ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 条件 / DIE

こんばんは。
またまた失礼します。

三角形ABCにおいてcosAcosBcosC>0が成り立つことは三角形ABCが鋭角三角形であるための**条件。
**を求めよ。

というものですが、まず右の条件について、
+++か+--の組み合わせが存在する

そして左の条件はcosA cosB cosCいずれかが少なくとも＞０
しかし、++-のときもアリ

というわけで左が右を包括すると思い、十分条件ではある画必要条件ではない
としましたが、正答は必要十分条件である。だそうです。

私のどこの考え方が間違っているのか、ご指摘いただけると助かります・・・
お手数おかけしますが、よろしくお願いします。。。

No.16163 - 2011/12/14(Wed) 23:43:42

☆ Re: 条件 / はにゃーん

必要条件であることは明らかですね。

一見、確かに示された式の三角形の内角の余弦は+++と+--の組み合わせがあるように見えます。しかし、鈍角三角形の鈍角は2つ以上は存在しないので、必然的に+++の組みしかないわけです。すなわち鋭角三角形であると言えます。

No.16164 - 2011/12/15(Thu) 00:05:31

☆ Re: 条件 / DIE

すみません。左と右　を逆に説明してしまいました。

それを踏まえて・・・
確かに、左は+++のみですね！
しかし、右は+++と++-などの場合が存在しませんでしょうか？そうなるとやはり右に左は包括されると思うのですが・・・

よろしくお願いします。。。

No.16170 - 2011/12/15(Thu) 00:44:57

☆ Re: 条件 / はにゃーん

＞しかし、右は+++と++-などの場合が存在しませんでしょうか？
三角形ABCが鋭角三角形ならばある角の余弦が負の場合がある、とどのようにして考えられたのでしょうか？

三角形ABCが鋭角三角形のときA, B, Cも0°より大きく90°より小さいです。
すなわちcosA＞0, cosB＞0, cosC＞0です。

No.16171 - 2011/12/15(Thu) 01:04:51

☆ Re: 条件 / DIE

三角形の定義が曖昧になっていました。
解決しました。
本当に有難うございました。
宜しければ、もうひとつの質問もみていただけると幸いですお願いいたします・・・

No.16173 - 2011/12/15(Thu) 01:29:35

★ 面積公式 / DIE

こんばんは。
よろしくお願いします。

添付した図についてですが、放物線のαが二つで一致しない場合はS3の|α|の部分はどうなるのでしょうか？
よろしくお願いいたします。

No.16162 - 2011/12/14(Wed) 23:11:18

☆ Re: 面積公式 / angel

αというか、2次の係数aのことでしょうか?
それであれば、S3に相当する面積は簡単には計算できないでしょう。
そもそも、S3に相当する部分が何箇所できるかも定かではないですし。

例えば、y=2x^2 と y=(x-1)^2 の場合。
y=0 が分かりやすい共通接線ですが、これ以外にも y=-8x-8 というのもあります。なので、S3に相当する部分は2箇所になりますね。
共通接線を求めるときに2次方程式を解くことになりますから、その先の計算はちょっと一般化し辛いです。

No.16175 - 2011/12/15(Thu) 02:17:02

☆ Re: 面積公式 / コートダジュール

2つの放物線?@、?Aの係数をそれぞれｐ、ｑ
?@と?Aの交点のｘ座標をγとおくと、
S3=（S3のｘ＝γより左側）＋（S3のｘ＝γより右側）
＝(lpl/3)(γーα）＾３＋（lql/3）(β-γ）＾３
となります。このときγは(α＋β)/2にはなりません。

?@と?Aの係数が同じでないと、交点のｘ座標は(α＋β)/2
とはならないので、それぞれに1/3公式を使うしかないのです。

No.16185 - 2011/12/16(Fri) 04:05:04

☆ Re: 面積公式 / DIE

接線が、二つ存在する場合もあるので一般化できないということはわかりました。

すると、コートダジュールさんのそれぞれに三分の一公式を使うしかない、というのはどういう意味でしょうか？？
三分の一公式なんてありましたでしょうか・・・？？？？

よろしくお願いいたします・・・

No.16262 - 2011/12/25(Sun) 01:18:51

★ 初書き込みです。高３です。 / あう

n桁の自然数のうち、ある自然数の平方となっているものの集合をＥnとする。Ｅnの要素で、その最高位の数が１であるものの個数をａn、２であるものの個数をｂnとする。lim(n→∞)(ａn/ｂn)を求めよ。
お願いします。

