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★ 高1の2次関数 / 、
次の図は2次関数y=ax^2+bx+cのｸﾞﾗﾌである｡それぞれの場合についつ､a,b,c,a+b+cおよびb^2-4acの正負を調べよ｡
(1)のｸﾞﾗﾌは+で数字は1と書かれています
答えはa＞0,b＜0,c＜0,
a+b+c＜0,b^2-4ac＞0です


(2)のｸﾞﾗﾌは-で数字は二分の1と書かれています
答えはa＜0,b＜0,c＞0,
a+b+c＜0,b^2-4ac＞0


(3)のｸﾞﾗﾌは+で数字は1と
書かれています
答えはa＞0,b＜0,c＞0,
a+b+c＞0,b^2-4ac＜0



それぞれ途中式を書いて
下さい｡お願いします｡


わかりづらくてすいません
No.14595 - 2011/08/13(Sat) 15:40:08
☆ Re: 高1の2次関数 / ヨッシー
まず、
グラフは＋とか－という言い方でなく、下に凸とか、上に凸という
言い方を覚えましょう。
また、数字とは、ｙ切片とか、ｘ軸との交点の大きい方などの
言い方を覚えましょう。

ａ：グラフが下に凸なら正。上に凸なら負。
ｂ：軸はｘ＝-b/a より、軸の位置と、ａの正負から判断。
ｃ：ｙ切片がｃそのもの→グラフから判断
a+b+c：ｘ＝１のときのｙの値→グラフから判断
b^2－4ac：判別式＝ｘ軸との交点の数に関係→グラフから判断
No.14598 - 2011/08/14(Sun) 10:19:47
★ 独立じゃないのになぜか積の法則？ / channko
7本のくじの中に当たりくじが3本ある。このくじをまず甲が2本引き、次に乙が2本引く。ただし、引いたくじは元に戻さないものとする。
（１)甲が一本だけ当たる確率をもとめよ（4/7)
（２）甲が一本だけ当たり、なおかつ乙も一本だけ当たる確率を求めよ。
（２）について
甲が一本だけ当たる時（その確率は4/7)残りは当たりくじ2本、はずれくじ3本になります。ここから乙が日本のくじを引く時の組み合わせは５C2=10通りあり、そのうち1っぽんだけ当たる組み合わせは２・３＝６通りよって求める確率は
4/7*6/10=12/35とありますがなぜ4/7*6/10としてよいのですが？
定義には
『2つの‘独立な’（←ここに注目してください）試行T1,T2とT1に関する事象AとT2に関する事象BがあるときP（AかつB）＝P（A)P(B)・・※なりたつ。
A、Bが1つの試行における事象のときもA,Bが明らかに影響しあわないならば※が成り立つ。この※を（独立の時の）積の法則という。』とあります。実際にT1,T2が独立でない時に※を使うと答えが合わないとある例題も知っています。
No.14582 - 2011/08/12(Fri) 13:12:50
☆ Re: 独立じゃないのになぜか積の法則？ / mokomoko
ちゃんと「甲が当たりと外れを1本ずつ引いたうえでの」という条件を踏まえたうえで「乙が当たりを1本だけ引く確率」を計算してるので問題ありません。

これをもし最初の7本中3本の状態から乙が当たりを1本だけ引く確率を求めて、それと 4/7 とかけ合わせたら「独立でないのに独立であるかのようにして計算している」ことになりますが。
No.14584 - 2011/08/12(Fri) 15:19:46
☆ Re: 独立じゃないのになぜか積の法則？ / エンヴィー
4/7=40/70,6/10=24/40
「甲が2本引き、次に乙が2本引く」こと70回あたり40回甲が1本だけ当たる。
「甲が1本だけ当たりを引き、次に乙が2本引く」こと40回当たり24回乙が1本だけ当たる。
→「甲が2本引き、次に乙が2本引く」こと70回あたり24回甲が1本だけ当たり、なおかつ乙も1本だけ当たる。
No.14585 - 2011/08/12(Fri) 15:20:11
☆ Re: 独立じゃないのになぜか積の法則？ / ヨッシー
独立の時の積の法則　と書かれているように
例えば、甲が２本引いて、それを戻した後、乙が２本引く。
このとき甲が１本、乙が１本当たる確率は、
　(甲が１本当たる確率)×(乙が１本当たる確率)＝4/7×4/7＝16/49

では、独立でない時の積の法則は、
甲が２本引いて、それを戻さずに、乙が２本引く。
このとき甲が１本、乙が１本当たる確率は、
　(甲が１本当たる確率)×(甲が１本当てた条件のもとで、乙が１本当たる確率)
　＝4/7×3/5＝12/35
となります。
No.14586 - 2011/08/12(Fri) 15:37:37
☆ Re: 独立じゃないのになぜか積の法則？ / エンヴィー
> 4/7=40/70,6/10=24/40
> 「甲が2本引き、次に乙が2本引く」こと70回あたり40回甲が1本だけ当たる。
> 「甲が1本だけ当たりを引き、次に乙が2本引く」こと40回当たり24回乙が1本だけ当たる。
> →「甲が2本引き、次に乙が2本引く」こと70回あたり24回甲が1本だけ当たり、なおかつ乙も1本だけ当たる。

