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★ 急きょです / ゆうと

●nの二乗が３の倍数ならば、ｎは３の倍数である。 ●ルート３は無理数である。 ちなみに二つとも連鎖していています 下の方は背理法を使います よろしくお願いします No.15580 - 2011/10/24(Mon) 19:18:52 ☆ Re: 急きょです / ヨッシー 前半 対偶：ｎが３の倍数でないなら、ｎ^2 は３の倍数でない。 を、ｎ＝３ｋ＋１，ｎ＝３ｋ＋２ の場合について、証明します。 後半 √3 が有理数と仮定すると、√3＝m/n (m,n は互いに素な自然数)と書けます。 両辺２乗して、 　３＝ｍ^2/ｎ^2 より 　３ｎ^2＝ｍ^2　・・・(1) 左辺は、３の倍数であるので、前半の結果より、ｍも３の倍数。 そこで、ｍ＝３ｋ(ｋは自然数) とおくと、(1) より 　３ｎ^2＝９ｋ^2 　ｎ^2＝３ｋ^2 となり、ｎも３の倍数となり(以下略) No.15582 - 2011/10/24(Mon) 19:29:11

★ 二重積分 / エスパドリーユ
∬E sqrt(4ay-x^2) dxdy　 E={(x,y)|x^2+y^2≦2ay}　(a>0) という二重積分の問題です． まずEを図示すると，中心(0,a)，半径aの円になりました． そこで，x=rcosθ，y=rsinθの置換をすると， 積分範囲は，0≦r≦2asinθ, 0≦θ≦π となりました． 当然，被積分関数 sqrt(4ay-x^2)は sqrt{4arsinθ-(rcosθ)^2}となったのですが，この無理関数の積分でつまづきました． ご指導お願いいたします． No.15579 - 2011/10/23(Sun) 21:08:23

★ 群数列 / ポパイ

自然数の列を　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1,2 / 3,4,5,6 / 7,8,9,10,11,12 / ..... 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　のような群数に分ける　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　?@第n群の最初の項　　　　　　　　　　　　　　　　　　　?A第n群の項の総和　　　をお願いします。 No.15564 - 2011/10/22(Sat) 19:56:58 ☆ Re: 群数列 / ヨッシー 群数列の場合、まず、どういう分け方をしているかを ちゃんと理解しているかがポイントになります。 どういうふうに分けていると思いますか？ 第10群の数列を書き並べることは出来ますか？ 第100群の最初の数と、最後の数を答えられますか？ No.15565 - 2011/10/22(Sat) 20:36:15 ☆ Re: 群数列 / ポパイ 2の倍数でわけてありますよね。 第10群列は　91,92,93,94,95,96,97,98,99,100,101,102,103,104,105,106,107,108,109,110 第100群列の最初と最後はわかりません。 No.15566 - 2011/10/22(Sat) 21:51:33 ☆ Re: 群数列 / ヨッシー そうですね。 第１群は２個、第２群は４個、・・・第１０群は２０個、・・・第ｎ群は２ｎ個 の数字があります。 第９群までで、 　２＋４＋６＋・・・＋１８ 　　＝２(１＋２＋３＋・・・＋９) 　　＝２×９×１０÷２＝９０(個) の数字が使われていますので、第１０群はその次の９１から 　２×１０×１１÷２＝１１０ までの２０項になります。 同様に第９９群までは 　２×９９×１００÷２＝９９００ まで、使われているので、第１００群は　９９０１　から 　２×１００×１０１÷２＝１０１００　までの２００項です。 ※１＋２＋３＋・・・＋ｎ＝ を使っています。 さて、本問ですが、 (1)第n群の最初の項 　第n-1群までで 　　２×(n-1)×ｎ÷２＝n(n-1) (個) 　の数字を使っているので、第ｎ群の最初の項は 　　n(n-1)+1 　です。 (2)第n群の項の総和 　第ｎ群の最後の項は 　　２×ｎ×(n+1)÷２＝n(n+1) 　で、第ｎ群は　n(n-1)+1　から　n(n+1) までの２ｎ個となります。 　(等差数列の和)＝{(初項)＋(末項)}×(項数)÷２ より 　{n(n-1)+1＋n(n+1)}×2n÷2＝ｎ(２ｎ^2＋１) となります。 No.15571 - 2011/10/23(Sun) 08:15:50 ☆ Re: 群数列 / ポパイ ありがとうございました。 この解答をもとにもう一度解いてみます。 No.15578 - 2011/10/23(Sun) 20:12:59

