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★ 線分と放射線との存在範囲の問題です / ぷるお
A(0,2)とB(2,-2)を結ぶ線分がy=x^2+ax+bとただ１つの共有点をもつような点(a,b)の存在範囲を図示せよ

範囲は一応少しでたんですけど、計算式（途中も）だけでいいので、お願いします

b>=2,b<=-2a-6(a<=-4)
b<=2,b>=-2a-6(a>=-4)
ここまではでました
No.15265 - 2011/10/02(Sun) 00:29:21
☆ Re: 線分と放射線との存在範囲の問題です / ヨッシー
問題を言い換えると
ＡＢを結ぶ直線　ｙ＝−２ｘ＋２　と　ｙ＝ｘ^2＋ａｘ＋ｂ　を
連立させた、
　ｘ^2＋(ａ＋２)ｘ＋ｂ−２＝０
が、０≦ｘ≦２ の範囲に重解を持つ、つまり、
　(ｘ−α)^2＝０　　（０≦α≦２)
と書けるということです。展開して、係数比較すると
　ａ＋２＝−２α
　ｂ−２＝α^2
αを消去して
　(ａ＋２)^2＝４ｂ−８
ただし、　−４≦ａ＋２＝−２α≦０　より
　−６≦ａ≦−２
ということになります。

別の見方をすると、ｙ＝ｘ^2 の接線で、傾きが−２（ＡＢの傾き）
になるのは　ｙ’＝２ｘ よりｘ＝−１ の時ですから、
　ｙ＝ｘ^2＋ａｘ＋ｂ　の軸　ｘ＝−ａ/２ より、ｘ座標で
小さいところで、ｙ＝ｘ^2＋ａｘ＋ｂ とＡＢは接し、そのｘ座標−ａ/２−１　は、０以上２以下である。つまり、
　０≦−ａ/２−１≦２　より　−６≦ａ≦−２
しかも、ｘ^2＋(ａ＋２)ｘ＋ｂ−２＝０ は重解を持つので、
　Ｄ＝(ａ＋２)^2−４ｂ＋８＝０
と、同じ結果になります。
No.15267 - 2011/10/02(Sun) 00:49:39
☆ Re: 線分と放射線との存在範囲の問題です / ぷるお
丁寧な回答ありがとうございます！！

一応僕の答えは
b>=2,b<=-2a-6(a<=-4)
b<=2,b>=-2a-6(a>=-4)
(a+2)^2=4b-8 (-6<=a<=-2)
境界線を含まないのは
b=2(-4<=a<=-2),b=-2a-6(-6<=a<=-4)

になりました。こんな感じでしょうか？
No.15268 - 2011/10/02(Sun) 01:04:49
☆ Re: 線分と放射線との存在範囲の問題です / ヨッシー
結局
　f(x)＝ｘ^2＋(ａ＋２)ｘ＋ｂ−２
だけで考えればいいでしょう。y=f(x) のグラフが、０≦ｘ≦２ の
範囲で、ｘ軸と１点だけ共有点を持つと考え、
頂点で接する場合（これは上で示したとおり）と、
f(0)≦0 かつ　f(2)≧0　または
f(0)≧0 かつ　f(2)≦0
で導けます。

b≧2,b≦-2a-6　または　b≦2,b≧-2a-6　だけで
a の範囲は特に書かなくても良いでしょう。（書いても良いです）
No.15271 - 2011/10/02(Sun) 06:51:10
☆ Re: 線分と放射線との存在範囲の問題です / angel
ぷるおさん:
> 一応僕の答えは
> b≧2,b≦-2a-6(a≦-4)
> b≦2,b≧-2a-6(a≧-4)
> (a+2)^2=4b-8 (-6≦a≦-2)
> 境界線を含まないのは
> b=2(-4≦a≦-2),b=-2a-6(-6≦a≦-4)

ほぼ正解なのですが、惜しい。
図示した時に添付したような感じで描けていればO.K.
つまり、点A,Bの部分は範囲に含まれます。点Cの部分は含まず、ですが。

ヨッシーさん:
> 頂点で接する場合（これは上で示したとおり）と、
> f(0)≦0 かつ　f(2)≧0　または
> f(0)≧0 かつ　f(2)≦0
> で導けます。
それだと、f(0)=f(2)=0 を含んでしまう ( 添付図中の点Cに相当 ) ので不適切です。

