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(No Subject) / のぶた
f(x)=(1+x)^xの原点を中心とするTaylor展開を
f(x)=(1+x)^x=A(0)+A(1)x/1!+A(2)x^2/2・・・+A(n)x^n/n!+・・・
とおくとき、A(0),A(1),A(2)を求めよですが、
A(0)=1というのはわかりますが、A(1)は0となってしまいます。問題の答えには1となっていて、なぜだかわかりません。

A(1)はf(x)の式を対数logをとってやっていき、
dy/dx=(1+x)^x ×(log(1+x)+x/(1+x)となりました。
これにx=0を代入し自分は答えを0としました。どうでしょうか?

No.14335 - 2011/07/24(Sun) 20:43:20

Re: / X
のぶたさんの計算に問題はないと思います。
No.14336 - 2011/07/24(Sun) 21:15:04
大学 条件付き極限 / RYA
0≦x≦1、-3≦y≦0のとき、関数f(x,y)=(x + y^2 +2y)e^2x
の最大値、最小値を求めよ。
という問題の解説をお願いします。

最大値、最小値なので、
まずfx、fyを求めて極値になる停留点の候補を探すのは
大丈夫なのですが
境界線上の点の求め方があいまいなのでお願いします。

No.14329 - 2011/07/24(Sun) 15:26:26

Re: 大学 条件付き極限 / RYA
なんとなくできたので
答えだけでもよろしくお願いします。

No.14337 - 2011/07/24(Sun) 21:53:24
空間曲線 / YD
2e^x siny=e^2
x^2 + z^2=5
上の点(2、π/6、1)における法平面の方程式を求めよ。
という問題の解説をお願いします。
答えはx-2z=0で。

自分がやってみたのはそれぞれF(x、y、z)、G(x、y、z)にして
微分したものFx、Fy、Fz、Gx、Gy、Gzを使って、
授業でメモってあったんですが行列式で
|行列|(x-2)+|行列|(y- π/6)+|行列|(z-1)=0 ?
で解いてみたのですが上手くいきません。
やり方が間違っているのでしょうか?お願いします。

No.14328 - 2011/07/24(Sun) 14:16:57
nが2から始まる漸化式 / 森永
a(n)=2a(n-1)-5(n=2,3,4,・・・)で定まる数列{a(n)}の一般項を求めよ。
答えはa(n)=2^n+5なのですが、計算で答えを出した後にn=1の吟味が必要かどうかが分かりません。

a(n)=2a(n-1)-5・・?@
∴a(n)-5=2{a(n-1)-5}・・?A
∴a(n)-5=2^(n-1){a(1)-5}・・?B
∴a(n)=2^n+5・・?C
?@は問題文にあるようにn≧2
?Aは?@と同値なのでn≧2
?@)?Bがn≧2なら?Cもn≧2で最後にn=1でも成り立つか吟味が必要
?A)?Bがn≧1なら?Cもn≧1でn=1の吟味は不必要。

?@)?A)のどちらになるのか、そしてその理由を教えて下さい。よろしく御願いします。

No.14324 - 2011/07/24(Sun) 06:50:11

Re: nが2から始まる漸化式 / X
元の漸化式である(1)はn≧2のときに成立します。
よってi)になります。

No.14325 - 2011/07/24(Sun) 08:08:28

Re: nが2から始まる漸化式 / 森永
なぜ?Bの式がn≧2でのみ成り立つ式といえるのですか?
No.14330 - 2011/07/24(Sun) 16:50:13

Re: nが2から始まる漸化式 / angel
ちょっと待ってください。
?Bは、もともと「n≧1 で成り立つ式」ではないですか。
つまり、?@,?Aはn≧2でのお話ですが、?Bからはn≧1の話に変わっています。
※なので、元々の森永さんの質問への回答は?A)となります。

というのは、?@,?Aというのはa(n-1)とa(n)の関係を表す式 ( 要するに漸化式 ) なので、n≧2 ということは a(1),a(2) の関係、a(2),a(3) の関係、a(3),a(4) の関係、…というのを、一つの式にまとめている訳です。

で、それを受けて?Bではもう「関係」を表す式ではなく、個々の項を表す式 ( 要するに一般項 ) に変わっています。
a(1)-5 というのが等比数列だということが?Aで分かっているので?Bのような表現ができて、その範囲は初項から ( つまり n≧1 において ) ということです。

