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★ 完成ノート / ぱむ
関数y=-x^2+8x+a(1≦x≦6)の
最小値が-2であるように定数aの値を求めよ。

グラフもどうかけばいいかわからないので教えてください。

あと途中式もよろしくお願いします。


No.14230 - 2011/07/14(Thu) 22:22:37
☆ Re: 完成ノート / ヨッシー
軸だけが正しく、ｙ軸方向の位置は適当なグラフを描きます。
そこに、1≦ｘ≦6 の範囲を書き入れ、どの位置で最小になるか
調べます。
その値が、-2 になるように、a を決めます。
No.14232 - 2011/07/15(Fri) 00:22:40
☆ Re: 完成ノート / ぱむ
ありがとうございます
No.14253 - 2011/07/16(Sat) 16:49:33
★ 分母を払うということ / りｍたｍ
9/{x^2(x-3)}=a/x-b/x^2+c/(x-3)
のa,b,cを求める問題です

解答は
9/{x^2(x-3)}=a/x-b/x^2+c/(x-3)
として分母を払い
９＝ax(x-3)-b(x-3)+cx^2・・・?@
『これがx≠０、ｘ≠３の任意のｘで成り立つから、
左辺と右辺が同じ式となり、そうなればｘ＝０，３に対しても成り立つ。』?@でｘ＝０，３，１として
9=3b,9=3c,9=-2a+2b+cよってa=-1,b=3,c=2

とあるのですが
『』部が何を言っているのかどなたか教えて下さい。よろしく御願いします。
No.14227 - 2011/07/13(Wed) 01:03:59
☆ Re: 分母を払うということ / ヨッシー
教科書や、参考書にその通りの文が書かれているのでしょうか？

言わんとしていることはうっすらとはわかりますが、
日本語としてかなり稚拙です。

「何を言っているのか」わからないというのは、正しい感想だと思います。
No.14228 - 2011/07/13(Wed) 06:36:18
☆ Re: 分母を払うということ / ヨッシー
で、言わんとしていることですが、
　9/{x^2(x-3)}=a/x-b/x^2+c/(x-3)　・・・(i)
と、分母を払った、
　９＝ax(x-3)-b(x-3)+cx^2　・・・(ii)
ですが、(i) は、x≠0, x≠3 において意味をなす式です。
(ii) には特に制限はありませんが、x≠0, x≠3 という
条件を付けることによって、(i) と同値になります。

ここで、x=0, x=3 も含め、すべてのｘについて(ii)が
常に成り立つような a,b,c が求まったなら、x=0, x=3 を
除いたすべてのｘについて、(i) が成り立つとも言えます。
そこで、(ii) がｘ(x=0, x=3 も含む)についての恒等式に
なるような a,b,c を求めることにします。

というようなことです。
No.14229 - 2011/07/13(Wed) 07:27:55
★ 図形 / ハーイ
三角形ABCにおいて、AB=12 、角Aの二等分線と辺BCの交点をD、辺ABを5：4に内分する点をE、辺ACを1：6に内分する点をFとする。線分AD,CE,BFが一点で交わるとき、辺ACの長さを求めよ。
No.14223 - 2011/07/12(Tue) 00:18:19
☆ Re: 図形 / ヨッシー
チェバの定理より
　(ＡＥ/ＥＢ)(ＢＤ/ＤＣ)(ＣＦ/ＦＡ)＝１
それぞれ比を入れて
　(5/4)(ＢＤ/ＤＣ)(6/1)＝１
よって
　ＢＤ/ＤＣ＝2/15

角の二等分線の定理より
　ＢＤ/ＤＣ＝ＡＢ/ＡＣ＝2/15
ＡＢ＝12 より ＡＣ＝90
No.14225 - 2011/07/12(Tue) 05:35:55
☆ Re: 図形 / ハーイ
ありがとうございます
No.14226 - 2011/07/13(Wed) 00:46:21
★ 図形 / ハーイ
三角形ABCにおいて、AB=AC=3、BC=2である。三角形ABCの重心をG、内心をIとするとき、GIの長さを求めよ
No.14222 - 2011/07/12(Tue) 00:11:58
☆ Re: 図形 / ヨッシー
ＢＣの中点をＭとすると、ＧもＩもＡＭ上にあります。
ここで、三平方の定理より
　ＡＭ＝2√2
です。

重心の性質より
　ＡＧ：ＧＭ＝２：１
よって、ＡＧ＝(2/3)ＡＭ＝4√2/3

角の二等分線の定理より
　ＡＩ：ＩＭ＝３：１
よって、ＡＩ＝(3/4)ＡＭ＝3√2/2

以上より
　ＧＩ＝3√2/2−4√2/3＝√2/6
No.14224 - 2011/07/12(Tue) 05:29:25
★ 素朴な疑問 / Z
放物線C:ｙ＝(1/2)x^2−１上にない点P（a.b)をとる。放物線C上の点Qに対し直線PQが点QでのCの接線と垂直に交わる時、直線PQをPからCへの垂線という。点P(a.b)からCへの３本の異なる垂線が引けるためのa.bに関する条件を求めよ。