これが正しいから、40/70*24/40としてよい。
*マークの直前の分数の分子とその*マークの直後の分数の分母をそろえてかけてよいと分かるとき、掛け算であることからわざわざ通分しなくてよいことも分かる。
No.14587 - 2011/08/12(Fri) 15:42:18
☆ Re: 独立じゃないのになぜか積の法則？ / chanko
いまいちよく分かりません。。そもそも（２）は条件付確率なのですか？前回質問した問題のように「～の条件の下で」という言葉は使われていませんが・・・？
No.14589 - 2011/08/12(Fri) 22:56:33
☆ Re: 独立じゃないのになぜか積の法則？ / ヨッシー
>残りは当たりくじ2本、はずれくじ3本になります。
と置き換えている時点で、甲が１本当たり、１本はずれを
引いたことを前提に１から考えているのです。
No.14590 - 2011/08/12(Fri) 23:19:17
☆ Re: 独立じゃないのになぜか積の法則？ / mokomoko
「○○の条件のもとで」なんて書かれていなくても、
実際に「甲が当たり1、はずれ1を引いた条件のもとでの」乙が当たり1、はずれ1を引く確率を
計算しているのですから条件付確率そのものです。
No.14591 - 2011/08/12(Fri) 23:48:09
☆ Re: 独立じゃないのになぜか積の法則？ / エンヴィー
条件付き確率自体が「～の条件の下での確率」でも、条件付き確率すなわち「～の条件の下での確率」を利用して求める確率＝「○○の条件の下での確率」とは限りません。
No.14592 - 2011/08/13(Sat) 10:08:37
☆ Re: 独立じゃないのになぜか積の法則？ / エンヴィー
> 条件付き確率自体が「～の条件の下での確率」でも、条件付き確率すなわち「～の条件の下での確率」を利用して求める確率＝「○○の条件の下での確率」とは限りません。

要するに「～の条件の下で」という言葉が使われてなくても条件付き確率を利用することがあるということです。
No.14593 - 2011/08/13(Sat) 10:35:15
☆ Re: 独立じゃないのになぜか積の法則？ / chanko
それだと1,2,3,4,5の5枚のカードからまずは1枚を選び、それを戻さないで、残りからもう1枚を選ぶ。1枚目のカードの数が偶数であり、かつ2枚目の数が奇数である確率を求めよ。
がなぜ条件付確率でないのかが分かりません。。つまり条件付確率なのかどうかの見極め方が分かりません。
No.14594 - 2011/08/13(Sat) 14:20:06
☆ Re: 独立じゃないのになぜか積の法則？ / mokomoko
それ条件付確率ですよ。

条件付確率かどうかより、独立かどうかを判断したほうがいいですよ。
Aの試行の結果がBの試行の確率に何か影響するかどうかを考えればいいのです。
No.14596 - 2011/08/13(Sat) 20:45:51
☆ Re: 独立じゃないのになぜか積の法則？ / channko
分かってきました。１４５８６の記事の　
(甲が１本当たる確率)×(甲が１本当てた条件のもとで、乙が１本当たる確率)
　＝4/7×3/5＝12/35
の話ですが、この3/5の求め方が[甲が一本だけ当たる時（その確率は4/7)残りは当たりくじ2本、はずれくじ3本になります。ここから乙が日本のくじを引く時の組み合わせは５C2=10通りあり、そのうち1っぽんだけ当たる組み合わせは２・３＝６通りよって求める確率は3/5]のやり方は条件付確率の定義に従ったら解き方ではないですよね？いいんですか？

定義とは
確率PA(B)をAが起こったという条件の下でBが起こる確率と表現しPA(B)=ｎ（AかつB)/ｎ（A)
のことです

これに従うと
A・・甲が一本だけ当たる3・4×５C2通りの順列からなる集合
AかつB・・甲が一本だけ当たり、なおかつ乙も一本だけ当たる３・４×２・３とおりの順列からなる集合、と定めると
PA(B)=ｎ（AかつB)/ｎ（A)＝３・４×２・３/3・4×５C2
こうやって求めないと駄目なんじゃないですか？（結果はなぜか一緒になりますね）
No.14597 - 2011/08/14(Sun) 00:46:41
☆ Re: 独立じゃないのになぜか積の法則？ / ヨッシー
なんか、公式を使っているのではなく、公式に使われているような感じがします。

　Ａ＝Ｂ／Ｃ
という公式があって、Ｂがわからなければ、ＡとＣを求めて、
　Ｂ＝Ａ×Ｃ
として、Ｂを求めるのが自然でしょう。

Ｂを求めるのが最終目標なのに、Ａを(Ｂを含んだ式を使って
)求めようとしていますね。
ということは、途中で、Ｂは求まっているはずです。

14597 の記事の、「これに従うと」以下の分は、十分吟味していませんが、
ＡかつＢの場合の数が出たのなら、それを総数で割って、
ＡかつＢの確率が出るのではないでしょうか？
No.14599 - 2011/08/14(Sun) 10:32:14
☆ Re: 独立じゃないのになぜか積の法則？ / エンヴィー
Ａを構成する事象Ａ(1),Ａ(2),Ａ(3),・・・,Ａ(k)全ての結果が同様であるとします。
ＰＡ(Ｂ)=｛ｎ(ＡかつＢ)/k｝/｛ｎ(Ａ)/k｝ですが、
疑問視された解き方ではこれが求められます
No.14600 - 2011/08/14(Sun) 13:06:37
☆ Re: 独立じゃないのになぜか積の法則？ / エンヴィー
> Ａを構成する事象Ａ(1),Ａ(2),Ａ(3),・・・,Ａ(k)全ての結果が