?A,?Bで表現している部分を添付の図の中で赤く色づけしてみましたので、そちらもご覧になってください。

No.14332 - 2011/07/24(Sun) 17:50:33

解答の書き方 / angel
なお、解答の書き方としてですが。

?@→?Aや、?B→?Cというのは、両辺を足したり引いたりしてまとめ直したり、a(1)の値を具体的に代入したりといった変形なので、式の意味自体は変わっていませんが、?A→?Bの変形ではガラリとその意味が変わっています。
※漸化式→一般項と変わっているため。
実際、適応範囲も n≧2 から n≧1 と変わりますし。

なので、式をそのまま並べるだけだと誤解を与える解答になりかねません。なにか一言添えた方が良いでしょう。

例えば、次のように書き換えるだけでもずいぶんと違います。
--
問題の条件より n≧2 において a(n)=2a(n-1)-5・・?@
∴a(n)-5=2{a(n-1)-5}・・?A
これは、a(n)-5 が公比2の等比数列であることを表す。
∴n≧1において a(n)-5=2^(n-1){a(1)-5}・・?B
∴a(n)=2^n+5・・?C

No.14333 - 2011/07/24(Sun) 18:03:16

回答有難うございます / 森永
ということは、
a(n)-5=2{a(n-1)-5}(n≧10),a(4)=21
という問題設定でも
a(n)-5=2^(n-1){a(4)-5}(n≧1)が
いえる

つまりa(n)-5=2{a(n-1)-5}が言えた時点で
-∞から∞のn(n:整数)において{a(n)-5}
は等比数列と言える。

つまりa(n)-5=2^(n-1){a(1)-5}=2^n{a(0)-5}=・・
=2^(n+7){a(-7)-5}=・・・

つまり、a(n)-5=2^(n-1){a(1)-5}は本来全てのnで成り立つが、a(n)(n≧1)を求めよ。だから14333の記事の最後から二行目は
『n≧1において 』a(n)-5=2^(n-1){a(1)-5}・・?B
と書いている。

という理解であっていますか?

No.14334 - 2011/07/24(Sun) 18:55:59

Re: nが2から始まる漸化式 / angel
> ということは、
…(中略)…
> つまりa(n)-5=2{a(n-1)-5}が言えた時点で
> -∞から∞のn(n:整数)において{a(n)-5}
> は等比数列と言える。


いいえ。それは流石に極端です。
先ほどの問題で「n≧1 において a(n)-5=2^(n-1){a(1)-5}」が成立しているのは、
 a(1)-5,a(2)-5の間、a(2)-5,a(3)-5の間、a(3)-5,a(4)-5の間、…
という範囲で「比が一定」という関係が分かっていたからです。

もし例のように a(n)-5=2{a(n-1)-5}(n≧10)という状況であれば、この「比が一定」という関係は、
 a(9)-5,a(10)-5の間、a(10)-5,a(11)-5の間、a(11)-5,a(12)-5の間、…
の範囲でしか明らかになっていません。
そのため、a(9)-5,a(10)-5,a(11)-5,a(12)-5,… が等比数列であることは断定できますが、それ以前の項については情報不足で決定できません。今回添付した図と、前回添付した図を比べてください。
※そのため、n≧9 において a(n)-5={a(9)-5}・2^(n-9) という一般項なら導けますが、n<9 の部分は不明のままなのです。

あくまでも、機械的にn≧1と範囲を書き直せるわけではなくて、どこからどこまで関係が明らかになっているか、その範囲が重要なのです。

No.14338 - 2011/07/24(Sun) 22:16:22
数?T図形 / pink
円に内接する四角形ABCDで、AB=4 AD=BC=5 BD=7である。

(1)角DAB=<シーター>として、cosシーター の値を求めよ。

(2)CDの長さを求めよ。

(3)この四角形の外接円の面積を求めよ。

この3問よろしくお願いします。

No.14322 - 2011/07/21(Thu) 22:53:36

Re: 数?T図形 / ヨッシー
(1)
△ABDにおける余弦定理より
 cosθ=(16+25-49)/(2・4・5)=-1/5
(2)
∠BCD=π−θ より
 cos∠BCD=1/5
CD=x とおくと、△BCDにおける余弦定理より
 49=25+x^2−10x/5
これを解いて、
 CD=6
(3)
 sinθ=2√6/5
であり、正弦定理より外接円の半径をRとすると、
 2R=BD/sinθ=35/2√6
 R=35/4√6
よって、求める面積は、
 1225π/96

