ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 数学　高２　 / mtur

実数ｔに対してxy平面上の直線
ｌ:y=2tx-t^2を考える。
ｔが｜t｜≧1の範囲を動くとき、直線ｌが通る点(x,y)の全体を図示せよ。

だいたいこういう系統の問題は
「直線y=2tx-t^2・・・?@の通過する点を(X 、Y)とするとY=2tX-t^2 がt≦-1、1≦t の範囲に少なくとも?@を満たすｔが１つ存在すればよい。」
という感じであとは解の配置問題として解けばいいと思うんですけど分からないところがあります。

(?],Y)は?@を通るのでY=2t?]-t^2
これをｔについての２次方程式とみてt^2-2?]t＋Y=0
平方完成すると、(ｔ－?])^2 -?]^2＋Y＝０となり
軸の方程式はt=?]

このあと?]≦-1 、?]>1のとき条件はf(?])≦0
-1＜?]≦０のときｆ(-1)≦0
0<?]≦1のとき f(1)≦0

と、どの場合でもまず１個は必ずt≦-1 1≦tの範囲にもつことはわかるんですけど
例えば-1＜?]≦0のとき f(-1)≦０かつf(1)≦0とすれば t≦-1 1≦tの範囲にそれぞれ１個ずつもって合計２個もちますよね。
ほかにも?]≦-1のときｆ(?])＜０かつｆ(－１)≧０であればこれはｔ≦-1の範囲に２個もちますよね。

解答では上記に書いた場合わけで本当に一個だけもてばよいというかんじでやってました。
ですが、２個持つ場合もあるから
(少なくとも１つもつ)＝(１こもつ)＋(２こもつ)と考えたほうがいいんじゃないかとおもったんですけど
どうして１こだけでもいいんですかね？
誰か分かる方教えてください。おねがいします

No.14384 - 2011/07/29(Fri) 18:50:09

☆ Re: 数学　高２　 / angel

方程式 t^2-2Xt+Y=0 が解を2個持ったとして、それをα,βとしましょう。
それが何を意味するかというと、元の直線の方程式のような形に直すと、
　Y=2αX-α^2
　Y=2βX-β^2
ということで、点(X,Y)は、直線 y=2αx-α^2 にも、y=2βx-β^2 にも含まれる、ということになるわけです。
※添付の図は、(X,Y)=(2,3), α,β=1,3 の場合の例

ところで、今調べていたのは、点(X,Y)が、**どれか1本でも良いので** y=2tx-t^2 (|t|≧1) の形の直線に含まれるかどうかでした。
ということは、適合する直線が1本でも2本でもどちらでも良くて、1本見つかればそれで十分なのです。

これが、tの2次方程式の方で考えると、解が1個でも見つかるかどうかが焦点で、2個見つけることに特に意味はない、となります。

No.14387 - 2011/07/29(Fri) 22:01:09

★ 数列　高ニ / わわわ

第二項が２第五項が１１の数列Anがある
二つの一般項BnとCnは
Bn＝An＋２
Cn=An-2
B1、B2、B3・・・とC1、C2、C3を合わせたすべての項を小さいほうから順に並べてつくられる数列をDnとする

Dnについてk＝１から２nまでのΣDkをnで表せ
よろしくお願い致します

No.14378 - 2011/07/29(Fri) 00:31:25

☆ Re: 数列　高ニ / ヨッシー

数列An の第２項、第５項以外の情報はありませんか？
等比数列とか、等差数列とか。

No.14379 - 2011/07/29(Fri) 04:01:48

☆ Re: 数列　高ニ / わわわ

> すみません　等差数列です

No.14380 - 2011/07/29(Fri) 12:06:24

☆ Re: 数列　高ニ / わわわ

DnはC1,C2,B1,C3,B2,C4,B3,B5・・・の順にナルトは思うのですが・・・

No.14381 - 2011/07/29(Fri) 12:15:23

☆ Re: 数列　高ニ / ヨッシー

An は -1, 2, 5, 8, 11, 14, ・・・
Bn は 1, 4, 7, 10, 13, 16, ・・・
Cn は -3, 0, 3, 6, 9, 12, ・・・
という数列なので、
Dn は -3, 0, 1, 3, 4, 6, 7, 9, 10, ・・・
という数列になり、
　Σ[k=1～2n]Dn＝Σ[k=1～n-1]Bk＋Σ[k=1～n+1]Ck
ただし、n=1 の時は、C1+C2
と表せます。
Bn＝3n-2, Cn＝3n-6 より、
　Σ[k=1～2n]Dk＝3n(n-1)/2-2(n-1)＋3(n+1)(n+2)/2-6(n+1)
　　＝3n^2-5n－1
これは、n=1 のときも満たす。よって、
　Σ[k=1～2n]Dk＝3n^2-5n－1