同様でない例

問い.3本のくじのなかには当たりくじＡと当たりくじＢの2本があり、そのなかから1本くじをひき、当たりくじＡをひいたときは1本のあたりくじを含む5本のくじから1本くじをひき、
当たりくじＢをひいたときは1本の当たりくじを含む3本のくじから1本のくじをひく。このとき、合計2本の当たりくじをひく確率を求めよ。
No.14601 - 2011/08/14(Sun) 13:21:50
★ (No Subject) / channko
1,2,3,4,5の5枚のカードからまずは一枚を選び、それを戻さないで、残りからもう一枚選ぶ。一枚目のカードの数が偶数であったという条件の下で、2枚目の数が奇数である確率を求めよ。という問題で

一枚目のカードの数が偶数の確率・・2/5
2枚目の数が奇数である確率・・3/4
よって2/5*3/4=3/10で駄目な理由を教えて下さい。（実際の答えは3/4です。）
No.14571 - 2011/08/11(Thu) 22:37:47
☆ Re: / ＿
問題１
1,2,3,4,5の5枚のカードからまずは1枚を選び、それを戻さないで、残りからもう1枚を選ぶ。1枚目のカードの数が偶数であったという条件の下で、2枚目の数が奇数である確率を求めよ。

問題２
1,2,3,4,5の5枚のカードからまずは1枚を選び、それを戻さないで、残りからもう1枚を選ぶ。1枚目のカードの数が偶数であり、かつ2枚目の数が奇数である確率を求めよ。

この2つの問題の違いを説明できますか？
No.14572 - 2011/08/11(Thu) 23:41:50
☆ Re: / channko
説明よろしく御願いします
No.14573 - 2011/08/12(Fri) 00:19:28
☆ 数学力は国語力 / ヨッシー
>2/5*3/4=3/10で駄目な理由を教えて下さい。
「一枚目のカードの数が偶数であったという条件の下で」考えていないからです。
No.14576 - 2011/08/12(Fri) 06:48:29
☆ Re: / channko
ありがとうございました。
No.14581 - 2011/08/12(Fri) 13:01:21
★ (No Subject) / 数?TA　2次関数
もう一題おねがいします

a^2+4ab+5b^2+6b=0

を満たす実数a,bの値の組を求めなさい

おねがいします
No.14570 - 2011/08/11(Thu) 19:26:16
☆ Re: / ヨッシー
(0, 0), (2+√5, -1), (1, -1-2/√5)
など、いっぱいあります。
No.14574 - 2011/08/12(Fri) 06:17:26
☆ Re: / 数?TA　2次関数

ありがとうございます。
No.14577 - 2011/08/12(Fri) 08:24:53
☆ Re: / ヨッシー
えぇ!?
それで良いんですか？

たぶん、(写し間違いも含め)問題の不備だと思うのですが。
No.14578 - 2011/08/12(Fri) 08:48:21
☆ Re: / エンヴィー
整数a,bの値の組の場合、
a^2+4ab=a^2+4ab+4b^2-4b^2=(a+2b)^2-4b^2より、
a^2+4ab+5b^2+6b
=(a+2b)^2+b^2+6b
=(a+2b)^2+b(b+6)
これが0に等しく、(a+2b)^2≧0だから、2次式b(b+6)は0以下で、これを満たすbが整数のとき、考えられるbの個数は絞られます。
No.14579 - 2011/08/12(Fri) 11:09:45
☆ Re: / エンヴィー
> 整数a,bの値の組の場合、
> a^2+4ab=a^2+4ab+4b^2-4b^2=(a+2b)^2-4b^2より、
> a^2+4ab+5b^2+6b
> =(a+2b)^2+b^2+6b
> =(a+2b)^2+b(b+6)
> これが0に等しく、(a+2b)^2≧0だから、2次式b(b+6)は0以下で、これを満たすbが整数のとき、考えられるbの個数は絞られます。

(訂正)
これを満たすbが整数のとき、考えられるbの個数は絞られます。
→これを満たす整数bの個数は有限です。
No.14580 - 2011/08/12(Fri) 11:17:02
★ 経済学部1年の不定積分 / 文系
∫√(a^2+x^2)dx



解は　1/2｛x√(a^2+x^2)+a^2log|X+√(a^2+x^2)|｝　です。
途中式の解説をお願いします。
No.14569 - 2011/08/11(Thu) 16:34:03
☆ Re: 経済学部1年の不定積分 / エンヴィー
C(1),C(2),Cは積分定数とする。
(与式)=∫x^2/√(a^2+x^2)dx+a^2∫1/√(a^2+x^2)dx
∫x^2/√(a^2+x^2)dxを求める。
---そのためにまず∫x/√(a^2+x^2)dxを求める。
t=√(a^2+x^2)と置くと、
dt=x/√(a^2+x^2)dx
よって、∫x/√(a^2+x^2)dx=t+C(1)=√(a^2+x^2)+C(1)---
∫x^2/√(a^2+x^2)dx
=x√(a^2+x^2)-∫√(a^2+x^2)dx(部分積分)

a^2∫1/√(a^2+x^2)dxを求める。
u=x+√(a^2+x^2)と置くと、
du
={1+x/√(a^2+x^2)}dx
=[{x+√(a^2+x^2)}/√(a^2+x^2)]dx
={u/√(a^2+x^2)}dx
より、
(1/u)du={1/√(a^2+x^2)}dx
よって、
a^2∫1/√(a^2+x^2)dx
=a^2∫(1/u)du
=a^2log｜u｜+C(2)
=a^2log｜x+√(a^2+x^2)｜+C(2)