No.16159 - 2011/12/14(Wed) 20:38:45

☆ Re: 初書き込みです。高３です。 / angel

「n桁の自然数」とか、「ある自然数の平方となっているものの個数」とか、そういった所を具体化すること。
例えば 2桁の自然数 k というと 10≦k≦99 のこと。3桁なら 100≦k≦999 のこと。まあ、ただ、それぞれ 10≦k＜100、100≦k＜1000 という形にした方が後々やり易い。
さらに「最高位の数が1」という条件を付け加えると、10≦k＜20、100≦k＜200 となるため、一般化すると、n桁の自然数で最高位が1であるk⇔10^(n-1)≦k＜2・10^(n-1) というように言えます。

では「自然数の平方となっているものの個数」は?
例えば 1～9999 の範囲なら、1^2,2^2,…,98^2,99^2 の99個ということで、大体のところは √10000 という計算で分かります。
これが、1000～9999 というように、1でない数から始まる範囲なら、1～9999 にある 1^2,2^2,…,99^2 の99個から、1～999 にある 1^2,2^2,…,31^2 の31個 ( 31^2=961＜1000, 32^2=1024≧1000 ) を差っ引いた 68個で、大体√10000-√1000 という計算です。

ということで、これはあくまで概算なので解答にそのままは書けませんが、
　a[n]≒√(2・10^(n-1)) - √(10^(n-1))
　b[n]≒√(3・10^(n-1)) - √(2・10^(n-1))
　a[n]/b[n]≒(√2-1)/(√3-√2)
求める極限値は (√2-1)/(√3-√2) だと分かります。( 分数有理化をして √6+2-√3-√2 )

実際に解答を書く場合には、個数をある範囲に絞り込むようにして評価します。
つまり、1～9999 の範囲にある平方数の個数 x ( x=99 ) というのは、
　√10000-2＜x≦√10000-1
であると、幅 1の範囲で評価できるわけです。
なので、a[n] を評価する場合、
　1～10^(n-1)-1 の範囲の平方数の個数 x に対して
　　√(10^(n-1))-2＜x≦√(10^(n-1))-1
　1～2・10^(n-1)-1 の範囲の平方数の個数 y に対して
　　√(2・10^(n-1))-2＜y≦√(2・10^(n-1))-1
　a[n]=y-x に対して
　　( √(2・10^(n-1))-2 )-( √(10^(n-1))-1 )＜a[n]＜( √(2・10^(n-1))-1 )-( √(10^(n-1))-2 )
　　つまり、√(2・10^(n-1))-√(10^(n-1))-1＜a[n]＜√(2・10^(n-1))-√(10^(n-1))+1
　　というように、幅2の範囲に絞り込んで評価することができます。( 上限のケースと下限のケースの差を取っている )
　最終的に a[n]/b[n] も、a[n],b[n] それぞれの上限・下限の分数で評価して、範囲を絞り込みます。

No.16194 - 2011/12/17(Sat) 09:45:13

★ 一次関数 / 受験生

兄と弟は、A地を同時に出発してB地を通りC地まで行きました。
兄はA地からC地まで毎時４kmの速さで歩き、弟はA地からB地まで毎時６km、B地からC地まで毎時３kmの９速さで歩いたところ、兄は弟より３分遅れてC地に着きました。
また、A地からB地までの道のりはB地からC地までの道のりの4/3倍です。このとき、A地からC地までの道のりを求めなさい。

初めてですが、解説おねがいしますm(_ _)m

No.16157 - 2011/12/14(Wed) 20:27:28

☆ Re: 一次関数 / 受験生

すいません!!!
一次方程式の間違いでした。
学年の記載も忘れていました!!
中３ですm(_ _)m

No.16158 - 2011/12/14(Wed) 20:30:58

☆ Re: 一次関数 / moto

A地からB地までの道のりを、x【km】
B地からC地までの道のりを、y【km】

(1)時間について
　兄は、A地からC地までの(x＋y)【km】を、4【km/時】の速さで歩いた
　　(x＋y)/4【時間】

　弟は、A地からB地までのx【km】を、6【km/時】
　　　　B地からC地までのy【km】を、3【km/時】の速さで歩いた
　　(x/6)＋(y/3)【時間】

　兄は弟より3【分】遅れてC地に着いた(3【分】→3/60＝1/20【時間】)
　兄のかかった時間は、弟のかかった時間より、1/20【時間】多い
　　(x＋y)/4＝(x/6)＋(y/3)＋(1/20)

