a,b,c,dを正の整数とし、M＝（ab）とする。Mの定めるｘｙ
cd
平面内の一次変換をｆとし、A（1,0）B（1,1）C（0,1）のｆによる像をP,Q,Rとする。P,Q,Rが同一直線上にないとき
（1）a,b,c,dが満たすべき条件を求めよ。
次に、座標の原点をOとする、（１）の条件を満たしながら
a,b,c,dが変化するとき、四角形OPQRの面積の最小値をmとする。
(2)mを求めよ。
(3)四角形OPQRの面積がmであるとき、四角形OPQRの内部に格子点はないことを証明せよ。
（ｃｆ）Mは二次の正方行列を表しています。
お願いします。
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No.15171 - 2011/09/24(Sat) 18:25:06
| ☆ Re: 一次変換 / X | | | (1)
題意から
↑OP=(a,c) (A)
↑OR=(b,d) (B)
↑OQ=(a+b,c+d)=↑OP+↑OR (C)
∴P,Q,Rが同一直線上にないためには
↑OP//↑OR
であってはいけないので
↑OR≠k↑OP (k:実数の定数)
これより
b≠ka (D)
d≠kc (E)
(D)(E)よりkを消去して
ad-bc≠0 (F)
(2)
(A)(B)(C)により四角形OPQRはOP//QRの平行四辺形 (P)
∴その面積をSとすると
S=(△OPRの面積の２倍)=OP・OQsin∠POR
=OP・OR・√{1-(cos∠POR)^2}
=OP・OR・√{1-{(↑OP・↑OR)/(OP・OR)}^2}
=√{(OP・OR)^2-(↑OP・↑OR)^2}
=… (自分で計算してみましょう)
=|ad-bc|
ここで(F)とa,b,c,dが正の整数であることから
m=(Sの最小値)=1
(3)
四角形OPQRの内部の点をT(j,k)とすると(P)より
↑OT=x↑OP+y↑OR
(0＜x＜1,0＜x＜1) (G)
これに(A),(B)を代入すると
↑OT=M↑OU (H)
(但し↑OU=(x,y))
ここで(F)よりMには逆行列が存在するので(H)より
↑OU={M^(-1)}↑OT (I)
さてTが格子点であると仮定すると、(2)の結果により
(I)の右辺の成分は整数
(j,kが整数となることに注意して、具体的に計算して確かめて下さい)
となりますがこれは(G)に矛盾します。
よって背理法により問題の命題は成立します。
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No.15172 - 2011/09/24(Sat) 19:40:29 |
| ☆ Re: 一次変換 / angel | | | (1) 行列Ｍが正則 ( 逆行列を持つ ) というのが必要十分条件
もし正則でなければ、P,Q,R ( といわず、全ての点Xに対するf(X) ) は必ず同一直線上に来ます。なので必要性については簡単です。
では、正則ならば「必ず」同一直線上に来るのか。十分性について説明が必要です。
これについては、↑ｐ=f(↑ａ), ↑ｑ=f(↑ｂ), ↑ｒ=f(↑ｃ) という関係と、↑ｂ=↑ａ+↑ｃから。
一次変換の性質 ( 線形性 ) から、f(↑ｂ)=f(↑ａ)+f(↑ｃ) つまり、↑ｑ=↑ｐ+↑ｒ
Ｍが正則なら、↑ｐ,↑ｒは非ゼロで一次独立ですから、P,Q,R は一直線上にはないことになります。( OQの中点、P,R は一直線上にありますが )
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No.15173 - 2011/09/24(Sat) 19:42:41 |
| ☆ (3)別解 / angel | | | あら、既にXさんが回答されていましたね。
では、(3)について別解。
(2)に出てきた話により、全ての頂点が格子点となっている平行四辺形の面積の最小値は1です。
同様に、全ての頂点が格子点となっている三角形の面積の最小値は半分の1/2です。
そうすると、もし□OPQR=1 かつ □OPQRの内部に格子点Xが存在したとすると、
□OPQR=△XOP+△XPQ+△XQR+△XRO
1≧1/2×4=2
ということで矛盾を生じます。
※不等号を等号なしのものに間違えていたため、訂正しました
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No.15174 - 2011/09/24(Sat) 19:47:56 |
| ☆ Re: 一次変換 / loass | | | No.15176 - 2011/09/24(Sat) 23:32:25 |
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