ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / 受験生

aを実数とし、
(x+2)|x-1|＝|x+2|(x-1)+a
を満たす実数xの集合をSで表す。
集合Sの要素の個数を調べるために、関数
f(x)＝(x+2)|x-1|-|x+2|(x-1)
を考える。

この関数は
x≦-2のとき、f(x)＝0
-2<ｘ≦1のとき、f(x)＝-2x^2-2x+4
1<xのとき、f(x)=0

である。
（１）Sがただ１個の要素からなるようなaの値を求めよ。
（２）Sがちょうど2個の要素からなるようなaの範囲を求めよ。
（３）Sの要素が無数にあるのはaがいくつのときか。

よろしくお願いします。

No.13781 - 2011/05/16(Mon) 09:05:08

☆ Re: / X

まずy=f(x)のグラフを描きましょう。
このグラフとx軸平行の直線y=aとの交点が
(1)の場合は1個であるとき
(2)の場合は2個であるとき
(3)の場合は無数に存在するとき
のaに対する条件を考えましょう。

No.13783 - 2011/05/16(Mon) 11:55:03

☆ Re: / X

こちらの計算では
(1)a=9/2
(2)0＜a＜9/2
(3)a=0
となりました。

No.13784 - 2011/05/16(Mon) 11:56:29

★ (No Subject) / 受験生

nを自然数、kを1≦k≦nを満たす自然数とするとき、(n/k)^k≦C[n→k]≦n^k/2^(kｰ1)が成り立つことを示せ。ただしC[n→k]は二項係数である。

平均値の定理を使って解こうとしたんですがうまくいきません?ｫ

どういう方針で解くんでしょうか？

No.13780 - 2011/05/16(Mon) 06:19:26

☆ Re: / angel

それぞれ大体 k項の積になっていますから、その一つ一つの項を比較すれば実はわかるようになっています。

C[n,k] = P[n,k]/k! であることから、
　(n/k)^k ≦ C[n,k] ≦ n^k/2^(k-1)
　⇔ k!/k^k ≦ P[n,k]/n^k ≦ ( k!/2^k )・2
　⇔ k/k・(k-1)/k・…・1/k ≦ n/n・(n-1)/n・…・(n-k+1)/n ≦ ( k/2・(k-1)/2・…・1/2 )・2

ちなみに、最初の変形は各辺 n^k で割って k! をかけています。後は 1/2^(k-1) = 2/2^k ですね。
これで各項を比較してみましょう。
左側の不等号は、こうした方が分かりやすいかも
　(1-0/k)・(1-1/k)・…・(1-(k-1)/k) ≦ (1-0/n)・(1-1/n)・…・(1-(k-1)/n)
右辺の方が、左辺よりも大きな（もしくは等しい）項を掛け合わせているので、≦が成立するという寸法です。

右側の不等号はもっと単純で、n/n,(n-1)/n,…,(n-k+1)/nはすべて1以下であるのに対し、k/2,(k-1)/2,…,1/2 は 1/2 を除いてすべて1以上、しかも最後に×2がついているので1/2の分もチャラになるという寸法です。

No.13838 - 2011/05/21(Sat) 09:28:11

★ 高2　三角関数 / れいひゃー

図のように半径1の円に正十二角形が内接している
(1)一辺のながさABをもとめよ
(2)円の直径に対する正十二角形の周のながさの割合を小数第1位まで求めよ
ただし､√6=2､449…､√2=1､414…とする

です
(1)(√6-√2)/2
()3､1

です
説明お願いします!(´･ω･｀)

No.13775 - 2011/05/15(Sun) 21:46:17

☆ Re: 高2　三角関数 / れいひゃー

図がはれませんのですが…；
えっと
12つの角のうちの4つの角の頂点がx軸とy軸にぴったりかさなっているというのか･･･
上手く説明が出来ないです＞＜；
本当にすみません…

No.13776 - 2011/05/15(Sun) 21:55:12

☆ Re: 高2　三角関数 / X

(1)
題意から
∠OAB=2π/12=π/6
OA=OB=1
∴△OABについて余弦定理により
AB^2=…

(2)
問題の割合をaとすると(1)の結果を使って
a=12・{(√6-√2)/2}/2
=3(√6-√2)
=…(近似値を代入して…)

No.13777 - 2011/05/15(Sun) 22:17:14

☆ Re: 高2　三角関数 / れいひゃー

>12・{(√6-√2)/2}/2

は何の式なんでしょうか…?

