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★ (No Subject) / 堀江伸一
質問１
定点ＢをＸ軸上に点ＡをＸ軸上にとり点ＡはＸ軸上を自由に動くとします。
点Ａを中心としＡＢを半径とする円Ｃを考えます。
平面上での円Ｃの集合を考えた時点Ｂと点Ａの間に無限小の円で空白ができますがこの空白というのはどういうものなのでしょうか？
無限に小さな円になると思うのですが数学的にどうとりあつかうのでしょうか？

質問２
cos(1/x)のｘ＝0の近辺も無限の密度でcos関数の曲線がありますがこのあたりの扱いはどうなるのでしょうか？
No.15038 - 2011/09/15(Thu) 17:12:45
☆ Re: / らぁ
質問１

単にAとBが一致したときには「ABを半径とする円C」が想定できないだけです。
無理に円の方程式で表しても、表す図形はB1点のみで、それは円ではありません。
しかし、どんなに小さな間隔でもAがBと離れていれば円が小さな半径で描かれます。

したがって、平面上Bの任意の近傍に、「C上のB以外の点全体からなる集合」の共通部分があります。


質問２

x→0で、cos(1/x)は振動します。
x=0では、1/xならびにcos(1/x)は定義されません。
x＞0なら、
任意の正整数nについて、0＜y[n]=x/(1+2nπx)＜xなる無限列{y[n]}が存在しますから、任意のxについて、0＜y＜xかつcos(1/x)=cos(1/y)なるyが無限に存在します。
x＜0についても同様に、任意のxについて、0＞y＞xかつcos(1/x)=cos(1/y)なるyが無限に存在します。

>扱い
どういうことを想定した何の扱いですか？
No.15040 - 2011/09/15(Thu) 19:11:37
☆ Re: / 堀江伸一
ありがとうございます。
質問の趣旨としては点Ｂに極限まで近くのみで構成され点Ｂだけは含まないような集合を考えたいのです。
そのような集合はどのようなものかという疑問なのです。
No.15050 - 2011/09/16(Fri) 19:31:55
☆ Re: / らぁ
Bの座標を(b,0)とすると、
「そのような点」の集合は{(x,0)|x≠b}です。



極限まで近くということは、絶対値がどんな小さなε＞0についても、|x-b|=εなる点が「そのような集合」に含まれるわけです。

しかし、ｘとbの間にはまだ|x'-b|=ε/2となるx'、|x''-b|=ε/4となるx''等々いくらでも数は存在します。まだまだ極限まで近づけたとは言えません。

結局、極限まで近づけた範囲とは、x≠bということに他なりません。

堀江さんも自分で書かれているとおり、Bだけは含まれない集合です。

なおこの集合は、(平面としてでなく)「数直線上の集合」として見た場合、連続な区間ではありません
No.15079 - 2011/09/18(Sun) 00:27:48
☆ Re: / 堀江伸一
ありがとうございました。
また何か質問すると思いますがその時も宜しくお願いします。
No.15137 - 2011/09/21(Wed) 16:45:44
★ (No Subject) / 桜
1辺の長さが1の正四面体ABCDにおいて,辺ABの中点をMとするとき,cos∠CMD=(ア)で△CDMの面積は(イ)である。

よろしくお願いします。
No.15033 - 2011/09/15(Thu) 11:59:34
☆ Re: / らぁ
→AB=b、→AC=c、→AD=dとする。(小文字で書いたベクトルの矢印は省略することとします)
b･c=d･b=c･d=1/2 (すべて2ベクトルとも大きさが1で成す角が60°)

→AM=b/2、→MC=c-b/2、→MD=d-b/2

cos∠CMD = (→MC･→MD)/(|→MC||→MD|)
= (c-b/2)･(d-b/2)
= c･d-b･c/2-b･d/2+|b|`2/4
= 1/2-1/4-1/4+1/4 = 1/4

|sin∠CMD|=(√15)/4より
∴△CDM = 1/2･(√3)/2･(√3)/2･(√15)/4
=(3･√15)/32
No.15034 - 2011/09/15(Thu) 12:26:46
☆ Re: / ヨッシー
別解です。

△ＣＭＤは、ＣＭ＝ＤＭ＝√3/2、ＣＤ＝１ の三角形なので、
余弦定理より
　cos∠ＣＭＤ＝(ＣＭ^2＋ＤＭ^2−ＣＤ^2)/(２ＣＭ・ＤＭ)
　　＝(1/2)/(3/2)＝1/3

　sin∠ＣＭＤ＝√(１−cos^2∠ＣＭＤ)＝2√2/3
より、
　△ＣＤＭ＝(1/2)ＣＭ・ＤＭsin∠ＣＭＤ
　　＝(1/2)(√3/2)(√3/2)(2√2/3)＝√2/4
No.15035 - 2011/09/15(Thu) 14:07:31
☆ Re: / ヨッシー
別解を書いたら、らぁさんの回答と食い違ったので、検証しました。

ＡＭ=ｂ/2、ＭＣ=ｃ-ｂ/2、ＭＤ=ｄ-ｂ/2

　cos∠ＣＭＤ＝(ＭＣ・ＭＤ)/(ＭＣ・ＭＤ)
において、
　ＭＣ・ＭＤ＝(ｃ-ｂ/2)・(ｄ-ｂ/2)
　＝ｃ・ｄ−ｃ・ｂ/2−ｄ・ｂ/2＋ｂ・ｂ/4
　＝1/2−1/4−1/4＋1/4＝1/4
らぁさんの計算はここで止まっています。

