ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 数列 / 数列マスター

a1=1,b1=0,a(n+1)=-2a(n)+b(n)(n=1.2....)
b(n+1)=-4a(n)(n=1.2....)
(1)a2,a3,a4,a5,a6を求めよ。（２）a(3k)=0(k=1.2....)を示せ
(3)b(3k),a(3k+1),b(3k+1),a(3k+2),b(3k+2)(k=1.2...)をｋを用いて表せ。なお、数学的帰納法は使わずに解け。

問題は（３）なのです。どなたか教えて下さい。

No.14446 - 2011/08/03(Wed) 14:48:48

☆ Re: 数列 / ヨッシー

(3)
k≧2 において
a(3k+1)=-2a(3k)-4a(3k-1)
　　　=-4a(3k-1)
　　　=-4{-2a(3k-2)-4a(3k-3)}
　　　=8a(3k-2)
これはk=1 についても成り立ちます。
c(k)＝a(3k+1) とおくと、c(1)＝8, c(k+1)=8c(k) であるので、
c(k) は、初項８，公比８の等比数列。よって、
　c(k)＝a(3k+1)＝８^k　(k=1,2,…)

a(3k+2)=-2a(3k+1)-4a(3k)
　　　=-2a(3k+1)
　　　=-2{-2a(3k)-4a(3k-1)}
　　　=8a(3k-1)
より、a(3k+2)＝-2・8^k
これは、k=0 のときも成り立つので、
　b(3k)=-4a(3k-1)=-4a(3(k-1)+2)
　　　=-4・(-2)・8^(k-1)=８^k

b(3k+1)=-4a(3k)＝０

b(3k+2)=-4a(3k+1)＝-4・8^k

という具合です。

No.14447 - 2011/08/03(Wed) 16:05:14

☆ 回答ありがとうございます / 数列マスター

上から順番に見て行きます。
c(k)＝a(3k+1) ・・?@とおくと、c(1)＝8, c(k+1)=8c(k)・・?A とあるのですが、c(k)＝a(3k+1)（ｋ≧？）と置くのであれば、a(3k+1）=8a(3k-2)に代入するとc(k)=8c(k-1)ではないのですか？また?@、?Aのｋの範囲も教えて下さい。

ひとまずここで引っかかったので解説よろしく御願いします。

No.14448 - 2011/08/03(Wed) 19:58:40

☆ Re: 数列 / ヨッシー

?@, ?A ともに、ｋ≧１ですね。
a(3k+1）= 8a(3k-2) に c(k)＝a(3k+1) を代入しているわけではありません。
最初の６行で、a(1)，a(4), a(7)・・・は、公比８の
等比数列になっていることを示しています。
c(k+1)=8c(k) は、一般的な等比数列の漸化式を表しただけです。

もし、代入にこだわるようであれば、
　c(k+1)＝a(3(k+1)+1)＝8a(3(k+1)-2)＝8a(3k+1)＝8c(k)
とすればどうでしょう。

No.14455 - 2011/08/04(Thu) 14:02:20

★ 三角関数 / おぎ

携帯使える時間限られてるのでまとめて伺わせて下さい。

1.関数y=sinｘcosｘ＋sinｘ＋cosｘの最大値と最小値を求めよ。

2.関数y=sin^2＋2√3sinθcosθ＋3cos^2θの最大値と最小値を求めよ。
3.ｘに関する方程式ｘ^2sin2θ－2√6ｘcosθ＋2sinθ=0が重解を持つためのθの条件を求めよ。但し、θは0≦0≦πとする。

お願いします。

No.14439 - 2011/08/03(Wed) 03:29:30

☆ Re: 三角関数 / X

1.
sinx+cosx=t (A)
と置くと
t^2=1+2sinxcosx
∴sinxcos=(t^2-1)/2 (B)
また
t=√2sin(x+π/4)
∴-√2≦t≦√2 (C)
(A)(B)より
y=(1/2)t^2+t-1/2 (D)
(C)の範囲で(D)の最大値、最小値を求めます。

2.
y=(1-cos2x)/2+√3sin2x+(3/2)(1+cos2x)
=… (整理して合成すると…)

3.
問題のxの方程式を(A)とします。
題意から(A)のx^2の係数について
sin2θ≠0
ここで
0≦θ≦π (B)
により
0≦2θ≦2π
ですので
2θ≠0かつ2θ≠πかつ2θ≠2π
∴θ≠0かつθ≠π/2かつθ≠π (C)
又(A)の解の判別式をDとすると
D/4=6(cosθ)^2-2sinθsin2θ=0 (D)
(B)(C)の下で(D)を解きます。
(D)より
6(cosθ)^2-4{(sinθ)^2}cosθ=0
{3cosθ-2(sinθ)^2}cosθ=0
{3cosθ-2+2(cosθ)^2}cosθ=0
…

