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★ (No Subject) / るう

質問失礼します。 曲線C:y=x^２上に点Pn(n=1,2,3,…)がある。点Pn(an,an^2)(an>0)における曲線Cの接線がx軸と交わる点のx座標をan+1として、曲線C上に点Pn+1(an+1,an+1^2)を定めるものとする。 ※an、an+1、Pn+1は数式じゃなくて、数列の方です。 (1)an+1とanとの間に成り立つ関係式を求めよ。 (2)a1=5とするとき、anをnの式で表せ。 よろしくお願いします。 No.14810 - 2011/08/30(Tue) 19:18:07 ☆ Re: / ヨッシー 点Ｐ(t, t^2) 　(ｔ≠０)　とします。 点Ｐにおける曲線Ｃの接線の式は、傾きが２ｔなので、 　ｙ＝２ｔ（ｘ−ｔ）＋ｔ^2 計算して、 　ｙ＝２ｔｘ−ｔ^2 これと、ｘ軸の交点は、ｙ＝０ として 　ｘ＝ｔ/２ ここで、ｔ＝ａn とおくと、最後の式 　ｘ＝ｔ/２ は、 　ａn+1＝ａn/２ であることを表しています。　・・・答え(1) 　ａn+1＝ａn/２ は、公比1/2 の等比数列の漸化式なので、ａ1＝５のとき、 　ａn＝５/２n-1　・・・答え(2) 　 No.14811 - 2011/08/30(Tue) 20:31:48 ☆ Re: / るう 理解できました(^o^) 丁寧な解説 ありがとうございました！ No.14813 - 2011/08/31(Wed) 07:13:18

★ 証明 / 華
三角形ABCの重心、外心、内心、垂心のうち2つが一致すれば、三角形ABCは正三角形である。このことを証明せよ。 という三角形の証明問題です 高１レベルの問題です 解答お願いしますm(__)m No.14803 - 2011/08/30(Tue) 01:02:22 ☆ Re: 証明 / ヨッシー こちらをご覧下さい。 No.14805 - 2011/08/30(Tue) 05:44:43 ☆ Re: 証明 / 華 ありがとうございますm(__)m 理解できるまで頑張ってみます No.14808 - 2011/08/30(Tue) 11:15:39

★ (No Subject) / 752

y=Tanx(Tanはアークタンジェントです)について以下を証明せよ (1+x^2)y(n+1)+2nxy(n)+n(n-1)y(n-1)=0 *yの後ろにある(n+1),(n),(n-1)はその回数分微分という意味です。 お願いします。 数学的帰納法を使いましたができませんでした おねがいします No.14798 - 2011/08/29(Mon) 14:31:46 ☆ Re: / のぼりん こんばんは。 確かに数学的帰納法が良さそうな感じです。 ｎ＝１ の場合は、単に計算するだけです。 一般の場合は、与式の両辺を ｘ で微分し、整理すると出てきます。 万が一、再度やってみて分からない個所がありましたら、その旨仰って下さい。 No.14799 - 2011/08/29(Mon) 19:43:10 ☆ Re: / 752 n=kの時に示した仮定の式をn=k+1の式にどうやって用いればいいのかわかりません No.14800 - 2011/08/29(Mon) 21:27:07 ☆ Re: / のぼりん 前応答に記したとおりです。 　　　（１＋ｘ２）ｙ（ｋ＋１）＋２ｋｘｙ（ｋ）＋ｋ（ｋ−１）ｙ（ｋ−１）＝０ の両辺を ｘ で微分し、 　　　２ｘｙ（ｋ＋１）＋（１＋ｘ２）ｙ（ｋ＋２）＋２ｋｙ（ｋ）＋２ｋｘｙ（ｋ＋１）＋ｋ（ｋ−１）ｙ（ｋ）＝０ です。 左辺を整理し、 　　　（１＋ｘ２）ｙ（ｋ＋２）＋２（ｋ＋１）ｘｙ（ｋ＋１）＋ｋ（ｋ＋１）ｙ（ｋ）＝０ が得られました。 No.14801 - 2011/08/29(Mon) 21:51:47 ☆ Re: / 752 丁寧な回答をしていただいたのですが、 (１＋ｘ２）ｙ（ｋ＋１）をXで微分すると２ｘｙ（ｋ＋１）＋（１＋ｘ２）ｙ（ｋ＋２）のようになぜ（１＋ｘ２）ｙ（ｋ＋２）が追加されるのですか？ No.14802 - 2011/08/29(Mon) 22:11:44 ☆ Re: / 752 解決しました ありがとうございます No.14804 - 2011/08/30(Tue) 02:21:28