ＭＣ＝ＭＤ＝√3/2 なので、
　cos∠ＣＭＤ＝(1/4)÷(√3/2)^2＝1/3
(以下略)
No.15036 - 2011/09/15(Thu) 14:17:02
☆ Re: / らぁ
失礼しました、ヨッシー ｻﾝのご指摘のとおり計算ミスがありました。(→MC、→MDとc、dを混同しててっきり、大きさが1と、かんちがいしておりました。)


cos∠CMD = (→MC･→MD)/(|→MC||→MD|)
= (c-b/2)･(d-b/2)/{(√3)/2･(√3)/2}
= (c･d-b･c/2-b･d/2+|b|`2/4)×4/3
= (1/2-1/4-1/4+1/4)×4/3 = 1/3ですので、

|sin∠CMD|=(2√2)/3より
∴△CDM = 1/2･(√3)/2･(√3)/2･(2√2)/3
=(√2)/4
ですね。

桜 ｻﾝ、失礼いたしました。
ヨッシー ｻﾝ、ご指摘ありがとうございました。
No.15037 - 2011/09/15(Thu) 14:30:58
★ 微分可能 / loass
f(x)はX＞0において定義された微分可能な関数であり、正の数x,yに対して　ｆ(xy)=f(x)+f(y)　が成り立っている。
　
導関数の定義にしたがって、f(x)の導関数f´(x)を求めよ。
ただし、f(１)＝c（cは定数）とする。

おねがいします。
No.15031 - 2011/09/15(Thu) 07:34:10
☆ Re: 微分可能 / X
>>f(１)＝c（cは定数）
を
f'(1)=c
のタイプミスであると見て回答します。

f(xy)=f(x)+f(y) (A)
とします。
(A)においてy=1のとき
f(x)=f(x)+f(1)
f(1)=0 (B)
∴微分係数の定義により
c=f'(1)=lim[h→0]{f(1+h)-f(1)}/h
=lim[h→0]f(1+h)/h (C)
よって導関数の定義により
f'(x)=lim[h→0]{f(x+h)-f(x)}/h
=lim[H→0]{f(x+xH)-f(x)}/(xH) (h=xHと置いた)
=lim[H→0]{f((1+H)x)-f(x)}/(xH)
=lim[H→0]{f(1+H)+f(x)-f(x)}/(xH) (∵)(A)より
=lim[H→0](1/x){f(1+H)/H}
=c/x (∵)(C)より
No.15032 - 2011/09/15(Thu) 10:00:05
☆ Re: 微分可能 / loass
わかりました。タイプミスお手数おかけしました。
No.15045 - 2011/09/15(Thu) 23:51:49
★ (No Subject) / 桜
放物線 y=x^2を頂点が直線 y=-x-2上にあるように平行移動した放物線について,次の問いに答えよ。ただし,平行移動した放物線の頂点のx座標をaとする。

(1)a=1のとき,その放物線の方程式を求めよ。

(2)平行移動した放物線が原点を通るとき,その放物線の方程式を求めよ。

(3)放物線とx軸とが異なる2点で交わり,2交点のx座標がともに1より大きくなるようなaの値の範囲を求めよ。

よろしくお願いします。
No.15021 - 2011/09/14(Wed) 10:34:37
☆ Re: / ヨッシー
(1)a=1 のとき、頂点の座標は(1, -3) なので、放物線は、
　y=(x-1)^2-3=x^2-2x-2
となります。
(2) 直線 y=-x-2 上の点は (a, -a-2) なので、放物線は、
　y=(x-a)^2-a-2=x^2-2ax+a^2-a-2
と書けます。これが原点を通るので、(0,0)を代入して、
　a^2-a-2=0
これを解いて、
　a=-1,2
a=-1 のとき、y=x^2+2x
a=2 のとき、y=x^2-4x

(3)
　f(x)=y=(x-a)^2-a-2=x^2-2ax+a^2-a-2
において、頂点のｙ座標が負であれば、ｘ軸と異なる２点で
交わるので、　-a-2＜0　より　a＞-2　　・・・(i)
軸 x=a が１より大きいので、　a＞1　　・・・(ii)
f(1)＞0 より　a^2-3a-1＞0 より　a＜(3-√13)/2, a＞(3+√13)/2　・・・(iii)
(i)(ii)(iii) より
　a＞(3+√13)/2
No.15022 - 2011/09/14(Wed) 11:09:12
★ 整数問題です / ponta28
１）ｙ＝1/3x^2+1/2xのグラフ上に無限個の格子点が存在する　　ことを示せ。
２）a,bは実数でa≠０とする。y=ax^2+bxのグラフ上に
　　点(0,0)意外に格子点が２つ存在すれば、
　　無限個存在することを示せ

　　お願いします
No.15019 - 2011/09/14(Wed) 09:51:53
☆ Re: 整数問題です / ＿
(1)とりあえずx=6,12,18,24とでもしてみましょうか。

(2)題意の格子点を(X1,Y1),(X2,Y2)とでもしてa,bの値を考えてみましょう。そこから(1)を応用するはずです。
No.15020 - 2011/09/14(Wed) 10:33:06
☆ Re: 整数問題です / ponta28
1)
y=x^2/3+x/2=f(x)とおく
ｆ（ｘ）の格子点(x,y)=(6,15)、(12,54)...
y=f(x)は連続なので格子点は無限個存在する
2)
y=ax^2+bx=g(x)とおく
y=g(x)の格子点を(x1,y1),(x2,y2)とおく
　　　　　　　（x1,x2,y1,y2は整数）

１）ｂ＝０のとき
２）ｂ≠０のとき...