以上より、
∫√(a^2+x^2)dx
=x√(a^2+x^2)-∫√(a^2+x^2)dx+a^2log｜x+√(a^2+x^2)｜
よって、
=∫√(a^2+x^2)dx
1/2{x√(a^2+x^2)+a^2log｜x+√(a^2+x^2)}+C
No.14583 - 2011/08/12(Fri) 13:25:49
☆ Re: 経済学部1年の不定積分 / 文系
解けるようになりました。
有難うございます。
No.14588 - 2011/08/12(Fri) 20:16:00
★ 高1の2次不等式 / じゃがりこ
2x^2-x≦(x-1)(x-2)
答えは-1-√3≦x≦-1+√3
です

途中式お願いします
No.14562 - 2011/08/11(Thu) 14:26:37
☆ Re: 高1の2次不等式 / ヨッシー
展開して整理すると
　x^2＋2x－2≦0
x^2＋2x－2＝0 を解くと、
　x＝-1±√3
よって、
　-1-√3≦x≦-1+√3
No.14563 - 2011/08/11(Thu) 15:17:04
★ (No Subject) / 数ⅠA　2次関数
放物線y=x^2-4ax+4(aは実数)
の頂点座標と
この頂点が第1象限にあるようなaの範囲を求めよ

明日提出です(；O；)
どなたかお願いします。
No.14561 - 2011/08/11(Thu) 14:12:11
☆ Re: / ヨッシー
y=x^2-4ax+4＝(x-2a)^2+4-4a^2
より、頂点は・・・
これが、第１象限にあるには、
　2a＞0　かつ　4-4a^2＞0
これを解いて、
　0＜a＜1
No.14564 - 2011/08/11(Thu) 15:19:22
☆ Re: / 数?TA　2次関数

ありがとうございます

2a＞0　かつ　4-4a^2＞0
から0＜a＜1へも
詳しく教えていただけませんか？
No.14566 - 2011/08/11(Thu) 15:27:33
☆ Re: / ヨッシー
2a＞0，4-4a^2＞0 それぞれ解いてみてください。
No.14568 - 2011/08/11(Thu) 15:59:07
★ 高２　ベクトルの問題 / んて
数学 ベクトル証明の問題

四面体ABCDを考える。面ABC上の点Pと面BCD上の点Qについて、
AP↑＝xAB↑＋yAC↑
AQ↑＝sAB↑＋tAC↑＋uAD↑
とおくとき、x:y＝s:tならば、線分AQとDPが交わることを示せ。

解法「A,D,P,Qが同一平面上にあるための条件は？」と捉えると2直線AP、DQと直線BCとの2交点(P',Q')が一致することになる」

とあるんですがどういう意味なのかわかりません。
なぜ辺BCでP'=Q'となればAQとDPが交わるんですか？

図でかいてみてもいまいち理解できませんでした；
誰か分かる方おしえてください。

.
No.14560 - 2011/08/11(Thu) 12:34:46
☆ Re: 高２　ベクトルの問題 / ヨッシー
図において、
ＡＱは△ＡＤＱ’上にあります。
ＤＰは△ＡＤＰ’上にあります。
この２つの三角形が、図のように離れていたら、
ＡＱとＤＰも交わりません。
Ｐ’とＱ’が一致すると、△ＡＤＱ’と△ＡＤＰ’が
同じ平面になるので、ＡＱとＤＰは交わります。
No.14567 - 2011/08/11(Thu) 15:58:20
★ (No Subject) / 必勝
文章題です、よろしくお願いします。

110mの動く歩道上を毎分72mの速さで歩くと50秒かかる。このときの動く歩道の速さを[km/h]単位で求めよ。（算式記入）
No.14548 - 2011/08/10(Wed) 23:50:22
☆ Re: / ヨッシー
110mの止まっている動く歩道上を50秒かけて歩きました。
このときの速さは、毎分何ｍですか？また、時速何kmですか？

というのは出来ますか？
No.14550 - 2011/08/11(Thu) 00:01:46
☆ Re: / 必勝
> 110mの止まっている動く歩道上を50秒かけて歩きました。
> このときの速さは、毎分何ｍですか？また、時速何kmですか？
>
> というのは出来ますか？

はい、考えてみました。

110÷50＝2.2←秒速なので2.2×60＝132
毎分132mになりまして時速に直しますと
132mをkmに直すと0.132kmになりまして
0.132×60＝7.92
時速7.92kmだと思いますが歩く速度にしては速いですね。
No.14551 - 2011/08/11(Thu) 00:44:06
☆ Re: / ヨッシー
まぁ、小走りといったところでしょう。

ところが、元の問題の場合も、動く歩道の外から見ている人にとっては、
毎分132ｍで進んであるように見えるし、実際に50秒でわたりきるのです。
では、なぜ、毎分72ｍで進む人が、132ｍで進むのと同じ
時間でわたりきるかというと？
No.14552 - 2011/08/11(Thu) 00:51:05
☆ Re: / 必勝
> まぁ、小走りといったところでしょう。
>
> ところが、元の問題の場合も、動く歩道の外から見ている人にとっては、
> 毎分132ｍで進んであるように見えるし、実際に50秒でわたりきるのです。
> では、なぜ、毎分72ｍで進む人が、132ｍで進むのと同じ
> 時間でわたりきるかというと？

