ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / バスケ男

男子三人、女子三人が一列に並ぶとき次の並び方は何通りあるか？
１、男女が交互に並ぶ。
２、両端のうち少なくとも一方に男子が並ぶ。
３女子が隣会わないように並ぶ。

よろしくお願いします

No.14982 - 2011/09/12(Mon) 21:49:39

☆ Re: / らぁ

> １、男女が交互に並ぶ。
１番目が男とすると、男が入るのは奇数番目の３ヶ所、女は偶数番目の３ヶ所なので、3!×3!とおり。
１番目が女の場合も同様に3!×3!とおり。
したがって、求める並び順は3!×3!×2=72通り
> ２、両端のうち少なくとも一方に男子が並ぶ。
全てのパターンから両端が女の場合を引けばよい。
全パターンは6!とおり。
１番目に並ぶ女の選び方が3とおり、6番目に並ぶ女の選び方は2とおり、残り4人が並ぶ並び方が4!とおりなので、両端が女になるパターンは3×2×4!とおり。
よって、求めるパターン数は6!-3×2×4!=576とおり。

> ３女子が隣会わないように並ぶ。
・男女が交互に並ぶ。
・両端が女子で、残り一人の女子が3番目か4番目に並ぶ。
のいずれかである。
後者は、１番目に並ぶ女の選び方が3とおり、6番目に並ぶ女の選び方は2とおり、残りの女が３番目か４番目のどちらかになるかの2とおり、さらに、男３人の相対的な並び順が3!とおりあるので、3×2×2×2!=72とおり。
よって、求めるパターン数は、72+72=144とおり。

No.14995 - 2011/09/13(Tue) 09:05:17

★ 数A / あ

{3n-2│nは1以上5以下の整数}
解説お願いします｡

No.14980 - 2011/09/12(Mon) 19:11:36

☆ Re: 数A / らぁ

このような表現は、集合の元をすべて列挙するのでなく、ある性質を示してそのような性質を持つ元すべてからなる集合を表している。

この例では、3n-2の形をした数すべてからなる集合(但し、nは1以上5以下の整数)ということなので、この集合は、3×1-2、3×2-2、3×3-2、3×4-2、3×5-2、つまり、1,4,7,10,13がその元のすべてであるような集合、言い換えれば{1,4,7,10,13}と同じ集合を表している。

#この例のように元の数が5つとかであれば、減をすべて列挙するような方法でも集合をあらわせるが、たとえば、「1000以下の3の倍数の集合」のように元が非常に多い場合や、「正三角形全体からなる集合」「有理数全体からなる集合」のように元の数が有限でない場合には、すべてを列挙して集合を表すことなどできないので、性質を記述して表す方法もある。

No.14981 - 2011/09/12(Mon) 20:30:55

☆ Re: 数A / あ

わかりやすい説明ありがとうございます。
おかげで理解出来ました｡

No.14983 - 2011/09/12(Mon) 21:58:10

★ 三角関数です　浪人です / ponta28

０＜＝θ＜２πをみたすθと正の整数ｍに対して
ｆｍ（θ）をつぎのように定める
ｆｍ（θ）＝Σ（ｋ＝０→ｍ）sin（θ＋πｋ/3）
?T、θが０＜＝θ＜２πの範囲を動くときｆ４（θ）の
　　最大値を求めよ
?U、ｍがすべての正の整数を動き、θが０＜＝θ＜２π
　　の範囲を動くときｆｍ（θ）の最大値を求めよ

お願いします

No.14966 - 2011/09/10(Sat) 21:09:02

☆ Re: 三角関数です　浪人です / ヨッシー

I.
　f4(θ)＝sinθ＋sin(θ＋π/3)＋sin(θ＋2π/3)＋sin(θ＋π)＋sin(θ＋4π/3)
において、
　sin(θ＋π)＝－sinθ
　sin(θ＋4π/3)＝－sin(θ＋π/3)
なので、
　f4(θ)＝sin(θ＋2π/3)
θ＝11π/6 のとき、f4(θ)の最大値１となります。

II.
ｍ＝5,11,17 のように、ｍ＝６ｎ－１　（ｎは正の整数）
のとき、fm(θ)＝０となり、ｆ(m+6)(θ)＝fm(θ) が成り立ちます。
fm(θ)が最大になるのは、
　sinθ＞０、sin(θ＋π/3)＞０、sin(θ＋2π/3)＞０のときの
f2(θ) に現れます。
f8(θ)、f14(θ) なども同じ値になりますが、f2(θ) について
調べれば十分です。
φ＝θ＋π/3 とおくと、
　f2(θ)＝sin(φ－π/3)＋sinφ＋sin(φ＋π/3)
　　＝2sinφ
よって、θ＝π/6 のとき、fm(θ) は、m=6n+2（ｎは0以上の整数)
のときに最大値２をとります。

