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★ (No Subject) / Ntm
こんにちは。 lim_{n→∞}(∫_1^n dx/x - Σ_{k=1}^n 1/k)が収束する事を示しているのですが a_n:=∫_1^n dx/x - Σ_{k=1}^n 1/k　と置くと, a_n<-1/2 である事はどうすれば示せるのでしょうか? No.14160 - 2011/07/04(Mon) 09:23:29 ☆ Re: / X 以下の２つを示します。 (i)a[1]<-1/2 (ii)a[n+1]<a[n] No.14161 - 2011/07/04(Mon) 13:09:37

★ 図形としきの様々な問題 / ビリー

答えが問題集についていなくて よく考えたのですが わかりませんでした； 1二点A(0，1) B(1，1)を結ぶ線分ABが、円x⌒2+y⌒2-2ax-2by-1=0 の外部にあるとき a b の満たす条件が表す領域をab平面に図示せよ おねがいします No.14156 - 2011/07/03(Sun) 22:26:50 ☆ Re: 図形としきの様々な問題 / ヨッシー 線分ＡＢ上の点を　(t, 1) (0≦ｔ≦1) とすると、 これを円の式の左辺に代入した、 　f(t)＝ｔ^2−2aｔ−2b が、0≦ｔ≦1 において常に f(t)＞０ となる ａ，ｂの条件を求めます。 軸ｘ＝ａ で場合分けします。 1)ａ＜０ または ａ＞１ のとき 　f(0)＞０ かつ f(1) 2) 0≦ａ≦1 のとき、 　Ｄ＜０ 1) のとき ｂ＜０、ｂ＜−ａ＋1/2 2) のとき ｂ＜-a^2/2 が得られます。 座標を書いていませんが、こんなグラフになります。 (太線より下の領域) No.14159 - 2011/07/04(Mon) 07:05:09

★ 三角関数 / shun

1/2cos2x+cosx-1/2-k=0が0≦x＜2πの範囲で異なる2つの解をもつとき、kの範囲を求めよ。 この問題で、 式変形して、 cos^2x+cosx-1=k t=cosxとおくと、-1≦t≦1で t^2+t-1=k tの2次方程式の実数解は y=t^2+t-1とy=kの共有点のt座標である。 というところまでは分かったのですが、その先はどう解いて良いかわかりませんでした。どなたか教えて下さい。 宜しくお願いします。 No.14154 - 2011/07/03(Sun) 20:59:06 ☆ Re: 三角関数 / ヨッシー ｙ＝ｔ＾２＋ｔ−１ のグラフを描くと、図のようになります。 これに、ｙ＝ｋ を交わらせるわけですが、図では、５本引いています。 １．ｋ＝１ ２．−１＜ｋ＜１ ３．ｋ＝−１ ４．-5/4＜ｋ＜−１ ５．ｋ＝-5/4 たとえば、１．では、ｔ＝１ が得られますが、これからは θ＝０　の１つのみ得られます。 ３．では、ｔ＝０ と ｔ＝−１ が得られますが、 これからは、θ＝π/2, π, 3π/2 の３つの解が得られます。 このように、１．〜５．において、θの解がいくつ存在するか調べます。 No.14155 - 2011/07/03(Sun) 21:27:59

★ 図形としきの様々な問題 / ビリー

こんにちは 明日テストで困っています； この問題は中線定理を使うらしいのですが よくわかりません 解説お願いします 2点A(3，0)B(0，2)がある。原点を中心とする半径1の円周上を点Pが動くとき、PA＾2+PB＾2の最大値は ア であり、 そのときの点Pのx座標は イ である。 アとイを求めよ。 答えはア、15+2√13イ、-3√13/13 です No.14150 - 2011/07/03(Sun) 12:31:14 ☆ Re: 図形としきの様々な問題 / X 線分ABの中点をDとすると D(3/2,1) (A) AD=(1/2)AB=(1/2)√13 (B) 一方△PABにおいて中線定理により PA^2+PB^2=PD^2+AD^2 (C) (B)(C)より PA^2+PB^2=PD^2+13/4 (C)' よってPA^2+PB^2が最大のとき、PDが最大になりますので…。 No.14151 - 2011/07/03(Sun) 12:53:14 ☆ Re: 図形としきの様々な問題 / ビリー ありがとうございます！！！ No.14157 - 2011/07/03(Sun) 22:32:18