こんなカンジでしょうか？
イマイチ分からないです
No.15024 - 2011/09/14(Wed) 16:47:00
☆ Re: 整数問題です / ヨッシー
(1)
x=6,12,18,24 は、とりあえずですので、これを一般化しないといけません。
ｘを６の倍数とすると、x=6m(mは整数)と書ける。・・・
のような感じです。

(2)
格子点を(X1,Y1),(X2,Y2)とすると、
　Y1＝aX1^2＋bX1
　Y2＝aX2^2＋bX2
は、変数がa,b の２元連立一次方程式なので、
　a=・・・, b=・・・,
の形に解けて(実際解きましょう)、それらは、有理数となります(これ重要)。
あとは、(1) で、なぜ６の倍数としたかを考えなおして・・・
No.15025 - 2011/09/14(Wed) 17:13:52
☆ Re: 整数問題です / ponta28
1)
y=x^2/3+x/2=f(x)とおく
ｆ（ｘ）の格子点(x,y)=(0,0),(6,15),(12,54)...
(-6,9),(-12,42)
(x,y)=(6m,12m^2+3m)(m=0,±１,±2)
mは無限に続くのでf(x)の格子点は無限個存在する。
2)
y=ax^2+bx=g(x)とおく
y=g(x)の格子点を(x1,y1),(x2,y2)とおく
　　　　　　　（x1,x2,y1,y2は整数)
y1=ax1^2+bx1
y2=ax2^2+bx2

a=(-x1y2+x2y1)/(x1x2(x1-x2))
b=(x1^2y2-x2^2y1)/(x1x2(x1-x2))

g(x)の格子点
(x,y)=(x1x2(x1-x2)n,x1y2(x1-1)n+x2y1(x2+1)n)
(n=±１、±２...)
nは無限に続くので、g(x)の格子点は無限個存在する

これでいいでしょうか？
No.15026 - 2011/09/14(Wed) 19:49:05
☆ Re: 整数問題です / ponta28
すいません訂正です
(m=0,±１,±2)→(m=0,±１,±2...)
No.15027 - 2011/09/14(Wed) 19:51:25
☆ Re: 整数問題です / ヨッシー
(2) の方は、x1x2(x1-x2) を分母に持ってきて良い(割り算して良い)
ことを、おことわりしておくべきでしょう。
そのためには、
（x1,x2,y1,y2は整数)　ではなく、
（x1,x2,y1,y2は整数、x1≠0，x2≠0, x1≠x2)
という但し書きが必要です。

その他は、主旨としては良いですが、
>(x,y)=(6m,12m^2+3m) (m=0,±１,±2)
>mは無限に続くのでf(x)の格子点は無限個存在する。
の部分は、
(x,y)=(6m,12m^2+3m) (ｍは整数)
任意の整数ｍに対して、それぞれ相異なる格子点が
存在するので、f(x)の格子点は無限個存在する。
のような書き方の方がスマートでしょう。

整数は無限に存在することは、既成の事実として、使って良いです。

(2) の表現も同様です。

さらに、例えば、(2) の節々に「このとき」「これを解いて」「よって」
など、日本語を補った方が読み手に親切です。
No.15028 - 2011/09/14(Wed) 22:42:18
☆ Re: 整数問題です / ponta28
ありがとうございました。
No.15029 - 2011/09/14(Wed) 23:18:14
☆ コメント / angel
気付いているかもしれませんが、この問題では「格子点」を全て挙げる必要はありません。
一部分だけでもいいから挙げてみて、それで既に無限にあるなら、それで解答としてなんら問題ないのです。

逆に言えば、もし全ての格子点を挙げようとして失敗すると、大部分は合っているのに減点される可能性もあります。
そういう意味で、ponta28さんの書いているところでは、
> g(x)の格子点
> (x,y)=(x1x2(x1-x2)n,x1y2(x1-1)n+x2y1(x2+1)n)
> (n=±１、±２...)
はちょっと怪しいです。見る人によっては、「これは全ての格子点を挙げているのかな？」と誤解してしまうかも知れません。
※そして、x1,x2 の組み合わせによっては、全ての格子点を網羅できていないことに注意
誤解されないようにするには、
　g(x)の格子点には
　(x,y)=… (n=1,2,…)
　が含まれる
か、
　(x,y)=… (n=1,2,…)
　は g(x)の格子点である
が良いでしょう。
なお無限を示すには、n=±1,±2,… としなくとも、n=1,2,…で十分です。
No.15030 - 2011/09/14(Wed) 23:39:38
★ 微分です / ponta28
ｆ（ｘ）はすべての実数ｘにおいて微分可能な関数で
関係式ｆ（２ｘ）＝（e^x+1)f(x)　（＊）
を満たしているとする。
１）ｆ（０）＝０を示せ
これは（＊）にｘ＝０を代入してｆ（０）＝２ｆ（０）となり示せました
２）ｘ≠０に対して
f(x)/(e^(x)-1)=f(x/2)/(e^(x/2)-1)を示せ
これは（＊）を変形してf(x/2)=f(x)/(e^(x/2)+1)
とし右辺に代入し＝左辺として示せました
３）微分の定義を用いて
ｆ´(0)=lim(h→0)f(h)/(e^(h)-1)を示せ
４）f(x)=(e^x-1)f´(0)が成り立つことを示せ
お願いします
No.15010 - 2011/09/13(Tue) 19:01:15
☆ 3) / angel
3)
微分の定義を素直に使うと、
　f'(0) = lim[h→0] ( f(h)-f(0) )/h
であり、f(0)=0 と分かっていることから、
　f'(0) = lim[h→0] f(h)/h
です。
※この問題では、f(x)が微分可能という前提なので、「極限があるかどうか」は心配する必要がありません

しかしながら、3) で出てくる形は f(h)/(e^h-1) です。この形に持っていくために、
　f(h)/h = f(h)/(e^h-1)・(e^h-1)/h
と考えてみましょう。
実は、lim[h→0] (e^h-1)/h = 1 です。なぜかというと、指数関数 g(x)=e^x に対して、lim[h→0] (e^h-1)/h = g'(0) だからです。( 微分の定義そのまま )
ということで、
　lim[h→0] f(h)/(e^h-1)
　= lim[h→0] ( f(h)/h )/( (e^h-1)/h )
　= lim[h→0] ( f(h)/h )/1 = f'(0)
と分かります。
No.15014 - 2011/09/13(Tue) 23:21:24
☆ 4) / angel
4)
ここでは数列を使います。以下の性質を把握することが第一です。

・x→0 で収束する関数 g(x) (※3)で出した指数関数g(x)=e^xとは別モノです) と、
　0 に収束する数列、ここでは 1,1/2,1/4,1/8,… という等比数列 a[n]=1/2^(n-1) を例として考えてください。
　そのとき、g(a[1]), g(a[2]), … という数列 g(a[n]) の極限はどうなるでしょうか。