No.14967 - 2011/09/10(Sat) 21:39:30

☆ Re: 三角関数です　浪人です / angel

角が等差数列をなすsinやcosの和は、規則性から計算することができます。
ネタとして使うのは積和の公式、今回はコレ。
　sinθsinφ = 1/2・( cos(θ-φ) - cos(θ+φ) )
この公式を使うと、
　sin(θ+kα)sin(α/2)
　= 1/2・( cos(θ+(k-1/2)α) - cos(θ+(k+1/2)α )
であることが分かります。ということは、例えば3項分の和を考えると、
　( sinθ + sin(θ+α) + sin(θ+2α) )sin(α/2)
　= sinθsin(α/2) + sin(θ+α)sin(α/2) + sin(θ+2α)sin(α/2)
　= 1/2・( cos(θ-1/2・α) - cos(θ+1/2・α) )
　　+ 1/2・( cos(θ+α-1/2・α) - cos(θ+α+1/2・α) )
　　+ 1/2・( cos(θ+2α-1/2・α) - cos(θ+2α+1/2・α) )
　= 1/2・( cos(θ-1/2・α) - cos(θ+1/2・α) + cos(θ+1/2・α) - cos(θ+3/2・α) + cos(θ+3/2・α) - cos(θ+5/2・α) )
　= 1/2・( cos(θ-1/2・α) - cos(θ+5/2・α) )
　= sin(θ+α)sin(3/2・α)
というように、うまい具合にプラスとマイナスの項がほとんど消えます。なお、最後の変形は積和の逆、つまり和積ですね。
結局、
　sinθ + sin(θ+α) + sin(θ+2α) = sin(θ+α)sin(3/2・α)/sin(α/2)
ということが分かります。

同じように計算すれば、一般に
　Σ[k=0,m] sin(θ+kα)
　= sin(θ+(m-1)α/2)sin((m+1)α/2)/sin(α/2)
となります。
※これが最大になることを考えるなら、両方のsinの項が共に1もしくは-1、ということですね。

No.14970 - 2011/09/11(Sun) 01:44:01

☆ Re: 三角関数です　浪人です / ponta28

ありがとうございました

No.14971 - 2011/09/11(Sun) 09:27:27

★ 中間値の定理 / kojo

nを自然数とし、f(x)=cos^3x-3nsin^2x+2とする。
(1)ｆ(x)=0,0<x<π/2を満たす実数ｘがただ一つ存在すること
を示せ。
(2)(1)の条件を満たすｘをαとするとき、極限値lim(n→∞）
ｎα＾２を求めよ。

お願いします。

No.14964 - 2011/09/10(Sat) 15:26:34

☆ Re: 中間値の定理 / らぁ

まず(1)

(d/dx)f(x) = 3{(cosx)^2}sinx-3n･2sinx･cosx
= 3cosx･sinx･(cosx-2n)

区間0＜x＜π/2で、cosx＞0、sinx＞0、cosx-2n＜0より、(d/dx)f(x)＜0
∴f(x)は区間0＜x＜π/2で狭義単調減少

f(x)は区間0＜x＜π/2で連続で、
f(0)=1-3n･0+2=3
f(π/2)=0-3n･1+2=2-3n＜0 (∵n≧1)
より、中間値の定理より、f(α)=0を満たすx (0＜x＜π/2)がすくなくとも一つ存在する。

いま、そういうxのうち最小のものをαとすると、α＜β＜π/2をみたすβでは、f(β)＞0である。(∵狭義単調減少)
したがって、0＜x＜π/2にはf(x)=0を満たすxはαしかない。

∴f(x)=0、0<x<π/2を満たす実数ｘはただ一つだけ存在する。

No.14965 - 2011/09/10(Sat) 17:47:05

☆ Re: 中間値の定理 / らぁ

> いま、そういうxのうち最小のものをαとすると、α＜β＜π/2をみたすβでは、f(β)＞0である。(∵狭義単調減少)

訂正

…α＜β＜π/2をみたすβでは、f(β)＜0である。

No.14968 - 2011/09/10(Sat) 22:04:11

★ (No Subject) / 桜

1辺の長さが3の正三角形ＡＢＣの辺ＡＢ上にＡＤ=2となる点Ｄを，またＡＣ上に点Ｅをとる。
線分ＤＥに関して△ＡＤＥを折り返したところ，頂点Ａが辺ＢＣ上の点Ｆの位置にきた。
このとき，次の問いに答えよ。

(1)△ＢＦＤ∽△ＣＥＦであることを証明せよ。
(2)(1)で証明したことから，ＢＦ=ｘ，ＡＥ=ｙとして，ｙをｘの1次式で表せ。またＣＥをｘの1次式で表せ。
(3)ＢＦの長さを求めよ。

よろしくお願いします?ﾗ?ﾗ

No.14956 - 2011/09/09(Fri) 09:37:49

☆ Re: / ヨッシー

(1)
∠ＢＤＦ＝ａ、∠ＣＥＦ＝ｂ　とおくと、
　ａ＋ｂ＝120°
が言えれば、相似であると言えます。
図において、●＋○＝120°
　●＋●＋ａ＝180°
　○＋○＋ｂ＝180°
であり、
　２(●＋○)＋ａ＋ｂ＝360°
　ａ＋ｂ＝360°－２×120°＝120°
となり、
　∠ＤＦＢ＝∠ＣＥＦ＝ｂ
よって、２角相等より
　△ＢＦＤ∽△ＣＥＦ
が言えます。

