数学の質問です 浪人です
x+y-1/(x-y)=y+z-1/(y-z)=z+x-1/(z-x)が成り立つとき
?@、ｘ＾２＋ｙ＾２＋ｚ＾２の値を求めよ
?A、１/（ｘ−１/２）＾２＋１/（ｙ−１/2)^2+1/(z-1/2)^2の値を求めよ
よろしくお願いします
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No.14950 - 2011/09/08(Thu) 21:19:02
| ☆ Re: 数学の質問です 浪人です / ヨッシー  | | | x+y-1/(x-y)=y+z-1/(y-z)=z+x-1/(z-x)が成り立つような
x,y,z は、ないと思いますが。
出典はなんですか？
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No.14953 - 2011/09/09(Fri) 00:32:25 |
| ☆ Re: 数学の質問です 浪人です / angel | | | ひとまず、(x+y-1)/(x-y)=(y+z-1)/(y-z)=(z+x-1)/(z-x) と解釈します。でないと、例えば (x+y)-(1/(x-y))=… だと解がないため。
また、x,y,zは複素数ですね。実数範囲だとこの条件を満たす組み合わせはありませんから。なお、前提として x≠y, y≠z, z≠x です。
※具体的には、x,y,z=1/2+α,1/2+αω,1/2+αω^2 ( αは0でない複素数、ωは1の三乗根 )
さて。こういう場合は、〜=〜=〜=k と置くのが良くあるお話で、そうすると ( 今回 k は複素数 )
x+y-1 = k(x-y)
y+z-1 = k(y-z)
z+x-1 = k(z-x)
で、辺々足すとうまい具合に k が消えて x+y+z=3/2 が求まる、と。ちなみにここで k≠0 も確かめておきましょう。ii で使いますので。
しかし、これだけでは i の答を求めるには不足です。もう一工夫。
例えば、一番上の式 x+y-1 = k(x-y) と x+y+z=3/2 から、
1/2-z = k(x-y)
と変形し、さらに辺々 (x+y) をかけます。すると、
1/2・(x+y) - (yz+zx) = k(x^2-y^2)
同じ変形を3通り分作って辺々足すと、今度は xy+yz+zx が分かるようになっています。
最後に、x^2+y^2+z^2 = (x+y+z)^2-2(xy+yz+zx) を計算して終わり。
ii に関しては計算が面倒ですが、こういうのは大抵、色々打ち消しあって 0 になるものです。
i の途中に出てきた 1/2-z = k(x-y) を使います。そうすると、例えば 1/(z-1/2)^2=1/(k^2(x-y)^2) です。( ここで k≠0 に触れておく )
後は通分して分子をひたすら計算する、と。
素直に通分すると、最高4次式になってしまい大変なので、うまく次数を下げましょう。例えば
(x-y)^2 = x^2+y^2-2xy = (x^2+y^2+z^2)-z^2-2xy
とすると、x^2+y^2+z^2 は数字に変わるので、文字が減ることになります。
もし文字式の計算が面倒であれば、x,y,z を求めてしまってから代入しても良いです。x+y+z, xy+yz+zx が分かっているので、xyz を適当な文字としておいてしまえば、解と係数の関係から、x,y,z を解とする3次方程式が割り出せます。
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No.14954 - 2011/09/09(Fri) 00:59:15 |
| ☆ Re: 数学の質問です 浪人です / ponta28 | | | No.14961 - 2011/09/09(Fri) 17:40:57 |
| ☆ 補足 / angel | | | iiですが、z-1/2=k(x-y) の変形をしない方が楽なようですね。考えから漏れていました。すいません。
具体的には次のような計算になります。
iを解いた時点で、x+y+z=3/2, xy+yz+zx=3/4, x^2+y^2+z^2=3/4 が分かっているという前提です。
まず、通分したらどうなるかを、分数の一つで見てみます。( 他は対称性から同じ形になるので、一つだけで楽をする )
1/(z-1/2)^2
= (x-1/2)^2(y-1/2)^2/( (x-1/2)^2(y-1/2)^2(z-1/2)^2 )
この分子は、
(x-1/2)^2(y-1/2)^2
=(x^2-x+1/4)(y^2-y+1/4)
=x^2y^2-(x^2y+xy^2)+xy+1/4・(x^2+y^2)-1/4・(x+y)+1/16
=x^2y^2-xy(x+y-1)+1/4・(x^2+y^2)-1/4・(x+y)+1/16
=x^2y^2-xy(1/2-z)+1/4・(x^2+y^2)-1/4・(x+y)+1/16 ※
=x^2y^2-1/2・xy+xyz+1/4・(x^2+y^2)-1/4・(x+y)+1/16
とまとめることができます。なるべく対称式を使えるようにまとめるのがコツ。なお、※の部分では x+y+z=3/2 より x+y-1=1/2-z を適用して次数を下げています。
では全体の計算を。
(与式)
= ( (x-1/2)^2(y-1/2)^2 + (y-1/2)^2(z-1/2)^2 + (z-1/2)^2(x-1/2)^2 )/( (x-1/2)^2(y-1/2)^2(z-1/2)^2 )
分母の部分は置いておいて、後は分子のみ計算します。
(分子)
= (x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)-1/2・(xy+yz+zx)+3xyz+1/2・(x^2+y^2+z^2)-1/2・(x+y+z)+3/16
= (xy+yz+zx)^2-2xyz(x+y+z)-1/2・(xy+yz+zx)+3xyz+1/2・(x^2+y^2+z^2)-1/2・(x+y+z)+3/16
= 9/16-3xyz-3/8+3xyz+3/8-3/4+3/16 = 0
値の定まっていない xyz が出てくるので不安になりますが、最終的には全部消えてめでたく 0 になります。
対称性を利用すると、全部わざわざ書かなくてもすむので楽です。
例えば +1/4・(x^2+y^2) の項であれば、3個の分数の分を足すと、
+1/4・(x^2+y^2)+1/4・(y^2+z^2)+1/4・(z^2+x^2)
= +1/2・(x^2+y^2+z^2)
という具合ですね。
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No.14962 - 2011/09/10(Sat) 09:44:31 |
| ☆ 別解 / angel | | | えっと、ii について、計算の楽な別解がありました。
まず、i の過程より x+y+z=3/2, xy+yz+zx=3/4 が分かっています。これより、
・(x-1/2)+(y-1/2)+(z-1/2)
= (x+y+z)-3/2
= 0
・(x-1/2)(y-1/2)+(y-1/2)(z-1/2)+(z-1/2)(x-1/2)
= (xy+yz+zx)-(x+y+z)+3/4
= 0
ということで、複素数 a を a=(x-1/2)(y-1/2)(z-1/2)≠0 と置くと、x-1/2,y-1/2,z-1/2 はsに関する3次方程式 s^3-a=0 の相異なる3解です。
では次に、α=1/(x-1/2), β=1/(y-1/2), γ=1/(z-1/2) について考えてみます。
こう置くことで、求める式は α^2+β^2+γ^2 と表すことができます。
そしてこれらは、上で挙げた3次方程式の解の逆数なので、tの方程式 1/t^3-a=0 の相異なる3解です。( t=1/s として s を消去 )
するとこちらも3次方程式であり、整理すると t^3-1/a=0 です。
よって、解と係数の関係により、
α+β+γ=0
αβ+βγ+γα=0
αβγ=1/a … 使わないけど一応
最終的に、
(与式) = α^2+β^2+γ^2 = (α+β+γ)^2-2(αβ+βγ+γα) = 0
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No.14969 - 2011/09/10(Sat) 23:15:59 |
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