ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 早稲田（商） / akb

(1)(2)は分かったのですが(3)が
いくら考えても分かりません。
(2)を参考にせよとだけヒントが書かれていましたが…
解説お願いします。
答えは(1)-1(2)7(3)284です。

No.13917 - 2011/06/07(Tue) 18:44:15

☆ Re: 早稲田（商） / ヨッシー

(1)
ａ_n+2＝ａ_n+1－ａ_n
と書けるので、
　ａ₃＝４－１＝３
　ａ₄＝３－４＝－１
(2)
このあと、
　ａ₅＝－４
　ａ₆＝－３
　ａ₇＝１
　ａ₈＝４
と、あとはこの繰り返しなので、
　(ａ₁＋ａ₂＋ａ₃＋ａ₄＋ａ₅＋ａ₆)
　＝(ａ₇＋ａ₈＋ａ₉＋ａ₁₀＋ａ₁₂＋ａ₁₃)
　＝・・・・＝０
となり、
　(与式)＝ａ₉₁＋ａ₉₂＋ａ₉₃＋ａ₉₄
　　＝ａ₁＋ａ₂＋ａ₃＋ａ₄＝７

(3)
　(与式)＝１×(1+7+13+19+・・・+91)＋４×(2+8+14+20+・・・+92)
　　＋３×(3+9+15+21+・・・+93)－１×(4+10+16+22+・・・+94)
　　－４×(5+11+17+23+・・・+89)－３×(6+12+18+24+・・・+90)
を計算すれば出来ます。

No.13918 - 2011/06/07(Tue) 19:01:05

☆ Re: 早稲田（商） / X

別解)
ヒント通りの方針で。

(2)の過程で
a[6l+1]=1
a[6l+2]=4
a[6l+3]=3
a[6l+4]=-1
a[6l+5]=-4
a[6l+6]=-3
(但しlは0又は自然数)
ということを導いたと思います。これより
(6l+1)a[6l+1]=6l+1
(6l+2)a[6l+2]=4(6l+2)
(6l+3)a[6l+3]=3(6l+3)
(6l+4)a[6l+4]=-(6l+4)
(6l+5)a[6l+5]=-4(6l+5)
(6l+6)a[6l+6]=-3(6l+6)
これらを辺々足すと右辺のlの項は相殺されて
(6l+1)a[6l+1]+(6l+2)a[6l+2]+(6l+3)a[6l+3]
+(6l+4)a[6l+4]+(6l+5)a[6l+5]+(6l+6)a[6l+6]
=-24
これを(2)と同様に問題の和の第１項から第90項までに
適用すると…。

No.13919 - 2011/06/07(Tue) 19:03:44

★ (No Subject) / zee

分からない問題があります。

AB=3　AD=4である直方体ABCD-EFGHにおいて、球Ｓが三角柱ABC-EFGの
全ての面に内接するとき、次の問いに答えよ。
(1)辺ＡＥの長さを求めよ。
(2)球Ｓの中心と、頂点Ｆとの間の距離を求めよ。
(3)三角柱の3つの面ABFE、BCGF、EFGと、球Ｓのいずれにも接する球の半径を求めよ。

それで、
(1)
△ABCの内接円の半径をrとすると、球Sの半径もrである。
（直方体を真上から見た風景を想像して下さい）

AC=5なので、△ABCの面積を2通りに表すと、
(1/2)×3×4=(1/2)×3×r+(1/2)×4×r+(1/2)×5×r
となるので、r=1
AEの長さは球Sの直径と等しいので、AE=2

(2)
xyz座標系において、Eを原点に置き、EFとx軸、EHとy軸、EAとz軸が
それぞれ重なるように置く。
すると、球Sの中心の座標は(2,1,1)であり、Fの座標は(3,0,0)なので、
その距離は、??3である。