ちょっとパターンが多くなるのでいやらしいのですが、確実にいくならしっかり場合わけする方が良いでしょう。
不等号の≦や≧については、＜＞と=の部分を分離して。

そうすると、
　(1) f(0)＜0 かつ f(2)＞0
　または、(2) f(0)＞0 かつ f(2)＜0
　または、(3) f(0)=0 かつ f(2)＜0
　または、(4) f(0)=0 かつ f(2)＞0 かつ -(a+2)/2≦0
　または、(5) f(0)＜0 かつ f(2)=0
　または、(6) f(0)＞0 かつ f(2)=0 かつ -(a+2)/2≧2
ですね。
※(1),(2) をまとめて f(0)・f(2)＜0 としても良いです

ちなみに、-(a+2)/2 というのは y=f(x) の軸の位置になりまして、これに関する条件は≦や≧でなくて、=を省いた＜や＞でも良いです。
=を省くと図中A,Bの部分で差が出るのですが、いずれにしても (a+2)^2=4b-8 (-6≦a≦-2) に含まれるので問題ないです。
No.15279 - 2011/10/02(Sun) 18:51:19
★ 整数列とその和の問題です / ぷるお
次の4つの条件を満たす整数nの集合をSとする

?@1<=n<=10^4
?Anは2n+1(mは整数)と表せる
?Bnは3k-1(kは整数)と表せる
?CnはL^2(Lは整数)と表せる

(1)Sの要素の個数を求めよ
(2)Sのすべての要素の和を求めよ

二つ、三つの相互関係の出しかたが良く分かりません
できればΣ計算での答えをお願いします
No.15256 - 2011/10/01(Sat) 13:48:13
☆ Re: 整数列とその和の問題です / らすかる
Lが3の倍数のとき、n=L^2は3k
Lが3の倍数でないとき、n=L^2は3k+1
よって?Bと?Cを同時に満たす整数は存在しないので
(1)は0個、(2)は0
No.15258 - 2011/10/01(Sat) 18:49:05
☆ Re: 整数列とその和の問題です / ぷるお
すいません。問題がこれしか書かれてなかったんで分かりづらいですね。４つの条件を同時に満たすのではなくて、多分?@〜?Cの条件は互いに独立していて、従属している部分があり、それらすべてのｎの要素をあわせたものを集合Ｓということだと思います。少し分かりづらいと思いますがよろしくお願いします
No.15262 - 2011/10/02(Sun) 00:18:24
☆ Re: 整数列とその和の問題です / らすかる
?@〜?Cのどれかを満たせばよいなら、
例えば2m+1と表せる整数は無限個ありますから、
(1)は無限個、(2)は無限大です。
No.15263 - 2011/10/02(Sun) 00:22:10
☆ Re: 整数列とその和の問題です / ヨッシー
問題文が、この通りであれば、やはり、?@〜?Cを同時に満たす
と考えるのが自然でしょう。
その上で、らすかるさんのご指摘からわかるように、?Bは
　?Bnは3k+1(kは整数)と表せる
である可能性はないのでしょうか？
No.15264 - 2011/10/02(Sun) 00:26:49
☆ Re: 整数列とその和の問題です / ぷるお
うーん、多分テキストの作りミスだと思います。
ヨッシーさんのいう通りだと思います。

すいません、一回塾に問いただしてみます。
答えのない問題をだしてすいません
No.15266 - 2011/10/02(Sun) 00:36:20
★ (No Subject) / shun
かなり初歩的な質問かもしれませんが、
順列で、例えば４枚の異なるカードを３枚並べるときは4P3=24通りと考えますが、
４枚の同じカードのうち３枚を並べるときも、4P3=２４通りとするのですか。それとも同じカードなので、１通りとみなして良いのですか。教えて下さい。宜しくお願いします。
No.15253 - 2011/10/01(Sat) 11:34:33
☆ Re: / ヨッシー
それだけの情報なら、１通りと見なすのが普通です。

ただし、例えば、●○○○○　の５個から３個取る(並べない)
取り方は、●○○　○○○　の２通りですが、起こり方は
同じではないため、確率は、１／２ずつではありません。
そういう場合は、同じものではあるが区別して数える必要が
ある場合があります。
No.15254 - 2011/10/01(Sat) 11:57:29
☆ Re: / shun
ほかの種類の色が入ってきたら、区別して数える必要があるということですか？
No.15255 - 2011/10/01(Sat) 12:48:31
☆ Re: / ヨッシー
当初の質問に戻って、「１通りとみなして良いのですか。」
については、「みなして良い」です。

