xy平面上に、放物線C：y=ｘ^2、 直線l=mx-m+2がある。Cとｌの交点をA,Bとし、線分ABの中点をM,A,BにおけるCの接点の交点をNとする。このとき、次の問いに答えよ。
（１）Nの座標をmを用いて表せ。
（２）△ABN≦４√２となるとき、点Mの軌跡を求めよ。
はじめまして、よろしくお願いします。
まず、放物線Cと直線lをイコールとして交点のX座標を求めようをしたのですが、計算がややこしくなりすぎてよく分からなくなりました。
わかりません、よろしくお願いします。
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No.14674 - 2011/08/20(Sat) 07:54:35
| ☆ Re: 図形と方程式 / jona san gold  | | | すいません １行目訂正です
直線l=mx-m+2 → 直線l y=mx-m+2
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No.14675 - 2011/08/20(Sat) 07:57:05 |
| ☆ Re: 図形と方程式 / angel | | | もし計算の大変さを考えずに、順に処理していくならば…
1. 放物線Cと直線lの交点A,Bを求める
2. 1.で求めた交点A,BにおけるCの接線(2本分)を求める
3. 2.で求めたCの接線(2本)の交点Nを求める
となるわけですが、実際にやってみてわかるとおり、そのままやるのは大変面倒です。
ならばどうするか。2,3を先にやってしまえば良いです。
具体的な値が分かっていないとしても、分かっているものとして計算を進められるのが、文字式の醍醐味です。
例えば、A,Bのx座標 ( 1.における2次方程式の解 ) をそれぞれα,β ( α＜β ) とすれば、Aにおける接線は y=2αx-α^2、Bにおける接線は y=2βx-β^2 と求められます。(※理由は後述)
α,βの値は分かっていませんが、文字としておいてしまうことで、先の計算を簡単に行えるわけです。この形であれば、3. も楽に対処できます。
なお、最終的には、このα,βの値 ( 1. における2次方程式の解 ) は具体的に求める必要すらなくなります。「解と係数の関係」を使うだけで十分だからです。
ただ、2,3 を先にやってから 1. に立ち返ればそれで十分に楽はできていますので、α,βの値を求めて代入してあげても問題はありません。
※ y=x^2 と y=px+q が、x=α において接するという条件で p,q を求めると…
辺々引いてできる xの2次方程式 x^2-px-q=0 が重解αを持つということで、
x^2-px-q=(x-α)^2 がxに関する恒等式
そのため、p=2α, q=-α^2
もし微分を習っていれば、そこから接線の傾きが2αと導く方法でも良いです。
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No.14688 - 2011/08/20(Sat) 21:24:22 |
| ☆ Re: 図形と方程式 / ヨッシー  | | | Ｃとｌを連立させて、
x^2−mx＋m−2＝０
この２解をα、β(α＜β)とし、Ａ：(α,α^2)、Ｂ：(β, β^2) とします。
Ａにおける接線の式は、ｙ＝2αｘ−α^2
Ｂにおける接線の式は、ｙ＝2βｘ−β^2
これらの交点は、((α+β)/２, αβ)
解と係数の関係より、Ｎ：(m/2, m-2)
ちなみに、Ｍ：((α+β)/２, (α^2＋β^2)/２)＝(m/2, (m^2-2m+4)/2)
であり、ＭとＮのｘ座標は同じであるので、
△ＡＢＮ＝ＭＮ・(β−α)/２
さらに、
β−α＝√(m^2−4m＋8)
ＭＮ＝(m^2−4m＋8)/２
であるので、
△ＡＢＮ＝(m^2−4m＋8)^(3/2)/４≦４√2
は、
(m^2−4m＋8)^(3/2)≦16√2＝８^(3/2)
を表し、3/2＞１ より
m^2−4m＋８≦８
m^2−4m≦0
0≦m≦4
この範囲における、Ｍ：(m/2, (m^2-2m+4)/2) の軌跡が求める軌跡となります。
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No.14689 - 2011/08/20(Sat) 21:33:25 |
| ☆ Re: 図形と方程式 / jona san gold | | | 返信遅れてすみません
本当に親切な解説ありがとうございました
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No.14708 - 2011/08/22(Mon) 22:34:06 |
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