　これは、lim[n→∞] a[n]=0 であり lim[x→0] g(x) が収束することから、lim[n→∞] g(a[n]) = lim[x→0] g(x) となります。

・b[1]=b[2]=b[3]=…=β なる数列 b[n]、要するに定数列ですが、これの極限はどうなるでしょうか。

　これはもちろん、lim[n→∞] b[n] = β となります。

・では、上2つの状況で b[n]=g(a[n]) の場合はどうなるでしょうか。
　つまり、
　　1,1/2,1/4,1/8,… という 0 に収束する数列 a[n]=1/2^(n-1)
　　x→0 で収束する関数g(x)
　　g(a[1])=g(a[2])=g(a[3])=…=g(a[n])=…=β
　という状況がそろった場合です。
　そうすると、上2つの話から、
　　lim[n→∞] g(a[n]) = lim[x→0] g(x)
　　lim[n→∞] g(a[n]) = β
　ということで、lim[x→0] g(x) = β と分かります。


…ここまでの話は良いでしょうか?
なぜこんな話をしたかというと、ちょうどこの問題が、この状況に当てはまっている ( そうなるように誘導されている ) からです。
任意のα≠0 に対して、a[n]=α/2^(n-1) とすると、これは 0 に収束する数列です。
そのため、x→0 で収束する (※3)で示している) g(x)=f(x)/(e^x-1) に対して、
　lim[n→∞] g(a[n]) = lim[x→0] g(x)
です。3)の結果より、この値は f'(0) です。

一方、2) の結果から、
　g(α)=g(α/2)=g(α/4)=…=g(a[n])=…
です。(※解答では帰納法を使って説明してください)
この値をβと置くと、
　lim[n→∞] g(a[n]) = g(α) = β
となります。
さらに、上で行った考察により、β=lim[x→0] g(x) です。

ということで、g(α) = β = lim[x→0] g(x) = f'(0) が成立します。
今、g(x)=f(x)/(e^x-1) と定めていましたから、f(α)=f'(0)・(e^α-1) ということになります。めでたし、めでたし。

なお、f(0) だけは別途説明が必要ですので、注意してください。( 今までの説明は「任意のα≠0」での話だから )
No.15015 - 2011/09/13(Tue) 23:45:09
☆ Re: 微分です / ponta28
有難うございます
No.15018 - 2011/09/14(Wed) 09:41:27
★ 微分です / ponta28
a,bはa^2/4<b<a^2をみたす正の定数とする
関数ｆ（ｘ）＝√(x^2+ax+b)-x/2について
１）曲線ｙ＝ｆ（ｘ）の漸近線を求めよ
２）関数ｆ（ｘ）の最小値を求めよ

お願いします
No.15008 - 2011/09/13(Tue) 18:42:52
☆ Re: 微分です / らぁ
> a,bはa^2/4> 関数ｆ（ｘ）＝√(x^2+ax+b)-x/2について
> １）曲線ｙ＝ｆ（ｘ）の漸近線を求めよ

x^2+ax+b=0の解の判別式D=a^2-4b＜0より、x^2+ax+b＞0からf(x)はすべての実数で定義されかつ連続であるので、任意の実数pにつきf(p)は有限の値をとり、したがって、y軸平行の漸近線を持たない。

x＞0について、
f(x)/x = √(1+a/x+b/x^2)-1/2 →1/2 (x→∞)

f(x)-(1/2)x = √(x^2+ax+b)-x
= (x^2+ax+b-x^2)/{√(x^2+ax+b)+x}
= (a+b/x)/{√(1+a/x+b/x^2)+1} →a/2 (x→∞)
より、lim_{x→∞} {f(x)-(x+a)/2}=0なので、x→∞のとき、y=f(x)は、y=(x+a)/2を漸近線にもつ。

また、x＜0について、x=-tとおくと、
f(x)/x = -f(-t)/t
= -{√(1-a/t+b/t^2)-1/2} →-1/2 (t→∞)

f(x)+(1/2)x = f(t)-(1/2)t →a/2 (t→∞)
より、lim_{x→-∞} {f(x)-(-x+a)/2}=0なので、x→-∞のとき、y=f(x)は、y=(-x+a)/2を漸近線にもつ。

よって、y=f(x)は、y=±x/2+a/2を漸近線にもつ。


> ２）関数ｆ（ｘ）の最小値を求めよ

(d/dx)f(x) = (2x+a)/{2√(x^2+ax+b)}-1/2
(d/dx)f(x)=0をとく。
2x+a=√(x^2+ax+b)
両辺を自乗して、4x^2+4ax+a^2=x^2+ax+b
3x^2+3ax+a^2-b=0 ...★
★の解の判別式D=9a^2-12(a^2-b)=3(4b-a^2)＞0 (条件より)
★の解はx=(-3a±√D)/6
いま、2x+a=√(x^2+ax+b)≧0から、
x=(-3a-√D)/6の場合、2x+a=-√D＜0で不適
x=(-3a+√D)/6の場合、2x+a=√D＞0で適切
∴(d/dx)f(x)=0の解はx=(-3a+√D)/6
さらに、x＜(-3a+√D)/6の範囲で(d/dx)f(x)＜0、x＞(-3a+√D)/6の範囲で、(d/dx)f(x)＞0なので、f(x)=0はx=(-3a+√D)/6のとき、最小となる。

