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(No Subject) / ponchan
a,b.x.yがa+b=4,ab=2,x+y=3,xy=1を満たす。ax+by=X,ay+bx=Yとおくとき、次の問いに答えよ。

(1)X+Yの値を求めよ。
(2)XYの値を求めよ。
(3)X^3+X^2Y+XY^2+Y^3の値を求めよ。

という問題なのですが
(1)X+Y=12
(2)XY=26
(3)X^3+X^2Y+XY^2+Y^3=1104
となるらしいのですが、
(2)の答えがどうしてもXY=26にならないんです。

私の解答は
XY=(ax+by)(ay+bx)
=ab(x^2+y^2)+xy(a^2+b^2)
=ab(x+y)^2-2xy+xy(a+b)-2ab
=18-2+16-4
=28

となります。
どうしたらいいのでしょうか?

(1)X+Y=12を使っても変な答えが出てくるんですが・・・

よろしくお願いします!!

No.15492 - 2011/10/16(Sun) 16:03:44

Re: / angel
> =ab(x^2+y^2)+xy(a^2+b^2)
ここから
> =ab(x+y)^2-2xy+xy(a+b)-2ab
ここの間が間違い。
正しくは、
 =ab{ (x+y)^2-2xy } + xy{ (a+b)^2-2ab }
 =ab(x+y)^2 - 2abxy + xy(a+b)^2 - 2abxy
 =ab(x+y)^2 + xy(a+b)^2 - 4abxy
で、ちゃんと26になります。

No.15494 - 2011/10/16(Sun) 16:44:36

Re: / ponchan
なるほどぉ!!
ありがとうございます!!

No.15496 - 2011/10/16(Sun) 17:00:11
四面体の体積です / ぷるお
四面体OABCにおいて

OA=OB=OC=1 
∠BOC=∠COA=∠AOB=θ

のとき、この体積Vが最大になるときのθの大きさを求めよ


展開図を使うと思ったんですけどなんかできません
詳しい解説お願いします

No.15486 - 2011/10/16(Sun) 00:53:01

Re: 四面体の体積です / はにゃーん
ベクトルを使うとよさそうです。

点Oからの位置ベクトルをa, b, cのように表します。
Oから平面ABCへ下ろした垂線の足をHとすると
Hは△ABCの重心になるので
h = (1/3)(a + b + c)
です。その大きさは
|h| = (1/3)|a + b + c|
= (1/3)√(|a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + 2|a||b|cosθ + 2 |b||c|cosθ + 2|c||a|cosθ
= (1/3)√(3 + 6cosθ)
となります。

底面積は
△ABC = ((√3)/4)|a - b|^2 = (√3/2)(1 - cosθ)

四面体の体積は(1/6)(1-cosθ)√(1+2cosθ)
=(1/6)√{(1-cosθ)^2(1+2cosθ)}

となり、あとは√の中身、cosθの三次関数の増減の問題です。
θの変域は0°<θ<2π/3だから-1/2<cosθ<1で増減を考えればよくて、
cosθ = 0 すなわちθ=π/2で最大となります。

No.15487 - 2011/10/16(Sun) 02:16:23

Re: 四面体の体積です / angel
実はθを使って計算しなくても良いです。
条件から AB=BC=CA となるので、これを x とおきます。
△ABCの重心Hに対して、AH=BH=CH=x/√3 ですから、
四面体の高さとして、OH=√(1-x^2/3)
底面積△ABC=1/2・x^2・sin60°=√3/4・x^2

そのため、四面体の体積Vは、
 V=1/3・√3/4・x^2√(1-x^2/3)
t=x^2とおいて整理すると、
 V=1/12・√(t^2(3-t))

ということで、最終的には三次関数 t^2(3-t) の最大値の話になります。ちなみに、0<x<√3 なので 0<t<3 であり、Vを最大にする t は t=2、このとき x=√2 で、対応するθはθ=90°と分かります。

No.15489 - 2011/10/16(Sun) 08:42:05

Re: 四面体の体積です / ぷるお
分かりやすい説明
ありがとうございます!!

No.15498 - 2011/10/16(Sun) 22:46:45
図形の証明問題です / ぷるお
xy平面上の三角形ABCが次の条件を満たしているとする

(1)各頂点のx座標,y座標はともに整数である
(2)3辺の長さa,b,cもすべて整数である

このとき、a+b+cおよびa^2+b^2+c^2はともに偶数であることを示せ

正直全然分かりません。お願いします

No.15485 - 2011/10/16(Sun) 00:46:42

Re: 図形の証明問題です / ヨッシー
a,b,cが、偶数、偶数、偶数か、奇数、奇数、偶数 である  ・・・(*)
ことを示します。

補題として、
 ピタゴラス数は、偶数、偶数、偶数か、奇数、奇数、偶数 であり、
 奇数、奇数、偶数 の場合は、斜辺は奇数である。
ことを使います。

座標上の三角形の形状は
(1)2辺が座標軸に平行
(2)1辺が座標軸に平行
(3)座標軸に平行な辺はない
の3通りで、(1)の場合は(*)が成り立つのは明らか。
(2)(3)の場合において、AC,BCが奇数か偶数かの
パターンは図の通りになります。
いずれの場合も、(*)が成り立つことがわかります。



