ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 組合せについて / あゆみ

添付問題の解答で2つの組に区別がないので2!で割るとありますがどういう意味なのでしょうか？

これは2人の組と2人の組が２つあるから2!で割っているのですか？
例えば与題が4人と3人と1人ならば割る必要性がないという事ですか？

No.81876 - 2022/04/23(Sat) 16:44:28

☆ Re: 組合せについて / あゆみ

すみません。添付されてませんでした、、、

No.81877 - 2022/04/23(Sat) 16:46:18

☆ Re: 組合せについて / IT

> 例えば与題が4人と3人と1人ならば割る必要性がないという事ですか？
そうですね。

分からないときは、具体的に考えてみるのも有効だと思います。

８人をABCDEFGHとすると　２人の２つの組には区別がないので
例えば{ABCD}{EF}{GH} と　{ABCD}{GH}{EF} は、同じ分け方です。

4人と3人と1人なら　そのような心配は要りません。
{ABCD}{EFG}{H}

なお、クラスに名前があって１組４人、２組２人、３組２人に分ける。ということなら
1組{ABCD}、２組{EF}、３組{GH} と　1組{ABCD}、２組{GH}、３組{EF}　とは別の分け方になります。

No.81878 - 2022/04/23(Sat) 17:30:24

☆ Re: 組合せについて / あゆみ

なお、クラスに名前があって１組４人、２組２人、３組２人に分ける。ということなら
1組{ABCD}、２組{EF}、３組{GH} と　1組{ABCD}、２組{GH}、３組{EF}　とは別の分け方になります。

この場合だと2!で割らないで
420個となるんですか？

No.81883 - 2022/04/24(Sun) 21:28:51

☆ Re: 組合せについて / IT

> この場合だと2!で割らないで
> 420個となるんですか？

そうですね。

No.81886 - 2022/04/24(Sun) 22:42:38

★ (No Subject) / マルモ

らすかるさん、ITさんありがとうございます。
子供が納得していました。
子供からの質問なんですが、間の整数の個数をきかれた時は１引くと覚えておけばいいか聞いてほしいと言われました。

ITさんがかいてくれていた問題がちょうど宿題にありました。この問題もイマイチみたいで…

５０以上100以下の整数の個数

５０以上なのになぜ100から４９を引くのかわからないそうです。四年生にわかるように教えていただけないでしょうか。よろしくお願いします

No.81870 - 2022/04/22(Fri) 22:33:59

☆ Re: / IT

納得されたとのことですが、50以上100以下の整数の個数がわからないということは、十分理解されてないのかなと思います。

理由を理解せずに、計算方法を覚えておく方式は、お勧めしません。そのうち記憶がパンクします。（なんとなく覚えておいて、その場で確認するなら、まだましですが）

前にも書きましたが、数字をいくつか並べて書いて確認しましたか？計算式だけで理解・記憶しようとしない方が良いと思います。

「1以上100以下の整数の個数は、100個である。」は、大丈夫ですか？
100　-　１＝99個ではありませんよ。

50以上100以下の整数の個数は、"50"は入りますから
1,2,...49、| 50、51、．．．．99,100 |
100-49＝51個です。

1,2,...49、 50、|51、．．．．99,100 |　と見比べてください。

（算数のこういったことだけ勉強するわけではないので、どこまでやるかも、ありますし、しばらく後で考えると　すんなり分かることもありますので、・・・・）

No.81875 - 2022/04/23(Sat) 02:45:41

★ 中学受験四年生 / マルモ

整数が何個並んでいますか。

50と100の間の整数

答えは49になります。

答えが５０になるならわかるのですがなぜ49になるのか分からず子供が困っています。
わかりやすく教えていただけないでしょうか。
よろしくお願いします。

No.81863 - 2022/04/21(Thu) 22:20:31

☆ Re: 中学受験四年生 / らすかる

例えば5と10の間は6,7,8,9の4個、
10と20の間は11,12,13,14,15,16,17,18,19の9個
10-5=5
20-10=10
なので、間の個数は引いた値より1少ない値になっていますね。
よって50と100の間は100-50-1=49個です。

少し違う考え方
50と60の間は51,52,53,54,55,56,57,58,59の9個ですね。
60を70に変えれば60,61,62,63,64,65,66,67,68,69の10個増えますから19個になります。
同様に80に変えれば10個増えて29個、90に変えれば10個増えて39個、
100に変えれば10個増えて49個です。