No.14440 - 2011/08/03(Wed) 07:28:34

☆ Re: 三角関数 / ヨッシー

(1)
ｘで微分して、
　y'=cos^2x-sin^2x+cosx-sinx
=cos(2x)+√2cos(x+π/4)
y=cos(2x) と y=-√2cos(x+π/4) のグラフを書くと、
下の図のようになり、
　x=π/4, π, 5π/4, 3π/2
で、y'=0 となることがわかります。
増減表は省略しますが、
　x＝π/4 で最大値1/2＋√2
　x=π, 3π/2 で最小値－１
となります。

(2)
y=sin^2θ＋2√3sinθcosθ＋3cos^2θ　と解釈します。
ｙ＝(sinθ＋√3cosθ)^2
　＝４sin^2(θ＋π/6)
より
　ｘ＝5π/6＋ｎπ　(ｎは整数)　のとき最小値０
　ｘ＝π/3＋ｎπ　(ｎは整数)　のとき最大値４
となります。

No.14441 - 2011/08/03(Wed) 07:55:24

☆ Re: 三角関数 / おぎ

> 1.
> sinx+cosx=t (A)
> と置くと
> t^2=1+2sinxcosx
> ∴sinxcos=(t^2-1)/2 (B)
> また
> t=√2sin(x+π/4)
> ∴-√2≦t≦√2 (C)
> (A)(B)より
> y=(1/2)t^2+t-1/2 (D)
> (C)の範囲で(D)の最大値、最小値を求めます。

微分？はまだ習っていないのでわかりません。
が、このやり方だと答えが違います。
このやり方だとt=－１で最小値が－３/２になってしまいますが・・・私の計算が違うのでしょうか？

No.14450 - 2011/08/04(Thu) 01:16:54

☆ Re: 三角関数 / おぎ

あ、できました。
ずっと悩んでました。
ありがとうございます。

No.14451 - 2011/08/04(Thu) 01:34:55

☆ Re: 三角関数 / おぎ

ｙ＝(sinθ＋√3cosθ)^2
　＝４sin^2(θ＋π/6)

ここの部分がわかりません。
先にsinθ＋√3cosθを合成したのですが・・・

No.14452 - 2011/08/04(Thu) 01:55:43

☆ Re: 三角関数 / X

横から失礼します。
ヨッシーさんが計算を間違えているようですね。
y=(sinθ＋√3cosθ)^2
={2sin(θ+π/3)}^2
=4{sin(θ+π/3)}^2
となります。

No.14453 - 2011/08/04(Thu) 07:47:08

☆ Re: 三角関数 / ヨッシー

あ、π/3 でしたね。

失礼しました。

No.14456 - 2011/08/04(Thu) 14:04:18

☆ Re: 三角関数 / おぎ

ありがとうございます。
なんとかできました！！

No.14465 - 2011/08/05(Fri) 15:46:55

★ 方程式 / 数学ど忘れ氏

今晩は。はじめまして。
下記回答をお願いいたします。
下記文字式の問題はどうなりますでしょうか？

Aさんが本を１日５ページのペースで読みます。
日曜日だけは、時間があり、３３ページ読みます。
本を開始してX日後にはトータル何ページ読んでいるでしょうか？(ただし、開始は月曜日からとする)

No.14427 - 2011/08/01(Mon) 23:32:00

☆ Re: 方程式 / 数学ど忘れ氏

すみません、問題分に誤記がありましたので再送です。

Aさんが本を１日５ページのペースで読みます。
日曜日だけは、時間があり、３３ページ読みます。
本読みを開始してX日後にはトータル何ページ読んでいるでしょうか？(ただし、開始は月曜日からとする)

No.14428 - 2011/08/01(Mon) 23:33:20

☆ Re: 方程式 / X

場合分けが必要です。

求めるページ数は
0≦x≦6のとき5x
7≦x≦13のとき5(x-1)+33
14≦x≦20のとき5(x-2)+33×2
…
ですのでkを0又は自然数として
7k≦x≦7k+6のとき
5(x-k)+33k=5x+28k
となります。

No.14429 - 2011/08/02(Tue) 07:23:30

☆ Re: 方程式 / ヨッシー

１日あたり５ページずつ増えていって、７日経つごとに
２８ページ上積みされるということですね。
７日ごとに１増える表現として、プログラミングなどでは、
INT(X/7) のような書き方が出来ますが、数学だと、
ガウス記号を使って、[X/7] と書くのがいいでしょう。
つまり、
　5X＋28[X/7]
と書けます。

No.14430 - 2011/08/02(Tue) 07:25:54

☆ Re: 方程式 / 数学ど忘れ氏

Xさん、ヨッシーさん
ご回答ありがとうございます。
場合分け、表記方法の件了解いたしました。

No.14436 - 2011/08/03(Wed) 00:02:19

★ (No Subject) / 西堀

中心がｙ=２ｘ上にあり、原点と点（２，４）を通る円の方程式を求めよ。

（ｘ－２a)^２+(ｙ－ｂ)^２=ｒ＾２
これが原点と(２，４)を通る。。。。。
そしてaとbを解いたのですが、
答えと一致しません。

No.14415 - 2011/07/31(Sun) 20:47:06

☆ Re: / 西堀

ちなみに答えは（x-1)^2+(y-2)^2=5です。

No.14416 - 2011/07/31(Sun) 20:48:50

☆ Re: / angel

中心が y=2x 上にあり、という条件なので、中心を文字で表すとすれば (a,2a) です。
なので、求める円の方程式は
　(x-a)^2 + (y-2a)^2 = r^2
とおくことができて、これが原点(0,0), 点(2,4)を通る…とすれば、a,r が判明し、円の方程式が分かります。