No.13778 - 2011/05/15(Sun) 23:21:19

☆ Re: 高2　三角関数 / rtz

＞「円の直径」に対する「正十二角形の周のながさ」の割合
それぞれ2つの「」はどう出すのか、考えましょう。

No.13779 - 2011/05/16(Mon) 02:23:37

☆ Re: 高2　三角関数 / れいひゃー

ありがとうございました！

No.13788 - 2011/05/17(Tue) 04:16:58

★ この問題がわかりません!! / 瑛海

　Aさんの身長はCさんの身長より16?p高く、Bさんの身長の　　1.2倍より8?p低い。また、Bさんの身長はCさんの身長より
　8?p低い。
　Aさん、Bさん、Cさんの身長はそれぞれ何?pですか。
　誰か一人を選び、その人の身長を答えなさい。

という問題です。
母と話し合ったのですが、分かりません!
詳しく教えて下さい!!
（明日がテストなので、なるべく早めにお願いします）

No.13769 - 2011/05/15(Sun) 12:34:49

☆ Re: この問題がわかりません!! / moto

図をみながら･･･
　?@「Aさんの身長はCさんの身長より16?p高く」
　?A「(Aさんの身長は)Bさんの身長の1.2倍より8?p低い」
　?B「Bさんの身長はCさんの身長より8?p低い。」

?@?A?Bと図から、
　16＋8＋8＝32cm　が、Ｂさんの0.2倍に相当します

それで、
　32÷0.2＝160　･･･　Ｂさん
　160＋8＝168　････　Ｃさん
　168＋16＝184　･･･　Ａさん

　160×1.2＝192　･･･　Ｂさんの1.2倍
　192－8＝184

No.13770 - 2011/05/15(Sun) 15:00:46

☆ Re: この問題がわかりません!! / Kurdt

・Aさんの身長はCさんより16cm高い
・Bさんの身長はCさんより8cm低い

この2つから「Aさんの身長はBさんの身長より24cm高い」とわかります。

Bさんの身長を ?I とすると、Aさんの身長は ?K-8 です。
AさんとBさんの身長の差は ?A-8 [cm] と言えます。

これが 24cm なので、?A=32 → ?@=16 cm となり、B さんの身長が160cm とわかります。

No.13771 - 2011/05/15(Sun) 15:11:16

★ (No Subject) / なち

?Bがわかりません。
解説をお願いします。

関数y=sin^3x+cos^3x+4sinxcosx+1について、次の問に答えよ。

?@sinx+cosx=tとおくとき、yをtの式で表せ。
答え→y=-t^3/2+2t^2+3t/2-1

?Atの動く範囲を求めよ。
答え→-√2≦t≦√2

?Byの最大値と最小値を求めよ。

よろしくお願いします。

No.13767 - 2011/05/15(Sun) 07:28:39

☆ Re: / X

(1)の結果を使って(2)の結果のtの値の範囲で
tに対するyの増減を考えましょう。
((1)の結果をtについて微分すると…。)

No.13772 - 2011/05/15(Sun) 18:07:47

☆ Re: (No Subject) / なち

回答ありがとうございます。
微分してy=-3t^2/2+4t+3/2となりました。
このあとの計算がわかりません。

No.13773 - 2011/05/15(Sun) 19:04:34

☆ Re: / X

dy/dt=(-3/2)t^2+4t+3/2=0
となるtの値を求めて、tに対するyの増減表を描きましょう。

No.13787 - 2011/05/16(Mon) 18:17:16

★ テイラー展開と予想 / rio

添付の問題と解説についてです。
テイラー展開の式との類似からaを1/3と予想したり、kを-1/2以下だと予想したりしたあとに、どのようにして活用して解けばよいのかが分かりません。宜しくお願いいたします。