図の中には、実際に起こらないパターンもありますが、
そういう場合は、(三角形があるという)前提からはずれる
ので、存在する三角形に対して(*)が成り立つことには
変わりありません。

No.15488 - 2011/10/16(Sun) 05:02:11

Re: 図形の証明問題です / らすかる
A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3) とすると
a^2+b^2+c^2
={(x3-x2)^2+(y3-y2)^2}+{(x1-x3)^2+(y1-y3)^2}+{(x2-x1)^2+(y2-y1)^2}
=2(x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-x1x2-x2x3-x3x1-y1y2-y2y3-y3y1)
=(偶数)
a+b+c={a(a+1)+b(b+1)+c(c+1)}-(a^2+b^2+c^2)
=(偶数)-(偶数)
=(偶数)

No.15491 - 2011/10/16(Sun) 14:03:15

Re: 図形の証明問題です / ぷるお
なんかすごい解法ですね
全然思いつきもしなっかたです!
ありがとうございます!!

No.15499 - 2011/10/16(Sun) 22:47:45
(No Subject) / non
直角二等辺三角形の各辺を鏡と仮定し、1つの頂点から光を発射した場合、23回目で 頂点に達するための角度は何通りあるか

全国数学選手権で優勝した高校生達が創作した問題なのですが、
全くわかりませんでした。
ぱっと見て数列と漸化式かな、と思ったのですが…。

よろしくお願いします。

No.15480 - 2011/10/15(Sat) 17:35:08

反射 / angel
図の1番目のように、反射した光の軌跡というのは、鏡の世界をタイルばりすることで見やすくすることができるのです。
実際は反射してジグザグですが、鏡の世界では一直線ですから。

そうすると、直角のところを出発して23回反射する光については、図の2番目(次の投稿)のように3通りが考えられます。
…対称形なので、半分しか調べていません。
あと、途中でなんらかの頂点に達してしまう場合 ( 図中の灰色の経路など )、反射の回数の数え方が良く分からなかったので除外しました。

こんな感じで考えると良いと思いますが、直角でない頂点を出発する経路は今回吟味していないです。ご自身で考えてみてください。

No.15483 - 2011/10/15(Sat) 21:44:51

Re: 反射 / angel
図の2番目です。
ちなみに「23回反射」というのは、境界を23本横切っている、ということに対応します。

No.15484 - 2011/10/15(Sat) 21:46:28

訂正 / angel
すいません。
2番目の図を作る時に計算違いがありました。
上から1番目、3番目(灰色)の経路は境界を22回しかまたいでいません。こちらの方であれば、全経路とも23回境界をまたぎます。

No.15493 - 2011/10/16(Sun) 16:40:38
大学 積分 / RIKAO
はじめまして。
この積分の解き方がわからないので解説をお願いします。

?@(tanh x)^2
?A(3x +2)/(x^2 +4x +5)
?Bx^7 /(x^12 -1)

No.15472 - 2011/10/14(Fri) 23:30:43

Re: 大学 積分 / X
(1)
1-(tanhx)^2=1/(coshx)^2
(tanhx)'=1/(coshx)^2
であることを使いましょう。
(三角関数の公式からの類推です。)

(2)
(3x+2)/(x^2+4x+5)=(3x+2)/{(x+2)^2+1}
={3(x+2)-4}/{(x+2)^2+1}
=3(x+2)/{(x+2)^2+1}-4/{(x+2)^2+1}
と変形しましょう。

No.15481 - 2011/10/15(Sat) 19:27:34

Re: 大学 積分 / RIKAO
ありがとうございます。
(1)(2)解けました。

No.15537 - 2011/10/20(Thu) 00:19:56
(No Subject) / おれんじ
|y|+|x|≦4
はグラフにかくとどのようになりますか?

No.15469 - 2011/10/14(Fri) 20:39:14

Re: / はにゃーん
|y| + |x| = 4を考えると
yを-y, xを-x, xとyを同時に-x, -yにしても式は変わらないので
y軸, y軸, 原点に関して共に対称です。

そこでx≧0, y≧0について考えると
y + x = 4
これをx軸, y軸, 原点に関して対称移動すれば図形の出来上がりです。
(0, 4), (4, 0), (-4, 0), (0, -4)を頂点とする正方形になります。
今、|y|+|x|≦4ですので、その周囲および内側ですね。

No.15470 - 2011/10/14(Fri) 21:01:51
はじめての書き込みです / minato
高校生です。

半径1,中心A(0,10)の円周C1と半径2,中心O(0,0)の円周C2において、Qが円周C1上,Rが円周C2上を動き、三点QRSを頂点とし、角?猷RSが直角になるような直角二等辺三角形△QRSを考えるとき、第3の頂点Sが動いた軌跡を図示せよ。
という問題なのですがどこから手をつければいいのかわかりません。ベクトル、三角形の比(1:1:??2)、二等辺三角形の角の二等分は垂線であることから法線の方程式を求める、などと考えたのですが、結局Q,Rの座標の処理に困りました。解説をお願いします。

