ａは定数とし、0≦x≦πとする。
P＝4cos^2 2x-2(a-1)cos2x-aがあり、この等式の右辺を因数分解すると
P＝(アcos2x+イ)(ウcos2x-エ)となる。
(1) 方程式P＝0が解をちょうど2個もつようなaの値の範囲は
a＜オカ、a＝キク、ケ＜aであり、このとき、解はx＝π/コ、サ/シπ…(＊)である。
(2)方程式P＝0が解をちょうど3個もつようなaの値はa＝スセであり、このとき、解は(1)の(＊)以外にx＝π/ソがある。
(3)方程式P＝0が解をちょうど4個もつようなaの値の範囲はタチ＜a＜ツテ、ツテ＜a≦トである。
また、a＝1として、不等式P＜0を解くと
π/ナ＜x＜π/ニ、ヌ/ネπ＜x＜ノ/ハπである。
ア〜ハの解き方を教えてください。お願いします。
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No.14750 - 2011/08/25(Thu) 16:57:39
| ☆ Re: / ヨッシー  | | | cos2x=Ｘ とおくと、
Ｐ＝4X^2-2(a-1)X-a＝(2X+1)(2X-a)
(1) Ｐ＝０ の解となりうるのは、
cos2x＝-1/2, cos2x＝a/2
から、得られる解ですが、
cos2x＝-1/2
からはすでに、ｘ＝π/3, 2π/3 が得られているので、
解が２個になるには、cos2x＝a/2 から、解が得られないか、
cos2x＝-1/2 と全く同じ解を持つかです。
よって、ａ＜-2、ａ＝−１、ａ＞２ のとき。
このとき解は、ｘ＝π/3, 2π/3。
(2)
cos2x＝a/2 において、
解が１つだけか、２つの解のうち、１つが、(＊)と共通である場合が、
考えられますが、同じ cos2x の方程式なので、。後者はありえません。
a=2 のとき、x=0,π となり不適
a=-2 のとき、x=π/2 ・・・ＯＫ
(3)
(1)(2) 以外の場合が解が４個の場合です。よって、
-2＜ａ＜−１、−１＜ａ≦２
a=1 のとき
Ｐ＝(2X+1)(2X-1)＜０
より -1＜2X＜1 つまり
-1/2＜cos2x＜1/2
よって、
π/３＜2x＜２π/３
４π/３＜2x＜５π/３
以上より
π/６＜x＜π/３
２π/３＜x＜５π/６
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No.14758 - 2011/08/26(Fri) 08:35:37 |
| ☆ Re: (No Subject) / 三毛猫 | | | P＝4cos^2x-2(a-1)cos2x-aがあり、
この等式の右辺を因数分解すると、
P＝(2cos2x+1)(2cos2x-a)…?@
(1)方程式P＝0が解をちょうど2個もつようなaの範囲は?@より、
cos2x＝-1/2,a/2
2cos^2x-1＝-1/2,a/2
cos^2x＝1/4,(2+a)/4
cosx＝±1/2,±√(2+a)/2
(cosx＝±1/2からx＝π/3,2π/3の2つの解がある)
0≦x≦πより、-1≦cosx≦1のとき
P＝0の解がちょうど2つになればよいので
(?T)±√(2+a)/2が解をもたないとき
つまり、±√(2+a)/2が虚数解になればよいので分子の√(2+a)の中が0より小さくなればよい
よって、2+a＜0
a＜-2
(?U)±1/2＝±√(2+a)/2となるとき
±1/2＝±√(2+a)/2
1/4＝(2+a)/4
2+a＝1
a＝-1
(?V)±√(2+a)/2が-1≦cosθ≦1の範囲外にあるとき
-√(2+a)/2＜-1かつ√(2+a)/2＞1
計算すると、
a＞2
(?T),(?U),(?V)のとき、いずれにせよcosx＝±1/2を解にもつので
0≦x≦πより、
x＝π/3,2π/3…(＊)
(2)P＝0が解をちょうど3個もつようなとき、
cosx＝±√(2+a)/2からπ/3,2π/3以外の解があと1つでればよい
よって、±√(2+a)/2＝0
a＝-2
このとき解は(＊)以外にcosx＝0
つまりx＝π/2がある
(3)P＝0が解をちょうど4個もつようなとき
cosx＝±√(2+a)/2からπ/3,2π/3以外の解があと2つでればよい
0＜√(2+a)/2＜1/2,1/2＜√(2+a)/2≦1
計算すると、
-2＜a＜-1,-1＜a≦2
またa＝1としてP＜0を解くと、
?@より、
P＝(2cos2x+1)(2cos2x-1)＜0
よって、
-1/2＜cos2x＜1/2
0≦2x≦2πより
π/3＜2x＜2π/3,4π/3＜2x＜5π/3
したがって、
π/6＜x＜π/3,2π/3＜x＜5π/6
よって
ア2 イ1 ウ2 エa オ-
カ2 キ- ク1 ケ2 コ3
サ2 シ3 ス- セ2 ソ2
タ- チ2 ツ- テ1 ト2
ナ6 ニ3 ヌ2 ネ3 ノ5
ハ6
となります。
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No.14760 - 2011/08/26(Fri) 15:36:47 |
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