★ (No Subject) / po

ｘ＋ｙ＝X,x-y=Yとする。ｘ、ｙがー１≦x≦２、-2≦y≦1を満たしながら動く時（X、Y)が動く範囲を図示せよ。という問題で Xの範囲は (-1)+(-2)≦x+y≦２＋１ −３≦x+y＝X≦３ Yの方は −１≦ーy≦２より （-１）-１≦ｘーy≦２＋２ -２≦Y≦４ で図はX軸Y軸に平行な辺の正方形。 と解くと実際の答えの領域よりも広くなってしまい、 この解答は実は不正解なのですが、なぜ広くなってしまったのでしょうか。例えばこの領域（X軸Y軸に平行な辺の正方形）の点（２，４）ではこれを実現するようなx、yはｘ＝３、ｙ＝−１ですがこれはｘの方の定義域から外れています。 難しい質問だとは思いますがよろしく御願いします。別解は知っていますのでもとめておりません。 No.14145 - 2011/07/02(Sat) 23:00:54 ☆ Re: / そら X,Yが独立ではないからです. Xがある値を取るときに,それはある程度x,yを限定することになります. このとき取りも直さずYの取れる値の範囲は限定されています. 具体例はpoさんが挙げた通りです. No.14146 - 2011/07/02(Sat) 23:08:18 ☆ Re: / po X,Yが独立ではない、という理由がまだ分かりません。 どうやってX,Yが独立ではないと見抜けばよいのですか？ よろしく御願いします。 参考 半径rの円は連立不等式ｙ≦ｘ＾２、y≧−（ｘ−６）＾２ の表す表面上の領域の中を自由に動かすことが出来る。ｒの最大値を求めよ。 解）ｙ＝ｆ（ｘ）＝ｘ＾２上の点を（ｓ、ｓ＾２）、 ｙ＝ｇ（ｘ）＝−（ｘ−６）＾２上の点を（ｔ＋６、−ｔ＾２）とおくと、ｄはｓ、ｔが全実数を動く時の√（s-t−６）＾２＋（ｓ＾２＋ｔ＾２）＾２の最小値である。 L=（s-t−６）＾２＋（ｓ＾２＋ｔ＾２）＾２とし ｓ＋ｔ＝u、ｓ−ｔ＝ｖとおけば（u,vは独立に任意の実数を取れることに注意）、u^2+v^2=2(s^2+t^2)からL=〜 とあり、ここではｓ＋ｔ＝u、ｓ−ｔ＝ｖとおけば（u,vは独立に任意の実数を取れる、とあります。違いが分かりません。 No.14149 - 2011/07/03(Sun) 10:58:34 ☆ Re: / angel > X,Yが独立ではない、という理由がまだ分かりません。 > どうやってX,Yが独立ではないと見抜けばよいのですか？ 実際に、x,yの値を色々動かして、X,Yの値がどう変化するかを見ます。 そうすると、X=x+y, Y=x-y なので、yの値を大きくするほどXは大きく、Yは小さくなります。 そのため、Xの値をできるだけ大きくするように y=1 という上限いっぱいの値を選ぶと、確かにXは大きくなりますがYは小さくなってしまいます。 逆に、Yの値をできるだけ大きくするように y=-2 という下限いっぱいの値を選ぶと、Yは大きくなりますがXは小さくなります。 ということで、yの値を変化させても、X,Yの一方しか大きく(小さく)できない。両方同時に大きくさせたり、小さくさせたりはできないという制限があります。これが「独立でない」所以です。 実際問題として例えば最大値に着目すると、X,Yそれぞれの最大値は3,4なのですが、(X,Y)=(3,4)という両方同時に最大値という状況は作り出せないのです。 No.14152 - 2011/07/03(Sun) 14:42:19 ☆ Re: / そら 参考の方は,u及びvの媒介たるs及びtが任意です. そこが違いです. No.14153 - 2011/07/03(Sun) 16:00:02 ☆ Re: / po 両方同時に大きくさせたり、小さくさせたりはできない, これが「独立でない」ということは両方同時に大きくさせたり、小さく出来れば独立ということですか？ ｘ＋ｙ＝X,２ｘ＋３ｙ=Yならｘ（ｙ)を大きくするとX,Y両方大きくなるし、ｘを小さくするとX,Y両方小さくなるので独立ということですか？ No.14158 - 2011/07/04(Mon) 00:26:13 ☆ Re: / po 誰か御願いします・・ No.14163 - 2011/07/04(Mon) 22:38:44 ☆ Re: / らすかる 独立かどうかは、x,yの範囲が制限されているかどうかによります。 No.14164 - 2011/07/05(Tue) 00:07:44 ☆ Re: / po X=（ｘ、ｙからなる式）、Y=（ｘ、ｙからなる式）、ｘ、ｙに制限なし。ならばいかなる場合でもX,Yは独立、 X=（ｘ、ｙからなる式）、Y=（ｘ、ｙからなる式）、ｘ、ｙに制限あり。ならばいかなる場合でもX,Yは独立でない と暗記してよいということですか？ 教えて下さい。よろしくおねがいします。 よろしく御願いします。 No.14165 - 2011/07/05(Tue) 00:16:54 ☆ Re: / angel > ｘ＋ｙ＝X,２ｘ＋３ｙ=Yならｘ（ｙ)を大きくするとX,Y両方大きくなるし、ｘを小さくするとX,Y両方小さくなるので独立ということですか？ いいえ。Xを大きくしてかつYを小さくする ( もしくはXを小さくしてかつYを大きくする ) ような、そういう値の決め方がとれません。やっぱり独立ではありません。 > ここではｓ＋ｔ＝u、ｓ−ｔ＝ｖとおけば（u,vは独立に任意の実数を取れる、とあります。違いが分かりません。 添付の図をご覧ください。( s,t,u,v と x,y,X,Y の違いはありますが ) 上は -1≦x≦2, -1≦y≦2 の場合の (x,y) の存在範囲と (X,Y) ( X=x+y, Y=x-y ) の存在範囲の対応です。 下はもうちょっと範囲を広げて、-2≦x≦4, -2≦y≦4 の場合の(x,y),(X,Y)の存在範囲の対応です。 これでx,yの範囲をどんどん広げていくとどうでしょうか。X,Yの範囲もどんどん広がっていって、終には、(x,y)の範囲が無制限となれば(X,Y)の範囲も無制限になると思えるでしょうか。 「独立」というよりは、「制限がない」という感覚でいた方が良いでしょう。 でも、じゃあ、x,yが無制限なら、x,yの式からなるX,Yは常に無制限なのか。そんなことはありません。 ためしに X=x^2+y^2, Y=x^2-y^2 というのを同じように考えてみてください。 > …(略)…と暗記してよいということですか？ 暗記はどんなときも私はお勧めしません。 ただ、x,yに制限があるならば、X,Yにも制限があるというのは、それほど外さない考えではあるでしょう。 No.14166 - 2011/07/05(Tue) 01:03:29 ☆ Re: / らすかる 14145の例では -3≦X≦3, -2≦Y≦4 ですが、例えばX=3のとき x=2,y=1と決まってしまい、YはY=1という一つの値しかとれません。 14149の例では、任意のu,vに対して s=(u+v)/2, t=(u-v)/2 が対応しますので u,vは任意の値をとれます。 14158の例では、x,yの範囲に制限がなければ任意のX,Yに対して x=3X-Y, y=Y-2X が対応しますのでX,Yは任意の値をとれますが、 x,yの範囲に制限があれば14145と同様に任意の値がとれなくなります。 （これが14164で書いた意味です） 暗記するならば、 「s,tの範囲に制限がなく、s+t=u, s-t=v のようにおいた場合は u,vの範囲は無制限であり、その他の場合は個別に検討が必要」 と覚えるのが良いと思います。 （s,tの範囲に制限がなく、s+t=u, s-t=v のようにおくケースは結構でてきます。） No.14167 - 2011/07/05(Tue) 10:40:40 ☆ Re: / po X=x^2+y^2, Y=x^2-y^2 の（X,Y）の存在範囲が図示できないので教えて下さい。 x,yが独立⇒X,Yが独立は偽（反例 X=x^2+y^2, Y=x^2-y^2） x,yが独立でない⇒X,Y（ｘ、ｙからなる式）が独立でない 　は真ですか？偽なら反例を教えてください。 よろしく御願いします No.14168 - 2011/07/05(Tue) 10:47:35 ☆ Re: / らすかる x^2≧0, y^2≧0 ですから、 X=x^2+y^2, Y=x^2-y^2 の(X,Y)の存在範囲は X=x+y, Y=x-y (x≧0, y≧0) の(X,Y)の存在範囲と同じです。 x,yが独立でない⇒X,Yが独立でない は偽です。 反例 |x-y|＜1 X=x+y Y= 1/(x-y)-1　(x-y＞0) 0　(x-y=0) 1-1/(y-x)　(x-y＜0) No.14169 - 2011/07/05(Tue) 11:45:24

★ 角 / yo
座標平面上に5点A（-1，1）,B（-1，0）,C（1，0）,D（1，1）,P(x,0) (-1<x<1) がある。 次の条件を満たすPの　x座標が満たす方程式f[x]=0 (f[x]の係数は有理数)　を　求め、xの近似値も求めよ。 (1）∠APB＝2∠CPD (2）　∠APB＝3∠CPD 次の(3)以降について、考察して下さい； (3）　∠APB＝4∠CPD (4）　∠APB＝5∠CPD 　　　　　　を　是非　お願い致します。又　下も (1'）∠APB＝(1/2)∠CPD (2'）　∠APB＝Sqrt[5]∠CPD 次の(3')以降について、考察して下さい； (3'）　∠APB＝4.3∠CPD (4'）　∠APB＝2*Pi∠CPD No.14143 - 2011/07/02(Sat) 19:23:53

★ 放物線の平行移動 / rio

東大の過去問らしいのですが、添付の問題の答えとなっている軌跡が具体的にどのように放物線を動かすと描かれるものなのかがわかりません。 答えの軌跡の上の部分については （１）なぜ、スタート地点より上方には進めないのか？ 答えの奇跡の下の部分については （２）スタート地点からどのように滑らせると描かれるのか？そもそもスタート地点の考えが間違えているのか？ 以上2点についてよろしくお願い致します。 No.14139 - 2011/07/02(Sat) 16:46:10 ☆ Re: 放物線の平行移動 / rio こちらが疑問点をまとめたものです No.14141 - 2011/07/02(Sat) 16:47:33 ☆ Re: 放物線の平行移動 / angel 添付の図をご覧ください。 それぞれ、接点が x=1/2, x=1, x=2 に来る場合の、放物線と双曲線の位置関係です。 放物線の全体が、双曲線y=1/xの内側 ( 右上方向 ) に収まっているわけではないことに注意してください。 そうすると、接点がy軸寄りになる ( 接点のx座標が0に近づく ) と、放物線の頂点は右下の方にずれ込むのです。 詳しくは、接点のx座標をtと置いて放物線の頂点の座標を求めてみると良いです。が、直感的に言うなら、 　放物線 … d^2y/dx^2 = 2 で一定 　双曲線 … d^2y/dx^2 = 2/x^3 で、y軸に近づくほど2次微分係数の値が大きい 　　　　　　つまり、y軸寄りのほど曲がり方が急 ということで、 ・y軸に近い部分では、双曲線の方が曲がり方が急なので、放物線の内側に双曲線が来る形で接する。( 結果、放物線は大きく双曲線を迂回するような形状になり、頂点が右下にずれる ) ・y軸から遠い部分では、双曲線の曲がり方がなだらかなので、双曲線の内側に放物線が来る形で接する。 ・両者の境は、d^2y/dx^2 = 2 となる x=1 のポイント ということがいえます。 No.14142 - 2011/07/02(Sat) 19:05:58 ☆ 補足というか訂正 / angel > つまり、y軸寄りのほど曲がり方が急 と書いていますが、これは「傾きの変化の度合いが急」に訂正させてください。 なぜなら、元の書き方では、カーブそのものが急になっているようにしか読めないからです。 もちろん、y軸寄りになればなるほど、双曲線は直線に近づきますから ( y軸が漸近線ですから )、カーブは緩やかになります。 ただし、双曲線と放物線が接している点 ( つまり一次の微分係数が一致する点 ) においては、2次の微分係数が大きいか小さいかが、そのままカーブが急か緩やかかにつながります。なので結論 ( 「ということで」以降 ) は間違ってはいないです。 No.14144 - 2011/07/02(Sat) 22:33:35 ☆ 補足2 / angel 先に。 > 詳しくは、接点のx座標をtと置いて放物線の頂点の座標を求めてみると良いです。 と書きましたが、そもそも解説の?@がそうですね。ボケていました。すいません。 で、 >（２）スタート地点からどのように滑らせると描かれるのか？そもそもスタート地点の考えが間違えているのか？ この疑問について触れていませんでしたが、端的に言うと、「スタート地点ではありません」となります。 t=1 というのは、最初の回答で説明した >・両者の境は、d^2y/dx^2 = 2 となる x=1 のポイント になります。つまり境界です。 No.14147 - 2011/07/03(Sun) 00:01:55 ☆ Re: 放物線の平行移動 / rio 詳しい説明をありがとうございました。理解できました。 No.14162 - 2011/07/04(Mon) 19:54:43