★ 合同式の使い方 / nya-bo

合同式は普通の等式と同じ感覚で使える、ということで （3a+1)(3b+1)（mod3)・・?@は３≡０（mod3)を等式と同じ感覚で?@に代入して ?@≡（０・a+1)(0・b+1)≡１というのは知っています。 N=４０＾３０で３０＾Nを７で割ったあまりを求めよということで、 N≡１（mod7)で３０＾NにN≡１を代入して３０＾N≡３０（mod7)（この問題だとたまたま答えは正解になってしまいましたが） とできるのでしょうか？つまり２＾●などの指数部分に●≡４などを代入できるのか知りたいです。 よろしく御願いします！ No.15560 - 2011/10/22(Sat) 18:03:33 ☆ Re: 合同式の使い方 / ヨッシー 出来ません。 2^N の N に、1 (mod 3) である、1,4,7 を代入すると分かると思います。 No.15561 - 2011/10/22(Sat) 19:02:56 ☆ Re: 合同式の使い方 / nya-bo 回答有難うございます。 ではこの問題で３０＾N≡３０（mod7)≡２（答え） で正解になってしまうのは偶然ということですか？ でしたらN=４０＾３０で３０＾Nを７で割ったあまりを求めよ の問題の合同式を使った解法をどなたか御願いします！ No.15562 - 2011/10/22(Sat) 19:25:32 ☆ Re: 合同式の使い方 / ヨッシー 30≡2 (mod 7) なので、 30^3≡2^3≡1 (mod 7) となり、３乗ごとに７で割った余りが１になる。つまり、 　30^(3n)≡1 (mod 7) であることが分かります。ですから、この問題は、 40^30 が、3 で割って余りがいくつかというのがポイントになります。 40≡1 (mod 3) なので、40^30≡1 (mod 3) となり、 　30^N≡30　(mod 7)　・・・※ となります。 ※これは、N≡1 (mod 7) だからではなく、N≡1 (mod 3) だからです。 No.15563 - 2011/10/22(Sat) 19:45:47

★ 高２　点Pの存在範囲 / とんぼ

3点O、A、Bに対して ↑OP＝s↑OA＋t↑OBとするとき、 次の条件を満たす点Pの存在範囲を図示しなさい 2s＋ｔ≦1、s≧0、ｔ≧0 2s＋ｔ≦1が2s＋ｔ=1で＝だとわかるのですが ≦がつくとよくわかりません。 解答はないのですが例題を見ると＝イコールでは 点PはA´B´上にある（端点を含む）で終わってますが ≦不等号になるとその後の解き方があるのですがそこがわかりません。 よろしくお願いします。 No.15557 - 2011/10/22(Sat) 13:16:27 ☆ Re: 高２　点Pの存在範囲 / X 説明のために例題を出します。 例題) ↑OP=s↑OA+t↑OB s+t≦1,s≧0,t≧0 のときの点Pの存在範囲は？。 解) s+t=u と置くと 0≦u≦1 (A) (i)u≠0のとき s/u+t/u=1 ここでs/u=x,t/u=yと置くと、(A)は x+y=1 (B) 又 x≧0,y≧0 (C) ↑OP=x(u↑OA)+t(u↑OB) (D) (B)(C)(D)より点Pは ↑OC=u↑OA ↑OD=u↑OB なる点C,Dを考えたときの線分CD上にあることが分かります。 ここでuが(A)のように変化すること、及び CD//AB であることを考えると 点Pの存在範囲は△OABの周及び内部(点Oを除く) となります。 (ii)u=0のとき 点Pは点Oと一致します。 以上から点Pは 点Pの存在範囲は△OABの周及び内部 となります。 No.15558 - 2011/10/22(Sat) 14:23:40 ☆ Re: 高２　点Pの存在範囲 / とんぼ わかりやすくありがとうございます。 ｓとｔの範囲を決めてなかったのでまったくわかりませんでした。 そこを着目してこの問題を解いていこうと思います。 No.15559 - 2011/10/22(Sat) 16:28:43

★ (No Subject) / 、

次の式の展開式において [ ]内の項の係数を求めよ (1)(x-y+z)^6 [y^5z] (2)(2x^2+x/3)^6 [x^6] よろしくです No.15549 - 2011/10/21(Fri) 22:33:14 ☆ Re: / ヨッシー (y-z)^6 は展開できますか？ 二項定理の式そのものですし、これが出来ないと 先に進めませんので、確認です。 No.15554 - 2011/10/21(Fri) 22:39:36 ☆ Re: (No Subject) / 、 出来ます No.15570 - 2011/10/22(Sat) 23:03:45 ☆ Re: / ヨッシー 出来ますか？出来ます、じゃ、全人類クイズ王ですよね？ 答えを書いてください。 で、そのあと、 (1) は a=x, b=-y+z を代入してください、と続きます。 (2) は、No.15555の記事を読んで、問題を書き直してもらわないといけません。 No.15577 - 2011/10/23(Sun) 08:49:56

