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★ 確率漸化式　極限　感覚的に…？ / akasa
画像の問題で、設問の通りに解いたのですが、ある解説書には、
「（３）の答えは（1/2だと）予想はつくでしょう。」
と書いてありました。確かに、偶数回移動したらAかCにしか
いないので、1/2と予想できるとしていると思うのですが、もう少し詳しく解説お願いします。そんなに単純に考えていいものかどうかが分からないのです。
出発点はAで、時計回りと反時計回りの確率が違うのも気になりますし、
無限大回移動したときを考えると、AとCは対等としてよいのでしょうか？
No.15649 - 2011/11/05(Sat) 00:13:46
☆ Re: 確率漸化式　極限　感覚的に…？ / ヨッシー
イメージとしてはこんな感じでしょうか？
１リットルの１００％ジュースの入った容器Ａと
水１リットルの入った容器Ｃがあります。
１回の操作で、Ａ、Ｃからそれぞれ13/18リットルずつくみ出し、
それぞれ、別の容器に移します。
両者の濃さはだんだん近づいて行くでしょう。

一般に、a1＝0.5−α　(０＜α＜0.5) とすると、
　a2＝0.5＋2α^2
　a3＝0.5−4α^3
　a4＝0.5＋8α^4
で、証明は省略しますが、
　an＝0.5＋(-2α)^n/２
と表せ、　-1＜2α＜0 より　(-2α)^n→0　となり、
an は、1/2 に収束します。
No.15650 - 2011/11/05(Sat) 02:04:04
☆ Re: 確率漸化式　極限　感覚的に…？ / akasa
> イメージとしてはこんな感じでしょうか？
> １リットルの１００％ジュースの入った容器Ａと
> 水１リットルの入った容器Ｃがあります。
> １回の操作で、Ａ、Ｃからそれぞれ13/18リットルずつくみ出し、
> それぞれ、別の容器に移します。
> 両者の濃さはだんだん近づいて行くでしょう。

レスありがとうございます。
が、何を何と対応させてたとえているのかがわかりません。
13/18はA→Cに移動する確率orC→Aに移動する確率に対応して
いることは分かりました。
もう少し詳しい説明をお願いします。
No.15653 - 2011/11/05(Sat) 10:31:47
☆ Re: 確率漸化式　極限　感覚的に…？ / ヨッシー
容器Ａの濃度が、ＱがＡにいる確率(an)
容器Ｃの濃度が、ＱがＣにいる確率(1-an)
を表します。
　a[n+1]＝(5/18)an＋(13/18)(1-an)
なので、Ａの濃度がan の状態から、Ａの容器に5/18残し、
Ｃの容器から(13/18)持ってきて混ぜると、Ａの濃度が
a[n+1] になることに対応します。
No.15654 - 2011/11/05(Sat) 13:01:11
☆ Re: 確率漸化式　極限　感覚的に…？ / akasa
> 容器Ａの濃度が、ＱがＡにいる確率(an)
> 容器Ｃの濃度が、ＱがＣにいる確率(1-an)
> を表します。
> 　a[n+1]＝(5/18)an＋(13/18)(1-an)
> なので、Ａの濃度がan の状態から、Ａの容器に5/18残し、
> Ｃの容器から(13/18)持ってきて混ぜると、Ａの濃度が
> a[n+1] になることに対応します。

ここは理解しました。しかし、

> １回の操作で、Ａ、Ｃからそれぞれ13/18リットルずつくみ出し、
> それぞれ、別の容器に移します。

のところがまだ分かりません。１回の操作で、Ａ、Ｃからそれぞれ13/18リットルずつくみ出す
と考えられるのはなぜでしょうか？
A→CかC→Aの移動しか考えないのであれば納得できるのですが、
A→AやC→Cの移動は考えなくてもよいのでしょうか？
ここでつまづいてしまいました。
No.15655 - 2011/11/05(Sat) 14:14:04
☆ Re: 確率漸化式　極限　感覚的に…？ / ヨッシー
Ａの容器にある液体(濃度an)のうち
　13/18 はＣに移ります。Ａ→Ｃ
　5/18 は、Ａに残ります。　Ａ→Ａ
Ｃの容器にある液体(濃度1−an)のうち
　13/18 はＡに移ります。Ｃ→Ａ
　5/18 は、Ｃに残ります。　Ｃ→Ｃ
で、すべての移動を考慮しています。

