ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ xについての恒等式 / しろ

cの値は？

a(x-2)^2+b(x-1)+c=2x^2-9x+6

途中式を含め解法を教えてください。
よろしくお願いします。

No.13849 - 2011/05/23(Mon) 20:52:25

☆ Re: xについての恒等式 / X

問題の恒等式を(A)とします。
解法その１)
((A)の左辺)=a(x^2-4x+4)+b(x-1)+c
=ax^2+(b-4a)x+4a-b+c
これと(A)の右辺との係数を比較すると
a=2 (B)
b-4a=-9 (C)
c=6 (D)
(B)(C)(D)を連立して解きます。

解法その２)
(A)は任意のxに対して成立するので、
x=0,1,2のときも成立します(必要条件)。(P)
よってx=0,1,2を(A)に代入して
4a-b+c=6 (B)
a+c=-1 (C)
b+c=-4 (D)
(B)(C)(D)を連立して解いてa,b,cを求めます。
(但しこの解法では(P)により、求めたa,b,cに対して
(A)が成立することを確かめなくてはいけません。)

No.13853 - 2011/05/23(Mon) 22:45:02

☆ Re: xについての恒等式 / しろ

Xさん回答ありがとうございます。

=ax^2+(b-4a)x+4a-b+c
ココから下の、係数の比較と連立が理解できてません。

これと(A)の右辺との係数を比較すると
a=2 (B)
b-4a=-9 (C)
c=6 (D)
(B)(C)(D)を連立して解きます。

答えは-3です。アドバイス頂ければ幸いです。

No.13856 - 2011/05/24(Tue) 19:11:50

☆ Re: xについての恒等式 / X

ごめんなさい、(D)を間違えてますね。
正しくは
4a-b+c=6 (D)
です。

No.13857 - 2011/05/24(Tue) 21:00:40

☆ Re: xについての恒等式 / しろ

ありがとうございました。
解法２で理解できました。

解法１は私の力不足で理解できませんでした＞＜

No.13861 - 2011/05/25(Wed) 22:36:08

☆ Re: xについての恒等式 / X

では解法その１の
a=2 (B)
b-4a=-9 (C)
4a-b+c=6 (D)
を連立して解いてみます。
(B)を(C)に代入して
b-8=-9
∴b=-1 (C)'
(B)(C)'を(D)に代入して
8+1+c=6
∴c=-3
よって
(a,b,c)=(2,-1,-3)
となります。

No.13862 - 2011/05/25(Wed) 23:18:21

☆ Re: xについての恒等式 / くろ

教科書読めば分かるだろ？
学校行ってんのか？

No.13863 - 2011/05/27(Fri) 12:00:16

★ 中点連結定理 / ぜっとん

　ADとBCは平行、AD=10?p、BC=16?pの台形で、AB,ACの中点をM,Nとする。このとき、四角形AMNDと四角形MBCNの面積の比を求めなさい。ただし、MNとBCは平行であることを利用してよい。

No.13845 - 2011/05/22(Sun) 21:21:55

☆ Re: 中点連結定理 / X

題意から四角形AMNDと四角形MBCNは高さが等しい台形と
みなすことができるので、この高さをh[cm]とし
MN=x[cm]
四角形AMNDと四角形MBCN面積をS[cm^2],T[cm^2]
とすると
S=(1/2)(x+10)h (A)
T=(1/2)(x+16)h (B)
一方△ABCにおいて中点連結定理により
x=(1/2)BC=8[cm] (C)
(A)(B)(C)より
S:T=…

No.13847 - 2011/05/23(Mon) 10:23:22

★ 移項の図形的意味 / rio

方程式における移項の操作の意味について質問です。

3x+5=5x+1
という方程式は
y=3x+5
y=5x+1
という2つの関数のグラフの交点のx座標を求めることですよね。
また、元の方程式を移項して
2x=4
としてみると、これは
y=2x
y=4
という2つの関数のグラフの交点のｘ座標を求めることです。
つまり
y=3x+5
y=5x+1
という2つのグラフの交点のx座標は、移項という操作を経て
y=2x
y=4
という2つのグラフの交点として考えても同じということになります。
これは、最初の2つのグラフが移項によって交点のx座標を維持したまま別の2つのグラフに移動されたとも言えるとおもいます。

中1以来、「式の同値変形」として何気なく行っていた移項という操作は、2つのグラフの交点のx座標を維持したままの移動という「図形的な意味」を持っているのでしょうか？

宜しくお願い致します。

No.13843 - 2011/05/22(Sun) 10:16:05

☆ Re: 移項の図形的意味 / そら

y=5x+1がy=4に"変化"することがグラフの移動なのかという疑問はありますが,
そして"意味"という言葉を与えるほどなのかは分かりませんが,
たぶんそういうことになると思います.

