ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 友人と作成した問題 / 小野光貴

こんにちは。

私は高校２年です。
友人と以下のような問題を作ったのですが、これは問題として成り立ってると言えるか教えてください。

●問題
A、B、Cの３つの店があり、どの店にもX、Y、Z、の３種類の商品が各１個当たり１円で売られている。
一度の買い物で買う種類は１種類でなければならない。
一度の買い物でどれか１種類を
１～３個買うとその内０個、
４～７個買うとその内１個、
８～１１個買うとその内２個、
１２～１５個買うとその内３個、
・・・・・・・・・・
だけ、それぞれの種類に対応したX△、Y△、Z△が含まれる。
それぞれの店では、買った直後に、一度だけその時買った数と同じだけ、その時買った種類の自分の物と、それとは別の種類の店の商品とを交換する権利を得られる。
この権利は、その次に買い物をした瞬間に無効になる。
ただし、手元にある△がついた商品は自分から店への交換に使えず、店から受け取る商品に含まれる△がついた商品の割合は買う時と同じとする。
５０円までお金を使えるとすると、最高で何個の△とついた商品が手に入るか求めよ。

幼稚な文章であり、推敲を怠ったため無駄な文が多いですが、よろしくお願いします。

不明瞭な部分があれば補足いたしますので、ご指摘ください。

No.15630 - 2011/11/02(Wed) 17:38:02

☆ Re: 友人と作成した問題 / 小野光貴

問題内容に、面倒な部分がございましたので、以下のように訂正いたします。

訂正の内容は、店を一つにし、商品を２つにしたということです。

『A、B、Cの３つの店』→『ある店』
『X、Y、Z、の３種類の商品』→『X、Y、の２種類の商品』
『１２～１５個買うとその内３個、・・・・・・』
→『１２～１５個買うとその内３個、・・・、４ｎ～(４ｎ+３)個買うとその内ｎ個』
『種類に対応したX△、Y△、Z△』→『種類に対応したX△、Y△、』
『それぞれの店では』→『店では』

宜しくお願いします。

No.15635 - 2011/11/03(Thu) 03:43:25

★ 図形と方程式です / にゃ

?@ 2円x^2+y^2=16,x^2+y^2-6x+8y+16=0 がある。この2円の共通接線の長さを求めよ。

?A 2円C1:x^2+y^2=4とC2:(x-1)^2+(y-1)^2=1 の共通接線の方程式をすべて求めよ。

お願いします。共通接線分かりません…

No.15627 - 2011/11/01(Tue) 23:38:45

☆ Re: 図形と方程式です / ヨッシー

(1)
前者は中心(0,0)、半径４
後者は　(x-3)^2＋(y+4)^2＝9 と書けるので、
中心(3,-4)、半径３

中心の距離は５なので、下のような図が描けます。

ＢＣが共通接線の長さになるので、
　√(5^2－1^2)＝２√６

(2)前者は中心(0,0)、半径２
　後者は中心(1,1)、半径１
であるので、２円は、図のような関係にあり、
ｘ軸に平行な直線　ｙ＝２，
ｙ軸に平行な直線　ｘ＝２　が共通接線であることは
明らかです。

No.15628 - 2011/11/02(Wed) 00:03:27

☆ Re: 図形と方程式です / にゃ

どうもありがとうございました！

No.15637 - 2011/11/03(Thu) 17:34:48

★ (No Subject) / DIE

こんばんは。
どうぞよろしくお願いいたします。

方程式x+y+z+=28をみたす0以上の整数x,y,zの値の組は何通りあるか。
その中でzが７の倍数である場合の値の組は何通りあるか。

これは重複組み合わせでいけると思いますが、Z=0の場合も考慮するらしいのです。
０は７の倍数に含まれるのでしょうか・・・？
７からだと思えてならないのですが・・・

ずみませんが教えてください。

No.15626 - 2011/11/01(Tue) 23:12:03

☆ Re: / ヨッシー

０も７の倍数です。

最小公倍数と言った時、０は考慮しませんが、
中学の教科書をよく見ると、「０はすべての整数の倍数」と
したあとで、「以降の単元では、０は除いて考えます」のような
ことが書かれています。