例えば、こちらの問題のような聞かれ方だと、
順列で考える必要はなく、違うパターンを並べ立てて何通りと
答えれば十分です。

これに、確率が絡んでくると、起こる確からしさが等しい事象を
持ってこないといけませんから、その場合は順列なり組み合わせなりで
数える方法がある、ということです。
No.15259 - 2011/10/01(Sat) 22:24:12
☆ Re: / shun
良く理解できました！ありがとうございます
No.15261 - 2011/10/01(Sat) 22:43:42
★ (No Subject) / さたなら
6個の数字0,1,2,3,4,5の中から､異なる数字を使って3桁の整数を作る。
(1)奇数はいくつ出来るか

(2)340より大きい数はいくつ出来るか

(3)小さい方から順に並べると43番目の数は何か。



お願いします
No.15235 - 2011/09/30(Fri) 22:42:52
☆ Re: / neo
奇数＝一の位の数が奇数だから
（あ）ab1
（い）ab3
（う）ab5
の３通り。

（あ）について
aは1,0以外の４通り。
bはa,1以外の４通り。
積の法則より４・４＝１６
（い）（う）も同様にして
１６×３＝４８個
No.15242 - 2011/10/01(Sat) 05:18:29
★ (No Subject) / jg
1から4までの番号が書かれた青玉4個と5から9までの番号が書かれた赤玉5個を1列に並べるとき､青玉が皆隣り合う場合は何通りあるか。

教えて下さい｡
No.15234 - 2011/09/30(Fri) 22:38:47
☆ Re: / ヨッシー
青玉４個を１つにした（例えば袋に入れたような）ものＡと赤玉５，６，７，８，９ の計６個を並べる並べ方は
　６！＝７２０（通り）
例えば、５６Ａ７８９　という並び方について、
Ａ の部分を１，２，３，４ の４個の青玉に展開した時、
その並べ方が、４！＝２４（通り） あるので、
　７２０×２４＝１７２８０（通り）
No.15246 - 2011/10/01(Sat) 08:39:34
★ (No Subject) / 、
5個の数字0,2,3,5,7を使ってできる。次のような数はいくつあるか｡ただし、同じ数字を2度以上使うことはできない。
(1)4桁の整数
(2)5桁の奇数


説明お願いします
No.15233 - 2011/09/30(Fri) 22:36:18
☆ Re: / neo
（１）
四桁の整数をabcdと表すことにする。
aは０以外の４通り
ｂはa以外の４通り
ｃはa,b以外の３通り
ｄはa,b,c以外の２通り
よって４・４・３・２＝９６通り
No.15243 - 2011/10/01(Sat) 05:20:58
★ (No Subject) / 1w
5個の数字1,2,3,5,7の中から異なる数字を使ってできる､次のような数はいくつあるか｡

(1)5桁の整数
(2)3桁の整数
(3)4桁の偶数


解説お願いします
No.15232 - 2011/09/30(Fri) 22:32:31
☆ Re: / neo
（１）５！通り
（２）５P3通り
（３）４桁の偶数をabc2と表す事とする
aは２以外の４通り
ｂはa、２以外の３通り
ｃはa,b,2以外の２通り
４・３・２＝２４通り
No.15244 - 2011/10/01(Sat) 05:25:49
★ (No Subject) / ぴーひゃら
2桁の自然数のうち､次のような数はいくつあるか｡

(1)各位の数字の積が偶数にる数

(2)各位の数字の積が3で割りきれて0でない数



教えて下さい｡
No.15231 - 2011/09/30(Fri) 22:27:32
☆ Re: / neo
（１）２文字の積が偶数ということはどちらか一方が偶数であればよい。
No.15241 - 2011/10/01(Sat) 05:12:45
★ (No Subject) / はひふへほ
下の図をPを出発点､Qを終点として一筆でかく方法は何通りあるか。

P―――――――――――Q

PとQの間に円が2つあります→〇〇


団子みたいなかんじです。


よろしくお願いします。
No.15230 - 2011/09/30(Fri) 22:25:11
☆ Re: / ヨッシー
こちらの問題６をご覧ください。
No.15245 - 2011/10/01(Sat) 08:34:23
★ (No Subject) / ははは
次の硬貨の一部または全部でちょうど支払うことのできり金額は何通りあるか。
(1)10円硬貨4枚､50円硬貨1枚､100円硬貨の6枚