というところまでは理解できたのですが、3番目の解答として書かれていた事で理解が出来ていないところがあります。

（3）面ABEF、BCGF、EFGと球Sに接する球の中心を
O',半径をr'とする。
球Sのr=1に対してOF＝??3であるのでO'F=??3r'
よって　OF=r+r'+??3r'=1+(1+??3)r'
OF=??3より
1+(1+??3)r'=??3
これを解いて、
r'=2-??3

ということらしいのですが、
どうして以下のようになるのかが分かりません。
OF＝??3であるのでO'F=??3r'

どなたか教えていただけないでしょうか？

No.13911 - 2011/06/06(Mon) 22:28:38

☆ Re: / ヨッシー

Ｆを原点として、ＦＢ、ＦＥ、ＦＧが、ｘ軸、ｙ軸、ｚ軸であるように
見立てます。
球Ｓの中心Ｏの座標は、(1,1,1) で、ＦＯ＝√3 です。
Ｏ' は、線分ＦＯ上のどこかにあって、座標は、
(r’,r’,r’) （０＜ｒ＜１）、ＦＯ’＝√3ｒ’
となります。

No.13912 - 2011/06/06(Mon) 22:52:38

☆ Re: / zee

ヨッシーさん
ありがとうございました

そういう思考過程があったのですね。
当たり前のように飛ばされてるところが少し分かりにくかったので本当に助かりました。

No.13922 - 2011/06/07(Tue) 22:16:45

★ (No Subject) / shun

ニューアクションα＜例256＞の一橋大の問題です。

５数p,2p+1,4p-1,6p-1,8p+1がいずれも素数となる自然数pを全て求めよ。

この問題の解説の一番はじめで、「pは２以上の自然数であるから、自然数kを用いて5k,5k+1,5k-3,5k-2,5k-1のいずれかで表される」とありましたが、この文章の意味がよくわかりませんでした。もう少しわかりやすく教えて下さい。
よろしくお願いします。

No.13909 - 2011/06/06(Mon) 19:30:51

☆ Re: / シャロン

5k,5k+1,5k-3,5k-2,5k-1
のkに1を代入、

そのあと、kに2を代入、

以下、3,4,5,...を代入していけば、2以上の自然数が全て表せることがわかるとおもう。

※通常、全ての自然数を表す場合、5での剰余を考えて、5k,5k-4,5k-3,5k-2,5k-1と表すことが多いが、この場合、2以上の自然数を表せればよい、つまり、1を表す必要はないので。

No.13910 - 2011/06/06(Mon) 20:23:55

★ 数?V / peeep

x=cos^3t y=sin^3t (0≦t≦2π)の曲線で囲まれた面積を求めよ

これが(1,0) (-1,0) (0,1) (0,-1)だけでx軸かy軸と交わる図形ということまでは分かりました。
ヒントでは第1象限の面積を4倍しているのですが、この図形がx軸y軸に対象な図形だというのはどう考えればいいのですか？
よろしくおねがいします。

No.13904 - 2011/06/05(Sun) 01:00:26

☆ Re: 数?V / シャロン

t=t₀のときの点P(x_t₀,y_t₀)を考えると、

t=2π-t₀のときの点(x_2π-t₀,y_2π-t₀)は

x_2π-t₀={cos(2π-t₀)}³=cos³(t₀)=x_t₀

y_2π-t₀=sin³(2π-t₀)=-sin³(t₀)=-y_t₀

したがって、Pとx座標が同じでy座標の符号だけが逆の点も曲線上に存在する、つまり、曲線はx軸対称。

また、0≦t₀＜πのとき、t=π+t₀のときの点(x_π+t₀,y_π+t₀)は

x_π+t₀=cos³(π+t₀)=-cos³(t₀)=-x_t₀

y_π+t₀=sin³(π+t₀)=-sin³(t₀)=-y_t₀

したがって、Pと座標の絶対値が同じで符号だけが逆の点も曲線上に存在する、つまり、曲線は原点対称。

∴(x,y)が曲線上にあるなら、(x,-y),(-x,-y)もあり、さらに―(-x,-y)とx軸について対称な―(-x,y)も曲線上にある、つまり、曲線はy軸対称でもある。