　
No.15659 - 2011/11/05(Sat) 15:47:32
☆ Re: 確率漸化式　極限　感覚的に…？ / akasa
ありがとうございました。
No.15683 - 2011/11/06(Sun) 00:27:52
★ 受験問題で困っています / ポニオ
相違なるa,b,cがa^3-2a^2=b^3-2b^2=c^3-2c^2を満たしている。
（１）a+b+cの値を求めよ。
（２）ab+bc+caの値を求めよ。
解法が思いつきません。宜しくお願いします。
No.15647 - 2011/11/04(Fri) 21:40:25
☆ Re: 受験問題で困っています / ヨッシー
a^3-2a^2=b^3-2b^2=c^3-2c^2=k とおくと、
a,b,c は、三次方程式
　x^3-2x^2-k=0
の異なる３解となります。
解と係数の関係より
　a+b+c=2
　ab+bc+ca=0
であることが分かります。
No.15648 - 2011/11/04(Fri) 23:25:29
★ (No Subject) / イド
無限級数1-1/3+1/2-1/6+1/4-1/12+1/8-1/24...について
(1)第n部分和をS(n)とするとき、S(2n),S(2n-1)を求めよ
(2)lim[n→∞]S(2n),lim[n→∞]S(2n-1)を求めよ
(3)与えられた無限級数は収束することを示し、その和Sを求めよ

なんか値を出しても少しずれてしまいます
お願いします
No.15642 - 2011/11/04(Fri) 00:04:31
☆ Re: / X
(1)
問題の無限級数の第n項をa[n]とするとkを自然数として
a[2k]=-(1/3)(1/2)^(k-1)
a[2k-1]=(1/2)^(k-1)
∴S[2n]=Σ[k=1〜n]a[2k]+Σ[k=1〜n]a[2k-1]
=Σ[k=1〜n](2/3)(1/2)^(k-1)
=(1/3){1-(1/2)^n}
S[2n-1]=Σ[k=1〜n-1]a[2k]+Σ[k=1〜n]a[2k-1]
=Σ[k=1〜n-1](2/3)(1/2)^(k-1)+(1/2)^(n-1)
=(1/3){1-(1/2)^(n-1)}+(1/2)^(n-1)
=(1/3){1+(1/2)^(n-2)}

(2)
(1)の結果を使うと
lim[n→∞]S[2n]=1/3
lim[n→∞]S[2n-1]=1/3

(3)
(2)の結果から
lim[n→∞]S[2n]=lim[n→∞]S[2n-1]=1/3
∴S[n]は収束し
S=1/3
No.15645 - 2011/11/04(Fri) 04:19:01
★ 格子点 / イド
y=(3x-5)/(x-3)のグラフ上にある格子点をすべて求めよ

どう手をつけたらいいか分からないので
解説お願いします
No.15641 - 2011/11/03(Thu) 23:59:08
☆ Re: 格子点 / らすかる
変形すると y=3+4/(x-3) なので、yが整数となるためには（以下略
No.15643 - 2011/11/04(Fri) 00:05:24
★ (No Subject) / ペイ
　　　　　　　　　　　→
Ａ（−1，5）Ｂ（2，4）ｄ（1，−2）とします。次の直線の媒介変数表示を媒介をｔとして求め、またｔを消去した式で表してください。（１）Ａを通りｄベクトルに平行な直線
（２）2点Ａ，Ｂを通る直線　　の2問をおねがいします。
No.15639 - 2011/11/03(Thu) 21:36:28
☆ Re: / はにゃーん
原点をOとおきます。ベクトルは太字で表すことにします。

(1)Aを通りdに平行な直線は OA + tdと表せて
(x, y) = OA + tdとおきx = , y = の形で表してtを消去する。
答え2x + y = 3

(2)
問題自体は中学生レベルですね。
ベクトルで解くとすると
OA + tAB =OA + t(OB - OA)
あとは(1)と同様です。
答えx + 3y = 14
No.15644 - 2011/11/04(Fri) 03:47:56
★ ベクトル / ポパイ
3点Ａ（1，1）Ｂ（5，−1）Ｃ（−1＋√3，2＋2√3）を頂点とする△ＡＢＣの面積をベクトルを用いて求めてください。
No.15638 - 2011/11/03(Thu) 21:29:12
☆ Re: ベクトル / ヨッシー
ベクトルを、どう用いるかによりますが、例えばこんな感じで良いでしょうか？

