1辺の長さaの正方形ABCDの辺AB,BC,CD,DA上に、それぞれ点E,F,G,HをAE=BF=CG=DHとなるようにとる。正方形EFGHの面積の最小値と△AEHの内接円の半径rの最大値を求めよ。
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No.14924 - 2011/09/05(Mon) 16:39:49
| ☆ Re: / ヨッシー  | | | AE=BF=CG=DH=x (0≦x≦a) とします。
正方形ＥＦＧＨの面積Ｓは、
正方形ＡＢＣＤ－４×△ＡＥＨ
で表されるので、
Ｓ＝ａ^2－4x(a-x)/2
＝2x^2-2ax＋a^2
＝2(x-a/2)^2＋a^2/2
より、ｘ＝a/2 のとき、最小値 a^2/2
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No.14926 - 2011/09/05(Mon) 18:23:52 |
| ☆ Re: / shun | | | ありがとうございます。
半径ｒの最大値についても、どなたか解答していただけますか。よろしくお願いします。
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No.14930 - 2011/09/06(Tue) 13:48:23 |
| ☆ Re: / ヨッシー | | | 直角三角形の場合、斜辺をｄ，他の辺をｂ，ｃとすると、
内接円の半径ｒは
ｒ＝(ｂ＋ｃ－ｄ)／２
で表されます。よって、上の問題の場合、
AE=BF=CG=DH=x (0≦x≦a)
とすると、
２ｒ＝ｘ＋（ａ－ｘ）－√{ｘ^2＋(ａ－ｘ)^2}
＝ａ－√(２ｘ^2－２ａｘ＋ａ^2)
となり、２ｘ^2－２ａｘ＋ａ^2 が最小の時に、ｒは最大になります。
２ｘ^2－２ａｘ＋ａ^2＝２(ｘ－a/2)^2＋a^2/2
より、ｘ＝a/2 のとき、
２ｒ＝ａ－ａ/√2＝(√2－１)ａ/√2
ｒ＝(√2－１)ａ/2√2
が、最大値となります。
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No.14936 - 2011/09/07(Wed) 13:50:05 |
| ☆ Re: / ヨッシー | | | 上の記事の、
ｒ＝(ｂ＋ｃ－ｄ)／２
は、下の図で示すことが出来ます。
直角三角形ＡＢＣにおいて、Ａ，Ｂ，Ｃから内接円の接点までの
長さを、ｓ，ｔ，ｒとすると、ｒが内接円の半径に当たります。
ＡＣ＋ＢＣ＝２ｒ＋ｓ＋ｔ
であり、これから、ＡＢ＝ｓ＋ｔ を引くと、
ＡＣ＋ＢＣ－ＡＢ＝２ｒ
となります。
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No.14937 - 2011/09/07(Wed) 13:56:25 |
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