ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 通過領域の問題です / ぷるお

実数tに対してxy平面上の直線Ltをつぎのように定義する
Lt:y=(1/(t^2+1))(4tx+t^2-1)

(1)tが実数全体を動くとき、Ltの通りうる範囲を求めよ(図示せよ)
(2)tがt>=0のすべての範囲を動くとき、Ltの通りうる範囲を求めよ(図示せよ)

一応双曲線の判別式がでてきました
詳しい解説、お願いします！

No.15413 - 2011/10/11(Tue) 01:04:06

☆ Re: 通過領域の問題です / はにゃーん

途中の計算過程は省きます。
もっと楽な別解もあるかも。

(1)Ltをtの二次方程式f(t)=0としてみると
(i)y≠1のとき（tの二次式となるとき）
tは実数解を持たねばならないので判別式が0以上より
4x^2 - y^2 ≧ -1

(ii)y=1のとき（tの一次式となるとき）
2xt=1となり, x=0は不適でx≠0でtはすべての実数を取る。

まとめると、求める領域は4x^2 - y^2 ≧ -1 ただし(0, 1)を除く

(2)t＞0で少なくとも1つ解を持つ条件を考えます。
Y=f(t)が二次関数で上に凸か下に凸か一次関数かで場合分けします。

[1] y＞1のとき（下に凸のとき）
(i)正の負の解が１つづつのときf(0)＞0
(ii)２つの解が正の時、解をα,βとおくとD≧0かつαβ＞0かつα+β＞0

より「x＞0かつ4x^2 - y^2 ≧ -1」

[2]y＜1のとき（上に凸のとき）
(i)正の負の解が１つづつのときf(0)＞0
(ii)２つの解が正の時、D≧0かつαβ＞0かつα+β＞0
（分母を払う時、分母の正負に気をつけて）

より「-1＜y＜1」または「x＜0かつ4x^2 - y^2 ≧ -1」

[3]y = 1のとき
2tx = 1
t＞0のためには「x＞0」

求める領域は
「y＞1かつx＞0かつ4x^2 - y^2 ≧ -1」
「y＜1かつx＜0かつ4x^2 - y^2 ≧ -1」
「-1＜y＜1」
「y=1かつx＞0」
といった領域です。

（ところで双曲線の判別式とは初耳ですがなんでしょうか？）

No.15415 - 2011/10/11(Tue) 03:25:14

☆ Re: 通過領域の問題です / はにゃーん

(2)はt≧0でしたね。
適宜先の回答を読み替えてください。

No.15418 - 2011/10/11(Tue) 13:01:29

☆ Re: 通過領域の問題です / ぷるお

とても分かりやすいご説明ありがとうございます！！

すべて理解できました！！

No.15421 - 2011/10/11(Tue) 17:35:00

★ 空間ベクトルの内積です / ぷるお

a,b,cをすべてベクトルで表されてるとします

a,bを零でない空間ベクトル、s,tを負でない定数とし、
c=sa+tb
とおく。このとき、次のことを示せ

(1)s(c・a)+t(c・b)>=0
(2)c・a>=0,またはc・b>=0
(3)|c|>=|a|かつ|c|>=|b|ならば,s+t>=1

結構きちんとした証明をお願いしたです

No.15412 - 2011/10/11(Tue) 00:19:46

☆ Re: 空間ベクトルの内積です / X

(1)
(左辺)=c・(sa)+c・(tb)=c・(sa+tb)=c・c=|c|^2≧0=(右辺)

(2)
c・a＜0 (A)
かつ
c・b＜0 (B)
であると仮定するとs＞0,t＞0より
(A)×s+(B)×tが計算できて
s(c・a)+t(c・b)＜0
これは(1)の結果に矛盾します。
よって背理法により命題は成立します。

