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★ 数学　高3 / んて
平面上に原点Oを中心とする半径1の円K1を考える
K1の直径を1つとり、その両端をA、Bとする
円K1の周上の任意の点Qに対し、線分QAを1:2の比に内分する点をRとする
いま、kを正の定数として
→p＝→AQ＋kBR
とおく。ただし、Q＝AのときはA＝Rとする
また、→OA＝→a 、→OQ＝→qとおく

点QがK1上の周上を動くとき、→OP＝→pとなるような点Pが描く図形をK2とする。K2は円であることを示し、中心の位置ベクトルと半径を求めよ
OP→＝(4k/3 − 1)a→＋(2k/3 ＋ 1)q→

解答ではここから円のベクトル方程式の形にするために(4k/3 − 1)a→を左辺に移項しているのですが

どうして(2k/3 ＋ 1)q→じゃだめなんでしょうか？

自分が思ったのは｜OP→ −○→｜＝ｒ という円のベクトル方程式があるとき○→にあたる部分の点は描かれる円の中心にあたる部分なので変数ではなく固定数でないといけない。今、問題文に点QはK１上を動くとあるのでこれを中心の部分にもってくるとおかしくなる(?)から駄目なんじゃないか？ということです。
自分でも何をいってるのかよく分かってないです＞＜

数学は超がつくほど苦手なので誰か分かる方いましたら教えてください。よろしくおねがいします。

補足仮に|OP→-(2k/3 ＋ 1)q→|＝|(4k/3 − 1)a→|とすると

kは正の定数なので右辺の|(4k/3 − 1)a→|は
|(4k/3 − 1)a→|＝|(4k/3 − 1)| |a→|
|a→|は1なので良いとしても|4/3k -1|は絶対値の中身が-の場合と＋の場合がありますよね？
これは場合わけ(?)が必要なんでしょうか？
誰かわかるかたおしえてください。おねがいします。
No.14947 - 2011/09/08(Thu) 19:47:24
☆ Re: 数学　高3 / ヨッシー
まず、(4k/3 − 1)ａ を移項した後、どうなるかというと、
　|ｐ−(4k/3 − 1)ａ|＝|(2k/3 ＋ 1)ｑ|
になるわけですが、|ｑ|＝１ であり、ｋ＞０なので、
　|ｐ−(4k/3 − 1)ａ|＝2k/3 ＋ 1
となります。
ここで、(4k/3 − 1)ａ＝ｄ で表させる点をＤとすると、
　|ＤＰ|＝2k/3 ＋ 1
ということになり、点ＰはＤを中心、半径2k/3+1 の円上の点ということになります。

円のベクトル方程式の１つとして、
　|ＡＢ|＝ｒ
のようなものがありますが、これは、Ａが定点で、Ｂが動点
のようなときに使います。
上の場合は、Ｄが定点、Ｐが動点です。

ＰもＱも、左辺に入れてしまうと、どこが中心か定まらなくなります。
上記の、「おかしくなる(?)から駄目なんじゃないか？」は、当たっています。
No.14949 - 2011/09/08(Thu) 20:46:24
★ (No Subject) / shun
3人でじゃんけんをする。
3度のじゃんけんをしても勝ちが1人に決まらない確率を求めよ。ただし、負けが1人で勝ちが2人のときその2人でじゃんけんを続けるものとする。

答えは4/27です。

解き方を教えて下さい。よろしくお願いします。
No.14946 - 2011/09/08(Thu) 18:56:45
☆ Re: / ヨッシー
３人でじゃんけんをして、１人が勝つ、２人が勝つ、あいこ
は、それぞれ1/3ずつの確率で起こります(別途計算してください)。
２人だと、勝負がつく、あいこが 2/3 と 1/3 です。

あいこ−あいこ−あいこ　の確率　1/3×1/3×1/3＝1/27
あいこ−２人勝ち−あいこ　の確率　1/3×1/3×1/3＝1/27
あいこ−あいこ−２人勝ち　の確率　1/27
２人勝ち−あいこ−あいこ　の確率　1/27
で、合わせて　4/27 です。
No.14948 - 2011/09/08(Thu) 20:27:15
★ 直線のベクトルによる表示 / ２
なぜ Ａ（Ｘ１，Ｙ１）を通りｄ（ｌ、m）に平行な直線の方程式は

m（Ｘ−Ｘ１）−ｌ（Ｙ−Ｙ１）＝０なのですか？
No.14939 - 2011/09/07(Wed) 22:32:47
☆ Re: 直線のベクトルによる表示 / らぁ
> なぜ Ａ（Ｘ１，Ｙ１）を通りｄ（ｌ、m）に平行な直線の方程式は
>
> m（Ｘ−Ｘ１）−ｌ（Ｙ−Ｙ１）＝０なのですか？

l≠0なら、ベクトルd(l,m)の傾きは、m/lなので、Aを通る直線は、y-y[1]=(m/l)(x-x[1])
変形して、l(y-y[1])=m(x-x[1])
変形して、m(x-x[1])-l(y-y[1])=0

l=0ならdはy軸平行なので、Aを通る直線はx=x[1]
変形して、x-x[1]=0
変形して、m(x-x[1])=0
変形して、m(x-x[1])-l(y-y[1])=0 (∵l=0なので、l(y-y[1])も0。つまり、両辺から0を引いているだけ)