この問題の場合は、わざわざ　「０以上の整数」とかいているので、
ｚ＝０を含むべきです。

No.15629 - 2011/11/02(Wed) 00:05:29

☆ Re: / DIE

わかりました。
どうもありがとうございます。

No.15634 - 2011/11/02(Wed) 22:52:45

★ 小６の算数です / rio

ある学校で生徒全員を長いすに３人ずつ座らせると１０脚不足し、４人ずつ座らせると３脚余り、２人以上座っている長いすが１脚できます。
（１）長いすの数は何脚以上何脚以下ですか
（２）生徒の数が１５の倍数のとき、生徒は何人ですか。

（１）は４０脚以上４４脚以下という模範解答で納得なのですが、（２）の模範解答が
最少：３人ずつ座らせたとき２８人座れず、４人ずつ座らせたとき「2人以上座っているイス」に4人座っているときに148人
最多：3人ずつ座らせたとき30人座れず、4人ずつ座らせたとき「2人以上座っているイス」に2人座っているときに162人
なので148人～162人の間の15の倍数は150人。よって150人。
となっています。150人はどう計算しても問題の条件のように座れない気がします。私の間違いなのか、問題の間違いなのか如何でしょうか。

No.15621 - 2011/11/01(Tue) 18:46:38

☆ Re: 小６の算数です / らすかる

問題の間違いですね。
40脚以上44脚以下で最小148人最大162人は正しいですが、
149人、150人、153人、160人は問題の条件に合いません。

それに問題の記述もいいかげんですね。
例えば148人が4人ずつ座ると37脚に4人ずつになりますが、
この状態は「２人以上座っている長いすが１脚できます」
に当てはまると思えません。2人以上座っている長いすは37脚です。

No.15622 - 2011/11/01(Tue) 19:04:21

☆ Re: 小６の算数です / rio

ありがとうございます。安心しました。

No.15624 - 2011/11/01(Tue) 20:33:31

★ (No Subject) / 桜

α=(3+√17)/2 のとき

(1) α^2=3α+｢ア｣

Ｐ=α^3-4α^2+2α+5=(｢イ｣+√｢ウエ｣)/｢オ｣である。

(2)(1)のＰに対して，Ｐの少数部分をβ，整数部分をγとするとき
β=(｢カキ｣+√｢クケ｣)/｢コ｣
γ=｢サ｣である。

(3)(2)のβ，γに対して
α^2+β^2+γ^2=｢シス｣
α^3+β^3+γ^3=｢セソタ｣+｢チツ｣√｢テト｣である。

よろしくお願いします!

No.15619 - 2011/11/01(Tue) 09:44:37

☆ Re: / X

(1)
α=(3+√17)/2
より
2α-3=√17
(2α-3)^2=17
4α^2-12α-8=0
α^2-3α-2=0
∴α^2=3α+2
これを使っPの次数を落とすと
P=(3α+2)α-4(3α+2)+2α+5
=3α^2-8α-3=3(3α+4)-8α-3
=α+9=(21+√17)/2
(2)
(1)の結果から
(21+√16)/2＜P＜(21+√25)/2
∴25/2＜P＜13
∴γ=12,β=P-12=(-3+√17)/2
(3)
(2)の結果を使います。
計算の際に(1)の過程と同様にβ^2をβの一次式で表しておくと
計算が多少楽になります。

No.15620 - 2011/11/01(Tue) 12:12:44

★ (No Subject) / ふう(高3)

No.15617 - 2011/11/01(Tue) 02:18:53

☆ Re: / X

なんだかいきなり使ってよい不等式が出てきますが
これは三角不等式といわれるものです。
(由来は三角形の辺の長さの比較です。)

前半)
|↑AP|,|↑BQ|がそれぞれC1,C2の半径であることを頭に入れて
条件として与えられる不等式を使うと…。

後半)
条件から
(1/2)(↑AP+↑BQ)=↑OR-(1/2)(↑OA+↑OB)
これを前半の結果に代入した結果の不等式の図形的な意味を
考えてみましょう。
((1/2)(↑OA+↑OB)が定ベクトルであることに注意すると…)

