a1=1,b1=0,a(n+1)=-2a(n)+b(n)(n=1.2....)
b(n+1)=-4a(n)(n=1.2....)
(1)a2,a3,a4,a5,a6を求めよ。（２）a(3k)=0(k=1.2....)を示せ
(3)b(3k),a(3k+1),b(3k+1),a(3k+2),b(3k+2)(k=1.2...)をｋを用いて表せ。なお、数学的帰納法は使わずに解け。
問題は（３）なのです。どなたか教えて下さい。
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No.14446 - 2011/08/03(Wed) 14:48:48
| ☆ Re: 数列 / ヨッシー  | | | (3)
k≧2 において
a(3k+1)=-2a(3k)-4a(3k-1)
=-4a(3k-1)
=-4{-2a(3k-2)-4a(3k-3)}
=8a(3k-2)
これはk=1 についても成り立ちます。
c(k)＝a(3k+1) とおくと、c(1)＝8, c(k+1)=8c(k) であるので、
c(k) は、初項８，公比８の等比数列。よって、
c(k)＝a(3k+1)＝８^k (k=1,2,…)
a(3k+2)=-2a(3k+1)-4a(3k)
=-2a(3k+1)
=-2{-2a(3k)-4a(3k-1)}
=8a(3k-1)
より、a(3k+2)＝-2・8^k
これは、k=0 のときも成り立つので、
b(3k)=-4a(3k-1)=-4a(3(k-1)+2)
=-4・(-2)・8^(k-1)=８^k
b(3k+1)=-4a(3k)＝０
b(3k+2)=-4a(3k+1)＝-4・8^k
という具合です。
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No.14447 - 2011/08/03(Wed) 16:05:14 |
| ☆ 回答ありがとうございます / 数列マスター | | | 上から順番に見て行きます。
c(k)＝a(3k+1) ・・?@とおくと、c(1)＝8, c(k+1)=8c(k)・・?A とあるのですが、c(k)＝a(3k+1)（ｋ≧？） と置くのであれば、a(3k+1）=8a(3k-2)に代入するとc(k)=8c(k-1)ではないのですか？また?@、?Aのｋの範囲も教えて下さい。
ひとまずここで引っかかったので解説よろしく御願いします。
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No.14448 - 2011/08/03(Wed) 19:58:40 |
| ☆ Re: 数列 / ヨッシー | | | ?@, ?A ともに、ｋ≧１ ですね。
a(3k+1）= 8a(3k-2) に c(k)＝a(3k+1) を代入しているわけではありません。
最初の６行で、a(1)，a(4), a(7)・・・は、公比８の
等比数列になっていることを示しています。
c(k+1)=8c(k) は、一般的な等比数列の漸化式を表しただけです。
もし、代入にこだわるようであれば、
c(k+1)＝a(3(k+1)+1)＝8a(3(k+1)-2)＝8a(3k+1)＝8c(k)
とすればどうでしょう。
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No.14455 - 2011/08/04(Thu) 14:02:20 |
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