★ (No Subject) / akv

0<t<1において、f(t)=t{√(-3t^2+3t+1)-1}の最大値を与えるtの値を求めたいのですが、いいやり方ありませんか？ 微分して計算してもうまくいきませんでした。 No.14125 - 2011/07/01(Fri) 06:47:15 ☆ Re: / そら ＞微分して計算してもうまくいきませんでした。 なにがどううまくいかない？ やや煩雑ですが微分で事足りるとおもいます. No.14129 - 2011/07/01(Fri) 19:10:21 ☆ Re: (No Subject) / akv 微分した後どうやって増減を調べたらよいのですか？ 具体的に教えて下さい。 No.14130 - 2011/07/01(Fri) 20:49:36 ☆ Re: (No Subject) / akv 微分すると分子に(tの二次式)-√(tの二次式) がでてきてここで詰まりました。 No.14131 - 2011/07/01(Fri) 21:00:55 ☆ Re: / そら それはつまり微分がどういう意味をもつことなのかが, わからないということですか. その辺は教科書に丁寧に書かれているとおもいますので, 微分のところを当たってみてください. No.14132 - 2011/07/01(Fri) 21:48:25 ☆ Re: (No Subject) / akv 数学3の微積の問題は大概解けます。 この問題が分からないのです。 行き詰まったところは上に書いています。 No.14134 - 2011/07/01(Fri) 22:42:26 ☆ Re: / そら 失礼しました. では,f'(t)=0を解くところ,というわけですね. P=-3t^2+3t+1と略記しますと, f'(t)=(-1)+(-6t^2+(9/2)t+1)/√P となります. f'(t)=0とすれば, -6t^2+(9/2)t+1=√P となります.両辺を二乗して整理しますと, 48t^3-72t^2+15t+8=0 となります. さて,ここまではたぶん正しいようですが, この方程式の解は x1= -0.2328052110098 x2= 0.67999608191289 x3= 1.0528091290969 だそうです.（http://keisan.casio.jp/) x2のところで最大値を取りますね. (自作の問題でしょうか？) No.14135 - 2011/07/01(Fri) 23:46:41 ☆ Re: (No Subject) / akv そうです。 ありがとうございました。コンピュータは使えた方がよさそうですね。 No.14137 - 2011/07/02(Sat) 01:56:36

★ 解の公式の学習指導案 / れむ

こんばんは。 ゆとり教育が終わったと聞きました。 そして、中学校に二次方程式の解の公式が復活したと聞きました。 そこで、二次方程式の解の公式をどのように現在の中学校で教えているのか興味を持ちました。 そこで、ネット上で、二次方程式の解の公式を教えるときの、教師の方が使っている、学習指導案を見てみたいと思いました。 もし、ネット上にあるものがあるならば、それを見てみたいと思います。紹介をよろしくお願いいたします。 No.14120 - 2011/06/30(Thu) 23:01:13 ☆ Re: 解の公式の学習指導案 / ヨッシー ゆとりのない教育だった頃の中３の教科書ならありますけど。 No.14128 - 2011/07/01(Fri) 16:01:31 ☆ Re: 解の公式の学習指導案 / れむ ありがとうございます。 いえ、学習指導案を見てみたいんです。 どうやって教えているかを。。 No.14133 - 2011/07/01(Fri) 22:00:59