★ (No Subject) / maruru

円柱をななめにゆがめた立体の体積の求め方が分かりません。つまり上面（円）の面積がSで底面（円）もSで、上から見ると、上面と底面は一致していなくて、高さがｈのとき、体積はSｈでよいのでしょうか？円柱の体積はSｈというのは知ってますが。よろしく御願いします。 No.14796 - 2011/08/29(Mon) 09:40:17 ☆ Re: / X それで問題ありません。 底面がx軸に垂直であり、かつ底面を含む平面が原点を 通るように問題の立体を配置します。 さてこのときx軸に垂直な平面の断面はいずれも面積Sの 円となりますので、問題の立体がx>0の側にあるとすると その体積Vは V=∫[0→h]Sdx=S∫[0→h]dx=Sh となります。 No.14797 - 2011/08/29(Mon) 12:37:12 ☆ Re: / maruru ちょっと何を言ってるのかよくわからないです。積分は習ってますが。 少し調べてみたのですが、直円柱と比べて底面に平行に切った断面積が常にSで等しいのでカバリエリの原理より双方の体積は等しい。という理解の仕方はあってますか？ No.14809 - 2011/08/30(Tue) 14:41:55 ☆ Re: / ヨッシー 底面積Ｓ、高さｈの円柱の体積を積分で求めたことはありますか？ まだそこまで積分を習得していないなら、カバリエリの原理で 理解しても良いでしょう。 ただし、積分の考え方と、カバリエリの原理の考え方は、同じですので、 どちらかだけ理解しているということは、普通あり得ないです。 つまり、Ｘさんの積分による考え方を理解されていないということは、 カバリエリの原理も本質の部分がすっ飛んで、結果だけ利用して いることになり、数学を学ぶ上では、危険なことです。 図において、高さｈに対して、それをｎ等分した、高さ ｈ／ｎの円盤のような円柱がｎ個あると考えます。 その体積の合計は、底面積Ｓとすると、 　Ｓ×(h/n)×ｎ＝Ｓｈ です。これは、円盤を直円柱に沿って積んでも、斜めに積んでも 同じです。 ｎが小さいと斜めに積んだ方は、側面がガタガタしていますが、 ｎを無限に大きくしたら、なめらかな斜円柱になります。 その場合も、体積は同じです。 この、ｈ/ｎを微小量にして、全部足すのが積分の考え方です。 No.14812 - 2011/08/30(Tue) 21:07:15 ☆ 円柱だけでなく / √ 横から失礼致します。 これは「斜め円柱」だけでなく「斜め円錐」の場合も 同様ですよね？ それから、斜めにしても、「体積」だけでなく「表面積」も 変化無し　と考えてよろしいでしょうか？ No.14814 - 2011/08/31(Wed) 11:17:29 ☆ Re: / らすかる 斜め円錐は同様ですが、表面積は変化します。 「極端に斜めの場合」を考えてみて下さい。 No.14816 - 2011/08/31(Wed) 12:03:44 ☆ 斜円錐の表面積 / √ らすかるさん お返事有り難うございます。 「斜円錐」の場合の展開図を考えてみました。 きっと、 きちんとした扇形になるのではなく、 【弧】の部分が、本来の「直円錐」に比べて 曲率が大きくなってしまうため、 扇形では、なくなってしまうから。 という理由で、あっていますでしょうか？ （斜円柱は表面積も同じで良いんですよね？） No.14817 - 2011/08/31(Wed) 12:43:03 ☆ Re: / らすかる > （斜円柱は表面積も同じで良いんですよね？） 違います。 「極端に斜めの場合」を考えてみて下さい。 No.14818 - 2011/08/31(Wed) 13:23:29 ☆ ？ / √ らすかるさん　再度有り難うございます んーーー分らないです。 【斜円柱の展開図】 円周の長さは変わらないから、 その上の四角形の、横の長さも変わらない。 そして、 極端に斜めにしても、高さは変わらない。 で、「横の長さ」ｘ「高さ」で表面積も変わらない よーな？？？ すみません。分りません、教えてください。 No.14819 - 2011/08/31(Wed) 13:57:55 ☆ Re: / らすかる 展開図を考える必要はありません。 「極端に斜めの場合」を考えてみましたか？ 例えば直円柱の底面の直径が1cm、高さが1cmだとすると 表面積は（立方体より小さいので）明らかに6cm^2未満です。 この上面をヨッシーさんの図のように右にずらしていきます。 例えば10cmずらすと、上から見て明らかに10cm^2以上ですから 表面積は20cm^2以上で、同じにならないのは明白です。 No.14822 - 2011/08/31(Wed) 14:42:23 ☆ Re: / X 横から失礼します。 敢えて展開図で考えても、側面の展開図の長方形の高さは 側面を作る母線の長さに等しくなります。 (斜円柱の高さとは等しくなりません。) 従って傾き方が大きいほど、長方形の高さが大きくなり 側面積は増加しますので、底面積が一定であることから 表面積は増加します。 No.14824 - 2011/08/31(Wed) 15:07:46 ☆ 有り難うございました / √ らすかるさん Ｘさん 有り難うございました。 なんとなくイメージできました。 表面積を考える場合は、斜円柱の高さで考えてはイケナイのですね。 円柱や円錐（柱体や錐体）が、高さを変えないで、そのまま傾いた時、変化しないのは「体積」だけなのですね。 No.14825 - 2011/08/31(Wed) 15:41:49 ☆ Re: / ヨッシー 円柱だと計算が難しいですが、四角柱だとどうでしょう？ 図のように、四角柱を、辺に平行な方向に上底をずらしたとき、 手前の側面は、面積一定（底辺、高さともに一定）ですが、 右側に見える側面は、高さがどんどん長くなるので、面積も 大きくなります。 体積の場合は、微小な部分に切ったとき、１つの円盤の 体積は直円柱、斜円柱とも同じですが、側面積は、微小な 円盤に切っても、斜めは斜めなので、面積は直円柱の場合より 大きくなります。 No.14826 - 2011/08/31(Wed) 15:43:31 ☆ 分りました / √ なるほど、とても、よく分かりました。 ヨッシーさん　有り難うございました。 No.14828 - 2011/08/31(Wed) 17:03:56

