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★ (No Subject) / ponchan
さいころを３回投げて,出た目の数のうち,１番小さい値をXとするとき,次の問いに答えよ。

（1）X=6である確率を求めよ。
（2）X=1である確率を求めよ。
（3）Xの期待値を求めよ。

お願いします！！！
No.15596 - 2011/10/26(Wed) 23:54:11
☆ Re: / ヨッシー
目の出方は6×6×6＝216（通り）
X=6 となる出方は(6,6,6) の１通り
X=5 となる出方は ５と６ だけが出る ２×２×２＝８（通り）から
　X=6 の場合の１通りを引いた　７通り。
X=4　となる出方は　４，５，６だけが出る　３×３×３＝２７（通り）から
　X=5,6 の８通りを引いた　１９通り
X=3 となるのは　4^3−3^3＝37通り
X=2 となるのは　5^3−4^3＝61通り
X=1 となるのは　6^3−5^3＝91通り
以上より
(1) 1/216
(2) 91/216
(3) (6×1＋5×7＋4×19＋3×37＋2×61＋1×91)/216＝49/24
No.15601 - 2011/10/27(Thu) 06:40:20
★ 急きょです　涙 / ゆうと
●２０本のくじの中に、５００円の当たりくじが１本、２００円の当たりくじが３本ある。このくじを一本引く時、当たる金額の期待値を求めよ。

●赤だま２個と白だま３個が入ってる袋の中から同時に３個のたまを取り出すとき、その中に含まれている白だまの個数の期待値を求めよ。

●１個のさいころを投げ、出た目と同じ枚数だけ１０００円を受け取ることを決めたゲームがあり、参加料は３０００円である。このゲームに参加することは得か損か。
No.15594 - 2011/10/26(Wed) 22:30:41
☆ Re: 急きょです　涙 / ヨッシー
●500,200,200,200,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0 の20個の数の
平均が期待値です。

●白玉３個、赤玉０個を取る確率を答えてください。
　白玉２個、赤玉１個を取る確率を答えてください。
　白玉１個、赤玉２個を取る確率を答えてください。
　白玉０個、赤玉３個を取る確率を答えてください。
まず、ここから始めないと、期待値を求めるのはほど遠いです。

●
何を以って、損か得かというのが不明ですが、多分、期待値でしょう。
最初の●と同じ考え方です。
それが、3000より多ければ得。少なければ損、ということでしょう。
No.15604 - 2011/10/27(Thu) 14:01:07
★ (No Subject) / 桜
2つのさいころを同時に投げるとき，2つとも偶数の目が出る事象をAとする。
この試行を4回繰り返すとき，次の確率を求めよ。

(1)4回目に初めて事象Aが起こる確率。
(2)事象Aが3回以上起こる確率。
(3)4回目の試行で，事象Aが起こるのが，ちょうど3回目となる確率。


よろしくお願いします!
No.15591 - 2011/10/26(Wed) 12:24:53
☆ Re: / to
2つのさいころを同時に投げるとき，
　2つとも偶数の目が出る事象をAとする…(1/4)
　A以外の事象をDとする…(3/4)

(1)4回目に初めて事象Aが起こる確率。
　　D,D,D,A…{(3/4)^3}＊{1/4}

(2)事象Aが3回以上起こる確率
　?@事象Aが0回起こる確率…(4Ｃ0){(1/4)^0}{(3/4)^4}＝81/256
　?A事象Aが1回起こる確率…(4Ｃ1){(1/4)^1}{(3/4)^3}＝108/256
　?B事象Aが2回起こる確率…(4Ｃ2){(1/4)^2}{(3/4)^2}＝54/256
　?C事象Aが3回起こる確率…(4Ｃ3){(1/4)^3}{(3/4)^1}＝12/256
　?D事象Aが4回起こる確率…(4Ｃ4){(1/4)^4}{(3/4)^0}＝1/256
　　よって、?C＋?Dで、13/256