No.15416 - 2011/10/11(Tue) 03:32:52

☆ Re: 空間ベクトルの内積です / ヨッシー

(3)
対偶である、
　ｓ＋ｔ＜１　ならば　|ｃ|＜|ａ|　または　|ｃ|＜|ｂ|
を示します。
ｓ＝ｔ＝０の時は、明らかに、
　|ｃ|＜|ａ|　または　|ｃ|＜|ｂ|
が成り立つので、ｓ＋ｔ＞０とします。
ｋ＝1/(s+t)＞１とし、
　ｄ＝ｋｃ
とします。ｄで表される点は、線分ＡＢ（端点を含む）上に
あります。
位置ベクトルの始点を点Ｏとし、
　ＯＡ＝ａ、ＯＢ＝ｂ、ＯＤ＝ｄ
とします。
∠ＯＤＡ、∠ＯＤＢの少なくとも一方は、90°以上なので、
余弦定理より、ＯＡ、ＯＢの少なくとも一方は、ＯＤより
大きくなります。
ＯＣ＝ｃとすると、
　ＯＣ＝(1/k)ＯＤ
であり、ＯＣ＜ＯＤであるので、
　|ｃ|＜|ａ|　または　|ｃ|＜|ｂ|
が成り立ちます。

もっと、いい方法があるかも知れません。

No.15417 - 2011/10/11(Tue) 10:35:20

☆ Re: 空間ベクトルの内積です / ぷるお

すごく奇抜なアプローチの解法ですね（笑）

けど、すごく分かりやすいです
ありがとうございます！！

No.15422 - 2011/10/11(Tue) 17:36:38

★ (No Subject) / あか

6個の数字1,1,1,2,3を全部使って6桁の整数を作るとき
(1)総数を求めよ

(２)偶数はいくつあるか

お願いします

No.15406 - 2011/10/10(Mon) 19:30:12

☆ Re: / ヨッシー

数字が５つしかありません。

No.15407 - 2011/10/10(Mon) 19:59:49

☆ Re: / はにゃーん

数字が5個しかないですが、たとえば五桁なら

全部違う文字の場合は5!通り
で111の並べかえの重複分3!で割って
5!/3!=20通り

偶数の場合、最後に2があればいいので、その他の4桁を並び替得る場合の数を数えると
4!/3!=4通り
となります。

No.15408 - 2011/10/10(Mon) 20:00:27

☆ Re: (No Subject) / あか

すいません間違いました
111223です

No.15411 - 2011/10/10(Mon) 20:29:39

★ 積分です / しずく

∫[π/6,π/2]√{1+(1/tanx)＾2}dx
∫[0,1/2]√{1+(－2x/(1－x^2))^2}dx
この二つの式までたてて計算に行き詰まってしまいました　
よろしくお願いします。

No.15398 - 2011/10/09(Sun) 22:36:33

☆ Re: 積分です / のぼりん

こんばんは。

前半に関しては、π/６≦ｘ≦π/２の範囲で、
　　∫√（１＋１/ｔａｎ^２ｘ）ｄｘ＝∫ｄｘ/ｓｉｎｘ
　　　＝∫ｓｉｎｘ/ｓｉｎ^２ｘ・ｄｘ
　　　＝－∫（ｃｏｓｘ）’/（１－ｃｏｓ^２ｘ）ｄｘ
　　　＝－１/２∫｛（ｃｏｓｘ）’/（１＋ｃｏｓｘ）＋（ｃｏｓｘ）’/（１－ｃｏｓｘ）｝ｄｘ
　　　＝－１/２・ｌｏｇ｛（１＋ｃｏｓｘ）/（１－ｃｏｓｘ）｝＋定数
　　　＝－１/２・ｌｏｇ｛（１＋ｃｏｓｘ）^２/（１－ｃｏｓ^２ｘ）｝＋定数
　　　＝ｌｏｇ｛ｓｉｎｘ/（１＋ｃｏｓｘ）｝＋定数
　　　＝ｌｏｇ〔２ｓｉｎ（ｘ/２）・ｃｏｓ（ｘ/２）/｛２ｃｏｓ^２（ｘ/２）〕＋定数
　　　＝ｌｏｇ｛ｔａｎ（ｘ/２）｝＋定数
と計算を進められそうです。なお、本件計算に関しては、最後の二行は蛇足かも知れません。