★ (No Subject) / hjk

実数xおよび自然数nに対して、fn(x)=cos(x/2)cos(x/2^2)… cos(x/2^n)とする。 log｜fn(x)｜をxで微分することにより、 ∞　 ?? 1/2^n tan（π/2^n）＝1/πが成り立つことを示せ。 n=2 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　おねがいします No.14790 - 2011/08/28(Sun) 22:36:37 ☆ Re: / のぼりん こんばんは。 　　　２ｎｓｉｎ（ｘ/２ｎ）ｆｎ（ｘ）＝２ｎｓｉｎ（ｘ/２ｎ）ｃｏｓ（ｘ/２ｎ）ｃｏｓ（ｘ/２ｎ−１）…ｃｏｓ（ｘ/２） 　　　　＝２ｎ−１ｓｉｎ（ｘ/２ｎ−１）ｃｏｓ（ｘ/２ｎ−１）…ｃｏｓ（ｘ/２） 　　　　＝……＝ｓｉｎ ｘ だから、 　　　ｆｎ（ｘ）＝ｓｉｎ ｘ/｛２ｎｓｉｎ（ｘ/２ｎ）｝ です。 また、 　　　（ｄ/ｄｘ）ｌｏｇ｜ｆｎ（ｘ）｜ 　　　　＝（ｄ/ｄｘ）｛ｌｏｇ｜ｃｏｓ（ｘ/２）｜＋ｌｏｇ｜ｃｏｓ（ｘ/２２）｜＋…＋ｌｏｇ｜ｃｏｓ（ｘ/２ｎ）｜｝ 　　　　＝−１/２・ｓｉｎ（ｘ/２）/ｃｏｓ（ｘ/２）−１/２２・ｓｉｎ（ｘ/２２）/ｃｏｓ（ｘ/２２） 　　　　　−…−１/２ｎ・ｓｉｎ（ｘ/２ｎ）/ｃｏｓ（ｘ/２ｎ） 　　　　＝−Σｋ＝１ｎ １/２ｎ・ｔａｎ（ｘ/２ｎ） です。 No.14791 - 2011/08/28(Sun) 23:15:45 ☆ Re: / hjk ありがとうございます。 No.14807 - 2011/08/30(Tue) 09:36:43

★ (No Subject) / badjm
2時関数y=ax^2+4x+a-3において，yの値が常に負である｡ 教えて下さい｡ No.14789 - 2011/08/28(Sun) 14:17:29 ☆ Re: / オルフェウス 2次関数y=ax^2+4x+a-3・・?@において，yの値が常に負であるためのaの条件を求めよということですね？ a<0かつ?@の頂点のy座標＜０（?@の判別式＜０でもよい）が題意を満たすための必要充分条件です。 No.14846 - 2011/09/02(Fri) 06:31:49 ☆ Re: / オルフェウス 必要十分条件です。 No.14847 - 2011/09/02(Fri) 06:32:31

