垂線の足をHとすると Hは△ABCの重心になるので h = (1/3)(a + b + c) です。その大きさは |h| = (1/3)|a + b + c| = (1/3)√(|a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + 2|a||b|cosθ + 2 |b||c|cosθ + 2|c||a|cosθ = (1/3)√(3 + 6cosθ) となります。 底面積は △ABC = ((√3)/4)|a - b|^2 = (√3/2)(1 - cosθ) 四面体の体積は(1/6)(1-cosθ)√(1+2cosθ) =(1/6)√{(1-cosθ)^2(1+2cosθ)} となり、あとは√の中身、cosθの三次関数の増減の問題です。 θの変域は0°＜θ＜2π/3だから-1/2＜cosθ＜1で増減を考えればよくて、 cosθ = 0 すなわちθ=π/2で最大となります。 No.15487 - 2011/10/16(Sun) 02:16:23 ☆ Re: 四面体の体積です / angel 実はθを使って計算しなくても良いです。 条件から AB=BC=CA となるので、これを x とおきます。 △ABCの重心Hに対して、AH=BH=CH=x/√3 ですから、 四面体の高さとして、OH=√(1-x^2/3) 底面積△ABC=1/2・x^2・sin60°=√3/4・x^2 そのため、四面体の体積Vは、 　V=1/3・√3/4・x^2√(1-x^2/3) t=x^2とおいて整理すると、 　V=1/12・√(t^2(3-t)) ということで、最終的には三次関数 t^2(3-t) の最大値の話になります。ちなみに、0＜x＜√3 なので 0＜t＜3 であり、Vを最大にする t は t=2、このとき x=√2 で、対応するθはθ=90°と分かります。 No.15489 - 2011/10/16(Sun) 08:42:05 ☆ Re: 四面体の体積です / ぷるお 分かりやすい説明 ありがとうございます！！ No.15498 - 2011/10/16(Sun) 22:46:45

★ 図形の証明問題です / ぷるお

xy平面上の三角形ABCが次の条件を満たしているとする (1)各頂点のx座標,y座標はともに整数である (2)3辺の長さa,b,cもすべて整数である このとき、a+b+cおよびa^2+b^2+c^2はともに偶数であることを示せ 正直全然分かりません。お願いします No.15485 - 2011/10/16(Sun) 00:46:42 ☆ Re: 図形の証明問題です / ヨッシー ａ，ｂ，ｃが、偶数、偶数、偶数か、奇数、奇数、偶数　である　　・・・（＊） ことを示します。 補題として、 　ピタゴラス数は、偶数、偶数、偶数か、奇数、奇数、偶数　であり、 　奇数、奇数、偶数　の場合は、斜辺は奇数である。 ことを使います。 座標上の三角形の形状は （１）２辺が座標軸に平行 （２）１辺が座標軸に平行 （３）座標軸に平行な辺はない の３通りで、（１）の場合は（＊）が成り立つのは明らか。 （２）（３）の場合において、ＡＣ，ＢＣが奇数か偶数かの パターンは図の通りになります。 いずれの場合も、（＊）が成り立つことがわかります。 図の中には、実際に起こらないパターンもありますが、 そういう場合は、（三角形があるという）前提からはずれる ので、存在する三角形に対して（＊）が成り立つことには 変わりありません。 No.15488 - 2011/10/16(Sun) 05:02:11 ☆ Re: 図形の証明問題です / らすかる A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3) とすると a^2+b^2+c^2 ={(x3-x2)^2+(y3-y2)^2}+{(x1-x3)^2+(y1-y3)^2}+{(x2-x1)^2+(y2-y1)^2} =2(x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-x1x2-x2x3-x3x1-y1y2-y2y3-y3y1) =(偶数) a+b+c={a(a+1)+b(b+1)+c(c+1)}-(a^2+b^2+c^2) =(偶数)-(偶数) =(偶数) No.15491 - 2011/10/16(Sun) 14:03:15 ☆ Re: 図形の証明問題です / ぷるお なんかすごい解法ですね 全然思いつきもしなっかたです！ ありがとうございます！！ No.15499 - 2011/10/16(Sun) 22:47:45

