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★ (No Subject) / ぴーひゃら
2桁の自然数のうち､次のような数はいくつあるか｡

(1)各位の数字の積が偶数にる数

(2)各位の数字の積が3で割りきれて0でない数



教えて下さい｡
No.15231 - 2011/09/30(Fri) 22:27:32
☆ Re: / neo
（１）２文字の積が偶数ということはどちらか一方が偶数であればよい。
No.15241 - 2011/10/01(Sat) 05:12:45
★ (No Subject) / はひふへほ
下の図をPを出発点､Qを終点として一筆でかく方法は何通りあるか。

P―――――――――――Q

PとQの間に円が2つあります→〇〇


団子みたいなかんじです。


よろしくお願いします。
No.15230 - 2011/09/30(Fri) 22:25:11
☆ Re: / ヨッシー
こちらの問題６をご覧ください。
No.15245 - 2011/10/01(Sat) 08:34:23
★ (No Subject) / ははは
次の硬貨の一部または全部でちょうど支払うことのできり金額は何通りあるか。
(1)10円硬貨4枚､50円硬貨1枚､100円硬貨の6枚


(2)10円硬貨3枚､50円硬3枚､100円硬貨3枚



No.15229 - 2011/09/30(Fri) 22:03:04
☆ Re: / ヨッシー
(1)
10円から690円まで10円間隔で金額を作ることができるので、
６９通り。

(2)
10円から480円まで10円間隔の48通りの金額のうち
40,90,140,190,240,290,340,390,440 の9通りは作れないので
３９通り。
No.15250 - 2011/10/01(Sat) 09:06:38
★ (No Subject) / 125
1から999までの整数のうち､どの位の数字も0ではないものはいくつあるか｡

よろしくお願いします
No.15228 - 2011/09/30(Fri) 21:58:45
☆ Re: / neo
1〜９９９の中から以下のものを引いたものが答えです
*0
**0
*0*
*00
*は１〜９の９通り
９９９−（９＋９・９×２＋９）
No.15240 - 2011/10/01(Sat) 05:08:37
★ (No Subject) / dagkm
3個のｻｲｺﾛを同時に投げるとき､目の和が8の倍数になる場合は何通りあるか。
ただし、ｻｲｺﾛは区別しないものとする。


解説お願いします。
No.15227 - 2011/09/30(Fri) 21:56:54
☆ Re: / ヨッシー
８となる場合
　(1,1,6),(1,2,5),(1,3,4),(2,2,4),(2,3,3) の５通り
１６となる場合
　(4,6,6),(5,5,6) の２通り
合計７通り。
No.15251 - 2011/10/01(Sat) 09:09:03
★ (No Subject) / きー
大中小3個のｻｲｺﾛを投げるとき､次の場合は何通りあるか。

少なくとも2個が同じ目になる。


お願いします
No.15226 - 2011/09/30(Fri) 21:54:32
☆ Re: / neo
少なくとも2個が同じ目になる場合の数
＝全事象ー（３つとも全て異なる場合の数）
＝６＾３−６・５・４を計算したものが答えです
No.15239 - 2011/10/01(Sat) 05:04:10
★ (No Subject) / dmw
400から800の間にある奇数のうち､各位の数字がすべて異なるものはいくつあるか｡


お願いします
No.15225 - 2011/09/30(Fri) 21:52:08
☆ Re: / ヨッシー
一の位が１のとき、
　百の位は４，５，６，７の４通り
　　十の位は残り８通り　計３２通り
一の位が３のときも同様に　３２通り
一の位が９のときも同様に　３２通り

一の位が５のとき、
　百の位は４，６，７の３通り
　　十の位は残り８通り　計２４通り
一の位が７のときも同様に　２４通り

合計１４４個
No.15252 - 2011/10/01(Sat) 09:12:58
★ (No Subject) / い
600と720の正の公約数は全部で何個あるか｡ 600と720の正の公約数全体の和を求めよ｡ よろしくお願いします。
No.15224 - 2011/09/30(Fri) 21:50:17
☆ Re: / neo
まず６００と７００をそれぞれ素因数分解してください。
No.15238 - 2011/10/01(Sat) 05:01:19
☆ Re: (No Subject) / い
わかりました
その後はどうすればいんですか？
後､720じゃなくて700を素因数分解するんですか？
No.15257 - 2011/10/01(Sat) 17:28:28
☆ Re: / ヨッシー
それは、もちろん　６００と７２０です。
そういう瑣末事はともかく、こちらをまず、理解してください。