★ (No Subject) / 、
2つの放物線y=x^2+2mx+m+2，y=x^2+mx+mがともにx軸と共有点をもつような定数の値の範囲を求めよ。 解説とやり方教えて下さい No.14788 - 2011/08/28(Sun) 14:15:25 ☆ Re: / ヨッシー それぞれ判別式を取って、 　ｍ^2−ｍ−２≧０　・・・(1) 　ｍ^2−４ｍ≧０　　・・・(2) (1) より　ｍ≦−１　または　ｍ≧２ (2) より　ｍ≦０　または　ｍ≧４ 以上より　ｍ≦−１　または　ｍ≧４ No.14795 - 2011/08/29(Mon) 08:09:36

★ 「１時間で１分進む」の解釈 / √

久々の投稿です。よろしくお願い致します。 「１時間で１分進む」の解釈についてです。 【１時間で１分進む時計】があります。 この時計の針を１２時０分に合わせました。 この時計は７時間後には、何時何分を指しているでしょうか？ この問題の答えは １２時７分です。（１時間で１分進むから） この問題の書き方だと、 「１２時７分」　と　「７時７分」 どちらの答えも正解ですよね？ 変な質問で、すみません。 　 No.14779 - 2011/08/27(Sat) 23:34:58 ☆ Re: 「１時間で１分進む」の解釈 / ヨッシー どちらも正解というより、 問題の不備（２通りの解釈が出来る）の 部類になると思います。 No.14780 - 2011/08/28(Sun) 01:05:30 ☆ Re: 「１時間で１分進む」の解釈 / √ ヨッシーさん　おはようございます。 有り難うございました。 　 No.14782 - 2011/08/28(Sun) 05:43:07

★ (No Subject) / かい
座標平面上にA(3,4),B(1,1),C(4,3),P(-1,-2)とする。 三角形APCの面積は？ 答え５ No.14778 - 2011/08/27(Sat) 22:04:50 ☆ Re: / ヨッシー 図のように考えて、 　30−12−12.5ー0.5＝５ です。 No.14781 - 2011/08/28(Sun) 01:11:06

★ ベクトル / かい
三角形ABCはAB=４、AC=３、∠A＝60°とする。辺BC上にAB・AD(ABとADの内積)＝12となるように点Dをとる。 問BD＝□BC □は？　　答え２/５ 説明お願いします No.14777 - 2011/08/27(Sat) 22:00:38 ☆ Re: ベクトル / ヨッシー ＢＤ＝ｋＢＣ　とすると、 　ＡＤ＝ＡＢ＋ｋＢＣ また、 　ＢＣ＝ＡＣ−ＡＢ より 　ＡＤ＝ＡＢ＋ｋ(ＡＣ−ＡＢ) 　　　＝(１−ｋ)ＡＢ＋ｋＡＣ 　ＡＢ・ＡＤ＝(１−ｋ)ＡＢ・ＡＢ＋ｋＡＣ・ＡＢ 　　　＝16(１−ｋ)＋６ｋ＝１６−１０ｋ＝１２ より　ｋ＝２／５ No.14784 - 2011/08/28(Sun) 06:34:44

★ ベクトル / かい

台形ABCDが３AD＝２BDを満たす。辺AB、DC上にそれぞれ点E,FをAE：EB＝DF：FC＝３：２となるようにとる。BDとACの交点をG、BDとEFの交点をH、ACとEFの交点をIとする。このとき、HI＝□BC □を求めよ 答え　７/15 やり方お願いします No.14776 - 2011/08/27(Sat) 21:14:23 ☆ Re: ベクトル / ヨッシー 特殊な場合として、ＡＤ＝２，ＡＢ＝√５ の長方形を 考えると、ＢＤ＝３　となり、３ＡＤ＝２ＢＤ を満たしますが、 この場合、ＨＩ＝(1/5)ＢＣ　となります。 問題文が間違っている可能性が高いです。 No.14785 - 2011/08/28(Sun) 06:54:43 ☆ Re: ベクトル / かい すいません間違えました ３AD＝２BCでした No.14792 - 2011/08/29(Mon) 01:54:05 ☆ Re: ベクトル / ヨッシー ＡＢ//ＤＣ　なのか　ＡＤ//ＢＣ　なのか不明なので、 やはり条件不十分ですが、ＡＢ//ＤＣ　では、ＢＣ：ＨＩが 一定にならないので、ＡＤ//ＢＣ　と推測します。 　ＡＧ：ＧＣ＝ＤＧ：ＧＢ＝ＡＤ：ＢＣ＝２：３ なので、図のように、対角線ＡＣまたはＢＤを５等分する点を取ると、 点Ｇはそのうちの１つであり、△ＧＨＩと△ＧＢＣは１：３の 相似形になります。 よって、ＨＩ＝(1/3)ＢＣ　となります。 やはり、問題(または答え)がおかしいです。 No.14793 - 2011/08/29(Mon) 07:22:19 ☆ Re: ベクトル / ヨッシー ひょっとして、 　３AD＝２BC は、ベクトルでしょうか？ だとしたら、ＡＤ//ＢＣ で、上の通りですね。 でもやはり 　ＨＩ＝(1/3)ＢＣ です。 No.14794 - 2011/08/29(Mon) 08:06:47