No.15467 - 2011/10/14(Fri) 11:44:00

Re: はじめての書き込みです / ヨッシー
Q:(cosθ,10+sinθ)、R:(2cosφ, 2sinφ) として、
点Qを点R中心に90°および -90°回転させた点が
点Sであると考えます。
線分QRを、傾きを変えずに点Rが原点に来るまで移動すると、
点Qは点Q’:(cosθ-2cosφ, 10+sinθ-2sinφ)に移ります。
点Q’を原点まわりに
90°回転したのが、(-10-sinθ+2sinφ, cosθ-2cosφ)、
-90°回転したのが、(10+sinθ-2sinφ, -cosθ+2cosφ)
となります。
これを、最初にずらしただけ戻して、
(-10-sinθ+2sinφ+2cosφ, cosθ-2cosφ+2sinφ)
(10+sinθ-2sinφ+2cosφ, -cosθ+2cosφ+2sinφ)

S:(x,y)=(-10-sinθ+2sinφ+2cosφ, cosθ-2cosφ+2sinφ) とおくと
 x+10=-sinθ+2sinφ+2cosφ=-sinθ+2√2sin(φ+π/4)
 y=cosθ-2cosφ+2sinφ=cosθ-2√2cos(φ+π/4)
より、
 (x+10)^2+y^2=9-4√2{sinθsin(φ+π/4)+cosθcos(φ+π/4)}
    =9-4√2sin(θ+φ+π/4)
となり、θ+φ+π/4 は、あらゆる角度をとれるので、
点Sは、点(-10,0) 中心、半径√(9-4√2)=2√2-1
の円と、中心が同じで、半径√(9+4√2)=2√2+1 の円に
挟まれたドーナツ型の部分に存在します。

S:(x,y)=(10+sinθ-2sinφ+2cosφ, -cosθ+2cosφ+2sinφ) とおいたときは、
中心が、(10,0) になると思います。

No.15468 - 2011/10/14(Fri) 16:25:51

Re: はじめての書き込みです / ヨッシー
90°回転した方のイメージを作ってみました。

No.15473 - 2011/10/15(Sat) 00:20:49

別のアプローチ / angel
動点Q,Rを元にSを表す方法であれば、ヨッシーさんの解説のようになると思います。
が、別のアプローチとして、
 ある点Sを考えた時、
  △QRSが∠QRS=90°の直角二等辺三角形であり、
  点Qが円周C1上に、点Rが円周C2上にある
 ようなQ,Rの組が存在するかどうか
を考えていくのも手です。
ただ、厄介なのはQ,Rという二種類の動点があること。直角二等辺三角形QRSを作る時に、どのようにQ,Rを探せば良いのか、というところです。

そのため、次のようなステップで考えます。
 1. ある点Sを取る
 2. 点Rを円周C2上で動かし、それぞれで直角二等辺三角形QRSを作って、頂点Qとなる点をすべて集める
 3. 2. で集めた頂点Qとなる点の中で、円周C1上に来るものがあるかどうか調べる

No.15475 - 2011/10/15(Sat) 09:44:29

Re: 別のアプローチ / angel
一つ具体例を挙げましょう。
図のようにSを配置した場合、ステップ2 で頂点Qとなる点をすべて集めると、オレンジ色の2個の円になります。
※Rをある点にとった場合の直角二等辺三角形を、青や紫の三角で例示しています。

なぜ2個になるかといえば、三角形の向きが2種類あるから、ですね。

さて、その上で
  △QRSが∠QRS=90°の直角二等辺三角形であり、
  点Qが円周C1上に、点Rが円周C2上にある
を考えてみると、この例ではそのようなQ,Rの組が存在します。図中赤で示したQ,Rです。
これがステップ3で調べること。
で、この例でなぜ存在するかが分かったかというと、オレンジ色の円 ( ステップ2でのQを集めたもの ) と円周C1に共有点があったからです。
逆に円に共有点がなければ、Q,Rの組は存在しない、となります。

最終的に、「Q,Rの組が存在する」ようなSの存在範囲を特定してあげれば、それが問題の答えとなる軌跡になります。

No.15476 - 2011/10/15(Sat) 10:19:41

Re: 別のアプローチ / angel
さて、上であげた図の中で、どのようにオレンジ色の2個の円を求めればよいのか、その内容は説明していませんでした。
ここがステップ2の所なのですが、「点Rを動かし、点Qとなる点を全て集める」というのは、要するに軌跡を求めるということになります。

なんとなく三角関数を使って計算すれば、半径2√2の円になることが分かると思いますが、図形的に説明することもできます。それが添付した図です。

点S(p,q)に対して直角二等辺三角形QRSがある状況で、もう一つ直角三角形XOSを考えます。このXの座標は(-q,p)であり、Sに応じて定まる点です。

そうすると、青く色付けした2個の三角形 SQX と SRO というのは相似になります。
なぜなら、直角二等辺三角形の性質から SQ:SR=SX:SO=√2:1
また、∠QSX=∠RSO=45°-∠XSR と、二辺の比とそれを挟む角の一致があるからです。

これにより、XQ:OR=√2:1でもあり、R ( に対応するQ ) の取り方にかかわらず、XQ=2√2 (一定) ということで、Qの軌跡はXを中心とする半径2√2の円と分かります。