解）
Qのｘ座標をｔとすると
Qでの法線ｍ：１・(x-t)+t[y-(t^2/1-1)]=0
（a.b)を通るので代入して整理すると
t^3-2bt-2a=0・・?@
ｔについての３次方程式?@が相異３実解を持つ条件を求めればよい。それは?@の左辺f(t)が極大値と極小値をもち、それらの積が負であることである。f'(t)=3t^2-2bより
ｂ＞０かつｆ（√2b/3)f（-√2b/3)<0
⇔ｂ＞０かつ２７a^3<8b^3
２７a^3<8b^3のときb>0は満たされるから、
求める条件は２７a^3<8b^3・・（答え）

なのですが、問題文に放物線C:ｙ＝(1/2)x^2−１上にない点P（a.b)をとるとあるので
答えはb≠(1/2)a^2−１かつ２７a^3<8b^3にしたのですが、
なぜb≠(1/2)a^2−１はいらないのでしょうか。

どなたかよろしく御願いします。
No.14219 - 2011/07/11(Mon) 00:50:40
☆ Re: 素朴な疑問 / ヨッシー
そこは、言葉の解釈の問題で、
放物線C:ｙ＝(1/2)x^2−１上にない点P（a.b)をとる
と書いてあるからこそ、最初から、点Ｐは放物線上にない
という前提で答えている、とも取れます。

b≠(1/2)a^2−１　を付けても間違いではないと思います。

ちなみに、27a^2＜8b^3 ですね。
No.14220 - 2011/07/11(Mon) 06:55:20
★ グラフの上下関係 / つめ
三次関数f(x)=3x^3,g(x)=3(x-a)^3+aを考える。aは正の数である。y=f(x)とy=g(x)が異なる２点で交わる時、y=f(x)とy=g(x)によって囲まれる部分の面積Sを求めよ。

ですが、グラフの概形が分からないと面積は求められないはずですよね？この問題だとaという文字があるので正確なグラフはかけません。S=●の立式のところまでの過程を教えて下さい。

どうかよろしく御願いします。
No.14216 - 2011/07/10(Sun) 20:06:45
☆ Re: グラフの上下関係 / X
問題の領域の端点が交点になっていることから
問題の領域でy=f(x),y=g(x)のグラフのどちらが
上側にあるか求めてみましょう。

f(x)≧g(x)のとき
3x^3≧3(x-a)^3+a
3(3ax^2-3(a^2)x+a^3)-a≧0
a>0なので
9x^2-9ax+3a^2-1≧0 (A)
ここで
9x^2-9ax+3a^2-1=0 (B)
の解をα、β(α＜β)とすると(A)の解は
x≦α,β≦x
∴問題の領域においてy=g(x)のグラフがy=f(x)のグラフの
上側にありますので
S=∫[α→β]{g(x)-f(x)}dx (C)
後は(B)に関する解と係数の関係を使って(C)の計算過程から
α,βを消去していきます。
No.14218 - 2011/07/10(Sun) 22:48:57
☆ Re: グラフの上下関係 / らぁ
ラフな考えでいえば、2点で交わる連続関数のグラフy=f(x)、y=g(x)で囲まれた面積なので、その交点のx座標をα、β(α＜β)とすれば、α＜x＜βでは、
常にf(x)-g(x)＜0か、
常にf(x)-g(x)＞0か、
のどちらかです。
(∵途中で符号が変わるなら中間値の定理からf(c)-g(c)=0となるα＜c＜βが存在することになります。しかし、これはf(c)=g(c)ということですから、x=α、β以外の交点があることになり矛盾しますから、f(x)-g(x)がこの区間で符号を変えることはありません。)

この区間でf(x)-g(x)＜0なら、g(x)＞f(x)なので、y=g(x)が常にy=f(x)より上方にありますから、面積を求めるための被積分関数としては、g(x)-f(x)をとることになります。

逆に、f(x)-g(x)＞0なら、被積分関数としては、f(x)-g(x)をとることになります。

つまり、f(x)とg(x)の大小に関わらず、|f(x)-g(x)|を積分すればいいことになります。

#さらにいえば、仮に、3回以上交わる場合だとしても、交点のx座標をx[1]＜x[2]＜…＜x[n]とすれば、x[k]＜x[k+1]の区間での面積は2関数の差の絶対値を積分すればよいので、
囲まれた面積全体も、2関数の差の絶対値を積分すればよいことがわかります。

つまり、2つの連続な曲線y=f(x)、y=g(x)で囲まれた面積はf(x)=g(x)の実数解のうち、最小、最大のものをそれぞれ、m、Mとすれば、

∫[m〜M]|f(x)-g(x)|dx

で求められます。
No.14221 - 2011/07/11(Mon) 12:28:30
★ 格子点 / どんぐり
正の整数ｎに対して次の問いに答えよ。
（１）領域0≦ｘ≦ｎ、0≦ｙ≦nxにある格子点の個数a（ｎ）をｎを用いて表せ。
（２）領域0≦ｘ≦ｎ、x^2≦y≦nxにある格子点の個数b（ｎ）をｎを用いて表せ。

どなたかよろしくお願いします。
No.14211 - 2011/07/10(Sun) 14:31:52
☆ Re: 格子点 / X
(1)
題意から直線x=k(k=0,1,…,n)上にある問題の領域内の
格子点の個数は
nk+1
∴a[n]=Σ[k=0〜n](nk+1)=(1/2)(n+1)n^2+(n+1)
=(1/2)(n+1)(n^2+2)