No.15618 - 2011/11/01(Tue) 05:24:51

★ 対数 / ゼロ（高２）

実数X、Yが（log2X）^2＋（log2Y）^2＝2（log2X^2＋log2Y^2）、X≧1、Y≧1を満たしながら変化するとき、log2XY^2のとりうる値の範囲を求めよ。

という問題が分かりません。ご回答よろしくお願いします。

No.15613 - 2011/10/30(Sun) 18:44:08

☆ Re: 対数 / X

log[2]X=x,log[2]Y=yと置くと問題は
x^2+y^2=2(2x+2y) (A)
0≦x (B)
0≦y (C)
のときに
x+2y
の取りうる値の範囲を求めることに帰着します。
そこで
x+2y=t (D)
と置き、(B)(C)の範囲で(A)(D)のグラフが交点を持つような
条件を考えます。
ちなみに(A)は
(x-2)^2+(y-2)^2=8
つまり点(2,2)を中心とする半径2√2の円になります。
(グラフを描いて考えましょう。)

No.15614 - 2011/10/30(Sun) 19:03:07

☆ Re: 対数 / X

こちらの計算では
log[2](XY^2)=0,8≦log[2](XY^2)≦6+2√10
となりました。

No.15616 - 2011/10/31(Mon) 00:10:59

★ (No Subject) / サーシャ

平面上にAB=AC ∠A=90°である直角三角形ABCがある、今この平面上で三角形ABCをAを中心に辺ABから辺ACに向かう方向に、角2θ (0°<θ<45°)だけ回転させたときにできる図形
をAB'C'とするただし、B'とC'は回転によってB 、Cが移動した点である、この時三角形ABCと三角形AB'C'が重なり合う部分の面積Sをtanθの式で表せ

共通面積が四角形になるのは分かるんですが
方針が立ちません。お願いします

No.15611 - 2011/10/30(Sun) 16:19:12

☆ Re: / angel

共通部分の四角形が線対称であることに気付くのが第一。
添付の図の△AFGが、ちょうど共通部分の半分になりますので、共通部分は逆に2倍、ということです。

では、△AFGをどうするか、ですが、ここは高さAMに対する底辺で考えると良いでしょう。つまりFGの長さですね。
こここそ、AM ( MはBCの中点 ) およびtanで表せる部分です。
実際には、MFとMGの2箇所に分けて考えることになりますが。
※共通部分が対称形であること、なかでも、∠FAG=1/2・∠CAG であることも利用します。

なお、注意点としては、GがMから見てB,Cどちらの側にあるかが、θの大きさによって変わってくる点です。
…ただし、どちらであっても最終的な答の式は同じになるはずです。

No.15615 - 2011/10/30(Sun) 19:13:05

★ 二次の関数 / うー

Y=2x-3に接するように
放物線Y=2x^2を平行移動したい。
Y軸方向だけに平行移動するときは
いくら平行移動すればよいか。
またX軸方向だけの場合はどうか。

Yに代入したら
Y=2(x-3/2)^2-5/2となって答えが違ったのですが、この考え方自体か違うのでしょうか?

No.15607 - 2011/10/30(Sun) 09:07:35

☆ Re: 二次の関数 / ヨッシー

Ｙに何を代入したのかわかりませんので、違っているかどうか
何とも言えません。

考え方は、Y=2x^2 のグラフが傾き２の直線と接するとき、
どの点で接するか(接点)を求め、その点から直線 Y-2x-3 まで
Ｙ軸方向にどれだけ、ｘ軸方向にどれだけ、と考えます。

No.15608 - 2011/10/30(Sun) 10:44:57

☆ Re: 二次の関数 / うー

ありがとうございます。

Yに2x^2を代入して
2x^2=2x-3にして
求めた結果のことです。

xだけ平行移動させる
とはどのような式から
求めることができますか。

Y=a(x+p)-q
で求めようとしていますが
できません。

No.15609 - 2011/10/30(Sun) 11:40:13

☆ Re: 二次の関数 / ヨッシー

問題を分けると、
1) y=2x^2 のグラフの接線で、傾きが２になるのは、どの点における接線ですか？
2) 1) で求めた点を、ｙ軸方向に移動して、y=2x-3 上まで移動させるとき、どれだけ移動させればいいですか？
3) 1) で求めた点を、ｘ軸方向に移動して、y=2x-3 上まで移動させるとき、どれだけ移動させればいいですか？