別の解としては、原点・点(2,4) とも直線 y=2x 上にあることを利用する方法もあります。
つまり、円上の2点 ( 原点・点(2,4) ) と中心が一直線上にあるということで、原点・点(2,4) は直径の両端となるわけで、円の方程式は
　(x-0)(x-2)+(y-0)(y-4)=0
と計算できるわけです。
…一気にこの方程式を出すのがこわければ、円の中心が直径の中点、つまり原点と点(2,4) の中点(1,2) になる所から攻めていっても良いでしょう。

No.14417 - 2011/07/31(Sun) 20:59:46

☆ Re: / 西堀

そうですね！
おりがとうございます！
おかげでできました。

No.14423 - 2011/07/31(Sun) 22:41:26

★ 平面図形と三角比 / るるる

点Oを中心とする円Oの円周上に四角形ABCDがあり、辺の長さはそれぞれAB=2、BC=２√５、CD=√２、DA=√１０である。角ABC＝θとおくと、COSθ＝１／√５である。
よってAC=４であり、円Oの半径は√５である。
点Aにおける円Oの接線と点Bにおける円Oの接線の交点をEとし、線分OEと辺ABの交点をFとする。このとき角AFE=？である。
更に点Aから線分BCにおろした垂線とBCの交点をHとする。
このとき４点？、？、F、Hは同一円周上にありその円の半径は？である。

？で書いてあるところの値が求まりません。

No.14414 - 2011/07/31(Sun) 20:28:55

☆ Re: 平面図形と三角比 / ヨッシー

△ＯＡＥと△ＯＢＥは合同な直角三角形
△ＯＡＦと△ＯＢＦも合同な直角三角形
より、∠ＡＦＥ＝90°

ＯＥとＡＨの交点がＧとでも記号が付いていれば、
Ｂ、Ｇ、Ｆ、Ｈ　も同一円周上にある点ということになりますが、
この問題の場合は、そうではなく、
Ｏ，Ａ，Ｆ，Ｈ（円周角が直角）が答えで、半径は√5/2 です。

No.14418 - 2011/07/31(Sun) 21:03:10

☆ Re: 平面図形と三角比 / るるる

ＢＣが円Ｏの直径であることは、どうすればわかりますか？

No.14420 - 2011/07/31(Sun) 21:42:45

☆ Re: 平面図形と三角比 / るるる

あ・・

すいません・・
もうすでに半径が求めてあってその２倍がＢＣと一致するからですね。

わかりました！

ありがとうございます！

No.14421 - 2011/07/31(Sun) 21:47:03

★ 群数列 / ハーイ

数列1，1，3，1，3，5，1，3，5，7，1，3，5，7，9、…において次の問いに答えよ。ただし、k、m、nは自然数とする。
(1)k+1回目に現れる１は第何項か。
(2)M回目に現れる17は第何項か。
(3)初項からK+1回目の１までの項の和を求めよ。
(4)初項から第n項までの和をＳnとするとき、Ｓn＞1300となる最小のnを求めよ。

No.14409 - 2011/07/31(Sun) 18:15:38

☆ Re: 群数列 / ヨッシー

第１群：1
第２群：1,3
第３群：1,3,5
　・・・
第ｎ群：1,3,5,・・・2n-1
と呼ぶことにします。
(1) 各群必ず１を含むので、k+1 回目の１は、第k+1群の第１項となります。
第ｋ群の最後の項までの項数は
　１＋２＋・・・＋ｎ＝n(n+1)/2
なので、k+1 回目の１は第n(n+1)/2＋１項

(2)17 は、第９群の第９項に最初に現れ、以降各群の第９項に現れます。
つまり、Ｍ回目の１７は、第Ｍ＋８群の第９項です。
(以下、(1) と同じ考え方です)

(3)
第１群の和は１，第２群の和は４　・・・　第ｎ群の和はｎ^2
であるので、
初項から、第Ｋ群までの和は
　1^2＋2^2＋・・・＋Ｋ^2＝K(K+1)(2K+1)/6
よって、Ｋ＋１回目の１までの和は K(K+1)(2K+1)/6＋１

(4)
初項から、第ｎ群の最後の項までの和を調べると、
第15群までの和：1240
第16群までの和：1496
なので、Sn が1300 を超える最初の項は、第16群にあります。
1240 では、1300 に60 足りないので、第16群の第8項で
1300を超します。
よって、　15^2＋8＝233・・・答え

　