# 私の説明で理解してもらえるかどうかわかりませんが、
# もしわかりにくい（わからない）場合はその旨書いて頂ければ
# 他の方が回答して下さると思います。

No.81864 - 2022/04/22(Fri) 00:29:39

☆ Re: 中学受験四年生 / IT

たしかに、計算だけで答えを出そうとすると間違える子供も多いでしょうね。

私は、自信がないときは、ごく少ない個数の場合で図示して確認しています。　
らすかるさんの説明と同じですが、もっと少ない個数の場合で考えるとどうでしょう。
１と１、１と２、１と３
１
１＿２
１＿２＿３

あるいは、類題として、
1以上100以下の整数の個数は、100個
50以上100以下の整数の個数は
1,2,...49、| 50、51、．．．．99,100 |
100-49＝51

50と100の間の整数の個数は、50と100を除くので　
| 50|、51、．．．．99,|100 |
　51-２＝49

No.81865 - 2022/04/22(Fri) 02:54:41

★ 4つ折りの長方形からひし形 / ふぶ

小学5年です。
長方形を4つ折りにして、できるだけ大きなひし形を1回で切る方法が分かりません。
写真は問題です。
実際にその長さの長方形を用意しましたが、小さなひし形など希望通りのひし形になりませんでした。

No.81859 - 2022/04/20(Wed) 19:21:40

☆ Re: 4つ折りの長方形からひし形 / IT

その長方形から　できるだけ大きなひし形を切り取るのではなくて

縦・横の中央線で４つ折りにしたあと、４分の１の面積になった長方形の対角線（元の長方形の中心を通らない方）で切り取る。

ということでは？

小さなとは、どんなひし形になったのですか？

No.81860 - 2022/04/20(Wed) 19:54:56

☆ Re: 4つ折りの長方形からひし形 / らすかる

長方形ABCDにおいて
(1)対角線ACで半分に折る
(2)AとCが重なるように半分に折る
(3)紙が4枚重なっている部分と2枚重なっている部分があるので、
その境目を切る。
これで、できるだけ大きなひし形が1回切っただけで作れます。
面積は125cm^2です。

# でもこれは普通「四つ折り」とはいいませんので、
# ITさんの説明の方が正しいかも知れません。
## 「切りやすさ」という面では私の書いた方法の方が切りやすいですが。

No.81861 - 2022/04/20(Wed) 21:42:50

★ (No Subject) / ぺんぺん

この問題のtが具体的に何を示しているのか分かりません。ご教授願います。

No.81849 - 2022/04/19(Tue) 15:57:47

☆ Re: / ヨッシー

点［　ａ　］を原点にとり・・・
以降の部分には、解答群はないのですか？

No.81850 - 2022/04/19(Tue) 17:50:21

☆ Re: / ぺんぺん

お願いします。

No.81852 - 2022/04/19(Tue) 20:53:24

☆ Re: / ヨッシー

まず、f(t)＞0 ということは、正方形とＫが少しでも重なっている状態です。
それ以外の場合はf(t)＝0 となります。

f(t)＞0 となるのは、Ｇが図の位置の範囲にあるときです。
Ｇのｘ座標をｔ－１としてｔを　-5＜ｔ＜5 の範囲で動かすと
Ｇのｘ座標は　-6 と 4 の間を動きます。
同様に、Ｇのｘ座標をｔ＋１とすると、-4 と 6 の間を動きます。
それぞれの場合に、原点はどこかを調べると、ちょうどＡ，Ｃ，Ｅ
の位置に来るのは、Ｇのｘ座標がｔ－１のときで、原点はＣとなります。

ｔはこの場合－５＜ｔ＜５の範囲を動き、これを使って
Ｇのｘ座標を表すための、ただの変数に過ぎません。

No.81855 - 2022/04/19(Tue) 22:55:02

☆ Re: / ぺんぺん

ありがとうございます♪

No.81858 - 2022/04/20(Wed) 12:12:46

★ 上限のある関数 / こう

ゲームを制作しておりまして、
能力値の限界を設定して、
キャラクターのレベルに応じて
自動的に能力の上昇率を出す計算式で悩んでおります。
（こうするとプログラムを書くのが楽だと思い作成したいと思っております。）

キャラクターのレベルをLv,
能力値をA
能力の限界値をLimitAとして、

A = -1/Lv*Lv^1/2+LimitP

という式ができました。
例えばLimitPが100だとすると、
1e+308までLvが上がってもLimitPを超えることは
ない式という意図で作成しました。
（かなり大きい数字まで扱うゲームなので、こんなに大きい数字になっています。）

ただ、この式をdesmos
https://www.desmos.com/
でグラフを書いて確認したのですが、
Lvが1～5くらいの間で急激に上昇してしまいます。
何かこの急激なカーブを緩やかにする方法はありますでしょうか？

