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★ 図形 / 3C履修済
三角形PQRと三角形ABCがあり、角A>=30° BC=6で、線分APをQが、線分BRをPが、線分CQをRが1:1に内分している。このとき線分PQの長さの最大値を求めよ

この問題なのですが、三角形PQRは三角形ABCの内部にありそうだと思い、ベクトルでAQ:QP:PD=3:3:1(DはBCとAPの交点)が求まったのですがここで詰まりました

角Aの条件から、角BOC=60°となる点Oを中心とする円の内部にAがあるので、PQ最大はAODが一直線上に、Aが円周上にあるときだと思ったのですが、どうもそんな場合はなさそうです

Aの存在範囲を求める方針でこの解法を続けてもよいならそのヒントをください
または別の解法があれば教えてください
No.15164 - 2011/09/23(Fri) 23:29:18
☆ Re: 図形 / ヨッシー
ａ＝ＡＢ、ｂ＝ＡＣ とおき、
ＱはＡＰの中点、ＰはＢＲの中点、ＲはＣＱの中点より
　ＡＱ＝ＡＰ／２
　ＡＰ＝(ａ＋ＡＲ)／２
　ＡＲ＝(ｂ＋ＡＱ)／２
より
　ＡＰ＝(４ａ＋２ｂ)／７
　ＡＱ＝(２ａ＋ｂ)／７
　ＡＲ＝(ａ＋４ｂ)／７
が得られます。このことから、上に書いてある点Ｄは、
ＢＣを１：２に内分する点と分かります。
ＰＱの長さはＡＤの３／７なので、ＡＤが最大になるように
Ａを決めます。

Ａが円内にあるという考えは正しいので、あとは、Ｄから
最遠になるＡを探します。
No.15165 - 2011/09/24(Sat) 06:13:41
★ (No Subject) / 火影
ｔ^(3/2)って√（ｔ＾３）みたいにルートの中に入れていいんでしょうか？一般の話で教えて下さい。
No.15162 - 2011/09/23(Fri) 23:14:32
☆ Re: / ヨッシー
ｔが正の数ならＯＫです。
ｔが０の場合も良いでしょう。
ｔが負の数だとギリギリＯＫの場合が多いでしょう。
ｔが虚数だと、もう何が何だか。
No.15166 - 2011/09/24(Sat) 06:35:54
☆ Re: / らすかる
tが正の数の場合でも、例えば
「t^(3/2)」が「t^3=x^2を満たすx」
「√(t^3)」が「2乗してt^3になる数のうち負でない値」
のように定義されていれば一致しませんね。
t^(3/2)=√(t^3) と言えるかどうかは、
その場の定義次第だと思います。
No.15169 - 2011/09/24(Sat) 15:05:25
☆ Re: / 火影
回答有難うございます

ｔが負の数だとギリギリＯＫの場合が多い
＞具体的にどういうことでしょうか。ギリギリとは。
No.15175 - 2011/09/24(Sat) 23:13:50
☆ Re: / ヨッシー
例えば、(-2)^(3/2) という場合
　√{(-2)^3}＝√(-8)
と書いて良いかというと、
ホントは √8ｉと書くんだけど、式の途中なら√(-8) でも良いよ。
みたいな状況を想定しました。
No.15201 - 2011/09/27(Tue) 17:29:28
★ 帰納法です / ぷるお
数列{an}を
a(1)=a(2)=1 a(n+2)=7a(n+1)+a(n) nは自然数
によって定める。

(1)a(n+3)をa(n),a(n+1)で表せ
(2)a(3n)が偶数であることを数学的帰納法で証明せよ
(3)a(4n)が3の倍数となることを示せ

一応(1)はa(n+3)=50a(n+1)+7a(n)となったんですけど、念のため途中の式も教えてくれたらうれしいです。
(3)はできるだけmodを使わない方法でお願いします

No.15159 - 2011/09/23(Fri) 19:45:19
☆ Re: 帰納法です / らぁ
(1)
a[n+2]の定義式では、nは任意の自然数で成り立つので、nにn+1を代入した式も成り立ちますから、
a[(n+1)+2]がa[(n+1)+1]とa[n+1]で表せます。
あとは、a[n+2]の定義式を使用するだけです。

(2)
n=1,2のときは、{a[n]}の定義から奇数です。
n=k,k+1でa[n]が奇数なら、a[k+2]も奇数であることを示しましょう。
上の２つが示せれば、帰納法によりすべてのnについて、a[n]は奇数だといえます。
No.15161 - 2011/09/23(Fri) 22:11:20
☆ Re: 帰納法です / ぷるお
ありがとうございます！
できれば(3)もお願いします！
No.15163 - 2011/09/23(Fri) 23:25:41
☆ Re: 帰納法です / ヨッシー
(2) は(1) の結果
　a(n+3)=50a(n+1)+7a(n)
を使って、a(n) が偶数の時、a(n+3) も偶数であることを言います。