約数が、公約数になっただけであり、すべての公約数は最大公約数の
約数なので、最大公約数を見つけることからはじめましょう。
No.15260 - 2011/10/01(Sat) 22:31:09
★ (No Subject) / さーらん
次の数の個数とその約数全体の和を求めよ｡

(1)32 (2)200 (3)60


個数は求めれました

約数の全体の和の求め方を教えて下さい｡
No.15223 - 2011/09/30(Fri) 21:47:12
☆ Re: / neo
（１）だと３２＝２＾５
公式より約数の総和は
２＾０＋２＾１＋２＾２＋・・・＋２＾５
＝(2^6-1)/(2-1)=6３が答えです

（２）（３）も同様です
No.15237 - 2011/10/01(Sat) 05:00:25
★ (No Subject) / こーいち
a,b,c,dの4文字を1列に並べるとき､1番目の文字はaではなく､2番目の文字はbではなく､3番目の文字はcではなく4番目の文字はdではない並べ方は何通りあるか。





No.15222 - 2011/09/30(Fri) 21:43:04
☆ Re: / ヨッシー
ａが２番目に来たとします。
ｂが１番目に来ると、残りｃ,ｄの置き方は１通り。
ｂが３番目に来ると、残りｃ,ｄの置き方は１通り。
ｂが４番目に来ると、残りｃ,ｄの置き方は１通り。
合計３通り。
ａが３番目、４番目に来る場合も、３通りずつあるので、全部で９通り。
No.15249 - 2011/10/01(Sat) 09:00:35
★ (No Subject) / am
108の正の約数の個数とその約数全体の和を求めよ｡

やり方教えて下さい
No.15221 - 2011/09/30(Fri) 21:39:25
☆ Re: / neo
108を素因数分解してみてください
No.15236 - 2011/10/01(Sat) 04:54:43
☆ Re: / ヨッシー
たとえば１２の約数の個数と約数の和は
　１２＝２^2×３

（１＋２＋２^2）（１＋３）
　＝１＋２＋４＋３＋６＋１２
これの項数が約数の個数であり、掛け算の答え　７×４＝２８　が
約数の和となります。

約数の個数については、こちらもご覧ください。
No.15248 - 2011/10/01(Sat) 08:53:23
★ (No Subject) / らら
A,B2人がじゃんけんをしてどちらかが3回先に勝ったところで止めるｹﾞｰﾑを考える。引き分けをないものとすると勝負の分かれ方は何通りあるか。


教えて下さい｡
No.15220 - 2011/09/30(Fri) 21:37:59
☆ Re: / ヨッシー
Ａが勝つ場合を考えます。
３勝０敗　○○○　3Ｃ3＝１（通り）
３勝１敗　×○○○　○×○○　○○×○　○○○×　4Ｃ3＝４（通り）
３勝２敗　5Ｃ3＝10（通り）
以上より　Ａが勝つ場合は　１５通り。

Ｂが勝つ場合も同じ数だけあるので、計３０通り
No.15247 - 2011/10/01(Sat) 08:47:34
★ (No Subject) / 桜
底面の半径9、高さが12の円錐で,頂点Oから底面へひいた垂線と底面との交点をPとする。線分OPを3等分する点をQ,Rとするとき

(1)底面の直径の両端の点をA,Bとするときsin∠AOBを求めよ。

(2)点Q,Rを通り底面に平行な平面でこの円錐を切断してできる3つの立体を体積の小さい順にX,Y,Zとする。このときYとZの体積の比を求めよ。

(3)(2)のとき,XとYの表面積の比を求めよ。


よろしくお願いします。
No.15217 - 2011/09/30(Fri) 09:53:52
☆ Re: / ヨッシー
(1)
ＡＢの中点（底面の中心）をＭとすると、
△ＯＡＭにおいて、ＯＭ＝１２、ＡＭ＝９ より三平方の定理より
　ＯＡ＝１５
cos∠ＡＯＭ＝４／５、sin∠ＡＯＭ＝３／５　および、∠ＡＯＢ＝２∠ＡＯＭ　より
　sin∠ＡＯＢ＝２sin∠ＡＯＭcos∠ＡＯＭ＝２４／２５

(2)
Ｘは半径３，高さ４の円錐
ＹにＸを乗せた円錐Ｐは、半径６、高さ８の円錐
ＺにＹとＸを乗せた円錐Ｑ（元の円錐）は、半径９，高さ１２の円錐　なので、
Ｘ，Ｐ，Ｑは相似比１：２：３の相似な円錐。
Ｘの体積を１とすると、Ｐの体積は２^3＝８、Ｑの体積は３^3＝２７
よって、Ｙの体積は７，Ｚの体積は１９。