No.13905 - 2011/06/05(Sun) 08:07:15

☆ Re: 数?V / シャロン

ちょいと自己補足

> また、0≦t₀＜πのとき、

π≦t₀＜2πでは逆にt=t₀-πの点が原点対称な位置に来ることが同様に示せる。

> したがって、Pと座標の絶対値が同じで符号だけが逆の点も曲線上に存在する、つまり、曲線は原点対称。

No.13906 - 2011/06/05(Sun) 08:11:08

★ 常微分 / okaka

常微分の問題です。
結構ねっばったつもりなのですが、この2問が解けませんでした。
よろしくお願いします。

次の微分方程式を解け。
(y')×(y'')=2(y'')^2

次の微分方程式の一般解を求めよ。
(y'')-3(y')+2y={2(e^(2x))}×cosx

No.13898 - 2011/06/04(Sat) 17:38:22

☆ Re: 常微分 / X

一問目)
問題の微分方程式から
(y"-2y')y'=0
∴y"-2y'=0又はy'=0
(i)y"-2y'=0のとき
y'=Ce^(2x) (Cは任意定数)
∴y=Ce^(2x)+D (C,Dは任意定数) 注)C/2を改めてCと置いた
(ii)y'=0のとき
y=E (E:任意定数)
これは(i)の解でC=0の場合に含まれます。

以上から解は
y=Ce^(2x)+D (C,Dは任意定数)

No.13899 - 2011/06/04(Sat) 18:44:26

☆ Re: 常微分 / okaka

ありがとうございます。
２つに分けるんですね！

No.13900 - 2011/06/04(Sat) 20:49:25

☆ Re: 常微分 / X

(二問目)
y"-3y'+2y=0
の解は
y=Ae^x+Be^(2x) (A,Bは任意定数)
従って問題の微分方程式の特殊解を
y=C{e^(2x)}sinx+D{e^(2x)}cosx (A)
と置くと、求める一般解は
y=Ae^x+Be^(2x)+C{e^(2x)}sinx+D{e^(2x)}cosx
(A,Bは任意定数)
となります。
後は(A)を問題の微分方程式に代入し、係数比較により
C,Dの値を求めます。

参考キーワード)
定数係数２階線形微分方程式、同次形、未定係数法

No.13907 - 2011/06/05(Sun) 09:16:25

☆ Re: 常微分 / okaka

1問目に引き続き、2問目も丁寧な解説ありがとうございます！

自力で解けるよう、頑張ります。

No.13908 - 2011/06/05(Sun) 21:05:44

★ 幾何 / ウィル

三角形C'BDは三角形BCDをBDを軸に折り返したもので、四角形ABCDは長方形です。このときDM＝(1/2)BDになる理由が分かりません。どなたかよろしく御願いします。

No.13891 - 2011/06/04(Sat) 12:23:27

☆ Re: 幾何 / らすかる

△ABD≡△C'DB から ∠ABE=∠ABD-∠EBD=∠C'DB-∠EDB=∠C'DE
よって△ABE≡△C'DEなのでBE=DE
二等辺三角形の頂点から底辺に下ろした垂線は底辺を２等分します。

No.13892 - 2011/06/04(Sat) 12:31:43

☆ Re: 幾何 / ウィル

△ABD≡△C'DB は分かりましたが ∠ABE=∠ABD-∠EBD=∠C'DB-∠EDB=∠C'DE
よって△ABE≡△C'DEの部分が分かりません。どうかよろしく御願いします。

