ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 確率の基礎知識 / なき

４Ｃ２と４Ｐ２の違いがよくわかりません

よろしくお願いします

No.16004 - 2011/11/27(Sun) 14:24:35

☆ Re: 確率の基礎知識 / なき

６人の生徒を（１）Ａ、Ｂ，Ｃの３つの組に二人ずつわける方法

（２）ただ二人ずつ三つの組にわける方法

（1）と（２）の違いがよくわかりません。

何故、（２）では（１）の答を３！で割るのですか？

追加してすいません

No.16006 - 2011/11/27(Sun) 16:40:21

☆ Re: 確率の基礎知識 / angel

> ４Ｃ２と４Ｐ２の違いがよくわかりません

違い…ね。
どこまで知っていて、どこが分からなくなっているか、もう少し自分の中で整理して貰ったほうが良いように思います。
取り敢えず、C,Pがどんなものかといえば、

　・CはCombination(組み合わせ)の頭文字、PはPermutation(順列)の頭文字
　・計算式は、
　　4P2=4×3, 4C2=4×3÷(2×1)
　　別の数字の例だと、
　　9P3=9×8×7, 9C3=9×8×7÷(3×2×1)
　・P,Cの関係式で言うと、
　　4C2=4P2÷2!
　　も一つ例を挙げると、9C3=9P3÷3!
　・P,Cそれぞれの性質としては、
　　4P4=4!, 9P9=9! (左右の数が同じなら、階乗 ! と同じ)
　　4P2=4!÷(4-2)!, 9P3=9!÷(9-3)!
　　9C3=9C(9-3) (9個中3個を選ぶは、9個中6個を残す、と同じこと)
　　nP0=nC0=1 ( nは任意の非負整数 )、ついでに 0!=1

と、ざっとこれくらいの話はありますけど。

No.16007 - 2011/11/27(Sun) 17:02:56

☆ Re: 確率の基礎知識 / angel

> ６人の生徒を（１）Ａ、Ｂ，Ｃの３つの組に二人ずつわける方法
>（２）ただ二人ずつ三つの組にわける方法
>（1）と（２）の違いがよくわかりません。

生徒を a,b,c,d,e,f としましょうか。
(1) は、例えば a,b/c,d/e,f と組に分かれる場合に、
　Aにa達(a,b)、Bにc達(c,d)、Cにe達(e,f)
　Aにa達、Bにe達、Cにc達
　Aにc達、Bにa達、Cにe達
　Aにc達、Bにe達、Cにa達
　Aにe達、Bにa達、Cにc達
　Aにe達、Bにc達、Cにa達
というケースをそれぞれ区別して、計6通りだと数えます。
※この6は、3!=6 として計算できます。

ところが、(2)はこれらを区別しません。
つまり、あくまで誰と誰が一緒になるかだけを見ていて、そのグループにA,B,Cといった名前をつけないわけです。

結局、a～f がどのように分かれるにせよ、(1),(2)ではこの6倍の違いがでるため、(2)は(1)の答を6で割ったものになるわけです。

No.16008 - 2011/11/27(Sun) 18:34:29

☆ Re: 確率の基礎知識 / なき

追加問題の区別の問題はわかりました

ありがとうございました

しかし，４Ｃ２と４Ｐ２の違いについてです。例えば男子四人女子四人の計八人から，三人のリレーの選手を選ぶとき，すべての場合の数を求める問題があったとします

何故、8Ｃ３にしてはいけないのですか？

No.16015 - 2011/11/27(Sun) 23:28:31

☆ Re: 確率の基礎知識 / らすかる

「男子四人女子四人の計八人から，三人のリレーの選手を選ぶ」だけなら
8C3で合ってますよ。

No.16016 - 2011/11/28(Mon) 00:09:19

☆ Re: 確率の基礎知識 / なく

すいませんで。８Ｃ３ではなく８Ｐ３の場合です

No.16017 - 2011/11/28(Mon) 00:44:23

☆ Re: 確率の基礎知識 / angel

> しかし，４Ｃ２と４Ｐ２の違いについてです。例えば男子四人女子四人の計八人から，三人のリレーの選手を選ぶとき，すべての場合の数を求める問題があったとします
> 何故、8Ｃ３にしてはいけないのですか？

その問題がどういう状況を考えさせるものかによります。
「選ぶ」なら C(ombination)、「並べる」ならP(ermutation) とはならないこともあります。