したがって、lの値に関わらず、m(x-x[1])-l(y-y[1])=0と表せる。
No.14940 - 2011/09/07(Wed) 23:22:50
☆ Re: 直線のベクトルによる表示 / ２
なぜベクトルの傾きはm／ｌなのですか？

この場合，１次関数ではなく比例で考えということですか？
No.14941 - 2011/09/07(Wed) 23:55:29
☆ Re: 直線のベクトルによる表示 / ２
なぜ，ｌが０でないときのベクトルdの傾きはm／ｌなのですか？

この場合，１次関数ではなく比例で考えるということですか？
No.14942 - 2011/09/07(Wed) 23:56:58
☆ Re: 直線のベクトルによる表示 / らぁ
> なぜ，ｌが０でないときのベクトルdの傾きはm／ｌなのですか？

方向ベクトルdの始点を原点に固定すると、それは、(0,0)と(l,m)を結ぶ線分と同一視できるよね？

この線分を含む直線の式は、座標のわかっている2点を通るから、y=(m/l)xで、傾きはm/l。

l≠0なら、と断りがあるのは0で割ることはできない、また、y軸平行な直線なのでy=ax+bの形では表せないから。

> この場合，１次関数ではなく比例で考えるということですか？

質問の意味がよくわからない。
No.14943 - 2011/09/08(Thu) 00:32:11
☆ Re: 直線のベクトルによる表示 / ヨッシー
たぶん、一番のポイントは、
　ｄ＝（Ｌ、Ｍ）
の傾きがＭ／Ｌであるということを、理解することと
見受けました。そのためには、傾きの意味から復習が必要です。

傾きは変化の割合とか、ｙ＝ａｘ＋ｂ と書いた時のａであるとか
いろいろ言われますが、ひとつの見方として、グラフにおいて、
ｘが１増えたときに、ｙがどれだけ増えるかという量のことと言えます。
図の、？　の部分が傾きの量と一致しますが、これから、
？　はＭ／Ｌであると、わかるでしょう。

※ここでは、ｙ軸に平行な場合（Ｌ＝０）の場合は、考えていません。
No.14944 - 2011/09/08(Thu) 14:43:36
☆ Re: 直線のベクトルによる表示 / ２
らぁさん，ヨッシーさんありがとうございました
No.14963 - 2011/09/10(Sat) 10:13:19
★ 数学?UB / mio
初めて利用させていただきます。現在高校生で微積中心に数?UBの復習をしています。
恥ずかしながら数学が物凄く苦手で、はじめの方から問題に躓いて困っています…;(
良ければどなたか御助力下されば嬉しいです。

(1)放物線y=x^2上の点(p,p^2)における接線の方程式を求めよ。
(2)p>0,q<0のときy=x^2上の点P(p,p^2)における接線とQ(q,q^2)における接線の交点をRとする。
?@点Rの座標をp,qを用いて表せ。
?A∠PRQ=θとするとき、cosθをpとqを用いて表せ。
(3)△PQRの面積Sをpとqを用いて表せ。

という問題なのですが、(2)の?@までは(正解しているか分かりませんが)一応解けているので、?Aと(3)を教えて頂きたいです。
宜しくお願いします。
No.14933 - 2011/09/06(Tue) 22:46:01
☆ Re: 数学?UB / rtz
(2-1)
x座標に(p+q)/2が出てきているなら正解です。

(2-2)
cosθと言えば内積です。
P,Q,Rの座標は分かっていますから、
↑RP・↑RQ＝RP・RQ・cosθが使えますね。

(3)
cosからsinを出してS＝(1/2)RP・RQ・sinθでもいいですし、
http://kaminodrill.sakura.ne.jp/page_180.php
を使うのもよいでしょう。
No.14934 - 2011/09/07(Wed) 00:53:11
☆ Re: 数学?UB / mio
御返事有り難うございます。反応が遅れてすみません；


> x座標に(p+q)/2が出てきているなら正解です。
(p+q)/2 出てきています！正解みたいでほっとしました。有り難うございます！

> ↑RP・↑RQ＝RP・RQ・cosθが使えますね。
せっかく教えて頂いたのにすみません、ここで引っかかってしまいました。
内積の定義通りに当て嵌めていったのですが数字(文字？)がややこしくて上手く計算ができませんでした…。
度々御手数お掛けし申し訳ありませんが此処の途中式を教えて頂けないでしょうか？

(3)は教えていただいたサイト様を参考にして計算したところ4分の云々とあまり綺麗な答えにならなかったのですが、そういうものなのでしょうか？(妙な質問ばかりすみません；；)
No.14955 - 2011/09/09(Fri) 03:41:48
☆ Re: 数学?UB / ヨッシー
ＲＰ＝((p-q)/2, p(p-q))＝(p-q)(1/2, p)
ＲＱ＝((q-p)/2, q(q-p))＝(p-q)(-1/2, -q)
で、（中略）
　cosθ＝(-1/4−pq)/√｛(1/4＋p^2)(1/4＋q^2)｝
となります。