ＡＢ＝(4, -2)
ＡＣ＝(-2+√3, 1+2√3) とおきます。
ベクトルの外積を応用して、
△ＡＢＣ＝(1/2)|4(1+2√3)+2(-2+√3)|＝5√3

また、|ＡＢ|＝2√5、|ＡＣ|＝2√5
∠ＢＡＣ＝θとすると、内積の公式より
　ＡＢ・ＡＣ＝4(-2+√3)-2(1+2√3)＝-10
　　＝|ＡＢ||ＡＣ|cosθ
より　cosθ＝-1/2　よって、 sinθ＝√3/2
△ＡＢＣ＝(1/2)|ＡＢ||ＡＣ|sinθ
　　＝5√3
No.15646 - 2011/11/04(Fri) 11:12:43
★ 数?T・Ａ　の確率の問題です / スタハノフ
こんばんは。
宜しくお願い致します。
『細野真宏の確率が本当によくわかる本』を使って
高校時代苦手だった数学の中でも
輪をかけて不得手だった確率の勉強をしています。

本書１７頁にある問題について数日間思考し
巻末の解答を繰り返し読んでも
どうしても分からない部分がありますので
お手すきの時にご解説を賜れば幸いです。

※なお（１）と（２）は答えが合っていたので
本当は記述が不要なのですが、分からない問題が
これらの設問の延長上にあるので書かせていただきます。

（１）
６個の赤い玉と５個の青い玉がある。
これらを横１列に並べる並べ方の総数は？

（２）
（１）の並べ方のうち、左右対称になるものの総数は？

以下の（３）が分からない問題になります。

（３）
（１）の並べ方のうち，ある並べ方を
１８０°回転させると他の並べ方に重なるとき，
それらは同じ並べ方であるとみなすことにする。
このとき，並べ方の総数は？

解答では、【考え方】として
ほとんどの場合はペアが存在する。
（○●○○●）と（●○○●○）
しかし、ペアが存在しないものもある。
（○●○●○のように左右対称なもの）

私が分からないのは、
「ある並べ方を１８０°回転させると
他の並べ方に重なるとき，
それらは同じ並べ方であるとみなす」のであれば
左右対称の並べ方も
これに含まれるのではないか？という点です。

左右が非対称のものは
１８０°回転させると２組ずつが同じものとなり、
左右対称のものは、同じものがもう一つできるだけ
というところまでは分かります。

ただ、左右対称のものが
「ペアが存在しないもの」と書いてあるのを読んでも
どうもよく理解できませんでした。

宜しくお願い致します。
No.15632 - 2011/11/02(Wed) 21:39:26
☆ Re: 数?T・Ａ　の確率の問題です / ヨッシー
例えば、●３個、○２個の場合、並べ方は
01.○○●●●
02.○●○●●
03.○●●○●
04.○●●●○
05.●○○●●
06.●○●○●
07.●○●●○
08.●●○○●
09.●●○●○
10.●●●○○
の10通りです。式で書くと、 5Ｃ2＝10 です。

このうち、対称なのは、04. と 06. の２つです。

ここで、180°回転すると、
01. と 10.
02. と 09.
03. と 07.
05. と 08.
は同じものと見なされます。
これをペアと呼ぶことにします。
04. は回転しても 04. のまま、
06. は回転しても 06. のままです。
よって、04. と 06. は、ペアはありません。
ペアとなっている４組の並べ方は、ペア同士は同じ並べ方とみなされるので、
４つの並び方があるだけです。
それに、04. 06. を加えて、６通りの並べ方があります。