★ ベクトル / かい

ベクトルa,bは|a|=|b|=1 a・b(aベクトルとbベクトルの内積）が0を満たしベクトルc=(3,4)とベクトルaのなす角をαとする。 問　θは０以上2π以下を満たすながら動く。ｓ=cosθ 　　t=sinθとおくとき,|sa+tb+c|の最大値と最小値は？ 答え　最大値６　最小値４ やり方の説明お願いします No.14775 - 2011/08/27(Sat) 21:07:03 ☆ Re: ベクトル / ヨッシー ｃ＝(3,4) の成分を規定する座標系と、原点は共通で、 ａ方向をｘ軸、ｂ方向をｙ軸とする別の座標系を考えます。 この座標系のｘ軸とのなす角がαまたは−αで、長さが５のベクトルが、 ｃになります。 ｄ＝ｓａ＋ｔｂは、この座標系では、ａをθだけ 回転したものなので、長さ１のベクトルです。 よって、|ｄ＋ｃ| は、ｃとｄが 同じ方向のとき最大で、５＋１＝６ 逆方向の時最小で、５−１＝４ となります。 No.14786 - 2011/08/28(Sun) 08:54:28

★ 五心について / うーたま

もう一度スレたてます。 私たちの資料(教科書)には 重心と内心が 一致したときの証明は <頂点Ａの中線をAM、重心をG 角Ａのニ等分線をＡＤ、 内心をIと定める。 Ｇ＝Ｉの場合D＝M AB:AC＝BD:CDであり AB＝AC 同様に三辺が等しい。 よって正三角形となる■> といった証明が 書かれています。 ですが、教官曰わくこれでは ○はつけれないそうです。 むしろﾍﾟｹだと。 私たちの課題は 正確にしっかりとした 証明を書くことなのですが、 どうしたらよいでしょうか。 丁寧な証明ってどんなのでしょう。 No.14771 - 2011/08/27(Sat) 14:08:09 ☆ Re: 五心について / ヨッシー 話の筋道は悪くないので、表記の方法その他で、まずそうな所を挙げてみます。 点に対して、Ｇ＝Ｉ、Ｄ＝Ｍという表現はよろしくおりません。 ＧとＩが一致すると、ＡＭとＡＩは同一直線となり、 ＤとＭが一致する。 のような表現が良いでしょう。 ＡＢ：ＡＣ＝ＢＤ：ＣＤ はなぜそう言えるのか？ ＡＤが∠Ａの二等分線であることと、角の二等分線の定理により と言った説明が必要でしょう。 また、「角の二等分線の定理」は、無条件に使ってもいい定理かは 不安な点があります。その場合は、補題として、証明しておく必要があります。 >AB＝AC 同様に三辺が等しい。 は、飛躍しすぎの間があります。 同様に、で言えるのは、ＡＢ＝ＢＣ　などであって、 それを踏まえて３辺が等しいと言うことが出来ます。 No.14772 - 2011/08/27(Sat) 14:30:47 ☆ Re: 五心について / うーたま もう一度質問です 角の二等分線の定理より AB:AC=BD:CD=1:1 よってAB=AC BC=AC △ABCは正三角形である■ BC=AC になるのはなぜですか No.14773 - 2011/08/27(Sat) 16:02:09 ☆ Re: 五心について / ヨッシー ∠Ａの二等分線を・・・・ 　・・・ ＡＢ＝ＡＣ ∠Ｃの二等分線を・・・・ 　・・・ ＢＣ＝ＡＣ です。 「・・・・」の部分は、全く同じ証明なので、 「同様に」という言葉で省略しています。 ですから、最低でも「同様に」と書いておかないと それこそ採点者に「なぜですか」と思われてしまいます。 No.14783 - 2011/08/28(Sun) 06:27:01 ☆ Re: 五心について / あ なるほど。 ありがとうございました！ No.14806 - 2011/08/30(Tue) 08:45:48