No.81825 - 2022/04/19(Tue) 02:11:04

☆ Re: 上限のある関数 / らすかる

-1/Lv*Lv^1/2+LimitP
という式は
=-(1/Lv)×(Lv^(1/2))+LimitP
=-(1/Lv)×√(Lv)+LimitP
=-(√(Lv)/Lv)+LimitP
=-(1/√(Lv))+LimitP
のように解釈されますが、この解釈でいいでしょうか？
もしこの式なら、1～5どころかLv=1ですでに99になってしまいます。
「緩やかに」ではあまりにも条件が荒くて
どのようにしたいのかが全くわからないのですが、
どういう「緩やかな」曲線を考えているのでしょうか？
LvがいくつぐらいでA=100に到達したいかとか
Lvがその半分のときAは半分でよいのかとか
具体的に書いて下さい。
方法はいくらでもあります。

No.81828 - 2022/04/19(Tue) 07:24:12

☆ Re: 上限のある関数 / こい

ご返信ありがとうございます。
具体的にはlv1000でA=100に到達したいと
考えております。

No.81853 - 2022/04/19(Tue) 22:43:28

☆ Re: 上限のある関数 / こい

また、lvは1000をいくら超えてもAは100を超えず、また、なるべく曲線を描いて上昇させたいと思っております。

No.81854 - 2022/04/19(Tue) 22:50:58

☆ Re: 上限のある関数 / こう

イメージ的にはy = √x のグラフが近いです。
この式に何か変数を追加して、
上限を設定したいという感じです。

No.81856 - 2022/04/19(Tue) 22:59:11

☆ Re: 上限のある関数 / らすかる

では
((Lv-1000)|Lv-1000|-Lv^2+2000Lv)/20000+50
でどうでしょうか。
可変にするなら
Lv=aで最大値b（上記例ではa=1000,b=100）として
((Lv-a)|Lv-a|-Lv^2+2aLv)b/(2a^2)+(b/2)
となります。

No.81857 - 2022/04/20(Wed) 00:50:31

☆ Re: 上限のある関数 / こう

ありがとうございます！
試してみます！

No.81873 - 2022/04/22(Fri) 23:14:10

★ 回転体の体積 / 大西

y=e^(-x)sinx(0≦x≦π)とx軸とで囲まれる部分の図形をx軸のまわりに1回転させて得られる立体をRとするとき、Rをy軸のまわりに1回転させて得られる回転体の体積を求めよ。

求める立体をy=tで切った断面をy軸のまわりに回転させて得られる面積を求めてから積分しようと思ったのですが、なかなかうまくいきません。教えてください。

No.81823 - 2022/04/19(Tue) 00:08:41

☆ Re: 回転体の体積 / らすかる

バウムクーヘン積分はご存知ですか？
バウムクーヘン積分により
4π∫[0～π]xe^(-x)sinxdx
=4π[-(1/2)e^(-x){(x+1)cosx+xsinx}][0～π]
=2π{(π+1)/e^π+1}

# ∫xe^(-x)sinxdx の不定積分の求め方はいろいろありそうですので、
# とりあえず求め方は割愛しました。

No.81824 - 2022/04/19(Tue) 01:05:32

☆ Re: 回転体の体積 / 大西

返信ありがとうございます。

らすかるさんが書かれたものは、y軸の周りに回転させただけのものだと思うのですが、
x軸のまわりに1回転させた後、さらにその立体をy軸の周りに回転させると、厚みの分だけ体積が大きくなると思ったのですが、
違うのでしょうか？

No.81826 - 2022/04/19(Tue) 07:12:01

☆ Re: 回転体の体積 / らすかる

あ、何か私が勘違いしている気がしてきました。
私の回答は無視して下さい。ごめんなさい。
→と思いましたが大丈夫のようです。(81831で説明)