(3)4回目の試行で，事象Aが起こるのが，ちょうど3回目となる確率
　{A,A,D,A},{A,D,A,A},{D,A,A,A}…3回のうち2回Aで、4回目はA
　　{(3Ｃ2){(1/4)^2}{3/4)^1}＊(1/4)＝9/256
　または、
　　(2)?Cから、最後がAであるものを除き、(12/256)＊(3/4)＝9/256
No.15592 - 2011/10/26(Wed) 16:02:10
★ (No Subject) / の
(log2Ｘ)^2−log2Ｘ^4＋３＝０

の回答を教えてください。
()の二乗とそうではないものの違いが分かりません。
No.15587 - 2011/10/25(Tue) 08:26:37
☆ Re: / X
問題の方程式の第一項の真数条件より
x＞0
となることに注意すると
t=log[2]x
と置くことにより問題の方程式は
t^2-4t+3=0
これより
t=1,3
tを元に戻して
x=2^1,2^3
∴x=2,8
No.15588 - 2011/10/25(Tue) 09:59:31
☆ Re: / はにゃーん
log(x^a)=alogx
という性質があります。

基本的な性質は抑えておきましょう。
http://p.tl/ZOAt
http://p.tl/_Fhf
No.15589 - 2011/10/25(Tue) 14:25:56
☆ Re: (No Subject) / ×
なるほど、ということは
log2Ｘ^4の4は前に来て
4log2Ｘになるのですね
ありがとうございます。
No.15595 - 2011/10/26(Wed) 23:14:30
★ 球の中心の軌跡 / サーシャ
半径1の平面z=0と直線x-z=y=0に同時に接し動くとき、その球の中心(a,b,c)はどのような図形を描くか。a,b,cの満たす関係式を求めよ。但し、球はz>=0にあるものとする

なんとなくのイメージはできるけど、式が立てられません
よろしくお願いします
No.15585 - 2011/10/25(Tue) 00:40:55
☆ Re: 球の中心の軌跡 / ヨッシー
半径１の球が、平面ｚ＝０と・・・
でしょうか？

中心は、(a,b,1) と書けます。
直線の方向ベクトルは、(1,0,1) であり、点(a,b,1) を通り、
(1,0,1) に垂直な平面の式は
　(x-a)+(z-1)=0
　x+z-a-1=0
となります。この平面と、直線x-z=y=0との交点は、x=z を代入すると、
　2z=a+1
より、
　((a+1)/2, 0, (a+1)/2)
となります。これと、(a,b,1) の距離が１となるので、
　(1-a)^2/4 ＋ b^2 ＋ (a-1)^2/4 ＝ 1^2
　a^2/2 −a＋ b^2 ＝1/2
よって、中心の描く図形は
　a^2 − 2a ＋ 2b^2 ＝ 1　, c=1
という、平面ｚ＝１上の楕円となります。
No.15586 - 2011/10/25(Tue) 06:24:11
☆ Re: 球の中心の軌跡 / サーシャ
なるほど、方向ベクトルを使うことで
文字を使わなくて済むんですか

分かりやすい説明ありがとうございます！！
No.15599 - 2011/10/27(Thu) 00:07:23
★ 不等式の証明です / サーシャ
a,b,cは実数で,a>=0,b>=0,c>=0とする
P(x)=ax^2+bx+c , Q(x)=cx^2+bx+a
とおく。-1<=x<=1を満たすすべてのxに対して|P(x)|<=1が成り立つとき、-1<=x<=1を満たすすべてのxに対して|Q(x)|<=1が成り立つことを示せ

さっぱりです。成り立つことは普通に分かるんですが..
お願いします
No.15584 - 2011/10/25(Tue) 00:32:18
☆ Re: 不等式の証明です / ヨッシー
何が言えれば、証明したことになるかというと、
まずは、
　-1≦Q(-1)≦1 と -1≦Q(1)≦1
これは、
　-1≦P(-1)≦1 と -1≦P(1)≦1
から明らかで、c=0 の時は、これだけで十分です。