連立させるのは、両者の交点を求めるには有効ですが、
この問題では、交点は関係ありません。

先ほどの記事の、図は見えていますか？

No.15610 - 2011/10/30(Sun) 12:03:57

☆ Re: 二次の関数 / angel

アプローチは少なくとも2通りの方法でできます。

一つは、ヨッシーさんの No.15610 の説明によるもの。
傾き2の直線と、放物線y=2x^2とが接点を持つとしたら、それは必ず一点に決まります。( 1)の部分 )
しかしながら、y=2x-3 は傾き2の直線でありながら、y=2x^2 とは接点を持ちません。
では、放物線を移動することで、同時に接点の候補も移動させ、y=2x-3上に接点が来るようにしてみましょう、という考え方になります。

もう一つは、とにかく方程式に持ち込むもの。
問題として「いくら平行移動させれば良いか」と問われているのですから、「a 平行移動させる」と文字 a でまず置いてしまうのです。
y軸方向の移動の場合、
　y=2x^2 → (y-a)=2x^2
と移動されます。つまり、移動後は y=2x^2+a
では、放物線 y=2x^2+a と直線 y=2x-3 が接点を持つ、は?
それは習っているはずです。
　y=2x^2+a, y=2x-3 から y を消去した xの2次方程式
　2x^2+a=2x-3 が重解を持つ
ですね。後は判別式を調べて a の値を決定すれば終わりです。
なお、この2次方程式が意味するところは、「放物線と直線の共有点(もしあれば)のx座標の値を求める方程式」です。念のため。

どちらでももちろん結果は同じになります。できれば、どちらの話を出されても分かるようにしておくと良いでしょう。

No.15612 - 2011/10/30(Sun) 17:38:20

★ 高三数学わかりません / 紫村

a,bは自然数とする。
(1/a)＋(1/b)<1/2が成立するならば(1/a)＋(1/b)≦10/21が成り立つことを示せ。

答には、2(1/a)<(1/a)＋(1/b)<1/2より1/a<1/2だからa>2・・・?@

また、a≦bと仮定すると1/a≧1/bであり、(1/a)＋(1/b)が取りうる最大の値は2だから
(1/a)＋(1/b)≦(1/a)＋(1/a)=2/a≦2
a≧1となり?@のaの条件と少し違うaの条件がでてしまったのですがこれはどっちが正しいのでしょうか？
また、a≦4はどうやってだせばいいんでしょうか？
ほんとにわかりません。だれかわかる方教えてください。お願いします。

No.15602 - 2011/10/27(Thu) 07:27:20

☆ Re: 高三数学わかりません / ヨッシー

2(1/a)＜(1/a)＋(1/b)＜1/2 は、無条件には成り立ちません。
答を、一字一句もらさず書いていただけますか？

また、模範解答の部分と、紫村さんが考えた部分は、
区別して書いてください。

いきなり、a≦4 と言われても、それに至る式が示されないと
答えられません。

No.15603 - 2011/10/27(Thu) 11:50:05

☆ Re: 高三数学わかりません / angel

幾つか具体例を挙げるほうが早いのでは…
取り敢えず、a≦b と置いて一般性を失いません。
また、2＜a も確定です。

そうすると、
　1. a=3, b≧7
　2. a=4, b≧5
　3. a≧5, b≧a
の3パターンがあります。
※bの範囲は、1/a+1/b＜1/2 の条件から調べるとそうなります。自身で確認してください。

なお、a=5,6,7,…と幾らでもパターンを増やせますが、ここでキリがいいので3パターンで止めておきます。
※なぜキリがいいかというと、1,2 では a=b はないけれど、3 では a=b が可能になるから。

ということで、これらのパターンを調べて 1/a+1/b≦10/21 を説明すればよいです。

No.15606 - 2011/10/28(Fri) 00:52:47

★ (No Subject) / のんちゃん

白球4個,赤球2個がはいっている袋がある。
（1）袋から1個取り出して元に戻す操作を繰り返す。2回繰り返したとき,２回とも赤球である確率を求めよ。
また、４回繰り返したとき２回赤球の出る確率を求めよ。
（2）（1）の操作を4回繰り返したとき,赤球の出る回数の期待値を求めよ。
（3）袋から３個同時に球を取り出すとき,白球が赤球より多く出る確率を求めよ。