(2)
ＡＤ＝ＤＦ＝２　であることと、(1)の結果から、
　ＢＤ：ＤＦ＝ＣＦ：ＥＦ＝１：２
よって、ＡＥ＝ＥＦ＝ｙ　から
　ＦＣ＝ｙ／２
となり、　ｘ＋ｙ／２＝３(以下略)
ＣＥを・・・も（略）です。

(3)△ＢＤＦと△ＣＦＥの相似比は、
　ＢＤ：ＣＦ＝１：y/2＝１：(3-x)
なので、
　ＣＥ＝ＢＦ×(3-x)＝x(3-x)
これが、(2) で求めたＣＥと等しいので、
　x(3-x)＝・・・
これを解いて、ＢＦ＝ｘ＝(１＋√13)/2

No.14958 - 2011/09/09(Fri) 10:33:19

★ 数学の質問です浪人です / ponta28

数学の質問です浪人です

x+y-1/(x-y)=y+z-1/(y-z)=z+x-1/(z-x)が成り立つとき

?@、ｘ＾２＋ｙ＾２＋ｚ＾２の値を求めよ

?A、１/（ｘ－１/２）＾２＋１/（ｙ－１/2)^2+1/(z-1/2)^2の値を求めよ

よろしくお願いします

No.14950 - 2011/09/08(Thu) 21:19:02

☆ Re: 数学の質問です浪人です / ヨッシー

x+y-1/(x-y)=y+z-1/(y-z)=z+x-1/(z-x)が成り立つような
x,y,z は、ないと思いますが。

出典はなんですか？

No.14953 - 2011/09/09(Fri) 00:32:25

☆ Re: 数学の質問です浪人です / angel

ひとまず、(x+y-1)/(x-y)=(y+z-1)/(y-z)=(z+x-1)/(z-x) と解釈します。でないと、例えば (x+y)-(1/(x-y))=… だと解がないため。
また、x,y,zは複素数ですね。実数範囲だとこの条件を満たす組み合わせはありませんから。なお、前提として x≠y, y≠z, z≠x です。
※具体的には、x,y,z=1/2+α,1/2+αω,1/2+αω^2 ( αは0でない複素数、ωは1の三乗根 )

さて。こういう場合は、～=～=～=k と置くのが良くあるお話で、そうすると ( 今回 k は複素数 )
　x+y-1 = k(x-y)
　y+z-1 = k(y-z)
　z+x-1 = k(z-x)
で、辺々足すとうまい具合に k が消えて x+y+z=3/2 が求まる、と。ちなみにここで k≠0 も確かめておきましょう。ii で使いますので。
しかし、これだけでは i の答を求めるには不足です。もう一工夫。
例えば、一番上の式 x+y-1 = k(x-y) と x+y+z=3/2 から、
　1/2-z = k(x-y)
と変形し、さらに辺々 (x+y) をかけます。すると、
　1/2・(x+y) - (yz+zx) = k(x^2-y^2)
同じ変形を3通り分作って辺々足すと、今度は xy+yz+zx が分かるようになっています。
最後に、x^2+y^2+z^2 = (x+y+z)^2-2(xy+yz+zx) を計算して終わり。

ii に関しては計算が面倒ですが、こういうのは大抵、色々打ち消しあって 0 になるものです。
i の途中に出てきた 1/2-z = k(x-y) を使います。そうすると、例えば 1/(z-1/2)^2=1/(k^2(x-y)^2) です。( ここで k≠0 に触れておく )
後は通分して分子をひたすら計算する、と。
素直に通分すると、最高4次式になってしまい大変なので、うまく次数を下げましょう。例えば
　(x-y)^2 = x^2+y^2-2xy = (x^2+y^2+z^2)-z^2-2xy
とすると、x^2+y^2+z^2 は数字に変わるので、文字が減ることになります。

もし文字式の計算が面倒であれば、x,y,z を求めてしまってから代入しても良いです。x+y+z, xy+yz+zx が分かっているので、xyz を適当な文字としておいてしまえば、解と係数の関係から、x,y,z を解とする3次方程式が割り出せます。

No.14954 - 2011/09/09(Fri) 00:59:15

☆ Re: 数学の質問です浪人です / ponta28

すいません間違えてました
有難うございました

No.14961 - 2011/09/09(Fri) 17:40:57

☆ 補足 / angel

iiですが、z-1/2=k(x-y) の変形をしない方が楽なようですね。考えから漏れていました。すいません。

具体的には次のような計算になります。
iを解いた時点で、x+y+z=3/2, xy+yz+zx=3/4, x^2+y^2+z^2=3/4 が分かっているという前提です。
まず、通分したらどうなるかを、分数の一つで見てみます。( 他は対称性から同じ形になるので、一つだけで楽をする )

　1/(z-1/2)^2
　= (x-1/2)^2(y-1/2)^2/( (x-1/2)^2(y-1/2)^2(z-1/2)^2 )