No.13765 - 2011/05/14(Sat) 19:51:30

☆ Re: テイラー展開と予想 / 戸だ。

a=1/3で成り立つことと、a≠1/3で成り立たないことを示す。

k≦-1/2で成り立つことと、k＞-1/2で成り立たないことを示す。

って具合ですかね。なお、どのようにしてその定数を導いたかなんてのは(多分)答案には書く必要はありません。

No.13768 - 2011/05/15(Sun) 08:33:02

☆ Re: テイラー展開と予想 / rio

ありがとうございました。確認できました。

No.13795 - 2011/05/18(Wed) 01:49:51

★ 高2　三角関数 / れいひゃー

0≦x≦πのとき､
cosx+cos3x+cos5x＜0　を解け

答え
π/6＜x＜π/3､π/2＜x＜2/3π､5/6π＜x≦π

です。
説明お願いします！

No.13759 - 2011/05/14(Sat) 14:45:41

☆ Re: 高2　三角関数 / ヨッシー

加法定理を繰り返し用いると、こちらのような公式が作れます。
これを適用すると、
　cosｘ＋cos3x＋cos5x＝16cos⁵ｘ－16cos³ｘ＋3cosｘ
　＝16cosｘ(cos²ｘ－1/4)(cos²－3/4)
　＝16(cosｘ＋√3/2)(cosｘ＋1/2)cosｘ(cosｘ－1/2)(cosｘ－√3/2)
これが負になるには、
　cosｘ＜-√3/2
　-1/2＜cosｘ＜０
　1/2＜cosｘ＜√3/2
よって、上のような答えになります。

No.13760 - 2011/05/14(Sat) 15:11:43

☆ Re: 高2　三角関数 / rtz

cosx+cos3x+cos5x＜0
⇔(cosx+cos5x)+cos3x＜0
⇔2cos3xcos2x+cos3x＜0
⇔cos3x(1+2cos2x)＜0
を使ってもよいかと(結果は同じです)。

No.13766 - 2011/05/14(Sat) 21:05:24

☆ Re: 高2　三角関数 / れいひゃー

解けました！
ありがとうございます＾＾

No.13774 - 2011/05/15(Sun) 21:33:23

★ 答えがなくて困ってます / jon

S(t)の面積の最小値は(1/24)(b-a)^3であってますか？

No.13756 - 2011/05/14(Sat) 12:17:18

☆ Re: 答えがなくて困ってます / ヨッシー

ａ＜ｘ＜ｔの部分にある図形について、直線を、
　ｙ＝ｍｘ＋ｎ
とすると、面積は、
　∫_a～tｍｘ＋ｎ－ｘ²ｄｘ
であり、ｍｘ＋ｎ－ｘ²＝０の解は、
　ｘ＝ａ，ｔ
であるので、面積はこちらより
　(ｔ－ａ)³／６
同様に、右の部分は、(ｂ－ｔ)³／６
　f(t)＝{(ｔ－ａ)³＋(ｂ－ｔ)³}／６
と置いて、増減を調べると、
　f((a+b)/2)＝(b-a)³/24
が最小となります。

No.13758 - 2011/05/14(Sat) 12:52:19

☆ Re: 答えがなくて困ってます / jon

同じ方針で解きました。
ありがとうございました。

No.13782 - 2011/05/16(Mon) 11:45:57

★ (No Subject) / 蓮華

?凾`ＢＣ≡?凾dＣＤでともに正三角形なのですが、
?凾aＣＥを６０度回転移動させると?凾`ＣＤに重なるので
∠ＢＦＡ＝６０度とあるのですが、どうも納得いきません。Ｃについての回転移動なのに、Ｃを端としない線分間の角度を問題にしているのでよく分かりません。回転移動で∠ＢＦＡ＝６０度となるのが明らかに分かる方法はないでしょうか。

No.13747 - 2011/05/13(Fri) 12:33:29

☆ Re: / 蓮華

?凾`ＢＣ≡?凾dＣＤではありませんでした。

No.13748 - 2011/05/13(Fri) 12:34:42

☆ 回転 / angel

全部が60度回転しているので、対応する直線同士はもれなく60度になるのですが…、納得しづらいのも分からなくはないです。
というわけで別の観点から。

まず ∠BCA = 180°- ( ∠CBA + ∠CAB )
一方 ∠BFA = 180°- ( ∠FBA + ∠FAB )
で、∠FBA=∠CBA-∠CBE、∠FAB=∠CAB+∠CAD
最後に三角形の合同 △CBE≡△CAD より ∠CBE=∠CAD