もしそのリレーの問題が、
・計8人から3人を選び、さらに走る順番まで考える
という内容であれば 8P3 になります。
これは、8人中3人を、1番走者・2番走者・アンカー(3番走者)という枠に並べるのと同じことだからです。

でも、走る順番まで考えなくて良い問題であれば、8C3 になります。これは問題に書いてあることを良く読んで、意図を把握するしかないです。

No.16018 - 2011/11/28(Mon) 01:11:29

☆ Re: 確率の基礎知識 / なき

大変よくわかりました！

本当にありがとうございました！

No.16021 - 2011/11/28(Mon) 18:59:27

★ 数列 / イド

数列 a1,a2,a3,…を次のように定める。
a1=1,a2=a3=2,a4=a5=a6=3,……
（１）与えられた自然数nに対して，ai=n となるようなiの範囲を求めよ。
（２）mを自然数とするとき，この数列の初項から第2m^2項までの総和を求めよ。

(1)は
(1/2)n(n-1)+1≦i≦(1/2)n(n+1)って感じになったんですけど、あってますか？　それに根拠がそのように書けばいいか分かりません
(2)は2m^2を代入してもなんかできません

模範解答をお願いしたいです

No.16002 - 2011/11/27(Sun) 12:23:53

☆ Re: 数列 / angel

(1)正解です。
根拠といっても、あまり書くことはないのですが ( 割と書きようがない )、解答としてはこんな感じでしょうか。

　a[i]≦n を満たす項数は、
　1+2+…+n = 1/2・n(n+1)
　※より厳密に書くなら Σ[k=1,n]k=1/2・n(n+1)
　であるため、a[i]=n となる最後の項は 1/2・n(n+1)項目
　また、連続した n項が a[i]=n となるため、a[i]=n となる最初の項は、
　1/2・n(n+1)-n+1=1/2・n(n-1)+1
　であり、求める i の範囲は 1/2・n(n-1)+1≦i≦1/2・n(n+1)

なお、a[i]≦n-1 の範囲を考えて、その次から…というように話を持っていく場合、n=1 を特別扱いする必要がありますので注意。

No.16009 - 2011/11/27(Sun) 18:49:14

☆ Re: 数列 / イド

解答ありがとうございます
一応(2)も解けたんですけど、これでいいでしょうか？

(1/2)n(n-1)+1≦2m^2≦(1/2)n(n+1)
より
(1/2)n(n-1)+1≦2m^2 (A)
2m^2≦(1/2)n(n+1) (B)
(A)より
n^2-n+2-4m^2≦0
∴{1-√(16m^2-7)}/2≦n≦{1+√(16m^2-7)}/2 (A)'
(B)より
n^2+n-4m^2≧0
∴n≦{-1-√(16m^2-1)}/2,{-1+√(16m^2-1)}/2≦n (B)'
(A)'(B)'より
{-1+√(16m^2-1)}/2≦n≦{1+√(16m^2-7)}/2 (C)
更に
{1+√(16m^2-7)}/2<(1+4m)/2=1/2+2m (D)
又
(16m^2-1)-(4m-1)^2=8m-2>0
∴{-1+√(16m^2-1)}/2>{-1+(4m-1)}/2=2m-1 (E)
(C)(D)(E)より
2m-1<n<2m+1/2
よって
n=2m

No.16010 - 2011/11/27(Sun) 19:38:20

☆ Re: 数列 / angel

> 一応(2)も解けたんですけど、これでいいでしょうか？
多分間違えてはいないのですが、コレやってたら解答書くの大変です、というのと、n=2m が分かった先まだまだ続きます、ということで。
もっとサラリと書いて問題ないです。

　n=2m に対して、
　　(1/2)n(n-1)+1=(1/2)・2m(2m-1)=2m^2-m＜2m^2
　　(1/2)n(n+1)=(1/2)・2m(2m+1)=2m^2+m＞2m^2
　よって、a[2m^2]=2m

どうやって n=2m の見当をつけたのか、問題を解く人にとっては重要事ですが、解答には載せる必要はないのです。
さて、この後何をするかというと、a[i]の値が 1～2m-1 の間の合計と、2m の部分の合計を分けて考えることになります。

　a[i]≦2m-1 となる項数は 2m^2-m ← 上の計算の結果より
　この範囲の合計は、
　　1・1+2・2+…+(2m-1)(2m-1)=(1/6)(2m-1)(2m-1+1)(2(2m-1)+1)
　　= (1/3)m(2m-1)(4m-1)
　a[i]=2m となる項数は 2m^2-(2m-2-m)=m
　この範囲の合計は、
　　m・2m = 2m^2
　求める総和は、この2個の値の合計
　　(1/3)m(8m^2+1)