ここまででわかったことは、
　(3) の答え＝(ペアのある並べ方)÷２＋(ペアのない並べ方)
　　　＝(ペアのある並べ方)÷２＋(対称な並べ方)
　　　＝((1)の答え−(2)の答え)÷２＋((2)の答え)
ということです。
No.15633 - 2011/11/02(Wed) 22:36:11
★ 円と放物線の接する条件 / rio
添付の説明の1から3の図は重解条件で捉えることができないという点が理解できません。3の場合は、yの式で考えると頂点部分と上方の交点部分の2つの解が出てくることになるので重解ではないと理解できますが、1と2は接点のみの重解のような気がします。
式を作って確認すると、例えば図2タイプで
y=x^2+2
X^2+(y-1)^2=1
だと、y=2,-1という解がでるが、y≧2という条件からy=2のみ
となりますが、なぜy=-1などという関係なさそうな解が出てくるのでしょうか。
No.15631 - 2011/11/02(Wed) 18:46:19
☆ Re: 円と放物線の接する条件 / angel
直線と放物線や、直線と円等の場合とは同じと考えないことです。
「直線と〜」の場合、導出した x ( or y ) の二次方程式が解を持つ場合、直線を表す x,y の関係から逆の y ( or x ) の解も自動的に導かれます。
しかし、今回は放物線と円という二次方程式同士です。
導出した y の二次方程式に解があっても、それに対応する x の解がないという状況があります。
なのでもともと、解の重解云々で接する・接しないを判断できないのです。

言い方を変えると、説明1〜3 を重解条件で捉えられないのではなく、たまたま説明4のケースだけが重解条件に合致する、と言えます。
No.15636 - 2011/11/03(Thu) 08:55:37
☆ Re: 円と放物線の接する条件 / rio
ありがとうございました。理解できました。
No.15640 - 2011/11/03(Thu) 22:40:31
★ 友人と作成した問題 / 小野光貴
こんにちは。

私は高校２年です。
友人と以下のような問題を作ったのですが、これは問題として成り立ってると言えるか教えてください。

●問題
A、B、Cの３つの店があり、どの店にもX、Y、Z、の３種類の商品が各１個当たり１円で売られている。
一度の買い物で買う種類は１種類でなければならない。
一度の買い物でどれか１種類を
１〜３個買うとその内０個、
４〜７個買うとその内１個、
８〜１１個買うとその内２個、
１２〜１５個買うとその内３個、
・・・・・・・・・・
だけ、それぞれの種類に対応したX△、Y△、Z△が含まれる。
それぞれの店では、買った直後に、一度だけその時買った数と同じだけ、その時買った種類の自分の物と、それとは別の種類の店の商品とを交換する権利を得られる。
この権利は、その次に買い物をした瞬間に無効になる。
ただし、手元にある△がついた商品は自分から店への交換に使えず、店から受け取る商品に含まれる△がついた商品の割合は買う時と同じとする。
５０円までお金を使えるとすると、最高で何個の△とついた商品が手に入るか求めよ。


幼稚な文章であり、推敲を怠ったため無駄な文が多いですが、よろしくお願いします。

不明瞭な部分があれば補足いたしますので、ご指摘ください。
No.15630 - 2011/11/02(Wed) 17:38:02
☆ Re: 友人と作成した問題 / 小野光貴
問題内容に、面倒な部分がございましたので、以下のように訂正いたします。

訂正の内容は、店を一つにし、商品を２つにしたということです。

『A、B、Cの３つの店』→『ある店』
『X、Y、Z、の３種類の商品』→『X、Y、の２種類の商品』
『１２〜１５個買うとその内３個、・・・・・・』
→『１２〜１５個買うとその内３個、・・・、４ｎ〜(４ｎ+３)個買うとその内ｎ個』
『種類に対応したX△、Y△、Z△』→『種類に対応したX△、Y△、』
『それぞれの店では』→『店では』

宜しくお願いします。
No.15635 - 2011/11/03(Thu) 03:43:25
★ 図形と方程式です / にゃ
?@ 2円x^2+y^2=16,x^2+y^2-6x+8y+16=0 がある。この2円の共通接線の長さを求めよ。

?A 2円C1:x^2+y^2=4とC2:(x-1)^2+(y-1)^2=1 の共通接線の方程式をすべて求めよ。

お願いします。共通接線分かりません…
No.15627 - 2011/11/01(Tue) 23:38:45
☆ Re: 図形と方程式です / ヨッシー
(1)
前者は中心(0,0)、半径４
後者は　(x-3)^2＋(y+4)^2＝9 と書けるので、
中心(3,-4)、半径３