これを全部まとめると、∠BFA=∠BCA=60°が導けます。

No.13753 - 2011/05/13(Fri) 23:35:40

☆ Re: / ヨッシー

△ＡＣＤを
点Ｃを中心と点Ｄを中心にそれぞれ、同じ角度だけ回してみます。

図のように、赤の三角と青の三角の各辺はそれぞれ平行になっており、
元の辺ＡＤとのなす角は等しくなります。

No.13755 - 2011/05/14(Sat) 08:31:29

☆ Re: / 蓮華

図ありがとうございます。感激です。
ただ、これが今回の質問と何の関係があるのかよくわかりません＞＜

No.13761 - 2011/05/14(Sat) 17:17:30

☆ Re: / ヨッシー

おや？

質問は、図の赤い角がなぜ 60°か？ということですよね？

質問では、△ＢＣＥを 60°回転させて△ＡＣＤとありますが、
△ＡＣＤを逆方向に 60°回転させたものが△ＢＣＥと考えても
同じですよね？

そこで、△ＡＣＤをＣを中心に60°回転した赤い三角と、
Ｄを中心に同じく60°回転した青い三角を描いてみました。
図の赤い角度と、青い角度は、同位角で等しいことは、
上のアニメで理解していただいたとして、では、青い角度は
何度かというと、これはまさに「Ｄを中心に 60°回転した」
ことがそのまま現れているので、当然 60°です。

ということで、赤の角度が 60°であることを説明した図だったのです。

No.13764 - 2011/05/14(Sat) 18:50:29

★ (No Subject) / nagat

数学の問題です。
学校の課題なのですが、なかなかわからないので、途中の式もお願いしますm(_ _)m

lim（n→∞）（2/3）＾n＊n＾100

No.13742 - 2011/05/12(Thu) 18:07:26

☆ Re: / ハオ

はっきり言って自信がありません。僕自身ただ興味本位で解きました。ですので参考程度にして下さい。間違っていたら御免なさい。というより多分間違ってます。
lim(n→100) (2/3)^n*n^100
ここではnの指数が100だろうと1000だろうと良いわけです。
重要なのは強さの不等式の概念だと思います。
logx<<<x^a<<<e^x (x→∞) とよく書かれます。
どれも皆天に昇る関数ですがレベルが違います。
そこでn^100は2^nや3の^n (n→∞)に比べたらただのゴミです。
そこでlim(n→100) (2/3)^n*n^100
はlim(n→100)(2/3)^nと書き換えられて
結局0に収束する。
と思います。
余談ですが東大の入試問題ではlim(n→∞)logx/x=0は知ってて当然とされただの一度も与えられなかったそうです。
これも強さの不等式の概念で自明です。滋賀医大などでは与えられています。
僕の解答が間違ってても余談だけでも役に立ってもらえればうれしいです。

No.13745 - 2011/05/12(Thu) 23:26:07

☆ Re: / jon

横から質問失礼しますが、0であることはどうやって
示せばいいのでしょうか？
何ではさめばいいのか見当がつきません。

No.13757 - 2011/05/14(Sat) 12:20:22

☆ Re: / ハオ

解答の書き方としては
lim（n→∞）（2/3）＾n＊n＾100=0でいいのではないでしょうか？
0に収束するのは
0<x<1の時　x^n (n→∞）ならばlim(n→∞)x^n=0
という収束する条件のようなものを高校時代やりませんでしたっけ？
覚え違いなら申し訳ありません。

No.13762 - 2011/05/14(Sat) 18:07:24

☆ Re: / ハオ

非常に余談ですが（受験数学の話で申し訳ありません）
極限の計算技法は大体５つです
?@手計算
?A基本公式に式変形する
?Bはさみうちの原理
?C導関数の定義に帰着
?D区分求積
jonさんが仰るはさみうちの原理は大体において求まらない問題に対して行うことが多いです。
しかし今回の場合は仮にa_n=(2/3)^n　（n→∞）
とおけばa_nが求まっていますからはさみうちを使う必要はないと思います。
a_nが求まらない時にa_nを例えばb_n c_nで評価して
b_n<a_n<c_n となったとしてlimb_n limc_nを求めて
あぁこれでlima_nが　a_nが求まらないのに求まりますね。
という具合に使うことが多いようです。