(2)10円硬貨3枚､50円硬3枚､100円硬貨3枚



No.15229 - 2011/09/30(Fri) 22:03:04
☆ Re: / ヨッシー
(1)
10円から690円まで10円間隔で金額を作ることができるので、
６９通り。

(2)
10円から480円まで10円間隔の48通りの金額のうち
40,90,140,190,240,290,340,390,440 の9通りは作れないので
３９通り。
No.15250 - 2011/10/01(Sat) 09:06:38
★ (No Subject) / 125
1から999までの整数のうち､どの位の数字も0ではないものはいくつあるか｡

よろしくお願いします
No.15228 - 2011/09/30(Fri) 21:58:45
☆ Re: / neo
1〜９９９の中から以下のものを引いたものが答えです
*0
**0
*0*
*00
*は１〜９の９通り
９９９−（９＋９・９×２＋９）
No.15240 - 2011/10/01(Sat) 05:08:37
★ (No Subject) / dagkm
3個のｻｲｺﾛを同時に投げるとき､目の和が8の倍数になる場合は何通りあるか。
ただし、ｻｲｺﾛは区別しないものとする。


解説お願いします。
No.15227 - 2011/09/30(Fri) 21:56:54
☆ Re: / ヨッシー
８となる場合
　(1,1,6),(1,2,5),(1,3,4),(2,2,4),(2,3,3) の５通り
１６となる場合
　(4,6,6),(5,5,6) の２通り
合計７通り。
No.15251 - 2011/10/01(Sat) 09:09:03
★ (No Subject) / きー
大中小3個のｻｲｺﾛを投げるとき､次の場合は何通りあるか。

少なくとも2個が同じ目になる。


お願いします
No.15226 - 2011/09/30(Fri) 21:54:32
☆ Re: / neo
少なくとも2個が同じ目になる場合の数
＝全事象ー（３つとも全て異なる場合の数）
＝６＾３−６・５・４を計算したものが答えです
No.15239 - 2011/10/01(Sat) 05:04:10
★ (No Subject) / dmw
400から800の間にある奇数のうち､各位の数字がすべて異なるものはいくつあるか｡


お願いします
No.15225 - 2011/09/30(Fri) 21:52:08
☆ Re: / ヨッシー
一の位が１のとき、
　百の位は４，５，６，７の４通り
　　十の位は残り８通り　計３２通り
一の位が３のときも同様に　３２通り
一の位が９のときも同様に　３２通り

一の位が５のとき、
　百の位は４，６，７の３通り
　　十の位は残り８通り　計２４通り
一の位が７のときも同様に　２４通り

合計１４４個
No.15252 - 2011/10/01(Sat) 09:12:58
★ (No Subject) / い
600と720の正の公約数は全部で何個あるか｡ 600と720の正の公約数全体の和を求めよ｡ よろしくお願いします。
No.15224 - 2011/09/30(Fri) 21:50:17
☆ Re: / neo
まず６００と７００をそれぞれ素因数分解してください。
No.15238 - 2011/10/01(Sat) 05:01:19
☆ Re: (No Subject) / い
わかりました
その後はどうすればいんですか？
後､720じゃなくて700を素因数分解するんですか？
No.15257 - 2011/10/01(Sat) 17:28:28
☆ Re: / ヨッシー
それは、もちろん　６００と７２０です。
そういう瑣末事はともかく、こちらをまず、理解してください。

約数が、公約数になっただけであり、すべての公約数は最大公約数の
約数なので、最大公約数を見つけることからはじめましょう。
No.15260 - 2011/10/01(Sat) 22:31:09
★ (No Subject) / さーらん
次の数の個数とその約数全体の和を求めよ｡

(1)32 (2)200 (3)60


個数は求めれました

約数の全体の和の求め方を教えて下さい｡
No.15223 - 2011/09/30(Fri) 21:47:12
☆ Re: / neo
（１）だと３２＝２＾５
公式より約数の総和は
２＾０＋２＾１＋２＾２＋・・・＋２＾５
＝(2^6-1)/(2-1)=6３が答えです

（２）（３）も同様です
No.15237 - 2011/10/01(Sat) 05:00:25
★ (No Subject) / こーいち
a,b,c,dの4文字を1列に並べるとき､1番目の文字はaではなく､2番目の文字はbではなく､3番目の文字はcではなく4番目の文字はdではない並べ方は何通りあるか。