★ (No Subject) / ぽこ
二項定理を用いて､次のことを証明せよ｡ただし､nは2以上の整理とする｡ x＞0のとき (1+x)^n≧1+nx+2/n(n-1)x^２ お願いします No.15548 - 2011/10/21(Fri) 22:27:44 ☆ Re: / ヨッシー ２分のｎ(ｎ−１)は、n(n-1)/2 と書きます。 No.15555 - 2011/10/21(Fri) 22:40:45 ☆ Re: (No Subject) / ぽこ わかりました 解説お願いします No.15568 - 2011/10/22(Sat) 23:00:30 ☆ Re: / ヨッシー (1+x)^n を二項定理によって展開した最初の４項(定数項、１次の項、２次の項、３次の項)を 書いてみてください。 No.15575 - 2011/10/23(Sun) 08:22:44

★ (No Subject) / ららら〜

次の式の展開式において [　]内の項の係数を求めよ (1)(x^2+x/2)6 [x^3] (2)(2x^2-3x^3/1)5 [x^5/1] やり方教えて下さい No.15547 - 2011/10/21(Fri) 22:23:00 ☆ Re: (No Subject) / ららら〜 ろくじょうとごじょうです No.15551 - 2011/10/21(Fri) 22:35:43 ☆ Re: / ヨッシー (a+b)^6 は展開できますか？ 二項定理の式そのものですし、これが出来ないと 先に進めませんので、確認です。 No.15553 - 2011/10/21(Fri) 22:38:16 ☆ Re: (No Subject) / ららら〜 解けます No.15569 - 2011/10/22(Sat) 23:01:45 ☆ Re: / ヨッシー 出来ますか？出来ます、じゃ、全人類クイズ王ですよね？ 答えを書いてください。 でも、その前に、No.15555 の記事を読んで、問題を 書き直してもらわないといけません。 No.15574 - 2011/10/23(Sun) 08:20:40

★ (No Subject) / さい

次の式の展開式において [　]内の項の係数を求めよ (1)(x^2+2)7 [x^10] (2)(x^3-x)5 [x^9] 解説お願いします No.15546 - 2011/10/21(Fri) 22:16:08 ☆ Re: (No Subject) / さい ななじょうとごじょうです No.15550 - 2011/10/21(Fri) 22:34:49 ☆ Re: / ヨッシー (a+b)^7 は展開できますか？ 二項定理の式そのものですし、これが出来ないと 先に進めませんので、確認です。 No.15552 - 2011/10/21(Fri) 22:37:41 ☆ Re: (No Subject) / さい 出来ます 公式はわかるんですけど 答えが違うんです 教えて下さい No.15567 - 2011/10/22(Sat) 22:59:08 ☆ Re: / ヨッシー 出来ますか？出来ます、じゃ、全人類クイズ王ですよね？ 答えを書いてください。 で、そのあと、 a=x^2, b=2 を代入してみてください。 a=x^3, b=-x を代入してみてください。 と続きます。 No.15576 - 2011/10/23(Sun) 08:42:16

★ 数学　高２ / 数学わからない

確率の問題 立方体の各面に，隣り合った面の色は異なるように，色を塗りたい． ただし，. 立方体を回転させて一致する塗り方は同じとみなす． (１)異なる５色をすべて使って塗る場合 解答には 「色を１，２，３，４，５とする。同じ色を２つ使う色を仮に１とする。 １回しか使わない２，３，４，５について着目する。 上面に２をぬると下面は３，４，５の３通り。 ５色あるうちどの色を２回つかうかで５通り。 よって、５・３＝１５通り」 ここで疑問におもったのですが、上面の色の塗り方について最初自分は４通りとしてしまって 答が５・３・４＝６０通りになったですが、なんで上面の４通りは解答ではカットされているのでしょうか？ 自分なりに色々考えてみたところ、上面の色の選び方にわざわざ４通りをいれてしまうと、本来裏返すことで一致するはずの色の組み合わせがダブルカウントされてしまっている？のではないかと思ったのですかどうなんでしょうか？ 確率は大の苦手なので誰かわかる方教えてください。おねがいします。 No.15544 - 2011/10/21(Fri) 15:46:10 ☆ Re: 数学　高２ / らすかる > 上面の色の選び方にわざわざ４通りをいれてしまうと、本来裏返すことで一致 > するはずの色の組み合わせがダブルカウントされてしまっている？のではないか その通りです。 塗り終わった立方体の向きを変えれば必ず「上面が２」であるように 出来ますので、「上面が２」のパターンだけ考えれば良いということです。 No.15545 - 2011/10/21(Fri) 16:17:47