まさしく小走りですね（笑）
毎分72ｍで進む人が、132ｍで進むのと同じ時間でわたりきるのは自分が進む速さより速い状態の何かに乗らないと不可能ですよね？それが動く歩道ってことなんだと思うんですけど・・・。
No.14553 - 2011/08/11(Thu) 01:18:49
☆ Re: / ヨッシー
もう、ほとんど答えに行き着いているような感じがしますが。

こちらの、流水算において、
　（川を下るときの速さ）：毎分132m
　（静水時の速さ）：毎分72m
　（川の流れの速さ）：動く歩道の速さ
と置き換えてみましょう。
No.14554 - 2011/08/11(Thu) 05:21:12
☆ Re: / 必勝
> もう、ほとんど答えに行き着いているような感じがしますが。
>
> こちらの、流水算において、
> 　（川を下るときの速さ）：毎分132m
> 　（静水時の速さ）：毎分72m
> 　（川の流れの速さ）：動く歩道の速さ
> と置き換えてみましょう。

ありがとうございます。
（川を下るときの速さ）＝（静水時の速さ）＋（川の流れの速さ）の公式に当てはめてみますと。

132＝72+X
X＝60
分速を時速に直すと60×60＝3,600（ｍ）
3,600÷1,000＝3.6
動く歩道の速さは時速3.6km
でしょうか？

流水算、とても参考になりましたが「静水時の速さ＋川の流れの速さ＝川を下るときの速さ」速さを合算するていうイメージが言葉ではわかるんですが掴みにくいです・・・
No.14559 - 2011/08/11(Thu) 12:20:35
☆ Re: / ヨッシー
正解です。

動く歩道と同じ速さで、逆に歩くと、周りの景色が動かず
まるで止まっているように感じる
これを体験したことはありませんか？エスカレーターでも良いです。
（よい子はまねしてはいけません）

これは、流水算の川を上るときの場合です。

とりあえず、秒速で考えて、１秒後にどの位置にいるかを
考えれば、足したものが答えになるということがわかるでしょう。
No.14565 - 2011/08/11(Thu) 15:26:14
★ (No Subject) / わ
すいません?ﾓ
ほんとはy=-x^2+3x+kです
14545は間違いです↓
No.14547 - 2011/08/10(Wed) 23:35:47
★ 高1 / わ
2次関数y=-x^2+3kのｸﾞﾗﾌが次の条件を満たすように､定数kの値の範囲を定めよ｡
(1)x軸と共有点をもつ｡

(2)x軸と共有点をもたない


２つとも省略しないで
詳しくお願いします
No.14545 - 2011/08/10(Wed) 23:31:54
☆ Re: 高1 / ヨッシー
(1) ２次関数　ｙ＝ｘ^2－３ｘ＋２ のグラフとｘ軸との共有点の座標を求めなさい。
(2)　 ２次関数　ｙ＝ｘ^2－４ｘ－１ のグラフとｘ軸との共有点の座標を求めなさい。

これが解けますか？
「解ける」「解けない」ではなく、解答してください。
この問題がマスターされていないと、上の問題は、
九九を覚えずに、割り算に挑むようなものです。
No.14549 - 2011/08/10(Wed) 23:58:37
☆ Re: 高1 / ぽん
判別式Dはご存知かな？

二次方程式の一般解

x=[-b±√(b^2-4ac)]/2a

このb^2-4acは⇒判別式Dと呼ばれ

D≧0　共有点をもつ(等号成立で重解)

D＜0　解なし

となっており、上の問題はこれでさばく事が出来ます。
No.14636 - 2011/08/18(Thu) 11:48:41
★ 高３　数学 / 無碍
条件1＜x＜2^(n+1) ・・・?@および0＜y≦log[2]x ・・・?Aを満たす整数x,yを座標とする点(x,y)の個数を求めよ。
但しnは自然数

以下解説です。
「直線ｘ＝ｌ(ｌは整数)上にある格子点の個数はlog[2]ｌの整数部分に等しい。
この整数部分がｋとなるｌの範囲は図から2^k≦l＜2^(k＋1)である。
これを満たす整数lは2^(k＋1) - 2^k＝2^k個あるから図の網目部分すなわち
2^k≦x＜2^(k＋1) 0<y≦log[2]x に含まれる格子点の数は
k・2^k個 (k=0のときは0個)

よって求める個数は (n-1)・2^(n＋1) ＋2 (計算略) 」

分からないところ
?@図の網目部分が求める格子点の範囲になる理由がわかりません。。
それとxの範囲は?@より1＜x＜2^(n+1)とあるにもかかわらず図ではx=2^kからになっています。
これはどうしてなんでしょうか？
全体的に解説の言っている意味と画像の図がよくわかりません。