まあ、実際の解答では十分条件も説明しなければいけませんが、話としては単なる裏返しです。

後もう一つ、下にできる円については、X(-q,p)の代わりにY(q,-p) ( 三角YOSが直角二等辺三角形 ) で考えると出てきます。

No.15477 - 2011/10/15(Sat) 10:43:12

答え / angel
では最後に答えです。

点S(p,q)に対応する、ステップ2でQを集めたもの ( Qの軌跡 ) は、
 点(-q,p) を中心とする半径2√2の円
 点(q,-p) を中心とする半径2√2の円
です。

ステップ3で、これらの円と円周C1が共有点を持つかどうかを調べるわけですが、これは円の中心間の距離のお話になります。つまり、
 2√2-1≦( (-q,p)と(0,10)の距離 )≦2√2+1
 または 2√2-1≦( (q,-p)と(0,10)の距離 )≦2√2+1
ということで、これを整理すると
 (2√2-1)^2 ≦ (p-10)^2+q^2 ≦ (2√2+1)^2
 (2√2-1)^2 ≦ (p+10)^2+q^2 ≦ (2√2+1)^2
結局、S の軌跡は
 (10,0)を中心とする、半径2√2-1, 2√2+1 の2円に囲まれたドーナツ状の領域 ( 境界含む )
 および (-10,0)を中心とする、半径2√2-1, 2√2+1 の2円に囲まれたドーナツ状の領域 ( 境界含む )
となります。
…あれ? ヨッシーさんと答えが違う。
…ヨッシーさんは、ひょっとして点Aを(10,0)と間違えて計算していますかね?

No.15478 - 2011/10/15(Sat) 10:53:45

Re: はじめての書き込みです / ヨッシー
あ、図はx,y逆転していますが、計算の方は合っていると思います。
No.15479 - 2011/10/15(Sat) 14:37:22

Re: はじめての書き込みです / angel
ヨッシーさん、すいません。失礼しました。
解説で書いている答は同じですね。
図は 90°回転させて A(10,0) としたもので作っているのですね。了解しました。

No.15495 - 2011/10/16(Sun) 16:56:54
数Aです / みなこ

50個の整数1,2,…,50から2個の異なる数を選んで組み合わせをつくるとき、次の問に答えよ。

(1)2数の積が奇数になる確率を求めよ。
(2)2数の積が3の倍数になる確率を求めよ。

解説よろしくお願いします!

No.15459 - 2011/10/13(Thu) 23:05:20

Re: 数Aです / ヨッシー
選び方は全部で、50C2=1225(通り)

(1) 積が奇数となるのは、2個とも奇数の場合であり、そういう選び方は
 25C2=300(通り)
よって、求める確率は、
 300/1225=12/49

(2) 3の倍数にならない選び方は、2個とも、3の倍数でないときであり、
 3の倍数でない34個から2個選ぶので、
 34C2=561(通り)
残り、1225-561=664(通り)
は、積が3の倍数になります。
確率は、
 664/1225
 

No.15461 - 2011/10/13(Thu) 23:17:55

Re: 数Aです / みなこ
解説ありがとうございました!
無事解決しました^^

No.15474 - 2011/10/15(Sat) 04:02:08
図形と計量 / mio
こんばんは。数?TAの問題でまた躓いてしまったので、是非今回も教えていただけると嬉しいです(>_<;)

【問題】
 底面の半径が3、高さが4である直円錐Kについて、この円錐の頂点をOとし、底面の円周上に点Aをとる。
またこの円錐に内接する球をSとする。

OA=5であるから、球Sの半径は3/2である。
 次にこの円錐Kを、球Sに接して底面に平行な平面で切り、円錐を二つに分ける。このとき、もとの円錐の底面を含む方の立体を円錐台という。
 ★この円錐台の上の底面の半径は3/4であるから、この円錐台の体積は189/16πである。
またこの円錐台から球Sをくりぬいた立体の体積は117/16πである。

前半のOAと球Sの半径は分かったのですが、★以降の底面の半径からが分からず困っています;;(答えは3つとも合っていると思います)
お手数おかけしますが解答解説よろしくお願いします。

No.15456 - 2011/10/13(Thu) 22:50:10

Re: 図形と計量 / ヨッシー
円錐を真横から見た図で考えます。
△OABと△OCDは相似であり、△OABの高さ4に対して、
△OCDの高さはそれよりも、球の直径分だけ短いので、
 4-3=1
となります。つまり、相似比は、4:1 となります。
AB=6 に対してCDは、その1/4で、3/2。
半径はその半分で、3/4 となります。

元の大きい円錐の体積は
 9π×4÷3=12π
球の上に乗っかっている円錐は、体積では、その1/4^3=1/64 倍なので、
 12π×1/64=3π/16
残りが円錐台で、
 12π-3π/16=189π/16
です。

球Sの体積は
 (4/3)π(3/2)^3=9π/2
であるので、これをくりぬくと、
 189π/16-9π/2=117π/16
となります。

No.15460 - 2011/10/13(Thu) 23:11:54

Re: 図形と計量 / mio
御礼が遅くなってすみません(><;
今回も分かりやすく教えていただき有り難うございました!
御蔭で理解することができました。授業でも丁度ここがあたったので、凄く助かりました!
図もつけていただいて、いつも本当に有り難うございます。
また頻繁に質問させていただくと思いますが何卒よろしくお願いいたします。
有り難うございました!