No.14382 - 2011/07/29(Fri) 14:31:37

☆ Re: 数列　高ニ / わわわ

わかりました。ありがとうございました

No.14383 - 2011/07/29(Fri) 14:57:45

★ 集合 / ハオ

選択公理について理解が出来ません。
定義：空でない集合Aの元が全て空でない集合だとする。このときAから和集合∪Aへの写像fでAの全ての元xに対してf(x)∈xとなるものが存在する。

だそうですが、A＝∪Aではないのですか？
つまり、A={A_i;i∈I}と∪Aは同じものを表すと思うのですが、それだと選択公理がいまいち理解出来ません。
自分なりに考えてみたのですが∪AはAの元の元全体を表すもので、Aは単にAの元即ち単に集合A_i,i∈Iのそれぞれを指すものであってA_i,i∈Iの元には注目しないとすれば何となく理解できる気がしますがあっていますか？

つまり、Aの全ての元xに対して　というのは Aの元の集合A_i,i∈I であり　f(x)というのはA_i,i∈Iの元を表す。
そう考えれば f(x)∈xというのも納得できるのですが、どうでしょうか。

No.14375 - 2011/07/28(Thu) 01:05:50

☆ Re: 集合 / ast

> だそうですが、A＝∪Aではないのですか？
はい違います. ふつう, 集合族 M に対して ∪M は M に属する集合すべてに関する和 ∪_[x∈M]x をあらわします. これは適当な添字集合 Λ をとって, M = {m_λ | λ ∈ Λ} と書くならば, ∪M = ∪_[λ∈Λ]m_λ と書いても同じことです. したがって
> ∪AはAの元の元全体を表すもの
という解釈が正しい. 参照されている文献のどこかにこういったことに関する断り書きは無いのでしょうか, ないのであれば別の文献も並行して読まれることを薦めます.

結局のところ,
> Aの全ての元xに対してf(x)∈xとなるもの
これは取りも直さず, 選択函数 f は A に属する各々の集合 (それは仮定により空でない) からそれぞれひとつずつ元を拾い出すものであるという意味です.

No.14376 - 2011/07/28(Thu) 03:04:29

☆ Re: 集合 / ハオ

astさん回答有難う御座います。
注意深く参考書を読んだところ、∪AはAの元の元の全体であるという記述がありました。最初読んでいた頃には、特に気にもせず、Aも元全体を表すんだから同じじゃん！と勘違いしていました。
朧げですが理解できた気がします。（←否定的な意味ではなく、日々精進するという意味合いを込めて）
本当に有難う御座いました。
また集合論の参考書を読んでわからなくなった所は質問させて頂くと思いますがよろしくお願いします。

No.14377 - 2011/07/28(Thu) 17:34:27

★ (No Subject) / むろい

よろしくお願いします。

連立不等式x^2-6x+y^2+5≦0，x+y≦5の表す領域をＤとする。また、曲線x^2+y^2-2ax-2y+a^2＝0がDの点を通るような実数aの最大値と最小値を求めよ。

という問題で、最小値は円同士が接することから
（半径の和）＝（2中心点間の距離）で
a=3-2??2

最大値は不定な円と直線が接することから、
a=4+??2

と出せたのですが、aの最大値、最小値はそれぞれｘ、ｙはそれぞれ何の時にでるのでしょうか。

代入して計算しようとしたのですが、イマイチあいません。
どなたか宜しければご指導いただけませんか？
計算の過程も教えていた駄々ければ幸いです。

ちなみに答えは、

ｘ＝4+??2/2、ｙ＝1-??2/2のとき、
最大値4+??2

ｘ＝3-4??2/3、ｙ＝2/3の時
最小値3-2??2

となっています。

No.14373 - 2011/07/27(Wed) 23:42:32

☆ Re: / ヨッシー

すでに、ａの最大値、最小値はわかっているので、
最小値を与える点
点(a,1) と点(3,0) を１：２に内分する点
　(2a/3＋1, 2/3)
に、ａ＝3-2√2 を代入して、
　(3-4√2/3, 2/3)