★ 積分　大学 / RIKAO
わからない問題があるので 解説お願いします。 ∫(x^7)/(x^12 + 1)dx （x^4=tに置換） よろしくお願いします。 No.15538 - 2011/10/20(Thu) 00:23:02 ☆ Re: 積分　大学 / X x^4=t と置くと (x^3)dx=(1/4)dt ∴∫{(x^7)/(x^12+1)}dx=(1/4)∫{t/(t^3+1)}dt ここで t/(t^3+1)=t/{(t+1)(t^2-t+1)} ∴t/(t^3+1)=a/(t+1)+(bt+c)/(t^2-t+1) と部分分数分解することができるとして係数a,b,cの 値を求めると…。 No.15541 - 2011/10/20(Thu) 09:13:15

★ 数学わかりません。 / 数学わからない

半径１の円に内設する正六角形の頂点をＡ1、Ａ2、・・・、Ａ6とする。これらから任意に選んだ３点を頂点とする三角形の面積の期待値を求めよ。ただし、２つ以上が一致するような３点が選ばれたときは、三角形の面積 という問題ですが、解答では(ア)正三角形の場合 (イ)直角三角形の場合 (ウ)二等辺三角形の場合 の３つに場合分けして考えています。それで(ア)についてなんですが、解答には以下のように書かれています。 「最初の点は６つのうちどれを選んでいいので６通り。次に選ぶ点は正三角形となるように選べば２通りしかない。 よって６×２×１＝１２通り。」 正六角形を書いたときの１番上にある頂点をＡ１として時計まわりにＡ２、Ａ３、・・・Ａ６と取っていくとします。 それで、最初の点にＡ１を選んだとします。すると正三角形をつくるにはＡ３、Ａ５が必要です。 順番を考慮するなら△Ａ１Ａ３Ａ５を始め3!=6通りつくれます。 また、もう一つ、最初の点にＡ２を選んだ時、正三角形をつくるためには、Ａ４、Ａ６が必要です。 順番を考慮するなら△Ａ２Ａ４Ａ６を始め3!=6通りつくれます。 ２つを足すと6＋6＝12通り 解答はこういうことをいっているとおもうのですが、 実際正六角形の頂点を使って作れる正三角形の数は２個だけだと思います。 しかし、答には12通りとあります。 これはなぜなのでしょうか？また、解答には「３点のとりかたは６^3=216通り」とあるのですがこれもわかりません。 またまた別の問題になるのですが nを自然数とする。正6n角形の異なる３頂点を結んで三角形を作る。 (１)正三角形の数を求めよ。 上の問題の解き方と同じ方針でやると、 まず最初の点は6n個ある頂点のうちどれを選んでもよいので6n通り。 次に、正三角形をつくるには２通りの頂点がある。 よって、６ｎ×２×１＝１２ｎ通り。 となるはずなのですが、答は２ｎ通りです。 ちなみに、この問題の答には「正三角形になる３点は2nだけ離れているので、Ａ１，Ａ２，・・・，Ａ２ｎの中から１つ選び、あとは2nおきに取っていきます。たとえば、Ａ１を取ったら次はＡ【２n＋1】を、次はＡ【４ｎ＋１】 (わかりやすくするために【】をつけときました) よって正三角形は合計で２ｎ個ある。」 これはＡ１〜Ａ２ｎまでの間に正三角形をつくるのに必要な頂点があるのでそれを１つ選んでおけば残りの２つの頂点は自動的に選ばれるので１通り。よって２ｎ×１＝２ｎ通り(個)ということなんでしょうか？ なんだか釈然としません。 本当によくわからないので誰かわかる方がいましたら教えてください。お願いします。 No.15529 - 2011/10/19(Wed) 18:53:20 ☆ Re: 数学わかりません。 / ヨッシー 期待値を求めるには、その前に確率を求めないといけません。 確率を求める場合、順列で数え上げるか、組み合わせで数え上げるか どちらでも良いのですが、肝心なのは、その一つ一つが同じ 確からしさであるということです。 この問題の場合、組み合わせで数えると、３回続けて同じ点を 選ぶ場合、２回同じ場合、三角形が出来る場合によって、 確からしさが違うので、順列で数える方が確実です。 すべての選び方は、 　１回目がＡ1〜Ａ6 の６通り。その各場合において、 　２回目がＡ1〜Ａ6 の６通り。さらに、 　３回目がＡ1〜Ａ6 の６通り。ですから、 全部で、６×６×６＝２１６(通り)　の選び方があります。 書き上げるなら、 (A1,A1,A1),(A1,A1,A2)・・・(A1,A1,A6) (A1,A2,A1),(A1,A2,A2)・・・(A1,A2,A6) 　　・・・ (A6,A6,A1),(A6,A6,A2)・・・(A6,A6,A6) の２１６通りです。 このうち、正三角形になるのは (A1,A3,A5),(A1,A5,A3),(A3,A1,A5),(A3,A5,A1),(A5,A1,A3),(A5,A3,A1) (A2,A4,A6),(A2,A6,A4),(A4,A2,A6),(A4,A6,A2),(A6,A2,A4),(A6,A4,A2) の１２通りです。 前半の６つ、後半の６つはそれぞれ同じ正三角形になりますが、 点を選ぶ順番が違います。 No.15532 - 2011/10/19(Wed) 22:42:48 ☆ Re: 数学わかりません。 / ヨッシー 後半です。 こちらは、正三角形の数を聞いているので、点を選ぶ順が違っても、 結果同じ正三角形になるものは、１つの正三角形です。 前半は、確率を求めるために、順番を気にしています。 後半は順番は気にしていません。 質問の中で、数学わからないさんが、 「正六角形の頂点を使って作れる正三角形の数は２個だけだと思います。」 の考え方です。 No.15533 - 2011/10/19(Wed) 22:48:38 ☆ Re: 数学わかりません。 / 数学わからない 順列で考える場合は出来上がる図形(正三角形)は同じでも 頂点の取る順番まで考慮しないといけない　というところがいまいち釈然としません。 よかったこの部分をもうすこし教えていただけないでしょうか？お願いします。 No.15535 - 2011/10/19(Wed) 23:27:46 ☆ Re: 数学わかりません。 / ヨッシー 確率は、 　(ある事象の起こる場合)／(全事象の起こる場合) です。 全事象の起こる場合の数え上げを、頂点を取る順番でおこなっているので、 ある事象(この場合、正三角形が出来る)も、頂点の取る順番を 区別して数えないといけません。 この問題が「正六角形の頂点から３個を選んで、三角形を作るとき、 正三角形になる確率を求めよ」であれば、 ＜順列で考える場合＞ 　すべての選び方は、6Ｐ3＝６×５×４＝１２０ 　（この１２０通りの起こり方はすべて等しい) 　正三角形となるのは、６×２×１＝１２ 　確率は、１２／１２０＝１／１０ ＜組み合わせで考える場合＞ 　すべての選び方は、6Ｃ3＝２０ 　（この２０通りの起こり方はすべて等しい) 　正三角形となるのは、２通り 　確率は、２／２０＝１／１０ のどちらでも良いですが、上の問題では、三角形にならない場合も 考慮するので、すべて起こり方が等しいすべての選び方を 設定することが困難なので、順列（重複順列といいます）で、 考えるのが妥当です。 No.15536 - 2011/10/19(Wed) 23:48:49