No.14323 - 2011/07/21(Thu) 23:11:40
2次方程式の整数解 / qwerty
高1です。

xの2次方程式 x^2-2ax+(a-1)=0 が2つの整数解を持つように定数aの値を求めよ。(答え:a=0,1)

2解を解と係数の関係により文字でおくのだと思うのですが、途中で詰まります。

お願いします。

No.14319 - 2011/07/21(Thu) 19:27:13

Re: 2次方程式の整数解 / X
問題の二次方程式の解の判別式をDとすると、解の公式から
少なくとも
D/4=a^2-(a-1)=n^2 (n:0又は自然数)
これより
n^2-(a-1/2)^2=3/4
4n^2-(2a-1)^2=3
(2n-2a+1)(2n+2a-1)=3 (A)
aも整数でなくてはならないことに注意すると(A)から…

No.14321 - 2011/07/21(Thu) 19:38:59
(No Subject) / のぶた
∫[1→+∞] dx/x^4+x^2 がなぜ1-(π/4)になるかわかりません。
∫dz/a^2+z^2=1/a×Arctanz/a を使って解きました。
ただのπ/4になるのでは?


No.14318 - 2011/07/21(Thu) 17:12:10

Re: / X
1/(x^4+x^2)=1/{(x^2+1)x^2}
=1/x^2-1/(x^2+1)
∴∫[1→∞]dx/(x^4+x^2)=[-1/x-arctanx][1→∞]
=1-(π/2-π/4)=1-π/4
となります。

No.14320 - 2011/07/21(Thu) 19:33:50
フーリエ / a
次の周期関数のフーリエ級数の求め方を教えてください。
f(x)= 1   (-1<=x<0)
{ 1/2  (x=0)
x   (0<x<=1)

No.14316 - 2011/07/21(Thu) 13:06:44

Re: フーリエ / a
問題が大変みづらくなってしまいました。3つの範囲でf(x)はそれぞれ違う関数をとるということです。
No.14317 - 2011/07/21(Thu) 13:08:15
マクローリン / RYA

lim(x→+∞)で、{(x+1)/(x-2)}^(2x-1)
の答えが e^6 になるまでの
マクローリンを用いた
解き方をお願いします。

No.14315 - 2011/07/21(Thu) 00:49:03
(No Subject) / まま

放物線y=2x^2+3xを平行移動したもので点(1,3)を通り、その頂点が直線y=2x-3上にある放物線の方程式を求めてください。
途中の計算なども書いてくれるとありがたいです。

No.14304 - 2011/07/19(Tue) 20:31:58

Re: / シャロン
放物線を平行移動してもx^2の係数は変わらないので、y=2(x-a)^2+bとおけます。
これの頂点は(a,b)で、これがy=2x-3上にあることから、b=2a-3...(A)
また、放物線が(1,3)をとおるので、3=2*(1-a)^2+b...(B)が成り立ちます。

あとは、(A)(B)の連立方程式を解くだけです。

No.14305 - 2011/07/19(Tue) 20:41:49
高3 / ハーイ
三角形ABCの辺BC上に点D、辺AC上に点Eがあり、四角形ABDEが円Oに内接している。AE=DE、AB=42/5、AC=14、BD=6/5であるとき
(1)線分AEと線分CDの長さを求めよ
(2)円Oの半径を求めよ

お願いします

No.14303 - 2011/07/19(Tue) 18:43:38

Re: 高3 / ヨッシー
(1)
△ABCと△DECは相似なので、AE=ED=x,CD=y とおくと、
 AB:DE=BC:CE=AC:CD
より
 8.4:x=(1.2+y):(14−x)=14:y
これを解いて、x=6,y=10

(2)
△ABCは、3:4:5 の直角三角形(∠B=90°)なので、
△ABDの斜辺ADが円Oの半径になります。
(以下略)

No.14307 - 2011/07/19(Tue) 21:14:38

Re: 高3 / ヨッシー
直径の誤りでした。
No.14309 - 2011/07/20(Wed) 08:35:45
(No Subject) / 2022
空間の二点A(-1、5、-1)、B(2、-1、2)を通る平面で、
原点Oを中心とする球面S:x^2+y^2+z^2=1に接するものは
2つある。これらの平面と球面Sとの接点をそれぞれT1、T2
とするとき
(1)直線ABと平面OT1T2の交点Hの座標を求めよ。
(2)?凾gT1T2の面積を求めよ。
(3)四面体T1T2ABの面積を求めよ。

お願いします

No.14298 - 2011/07/18(Mon) 22:56:45

Re: / ヨッシー
OT1T2を通る平面と、ABは垂直になります。
つまり、点Oを通り、ABに垂直な平面が平面OT1T2 となり、
これとABとの交点が点Hとなります。

OHの長さがわかると、△OHT1 における三平方の定理より
HT1, HT2 の長さがわかり、そこから調べることにより
△HT1T2 の面積が出ます。

(3) は体積でなくて、面積(表面積)なのですか?