★ (No Subject) / 同値変形マニア

放物線ｙ＝ax^2-2x+1に原点から二本接線が引けて2接線のなす角が４５度となるための実数aの条件を求めよ。 解）y=mxがｙ＝ax^2-2x+1と接するのは ax^2-(2+m)x+1=0が重解を持つ時で判別式を考えて (2+m)^2-4a=⇔m^2+4m+4(1-a)=0・・?B である。この判別式は16-16(1-a)=0なので ２接線が引けるためにはa>0が必要 このとき?Bの相異２実解をα、βとおくと２接線のなす角が４５度となるのは (1 α）・（1　β）＝√(1+α^2）√（１＋β^2）×（±cos45°）・・（★） ⇔2(1+αβ)^2=(1+α＾２)(1+β＾２)・・（☆） と解答にあるのですが、最後の（★）⇔（☆）である理由が分かりません。というより信じたくありません。両辺０以上の時しか同値は保たれないと習って、両辺２乗するときは何年も前から「両辺０以上なので２乗して〜」のように書いていましたし、他の書物でも「両辺０以上なので〜とか両辺正なので同値」とか「両辺０以上のもとで二乗すると〜」という記述も目にしたことがあります。 ★の右辺は明らかに負、左辺は不明です。今までやってきたことは間違いだったのでしょうか？ No.14118 - 2011/06/30(Thu) 19:43:34 ☆ Re: / ヨッシー ｘ＝±２　と　ｘ^2＝４　は同値ですよね？ ｘ＝２　と　ｘ^2＝４　は同値ではありません。 ｘ＝２　と　ｘ^2＝４　(ｘ＞０)は同値です。 両辺０以上なので・・・というのは、不等式の場合ではないでしょうか？ No.14124 - 2011/07/01(Fri) 06:13:00 ☆ Re: / 同値変形マニア 高校数学活用辞典（旺文社）には 「A≧０、B≧０ならば　A=B⇔A＾２＝B^2」「A=Bの両辺を平方する変形は同値な変形ではない」とあります。 また、 ｘ＝２（両辺０以上のもとで２乗すると） ⇔ｘ^2＝4かつx≧０ ⇔x=±２かつx≧０ ⇔x＝２で理屈は通ります。 例題１４．１）中心が其々（−２，０）（２，０）である半径１の円A.Bを考える。円CがAを内側に含み、Bの外側にあり、しかもA,Bの両方に接しながら動く時、次の問いに答えよ。（北海道大学’９８） （１）円Cの軌跡を求めよ。 （２）円Cが直線ｙ＝２に接するとき、円Cの半径の長さを求めよ。 円Cの中心の座標をP（ｘ、ｙ）、半径の長さをRとおく。まず、円Cでは円Aを内側に含み、しかも円Aと接しているので、円Cの中心と円Aの中心との距離はR-1である。したがって、 √｛(x+2)^2+y^2}=R-1・・?@が成り立つ。 次に、円Cは円Bの外側にあり、しかも円Bと接しているので、 円Cの中心と円Bの中心との距離はR+1である。したがって √｛(x-2)^2+y^2}=R+1・・?Aが成り立つ。 ?@と?AからRを消去すると、ｘ、ｙに関する関係式 √｛(x-2)^2+y^2}ー√｛(x+2)^2+y^2}=２・・（※）が得られる。これが円Cの中心P(x,y)の軌跡である。以下のようにこの式を整理する。（※）の右辺は正である。左辺が正となる条件は(x-2)^2>(x+2)^2つまり『ｘ＜０であることを確認して』式の両辺を２乗すると (x-2)^2+(x+2)^2+2y^2-2√｛(x^2+y^2+4)^2-(4x)^2}=4 x^2+y^2+2=√｛(x^2+y^2+4)^2-16x^2} 『両辺が同符号（正）であることを確認して』式の両辺を２乗すると （x^2+y^2+2）＾２=(x^2+y^2+4)^2-16x^2 3x^2-y^2=3 ゆえに、円Cの中心の軌跡は双曲線3x^2-y^2=3のｘ＜０の部分。 （２）円Cが直線ｙ＝２に接するとき 円Cの中心P（x,y)と直線y=２の距離はRである.つまり ly-2l=Rである。円Cは円Aを内側に含んでいることから、ｙ＜２の領域に存在するのでｙ＝−R+2 ?@に代入して√{(x+2)^2+(-R+2)^2}=R-1(ここからR>１が分かる） ?Aに代入して √{(x-2)^2+(-R+2)^2}=R+1 ここからｘを消去してRの大きさを求める。両式を２乗して (x+2)^2+(-R+2)^2=(R-1)^2 (x-2)^2+(-R+2)^2=(R+1)^2 辺々引くと8x=-4Rつまりx=-R/2 ゆえに (-R/2+2)^2+(-R+2)^2=(R-1)^2 これを解くと、求める半径の長さはR=2,14 これらはR>１をみたすので適する。 解答を見ていただければ分かるように「二つの円が接する」とか「円と直線が接する」という場合には円の中心との距離を考えるのが計算を簡単にするうまい方法である。これを方程式を立てて重解になる条件を求めていこうとすると時間も手間もかかるし間違いも多くなりいいことがない。覚えておこう。もうひとつ注意してほしいことがある。解答では式の両辺を２乗する際、「ｘ＜０であることを確認して・・・」とか「両辺が同符号（正）であることを確認して・・・」あるいは（２）では「ここからR>1がわかる」というように何度も確認をしているのだが、これは何をしているのか分かるだろうか？普段から気をつけて解答を書いている人なら分かると思うが、式の両辺を２乗して同値性を保つためには、式の両辺が同符号であることが条件なので、それを確かめているのである。分からない人のために具体的な例で考えよう。例えば曲線ｙ＝√（ｘ−２）（定義域はｘ＞２）と直線y＝４−ｘの交点のx座標を求めることを考える。二つの式からｙを消去すると√（ｘ−２）＝４−ｘである。とりあえず両辺を２乗してみるとｘ−２＝ｘ＾２−８ｘ＋１６ 整理してｘ＾２−９ｘ＋１８＝０を解くとｘ＝２，６という解が出る。しかし図を見ても分かるように（図は略）、曲線と直線の交点は１つしかない。これはおかしいなと思って√（ｘ−２）＝４−ｘにｘ＝２，６を代入してみるとｘ＝６は解ではないことが分かる。 √（ｘ−２）＝４−ｘの左辺は正なので、右辺も正でなくては解になりえない。つまり、ｘ＜４が必要条件なのである。ｘ＝６はこれを満たしていないので解とはならないわけだ。 このように、式変形の際に両辺を２乗する場合には両辺の符号が同じであることを確認する必要がある。これを怠ると上の例でｘ＝６を解としてしまったり、例題１４.1)（１）でｘ＞０の部分も軌跡に入れてしまったりする間違いが起こる。細かいことのように感じられるかもしれないが、絶対に忘れてはいけない。（『東大理?V生が教える解法のテクニック』発行所：株式会社データハウスより一字一句略さずに抜粋） とありますが。。 No.14126 - 2011/07/01(Fri) 08:15:23 ☆ Re: / ヨッシー 「A=Bの両辺を平方する変形は同値な変形ではない」 Ａ＝Ｂ　と、両辺を平方した　Ａ^2＝Ｂ^2 が同値でないのは、 Ａ＝−Ｂ の可能性があるからです。 では、「Ａ＝−Ｂ の可能性」も含めて、Ａ＝±Ｂ と Ａ^2＝Ｂ^2 とでは？ 同値ですよね？ 上の記事で、いっぱい書いていただきましたが、これらはいずれも、 １つの式と、それを２乗した式とが同値かどうかについて議論していますが、 ★の式や、ｘ＝±２や、Ａ＝±Ｂ などは、異符号の２つの式と それを２乗した式との同値性を言っているところが全く違います。 よって、「ｘ＝±２　と　ｘ^2＝４　は同値である」ことを 理解してもらうだけで、十分と思いますが。 No.14136 - 2011/07/02(Sat) 01:25:34

★ 二次関数 / チーは高3

【質問】 kは実数の定数とする。xの定義域は,-1≦k≦-1/2のとき-1≦x≦(4k+1)/3,-1/2＜k＜1/2のとき(4k-1)/3≦x≦(4k+1)/3,1/2≦k≦1のとき(4k-1)/3≦x≦1である。 この定義域のもとで二次関数y=3x^2-6kx+4k^2の最大値と最小値を求めなさい。 軸がkですが、この軸は三つの定義域のどこに含まれるのでしょうか？定義域と軸に同じ文字が入っていて状況がこんがらがります。 解説をどうかお願いします。 No.14115 - 2011/06/30(Thu) 03:25:00 ☆ Re: 二次関数 / X (i)-1≦k≦-1/2のとき -1≦x≦(4k+1)/3ですので 軸は少なくとも定義域の左端より右側にあります。 そこでkと(4k+1)/3の大小関係を比較すると (4k+1)/3-k=(k+1)/3≧0 ∴k≦(4k+1)/3 つまり軸は問題の定義域の範囲内にあります。 範囲内のどちら寄りかは、定義域の中点である x={1+(4k+1)/3}/2 とkとを比較しましょう。 以下 (ii)-1/2＜k＜1/2のとき (iii)1/2≦k≦1のとき で同様に端点の値(必要であれば定義域の中点の値)と kとの大小関係を考えます。 但し、kの値が変わっていることに注意しましょう。 No.14116 - 2011/06/30(Thu) 08:31:02 ☆ Re: 二次関数 / チーは高3 回答をしてくださってありがとうございます！ kは三つの定義域-1≦x≦(4k+1)/3,(4k-1)/3≦x≦(4k+1)/3,(4k-1)/3≦x≦1のうち-1≦x≦(4k+1)/3に含まれるということでしょうか？一番左側の定義域に軸が含まれるのならk=1のときに最大値をとるのではないのですか？なぜx={1+(4k+1)/3}/2というものが出てくるのでしょうか？ No.14117 - 2011/06/30(Thu) 15:50:26 ☆ Re: 二次関数 / X ＞＞〜に含まれるということでしょうか？ 違います。 問題文の書き方に惑わされるかもしれませんが、この問題では、 3種類のkの値の範囲に対して、それぞれに対応している 定義域における最大値と最小値を別々に考えるのであって、 3つの定義域で問題の二次関数を同時に分割して考えている わけではありません。 つまり (i)-1≦k≦-1/2のとき は-1≦x≦(4k+1)/3における最大値、最小値 (ii)-1/2＜k＜1/2のとき は-1≦x≦(4k+1)/3における最大値、最小値 (iii)1/2≦k≦1のとき は(4k-1)/3≦x≦1における最大値、最小値 をそれぞれ求める必要があり、最終的な解答は 最大値、最小値の組が３つということになります。 >>一番左側の定義域に軸が含まれるのなら〜 上記の場合分けの話を読んでもう一度考えてみて下さい。 No.14123 - 2011/07/01(Fri) 05:00:28 ☆ Re: 二次関数 / チーは高3 回答ありがとうございました。無事解決しました。 No.14148 - 2011/07/03(Sun) 00:26:34

★ (No Subject) / せつな
はじめまして、解法をおしえてください 曲線y=X^2+5X+2と直線y=x+kが接する このとき定数kの値は？ No.14112 - 2011/06/28(Tue) 00:31:11 ☆ Re: / mokomoko x^2+5x+2=x+kが重解を持てばいいので、判別式=0となるkを求めます。 No.14113 - 2011/06/28(Tue) 01:34:46 ☆ Re: / せつな ありがとうございました No.14114 - 2011/06/29(Wed) 02:30:56