No.13893 - 2011/06/04(Sat) 12:47:58

☆ Re: 幾何 / らすかる

∠ABE=∠C'DE, ∠BAD=∠DC'B, AB=C'D なので
一辺と両端の角が等しく△ABE=△C'DEとなります。

No.13895 - 2011/06/04(Sat) 13:00:23

☆ Re: 幾何 / ウィル

そもそもなぜ∠ABE=∠C'DEが言えるのですか？

No.13896 - 2011/06/04(Sat) 15:13:12

☆ Re: 幾何 / ヨッシー

∠ＡＢＤ＝∠ＢＤＣ＝∠ＢＤＣ’
∠ＡＤＢ＝∠ＤＢＣ＝∠ＤＢＣ’　より
　∠ＡＢＥ＝∠ＡＢＤ－∠ＤＢＣ’
　∠Ｃ’ＤＥ＝∠ＢＤＣ’－∠ＡＤＢ
で表される２つの角　∠ＡＢＥと∠Ｃ’ＤＥは等しくなります。

No.13897 - 2011/06/04(Sat) 16:59:47

☆ Re: 幾何 / らすかる

私が書いた
∠ABE=∠ABD-∠EBD=∠C'DB-∠EDB=∠C'DE
という式は
∠ABE=∠ABD-∠EBD
∠ABD-∠EBD=∠C'DB-∠EDB
∠C'DB-∠EDB=∠C'DE
∴∠ABE=∠C'DE
という意味です。一つずつ確認しましょう。

No.13901 - 2011/06/04(Sat) 21:45:05

☆ Re: 幾何 / ウィル

理解しました。ありがとうございます。しかし気づいたのですが、そもそも∠ＡＤＢ＝∠ＤＢＣ＝∠ＤＢＣ’だけで三角形EBDは二等辺三角形と分かるので
回答としては「∠ＡＤＢ＝∠ＤＢＣ＝∠ＤＢＣ’だから。」という理由だけでDM＝(1/2)BDと言ってよいのではないでしょうか？

No.13902 - 2011/06/04(Sat) 21:45:37

☆ Re: 幾何 / ヨッシー

そうです。

それに気づけば◎。

No.13903 - 2011/06/04(Sat) 22:17:13

★ 幾何 / ウィル

正方形ABCD（左上の頂点がA、左下の頂点がB、右下の頂点がC、右上の頂点がD)の内部に正三角形AGFがありGは線分BC上、Fは線分CD上にあります。AC⊥GFになる理由を教えて下さい。つまり正三角形AGFがなぜACに関して対称なのが分かりません。よろしく御願いします。

No.13884 - 2011/06/04(Sat) 01:10:54

☆ Re: 幾何 / rtz

それだけでは垂直にはなりません。
他に条件があるはずです(CG＝CFなど)。

No.13885 - 2011/06/04(Sat) 01:15:16

☆ Re: 幾何 / ウィル

問題を訂正しましたのでもう一度御願いします。（正三角形AGFでした）

No.13886 - 2011/06/04(Sat) 01:51:35

☆ Re: 幾何 / rtz

図を描いて考えてみましょう。

AG＝AF、AB＝ADで、∠B＝∠D＝90度ですから、
三平方の定理からBG＝DFは言えますね。

ここからBC＝CDから、GC＝FCがわかります。
∠Cは90度ですから△CFGは直角二等辺三角形です。

あとはACとGFの交点をPとかおいて、∠GPCを求めればいいですね。

No.13887 - 2011/06/04(Sat) 02:50:17

☆ Re: 幾何 / らすかる

あまり違いませんが別解です。
△ABGと△ADFは斜辺と他の一辺が等しいことから合同なのでBG=DF
よってGC=FCとなって四角形AGCFは凧形なので、AC⊥GF
（あるいは△AGC≡△AFC（三辺相等）によりACに関して対称）