★ 放物線と直線で囲まれた部分の面積 / イド

放物線y=a^2-x^2(aは正の定数)の第一象限にある部分をCとし、C上の点Pにおける接線をL,Lとx軸との交点をA,原点をOとする。CとLおよびx軸とで囲まれる部分の面積をS1,三角形OAPの面積をS2とするとき、S2=3S1が成り立つような点Pの座標を求めよ お願いします No.15528 - 2011/10/19(Wed) 17:56:59 ☆ Re: 放物線と直線で囲まれた部分の面積 / X y=a^2-x^2 より y'=-2x ∴条件から P(t,a^2-t^2) (0＜t＜a) (A) と置くとLの方程式は y=-2t(x-t)+a^2-t^2 つまり y=-2tx+a^2+t^2 ∴A(t/2+(a^2)/(2t),0) なので S[1]=∫[t→a]{(-2tx+a^2+t^2)-(a^2-x^2)}dx +∫[a→t/2+(a^2)/(2t)](-2tx+a^2+t^2)dx =… (B) S[2]=(1/2){t/2+(a^2)/(2t)}(a^2-t^2) =… (C) (B)(C)を S[2]=3S[1] に代入してtについての方程式を導き、(A)の範囲の解を求めます。 No.15530 - 2011/10/19(Wed) 19:55:40

★ 中点の存在範囲 / サーシャ

xy平面上の２曲線 　C1;y=x^2 (-2<=x<=2) C2;y=x^2+2 (-2<=x<=2) を考える。点PがC1上を、点QがC2上を動くとき、線分PQの中点が存在する範囲の面積を求めよ 通過領域的な考えですか？ 解説お願いします No.15523 - 2011/10/19(Wed) 01:22:38 ☆ Re: 中点の存在範囲 / ヨッシー ある中点のｘ座標がｔであるとき、その点は、 　(ｔ−α、(ｔ−α)^2) と (ｔ＋α、(ｔ＋α)^2＋２) の中点か 　(ｔ＋α、(ｔ＋α)^2) と (ｔ−α、(ｔ−α)^2＋２) の中点ですが、 いずれも、 　(ｔ、ｔ^2＋α^2＋１) となります。 対称性から0≦ｘ≦2 で考えます。 面積を求める図形を、ｘ＝ｔ　の位置で切ったとき、 ｙ軸方向に、ある幅が出来ますが、それは、 ｔ^2＋α^2＋１ を 0≦α≦２−ｔ の範囲で動かしたときの 最小値と最大値の範囲となります。 最小値は、α＝０　のときの　ｔ^2＋１ 最大値は、α＝２−ｔ のときの　２ｔ^2−４ｔ＋５ よって、幅は　ｔ^2−４ｔ＋４　となります。 これを、ｔ＝０から２まで積分して、２倍すれば出来上がりです。 No.15526 - 2011/10/19(Wed) 07:11:11