後半に関しては、０≦ｘ≦１/２の範囲で、
　　∫√〔１＋｛－２ｘ／（１－ｘ^２）｝^２〕ｄｘ
　　　＝∫（１＋ｘ^２）/（１－ｘ^２）ｄｘ
　　　＝∫｛２/（１－ｘ^２）－１｝ｄｘ
　　　＝∫｛１/（１－ｘ）＋１/（１＋ｘ）｝ｄｘ－ｘ
　　　＝ｌｏｇ｛（１＋ｘ）/（１－ｘ）｝－ｘ＋定数
となりそうです。

No.15399 - 2011/10/10(Mon) 01:46:16

☆ Re: 積分です / しずく

ありがとうございました！助かりました(＾＾)

No.15402 - 2011/10/10(Mon) 08:51:06

★ (No Subject) / さくら

一辺の長さが６の正四面体が球Oに内接している
△BCAの外接円の半径は2√3
△BCDの面積は4√3

球Oの半径は??
答えを見ると球Oの半径は3√6/2となるのですが
やり方がわかりません！
教えてください

No.15390 - 2011/10/09(Sun) 09:49:54

☆ Re: / ヨッシー

Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄとはそれぞれ何ですか？
正四面体の各頂点がＡＢＣＤだとすると、
△ＢＣＡの外接円の半径は、２√3 で正しいですが、
△ＢＣＤの面積は4√3にはなりません。

それはさておき、とりあえず球Ｏの半径を求めるには、
正四面体をＡＢＣＤをすると、点Ａから△ＢＣＤに垂線ＡＨを
おろします。
点Ｈは△ＢＣＤの重心であり外心であるので、
　ＨＢ＝ＨＣ＝ＨＤ＝2√3
です。
△ＡＢＨなどにおける三平方の定理で、ＡＨ＝2√6　が得られます。
球Ｏの中心はＡＨ上のどこかにあるのですが、その点をＯとし、
ＡＯ＝ＢＯ＝ｘ　とすると、下のような図が得られます。
△ＢＯＨにおける三平方の定理から、ｘが求められます。

No.15392 - 2011/10/09(Sun) 10:48:25

★ 図形 / おおい

?僊BCにおいて、∠CAB＝120°で、頂点A,B,Cの対辺の長さをそれぞれa,b,cとすると√2a=b+2cである。

（１）b=(√?+?)cで、∠ABC＝？°である。
（２）?僊BCの面積が4√3+12の時、c=?で、?僊BCの外接円の半径は？である。

最初からつまづいてしまいました。
教えてください。

No.15388 - 2011/10/08(Sat) 23:54:06

☆ Re: 図形 / はにゃーん

(1) 余弦定理と√2a=b+2cからa（a^2）を消去します。
するとbとcの二次式になるので、cを定数と見てbを解の公式で解くと
b = (1 + √3)cとなります。
同時に(1 - √3)cという解が出ますが辺の長さは正なのでこの解は不適です。

角Bに関する余弦定理を解きます。
(1)で使ったa^2 = b^2 + c^2 + bcでa^2を消去し、その後√2a = b + 2cを使うと計算しやすいでしょう。
結果cosB = 1/√2となりB = 45°となります。

(2)
三角形の面積の公式
S = (1/2)ac sinB = 4√3+12　を解いて c = 2

正弦定理
R = A/(2sinA) = √2 + √6

No.15389 - 2011/10/09(Sun) 04:02:15

☆ Re: 図形 / おおい

なるほど！余弦定理は使ってみたのですが、もう一歩足りなかったみたいです。
わかりやすく教えていただきありがとうございます。

No.15393 - 2011/10/09(Sun) 17:55:49

☆ Re: 図形 / おおい

再度すみません。（２）なんですが、c=4となりましたが、違いますか？
間違いでたらすみません。

No.15394 - 2011/10/09(Sun) 19:17:52

☆ Re: 図形 / ヨッシー

c=4 ですね。

　△ＡＢＣ＝(1/2)ｂｃsin∠ＣＡＢ＝(√3/4)ｂｃ＝4√3+12
より、
　ｂｃ＝16＋16√3
ｂ＝(1＋√3)ｃ　を代入して、
　ｃ^2＝１６
より
　ｃ＝４
です。