(3)
Ｘの側面の展開図は、半径５、中心角(3/5)×360°の扇形
Ｘの底面積は９π
Ｘの側面積は、２５π×3/5＝１５π
Ｘの表面積は９π＋１５π＝２４π

Ｙの上底面積は９π、下底面積は３６π
Ｙの側面積はＸの側面積の（２^2−１^2＝)３倍で、４５π
Ｙの表面積は　９π＋３６π＋４５π＝９０π
よって、Ｘ：Ｙ＝４：１５　（表面積比）
No.15218 - 2011/09/30(Fri) 14:26:45
★ (No Subject) / besty
化学の計算問題なので分母＝０とかは気にしなくても大丈夫です。ただa,b,c,dすべて正の値になるはずです。
式がとても複雑になったのですが、これって解くことができるのでしょうか？変数は４こ、式も４こなので解けそうなのですが…。お願いします！
0.111/(555+16d)=a+b
(2a+3b)/(a+b)=c
3.7*(a/2 +b)/(555+6d)=0.01
3c-2d+7=0
No.15214 - 2011/09/28(Wed) 12:53:37
☆ Re: / besty
すみません、
三行目の　555+6d　は　555+16d　の間違いです！
あと、a/2　は　(1/2)*a　です…
No.15215 - 2011/09/28(Wed) 13:00:48
☆ Re: / X
計算が煩雑になると思いますが方針だけ。

問題の方程式を上から順に(A)(B)(C)(D)とします。
まず(A)(C)をa,bについての連立方程式と見て解き
a,bをdを用いた表します。
その結果と(D)を(B)に用いてa,b,cを消去することで
dについての方程式を導きます。
No.15216 - 2011/09/29(Thu) 10:06:36
☆ Re: / ヨッシー
0.111/(555+16d)=a+b　　　・・・(1)
(2a+3b)/(a+b)=c　　　　　・・・(2)
3.7*(a/2 +b)/(555+16d)=0.01　　・・・(3)
3c-2d+7=0　　　　　　　　・・・(4)
(3)より
a+2b=0.02(555+16d)/3.7
(1)を加えて
2a+3b=0.02(555+16d)/3.7+0.111/(555+16d)={0.02(555+16d)^2+0.4107}/3.7(555+16d)
(1)とともに(2) に代入して、
{0.02(555+16d)^2+0.4107}/3.7(555+16d)÷{0.111/(555+16d)}=c
{0.02(555+16d)^2+0.4107}/0.1369=3c
(4)に代入して、
{0.02(555+16d)^2+0.4107}/0.1369-2d+7=0
ここまでで、d の２次式になりました。
No.15219 - 2011/09/30(Fri) 16:54:13
★ (No Subject) / なな
1辺の長さが1の正方形ABCDを底面とする四角錐OABCDで,OA=OB=OC=OD=1である。辺AO上に点Pを,辺AB上に点Qを,AP=BQ=xとなるようにとり,∠DPQ=θとするとき,
（1）底面の対角線の交点をHとするとき,OHの長さを求めよ。
（2）三角錐PAQDの体積Vを最大にするxの値を求めよ。
（3）xが（2）のとき,cosθの値を求めよ。

全然わかりません！！
どうかよろしくお願いします。
No.15209 - 2011/09/28(Wed) 00:20:10
☆ Re: / ヨッシー
(1)
△ＡＯＣは、３辺がＡＯ＝ＣＯ＝１、ＡＣ＝√２の
直角二等辺三角形で、ＯＨ＝ＡＨ＝ＣＨ＝√２／２

(2)
△ＡＱＤの面積はＡＱ×ＡＤ÷２＝(1-x)/2
Ｐから底面ＡＢＣＤに下ろした垂線の足をＲとすると、
　ＡＯ：ＯＨ＝ＡＰ：ＰＲ＝１：√２／２
より
　ＰＲ＝√２ｘ／２
よって、
　Ｖ＝(1-x)/2 × (√２ｘ／２) ÷３
　　＝(1-x)x/６√２
よって、ｘ＝1/2 のとき、Ｖは最大。

(3)
△ＤＰＱにおいて、
　ＤＰ＝√３／２、ＰＱ＝１／２、ＤＱ＝√５／２
より余弦定理より
　cosθ＝−√３／６
No.15211 - 2011/09/28(Wed) 05:48:24
★ 数学?T分かりません / 数学苦手マン
数学の問題わかりません。