No.14301 - 2011/07/19(Tue) 06:40:22

Re: / 2022
面積ではなく体積でした。失礼しました。
No.14302 - 2011/07/19(Tue) 07:01:28

Re: / ヨッシー
体積であれば、四面体T1T2AB を、2つの四面体
 T1T2AH と T1T2BH
に分けると、△HT1T2×AH÷3、△HT1T2×BH÷3 の
和となるので、△HT1T2×AB÷3 で求められます。

No.14306 - 2011/07/19(Tue) 21:01:42
(No Subject) / ダンベルと
一辺の長さ1の正四面体OABCにおいて、辺OCの中点をM、辺ABの中点をNとする。→OA=→a、→OB=→b、
→OC=→cとするとき次の問いに答えよ。

2直線OAとOBに平行で点Cを通る平面をαとする。点A,B,Mを通り、平面α上に中心を持つ球面をSとする。Sの中心をRとするとき、→ORを→a、→b、→cを用いて表せ。

解)Rはα上にあるから→OR=→c+s→a+t→bと表せる。「また、Rは三角形ABMの外心Qを通り、平面ABMと垂直な直線l上にあるが、AM⊥OC,BM⊥OCだから平面ABM⊥OCとなりl平行OCとあるのですが、

また、から分かりません。何を言っているのでしょうか。

No.14286 - 2011/07/17(Sun) 22:03:39

Re: / ヨッシー
下の図は、点Aと点Bが重なって見える方向から見た図です。

平面ABMに垂直な2つの直線QR(l)とOCは、平行になります。

その前の平面ABM⊥OC は、
「平面上の平行でない2直線と垂直な直線は、平面に対しても垂直である」
によります。

No.14291 - 2011/07/18(Mon) 06:46:40

Re: / ダンベルと
回等有難うございます。

一度に質問しすぎたので順をおって質問していきたいと思います。

なぜQRと平面ABMが垂直になるのかまず教えて下さい。

よろしく御願いします。

No.14296 - 2011/07/18(Mon) 21:39:57

Re: / ヨッシー
点RはA,Bと等距離にあるので、その存在範囲は、
ABの中点を通り、ABに垂直な平面上です。
同じく、点RはA,Mと等距離にあるので、その存在範囲は、
AMの中点を通り、AMに垂直な平面上です。
この2つの平面の交線が、点Rの存在範囲で、
△ABMの外心を通り、△ABMに垂直な直線となります。

真横から見るとこんな感じで、短い線分が外接円にあたります。

No.14297 - 2011/07/18(Mon) 22:02:57
(No Subject) / *
△ABCにおいて、AB=6,BC=3√7,CA=9,∠BACの二等分線が辺BCと交わる点をD、△ABCの外接円と直線ADとの交点のうち点A以外の点をEとする。
このときAE=□√□で、sin∠ADB=(□√□)/□である。

□はどのような数になりますか?
途中式も教えて下さい。
よろしくお願い致します。

No.14281 - 2011/07/17(Sun) 06:07:49

Re: / ヨッシー
△ABCにおける余弦定理より
 ∠BAC=60°
がわかりますので、BE=CEであることと合わせて、
 BO=CO=BE=CE
となることがわかり、BC=3√7 から、
 BO=CO=BE=CE=√21
となります。これは、外接円の半径でもあります。
さらに、△ABCにおける余弦定理より
 cos∠ACB=2/√7
 sin∠ACB=√(3/7)
を求めておき、加法定理より
 sin∠ACE=5/(2√7)
正弦定理より
 AE=2Rsin∠ACE=5√3