ｃ＞０ のとき
　軸　ｘ＝-b/2c が、　-1≦-b/2c≦1 にあるとき、
　頂点のｙ座標　(4ac-b^2)/4c　が　-1≦(4ac-b^2)/4c
であることが言えれば、ｃ＞０ のときもＯＫです。
　-1≦(4ac-b^2)/4c
は
　4c+4ac-b^2≧0
と書けます。-1≦-b/2c≦1　より　-2c≦b≦2c なので、
　4c+4ac-b^2≧4c+4ac-(2c)^2
　　＝4c(1+a-c)
　　≧4c(1-a-c)
-1≦a+b+c≦1 より　1-a-c≧b≧0
よって　4c(1-a-c)≧0
となり、　-1≦(4ac-b^2)/4c　が言えます。
No.15590 - 2011/10/26(Wed) 05:53:24
☆ 別解 / angel
とりあえず a,b,c の値に関わらず
　P(-1)=Q(-1)=a-b+c
　P(1)=Q(1)=a+b+c
で、ここに a,b,c≧0 の条件と「-1≦x≦1を満たすすべてのxに対して|P(x)|≦1」の条件が成立しているものとします。
そうすると、
　Q(-1)≦Q(1)=a+b+c≦1
で、c≧0 ということはy=Q(x)のグラフは下に凸な放物線 ( c＞0 )、もしくは直線 ( c=0 ) ですから、
　-1≦x≦1 を満たす全ての x に対して Q(x)≦Q(1)≦1
が成立します。

後は Q(x)≧-1 を別口で示します。
　b≧0 ですから x≧-1 においては bx≧-b
　a+b+c≦1 でしたから b≦1 ここより -b≧-1
　以上2条件より bx≧-1
　Q(x)=cx^2+bx+a≧cx^2+a-1≧-1 ( ∵cx^2≧0, a≧0, -b≧-1 )
ということで、-1≦Q(x)≦1 ⇔|Q(x)|≦1 です。

…正直いうと、この問題は自分の力でどういう切り口で考えていくかが重要なので、解答例を見ても割りとどうしようもない気がします。
No.15593 - 2011/10/26(Wed) 22:21:15
☆ Re: 不等式の証明です / サーシャ
解答してくださった方、ありがとうございます！
一応僕も三角不等式を使ってみたんですけど、
合ってるかお願いします

-1≦x≦1で|P(x)|≦1よりP(x)≦1
|Q(x)|=|cx^2+bx+a|
≦|cx^2|+|bx|+|a|
=c|x^2|+b|x|+a (a>=0,b>=0,c>=0より)
≦c×1^2+b×1+a (-1≦x≦1より)
=P(1)≦1
No.15598 - 2011/10/27(Thu) 00:05:45
☆ Re: 不等式の証明です / ヨッシー
良いと思います。
No.15605 - 2011/10/27(Thu) 22:00:25
★ (No Subject) / ゆうと
ほんとすんません！！
ちなみにｎは自然数です
No.15583 - 2011/10/24(Mon) 19:45:00
★ (No Subject) / ゆうと
すいません。汗
言い忘れました。これは証明です。

ちなみに高校一年生です。
↓↓
No.15581 - 2011/10/24(Mon) 19:26:23
★ 急きょです / ゆうと
●nの二乗が３の倍数ならば、ｎは３の倍数である。

●ルート３は無理数である。

ちなみに二つとも連鎖していています
下の方は背理法を使います
よろしくお願いします
No.15580 - 2011/10/24(Mon) 19:18:52
☆ Re: 急きょです / ヨッシー
前半
対偶：ｎが３の倍数でないなら、ｎ^2 は３の倍数でない。
を、ｎ＝３ｋ＋１，ｎ＝３ｋ＋２ の場合について、証明します。

後半
√3 が有理数と仮定すると、√3＝m/n (m,n は互いに素な自然数)と書けます。
両辺２乗して、
　３＝ｍ^2/ｎ^2
より
　３ｎ^2＝ｍ^2　・・・(1)
左辺は、３の倍数であるので、前半の結果より、ｍも３の倍数。
そこで、ｍ＝３ｋ(ｋは自然数) とおくと、(1) より
　３ｎ^2＝９ｋ^2
　ｎ^2＝３ｋ^2
となり、ｎも３の倍数となり(以下略)
No.15582 - 2011/10/24(Mon) 19:29:11
★ 二重積分 / エスパドリーユ
∬E sqrt(4ay-x^2) dxdy　