★ (No Subject) / non

直角二等辺三角形の各辺を鏡と仮定し、1つの頂点から光を発射した場合、23回目で 頂点に達するための角度は何通りあるか 全国数学選手権で優勝した高校生達が創作した問題なのですが、 全くわかりませんでした。 ぱっと見て数列と漸化式かな、と思ったのですが…。 よろしくお願いします。 No.15480 - 2011/10/15(Sat) 17:35:08 ☆ 反射 / angel 図の1番目のように、反射した光の軌跡というのは、鏡の世界をタイルばりすることで見やすくすることができるのです。 実際は反射してジグザグですが、鏡の世界では一直線ですから。 そうすると、直角のところを出発して23回反射する光については、図の2番目(次の投稿)のように3通りが考えられます。 …対称形なので、半分しか調べていません。 あと、途中でなんらかの頂点に達してしまう場合 ( 図中の灰色の経路など )、反射の回数の数え方が良く分からなかったので除外しました。 こんな感じで考えると良いと思いますが、直角でない頂点を出発する経路は今回吟味していないです。ご自身で考えてみてください。 No.15483 - 2011/10/15(Sat) 21:44:51 ☆ Re: 反射 / angel 図の2番目です。 ちなみに「23回反射」というのは、境界を23本横切っている、ということに対応します。 No.15484 - 2011/10/15(Sat) 21:46:28 ☆ 訂正 / angel すいません。 2番目の図を作る時に計算違いがありました。 上から1番目、3番目(灰色)の経路は境界を22回しかまたいでいません。こちらの方であれば、全経路とも23回境界をまたぎます。 No.15493 - 2011/10/16(Sun) 16:40:38

★ 大学　積分 / RIKAO

はじめまして。 この積分の解き方がわからないので解説をお願いします。 ?@(tanh x)^2 ?A(3x +2)/(x^2 +4x +5) ?Bx^7 /(x^12 -1) No.15472 - 2011/10/14(Fri) 23:30:43 ☆ Re: 大学　積分 / X (1) 1-(tanhx)^2=1/(coshx)^2 (tanhx)'=1/(coshx)^2 であることを使いましょう。 (三角関数の公式からの類推です。) (2) (3x+2)/(x^2+4x+5)=(3x+2)/{(x+2)^2+1} ={3(x+2)-4}/{(x+2)^2+1} =3(x+2)/{(x+2)^2+1}-4/{(x+2)^2+1} と変形しましょう。 No.15481 - 2011/10/15(Sat) 19:27:34 ☆ Re: 大学　積分 / RIKAO ありがとうございます。 (１)(２)解けました。 No.15537 - 2011/10/20(Thu) 00:19:56

★ (No Subject) / おれんじ
|y|＋|x|≦４ はグラフにかくとどのようになりますか？ No.15469 - 2011/10/14(Fri) 20:39:14 ☆ Re: / はにゃーん |y| + |x| = 4を考えると yを-y, xを-x, xとyを同時に-x, -yにしても式は変わらないので y軸, y軸, 原点に関して共に対称です。 そこでx≧0, y≧0について考えると y + x = 4 これをx軸, y軸, 原点に関して対称移動すれば図形の出来上がりです。 (0, 4), (4, 0), (-4, 0), (0, -4)を頂点とする正方形になります。 今、|y|＋|x|≦４ですので、その周囲および内側ですね。 No.15470 - 2011/10/14(Fri) 21:01:51