No.13763 - 2011/05/14(Sat) 18:13:18

★ (No Subject) / まいけ

やり方を説明して下さい。高二です

3桁の整数のうち、4の倍数、9の倍数、4でも9でも割り切れない数、9で割り切れるが、36で割り切れない数の個数を求めよ。
答え、順に225,100,600,75個です。

Uを全体集合とし、その部分集合A、Bを考える。
n(U)=100,n(A)=83,n(B)=71,n(AかつBじゃないもの)=mのとき、mの範囲、また、n(AじゃないものかつB)=7となるmの値を求めよ。
集合の記号がわからなかったのでひらがなで書きました。
答え、12≦m≦29、n=7 です。

No.13734 - 2011/05/12(Thu) 00:50:11

☆ Re: / X

(大問１問目)
999÷4=249余り3
99÷4=24余り3
ですので
3桁の整数のうち、4の倍数であるものは
249-24=225[個] (A)
3桁の整数のうち、9の倍数の個数 (B)
についても同様の計算です。
次の２つの値ですが、これを求める前に
3桁の整数のうち、4と9の公倍数の個数
つまり
3桁の整数のうち、36の倍数の個数 (C)
を求めます。
すると
(4でも9でも割り切れない数の個数)
=(３桁の整数の個数)-(A)-(B)+(C)
(9で割り切れるが、36で割り切れない数の個数)
=(B)-(C)
で計算できます。

No.13736 - 2011/05/12(Thu) 12:01:08

☆ Re: / X

(大問２問目)
例えばAの補集合をA￣と書くことにします。
又
n(U)=100 (A)
n(A)=83 (B)
n(B)=71 (C)
とします。

前半)
n(A∩B￣)=m (D)
とします。
(A)(C)より
n(B￣)=n(U)-n(B)=29 (E)
∴n(A∪B￣)=n(A)+n(B￣)-n(A∩B￣)
=112-m (E)
さて、(B)(C)(E)より
n(A)+n(B￣)>n(U)
n(A)>n(B)
に注意してベン図を考えると
A⊆A∪B￣⊆U
∴n(A)≦n(A∪B￣)≦n(U) (F)
(A)(B)(C)(E)を(F)に代入してmについての不等式を立てて解きます。

後半)
n(A￣∩B)=7 (G)
とします。
n(A)=n(A∩(B∪B￣))
=n((A∩B)∪(A∩B￣))
=n(A∩B)+n(A∩B￣)-n((A∩B)∩(A∩B￣))
=n(A∩B)+n(A∩B￣)-n(A∩(B∩B￣))
=n(A∩B)+n(A∩B￣) (H)
同様に
n(B)=n(A∩B)+n(￣A∩B) (I)
(H)(I)に(B)(C)(G)を代入して、n(A∩B),mについての
連立方程式を立てて解きます。

No.13738 - 2011/05/12(Thu) 12:58:27

☆ Re: / X

補足しておきます。
記号⊆ですが、これは⊂の下に＝がついている記号
と同じ意味です。

No.13739 - 2011/05/12(Thu) 13:02:58

☆ Re: / angel

2問目を例にいきますが、添付の図のような表を書くのがわかりやすいです。
横一列で見た場合、一番右のマスが左2マスの合計に、
縦一列で見た場合、一番下のマスが上2マスの合計になるのがミソ。
2問目では、n(U),n(A),n(B),n(A∩~B)がわかっているので、それを書き込んであげると、あいている部分が芋づる式に分かってくるのです。
※ここでは、補集合は ~ を使って表現しています。( 正しくは、集合の記号の上に棒線 )

No.13743 - 2011/05/12(Thu) 20:48:47

★ ベクトル2 / さい

またベクトルの問題です

空間内の2点A,Bの位置ベクトルをa,bとしたとき、｜a｜=1,
｜b｜=3,｜a-b｜=√10であったとする。
(1)aとbは直交することを示せ。
(2)原点Oから2点A,Bを通る直線に下した垂線の足をHとするとき、OHベクトルをa,bで表し、(a,OHベクトル)を求めよ。