中心の距離は５なので、下のような図が描けます。

ＢＣが共通接線の長さになるので、
　√(5^2−1^2)＝２√６

(2)前者は中心(0,0)、半径２
　後者は中心(1,1)、半径１
であるので、２円は、図のような関係にあり、
ｘ軸に平行な直線　ｙ＝２，
ｙ軸に平行な直線　ｘ＝２　が共通接線であることは
明らかです。

No.15628 - 2011/11/02(Wed) 00:03:27
☆ Re: 図形と方程式です / にゃ
どうもありがとうございました！
No.15637 - 2011/11/03(Thu) 17:34:48
★ (No Subject) / DIE
こんばんは。
どうぞよろしくお願いいたします。

方程式x+y+z+=28をみたす0以上の整数x,y,zの値の組は何通りあるか。
その中でzが７の倍数である場合の値の組は何通りあるか。

これは重複組み合わせでいけると思いますが、Z=0の場合も考慮するらしいのです。
０は７の倍数に含まれるのでしょうか・・・？
７からだと思えてならないのですが・・・

ずみませんが教えてください。
No.15626 - 2011/11/01(Tue) 23:12:03
☆ Re: / ヨッシー
０も７の倍数です。

最小公倍数と言った時、０は考慮しませんが、
中学の教科書をよく見ると、「０はすべての整数の倍数」と
したあとで、「以降の単元では、０は除いて考えます」のような
ことが書かれています。

この問題の場合は、わざわざ　「０以上の整数」とかいているので、
ｚ＝０を含むべきです。
No.15629 - 2011/11/02(Wed) 00:05:29
☆ Re: / DIE
わかりました。
どうもありがとうございます。
No.15634 - 2011/11/02(Wed) 22:52:45
★ (No Subject) / ぽよ

(3x+1)ﾍﾞｸﾄﾙa+2xﾍﾞｸﾄﾙbが
2ﾍﾞｸﾄﾙa+3ﾍﾞｸﾄﾙbと
平行なときのxの値は？
No.15623 - 2011/11/01(Tue) 20:12:14
☆ Re: / X
問題文は正確に記入してください。これだけでは条件が足りません。
No.15625 - 2011/11/01(Tue) 21:54:19
★ 小６の算数です / rio
ある学校で生徒全員を長いすに３人ずつ座らせると１０脚不足し、４人ずつ座らせると３脚余り、２人以上座っている長いすが１脚できます。
（１）長いすの数は何脚以上何脚以下ですか
（２）生徒の数が１５の倍数のとき、生徒は何人ですか。

（１）は４０脚以上４４脚以下という模範解答で納得なのですが、（２）の模範解答が
最少：３人ずつ座らせたとき２８人座れず、４人ずつ座らせたとき「2人以上座っているイス」に4人座っているときに148人
最多：3人ずつ座らせたとき30人座れず、4人ずつ座らせたとき「2人以上座っているイス」に2人座っているときに162人
なので148人〜162人の間の15の倍数は150人。よって150人。
となっています。150人はどう計算しても問題の条件のように座れない気がします。私の間違いなのか、問題の間違いなのか如何でしょうか。
No.15621 - 2011/11/01(Tue) 18:46:38
☆ Re: 小６の算数です / らすかる
問題の間違いですね。
40脚以上44脚以下で最小148人最大162人は正しいですが、
149人、150人、153人、160人は問題の条件に合いません。

それに問題の記述もいいかげんですね。
例えば148人が4人ずつ座ると37脚に4人ずつになりますが、
この状態は「２人以上座っている長いすが１脚できます」
に当てはまると思えません。2人以上座っている長いすは37脚です。
No.15622 - 2011/11/01(Tue) 19:04:21
☆ Re: 小６の算数です / rio
ありがとうございます。安心しました。
No.15624 - 2011/11/01(Tue) 20:33:31
★ (No Subject) / 桜
α=(3+√17)/2 のとき

