Oを原点とする座標平面上の２点(cosθ,0),(0,sinθ)を通る直線がある。この直線に関する原点Oの対称点をPとしえて、θを0<=θ<=π/2の範囲で変化させるとき、点Pの描く曲線をCとする。
(1)点Pの座標を(x,y)とするとき、x,yをθを用いて表せ
(2)y(dx/dθ)を、２θを用いて表せ
(3)曲線Ｃによって囲まれる部分の面積を求めよ
(1)はx=sin2θsinθ,y=sin2θcosθになりますか？
(2),(3)は全然です
一応全部の模範解答をお願いしたいです
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No.16124 - 2011/12/08(Thu) 23:37:56
| ☆ Re: 正葉曲線 / はにゃーん | | | (1)はあってます。代表的な点を代入して確認しましょう。
例えばθ=0, π/4, π/2
(2)dx/dθ = 2cos2θsinθ + sin2θcosθ
なので
y(dx/dθ) = sin22θ(3cos2θ+1)/2
(3)積分を計算して答えはπ/8
三角関数は周期関数であり、積分すると0になる場合があるので積分計算する前に考えとくと計算が楽になります。
ちなみにこの曲線は極方程式でr=sin2θとかけるので
∫[0,π/2]sin22θdθを解くほうがすっきり。
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No.16139 - 2011/12/10(Sat) 15:27:50 |
| ☆ (1)模範解答例 / angel | | | (1)の模範解答例です。
2点(cosθ,0),(0,sinθ)を通る直線は xsinθ+ycosθ=sinθcosθ
θ=0,π/2の時、この直線は原点を通るため、Pは原点と一致する。
0＜θ＜π/2 の時、Pの座標を(p,q)とすると、
・OPの中点(p/2,q/2)をこの直線が通る
すなわち、psinθ+qcosθ=2sinθcosθ …(i)
・直線OP qx-py=0 は、この直線と垂直である
すなわち qsinθ-pcosθ=0 …(ii)
(i)・sinθ-(ii)・cosθ より p((sinθ)^2+(cosθ)^2)=2(sinθ)^2・cosθ
(i)・cosθ+(ii)・sinθ より q((sinθ)^2+(cosθ)^2)=2sinθ(cosθ)^2
よって、p=2(sinθ)^2・cosθ, q=2sinθ(cosθ)^2
θ=0,π/2を代入したときも p=q=0 となるため、この式はθ=0,π/2の時のPの座標にも適合する。
Pの座標を(x,y)とするとき、x=2(sinθ)^2・cosθ, y=2sinθ(cosθ)^2
※2sinθcosθ=sin(2θ)を使って、x=sin(2θ)sinθ, y=sin(2θ)cosθとしても正解です。
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No.16140 - 2011/12/10(Sat) 20:17:07 |
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