No.15500 - 2011/10/17(Mon) 03:30:35
緊急です!! / あすぱら

すいませんが
教えて下さい?ホ?ホ

X+2y+3z≦6 を満たす負でない
整数の組(x、y、z)は
全部で何通りあるか。



No.15454 - 2011/10/13(Thu) 22:19:19

Re: 緊急です!! / ヨッシー
Xは最大でも6です。yは最大でも3です。zは最大でも2です。
すると、(x,y,z) に対して、
(0,0,0),(1,0,0),(2,0,0),(3,0,0),(4,0,0),(5,0,0),(6,0,0)
(0,0,1),(1,0,1),(2,0,1),(3,0,1),(4,0,1),(5,0,1),(6,0,1)
(0,0,2),(1,0,2),(2,0,2),(3,0,2),(4,0,2),(5,0,2),(6,0,2)
(0,1,0),(1,1,0),(2,1,0),(3,1,0),(4,1,0),(5,1,0),(6,1,0)
(0,1,1),(1,1,1),(2,1,1),(3,1,1),(4,1,1),(5,1,1),(6,1,1)
(0,1,2),(1,1,2),(2,1,2),(3,1,2),(4,1,2),(5,1,2),(6,1,2)
(0,2,0),(1,2,0),(2,2,0),(3,2,0),(4,2,0),(5,2,0),(6,2,0)
(0,2,1),(1,2,1),(2,2,1),(3,2,1),(4,2,1),(5,2,1),(6,2,1)
(0,2,2),(1,2,2),(2,2,2),(3,2,2),(4,2,2),(5,2,2),(6,2,2)
(0,3,0),(1,3,0),(2,3,0),(3,3,0),(4,3,0),(5,3,0),(6,3,0)
(0,3,1),(1,3,1),(2,3,1),(3,3,1),(4,3,1),(5,3,1),(6,3,1)
(0,3,2),(1,3,2),(2,3,2),(3,3,2),(4,3,2),(5,3,2),(6,3,2)
の84通りに絞られます。
あとは、実際にX+2y+3zを計算してみて、6以下になるものを見つけます。

実際は、z=3 のときは、x=0,y=0 以外にはない
などとして、効率よく調べますが、並べ立てても、この程度だということです。

No.15457 - 2011/10/13(Thu) 22:57:44

Re:深夜にすみません(^^; / あすぱら

ありがとうございます!!

計算してみます♪


No.15462 - 2011/10/14(Fri) 00:37:33

Re: 緊急です!! / ヨッシー
あ、失礼。
z=2のときは・・・
の誤りです。

No.15463 - 2011/10/14(Fri) 06:14:16

Re: / あすぱら

了解しました(`▽´)

度々ありがとうございます!!


No.15466 - 2011/10/14(Fri) 09:23:43
二次の関数 / うー


グラフが二点(1,1)(4,4)を通り過ぎX軸に接する二次関数を求めよ。


Y=a(x-p)^2+q で
求めようとしたのですか
うまく求められません。

解説お願いいたします。


No.15443 - 2011/10/13(Thu) 15:25:22

Re: 二次の関数 / う

通り過ぎではなく通りです。

すみません


No.15444 - 2011/10/13(Thu) 15:26:10

Re: 二次の関数 / ヨッシー
X軸に接するなので、
 y=ax^2
をx軸方向だけに、いくらか動かすだけなので、
 y=a(x-p)^2
だけで十分です。

もし、
 y=a(x-p)^2+q
とするなら、判別式=0 を付け加えれば出来ますが、
結局、q=0 が求められるだけです。

No.15445 - 2011/10/13(Thu) 16:04:21

Re: 二次の関数 / うー

理解できました。
ありがとうございます!

No.15447 - 2011/10/13(Thu) 17:16:22
数学の問題教えてください!! / bubu_half
cos10°+cos130°+cos250°の値を求めよ。

解説を詳しくお願いします。

No.15441 - 2011/10/13(Thu) 14:02:39

Re: 数学の問題教えてください!! / X
和積の公式を使います。
cos10°+cos130°+cos250°
=2cos{(10°+130°)/2}cos{(10°-130°)/2}+cos250°
=2cos70°cos(-60°)+cos250°
=2cos70°cos60°+cos250°=cos70°+cos250°
=2cos{(70°+250°)/2}cos{(70°-250°)/2}
=2cos160°cos(-90°)
=0

No.15442 - 2011/10/13(Thu) 14:28:52

Re: 数学の問題教えてください!! / ヨッシー
cos70°+cos250°まで来たら、
 cos70°+cos(180°+70°)=cos70°-cos70°=0
でも、良いですね。

No.15446 - 2011/10/13(Thu) 16:07:15

Re: 数学の問題教えてください!! / _
三点
(sin10°,cos10°)
(sin130°,cos130°)
(sin250°,cos250°)
は正三角形の三頂点(単位円上)となるので、この三角形の重心のy座標:(cos10°+cos130°+cos250°)/3 = 0だからcos10°+cos130°+cos250°=0