No.13888 - 2011/06/04(Sat) 05:52:59

☆ Re: 幾何 / ウィル

納得しました！ありがとうございます。

No.13890 - 2011/06/04(Sat) 12:19:34

★ (No Subject) / ｆｇｔｘ

放物線C1：y＝－（x－１）＾2－１上の点PにおけるC1の接線が、放物線C2：y＝x＾2と異なる２点Q、Rで交わっている。
このとき、線分QRの中点をMとする。PがC1上を動くときのMの
軌跡を求めよ。

よろしくお願いします。

No.13881 - 2011/06/02(Thu) 21:32:45

☆ Re: / ヨッシー

Ｐ(t, -(t-1)^2-1) とおくと、点ＰにおけるＣ1の接線の傾きは、
2-2t であるので、接線の式は、
　ｙ＝(2-2t)(x-t)-(t-1)^2-1
　ｙ＝(2-2t)ｘ＋t^2ー2
となります。これと、y=x^2 が２点で交わるので、両者を連立させて、
　x^2＋2(t-1)x－t^2＋2＝０　　・・・(1)
判別式は
　(t-1)^2＋t^2－2＝2t^2-2t^1＞０
より
　ｔ＜(1-√3)/2、(1+√3)/2＜t
Ｑ、Ｒの座標を、(α, α^2)、(β, β^2) とすると、Ｍの座標は、
　((α＋β)/2, (α^2＋β^2)/2)
(1)における解と係数の関係より、
　α＋β＝2-2t, αβ＝2－t^2
　α^2＋β^2＝(α+β)^2－2αβ＝６ｔ^2－８ｔ
よって、Ｍの座標は、
　(1-t, 3t^2－4t)
ｘ＝１－ｔ，ｙ＝3t^2－4t とおいて、ｔを消去すると、
　ｙ＝３ｘ^2－２ｘ－１
定義域は、
　ｘ＞(1＋√3)/2、(1－√3)/2＞ｘ

No.13882 - 2011/06/02(Thu) 23:49:19

☆ Re: / ｆｇｔｘ

ありがとうございます。

No.13883 - 2011/06/03(Fri) 06:40:50

★ 数学A 図形と計量　高2 / suuretu

正七角形ABCDEFGについて1/AC+1/AD=1/ABが成り立つことを証明せよ。
解答の意味が分かりません。
解答「AB＝x、AC＝y、AD=zとおき、対角線ACとBEの交点をHとする。
外接円をかくと弧AB、弧AC、弧AEの中心角は360°/7 、 (360°×2)/7 、(360°×3)/7
になる。a=180°/7として、円周角の定理を使うと図のように角度が分かる。
△BCHに着目して、∠AHB＝a＋2a=3a
斜線部の三角形は二等辺三角形になるので、AH＝x 網目部の２つの三角形は相似なので
x:(y-x)＝z:y
xz＋xy=yz
よって1/y＋1/z＝1/x」

また、別解では「a=180°/7とおき、正七角形の外接円の半径をRとする。
正弦定理を使うと、AB＝2Rsina AC=2Rsin2a AD＝2Rsin3a ・・・(以下略) 」

分からないところ?@
「外接円をかくと弧AB、弧AC、弧AEの中心角は360°/7 、 (360°×2)/7 、(360°×3)/7
になる。a=180°/7として、円周角の定理を使うと図のように角度が分かる。」
とありますが弧ABの中心角が360°/7というのは正七角形の中心を仮にOとすると
三角形AOBの∠AOBが360°/7となるんでしょうか？
だとすれば、弧ACのときは(360°/7)＋(360°/7)＝(360°×2)/7で理解できますが、
弧ADに対する中心角が、(360°×3)/7というのが理解できません。
いまA→B→Ｃ→Dと反時計周りに見ていってますよね？
じゃぁ弧AEの中心角は、(360°×4)/7になるんじゃないでしょうか？
時計回りにみたときの弧AEに対する中心角は確かに、(360°×3)/7になるのですが・・・
この変が良く分かりません。