(1) α^2=3α+｢ア｣

Ｐ=α^3-4α^2+2α+5=(｢イ｣+√｢ウエ｣)/｢オ｣ である。

(2)(1)のＰに対して，Ｐの少数部分をβ，整数部分をγとするとき
β=(｢カキ｣+√｢クケ｣)/｢コ｣
γ=｢サ｣ である。

(3)(2)のβ，γに対して
α^2+β^2+γ^2=｢シス｣
α^3+β^3+γ^3=｢セソタ｣+｢チツ｣√｢テト｣ である。


よろしくお願いします!
No.15619 - 2011/11/01(Tue) 09:44:37
☆ Re: / X
(1)
α=(3+√17)/2
より
2α-3=√17
(2α-3)^2=17
4α^2-12α-8=0
α^2-3α-2=0
∴α^2=3α+2
これを使っPの次数を落とすと
P=(3α+2)α-4(3α+2)+2α+5
=3α^2-8α-3=3(3α+4)-8α-3
=α+9=(21+√17)/2
(2)
(1)の結果から
(21+√16)/2＜P＜(21+√25)/2
∴25/2＜P＜13
∴γ=12,β=P-12=(-3+√17)/2
(3)
(2)の結果を使います。
計算の際に(1)の過程と同様にβ^2をβの一次式で表しておくと
計算が多少楽になります。
No.15620 - 2011/11/01(Tue) 12:12:44
★ (No Subject) / ふう(高3)
原点をOとするｘｙ平面上に,点A（0,2）を中心とする半径１の円C1と点B（4,0）を中心とする半径２の円C2がある.
点Pは円C1上を,点Qは円C2上をそれぞれ自由動くとする.
また、一般に2つのベクトルaベクトル、bベクトルに対して、
不等式 ｜|aベクトル|ー|bベクトル|｜≦|aベクトル+bベクトル|≦|aベクトル|+|bベクトル| が成り立つ。
この式を使い、｜1/2(APベクトル+BQベクトル)｜の値の範囲を求め、
ORベクトル=1/2(OPベクトル+OQベクトル)を満たすRの動く範囲を斜線を引いて図示せよ。

ベクトルは苦手なのでまったく分かりませんでした。
解答をよろしくお願いします。
答えは1/2以上3/2以下で、Rの範囲は、中心がともに(2、1)で半径が1/2、3/2の円で囲まれた領域となっていました。
No.15617 - 2011/11/01(Tue) 02:18:53
☆ Re: / X
なんだかいきなり使ってよい不等式が出てきますが
これは三角不等式といわれるものです。
(由来は三角形の辺の長さの比較です。)

前半)
|↑AP|,|↑BQ|がそれぞれC1,C2の半径であることを頭に入れて
条件として与えられる不等式を使うと…。

後半)
条件から
(1/2)(↑AP+↑BQ)=↑OR-(1/2)(↑OA+↑OB)
これを前半の結果に代入した結果の不等式の図形的な意味を
考えてみましょう。
((1/2)(↑OA+↑OB)が定ベクトルであることに注意すると…)
No.15618 - 2011/11/01(Tue) 05:24:51
★ 対数 / ゼロ（高２）
実数X、Yが（log2X）^2＋（log2Y）^2＝2（log2X^2＋log2Y^2）、X≧1、Y≧1を満たしながら変化するとき、log2XY^2のとりうる値の範囲を求めよ。

という問題が分かりません。ご回答よろしくお願いします。
No.15613 - 2011/10/30(Sun) 18:44:08
☆ Re: 対数 / X
log[2]X=x,log[2]Y=yと置くと問題は
x^2+y^2=2(2x+2y) (A)
0≦x (B)
0≦y (C)
のときに
x+2y
の取りうる値の範囲を求めることに帰着します。
そこで
x+2y=t (D)
と置き、(B)(C)の範囲で(A)(D)のグラフが交点を持つような
条件を考えます。
ちなみに(A)は
(x-2)^2+(y-2)^2=8
つまり点(2,2)を中心とする半径2√2の円になります。
(グラフを描いて考えましょう。)
No.15614 - 2011/10/30(Sun) 19:03:07
☆ Re: 対数 / X
こちらの計算では
log[2](XY^2)=0,8≦log[2](XY^2)≦6+2√10
となりました。
No.15616 - 2011/10/31(Mon) 00:10:59
★ (No Subject) / サーシャ
平面上にAB=AC ∠A=90°である直角三角形ABCがある、今この平面上で三角形ABCをAを中心に辺ABから辺ACに向かう方向に、角2θ (0°<θ<45°)だけ回転させたときにできる図形
をAB'C'とするただし、B'とC'は回転によってB 、Cが移動した点である、この時三角形ABCと三角形AB'C'が重なり合う部分の面積Sをtanθの式で表せ