★ 複素数 / 高2

pを実数としてf(x)=x^3+(p+2)x^2+(p+2)x-2p+4とおく。 3次方程式f(x)=0はx=-2を解に持つ。 このとき、方程式f(x)=0が異なる3つの解を持ち、これらのうちある1つの解を2乗すると残りの解のいずれかになるようなpの値をすべて求めよ。ただし方程式の解は複素数の範囲で考えるものとする。 まずx=-2を解にもつので、 f(x)=(x+2)(x^2+px-p+2) と因数分解してみましたが、この後の問題の意味が分かりません。 (これらのうちある1つの解を2乗すると残りの解のいずれかになる) 解答解説よろしくお願いします。 No.15519 - 2011/10/18(Tue) 23:26:16 ☆ Re: 複素数 / ヨッシー まず 　x^2+px-p+2＝０ は、異なる２つの解（実数とは限らない）α、βをもち、 それらはいずれも、−２ではない。 ３つの解−２，α、βにおいて、 「ある1つの解を2乗すると残りの解のいずれかになる」とは、 　(-2)^2＝α 　(-2)^2＝β 　α^2＝−２ 　α^2＝β 　β^2＝−２ 　β^2＝α となるということです。 ６つの式、それぞれからｐが求められるかも知れませんし、 ｐが求められない式が、あるかも知れません。 No.15525 - 2011/10/19(Wed) 06:50:21 ☆ Re: 複素数 / 高2 返信ありがとうございます。 　(-2)^2＝α 　(-2)^2＝β の場合からは方程式に代入してp=-6が得られました。 　α^2＝−２ β^2＝−２ からは虚数解√2iが得られたので、実数係数の方程式だから-√2iもまた解であるとし、解と係数の関係からp=0を得ました。 　α^2＝β 　β^2＝α からはどうやってpを求めればいいのか、あるいはpが求められないことをどう示せばよいのか分かりません。 もう少しお付き合いください。お願いします。 No.15539 - 2011/10/20(Thu) 01:10:15 ☆ Re: 複素数 / ヨッシー x^2+px-p+2＝０　の解を　α、α^2 とすると、 解と係数の関係より 　α＋α^2＝−ｐ 　α^3＝−ｐ＋２ ｐを消去して、整理すると 　α^3−α^2−α−２＝０ 最初、ｐ＝−６ を求めたときに、x^2+px-p+2＝０ の解は ｘ＝２，４ だったので、α＝２ は１つの解です。 よって、α−２ をくくりだして、 　α^3−α^2−α−２＝(α−２)(α^2＋α＋１) よって、α＝２ 以外に、α^2＋α＋１＝０ から得られる解(虚数解) があります。 　α^2＋α＋１＝０ より 　α^2＋α＝−１＝−ｐ よって 　ｐ＝１ このとき、x^2+px-p+2＝０　は、 　ｘ^2＋ｘ＋１＝０ となり、解は　ｘ＝(−１±√３ｉ)/２ で、確かに 　{(−１＋√３ｉ)/２}^2＝(−１−√３ｉ)/２ 　{(−１−√３ｉ)/２}^2＝(−１＋√３ｉ)/２ となります。 No.15540 - 2011/10/20(Thu) 05:33:31 ☆ Re: 複素数 / 高2 よく分かりました。ありがとうございました。 No.15542 - 2011/10/20(Thu) 19:55:34

★ 非回転体の体積 / ｓｓｓ

x,y,z空間においてx^2+y^2≦1、y^2+z^2≧1、z^2+x^2≦1 をすべて満たす点の集合からなる体積を求めよ。 おねがいします。 No.15518 - 2011/10/18(Tue) 22:06:26 ☆ Re: 非回転体の体積 / ヨッシー y^2+z^2≧1　は　y^2+z^2≦1　の誤りですね。 こちらの解答に、応用編として 同じ問題があります。 No.15524 - 2011/10/19(Wed) 06:42:00 ☆ Re: 非回転体の体積 / ｓｓｓ ありがとうございます No.15527 - 2011/10/19(Wed) 08:06:10 ☆ Re: 非回転体の体積 / ｓｓｓ サイト内の　V/8=V1+3V2の意味がよく分かりません No.15531 - 2011/10/19(Wed) 20:19:02 ☆ Re: 非回転体の体積 / ヨッシー 上の右の図で、 　V/8＝Ｖ１＋Ｖ２＋Ｖ３＋Ｖ４ ですが、Ｖ２，Ｖ３，Ｖ４ は等しいので、 　V/8＝Ｖ１＋３Ｖ２ です。 ただし、Ｔ３の体積をＶ３，Ｔ４の体積をＶ４　としています。 ８で割っているのは、ｘ≧０、ｙ≧０、ｚ≧０ で考えたものが 上下前後左右、計８個集まって、全体の立体になるからです。 No.15534 - 2011/10/19(Wed) 23:10:04 ☆ Re: 非回転体の体積 / ｓｓｓ ありがとうございます。 No.15543 - 2011/10/20(Thu) 19:59:20