No.16013 - 2011/11/27(Sun) 23:02:40

★ 確率 / かな

４人でじゃんけんを行う。このとき４人がグー、チョキ，パーをだす割合はすべて等しいとする。

２人が勝つ確率を求めよ

この確率の事象がなぜ　４Ｃ２×３　になるのかわかりません

No.15998 - 2011/11/25(Fri) 23:39:04

☆ Re: 確率 / かな

あと全事象が３の４乗になる理由がわからないです

No.15999 - 2011/11/25(Fri) 23:42:19

☆ Re: 確率 / klmo

全事象が3の4乗になる理由
A、B、C、Dの4人がじゃんけんをする時、Aはグー、チョキ、パーの3通りの出し方があり、そのそれぞれに対してBはグー、チョキ、パーの3通りの出し方があります。（Aがグーを出した時、Bはグー、チョキ、パーの3通り、Aがチョキ、パーの時も同様。）また、CはBのそれぞれに対して3通り、DもCのそれぞれに対して3通りの出し方があるので、3×3×3×3=3の4乗となります。

2人が勝つ場合の数が4C2×3になる理由
例えば、AとBがグーで勝つ時、CとDはチョキで負け、その場合の数はただ1通り（Aがグー、Bがグー、Cがチョキ、Dがチョキ→1通り）なので、グーで勝つ2人が決まれば、その2人がグーで勝つ場合の数は、ただ1通りになります。従って、4人から2人を選ぶので、場合の数は4C2となり、また、チョキで勝つ場合、パーで勝つ場合もあるので、求める場合の数は4C2×3となります。

長々と文章で書きましたが、『樹形図』をかけばすぐにわかると思います。

No.16000 - 2011/11/26(Sat) 02:48:10

☆ Re: 確率 / angel

> 全事象が３の４乗になる理由がわからないです
全事象が3^4に「なる」のではなく、3^4に「した」の方が正確です。

純粋に全員（以下a,b,c,d）のグー・チョキ・パー（以下G,C,P）の組み合わせを列挙すると、
　(a,b,c,d)=(G,G,G,G),(G,G,G,C),(G,G,G,P),(G,G,C,G),…,(P,P,P,C),(P,P,P,P)
の3^4通りあり、これらは全て同一の確率1/3^4なので、このうち問題で考えている事象が何通りあるかを見て確率を考えますよ、と宣言しているわけです。
　※なぜこれが3^4なのかは、人数を少なくして全部列挙すれば、類推できるでしょう。
　　例えばa,bの2人なら、
　　(a,b)=(G,G),(G,C),(G,P),(C,G),(C,C),(C,P),(P,G),(P,C),(P,P)
　　の3^2となります。
なので、全体の事象を3^4としない考え方だってできます。3^4と決まっているのではなく、あくまでどう考えるかによって自分で選ぶことなのです。
※そうはいっても、これが一番分かりやすいけど…

> ２人が勝つ確率を求めよ
> この確率の事象がなぜ　４Ｃ２×３　になるのかわかりません

kimoさんが既に説明されていますが、
「2人が勝つ」の時点で、誰が何を出すか区別しなければG,G,C,C か C,C,P,P か P,P,G,G の3通り
その中で、例えば G,G,C,C のケースなら
(a,b,c,d)=(G,G,C,C),(G,C,G,C),(G,C,C,G),(C,G,G,C),(C,G,C,G),(C,C,G,G)
と、4人のうちGを出す2人を選ぶ4C2通りあることが分かり、これは他のケースでも同様ですから、4C2×3となります。

話を戻して、全体を3^4としないやり方としては、
aの出すのをグー・チョキ・パーにかかわらず“=”として、b,c,dはそれに勝つ手“+”、引き分ける手“=”、負ける手“-”とする方法があります。
この場合は全体が3^3、2人が勝つのはb,c,dが(=,-,-),(+,+,=)の組み合わせの場合なので、3C1×2と計算できます。
もちろん、割り算して確率を出せば答は同じです。