★ 高2　数列 / れいひゃー

(1)1+2・3+3・3^n+・・・・+n・3^(n-1)を求めよ (2)x≠1のとき、1+4x+7x^2+・・・・+(3n-2)x^(n-1) 答えは (1){1+(2n-1)3^n}/4 (2){1+2x-(3n+1)x^n+(3n-2)^(n+1)}/(1-x)^2 です 教科書に似たような例題があって、 そっちでしていたように S-2S＝・・・・・ と言う感じでしていたのですが 何度やっても違う答えが出てきました 説明をお願いします・・ No.14109 - 2011/06/27(Mon) 20:28:07 ☆ Re: 高2　数列 / ヨッシー (1) Ｓ＝1+2・3+3・3^2+・・・・+n・3^(n-1)　とおきます。 ３Ｓ＝1・3+2・3^2+・・・・+(n-1)・3^(n-1)+n・3^n 上式から下式を引いて 　−２Ｓ＝1−n・3^n＋{3+3^2+・・・+3^(n-1)} 　　＝1−n・3^n＋(3^n−3)/2 よって、Ｓ＝{(2n-1)3^n＋1}/4 (2) Ｓ＝1+4x+7x^2+・・・・+(3n-2)x^(n-1)　とおきます。 ｘＳ＝1x+4x^2+・・・・+(3n-5)x^(n-1)+(3n-2)x^n 上式から下式を引くと (1-x)Ｓ＝1−(3n-2)x^n＋3{x＋x^2＋・・・＋x^(n-1)} 　　＝1−(3n-2)x^n＋3(x^n-x)/(x-1) よって、 　Ｓ＝{1+2x-(3n+1)x^n+(3n-2)x^(n+1)}/(x-1)^2 それぞれ、普通の等比数列の和の計算は省略しました。 No.14111 - 2011/06/27(Mon) 23:18:19

★ (No Subject) / mania

m,nは自然数で互いに素ならば、2^m-1,2^n-1も互いに素であることを示せ。 解）対偶を証明する。以下modpとする。 2^m-1,2^n-1がともに素因数ｐをもつ、すなわち 2^m≡1,2^n≡1（modp)・・?@ とする。 いま、2^i≡１（modp)をみたす最小の自然数iをｋとし、 2^1,2^2,2^3、・・・をｐで割ったあまりをa1,a2,a3,・・・ とすると 数列｛an｝はa1,a2,a3,・・,ak（＝１）の繰り返しである。 よって2^i≡１（modp)すなわちai＝１をみたす自然数iはｋ、２ｋ、３ｋ、・・・である。 したがって?@をみたすｍ、ｎはともにｋの倍数であるが ｋ＝１ではない。（なぜならば このあとの回答が分からないので教えて下さい。よろしく御願いします。 No.14106 - 2011/06/27(Mon) 06:01:02 ☆ Re: / らすかる 2^1を素数で割った余りは0か2であり、1になることはない） No.14107 - 2011/06/27(Mon) 09:21:10 ☆ Re: / mania 2^1を素数で割った余りは0か2であり、1になることはない,というのは分かりますが、これが何の関係があるのかが全く分かりません。もう少し詳しい解説を頂きたいです。よろしく御願いします。 No.14108 - 2011/06/27(Mon) 19:26:25 ☆ Re: / らすかる 「このあとの回答」を質問されていたので 「なぜならば」に続く文を書いたんですが… k=1ならばa1=a2=a3=…=1 ですが a1=(2^1をpで割った余り) が1になることはありませんから k≠1ということです。 No.14110 - 2011/06/27(Mon) 22:43:35

★ (No Subject) / ケレンスキー

放物線ｙ＝ｘ＾２と直線ｙ＝−ｘ−１がある。この直線上の点で放物線との距離が最小となる点の座標と、その距離の最小値を求めよ。 わかりません、よろしくお願いします。 No.14080 - 2011/06/24(Fri) 23:21:11 ☆ Re: / ヨッシー y=-x-1 を平行移動して、放物線に接するまで動かしたとき、 接点から、元の直線に下ろした垂線の長さが求める距離で、 垂線の足が求める点です。 No.14083 - 2011/06/25(Sat) 01:46:55 ☆ Re: / ケレンスキー ありがとうございます。答案の半分くらいまで教えていただけないでしょうか。 No.14100 - 2011/06/25(Sat) 18:54:27 ☆ Re: / ヨッシー 微分が使える場合 　ｙ＝ｘ^2　を微分して、　ｙ＝２ｘ 　接線の傾きが−１になるｘは、２ｘ＝−１　より　ｘ＝-1/2 　よって、接点は、(-1/2, 1/4) 微分が使えない場合 　接線の式を　ｙ＝−ｘ＋ｋ とします。ｙ＝ｘ^2 と連立させて、 　　ｘ^2＝−ｘ＋ｋ 　　ｘ^2＋ｘ−ｋ＝０ 　判別式をとって、 　　１＋４ｋ＝０　より　k=-1/4 　このとき、ｙ＝ｘ^2 と ｙ＝−ｘ−1/4 の解は、 　ｘ＝-1/2、ｙ＝1/4 よって、接点は (-1/2, 1/4) とりあえず、接点を求めてみました。 No.14101 - 2011/06/25(Sat) 20:34:53 ☆ Re: / ケレンスキー やっとわかりました。ありがとうございました。 No.14102 - 2011/06/25(Sat) 22:47:15 ☆ Re: / ケレンスキー やっとわかりました、ありがとうございました。 No.14103 - 2011/06/25(Sat) 22:47:49