★ 高校生です / rangu

４つの複素数（相異なるものとする）で、等差数列にも等比数列にもなるように並べることができるものは存在するか。存在するなら例を挙げ、条件を満たすことを証明せよ。また、存在しないならば、示せ。 という問題です。お願いします。 No.15514 - 2011/10/18(Tue) 20:02:58 ☆ Re: 高校生です / ヨッシー ａ，ｄを複素数とし、等差数列 　ａ，ａ＋ｄ，ａ＋２ｄ，ａ＋３ｄ を考えます。 ４つの数、ｓ，ｔ，ｕ，ｖ が、この順に等比数列である必要条件は、 　ｓｖ＝ｔｕ ですので、 　ａ，ａ＋ｄ，ａ＋２ｄ，ａ＋３ｄ を並べ替えて、等比数列になるためには、 　ａ(ａ＋３ｄ)＝(ａ＋ｄ)(ａ＋２ｄ)　・・・(1) 　ａ(ａ＋ｄ)＝(ａ＋２ｄ)(ａ＋３ｄ)　・・・(2) 　ａ(ａ＋２ｄ)＝(ａ＋ｄ)(ａ＋３ｄ)　・・・(3) のいずれかが成り立たないといけません。 (1) は計算すると、ｄ＝０ となり不適。 (2)(3) からはいずれも、ｄ＝−２ａ／３　が得られ、 　ａ，ａ＋ｄ，ａ＋２ｄ，ａ＋３ｄ は、 　ａ．ａ／３，−ａ／３，−ａ の４数となります。 ３数　ｓ，ｔ，ｕ がこの順に等比数列であるための必要条件は 　ｔ^2＝ｓｕ ですが、 　ａ．ａ／３，−ａ／３，−ａ において、 　ａが中央の項として、残りの　ａ／３，−ａ／３，−ａ　から、 ２数を選んで掛け合わせて、ａ^2 が出来ることは・・・(以下略) No.15515 - 2011/10/18(Tue) 21:01:13

★ 数Aの必要十分条件についてお聞きします / 梶

p:x^2-6x+9=0⇔q:x=3となる理由が分かりません 十分条件なのは分かるのですが、必要条件になることが理解できません。 問題集に付属の答案には解説が載っていませんでした。 解説をよろしくお願いします。 No.15505 - 2011/10/18(Tue) 06:12:08 ☆ Re: 数Aの必要十分条件についてお聞きします / ヨッシー 例えば、 ｐ：x^2-5x+6=0、ｑ：x=3　だと ｑ→ｐ　のみ成り立つので、ｐはｑであるための、必要条件ですが、 十分条件ではありません。 なぜなら、x^2-5x+6=0 が与えられても、x=2 の可能性もあるので、 x=3 とは限らないからです。（ｐ→ｑ ではない） 一方、x=3 が与えられれば、x^2-5x+6=0 は必ず成り立ちます。（ｑ→ｐである） x^2-6x+9=0 の場合は、解は x=3(重解)のみなので、x=3 以外の可能性は ありません。 よって、十分条件も成り立ち、必要十分条件となります。 No.15507 - 2011/10/18(Tue) 06:39:16