No.13844 - 2011/05/22(Sun) 11:31:19

☆ Re: 移項の図形的意味 / rio

早速のご返信ありがとうございます。
移項が、「交点を中心とした回転移動とy軸方向の移動」という操作になっていると言えるのですね。
もう少し踏み込んで、行列などで表現出来て、より具体的に「移項」と「グラフの移動」のつながりを掴めないものなのでしょうか？

No.13848 - 2011/05/23(Mon) 15:49:05

☆ Re: 移項の図形的意味 / angel

いや、移項という操作に図形的な意味を求めるのは苦しいと思います。
1次関数ならまだしも、2次以上の関数やら何やらでは説明がつかないでしょう。

移項ってそもそも、等号（不等号）を挟んだ両辺に同じ項を足しても（引いても）、等号（不等号）は同様に成立するって話の延長ですからね。

No.13854 - 2011/05/24(Tue) 01:06:09

☆ Re: 移項の図形的意味 / rio

ありがとうございました。少し不思議な関係だなと思いましたが、残念です。自分でもさらに考察してみたいと思います。

No.13858 - 2011/05/25(Wed) 05:02:39

★ (No Subject) / ケレンスキー

ガラスでできた玉で、赤色のものが４個、青色のものが４個、白色のものが１個ある。玉には中心を通って穴があいているとする。これらすべての玉に糸を通して首輪を作る方法は何通りあるか。
よろしくおねがいします。

No.13839 - 2011/05/21(Sat) 14:45:18

☆ Re: / らすかる

白を基準にして残り8個の並び方を考えた場合、
表裏を別々として8C4通り
そのうち裏返しても変わらないのが4C2通り
よって求める答えは (8C4-4C2)÷2+4C2=38通り

No.13842 - 2011/05/21(Sat) 16:51:58

☆ Re: / ケレンスキー

> 白を基準にして残り8個の並び方を考えた場合、
> 表裏を別々として8C4通り
> そのうち裏返しても変わらないのが4C2通り
> よって求める答えは (8C4-4C2)÷2+4C2=38通り

ありがとうございました。

No.13889 - 2011/06/04(Sat) 10:00:59

★ 不等式の証明 / みみ

以下の問題の解き方を教えて下さい＞＜

１、a＞０，b＞０のとき、次の不等式を証明せよ。

(１)(a+b)√(ab)＞＝２ab
(２)３√a+２√b＞√(９a+４b)

２、a＞０，b＞０のとき、次の不等式を証明せよ。また、等　　号が成り立つときを調べよ。

(１)２a+３／a＞＝２√６
(２)９ab+１／(ab)＞＝６
(３)a+b+１／(a＋b)＞＝２

です＞＜

No.13823 - 2011/05/19(Thu) 20:38:18

☆ Re: 不等式の証明 / みみ

２の等号の間のスペースは関係ありません；

No.13824 - 2011/05/19(Thu) 20:39:18

☆ Re: 不等式の証明 / ヨッシー

(1)
　(a+b)√(ab)＞０、２ab＞０より
(a+b)√(ab)≧2ab は、{(a+b)√(ab)}^2≧(2ab)^2 と同値。
　{(a+b)√(ab)}^2－(2ab)^2＝ab(a+b)^2－4a^2b^2
　　＝ab(a-b)^2≧0
よって、(a+b)√(ab)≧2ab は成り立ち、等号は、a=b のとき。

(2) も、２乗して考えれば、出来るでしょう。

２．は、相加・相乗平均で、すぐ出来ます。例えば、
(1) 2a＞０、3/a＞０より、相加・相乗平均が適用できて、
　2a＋3/a≧2√{2a(3/a)}＝2√6
等号は、2a=3/a より、ａ＝√(3/2)＝√6/2 のとき。
のような感じです。

No.13831 - 2011/05/20(Fri) 08:50:22

★ (No Subject) / 高1生(数2やってます)

円C:(x+1)^2+(y-1)^2=4
直線l:y=|kx-2k+1|
とするとき、xy平面上で、円Cのグラフと直線lのグラフが1点で接するようなkの値を求めよ。

直線lは円Cの外の点(2,1)を通るのでどこかで接するのは分かったのですが、どうやったら絶対値をはずせるのか分かりません。
もしくは絶対値を外さなくても解ける問題なのでしょうか？
解説よろしくお願いします。