というのはどうですかね。

No.15453 - 2011/10/13(Thu) 21:16:30

Re: 数学の問題教えてください!! / ヨッシー
スッと気付けばカッコイイですね。

ということは、
 sin10°+sin130°+sin250° も 0 か。

No.15465 - 2011/10/14(Fri) 09:00:00

Re: 数学の問題教えてください!! / angel
積和の公式として
 2sinαcosβ=sin(β+α)-sin(β-α)
がありますので、
 2sin60°(cos10°+cos130°+cos250°)
 =( sin(10°+60°)-sin(10°-60°)
  +( sin(130°+60°)-sin(130°-60°)
  +( sin(250°+60°)-sin(250°-60°)
 =(sin70°-sin(-50°))+(sin190°-sin70°)+(sin310°-sin190°)
 =0
ということで、結局 cos10°+cos130°+cos250°=0
角度が等差数列をなす三角比の和に使う、典型的な手ですね。

No.15497 - 2011/10/16(Sun) 17:04:41
(No Subject) / ゴンザレス
授業で指数法則の拡張(自然数→整数→実数)を習ったのですが、僕の理解が正しいかご教授ください。以下の2点です。

?@まず、中学校で習った「指数が自然数の指数法則」から、a^0=1、またa^(-n)=1/a^n と定めることで、指数を整数にまで拡張できる。つまり、指数が整数の指数法則が成り立つように、a^0=1及びa^(-n)=1/a^nを定めた、という理解でよいのですか?

?A同じような質問ですが、このような疑問も持つのです。指数が整数の指数法則が成り立つために、a^0=1及びa^(-n)=1/a^n を定めたのか、a^0=1及びa^(-n)=1/a^n を定めたから指数が整数の指数法則が成り立ったのかこんがらがってきました。これらは同値関係?卵が先か、鳥が先か、みたいな話?どうも混乱しています。

私の解釈について、正しいのかどうなのか、よろしくお願いいたします。

No.15438 - 2011/10/13(Thu) 00:16:37

Re: / ヨッシー
本当のところは、作った人に聞かないと分からないのでしょうけれども、
「指数が自然数の指数法則」が成り立つ延長で、指数が0や負の整数を
決めたとするのが自然でしょう。
指数が0や負の整数の定義がなくても、
 2^2×2^3=2^5 や (2^3)^4=2^12
などというのは経験的に分かっていたはずですから。

No.15439 - 2011/10/13(Thu) 05:45:22

Re: / ゴンザレス
ご返信ありがとうございます。
とりあえず?@のような私の理解で大丈夫でしょうか?

No.15455 - 2011/10/13(Thu) 22:29:34

Re: / ヨッシー
それで良いと思います。
No.15464 - 2011/10/14(Fri) 08:57:29
(No Subject) / ワイン
YOKOHAMAの8文字を1列に並べるとき
Y,K,H,Mがこの順にある並べ方は何通りあるか。

またOとAが必ず偶数番目にある並べ方は何通りあるか。


No.15433 - 2011/10/12(Wed) 22:10:12

Re: / ヨッシー
すべての並べ方は、
 8!/(2!・2!) 通り
このうち、4! 通りに1つだけ、Y K H M の4文字がこの順になっている。
よって、
 8!/(2!・2!・4!)=420(通り)

YOKOHAMA において、子音字は子音字どうしで並べ替え、
母音字は母音字どうしで並べ替えると、
子音字の並べ方が 4!=24(通り)
母音字の並べ方が 4C2=6(通り) 合計 144通り

No.15434 - 2011/10/12(Wed) 22:33:59

Re: (No Subject) / ワイン
スラッシュ/← はどのようなことを表しているのでしょうか?
No.15449 - 2011/10/13(Thu) 19:10:58

Re: (No Subject) / ワイン
何で144通りになるんですか?
No.15450 - 2011/10/13(Thu) 19:18:18

Re: / ヨッシー
/ は、縦に数字を積めない場合に、分数を表すのに使います。
(分子)/(分母) です。
1/2 は2分の1です。
÷ の記号に置き換えても同じことです。

子音字の並べ方が24通りで、そのひとつひとつについて、
母音字の並べ方が6通りずつあるので、
 24×6=144
です。

No.15451 - 2011/10/13(Thu) 20:56:00
(No Subject) / かから
aabbcdの6文字から4文字を取り出すとき、その組合せ,および順列の個数を求めよ。
お願いします!

No.15432 - 2011/10/12(Wed) 22:07:04

Re: / ヨッシー
組み合わせ
 4種類 abcd の1通り
 aが2個で3種類 3C2=3(通り)
 bが2個で3種類 3C2=3(通り)
 2種類 aabb の1通り
 合計 8通り
順列
 4種類 abcd の並べ方が4!=24(通り)
 aが2個で3種類 3×4×3=36(通り)
 bが2個で3種類 同じく36通り
 2種類 aabb の並べ方が 4C2=6(通り)
 合計 102通り

No.15435 - 2011/10/12(Wed) 22:38:28

Re: (No Subject) / かから
もうちょっと簡単な考え方はないでしょうか?
よくわかりません
すいません

No.15448 - 2011/10/13(Thu) 19:08:02

Re: / ヨッシー
考え方はこれより簡単なのは、そうそうありませんが、
丁寧に書くことは出来ます。

組み合わせ。
 4種類の数字を取り出す方法 abcd の1通り
 aを2個と、他の文字を1個ずつ合計3種類の文字を取り出す方法
  aabc, aabd, aacd の3通り
 bを2個と、他の文字を1個ずつ合計3種類の文字を取り出す方法
  bbac, bbad, bbcd の3通り
 2種類の文字を取り出す方法 aabb の1通り
 合わせて、1+3+3+1=8(通り)