No.15396 - 2011/10/09(Sun) 20:09:11

☆ Re: 図形 / はにゃーん

計算間違いしておりました。混乱させてしまってすいません。

No.15400 - 2011/10/10(Mon) 03:09:51

★ (No Subject) / おれんじ

2/5m<n<1/2m・・・・?@

?@を満たす整数がすべて２桁の整数となるのは
9≦2/5mかつ1/2≦100のときである。と答えに書いてあるのですが
なぜ10≦2/5mかつ1/2≦99ではないのですか

No.15385 - 2011/10/08(Sat) 21:22:14

☆ Re: / X

nを挟んでいる不等号の下に等号がありませんので
10≦(2/5)mかつ(1/2)m≦99
では10と99が含まれなくなります。

No.15386 - 2011/10/08(Sat) 21:51:48

☆ Re: / らすかる

もし 10≦(2/5)mかつ(1/2)m≦99 だとすると、これと?@から
10≦(2/5)m＜n＜(1/2)m≦99
から
10＜n＜99
となり、10と99を含まなくなってしまいますね。

9≦(2/5)mかつ(1/2)m≦100 ならば、?@と合わせて
9≦(2/5)m＜n＜(1/2)m≦100
から
9＜n＜100
となり、2桁の整数をすべて網羅します。

No.15387 - 2011/10/08(Sat) 23:25:27

★ 行列です。 / ぷるお

A=(2,-1)について
(7,-3)

(1) A^2,A^3を求めよ
(2) A^nを求めよ
(3) A+A^2+...+A^nを求めよ

(2)を逆行列や漸化式、スペクトル分解でも無理でした。A^3=Eとなったのでそれをどうするか、それと(3)の解き方をお願いします。

No.15367 - 2011/10/08(Sat) 03:45:10

☆ Re: 行列です。 / はにゃーん

nで場合わけをすればすむ話ではありませんか？

No.15370 - 2011/10/08(Sat) 05:07:24

☆ Re: 行列です。 / ぷるお

n=1,2,3以上の時に分けるんですか？
つまり答えは一つの式では出ないんですか

No.15376 - 2011/10/08(Sat) 10:40:04

☆ Re: 行列です。 / mokomoko

A^3=E となったのであれば、n=3m, 3m+1, 3m+2 の3パターンに場合分けすれば上手くいきそうじゃないですかね。

No.15377 - 2011/10/08(Sat) 13:40:21

☆ Re: 行列です。 / ぷるお

そのやり方は多分出来ないです。
n≧３のときはすべて(a,0,0,b)の形になります。

No.15379 - 2011/10/08(Sat) 14:48:02

☆ Re: 行列です。 / mokomoko

それは計算間違いです。

A^4=A^3A=EA=A
A^5=A^3A^2=EA^2=A^2
A^6=A^3A^3=EE=E
となり、これが延々とループします。

No.15380 - 2011/10/08(Sat) 14:55:42

☆ Re: 行列です。 / ぷるお

すいません。僕が勘違いしてました。
その場合分けをしてみます

No.15381 - 2011/10/08(Sat) 15:30:50

★ 楕円です / ぷるお

楕円:x^2/9+y^2/4=1と直線L:y=x+k

(1)この楕円と直線Lが異なる２つの共有点をもつためにkがみたすべき条件を求めよ

(2)kは(1)の条件を満たすとし、さらにk=0ではないとする。(1)における２つの共有点をP,Qとし、Oを原点とするとき、三角形OPQの面積を最大にするkの値、およびそのときの面積を求めよ

(1)の答えは-√13<k<√13になりました。(2)のとき方が全然分かんないのでお願いします

No.15366 - 2011/10/08(Sat) 03:40:50

☆ Re: 楕円です / はにゃーん

楕円を円にするとときやすいんじゃないかな？
その時直線も同じように変換する。
たとえばx=3X, y=2Yとすると
X^2+Y^2=1, Y=(3/2)X+K
での問題となります。