No.16001 - 2011/11/26(Sat) 10:06:01

☆ Re: 確率 / かな

ありがとうございました

No.16003 - 2011/11/27(Sun) 14:21:23

★ 場合の数 / DIE

こんばんは。よろしくお願いします。
添付の問題です。

（5）です。
自分の回答は
?@AB一個ずつ入る場合
二個入るのはCDのいずれかで、残りは順列
5c2＊2＊3！
?AAB二個ずつで残りはCDのいずれかに自動的
5c2＊3c2＊2
?BAB空のとき
CDのいずれかに入る
2＾5
とやりましたが?@だけ数字が答えとあわなかったので間違っているようなのですが、どこが間違っているのかいくら考えてもわかりませんでした。
すみませんが教えてください・・・。
最近この単元が非常に心もとないです・・・。
よろしくお願いします。

No.15995 - 2011/11/25(Fri) 23:10:54

☆ Re: 場合の数 / angel

?Bと同じように考えれば紛れなかったでしょう。
> ?BAB空のとき
> CDのいずれかに入る
> 2^5
と同じようにすれば、
　?@AB一個ずつ入る場合
　A,Bに入る2個は順列 5P2
　残り3個はCDのいずれかに入り 2^3
　5P2×2^3=160
となります。

翻って、
> ?@AB一個ずつ入る場合
> 二個入るのはCDのいずれかで、残りは順列
> 5c2＊2＊3！
のどこに問題があったかというと、Cに3個Dが空 ( もしくは逆のケース ) の場合の 40通りが含まれていなかった所です。

No.15996 - 2011/11/25(Fri) 23:31:57

☆ おまけ / angel

えーと、考え方をそろえて元の?A,?Bの折衷のように統一すれば、
?@Aに1個、Bに1個、残り3個はC,Dいずれか
　5C1×4C1×2^3
?AAに2個、Bに2個、残り1個はC,Dいずれか
　5C2×3C2×2^1
?BAに0個、Bに0個、残り5個はC,Dいずれか
　5C0×5C0×2^5
ともかけます。
もちろん、あえて 5C0 (=1) を書く必要はないのですが、こうすると?@～?Bすべて同じ考え方で計算できる、ということです。

No.15997 - 2011/11/25(Fri) 23:38:00

☆ Re: 場合の数 / DIE

よくわかりました。
本当にどうもありがとうございました！！

No.16051 - 2011/12/02(Fri) 21:51:47

★ 行列です / ponta28

　　a , a+1
点Pが行列A=
　　-1 , -1
を表す移動によって移される点をQとする
Pがl:y＝mx＋１上の点であれば
点Qも常にl上にあるときa,mの値を求めよ

l上の点をP（t、mt＋１）としてtの恒等式とする方法は分かったのですが

l上の点P(t,mt+1)として

→l // A(→OP)-→OP
のやりかたがいまいちわかりません

(A-E)→OP//(１、m)としたのですがぐちゃぐちゃになってしまいました

お願いします

No.15988 - 2011/11/24(Thu) 21:15:12

☆ Re: 行列です / X

式がごちゃごちゃになる位なら
>>(A-E)→OP
とまとめずにA↑OPを先に計算しましょう。
A↑OP-↑OP=(at+(a+1)(mt+1),-t-(mt+1))-(t,mt+1)
=({a-1+(a+1)m}t+(a+1),-(2m+1)t-2) (A)
ここで
A↑OP-↑OP//l
なので
↑p=(1,m) (B)
とすると
A↑OP-↑OP=k↑p (C)
(A)(B)(C)(D)より
{a-1+(a+1)m}t+(a+1)=k (D)
-(2m+1)t-2=km (E)
(D)(E)よりkを消去した式をtの恒等式と見て係数を比較します。

No.15991 - 2011/11/25(Fri) 00:03:17

★ 確率の問題です / 八重

1番から12番までの12枚の番号札を、無作為に4枚ずつ3組に分ける。その上で、次の順で合計7枚の札を選び出す。
(a) 各組の一番小さい番号の札を取り出す。
(b) 残っている札の中から、各組の一番小さい番号の札を取り出す。
(c) 残り6枚の中で、一番小さい番号の札を取り出す。
次の問いに答えよ。
(1) 何番までの札は確実に選び出されるか。
(2) 6番の札が、(a)で取り出される確率を求めよ。
(3) 6番の札が、選び出される確率を求めよ。