あとは、f((-3a+√D)/6)を求めるだけ。
No.15013 - 2011/09/13(Tue) 21:58:29
★ (No Subject) / ponta28
lim(x→-∞）{√（ax^2+bx)+x}=-1になるように定数a,bの値を定めよ
お願いします
No.15001 - 2011/09/13(Tue) 16:58:16
☆ Re: / X
問題の等式を(A)とします。
x=-tと置くと
((A)の左辺)=lim[t→∞]{√(at^2-bt)-t}
=lim[t→∞]{(a-1)t^2-bt}/{√(at^2-bt)+t}
=lim[t→∞]{(a-1)t-b}/{√(a-b/t)+1} (B)
∴(A)が成立するためには(B)の分子のtの係数について
a-1=0
∴a=1
このとき
(B)=lim[t→∞](-b)/{√(1-b/t)+1}=-b/2
∴-b/2=-1
∴b=2
No.15005 - 2011/09/13(Tue) 17:39:18
☆ Re: / ponta28
ありがとうございました
No.15006 - 2011/09/13(Tue) 18:35:37
★ (No Subject) / 桜
放物線 y=ax^2+bx+c の頂点の座標が(1,1)であるとき

(1)b,cをaで表せ。
(2)グラフがx軸と異なる2点で交わるとき,0≦x≦3の範囲におけるyの最小値をaで表せ。
(3)(2)場合の最小値が-7であるように定数a,b,cの値を定めよ。


よろしくお願いします。
No.14998 - 2011/09/13(Tue) 12:19:58
☆ Re: / X
(1)
問題の放物線の式を平方完成してみましょう。

(2)
頂点のy座標=1＞0
∴グラフがx軸と異なる2点で交わるためには
グラフは上に凸でなければなりません。
このことと問題のグラフの軸である
x=1
が定義域である
0≦x≦3
の範囲内左寄りにあることから…。

(3)
(2)の結果を使ってaについての方程式を立てましょう。
No.14999 - 2011/09/13(Tue) 13:18:23
☆ Re: / らぁ
> 放物線 y=ax^2+bx+c の頂点の座標が(1,1)であるとき
>
> (1)b,cをaで表せ。
頂点の座標から、放物線は、y=a(x-1)2+1=ax2-2ax+(a+1)
係数を比較して、b=-2a、c=a+1


> (2)グラフがx軸と異なる2点で交わるとき,0≦x≦3の範囲におけるyの最小値をaで表せ。
x軸と異なる2点で交わるので、判別式D＞0
D/4=(-a)2-a(a+1)=-a
∴a＜0
したがって、グラフは上に凸。放物線は軸対称、軸で分割された範囲で単調で、この放物線の軸はx=1だから、軸からより遠いx=3のとき、yは最小となる。
x=3を代入して、y=a(3-1)2+1=4a+1

> (3)(2)場合の最小値が-7であるように定数a,b,cの値を定めよ。
4a+1=-7より、a=-2。これは(2)で求めた条件に適する。
∴b=4、c=-1
No.15000 - 2011/09/13(Tue) 13:26:38
★ 微分です　浪人です / ponta28
関数Ｆ（ｘ）が次の　１）、２）、３）をみたしている。
１）Ｆ（ｘ）の定義域は実数全体で、その値は常に正である
２）任意の実数ｘ１とｘ２に対し
　　Ｆ（ｘ１＋ｘ２）＝２Ｆ（ｘ１）Ｆ（ｘ２）が成り立つ
３）関数Ｇ（ｘ）をＧ（ｘ）＝logF(x)で定義すると
　Ｇ（ｘ）はｘ＝３で微分可能でＧ´（３）＝Ｇ（１−log2)
である。

（１）Ｆ（０）の値を求めよ
（２）任意の実数aに対してＧ（ｘ）はｘ=aで微分可能で
　　　あることを証明せよ。
（３）Ｇ（ｘ）を求めよ
（４）Ｆ（ｘ）を求めよ
No.14992 - 2011/09/12(Mon) 23:54:20
☆ Re: 微分です　浪人です / X
(1)
1)より2)においてx[1]=x[2]=0を代入でき
F(0)=2{F(0)}^2
これより
F(0){2F(0)-1}=0
∴1)よりF(0)=1/2

(2)
1)2)3)より任意の実数X[1],x[2]に対し
G(x[1]+x[2])=log{F(x[1]+x[2])}
=log{2F(x[1])F(x[2])}
=G(x[1])+G(x[2])+log2 (A)
(A)から
lim[h→0]{G(a+h)-G(a)}/h=lim[h→0]{G(a)+G(h)+log2-G(a)}/h
=lim[h→0]{G(h)+log2}/h (B)
同様にG'(3)の定義により
G'(3)=lim[h→0]{G(3+h)-G(3)}/h=lim[h→0]{G(h)+log2}/h (C)
(B)(C)より
lim[h→0]{G(a+h)-G(a)}/h=G'(3)
ですのでG'(a)は存在し
G'(a)=G'(3)=G(1-log2) (D)

(3)
(D)より
G(x)=G(1-log2)x+C (Cは任意定数) (E)
ここで(1)の結果より
G(0)=-log2 (F)
∴(E)より
C=-log2 (G)
(E)にx=1-log2と(G)を代入すると
G(1-log2)=G(1-log2)(1-log2)-log2
∴G(1-log2)=-1 (H)
(D)(G)(H)により
G(x)=-x-log2

(4)
(3)の結果と3)により
F(x)=1/(2e^x)
No.14994 - 2011/09/13(Tue) 07:35:06
☆ Re: 微分です　浪人です / ponta28
ありがとございました
No.15007 - 2011/09/13(Tue) 18:36:02
★ (No Subject) / ll
A={x│x^2=1}は計算？が
出来ないので空集合φ

B={x│x^2-2x=0}
x(x-2)=0と解いて
x=0,2
答えは0,1,2でいんですか？

自分なりに解いてみました

わからないとこの解説お願いします
No.14989 - 2011/09/12(Mon) 22:27:24
☆ Re: / angel
問題文が不完全なため、何を求める問題なのか分かりません。
省略せずに書いてください。

ただ、問題を置いておくとしても、
Ａ={x|x^2=1} は Ａ={1,-1} のことです。空集合φではありません。その理由は、x^2=1 の解が x=±1 だからです。