角の2等分線の定理より
 BD:DC=AB:AC=2:3
よって、BD=(2/5)BC=(6/5)√7
△ABCにおける余弦定理より
 cos∠ABC=1/2√7=√7/14
 sin∠ABC=√189/14=3√21/14
よって、
 sin∠ADB=sin(180°−∠BAD−∠ABD)
  =sin(∠BAD+∠ABD)
  =(以下略)
です。

他のやり方も色々あります。

No.14282 - 2011/07/17(Sun) 07:56:43

Re: (No Subject) / *
sin∠ADB=sin(180゚-∠BAD-∠ABD)=sin(∠BAD+∠ABD)=(以下略)

の以下略からの計算なのですが、sin∠BAD=1/2,sin∠ABD3√21/14をそれぞれに代入すればいいのでしょうか?
代入したら(7+3√21)/14になりました。

答えはsin∠ADB=□√□/□□となっていて、私の答えではこの□が足りなくて答えがあてはまりません。
なぜでしょうか…。
良ければまたお願い致します。

No.14288 - 2011/07/17(Sun) 23:24:04

Re: / ヨッシー
sin(α+β) は sinα+sinβ ではありませんよ。
No.14290 - 2011/07/18(Mon) 06:19:05

Re: (No Subject) / *
なるほど!
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβを利用して解いたら5√7/14と答えが出ました!
とても助かりました。
ありがとうございました。

No.14292 - 2011/07/18(Mon) 07:25:22
高3 / まばv
tが0≦t≦1の範囲を動く時
直線y=3(t^2-1)x-2t^3・・?@の取りうる範囲を図示せよ。

?@でt以外の文字を固定してtについて微分すると
2t(x−t)=0
⇔『t=0』またはx=t
x=tを?@に代入すると
y=x^3−3x(これが包絡線)・・?A

?@=?A
⇔x^3-3t^2x+2t^3=0
⇔(x+2t)(x-t)^2=0より
?@は?Aにx=tで接する接線だと分かる。
0≦t≦1で接するように?@を動かして以下略。

ですが
途中の『』のt=0を何故無視してよいのか教えて下さい。
(tで微分して得た式を元の式に代入したものが
なぜ包絡線になるのかは分かっていません)

No.14271 - 2011/07/16(Sat) 21:19:23

Re: 高3 / angel
うーんと。「t=0」の話だけ分かれば、ほかの部分は納得できるのですか? 特に包絡線の話って、高校ではやらないはずなんですが。
※高校範囲でも何とかならなくはないですが。

おそらく模範解答例を載せられていると思うのですが、これは解答としては危険ですよ。減点される可能性が大いにあり、という意味で。( 特に「0≦t≦1で接するように?@を動かして以下略」の部分、書ききれないでしょうから )

私なら、この模範解答例はボツにしますけどね。

さて、一応「t=0」の話を説明するならば。

前段の y=x^3-3x という包絡線は、実は?@の直線を t≧0 ( 0≦t≦1 ではなく ) で動かしたときのものです。
でもって、ご存知の通り微分とは、区間の端での値は意味をなさない(※)ので、t=0 の部分は無視しても良いのです。
※一例を挙げるなら、「y=f(x)の-5≦x≦5における増減を調べよ」とかいわれた場合、f'(x)の値を調べるわけですが、それは -5<x<5 という端を除いた所で調べるのです。

No.14278 - 2011/07/17(Sun) 00:33:21

Re: 高3 / angel
さて、まばvさんの挙げた解答例を「ボツ」と言いましたけど、じゃあどう解けば良いか。
もし思いつかなければ、次の問題を解いてみてください。解けるようならば、それと同じようにやれば良いです。

問い: f(t)=-2t^3+3at^2-3a とする。ただし a は定数である。
以下の4種類のケースに対し、0≦t≦1 における f(t) の範囲を求めよ。
(1) a≦0 の場合
(2) 0<a≦2/3 の場合
(3) 2/3<a≦1 の場合
(4) a>1 の場合

No.14280 - 2011/07/17(Sun) 00:49:35

Re: 高3 / まばv
ありがとうございます。

いえ、tで微分して得た式を元の式に代入したものが
なぜ包絡線になるのかは分かりません。

微分して解くような一般論としての包絡線の求め方のサイトがあれば教えていただけないでしょうか。大学の範囲になってもかまいません。

よろしく御願いします。

No.14287 - 2011/07/17(Sun) 22:38:14

Re: 高3 / angel
とりあえず
 http://tenmei.cocolog-nifty.com/matcha/2009/05/post-266a.html
あたりでしょうか。
このページの(3)は偏微分の話で、高校範囲を完全に超えます。
で、(2)が今回の話に近いところです。
ただし、そこでは微分ではなく平方完成を使っています。というのは2次関数のお話だからです。