(3) はその応用で、
　a(n+4) を a(n+1), a(n) で表して、
a(n) が３の倍数の時、a(n+4) も３の倍数であることを言います。
No.15167 - 2011/09/24(Sat) 06:48:53
☆ Re: 帰納法です / ぷるお
ありがとうございます！
ヒントを頼りになんとか、自力でできました！
No.15168 - 2011/09/24(Sat) 11:01:48
★ (No Subject) / あああ
要素の個数が有限な3つの集合A,B,Cについて､次の等式が成り立つことを証明せよ｡

ｎ(A∪B∪C)=ｎ(A)+ｎ(B)+ｎ(C)-ｎ(A∩B)-ｎ(B∩C)
-ｎ(C∩A)+ｎ(A∩B∩C)


お願いします｡
No.15155 - 2011/09/23(Fri) 15:28:39
☆ 「件名は必ず入れてください」と書かれています / のぼりん
こんにちは。 先ず、
　　　ｎ（Ａ∪Ｂ）＝ｎ（Ａ）＋ｎ（Ｂ）−ｎ（Ａ∩Ｂ）
は大丈夫ですね。 これを三回使い、
　　　ｎ（Ａ∪Ｂ∪Ｃ）＝ｎ（Ａ∪Ｂ）＋ｎ（Ｃ）−ｎ（（Ａ∪Ｂ）∩Ｃ）
　　　　＝ｎ（Ａ）＋ｎ（Ｂ）−ｎ（Ａ∩Ｂ）＋ｎ（Ｃ）−ｎ（（Ａ∩Ｃ）∪（Ｂ∩Ｃ））
　　　　＝ｎ（Ａ）＋ｎ（Ｂ）−ｎ（Ａ∩Ｂ）＋ｎ（Ｃ）
　　　　　−｛ｎ（Ａ∩Ｃ）＋ｎ（Ｂ∩Ｃ）−ｎ（（Ａ∩Ｃ）∩（Ｂ∩Ｃ））｝
　　　　＝ｎ（Ａ）＋ｎ（Ｂ）＋ｎ（Ｃ）−ｎ（Ａ∩Ｂ）−ｎ（Ｂ∩Ｃ）−ｎ（Ｃ∩Ａ）
　　　　　＋ｎ（Ａ∩Ｂ∩Ｃ）
です。
No.15156 - 2011/09/23(Fri) 16:20:16
☆ Re: / ヨッシー
携帯からだと見えないかも＞＞「件名は必ず入れてください」
No.15158 - 2011/09/23(Fri) 17:18:38
★ (No Subject) / 技
生徒60人に数学と英語のﾃｽﾄをしたところ､数学に合格した生徒は50人､英語に合格した生徒は55人であった｡このとき次の生徒の人数は最も多くて何人か｡また最も少なくて何人か｡


(1)少なくとも一方に合格した生徒


(2)両方とも合格した生徒


お願いします
No.15154 - 2011/09/23(Fri) 15:23:35
☆ Re: / ヨッシー
http://www2.rocketbbs.com/11/bbs.cgi?id=yosshy&mode=pickup&no=15152
こちらは理解されたのでしょうか？
No.15157 - 2011/09/23(Fri) 17:17:35
☆ Re: (No Subject) / 技
解説お願いします｡
No.15170 - 2011/09/24(Sat) 16:07:38
★ (No Subject) / ととろ
全体集合Ｕの部分集合A,B
について､ｎ(Ｕ)=30,
ｎ(A)=18,ｎ(B)=21である｡このとき､ｎ(A∩B)のとりうる値の最大値､最小値を求めよ｡


解説お願いします｡
No.15152 - 2011/09/23(Fri) 14:20:06
☆ Re: / ヨッシー
ｎ(Ａ∪Ｂ)＝ｎ(Ａ)＋ｎ(Ｂ)−ｎ(Ａ∩Ｂ)
なので、
ｎ(Ａ∪Ｂ)＝３９−ｎ(Ａ∩Ｂ)
ｎ(Ａ∪Ｂ) の最大値はｎ(Ｕ)＝30 なので、このときｎ(Ａ∩Ｂ) は最小値９を取ります。
ｎ(Ａ∩Ｂ) の最大値はｎ(Ａ)＝１８ です（ＡがすっぽりＢに含まれる場合）
以上より、最小値９，最大値１８　です。
No.15153 - 2011/09/23(Fri) 14:35:01
★ 2次方程式 / まさ
お返事いただいたのに返信遅くなってすみません。ダウンしてました。