★ 高1 / ja

ﾎﾞｰﾙを地上から25m/秒で真上に投げ上げると､投げてからx秒後のﾎﾞｰﾙの高さymは､およそy=-5x^2+25x(0≦x≦5)で表される｡投げ上げてからx秒後のﾎﾞｰﾙの高さが20m以上30m以下であるとき､xの値の範囲を求めよ｡ 式とやり方をお願いします 答えは1≦x≦2,3≦x≦4です No.14766 - 2011/08/26(Fri) 23:39:35 ☆ Re: 高1 / ヨッシー そのまま 　20≦-5x^2+25x≦30 です。 これを解いて、1≦ｘ≦4　かつ　(ｘ≦2　または　ｘ≧3) 以上より、 　1≦x≦2,3≦x≦4 となります。 No.14767 - 2011/08/27(Sat) 01:27:44 ☆ Re: 高1 / ぷりっつ 2つの放物線y=x^2+2mx+m+2､y=x^2+mx+mがともにx軸と共有点をもつような定数mの値の範囲を求めよ｡ 答えはm≦-1，4≦m やり方教えて下さい｡ No.14787 - 2011/08/28(Sun) 14:08:52

★ 確率、期待値 / きみた

1,2,3の数字が1つずつ書かれた青のカードが3枚と1,2,3の数字が1つずつ書かれた白のカードが3枚の計6枚のカードがある。 6枚のカードを袋に入れて、1枚取りだし、取り出したカードの色と数を確認してカードを袋に戻す試行を同じ色のカードが3枚出るまで繰り返して行う。 最後に取り出されたカードの色で、以下のように得点Xを決める。 （ア）青のカードのとき、それまでに取り出された白のカードに書かれている数の和をXとする。 ただし、白のカードが1枚のときは、そのカードの数をXとし、白のカードが0枚のときはX=0とする。 （イ）白のカードのとき、X=0とする。 （1）X=1である確率　 （2）X=3である確率 （3）X=4である確率 （4）Xの期待値 解答をみたのですが、X=3のときからわかりません。 3となるのは、青が3枚揃うまでに、 〈1〉3と書かれた白が1枚でる 〈2〉2と書かれた白が1枚、1と書かれた白が1枚でる 〈3〉1と書かれた白が3枚出る と、3通り考えられると思うのですがおかしいでしょうか？ 解答は〈1〉〈2〉のみで、5/48となっています No.14765 - 2011/08/26(Fri) 23:37:55 ☆ Re: 確率、期待値 / ヨッシー 〈3〉1と書かれた白が3枚出る だと、白が先に3枚出たことになり、 （イ）白のカードのとき、X=0とする。 より、X=3 となりません。 No.14768 - 2011/08/27(Sat) 01:34:31 ☆ Re: 確率、期待値 / きみた 青しか頭に入っていませんでした。　 ありがとうございます No.14769 - 2011/08/27(Sat) 02:06:17

★ (No Subject) / ７５２
深さが20?p、上面の半径10cmの直円錐の容器がある。 これに毎分15㎤の割合で水を入れると、水の深さが8cmの時の水面が上がる速さはいくらか。 No.14762 - 2011/08/26(Fri) 16:59:30 ☆ Re: / X 水面の高さがh[cm]のときの水の容積をV[cm^3]、 水面の半径をr[cm]とすると h:r=20:10 (A) V=(1/3)(πr^2)h (B) (A)(B)より V=(1/12)πh^3 これを水の入れ始めからの時刻t[min]で微分して dV/dt=(1/4)(πh^2)(dh/dt) (C) (C)にdV/dt=15[cm/min]、h=8[cm]を代入して dh/dt[cm/min] の値を計算します。 No.14763 - 2011/08/26(Fri) 18:35:28

★ (No Subject) / ちーず
次の不等式または連立方程式を満たす整数xの値をすべて求めよ｡ (1)x^2-2x-4＜0 (2)x^2+2x＞1 　 x^2≦10 やり方教えて下さい No.14759 - 2011/08/26(Fri) 15:13:26 ☆ Re: / X (1) x^2-2x-4=0 の解は x=1±√5 ∴x^2-2x-4＜0 の解は 1-√5＜x＜1+√5 (A) ここで 2＜√5＜3 ∴ 3＜1+√5＜4 (B) -2＜1-√5＜-1 (C) (A)(B)(C)より x=-1,0,1,2,3 (2) (1)と同様の方針で解きます。 但しこの場合は連立不等式の解が２つの区間になるので それぞれの区間について場合分けして考えます。 No.14761 - 2011/08/26(Fri) 16:13:05