また別解の方で
「a=180°/7とおき、正七角形の外接円の半径をRとする。
正弦定理を使うと、AB＝2Rsina AC=2Rsin2a AD＝2Rsin3a ・・・(以下略) 」
とありますが、なぜABの対角がsinaなんですか？
これもさっきと同じく中心をOとすれば
△OABにおいて正弦定理を利用すればいいんですよね？
だとするとABの対角は∠AOBとなりこれは弧ABに対する円周角なので360°/７になると思うのですが。
AC、ADのときも同じです。

解答の意味が本当に分かりません。
誰か分かる方、この解答の意味と自分が誤解してるところを教えてください。お願いします。

No.13877 - 2011/06/02(Thu) 09:42:53

☆ Re: 数学A 図形と計量　高2 / rtz

まず、
解答の図などは載せてください。
斜線部だの網目だのいわれてもこちらは分かりません。
図が載せられないなら言葉で言い換えるようにしてください(「斜線部の三角形→△ABH」など)。
今回は直接は質問とは関係がありませんが、過程として必要になる場合もありますので、
なるべくこちらにも分かるよう提示してください。

＞中心角
ここでは円周角がいくらか(∠ABE＝？)、
についての導出のための中心角ですから、180度より小さいほうで考えます。

＞正弦定理
ABなら△ABCです。
△OABなら「外接円の半径」がRになりませんね。
外接円の半径がRであることを使える三角形を見つけましょう。

あるいは、もし△OABを使うのであれば、
OからABに降ろした垂線の足をHとして、
∠OAH＝(180/7)度であり、△OAHが直角三角形であるので、
AB＝2AH＝2OA・sin((180/7)度)＝2Rsina
という方法もあります。

No.13879 - 2011/06/02(Thu) 11:15:50

★ 同値 / mint

実数ｘ、ｙ、ｚがx+y+z=3,x^2+y^2+z^2=9を満たしながら動くとき、y-xの最大値を求めよ。
という問題で
「x+y+z=3,x^2+y^2+z^2=9,y-x=kをみたす実数x,y,zが存在する」ためのｋの条件としてｋ(=y-x)の値域が得られる。
この「」はx^2+y^2+(3-x-y)^2=9,y-x=kを満たす実数x、yが存在する」という条件と同値という理由を（zが実数という条件や?@が消えた理由なども含めて）教えて下さい。

代入法の原理(与えられた式⇔代入する式かつ代入された式）
から行くと
x+y+z=3・・?@,x^2+y^2+z^2=9・・?A,y-x=k・・?B
⇔x+y+z=3・・?@,x^2+y^2+(3-x-y)^2=9・・?A’、y-x=k・・?B
となるべきですよね。。

No.13872 - 2011/05/30(Mon) 00:50:35

☆ Re: 同値 / rtz

x+y+z=3,x^2+y^2+z^2=9,y-x=kをみたす実数x,y,zが存在する
⇔x+y+z=3,x^2+y^2+(3-x-y)^2=9,y-x=kをみたす実数x,y,zが存在する
⇔x^2+y^2+(3-x-y)^2=9,y-x=kをみたす実数x,yが存在し、z=3-x-yである

実数であるx,yが存在すれば、
x+y+z=3という式からzが実数であることは明白だからです。
また、この式自体は同値条件ではありますが、
問題を解いていく上ではzを求めるためだけの式に過ぎないので、
特に触れていないだけだと思います。

No.13873 - 2011/05/30(Mon) 04:43:51

☆ Re: 同値 / mint

回答有難うございます。

x+y+z=3,x^2+y^2+z^2=9,y-x=kをみたす実数x,y,zが存在する
⇔x+y+z=3,x^2+y^2+(3-x-y)^2=9,y-x=kをみたす実数x,y,zが存在する
⇔x^2+y^2+(3-x-y)^2=9,y-x=kをみたす実数x,yが存在し、z=3-x-yである
⇔x^2+(x+k)^2+(3-k-2x)^2=9・・?Cかつy-x=k・・?Bを満たす実数x,yが存在し、z=3-x-yである
?Cの判別式≧0が実数ｘが存在するための条件、?Bよりｘが実数よりｙも実数。?@よりｘ、ｙが実数のときｚも実数。