さて、今回の問題を
 tが t≧0 の範囲で変化する場合の、直線y=3(t^2-1)x-2t^3 の包絡線を求めよ ( ただし、x>0 の範囲のみでよい )
にした場合のことを考えます。

で、x=a ( a>0 ) での切断面(線?)を考えてみます。
y=3(t^2-1)x-2t^3 と x=a の交点は、f(t)=-2t^3+3at^2-3a と置くと、(a,f(t)) になります。

そして、f(t)というのは最上位の係数が負の3次関数なので、t≧0 においては最大値を持ちます。
言い方を変えると、f(t)のとる値の範囲は f(t)≦f(T) ( Tは適当な実数 ) ということ。でもって、f(t)を微分して増減を調べて…とやると、実は T=a だということが分かります。

結局、x=aにおける交点(a,f(t))の存在範囲は、(a,f(a))を端とし下に伸びる半直線になります。なので、端の点 (a,f(a))=(a,a^3-3a) というのが包絡線の一部になるわけです。
でもって、f(a) というのは f(t) の t≧0 における最大値を意味しています。元の解答例にあった「t=xを代入」といっているのも、f(t) の ( t≧0 における ) 最大値を求めるという作業に対応しているのです。

このお話を、上で挙げたサイトの(2)の説明や図と照らし合わせてみてください。

No.14289 - 2011/07/18(Mon) 00:01:08

Re: 高3 / まばv
ありがとうございます。

そのサイトはすでに知っています。しかしありがとうございます。

平方完成でやるやり方も、そのやり方(ファクシミリの原理)も知っています。しかし、ありがとうございます。

「微分して解く」ような一般論としての包絡線の求め方のサイトや書籍が知りたいです。偏微分自体は他の文字を固定して微分ということは知っているので問題ないです。大学の範囲ということなので偏微分以外で分からない所があれば、そのつどまた質問させてもらいます。

No.14294 - 2011/07/18(Mon) 17:26:33

Re: 高3 / angel
> 「微分して解く」ような一般論としての包絡線の求め方のサイトや書籍が知りたいです。

「一般論」としてだと、どうしても偏微分を使った大学レベルの話になりそうですね…。
※高校生向けだと、高校レベルで説明できる中でしか話ができないので、どうしても2次関数と平方完成なんかが主になるでしょうから。

No.14299 - 2011/07/19(Tue) 00:32:14

Re: 高3 / まばv
偏微分自体は他の文字を固定して微分ということは知っているので偏微分を使った説明でOKです。大学の範囲ということなので偏微分以外で分からない所があり、質問して分かりそうならそのつどまた質問させてもらいます。
No.14300 - 2011/07/19(Tue) 03:17:16

Re: 高3 / angel
偏微分でも良いのですか…。
高木先生という方の「解析概論」の説明がほぼ全てです。もうごらんになっているかも知れませんが。
http://ja.wikisource.org/wiki/%E8%A7%A3%E6%9E%90%E6%A6%82%E8%AB%96/%E7%AC%AC7%E7%AB%A0/%E5%8C%85%E7%B5%A1%E7%B7%9A
※ちなみに、このページ(3)のfy(x,y,α)=0 は fα(x,y,α)=0 の誤植のようです。なお fy,fαは、y,αが添え字になっているものとして見てください。それぞれ f の y による偏導関数 ∂f/∂y, αによる偏導関数 ∂f/∂α を表します。

ただ、偏微分についてそれなりには知っておく必要があるでしょう。

No.14308 - 2011/07/20(Wed) 01:11:35
数学Cの問題 / まゆき
楕円x^/a^+y^/b^=1とx軸との交点をA(a、0)、B(-a、0)とし、y軸に平行な直線との交点をP、Qとするとき、2直線AP、BQの交点Rの軌跡を求めよ。
答えは、双曲線x^/a^-y^/b^=1です。
解法すら浮かびません…。
お願いします。