(1)は3番であっていますか？
それ以降がよく分かりません
解説付きの解答お願いしたいです

No.15982 - 2011/11/22(Tue) 00:09:19

☆ Re: 確率の問題です / ヨッシー

(1)は３番です。
全部の分け方は、まず４枚を選び(12Ｃ4)、残り８個から
４枚を選び(8Ｃ4)、３組は区別しないので、３！で割ります。
　12Ｃ4×8Ｃ4÷３！＝5775（通り）
(2)
ある組において、６が一番小さい数である場合に、(a) で６が
取り出されます。
６を含む組の札の組み合わせは、6Ｃ3
残り８枚を、４枚ずつ２組に分けるのは、8Ｃ4÷２！
よって、(a)で６が取り出されるのは、
　6Ｃ3×8Ｃ4÷２！＝700(通り)
よってその確率は、700/5775＝4/33
(3)
(b) で６が取り出されるのは、ある組で６が２番目に小さい場合なので、
６を含む組の組み合わせは、5Ｃ1×6Ｃ2
残り８枚を、４枚ずつ２組に分けるのは、8Ｃ4÷２！
よって、(b)で６が取り出されるのは、
　5Ｃ1×6Ｃ2×8Ｃ4÷２！＝2625(通り)
(c) で６が取り出されるのは、ある組で６が３番目に小さく、
６より小さい残り３枚が、２枚はある組に、１枚は別の組になる場合。
６を含む組の組み合わせは、5Ｃ2×6Ｃ1
６より小さい３枚から１枚選び、６より大きい５枚から３枚選ぶのは、
　3Ｃ1×5Ｃ3
よって、(c) で６が取り出されるのは
　5Ｃ2×6Ｃ1×3Ｃ1×5Ｃ3＝1800（通り）
以上より、６が取り出される場合の数は、
　700+2625+1800＝5125（通り）
その確率は、205/231

No.15983 - 2011/11/22(Tue) 06:27:39

★ 教科書ガイドの指針文(関数の極致) / すずき　高２

数?Vの教科書ガイドの、問題を解くにあたっての指針の文の一部について質問します。

●y＝|x+1|の極限を求めよ。
●指針
微分可能でない点における極限
関数f(x)がx＝aにおいて微分可能でない場合にも、x＝aの前後でf'(x)の符号が変化すればf(a)が極限になる。そこで、微分可能である範囲におけるf'(x)の符号と、微分可能でないxの値の符号の前後におけるf'(x)の符号を調べて増減表を書けばよい。この場合、x＝-１で微分可能でない。

この文中の、『微分可能である範囲におけるf'(x)の符号』と『微分可能でないxの値の符号の前後におけるf'(x)の符号』が区別されて書かれているように読み取ったのですが、どちらも同じ意味で、重複しているように思ったのですが、この考えで正しいですか？
それぞれの文の意味と、異なる点を教えていただきたいです。

宜しくお願いします。

No.15972 - 2011/11/21(Mon) 16:49:18

☆ Re: 教科書ガイドの指針文(関数の極致) / らすかる

「微分可能でないxの値の符号の前後におけるf'(x)の符号」は意味不明ですので
「微分可能でないxの値の前後におけるf'(x)の符号」と解釈します。

『微分可能である範囲におけるf'(x)の符号』は
「xの定義域全体から微分不可能な点を除いた範囲におけるf'(x)の符号」
という意味です。それに対し、
『微分可能でないxの値の前後におけるf'(x)の符号』は
「xの直前、直後のf'(x)の符号」
という意味ですから、意味は異なります。

No.15973 - 2011/11/21(Mon) 17:59:57

☆ Re: 教科書ガイドの指針文(関数の極致) / すずき　高２

ご回答有難うございました。
なるほど。
ｘ軸に極限を持つときは、微分不可能な点以外は、全てが正か全てが負のどちらかなので、「微分可能でないxの値の前後におけるf'(x)の符号」は、それを区別していて、
『微分可能でないxの値の前後におけるf'(x)の符号』は
おっしゃる通り「xの直前、直後のf'(x)の符号」という意味だから全然意味が違うのですね。

はっきりしました。
幼稚な質問ばかりで申し訳ないです。

有難う御座いました！

No.15977 - 2011/11/21(Mon) 19:10:45

★ 関数の極大の問題 / すずき　高２

数?V教科書の問題です。解答の一部に関して質問します。

●問題
y＝sin^2+2sinx(0≦x≦2π)の極限を求めよ

●模範解答
y'＝(sin^2)'+2(sinx)'＝2sinx・cosx+2cosx
＝2cosx(sinx+1)
0<x<2πでy'＝0とすると cosx＝0またはsinx+1＝0
よって　x＝π/２　または　x＝(3/2)π
よって、0≦x≦2πにおけるyの増減表は次のようになる。
(増減表は、質問に影響しないため省略いたします)
ゆえにyはx＝π/２で極大値３、x＝(３/２)πで極小値-１をとる。