(2)
題意から直線x=k(k=0,1,…,n)上にある問題の領域内の
格子点の個数は
nk-k^2+1
∴b[n]=Σ[k=0〜n](nk-k^2+1)=…
No.14214 - 2011/07/10(Sun) 17:24:52
★ 線形独立の判定 / ハオ
空間が３次に於いてはa_1 a_2 a_3が線形独立⇔det(a_1,a_2,a_3)≠0
という命題が成り立つそうです。
しかし空間がn次の話になるとなぜか自明な線形関係が存在しない時線形独立であるという。　と書いてあります。

n≧4においてはa_1 a_2 ・・・a_n が線形独立⇔det
(a_1,a_2,・・・a_n)≠0
という訳にはいかないのでしょうか？
よろしくお願いします。
No.14208 - 2011/07/10(Sun) 13:20:26
☆ Re: 線形独立の判定 / angel
> n≧4においてはa_1 a_2 ・・・a_n が線形独立⇔det(a_1,a_2,・・・a_n)≠0
> という訳にはいかないのでしょうか？

いいえ、n≧4でも話は同じです。
ただ、お手軽に、というか、公式的にdetが計算できるのは3次までなので、それでn≧4の時はdetを登場させていないのでしょう。
※4次以上でも公式はありますが、面倒なので実用的ではないです。

後は、話の順番として det よりも線形独立/従属の方が先に来るべきだから、という意図があるのかもしれません。
※3次は特別扱い、というか

まあ、線形代数の講義でのお話であれば、後々出てくる話もあわせれば、多分把握できると思います。
No.14209 - 2011/07/10(Sun) 13:52:31
☆ Re: 線形独立の判定 / ハオ
お早い回答有難う御座います。

大学の数学は何かとごちゃごちゃしてしまいます。
例えば 拡大係数行列を用いて一次方程式系を解く際は左基本変形のみを使わなければなりません。
しかしrankを求める際は左右基本変形どちらも使えます。
detを計算する際は行の交換を行うときに符号が変わります。
こんな感じで何か色々混同してしまいます。

大学数学は論理体系がしっかり整理されていると思うので、ごちゃごちゃしないためにも命題、定理、系、定義などをノートに纏めようと思うのですがどうでしょう？
アドバイスいただけると嬉しいです。
No.14210 - 2011/07/10(Sun) 14:10:30
☆ Re: 線形独立の判定 / angel
> 大学数学は論理体系がしっかり整理されていると思うので、
…それは…、どうでしょう…

とにかく、大学の数学がごちゃごちゃしているのは割りとしようがないので、というのは高校の時以上に話が抽象的な上に、その割りに細かくて、でも全体像は大きくて把握し辛いというやっかいな状況ですから、自分で分かりやすく纏めるというのは良いことだと思います。

後は、まあ、講師の方にもっと頼る ( こき使うとも言う ) のもアリなのですよ。人にもよりますが、質問は基本Welcomeなはずなので。というより、ちゃんと質問できるというのは、一つの立派なスキルですから。
※少なくとも、ちゃんと質問ができるということはマジメに講義を聴いている証なので、話を聞いていない人よりは歓迎されるはずです。
No.14212 - 2011/07/10(Sun) 15:00:54
☆ Re: 線形独立の判定 / angel
> 例えば…(略)
> こんな感じで何か色々混同してしまいます。
まだ混乱しているようでしたら、次のように考えてみるのはどうでしょう。

まず、左基本変形というのは左から基本行列をかけることに、右基本変形というのは右から基本行列をかけることに対応します。
※多分聞いたことありますよね? なければ基本行列とか基本変形で検索してみてください。

その上で、
> 拡大係数行列を用いて一次方程式系を解く際は左基本変形のみを使わなければなりません。
一次方程式 Ａｘ=ｂ を解く場合、適当な正則行列Ｒをみつけて ＲＡ=Ｄ なる対角行列Ｄを作り出すのが一つの方法となります。
つまり、Ａｘ=ｂ⇔ＲＡｘ=Ｒｂ⇔Ｄｘ=ｂ' ( ただしｂ'=Ｒｂ ) ということ。
これは、(Ａ|ｂ) に左基本変形を何回か施して (Ｄ|ｂ') にするのと、実は同じことなのです。
つまり、(Ａ|ｂ) → Ｒ(Ａ|ｂ)=(ＲＡ|Ｒｂ)=(Ｄ|ｂ')
左からＲをかけているため左基本変形のみ、右基本変形の出番はないのです。

> しかしrankを求める際は左右基本変形どちらも使えます。
正則行列をかける分には、左右どちらからかけてもrankは変わりません。
なので、適当な正則行列Ｒ1,Ｒ2を見つけて、Ｒ1・Ａ・Ｒ2 = Ｄ というように対角行列Ｄを作り出せれば rank が分かります。なので、左右の基本変形どちらでも使えます。

> detを計算する際は行の交換を行うときに符号が変わります。
基本変形におけるdetの性質
・性質1: ある列を定数倍して別の列に足しても、行列式は変わらない
・性質2: ある列を定数倍すると、行列式も同様に定数倍される
を元に考えてみましょうか。
※書きやすさの問題から、「列の交換」で考えますが、行の場合でも話は同じです。
a,b という列を含む行列の行列式を考えます。すると、

　det(…a…b…)
　= det(…a…b+a…)　　← 性質1: aを1倍してbに足す
　= det(…-b…b+a…)　← 性質1: b+aを-1倍してaに足す
　= det(…-b…a…)　　← 性質1: -bを1倍してb+aに足す
　= -det(…b…a…)　　← 性質2: -bを-1倍したので、行列式も-1倍される