格子点の問題は苦手分野なのでこの夏にこの問題だけでも克服したいです。
誰か分かる方教えてください。 よろしくお願いいたします。
No.14543 - 2011/08/10(Wed) 22:35:38
☆ Re: 高３　数学 / ヨッシー
l=2 のとき log2l＝1 なので、格子点１個
l=3 のとき log2l＝1.… なので、格子点１個
l=4 のとき log2l＝2 なので、格子点２個
l=5 のとき log2l＝2.… なので、格子点２個
l=6 のとき log2l＝2.… なので、格子点２個
l=7 のとき log2l＝2.… なので、格子点２個
l=8 のとき log2l＝3 なので、格子点３個
このように、
　lが 2^k 以上で、2^(k+1) 未満の時、格子点は k 個あります。
上から順に
　格子点１個のものが２通り(2～3)
　格子点２個のものが４通り(4～7)
　格子点３個のものが８通り(8～15)
　　・・・
となり、最後は、2^(n+1) は含まないので、
　格子点ｎ個のものが2^n通り(2^n～2^(n+1)－1)
までを、足したものが、格子点の総数となります。
No.14544 - 2011/08/10(Wed) 23:17:00
★ 数列　高２ / まんすて
数列｛a[n]}は、a[1]=2 およびa[n＋1]=2a[n]＋n^2 (n=1.2.3.・・・)をみたしている。
このとき
(１)p,q,rを定数とする。一般項がb[n]=pn^2＋qn＋rで与えられる数列｛b[n]｝が
b[n＋1]=2b[n}＋n^2 (n=1,2,3,・・・)をみたすようにp,q,rを定めよ。

(２)(1)の数列｛b[n]｝に対して
c[n]=a[n]-b[n] (n=1,2,3,・・・)
とおくとき、c[n＋1]とc[n]の間に成り立つ関係式を求めよ。
また、c[n]をnの式で表せ。

(３)a[n]をnの式で表せ。

答え(１)p=-1 q=-2 r=-3
(２)c[n＋1]=2c[n] c[n]=2^(n＋2)
(３)a[n]=2^(n＋2) -n^2-2n-3

(１)はb[n＋1]=p(n＋1)^2＋q(n＋1)＋r・・・?@
b[n＋1]=2pn^2＋2qn＋2r・・・?Aで
?@＝?Aとし、両辺の係数を比較して・・・という風に解き進めていったのですが
できませんでした＾＾；
(２)、(３)はさっぱりです。

誰か分かる方おしえてください。おねがいします
No.14539 - 2011/08/10(Wed) 19:51:50
☆ Re: 数列　高２ / X
(1)
では同じ方針で計算してみましょうか。
題意から
p(n+1)^2+q(n+1)+r=2(pn^2+qn+r)+n^2
これより
pn^2+(2p+q)n+p+q+r=(2p+1)n^2+2qn+2r
∴両辺の係数を比較すると
p=2p+1 (A)
2p+q=2q (B)
p+q+r=2r (C)
(A)(B)(C)を連立で解いて
(p,q,r)=(-1,-2,-3)

(2)
a[n+1]=2a[n]+n^2 (D)
b[n+1]=2b[n]+n^2 (E)
ですので(D)-(E)に
c[n]=a[n]-b[n] (F)
を適用すると
c[n+1]=2c[n]
これを
c[1]=a[1]-b[1]=2-(-1^2-2・1-3)=8
の下で解くと…。

(3)
(1)(2)の結果を使います。
No.14541 - 2011/08/10(Wed) 20:35:08
★ 数学　文系　高２ / んて
xy平面上にP(cosθ,-(cos2θ/2)＋(7/2) )
Q(-cosθ、cos2θ) R(3,0)がある。
θが0°≦θ≦180°の範囲で動く時三角形PQRの面積の最大値を求めよ。

解法すら浮かびません。
誰かわかるかたおしえてください。おねがいします
No.14538 - 2011/08/10(Wed) 19:09:14
☆ Re: 数学　文系　高２ / X
まず△PQRの面積をθで表すことを考えてみますが
それだとかなり式が煩雑になります。
そこで置き換えをしてみます。

cosθ=t
と置くと
0°≦θ≦180°
により
-1≦t≦1 (A)
このとき、２倍角の公式から
P(t,-t^2+4),Q(-t,2t^2-1)
∴PQ^2=(2t)^2+(3t^2-5)^2 (B)
また直線PQの方程式は
(3t^2-5)(x-t)+(2t)(y+t^2-4)=0
∴辺PQを△PQRの底辺と見たときの高さをHとすると
点と直線の間の距離の公式により
H=|(3t^2-5)(3-t)+(2t)(t^2-4)|/√{(3t^2-5)^2+(2t)^2} (C)
∴△PQRの面積をSとすると
S=(1/2)PQ・H=(1/2)|(3t^2-5)(3-t)+(2t)(t^2-4)| (D)
そこで
f(t)=(3t^2-5)(3-t)+(2t)(t^2-4)
と置いて(A)におけるf(t)の増減をまず考えましょう。

注)
P(t,-t^2+4),Q(-t,2t^2-1)
であることからP,Qが描く軌跡を考えて図示をすると
分かりやすいと思います。
No.14540 - 2011/08/10(Wed) 20:25:12
☆ 数学　計算が・・・ / んて
H=|(3t^2-5)(3-t)+(2t)(t^2-4)|/√{(3t^2-5)^2+(2t)^2} (C)
の部分について