この分子は、

　(x-1/2)^2(y-1/2)^2
　=(x^2-x+1/4)(y^2-y+1/4)
　=x^2y^2-(x^2y+xy^2)+xy+1/4・(x^2+y^2)-1/4・(x+y)+1/16
　=x^2y^2-xy(x+y-1)+1/4・(x^2+y^2)-1/4・(x+y)+1/16
　=x^2y^2-xy(1/2-z)+1/4・(x^2+y^2)-1/4・(x+y)+1/16　※
　=x^2y^2-1/2・xy+xyz+1/4・(x^2+y^2)-1/4・(x+y)+1/16

とまとめることができます。なるべく対称式を使えるようにまとめるのがコツ。なお、※の部分では x+y+z=3/2 より x+y-1=1/2-z を適用して次数を下げています。

では全体の計算を。

　(与式)
　= ( (x-1/2)^2(y-1/2)^2 + (y-1/2)^2(z-1/2)^2 + (z-1/2)^2(x-1/2)^2 )/( (x-1/2)^2(y-1/2)^2(z-1/2)^2 )

分母の部分は置いておいて、後は分子のみ計算します。

　(分子)
　= (x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)-1/2・(xy+yz+zx)+3xyz+1/2・(x^2+y^2+z^2)-1/2・(x+y+z)+3/16
　= (xy+yz+zx)^2-2xyz(x+y+z)-1/2・(xy+yz+zx)+3xyz+1/2・(x^2+y^2+z^2)-1/2・(x+y+z)+3/16
　= 9/16-3xyz-3/8+3xyz+3/8-3/4+3/16 = 0

値の定まっていない xyz が出てくるので不安になりますが、最終的には全部消えてめでたく 0 になります。
対称性を利用すると、全部わざわざ書かなくてもすむので楽です。
例えば +1/4・(x^2+y^2) の項であれば、3個の分数の分を足すと、
　+1/4・(x^2+y^2)+1/4・(y^2+z^2)+1/4・(z^2+x^2)
　= +1/2・(x^2+y^2+z^2)
という具合ですね。

No.14962 - 2011/09/10(Sat) 09:44:31

☆ 別解 / angel

えっと、ii について、計算の楽な別解がありました。

まず、i の過程より x+y+z=3/2, xy+yz+zx=3/4 が分かっています。これより、
　・(x-1/2)+(y-1/2)+(z-1/2)
　　= (x+y+z)-3/2
　　= 0
　・(x-1/2)(y-1/2)+(y-1/2)(z-1/2)+(z-1/2)(x-1/2)
　　= (xy+yz+zx)-(x+y+z)+3/4
　　= 0
ということで、複素数 a を a=(x-1/2)(y-1/2)(z-1/2)≠0 と置くと、x-1/2,y-1/2,z-1/2 はsに関する3次方程式 s^3-a=0 の相異なる3解です。

では次に、α=1/(x-1/2), β=1/(y-1/2), γ=1/(z-1/2) について考えてみます。
こう置くことで、求める式は α^2+β^2+γ^2 と表すことができます。
そしてこれらは、上で挙げた3次方程式の解の逆数なので、tの方程式 1/t^3-a=0 の相異なる3解です。( t=1/s として s を消去 )
するとこちらも3次方程式であり、整理すると t^3-1/a=0 です。
よって、解と係数の関係により、
　α+β+γ=0
　αβ+βγ+γα=0
　αβγ=1/a … 使わないけど一応
最終的に、
　(与式) = α^2+β^2+γ^2 = (α+β+γ)^2-2(αβ+βγ+γα) = 0

No.14969 - 2011/09/10(Sat) 23:15:59

★ 数学　高3 / んて

平面上に原点Oを中心とする半径1の円K1を考える
K1の直径を1つとり、その両端をA、Bとする
円K1の周上の任意の点Qに対し、線分QAを1:2の比に内分する点をRとする
いま、kを正の定数として
→p＝→AQ＋kBR
とおく。ただし、Q＝AのときはA＝Rとする
また、→OA＝→a 、→OQ＝→qとおく

点QがK1上の周上を動くとき、→OP＝→pとなるような点Pが描く図形をK2とする。K2は円であることを示し、中心の位置ベクトルと半径を求めよ
OP→＝(4k/3 － 1)a→＋(2k/3 ＋ 1)q→

解答ではここから円のベクトル方程式の形にするために(4k/3 － 1)a→を左辺に移項しているのですが

どうして(2k/3 ＋ 1)q→じゃだめなんでしょうか？

自分が思ったのは｜OP→ －○→｜＝ｒという円のベクトル方程式があるとき○→にあたる部分の点は描かれる円の中心にあたる部分なので変数ではなく固定数でないといけない。今、問題文に点QはK１上を動くとあるのでこれを中心の部分にもってくるとおかしくなる(?)から駄目なんじゃないか？ということです。
自分でも何をいってるのかよく分かってないです＞＜