この解答文中で、0<x<2πと0≦x≦2πが使われてますが、これらの範囲の開閉の区別はそれぞれ何を意味しているのか教えてください。

No.15969 - 2011/11/21(Mon) 16:33:24

☆ Re: 関数の極大の問題 / らすかる

y'を考えるのは0＜x＜2πでよく、
増減表はx=0,x=2πも含んでいるということです。

No.15970 - 2011/11/21(Mon) 16:44:03

☆ Re: 関数の極大の問題 / すずき　高２

ご回答有難うございます。
なるほど。前者(＜)は定義域で、後者(≦)は区間ということですね。
理解できました。
有難う御座います。

No.15976 - 2011/11/21(Mon) 19:01:07

★ 関数の問題 / すずき　高２

こんにちは。
数?V教科書の問題です。以下の解答の一部について質問します。

●問題
関数y＝x+１/xの増減を調べよ。

●解答
関数yの定義は、x≠0である。
y'＝１-１/x＾２
　＝(x+１)(x-１)/x^２
y'＝０とすると　x＝±１
よって、yの増減は次のようになる。

ｘ｜…｜-１｜…｜０｜…｜１
y'｜+ ｜０｜- ｜／｜０｜+
y ｜↗ ｜-2 ｜↘ ｜／｜２｜↗

ゆえに、yは区間x≦-１、１≦xで単調に増加し、
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
ここまではできたのですが、単調に減少する区間は

・区間-１≦x≦１で減少する。
・区間-１≦x<０、０<x≦１で単調に減少する。

のどちらにすればいいのか分かりません。
『y＝ｘ＾３は単調に増加する』と習ったので、前者(上の文)が正しいように思ったのですが、適切な方をお手数ですがご説明と共に教えていただきたいです。

宜しくお願いします。

No.15968 - 2011/11/21(Mon) 16:08:02

☆ Re: 関数の問題 / らすかる

「y=x^3は単調に増加する」は、y=x^3はx=0でも定義されていますので正しいですが
この問題ではx=0を含んではまずいので
「区間-１≦x＜０、０＜x≦１で単調に減少する」
とするべきでしょう。

No.15974 - 2011/11/21(Mon) 18:04:46

☆ Re: 関数の問題 / すずき　高２

らすかるさん、ご回答有難うございます。
定義域に含まれるかどうかで判断するのですね。
やっと理解できました。
有難う御座いました。

No.15975 - 2011/11/21(Mon) 18:58:11

★ ベクトル / イド

平面上の原点Oを始点とする長さ1のベクトル(OA)=(a),(OB)=(b)に対して

(1)ベクトル(a)とベクトル(b)の内積を(a)・(b)=sとするとき、不等式|(a)-s(b)|<=1が成り立つことを示せ

(2)m,nを正の整数とする。平行でないベクトル(a),(b)に対して、|m(a)+n(b)|=1が成り立つとき、(a),(b)のなす角の余弦をmの式で表せ。また、３角形OABの面積が最大となるのはどのようなときか。そのときの３角形の形状について述べよ

()内はすべてベクトルで表されているものです。(1)は不等式の方を二乗して整理するとsの範囲と一致するのでいいでしょうか？　(2)は分かりません。解答よろしくお願いします

No.15961 - 2011/11/20(Sun) 22:19:53

☆ Re: ベクトル / angel

まず
> (1)は不等式の方を二乗して整理するとsの範囲と一致するのでいいでしょうか？
二乗は良いです。sの範囲はあまり気にしなくても。こんな感じになるはずです。
　|(a)-s(b)|^2
　= |(a)|^2-2s(a)(b)+s^2|(b)|^2
　= 1-2s^2+s^2
　= 1-s^2 ≦ 1 ( ∵s^2≧0 )
　よって |(a)-s(b)|≦1
(2) は、三角不等式から m=n に気づけるかどうか。
　点X,Y を、(OX)=m(a), (XY)=n(b) にて定義するとき、
　(OY)=m(a)+n(b)
　(a),(b)は平行でないため三点O,X,Yは三角形を構成し、
　OX=m, XY=n, OY=|m(a)+n(b)|=1
　※m,nが正であることに注意。負の可能性もあるならば |m|等
　よって三角不等式により |m-n|＜1 だが、m,mが整数であるため n=m
　|m(a)+n(b)|=1 に n=m を代入し m|(a)+(b)|=1
　両辺を平方して m^2( |(a)|^2+2(a)(b)+|(b)|^2 )=1
　よって (a)(b)=1/(2m^2)-1
　|(a)|=|(b)|=1 のため、(a),(b)のなす角の余弦も 1/(2m^2)-1