No.13816 - 2011/05/19(Thu) 12:46:13

☆ Re: / ヨッシー

直線ｌは、(2,1) を通る直線(ただしｘ軸で跳ね返る)なので、
(2,1) から、直接円に接する場合と、ｘ軸で１回反射して、
円に接する場合があります。
ｘ軸で反射する場合は、(2,-1) から、直接接すると考えれば良いでしょう。

図を参照してください。

No.13817 - 2011/05/19(Thu) 14:29:40

☆ Re: / 高1生

図まで描いて下さりありがとうございます。

まず(2,1)を通る方は
l:y=k(x-2)+1よりkx-y-2k+1=0
（円Cの中心とlとの距離）＝（円Cの半径）から
|-k-1-2k+1|/√(k^2+1) = 2
k=±2/√5
グラフよりlの傾きkは明らかに負だからk=-2/√5

次に(2,-1)を通る方は
l':y=k(x-2)-1よりkx-y-2k-1=0
（円Cの中心とl'との距離）＝（円Cの半径）から
|-k-1-2k-1|/√(k^2+1) = 2
k=-12/5
ここで疑問なのですが、(2,-1)を通る直線l'はx軸で跳ね返っていなければ本来傾きが正のはずです。しかし私が出した答えはk<0となりました。
こうなったのはどこで間違ったからでしょうか。また、どのように説明すれば良いのでしょうか。
貴重な時間を割いていただき申し訳ありませんが、もう少しだけ私の質問に付き合って下さい。お願いします。

No.13827 - 2011/05/19(Thu) 23:06:41

☆ Re: / ヨッシー

(2,-1) から、円に直接接する直線の傾きが、-12/5 であれば、
答えは、k=12/5 です。

>本来傾きが正のはずです。
の認識は正しいです。

No.13832 - 2011/05/20(Fri) 09:21:15

☆ Re: / 高1生

よく分かりました！丁寧な解説ありがとうございました！

No.13833 - 2011/05/20(Fri) 09:23:57

★ 直交曲線 / mono

曲線群 xy=C の直交曲線群を求め、次に、求めた直交曲線群から逆に始めて、その曲線群の直交曲線群は、もとの曲線群になることを確かめよ。

という問題です。
お手数おかけしますがよろしくお願いします!

No.13813 - 2011/05/19(Thu) 08:11:17

☆ Re: 直交曲線 / ast

xy=Cは方程式y+xy'=0の解曲線群なので, 傾きy'をこれに直交する-1/y'に置き換えたyy'-x=0の解曲線群が求める直交曲線群です. 後半はこれを逆にたどれば自明でしょう.

No.13835 - 2011/05/20(Fri) 13:29:20

☆ Re: 直交曲線 / mono

なるほどです！
ありがとうございます。

No.13836 - 2011/05/20(Fri) 19:52:45

★ 解析学3 / さくら

最後にむずかしすぎて手が出せませんでした涙

次のような区間の列がある。
[a1,b1]⊇[a2,b2]⊇…⊇[an,bn]⊇…
次に答えよ。
(1)数列{an},{bn}は収束することを示せ。

(2)lim(bn-an)=0ならば、
lim(an)=lim(bn)であることを示せ。
(すべてn→∞)

No.13806 - 2011/05/18(Wed) 19:30:07

☆ Re: 解析学3 / X

(1)
[a[1],b[1]]⊇[a[2],b[2]]⊇…⊇[a[n],b[n]]⊇…
により
a[1]≦…≦a[n]≦b[1]
a[1]≦b[n]≦…≦b[1]
よって
{a[n]}は上に有界な単調増加列
{b[n]}は下に有界な単調減少列
ですので共に収束します。

(2)
(1)の結果により
lim[n→∞]a[n]
lim[n→∞]b[n]
はいずれも有限確定値ですので、仮定である
lim[n→∞]{b[n]-a[n]}=0
のとき
lim[n→∞]b[n]-lim[n→∞]a[n]=0
∴lim[n→∞]b[n]=lim[n→∞]a[n]

No.13820 - 2011/05/19(Thu) 18:00:28

★ 解析学2 / さくら

方程式e^x-3x=0は0と1の間、
または1と2の間に解をもつことを示せ。

こちらもお願いします

No.13805 - 2011/05/18(Wed) 19:17:19

☆ Re: 解析学2 / らすかる

f(x)=e^x-3x とすると
f(0)=1
f(1)=e-3＜0
f(2)=e^2-6＞0
よってf(x)はx=0とx=1の間、x=1とx=2の間で
それぞれx軸と交わる。