(2)道のりについて
　A地からB地までの道のりx【km】は、B地からC地までの道のりy【km】の(4/3)倍
　　x＝(4/3)y

(1)(2)を{x，y}についての連立方程式として解いて
　　x＝12/5，y＝9/5

確認
　弟は、A地からB地までの(12/5)【km】を、6【km/時】で歩き、(2/5)【時間】→24【分】
　　　　B地からC地までの(9/5)【km】を、3【km/時】で歩き、(3/5)【時間】→48【分】
　　60【分】→1【時間】
　兄は、A地からC地までの(21/5)【km】を、4【km/時】の速さで歩いた
　　21/20【時間】→1【時間】3【分】
　兄は弟より3【分】遅れてC地に着いた。
　A地からB地までの道のり(12/5)【km】は、B地からC地までの道のり(9/5)【km】の4/3倍

答え
　A地からC地までの道のりは、(21/5)【km】

No.16167 - 2011/12/15(Thu) 00:31:12

☆ Re: 一次関数 / 受験生

分かりやすくありがとうございました(*^_^*)

No.16178 - 2011/12/15(Thu) 17:47:51

★ (No Subject) / G7

問い）ｘ＞０のときｆ（ｘ）＝ｘ＋(１/ｘ)の値域を求めよx>0,1/x>0なので相加相乗平均の不等式より
f(x)≧２√（x・1/x)=2であり、
ｘ＝１のとき等号が成り立つので、
ｆ（ｘ）の値域はｆ（ｘ）≧2

上の答案の不備が分かりますか？

というチラシがあったのですが、どこが不備なのでしょうか。。気になるので教えてください。よろしくおねがいします。

No.16149 - 2011/12/12(Mon) 20:13:23

☆ Re: / のぼりん

こんばんは。

では、次の間違いは分かりますか？

【問】ｘ＞０のとき、ｆ（ｘ）＝（ｓｉｎｘ＋２）/２＋２/（ｓｉｎｘ＋２）の値域を求めよ。

【誤解答】ｘ＞０のとき、（ｓｉｎｘ＋２）/２＞０、２/（ｓｉｎｘ＋２）＞０なので、相加相乗平均の不等式より
　　　ｆ（ｘ）≧２√｛（ｓｉｎｘ＋２）/２・２/（ｓｉｎｘ＋２）｝＝２
であり、ｘ＝２π のとき等号が成り立つので、ｆ（ｘ）の値域は
　　　ｆ（ｘ）≧２　　■

No.16150 - 2011/12/12(Mon) 21:47:14

☆ Re: / G7

ｘ＞０でしか定義されていないのでｘ＝０で等号が成り立っても意味が無い、というところですかね・・？

No.16151 - 2011/12/12(Mon) 23:30:23

☆ Re: / angel

f(x)≧2 という不等式があった時、文脈にもよりますが、大きく2通りの意味にとれます。

1つは、純粋に大小関係を表す意味。つまり、例えばf(x)=2 になる瞬間はないかもしれないけれど、f(x)と2を比較すると前者の方が大きいか等しいよ、ということを表すものです。
不等式を解いて x の範囲を求めるような話の進め方をする場合もこちらですね。

もう1つは、値として取りうる範囲を表す意味。つまり、適切なxの値を選べば、2以上の数ならなんでも f(x) の値として取り得ますよ、ということを表すものです。
逆に、取り得ない値があってはダメです。

例えば、
　f(x)=(x^2-4)/(x-2) (x≧0)
というf(x)は、2以上の値なら何でも取り得ますが、f(x)=4 にだけはなりません。
なので、前者の意味では f(x)≧2 は正しいですが、後者の意味では f(x)≧2 は間違いです。
※後者の意味なら、正しくは f(x)≧2, f(x)≠4 もしくは 2≦f(x)＜4, f(x)≧4 が正解

…さて、ここまでを踏まえて。
元の問題の答としてあげている f(x)≧2 はこのどちらの用法で考えるべきでしょうか。また、相加相乗平均の不等式はどちらの意味を持っているのでしょうか。それを考えてみてください。

No.16152 - 2011/12/13(Tue) 00:37:23

☆ Re: / のぼりん

あちゃ～、揚げ足を取られてしまいました… まぁ、誤字ですから自業自得ですか。正しくは、「ｘ＝２π のとき等号が成り立つので」とすべきでしたね。元回答を直しておきました。