共通面積が四角形になるのは分かるんですが
方針が立ちません。お願いします
No.15611 - 2011/10/30(Sun) 16:19:12
☆ Re: / angel
共通部分の四角形が線対称であることに気付くのが第一。
添付の図の△AFGが、ちょうど共通部分の半分になりますので、共通部分は逆に2倍、ということです。

では、△AFGをどうするか、ですが、ここは高さAMに対する底辺で考えると良いでしょう。つまりFGの長さですね。
こここそ、AM ( MはBCの中点 ) およびtanで表せる部分です。
実際には、MFとMGの2箇所に分けて考えることになりますが。
※共通部分が対称形であること、なかでも、∠FAG=1/2・∠CAG であることも利用します。

なお、注意点としては、GがMから見てB,Cどちらの側にあるかが、θの大きさによって変わってくる点です。
…ただし、どちらであっても最終的な答の式は同じになるはずです。
No.15615 - 2011/10/30(Sun) 19:13:05
★ 二次の関数 / うー

Y=2x-3に接するように
放物線Y=2x^2を平行移動したい。
Y軸方向だけに平行移動するときは
いくら平行移動すればよいか。
またX軸方向だけの場合はどうか。

Yに代入したら
Y=2(x-3/2)^2-5/2となって答えが違ったのですが、この考え方自体か違うのでしょうか?

No.15607 - 2011/10/30(Sun) 09:07:35
☆ Re: 二次の関数 / ヨッシー
Ｙに何を代入したのかわかりませんので、違っているかどうか
何とも言えません。

考え方は、Y=2x^2 のグラフが傾き２の直線と接するとき、
どの点で接するか(接点)を求め、その点から直線 Y-2x-3 まで
Ｙ軸方向にどれだけ、ｘ軸方向にどれだけ、と考えます。


No.15608 - 2011/10/30(Sun) 10:44:57
☆ Re: 二次の関数 / うー

ありがとうございます。

Yに2x^2を代入して
2x^2=2x-3にして
求めた結果のことです。

xだけ平行移動させる
とはどのような式から
求めることができますか。

Y=a(x+p)-q
で求めようとしていますが
できません。

No.15609 - 2011/10/30(Sun) 11:40:13
☆ Re: 二次の関数 / ヨッシー
問題を分けると、
1) y=2x^2 のグラフの接線で、傾きが２になるのは、どの点における接線ですか？
2) 1) で求めた点を、ｙ軸方向に移動して、y=2x-3 上まで移動させるとき、どれだけ移動させればいいですか？
3) 1) で求めた点を、ｘ軸方向に移動して、y=2x-3 上まで移動させるとき、どれだけ移動させればいいですか？

連立させるのは、両者の交点を求めるには有効ですが、
この問題では、交点は関係ありません。

先ほどの記事の、図は見えていますか？
No.15610 - 2011/10/30(Sun) 12:03:57
☆ Re: 二次の関数 / angel
アプローチは少なくとも2通りの方法でできます。

一つは、ヨッシーさんの No.15610 の説明によるもの。
傾き2の直線と、放物線y=2x^2とが接点を持つとしたら、それは必ず一点に決まります。( 1)の部分 )
しかしながら、y=2x-3 は傾き2の直線でありながら、y=2x^2 とは接点を持ちません。
では、放物線を移動することで、同時に接点の候補も移動させ、y=2x-3上に接点が来るようにしてみましょう、という考え方になります。

もう一つは、とにかく方程式に持ち込むもの。
問題として「いくら平行移動させれば良いか」と問われているのですから、「a 平行移動させる」と文字 a でまず置いてしまうのです。
y軸方向の移動の場合、
　y=2x^2 → (y-a)=2x^2
と移動されます。つまり、移動後は y=2x^2+a
では、放物線 y=2x^2+a と直線 y=2x-3 が接点を持つ、は?
それは習っているはずです。
　y=2x^2+a, y=2x-3 から y を消去した xの2次方程式
　2x^2+a=2x-3 が重解を持つ
ですね。後は判別式を調べて a の値を決定すれば終わりです。
なお、この2次方程式が意味するところは、「放物線と直線の共有点(もしあれば)のx座標の値を求める方程式」です。念のため。