ということで、結果的に列の入れ替えでは、行列式が-1倍されることになります。
No.14213 - 2011/07/10(Sun) 15:49:46
☆ Re: 線形独立の判定 / ハオ
非常に詳しいアドバイスまた理解の手助けとなる解説有難うございます。
いや、僕がこんな事言うのもおかしいですけどangelさんって相当数学に詳しい方ですよね！なんか↑の解説を読んでそう感じました。かっこいいですね。
僕も頑張ります。
講師をこき使うのもありなのですが、まだ１年生なので気が引けてしまいます・・・・（笑）
No.14217 - 2011/07/10(Sun) 20:13:39
☆ Re: 線形独立の判定 / angel
いや、うーん。ほめられて素直に嬉しいのですが、ええ、ありがとうございます。でも、ほめすぎな気がします。私は、大学レベルの数学はちょっとかじった位ですからね。
※もっと詳しい人は他にいるし…

どの専攻かにもよると思いますが、2年なり、もしくは4年なりしっかり勉強すれば、私くらいなら多分追い抜けるでしょう。
もちろん全員が全員にできるとは言いませんけど。
まあ、気楽に行って大丈夫だと思いますよ。
No.14279 - 2011/07/17(Sun) 00:41:21
★ 数列　応用問題　高３ / agu
2の倍数でも3の倍数でもない正の整数を小さい方から順に並べてできる数列を｛a[n]｝とする。
(1)a[N]=187となる正の整数Nの値を求めよ。

解答 正の整数を6で割った時の余りで分類すると
6k-5 6k-4 6k-3 6k-2 6k-1 6k(k=1、2、3、・・・)となり、2の倍数でも3の倍数でもない正の整数は
a[2k-1]=6k-5またはa[2k]=6k-1の形で表すことができる、。187は6で割ると１あまるからa[2k-1]=187とおくと
k=32
すなわちa[63]=187
Ｎ=63

まず数列｛a[n]}を6で割るという発想が分かりません。
【正の整数を6で割った時の余りで分類すると
6k-5 6k-4 6k-3 6k-2 6k-1 6k(k=1、2、3、・・・)】
これってなにをやってるんですか？6k-5とか・・・
6k＋5じゃだめなんですか？
いろいろと分からないです！

誰か分かる方教えてください＞＜ お願いします。
No.14204 - 2011/07/09(Sat) 18:14:45
☆ Re: 数列　応用問題　高３ / X
２の倍数と３の倍数を問題にしているのでその公倍数である
６の倍数であるか否かで整数を分類することを考えています。
又、模範解答では自然数を
>>6k-5 6k-4 6k-3 6k-2 6k-1 6k(k=1、2、3、・・・)
と分類していますが、高３さんの仰るとおり
6k,6k+1,6k+2,6k+3,6k+5 (k=0,1,2,…)
で分類して、
題意を満たすのは6k+1と6k+5で…
としても問題ありません。
No.14206 - 2011/07/09(Sat) 21:25:44
☆ Re: 数列　応用問題　高３ / angel
Xさんが既に回答されていて、内容的に付け足すことは特にないのですが…。

> 発想が分かりません。

模範解答例というのは、そもそも「どう解き方を思いつくか」を知るには、あまり役に立ちません。
今回の問題であれば「数列を6で割る(そして余りで分類する)」がキーになるわけですが、6で割った結果どうなるかは模範解答に書いてあるにしても、なぜ6で割ろうと思ったかという理由や考え方は絶対に現れないからです。
※aguさんがテストで解答するとしても、「なぜ6で割ろうと思ったか」は書かないでしょう?

Xさんの解説にある「2と3の公倍数」という理由を思いつければベストですが、そう都合よく思いつくとも限りません。
だから、思いつかなければ、取り敢えず色々計算することです。実際、数列a[n]の作り方が書いてあるのですから、何項か何十項か計算してみて、( 数列ですから ) 規則性がないか見てみるのです。

> …じゃだめなんですか？

あくまで模範解答「例」ですので、そのやり方が絶対ということはありません。大筋で合っていれば問題ないですから、余り神経質にならないことです。
※そもそも別解を考え付いた時だと比較することすらできないので、そんな場合は模範解答例は役に立ちません。
No.14207 - 2011/07/10(Sun) 08:24:38
☆ いきなりすみません?ｫ / 受験生
この問題は7月に行われる進研模試の問題でまだ受験していない人もいると思うのでまだこういったものをネット上に載せるべきではないと思います。
No.14215 - 2011/07/10(Sun) 20:04:18
★ 高３　数?T / agu
AB=4, AC=5, sinA=3√7/8 である鋭角三角形ABCがある。
△ABCの面積は 15√7/4
cosA=1/8, BC=6
である。

辺AC上に BA=BDとなるAと異なる点Dをとると
△ABCの外接円の半径は 16√7/21
AD=1 である。
△ABDの外接円と辺BCとの交点のうちBと異なる方をEとするとき
CE=10/3
線分AB、ADの中点をそれぞれＭ,Nとし、DM、BNの交点をGとするとき、
NG＝GN=√7/2