全然わかりません！！！
どうかよろしくお願いします！！！！

No.15597 - 2011/10/27(Thu) 00:02:28

☆ Re: / ヨッシー

一回につき、白を取る確率 4/6＝2/3、赤を取る確率 2/6＝1/3。
(1)
２回とも赤：1/3×1/3＝1/9　・・・答１
赤赤白白の順に取り出す確率 1/3×1/3×2/3×2/3＝4/81
赤白赤白の順に取り出す確率 1/3×2/3×1/3×2/3＝4/81
同様に、赤白白赤、白赤赤白、白赤白赤、白白赤赤の順に取り出す
確率がいずれも 4/81 なので、
合計 4/81×6＝8/27　・・・答２
(2)
赤玉０回の確率　2/3×2/3×2/3×2/3＝16/81
赤玉１回の確率　8/81×4Ｃ1＝32/81
赤玉２回の確率　4/81×4Ｃ2＝24/81
赤玉３回の確率　2/81×4Ｃ3＝8/81
赤玉４回の確率　1/81×4Ｃ4＝1/81
よって、求める期待値は
　0×16/81＋1×32/81＋2×24/81＋3×8/81＋4×1/81＝4/3　・・・答
４回取って 1/3 が赤だということなので、当然ですが、
厳密に計算するとこうなります。

(3)
球の取り方は 6Ｃ3＝20（通り）
白３個となる取り方　4Ｃ3＝4（通り）
白２個赤１個の取り方　4Ｃ2×2Ｃ1＝12（通り）
よって、求める確率は　16/20＝4/5

No.15600 - 2011/10/27(Thu) 06:27:41

★ (No Subject) / ponchan

さいころを３回投げて,出た目の数のうち,１番小さい値をXとするとき,次の問いに答えよ。

（1）X=6である確率を求めよ。
（2）X=1である確率を求めよ。
（3）Xの期待値を求めよ。

お願いします！！！

No.15596 - 2011/10/26(Wed) 23:54:11

☆ Re: / ヨッシー

目の出方は6×6×6＝216（通り）
X=6 となる出方は(6,6,6) の１通り
X=5 となる出方は５と６だけが出る２×２×２＝８（通り）から
　X=6 の場合の１通りを引いた　７通り。
X=4　となる出方は　４，５，６だけが出る　３×３×３＝２７（通り）から
　X=5,6 の８通りを引いた　１９通り
X=3 となるのは　4^3－3^3＝37通り
X=2 となるのは　5^3－4^3＝61通り
X=1 となるのは　6^3－5^3＝91通り
以上より
(1) 1/216
(2) 91/216
(3) (6×1＋5×7＋4×19＋3×37＋2×61＋1×91)/216＝49/24

No.15601 - 2011/10/27(Thu) 06:40:20

★ 急きょです　涙 / ゆうと

●２０本のくじの中に、５００円の当たりくじが１本、２００円の当たりくじが３本ある。このくじを一本引く時、当たる金額の期待値を求めよ。

●赤だま２個と白だま３個が入ってる袋の中から同時に３個のたまを取り出すとき、その中に含まれている白だまの個数の期待値を求めよ。

●１個のさいころを投げ、出た目と同じ枚数だけ１０００円を受け取ることを決めたゲームがあり、参加料は３０００円である。このゲームに参加することは得か損か。

No.15594 - 2011/10/26(Wed) 22:30:41

☆ Re: 急きょです　涙 / ヨッシー

●500,200,200,200,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0 の20個の数の
平均が期待値です。

●白玉３個、赤玉０個を取る確率を答えてください。
　白玉２個、赤玉１個を取る確率を答えてください。
　白玉１個、赤玉２個を取る確率を答えてください。
　白玉０個、赤玉３個を取る確率を答えてください。
まず、ここから始めないと、期待値を求めるのはほど遠いです。

●
何を以って、損か得かというのが不明ですが、多分、期待値でしょう。
最初の●と同じ考え方です。
それが、3000より多ければ得。少なければ損、ということでしょう。

No.15604 - 2011/10/27(Thu) 14:01:07

★ (No Subject) / 桜

2つのさいころを同時に投げるとき，2つとも偶数の目が出る事象をAとする。
この試行を4回繰り返すとき，次の確率を求めよ。

(1)4回目に初めて事象Aが起こる確率。
(2)事象Aが3回以上起こる確率。
(3)4回目の試行で，事象Aが起こるのが，ちょうど3回目となる確率。

よろしくお願いします!