紹介されたサイトの方法だと、
　Ｓ＝(p-q)^2|(1/2)×(-q)−p×(-1/2)|/2
　　＝(p-q)^3/4

sinθに直す方法だと
　cos^2θ＝(1/4＋pq)^2／(1/4＋p^2)(1/4＋q^2)
　　＝(p^2q^2＋pq/2＋1/16)/(p^2q^2＋p^2/4＋q^2/4＋1/16)
なので、
　sin^2θ＝１−cos^2θ
　　＝(p^2/4＋q^2/4−pq/2)/(p^2q^2＋p^2/4＋q^2/4＋1/16)
　　＝(p-q)^2/4(p^2q^2＋p^2/4＋q^2/4＋1/16)
となり、
　sinθ＝(p-q)/2√{(1/4＋p^2)(1/4＋q^2)}
これと
　ＲＰ＝(p-q)√(1/4+p^2)
　ＲＱ＝(p-q)√(1/4+q^2)
より
　Ｓ＝(p-q)^3/4
となります。
No.14957 - 2011/09/09(Fri) 09:59:08
☆ Re: 数学?UB / mio
御礼が毎回遅れてしまい申し訳ありません。。(＞＜；)

ご丁寧に有り難うございます。参考にさせていただきました。
御蔭様で途中計算で幾つかミスしていることに気が付けました。
解きなおし、最後まで答えを出すことができたのでとても嬉しかったです。
初歩から躓くようなレベルなので、また何度も質問させていただくと思いますが良ければその際もよろしくお願いいたします。
お二人ともご助力有り難うございました！
No.14974 - 2011/09/11(Sun) 20:06:13
★ (No Subject) / ２
Ｙ＝−３Ｘ＾４＋４Ｘ＾３の増減，極値を求めグラフを書け

なぜ ０が極小値にならず極小値がないのかよくわからないです

No.14932 - 2011/09/06(Tue) 22:09:21
☆ Re: / らぁ
極小とは、イメージでいえば、グラフがその点で'谷底'になっているのが極小です。

つまり、右下がりになっていたのが右上がりに変わるとき、さらに言い換えれば、グラフの傾き(=微分係数)が負から正に変わるときが、極小です。

dY/dX = -12X^3+12X^2 = -12(X^2)(X-1)

ここでX=0の前後のdY/dXの符号は、X＜0でも0＜X(＜1)でも正ですから、X=0では'谷底'ではなく、階段の'踊り場'のような状態です。

#微分係数が0であることと、その点で極値をとることとは、同じではありません。
#f(x)=x^3では、f'(0)=0ですがx=0では極大でも極小でもありません。
#また、g(x)=|x|は、x=0で極小(かつ最小)値0をとりますが、この函数はx=0で微分可能ではありませんからg'(0)は定義されません。

##ただし、函数がある点で微分可能かつそこで極値をとるなら、その函数のその点での微分係数は0となります。
No.14935 - 2011/09/07(Wed) 06:48:43
☆ Re: (No Subject) / ２
ありがとうございます
No.14938 - 2011/09/07(Wed) 22:27:23
★ (No Subject) / KEN
f(x)＝x^2+(2a+7)x+4a+10(ただし,aは定数)がある。
(1) 方程式f(x)＝0の解はx＝アイ,ウエa-オ
(2) 不等式f(x)＜0の解は
a＝カキ/クのとき,解なし。
a＞カキ/クのとき,ケである。
ただし,p＝アイ,q＝ウエa-オである。
(3) a＜カキ/クとする。
x^2＞9を満たすすべてのxに対してf(x)＞0となる。
このときaのとり得る値の範囲は、
コサ≦a＜カキ/ク
である。


ア〜コの解き方を教えてください、お願いします。




No.14928 - 2011/09/05(Mon) 19:03:36
☆ Re: (No Subject) / 三毛猫
まず(1)は、
与式にx＝-2を代入するとf(x)＝0が成り立つので、
因数分解して、
(x+2)(x+2a+5)となり、
x＝-2,-2a-5となる。…アイウエオ

(2)は、
f(x)＜0より、
y＝(x+2)(x+2a+5)＜0
?@-2＜-2a-5のとき、つまりa＜-3/2のとき
-2＜x＜-2a-5
?A-2＝-2a-5のとき、つまりa＝-3/2のとき
解なし…カキク
?B-2a-5＜-2のとき、つまりa＞-3/2のとき
-2a-5＜x＜-2
であるので、
ケは、q＜x＜pである。
(このとき、?@?A?Bのときのグラフを書くと分かりやすい。)

(3)は、
a＜-3/2として、
x^2＞9を満たすすべてのxに対してf(x)＞0となるのは、
(1)(2)を活用して、
aの範囲は、
-4≦a＜-3/2…コサ

となります。
No.15009 - 2011/09/13(Tue) 18:46:30
★ (No Subject) / KEN
2次関数y＝ax^2+bx+c(a,b,cは定数)のグラフをCとする。
Cは,2点(-2,-3)、(2,13)を通っている。
このとき、b＝ア,c＝イウa+エである。
(1) Cとy軸との交点の座標が(0,-3)のとき、
a＝オ,c＝カキである。
このとき、Cの頂点は点(クケ,コサ)であり、
Cがx軸から切り取る線分の長さは√シスである。
(2) Cが点(-1,7)を通るとき、
a＝セソ,c＝タチである。
このとき、Cをx軸に関して対称移動したグラフの方程式は
y＝ツx^2-テx-トナ
であり、Cをy軸に関して対称移動したグラフの方程式は
y＝ニヌx^2-ネx+ノハ
である。