定性的な説明は angel さんの通りです。他の反例としては、

【問２】〔　〕をガウス記号とする。ｘ＞０のとき、ｆ（ｘ）＝〔ｘ＋１〕＋１/〔ｘ＋１〕の値域を求めよ。

【誤解答】ｘ＞０のとき、〔ｘ＋１〕＞０、１/〔ｘ＋１〕＞０なので、相加相乗平均の不等式より
　　　ｆ（ｘ）≧２√（〔ｘ＋１〕・１/〔ｘ＋１〕）＝２
であり、ｘ＝０．５のとき等号が成り立つので、ｆ（ｘ）の値域は
　　　ｆ（ｘ）≧２　　■

【問３】ａ＝１、ｘ＞０のとき、ｆ（ｘ）＝１＋１の値域を求めよ。

【誤解答】ｘ＞０のとき、１＞０、１＞０なので、相加相乗平均の不等式より
　　　ｆ（ｘ）≧２√（１・１）＝２
であり、ｘ＝１のとき等号が成り立つので、ｆ（ｘ）の値域は
　　　ｆ（ｘ）≧２　　■

等もあります。

No.16153 - 2011/12/13(Tue) 19:43:51

☆ Re: / G7

遅くなりましたが回答ありがとうございます

angelさんのf(x)≧2 はこのどちらの用法で考えるべきか、は
値域を求めよ、とのことなので、値として取りうる範囲を表す意味。

また、相加相乗平均の不等式はどちらの意味を持っているのか、は正直よく分からないというか、教科書に載ってないので知っているわけではないですが、経験上、最小値を求める時によく使っていることを思い出すと「純粋に大小関係を表す意味」だと思います

あってますでしょうか？

私の質問したものも、のぼりさんの誤答例も値域を求めよではなく、最小値を求めよ、なら正解ということですよね？

よろしくお願いします。

No.16186 - 2011/12/16(Fri) 04:19:06

☆ Re: / G7

どなたかおねがいします・・・

No.16192 - 2011/12/17(Sat) 01:09:59

☆ Re: / angel

> angelさんのf(x)≧2 はこのどちらの用法で考えるべきか、は
> 値域を求めよ、とのことなので、値として取りうる範囲を表す意味。

はい。正解です。

> 相加相乗平均の不等式は…(中略)…「純粋に大小関係を表す意味」だと思います

こちらも正解です。
なお、ここらへんの判断は教科書にも載っていない ( というか、何故か全員いつの間にかできることが前提になっている ) 話なので、資料を見ても分からないはずです。私も学校で聴いたり、教科書で視たりした記憶はありません。

まあ結論としては、2つの不等式の意味が食い違っているものを組み合わせて論理展開しても役に立たないですよ、ということになります。
※もっとも、「範囲を表す不等式」を「単純な大小関係を表す不等式」とみなして使うのは問題ないですけど。その逆(今回のケース)はN.G.

No.16196 - 2011/12/17(Sat) 10:17:13

☆ Re: / angel

> のぼりさんの誤答例も値域を求めよではなく、最小値を求めよ、なら正解ということですよね？

これについては注意が必要。
「『最小値を求めよ』には役立つことが多い」としておいた方が無難です。
例 ( 予め言うと、どちらもN.G. ) を挙げると、
(1) f(x)=x+1/x (x＞0) の最小値を求めよ
　相加相乗平均の関係より f(x)=x+1/x≧2・√(x・1/x)=2
　よって f(x) の最小値は 2
(2) f(x)=x+1/x (x≧2) の最小値を求めよ
　相加相乗平均の関係より f(x)=x+1/x≧2・√(x・1/x)=2
　よって f(x) の最小値は 2

これ、(1)は答えは合っていますが説明で減点、(2)にいたっては答えすら合っていません。
※(2)は f(2)=5/2 が最小値
なぜかというと、これらの相加相乗平均の不等式から求めた f(x)≧2 というのは、単純な大小関係としては正しいのですが f(x)=2 となる瞬間が存在するかどうかまでは保証していないからです。
なので、(1) は f(1)=2 という「実際に最小値を取るxの存在」を見つけて、説明を追加してはじめて正解となります。

No.16197 - 2011/12/17(Sat) 10:28:57

☆ Re: / G7

回答ありがとうございます。よく分かりました。

問い）ｘ＞０のときｆ（ｘ）＝ｘ＋(１/ｘ)の値域を求めよの
解答を完成させたいと思います
x>0,1/x>0なので相加相乗平均の不等式より
f(x)≧２√（x・1/x)=2であり、
ｘ＝１のとき等号が成り立つので、
ｆ（ｘ）の最小値は２。
あとはf(x)が（0,∞）の定義域で連続である事が言えればよい。
この後どうすればいいのか分からないので教えてください。
よろしくお願いします。