順列
 組み合わせの時に挙げたそれぞれの取り出し方について、
並べ替えて別のものになるものを数え上げます。
 abcd を取り出したとき、これの並べ替えは、
 abcd, abdc, acbd, acdb, adbc, adcb
 bacd, badc, bcad, bcda, bdac, bdca
 cabd, cadb, cbad, cbda, cdab, cdba
 dabc, dacb, dbac, dbca, dcab, dcba
の24通り。
 aabc を取り出したとき、これの並べ替えは、
 aabc, aacb, abac, acab, abca, acba
 baac, caab, baca, caba, bcaa, cbaa
の12通り
 aabd を取り出したとき、これの並べ替えは、
 aabd, aadb, abad, adab, abda, adba
 baad, daab, bada, daba, bdaa, dbaa
の12通り
 aacd を取り出したとき、これの並べ替えは、
 aacd, aadc, acad, adac, acda, adca
 caad, daac, cada, daca, cdaa, dcaa
の12通り
 bbac を取り出したとき、これの並べ替えは、
 bbac, bbca, babc, bcba, bacb, bcab
 abbc, cbba, abcb, cbab, acbb, cabb
の12通り
 bbad を取り出したとき、これの並べ替えは、
 bbad, bbda, babd, bdba, badb, bdab
 abbd, dbba, abdb, dbab, adbb, dabb
の12通り
 bbcd を取り出したとき、これの並べ替えは、
 bbcd, bbdc, bcbd, bdbc, bcdb, bdcb
 cbbd, dbbc, cbdb, dbcb, cdbb, dcbb
の12通り
 aabb を取り出したとき、これの並べ替えは、
 aabb, abab, abba, baab, baba, bbaa
の6通り
以上より
 24+12+12+12+12+12+12+6=102(通り)

詳しければ、わかりやすいとは限りませんが。

No.15452 - 2011/10/13(Thu) 21:15:12
(No Subject) / さ
6個の数字1,1,1,2,2,3を全部使って6桁の整数を作るとき
偶数はいくつできるか。

教えて下さい。

No.15431 - 2011/10/12(Wed) 22:04:39

Re: / ヨッシー
こちらの記事を応用すれば出来ます。
No.15436 - 2011/10/12(Wed) 22:40:02
二変数関数の最大最小の問題です / ぷるお
実数x,yがx^2+xy+y^2=1を満たしながら変わるとき、x^2-xy+y^2の最大値、最小値を求めよ

偏微分やラグランジェを使わずに高校数学でお願いしたいです!
まだ高校生なんで。
とにかく全然分かりません!

No.15428 - 2011/10/11(Tue) 23:52:57

Re: 二変数関数の最大最小の問題です / らすかる
u=x+y, v=x-y, x^2-xy+y^2=k とおくと
x^2+xy+y^2=1 → (3/4)u^2+(1/4)v^2=1 … (1)
x^2-xy+y^2=k → (1/4)u^2+(3/4)v^2=k … (2)
(1)(2)からu^2を消去すると k=(2v^2+1)/3
(1)から |v|≦2 なので 1/3≦k≦3

(検算)
v=±2 のとき u=0 で、このとき x=-y=±1 となり x^2+xy+y^2=1, x^2-xy+y^2=3
v=0 のとき u=±2/√3 で、このとき x=y=±1/√3 となり x^2+xy+y^2=1, x^2-xy+y^2=1/3

No.15429 - 2011/10/12(Wed) 01:36:26

Re: 二変数関数の最大最小の問題です / はにゃーん
u = x + y, v = xyでやってみました。
x^2+xy+y^2=1 → u^2 - v = 1 … (1)
x^2-xy+y^2=k → u^2 - 3v = k … (2)

ここでx, yはtの二次方程式
t^2 - ux + v = 0の解なのでその判別式
D = u^2 - 4v≧0 … (3)
という条件がつきます。

(1)(3)から -2/√3≦u≦2/√3 … (4)
(またはv≦1/3 …(4)')
すなわちuv平面上のv = u^2 - 1 … (1)'の
(4)(または(4)')の範囲において
v = (1/3)u^2 - 3k …(2)'との共有点を持つような
最大と最小のkを見つければ良いです。

(2)'が(u, v) = (2/√3, 1/3)を通る時最小、
(u, v) = (0, -1)を通る時最大。

よって1/3≦k≦3

No.15430 - 2011/10/12(Wed) 11:01:10

Re: 二変数関数の最大最小の問題です / ぷるお
ありがとうございます!!