E={(x,y)|x^2+y^2≦2ay}　(a>0)

という二重積分の問題です．

まずEを図示すると，中心(0,a)，半径aの円になりました．

そこで，x=rcosθ，y=rsinθの置換をすると，
積分範囲は，0≦r≦2asinθ, 0≦θ≦π となりました．

当然，被積分関数 sqrt(4ay-x^2)は sqrt{4arsinθ-(rcosθ)^2}となったのですが，この無理関数の積分でつまづきました．

ご指導お願いいたします．
No.15579 - 2011/10/23(Sun) 21:08:23
★ 群数列 / ポパイ
自然数の列を　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1,2 / 3,4,5,6 / 7,8,9,10,11,12 / ..... 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　のような群数に分ける　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　?@第n群の最初の項　　　　　　　　　　　　　　　　　　　?A第n群の項の総和　　　をお願いします。
No.15564 - 2011/10/22(Sat) 19:56:58
☆ Re: 群数列 / ヨッシー
群数列の場合、まず、どういう分け方をしているかを
ちゃんと理解しているかがポイントになります。

どういうふうに分けていると思いますか？

第10群の数列を書き並べることは出来ますか？
第100群の最初の数と、最後の数を答えられますか？
No.15565 - 2011/10/22(Sat) 20:36:15
☆ Re: 群数列 / ポパイ
2の倍数でわけてありますよね。

第10群列は　91,92,93,94,95,96,97,98,99,100,101,102,103,104,105,106,107,108,109,110
第100群列の最初と最後はわかりません。
No.15566 - 2011/10/22(Sat) 21:51:33
☆ Re: 群数列 / ヨッシー
そうですね。
第１群は２個、第２群は４個、・・・第１０群は２０個、・・・第ｎ群は２ｎ個
の数字があります。

第９群までで、
　２＋４＋６＋・・・＋１８
　　＝２(１＋２＋３＋・・・＋９)
　　＝２×９×１０÷２＝９０(個)
の数字が使われていますので、第１０群はその次の９１から
　２×１０×１１÷２＝１１０
までの２０項になります。

同様に第９９群までは
　２×９９×１００÷２＝９９００
まで、使われているので、第１００群は　９９０１　から
　２×１００×１０１÷２＝１０１００　までの２００項です。

※１＋２＋３＋・・・＋ｎ＝
を使っています。

さて、本問ですが、
(1)第n群の最初の項
　第n-1群までで
　　２×(n-1)×ｎ÷２＝n(n-1) (個)
　の数字を使っているので、第ｎ群の最初の項は
　　n(n-1)+1
　です。
(2)第n群の項の総和
　第ｎ群の最後の項は
　　２×ｎ×(n+1)÷２＝n(n+1)
　で、第ｎ群は　n(n-1)+1　から　n(n+1) までの２ｎ個となります。
　(等差数列の和)＝{(初項)＋(末項)}×(項数)÷２
より
　{n(n-1)+1＋n(n+1)}×2n÷2＝ｎ(２ｎ^2＋１)
となります。
No.15571 - 2011/10/23(Sun) 08:15:50
☆ Re: 群数列 / ポパイ
ありがとうございました。

この解答をもとにもう一度解いてみます。
No.15578 - 2011/10/23(Sun) 20:12:59
★ 合同式の使い方 / nya-bo
合同式は普通の等式と同じ感覚で使える、ということで
（3a+1)(3b+1)（mod3)・・?@は３≡０（mod3)を等式と同じ感覚で?@に代入して
?@≡（０・a+1)(0・b+1)≡１というのは知っています。

N=４０＾３０で３０＾Nを７で割ったあまりを求めよということで、
N≡１（mod7)で３０＾NにN≡１を代入して３０＾N≡３０（mod7)（この問題だとたまたま答えは正解になってしまいましたが）