　△OABの面積を最大にするのは、(a),(b)のなす角の余弦が最も 0 に近くなる m であり、m=1
　※90°の時(があれば)面積最大で、cos90°=0 ですから
　この時(a),(b)のなす角は120°、△OABはOA=OB=1, ∠AOB=120°の二等辺三角形

No.15964 - 2011/11/21(Mon) 02:05:55

☆ Re: ベクトル / イド

三角不等式でしたか！
完璧に忘れていました！
丁寧な解答ありがとうございました

No.15981 - 2011/11/22(Tue) 00:07:24

★ 格子点の問題です / 八重

kを自然数とし、xy平面上の直線をLk:2x+3y=kとおくとき直線Lkが第１象限内の格子点を通らないときのkの値をすべて求めよ

この問題は何から始めればよいのでしょうか？
解説付きの解答をお願いしたいです

No.15959 - 2011/11/20(Sun) 22:00:49

☆ Re: 格子点の問題です / ヨッシー

要は、1以上の整数ｘ，ｙについて、2x+3y の形では表せない
数が、求めるｋになります。
１，２，３，４は該当することはわかります。
５は該当せず、６は該当、
７，８は該当しません。
９以上の数は、その２つ小さい数が該当しないので、すべて該当しません。
よって、１，２，３，４，６となります。

No.15962 - 2011/11/20(Sun) 22:26:18

☆ Re: 格子点の問題です / 八重

解答ありがとうございます！！

No.15980 - 2011/11/22(Tue) 00:06:04

★ 不等式・高２です / チヒロ

aを実定数とする、xの不等式x^2－(a＋3)x＋a＋2≦0…?@
の解は
a＜〔アイ〕のとき、a＋〔ウ〕≦x≦〔エ〕
a＝〔アイ〕のとき、x＝〔オ〕
a＞〔アイ〕のとき、〔カ〕≦x≦a＋〔キ〕
である。不等式?@とx＞a^2－4との連立不等式の解が存在するためのaの値の範囲は〔ク〕√〔ケ〕＜a＜〔コ〕である。

最初から何をすれば良いのか解りません…。

No.15956 - 2011/11/20(Sun) 18:24:01

☆ Re: 不等式・高２です / ヨッシー

x^2－(a＋3)x＋a＋2 を因数分解すると
(x-a-2)(x-1) なので、x^2－(a＋3)x＋a＋2≦0 の解は、
　1≦ｘ≦a+2 になるか a+2≦ｘ＜1 になるか、はたまた・・・
いずれになるかは a+2 と 1 との大小関係で決まります。

No.15960 - 2011/11/20(Sun) 22:16:39

☆ Re: 不等式・高２です / チヒロ

> aを実定数とする、xの不等式x^2－(a＋3)x＋a＋2≦0…?@
> の解は
> a＜〔-2〕のとき、a＋〔2〕≦x≦〔1〕
> a＝〔-2〕のとき、x＝〔0〕
> a＞〔-2〕のとき、〔1〕≦x≦a＋〔2〕である。

ここまで合ってますか？

> 不等式?@とx＞a^2－4との連立不等式の解が存在するためのaの値の範囲は〔ク〕√〔ケ〕＜a＜〔コ〕である。

これは、どうすれば良いですか・・・。

No.15963 - 2011/11/20(Sun) 23:26:59

☆ Re: 不等式・高２です / ヨッシー

a+2 と 1 との大小関係
なので、境目はａ＝－２ではありません。

で、その先ですが、例えば、(1) の解の１つが
　ｓ≦ｘ≦ｔ
であれば、ａ^2－4 がｔ未満であれば、ｘ＞ａ^2－４と　ｓ≦ｘ≦ｔ　は
共通の解を持ちます。

No.15965 - 2011/11/21(Mon) 05:36:46

☆ Re: 不等式・高２です / チヒロ

> > aを実定数とする、xの不等式x^2－(a＋3)x＋a＋2≦0…?@
> > の解は
> > a+2＜1→a＜〔-1〕のとき、a＋〔2〕≦x≦〔1〕
> > a+2=1→a＝〔-1〕のとき、x＝〔0〕
> > a+2＞1→a＞〔-1〕のとき、〔1〕≦x≦a＋〔2〕である。
>
> こうですか？
>
> > 不等式?@とx＞a^2－4との連立不等式の解が存在するためのaの値の範囲は〔ク〕√〔ケ〕＜a＜〔コ〕である。
>
すいません･･･よくわからないです。