問題、△ABCの面積をS1、△DEMの面積をS2とするとするとき
S2/S1=ア/イウ

解答例：△AMD=Sa,△BEM=Sb,△CDE=Scとします。
AM:MD=1:1よりSa:△ABD=1:2
AD:DC=1:4より△ABD:S1=1:4
よってSa=(1/8)S1
同様にして
Sb=(2/9)S1
Sc=(4/9)S1
したがって
S2=S1-Sa-Sb-Sc
=(1-1/8-2/9-4/9)×S1
=(5/24)S1

【同様にして
Sb=(2/9)S1
Sc=(4/9)S1】の部分が分かりません。どの三角形とどの三角形の比を用いているのかが分からないです＞＜
誰か分かる方教えてください。お願いします。
No.14199 - 2011/07/08(Fri) 22:03:45
☆ Re: 高３　数?T / moto
●まず、
「AB=4, AC=5, sinA=3√7/8 である鋭角三角形ABC」
「△ABDの外接円と辺BCとの交点のうちBと異なる方をE」
「線分AB、ADの中点をそれぞれM,Nとし、DM、BNの交点をG」
「△ABCの面積をS1、△DEMの面積をS2」
「△AMD=Sa,△BEM=Sb,△CDE=Sc」
以上の条件で、掲載した図のようになると思われます
★【確認してください】

●もし図がＯＫなら解説？の写し間違えと思われるものがあります

【△ABCの外接円の半径は 16√7/21】
･･･△ABC，△ABDの外接円の半径は、{8√7/7，16√7/21}

？【NG=GN=√7/2】
･･･NGとGNは同じでは？

【AM:MD=1:1よりSa:△ABD=1:2】
･･･AM＝4，MD＝3√2/2，Sa:△ABDなので、MD→MB

【AD:DC=1:4より△ABD:S1=1:4】
･･･△ABDの底辺AD=1,S1の底辺AB=5なので、△ABD:S1=1:5

【よってSa=(1/8)S1】
･･･Sa:△ABD=1:2，△ABD:S1=1:5から、Sa=(1/10)S1

【=(1-1/8-2/9-4/9)×S1=(5/24)S1
･･･Sa=(1/10)S1から、(7/30)S1

●以上でよければの参考です。
(お載せになった解説の流れとして)

(1)SaとS1について
【AM=2，MB=4，AD=4，DC=1を踏まえて】
AM:MB=1:1よりSa:△ABD=1:2
AD:AC=1:4より△ABD:S1=1:5
よってSa=(1/10)S1

(2)SbとS1について
【BE=8/3，EC=10/3，BM=2，MB=2を踏まえて】
BE:BC=4:5よりSb:△BCM=4:9
BM:MB=1:1より△BCM:S1=1:2
よってSb=(2/9)S1

(3)ScとS1について
【CD=4，DA=1，CE=10/3，EB=8/3を踏まえて】
CD:DA=4:1よりSc:△AEC=4:5
CE:CB=5:4より△AEC:S1=5:9
よってSc：S1=(4/9)S1

(4)S2とS1について
【S2=S1-Sa-Sb-Scより】
S2＝(7/30)S1
No.14202 - 2011/07/09(Sat) 03:34:47
☆ Re: 高３　数?T / agu
ありがとうございます！
とても分かりやすかったです。
図まで丁寧につけてくださって感謝してもしきれません。
本当にこの度はありがとうございました。
No.14205 - 2011/07/09(Sat) 18:15:40
★ 高３ / roba-to
nを４以上の自然数とするとき
(1+x+x^2+x^3+x^4)^n
の展開式におけるｘ＾４の係数を求めよ。
答えはnH4と解答にありますが解説を見てもよく分かりません。いきなりnだと私の頭がついていけそうにないので
n=3として(1+x+x^2+x^3+x^4)^３
x^4の係数を求めよ。という問題の解説を御願いしたいです。どなたかよろしく御願いします。
No.14198 - 2011/07/08(Fri) 21:37:01
☆ Re: 高３ / そら
n=3では,＜1,x,x^2,x^3＞の4項から,
3つを選んで掛けあわせることになります.
たとえば,
x x^2 x
という風に選べばx^4が出てきます.
こういう組み合わせの場合の数が,そのまま
展開式のx^4の係数となります（各項の係数が1のため）.

ひるがえって,4乗をどのように3つに分けるか,
とも考えられます.
良く挙げられるモデルが,"玉としきり"です.
すなわち,
｜｜○○○○
という玉としきりの並び方を考えます.
例えば先に挙げた"x x^2 x"の例は,
○｜○○｜○
という風に表されます.
しきりとしきりの間に何もなければx^0=1をさします.