円ならば(2)は簡単で、原点と(cosθ, sinθ), (cosθ, -sinθ)でできる三角形を考えたら最大値となる条件はすぐもとまります。

それを今回の問題に適用してください。

No.15368 - 2011/10/08(Sat) 04:53:04

☆ Re: 楕円です / ぷるお

すいません、少し分からないので
もう少し具体的な説明をお願いします。
行列まだ学校でやってないから不十分なんです

No.15373 - 2011/10/08(Sat) 09:41:52

☆ Re: 楕円です / ヨッシー

行列は使いませんよ。
ｘ＝３Ｘ、ｙ＝２Ｙ　を、楕円と、直線の式に代入すると
　Ｘ^2＋Ｙ^2＝１，　Ｙ＝(3/2)Ｘ＋Ｋ　ただし、Ｋ＝ｋ/２
と書けます。
これは、元のグラフを、ｘ軸方向に1/3倍、ｙ軸方向に1/2 倍して、
楕円を円にしたものです。縮小することによって、直線の傾きは
変わりますが、直線は直線であり、また、△ＯＰＱも、
（辺の長さはダメですが）面積は、ｘ軸方向に1/3倍、ｙ軸方向に1/2倍されて、
1/6 倍になっただけなので、この座標での、面積最大の時に、
元のグラフでも面積最大となります。

さて、Ｙ＝(3/2)Ｘ＋Ｋは、下の図の左のように傾いていますが、
右の図のように、ｙ軸に平行な直線でまず考えて、
「原点からどのくらい離したときに面積最大か？」
を求め、それを傾き2/3 のときに適用します。

右の図において、Ｐ(cosθ, sinθ), Ｑ(cosθ, -sinθ)
とおけるので、ＰＱ＝2sinθ を底辺とすると、高さは
cosθ なので、面積は
　sinθcosθ＝(1/2)sin2θ
となり、θ＝45°、原点からの距離　1/√2 の時、面積最大となります。

これを、Ｙ＝(3/2)Ｘ＋Ｋに適用すると、原点からの距離の公式より
　|Ｋ|/√{(3/2)^2＋1^2}＝1/√2
より、Ｋ＝±√26/4　となり、ｋ＝２Ｋ＝±√26/2
となります。

No.15375 - 2011/10/08(Sat) 10:31:41

☆ Re: 楕円です / ぷるお

いつも助けてもらって
本当にありがとうございます！

これからもお願いします！

No.15391 - 2011/10/09(Sun) 10:36:42

★ (No Subject) / みなこ

大小の２つの球の表面積の比が４:２７であるとき、この２つの球の体積の比

解説よろしくお願いします！

No.15359 - 2011/10/07(Fri) 12:11:38

☆ Re: / ヨッシー

相似比が　ａ：ｂ　なら、
表面積比はａ^2：ｂ^2、体積比は　ａ^3：ｂ^3　です。
逆に、表面積比が　Ａ：Ｂ　なら、相似比は √Ａ：√Ｂです。

表面積比　４：２７　から、まず相似比を出し、そこから体積比を出します。
答えは、８：８１√３　です。

No.15360 - 2011/10/07(Fri) 12:20:13

☆ Re: / みなこ

解説ありがとうございました！！
またよろしくお願いします！

No.15414 - 2011/10/11(Tue) 01:50:00

★ とりうる値の範囲の問題です。 / ぷるお

x,yがx>=0,y>=0,x^3+y^3=1をみたしながら変わるとき、
x+yがとりうる値の範囲を求めよ。

詳しいご説明のほう、よろしくお願いします！

No.15351 - 2011/10/06(Thu) 22:45:39

☆ Re: とりうる値の範囲の問題です。 / ヨッシー

どの程度の解答を想定されていますでしょうか？

例えば、x^2+y^2=1 だと、グラフから解けますよね？
同様に、x^3＋y^3=1 のグラフをイメージして解くので良ければ、
ｘ＝ｙ＝(1/2)^(1/3) のとき、ｘ＋ｙ＝2^(2/3)