とできるのでしょうか？つまり２＾●などの指数部分に●≡４などを代入できるのか知りたいです。

よろしく御願いします！
No.15560 - 2011/10/22(Sat) 18:03:33
☆ Re: 合同式の使い方 / ヨッシー
出来ません。

2^N の N に、1 (mod 3) である、1,4,7 を代入すると分かると思います。
No.15561 - 2011/10/22(Sat) 19:02:56
☆ Re: 合同式の使い方 / nya-bo
回答有難うございます。

ではこの問題で３０＾N≡３０（mod7)≡２（答え）
で正解になってしまうのは偶然ということですか？

でしたらN=４０＾３０で３０＾Nを７で割ったあまりを求めよ
の問題の合同式を使った解法をどなたか御願いします！
No.15562 - 2011/10/22(Sat) 19:25:32
☆ Re: 合同式の使い方 / ヨッシー
30≡2 (mod 7) なので、
30^3≡2^3≡1 (mod 7)
となり、３乗ごとに７で割った余りが１になる。つまり、
　30^(3n)≡1 (mod 7)
であることが分かります。ですから、この問題は、
40^30 が、3 で割って余りがいくつかというのがポイントになります。
40≡1 (mod 3) なので、40^30≡1 (mod 3) となり、
　30^N≡30　(mod 7)　・・・※
となります。

※これは、N≡1 (mod 7) だからではなく、N≡1 (mod 3) だからです。
No.15563 - 2011/10/22(Sat) 19:45:47
★ 高２　点Pの存在範囲 / とんぼ

3点O、A、Bに対して
↑OP＝s↑OA＋t↑OBとするとき、
次の条件を満たす点Pの存在範囲を図示しなさい

2s＋ｔ≦1、s≧0、ｔ≧0


2s＋ｔ≦1が2s＋ｔ=1で＝だとわかるのですが
≦がつくとよくわかりません。

解答はないのですが例題を見ると＝イコールでは
点PはA´B´上にある（端点を含む）で終わってますが
≦不等号になるとその後の解き方があるのですがそこがわかりません。

よろしくお願いします。
No.15557 - 2011/10/22(Sat) 13:16:27
☆ Re: 高２　点Pの存在範囲 / X
説明のために例題を出します。
例題)
↑OP=s↑OA+t↑OB
s+t≦1,s≧0,t≧0
のときの点Pの存在範囲は？。

解)
s+t=u
と置くと
0≦u≦1 (A)

(i)u≠0のとき
s/u+t/u=1
ここでs/u=x,t/u=yと置くと、(A)は
x+y=1 (B)
又
x≧0,y≧0 (C)
↑OP=x(u↑OA)+t(u↑OB) (D)
(B)(C)(D)より点Pは
↑OC=u↑OA
↑OD=u↑OB
なる点C,Dを考えたときの線分CD上にあることが分かります。
ここでuが(A)のように変化すること、及び
CD//AB
であることを考えると
点Pの存在範囲は△OABの周及び内部(点Oを除く)
となります。
(ii)u=0のとき
点Pは点Oと一致します。

以上から点Pは
点Pの存在範囲は△OABの周及び内部
となります。
No.15558 - 2011/10/22(Sat) 14:23:40
☆ Re: 高２　点Pの存在範囲 / とんぼ
わかりやすくありがとうございます。

ｓとｔの範囲を決めてなかったのでまったくわかりませんでした。

そこを着目してこの問題を解いていこうと思います。
No.15559 - 2011/10/22(Sat) 16:28:43
★ (No Subject) / 、
次の式の展開式において
[ ]内の項の係数を求めよ

(1)(x-y+z)^6 [y^5z]

(2)(2x^2+x/3)^6 [x^6]



よろしくです
No.15549 - 2011/10/21(Fri) 22:33:14
☆ Re: / ヨッシー
(y-z)^6 は展開できますか？
二項定理の式そのものですし、これが出来ないと
先に進めませんので、確認です。
No.15554 - 2011/10/21(Fri) 22:39:36
☆ Re: (No Subject) / 、
出来ます
No.15570 - 2011/10/22(Sat) 23:03:45
☆ Re: / ヨッシー
出来ますか？出来ます、じゃ、全人類クイズ王ですよね？
答えを書いてください。

