質問させていただきます。
k∈R,対数の底をeとし、
f(x)=(x+1/2)log(x)-(k+1)x
と定める。この時以下の問に答えよ。
(1)f'(x)=0が異なる２つの実数解を持つようなkの値の範囲を求めよ。
(2)(1)の２解をα,β(α<β)とし、a=1-log(2)とするとき、
lim[k→a+0]〔{βf(α)-αf(β)}/α-β〕
を求めよ。
私の考えでは(1)は
f'(x)=log(x)+{1/(2x)}-k
より
f'(x)=0が異なる2つの実数解を持つ
⇔log(x)+{1/(2x)}=kが異なる２つの実数解を持つ
(g(x)=log(x)+{1/(2x)}とおき)
⇔xy平面でy=g(x)とy=kのグラフが異なる２つの共有点を持つ
から、g(x)の増減表を書いて最小値g(1/2)=1-log(2)=aを求め、
k>1-log(2)
としました。
次にα,βは(1)のグラフの共有点のx座標なので、
log(α)+{1/(2α)}=k
log(β)+{1/(2β)}=k
最終的にkをaに近づけるので、{βf(α)-αf(β)}/α-βを上の式からkだけで表そうとしたのですが、うまくいきません。
kだけで表す方が良いのでしょうか、それとも別の手を考えるべきでしょうか？
解説よろしくお願いします。
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No.14845 - 2011/09/01(Thu) 23:38:36
| ☆ Re: 微分と極限 / 豆 | | | 計算結果で、分母のα-βは消せないのでしょうか？
k→a+0のとき、α,β→1/2なので、α、βは残っても大丈夫ですよね。
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No.14849 - 2011/09/02(Fri) 10:27:37 |
| ☆ Re: 微分と極限 / 高３年 | | | f(α)=(α+1/2)log(α)-(k+1)α
=(α+1/2)(k-1/2α)-(k+1)α
=αk-1/2+k/2-1/4α-αk-α
=(1/2)(k-1)-α-1/4α
f(β)=(1/2)(k-1)-β-1/4β
より
βf(α)-αf(β)
={(1/2)(k-1)β-αβ-β/4α}-{(1/2)(k-1)α-αβ-α/4β}
=(1/2)(k-1)(β-α)+(1/4){(α/β)-(β/α)}
=-(1/2)(k-1)(α-β)+(1/4){(α+β)(α-β)/αβ}
となり、さらに
{βf(α)-αf(β)}/α-β
= -(1/2)(k-1)+(1/4){(α+β)/αβ}
k→aのとき、α,β→1/2より
lim[k→a+0]〔{βf(α)-αf(β)}/α-β〕
= -(1/2){1-log(2)-1}+(1/4){(1/2+1/2)/(1/2)(1/2)}
= (1/2)log(2)+1
になりました。k→a+0のときα,β→1/2に気づけませんでした。ありがとうございました。
（答えが合っているか少し不安です。）
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No.14854 - 2011/09/02(Fri) 21:42:48 |
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