No.13807 - 2011/05/18(Wed) 19:56:11

☆ Re: 解析学2 / 森の水だより

中間値の定理を用いることを書いておいた方がよいでしょうな。

No.13812 - 2011/05/18(Wed) 21:42:37

★ 解析学 / さくら

次の等式が成り立つことを示せ。
cos^(-1)(-x)=π-cos^(-1)x
※分かりにくいかもしれませんが、アークコサインです

どうすればいいのかさっぱり分かりませんでした

No.13804 - 2011/05/18(Wed) 19:15:10

☆ Re: 解析学 / ヨッシー

アークコサインをacos と書くことにします。
　y=acos(x)
は、定義域 -1≦x≦1 で、値域 0≦y≦π を持ちます。
　ｙ＝π－acos(x)
より
　acos(x)＝π－ｙ
0≦π－ｙ≦π より、
　ｘ＝cos(π－ｙ)＝-cosｙ
よって、
　cos(y)＝-x
-1≦-x≦1 より
　ｙ＝acos(-x)
となり、
　acos(-x)＝π－acos(x)
となります。

No.13814 - 2011/05/19(Thu) 08:54:53

★ 不等式の証明 / みみ

ｘ＞ｙのとき、(ｘ+2ｙ)／3＞(ｘ+3ｙ)／4であることを証明せよ。

No.13801 - 2011/05/18(Wed) 18:43:05

☆ Re: 不等式の証明 / みみ

これの解き方を教えて下さい＞＜

No.13802 - 2011/05/18(Wed) 18:44:05

☆ Re: 不等式の証明 / らすかる

(左辺)-(右辺)
=(x+2y)/3-(x+3y)/4
=(x-y)/12
＞0　（∵x＞y）
です。

No.13809 - 2011/05/18(Wed) 19:59:57

☆ Re: 不等式の証明 / みみ

わかりました＾＾

ありがとうございました♪

No.13822 - 2011/05/19(Thu) 19:43:05

★ 無限級数 / 高3

数列{a(n)}の一般項を
a(n)=k{(2k)^(n-1)}+(1/2)^n
とするとき、
（1）lim[n→∞]a(n)=0となるようなkの値の範囲を求めよ。
A.-1/2<k<1/2 ？
（2）Σ[n=1,∞]{a(n)}^2が収束するようなkの値の範囲を求めよ。
（3）Σ[n=1,∞]{a(n)}^2=1/3になるようなkの値を求めよ。

(1)を使って(2)以降どう解けばいいのかわかりません。
解答解説お願いします。

No.13796 - 2011/05/18(Wed) 08:39:25

☆ Re: 無限級数 / X

(1)
はそれで問題ありません。

(2),(3)ですが(1)の結果を使う必要はありません。
(2)
問題の無限級数の部分和をS[n]と置くと
S[n]=Σ[j=1,n]{a(j)}^2
=Σ[j=1,n]{(1/2)(2k)^n+(1/2)^n}^2
=Σ[j=1,n]{(1/2)(2k)^(2n)+k^n+(1/2)^(2n)}
=Σ[j=1,n]{(1/2)(4k^2)^n+k^n+(1/4)^n} (A)
よってS[n]が収束するには(A)の第一項と第二項について
4k^2<1 (B) (注：kは実数ゆえk^2>0)
-1<k<1 (C)
(B)(C)を連立して解きます。

(3)
(A)よりS[n]が収束するとき
lim[n→∞]S[n]
=(1/2)(4k^2)/(1-4k^2)+k/(1-k)+(1/4)/(1-1/4)
∴条件から
(1/2)(4k^2)/(1-4k^2)+k/(1-k)+(1/4)/(1-1/4)=1/3
これを解いて(2)の結果を満たすkの値を求めます。
こちらの計算では
k=(1-√7)/6
となりました。

No.13797 - 2011/05/18(Wed) 09:45:42

☆ Re: 無限級数 / 高3

大筋は納得いったのですが、一つだけ疑問点があります。
k=0となることはないのでしょうか？(B)(C)の共通部分にk=0は含まれていますし、(3)の答にも入りそうですが……(k=(1-√7)/6は導けました)