Ｂについては、Ｂ={x|x^2-2x=0}={0,2} です。その理由は、x(x-2)=0 を解いた解が x=0,2 だからです。
No.14991 - 2011/09/12(Mon) 23:09:55
☆ Re: (No Subject) / ll
次の2つの集合A,BについてA∩BとA∪Bを求めよ｡です
No.15003 - 2011/09/13(Tue) 17:18:31
☆ Re: / angel
上で説明した通り、
　Ａ={1,-1}
　Ｂ={0,2}
ですから、

・Ａ∩Ｂ ( Ａ,Ｂ両方に含まれる要素を集めた集合 ) については、
　Ａ∩Ｂ = φ ( 空集合 ) です。Ａ,Ｂ両方に含まれる要素がないためです。

・Ａ∪Ｂ ( Ａ,Ｂいずれかに含まれる要素を集めた集合 ) については、
　Ａ∪Ｂ = { 1, -1, 0, 2 }
　となります。なお、要素の並び方はテキトーなので、気持ち悪ければ好きなように並び直してください。
No.15016 - 2011/09/13(Tue) 23:51:01
★ (No Subject) / きりーん
A={x│xは整数,-2≦x≦３}B={2n-1│n=0,1,2}
よくわからないので
解説お願いします｡
No.14987 - 2011/09/12(Mon) 22:09:52
☆ Re: / angel
問題が分かりません。
省略せずに問題文を載せてください。
No.14990 - 2011/09/12(Mon) 23:06:30
☆ Re: (No Subject) / きりーん
次の2つの集合A,BについてA∩BとA∪Bを求めよ｡です
No.15002 - 2011/09/13(Tue) 17:17:08
☆ Re: / angel
Ａ,Ｂに含まれる要素を調べると
　Ａ={-2,-1,0,1,2,3}
　Ｂ={-1,1,3}
となるため、
　Ａ∩Ｂ={-1,1,3}
　Ａ∪Ｂ={-2,-1,0,1,2,3}
となります。∩および∪の話については、丁度上にあるllさんの質問No.14989への回答をご参照ください。

なお、Ａ,Ｂの要素をどうやって調べるかというと…
今回、Ａ,Ｂに含まれる要素の数は少ないので、集合の説明をそのままなぞれば事足ります。
Ａ={x|xは整数、-2≦x≦3} というのは、「集合Ａは『xは整数、かつ、-2≦x≦3』を満たす数xを全て集めた集合です」と書いてあるのと同じですから、-2〜3の間の整数を全て列挙して、Ａ={-2,-1,0,1,2,3} と分かります。
Ｂ={2n-1|n=0,1,2} というのは、「集合Ｂはn=0,1,2それぞれに対して2n-1を計算した結果を全て集めた集合です」と書いてあるのと同じですから、2・0-1, 2・1-1, 2・2-1 を全部計算して、Ｂ={-1,1,3} と分かります。
No.15017 - 2011/09/14(Wed) 00:08:01
★ またですいません。急きょです / バスケ男
問い１．
両親と子供4人が円形のテーブルの周りに並ぶとき、並び方は何通りあるか？
１．六人全員の並び方
２．両親が隣り合う
３．両親が向かい合う

問い２
色の異なる6個の玉をつないで輪を作る方法は何通り？
問い３
4個の数字０、１，２，３の異なる3個の数字を使ってできる次のような整数は何個あるか？
１．三ケタの偶数
２、三ケタの三の倍数
問い３
4人がじゃんけんするとき、その出し方は何通りあるか？
また、4個の数字０，１，２，３を重複を用いてできる3ケタの整数は何個あるか？

たくさんでホントすいません(T_T)
No.14986 - 2011/09/12(Mon) 22:09:22
☆ Re: またですいません。急きょです / らぁ
> 問い１．

> １．六人全員の並び方
円順列。(6-1)!=120

> ２．両親が隣り合う
父を固定し、母が右に着くか左に着くかの2パターン。残り4人の並び順を考え、2×4!=48

> ３．両親が向かい合う
父を固定すれば、母は向いの1パターン。残り4人の並び順を考え、4!=24

>
> 問い２
> 色の異なる6個の玉をつないで輪を作る方法は何通り？

円順列で考え、出来た輪は裏返せるので2でわればよい。(6-1)!/2=60

> 問い３
> 4個の数字０、１，２，３の異なる3個の数字を使ってできる次のような整数は何個あるか？
> １．三ケタの偶数
偶数→一の位は０か２
1)一の位が０
百の位は3とおり、十の位が2とおりで6とおり
2)一の位が２
百の位は(１か３の)2とおり、十の位が2とおりで4とおり
―――
合計6+4=10

> ２、三ケタの三の倍数
三の倍数→各位の数字の和が3の倍数
０+１+２+３=6なので、3つの異なる数字を使って和を3の倍数にするには、０か３のいずれかを使わなければよい。
1)０を使わない
3!=6とおり
2)３を使わない
百の位は０にできないので、2×2×1=4とおり
―――
あわせて、6+4=10とおり

> 問い３
> 4人がじゃんけんするとき、その出し方は何通りあるか？
一人一人について出す手が３とおりあるので、3^4=81とおり

> また、4個の数字０，１，２，３を重複を用いてできる3ケタの整数は何個あるか？

百の位の選び方は０以外の3とおり、十の位、一の位は０をふくめた４とおりから選べるので、3×4×4=48とおり
No.14996 - 2011/09/13(Tue) 09:20:12
★ (No Subject) / あめ
集合{1,2,3,4,5,6,7}の部分集合であるものは､次のうちどれか｡
?@{1,6}?A{2n-1│n=1,2,3,4,5}?B{x│x^2-6x+8=0}