★ (No Subject) / haj

?凾`ＢＣにおいて、（sinC-sinB）/2=（cosB-cosC）sinA が成り立つとき、この三角形はどのような形をしているか。 おねがいします。 No.14756 - 2011/08/26(Fri) 00:08:07 ☆ Re: / X △ABCにおいて∠A,∠B,∠cの対辺をa,b,c、また外接円の 半径をRとすると正弦定理、余弦定理により sinA=a/(2R) sinB=b/(2R) sinC=c/(2R) cosB=(c^2+a^2-b^2)/(2ca) cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab) これらを問題の等式に代入すると {c/(2R)-b/(2R)}/2 ={(c^2+a^2-b^2)/(2ca)-(a^2+b^2-c^2)/(2ab)}{a/(2R)} これより (c-b)bc=(c^2+a^2-b^2)-(a^2+b^2-c^2) (c-b)bc=2(c^2-b^2) (c-b)(2c+2b-bc)=0 (A) ここで横軸にb、縦軸にcを取って 2c+2b-bc=0 のグラフを考えると b＞0かつc＞0 とはなりえないので(A)より b=c よって△ABCは∠B=∠Cの二等辺三角形です。 No.14757 - 2011/08/26(Fri) 06:39:44 ☆ Re: / haj 分かりました。ありがとうございました。 No.14774 - 2011/08/27(Sat) 17:53:31

★ 数?UＢ・三角比の値 / スイショウ

初めて利用させて頂くスイショウです。 高１ですが塾で既に数?UＢを予習しております。 問題：8sinθ＋cosθ＝7（90°＜θ≦180°)のとき，tanθ，cosθ，sinθの値を求めよ。 答え（若干簡略化します）： cosθ＝7-8sinθを　公式cos²θ＋sin²θ＝1に代入して (7-8sinθ)²＋sin²θ＝１　これを解いて（因数分解）， sinθ＝12/13，4/5 　・sinθ＝12/13のとき 　　　　cos²θ＝1-144/169＝25/169 （公式利用） 　　　　90°＜θ≦180°からcosθ＜0よりcosθ＝-5/13 　　　　tanθ＝-12/5 　・sinθ＝4/5のとき　・・以下略 答えはこんな感じになるのですが， 途中にある 「90°＜θ≦180°からcosθ＜0より」がよくわかりません。 90°＜θ≦180°ということは添付ファイルのような青い部分が範囲ですよね。 ということは，cosθの範囲でいえば，−１≦cosθ＜0だと書くべきだと思うのですが， なぜ「−１≦」とは書かないのでしょうか。 そもそも本当はそんなこと書いたらいけないのでしょうか。 もしかしたら僕がいろいろ勘違いしている可能性もあるので， そういうことがありましたら指摘して頂けると助かります。 No.14751 - 2011/08/25(Thu) 17:45:42 ☆ Re: 数?UＢ・三角比の値 / X スイショウさんの仰るとおり、正確には −１≦cosθ＜0 と書く必要があります。 但し、この解答で問題になるのはcosθの符号であり 又cosθが正にせよ負にせよ少なくとも |cosθ|≦1 の範囲にあることは明らかですので敢えて −１≦cosθ は省略しているものと思います。 No.14752 - 2011/08/25(Thu) 18:17:20 ☆ Re: 数?UＢ・三角比の値 / スイショウ 範囲がどうこうではなくて， 符号が＋か−かが問題だということですね！ 分かりやすい説明ありがとうございます。納得しました。 No.14754 - 2011/08/25(Thu) 19:30:38