という考えであっていますか？

No.13874 - 2011/05/31(Tue) 01:27:45

☆ Re: 同値 / rtz

いいと思います。

No.13878 - 2011/06/02(Thu) 10:48:23

★ 高２　指数関数 / れいひゃー

x=1/2{a^(1/n)-a^(-1/n)}　のとき、{x+√(1+x^2)}^n　の値を求めよ。
ただし、a＞0、nは自然数とする。

答えは
a
です。

先生に聞いたら
√(1+x^2)=1/2{a^(1/n)+a^(-1/n)}
の式を教えてくださったのですが、
どうやってこの式が出てきたのかと、
ここからどうすればいいのかもわかりません
説明お願いします！

No.13869 - 2011/05/29(Sun) 12:17:20

☆ Re: 高２　指数関数 / シャロン

> どうやってこの式が出てきたのか

単純に
1+x^2=1+((1/2){a^(1/n)-a^(-1/n)})^2
=1+(1/4)(a^(2/n)-2+a^(-2/n))
=(1/4)(a^(2/n)+2+a^(-2/n))
={(1/2)(a^(1/n)+a^(-1/n))}^2
かつ、(1/2)(a^(1/n)+a^(-1/n))＞0なので、
√(1+x^2)=(1/2)(a^(1/n)+a^(-1/n))}です。

> ここからどうすればいいのかもわかりません
xと√(1+x^2)をaの式で表して展開していくだけです。

No.13870 - 2011/05/29(Sun) 15:26:16

★ (No Subject) / ノヴ

xy直交座標平面上を移動する資点Pの座標(x,y)は時刻tの関数として、

r=OP=(x,y)=t(cost,sint) (t>0)
であらわされる。

点Pの軌道の概形を図示せよ。

なんですが、どのような図になるんでしょうか？
求め方を教えていただきたいです。

No.13866 - 2011/05/28(Sat) 23:28:21

☆ Re: / ヨッシー

(cost,sint) だけだったら、単位円上をぐるぐる回るだけですね？
これに、半径ｔがさらに掛けられるので、徐々に原点から遠ざかる
渦巻きになります。
また、各方向において、渦巻きの幅は常に2πとなる特徴があります。
特徴的な点(0, π/2)、(－π, 0)、(0, －3π/2)、(2π, 0) などを
取りながら、結んでいけばいいでしょう。

No.13867 - 2011/05/29(Sun) 02:00:58

★ 三角関数の問題 / shun

y=2sinx+2cosx+sin2x(0≦x≦2π）について
この関数の最大値、最小値およびその時のxの値を求めよ。

という問題で、最大値、最小値を求めるところまでは分かったのですが、その時のxの値の求め方が分かりません。
どなたか求め方を教えて下さい。宜しくお願いします。

No.13864 - 2011/05/28(Sat) 22:29:31

☆ Re: 三角関数の問題 / X

>>最大値、最小値を求めるところまでは分かったのですが、
とありますが、その求める過程をアップしてもらえませんか？。
それを元にしないと適切な説明ができませんので。