お願いします

No.13733 - 2011/05/11(Wed) 23:24:00

☆ Re: ベクトル2 / X

|↑a|=1 (A)
|↑b|=3 (B)
|↑a-↑b|=√10 (C)
とします。
(1)
(↑a,↑b)=0を示します。
(C)より
|↑a-↑b|^2=10
左辺を展開して(A)(B)を代入すると…。

(2)
点Hは直線AB上にあることから
↑OH=k↑a+l↑b (C)
k+l=1 (D)
と置くことができます。
題意からOH⊥ABですので
↑OH・↑AB=0 (E)
更に
↑AB=↑b-↑a (F)
(E)に(C)(F)を代入して左辺を展開し、更に(A)(B)と
(1)の結果を代入すると、k,lについての方程式が
導かれますので、これと(D)とを連立して解き、
k,lの値を求めます。

No.13735 - 2011/05/12(Thu) 11:49:20

★ ベクトル / さい

大学の問題です

ベクトルの内積について次の等式を示せ。
(1)(a,b)=(b,a)
(2)(a+b,c)=(a,c)+(b,c)
(3)(ka,b)=(a,kb)=k(a,b) (kはスカラー)

教科書見ましたがわかりませんでした。
お願いします。

No.13732 - 2011/05/11(Wed) 22:26:12

☆ Re: ベクトル / X

↑a=(a[1],…,a[n])
↑b=(b[1],…,b[n])
↑c=(c[1],…,c[n])
として、例えば(↑a,↑b)が
(↑a,↑b)=Σ[k=1～n]a[k]b[k]
と定義されているものとして回答します。

(1)
(↑a,↑b)=Σ[k=1～n]a[k]b[k]
(↑b,↑a)=Σ[k=1～n]b[k]a[k]
∴(↑a,↑b)=(↑b,↑a)

(2)
(↑a+↑b,↑c)=Σ[k=1～n](a[k]+b[k])c[k]
=Σ[k=1～n]a[k]c[k]+Σ[k=1～n]b[k]c[k]
=(↑a,↑c)+(↑b,↑c)

(3)
(k↑a,↑b)=Σ[k=1～n](ka[k])b[k]=kΣ[k=1～n]a[k]b[k]
(↑a,k↑b)=Σ[k=1～n]a[k](kb[k])=kΣ[k=1～n]a[k]b[k]
k(↑a,↑b)=kΣ[k=1～n]a[k]b[k]
∴(k↑a,↑b)=(↑a,k↑b)=k(↑a,↑b)

No.13741 - 2011/05/12(Thu) 13:29:47

★ (No Subject) / jonny

p(x)=-2√3x+√3 としたとき、
任意の一次関数f(x)は定数a,bを用いてf(x)=a*p(x)+b と表わせることを示せ。

という問題なのですが、どういう風に論理展開していったらいいか詳しく
教えてください。

No.13730 - 2011/05/11(Wed) 19:50:24

☆ Re: / ast

論理展開といえるかどうかわかりませんが, 代入して係数比較するだけで話が済みそうです.

任意の一次函数 f(x)=sx+t が与えられたとき, a=s/(-2√3), b=t+(s/2) と置けば所期の表示が可能.

とでも書けばよさそうです.

No.13731 - 2011/05/11(Wed) 21:36:46

★ 微分方程式 / hrjx

接線がつねに点(a,b)を通る曲線を求めよ。

という問題について、自分なりに解答して
解答である　ｙ-b=y'(x-a)　という形になったのですが、大文字・小文字を使うなどして、ちゃんと説明しなさい。と言われてしまいました。