ア〜ハの解き方を教えてください、お願いします。



No.14927 - 2011/09/05(Mon) 18:51:13
☆ Re: / ＿
勉強熱心なのは良いことなのでしょうが、せめてご自身が以前に質問したことはきちんと解決してからにしましょうね。

で、たとえば最初のア〜エなどは与えられた値を代入するだけなのですが、そこから分からないのでしょうか？
どこまでを考えて、どこからかが分からないのかをきちんと書くようにしましょう。
No.14929 - 2011/09/05(Mon) 19:10:57
☆ Re: (No Subject) / 三毛猫
まず、ア〜エですが、代入して解いてください。
解くと、
b＝4,c＝-4a+5が出ます。

b＝4,c＝-4a+5をy＝ax^2+bx+cに代入して
y＝ax^2+4x-4a+5…?@
(0,-3)を?@に代入して解くと、
a＝2が出て、
それをc＝-4a+5に代入すると、
c＝-3が出ます。
よって、
y＝2x^2+4x-3
＝2(x+1)^2-5
から、Cの頂点は(-1,-5)となる。
Cがx軸から切り取る線分の長さは、
2x^2+4x-3＝0を解の公式より、
x＝(-2±√10)/2
より、
大きい方から小さい方を引いて、
(-2+√10)/2-｛(-2-√10)/2｝＝√10
となります。

(-1,7)を?@に代入して解くと、
a＝-2が出て、
それをc＝-4a+5に代入して
c＝13が出ます
よって、
y＝-2x^2+4x+13となり、
x軸に関して対称移動なので、
yを-yにして、
-y＝-2x^2+4x+13
y＝2x^2-4x-13
となり、
y軸に関して対称移動なので、
xを-xにして、
y＝-2x^2-4x+13
となります。




No.14952 - 2011/09/08(Thu) 23:21:34
★ (No Subject) / shun
↓宜しくお願いします。
No.14925 - 2011/09/05(Mon) 16:41:01
★ (No Subject) / shun
1辺の長さaの正方形ABCDの辺AB,BC,CD,DA上に、それぞれ点E,F,G,HをAE=BF=CG=DHとなるようにとる。正方形EFGHの面積の最小値と△AEHの内接円の半径rの最大値を求めよ。
No.14924 - 2011/09/05(Mon) 16:39:49
☆ Re: / ヨッシー
AE=BF=CG=DH=x (0≦x≦a) とします。
正方形ＥＦＧＨの面積Ｓは、
　正方形ＡＢＣＤ−４×△ＡＥＨ
で表されるので、
　Ｓ＝ａ^2−4x(a-x)/2
　　＝2x^2-2ax＋a^2
　　＝2(x-a/2)^2＋a^2/2
より、ｘ＝a/2 のとき、最小値 a^2/2
No.14926 - 2011/09/05(Mon) 18:23:52
☆ Re: / shun
ありがとうございます。

半径ｒの最大値についても、どなたか解答していただけますか。よろしくお願いします。
No.14930 - 2011/09/06(Tue) 13:48:23
☆ Re: / ヨッシー
直角三角形の場合、斜辺をｄ，他の辺をｂ，ｃとすると、
内接円の半径ｒは
　ｒ＝(ｂ＋ｃ−ｄ)／２
で表されます。よって、上の問題の場合、
　AE=BF=CG=DH=x (0≦x≦a)
とすると、
　２ｒ＝ｘ＋（ａ−ｘ）−√{ｘ^2＋(ａ−ｘ)^2}
　　＝ａ−√(２ｘ^2−２ａｘ＋ａ^2)
となり、２ｘ^2−２ａｘ＋ａ^2 が最小の時に、ｒは最大になります。
　２ｘ^2−２ａｘ＋ａ^2＝２(ｘ−a/2)^2＋a^2/2
より、ｘ＝a/2 のとき、
　２ｒ＝ａ−ａ/√2＝(√2−１)ａ/√2
　ｒ＝(√2−１)ａ/2√2
が、最大値となります。
No.14936 - 2011/09/07(Wed) 13:50:05
☆ Re: / ヨッシー
上の記事の、
　ｒ＝(ｂ＋ｃ−ｄ)／２
は、下の図で示すことが出来ます。
直角三角形ＡＢＣにおいて、Ａ，Ｂ，Ｃから内接円の接点までの
長さを、ｓ，ｔ，ｒとすると、ｒが内接円の半径に当たります。
　ＡＣ＋ＢＣ＝２ｒ＋ｓ＋ｔ
であり、これから、ＡＢ＝ｓ＋ｔ を引くと、
　ＡＣ＋ＢＣ−ＡＢ＝２ｒ
となります。
No.14937 - 2011/09/07(Wed) 13:56:25
★ (No Subject) / KEN
関数y＝4sinxcosx＋3cos^2x(0≦x≦π/2)がある。
yをsin2x、cos2xを用いて表すと、
y＝アsin2x＋イ/ウcos2x＋エ/オ
であり、さらに、
y＝カ/キsin(2x＋A)＋ク/ケ
と変形できる。
ただし、Aは0＜A＜π/2、sinA＝コ/サ、cosA＝シ/スを満たす角である。
0≦x≦π/2より、yの最大値はセ、最小値はソであり、
yが最小値をとるときのxの値はπ/タである。
また、y＝7/2であるときのxの値のうち、大きい方はπ/チである。