で、そのあと、
(1) は
a=x, b=-y+z を代入してください、と続きます。
(2) は、No.15555の記事を読んで、問題を書き直してもらわないといけません。
No.15577 - 2011/10/23(Sun) 08:49:56
★ (No Subject) / ぽこ
二項定理を用いて､次のことを証明せよ｡ただし､nは2以上の整理とする｡
x＞0のとき (1+x)^n≧1+nx+2/n(n-1)x^２


お願いします
No.15548 - 2011/10/21(Fri) 22:27:44
☆ Re: / ヨッシー
２分のｎ(ｎ−１)は、n(n-1)/2 と書きます。
No.15555 - 2011/10/21(Fri) 22:40:45
☆ Re: (No Subject) / ぽこ
わかりました
解説お願いします
No.15568 - 2011/10/22(Sat) 23:00:30
☆ Re: / ヨッシー
(1+x)^n を二項定理によって展開した最初の４項(定数項、１次の項、２次の項、３次の項)を
書いてみてください。
No.15575 - 2011/10/23(Sun) 08:22:44
★ (No Subject) / ららら〜

次の式の展開式において
[　]内の項の係数を求めよ
(1)(x^2+x/2)6 [x^3]

(2)(2x^2-3x^3/1)5 [x^5/1]


やり方教えて下さい
No.15547 - 2011/10/21(Fri) 22:23:00
☆ Re: (No Subject) / ららら〜
ろくじょうとごじょうです
No.15551 - 2011/10/21(Fri) 22:35:43
☆ Re: / ヨッシー
(a+b)^6 は展開できますか？
二項定理の式そのものですし、これが出来ないと
先に進めませんので、確認です。
No.15553 - 2011/10/21(Fri) 22:38:16
☆ Re: (No Subject) / ららら〜
解けます
No.15569 - 2011/10/22(Sat) 23:01:45
☆ Re: / ヨッシー
出来ますか？出来ます、じゃ、全人類クイズ王ですよね？
答えを書いてください。

でも、その前に、No.15555 の記事を読んで、問題を
書き直してもらわないといけません。
No.15574 - 2011/10/23(Sun) 08:20:40
★ (No Subject) / さい

次の式の展開式において
[　]内の項の係数を求めよ

(1)(x^2+2)7 [x^10]


(2)(x^3-x)5 [x^9]


解説お願いします
No.15546 - 2011/10/21(Fri) 22:16:08
☆ Re: (No Subject) / さい
ななじょうとごじょうです
No.15550 - 2011/10/21(Fri) 22:34:49
☆ Re: / ヨッシー
(a+b)^7 は展開できますか？
二項定理の式そのものですし、これが出来ないと
先に進めませんので、確認です。
No.15552 - 2011/10/21(Fri) 22:37:41
☆ Re: (No Subject) / さい
出来ます
公式はわかるんですけど 答えが違うんです
教えて下さい
No.15567 - 2011/10/22(Sat) 22:59:08
☆ Re: / ヨッシー
出来ますか？出来ます、じゃ、全人類クイズ王ですよね？
答えを書いてください。

で、そのあと、
a=x^2, b=2 を代入してみてください。
a=x^3, b=-x を代入してみてください。
と続きます。
No.15576 - 2011/10/23(Sun) 08:42:16
★ 数学　高２ / 数学わからない
確率の問題

立方体の各面に，隣り合った面の色は異なるように，色を塗りたい． ただし，. 立方体を回転させて一致する塗り方は同じとみなす．
(１)異なる５色をすべて使って塗る場合
解答には
「色を１，２，３，４，５とする。同じ色を２つ使う色を仮に１とする。
１回しか使わない２，３，４，５について着目する。
上面に２をぬると下面は３，４，５の３通り。
５色あるうちどの色を２回つかうかで５通り。
よって、５・３＝１５通り」

