ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 数?U / up

xは正の実数としx^2+4x-1=0を満たす。
A=1+(1+x)+(1+x)^2+(1+x)^3

No.14395 - 2011/07/31(Sun) 16:29:58

☆ ごめんなさい。 / up

すみません。ENTER押してしまいました。
上の途中からです。
A=1+(1+x)+(1+x)^2+(1+x)^3
B=(1+x)^3
とおくとき、A/B（B分のA）の値を求めよ。

まずはx^2+4x-1=0を解いたらいいのでしょうか？

No.14396 - 2011/07/31(Sun) 16:35:54

☆ Re: 数?U / ヨッシー

まずは x^2+4x-1=0 を解いて、ｘ＝－２±√５
　Ｘ＝ｘ＋１＝－１±√５
とおくと、解と係数の関係より、Ｘは、
　Ｘ^2＋２Ｘ－４＝０
を満たします。すると、
　Ｘ^2＝－２Ｘ＋４
　Ｘ^3＝－２Ｘ^2＋４Ｘ＝－２(－２Ｘ＋４)＋４Ｘ＝８Ｘ－８
が成り立ちます。

　Ａ＝１＋Ｘ＋Ｘ^2＋Ｘ^3＝７Ｘ－３＝－１０±７√５
　Ｂ＝Ｘ^3＝８Ｘ－８＝－１６±８√５
であるので、
　Ａ／Ｂ＝(１５±４√５)/８

No.14400 - 2011/07/31(Sun) 17:12:00

☆ Re: 数?U / angel

> まずはx^2+4x-1=0を解いたらいいのでしょうか？
もちろん、それでも解けます。
ただし、それなりに苦労します。…計算が大変なので。

ということで、この問題のお題としては、いかに計算で楽をしましょうか、という所になるのです。

ただ、一度どれだけ大変かを体感しないと、どこでどう楽をしようかとか、そういう考えが理解できないかもしれないので、全部やる必要はありませんが、地道に計算を試してみるのも良いかもしれません。

つまり、何も工夫なしに解くなら、
　x^2+4x-1=0 を解く
　解のうち x＞0 の方を選ぶ (「xは正の実数とし」の条件から )
　xの値を代入し、Aを計算する
　xの値を代入し、Bを計算する
　A/B を計算する
という方法でできるわけで、それをある程度やってみよう、ということです。

No.14402 - 2011/07/31(Sun) 17:18:33

☆ Re: 数?U / angel

ヨッシーさんの解ですが、xが正の実数であるという条件を盛り込んでいませんので、2通りの値が出てしまっています。
正しくは、各±のプラス側だけを採用した、A/B=(15+4√5)/8 となります。

No.14403 - 2011/07/31(Sun) 17:30:02

☆ Re: 数?U / angel

もし私が解くとしたら、
　A/B = (1/(1+x))^3 + (1/(1+x))^2 + 1/(1+x) + 1
という形をしているところから、y = 1/(1+x) と置いて、文字式の分数を解消することを考えます。
そうすると、
　A/B = y^3+y^2+y+1
　y=1/(1+x) より x=(1/y)-1、さらに x＞0 という条件より 1/y＞1 すなわち 0＜y＜1
　x^2+4x-1=0 という条件に x=(1/y)-1 を代入し、まとめて 4y^2-2y-1=0 これを解いて 0＜y＜1 に適合する方は y=(1+√5)/4
最後に、
　A/B = y^3+y^2+y+1 = (y/4+3/8)(4y^2-2y-1) + 2y + 11/8
と変形できる ( 文字式の割り算 (y^3+y^2+y+1)÷(4y^2-2y-1) の結果 ) ので、
これに 4y^2-2y-1=0 と y=(1+√5)/4 を代入して計算して終わり。

…以上の解は、別にそうやらなければならないわけではなくて、あくまで計算を楽にすることを考えて工夫した内容です。ちなみに、xの値そのものを求める必要はないことにも注意しましょう。