ア〜チの解き方を教えてください、お願いします。



No.14920 - 2011/09/04(Sun) 17:55:31
☆ Re: / ヨッシー
一度に全部は無理なので、まず、
　sin2x＝2sinxcosｘ
　cos2x＝2cos2x−1
を使って、
　y＝アsin2x＋イ/ウcos2x＋エ/オ
を出すとこまでをやってみましょう。
No.14922 - 2011/09/04(Sun) 18:05:31
☆ Re: (No Subject) / 三毛猫
y＝4sinxcosx+3cos^2x(0≦x≦π/2)
sin2x＝2sinxcosx,
cos2x＝2cos^2x-1より
y＝2sin2x+3/2(2cos^2x-1+1)
　＝2sin2x+3/2cos2x+3/2
また、合成すると、
y＝5/2sin(2x+α)+3/2
sinα＝3/5,cosα＝4/5
0≦x≦π/2より
0≦2x≦π
α≦2x+α≦π+α
-3/5≦sin(2x+α)≦1
-3/2≦5/2sin(2x+α)≦5/2
0≦5/2sin(2x+α)+3/2≦4
よって、最大値4,最小値0
最小値をとるとき、
2x+α＝π+α
x＝π/2
y＝7/2のとき、
5/2sin(2x+α)+3/2＝7/2
sin(2x+α)＝4/5
2x+α＝π/2+α
x＝π/4




No.14951 - 2011/09/08(Thu) 22:52:59
★ すみませんバカおやじです / wakarazuya
２次方程式の問題ですが、「縦の長さ１、横の長さaの長方形がある。この長方形から、右の図のように、一辺の長さ１の正方形を切り取ってできる残りの長方形が、もとの長方形と相違になるようにしたい、aの値をいくらにしたらよいか。ただし、a>1とする。」
すいません、お助けください。
No.14908 - 2011/09/04(Sun) 12:53:48
☆ Re: すみませんバカおやじです / ヨッシー
右の図というのは、たぶんこういう図だと思いますが、

元の長方形（辺の長さが１とａ）と正方形を除いた長方形
（辺の長さが1-aと１）とが相似（相違ではなく）なので、
　1：ａ＝(a-1)：1
これより
　ａ（ａ−１）＝１
これを解いて、ａ＝(1+√5)/2　となります。

こちらやこちらをご覧ください。
No.14910 - 2011/09/04(Sun) 15:23:40
☆ Re: すみませんバカおやじです / wakarazuya
すみません助かりました。ほんとに恥ずかしい限りです。
No.14911 - 2011/09/04(Sun) 16:07:10
★ (No Subject) / shun
y=f(x)=x^4-4(a-1)x^3+2(a^2-1)x^2が極大値を持つような実数aの値を求めよ。

微分した後の解き方がよくわかりません。宜しくお願いします。
No.14899 - 2011/09/03(Sat) 21:51:02
☆ Re: / ヨッシー
この関数は、x^4の係数が正ですから、そのグラフは、
左上から下りてきて、最低１個の極小値を経て右上に上がっていきます。
この間、f'(x)＝０ が３つ異なる実数解を持てば、極小、極大、極小をもちます。
これが、虚数解だったり、重解だとそのようになりません。
このことを踏まえて、

f(x)をｘで微分して
　f'(x)＝4x^3−12(a-1)x^2＋4(a^2-1)x
　　＝4x{x^2−3(a-1)x＋(a^2-1)}
x^2−3(a-1)x＋(a^2-1)＝０ が２つの異なる実数解を持ち、
いずれもがｘ＝０でないようなａを求めるのが、目標です。
判別式より
　9(a-1)^2−4(a^2-1)＝5a^2−18a＋13＝(5a-13)(a-1)＞０
より
　a＜1　または　a＞13/5
これから、ｘ＝０ を解に持つ　a＝±1 を除いて、
　a＜-1　または　-1＜a＜1　または　a＞13/5
を満たすａにおいては、f(x) が極大値を持ちます。
No.14902 - 2011/09/04(Sun) 06:13:46
☆ Re: / shun
ありがとうございます。
No.14906 - 2011/09/04(Sun) 11:49:57
★ ベクトル / jnbh
平面上に四辺形ABCDがあり、この平面上の任意の点Pに対して
→　→　→　→
AP・CP＝BP・DP　が成り立っている。このとき、四辺形ABCD
はどのような形をしているか。