★ (No Subject) / 怪談レストラン

問い１（参考） 実数x、yがx^2+y^2=1の関係を満たして変化する時、２x＋yのとりうる値の最大値を求めよ。 答案（写しました） 2x+yがｋという値を取りうるための条件は x^2+y^2=1かつ２x＋y＝ｋを満たす実数ｘ、ｙが存在することであり、この条件はx^2+(k-2x)^2=１・・?@を満たす実数xが存在することと同値。?@は５x^２−４kx＋k^２−１＝０となり、これらを満たす実数ｘが存在する条件はD/4≧０⇔ｋ^２≦５　これを満たす最大のｋが答えで、それは√５ 問い２（参考） ｘ、ｙは実数で(x^2+y^2)^2=x^２−y^２であるときx^２＋（１−y）^２の最大値を求めよ。 答案（写しました） x^２＋（１−y）^２がｋという値をとりうるための条件は (x^2+y^2)^2=x^２−y^２・・?@かつx^２＋（１−y）^２＝ｋ・・?Aをみたす実数ｘ、ｙが存在することである。?Aをｘについて解いて?@に代入すると ６y^2＋２（２k−３）y＋k^２−３k＋２＝０・・?Bが得られる。この?Bを満たす実数yが存在することが必要条件でD/4≧０⇔3−√３/2≦ｋ≦３＋√３/2 ｋ＝（３＋√３）/2・・(※)のとき?Bのｙは重解でｙ＝−√3/6、?Aの式はx^2＝（３＋√３）/2−（１＋√３/6）^２＞０となり?Aをみたす実数ｘが存在することになり、（※）が答え。 問い３：実数x、yがx^2+y^2=1の関係を満たして変化する時、x^2+4yのとりうる値の最大値を求めよ。 問い１，２に倣って作った私の答案： x^２＋４yがｋという値をとりうるための条件は x^2+y^2=1・・?@かつx^２＋４y＝ｋ・・?Aをみたす実数x、yが存在することである。 ?@ を?Aに代入してy^2−４y＋k−1＝０・・?Bを満たすｙが存在することが必要条件で D/4≧０⇔5≧ｋ ｋ＝５・・（※）のとき?Bは重解ｙ＝２、?Aの式はx^2＝５−４×２＜０となり?Aをみたす実数ｘが存在しないことになり、（※）が答えとならない。 問い1問い２と全く同じように解いたのですが答えは出ませんでした。どこが駄目なのでしょうか。 そもそも存在条件に結びつけるやり方では問い３は解けないということなのでしょうか。よろしく御願いします。 No.14078 - 2011/06/24(Fri) 19:21:58 ☆ Re: / X 問い2を参考にして解いたと思いますが、その問い2で ＞＞６y^2＋２（２k−３〜必要条件で の「必要条件」に注目して下さい。 これは必要条件であって十分条件ではありません。 (ですから後で十分性を確かめているわけですが。) 問い２の場合はそれでも十分性が満たされたので 問題ありませんでしたが、怪談レストランさんの 答案通り、問い３では同じようなわけにはいけません。 ではどうするかですが、どこで十分性が抜けるのか を考えます。 さて、問い２と同じように x^2+y^2=1 (1) x^2+4y=k (2) から二次方程式に持っていくために、yを消去するわけですが この際にxが実数であるための条件が抜けているのが 十分性が満たされない理由です。 (2)より x^2=k-4y ですがxは実数ですので k-4y≧0 ∴k/4≧y (P) 従って求める条件は y^2-4y+k-1=0 (3) が(P)のような実数解を持つ条件となります。 この考えから逆に問い２も同じ方針で解けるのではないか？ という疑問がわくと思いますが実際その通りです。 ですが、問い２の場合はその条件が煩雑になるので 敢えて避けているようです。 (とりあえず必要条件を考えて、後で十分条件を考えてみたら たまたまうまく行ったという感じだと思います。) No.14081 - 2011/06/24(Fri) 23:27:00 ☆ 回答ありがとうございます / 怪談レストラン ?@かつ?A⇔?@かつ?Bより x^2+y^2=1 (1) でxは実数だから −１≦y≦１(P) 従って求める条件は y^2-4y+k-1=0 (3) が(P)のような実数解を持つ条件と考えた方が実践的だと思ったのですがどうでしょうか。。 そうしますと 問い１は x^2+y^2=1かつ２x＋y＝ｋ ⇔x^2+(k-2x)^2=１かつ２x＋y＝ｋ 問い３は x^2+y^2=1 かつx^2+4y=k ⇔(k-4y)^2+y^2=1 かつx^2+4y=k ですが、しかし、 問い３だけx^2+y^2=1 (1) でxは実数だから −１≦y≦１(P) の作業を行なっています。 問い３と同じ理屈なら 問い１は単に『x^2+(k-2x)^2=１が存在する条件』ではなく、『‘−１≦x≦１をみたすような’x^2+(k-2x)^2=１が存在する条件』となるのが筋じゃないでしょうか。 なぜ問い3ではx^2=1-y^2≧０より1≧ｙ＾２の作業が必要で 問い１ではy^2=1-x^2≧０より１≧ｘ＾２の作業が必要でないのか、また、問い１ではy^2=1-x^2≧０より１≧ｘ＾２の作業が必要でないのに、なぜ問い3ではx^2=1-y^2≧０より1≧ｙ＾２の作業が必要なのか、そこをどうか教えて下さい。よろしく御願いします。 No.14084 - 2011/06/25(Sat) 03:39:22 ☆ Re: / angel > 問い１は単に『x^2+(k-2x)^2=１が存在する条件』ではなく、『‘−１≦x≦１をみたすような’x^2+(k-2x)^2=１が存在する条件』となるのが筋じゃないでしょうか。 はい。確かに筋です。 ですが、問い1に関しては -1≦x≦1 の条件を「結果的に」考慮する必要がなくなるため、省略していると見なしてください。もちろん省略しなくとも間違いにはなりませんので、自信がなければ安全側 ( 省略せずに書く方 ) に倒した方が良いでしょう。 ※解答として書かなければいけないことと、問題を解く上で考えなければいけないことは、必ずしも同じではないのです。 No.14089 - 2011/06/25(Sat) 11:08:26 ☆ 違い / angel では問い1と問い3の違いを改めて見てみましょう。 問い1： x^2+(k-2x)^2=1 という方程式は、x^2+y^2=1, 2x+y=k の両方を満たす時の x の条件として導かれたものでした。 なお、k-2x=y の形にして代入し直せば、この方程式はまた x^2+y^2=1 の形に戻せます。そのため、 　x^2+y^2=1 かつ 2x+y=k ⇔ x^2+(k-2x)^2=1 かつ 2x+y=k という同値関係が成立します。 ここで、ある k に対して x が解を持つとし、その解の1つをx=αとしましょう。つまり α^2+(k-2α)^2=1 は既に成立しているものとします。 そうすると、y=k-2α という対応する「実数」を無条件で考えることができて、これは 2x+y=k を満たします。 で、同値関係なので、(x,y)=(α,k-2α) というのは当然のように x^2+y^2=1 かつ x+2y=k も満たします。 そこから x^2+y^2=1 ⇔ x^2=1-y^2 ⇒ -1≦x≦1 という条件が自動的に導けますから、「結果的に」-1≦x≦1 となるかどうかを考えなくても良かった、というわけです。( ならないはずがないから ) 問い3： 同じように整理すると、 　x^2+y^2=1 かつ x^2+4y=k ⇔ (k-4y)+y^2=1 かつ x^2+4y=k という同値関係が導けます。 ところが、ある k に対して (k-4y)+y^2=1 が解 y=β を持ったとしましょう。その時に、x^2=k-4β を満たす「実数」x があるとは限らないのです。それは k-4β≧0 である保証がないから。 ※問い1 の場合は、2x+y=k と一次式の条件だったため、x=αに対応する「実数」y=k-2αが無条件に作れたのです。今回は2次式の条件というのが大きく影響しています。 ということで、単純に y の解があるかどうかを考えるだけではダメ、ということになります。 素直に考えると、「y≦k/4 を満たすような解 y が存在する」と条件を厳しくすれば良いように思えるのですが、k 自体が固定された値ではないので結構面倒です。なので別口として、-1≦y≦1 という条件を引っ張ってきているわけです。 No.14090 - 2011/06/25(Sat) 11:41:15 ☆ 問い3別解 / angel 問い3に関しては、次のような別解も考えられます。 X=x^2 とおく。このとき X≧0 である。 すると、 　x^2+y^2=1 かつ x^2+4y=k 　⇔ X≧0 かつ X+y^2=1 かつ X+4y=k 　⇔ X≧0 かつ X+( (k-X)/4 )^2=1 かつ X+4y=k Xに関する2次方程式 X+( (k-X)/4 )^2=1 が X≧0 なる解を持つためには…(中略)…より -4≦k≦4 ( ※必要十分です ) よって、k=4 が最大値 この解であれば、-1≦x≦1 や -1≦y≦1 のことは「結果的に」考えなくても良くなります。X≧0 を考慮するだけで吸収できていますから。 No.14091 - 2011/06/25(Sat) 11:56:46 ☆ Re: 回答有難うございます / 怪談レストラン そこから x^2+y^2=1 ⇔ x^2=1-y^2 ⇒ -1≦x≦1 という条件が自動的に導けますから、「結果的に」-1≦x≦1 となるかどうかを考えなくても良かった、というわけです。( ならないはずがないから )の部分が分かりません。また、そこからとはどこからですか？ x^2+(k-2x)^2=1 をみたす実数ｘが存在すればy=k-2xよりｙも自動的に実数として存在することは分かりました。 よろしく御願いします。 No.14095 - 2011/06/25(Sat) 14:36:07 ☆ 「そこ」とは / angel > また、そこからとはどこからですか？ 「そこ」とは、直前にある 　(x,y)=(α,k-2α) というのは当然のように x^2+y^2=1 かつ x+2y=k も満たします。 のことを指します。 > 「結果的に」-1≦x≦1 となるかどうかを考えなくても良かった、というわけです。( ならないはずがないから ) 結局問い1の解答の中では、(x,y)の組み合わせとして「x^2+y^2=1を満たす実数」しか登場させていないのです。 ※(x,y)=(α,k-2α)というのもそういう組み合わせです。 そもそもなぜ-1≦x≦1の条件を考えようとしたかというと、(x,y)の組み合わせを作りだす時に、うっかりx^2+y^2=1を満たさない不適切な組にならないかをチェックしよう、という目論見があったはずです。つまり -1≦x≦1 の範囲に収まらなければ不適切、ということで。 でも今回、x^2+y^2=1を満たす組み合わせしか作っていません ( xが解を持てば、対応するyが必ず作れる ) から、「うっかり不適切な」組はありえないことですし、-1≦x≦1 は当然成立するというわけです。 ※念のため再掲しますが、x^2+y^2=1 ⇔ x^2=1-y^2 ⇒ -1≦x≦1 ですから。 で、問い3は状況が違います。 (k-4y)+y^2=1 が単純に解を持つように例えば k=5 を考えた場合、yだけを見れば解は y=2 となります。 しかし x^2=k-4y を満たす実数xは存在していませんから、条件を満たす(x,y)の組はナシとなります。 ここでもし x の存在を考えることなく y が解を持つだけで満足してしまうと、(x,y)=(何か,2) という x^2+y^2=1 を満たない不適切な組み合わせを作り上げてしまったことになるのです。だからこそ、-1≦y≦1 という範囲チェックか、もしくは何か別のチェック ( 上であげた別解のX≧0のような ) が必要なのです。 結局のところ重要なのは、「存在」が当然なのか当然ではないのか、という所ではないでしょうか。 No.14097 - 2011/06/25(Sat) 15:30:36 ☆ Re: / 怪談レストラン -1≦x≦1と -1≦ｙ≦1がごちゃごちゃになっていませんでしょうか？ところどころ意味が分からなくなってきます。例えばx^2+y^2=1 ⇔ x^2=1-y^2 ⇒ -1≦x≦1 など。-1≦y≦1でいいんですよね？ 結局のところ 問い１は x^2+y^2=1かつ２x＋y＝ｋ・・?T ⇔x^2+(k-2x)^2=１かつ２x＋y＝ｋ・・?U で?Uの式に x^2+y^2=1はないからx^2+y^2=1 ⇔ x^2=1-y^2≧０は考えなくてよい。x^2+(k-2x)^2=１かつ２x＋y＝ｋの式だけに集中してよい。 問い３は x^2+y^2=1 かつx^2+4y=k ⇔(k-4y)^2+y^2=1 かつx^2+y^2=1 でx^2+y^2=1があるからx^2=1ーy^２≧０の条件も入ってくる という理解で合っていますか？ No.14104 - 2011/06/26(Sun) 04:35:41 ☆ Re: / X 横から失礼します。 angelさんのNo.14090,No.14097の回答の >>x^2+y^2=1 ⇔ x^2=1-y^2 ⇒ -1≦x≦1 ですがこれは x^2+y^2=1 ⇔ y^2=1-x^2 ⇒ -1≦x≦1 のタイプミスだと思います。 (文脈から見て-1≦x≦1となる理由を載せたかったと 思われますので) そこを補った上でもう一度ご覧下さい。 >>結局のところ〜という理解で合っていますか？ それで問題ないと思います？。 No.14127 - 2011/07/01(Fri) 11:07:32 ☆ Re: / angel 遅くなって申し訳ありません。また、Xさんフォローありがとうございます。 > -1≦x≦1と -1≦ｙ≦1がごちゃごちゃになっていませんでしょうか？ いいえ。 もともと問い1.は、xの2次方程式の解に対して範囲のチェックを行うかどうかの話なので、-1≦x≦1 ( -1≦y≦1 ではなく ) です。 逆に問い3.は、yの2次方程式の解に対して同じく範囲のチェックを行っている話なので、-1≦y≦1 です。 そこを逆に書いたりはしていないはずですね。 >>>x^2+y^2=1 ⇔ x^2=1-y^2 ⇒ -1≦x≦1 >ですがこれは >x^2+y^2=1 ⇔ y^2=1-x^2 ⇒ -1≦x≦1 >のタイプミスだと思います。 タイプミスではないのですけどね… もっと丁寧に書くなら x^2+y^2=1 ⇔ x^2=1-y^2 ⇒ x^2≦1 ⇔ -1≦x≦1 のことですから。 ※xが焦点になっているので、xを左辺に持ってきているだけのこと ひょっとして x^2+y^2=1 ⇔ x^2=1-y^2 ときたら、次は 1-y^2≧0 ⇔ -1≦y≦1 と来るしかないと思っていたとか？ だとしたら申し訳ないところですが、それはちょっとどうかとも思います。 >>>結局のところ〜という理解で合っていますか？ >それで問題ないと思います？。 その理解に問題はないと思います。 ※ただ、「なぜOK/NG」ではなく、「どの形ならOK/NG」で解釈しているとすると、ちょっと危うい気がします。 No.14138 - 2011/07/02(Sat) 09:21:39