△ABCにおいて、AB＝８ AC＝３ ∠BAC＝60°である。

辺BC上にCA=CDとなるように点Dをとり△ACDの外接円と辺ABの交点のうちAでないほうをEとする。
また、BE＝7/2である。
このときDEの長さを求めよ。

という問題なのですが、答えでは相似比を使っていたのですが焦っていて相似比を利用するという発想がなかなかでてこなかったため
自分は四角形AEDＣは円に内接していることから∠EAC=∠EDB=∠BAC＝60°を使えるので
△BDEに余弦定理を用いました。
このやり方でとくと、DE=5/2、3/2と２つでました。
答えはDE=3/2です。
この系統の問題では2次方程式を解いて解が2つでた場合はどちらかが負の値
重解のときはその値が答え。という感じだったのですが
今回の問題には特に条件が与えられているわけでもなくDEの値が２つでてしまいました。
こういう場合は、どうすればいいんでしょうか？
誰か分かる方おしえてください。おねがいします
No.15204 - 2011/09/27(Tue) 20:26:32
☆ Re: 数学?T分かりません / ヨッシー
△ＢＤＥにおける余弦定理とは、
２辺、ＢＤ＝４、ＢＥ＝7/2　および　∠ＢＤＥ＝60°が
わかっているときにＤＥを求めるわけですが、条件をみたすＤＥは、
図の、ＤＥの他に、ＤＦもあり得ます。

どちらを採用するかは、簡単でも、図を描いて、判断するのが良いでしょう。
No.15207 - 2011/09/27(Tue) 20:58:50
★ (No Subject) / かい
ベクトルの問題です。
四面体OABCにおいてOA=AB=BO=１、CO=CA=CB=2とする
問１
点Cから平面OABに垂線CHを下ろすとCHベクトルは？
OA,OB,OCを使って表せ。

問２
直線OHと辺ABの交点をDとするときOH：HD＝□：１
□は？
No.15202 - 2011/09/27(Tue) 17:36:08
☆ Re: / ヨッシー
問1
△ＯＡＢは正三角形であり、Ｃは、△ＯＡＢの重心Ｈから△ＯＡＢに
垂直に引いた直線上にあるので、
　ＣＨ＝(ＣＯ＋ＣＡ＋ＣＢ)／３
より、
　ＣＨ＝{−ＯＣ＋(ＯＡ−ＯＣ)＋(ＯＢ−ＯＣ)}／３
　　＝(ＯＡ＋ＯＢ)／３−ＯＣ

問2
Ｈは△ＯＡＢの重心なので、　ＯＨ：ＨＤ＝２：１
No.15205 - 2011/09/27(Tue) 20:37:32
☆ Re: / かい
なぜ△OABの重心がHだとわかるのですか？

教えてください
No.15208 - 2011/09/27(Tue) 22:28:23
☆ Re: / ヨッシー
Ｃから垂線ＣＨをひいて、
△ＣＯＨ、△ＣＡＨ、△ＣＢＨ を考えると、
斜辺は２で全部等しく、ＣＨは共通なので、３つの三角形は
すべて合同。
よって、ＯＨ＝ＡＨ＝ＢＨ であり、Ｈは△ＯＡＢの外心。
正三角形では、外心、内心、垂心、重心は一致するので、Ｈは重心でもあります。
No.15212 - 2011/09/28(Wed) 05:53:30
★ (No Subject) / ponchan
平行四辺形ABCDにおいて,AB=4,BC=√5,tanB=2のとき,次の問いに答えよ。
（1）cosBの値を求めよ
（2）平行四辺形ABCDの面積を求めよ。
（3）BDの長さを求めよ。

よろしくお願いします！！
No.15193 - 2011/09/27(Tue) 01:50:54
☆ Re: / ヨッシー
ＣからＡＢに下ろした垂線の足をＨとすると、△ＢＣＨは
ＢＨ：ＨＣ：ＢＣ＝１：２：√５ の三角形になるので、
ＢＨ＝１、ＣＨ＝２ となります。
(1) cosＢ＝ＢＨ/ＢＣ＝１/√５
(2)ＡＢを底辺とすると、ＣＨが高さになるので、
　４×２÷２＝４
(3) cosＡ＝cos(π−Ａ)＝−cosＢ＝−１/√５
　△ＢＡＤにおける余弦定理より
　ＢＤ^2＝ＡＢ^2＋ＡＤ^2−２ＡＢ・ＡＤcosＡ
　　＝１６＋５−２・４・√５(−１/√５)
　　＝２９
　ＢＤ＝√２９
No.15195 - 2011/09/27(Tue) 05:55:52
☆ Re: / らぁ
>>ヨッシーさん