★ (No Subject) / KEN

ａは定数とし、0≦x≦πとする。 P＝4cos^2 2x-2(a-1)cos2x-aがあり、この等式の右辺を因数分解すると P＝(アcos2x+イ)(ウcos2x-エ)となる。 (1) 方程式P＝0が解をちょうど2個もつようなaの値の範囲は a＜オカ、a＝キク、ケ＜aであり、このとき、解はx＝π/コ、サ/シπ…(＊)である。 (2)方程式P＝0が解をちょうど3個もつようなaの値はa＝スセであり、このとき、解は(1)の(＊)以外にx＝π/ソがある。 (3)方程式P＝0が解をちょうど4個もつようなaの値の範囲はタチ＜a＜ツテ、ツテ＜a≦トである。 また、a＝1として、不等式P＜0を解くと π/ナ＜x＜π/ニ、ヌ/ネπ＜x＜ノ/ハπである。 ア〜ハの解き方を教えてください。お願いします。 No.14750 - 2011/08/25(Thu) 16:57:39 ☆ Re: / ヨッシー cos2x=Ｘ とおくと、 　Ｐ＝4X^2-2(a-1)X-a＝(2X+1)(2X-a) (1) Ｐ＝０ の解となりうるのは、 　cos2x＝-1/2, cos2x＝a/2 から、得られる解ですが、 　cos2x＝-1/2 からはすでに、ｘ＝π/3, 2π/3 が得られているので、 解が２個になるには、cos2x＝a/2 から、解が得られないか、 cos2x＝-1/2 と全く同じ解を持つかです。 よって、ａ＜-2、ａ＝−１、ａ＞２　のとき。 このとき解は、ｘ＝π/3, 2π/3。 (2) cos2x＝a/2 において、 解が１つだけか、２つの解のうち、１つが、(＊)と共通である場合が、 考えられますが、同じ cos2x の方程式なので、。後者はありえません。 　a=2 のとき、x=0,π となり不適 　a=-2 のとき、x=π/2　・・・ＯＫ (3) (1)(2) 以外の場合が解が４個の場合です。よって、 　-2＜ａ＜−１、−１＜ａ≦２ a=1 のとき 　Ｐ＝(2X+1)(2X-1)＜０ より　-1＜2X＜1　つまり 　-1/2＜cos2x＜1/2 よって、 　π/３＜2x＜２π/３ 　４π/３＜2x＜５π/３ 以上より 　π/６＜x＜π/３ 　２π/３＜x＜５π/６ No.14758 - 2011/08/26(Fri) 08:35:37 ☆ Re: (No Subject) / 三毛猫 P＝4cos^2x-2(a-1)cos2x-aがあり、 この等式の右辺を因数分解すると、 P＝(2cos2x+1)(2cos2x-a)…?@ (1)方程式P＝0が解をちょうど2個もつようなaの範囲は?@より、 cos2x＝-1/2,a/2 2cos^2x-1＝-1/2,a/2 cos^2x＝1/4,(2+a)/4 cosx＝±1/2,±√(2+a)/2 (cosx＝±1/2からx＝π/3,2π/3の2つの解がある) 0≦x≦πより、-1≦cosx≦1のとき P＝0の解がちょうど2つになればよいので (?T)±√(2+a)/2が解をもたないとき つまり、±√(2+a)/2が虚数解になればよいので分子の√(2+a)の中が0より小さくなればよい よって、2+a＜0 a＜-2 (?U)±1/2＝±√(2+a)/2となるとき ±1/2＝±√(2+a)/2 1/4＝(2+a)/4 2+a＝1 a＝-1 (?V)±√(2+a)/2が-1≦cosθ≦1の範囲外にあるとき -√(2+a)/2＜-1かつ√(2+a)/2＞1 計算すると、 a＞2 (?T),(?U),(?V)のとき、いずれにせよcosx＝±1/2を解にもつので 0≦x≦πより、 x＝π/3,2π/3…(＊) (2)P＝0が解をちょうど3個もつようなとき、 cosx＝±√(2+a)/2からπ/3,2π/3以外の解があと1つでればよい よって、±√(2+a)/2＝0 a＝-2 このとき解は(＊)以外にcosx＝0 つまりx＝π/2がある (3)P＝0が解をちょうど4個もつようなとき cosx＝±√(2+a)/2からπ/3,2π/3以外の解があと2つでればよい 0＜√(2+a)/2＜1/2,1/2＜√(2+a)/2≦1 計算すると、 -2＜a＜-1,-1＜a≦2 またa＝1としてP＜0を解くと、 ?@より、 P＝(2cos2x+1)(2cos2x-1)＜0 よって、 -1/2＜cos2x＜1/2 0≦2x≦2πより π/3＜2x＜2π/3,4π/3＜2x＜5π/3 したがって、 π/6＜x＜π/3,2π/3＜x＜5π/6 よって ア2 イ1 ウ2 エa オ- カ2 キ- ク1 ケ2 コ3 サ2 シ3 ス- セ2 ソ2 タ- チ2 ツ- テ1 ト2 ナ6 ニ3 ヌ2 ネ3 ノ5 ハ6 となります。 No.14760 - 2011/08/26(Fri) 15:36:47

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