一般的な解の公式の導き方、平方完成、因数分解を習いました。2次方程式の解の求め方を学校（中学）で習った上記以外で考えてくるように言われています。

自分でも質問の意味をよく理解していなかったと思い先生に確認すると、解の公式にいたるまでの過程が何通りも（6通りくらい！？）あるとのことでした。
そんなにできるのか！…というところからこんがらがっています。
No.15148 - 2011/09/23(Fri) 11:48:04
☆ Re: 2次方程式 / まさ
たびたびすみません。返信の仕方がよくわかっておらずnewになってしましました。
no.15118-2011/09/20まさ、です。
No.15149 - 2011/09/23(Fri) 11:54:03
★ 高２です。 / Excelsior!
　a≠b、b≠c、c≠aのときa,b,cが
(a^3+2a/a+1)=(b^3+2b/b+1)=(c^3+2c/c+1)=kが成り立つとき、a+b+c=0、k=abcが成り立つことを証明せよ。

a+b+c=0が証明されさえすれば、k=abcは簡単に出来ると思うのですが、難しくて…(泣)
よろしくお願いします！
No.15146 - 2011/09/23(Fri) 08:48:53
☆ Re: 高２です。 / X
(a^3+2a)/(a+1)=(b^3+2b)/(b+1)=(c^3+2c)/(c+1)=k (A)
とします。
(A)より
a^3+2a=k(a+1) (B)
b^3+2b=k(b+1) (C)
c^3+2c=k(c+1) (D)
(B)(C)(D)と　a≠b、b≠c、c≠aよりa,b,cはxの三次方程式
x^3+2x=k(x+1)
つまり
x^3+(2-k)x-k=0
の３つの解ですので解と係数の関係から
a+b+c=0
abc=k
となります。
No.15150 - 2011/09/23(Fri) 12:42:26
☆ Re: 高２です。 / Excelsior!
なるほど！！
一気に証明されるこのようなやり方があったんですね！！
ありがとうございます！
この解法を見た瞬間、感動しました（泣）
ホントにありがとうございました！！
No.15151 - 2011/09/23(Fri) 12:55:59
★ (No Subject) / ponta28
関数f（x）＝sinx+cosx(0<=x<=π/2)とする

以下の事を証明せよ
（１）方程式f(x)=xはただ１つの解をもつ
（２）方程式f(x)＝xの解をx[0]とするとき１＜x[0]<√２が成立する
（３）s,tが１＜＝s＜t＜＝√２をみたすとき
｜f（s)−f(t)｜＜＝｜f´（√２）|｜s−t｜
（４）aが０＜＝a＜＝π/2をみたすとき
a[1]=a,a[n+1]=f(a[n])(n=1,2,3,,,,,)
で数列｛a[n]}を定めると
lim[n→∞]a[n]=x[0]が成立する

1),2)はできたのですが
３）の平均値の定理でf´（√２）が処理できません


No.15136 - 2011/09/21(Wed) 16:21:15
☆ Re: / X
平均値の定理により
{f(t)-f(s)}/(t-s)=f'(u) (A)
1≦s＜u＜t≦√2 (B)
なるuが存在します。
ここで
f(x)=(√2)sin(x+π/4)
f'(x)=(√2)cos(x+π/4)
f"(x)=-(√2)sin(x+π/4)
∴π/4≦x≦3π/4においてf"(x)≦0
ですので
π/4≦x≦3π/4においてf'(x)は単調減少 (C)
更に
π/4＜1,√2＜3π/4
∴1≦x≦√2においてf'(x)は単調減少 (D)
以上から…
No.15139 - 2011/09/21(Wed) 19:50:19
☆ Re: / ponta28
不等式がf´（√２）＜f'(u)となり示めす式が反対になってしまいよく分からなくなりました
No.15141 - 2011/09/21(Wed) 20:14:18
☆ Re: / X
(B)においてf'(x)＜0 (これは自分で示してください)
∴f(x)は(B)において単調減少ですから
f(s)＜f(t)
よって
f(s)-f(t)＜0
ですので…。
No.15143 - 2011/09/22(Thu) 08:01:56
☆ Re: / ponta28
すいません
確かに値としては当然
f´(u)>f´(√2)(1<u<√2)
となりますがf´(x)<0(1<x<√2)
かつf´(x)は単調減少だから
|f´(u)|<|f´(√2)|よって示せました
ありがとうございます
No.15145 - 2011/09/22(Thu) 19:41:01
★ 微積です / ponta28
１）x＞eのとき、g(x)=logx/xは単調減少であることを示せ
２）ｘ＞eのとき