ｘ＋ｙ＝ｋとおいて x^3＋y^3=1 に代入して、ｘの２次式にする
方法は、まだ試していません。

ｙ＝(1-x^3)^(1/3) とおいて、
ｙ’＝・・・
ｙ”＝・・・
と２回微分して、０≦ｘ≦１において、ｙ”＜０　(上に凸)であることと、
直線ｘ＝ｙに対して対称であることより、グラフの形を
特定して、直線ｙ＝－ｘ＋ｋがグラフと接するところを見つける
ことから解く方法もあります。

No.15363 - 2011/10/07(Fri) 15:04:44

☆ Re: とりうる値の範囲の問題です。 / ぷるお

すいません、詳しい計算の方を
教えてほしいです

No.15364 - 2011/10/07(Fri) 17:42:21

☆ Re: とりうる値の範囲の問題です。 / ヨッシー

図のようなグラフのイメージになりますので、
ｘ＋ｙ＝ｋ　とすると、
ｙ＝－ｘ＋ｋ　・・・　傾き－１、切片ｋの直線
がグラフと共通点を持ちつつ、移動するとき
ｘ＝０，ｙ＝１　または　ｘ＝１，ｙ＝０のとき
　ｋの最小値１
ｘ＝ｙとｘ^3＋ｙ^2＝１が交わる点(1/2^(1/3)，1/2^(1/3)）を
通るとき、つまり
　ｘ＝ｙ＝1/2^(1/3) のとき
　ｋの最大値　２・1/2^(1/3)＝2^(2/3)
以上より、　１≦ｘ＋ｙ≦2^(2/3)

No.15371 - 2011/10/08(Sat) 08:02:44

☆ Re: とりうる値の範囲の問題です。 / ヨッシー

(別解)
ｘ＋ｙ＝ｋとおくと、ｙ＝ｋ－ｘ
これをｘ^3＋ｙ^3＝１に代入して、
　3kx^2－3k^2x＋k^3－１＝０
これが、0≦ｘ≦1 の範囲に解を持つようにｋの範囲を決めます。
ｋ＞０は確実なので、２次方程式として考えます。

f(x)＝3kx^2－3k^2x＋k^3－１　とおきます。
パターン１
　f(0)＝k^3-1≧０　かつ　f(1)＝(k-1)^3≦０
パターン２
　f(0)＝k^3-1≦０　かつ　f(1)＝(k-1)^3≧０
パターン３
　Ｄ＝12k-3k^4≧０　かつ　軸：ｘ＝k/2 が　0≦k/2≦１
　かつ　f(0)＝k^3-1≧０　かつ　f(1)＝(k-1)^3≧０
のいずれかであれば、f(x)＝０は　0≦ｘ≦1 に解を持ちます。

パターン１より　ｋ≧１　かつ　ｋ≦１
パターン２より　ｋ≦１　かつ　ｋ≧１
パターン３より　ｋ≦４^(1/3) かつ　0≦ｋ≦2 かつ　ｋ≧１　かつ　ｋ≧１
以上より　１≦ｋ≦４^(1/3)＝2^(2/3)

No.15372 - 2011/10/08(Sat) 08:20:59

☆ Re: とりうる値の範囲の問題です。 / ぷるお

こんな分かりやすい説明
ありがとうございます！

すごくためになりました！

No.15378 - 2011/10/08(Sat) 14:05:25

★ 高１です。 / 20thboys

2次関数の問題です。お願いします！

　aを正の定数とするとき、関数f(x)=(a^2+1)x^2-4ax+1とする。
(1)すべての実数xに対してf(x)>0となるためのaの条件を求めよ。
(2)すべての整数xに対してf(x)>0となるためのaの条件を求めよ。