> (2)ＡＢを底辺とすると、ＣＨが高さになるので、
> 　４×２÷２＝４

平行四辺形なので、÷2は不要ですね。
No.15197 - 2011/09/27(Tue) 06:38:59
☆ Re: / ヨッシー
をぉ！
そうでした。

(2)ＡＢを底辺とすると、ＣＨが高さになるので、
　４×２＝８

です。

ご指摘ありがとうございます。
No.15199 - 2011/09/27(Tue) 12:41:21
★ 高３のベクトルです / rio
添付の問題とその解法なのですが行き詰っています。
この解法で解ききれるものなのか。解ききれないのであればなぜ解ききれないのかをお願いします。

正答に行き着けそうな解法としては
A,B,Cの座標から平面の式を求める。
そこから平面の法線ベクトルｎを求める。
OH＝OD＋kｎとおいて、OHの座標をｋで表し、平面の式に代入してｋを求める
というものも思いつきました。
こちらではｋ＝−１となり、Hの座標は（１、４，−５）となりました。
No.15192 - 2011/09/26(Mon) 21:14:17
☆ Re: 高３のベクトルです / ヨッシー
ＨＡ＝(-1-x, y, z) が誤りです。
これを修正すれば、y^2 や z^2 の項は残りません。

この問題は、ＡとＢのｘ座標、ＢとＣのｚ座標が等しいので、
うまく解けますが、一般の場合にうまく解けるかはわかりません。
やはり、平面の式を求めて・・・という手順が確実でしょう。
No.15196 - 2011/09/27(Tue) 06:20:06
☆ Re: 高３のベクトルです / rio
ヨッシー様
早速のご返信ありがとうございます。
修正して無事に２乗の項は残らなかったのですが、添付のように最後に残る3つの式では方程式が解けない状況になりました。この先をいかにして解いていくのでしょうか。なにとぞよろしくお願いいたします。
No.15198 - 2011/09/27(Tue) 12:06:49
☆ Re: 高３のベクトルです / ヨッシー
ｙ−ｚ＝９　　
２ｘ−ｙ＝−２
より、ｙ＝２ｘ＋２，ｚ＝２ｘ−７
が得られます。これを、i)、ii)、iii) のどれかに代入すれば、
ｘの２次方程式になります。
No.15200 - 2011/09/27(Tue) 12:45:00
☆ Re: 高３のベクトルです / rio
ありがとうございます。早速求めてみました。
すると、計算の結果答えが2つになってしまいました。
平面の式を求める手法でも算出された
（１，４，−５）の他に（２，６，−３）も出てしまいました。題意から答えは１つかと思うのですが、後者はなんらかの条件を満たしていないのでしょうか。
No.15206 - 2011/09/27(Tue) 20:46:53
☆ Re: 高３のベクトルです / ヨッシー
（２，６，−３）って、見覚えありませんか？
No.15210 - 2011/09/28(Wed) 05:32:20
☆ Re: 高３のベクトルです / rio
Dでした・・・。ありがとうございます。あまりに不注意でした。
No.15213 - 2011/09/28(Wed) 08:59:39
★ (No Subject) / 桜
△ABCにおいてAB=3,AC=3,∠BAC=36ﾟである。∠ABCの二等分線と辺ACの交点をDとするとき,次の問いに答えよ。

(1)∠DBCの大きさを求めよ。
(2)辺BCの長さを求めよ。
(3)(1)(2)の結果を利用してsin18ﾟの値を求めよ。

よろしくお願いします
No.15190 - 2011/09/26(Mon) 10:08:51
☆ Re: / X
(1)
題意から△ABCはAB=ACの二等辺三角形で
∠BAC=36°
∴∠ABC=(180°-∠BAC)/2=72°
線分DBは∠ABCの二等分線なので
∠DBC=(1/2)∠ABC=36°
(2)
(1)の結果により
∠DBC=∠BAC
∴△ABDは二等辺三角形なので
AD=BD (A)
一方(1)の結果により
△ABC∽△BCD (B)
∴△BCDについて
BC=BD (C)
よって辺BCの長さをxとすると
CD=AC-AD=4-x
となるから(B)より対応する辺の比について…
(3)
Aから辺BCに下ろした垂線の足をEとすると
sin18°=sin∠BAE=BE/AB=BC/(2AB)
よって(2)の結果により…。
No.15191 - 2011/09/26(Mon) 17:53:42
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