{2log(x+1)}/(x+1)<{log(x+1)}^2-(logx)^2<2logx/x (*)
が成立することを示せ

1)はｇ´(x)=(1-lox)/x^2
g´(x)=0⇔x=e つまりx>eではg´(x)<0は常に成立
よって題意は満たされた
２）(*)の中辺
は[(logt)^2][x→x+1]
つまり∫[x→x+1](2logt/t)dt
ここでf(t)=2logt/tとすると
f(x+1)<∫[x→x+1]f(t)dt<f(x)
に議論の置き換えができる
f(t)=2g(t)であるからf(t)は単調減少である(∵(1))
この先がわかりません
No.15127 - 2011/09/21(Wed) 14:12:49
☆ Re: 微積です / X
x>eのときf(x)＞0
であることに注意してy=f(x)のグラフを描いて
面積比較で考えてみましょう。
No.15129 - 2011/09/21(Wed) 15:20:38
☆ Re: 微積です / らぁ
#積分の導入が早いようです。


f(t)=2logt/tとおき、t＞eでf(t)は狭義単調減少なので、e＜x＜t＜x+1で、f(x+1)＜f(t)＜f(x)
それぞれをt=xからt=x+1について定積分を求めれば、
∫[x→x+1]f(x+1)dt＜∫[x→x+1]f(t)dt＜∫[x→x+1]f(x)dt
（∵f(x)＜g(x)＜h(x)→∫[a→b]f(x)dx＜∫[a→b]g(x)dx＜∫[a→b]h(x)dx）

左辺=[f(x+1)][x→x+1]=(x+1)f(x+1)-xf(x+1)=f(x+1)
右辺=[f(x)][x→x+1]=(x+1)f(x)-xf(x)=f(x)

より、
f(x+1)＜∫[x→x+1]f(t)dt＜f(x)

あとは、定積分と2倍で題意を示せます。

#>>Xさん、被りました、すいません。
No.15130 - 2011/09/21(Wed) 15:28:24
☆ Re: 微積です / ponta28
できました。
ありがとうございます。
No.15135 - 2011/09/21(Wed) 16:00:21
★ (No Subject) / ponta28
半径１の円に内接する正n角形の周の長さをl[n],外接する周の長さをL[n]とするとき
l[n]+L[n]>l[n+1]+L[n+1]を示せ

l[n]=2nsin(π/n),L[n]=2ntan(π/n)
l[n]+L[n]-l[n+1]-L[n+1](*)においてn=xとして
微分をして(*)>0を示そうとしたのですが
計算がぐちゃぐちゃになりました。
No.15126 - 2011/09/21(Wed) 13:09:30
☆ Re: / ponta28
f(x)=2xsinπ/x+2xtanπ/xとしたら
f´(x)=2sinπ/x+2tanπ/x-2(cos(π/x))/x
-2/(xcos(π/x))^2
となりf´(x)<0が示せません
No.15131 - 2011/09/21(Wed) 15:35:07
☆ Re: / らぁ
> f(x)=2xsinπ/x+2xtanπ/xとしたら
> f´(x)=2sinπ/x+2tanπ/x-2(cos(π/x))/x-2/(xcos(π/x))^2
> となりf´(x)<0が示せません

他の検証はしていませんが、とりあえず、

f´(x)=2sinπ/x+2tanπ/x-2π(cos(π/x))/x-2π/(x(cos(π/x))^2)

ではないでしょうか？

(合成関数の微分を間違ってませんか？
(d/dx)(π/x)=-π/(x^2))
No.15133 - 2011/09/21(Wed) 15:55:06
☆ Re: / ponta28
すいません間違ってました
ですが先は見えません
No.15134 - 2011/09/21(Wed) 15:59:44
☆ Re: / ponta28
π/n=xとおいてf(x)が増加関数であることを２回微分によって示すことができましたありがとうございました。
No.15144 - 2011/09/22(Thu) 19:26:37
★ (No Subject) / ponta28
aを正の定数とする。xy平面上の曲線Cが
x(t)=a+{(√３＋１)e^(t)cost}/2,y(t)=a+{（√３−１）e^(t)sint}/２
(0<t<2π)と表されている。

１）C上の点（ｘ（ｔ）、ｙ（ｔ））における接線が原点を通るならば
e^(-t)cos(t+π/3)=1/4a・・・(*)が成り立つことを示せ

２）このような接線が3本あるためのaの値の範囲を求めよ

１）はx´(t)=x(t),y´(t)=y(t)からa=・・・という式を
２つ作りそれらを足し合わせて
1/4a=e^-1/{-(√３＋１)sint+(√３−１）cost}
という式をつくったのですがここで止まりました

２）は(*)の式を使い定数分離として
(*)の左辺をf(t)として
f´(t)=-e^(-t)√(2)sin(t+7π/12)
f´(t)=0⇔ｔ＝5π/12,1７π/12
でグラフを書いたのですが3本の議論が分かりません。
No.15123 - 2011/09/21(Wed) 11:22:36
☆ Re: / X
1)
>>x´(t)=x(t),y´(t)=y(t)から〜
とありますが
x'(t)=x(t),y'(t)=y(t)
は成立しません。