数学は超がつくほど苦手なので誰か分かる方いましたら教えてください。よろしくおねがいします。

補足仮に|OP→-(2k/3 ＋ 1)q→|＝|(4k/3 － 1)a→|とすると

kは正の定数なので右辺の|(4k/3 － 1)a→|は
|(4k/3 － 1)a→|＝|(4k/3 － 1)| |a→|
|a→|は1なので良いとしても|4/3k -1|は絶対値の中身が-の場合と＋の場合がありますよね？
これは場合わけ(?)が必要なんでしょうか？
誰かわかるかたおしえてください。おねがいします。

No.14947 - 2011/09/08(Thu) 19:47:24

☆ Re: 数学　高3 / ヨッシー

まず、(4k/3 － 1)ａを移項した後、どうなるかというと、
　|ｐ－(4k/3 － 1)ａ|＝|(2k/3 ＋ 1)ｑ|
になるわけですが、|ｑ|＝１であり、ｋ＞０なので、
　|ｐ－(4k/3 － 1)ａ|＝2k/3 ＋ 1
となります。
ここで、(4k/3 － 1)ａ＝ｄで表させる点をＤとすると、
　|ＤＰ|＝2k/3 ＋ 1
ということになり、点ＰはＤを中心、半径2k/3+1 の円上の点ということになります。

円のベクトル方程式の１つとして、
　|ＡＢ|＝ｒ
のようなものがありますが、これは、Ａが定点で、Ｂが動点
のようなときに使います。
上の場合は、Ｄが定点、Ｐが動点です。

ＰもＱも、左辺に入れてしまうと、どこが中心か定まらなくなります。
上記の、「おかしくなる(?)から駄目なんじゃないか？」は、当たっています。

No.14949 - 2011/09/08(Thu) 20:46:24

★ 直線のベクトルによる表示 / ２

なぜＡ（Ｘ１，Ｙ１）を通りｄ（ｌ、m）に平行な直線の方程式は

m（Ｘ－Ｘ１）－ｌ（Ｙ－Ｙ１）＝０なのですか？

No.14939 - 2011/09/07(Wed) 22:32:47

☆ Re: 直線のベクトルによる表示 / らぁ

> なぜＡ（Ｘ１，Ｙ１）を通りｄ（ｌ、m）に平行な直線の方程式は
>
> m（Ｘ－Ｘ１）－ｌ（Ｙ－Ｙ１）＝０なのですか？

l≠0なら、ベクトルd(l,m)の傾きは、m/lなので、Aを通る直線は、y-y[1]=(m/l)(x-x[1])
変形して、l(y-y[1])=m(x-x[1])
変形して、m(x-x[1])-l(y-y[1])=0

l=0ならdはy軸平行なので、Aを通る直線はx=x[1]
変形して、x-x[1]=0
変形して、m(x-x[1])=0
変形して、m(x-x[1])-l(y-y[1])=0 (∵l=0なので、l(y-y[1])も0。つまり、両辺から0を引いているだけ)

したがって、lの値に関わらず、m(x-x[1])-l(y-y[1])=0と表せる。

No.14940 - 2011/09/07(Wed) 23:22:50

☆ Re: 直線のベクトルによる表示 / ２

なぜベクトルの傾きはm／ｌなのですか？

この場合，１次関数ではなく比例で考えということですか？

No.14941 - 2011/09/07(Wed) 23:55:29

☆ Re: 直線のベクトルによる表示 / ２

なぜ，ｌが０でないときのベクトルdの傾きはm／ｌなのですか？

この場合，１次関数ではなく比例で考えるということですか？

No.14942 - 2011/09/07(Wed) 23:56:58

☆ Re: 直線のベクトルによる表示 / らぁ

> なぜ，ｌが０でないときのベクトルdの傾きはm／ｌなのですか？

方向ベクトルdの始点を原点に固定すると、それは、(0,0)と(l,m)を結ぶ線分と同一視できるよね？

この線分を含む直線の式は、座標のわかっている2点を通るから、y=(m/l)xで、傾きはm/l。

l≠0なら、と断りがあるのは0で割ることはできない、また、y軸平行な直線なのでy=ax+bの形では表せないから。

> この場合，１次関数ではなく比例で考えるということですか？

質問の意味がよくわからない。

No.14943 - 2011/09/08(Thu) 00:32:11

☆ Re: 直線のベクトルによる表示 / ヨッシー

たぶん、一番のポイントは、
　ｄ＝（Ｌ、Ｍ）
の傾きがＭ／Ｌであるということを、理解することと
見受けました。そのためには、傾きの意味から復習が必要です。

傾きは変化の割合とか、ｙ＝ａｘ＋ｂと書いた時のａであるとか
いろいろ言われますが、ひとつの見方として、グラフにおいて、
ｘが１増えたときに、ｙがどれだけ増えるかという量のことと言えます。
図の、？　の部分が傾きの量と一致しますが、これから、
？　はＭ／Ｌであると、わかるでしょう。