★ はじめての書き込みです / minato

高校生です。 半径1,中心A(0,10)の円周C1と半径2,中心O(0,0)の円周C2において、Qが円周C1上,Rが円周C2上を動き、三点QRSを頂点とし、角?猷RSが直角になるような直角二等辺三角形△QRSを考えるとき、第３の頂点Sが動いた軌跡を図示せよ。 という問題なのですがどこから手をつければいいのかわかりません。ベクトル、三角形の比(1:1:??2)、二等辺三角形の角の二等分は垂線であることから法線の方程式を求める、などと考えたのですが、結局Q,Rの座標の処理に困りました。解説をお願いします。 No.15467 - 2011/10/14(Fri) 11:44:00 ☆ Re: はじめての書き込みです / ヨッシー Ｑ：(cosθ,10+sinθ)、Ｒ：(2cosφ, 2sinφ) として、 点Ｑを点Ｒ中心に90°および -90°回転させた点が 点Ｓであると考えます。 線分ＱＲを、傾きを変えずに点Ｒが原点に来るまで移動すると、 点Ｑは点Ｑ’：(cosθ−2cosφ, 10+sinθ−2sinφ)に移ります。 点Ｑ’を原点まわりに 90°回転したのが、(−10−sinθ＋2sinφ, cosθ−2cosφ)、 -90°回転したのが、(10+sinθ−2sinφ, −cosθ＋2cosφ) となります。 これを、最初にずらしただけ戻して、 (−10−sinθ＋2sinφ＋2cosφ, cosθ−2cosφ＋2sinφ) (10+sinθ−2sinφ＋2cosφ, −cosθ＋2cosφ＋2sinφ) Ｓ：(x,y)＝(−10−sinθ＋2sinφ＋2cosφ, cosθ−2cosφ＋2sinφ) とおくと 　x+10＝−sinθ＋2sinφ＋2cosφ＝−sinθ＋2√2sin(φ＋π/4) 　y＝cosθ−2cosφ＋2sinφ＝cosθ−2√2cos(φ＋π/4) より、 　(x+10)^2＋y^2＝９−4√2{sinθsin(φ＋π/4)＋cosθcos(φ＋π/4)} 　　　　＝９−4√2sin(θ＋φ＋π/4) となり、θ＋φ＋π/4 は、あらゆる角度をとれるので、 点Ｓは、点(-10,0) 中心、半径√(９−４√２)＝2√2−１ の円と、中心が同じで、半径√(９＋４√２)＝2√2＋１ の円に 挟まれたドーナツ型の部分に存在します。 Ｓ：(x,y)＝(10+sinθ−2sinφ＋2cosφ, −cosθ＋2cosφ＋2sinφ) とおいたときは、 中心が、(10,0) になると思います。 No.15468 - 2011/10/14(Fri) 16:25:51 ☆ Re: はじめての書き込みです / ヨッシー 90°回転した方のイメージを作ってみました。 No.15473 - 2011/10/15(Sat) 00:20:49 ☆ 別のアプローチ / angel 動点Q,Rを元にSを表す方法であれば、ヨッシーさんの解説のようになると思います。 が、別のアプローチとして、 　ある点Sを考えた時、 　　△QRSが∠QRS=90°の直角二等辺三角形であり、 　　点Qが円周C1上に、点Rが円周C2上にある 　ようなQ,Rの組が存在するかどうか を考えていくのも手です。 ただ、厄介なのはQ,Rという二種類の動点があること。直角二等辺三角形QRSを作る時に、どのようにQ,Rを探せば良いのか、というところです。 そのため、次のようなステップで考えます。 　1. ある点Sを取る 　2. 点Rを円周C2上で動かし、それぞれで直角二等辺三角形QRSを作って、頂点Qとなる点をすべて集める 　3. 2. で集めた頂点Qとなる点の中で、円周C1上に来るものがあるかどうか調べる No.15475 - 2011/10/15(Sat) 09:44:29 ☆ Re: 別のアプローチ / angel 一つ具体例を挙げましょう。 図のようにSを配置した場合、ステップ2 で頂点Qとなる点をすべて集めると、オレンジ色の2個の円になります。 ※Rをある点にとった場合の直角二等辺三角形を、青や紫の三角で例示しています。 なぜ2個になるかといえば、三角形の向きが2種類あるから、ですね。 さて、その上で 　　△QRSが∠QRS=90°の直角二等辺三角形であり、 　　点Qが円周C1上に、点Rが円周C2上にある を考えてみると、この例ではそのようなQ,Rの組が存在します。図中赤で示したQ,Rです。 これがステップ3で調べること。 で、この例でなぜ存在するかが分かったかというと、オレンジ色の円 ( ステップ2でのQを集めたもの ) と円周C1に共有点があったからです。 逆に円に共有点がなければ、Q,Rの組は存在しない、となります。 最終的に、「Q,Rの組が存在する」ようなSの存在範囲を特定してあげれば、それが問題の答えとなる軌跡になります。 