最大値を与える点
点(a,1) を通り、傾き1の直線
　ｙ＝ｘ－ａ＋１
とｘ＋ｙ＝５の交点
　(2+a/2, 3-a/2)
に、ａ＝4+√2 を代入して、
　(4+√2/2, 1-√2/2)

となります。

No.14374 - 2011/07/28(Thu) 00:21:11

★ お願いします / 74

1返の長さが1の正三角形ABCを底面とする四面体OABCを考える。ただし，OA=OB=OC=aであり，a≧1とする。頂点Oから三角形ABCに下ろした垂線の足をHとする。四面体OABCが球Sに内接しているとするとき，この球Sの半径rをaを用いて表せ。

とりあえずAH=√[3]/3，OH=√[a^2－1/3]を求めてみたんですが、行き詰まってしまいました?ｫ

No.14368 - 2011/07/26(Tue) 20:04:47

☆ Re: お願いします / X

Sの中心をPとすると題意からPは線分OH上にあり、
OP=PA=r
そこで△PAHに注目して三平方の定理を使い、
rについての方程式を立ててみましょう。

No.14371 - 2011/07/26(Tue) 20:37:29

★ お願いします / 74

log[10]2=0.3010,log[10]=0.4771とする。
このとき18^(18)は何桁の数で，最高位の桁の数字と末尾の数字は何か？
log[10]3＋(23－1)

No.14367 - 2011/07/26(Tue) 19:58:01

☆ Re: お願いします / 74

log[10]3＋(23－1)

No.14369 - 2011/07/26(Tue) 20:23:46

☆ Re: お願いします / X

log[10]18^18=18log[10]18=36log[10]3+18log[10]2
=36・0.4771+18・0.3010
≒22.59
∴18^18は23桁の数です。
又log[10]3<0.59<2log[10]2=log[10]4
∴最高位の桁の数字は3です。
更に二項定理により
18^18=(10+8)^8
=8^18+(18C1)・10・8^17+…+10^18
∴18^18の末尾の数字は8^18のそれと同じになりますが
8^1=8
8^2=64
8^3=512
8^4=4096
8^5=32768
…
というように8のべき乗の末尾の数字は
8,4,2,6 (A)
の繰り返しになっていることが分かりますので
18÷4=4余り2
となることと(A)のより18^18の末尾の数字は4です。

No.14370 - 2011/07/26(Tue) 20:29:32

☆ お願いします / 74

ありがとうございます。

No.14372 - 2011/07/26(Tue) 21:14:07

★ 高２　数学 / mtur

xy平面上の曲線Cを9x^2＋2√3x＋7y^2=60とする。

(１)曲線Cは原点の周りに角度θ(０°≦θ≦９0°)だけ回転すると

ax^2＋by^2=1の形になる。θの値と定数a,bを求めよ。

(２)曲線C上の点と点(c,-√3c)との距離の最小値が２であるときcの値を求めよ。
ただしc>0とする。

全然分かりません。これって文系の範囲なんですかね？誰か分かる方教えてください。おねがいします。

No.14356 - 2011/07/25(Mon) 20:58:02

☆ Re: 高２　数学 / のぼりん

こんばんは。
曲線Ｃの式に誤りがあるか、問題自体に誤りがあるかの何れかの様に思われます。

No.14366 - 2011/07/25(Mon) 21:24:31

★ (No Subject) / のぶた

次の各x,yの2変数関数z=z(x,y)について、その偏導関数達dz/dx、dz/dyを求めよ。

z=Arcsin y/√(x^2+y^2)
で、u=y/√(x^2+y^2) とおいて、
z=Arcsin uとして、微分しました。
Arcsinuの微分→1/√(1-u^2)
u=y/√(x^2+y^2)をyで偏微分→x^2/(x^2+y^2)^3/2
xで偏微分→-xy/(x^2+y^2)^3/2

しかし、問題集の答えの
zをxで偏微分した場合。
-1/√1-y^2/(x^2+y^2) × y/(x^2+y^2)^3/2
=-y/(x^2+y^2)

zをyで偏微分した場合
1/√(1-u^2)×x/(x^2+y^2)^3/2
になりません。
この答えが間違ってるということはないですか？

No.14343 - 2011/07/25(Mon) 10:27:10

☆ Re: / X

>>-1/√1-y^2/(x^2+y^2) × y/(x^2+y^2)^3/2
ですがxが抜け落ちているようですね。
-1/√{1-(y^2)/(x^2+y^2)} × xy/(x^2+y^2)^3/2
だと思います。
又
>>1/√(1-u^2)×x/(x^2+y^2)^3/2
ですがこちらもxが抜け落ちているようです。
1/√(1-u^2)×(x^2)/(x^2+y^2)^3/2
であると思います。