直線PQの方程式を自分が出すと何度やっても
(3t^2-5)x＋2ty-t^3-3t=0となってしまうのですが。。。
P(t,-t^2＋4)　Q(-t,2t^2-1)
PQ：y-(-t^2＋4)＝｛2t^2-1-(-t^2＋4)｝/{-t-t｝(x-t)
y=(3t^2-5)x/(-2t) ＋(3t^2-5)/2　-t^2＋4
・・・
というふうにやっていった結果
(3t^2-5)x＋2ty-t^3-3t=0となります。これはどこが間違っているんですかね？
引き続きお願いします＞＜；
No.14546 - 2011/08/10(Wed) 23:32:05
☆ Re: 数学　文系　高２ / X
間違っていません。
私が提示した
(3t^2-5)(x-t)+(2t)(y+t^2-4)=0
を展開して整理してみましょう。

それともう一点。
そのような直線PQの計算では、y軸平行の場合が
抜け落ちてしまいます。
ですので場合分けをするか、又は分母を払った最終的な
方程式を導いた後で
「これはy軸平行の場合、つまりt=0のときも成立する」
の一言を付け加えるなどの工夫をしましょう。
No.14555 - 2011/08/11(Thu) 06:50:29
☆ Re: 数学　文系　高２ / んて
何度もすみません；
最終的な方程式　というのは
PQの直線の方程式のことですか？
(3t^2-5)x＋2ty-t^3-3t=0のtにt=0を代入すると
-5x=0となり左辺のxが変数なので必ずしも０になるとは限りません。　まだ少し自分が勘違いをしているかもしれないので最後によろしくおねがいします。
No.14556 - 2011/08/11(Thu) 10:02:04
☆ Re: 数学　文系　高２ / X
>>最終的な方程式　というのは
>>PQの直線の方程式のことですか？
その通りです。
高２さんのPQの直線の方程式の計算では初めにx軸に対する
傾きを用いた方程式
＞＞y-(-t^2＋4)＝｛2t^2-1-(-t^2＋4)｝/{-t-t｝(x-t)
を立てているので、t=0、つまりy軸平行の場合には
使えません。
ただ、これを整理して最終的に導いた
＞＞(3t^2-5)x＋2ty-t^3-3t=0
の形であればt=0の場合にも成立する可能性があります。
(実際成立しますが)
その意味でt=0の場合もチェックしてほしいということです。


>>(3t^2-5)x＋2ty-t^3-3t=0のtにt=0を代入すると～
tはパラメータであってx,y座標とは別物です。
t=0のときPQの方程式は
-5x=0
∴x=0
これはyの値にかかわらずx=0であることを示しています。
つまり直線PQは
直線x=0(つまりy軸)
となります。
No.14558 - 2011/08/11(Thu) 11:04:05
★ (No Subject) / かい
次のように定義される数列anの一般項を求めよ。

a1=8,an=a(n-1)/(n-1)a(n-1)+１（n=2,3,…）
No.14534 - 2011/08/10(Wed) 17:53:53
☆ Re: / X
問題の漸化式を
a[n]=a[n-1]/{(n-1)a[n-1]+1} (A)
と解釈して回答します。
(A)より
1/a[n]=1/a[n-1]+(n-1) (A)'
∴
1/a[n]=b[n] (B)
と置くと(A)'は
b[n]=b[n-1]+(n-1) (C)
又
b[1]=1/a[1]=1/8 (D)
(D)の下で(C)を解き、結果を(B)に代入します。
No.14537 - 2011/08/10(Wed) 18:06:09
★ 数列 / かい
a1=5,a(n+1)=8an^2(n=1,2,3,…）で定められる数列anの一般項を求めよ。

対数を使うらしいです

おねがいします
No.14533 - 2011/08/10(Wed) 17:50:30
☆ Re: 数列 / X
log[2]a[n]=b[n] (A)
と置くと問題の漸化式は
b[1]=log[2]5 (B)
b[n+1]=2b[n]+3 (C)
(C)を(B)の下で解き、その結果を(A)に代入します。
No.14536 - 2011/08/10(Wed) 18:02:20
★ 大学受験の図形と式 / ハオ
高校数学の復習の為に以下の問題をやったのですが恥ずかしながら解答が理解できません。
２つの放物線y=x^2 と　y=ax^2 +bx +c　とは２点で交わり、交点におけるこれら２つの放物線の接線は互いに直交するという。a,b,cが変化するとき、このような放物線y=ax^2 +bx +cの頂点の全体はどのような集合を作るか調べ図示せよ。

解答では
二放物線が２つの交点をもつ事、そしてその２実数解xに対して各々の接線が直行する事より条件式を立て
(a-1)x^2 +bx +c=0--?@ 4ax^2 +2bx +1=0－7--?A
を得て
?@?Aは同値な二次方程式である。　として
1) b≠0の時　同値となる条件
2)b=0の時　同値となる条件　で場合分けしています。
1)の方は理解できたのですが、2)では?@?Aが同値となり異なり実数解を持つ条件は
x^2>0かつa<0 だそうです。
ここの意味が分かりません。　

まず?@?Aが同値な方程式とは係数が同じになる事ではないのじょうか？
そして初めの方で?@?Aは同値な２次方程式となる、と宣言しましたが、
?@を成り立たせるxは?Aを成り立たせる　という事で立式してるので
?@を成り立たせるxの集合⊆?Aを成り立たせるxの集合
としか言えないのではないのですか？
No.14528 - 2011/08/10(Wed) 14:46:35
☆ Re: 大学受験の図形と式 / X
>>x^2>0かつa<0 だそうです。
問題は
頂点全体の集合を図示する
ことですので条件はa,b,cに関するもののはずです。
もしタイプミスではないのであればこれだけでは
判断できませんのでこの条件の前後の
計算過程もアップして下さい。