ここで疑問におもったのですが、上面の色の塗り方について最初自分は４通りとしてしまって
答が５・３・４＝６０通りになったですが、なんで上面の４通りは解答ではカットされているのでしょうか？
自分なりに色々考えてみたところ、上面の色の選び方にわざわざ４通りをいれてしまうと、本来裏返すことで一致するはずの色の組み合わせがダブルカウントされてしまっている？のではないかと思ったのですかどうなんでしょうか？
確率は大の苦手なので誰かわかる方教えてください。おねがいします。
No.15544 - 2011/10/21(Fri) 15:46:10
☆ Re: 数学　高２ / らすかる
> 上面の色の選び方にわざわざ４通りをいれてしまうと、本来裏返すことで一致
> するはずの色の組み合わせがダブルカウントされてしまっている？のではないか

その通りです。
塗り終わった立方体の向きを変えれば必ず「上面が２」であるように
出来ますので、「上面が２」のパターンだけ考えれば良いということです。
No.15545 - 2011/10/21(Fri) 16:17:47
★ 積分　大学 / RIKAO
わからない問題があるので
解説お願いします。

∫(x^7)/(x^12 + 1)dx
（x^4=tに置換）

よろしくお願いします。
No.15538 - 2011/10/20(Thu) 00:23:02
☆ Re: 積分　大学 / X
x^4=t
と置くと
(x^3)dx=(1/4)dt
∴∫{(x^7)/(x^12+1)}dx=(1/4)∫{t/(t^3+1)}dt
ここで
t/(t^3+1)=t/{(t+1)(t^2-t+1)}
∴t/(t^3+1)=a/(t+1)+(bt+c)/(t^2-t+1)
と部分分数分解することができるとして係数a,b,cの
値を求めると…。
No.15541 - 2011/10/20(Thu) 09:13:15
★ 数学わかりません。 / 数学わからない
半径１の円に内設する正六角形の頂点をＡ1、Ａ2、・・・、Ａ6とする。これらから任意に選んだ３点を頂点とする三角形の面積の期待値を求めよ。ただし、２つ以上が一致するような３点が選ばれたときは、三角形の面積

という問題ですが、解答では(ア)正三角形の場合 (イ)直角三角形の場合 (ウ)二等辺三角形の場合 の３つに場合分けして考えています。それで(ア)についてなんですが、解答には以下のように書かれています。
「最初の点は６つのうちどれを選んでいいので６通り。次に選ぶ点は正三角形となるように選べば２通りしかない。
よって６×２×１＝１２通り。」
正六角形を書いたときの１番上にある頂点をＡ１として時計まわりにＡ２、Ａ３、・・・Ａ６と取っていくとします。
それで、最初の点にＡ１を選んだとします。すると正三角形をつくるにはＡ３、Ａ５が必要です。
順番を考慮するなら△Ａ１Ａ３Ａ５を始め3!=6通りつくれます。
また、もう一つ、最初の点にＡ２を選んだ時、正三角形をつくるためには、Ａ４、Ａ６が必要です。
順番を考慮するなら△Ａ２Ａ４Ａ６を始め3!=6通りつくれます。
２つを足すと6＋6＝12通り
解答はこういうことをいっているとおもうのですが、
実際正六角形の頂点を使って作れる正三角形の数は２個だけだと思います。
しかし、答には12通りとあります。
これはなぜなのでしょうか？また、解答には「３点のとりかたは６^3=216通り」とあるのですがこれもわかりません。

またまた別の問題になるのですが
nを自然数とする。正6n角形の異なる３頂点を結んで三角形を作る。
(１)正三角形の数を求めよ。
上の問題の解き方と同じ方針でやると、
まず最初の点は6n個ある頂点のうちどれを選んでもよいので6n通り。
次に、正三角形をつくるには２通りの頂点がある。
よって、６ｎ×２×１＝１２ｎ通り。
となるはずなのですが、答は２ｎ通りです。
ちなみに、この問題の答には「正三角形になる３点は2nだけ離れているので、Ａ１，Ａ２，・・・，Ａ２ｎの中から１つ選び、あとは2nおきに取っていきます。たとえば、Ａ１を取ったら次はＡ【２n＋1】を、次はＡ【４ｎ＋１】 (わかりやすくするために【】をつけときました) よって正三角形は合計で２ｎ個ある。」
これはＡ１〜Ａ２ｎまでの間に正三角形をつくるのに必要な頂点があるのでそれを１つ選んでおけば残りの２つの頂点は自動的に選ばれるので１通り。よって２ｎ×１＝２ｎ通り(個)ということなんでしょうか？
なんだか釈然としません。