No.14412 - 2011/07/31(Sun) 19:57:26

☆ Re: 群数列 / ハーイ

ありがとうございました

No.14419 - 2011/07/31(Sun) 21:32:22

★ 解と係数の関係。 / 林檎

?@2次方程式x^2-6x+a=0の一つの解が他の解の平方であるとき、定数aの値と2つの解を求めよ。

?A2次方程式x^2-p^2x-p=0の二つの解にそれぞれ1を加えたものに等しい。このとき、定数pの値を求めよ。

?Baは実数の定数とする。2次方程式x^2+2(3a-1)+9a^2-4=0の解がともに正であるとき、aの値の範囲を求めよ。

ばらばらにいくつも質問するのは失礼だと思い一度に３つも書きました。
分かるものだけでもいいので解答、解説、どなたかよろしくお願い致します。

No.14397 - 2011/07/31(Sun) 16:48:15

☆ Re: 解と係数の関係。 / X

(1)
題意から２つの解はt,t^2と置くことができますので解と係数の関係から
t+t^2=6 (A)
t^3=a (B)
(A)(B)をt,aの連立方程式と見て解きます。
((A)をまず解きましょう。)

(2)
内容が意味不明です。問題文にタイプミスはありませんか？。

(3)
まず問題の方程式は実数解を持つので解の判別式をDとすると
D/4=(3a-1)^2-(9a^2-4)≧0 (A)
次に２つの解をα、βとすると
α+β＞0かつαβ＞0
∴解と係数の関係から
-2(3a-1)＞0 (B)
9a^2-4＞0 (C)
(A)(B)(C)を連立して解きます。

No.14398 - 2011/07/31(Sun) 16:56:32

☆ Re: 解と係数の関係。 / 林檎

> (2)
> 内容が意味不明です。問題文にタイプミスはありませんか？。

ああ！本当だ！すみません。
2次方程式x^2-p^2x-p=0の二つの解はx^2+px-1=0の二つの解にそれぞれ１を加えたものに等しい。このとき、定数pの値を求めよ。

です。

（１）（３）、ちょっとやってきます！

No.14399 - 2011/07/31(Sun) 17:09:42

☆ Re: 解と係数の関係。 / ヨッシー

(2)
x^2+px-1=0 の解をα、β とすると、解と係数の関係より
　α＋β＝－ｐ、　αβ＝－１
これに対して、α＋１，β＋１を解とする２次方程式を考えると、
　(α＋１)＋(β＋１)＝(α＋β)＋２＝－ｐ＋２
　(α＋１)(β＋１)＝αβ＋(α＋β)＋１＝－ｐ
x^2-p^2x-p=0 の係数と比較して、(以下略)

No.14401 - 2011/07/31(Sun) 17:17:47

☆ Re: 解と係数の関係。 / 林檎

> (2)
> x^2+px-1=0 の解をα、β とすると、解と係数の関係より
> 　α＋β＝－ｐ、　αβ＝－１
> これに対して、α＋１，β＋１を解とする２次方程式を考えると、
> 　(α＋１)＋(β＋１)＝(α＋β)＋２＝－ｐ＋２
> 　(α＋１)(β＋１)＝αβ＋(α＋β)＋１＝－ｐ
> x^2-p^2x-p=0 の係数と比較して、(以下略)

おかげで１と３は解けました。
２は答えが合いません・・・
-p^2=-p+2ですか？

No.14404 - 2011/07/31(Sun) 17:40:34

☆ Re: 解と係数の関係。 / ヨッシー

２次方程式 ax^2+bx+c=0 の解がα、β　←→　α＋β＝-b/a、αβ＝c/a
ですが、-p^2=-p+2では、α＋β＝-b/a のマイナスが落ちてますね。

No.14407 - 2011/07/31(Sun) 17:58:12

★ 数?U / up

xは正の実数としx^2+4x-1=0を満たす。
A=1+(1+x)+(1+x)^2+(1+x)^3

No.14395 - 2011/07/31(Sun) 16:29:58

☆ ごめんなさい。 / up

すみません。ENTER押してしまいました。
上の途中からです。
A=1+(1+x)+(1+x)^2+(1+x)^3
B=(1+x)^3
とおくとき、A/B（B分のA）の値を求めよ。

まずはx^2+4x-1=0を解いたらいいのでしょうか？

No.14396 - 2011/07/31(Sun) 16:35:54

☆ Re: 数?U / ヨッシー

まずは x^2+4x-1=0 を解いて、ｘ＝－２±√５
　Ｘ＝ｘ＋１＝－１±√５
とおくと、解と係数の関係より、Ｘは、
　Ｘ^2＋２Ｘ－４＝０
を満たします。すると、
　Ｘ^2＝－２Ｘ＋４
　Ｘ^3＝－２Ｘ^2＋４Ｘ＝－２(－２Ｘ＋４)＋４Ｘ＝８Ｘ－８
が成り立ちます。

　Ａ＝１＋Ｘ＋Ｘ^2＋Ｘ^3＝７Ｘ－３＝－１０±７√５
　Ｂ＝Ｘ^3＝８Ｘ－８＝－１６±８√５
であるので、
　Ａ／Ｂ＝(１５±４√５)/８

No.14400 - 2011/07/31(Sun) 17:12:00

☆ Re: 数?U / angel

> まずはx^2+4x-1=0を解いたらいいのでしょうか？
もちろん、それでも解けます。
ただし、それなりに苦労します。…計算が大変なので。

ということで、この問題のお題としては、いかに計算で楽をしましょうか、という所になるのです。

ただ、一度どれだけ大変かを体感しないと、どこでどう楽をしようかとか、そういう考えが理解できないかもしれないので、全部やる必要はありませんが、地道に計算を試してみるのも良いかもしれません。