No.16202 - 2011/12/18(Sun) 04:23:41

☆ Re: / angel

> あとはf(x)が（0,∞）の定義域で連続である事が言えればよい。
> この後どうすればいいのか分からないので教えてください。

数IIIか数Cあたり ( 数IIでもいける? ) なら、その方針で解答をつくることもできますが、少なくとも数Iだと無理なので注意して下さい。
※つまり数I範囲だと、相加相乗平均の不等式は、値域を求める問題には使えない。

　…(前略)…
　f(x)の最小値はf(1)=2
　また、lim[x→+0] f(x)=+∞
　※lim[x→+∞] f(x)=+∞ を使っても良い
　f(x) は x＞0 の範囲で連続のため、f(x) の値域は f(x)≧2

lim[～] f(x)=+∞ ということは、f(x) は幾らでも大きな値を取り得るということ、かつ、f(x) は連続のため ( 高校範囲で証明は不要、というかできない )、結局最小値2以上の値は何でも取り得る、ということになります。
…微分を習っていれば、グラフの形状を描いて説明する時に、ここら辺の話は自然とこなすことになります。

なお、数I範囲で解く場合は、
　f(x)=x+1/x=k と置いたときに、x+1/x=k が x＞0 なる実数解を持つ k の範囲を求めよ
という、実は二次方程式の問題と同等になります。

No.16209 - 2011/12/19(Mon) 00:31:17

★ 正葉曲線 / マコト

Oを原点とする座標平面上の２点(cosθ,0),(0,sinθ)を通る直線がある。この直線に関する原点Oの対称点をPとしえて、θを0<=θ<=π/2の範囲で変化させるとき、点Pの描く曲線をCとする。

(1)点Pの座標を(x,y)とするとき、x,yをθを用いて表せ
(2)y(dx/dθ)を、２θを用いて表せ
(3)曲線Ｃによって囲まれる部分の面積を求めよ

(1)はx=sin2θsinθ,y=sin2θcosθになりますか？
(2),(3)は全然です
一応全部の模範解答をお願いしたいです

No.16124 - 2011/12/08(Thu) 23:37:56

☆ Re: 正葉曲線 / はにゃーん

(1)はあってます。代表的な点を代入して確認しましょう。
例えばθ=0, π/4, π/2

(2)dx/dθ = 2cos2θsinθ + sin2θcosθ
なので
y(dx/dθ) = sin²2θ(3cos2θ+1)/2

(3)積分を計算して答えはπ/8
三角関数は周期関数であり、積分すると0になる場合があるので積分計算する前に考えとくと計算が楽になります。

ちなみにこの曲線は極方程式でr=sin2θとかけるので
∫[0,π/2]sin²2θdθを解くほうがすっきり。

No.16139 - 2011/12/10(Sat) 15:27:50

☆ (1)模範解答例 / angel

(1)の模範解答例です。

2点(cosθ,0),(0,sinθ)を通る直線は xsinθ+ycosθ=sinθcosθ
θ=0,π/2の時、この直線は原点を通るため、Pは原点と一致する。
0＜θ＜π/2 の時、Pの座標を(p,q)とすると、
・OPの中点(p/2,q/2)をこの直線が通る
　すなわち、psinθ+qcosθ=2sinθcosθ …(i)
・直線OP qx-py=0 は、この直線と垂直である
　すなわち qsinθ-pcosθ=0 …(ii)

(i)・sinθ-(ii)・cosθ より p((sinθ)^2+(cosθ)^2)=2(sinθ)^2・cosθ
(i)・cosθ+(ii)・sinθ より q((sinθ)^2+(cosθ)^2)=2sinθ(cosθ)^2

よって、p=2(sinθ)^2・cosθ, q=2sinθ(cosθ)^2
θ=0,π/2を代入したときも p=q=0 となるため、この式はθ=0,π/2の時のPの座標にも適合する。
Pの座標を(x,y)とするとき、x=2(sinθ)^2・cosθ, y=2sinθ(cosθ)^2
※2sinθcosθ=sin(2θ)を使って、x=sin(2θ)sinθ, y=sin(2θ)cosθとしても正解です。