あとはこれを一般化すればよい.
"H"に関しては重複組合せでお調べください.
No.14200 - 2011/07/08(Fri) 23:51:47
★ 完成ノート / ぱむ
二次関数の問題に答えてください。
できれば途中式も書いてください。

ある商品の定価を150円とすると一日あたり500個販売できる。この商品は定価を10円値上げするごとに一日あたり20個ずつ販売量が減少するという。売上高を最大にするには定価をいくらにすればよいか。


No.14197 - 2011/07/08(Fri) 19:30:59
☆ Re: 完成ノート / X
定価をx[円],売上高をy[円]、10円づつ値上げする回数をn[回]
とすると
x=150+10n (A)
y=(500-20n)x (B)
(A)(B)より
y=(500-20n)(150+10n) (C)
(C)をnの二次関数と見てこれを最大とするnの値を求め、
それを(A)に代入します。
但し、nは0以上の整数であることに注意しましょう。

こちらの計算では求める定価は200[円]となりました。
No.14203 - 2011/07/09(Sat) 09:55:06
☆ Re: 完成ノート / ぱむ
ありがとうございます
No.14252 - 2011/07/16(Sat) 16:48:30
★ 同値変形を習熟している方いらっしゃいますか？ / くりたまご
方程式
√（x^2+√ｘ）=1-x・・?@を解け
これを同値を崩さずに解きましたので合っているかどうか確認してもらえないでしょうか。

なお、√A=B⇔B≧０かつA=B^2（A≧０は必要ないことに注意）を元に解きました。
√（x^2+√ｘ）=1-x
⇔x^2+√ｘ=（1-x)^2かつ１−ｘ≧０
⇔√ｘ=(1-２x)^2かつ１≧ｘ
⇔ｘ＝（１−２ｘ）^2かつ1-2x≧０かつ１≧ｘ
⇔ｘ＝1/4or1かつx≦1/2
⇔ｘ＝1/4

よろしく御願いします。
No.14193 - 2011/07/08(Fri) 00:36:08
☆ Re: 同値変形を習熟している方いらっしゃいますか？ / X
xは実数であるという前提で回答します。

>>⇔√ｘ=(1-２x)^2かつ１≧ｘ
は
⇔√ｘ=１-２xかつ１≧ｘ
のタイプミスでしょうか？。
それでしたら過程、解答に問題はないと思います。
No.14195 - 2011/07/08(Fri) 07:48:20
☆ 回等ありがとうございます / くりたまご
タイプミスです。すみません。
合ってるんですか・・?
√ｘがあるのにx≦１/2しか出てこなかったので間違ってると思ってました。（√ｘがあるから０≦ｘが必要条件だと想定していました）
No.14196 - 2011/07/08(Fri) 19:13:26
☆ Re: 同値変形を習熟している方いらっしゃいますか？ / angel
> 合ってるんですか・・?
ええ。問題ありません。
「√A=B⇔B≧0かつA=B^2」を正確に適用していますので。

>（√ｘがあるから０≦ｘが必要条件だと想定していました）
√x があるから x≧0 が「必要条件」なのは間違いありません。
毎回このことを明記してチェックするのは、チェック漏れを防ぐという意味で、むしろ良い習慣だと思います。

ただ今回のような形であれば、敢えて x≧0 を明記しなくとも、他の条件から明らかに x≧0 であることが分かります。だから書かなくて良い、同値変形の上では不要、となります。
※別に「あったらダメ」ということはないので、念のため
No.14201 - 2011/07/09(Sat) 00:19:05
★ 空間ベクトル / どんぐり
四面体ＯＡＢＣの６つの辺の長さをＯＡ=√10 OB＝√５ ＯＣ＝√６ ＡＢ＝√５ ＡＣ＝２√２ ＢＣ＝√５とする。
（1）内積↑ＯＡ・↑ＯＢ、↑ＯＡ・↑ＯＣ、↑ＯＢ・↑ＯＣの値をそれぞれ求めよ。
（2）↑ＯＨ=sＯＡ＋t↑ＯＢとおくとき、↑ＣＨが↑ＯＡと↑ＯＢのいずれとも直行するように、s,tの値を定めよ。
（3）四面体ＯＡＢＣの体積を求めよ。

（１）（２）はわかりましたが、（３）が分かりません。
解き方を教えて下さい。
No.14190 - 2011/07/07(Thu) 23:21:04
☆ Re: 空間ベクトル / ヨッシー
ＯＨ=sＯＡ＋tＯＢとおくので、Ｈは、△ＯＡＢと同じ平面上にある。
ＣＨ⊥ＯＡ　かつ　ＣＨ⊥ＯＢ　なので、ＣＨは、△ＯＡＢを含む平面と垂直である。
この２つのことから、△ＯＡＢを底面とすると、ＣＨが高さであることがわかります。
No.14191 - 2011/07/07(Thu) 23:51:42
☆ Re: 空間ベクトル / どんぐり
ありがとうございます！
解き方はよくわかりましたが、△ＯＡＢの面積とＣＨはどうやって求めればよいのでしょうか？
本当に申し訳ありません；；
No.14192 - 2011/07/08(Fri) 00:16:16
☆ Re: 空間ベクトル / ヨッシー
△ＯＡＢは、３辺の比が　１:１:√2 で、直角二等辺三角形ということが
わかりますので、面積は√5×√5÷2 です。