つまり、何も工夫なしに解くなら、
　x^2+4x-1=0 を解く
　解のうち x＞0 の方を選ぶ (「xは正の実数とし」の条件から )
　xの値を代入し、Aを計算する
　xの値を代入し、Bを計算する
　A/B を計算する
という方法でできるわけで、それをある程度やってみよう、ということです。

No.14402 - 2011/07/31(Sun) 17:18:33

☆ Re: 数?U / angel

ヨッシーさんの解ですが、xが正の実数であるという条件を盛り込んでいませんので、2通りの値が出てしまっています。
正しくは、各±のプラス側だけを採用した、A/B=(15+4√5)/8 となります。

No.14403 - 2011/07/31(Sun) 17:30:02

☆ Re: 数?U / angel

もし私が解くとしたら、
　A/B = (1/(1+x))^3 + (1/(1+x))^2 + 1/(1+x) + 1
という形をしているところから、y = 1/(1+x) と置いて、文字式の分数を解消することを考えます。
そうすると、
　A/B = y^3+y^2+y+1
　y=1/(1+x) より x=(1/y)-1、さらに x＞0 という条件より 1/y＞1 すなわち 0＜y＜1
　x^2+4x-1=0 という条件に x=(1/y)-1 を代入し、まとめて 4y^2-2y-1=0 これを解いて 0＜y＜1 に適合する方は y=(1+√5)/4
最後に、
　A/B = y^3+y^2+y+1 = (y/4+3/8)(4y^2-2y-1) + 2y + 11/8
と変形できる ( 文字式の割り算 (y^3+y^2+y+1)÷(4y^2-2y-1) の結果 ) ので、
これに 4y^2-2y-1=0 と y=(1+√5)/4 を代入して計算して終わり。

…以上の解は、別にそうやらなければならないわけではなくて、あくまで計算を楽にすることを考えて工夫した内容です。ちなみに、xの値そのものを求める必要はないことにも注意しましょう。

No.14405 - 2011/07/31(Sun) 17:48:13

☆ Re: 数?U / ヨッシー

あ、ｘは正の実数とありますね。
失礼しました。

No.14406 - 2011/07/31(Sun) 17:50:46

☆ Re: 数?U / up

なるほど！
まずは x^2+4x-1=0 を解いて、ｘ＝－２±√５
わたしはそこでxが実数だからx=-2+√5で計算してました！
たしかに大変ですね・・・・・

No.14408 - 2011/07/31(Sun) 18:07:45

☆ Re: 数?U / up

> もし私が解くとしたら、
> 　A/B = (1/(1+x))^3 + (1/(1+x))^2 + 1/(1+x) + 1
> という形をしているところから、y = 1/(1+x) と置いて、文字式の分数を解消することを考えます。
> そうすると、
> 　A/B = y^3+y^2+y+1
> 　y=1/(1+x) より x=(1/y)-1、さらに x＞0 という条件より 1/y＞1 すなわち 0＜y＜1
> 　x^2+4x-1=0 という条件に x=(1/y)-1 を代入し、まとめて 4y^2-2y-1=0 これを解いて 0＜y＜1 に適合する方は y=(1+√5)/4
> 最後に、
> 　A/B = y^3+y^2+y+1 = (y/4+3/8)(4y^2-2y-1) + 2y + 11/8
> と変形できる ( 文字式の割り算 (y^3+y^2+y+1)÷(4y^2-2y-1) の結果 ) ので、
> これに 4y^2-2y-1=0 と y=(1+√5)/4 を代入して計算して終わり。
>
> …以上の解は、別にそうやらなければならないわけではなくて、あくまで計算を楽にすることを考えて工夫した内容です。ちなみに、xの値そのものを求める必要はないことにも注意しましょう。

こんな解き方もあったとは・・・
ありがとうがざいます。

No.14410 - 2011/07/31(Sun) 19:46:45

☆ Re: 数?U / up

> 　Ａ＝１＋Ｘ＋Ｘ^2＋Ｘ^3＝７Ｘ－３＝－１０±７√５
> 　Ｂ＝Ｘ^3＝８Ｘ－８＝－１６±８√５
> であるので、
> 　Ａ／Ｂ＝(１５±４√５)/８

A/Bの計算はどうしたらいいのですか？

No.14411 - 2011/07/31(Sun) 19:48:26

☆ Re: 数?U / ヨッシー

angel さんのご指摘で、ｘは正の数のみであるので、
Ａ＝－１０＋７√５
Ｂ＝－１６＋８√５
として計算します。
　Ａ／Ｂ＝(-10+7√5)/(-16+8√5)
　　＝(-10+7√5)(16+8√5)/(-16+8√5)(16+8√5)
　　＝(120+32√5)/(320-256)
　　＝(120+32√5)/64
　　＝(15+4√5)/8
です。
Ａ＝－１０－７√５
Ｂ＝－１６－８√５
も許すなら、同様に計算して、
　Ａ／Ｂ＝＝(15－4√5)/8
となります。