ですが、うまく表せませんでした…

よろしくお願いします。

No.13728 - 2011/05/11(Wed) 04:31:12

☆ Re: 微分方程式 / ヨッシー

解答があっていて、途中の説明が不十分と言われたのでしたら、
その説明を書いていただかないと、どこが不足しているか、
答えようがありません。

おそらく、大文字、小文字というのは一例であって、本質ではないと思います。

No.13729 - 2011/05/11(Wed) 15:01:18

★ (No Subject) / fgd

nを自然数としたとき、ω＝－１+√3ｉ/2としたとき

ω＾ｎ+1+（ω+1）＾2n－1＝0を示せ。
ｎ＝3k
ｎ＝3k+1
ｎ＝3k+2 で場合分けですか？

お願いします。

No.13720 - 2011/05/10(Tue) 22:21:02

☆ Re: / X

文字の使い方から問題の等式を
ω^(n+1)+(ω+1)^(2n)-1=0
と解釈してみましたが、この等式は成立しません。
問題文にタイプミスはありませんか？。

No.13722 - 2011/05/10(Tue) 23:01:16

☆ Re: / fgd

ω＾（ｎ+1）+（ω+1）＾（2n-1）＝0でした。
すみませんでした。

No.13724 - 2011/05/10(Tue) 23:04:28

☆ Re: / ヨッシー

ωについては、
　ω³＝１
　ω²＋ω＋１＝０
が成り立つので、
　ωⁿ⁺¹＋(ω＋１)^2n-1
　　＝ωⁿ⁺¹＋(－ω²)^2n-1
　　＝ωⁿ⁺¹－ω^4n-2
　　＝ωⁿ⁺¹－ω^3n-3ωⁿ⁺¹
　　＝ωⁿ⁺¹－ωⁿ⁺¹＝０
となります。

No.13725 - 2011/05/10(Tue) 23:21:12

☆ Re: / fgd

どうも、ありがとうございます。

No.13727 - 2011/05/10(Tue) 23:49:06

★ 数学?U　高校 / suuretu

微分の問題が分かりません高３

関数f(x)のx=1における微分係数f'(1)が存在するときlim(x→1){x^6f(1)-f(x^3)}/(x^2-1)をf(1)とf'(1)を用いて表せ。

解き方が分かりません。

関数f(x)のx=1における微分係数f'(1)が存在するというのはどういう意味なんでしょうか？

微分係数の定義の式は分かるのですがどうすればよいかわかりません。

誰か分かる方教えてください。お願いします。
3f(1)-｛3f'(1)/2｝です。

No.13718 - 2011/05/10(Tue) 18:18:41

☆ Re: 数学?U　高校 / rtz

＞関数f(x)のx=1における微分係数f'(1)が存在する
lim[x→1](f(x)-f(1))/(x-1)＝f'(1)
が成立するということです。

x^6*f(1)-f(x^3)＝(x^6-1)*f(1)-(f(x^3)-f(1))が使えそうです。

No.13721 - 2011/05/10(Tue) 22:42:46

☆ Re: 数学?U　高校 / angel

例として、合成関数の微分
　f(g(x))' = g'(x)・f'(g(x))
というのもありますが、似たような話です。

　lim[x→a] { f(g(x))-f(g(a)) }/(x-a)
　= lim[x→a] { f(g(x))-f(g(a)) }/(g(x)-g(a))・(g(x)-g(a))/(x-a)
　= f'(g(a))・g'(a)

前半部分については、x→aの時g(x)→g(a)なので、
仮に t=g(x),s=g(a) のように置き換えてみると、
　lim[t→s] { f(t)-f(s) }/(t-s) = f'(s) = f'(g(a))
となるのが要です。

No.13723 - 2011/05/10(Tue) 23:03:32

★ (No Subject) / ブッター

Z=tanhφ=e^φ-e^-φ/e^φ+e^-φ

がなぜ
φ=1/2log1+Z/1-Z (-1<Z<+1)

になるかわかりません。お願いします。

No.13712 - 2011/05/09(Mon) 09:51:58

☆ Re: / ヨッシー

E=e^φ とおくと、
　Z=(E-1/E)/(E+1/E)
右辺の分母子にE を掛けて、
　Z=(E^2-1)/(E^2+1)
両辺 E^2+1 を掛けて、
　(E^2+1)Z=(E^2-1)
移項して整理すると、
　(1-Z)E^2=1+Z
Z=1 となるのは、E-1/E=E+1/E の時ですが、これは、
　1/E＝0
となりあり得ません。よって、1-Z≠0 より
　E^2＝e^(2φ)＝(1+Z)/(1-Z)
自然対数を取って、
　2φ＝log{(1+Z)/(1-Z)}
よって、
　φ＝(1/2)log{(1+Z)/(1-Z)}
となります。

No.13713 - 2011/05/09(Mon) 17:44:07