お願いします。
No.14879 - 2011/09/03(Sat) 18:35:07
☆ Re: ベクトル / ヨッシー
ＡＢ＝ｂ、ＡＤ＝ｄ　とすると、
　ＡＣ＝ｂ＋ｄ
と書けます。また、ＡＰ＝ｐ　とおくと
　ＡＰ・ＣＰ＝ｐ・(ｐ−ｂ−ｄ)
　＝ｐ・ｐ−ｐ・ｂ−ｐ・ｄ
　ＢＰ・ＤＰ＝(ｐ−ｂ)・(ｐ−ｄ)
　＝ｐ・ｐ−ｐ・ｂ−ｐ・ｄ＋ｂ・ｄ
以上より
　ｂ・ｄ＝０
となり、∠ＢＡＤ＝90°より、四角形ＡＢＣＤは長方形であることが分かります。
No.14881 - 2011/09/03(Sat) 20:20:06
☆ Re: ベクトル / のぼりん
こんばんは。 横から失礼します。
揚げ足取りで恐縮ですが、例えば、Ａ（０，０）、Ｂ（１，０）、Ｃ（２，２）、Ｄ（０，１） のとき「ＡＣ＝ｂ＋ｄ」ではないので、その成立を先ず示した方が無難ではないかと思います。

例えば、与式の Ｐ に Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ を夫々代入することにより、
　　　∠Ａ＝∠Ｂ＝∠Ｃ＝∠Ｄ＝９０°
つまり □ＡＢＣＤ が長方形であること（必要条件）が直ちに分かります。
その後、ヨッシー先生の論法で、与式と □ＡＢＣＤ が長方形であることの同値性を示してはいかがでしょうか。
No.14884 - 2011/09/03(Sat) 20:28:15
☆ Re: ベクトル / ヨッシー
あ、見間違いです。
平行四辺形ABCDがあり　に見えてました。

すると、のぼりんさんの書かれたようにするべきですね。
失礼しました。
No.14888 - 2011/09/03(Sat) 20:44:55
☆ Re: ベクトル / jnbh
いろいろとありがとうございまいした。論証に注意して
答案を作成したいと思います。
No.14893 - 2011/09/03(Sat) 21:03:23
☆ (No Subject) / jnbh
いろいろとありがとうございました。論証に注意して
答案を作成したいと思います。
No.14894 - 2011/09/03(Sat) 21:03:55
★ 誰か助けてください。 / なめくじ
1+4ab=2(a-b)・・?@
両辺3乗して
(1+4ab)^3=8(a-b)^3
-(1+4ab)/8=(b-a)^3・・（あ）

なのに対して
?@より
-2(b-a)=1+4ab・・・（１）
両辺2乗して
４（b-a)^2=(1+4ab)^2・・・（２）
（b-a)^2=(1+4ab)^2/4・・・（３）
両辺3/2乗して
（b-a)^3=(1+4ab)^3/8・・・（４）

・・・（い）

（あ）と（い）の結果が何故か違います。（い）は間違いのようです。どこがいけないのでしょうか。
困っています。誰か助けてください。よろしく御願いします。
No.14877 - 2011/09/03(Sat) 17:06:19
☆ Re: 誰か助けてください。 / X
(b-a)^2={(1+4ab)^2}/4
から両辺3/2乗して
|b-a|^3={|1+4ab|^3}/8 (A)
(絶対値が付くことに注意)
(i)a≧bのとき
(1)より
1+4ab≧0
ですので(A)は
-(b-a)^3={(1+4ab)^3}/8
∴-{(1+4ab)^3}/8=(b-a)^3
(ii)a＜bのとき
(1)より
1+4ab＜0
ですので(A)は
(b-a)^3=-{(1+4ab)^3}/8

いずれにしても(あ)と同じになります。
No.14878 - 2011/09/03(Sat) 17:26:29
☆ Re: 誰か助けてください。 / なめくじ
回答ありがとうございます。

別解はさておき（１）⇔（２）、（２）⇔（３）、（３）⇔（４）のどの変形がなぜおかしいのか教えて下さい。よろしく御願いします。
No.14912 - 2011/09/04(Sun) 16:18:03
☆ Re: 誰か助けてください。 / ヨッシー
Ｘさんの回答は、別解ではなくて、
3/2乗するなら、こうするべきですよ、という指摘であり、訂正です。
もちろん（３）→（４）の変形が間違っています。
ｘ^2＝４　から即座に　ｘ^3＝８　と出来ないのと同じです。

さらに、⇔(同値) という表現を使うなら、（１）⇔（２）ではありません。
No.14917 - 2011/09/04(Sun) 17:41:35
☆ Re: 誰か助けてください。 / なめくじ
そうでしたか、失礼しました。

今まで何の疑問もなくｘ^2＝４　から即座に　ｘ^3＝８　としていたのですが、
確かにｘ^2＝４⇔ｘ＝±２ですがｘ^3＝８　⇔ｘ＝２となり一致しませんね・・・。不思議ですね。。
「(b-a)^2={(1+4ab)^2}/4
から両辺3/2乗して
|b-a|^3={|1+4ab|^3}/8 (A)」
にあるように