No.81829 - 2022/04/19(Tue) 07:47:57

☆ Re: 回転体の体積 / 大西

「厚みの分」は、x軸とy軸と垂直な方向への厚みです。

y=e^(-x)sixとy=-e^(-x)sinxとで囲まれる部分の平板を回転させるのと、
立体Rを回転させるので同じ体積になるのでしょうか？

y=x^2とy=1とで囲まれる部分をy軸のまわりに回転させてからx軸のまわりに回転させるのと、そのままx軸のまわりに回転させるのとでは体積が異なると思いました。

厚みの分だけ回転半径が大きくならないのでしょうか？

No.81830 - 2022/04/19(Tue) 07:51:15

☆ Re: 回転体の体積 / らすかる

よく検討したところ、81824の解答で大丈夫のようです。
つまりy=±e^(-x)sinxで挟まれる平板を回転させるのと
同じ体積になるということです。
厚みの分というのは、(x＜π/4は増加で関係ないので)
f(x)=e^(-x)sinxがx≧π/4で減少することからy軸で回転させると
f(x-ε)をx軸で回転させた部分の方がf(x)より高さが高くなるのでは、
ということですよね。
これは立体Rを平面y=(tanθ)x（θは0に近い値）で切ったときに
{f(x)}^2-{f(xcosθ)}^2+(xsinθ)^2＞0
であれば平板の回転でよいことになります。
この不等式は
{{f(x)}^2+x^2}＞{{f(xcosθ)}^2+(xcosθ)^2}
と変形できることから、
{f(x)}^2+x^2がx＞0増加関数であることを示せればよいのですが、
これは微分すれば示せますので、結果的に平板の回転でOKとなります。

# もっとも、平板の回転でOKでもその理由をきちんと示さないと「正解」にはならないですが。

No.81831 - 2022/04/19(Tue) 09:15:09

☆ Re: 回転体の体積 / 大西

ありがとうございます。

＞{f(x)}^2-{f(xcosθ)}^2+(xsinθ)^2＞0

この部分が成り立てば平板で良いとして良いところだけわかりませんでした。

No.81844 - 2022/04/19(Tue) 11:44:43

☆ Re: 回転体の体積 / らすかる

立体Rを円柱面x^2+z^2=r^2で切ります。
このとき断面でyが最大になる点が(r,f(r),0)であれば
平板の回転でOKとなりますね。
断面の上端の点とz=(tanθ)xの交点を考えると
x=rcosθ,z=rsinθからy=√{(f(x))^2-z^2}=√{(f(rcosθ))^2-(rsinθ)^2}
となり、
g(θ)=√{(f(rcosθ))^2-(rsinθ)^2}としたとき
g(0)≧g(θ)であればよいわけです。
g(θ)≧0なので
{g(0)}^2≧{g(θ)}^2
(f(r))^2≧(f(rcosθ))^2-(rsinθ)^2
(f(r))^2-(f(rcosθ))^2+(rsinθ)^2≧0
となります。（「＞」でなく「≧」でした。）

No.81848 - 2022/04/19(Tue) 12:42:43

☆ Re: 回転体の体積 / 大西

ありがとうございました。
理解できました。

No.81851 - 2022/04/19(Tue) 18:27:04

★ 推論 / あた

以下の問題の解き方を教えてください

あるパーキングエリアに何台かの車が止まっています。
そのうちの少なくとも2台は色が異なり、少なくとも2台はブランドが異なることが分かっています。次の記述のうち、正しいものはどれでしょう。

同じ色とブランドの車が少なくとも2台ある。

異なるブランドで異なる色の車が少なくとも2台あります。

パーキングエリアには少なくとも4台のクルマがあります。

同じ色で異なるブランドの車が少なくとも2台あります。

同じブランドで異なる色の車が少なくとも2台あります

No.81821 - 2022/04/18(Mon) 19:31:35

☆ Re: 推論 / ヨッシー

色をA,B,C・・・、ブランドを 1,2,3・・・とし、
車の色とブランドを A1, A2, B1, B2, ・・・のように表すことにします。

とりあえず、A1, B2 の２台があると条件を満たします。
このとき、
>同じ色とブランドの車が少なくとも2台ある。
>パーキングエリアには少なくとも4台のクルマがあります。
>同じ色で異なるブランドの車が少なくとも2台あります。
>同じブランドで異なる色の車が少なくとも2台あります
は正しくないことになります。

次に、
>異なるブランドで異なる色の車が少なくとも2台あります。
が正しいかどうかですが、
A1 があるとすると、少なくともこれとは違う色、
例えば、B の色の車がありますが、1 とは違うブランドだと
上記を満たします。
A1, B1 があるとき、これとは違うブランド、例えば、2 の
車がありますが、それが A2 だと B1 に対して、B2 だと A1 に対して、
>異なるブランドで異なる色の車が少なくとも2台あります。
が成り立ちますし、C2 などでも、同様です。

よって、
>異なるブランドで異なる色の車が少なくとも2台あります。
が正しいです。

No.81822 - 2022/04/18(Mon) 20:20:50

★ (No Subject) / 小吉

f(x)=??0→1 |2x^2+tx-t^2|dt(x>0)が最小値を取るxの値を求めよ

解説お願いします

No.81815 - 2022/04/17(Sun) 18:11:16

☆ Re: / 小吉

文字化けしました。？？のところはインテグラルです。よろしくお願いします。

No.81816 - 2022/04/17(Sun) 18:12:51

☆ Re: / らすかる

2x^2+tx-t^2=(2x-t)(x+t)なので、2x^2+tx-t^2は
0≦t≦2x のとき |2x^2+tx-t^2|=2x^2+tx-t^2
2x≦t のとき |2x^2+tx-t^2|=-2x^2-tx+t^2