No.14413 - 2011/07/31(Sun) 20:04:43

★ 数列 / dj23

a1=5,a(n+1)=3+(n+2/n+4)a(n)(n＝１，２、・・・）
b2=6,b(n+1)=3+(n+2/n+4)b(n)（ｎ＝１，２、・・・）
（１）a(n)を帰納法で求めよ→a(n)=n+4(n=1,2,,,)
（２）b(n)-a(n)とb(n-1)-a(n-1)の関係を求めよ（ｎ≧２）
（３）ｂ（ｎ）を求めよ

b(n)-a(n)=(n+1/n+3)(ｂ(n-1)-a(n-1))(n＝２、３、・・）

＝(n+1/n+3)(n/n+2)(b(n-2)-a(n-2))=・・・
＝{4・３/(n+3)(n+2)}(b1-a1)(n=1,2のときも成立・・・★）
a1=5,b1=6よりb(n)-a(n)=12/(n+3)(n+2)
とあるのですが
★でなぜｎ＝１，２の成立の確認を言わなければいけないのかが分かりません）

どなたか教えて下さい。よろしく御願いします。

No.14390 - 2011/07/31(Sun) 05:07:46

☆ Re: 数列 / angel

n=1 の成立は別途言う必要があります。
なぜなら、n≧2 においては b(n)-a(n)=(～)×(b(n-1)-a(n-1)) の形をしていることから b(n)-a(n)=(…)×(b(1)-a(1)) ということが導けますが、b(1)-a(1) だけはこの形にあっていないからです。

しかし今回、n=2 の成立を別途言う必要はありません。

ちゃんと帰納法の形で書けばそれほど悩むこともないのですが、dj23さんの挙げた解答のように書くなら、

　b(n)-a(n)=(n+1)/(n+3)・(b(n-1)-a(n-1))　( n≧2 )
　　　　　=( (n+1)・…・3 )/( (n+3)・…・5 )・(b(1)-a(1))　( n≧2 )
　　　　　=( (n+1)・…・3・2/2 ) / ( (n+3)・…・5・4・3・2/24 )・(b(1)-a(1))　( n≧2 )
　　　　　= 12( (n+1)・…・2 )/( (n+3)・…・2 )・(b(1)-a(1))　( n≧2 )
　　　　　= 12/( (n+3)(n+2) )・(b(1)-a(1))　( n≧2 )
　
　※ (n+1)・…・3 は 3から(n+1)までの整数全てを掛け合わせたものを表します。他の類似の表現も同様です

と考えることができるからです。これで n≧2 の全てのケースを同じ計算で導けます。

No.14391 - 2011/07/31(Sun) 08:13:02

☆ Re: 数列 / angel

ちなみに、場合の数で出てくる ! や P を使えば、もっと簡潔に書くこともできます。

　! ：階乗、例えば 4! = 4・3・2・1
　P ：順列、nPm とは nから大きい順に m個の整数を掛け合わせたもの
　　　例えば 6P4 = 6・5・4・3 = 6!/2! = 6!/(6-4)!
　　　つまり、一般に nPm = n!/(n-m)!

これでさっきの式を書き直すと、

　b(n)-a(n)=(n+1)/(n+3)・(b(n-1)-a(n-1))　( n≧2 )
　　　　　= (n+1)P(n-1) / (n+3)P(n-1) ・(b(1)-a(1))　( n≧2 )
　　　　　= ( (n+1)!/2! )/( (n+3)!/4! )・(b(1)-a(1))　( n≧2 )
　　　　　= 4!/2!・(n+1)!/(n+3)!・(b(1)-a(1))　( n≧2 )
　　　　　= 12/((n+3)(n+2))・(b(1)-a(1))　( n≧2 )

となります。
なお、1行目から2行目で Pの右に(n-1)が現れるのは、b(n)-a(n) から b(1)-a(1) に落としていくときに、(n-1)個の数をかけていくからです。
※分子は (n+1) から大きい順に(n-1)個なので (n+1)P(n-1)、分母は (n+3) からなので (n+3)P(n-1)

No.14392 - 2011/07/31(Sun) 08:23:54

☆ 回答ありがとうございます。 / ｄｊ２３

つまりb(n)-a(n)=(n+1/n+3)(ｂ(n-1)-a(n-1))(n＝２、３、・・）

＝(n+1/n+3)(n/n+2)(b(n-2)-a(n-2))=・・・
＝{4・３/(n+3)(n+2)}(b1-a1)(n=1,2のときも成立・・・★）
a1=5,b1=6よりb(n)-a(n)=12/(n+3)(n+2)
の★のタイミングではｎ＝１，２の確認は不必要ということですよね？ちなみにこれは解答をそのままうつしたのですが、誤植といっていいのですよね？