No.15349 - 2011/10/06(Thu) 21:27:16

☆ Re: 高１です。 / ヨッシー

(1) は判別式＜０を解いて、
　4a^2－(a^2+1)＝3a^2－１＜０
より　-1/√3＜ａ＜1/√3

(2)
y=f(x) のグラフは、ａが－ａになると、ｙ軸に対して、
対称に移動するので、まずは、ａ＞０について考えます。

ｙ＝f(x) のグラフの軸は　ｘ＝2a/(a^2+1) です。
ａ＞０のとき、2a＞０、a^2＋１＞０であるので、
　(a^2＋１)－2a＝(a-1)^2≧0 であり、
０＜2a/(a^2+1)≦1　等号はａ＝１のときとなります。
軸が、０と１の間にあるので、ａ≧1/√3 （判別式が非負)においては、
　f(0)＞０　かつ　f(1)＞０
であれば、すべての整数について　f(x)＞０となります。
　f(0)＞０　は明白。
　f(1)＝a^2－4a＋2＞０
より　ａ＜2－√2　または　ａ＞2＋√2
よって、ａ＞０においては、(1) の解の　ａ＜1/√3 の他に、
　1/√3≦ａ＜2－√2　と　ａ＞2＋√2
も、ａの範囲に加わります。よって、
　０＜ａ＜2－√2　または　ａ＞2＋√2
対称性より、ａ＜０の場合は、
　０＞ａ＞－２＋√2　または　ａ＜－２－√2
となります。ａ＝０も含めて、
　ａ＜-2－√2、-2＋√2＜ａ＜2－√2、ａ＞2＋√2
が、求めるａの条件となります。

No.15374 - 2011/10/08(Sat) 10:09:29

☆ Re: 高１です。 / angel

aは正とありますから、
(1) 0＜a＜1/√3
(2) 0＜a＜2-√2 または a＞2+√2
ですね。

No.15383 - 2011/10/08(Sat) 19:13:11

☆ Re: 高１です。 / ヨッシー

あぁ。
まずは、も何も、ａ＞０だけで良かったのですね。

失礼しました。

No.15384 - 2011/10/08(Sat) 19:50:15

☆ Re: 高１です。 / 20thboys

わざわざありがとうございます！
解決しました。(^^)

No.15401 - 2011/10/10(Mon) 08:19:58

★ (No Subject) / がーこ

SUCCESSの７文字を一列に並べるときU,Eがこの順にある並べ方は何通りあるか｡

教えて下さい｡

No.15348 - 2011/10/06(Thu) 20:13:54

☆ Re: / X

U,Eをまとめて１文字と考えて
6!/(2!3!)=60[通り]