C上の点(x(t).y(t))における接線の方程式は
x'(t){y-y(t)}=y'(t){x-x(t)}
これが原点を通るので
x'(t){-y(t)}=y'(t){-x(t)}
∴x'(t)y(t)=y'(t)x(t)
これに問題のx(t),y(t)を用いると
{(√3+1)/2}(e^t)(cost-sint){a+{(√3-1)/2}(e^t)sint}
={(√3-1)/2}(e^t)(sint+cost){a+{(√3+1)/2}(e^t)cost}
これより
{(√3+1)/2}(cost-sint){a+{(√3-1)/2}(e^t)sint}
={(√3-1)/2}(sint+cost){a+{(√3+1)/2}(e^t)cost}
a{(√3)sint-cost}=-(1/2)e^t
2a{cost-(√3)sint}=e^t
4acos(t+π/3)=e^t
よって
{e^(-t)}cos(t+π/3)=1/(4a)

2)
縦軸をy、横軸にtを取ったときの
y=f(t)
y=1/(4a)
のグラフの交点が３つになる条件を求めるわけですが
グラフを描いてもらえば分かるとおり、交点は最大で
２個しか取れませんので題意を満たすaの値は存在しません。
No.15124 - 2011/09/21(Wed) 11:54:27
☆ Re: / ponta28
ありがとうございます。
ですがグラフを書き直したところ
√２/{4e^(-17π/12)}<=a<1/{2e^(-2π)}
になりました。
No.15125 - 2011/09/21(Wed) 13:02:02
☆ Re: / X
ごめんなさい。確かにaの値は存在しますね。
しかし、その解答の不等号の下の等号はつけてはいけません。
(等号成立のときはy=f(t)のグラフの極大点を交点に持つ場合ですが
その場合、交点の数は２個になってしまいます。)
No.15138 - 2011/09/21(Wed) 19:27:12
☆ Re: / ponta28
すいません
うっかりしてました
どうもありがとございました
No.15140 - 2011/09/21(Wed) 19:54:56
★ 漸化式 / きみた
1〜nを1列にならべる順列のうち必ずkがk番目にない順列の総数をa（n）で表す

という問題で（1）（2）で、a1=0 a2=1 a3=2 a4=9
となりました。そこで（3）でa（n）を数列とするとき漸化式をつくれとあるのですがわからないです。
No.15120 - 2011/09/21(Wed) 00:04:27
☆ Re: 漸化式 / らぁ
1からnまでを、どのkもk番目に来ないように並べる場合を考える。

1がk番目(2≦k≦n)にあるとする。このとき、次の2パターンが考えられる。

イ) kが1番目にあるとき、残りのn-2個の数の並べ方は、a[n-2]通り

ロ) kが1番目にないとき、1以外のn-1個の数の並べ方は、a[n-1] 通り

これらはどれも重複しない。

したがって、kの選び方はn-1通りあるので、

a[n]=(n-1)(a[n-1]+a[n-2])
No.15122 - 2011/09/21(Wed) 00:59:17
★ 2次方程式 / まさ
2次方程式の解法について教えて下さい。
解の公式を使わずに解く方法を平方完成、因数分解以外で。
No.15118 - 2011/09/20(Tue) 23:46:42
☆ Re: 2次方程式 / らすかる
質問がアバウトすぎると思いますが、
一般的な2次方程式 ax^2+bx+c=0 の解は
どんな解き方であろうと x={-b±√(b^2-4ac)}/(2a) になりますので
解の公式を使ったのと同じことになってしまいます。

x={-b±√(b^2-4ac)}/(2a) という解を
平方完成と因数分解を使わずに導出する方法という意味ですか？
No.15119 - 2011/09/21(Wed) 00:03:16
☆ Re: 2次方程式 / らぁ
定規とコンパスによる作図解法とかはダメ？

#50年くらい前までは日本の学校でも教えていたらしい。

本質的には、解の公式だし、正の実解があるある場合に限るし、数値が正確に「わかる」わけでもないけど(解の値は正確だけど)、、、。
No.15121 - 2011/09/21(Wed) 00:31:22
★ 帰納法です / ぷるお
数列{an}はすべての自然数nに対して、
3((a1)^2+(a2)^2+...+(an)^2)=n・an・an+1
を満たし、a1=2である

(1)一般項anを推定し、それを数学的帰納法で証明せよ
(2)Sn=1/(a1a2)+1/(a2a3)+...+1/(anan+1)を求めよ

お手数をおかけしますが、
回答をお願いします！
No.15108 - 2011/09/20(Tue) 13:09:41
☆ Re: 帰納法です / ＿
「一般項anを推定」の段階から既にできないのでしょうか？
どこまでどのように考えたかを書きましょう。
No.15109 - 2011/09/20(Tue) 15:24:46
☆ Re: 帰納法です / ぷるお
一般項が分数になったりして、推定ができません
すいません
No.15110 - 2011/09/20(Tue) 15:30:15
☆ Re: 帰納法です / らぁ
計算ミスでしょう。