※ここでは、ｙ軸に平行な場合（Ｌ＝０）の場合は、考えていません。

No.14944 - 2011/09/08(Thu) 14:43:36

☆ Re: 直線のベクトルによる表示 / ２

らぁさん，ヨッシーさんありがとうございました

No.14963 - 2011/09/10(Sat) 10:13:19

★ 数学?UB / mio

初めて利用させていただきます。現在高校生で微積中心に数?UBの復習をしています。
恥ずかしながら数学が物凄く苦手で、はじめの方から問題に躓いて困っています…;(
良ければどなたか御助力下されば嬉しいです。

(1)放物線y=x^2上の点(p,p^2)における接線の方程式を求めよ。
(2)p>0,q<0のときy=x^2上の点P(p,p^2)における接線とQ(q,q^2)における接線の交点をRとする。
?@点Rの座標をp,qを用いて表せ。
?A∠PRQ=θとするとき、cosθをpとqを用いて表せ。
(3)△PQRの面積Sをpとqを用いて表せ。

という問題なのですが、(2)の?@までは(正解しているか分かりませんが)一応解けているので、?Aと(3)を教えて頂きたいです。
宜しくお願いします。

No.14933 - 2011/09/06(Tue) 22:46:01

☆ Re: 数学?UB / rtz

(2-1)
x座標に(p+q)/2が出てきているなら正解です。

(2-2)
cosθと言えば内積です。
P,Q,Rの座標は分かっていますから、
↑RP・↑RQ＝RP・RQ・cosθが使えますね。

(3)
cosからsinを出してS＝(1/2)RP・RQ・sinθでもいいですし、
http://kaminodrill.sakura.ne.jp/page_180.php
を使うのもよいでしょう。

No.14934 - 2011/09/07(Wed) 00:53:11

☆ Re: 数学?UB / mio

御返事有り難うございます。反応が遅れてすみません；

> x座標に(p+q)/2が出てきているなら正解です。
(p+q)/2 出てきています！正解みたいでほっとしました。有り難うございます！

> ↑RP・↑RQ＝RP・RQ・cosθが使えますね。
せっかく教えて頂いたのにすみません、ここで引っかかってしまいました。
内積の定義通りに当て嵌めていったのですが数字(文字？)がややこしくて上手く計算ができませんでした…。
度々御手数お掛けし申し訳ありませんが此処の途中式を教えて頂けないでしょうか？

(3)は教えていただいたサイト様を参考にして計算したところ4分の云々とあまり綺麗な答えにならなかったのですが、そういうものなのでしょうか？(妙な質問ばかりすみません；；)

No.14955 - 2011/09/09(Fri) 03:41:48

☆ Re: 数学?UB / ヨッシー

ＲＰ＝((p-q)/2, p(p-q))＝(p-q)(1/2, p)
ＲＱ＝((q-p)/2, q(q-p))＝(p-q)(-1/2, -q)
で、（中略）
　cosθ＝(-1/4－pq)/√｛(1/4＋p^2)(1/4＋q^2)｝
となります。

紹介されたサイトの方法だと、
　Ｓ＝(p-q)^2|(1/2)×(-q)－p×(-1/2)|/2
　　＝(p-q)^3/4

sinθに直す方法だと
　cos^2θ＝(1/4＋pq)^2／(1/4＋p^2)(1/4＋q^2)
　　＝(p^2q^2＋pq/2＋1/16)/(p^2q^2＋p^2/4＋q^2/4＋1/16)
なので、
　sin^2θ＝１－cos^2θ
　　＝(p^2/4＋q^2/4－pq/2)/(p^2q^2＋p^2/4＋q^2/4＋1/16)
　　＝(p-q)^2/4(p^2q^2＋p^2/4＋q^2/4＋1/16)
となり、
　sinθ＝(p-q)/2√{(1/4＋p^2)(1/4＋q^2)}
これと
　ＲＰ＝(p-q)√(1/4+p^2)
　ＲＱ＝(p-q)√(1/4+q^2)
より
　Ｓ＝(p-q)^3/4
となります。

No.14957 - 2011/09/09(Fri) 09:59:08

☆ Re: 数学?UB / mio

御礼が毎回遅れてしまい申し訳ありません。。(＞＜；)

ご丁寧に有り難うございます。参考にさせていただきました。
御蔭様で途中計算で幾つかミスしていることに気が付けました。
解きなおし、最後まで答えを出すことができたのでとても嬉しかったです。
初歩から躓くようなレベルなので、また何度も質問させていただくと思いますが良ければその際もよろしくお願いいたします。
お二人ともご助力有り難うございました！

No.14974 - 2011/09/11(Sun) 20:06:13

★ (No Subject) / ２

Ｙ＝－３Ｘ＾４＋４Ｘ＾３の増減，極値を求めグラフを書け

なぜ０が極小値にならず極小値がないのかよくわからないです

No.14932 - 2011/09/06(Tue) 22:09:21

☆ Re: / らぁ

極小とは、イメージでいえば、グラフがその点で'谷底'になっているのが極小です。

つまり、右下がりになっていたのが右上がりに変わるとき、さらに言い換えれば、グラフの傾き(=微分係数)が負から正に変わるときが、極小です。

dY/dX = -12X^3+12X^2 = -12(X^2)(X-1)