本当によくわからないので誰かわかる方がいましたら教えてください。お願いします。
No.15529 - 2011/10/19(Wed) 18:53:20
☆ Re: 数学わかりません。 / ヨッシー
期待値を求めるには、その前に確率を求めないといけません。
確率を求める場合、順列で数え上げるか、組み合わせで数え上げるか
どちらでも良いのですが、肝心なのは、その一つ一つが同じ
確からしさであるということです。
この問題の場合、組み合わせで数えると、３回続けて同じ点を
選ぶ場合、２回同じ場合、三角形が出来る場合によって、
確からしさが違うので、順列で数える方が確実です。

すべての選び方は、
　１回目がＡ1〜Ａ6 の６通り。その各場合において、
　２回目がＡ1〜Ａ6 の６通り。さらに、
　３回目がＡ1〜Ａ6 の６通り。ですから、
全部で、６×６×６＝２１６(通り)　の選び方があります。
書き上げるなら、
(A1,A1,A1),(A1,A1,A2)・・・(A1,A1,A6)
(A1,A2,A1),(A1,A2,A2)・・・(A1,A2,A6)
　　・・・
(A6,A6,A1),(A6,A6,A2)・・・(A6,A6,A6)
の２１６通りです。
このうち、正三角形になるのは
(A1,A3,A5),(A1,A5,A3),(A3,A1,A5),(A3,A5,A1),(A5,A1,A3),(A5,A3,A1)
(A2,A4,A6),(A2,A6,A4),(A4,A2,A6),(A4,A6,A2),(A6,A2,A4),(A6,A4,A2)
の１２通りです。
前半の６つ、後半の６つはそれぞれ同じ正三角形になりますが、
点を選ぶ順番が違います。
No.15532 - 2011/10/19(Wed) 22:42:48
☆ Re: 数学わかりません。 / ヨッシー
後半です。

こちらは、正三角形の数を聞いているので、点を選ぶ順が違っても、
結果同じ正三角形になるものは、１つの正三角形です。

前半は、確率を求めるために、順番を気にしています。

後半は順番は気にしていません。
質問の中で、数学わからないさんが、
「正六角形の頂点を使って作れる正三角形の数は２個だけだと思います。」
の考え方です。
No.15533 - 2011/10/19(Wed) 22:48:38
☆ Re: 数学わかりません。 / 数学わからない
順列で考える場合は出来上がる図形(正三角形)は同じでも
頂点の取る順番まで考慮しないといけない　というところがいまいち釈然としません。
よかったこの部分をもうすこし教えていただけないでしょうか？お願いします。
No.15535 - 2011/10/19(Wed) 23:27:46
☆ Re: 数学わかりません。 / ヨッシー
確率は、
　(ある事象の起こる場合)／(全事象の起こる場合)
です。
全事象の起こる場合の数え上げを、頂点を取る順番でおこなっているので、
ある事象(この場合、正三角形が出来る)も、頂点の取る順番を
区別して数えないといけません。

この問題が「正六角形の頂点から３個を選んで、三角形を作るとき、
正三角形になる確率を求めよ」であれば、
＜順列で考える場合＞
　すべての選び方は、6Ｐ3＝６×５×４＝１２０
　（この１２０通りの起こり方はすべて等しい)
　正三角形となるのは、６×２×１＝１２
　確率は、１２／１２０＝１／１０
＜組み合わせで考える場合＞
　すべての選び方は、6Ｃ3＝２０
　（この２０通りの起こり方はすべて等しい)
　正三角形となるのは、２通り
　確率は、２／２０＝１／１０
のどちらでも良いですが、上の問題では、三角形にならない場合も
考慮するので、すべて起こり方が等しいすべての選び方を
設定することが困難なので、順列（重複順列といいます）で、
考えるのが妥当です。
No.15536 - 2011/10/19(Wed) 23:48:49
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