{a[n]}が推定できる程度までは、少なくともa[n]は整数です。

よろしければ、計算で出たa[2]〜a[6]くらいまでを書き出してもらえますか？
No.15111 - 2011/09/20(Tue) 16:04:11
☆ Re: 帰納法です / ぷるお
すいません。普通にミスってました。
一般項an=4n-2って出ました
No.15113 - 2011/09/20(Tue) 16:17:29
☆ Re: 帰納法です / らぁ
帰納法でa[n]=4n-2...★を示す。

n=1のとき、a[1]=4-2=2でなりたつ。

1≦n≦kのすべてのnで★がなり立っていると仮定する。

このとき、
3(a[1]^2+a[2]^2+…+a[k]^2) = k･a[k]a[k+1]
左辺 = 3Σ[i=1〜k]a[i]^2
= 3×4Σ[i=1〜k](4i^2-4i+1)
= 12{2k(k+1)(2k+1)/3 - 2k(k+1) + k}
= k{8(k+1)(2k+1)-24(k+1)+12}
= k(16k^2+24k+8-24k-24+12)
= k(16k^2-4)
= k(4k-2)(4k+2)
元の式の右辺と比較して、
k(4k-2)a[k+1] = k(4k-2)(4k+2)
k≧1より、k≠0、4k-2≠0なので、
a[k+1] = 4k+2 = 4(k+1)-2
となり、n=k+1のときも、★は成り立つ。

以上より、数学的帰納法により、すべての自然数nについて、a[n]=4n-2 ■
No.15114 - 2011/09/20(Tue) 17:17:49
☆ Re: 帰納法です / らぁ
(2)

1/(a[n]a[n+1]) = 1/{(4n-2)(4n+2)}
= 1/{4(2n-1)(2n+1)}
= {(2n+1)-(2n-1)}/{8(2n-1)(2n+1)}
= (2n+1)/{8(2n-1)(2n+1)}-(2n-1)/{8(2n-1)(2n+1)}
= 1/{8(2n-1)}-1/{8(2n+1)}
= (1/8){1/(2n-1)-1/(2n+1)}
から、

S[n] = (1/8)[(1/1-1/3)+(1/3-1/5)+(1/5-1/7)+…+{1/(2n-3)-1/(2n-1)}+{1/(2n-1)-1/(2n+1)}]
= (1/8)[1/1+(-1/3+1/3)+(-1/5+1/5)+(-1/7+…+1/(2n-3)}+{-1/(2n-1)+1/(2n-1)}-1/(2n+1)]
= (1/8){1-1/(2n+1)}
= (1/8){2n/(2n+1)}
= n/(8n+4)
No.15115 - 2011/09/20(Tue) 17:30:09
☆ Re: 帰納法です / ぷるお
返信遅れました、
回答ありがとうございます！
すごく分かりやすいです！
No.15132 - 2011/09/21(Wed) 15:53:21
★ (No Subject) / ぷるお
(2)から答えが想像できて、あと一歩のところでとまっています。回答例をお願いします！
No.15104 - 2011/09/20(Tue) 09:41:23
☆ (No Subject) / ぷるお
> (2)で答えは想像できるんですが、あと一歩のところでとまっています。回答例をお願いします！

あと(1)は{n(n+1)(n+2)}/6だと思います
No.15105 - 2011/09/20(Tue) 09:50:10
★ 数列と漸化式です / ぷるお
c1,c2,..,cnはn個の整数1,2,..,nを大きいほうから順にならべた数列で、a1,a2,..,anは1,2,..,nを任意の順に並べた数列とすし、b_k=n+1-a_k(k=1,2,..,n)とおく。(Σの範囲は全てk=1,n)

(1)Σkc_Kをnの式で
(2)Σ(k-b_k)^2>=0であることを利用して、
　　Σkb_k>=Σk^2を証明せよ
(3)(2)の結果を用いて,Σka_k>=Σkc_kを証明せよ
No.15103 - 2011/09/20(Tue) 09:39:16
☆ Re: 数列と漸化式です / ヨッシー
(1)
ck=n+1-k なので
　Σk・ck＝Σk(n+1-k)＝(n+1)Σk−Σk^2
　　＝n(n+1)^2/2−n(n+1)(2n+1)/6
　　＝n(n+1)(n+2)/6