(2) の結果より、
　ＣＨ＝ＯＨ−ＯＣ
　　　　＝ｓＯＡ＋ｔＯＢ−ＯＣ
と書けます。(s,t には、具体的な数値を入れてください)
両辺2乗(そのもの同士の内積をとる)すると
　|ＣＨ|^2＝(ｓＯＡ＋ｔＯＢ−ＯＣ)・(ｓＯＡ＋ｔＯＢ−ＯＣ)
　　＝s^2|ＯＡ|^2＋t^2|ＯＢ|^2＋|ＯＣ|^2＋2stＯＡ・ＯＢ−2sＯＡ・ＯＣ−2tＯＢ・ＯＣ
これに、(1) の結果を代入します。
No.14194 - 2011/07/08(Fri) 06:09:26
★ (No Subject) / めぐ
再びお願いします！数学の質問ではないかもしれませんが、グラフを書くためのソフトの使い方でグラフをどう表記するのかに関する質問です。
http://www.cadcamcube.jp/beargraph1.html
というソフトをダウンロードしたのですが、
y=(x^2-5x+7)e^x
というグラフを書きたいのですが、エラーが出てしまいます。
どう表記すれば正しいのでしょうか？
No.14188 - 2011/07/07(Thu) 21:11:08
☆ Re: / mokomoko
そのソフトは使ったことがないので詳しくは知らないですが、
y=(x^2-5x+7)*e^x
y=(x^2-5x+7)*(e^x)
y=(x^2-5x+7)*exp(x)
このどれかなら通るのではないですかね。
No.14189 - 2011/07/07(Thu) 22:10:09
★ 二次関数 / 高1
２つの放物線y=x^2+ax+b …?@、y=x^2-bx+a+1 …?Aに対して、?Aはｘ＝−1に関して?@と対称となるとき、a、bはいくつか


?@をx＝−１に対称移動するから、ｘを−ｘ−２とする。
（この考え方がわかりません。どこから−ｘ−２が出てきたのでしょうか）

よって、a=-1/2、ｂ＝-9/2
No.14185 - 2011/07/07(Thu) 15:51:44
☆ Re: 二次関数 / X
曲線y=f(x)上の点(t,y)を直線x=-1に関して対称移動させて
点(u,y)に移ったものとします。このとき
y=f(t) (A)
又、２点を結ぶ線分の中点が直線x=-1上にありますので
(t+u)/2=-1
∴t=-u-2 (B) (←ここです)
(A)(B)より
y=f(-u-2)
∴平行移動後の曲線の方程式は
y=f(-x-2)
となります。
No.14186 - 2011/07/07(Thu) 17:20:03
☆ Re: 二次関数 / 高１
ありがとうございました。
No.14187 - 2011/07/07(Thu) 17:27:06
★ 線形 / あおい
x-2y+z=5,-x+y-4z=-7,3x+3y+z=-4
をクラメルの公式を用いて解け

もう一問
1 0 1
A=(2 2 1)の逆行列A^(-1)があれば求めよ
0 2 4
A^(-1)A=Eも確かめよ

分からなかったので、お願いします
No.14183 - 2011/07/06(Wed) 08:20:04
☆ Re: 線形 / ヨッシー
こちらにクラメルの公式を使った、
３元１次方程式の解き方が載っています。

それ以前に、３次の行列の行列式が求められないといけませんが、
それは習得済みでしょうか？
No.14184 - 2011/07/06(Wed) 11:29:24
★ お願いします?ｫ / 受験生
正の整数nに対してf(n)とg(n)は0以上の整数で,次の条件(?T)(?U)(?V)を満たしている。
(?T)g(99)=1､g(100)=0
(?U)f(100)=1
(?V)f(n)＋f(n＋g(n))=f(n＋1)
(1)f(99)を求めよ。
(2)g(101)を求めよ。
(3)f(2008)を求めよ。

(1)は0となって、次に(2)をf(n)=n−99、g(n)=100−nと推定したあとに(?V)を使ってn≧99のときに成り立つとしたのですがどうでしょうか？?ｫ
No.14177 - 2011/07/05(Tue) 20:40:02
☆ Re: お願いします / ヨッシー
(1)
とにかく、f(99) が出てくるようなｎの値を見繕って、代入します
n=99 とすると、(III) より
　f(99)+f(99+g(99))＝f(100)
　f(99)+f(100)＝f(100)
よって、f(99)＝0

(2)
　(II) より
　f(n+1)−f(n)＝f(n+g(n))≧0
であるので、f(n) は広義の単調増加であり、
n=100 とすると
　f(100)＋f(100+g(100))＝f(101)
　f(100)＋f(100)＝f(101)＝2
が得られ、さらに
　f(101)＋f(101+g(101))＝f(102)
において、
　f(101)＝2 で、f(102) はそれ以上、もし、g(101) が、１以上だと、
　２＝f(101)≦f(102)≦f(101+g(101))
となり、
　f(101)＋f(101+g(101))＝f(102)
は成り立ちません。よって、g(101)＝0
同様に、ｎ≧101 に対して、g(n)＝０ です。
すると、
　f(101)＋f(101)＝f(102)＝4
　f(102)＋f(102)＝f(103)＝8
となり、ｎ≧100 において、
　f(n)＝2^(n-100)
となります。