No.15222 - 2011/09/30(Fri) 21:43:04
☆ Re: / ヨッシー
ａが２番目に来たとします。
ｂが１番目に来ると、残りｃ,ｄの置き方は１通り。
ｂが３番目に来ると、残りｃ,ｄの置き方は１通り。
ｂが４番目に来ると、残りｃ,ｄの置き方は１通り。
合計３通り。
ａが３番目、４番目に来る場合も、３通りずつあるので、全部で９通り。
No.15249 - 2011/10/01(Sat) 09:00:35
★ (No Subject) / am
108の正の約数の個数とその約数全体の和を求めよ｡

やり方教えて下さい
No.15221 - 2011/09/30(Fri) 21:39:25
☆ Re: / neo
108を素因数分解してみてください
No.15236 - 2011/10/01(Sat) 04:54:43
☆ Re: / ヨッシー
たとえば１２の約数の個数と約数の和は
　１２＝２^2×３

（１＋２＋２^2）（１＋３）
　＝１＋２＋４＋３＋６＋１２
これの項数が約数の個数であり、掛け算の答え　７×４＝２８　が
約数の和となります。

約数の個数については、こちらもご覧ください。
No.15248 - 2011/10/01(Sat) 08:53:23
★ (No Subject) / らら
A,B2人がじゃんけんをしてどちらかが3回先に勝ったところで止めるｹﾞｰﾑを考える。引き分けをないものとすると勝負の分かれ方は何通りあるか。


教えて下さい｡
No.15220 - 2011/09/30(Fri) 21:37:59
☆ Re: / ヨッシー
Ａが勝つ場合を考えます。
３勝０敗　○○○　3Ｃ3＝１（通り）
３勝１敗　×○○○　○×○○　○○×○　○○○×　4Ｃ3＝４（通り）
３勝２敗　5Ｃ3＝10（通り）
以上より　Ａが勝つ場合は　１５通り。

Ｂが勝つ場合も同じ数だけあるので、計３０通り
No.15247 - 2011/10/01(Sat) 08:47:34
★ (No Subject) / 桜
底面の半径9、高さが12の円錐で,頂点Oから底面へひいた垂線と底面との交点をPとする。線分OPを3等分する点をQ,Rとするとき

(1)底面の直径の両端の点をA,Bとするときsin∠AOBを求めよ。

(2)点Q,Rを通り底面に平行な平面でこの円錐を切断してできる3つの立体を体積の小さい順にX,Y,Zとする。このときYとZの体積の比を求めよ。

(3)(2)のとき,XとYの表面積の比を求めよ。


よろしくお願いします。
No.15217 - 2011/09/30(Fri) 09:53:52
☆ Re: / ヨッシー
(1)
ＡＢの中点（底面の中心）をＭとすると、
△ＯＡＭにおいて、ＯＭ＝１２、ＡＭ＝９ より三平方の定理より
　ＯＡ＝１５
cos∠ＡＯＭ＝４／５、sin∠ＡＯＭ＝３／５　および、∠ＡＯＢ＝２∠ＡＯＭ　より
　sin∠ＡＯＢ＝２sin∠ＡＯＭcos∠ＡＯＭ＝２４／２５

(2)
Ｘは半径３，高さ４の円錐
ＹにＸを乗せた円錐Ｐは、半径６、高さ８の円錐
ＺにＹとＸを乗せた円錐Ｑ（元の円錐）は、半径９，高さ１２の円錐　なので、
Ｘ，Ｐ，Ｑは相似比１：２：３の相似な円錐。
Ｘの体積を１とすると、Ｐの体積は２^3＝８、Ｑの体積は３^3＝２７
よって、Ｙの体積は７，Ｚの体積は１９。

(3)
Ｘの側面の展開図は、半径５、中心角(3/5)×360°の扇形
Ｘの底面積は９π
Ｘの側面積は、２５π×3/5＝１５π
Ｘの表面積は９π＋１５π＝２４π

Ｙの上底面積は９π、下底面積は３６π
Ｙの側面積はＸの側面積の（２^2−１^2＝)３倍で、４５π
Ｙの表面積は　９π＋３６π＋４５π＝９０π
よって、Ｘ：Ｙ＝４：１５　（表面積比）
No.15218 - 2011/09/30(Fri) 14:26:45
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