★ (No Subject) / refresh

数列｛a(n)}（n=1,2・・）は連続する三項について a(2n-1),a(2n),a(2n+1)(n=1,2・・・）はいずれも等差数列をなし、 a(2n),a(2n+1),a(2n+2)(n=1,2・・・）はいずれも等比数列を なすという。a(1)=1,a(2)=２のときa(2n)を求めよ。 答え）a(2n)=(n+1)^2/2(n=1,2・・・）であることを数学的帰納法で証明する。 ?T）a(2)=2=(1+1)^2/2によりn=1のときは正しい ?U）n=1,2,・・・,kのとき正しいとすると ・・・（略）・・・ｎ＝ｋ＋１の時も正しい ※a(2k),a(2k-2),・・・,a(4),a(2)の仮定と書いてありました とあるのですがこの帰納法の仕組みが分かりません。 どうぞよろしく御願いします。 No.14076 - 2011/06/24(Fri) 15:15:38 ☆ Re: / X 最初に習う数学的帰納法の考え方は (i)n=1のときの成立を証明 (ii)n=kのときの成立を仮定したとき、n=k+1の成立を証明 この２つにより、n=1,2,…の場合の成立の証明が n=1のときに成立するのでn=2のときも成立する n=2のときに成立するのでn=3のときも成立する … となります。 それに対してこの問題での数学的帰納法の証明方法は (ii)の場合の成立を仮定するnの条件が n=k の場合のみではなく n≦k となるような場合にしてあります。 ((∵)問題の条件でn=2k-1の場合を使う必要があるため) 従ってこれが証明されると n=1の時に成立するのでn=2のときも成立する n=1,2の時に成立するのでn=3のときも成立する n=1,2,3の時に成立するのでn=4のときも成立する … となります。 No.14077 - 2011/06/24(Fri) 18:49:01 ☆ Re: / refresh ありがとうございます。普通の帰納法とは違うということだけは分かりました。 この回答の帰納法は n＝１（?T）→「ｎ＝２、ｎ＝３」→「ｎ＝１，２，３」→・・・の形で全ての自然数ｎをカバーしているかのようですが実は最初の→が言えません。(?U）の議論ではa(2k),a(2k-2)の二つの仮定をしているので最初のｎ＝１だけの用意では?U）が適用できないからです。とあります。これについても詳しく御願いします。まだ、この帰納法の仕組みがよく分からないです。よろしくおねがいします。 No.14086 - 2011/06/25(Sat) 05:33:18 ☆ Re: / シャロン > この回答の帰納法は > n＝１（?T）→「ｎ＝２、ｎ＝３」→「ｎ＝１，２，３」→・・・の形で全ての自然数ｎをカバーしているかのようですが実は最初の→が言えません。(?U）の議論ではa(2k),a(2k-2)の二つの仮定をしているので最初のｎ＝１だけの用意では?U）が適用できないからです。 k=1のとき、a(2k-2)とはつまりa(0)だが、{a(n)}は添え字が1から始まるので、a(0)は定義されないし、 a(0)が仮に定義できたとして、a(1), a(2)から等比数列の漸化式で計算できるか保証されない(あくまで、等比数列の漸化式はn≧1で成り立つことしか仮定されていない)から。 No.14087 - 2011/06/25(Sat) 07:19:33 ☆ 変則的に見える帰納法 / angel Xさんの説明にある > n=1の時に成立するのでn=2のときも成立する > n=1,2の時に成立するのでn=3のときも成立する > n=1,2,3の時に成立するのでn=4のときも成立する というのは、一見変則的に見えますが、これも立派な帰納法です。 ある変数nを含んだ命題をP(n)とします。 良くある帰納法は、 　・P(1)が成立する 　・P(k)⇒P(k+1)も成立する ( P(k)が成立するならば、P(k+1)も成立する ) 　・よって、任意のnに対してP(n)が成立する という形になります。 では、今命題 Q(n) を m≦n⇒P(m) ( n以下の全てのmに対してP(m) ) としてみましょう。 すると、 　・P(1)が成立する 　　⇔ Q(1)が成立する 　　(∵1以下の全てのmに対してP(m)が成立するため ) 　・( m≦k⇒P(m) )⇒P(k+1)が成立する 　　※k以下の全てのmに対しP(m)が成立するならば、P(k+1)も成立する 　　⇔ Q(k)⇒P(k+1)が成立する 　　⇔ Q(k)⇒( Q(k)かつP(k+1) ) が成立する 　　　(∵A⇒B は A⇒(AかつB) と同値のため ) 　　⇔ Q(k)⇒Q(k+1)が成立する 　　　(∵Q(k+1) は、「k+1以下の全てのmでP(m)」なので、 　　　　「k以下の全てのmでP(m)」かつ「P(k+1)」と同値。 　　　　つまり、Q(k+1)⇔Q(k)かつP(k+1) ということで、実はこれはQ(n)に関する帰納法になっていて、「任意のnに対してQ(n)が成立する」ということが言えます。 そうすると、 　任意のnに対してQ(n)が成立する 　⇔ m≦nである任意のm,nの組に対して P(m)が成立する となるので、結局「任意のnでP(n)が成立する」ということと同じことを言っているわけです。 No.14093 - 2011/06/25(Sat) 14:07:33 ☆ 普通の帰納法を使った解法 / angel 今回は、上で説明した「変則的に見える」帰納法を使わなくとも、普通の帰納法で証明することもできます。 まず問題を整理します。 数列b[n], c[n] を、 　b[n]=a[2n-1] 　c[n]=a[2n] として置いた時、a[n]の条件は次のように言い換えられます。 　等差数列条件 … b[n]+b[n+1]=2c[n] 　等比数列条件 … c[n]・c[n+1] = b[n+1]^2 　初期値条件 … b[1]=1, c[1]=2 そうすると、 　b[n]=n(n+1)/2 かつ c[n]=(n+1)^2/2 という命題については、通常の帰納法で証明できます。 で、これは目的である a[2n]=(n+1)^2/2 ( ⇔c[n]=(n+1)^2/2 ) を含んでいるので、もう十分となるわけです。 No.14094 - 2011/06/25(Sat) 14:23:48 ☆ Re: / refresh 回答ありがとうございます。 シャロンさんの説明は何かの理由を教えてくださっているようですが、何の理由を述べているのかよくわかりません。 angelさんの回答も抽象的すぎて私には無理でした。すみません。ちなみに14086の回答はどの部分だったのでしょうか。。 No.14096 - 2011/06/25(Sat) 15:04:13 ☆ 思惑というか / angel > angelさんの回答も抽象的すぎて私には無理でした。 それは申し訳ありません。 まあ、14093の内容については無理しなくても問題はありませんから、気になさらずに。 > ちなみに14086の回答はどの部分だったのでしょうか。。 14093については、 >> まだ、この帰納法の仕組みがよく分からないです。 という14086のコメントに対して、Xさんが14077で挙げた帰納法を別の角度で説明しようとしたものです。 >> 実は最初の→が言えません。 の部分については、私は何も回答していません。 で、14094の別解は14086に対する直接の回答ではありませんが、こっちの方は普通の帰納法なので理解しやすいと思います。( 逆にこれは理解できるまで考えてほしい ) 分かりやすい別解があるなら、難しい模範解答例にこだわる必要はないと、私は思っていますから… ※というか、今回「変則的に見える帰納法」は必要ないでしょうから。 No.14098 - 2011/06/25(Sat) 15:53:27 ☆ Re: / シャロン >(?U）の議論ではa(2k),a(2k-2)の二つの仮定をしているので最初のｎ＝１だけの用意では?U）が適用できないからです。とあります。 「n=kのとき、成り立つ」という仮定で、計算式内にa(2k-2)を使用することになりますが、 では、n=1のときのa(2k-2)ってなに？ どうやって計算するの？ ということです？ No.14099 - 2011/06/25(Sat) 16:17:02