No.15971 - 2011/11/21(Mon) 16:47:10

☆ Re: 不等式・高２です / ヨッシー

ａ＜－１のとき　ａ＋２≦ｘ≦１　と　ｘ＞a^2－４が共通の
範囲を持つには、a^2－４＜１であれば良いので、
　ａ^2＜５　より　－√５＜ａ＜√５
ａ＝－１のとき、ａ＞－１のときも、同様に調べます。

No.15978 - 2011/11/21(Mon) 21:48:52

☆ Re: 不等式・高２です / チヒロ

a=-1のとき、a^2-4＜0 -2＜a＜2
a＞-1のとき、a^2-4＜a+2 -1＜a＜2

不等式?@とx＞a^2－4との連立不等式の解が存在するためのaの値の範囲は〔-〕√〔5〕＜a＜〔2〕である。

合ってますか？

No.15979 - 2011/11/21(Mon) 22:31:00

★ (No Subject) / らいあ

p,qが有理数であるとき次の等式を満たすp,qの値を求めよ｡
ただし次のことを用いてよい｡
a,bを有理数とするとき
a+b√3=0⇒a=0かつb=0

(1)(p+2)+(q-5)√3=0

(2)p+2-3√3=3+q√3

お願いします。

No.15940 - 2011/11/19(Sat) 23:46:39

☆ Re: / シャロン

(1)
p、qが有理数ならp+2、q-5も有理数なので
仮定より、
p+2=0、q-5=0ですから、p=-2、q=5

(2)
p+2-3√3=3+q√3
移項して
(p-1)+(-q-3)√3=0
あとは(1)の応用ですので...

No.15942 - 2011/11/20(Sun) 00:16:05

☆ Re: (No Subject) / らいあ

-q-3√3の√3はどのようにして消したらいいのでしょう？

No.15949 - 2011/11/20(Sun) 10:52:16

☆ Re: / 7

> -q-3√3の√3はどのようにして消したらいいのでしょう？
-q-3＝0
です。

No.15951 - 2011/11/20(Sun) 13:54:03

☆ Re: (No Subject) / らいあ

-√3ですか？

No.15953 - 2011/11/20(Sun) 15:04:15

☆ Re: / ヨッシー

-q-3√3 ではなくて、(-q-3)√3 ですよね？
これを０にするには、q をいくつにすれば良いですか？

No.15954 - 2011/11/20(Sun) 15:42:57

★ (No Subject) / れい

ｎは整数とする｡対偶を利用して次の命題を証明せよ｡(1)n^2が5の倍数でなければnは5の倍数でない｡
対偶 nは5の倍数ならばn^2が5の倍数である

(2)nは整数とする｡n(n+2)が4の倍数ならばnは偶数である

対偶 nは奇数ならばn(n+2)が4の倍数でない

対偶あっていますか？

その後の証明の計算がわかりません。

解説お願いします。

No.15938 - 2011/11/19(Sat) 23:39:51

☆ Re: / ヨッシー

５の倍数は　n=5m(mは整数)
奇数は　n=2m+1(mは整数)
とおけます。

No.15939 - 2011/11/19(Sat) 23:44:43

☆ Re: (No Subject) / れい

その後の解説も教えて下さい

No.15941 - 2011/11/19(Sat) 23:47:49

☆ Re: / ヨッシー

対偶 nは5の倍数ならばn^2が5の倍数である　の証明
n=5m (m は整数) とおくと、
n^2＝25m^2＝5(5m^2)
5m^2 は整数なので、n^2 は5の倍数となる。
よって、上記対偶は証明された。

といった具合です。

No.15945 - 2011/11/20(Sun) 07:02:02

☆ Re: (No Subject) / れい

(2)は対偶 nは奇数ならばn(n+2)が4の倍数でないの証明

計算は2m+1でしょうか？

No.15950 - 2011/11/20(Sun) 11:01:47

☆ Re: / ヨッシー

証明の計算の時には、n=2m+1 とおくのでしょうか？
という質問であれば、答えは Yes です。

そうおいたときに、n(n+2) がどうなるか計算しましょう。

No.15952 - 2011/11/20(Sun) 14:53:26