No.13798 - 2011/05/18(Wed) 12:42:56

☆ Re: 無限級数 / X

ああ、確かにk=0も(3)の解の一つですね。
ごめんなさい、見落としていました。

No.13800 - 2011/05/18(Wed) 17:41:54

☆ Re: 無限級数 / 高3

たいへんよく分かりました。詳しい解説を本当にありがとうございました。

No.13811 - 2011/05/18(Wed) 20:08:08

★ (No Subject) / ｆｇｔｘ

α＝３６０°/７でcos3α＝cos4αかなりたつとき
cosαの小数第一位の値を求めよ。
お願いします。

No.13792 - 2011/05/17(Tue) 19:00:45

☆ Re: / らすかる

# うまい解き方ではないかも知れませんが…

cos3α=4(cosα)^3-3cosα
cos4α=8(cosα)^4-8(cosα)^2+1
なので、cosα=tとおけば
4t^3-3t=8t^4-8t^2+1 つまり
8t^4-4t^3-8t^2+3t+1=0
f(t)=8t^4-4t^3-8t^2+3t+1 とおくと
f(-1)=2
f(-1/2)=-3/2
f(0)=1
f(3/4)=-13/32
f(1)=0
なので、f(t)=0は-1＜t＜-1/2、-1/2＜t＜0、
0＜t＜3/4、t=1の4つの解を持つが、
0°＜360°/7＜90° から 0＜t＜1 なので
cosαはf(t)=0の解のうち0＜t＜3/4である解。
f(0.6)=0.0928＞0
f(0.7)=-0.2712＜0
だから0.6＜t＜0.7
よって小数第一位の数字は 6

No.13799 - 2011/05/18(Wed) 13:12:40

☆ Re: / ｆｇｔｘ

ありがとうございます。

No.13830 - 2011/05/20(Fri) 07:53:09

★ 高2　数列 / れいひゃー

数列1,2,1,3,2,1,4,3,2,1,5,…において
（1）m回目のnは第何項に現れるか。
（2）第200項を求めよ。

です
（1）第｛1/2(n+m-1)(n+m)-(n-1)｝項
（2）11
です
全く分からないので説明おねがいします！

No.13789 - 2011/05/17(Tue) 04:25:20

☆ Re: 高2　数列 / ヨッシー

(1)
(1)(2,1)(3,2,1)(4,3,2,1) というグループ分けになるのは分かりますか？
(1) を第１群、(2,1) を第２群、(3,2,1) を第３群のように呼び、
(3,2,1) の 2 を、第３群の第２項のように呼ぶことにします。

ｎは最初、第ｎ群の第１項に現れ、２回目は、第n+1群の第２項、
３回目は、第n+2群の第３項に現れます。
よって、ｍ回目のｎは、第n+m-1群の第ｍ項に現れます。

第n+m-2群の最後の項までの項数は、
　１＋２＋３＋・・・＋(n+m-2)＝(n+m-2)(n+m-1)/2
ここからさらにｍ個進んだところに、ｍ回目のｎがあるので、
(n+m-2)(n+m-1)/2＋ｍとなります。

上の解答の、第｛1/2(n+m-1)(n+m)-(n-1)｝項は、
第n+m-1群の最後から、n-1 だけ戻ったという考え方で、
展開すれば、どちらもおなじになります。

(2)
１＋２＋３＋・・・＋１９＝１９０
であり、第191項からは、第20群が、(20,19,18・・・) のように
始まるので、
この群の第10項である、１１が第２００項となります。

No.13790 - 2011/05/17(Tue) 14:04:27

☆ Re: 高2　数列 / れいひゃー

丁寧な説明ありがとうございます！
二つほど質問があるのですが…

>よって、ｍ回目のｎは、第n+m-1群の第ｍ項に現れます。

ここはひらめきというか、
慣れていくしかないのでしょうか?

>ここからさらにｍ個進んだところに、ｍ回目のｎがあるので、
>(n+m-2)(n+m-1)/2＋ｍとなります。

上ではなく下にmをたしたのは何故ですか?

No.13791 - 2011/05/17(Tue) 17:51:30

☆ Re: 高2　数列 / ヨッシー

慣れだけではありません。
　１回目：第ｎ群の第１項
　２回目：第n+1群の第２項
　３回目：第n+2群の第３項
という規則を経て、
　ｍ回目：第n+m-1群の第ｍ項
を導きます。

下というのは分母のことでしょうか？
ｍは分数とは独立した数です。
{(n+m-2)(n+m-1)/2}＋ｍと書いたらわかるでしょうか？

No.13793 - 2011/05/17(Tue) 20:50:52

☆ Re: 高2　数列 / れいひゃー

わかりました！
ありがとうございます！＾＾

No.13794 - 2011/05/17(Tue) 22:36:58