★ (No Subject) / ボールペン

正三角形ABCを正三角形ABCの内部または辺上にある点を中心として一回転させた時の三角形ABCの辺が通過する領域を求めたいのですが、どうやって作図すればよいのでしょうか？作図の方法が知りたいです。よろしく御願いします。 No.14072 - 2011/06/24(Fri) 12:40:33 ☆ Re: / X 中心を取る点をPとします。 例えば辺ABが通過する領域を作図したい場合 (i)点Pが辺AB上にある場合 線分AP,BPの内で長い方を半径とする点Pを中心とする円 を描くと、求める領域はこの円の周及び内部になります。 (ii)点Pが辺AB上にない場合 点Pから辺ABに下ろした垂線の足をQとすると 求める領域は 線分AP,BPの内で長い方を半径とする点Pを中心とする円 と 線分PQを半径、点Pを中心とする円 に囲まれたドーナツ状の領域(境界含む) となります。 辺BC,CAに対しても同様に考えます。 No.14073 - 2011/06/24(Fri) 13:09:38 ☆ Re: / ヨッシー 中心点が辺から離れている場合がイメージ出来れば、 辺上に中心がある場合も、大体想像できるでしょう。 あとは、３辺について同じことを考えれば良いです。 No.14074 - 2011/06/24(Fri) 14:01:01 ☆ Re: / ボールペン 解説有難うございます。解説の内容は理解できました。 しかし、PがAB上にあるにしろ、ないにしろBC,ACの辺も個別に（Pを中心として）回転させるので、ABの通過領域とそれらのBC、ACの通過領域の重複部分こそが求める三角形ABCの辺の通過領域であるわけで、それをどうやって求めるのかが分かりません。 No.14075 - 2011/06/24(Fri) 15:02:58 ☆ Re: / ヨッシー 問題文をそのまま載せてみていただけますか？ 「通過領域の重複部分こそが求める・・・」と読み取れる文章なのか？ また、作図をすれば終わりなのか？半径まで求めるのか？ 中心は、固定されているのか、至る所を動いた末の辺が通った 領域を求めるのか？ 最初の文章では、曖昧な部分があるので。 No.14082 - 2011/06/25(Sat) 01:29:37 ☆ Re: / ボールペン 問題は一辺の長さが２√3の正三角形ABCがある。今、三角形ABCの内部また辺上に点Pをとり、点Pを中心として三角形ABCを一回転させたとき、三角形ABCの辺が通過する部分の面積をS(P)とする。S(P)≦１０πをみたすような点Pの存在範囲の面積を求めよ。というものです。 No.14085 - 2011/06/25(Sat) 04:20:32 ☆ Re: / ToDa 答えて差し上げたいのですが、なぜか7月10日まで答えてはいけないような気がするので、非常に心苦しいのですがそれまでお待ち頂けますでしょうか。 No.14092 - 2011/06/25(Sat) 13:33:09

★ 高2、指数関数 / 推薦とる！

√(1/2)、^2√(1/4)、^4√(1/8) この3つを数の小さい順に並べなさい。 考え方がわからないです！ よろしくお願いします！ No.14067 - 2011/06/23(Thu) 23:22:13 No.14068 - 2011/06/23(Thu) 23:23:01 ☆ Re: 高2、指数関数 / 推薦とる！ すみません！削除の仕方がわからず、3つ連投になってしまいました！ここに答えてくださると嬉しいです！ No.14069 - 2011/06/23(Thu) 23:24:42 ☆ Re: 高2、指数関数 / シャロン > √(1/2)、^2√(1/4)、^4√(1/8) ^4√は4乗根の意味ですね？ ネット上では、[4]√ のように書くことが一般的なので、この回答では[4]√のように書くことにします。 指数に関するいくつかの計算法則を確認しましょう。 1/a=a^(-1)、(a^b)^c=a^(bc)、[n]√a=a^(1/n) また、a＞1では、b＜c ⇔ a^b＜a^cです。 それぞれが2の何乗になるかを考えましょう。 No.14070 - 2011/06/24(Fri) 01:17:46 ☆ Re: 高2、指数関数 / らすかる 全部４乗するという手もありますね。 No.14071 - 2011/06/24(Fri) 07:19:11

★ お願いします / めぐ

はじめまして高３です。この問題の解説をお願いいたします。 実数a,bでa^2+b^2＞0として、変数θが連立不等式 asinθ+bcosθ≧0,acosθ-bsinθ≧0 を満たす範囲にあるとき、sinθの最大値を求めよ。 No.14064 - 2011/06/23(Thu) 20:41:09 ☆ Re: お願いします / ヨッシー a/√(a^2+b^2)＝cosφ b/√(a^2+b^2)＝sinφ　とおくと、 　asinθ＋bcosθ＝√(a^2+b^2)sin(θ＋φ)≧０ 　acosθ−bsinθ＝√(a^2+b^2)cos(θ＋φ)≧０ より、０≦θ＋φ≦π/2 　−φ≦θ≦π/2−φ ０≦−φ≦π/2　のとき、θ＝π/2 のとき　最大値　１ π/2＜−φ≦5π/4 のとき、θ＝−φ のとき 　最大値　sin(−φ)＝−b/√(a^2+b^2) 5π/4＜−φ＜2π　のとき、θ＝π/2−φ　のとき 　最大値　sin(π/2−φ)＝cosφ＝a/√(a^2+b^2) まとめると、 No.14065 - 2011/06/23(Thu) 22:20:01

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