(2)
　Σ(k-bk)^2＝Σk^2−２Σk・bk＋Σbk^2
Σk^2　と　Σbk^2　は、順番が違うだけで、足しているものは
同じなので、Σk^2＝Σbk^2　よって、
　Σ(k-bk)^2＝２(Σk^2−Σk・bk)≧0
よって、Σk^2≧Σk・bk　・・・問題に誤りあり(不等号が逆)

(3)
bk＝n+1-ak、k=n+1-ck　であるので、
　Σk^2−Σk・bk＝Σk(n+1-ck)−Σk(n+1-ak)
　　＝Σk(n+1)−Σk・ck−Σk(n+1)＋Σk・ak
　　＝Σk・ak−Σk・ck≧０
No.15106 - 2011/09/20(Tue) 10:57:10
☆ Re: 数列と漸化式です / ぷるお
すいません。問題書き間違えてました
回答ありがとうございます！
もう１問分からない問題があるので教えていただけませんか？
因みに高２です。
No.15107 - 2011/09/20(Tue) 11:46:41
★ (No Subject) / かつゆ
（−２１）^(7/3)って虚数ですか実数ですか？また、その理由も教えて下さい。
No.15101 - 2011/09/20(Tue) 01:08:35
☆ Re: / らすかる
実数にも虚数にもなります。
一般に複素数範囲では3乗根は3つの値をとります。
No.15102 - 2011/09/20(Tue) 02:08:03
☆ Re: / かつゆ
(-21)^(1/3)これも虚数にも実数にもなるのですか？

どういう時に実数になるのか虚数になるのか実数にも虚数にもなるのか、教えて下さい

よろしくおねがいします
No.15142 - 2011/09/21(Wed) 21:19:25
☆ Re: / ＫＧ
> 実数にも虚数にもなります。
> 一般に複素数範囲では3乗根は3つの値をとります。
らすかるさん，
　　（−２１）^(7/3)＝(3)√(−２１^7)
ですから，累乗根 (n)√(ａ^m) の定義から言って，実数ではないでしょうか？
たとえば，
　　(3)√１＝１
であって，
　　(3)√１＝｛−１±(√３)ｉ｝/２
ではないですよね．
No.15160 - 2011/09/23(Fri) 19:55:10
☆ Re: / らすかる
> かつゆさん
> (-21)^(1/3)これも虚数にも実数にもなるのですか？
なります。

> どういう時に実数になるのか虚数になるのか実数にも虚数にもなるのか、教えて下さい
複素数範囲では3価であり、実数にも虚数にもなります。


> ＫＧさん
> （−２１）^(7/3)＝(3)√(−２１^7)

これが成り立つかどうかは(-21)^(7/3)の定義によりますね。
複素関数あたりを扱っている状況では
左辺と右辺の定義が異なって等号がなりたたないこともあるかと思います。
No.15194 - 2011/09/27(Tue) 05:17:20
☆ Re: / ＫＧ
＞これが成り立つかどうかは(-21)^(7/3)の定義によりますね。
なるほど．
高校の教科書(数学２)では，これで累乗根を定義しているようですが，複素関数を持ち出されるとこちらの手に余ります．
失礼いたしました．
No.15203 - 2011/09/27(Tue) 18:58:08
★ 高2　数列 / れいひゃー
[1]次の条件によって定められている数列{ａ[n]}の一般項を定めよ

a[1]=１/2
１/a[n+１]　−　1/a[n]＝2(n+1)
(n=1,2,3,4...)


答えは
a[n]=1/n(n+1)


[2]a＞0でnを自然数とする。　数学的帰納法を用いて次の不等式を証明せよ

(1+a)^n≧1+na



[1]はb[n]＝1/a[n]　として、
b[1]＝2だから
　　　　　　n
b[n]=2＋??2(k+1)
　　　　　　K=1
を解いていったのですが、違いました
私的には方法はあってると思うのですが…

[2]はn=k+1のときの証明に使う計算(?)が出来ません

宜しくお願いします!
No.15098 - 2011/09/19(Mon) 22:44:41
☆ Re: 高2　数列 / ヨッシー
[1]は階差数列なので、k=1〜n-1 までの足し算です。

[2]は　(1+a)^k≧1+ka のときに、
　(1+a)^(k+1)≧1+(k+1)a　が言えればいいのですが、
(1+a)^(k+1)＝(1+a)(1+a)^k　で、
(1+a)^k を 1+ka に置き換えて、変形していきます。
置き換えると言っても、不等式になりますが。
No.15099 - 2011/09/19(Mon) 23:12:41
☆ Re: 高2　数列 / れいひゃー
[1]
　　　　　　　　　n-1
a[n]＝1/a[n]＋??2(n+1)
　　　　　　　　　K=1
ということでしょうか…?