No.15476 - 2011/10/15(Sat) 10:19:41 ☆ Re: 別のアプローチ / angel さて、上であげた図の中で、どのようにオレンジ色の2個の円を求めればよいのか、その内容は説明していませんでした。 ここがステップ2の所なのですが、「点Rを動かし、点Qとなる点を全て集める」というのは、要するに軌跡を求めるということになります。 なんとなく三角関数を使って計算すれば、半径2√2の円になることが分かると思いますが、図形的に説明することもできます。それが添付した図です。 点S(p,q)に対して直角二等辺三角形QRSがある状況で、もう一つ直角三角形XOSを考えます。このXの座標は(-q,p)であり、Sに応じて定まる点です。 そうすると、青く色付けした2個の三角形 SQX と SRO というのは相似になります。 なぜなら、直角二等辺三角形の性質から SQ:SR=SX:SO=√2:1 また、∠QSX=∠RSO=45°-∠XSR と、二辺の比とそれを挟む角の一致があるからです。 これにより、XQ:OR=√2:1でもあり、R ( に対応するQ ) の取り方にかかわらず、XQ=2√2 (一定) ということで、Qの軌跡はXを中心とする半径2√2の円と分かります。 まあ、実際の解答では十分条件も説明しなければいけませんが、話としては単なる裏返しです。 後もう一つ、下にできる円については、X(-q,p)の代わりにY(q,-p) ( 三角YOSが直角二等辺三角形 ) で考えると出てきます。 No.15477 - 2011/10/15(Sat) 10:43:12 ☆ 答え / angel では最後に答えです。 点S(p,q)に対応する、ステップ2でQを集めたもの ( Qの軌跡 ) は、 　点(-q,p) を中心とする半径2√2の円 　点(q,-p) を中心とする半径2√2の円 です。 ステップ3で、これらの円と円周C1が共有点を持つかどうかを調べるわけですが、これは円の中心間の距離のお話になります。つまり、 　2√2-1≦( (-q,p)と(0,10)の距離 )≦2√2+1 　または 2√2-1≦( (q,-p)と(0,10)の距離 )≦2√2+1 ということで、これを整理すると 　(2√2-1)^2 ≦ (p-10)^2+q^2 ≦ (2√2+1)^2 　(2√2-1)^2 ≦ (p+10)^2+q^2 ≦ (2√2+1)^2 結局、S の軌跡は 　(10,0)を中心とする、半径2√2-1, 2√2+1 の2円に囲まれたドーナツ状の領域 ( 境界含む ) 　および (-10,0)を中心とする、半径2√2-1, 2√2+1 の2円に囲まれたドーナツ状の領域 ( 境界含む ) となります。 …あれ? ヨッシーさんと答えが違う。 …ヨッシーさんは、ひょっとして点Aを(10,0)と間違えて計算していますかね? No.15478 - 2011/10/15(Sat) 10:53:45 ☆ Re: はじめての書き込みです / ヨッシー あ、図はｘ，ｙ逆転していますが、計算の方は合っていると思います。 No.15479 - 2011/10/15(Sat) 14:37:22 ☆ Re: はじめての書き込みです / angel ヨッシーさん、すいません。失礼しました。 解説で書いている答は同じですね。 図は 90°回転させて A(10,0) としたもので作っているのですね。了解しました。 No.15495 - 2011/10/16(Sun) 16:56:54

★ 数Aです / みなこ

50個の整数1,2,…,50から2個の異なる数を選んで組み合わせをつくるとき、次の問に答えよ。 (1)2数の積が奇数になる確率を求めよ。 (2)2数の積が3の倍数になる確率を求めよ。 解説よろしくお願いします！ No.15459 - 2011/10/13(Thu) 23:05:20 ☆ Re: 数Aです / ヨッシー 選び方は全部で、50Ｃ2＝1225(通り) (1) 積が奇数となるのは、2個とも奇数の場合であり、そういう選び方は 　25Ｃ2＝300(通り) よって、求める確率は、 　300/1225＝12/49 (2) 3の倍数にならない選び方は、2個とも、3の倍数でないときであり、 　3の倍数でない34個から2個選ぶので、 　34Ｃ2＝561(通り) 残り、1225−561＝664(通り) は、積が3の倍数になります。 確率は、 　664/1225 　 No.15461 - 2011/10/13(Thu) 23:17:55 ☆ Re: 数Aです / みなこ 解説ありがとうございました！ 無事解決しました＾＾ No.15474 - 2011/10/15(Sat) 04:02:08

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