No.16140 - 2011/12/10(Sat) 20:17:07

★ (No Subject) / すずき　高２

こんにちは。

画像の問題を解いたのですが、合ってるかお目を通していただけないでしょうか。

●解答
ベクトル省略で・・・
条件より a・b=3・・・?@
c=pa+qb とおく
AC⊥OB より
（c-a）・b
＝｛（p-1)a＋qb}・ｂ
＝3（p-1)＋4q=0
3p+4q=3・・・?A
同様にBC⊥OA より
（c-b）・a
＝｛pa＋（q-1)b}・a
＝9p+3(q-1)=0
3p+q=1・・・?B
?A－?Bより
q=2/3
?Bに代入
p=1/9
以上より
ｃ＝1/9*a+2/3*b･･･（答）
│ｃ│^2＝（1/9*a+2/3*b）・（1/9*a+2/3*b)
,,,,,,,,,,,,,,＝1/9+4/9＋16/9＝7/3･･･（答）

ｄOCとABの交点をDとする
ｃ＝（a+6b)/9かつd=kcより→ｄ＝（a+6b)/7→c=7/9*d
したがって
AD:DB=6:1、OC:CD=7:2
△OAB=1/2*2*3*sin60°＝3√3/2

△OAC=6/7*7/9*△OAB
,,,,,,,,,,,＝2/3＊3√3/2＝√3･･･（答）

宜しくお願いします。

No.16120 - 2011/12/08(Thu) 22:12:21

☆ Re: / すずき　高２

申し訳ありません。

画像が間違っておりました。
以下の画像の問題でお願いします。

No.16121 - 2011/12/08(Thu) 22:15:17

☆ Re: / ヨッシー

AC⊥OB や BC⊥OA は成り立ちません。
これでは、Ｃは垂心ということになります。
ＯＡの中点をＤ、ＯＢの中点をＥとすると、
　ＣＤ⊥ＯＡ　ＣＥ⊥ＯＢ
が成り立ちます。

これからｐ、ｑを求めると、p=4/9, q=1/6 になるはずです。

No.16122 - 2011/12/08(Thu) 22:26:29

☆ Re: / すずき　高２

あっ、そうですね！
おっしゃる通りです。
答え及びその他の点は大丈夫ですか？

No.16129 - 2011/12/09(Fri) 01:38:06

☆ Re: / ヨッシー

上に書いたとおり、p=4/9, q=1/6 　なので、
答えも違いますね。

No.16133 - 2011/12/09(Fri) 16:47:55

☆ Re: / すずき　高２

あれ！？ほんとですね！！

なんか滅茶苦茶になっちゃいました＾＾；
なんと正解にかたどり着けたようです。
すみません面倒おかけしました。ありがとうございました！

No.16134 - 2011/12/09(Fri) 18:14:56

★ (No Subject) / 玄武

実数aに対し、ｘの方程式
log[4](x-1)+log[4](4-x)=log[4](a-x)・・?@
がただ１つの解を持つようなaの範囲を求めよ。
[4]はガウス記号ではなく単に対数の底を表します。

自分が作った解答
真数条件より1?@⇔x^2-6x+a+4=0(左辺をｆ（ｘ）とする）
(i）a<4のとき
ただ１つの実数解をもつのは
「f(1)f(a)<0」または「3<a(<4)かつD=0」
⇔(a-1)^2(a-4)<0またはa=5
a<4をみたすaは存在しない

(?A）４＜aのとき
「f(1)>0かつｆ(4)<0」または1<x<4で重解を持つ
⇔「1<a<4」またはa=5
⇔a=5(∵４＜a)

(?B）a=4のとき
真数条件は1<x<4
方程式はx^2-6x+8=0より
ｘ＝２、４
適するのはｘ＝２のみ。よって
a=4は適する

以上より
求めるaの条件は
a=4,5

しかし答えは１＜a≦４、a=5でした。
どこが駄目だったのか教えてください。よろしくおねがいします。

No.16108 - 2011/12/06(Tue) 22:21:04

☆ Re: / ヨッシー

自分が作った解答　の下の行は、
真数条件より1＜x＜4かつx＜a
と書いてあります。

No.16109 - 2011/12/06(Tue) 22:46:06

☆ Re: / ヨッシー

答えが分かっているので、例えば、ａ＝３　だとなぜＯＫなのか
考えてみます。
x^2-6x+a+4=0 より　x^2-6x+7=0
これを解いて、
　ｘ＝3±√2
ｘ＝３＋√２は、１＜ｘ＜４も、ｘ＜ａも満たしませんが、
ｘ＝３－√2≒１．６　は、両方満たします。
よって、解は１個です。