解説お願いします｡
No.14984 - 2011/09/12(Mon) 22:02:52
☆ Re: / X
(2)は
{1,3,5,7,9}
と同じです。
(3)は
x^2-6x+8=0
を解いて
x=2,4
ですので
{2,4}
と同じです。
従って…
No.14985 - 2011/09/12(Mon) 22:08:54
☆ Re: (No Subject) / あめ
すいません｡
もっと具体的にお願いします｡
No.14988 - 2011/09/12(Mon) 22:11:57
☆ Re: / X
(1)(2)(3)それぞれについて全ての要素が問題の集合
{1,2,3,4,5,6,7} (A)
に含まれるか否かを考えます。
例えば(1)は全て含まれるので(A)の部分集合です。
同じように(2)(3)についても考えます。
No.14993 - 2011/09/13(Tue) 06:47:26
☆ Re: (No Subject) / あめ
?Aはどうとくんですか？
?Bは4,2なので含まれてます
No.15004 - 2011/09/13(Tue) 17:20:54
☆ Re: / X
(2)は9が(A)に含まれないので(A)の部分集合ではありません。
No.15023 - 2011/09/14(Wed) 14:08:02
★ (No Subject) / バスケ男
男子三人、女子三人が一列に並ぶとき次の並び方は何通りあるか？
１、男女が交互に並ぶ。
２、両端のうち少なくとも一方に男子が並ぶ。
３女子が隣会わないように並ぶ。

よろしくお願いします
No.14982 - 2011/09/12(Mon) 21:49:39
☆ Re: / らぁ
> １、男女が交互に並ぶ。
１番目が男とすると、男が入るのは奇数番目の３ヶ所、女は偶数番目の３ヶ所なので、3!×3!とおり。
１番目が女の場合も同様に3!×3!とおり。
したがって、求める並び順は3!×3!×2=72通り
> ２、両端のうち少なくとも一方に男子が並ぶ。
全てのパターンから両端が女の場合を引けばよい。
全パターンは6!とおり。
１番目に並ぶ女の選び方が3とおり、6番目に並ぶ女の選び方は2とおり、残り4人が並ぶ並び方が4!とおりなので、両端が女になるパターンは3×2×4!とおり。
よって、求めるパターン数は6!-3×2×4!=576とおり。

> ３女子が隣会わないように並ぶ。
・男女が交互に並ぶ。
・両端が女子で、残り一人の女子が3番目か4番目に並ぶ。
のいずれかである。
後者は、１番目に並ぶ女の選び方が3とおり、6番目に並ぶ女の選び方は2とおり、残りの女が３番目か４番目のどちらかになるかの2とおり、さらに、男３人の相対的な並び順が3!とおりあるので、3×2×2×2!=72とおり。
よって、求めるパターン数は、72+72=144とおり。
No.14995 - 2011/09/13(Tue) 09:05:17
★ 数A / あ
{3n-2│nは1以上5以下の整数}
解説お願いします｡
No.14980 - 2011/09/12(Mon) 19:11:36
☆ Re: 数A / らぁ
このような表現は、集合の元をすべて列挙するのでなく、ある性質を示してそのような性質を持つ元すべてからなる集合を表している。

この例では、3n-2の形をした数すべてからなる集合(但し、nは1以上5以下の整数)ということなので、この集合は、3×1-2、3×2-2、3×3-2、3×4-2、3×5-2、つまり、1,4,7,10,13がその元のすべてであるような集合、言い換えれば{1,4,7,10,13}と同じ集合を表している。

#この例のように元の数が5つとかであれば、減をすべて列挙するような方法でも集合をあらわせるが、たとえば、「1000以下の3の倍数の集合」のように元が非常に多い場合や、「正三角形全体からなる集合」「有理数全体からなる集合」のように元の数が有限でない場合には、すべてを列挙して集合を表すことなどできないので、性質を記述して表す方法もある。
No.14981 - 2011/09/12(Mon) 20:30:55
☆ Re: 数A / あ
わかりやすい説明ありがとうございます。
おかげで理解出来ました｡
No.14983 - 2011/09/12(Mon) 21:58:10
★ (No Subject) / 朔
関数g(x)=-(x^2-2x+1)^2-4(x^2-2x+1)-1の最大値ってどうやって出すのでしょうか？

よろしくお願いします。
No.14978 - 2011/09/12(Mon) 10:07:55
☆ Re: / ヨッシー
まず、Ｘ＝x^2-2x+1 とおくと、
　g(x)＝−Ｘ^2−４Ｘ−１
　　　＝−(Ｘ＋２)^2＋３
となり、Ｘ＝−２ のとき最大値３　となりそうですが、
これは、Ｘがどんな実数でも（最低でもＸ＝−２が）取れる場合です。

ところが、
　Ｘ＝x^2-2x+1＝(x-1)^2≧0
なので、Ｘは、０以上の実数に限られます。すると、上の問題は、
　−Ｘ^2−４Ｘ−１
の、Ｘ≧０ における最大値を求めよ。という問題に置き換えられます。
答えは、x=1 のとき、最大値は−１　です。
No.14979 - 2011/09/12(Mon) 10:23:39
★ 緊急‼ / naka
数学の空間図形の問題です。
図のような三角錐OABCがある。辺OAが底面ABCと垂直でOA＝2√2、AB＝1、BC＝3、CA＝2√3とする。OBの長さは(ア)、cosOBC＝(イ)、?儖BCの面積は(ウ)、?儖BCの外接円の半径は(エ)である。
(ア)3、(イ)−9分の１、(ウ)２√５、(エ)4分の9
すみませんが、明日の8時30分までにお願いします。
No.14975 - 2011/09/11(Sun) 20:23:00
☆ Re: 緊急 / らぁ
>OBの長さは(ア)、

OA⊥ABCからOA⊥AB。三平方の定理

>cosOBC＝(イ)、

同様にOC=2。△OBCの三辺に対し余弦定理

>?儖BCの面積は(ウ)、
sin∠OBCとOB、OCから

>?儖BCの外接円の半径は(エ)である。
正弦定理
No.14976 - 2011/09/11(Sun) 21:30:56
☆ Re: / 夏奈
ホントに
申し訳ないです(´Д｀)