ここでX=0の前後のdY/dXの符号は、X＜0でも0＜X(＜1)でも正ですから、X=0では'谷底'ではなく、階段の'踊り場'のような状態です。

#微分係数が0であることと、その点で極値をとることとは、同じではありません。
#f(x)=x^3では、f'(0)=0ですがx=0では極大でも極小でもありません。
#また、g(x)=|x|は、x=0で極小(かつ最小)値0をとりますが、この函数はx=0で微分可能ではありませんからg'(0)は定義されません。

##ただし、函数がある点で微分可能かつそこで極値をとるなら、その函数のその点での微分係数は0となります。

No.14935 - 2011/09/07(Wed) 06:48:43

☆ Re: (No Subject) / ２

ありがとうございます

No.14938 - 2011/09/07(Wed) 22:27:23

★ (No Subject) / KEN

f(x)＝x^2+(2a+7)x+4a+10(ただし,aは定数)がある。
(1) 方程式f(x)＝0の解はx＝アイ,ウエa-オ
(2) 不等式f(x)＜0の解は
a＝カキ/クのとき,解なし。
a＞カキ/クのとき,ケである。
ただし,p＝アイ,q＝ウエa-オである。
(3) a＜カキ/クとする。
x^2＞9を満たすすべてのxに対してf(x)＞0となる。
このときaのとり得る値の範囲は、
コサ≦a＜カキ/ク
である。

ア～コの解き方を教えてください、お願いします。

No.14928 - 2011/09/05(Mon) 19:03:36

☆ Re: (No Subject) / 三毛猫

まず(1)は、
与式にx＝-2を代入するとf(x)＝0が成り立つので、
因数分解して、
(x+2)(x+2a+5)となり、
x＝-2,-2a-5となる。…アイウエオ

(2)は、
f(x)＜0より、
y＝(x+2)(x+2a+5)＜0
?@-2＜-2a-5のとき、つまりa＜-3/2のとき
-2＜x＜-2a-5
?A-2＝-2a-5のとき、つまりa＝-3/2のとき
解なし…カキク
?B-2a-5＜-2のとき、つまりa＞-3/2のとき
-2a-5＜x＜-2
であるので、
ケは、q＜x＜pである。
(このとき、?@?A?Bのときのグラフを書くと分かりやすい。)

(3)は、
a＜-3/2として、
x^2＞9を満たすすべてのxに対してf(x)＞0となるのは、
(1)(2)を活用して、
aの範囲は、
-4≦a＜-3/2…コサ

となります。

No.15009 - 2011/09/13(Tue) 18:46:30

★ (No Subject) / KEN

2次関数y＝ax^2+bx+c(a,b,cは定数)のグラフをCとする。
Cは,2点(-2,-3)、(2,13)を通っている。
このとき、b＝ア,c＝イウa+エである。
(1) Cとy軸との交点の座標が(0,-3)のとき、
a＝オ,c＝カキである。
このとき、Cの頂点は点(クケ,コサ)であり、
Cがx軸から切り取る線分の長さは√シスである。
(2) Cが点(-1,7)を通るとき、
a＝セソ,c＝タチである。
このとき、Cをx軸に関して対称移動したグラフの方程式は
y＝ツx^2-テx-トナ
であり、Cをy軸に関して対称移動したグラフの方程式は
y＝ニヌx^2-ネx+ノハ
である。

ア～ハの解き方を教えてください、お願いします。

No.14927 - 2011/09/05(Mon) 18:51:13

☆ Re: / ＿

勉強熱心なのは良いことなのでしょうが、せめてご自身が以前に質問したことはきちんと解決してからにしましょうね。

で、たとえば最初のア～エなどは与えられた値を代入するだけなのですが、そこから分からないのでしょうか？
どこまでを考えて、どこからかが分からないのかをきちんと書くようにしましょう。

No.14929 - 2011/09/05(Mon) 19:10:57

☆ Re: (No Subject) / 三毛猫

まず、ア～エですが、代入して解いてください。
解くと、
b＝4,c＝-4a+5が出ます。

b＝4,c＝-4a+5をy＝ax^2+bx+cに代入して
y＝ax^2+4x-4a+5…?@
(0,-3)を?@に代入して解くと、
a＝2が出て、
それをc＝-4a+5に代入すると、
c＝-3が出ます。
よって、
y＝2x^2+4x-3
＝2(x+1)^2-5
から、Cの頂点は(-1,-5)となる。
Cがx軸から切り取る線分の長さは、
2x^2+4x-3＝0を解の公式より、
x＝(-2±√10)/2
より、
大きい方から小さい方を引いて、
(-2+√10)/2-｛(-2-√10)/2｝＝√10
となります。

(-1,7)を?@に代入して解くと、
a＝-2が出て、
それをc＝-4a+5に代入して
c＝13が出ます
よって、
y＝-2x^2+4x+13となり、
x軸に関して対称移動なので、
yを-yにして、
-y＝-2x^2+4x+13
y＝2x^2-4x-13
となり、
y軸に関して対称移動なので、
xを-xにして、
y＝-2x^2-4x+13
となります。

