aを実数の定数とし、座標空間内で、２点Ａ(0,2,1)、Ｂ(1,1,a+1)を通る直線をlとする。
（１）lがx軸と交わる時、aの値とその交点の座標を求めよ。
（２）aの値が（１）で求めた値と異なるとする。l上の点Ｐ(x,y,z)からx軸に下ろした垂線の足をＱとするとき、線分ＰＱの長さをxで表せ。
（３）（２）のとき、Ｐがl上を動く時の線分ＰＱの長さの最小値を求めよ。
（１）ｌ：x=2-y=(z-1)/a
ｘ軸と交わるときy＝ｚ＝０よりｘ＝２＝-1/a
よってa=-1/2、交点は（2，０，０)・・（答え？）
（２）↑OQ=(s,0,0),↑AB＝(1,-1,a)より↑OP=(t,2-t,1-at)
∴↑QP=(-s+t,2-t,1+at)
↑OQ⊥↑QPより↑OQ・↑QP＝0⇔ｓ＝０、ｔ＝ｓ
∴↑QP＝(0,2-s,1+as)
↑QPのｘ成分が０よりQ,Pのｘ座標は等しいので
∴↑QP＝(0,2-ｘ,1+aｘ)と書ける。
∴QP=√｛（２-x)^2+(1+ax)^2｝=√｛(a^2+1)x^2+(2a-4)x+5｝・・・（答？）
（３）↑QP⊥↑AB⇔(0,2-s,1+as)・(1,-1,a)=0
⇔ｘ＝(2-a)/(1+a^2)
これを（２）の結果に代入して
QP^2=(略）＝(2a+1)^2/(a^2+1)＝ｆ(a)
(f'(a)を計算して）f'(a)の符号は-2(a-2)(2a+1)と等しい。しかしaにa≠-1/2以外に範囲はないので最小値は-∞。よって最小値 なし・・（答え？）
答えがないので全て自力でやりました。途中の指摘や答えの指摘など解説を交えて教授していただけたらと思い投稿しました。もっといい解き方がある、などの指摘も歓迎します。どうかよろしく御願いします。
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No.13969 - 2011/06/14(Tue) 01:12:55
| ☆ Re: 空間座標 / ヨッシー  | | | 考え方のヒントとして、グラフで考えるとこんな感じです。
(1)ｚ軸方向からｘｙ平面を見ると(左の図)
ＡＢの位置関係から、Ｌがｘ軸と交わるならば、それは(2,0,0)であると
わかります。また、同じく位置関係から、ＡＣの中点がＢとわかります。
(2)ｘ軸方向からｙｚ平面を見ると(右の図)
点Ｐが座標で表せたら、そのｙ、ｚ座標に対して
√（ｙ^2＋ｚ^2) がＰとｘ軸との距離になります。
(1)(2) の解答は、これらのことを頭に置いておくと、なお
イメージしやすいでしょう。
さて、上の解答ですが、(1)(2) は大筋では良いと思います。
もう少し、日本語を増やした方が良いでしょう。
ｌを式で表すと・・・など
また、
↑ＯＰ＝↑ＯＡ＋ｔ↑ＡＢ＝・・・
のように、途中を略さないなど。
(3) ですが、
ａがａ＝-1/2 以外のある決まった値をとるとき、
ＰＱの最小値をａを使って表しなさい。
と書き直せば、問題の趣旨がわかるでしょう。
Ｐは動かしますが、ａは動かさないのです。
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No.13972 - 2011/06/14(Tue) 07:21:38 |
| ☆ Re: 空間座標 / ヨッシー | | | ちなみに、０に限りなく近い値と、−∞とは違います。
−∞は負の数で絶対値が無限に大きい数です。
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No.13973 - 2011/06/14(Tue) 07:23:23 |
| ☆ Re: 空間座標 / スキンセーフ | | | (2)ｘ軸方向からｙｚ平面を見ると(右の図)
点Ｐが座標で表せたら、そのｙ、ｚ座標に対して
√（ｙ^2＋ｚ^2) がＰとｘ軸との距離になります。とありますが、）↑OQ=(s,0,0),↑AB＝(1,-1,a)より↑OP=(t,2-t,1-at)
∴↑QP=(-s+t,2-t,1+at)
↑OQ⊥↑QPより↑OQ・↑QP＝0⇔ｓ＝０、ｔ＝ｓ
∴↑QP＝(0,2-s,1+as)
の計算をしなくてもこれが分かる理由を詳しく御願いします。
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No.13977 - 2011/06/15(Wed) 06:04:23 |
| ☆ Re: 空間座標 / ヨッシー | | | Ｐの座標を(k,m,n) とします。
Ｐを通って、ｘ軸に垂直な平面を考えると、その式は、
ｘ＝ｋ となります。
この平面とｘ軸との交点がＱなので、Ｑの座標は(k,0,0) となり、
ＰＱ＝√(m^2+n^2) で表せます。
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No.13978 - 2011/06/15(Wed) 06:16:06 |
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