[2]
>(1+a)^k を 1+ka に置き換えて、変形していきます。
どうしてそのように変形できるのですか?
No.15116 - 2011/09/20(Tue) 18:40:47
☆ Re: 高2　数列 / ヨッシー
[1]
b[n]＝1/a[n] と置くこと自体は正しいので、k=1〜ｎまで
足していたのが、k=1〜n-1 になるだけです。つまり、
b[1]＝2 だから
　　　　　n-1
　b[n]＝2+Σ2(k+1)
　　　　　k=1
です。計算すれば、b[n]＝n(n+1) となり、a[n]=1/n(n+1)　となります。

[2]
(1+a)^(k+1)＝(1+a)(1+a)^k　の最後の(1+a)^kを1+ka に置き換えると、
　(1+a)^k≧1+ka 　および　1+a＞0
より
　(1+a)^(k+1)＝(1+a)(1+a)^k≧(1+a)(1+ka)
です。これを正しく変形すると、
　　＝・・・≧1+(k+1)a
まで持って行けます。
No.15117 - 2011/09/20(Tue) 21:26:55
☆ Re: 高2　数列 / れいひゃー
ありがとうございました!
No.15147 - 2011/09/23(Fri) 11:23:47
★ 集合 / trin
高校1年の数Aの集合の問題です。

ある大学の入学者のうち、他のa大学、b大学、c大学を受験した者全員の集合をA、B、Cで表す。
　n(A)=65、n(B)=40、n(A∩B)=14、n(C∩A)=11、
n(B∪C)=55、n(C∪A)=78、n(A∪B∪C)=99
のとき、次の問いに答えよ。
(1)c大学を受験した者は何人か。
(2)a大学、b大学、c大学のすべてを受験した者は何人か。
(3)a大学、b大学、c大学のどれか1大学のみを受験した者は何人か。

-答え-
(1)24人
(2)4人
(3)73人

(1)、(2)はわかりました。
(3)がわからないので、教えてください。

ちなみに、(2)を解く際にn(B∩C)=9がわかっています。

よろしくお願いしますm(_ _)m
No.15093 - 2011/09/19(Mon) 10:49:05
☆ Re: 集合 / らぁ
「a大学、b大学、c大学のどれか1大学のみを受験した者」とは、

「a大学を受験したが、b大学とc大学は受験しなかった者」
「b大学を受験したが、a大学とc大学は受験しなかった者」
「c大学を受験したが、b大学とa大学は受験しなかった者」

の和集合を指し、明らかにこれらのうち複数に含まれるものはいませんから、

求める人数をNとすると、
N=n(A∩B`∩C`)+n(A`∩B∩C`)+n(A`∩B`∩C)
です。なお、X`で「Xの補集合」を表すものとします。

n(A) = n(A∩B)+n(A∩B`)
= n(A∩B)+{n(A∩(B`∩C))+n(A∩(B`∩C`))}
= n(A∩B)+n((A∩C)∩B`)+n(A∩B`∩C`)
= n(A∩B)+{n(A∩C)-n(A∩C∩B)}+n(A∩B`∩C`)
から、
n(A∩B`∩C`) = n(A)-n(A∩B)-n(A∩C)+n(A∩B∩C)

同様にして、
n(A`∩B∩C`) = n(B)-n(A∩B)-n(B∩C)+n(A∩B∩C)
n(A`∩B`∩C) = n(C)-n(C∩B)-n(A∩C)+n(A∩B∩C)

∴N = n(A)+n(B)+n(C)-2{n(A∩B)+n(A∩C)+n(B∩C)}+3･n(A∩B∩C)

で求まります。
No.15095 - 2011/09/19(Mon) 11:45:35
☆ Re: 集合 / ヨッシー

念のため、最初から、ベン図を埋める作業をしてみます。
図には、ＡＢＣの関係と、ＡとＢだけ取り出した図が描いてあります。
n(A)=65、n(B)=40、n(A∩B)=14　から
　ｊ＝１４
　ｈ＝６５−１４＝５１
　ｉ＝４０−１４＝２６
n(B∪C)=55、n(A∪B∪C)=99　から
　ａ＝９９−５５＝４４
　ｅ＝ｈ−ａ＝７
n(C∩A)=11　と　ｅ＝７　から
　ｇ＝１１−７＝４
n(A∩B)=14　と　ｇ＝４　から
　ｆ＝１４−４＝１０
n(B)=40、n(B∪C)=55　から
　ｃ＋ｅ＝５５−４０＝１５
　ｃ＝１５−７＝８
n(A)=65、n(C∪A)=78　から
　ｃ＋ｄ＝７８−６５−１３
　ｄ＝１３−８＝５
　ｂ＝ｉ−ｄ＝２６−５＝２１
これでベン図が埋まりました。
求めるのは、ａ＋ｂ＋ｃなので・・・
No.15096 - 2011/09/19(Mon) 13:56:27
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