No.14952 - 2011/09/08(Thu) 23:21:34

★ (No Subject) / shun

1辺の長さaの正方形ABCDの辺AB,BC,CD,DA上に、それぞれ点E,F,G,HをAE=BF=CG=DHとなるようにとる。正方形EFGHの面積の最小値と△AEHの内接円の半径rの最大値を求めよ。

No.14924 - 2011/09/05(Mon) 16:39:49

☆ Re: / ヨッシー

AE=BF=CG=DH=x (0≦x≦a) とします。
正方形ＥＦＧＨの面積Ｓは、
　正方形ＡＢＣＤ－４×△ＡＥＨ
で表されるので、
　Ｓ＝ａ^2－4x(a-x)/2
　　＝2x^2-2ax＋a^2
　　＝2(x-a/2)^2＋a^2/2
より、ｘ＝a/2 のとき、最小値 a^2/2

No.14926 - 2011/09/05(Mon) 18:23:52

☆ Re: / shun

ありがとうございます。

半径ｒの最大値についても、どなたか解答していただけますか。よろしくお願いします。

No.14930 - 2011/09/06(Tue) 13:48:23

☆ Re: / ヨッシー

直角三角形の場合、斜辺をｄ，他の辺をｂ，ｃとすると、
内接円の半径ｒは
　ｒ＝(ｂ＋ｃ－ｄ)／２
で表されます。よって、上の問題の場合、
　AE=BF=CG=DH=x (0≦x≦a)
とすると、
　２ｒ＝ｘ＋（ａ－ｘ）－√{ｘ^2＋(ａ－ｘ)^2}
　　＝ａ－√(２ｘ^2－２ａｘ＋ａ^2)
となり、２ｘ^2－２ａｘ＋ａ^2 が最小の時に、ｒは最大になります。
　２ｘ^2－２ａｘ＋ａ^2＝２(ｘ－a/2)^2＋a^2/2
より、ｘ＝a/2 のとき、
　２ｒ＝ａ－ａ/√2＝(√2－１)ａ/√2
　ｒ＝(√2－１)ａ/2√2
が、最大値となります。

No.14936 - 2011/09/07(Wed) 13:50:05

☆ Re: / ヨッシー

上の記事の、
　ｒ＝(ｂ＋ｃ－ｄ)／２
は、下の図で示すことが出来ます。
直角三角形ＡＢＣにおいて、Ａ，Ｂ，Ｃから内接円の接点までの
長さを、ｓ，ｔ，ｒとすると、ｒが内接円の半径に当たります。
　ＡＣ＋ＢＣ＝２ｒ＋ｓ＋ｔ
であり、これから、ＡＢ＝ｓ＋ｔを引くと、
　ＡＣ＋ＢＣ－ＡＢ＝２ｒ
となります。

No.14937 - 2011/09/07(Wed) 13:56:25

★ (No Subject) / KEN

関数y＝4sinxcosx＋3cos^2x(0≦x≦π/2)がある。
yをsin2x、cos2xを用いて表すと、
y＝アsin2x＋イ/ウcos2x＋エ/オ
であり、さらに、
y＝カ/キsin(2x＋A)＋ク/ケ
と変形できる。
ただし、Aは0＜A＜π/2、sinA＝コ/サ、cosA＝シ/スを満たす角である。
0≦x≦π/2より、yの最大値はセ、最小値はソであり、
yが最小値をとるときのxの値はπ/タである。
また、y＝7/2であるときのxの値のうち、大きい方はπ/チである。

ア～チの解き方を教えてください、お願いします。

No.14920 - 2011/09/04(Sun) 17:55:31

☆ Re: / ヨッシー

一度に全部は無理なので、まず、
　sin2x＝2sinxcosｘ
　cos2x＝2cos²x－1
を使って、
　y＝アsin2x＋イ/ウcos2x＋エ/オ
を出すとこまでをやってみましょう。

No.14922 - 2011/09/04(Sun) 18:05:31

☆ Re: (No Subject) / 三毛猫

y＝4sinxcosx+3cos^2x(0≦x≦π/2)
sin2x＝2sinxcosx,
cos2x＝2cos^2x-1より
y＝2sin2x+3/2(2cos^2x-1+1)
　＝2sin2x+3/2cos2x+3/2
また、合成すると、
y＝5/2sin(2x+α)+3/2
sinα＝3/5,cosα＝4/5
0≦x≦π/2より
0≦2x≦π
α≦2x+α≦π+α
-3/5≦sin(2x+α)≦1
-3/2≦5/2sin(2x+α)≦5/2
0≦5/2sin(2x+α)+3/2≦4
よって、最大値4,最小値0
最小値をとるとき、
2x+α＝π+α
x＝π/2
y＝7/2のとき、
5/2sin(2x+α)+3/2＝7/2
sin(2x+α)＝4/5
2x+α＝π/2+α
x＝π/4

No.14951 - 2011/09/08(Thu) 22:52:59