No.15356 - 2011/10/07(Fri) 10:27:56

☆ Re: / to

「Ｕ，Ｅがこの順にある」
以下のような感じではないでしょうか？

{ＵＥ○○○○○}，{Ｕ○Ｅ○○○○}，{Ｕ○○Ｅ○○○}，
{Ｕ○○○Ｅ○○}，{Ｕ○○○○Ｅ○}，{Ｕ○○○○○Ｅ}

{○ＵＥ○○○○}，{○Ｕ○Ｅ○○○}，{○Ｕ○○Ｅ○○}，
{○Ｕ○○○Ｅ○}，{○Ｕ○○○○Ｅ}

{○○ＵＥ○○○}，{○○Ｕ○Ｅ○○}，{○○Ｕ○○Ｅ○}，
{○○Ｕ○○○Ｅ}

{○○○ＵＥ○○}，{○○○Ｕ○Ｅ○}，{○○○Ｕ○○Ｅ}

{○○○○ＵＥ○}，{○○○○Ｕ○Ｅ}

{○○○○○ＵＥ}

No.15365 - 2011/10/08(Sat) 03:06:13

☆ Re: / はにゃーん

UとEがこの順になるのと逆の順になるのは同数あるからSUCCESSを並び替えた数を2で割ればいい。

No.15369 - 2011/10/08(Sat) 05:06:42

☆ Re: / X

>>toさん、はにゃーんさんへ
ご指摘ありがとうございます。
>>がーこさんへ
ごめんなさい。私の考えは誤りですので無視してください。

No.15382 - 2011/10/08(Sat) 17:08:15

☆ Re: (No Subject) / がーこ

U,Eが2通りあるので全体から2をひけばよいのですか？

No.15404 - 2011/10/10(Mon) 19:17:01

☆ Re: / ヨッシー

はにゃーんさんの記事を、もう一度よく読んでください。

No.15410 - 2011/10/10(Mon) 20:02:55

★ 数?Tです / みなこ

(ア)x^2＋2x－1＞0
(イ)x^2－(a＋4)x＋3a＋3＜0

二次不等式(ア)(イ)を同時に満たすxの範囲が
－x＋√2＜x＜3であるように定数aの値の範囲を定めよ。

二次不等式は分かっています。aの範囲がわかりません！
解説お願い致します！

No.15343 - 2011/10/06(Thu) 16:11:16

☆ Re: 数?Tです / X

(ア)より
x＜-1-√2,-1+√2＜x (A)
(イ)より
(x-3){x-(a+1)}＜0
∴
a＜2のときa+1＜x＜3 (B)
a=2のとき解はなし (C)
2＜aのとき3＜x＜a+1 (D)
よって題意を満たすには(イ)の解が(B)の場合でかつ
a+1≦-1+√2 (E)
となる場合です。(数直線を描きましょう。)
よって(E)より求めるaの値の範囲は
a≦-2+√2

No.15345 - 2011/10/06(Thu) 17:41:46

☆ Re: 数?Tです / みなこ

解説ありがとうございました！

すみませんあとひとつ質問です。
a＞2の2はどこから出てきたのでしょうか…？

No.15347 - 2011/10/06(Thu) 20:13:00

☆ Re: 数?Tです / X

a+1と3の大小関係から出てきています。

No.15353 - 2011/10/07(Fri) 07:22:24

☆ Re: 数?Tです / みなこ

ありがとうございました！
無事解決しました！

No.15358 - 2011/10/07(Fri) 12:07:28

★ (No Subject) / べたべた

平面上の10本の直線がどの2本も平行でなく､どの3本も1点で交わらないとき､交点はいくつあるか｡また､三角形はいくつできるか。

詳しく教えて下さい｡

No.15333 - 2011/10/05(Wed) 19:39:07

☆ Re: / X

前半)
直線がn[本]のときの交点の数をa[n]とすると
直線を１本書き加えることで増える交点の数は
元からあった直線の数に等しくなるので
a[n+1]=a[n]+n
これをa[2]=1の下で解きます。

後半)
直線がn[本]のときの三角形の数をb[n]とすると
書き加える直線に対して交点を持つ二つの直線と
新しくできる三角形一つが対応することから
b[n+1]=b[n]+(nC2)
∴b[n+1]=b[n]+(1/2)n(n-1)
これを
b[3]=1
の下で解きます。

No.15338 - 2011/10/05(Wed) 21:56:20

☆ Re: / ヨッシー

(別解)
10本の直線のうち２本を選べば、交点は１つ決まるので、
　10Ｃ2(個)

10本の直線のうち３本を選べば、三角形は１つ決まるので、
　10Ｃ3(個)

No.15340 - 2011/10/05(Wed) 22:31:41

★ (No Subject) / シリーズ

4桁の整数nの千の位,百の位,十の位,一の位の数字をそれぞれa,b,c,dとする｡
次の条件を満たすnはそれぞれ何個あるか｡

(1)a＞b＞c＞d

(2)a＜b＜c＜d

解説お願いします。

No.15332 - 2011/10/05(Wed) 19:36:48

☆ Re: / X

(1)
1,2,3,4,5,6,7.9,0から異なる４つの数字を選ぶと
その４つの数字を必ず題意のような大小関係に
なるようにa,b,c,dに割り当てることができます。
よって求める整数の数は
10C4=210[個]

(2)
(1)と同様に考えるわけですが、問題の整数は４桁ですので
今度はa=0となる場合を除かなくてはなりません。
よって求める整数の数は
10C4-9C3=126[個]

No.15335 - 2011/10/05(Wed) 21:36:08