このように、重解でなくても、片方が真数条件を満たしていない
ような場合も、解は１つとなります。

No.16110 - 2011/12/06(Tue) 22:57:41

☆ Re: / 玄武

片方が真数条件を満たしていない
ような場合はf(1)f(a)<0の場合でちゃんと考慮していると思うのですが・・。

No.16111 - 2011/12/06(Tue) 23:23:33

☆ Re: / ヨッシー

>(a-1)^2(a-4)<0またはa=5
の続きは、
これより
ａ＜４　または　ａ＝５
よって、１＜ａ＜４の範囲のａであれば、１＜ｘ＜ａの範囲に
解が一つだけ存在する。
よって、１＜ａ＜４
となります。
これと、ａ＝４，ａ＝５とを合わせて、
　１＜ａ≦４　または　ａ＝５
です。

No.16112 - 2011/12/06(Tue) 23:57:02

★ (No Subject) / ウンディネ

次のページに流れてしまったので再度お願いします。

自然数ｍ、ｎについて
p:mは2の倍数
ｔ：３ｍ＋２ｎは6の倍数
「ｐかつｔバー」ならば「n^2+αは3の倍数」が新であるような2桁の自然数αは全部で何個あるか？

という問題で解説の理解はできるのですがｍ、ｎが自然数という条件を無視しているのでそれで本当に漏れが無いのかの確信が持てません。（なぜこの解答でいいのかが分かりません）

ｐかつｔばーのときすなわち
ｍが2の倍数でかつ３ｍ＋２ｎが6の倍数でないとき、
３ｍは６の倍数であるから、２ｎは6の倍数ではない。
よってｎは３の倍数ではない。
このときｎ＝３ｌ±１（ｌは整数）と表す事ができ
ｎ＾２＋α＝３（　）＋１＋α
が3の倍数となるような自然数αは３で割った余りが２となるものであり、そのうち2桁のものはα＝１１，１４，１７、・・、９８の30個。

解説は省略せずにすべて書きました。

解説を始めから順に見て行きます。
ｐかつｔばー
⇔ｍが2の倍数でかつ３ｍ＋２ｎが6の倍数でない
⇔ｍが２の倍数でかつ２ｎは6の倍数ではない。（ｎは3の倍数ではない）
まずここから疑問があります。ｍ、ｎ≧１を考慮すると
３ｍ＋２ｎ≧５ですよね。でもかといって5以上の全ての自然数というわけでもないですよね。３ｍ＋２ｎ＝１２など実現不可能ですし。

さらにｎ＝３ｌ±１もｌは整数、つまりｎが自然数という条件より広い整数という条件で設定しています。

これらが特に気になっています。

よろしく御願いします。

No.16023 - 2011/11/28(Mon) 20:41:57

--------------------------------------------------------------------------------
☆ Re: 必要条件十分条件 / angel 引用
この場合、「m,nが自然数」というのは問題の前提です。
なので、
> ｐかつｔばー
> ⇔ｍが2の倍数でかつ３ｍ＋２ｎが6の倍数でない
> ⇔ｍが２の倍数でかつ２ｎは6の倍数ではない。（ｎは3の倍数ではない）
これをより正確に言うと、
　m,nが自然数かつｐかつｔバー
　⇔ m,nが自然数かつmが2の倍数かつ3m+2nが6の倍数でない
　⇔ m,nが自然数かつmが2の倍数かつ2nが6の倍数でない
のようになります。
毎回「m,nが自然数」と書くのもくどいので、これは省略していると思ってください。
そうすると、3m+2n=4 などは「m,nが自然数かつ…」の条件にもともとあてはまらないので、考える必要がありません。

No.16026 - 2011/11/29(Tue) 01:29:43

--------------------------------------------------------------------------------
☆ Re: 必要条件十分条件 / ウンディネ引用
m,nが自然数かつmが2の倍数かつ2nが6の倍数でない
の後ｎ＝３ｌ±１（ｌは整数）とおきますが、これはｎが自然数という条件よりも広くとってますよね。（ｎが負の場合も含めてしまっている）そしてｎ＾２＋αに代入して解答を進めています。ということは本来のｎ：自然数という条件より広く取ってしまった分、不適なケースがでてくるのではないでしょうか？（必要条件で考えたので最後に吟味が必要なのではないでしょうか？）
さらにm,nが自然数かつmが2の倍数かつ2nが6の倍数でない
という条件なので最後に出したｎそれぞれに対してｍが２の倍数でかつ自然数かどうかの吟味が必要なのではないでしょうか？

