ｔが０≦t≦１の範囲を動く時
直線ｙ＝3(t^2-1)x-2t^3・・?@の取りうる範囲を図示せよ。
?@でｔ以外の文字を固定してｔについて微分すると
２ｔ（ｘ−ｔ）＝０
⇔『ｔ＝０』またはｘ＝ｔ
ｘ＝ｔを?@に代入すると
ｙ＝ｘ＾３−３ｘ（これが包絡線）・・?A
?@＝?A
⇔x^3-3t^2x+2t^3=0
⇔(x+2t)(x-t)^2=0より
?@は?Aにｘ＝ｔで接する接線だと分かる。
０≦t≦１で接するように?@を動かして以下略。
ですが
途中の『』のｔ＝０を何故無視してよいのか教えて下さい。
（ｔで微分して得た式を元の式に代入したものが
なぜ包絡線になるのかは分かっていません）
|
No.14271 - 2011/07/16(Sat) 21:19:23
| ☆ Re: 高３ / angel | | | うーんと。「t=0」の話だけ分かれば、ほかの部分は納得できるのですか? 特に包絡線の話って、高校ではやらないはずなんですが。
※高校範囲でも何とかならなくはないですが。
おそらく模範解答例を載せられていると思うのですが、これは解答としては危険ですよ。減点される可能性が大いにあり、という意味で。( 特に「０≦t≦１で接するように?@を動かして以下略」の部分、書ききれないでしょうから )
私なら、この模範解答例はボツにしますけどね。
さて、一応「t=0」の話を説明するならば。
前段の y=x^3-3x という包絡線は、実は?@の直線を t≧0 ( 0≦t≦1 ではなく ) で動かしたときのものです。
でもって、ご存知の通り微分とは、区間の端での値は意味をなさない(※)ので、t=0 の部分は無視しても良いのです。
※一例を挙げるなら、「y=f(x)の-5≦x≦5における増減を調べよ」とかいわれた場合、f'(x)の値を調べるわけですが、それは -5＜x＜5 という端を除いた所で調べるのです。
|
No.14278 - 2011/07/17(Sun) 00:33:21 |
| ☆ Re: 高３ / angel | | | さて、まばvさんの挙げた解答例を「ボツ」と言いましたけど、じゃあどう解けば良いか。
もし思いつかなければ、次の問題を解いてみてください。解けるようならば、それと同じようにやれば良いです。
問い: f(t)=-2t^3+3at^2-3a とする。ただし a は定数である。
以下の4種類のケースに対し、0≦t≦1 における f(t) の範囲を求めよ。
(1) a≦0 の場合
(2) 0＜a≦2/3 の場合
(3) 2/3＜a≦1 の場合
(4) a＞1 の場合
|
No.14280 - 2011/07/17(Sun) 00:49:35 |
| ☆ Re: 高３ / まばｖ | | | ありがとうございます。
いえ、ｔで微分して得た式を元の式に代入したものが
なぜ包絡線になるのかは分かりません。
微分して解くような一般論としての包絡線の求め方のサイトがあれば教えていただけないでしょうか。大学の範囲になってもかまいません。
よろしく御願いします。
|
No.14287 - 2011/07/17(Sun) 22:38:14 |
| ☆ Re: 高３ / angel | | | とりあえず
http://tenmei.cocolog-nifty.com/matcha/2009/05/post-266a.html
あたりでしょうか。
このページの(3)は偏微分の話で、高校範囲を完全に超えます。
で、(2)が今回の話に近いところです。
ただし、そこでは微分ではなく平方完成を使っています。というのは2次関数のお話だからです。
さて、今回の問題を
tが t≧0 の範囲で変化する場合の、直線y=3(t^2-1)x-2t^3 の包絡線を求めよ ( ただし、x＞0 の範囲のみでよい )
にした場合のことを考えます。
で、x=a ( a＞0 ) での切断面(線?)を考えてみます。
y=3(t^2-1)x-2t^3 と x=a の交点は、f(t)=-2t^3+3at^2-3a と置くと、(a,f(t)) になります。
そして、f(t)というのは最上位の係数が負の3次関数なので、t≧0 においては最大値を持ちます。
言い方を変えると、f(t)のとる値の範囲は f(t)≦f(T) ( Tは適当な実数 ) ということ。でもって、f(t)を微分して増減を調べて…とやると、実は T=a だということが分かります。
結局、x=aにおける交点(a,f(t))の存在範囲は、(a,f(a))を端とし下に伸びる半直線になります。なので、端の点 (a,f(a))=(a,a^3-3a) というのが包絡線の一部になるわけです。
でもって、f(a) というのは f(t) の t≧0 における最大値を意味しています。元の解答例にあった「t=xを代入」といっているのも、f(t) の ( t≧0 における ) 最大値を求めるという作業に対応しているのです。
このお話を、上で挙げたサイトの(2)の説明や図と照らし合わせてみてください。
|
No.14289 - 2011/07/18(Mon) 00:01:08 |
| ☆ Re: 高３ / まばｖ | | | ありがとうございます。
そのサイトはすでに知っています。しかしありがとうございます。
平方完成でやるやり方も、そのやり方（ファクシミリの原理）も知っています。しかし、ありがとうございます。
「微分して解く」ような一般論としての包絡線の求め方のサイトや書籍が知りたいです。偏微分自体は他の文字を固定して微分ということは知っているので問題ないです。大学の範囲ということなので偏微分以外で分からない所があれば、そのつどまた質問させてもらいます。
|
No.14294 - 2011/07/18(Mon) 17:26:33 |
| ☆ Re: 高３ / angel | | | > 「微分して解く」ような一般論としての包絡線の求め方のサイトや書籍が知りたいです。
「一般論」としてだと、どうしても偏微分を使った大学レベルの話になりそうですね…。
※高校生向けだと、高校レベルで説明できる中でしか話ができないので、どうしても2次関数と平方完成なんかが主になるでしょうから。
|
No.14299 - 2011/07/19(Tue) 00:32:14 |
| ☆ Re: 高３ / まばｖ | | | 偏微分自体は他の文字を固定して微分ということは知っているので偏微分を使った説明でＯＫです。大学の範囲ということなので偏微分以外で分からない所があり、質問して分かりそうならそのつどまた質問させてもらいます。
|
No.14300 - 2011/07/19(Tue) 03:17:16 |
| ☆ Re: 高３ / angel | | | 偏微分でも良いのですか…。
高木先生という方の「解析概論」の説明がほぼ全てです。もうごらんになっているかも知れませんが。
http://ja.wikisource.org/wiki/%E8%A7%A3%E6%9E%90%E6%A6%82%E8%AB%96/%E7%AC%AC7%E7%AB%A0/%E5%8C%85%E7%B5%A1%E7%B7%9A
※ちなみに、このページ(3)のfy(x,y,α)=0 は fα(x,y,α)=0 の誤植のようです。なお fy,fαは、y,αが添え字になっているものとして見てください。それぞれ f の y による偏導関数 ∂f/∂y, αによる偏導関数 ∂f/∂α を表します。
ただ、偏微分についてそれなりには知っておく必要があるでしょう。
|
No.14308 - 2011/07/20(Wed) 01:11:35 |
|