どちらでももちろん結果は同じになります。できれば、どちらの話を出されても分かるようにしておくと良いでしょう。
No.15612 - 2011/10/30(Sun) 17:38:20
★ 高三 数学わかりません / 紫村
a,bは自然数とする。
(1/a)＋(1/b)<1/2が成立するならば(1/a)＋(1/b)≦10/21が成り立つことを示せ。

答には、2(1/a)<(1/a)＋(1/b)<1/2より1/a<1/2だからa>2・・・?@

また、a≦bと仮定すると1/a≧1/bであり、(1/a)＋(1/b)が取りうる最大の値は2だから
(1/a)＋(1/b)≦(1/a)＋(1/a)=2/a≦2
a≧1となり?@のaの条件と少し違うaの条件がでてしまったのですがこれはどっちが正しいのでしょうか？
また、a≦4はどうやってだせばいいんでしょうか？
ほんとにわかりません。だれかわかる方教えてください。お願いします。

No.15602 - 2011/10/27(Thu) 07:27:20
☆ Re: 高三 数学わかりません / ヨッシー
2(1/a)＜(1/a)＋(1/b)＜1/2 は、無条件には成り立ちません。
答を、一字一句もらさず書いていただけますか？

また、模範解答の部分と、紫村さんが考えた部分は、
区別して書いてください。

いきなり、a≦4 と言われても、それに至る式が示されないと
答えられません。
No.15603 - 2011/10/27(Thu) 11:50:05
☆ Re: 高三 数学わかりません / angel
幾つか具体例を挙げるほうが早いのでは…
取り敢えず、a≦b と置いて一般性を失いません。
また、2＜a も確定です。

そうすると、
　1. a=3, b≧7
　2. a=4, b≧5
　3. a≧5, b≧a
の3パターンがあります。
※bの範囲は、1/a+1/b＜1/2 の条件から調べるとそうなります。自身で確認してください。

なお、a=5,6,7,…と幾らでもパターンを増やせますが、ここでキリがいいので3パターンで止めておきます。
※なぜキリがいいかというと、1,2 では a=b はないけれど、3 では a=b が可能になるから。

ということで、これらのパターンを調べて 1/a+1/b≦10/21 を説明すればよいです。
No.15606 - 2011/10/28(Fri) 00:52:47
★ (No Subject) / のんちゃん
白球4個,赤球2個がはいっている袋がある。
（1）袋から1個取り出して元に戻す操作を繰り返す。2回繰り返したとき,２回とも赤球である確率を求めよ。
また、４回繰り返したとき２回赤球の出る確率を求めよ。
（2）（1）の操作を4回繰り返したとき,赤球の出る回数の期待値を求めよ。
（3）袋から３個同時に球を取り出すとき,白球が赤球より多く出る確率を求めよ。


全然わかりません！！！
どうかよろしくお願いします！！！！
No.15597 - 2011/10/27(Thu) 00:02:28
☆ Re: / ヨッシー
一回につき、白を取る確率 4/6＝2/3、赤を取る確率 2/6＝1/3。
(1)
２回とも赤：1/3×1/3＝1/9　・・・答１
赤赤白白の順に取り出す確率 1/3×1/3×2/3×2/3＝4/81
赤白赤白の順に取り出す確率 1/3×2/3×1/3×2/3＝4/81
同様に、赤白白赤、白赤赤白、白赤白赤、白白赤赤 の順に取り出す
確率がいずれも 4/81 なので、
合計 4/81×6＝8/27　・・・答２
(2)
赤玉０回の確率　2/3×2/3×2/3×2/3＝16/81
赤玉１回の確率　8/81×4Ｃ1＝32/81
赤玉２回の確率　4/81×4Ｃ2＝24/81
赤玉３回の確率　2/81×4Ｃ3＝8/81
赤玉４回の確率　1/81×4Ｃ4＝1/81
よって、求める期待値は
　0×16/81＋1×32/81＋2×24/81＋3×8/81＋4×1/81＝4/3　・・・答
４回取って 1/3 が赤だということなので、当然ですが、
厳密に計算するとこうなります。

(3)
球の取り方は 6Ｃ3＝20（通り）
白３個となる取り方　4Ｃ3＝4（通り）
白２個赤１個の取り方　4Ｃ2×2Ｃ1＝12（通り）
よって、求める確率は　16/20＝4/5
No.15600 - 2011/10/27(Thu) 06:27:41
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