No.14346 - 2011/07/25(Mon) 14:41:25

★ 高２　微分積分 / agu

a,b,c,dは実数として整式f(x)、g(x)が以下の条件を満たしている。

f(x)＋g(x)=ax^3＋bx^2。

f(x)＋g(x)=ax^3＋bx^2＋cx＋d

f'(x)＋g'(x)=bx^2＋cx＋d

∫[x→a]｛f(t)-g(ｔ)｝dt=x^3-ax^2＋ax-2

このときf(x)とg(x)を求めよ。

解き方が分かりません。誰か分かる方教えてください。お願いします。

No.14340 - 2011/07/25(Mon) 00:03:33

☆ Re: 高２　微分積分 / X

f(x)＋g(x)=ax^3＋bx^2 (A)
f(x)＋g(x)=ax^3＋bx^2＋cx＋d (B)
f'(x)＋g'(x)=bx^2＋cx＋d (C)
∫[x→a]{f(t)-g(t)}dt=x^3-ax^2＋ax-2 (D)
とします。
(A)(B)の係数を比較して
c=d=0
また(A)(B)の両辺を微分すると
f'(x)＋g'(x)=3ax^2＋2bx (A)'
更に(C)は
f'(x)＋g'(x)=bx^2 (C)'
(A)'と(C)'の係数を比較して
3a=b,2b=0
∴a=b=0
よって(A)は
f(x)+g(x)=0 (A)"
一方このとき(D)は
∫[x→0]{f(t)-g(t)}dt=x^3-2
∴∫[0→x]{f(t)-g(t)}dt=-x^3+2
両辺xで微分すると
f(x)-g(x)=-3x^2 (D)'
(A)"(D)'をf(x),g(x)の連立方程式と見て解いて
f(x)=-(3/2)x^2
g(x)=(3/2)x^2
となります。

No.14344 - 2011/07/25(Mon) 10:28:36

★ 高２　数列 / agu

２の倍数でも3の倍数でもない自然数全体を小さい順に並べてできる数列を
a_1,a_2,a_3,・・・・・,a_n,・・・とする
（１）a_100をもとめる
（２）1003は数列{a_n}の第何項か？
（３）mを自然数とするとき数列{a_n}の初項から第２ｍ項までの和を求めよ。

自分の回答
a[n]は2の倍数でも3の倍数でもない。
例にa[n]を書き出してみると、a[1]=1 a[2]=5 a[3]=7 a[4]=11 a[5]=13 ・・・
2の倍数でも3の倍数でもない＝6の倍数でないより
6で割った余りで分類すると
a[1] a[3] a[5] ・・・a[2n-1] は余りがすべて1なので
a[2n-1]=6n-5
同様の考え方で
a[2n]=6n-1が得られる。
a[100]はa[100]=a[2・50]なのでa[100]=6・50 -1 ＝299
(2)1003=6・167＋1 より1003は6で割った時の余りが1であるので
a[2n-1]=6n-5が利用できるので
6n-5=1003
6n=1008
n=168
よってa[2・168 -1]=a[335]

(3)mが偶数のときと奇数のときに場合分けする。
(i)m=2k(kは正の整数)のとき
Σ[k=1→m] (a[2k-1]＋a[2k]=6m^2
(ii)m=2k-1(kは正の整数)のとき

(ii)についてどういうふうに処理すればよいのかわかりませんでした。
また答えがないのでどこまであってるかわかりません。
誰か分かる方教えてください。おねがいします。

No.14339 - 2011/07/25(Mon) 00:03:05

☆ Re: 高２　数列 / X

(1)(2)はその解答で問題ないと思います。
(3)ですがmに対する場合分けは必要ありません。
単に偶数個のa[n]の和を取ればいいですので
(1)の過程を使うと求める和は
Σ[k=1～2m]a[k]=Σ[k=1～m]a[2k-1]+Σ[k=1～m]a[2k]
=…
となります。

No.14345 - 2011/07/25(Mon) 14:35:14