>>まず?@?Aが同値な方程式とは係数が同じになる事ではないのじょうか？
係数ではなくて係数の比が等しくならなくてはいけません。
例えば
x^2+2x+1=0
と
2x^2+4x+2=0
は等価とみなされます。(解が同じですので)

＞＞そして初めの方で～と宣言しましたが、
解答の説明が端折られてるようなので補足します。
まず、題意を満たすためには
(1)「かつ」(2)
ということはよろしいでしょうか？。
ここで(1)、(2)はいずれも異なる2つの実数解を持ち
かつそれぞれが等しくならなければなりませんので
(1)は(2)は等価
です。
その意味で
(1)⇔(2)、つまり(1)と(2)は同値
といいたかったのだと思います。
No.14531 - 2011/08/10(Wed) 16:05:24
☆ Re: 大学受験の図形と式 / ハオ
>>計算過程もアップして下さい。
?@?Aが同値となり異なり実数解を持つ条件は
x^2 = -c/(a-1) =-1/4a >0 即ち c=1/4 (1- 1/a)かつa<0
と解答には書いてあります。

>>係数ではなくて係数の比が等しくならなくてはいけません。
細かいご指摘有難う御座います。係数ではなくて係数の比でした。すいません。

?@と?Aが同値（等価）であるであるというのは分かりました。しかし、やはり　x^2=・・・>0即ち・・・の件が何故同値である条件になるのかが分かりません。
宜しくお願いします。
No.14532 - 2011/08/10(Wed) 16:15:01
☆ Re: 大学受験の図形と式 / X
b=0のとき(1)と(2)はそれぞれ
x^2=-c/(a-1) (1)'
x^2=-1/(4a) (2)'
となることはよろしいですか？。
ここで(1)'(2)'は等しいので
x^2=-c/(a-1)=-1/(4a) (3)
また(1)'(2)'はそれぞれ異なる２つの実数解を持つので
x^2>0 (4) (注：x=0だと重解になってしまい不適)
(3)(4)より
x^2=-c/(a-1)=-1/(4a)＞0
つまり(3)かつ
-1/(4a)＞0 (5)
(3)をcについて解くと
c=(1/4)(1-1/a)
(5)より
1/a＜0
∴a＜0
よって求める条件は
c=(1/4)(1-1/a)かつa＜0
となります。
No.14535 - 2011/08/10(Wed) 17:57:37
★ 高1の問題 / 消しゴム
2次関数y=x^2+2kx+k^2-k+1のｸﾞﾗﾌがx軸と共有点をもつとき､定数kの値の範囲を求めよ｡


お願いします｡
No.14527 - 2011/08/10(Wed) 13:52:08
☆ Re: 高1の問題 / ヨッシー
ｘ軸と共有点を持つ　⇔　x^2+2kx+k^2-k+1＝０ が実数解を持つ
なので、判別式をとって、
　D/4＝k^2－(k^2-k+1)≧0
より、(以下略)
No.14529 - 2011/08/10(Wed) 14:52:50
☆ Re: 高1の問題 / ハオ
間違っているかもしれませんが僕なりの解説

与えられた二次関数がx軸と共有点を持つとは、一体どんなときでじょうか。xy平面上に無作為に二次関数(下に凸)を書いてみると二次関数の頂点がx軸より下もしくはx軸上にあればx軸と共有点を持つということにお気づきになるでしょうか？
これを数式で表せば
頂点のy座標≦0
⇔-k+1≦0
∴k≧1
No.14530 - 2011/08/10(Wed) 14:54:46
★ 数?Uです / まっちょ

x^100+x^99+1をx^2-xで
割ったときの余りを
求めよ。


教えて下さい！
No.14520 - 2011/08/09(Tue) 11:11:48
☆ Re: 数?Uです / ヨッシー
P(x)=x^100+x^99+1 とおき、P(x) をx^2-x で割ったときの商を Q(x)
余りを ax+b とおきます。このとき、
　P(x)=Q(x)(x^2-x)+ax+b
と書けますが、これに、x=0, x=1 を代入して、
　P(0)=b=1
　P(1)=a+b=3
より（以下略）
No.14521 - 2011/08/09(Tue) 11:37:37
☆ Re: 数?Uです / まっちょ

商のQ(x)は実数値(x^2+3x+1の1みたいな)は出ないんですか？
No.14522 - 2011/08/09(Tue) 13:11:04
☆ Re: 数?Uです / ヨッシー
実際に割れば出るでしょうが、今回はその必要はないです
（余りを求める以外に設問がなければ）
No.14523 - 2011/08/09(Tue) 13:40:28
☆ Re: 数?Uです / まっちょ

そうですね！
わかりました。
ありがとうございます！
No.14524 - 2011/08/09(Tue) 14:13:26
★ 数学?Vです。No.2 / 文系
こちらも解説お願いします。
No.14507 - 2011/08/08(Mon) 18:43:11
☆ Re / sorede
数学入門I（成城大学，経済学部）
http://matha.e-one.uec.ac.jp/~naito/11seijo-zenki.pdf

こちらで、修行してね！
No.14508 - 2011/08/08(Mon) 19:28:55
☆ Re: 数学?Vです。No.2 / 文系
拝見させていただきました。
私の大学テキストと違って、とても丁寧に説明されています。

大方、理解できました。
有難うございました。
No.14509 - 2011/08/08(Mon) 20:30:25
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