0＜x＜1/2のとき2xが積分区間内にあるので
f(x)=∫[0～1]|2x^2+tx-t^2|dt
=∫[0～2x]2x^2+tx-t^2 dt+∫[2x～1]-2x^2-tx+t^2 dt
=(40x^3-12x^2-3x+2)/6
f'(x)=(40x^2-8x-1)/2
40x^2-8x-1=0の解はx=(2±√14)/20であり
0＜(2+√14)/20＜1/2なので
x=(2+√14)/20のとき最小値をとる
このときの最小値は
f((2+√14)/20)=(81-7√14)/300

1/2≦xのとき2xが積分区間内にないので
f(x)=∫[0～1]|2x^2+tx-t^2|dt
=∫[0～1]2x^2+tx-t^2 dt
=(12x^2+3x-2)/6
={24(x-1/2)^2+30(x-1/2)+5}/12
≧5/12
＞(81-7√14)/300
となり最小値をとらない。

従って最小値をとるxの値は
x=(2+√14)/20

No.81819 - 2022/04/17(Sun) 20:09:14

★ (No Subject) / ギャラドス

f(x)=sin(1/x) (xは実数、x≠0) で与えられる関数f(x)が
x=0で極限を持たないことをεδ論法で証明する方法を教えてください
お願いします！！

No.81809 - 2022/04/17(Sun) 14:00:57

☆ Re: / IT

整数nについて、 sin(nπ)=0、 sin((2n+(1/2))π)=1 を使えばいいと思います。

No.81810 - 2022/04/17(Sun) 15:51:11

☆ Re: / ギャラドス

具体的にどのような操作すればいいのですか？

No.81811 - 2022/04/17(Sun) 16:43:11

☆ Re: / IT

n≠0について　x= 1/(nπ）のとき1/x = nπ
x=1/((2n+(1/2))π) のとき　　1/x = (2n+(1/2))π です。
したがって、f( 1/(nπ）)= 0,f(1/((2n+(1/2))π)=1　です。
このことを使えば良いのですが、

f(x) が、x=0で極限を持たないことをεδ論法で証明する記述法（例）はどのように習われましたか？

No.81812 - 2022/04/17(Sun) 17:08:12

☆ Re: / ギャラドス

極限をもつことの証明しか教わっていなくて、まったくわからないです。すいません。

No.81813 - 2022/04/17(Sun) 17:20:36

☆ Re: / IT

極限を持つと仮定して矛盾を導けばいいと思いますが、

例えば、極限をもつことの証明　は、どういうのを習いましたか？　そのまま書いてください。

No.81814 - 2022/04/17(Sun) 17:36:58

☆ Re: / ギャラドス

f(x)=sin(1/x)、x→aに近づけたときにsin(1/a)(a>0)になる証明をします。

証明：ε>0とする。0<δ=a/2とおく
|x-a|<δのとき|x|>a/2なので
|f(x)-f(a)|=|sin(1/x)-sin(1/a)|
=2|cos(1/2(1/x-1/a))||sin(1/2(1/x-1/a))|
≤|x-a|/ax<2δ/a^2
が成り立つ。
0<δ<εa^2/2
とおけば、
|f(x)-f(a)|<2δ/a^2≤ε
となる。δ=min(a/2,εa^2/2)
とおけば
|x-a|<δ⇒|f(x)-f(a)|<ε
が成り立つ。よって、題意は示された

見づらくてすいません。

No.81817 - 2022/04/17(Sun) 18:33:47

☆ Re: / IT

αがf(x)のx=0での極限だと仮定する。

（εδ論法でのε=1/2とする。）

あるδ＞0があって |x|<δのとき　|f(x)-α|<1/2　とできるはず。

よって0<a,b<δのとき
　 |f(a)-α|<1/2 かつ|f(b)-α|<1/2
　∴　|f(a)-f(b)|≦|f(a)-α|+|f(b)-α|＜1

ところが　
a=1/((2n+(1/2))π),b=1/((2n-(1/2))π) について
n を十分大きくとると（ここは,厳密にはご自分で）　
0＜a,b＜δとできて　|f(a)-f(b)|=2 となり矛盾。
・・・・

（f(x)=1,-1 の両端に変えました）

No.81818 - 2022/04/17(Sun) 19:23:08