ありがとうございます?~?~

No.14977 - 2011/09/11(Sun) 23:57:14
★ 三角関数です　浪人です / ponta28
０＜＝θ＜２πをみたすθと正の整数ｍに対して
ｆｍ（θ）をつぎのように定める
ｆｍ（θ）＝Σ（ｋ＝０→ｍ）sin（θ＋πｋ/3）
?T、θが０＜＝θ＜２πの範囲を動くときｆ４（θ）の
　　最大値を求めよ
?U、ｍがすべての正の整数を動き、θが０＜＝θ＜２π
　　の範囲を動くときｆｍ（θ）の最大値を求めよ

お願いします
No.14966 - 2011/09/10(Sat) 21:09:02
☆ Re: 三角関数です　浪人です / ヨッシー
I.
　f4(θ)＝sinθ＋sin(θ＋π/3)＋sin(θ＋2π/3)＋sin(θ＋π)＋sin(θ＋4π/3)
において、
　sin(θ＋π)＝−sinθ
　sin(θ＋4π/3)＝−sin(θ＋π/3)
なので、
　f4(θ)＝sin(θ＋2π/3)
θ＝11π/6 のとき、f4(θ)の最大値１となります。

II.
ｍ＝5,11,17 のように、ｍ＝６ｎ−１　（ｎは正の整数）
のとき、fm(θ)＝０ となり、ｆ(m+6)(θ)＝fm(θ) が成り立ちます。
fm(θ)が最大になるのは、
　sinθ＞０、sin(θ＋π/3)＞０、sin(θ＋2π/3)＞０のときの
f2(θ) に現れます。
f8(θ)、f14(θ) なども同じ値になりますが、f2(θ) について
調べれば十分です。
φ＝θ＋π/3 とおくと、
　f2(θ)＝sin(φ−π/3)＋sinφ＋sin(φ＋π/3)
　　＝2sinφ
よって、θ＝π/6 のとき、fm(θ) は、m=6n+2（ｎは0以上の整数)
のときに最大値２をとります。
No.14967 - 2011/09/10(Sat) 21:39:30
☆ Re: 三角関数です　浪人です / angel
角が等差数列をなすsinやcosの和は、規則性から計算することができます。
ネタとして使うのは積和の公式、今回はコレ。
　sinθsinφ = 1/2・( cos(θ-φ) - cos(θ+φ) )
この公式を使うと、
　sin(θ+kα)sin(α/2)
　= 1/2・( cos(θ+(k-1/2)α) - cos(θ+(k+1/2)α )
であることが分かります。ということは、例えば3項分の和を考えると、
　( sinθ + sin(θ+α) + sin(θ+2α) )sin(α/2)
　= sinθsin(α/2) + sin(θ+α)sin(α/2) + sin(θ+2α)sin(α/2)
　= 1/2・( cos(θ-1/2・α) - cos(θ+1/2・α) )
　　+ 1/2・( cos(θ+α-1/2・α) - cos(θ+α+1/2・α) )
　　+ 1/2・( cos(θ+2α-1/2・α) - cos(θ+2α+1/2・α) )
　= 1/2・( cos(θ-1/2・α) - cos(θ+1/2・α) + cos(θ+1/2・α) - cos(θ+3/2・α) + cos(θ+3/2・α) - cos(θ+5/2・α) )
　= 1/2・( cos(θ-1/2・α) - cos(θ+5/2・α) )
　= sin(θ+α)sin(3/2・α)
というように、うまい具合にプラスとマイナスの項がほとんど消えます。なお、最後の変形は積和の逆、つまり和積ですね。
結局、
　sinθ + sin(θ+α) + sin(θ+2α) = sin(θ+α)sin(3/2・α)/sin(α/2)
ということが分かります。

同じように計算すれば、一般に
　Σ[k=0,m] sin(θ+kα)
　= sin(θ+(m-1)α/2)sin((m+1)α/2)/sin(α/2)
となります。
※これが最大になることを考えるなら、両方のsinの項が共に1もしくは-1、ということですね。
No.14970 - 2011/09/11(Sun) 01:44:01
☆ Re: 三角関数です　浪人です / ponta28
ありがとうございました
No.14971 - 2011/09/11(Sun) 09:27:27
★ 中間値の定理 / kojo
nを自然数とし、f(x)=cos^3x-3nsin^2x+2とする。
(1)ｆ(x)=0,0<x<π/2を満たす実数ｘがただ一つ存在すること
を示せ。
(2)(1)の条件を満たすｘをαとするとき、極限値lim(n→∞）
ｎα＾２を求めよ。

お願いします。
No.14964 - 2011/09/10(Sat) 15:26:34
☆ Re: 中間値の定理 / らぁ
まず(1)

(d/dx)f(x) = 3{(cosx)^2}sinx-3n･2sinx･cosx
= 3cosx･sinx･(cosx-2n)

区間0＜x＜π/2で、cosx＞0、sinx＞0、cosx-2n＜0より、(d/dx)f(x)＜0
∴f(x)は区間0＜x＜π/2で狭義単調減少

f(x)は区間0＜x＜π/2で連続で、
f(0)=1-3n･0+2=3
f(π/2)=0-3n･1+2=2-3n＜0 (∵n≧1)
より、中間値の定理より、f(α)=0を満たすx (0＜x＜π/2)がすくなくとも一つ存在する。

いま、そういうxのうち最小のものをαとすると、α＜β＜π/2をみたすβでは、f(β)＞0である。(∵狭義単調減少)
したがって、0＜x＜π/2にはf(x)=0を満たすxはαしかない。

∴f(x)=0、0<x<π/2を満たす実数ｘはただ一つだけ存在する。
No.14965 - 2011/09/10(Sat) 17:47:05
☆ Re: 中間値の定理 / らぁ
> いま、そういうxのうち最小のものをαとすると、α＜β＜π/2をみたすβでは、f(β)＞0である。(∵狭義単調減少)

訂正

…α＜β＜π/2をみたすβでは、f(β)＜0である。
No.14968 - 2011/09/10(Sat) 22:04:11
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