★ 数?Tです。 / みなこ

方程式|x`2−2x−8|＝aについて、次の問に答えよ。 ただし、aは定数とする。 この方程式の解の個数が4個になるとき、aの値の範囲を求めよ。 解説よろしくお願いします！ No.15503 - 2011/10/18(Tue) 01:31:28 ☆ Re: 数?Tです。 / ヨッシー ２つのグラフ 　ｙ＝|ｘ^2−２ｘ−８| 　ｙ＝ａ の交点のｘ座標が、|ｘ^2−２ｘ−８|＝ａ　の解となります。 　ｘ^2−２ｘ−８＝(ｘ＋２)(ｘ−４) より、ｙ＝|ｘ^2−２ｘ−８| のグラフは下のようになります。 これに、ｘ軸に平行なグラフ　ｙ＝ａ　を交わらせたとき、 交点が４個になるのは、(以下略) No.15504 - 2011/10/18(Tue) 05:48:35 ☆ Re: 数?Tです。 / みなこ 解説ありがとうございます！ あと一つ質問なんですが、Ｙ軸の9というのはどこからでてきたのでしょうか… No.15510 - 2011/10/18(Tue) 15:52:15 ☆ Re: 数?Tです。 / ヨッシー ということは、このグラフを実際に描いていませんね？ No.15511 - 2011/10/18(Tue) 17:00:49 ☆ Re: 数?Tです。 / みなこ グラフを書いてもいまいち理解できていないですTT 交点が四つになる所が範囲なんですよね？ No.15512 - 2011/10/18(Tue) 18:29:44 ☆ Re: 数?Tです。 / ヨッシー 二次関数のグラフを描くときは、軸と頂点は外せないはずですが。 No.15513 - 2011/10/18(Tue) 19:29:43 ☆ Re: 数?Tです。 / みなこ グラフは書けました！ ｘ軸に平行な線を書いて交点が四つになるところを調べたんですが、Ｙ軸＜０にも四つになるところがあるんですが、Ｙ軸＞０だけなのはどうしてなんでしょう… No.15516 - 2011/10/18(Tue) 21:47:56 ☆ Re: 数?Tです。 / ヨッシー ｙ＜０ の範囲には、グラフはありません。 なぜなら、絶対値を取っているので、マイナスになることはないからです。 点線は、元のグラフを残してあるだけで、実線だけが本当のグラフです。 No.15517 - 2011/10/18(Tue) 21:55:42 ☆ Re: 数?Tです。 / みなこ 絶対値のことをすっかりそっちのけにしてました…！ おかげで無事解決しました！ ありがとうございました＾＾ No.15522 - 2011/10/19(Wed) 01:05:36

★ ベクトル / サーシャ

空間内４点O,A,B,Cを頂点とする四面体Vがあり、Vは 　OG↓=(OA↓+OB↓+OC↓)/4 で表される点Gを中心とする球面に内接しているものとする (1)OB↓とOC↓の内積OB↓・OC↓を|OA↓|,|OB↓|,|OC↓|を用いて表せ (2)vの４つの面はすべて互いに合同であることを示せ わかりやすい説明お願いします No.15502 - 2011/10/18(Tue) 01:25:41 ☆ Re: ベクトル / ヨッシー ａ＝ＯＡ、ｂ＝ＯＢ、ｃ＝ＯＣ とおきます。 　ＯＧ＝(ａ＋ｂ＋ｃ)/４ 　ＡＧ＝(−３ａ＋ｂ＋ｃ)/４ 　ＢＧ＝(ａ−３ｂ＋ｃ)/４ 　ＣＧ＝(ａ＋ｂ−３ｃ)/４ ＯＧ＝ＡＧ　より 　|ＯＧ|^2＝(|ａ|^2＋|ｂ|^2＋|ｃ|^2＋２ｂ・ｃ＋２ｃ・ａ＋２ａ・ｂ)/１６ 　|ＡＧ|^2＝(９|ａ|^2＋|ｂ|^2＋|ｃ|^2＋２ｂ・ｃ−６ｃ・ａ−６ａ・ｂ)/１６ これらを、等号で結んで整理すると、 　８|ａ|^2−８ｃ・ａ−８ａ・ｂ＝０　・・・(i) ＯＧ＝ＢＧ，ＯＧ＝ＣＧ より同様に、 　８|ｂ|^2−８ａ・ｂ−８ｂ・ｃ＝０　・・・(ii) 　８|ｃ|^2−８ｂ・ｃ−８ｃ・ａ＝０　・・・(iii) (i)、(ii)、(iii) からｃ・ａ、ａ・ｂ を消去して整理すると、 　|ａ|^2−|ｂ|^2−|ｃ|^2＋２ｂ・ｃ＝０ よって、 (1) 　ＯＢ・ＯＣ＝(|ＯＢ|^2＋|ＯＣ|^2−|ＯＡ|^2)/２ (2) (1) の式は変形すると、 　ＯＡ^2＝ＯＢ^2＋ＯＣ^2−２ＯＢ・ＯＣcos∠ＢＯＣ となります。これと、△ＯＢＣ における余弦定理の式 　ＢＣ^2＝ＯＢ^2＋ＯＣ^2−２ＯＢ・ＯＣcos∠ＢＯＣ を比較すると、 　ＯＡ＝ＢＣ であることが分かります。 同様に、ＯＢ＝ＡＣ，ＯＣ＝ＡＢ が成り立ち、 ｖの４つの面はすべて、３辺が相等の合同な三角形になります。 No.15509 - 2011/10/18(Tue) 07:27:42 ☆ Re: ベクトル / サーシャ ありがとうございます！ 理解できました！ No.15521 - 2011/10/19(Wed) 00:52:38

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