なぜ3/2乗するときは絶対値をつければよいのか（つけなければならないのか）、また両辺を何乗するときに絶対値をつけるというルールが生まれるのか教えて下さい。
よろしく御願いします。
No.14931 - 2011/09/06(Tue) 20:38:09
☆ Re: 誰か助けてください。 / ヨッシー
3/2乗するのを、1/2 乗してから3乗すると考えると、
1/2 乗するところで、絶対値が必要で、３乗してもそのまま
ついたままになっています。

これは、ｘ^2＝４　→　ｘ＝±２　と書く代わりに
|ｘ|＝|２| と書いたのと同じです。この場合は、|２|は２に決まっていますので、
|ｘ|＝２　で十分ですが、|b-a|^3={|1+4ab|^3}/8 の場合は、
左辺右辺とも、符号が確定しないので、両方絶対値を付けます。

実数だけで考えるなら、
　ｘ^2＝y^2　→　|ｘ|＝|ｙ|
　ｘ^4＝y^4　→　|ｘ|＝|ｙ|
のように、指数が偶数の場合は、絶対値が付きます。
　ｘ^3＝y^3　→　ｘ＝ｙ
　ｘ^5＝y^5　→　ｘ＝ｙ
のように、指数が奇数の場合は、絶対値はいりません。

そもそも、３乗するだけの問題に、なぜわざわざ２乗して
同値性を消してから、また1/2乗するかがわかりません。
No.14945 - 2011/09/08(Thu) 16:58:32
☆ Re: 誰か助けてください。 / なめくじ
回答有難うございます。３/2乗の場合は理解できました。

ちなみに両辺を10/3乗や11/3乗するとき絶対値をつける必要はありますか？分からないのでどうかお願いします。
No.14972 - 2011/09/11(Sun) 16:21:00
☆ Re: 誰か助けてください。 / ヨッシー
この一連の記事で、絶対値を付ける付けないの話は、本筋ではありません。
　ｘ^m＝ｎ　（ｍは自然数、ｎは正の数）
の実数解として、ｍが奇数だと１個、ｍが偶数だと符号違いで２個存在する。
ということさえ押さえておけば、どのように、式変形すべきか、
その都度判断できます。

一応、お答えしておくと、
10/3乗、11/3乗するときは、絶対値は、必要ありません。
この知識が必要な場合は、あまりないですけれども。
No.14973 - 2011/09/11(Sun) 17:32:09
☆ Re: 誰か助けてください。 / なめくじ
回答有難うございます。

ｘ^m＝ｎ　（ｍは自然数、ｎは正の数）の話は理解できました。
10/3乗、11/3乗するときは、絶対値が必要ない理由を教えて下さい。どういうときに必要か必要でないか、はっきりさせたいのです。

よろしく御願いします。
No.15011 - 2011/09/13(Tue) 20:56:20
☆ Re: 誰か助けてください。 / ヨッシー
普通は、1/2乗する場合も、絶対値なんか付けません。
　x^2＝２
両辺1/2して（という言い方も普通しません、『これを解いて』と言います）
　ｘ＝±√2
が普通で、|ｘ|＝√2 と書いても誤りではないですが、まだ
解けていない感は否めません。

それでも、あえてこのような場合を絶対値を付ける場合とするならば、
1/2, 1/4, 1/6 乗などの場合は絶対値が必要で、
1/3, 1/5, 1/7 乗などの場合は絶対値は不要です。
分母が２以上の整数の場合も同様です。
このことも、上の
>　ｘ^m＝ｎ　（ｍは自然数、ｎは正の数）
>の実数解として、ｍが奇数だと１個、ｍが偶数だと符号違いで２個存在する。
を知っていれば分かることです。
奇数だと、元の数と、1/m乗とは１対１なので、符号を気にすることは無いのです。
偶数だと、元の数は必ず正で、1/m乗した数は正と負があるので、
絶対値が必要です。
※この1/m乗したという言い方も、正確ではありません。
ｍ乗する元の数、またはｍ乗根と言います。

それより何より、
>そもそも、３乗するだけの問題に、なぜわざわざ２乗して
>同値性を消してから、また1/2乗するかがわかりません。
は、謎のままです。
意味無く２乗するようなことさえしなければ、絶対値云々の
話で悩むことはないのです。
No.15012 - 2011/09/13(Tue) 21:46:02
☆ よろしく御願いします / なめくじ
>そもそも、３乗するだけの問題に、なぜわざわざ２乗して
>同値性を消してから、また1/2乗するかがわかりません。
は、謎のままです。
　
＞この問題の場合はそうなんですけどね。
ただ、他のどのような設定の問題でも両辺を分数乗できるようになりたい、と思っただけです。

ところで10/3乗、11/3乗するときは、絶対値が必要ない理由
について考えていました。

ｘ^(10/3)=7・・?@を解け（ｘ実数）、とくなら
両辺を３乗して
?@⇔ｘ^10=7^3・・?A
両辺を1/10して
?A⇔ｘ＝±7^(3/10)（偶数だと、元の数は必ず正で、1/m乗した数は正と負があるので、絶対値が必要,によると）

ｘ^(11/3)=7・・?@’を解け（ｘ実数）、とくなら
両辺3乗して
?@’⇔ｘ＾１１＝７＾３・・?A’
両辺1/11乗して
?A’⇔ｘ＝7^(3/11)(奇数だと、元の数と、1/m乗とは１対１なので、符号を気にすることは無いによると）