No.15591 - 2011/10/26(Wed) 12:24:53

☆ Re: / to

2つのさいころを同時に投げるとき，
　2つとも偶数の目が出る事象をAとする…(1/4)
　A以外の事象をDとする…(3/4)

(1)4回目に初めて事象Aが起こる確率。
　　D,D,D,A…{(3/4)^3}＊{1/4}

(2)事象Aが3回以上起こる確率
　?@事象Aが0回起こる確率…(4Ｃ0){(1/4)^0}{(3/4)^4}＝81/256
　?A事象Aが1回起こる確率…(4Ｃ1){(1/4)^1}{(3/4)^3}＝108/256
　?B事象Aが2回起こる確率…(4Ｃ2){(1/4)^2}{(3/4)^2}＝54/256
　?C事象Aが3回起こる確率…(4Ｃ3){(1/4)^3}{(3/4)^1}＝12/256
　?D事象Aが4回起こる確率…(4Ｃ4){(1/4)^4}{(3/4)^0}＝1/256
　　よって、?C＋?Dで、13/256

(3)4回目の試行で，事象Aが起こるのが，ちょうど3回目となる確率
　{A,A,D,A},{A,D,A,A},{D,A,A,A}…3回のうち2回Aで、4回目はA
　　{(3Ｃ2){(1/4)^2}{3/4)^1}＊(1/4)＝9/256
　または、
　　(2)?Cから、最後がAであるものを除き、(12/256)＊(3/4)＝9/256

No.15592 - 2011/10/26(Wed) 16:02:10

★ (No Subject) / の

(log2Ｘ)^2－log2Ｘ^4＋３＝０

の回答を教えてください。
()の二乗とそうではないものの違いが分かりません。

No.15587 - 2011/10/25(Tue) 08:26:37

☆ Re: / X

問題の方程式の第一項の真数条件より
x＞0
となることに注意すると
t=log[2]x
と置くことにより問題の方程式は
t^2-4t+3=0
これより
t=1,3
tを元に戻して
x=2^1,2^3
∴x=2,8

No.15588 - 2011/10/25(Tue) 09:59:31

☆ Re: / はにゃーん

log(x^a)=alogx
という性質があります。

基本的な性質は抑えておきましょう。
http://p.tl/ZOAt
http://p.tl/_Fhf

No.15589 - 2011/10/25(Tue) 14:25:56

☆ Re: (No Subject) / ×

なるほど、ということは
log2Ｘ^4の4は前に来て
4log2Ｘになるのですね
ありがとうございます。

No.15595 - 2011/10/26(Wed) 23:14:30

★ 球の中心の軌跡 / サーシャ

半径1の平面z=0と直線x-z=y=0に同時に接し動くとき、その球の中心(a,b,c)はどのような図形を描くか。a,b,cの満たす関係式を求めよ。但し、球はz>=0にあるものとする

なんとなくのイメージはできるけど、式が立てられません
よろしくお願いします

No.15585 - 2011/10/25(Tue) 00:40:55

☆ Re: 球の中心の軌跡 / ヨッシー

半径１の球が、平面ｚ＝０と・・・
でしょうか？

中心は、(a,b,1) と書けます。
直線の方向ベクトルは、(1,0,1) であり、点(a,b,1) を通り、
(1,0,1) に垂直な平面の式は
　(x-a)+(z-1)=0
　x+z-a-1=0
となります。この平面と、直線x-z=y=0との交点は、x=z を代入すると、
　2z=a+1
より、
　((a+1)/2, 0, (a+1)/2)
となります。これと、(a,b,1) の距離が１となるので、
　(1-a)^2/4 ＋ b^2 ＋ (a-1)^2/4 ＝ 1^2
　a^2/2 －a＋ b^2 ＝1/2
よって、中心の描く図形は
　a^2 － 2a ＋ 2b^2 ＝ 1　, c=1
という、平面ｚ＝１上の楕円となります。