誤植を訂正した答案を作ってみました）

b(n)-a(n)=(n+1/n+3)(ｂ(n-1)-a(n-1))(n＝２、３、・・）

＝(n+1/n+3)(n/n+2)(b(n-2)-a(n-2))（ｎ＝２，３、・・）=・・・
＝{4・３/(n+3)(n+2)}(b1-a1)（ｎ＝２，３、・・・）
a1=5,b1=6よりb(n)-a(n)=12/(n+3)(n+2)（ｎ＝２，３、・・）・・☆
このときb(１)-a(１)=６－５＝１＝12/（1+3)(1+2)より
☆はｎ＝１でも成立
よってb(n)-a(n)=12/(n+3)(n+2)（ｎ＝１、２、３、・・）・・☆

これであっていますか？

No.14393 - 2011/07/31(Sun) 09:25:06

☆ Re: 数列 / angel

良いと思いますよ。

後はできれば、帰納法として解答を書けた方がより良いでしょう。( そちらの方が曖昧さが消えるので、ケチのつけにくい解答になるため )

No.14394 - 2011/07/31(Sun) 10:28:00

★ 数学　ベクトル / mtur

３点O､A､Bは一直線上にない点とし､OCﾍﾞｸﾄﾙ＝2OAﾍﾞｸﾄﾙ＋2OBﾍﾞｸﾄﾙとする｡また､OAﾍﾞｸﾄﾙ＝aﾍﾞｸﾄﾙ､OBﾍﾞｸﾄﾙ＝bﾍﾞｸﾄﾙとおく｡

(1)点PをBPﾍﾞｸﾄﾙ＝tBCﾍﾞｸﾄﾙ(tは実数)を満たす点とする｡このとき､OPﾍﾞｸﾄﾙをaﾍﾞｸﾄﾙ､bﾍﾞｸﾄﾙ､tで表せ｡

(2)点QをOQﾍﾞｸﾄﾙ＝2sOAﾍﾞｸﾄﾙ(sは実数)を満たす点とする｡PとQの中点をMとする｡t､sが0≦t≦1､0≦s≦1を満たしながら変化するとき､点Mの存在する範囲を図示せよ｡

(１)は大丈夫です。
問題は(２)なんですが
OM→＝(OB→/2)＋tOC→＋sOA→　のところまでいきました。
(OB→/2)＝OB'→とすると
OM→＝OB'→＋tOC→＋sOA→
ここからがわかりません。
http://www.densu.jp/kobe/01kobelsol.pdfに図がのっているのですが何度かいても図のようになりません。
誰か分かる方教えてください。お願いします。

No.14386 - 2011/07/29(Fri) 21:21:36

☆ Re: 数学　ベクトル / ヨッシー

関係ないかも知れませんが、
　ＯＣ＝２ＯＡ＋３ＯＢ
では？（ＯＢの係数）

No.14388 - 2011/07/29(Fri) 23:07:43

★ 数学　高２　 / mtur

実数ｔに対してxy平面上の直線
ｌ:y=2tx-t^2を考える。
ｔが｜t｜≧1の範囲を動くとき、直線ｌが通る点(x,y)の全体を図示せよ。

だいたいこういう系統の問題は
「直線y=2tx-t^2・・・?@の通過する点を(X 、Y)とするとY=2tX-t^2 がt≦-1、1≦t の範囲に少なくとも?@を満たすｔが１つ存在すればよい。」
という感じであとは解の配置問題として解けばいいと思うんですけど分からないところがあります。

(?],Y)は?@を通るのでY=2t?]-t^2
これをｔについての２次方程式とみてt^2-2?]t＋Y=0
平方完成すると、(ｔ－?])^2 -?]^2＋Y＝０となり
軸の方程式はt=?]

このあと?]≦-1 、?]>1のとき条件はf(?])≦0
-1＜?]≦０のときｆ(-1)≦0
0<?]≦1のとき f(1)≦0

と、どの場合でもまず１個は必ずt≦-1 1≦tの範囲にもつことはわかるんですけど
例えば-1＜?]≦0のとき f(-1)≦０かつf(1)≦0とすれば t≦-1 1≦tの範囲にそれぞれ１個ずつもって合計２個もちますよね。
ほかにも?]≦-1のときｆ(?])＜０かつｆ(－１)≧０であればこれはｔ≦-1の範囲に２個もちますよね。

解答では上記に書いた場合わけで本当に一個だけもてばよいというかんじでやってました。
ですが、２個持つ場合もあるから
(少なくとも１つもつ)＝(１こもつ)＋(２こもつ)と考えたほうがいいんじゃないかとおもったんですけど
どうして１こだけでもいいんですかね？
誰か分かる方教えてください。おねがいします

No.14384 - 2011/07/29(Fri) 18:50:09

☆ Re: 数学　高２　 / angel

方程式 t^2-2Xt+Y=0 が解を2個持ったとして、それをα,βとしましょう。
それが何を意味するかというと、元の直線の方程式のような形に直すと、
　Y=2αX-α^2
　Y=2βX-β^2
ということで、点(X,Y)は、直線 y=2αx-α^2 にも、y=2βx-β^2 にも含まれる、ということになるわけです。
※添付の図は、(X,Y)=(2,3), α,β=1,3 の場合の例