１４９７３の記事で10/3乗、11/3乗するときは、絶対値は、必要ないとおっしゃっていましたが、10/3乗のときは必要なのではないですか？
No.15039 - 2011/09/15(Thu) 17:34:24
☆ Re: 誰か助けてください。 / ヨッシー
>必要なのではないですか？
は、ｘ^(10/3)=7 のことを言われていますか？
これは、解答にもあるように、３乗して、1/10乗していますから、
3/10乗しているのであって、10/3乗ではありません。

ｘ^2＝４　をｘ＝±２ にするのは、２乗しているのでは
ありませんよね？
No.15041 - 2011/09/15(Thu) 20:34:04
☆ Re: 誰か助けてください。 / なめくじ
失礼しました。。
No.15042 - 2011/09/15(Thu) 22:31:57
★ (No Subject) / せんぷうき
二次関数y=x^2-ax-a+3のグラフとx軸の共有点がすべてx>0の範囲にあるように定数aの値の範囲を求めよ。

途中式もよろしくお願い致します。
No.14876 - 2011/09/03(Sat) 14:39:05
☆ Re: / ヨッシー
f(x)＝x^2-ax-a+3　とすると、
　Ｄ≧0、a/2＞０、f(0)＞0
より、２≦ａ＜３
No.14883 - 2011/09/03(Sat) 20:26:03
★ (No Subject) / ぱむ
二次方程式x^2-(m-4)x+m-1=0が次の条件を満たすとき定数mの値の範囲を求めよ。


(1)

異なる２つの負の解をもつ


(2)

正の解と負の解を一つずつもつ


途中式もよろしくお願い致します。
No.14875 - 2011/09/03(Sat) 14:37:40
☆ Re: / ヨッシー
f(x)＝x^2-(m-4)x+m-1　とおくと
(1)
Ｄ＞０、(m-4)/2＜０　f(0)＞0　より
　１＜ｍ＜２
(2)
f(0)＜0　より
　ｍ＜１
No.14885 - 2011/09/03(Sat) 20:30:49
★ (No Subject) / たんこぶ
放物線y=x^2+2(a-2)x+aと次の部分が異なる二点で交わるとき定数aの値の範囲を求めよ。

(1)

x軸の正の部分


(2)

x軸の負の部分


途中式もよろしくお願い致します。
No.14874 - 2011/09/03(Sat) 14:37:17
☆ Re: / ヨッシー
f(x)＝x^2+2(a-2)x+a とおきます。
(1)
　Ｄ＞０、-a+2＞０、f(0)＞0
より
　０＜ａ＜１
(2)
　Ｄ＞０、-a+2＜０、f(0)＞0
　４＜ａ
No.14886 - 2011/09/03(Sat) 20:34:36
★ (No Subject) / ごーや
次の二次不等式が常に成り立つような定数mの値の範囲を求めよ。

(1)


x^2+(m+1)x+m^2-1>0


(2)

(m-2)x^2-(m-2)x+m+1<0


途中式もよろしくお願い致します。
No.14873 - 2011/09/03(Sat) 14:36:43
☆ Re: / ヨッシー
(1)
　Ｄ＜０　より　ｍ＜-1　または　5/3＜ｍ
(2)
　ｍ−２＜０　かつ　Ｄ＜０　より
　ｍ＜−２
No.14887 - 2011/09/03(Sat) 20:42:58
☆ Re: (No Subject) / ごーや
もう少しくわしくお願いできますか
No.14909 - 2011/09/04(Sun) 12:56:57
☆ Re: / ヨッシー
(1)
　ｙ＝x^2+(m+1)x+m^2-1
のグラフが常に、ｙ＞０ の領域にある必要十分条件は、
このグラフが下に凸で、ｘ軸と交点を持たないことである。
下に凸なグラフであることは、明らかなので、
　Ｄ＜０　より　ｍ＜-1　または　5/3＜ｍ
(2)
　ｙ＝(m-2)x^2-(m-2)x+m+1
のグラフが常に、ｙ＜０ の領域にある必要十分条件は、
このグラフが上に凸な２次関数のグラフで、ｘ軸と交点を持たないことである。よって
　ｍ−２＜０　かつ　Ｄ＜０　より　ｍ＜−２
No.14918 - 2011/09/04(Sun) 17:46:03
★ (No Subject) / んんんた

(1)
-1＜x＜0,0＜x＜1のそれぞれの範囲でx軸と交わる。
No.14872 - 2011/09/03(Sat) 14:27:41
★ (No Subject) / んんんた
放物線y=x^2-2ax+4a+1が次の条件を満たすように定数aの値の範囲を求めよ。


(1)
-1


途中式もよろしくお願い致します。
No.14869 - 2011/09/03(Sat) 14:21:45
☆ Re: / ヨッシー
f(x)＝x^2-2ax+4a+1　とおくと、
　f(-1)＞0
　f(0)＜0
　f(1)＞0
より、
　-1/3＜ａ＜-1/4
No.14889 - 2011/09/03(Sat) 20:49:41
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