No.14269 - 2011/07/16(Sat) 21:08:01

Re: 数学Cの問題 / まゆき
高校三年、17歳です!
書き忘れていてすみません。

No.14270 - 2011/07/16(Sat) 21:12:52

Re: 数学Cの問題 / ヨッシー
楕円x^/a^+y^/b^=1 上の点は、(acosθ, bsinθ) で表されますが、
特に 0≦θ≦π として、y座標が正になるようにして、
P(acosθ, bsinθ)、Q(acosθ, −bsinθ)とします。
(ただし、a>0, b>0 としています)
AP,BQの交点を求めると、cosθ≠0 のときにおいて
 (a/cosθ,-btanθ)
となり、公式
 1+tan^2θ=1/cos^2θ
に代入すると、上の双曲線の式が得られます。

No.14273 - 2011/07/16(Sat) 22:35:45

Re: 数学Cの問題 / まゆき
返事が遅くなってすみません…
有難うございます!★

点P(X1、Y1)とQ(X1、−Y1)と置くとまずいのでしょうか?
cosθやsinθが絡んでくると途端に弱くなってしまうので…

また公式1+tan^2θ=1/cos^2θに代入する意味もよく分かりません。

本当にすみません(>_<)

No.14293 - 2011/07/18(Mon) 16:51:41

Re: 数学Cの問題 / ヨッシー
点P(X, Y)とQ(X, -Y)とおいて、AP,BQの交点を求めると
X≠0 のときにおいて、
 (a^2/X, -aY/X)
となります。これを(x, y)とおいて、
 x=a^2/X より X=a^2/x
 y=-aY/X より Y=-ay/x
これを、X^2/a^2+Y^2/b^2=1 に代入して、
上の双曲線の式を得ます。

これを(x, y)とおいて、以降のくだりは
 (a/cosθ,-btanθ)
を 1+tan^2θ=1/cos^2θ に代入する場合も同じです。

No.14295 - 2011/07/18(Mon) 21:32:06
お願いします。 / 受験生
y=sin(x)のy軸回転はどのようにして解けばよいのでしょうか?高校で習う範囲内での解き方を教えてほしいです。
No.14259 - 2011/07/16(Sat) 19:38:52

Re: お願いします。 / X
問題文は正確に記入して下さい。
質問の内容が不明です。

No.14267 - 2011/07/16(Sat) 19:48:11

すみませんでした?ォ / 受験生
「曲線y=sin(x)[0≦x≦π/2]とx=π/2とx軸で囲まれた範囲をy軸のまわりに一回転してできる図形の体積を求めよ。」です?ォ
No.14268 - 2011/07/16(Sat) 21:06:22

Re: お願いします。 / X
求める体積をVとすると
V=∫[0→1](πx^2)dy (A)
(但しy=sinx (0≦x≦π/2) (B))
ということで(A)を(B)で置換して計算します。

No.14272 - 2011/07/16(Sat) 21:40:00
(No Subject) / ぱむ

関数y=ax^2-2ax+5(-1≦x≦2)の最小値が-1でa<0のとき定数aの値を求めよ。



関数y=ax^2-8ax+b(2≦x≦5)の最大値が6最小値が-2でa>0のとき定数a, b の値を求めよ。




関数y=ax^2+2ax+b(-2≦x≦1)の最大値が5最小値が-3であるとき定数a, b の値を求めよ。ただしa<0とする。



途中式もよろしくお願いします。

No.14251 - 2011/07/16(Sat) 16:46:41

Re: / X
No.14260,No.14283を参照してください。  
No.14266 - 2011/07/16(Sat) 19:46:38
(No Subject) / ぱむ

2つの放物線y=x^2-3x, y=1/2x^2+ax+bの頂点が一致するように定数a,bの値を求めよ。



二次関数y=x^2+2ax+bの最小値が-3でそのグラフが点(-1,1)を通るとき定数a,bの値を求めよ。



途中式もよろしくお願いします。

No.14250 - 2011/07/16(Sat) 16:40:37

Re: / X
No.14260,No.14283を参照してください。 
No.14265 - 2011/07/16(Sat) 19:46:20
(No Subject) / ぱむ


放物線y=2x^2+3xを平行移動したもので点(1,3)を通り、その頂点が直線y=2x-3上にある放物線の方程式を求めよ。


二点(0,4)(2,4)を通り、頂点が直線y=1上にある二次関数を求めよ。


放物線y=x^2を平行移動したもので点(2,3)を通り、頂点が直線y=x+1上にある二次関数を求めよ。



No.14249 - 2011/07/16(Sat) 16:36:53

Re: / X
No.14260を参照してください。
No.14264 - 2011/07/16(Sat) 19:45:46
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