ところで、今調べていたのは、点(X,Y)が、**どれか1本でも良いので** y=2tx-t^2 (|t|≧1) の形の直線に含まれるかどうかでした。
ということは、適合する直線が1本でも2本でもどちらでも良くて、1本見つかればそれで十分なのです。

これが、tの2次方程式の方で考えると、解が1個でも見つかるかどうかが焦点で、2個見つけることに特に意味はない、となります。

No.14387 - 2011/07/29(Fri) 22:01:09

★ 数列　高ニ / わわわ

第二項が２第五項が１１の数列Anがある
二つの一般項BnとCnは
Bn＝An＋２
Cn=An-2
B1、B2、B3・・・とC1、C2、C3を合わせたすべての項を小さいほうから順に並べてつくられる数列をDnとする

Dnについてk＝１から２nまでのΣDkをnで表せ
よろしくお願い致します

No.14378 - 2011/07/29(Fri) 00:31:25

☆ Re: 数列　高ニ / ヨッシー

数列An の第２項、第５項以外の情報はありませんか？
等比数列とか、等差数列とか。

No.14379 - 2011/07/29(Fri) 04:01:48

☆ Re: 数列　高ニ / わわわ

> すみません　等差数列です

No.14380 - 2011/07/29(Fri) 12:06:24

☆ Re: 数列　高ニ / わわわ

DnはC1,C2,B1,C3,B2,C4,B3,B5・・・の順にナルトは思うのですが・・・

No.14381 - 2011/07/29(Fri) 12:15:23

☆ Re: 数列　高ニ / ヨッシー

An は -1, 2, 5, 8, 11, 14, ・・・
Bn は 1, 4, 7, 10, 13, 16, ・・・
Cn は -3, 0, 3, 6, 9, 12, ・・・
という数列なので、
Dn は -3, 0, 1, 3, 4, 6, 7, 9, 10, ・・・
という数列になり、
　Σ[k=1～2n]Dn＝Σ[k=1～n-1]Bk＋Σ[k=1～n+1]Ck
ただし、n=1 の時は、C1+C2
と表せます。
Bn＝3n-2, Cn＝3n-6 より、
　Σ[k=1～2n]Dk＝3n(n-1)/2-2(n-1)＋3(n+1)(n+2)/2-6(n+1)
　　＝3n^2-5n－1
これは、n=1 のときも満たす。よって、
　Σ[k=1～2n]Dk＝3n^2-5n－1

No.14382 - 2011/07/29(Fri) 14:31:37

☆ Re: 数列　高ニ / わわわ

わかりました。ありがとうございました

No.14383 - 2011/07/29(Fri) 14:57:45

★ 集合 / ハオ

選択公理について理解が出来ません。
定義：空でない集合Aの元が全て空でない集合だとする。このときAから和集合∪Aへの写像fでAの全ての元xに対してf(x)∈xとなるものが存在する。

だそうですが、A＝∪Aではないのですか？
つまり、A={A_i;i∈I}と∪Aは同じものを表すと思うのですが、それだと選択公理がいまいち理解出来ません。
自分なりに考えてみたのですが∪AはAの元の元全体を表すもので、Aは単にAの元即ち単に集合A_i,i∈Iのそれぞれを指すものであってA_i,i∈Iの元には注目しないとすれば何となく理解できる気がしますがあっていますか？

つまり、Aの全ての元xに対して　というのは Aの元の集合A_i,i∈I であり　f(x)というのはA_i,i∈Iの元を表す。
そう考えれば f(x)∈xというのも納得できるのですが、どうでしょうか。

No.14375 - 2011/07/28(Thu) 01:05:50

☆ Re: 集合 / ast

> だそうですが、A＝∪Aではないのですか？
はい違います. ふつう, 集合族 M に対して ∪M は M に属する集合すべてに関する和 ∪_[x∈M]x をあらわします. これは適当な添字集合 Λ をとって, M = {m_λ | λ ∈ Λ} と書くならば, ∪M = ∪_[λ∈Λ]m_λ と書いても同じことです. したがって
> ∪AはAの元の元全体を表すもの
という解釈が正しい. 参照されている文献のどこかにこういったことに関する断り書きは無いのでしょうか, ないのであれば別の文献も並行して読まれることを薦めます.

結局のところ,
> Aの全ての元xに対してf(x)∈xとなるもの
これは取りも直さず, 選択函数 f は A に属する各々の集合 (それは仮定により空でない) からそれぞれひとつずつ元を拾い出すものであるという意味です.

No.14376 - 2011/07/28(Thu) 03:04:29

☆ Re: 集合 / ハオ

astさん回答有難う御座います。
注意深く参考書を読んだところ、∪AはAの元の元の全体であるという記述がありました。最初読んでいた頃には、特に気にもせず、Aも元全体を表すんだから同じじゃん！と勘違いしていました。
朧げですが理解できた気がします。（←否定的な意味ではなく、日々精進するという意味合いを込めて）
本当に有難う御座いました。
また集合論の参考書を読んでわからなくなった所は質問させて頂くと思いますがよろしくお願いします。

No.14377 - 2011/07/28(Thu) 17:34:27