No.13865 - 2011/05/28(Sat) 23:09:41

★ 高３数学です。 / Ｙ

３次関数と接線の問題です。

曲線y=x^3 上の原点以外の点Pにおける接線がx軸、y軸および、再びこの曲線と交わる点を、それぞれＱ，Ｒ，Ｓとするとき、ＱＲ：ＲＳを求めよ。

自分で解きました。

P(α,α^3), S(β,β^3)とおく。
点Sからx軸に下ろした垂線とx軸の交点をHとする。

y = x^3 の　接線の傾きは微分して
3x^2 , これに　P(α , α^3 ) を通るから、代入して接線の式を求めると

y = 3α^2 x － 2α^3
とわかった。これにより点Ｑのx座標が求まる。
0 = 3α^2 x － 2α^3
これを解いて
x = (2/3)α

関数　y = x^3　と　接線　y = 3α^2 x － 2α^3が
α（重解）とβを持つとする。

x^3 － 3α^2x + 2α^3 = ( x－α)^2 *( x－β)
⇔
x^3 － 3α^2x + 2α^3 = ( x^2－2αx + α^2 ) ( x－β)
⇔
x^3 － 3α^2x + 2α^3 = x^3 －βx^2 － 2αx^2 + 2αβｘ + α^2x　－ α^2β
⇔
x^3 － 3α^2x + 2α^3 = x^3 － (2α+β)x^2 + (2αβ+α^2)x － α^2β

左辺＝右辺より係数を比較して、
0 = 2α + β
－3α^2 = 2αβ + α^2
2α^3 = －α^2β
これより
β = －2α
以上より
ＱＲ：ＲＳ　＝　ＱＯ：ＯＨ　＝　｜(2/3)α｜　：　｜－2α｜　＝　１：３　//

自分で解いてみたのですがどうも、
関数－接線＝(x－α)^2(x－β)のところが
ちゃんと説明しろと言われても、あいまいにしかわかっていない気がします。ここの説明をはっきり出来るようにしたいのですがよろしくお願いいたします。

No.13850 - 2011/05/23(Mon) 21:07:53

☆ Re: 高３数学です。 / X

Yさんの仰るとおり
>>関数－接線＝(x－α)^2(x－β)
となる説明が無いので解答としては不完全ですが
この理由の説明は煩雑です。ですので
>>x^3 － 3α^2x + 2α^3 = (x-α)^2 *(x－β)
と置くよりも、実際に
x^3-3(α^2)x+2α^3
を
>>x^3 － 3α^2x + 2α^3 = (x-α)^2 *(x－β)
を目標に因数分解することを考えた方が
議論を避けることができ解答が容易です。
この問題の場合ですが
x^3-3(α^2)x+2α^3
=x^3+α^3+α^3-3α・α・x
(x+α+α)(x^2+α^2+α^2-αx-αx-α^2)
=(x+2α)(x^2+α^2-2αx)
=(x+2α)(x-α)^2
と因数分解できますので
β=-2α
となります。
或いは
x^3-3(α^2)x+2α^3
を
(x-α)^2
で実際に割ってみてもいいでしょう。

No.13851 - 2011/05/23(Mon) 22:23:38

☆ Re: 高３数学です。 / X

敢えて
>>関数－接線＝(x－α)^2(x－β)
となる説明をつけるとすれば以下の通りです。

今、三次関数
y=f(x)
上の点(α、f(α))
における接線の方程式
y=f'(α)(x-α)+f(α)
について
F(x)=f(x)-{f'(α)(x-α)+f(α)}
を考えると
F(α)=0 (A)
F'(α)=0 (B)
(A)より
F(x)=(x-α)g(x) (C)
(g(x)は二次式)
と置くことができます。
このとき、積の微分により
F'(x)=g(x)+(x-α)g'(x) (C)'
(B)(C)'より
g(α)=0
∴g(x)=(x-α)(ax+b) (a≠0)
の形になります。
よって(C)から
F(x)=(ax+b)(x-α)^2
特にf(x)のx^3の係数が1の場合はa=1となり
F(x)=(x+b)(x-α)^2
の形となります。

No.13852 - 2011/05/23(Mon) 22:33:21

☆ ありがとうございます！！ / Ｙ

うわぁ～～！！本当！！めちゃくちゃすっきりしました！！
ありがとうございます！！もっと数をこなしたいと思います！！感動です！！お世話になりました！！

No.13855 - 2011/05/24(Tue) 19:03:37