f(n)=n−99、g(n)=100−n だと、f(n) や g(n) がマイナスになってしまうので、
適当ではありません。
No.14180 - 2011/07/05(Tue) 22:54:07
☆ ありがとうございます / 受験生
解答とてもよく分かりました。けれど実際に自分でこういった問題を解くときにこういった解法が浮かんできません?ｫこういった問題を解くときにはコツみたいなものがあるのでしょうか？それともやはりひたすらに数をこなしていかないといけないのでしょうか？?ｫ
No.14181 - 2011/07/05(Tue) 23:57:53
☆ Re: お願いします / ヨッシー
私の場合、単調増加から、
　f(1)＝f(2)＝・・・＝f(99)＝０
を見つけたあと、下のようなメモをしていました。
(携帯ではつらいかも)
g(n) についての傾向がつかめたら、ある程度大きいｎでは、g(n)＝0 ではないか？　もし０でなかったら？
と考え、
　f(n)　f(n+1)　f(n＋g(n))
の位置関係をイメージして、g(n)＝０ でないといけないと気づきました。
No.14182 - 2011/07/06(Wed) 06:59:22
★ (No Subject) / shou
コーシーシュワルツの不等式
(a2+b2)(x2+y2)≧(ax+by)2　 　　等号成立は、a：b=x：y
にでてくる文字には実数以外に条件はつくのでしょうか？
参考書によっては実数以外の条件は何も書いてない奴もあれば
０でない実数、という風な条件にしているものもあります。どちらが正しい（orどっちも正しくない？）のか教えて下さい。
No.14176 - 2011/07/05(Tue) 20:37:17
☆ Re: / X
0でない、という条件は必要ありません。

恐らく条件として0でない実数としている参考書は
等号成立条件で比を使っているところに注目して
そのようにしていると思います。
ですが等号成立条件を比の形にせず、
ay=bx
という形にすれば、0でないという条件を外しても
何も問題ありません。
No.14178 - 2011/07/05(Tue) 22:02:33
☆ Re: / X
実はこのコーシーシュワルツの不等式は、もう少し学年が進んで
学習するベクトルの内積という項目と密接な関係があります。
そこまで学習が進んだらもう一度参照することをお勧めします。
No.14179 - 2011/07/05(Tue) 22:05:06
★ 高３　対数 / あび
y=log[2]｛x^2-√2x＋(5/2)｝はx＝√ア/イ のとき最小値ウをとる。
aを定数とするときxの方程式
[log[2]｛x^2-√2x＋(5/2)｝]^2 -4log[2]｛x^2-√2x＋(5/2)｝ ＋ a＝0・・・?@が解をもつ条件は
a≦エ のときであう。
a=エのとき、方程式?@はオ個の解をもち、方程式?@が3個の解をもつのはa=カのときである。

自分の答え
ア＝2 イ＝2 ウ＝1 エ=4 オ＝1
カは分かりませんでした。。
私はlog[2]｛x^2-√2x＋(5/2)｝＝tとおいて、
?@をt^2-4t＋a=0と書き換えて、定数分離を使いました。
y=-t^2＋4t・・・?Aとy=a・・・?Bとし、この２つを図示し共有点の個数＝解の個数というのを利用しました。
ですが、?Aが２次関数なのでカの問題の３個の解をもつのはないような気がするのですが、、
そもそもこのやり方自体おかしいんでしょうか？
また、どこかの範囲では1つのtから解が２個あるとかそういった類なんでしょうか？
誰か分かる方教えてくださいお願いします＞
No.14170 - 2011/07/05(Tue) 18:09:12
☆ Re: 高３　対数 / X
方針に問題はありません。
仰るとおり、(2)(3)のグラフの共有点の個数が
多くて2個であることも正しいです。
ではどこに問題があるかですが、
log[2]{x^2-√2x＋(5/2)}=t
と置くと
x^2-√2x＋5/2-2^t=0
∴条件によってはある1つの実数tの値に対して
実数xの値が2つ対応することがあります。
その条件を求めることをまず考えてみましょう。
No.14171 - 2011/07/05(Tue) 18:32:24
☆ Re: 高３　対数 / あび
?]さん回答ありがとうございます。
xが３個になればよいので
１個のtに対してxが２個になるt＋1個のtに対してxが１個になるtがあればいいんですよね。
てことはlog[2]{x^2-√2x＋(5/2)}=tの右辺で
x^2-√2x＋(5/2)の部分が
(x-α)^2みたいな重解で表されれば１個のxでtを表せますよね。
公式　a^x=b　x=log[a]bよりlog[2]{x^2-√2x＋(5/2)}=tは
2^t=x^2-√2x＋(5/2)となり2^tを移項すると
x^2-√2x＋5/2-2^t=0
これが重解を持つ条件はこの判別式DがD＝０となればよいので
D＝2-4・｛(5/2) - 2^t｝
＝2-10＋4・2^t
4・2^t=8
2^t=2^1よりt=1
したがってt=1のときxは重解である。
t=1のときの?Aと?Bの交点を除くもう１つの交点のほうは２つ解をもつことは分かっているので、
t=1よりy=-1＋4=3
y=aよりa=3
となったんですがあってるでしょうか？
数学苦手すぎるんで自信まったくないです＾＾；
No.14172 - 2011/07/05(Tue) 19:00:56
☆ Re: 高３　対数 / X
最終的な解答はそれで問題ありません。
ですが、過程に少し問題があります。
実はエの値を導くときにも同じ問題がありますが
前半の結果から
t≧1 (A)
という条件がつくことに注意する必要があります。
導かれたaに対する(1)のt=1以外の解が(A)を満たすか
必ず確かめておきましょう。
No.14173 - 2011/07/05(Tue) 19:37:54
☆ Re: 高３　対数 / あび
ありがとうございます！
最後に、、オの答えは１じゃなくて２ですよね？
No.14174 - 2011/07/05(Tue) 20:00:51
☆ Re: 高３　対数 / X
ごめんなさい。その通りですよ。
No.14175 - 2011/07/05(Tue) 20:26:32
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