それらの吟味をなぜしなくていいのかが分かりません。
どうかご教授ください。

No.16093 - 2011/12/05(Mon) 15:07:22

No.16105 - 2011/12/06(Tue) 18:29:24

☆ Re: / angel

> …(前略)…の後ｎ＝３ｌ±１（ｌは整数）とおきますが、これはｎが自然数という条件よりも広くとってますよね。（ｎが負の場合も含めてしまっている）

うーん…。
広く取っていません、と言っても良いのですが…。
逆に広く取っていたら、何か問題があるでしょうか。
> 不適なケースがでてくるのではないでしょうか？
実際に不適なケースはないので、「広く取っている」と解釈しても問題がない、ともいえますね。

以下の論理展開に納得することはできるでしょうか。

　…(略)…
　n=3l±1 (lは整数) と表すことができる。
　よって、n^2 を3で割った余りは1
　よって、「ｐかつｔバー」ならば「n^2を3で割った余りは1」が真である

No.16113 - 2011/12/07(Wed) 00:53:44

☆ Re: / ウンディネ

できると思います

「ｐかつｔバー」⇒n=3l±1 (lは整数)⇒「n^2を3で割った余りは1」ということですよね

No.16114 - 2011/12/07(Wed) 20:17:04

☆ Re: / angel

それに納得できるのであれば、

「ｐかつｔバー」
⇒n=3l±1 (lは整数)
⇒「n^2を3で割った余りは1」
⇔ αが3で割って2余る数ならば、n^2+αは3で割り切れる

ということで、αの条件が確定するのも良いでしょうか。
結局「必要条件」(⇒での推移) というのは、結果的に範囲がどんどん広くなっていく方向に話が進むのです。
※n=3l±1 に対する n^2 と、3で割って1余る数とでは、後者の方が範囲が広い
今回それで問題が出ていないので、まあ、気にすることはない、ということです。
※どんどん範囲を広げていってもαは3で割って2余る数なのだから、逆に元の狭い範囲で見ても、やっぱりαは3で割って2余る数と言える。

No.16126 - 2011/12/09(Fri) 00:10:39

★ ★ 小学校の算数の時間と距離の問題 / 夕凪

ヨッシーさん、初めまして、こんばんわ。

４０代で趣味で算数と数学の勉強をやってる物です。

突然の質問、失礼致します。

頭が固くて飲み込みが非常に遅いので、どうか解りやすく解説して頂ければ、うれしく思います(o^-^o) 。よろしくお願い致します。

小学校の算数の時間と距離の問題ですが、?Aが解りません(>.<)。

★問題

右のグラフは、A君が家を出たあと、兄さんが自転車で追いかけた様子を表しています。

?@A君と兄さんのそれぞれの分速を求めなさい。

?A兄さんがA君に追いつくのにかかった時間を求めなさい。

?@は、A君の分速は、グラフから３０００÷４０＝７５
　　　B君の分速は、２０００÷１０＝２００

?Aは、どうやって求めたら、いいのでしょうか？

解き方は、方程式を使わない解き方と使う解き方、両方教えて頂ければ、助かります。

よろしくお願い致します(o^-^o) 。

No.16098 - 2011/12/05(Mon) 21:13:37

☆ Re: ★ 小学校の算数の時間と距離の問題 / ヨッシー

兄が家を出るときに、Ａ君はすでに
　７５×２０＝１５００(m)
先に進んでいます。これを、１分間に
　２００－７５＝１２５(m)
ずつ差を詰めていくので、追いつくまでに
　１５００÷１２５＝１２(分)
かかります。

これが、方程式を使わない方法です。

方程式を使うならば、
兄がＡ君に追いつくまでにｘ分かかるとします。
Ａ君が歩いた時間はｘ＋２０分なので、進んだ距離は
　７５(ｘ＋２０)
兄が進んだ距離は
　２００ｘ
これらが等しいので、
　７５(ｘ＋２０)＝２００ｘ
これを解いて
　ｘ＝１２(分)
となります。

No.16099 - 2011/12/05(Mon) 23:35:22

☆ Re: ★ 小学校の算数の時間と距離の問題 / 夕凪

ヨッシーさん、丁寧に解りやすく解説して頂いて、ほんとに有難うございますー(o^-^o) 。どう解いたら良いのか、なかなか思い浮かばなかったけど、理解出来ましたあ(*^.^*)。
これからも、質問させて頂いても、いいでしょうか？頭がめちゃくちゃ固いので、理解するのに時間が相当かかりますが、出来るところまで、頑張って解くので、どうかよろしくお願い致します(o*。_。)o。

No.16100 - 2011/12/06(Tue) 00:39:31