たった今僕もx=rcosθ,y=rsinθの極方程式でしたら出ました

No.15437 - 2011/10/13(Thu) 00:05:26
よろしくお願いします / 受験生
n、a、bを0以上の整数とする。a、bを未知数とする方程式
a^2+b^2=2^n[以下※とする]を考える。

(1)n≧2とする。a、bが方程式※を満たすならば、a、bはともに偶数であることを証明せよ。

(2)0以上の整数nに対して、方程式※を満たす0以上の整数の組(a、b)をすべて求めよ。

(自分の解答)
(1)対偶をかんがえて
(a、b)=(奇数、偶数)、(偶数、奇数)、(奇数、奇数)の場合に分けて対偶が真であることを証明。よって命題が成立。

(2)(a、b)=(2^n、2^n)、(2^n、0)、(0、2^n)
となったんですがどうでしょうか?

No.15425 - 2011/10/11(Tue) 22:51:55

よろしくお願いします / 受験生
(2)の自分の答えは
n=2mのとき
(a、b)=(2^[n/2]、0)(0、[n/2])
n=2m+1のとき
(a、b)=(2^[nー1]、2^[nー1])
ただし、mを0以上の整数とする。
でした?ォ

No.15427 - 2011/10/11(Tue) 23:27:58

Re: よろしくお願いします / ヨッシー
n=2m+1のときは
(a、b)=(2^[(nー1)/2]、2^[(nー1)/2])
ですね。

No.15440 - 2011/10/13(Thu) 05:48:38
解答お願いします。 / 国威志望
以下の問題を解いていただけないでしょうか?

数列{an}は a1=1、a2=1、 an+2 = an+1 + an (n=1、2、3、…) をみたす。
この時に
?納k=1→n](ak)^2 = axay
を満たす2つの整数x、yが存在することを示せ。

(注:x、yは添え字です)

自分は数学的帰納法で示そうとしましたが、上手くいきませんでした。
また、一般項を用いて無理矢理やろうとしましたが、やはり出来ませんでした。


解説お願いします。

No.15424 - 2011/10/11(Tue) 22:09:45

Re: 解答お願いします。 / ヨッシー
一般項を用いて、無理矢理のパターンです。

一般項は
 an=(1/√5){φ^n-(-φ)^(-n)}
ただし、φ=(1+√5)/2
よって、
 an^2=(1/5){φ^(2n)+φ^(-2n)-2(-1)^n}
よって、
 Σak^2=(1/5){(φ^2+φ^4+・・・+φ^(2n))+(φ^(-2)+φ^(-4)+・・・+φ^(-2n))-2(-1+1-・・・+(-1)^n)}
 φ^2+φ^4+・・・+φ^(2n)={φ^(2n+2)-φ^2}/(φ^2-1)
 φ^(-2)+φ^(-4)+・・・+φ^(-2n)={φ^(-2n-2)-φ^(-2)}/{φ^(-2)-1}
 -2{-1+1-・・・+(-1)^n}=(-1)^(n+1)+1
φ^2-1=φ、φ^(-2)-1=-1/φ より
 Σak^2=(1/5){φ^(2n+1)-φ+φ^(-1)-φ^(-2n-1)+(-1)^(n+1)+1}
さらに、-φ+φ^(-1)=-1 より
 Σak^2=(1/5){φ^(2n+1)-φ^(-2n-1)+(-1)^(n+1)}

一方、
 an・a(n+1)=(1/5){φ^n-(-φ)^(-n)}{φ^(n+1)-(-φ)^(-n-1)}
    =(1/5){φ^(2n+1)-(-1)^(-n)φ-(-1)^(-n-1)φ^(-1)+(-φ)^(-2n-1)}
    =(1/5){φ^(2n+1)-(-1)^(-n)(φ-φ^(-1))+(-1)^(-2n-1)φ^(-2n-1)}
    =(1/5){φ^(2n+1)-(-1)^(-n)-φ^(-2n-1)}

(-1)^(n+1)=-(-1)^(-n) であるので、
 Σak^2=an・a(n+1)
が成り立ちます。

No.15426 - 2011/10/11(Tue) 23:17:31

Re: 解答お願いします。 / angel
> 2つの整数x、yが存在することを示せ。

という問題だと考えると前に進めません。
ところが、具体的にx,yの候補を調べてみれば、
 Σ[k=1→n]a[k]^2 = a[n]a[n+1]
であることが分かります。
※ヨッシーさんの解説の最後にもあります。

ということで、
・Σ[k=1→n] a[k]^2 = a[n]a[n+1] であることを示せ
という問題だと考えて、帰納法で解けば良いです。

No.15471 - 2011/10/14(Fri) 23:12:13

Re: 解答お願いします。 / 国威志望
返信遅れて申し訳ありません!

ヨッシーさん、angelさん解答ありがとうございます

自分は?納k=1→n]a[n]^2=a[n]a[n+1]さえ見抜けませんでした…

しっかりと具体的に実験をしておくべきだったという反省が得られました。


また、自分の些細な疑問に、こうやって真摯に応えていただけるという事実は何物にも替え難い収穫でした。

最後に、掲示板の充実のために、この問題が1980年代の三重大学の入試問題であったということを付記しておきます。

また、立ち寄らせていただきます。
ありがとうございました。

No.15490 - 2011/10/16(Sun) 11:48:36
確率の問題 / こんぺいとう
Xが二項分布B(n,p)にしたがうとき、X/nはpの不偏推定量であることを示せ。

という問題です。期待値の線形性を利用するのだと思うのですが、解けませんでした…

よろしくお願いします!

No.15423 - 2011/10/11(Tue) 20:40:33
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