No.15586 - 2011/10/25(Tue) 06:24:11

☆ Re: 球の中心の軌跡 / サーシャ

なるほど、方向ベクトルを使うことで
文字を使わなくて済むんですか

分かりやすい説明ありがとうございます！！

No.15599 - 2011/10/27(Thu) 00:07:23

★ 不等式の証明です / サーシャ

a,b,cは実数で,a>=0,b>=0,c>=0とする
P(x)=ax^2+bx+c , Q(x)=cx^2+bx+a
とおく。-1<=x<=1を満たすすべてのxに対して|P(x)|<=1が成り立つとき、-1<=x<=1を満たすすべてのxに対して|Q(x)|<=1が成り立つことを示せ

さっぱりです。成り立つことは普通に分かるんですが..
お願いします

No.15584 - 2011/10/25(Tue) 00:32:18

☆ Re: 不等式の証明です / ヨッシー

何が言えれば、証明したことになるかというと、
まずは、
　-1≦Q(-1)≦1 と -1≦Q(1)≦1
これは、
　-1≦P(-1)≦1 と -1≦P(1)≦1
から明らかで、c=0 の時は、これだけで十分です。

ｃ＞０のとき
　軸　ｘ＝-b/2c が、　-1≦-b/2c≦1 にあるとき、
　頂点のｙ座標　(4ac-b^2)/4c　が　-1≦(4ac-b^2)/4c
であることが言えれば、ｃ＞０のときもＯＫです。
　-1≦(4ac-b^2)/4c
は
　4c+4ac-b^2≧0
と書けます。-1≦-b/2c≦1　より　-2c≦b≦2c なので、
　4c+4ac-b^2≧4c+4ac-(2c)^2
　　＝4c(1+a-c)
　　≧4c(1-a-c)
-1≦a+b+c≦1 より　1-a-c≧b≧0
よって　4c(1-a-c)≧0
となり、　-1≦(4ac-b^2)/4c　が言えます。

No.15590 - 2011/10/26(Wed) 05:53:24

☆ 別解 / angel

とりあえず a,b,c の値に関わらず
　P(-1)=Q(-1)=a-b+c
　P(1)=Q(1)=a+b+c
で、ここに a,b,c≧0 の条件と「-1≦x≦1を満たすすべてのxに対して|P(x)|≦1」の条件が成立しているものとします。
そうすると、
　Q(-1)≦Q(1)=a+b+c≦1
で、c≧0 ということはy=Q(x)のグラフは下に凸な放物線 ( c＞0 )、もしくは直線 ( c=0 ) ですから、
　-1≦x≦1 を満たす全ての x に対して Q(x)≦Q(1)≦1
が成立します。

後は Q(x)≧-1 を別口で示します。
　b≧0 ですから x≧-1 においては bx≧-b
　a+b+c≦1 でしたから b≦1 ここより -b≧-1
　以上2条件より bx≧-1
　Q(x)=cx^2+bx+a≧cx^2+a-1≧-1 ( ∵cx^2≧0, a≧0, -b≧-1 )
ということで、-1≦Q(x)≦1 ⇔|Q(x)|≦1 です。

…正直いうと、この問題は自分の力でどういう切り口で考えていくかが重要なので、解答例を見ても割りとどうしようもない気がします。

No.15593 - 2011/10/26(Wed) 22:21:15

☆ Re: 不等式の証明です / サーシャ

解答してくださった方、ありがとうございます！
一応僕も三角不等式を使ってみたんですけど、
合ってるかお願いします

-1≦x≦1で|P(x)|≦1よりP(x)≦1
|Q(x)|=|cx^2+bx+a|
≦|cx^2|+|bx|+|a|
=c|x^2|+b|x|+a (a>=0,b>=0,c>=0より)
≦c×1^2+b×1+a (-1≦x≦1より)
=P(1)≦1

No.15598 - 2011/10/27(Thu) 00:05:45

☆ Re: 不等式の証明です / ヨッシー

良いと思います。

No.15605 - 2011/10/27(Thu) 22:00:25