No.14405 - 2011/07/31(Sun) 17:48:13

☆ Re: 数?U / ヨッシー

あ、ｘは正の実数とありますね。
失礼しました。

No.14406 - 2011/07/31(Sun) 17:50:46

☆ Re: 数?U / up

なるほど！
まずは x^2+4x-1=0 を解いて、ｘ＝－２±√５
わたしはそこでxが実数だからx=-2+√5で計算してました！
たしかに大変ですね・・・・・

No.14408 - 2011/07/31(Sun) 18:07:45

☆ Re: 数?U / up

> もし私が解くとしたら、
> 　A/B = (1/(1+x))^3 + (1/(1+x))^2 + 1/(1+x) + 1
> という形をしているところから、y = 1/(1+x) と置いて、文字式の分数を解消することを考えます。
> そうすると、
> 　A/B = y^3+y^2+y+1
> 　y=1/(1+x) より x=(1/y)-1、さらに x＞0 という条件より 1/y＞1 すなわち 0＜y＜1
> 　x^2+4x-1=0 という条件に x=(1/y)-1 を代入し、まとめて 4y^2-2y-1=0 これを解いて 0＜y＜1 に適合する方は y=(1+√5)/4
> 最後に、
> 　A/B = y^3+y^2+y+1 = (y/4+3/8)(4y^2-2y-1) + 2y + 11/8
> と変形できる ( 文字式の割り算 (y^3+y^2+y+1)÷(4y^2-2y-1) の結果 ) ので、
> これに 4y^2-2y-1=0 と y=(1+√5)/4 を代入して計算して終わり。
>
> …以上の解は、別にそうやらなければならないわけではなくて、あくまで計算を楽にすることを考えて工夫した内容です。ちなみに、xの値そのものを求める必要はないことにも注意しましょう。

こんな解き方もあったとは・・・
ありがとうがざいます。

No.14410 - 2011/07/31(Sun) 19:46:45

☆ Re: 数?U / up

> 　Ａ＝１＋Ｘ＋Ｘ^2＋Ｘ^3＝７Ｘ－３＝－１０±７√５
> 　Ｂ＝Ｘ^3＝８Ｘ－８＝－１６±８√５
> であるので、
> 　Ａ／Ｂ＝(１５±４√５)/８

A/Bの計算はどうしたらいいのですか？

No.14411 - 2011/07/31(Sun) 19:48:26

☆ Re: 数?U / ヨッシー

angel さんのご指摘で、ｘは正の数のみであるので、
Ａ＝－１０＋７√５
Ｂ＝－１６＋８√５
として計算します。
　Ａ／Ｂ＝(-10+7√5)/(-16+8√5)
　　＝(-10+7√5)(16+8√5)/(-16+8√5)(16+8√5)
　　＝(120+32√5)/(320-256)
　　＝(120+32√5)/64
　　＝(15+4√5)/8
です。
Ａ＝－１０－７√５
Ｂ＝－１６－８√５
も許すなら、同様に計算して、
　Ａ／Ｂ＝＝(15－4√5)/8
となります。

No.14413 - 2011/07/31(Sun) 20:04:43

★ 数列 / dj23

a1=5,a(n+1)=3+(n+2/n+4)a(n)(n＝１，２、・・・）
b2=6,b(n+1)=3+(n+2/n+4)b(n)（ｎ＝１，２、・・・）
（１）a(n)を帰納法で求めよ→a(n)=n+4(n=1,2,,,)
（２）b(n)-a(n)とb(n-1)-a(n-1)の関係を求めよ（ｎ≧２）
（３）ｂ（ｎ）を求めよ

b(n)-a(n)=(n+1/n+3)(ｂ(n-1)-a(n-1))(n＝２、３、・・）

＝(n+1/n+3)(n/n+2)(b(n-2)-a(n-2))=・・・
＝{4・３/(n+3)(n+2)}(b1-a1)(n=1,2のときも成立・・・★）
a1=5,b1=6よりb(n)-a(n)=12/(n+3)(n+2)
とあるのですが
★でなぜｎ＝１，２の成立の確認を言わなければいけないのかが分かりません）

どなたか教えて下さい。よろしく御願いします。

No.14390 - 2011/07/31(Sun) 05:07:46

☆ Re: 数列 / angel

n=1 の成立は別途言う必要があります。
なぜなら、n≧2 においては b(n)-a(n)=(～)×(b(n-1)-a(n-1)) の形をしていることから b(n)-a(n)=(…)×(b(1)-a(1)) ということが導けますが、b(1)-a(1) だけはこの形にあっていないからです。

しかし今回、n=2 の成立を別途言う必要はありません。

ちゃんと帰納法の形で書けばそれほど悩むこともないのですが、dj23さんの挙げた解答のように書くなら、

　b(n)-a(n)=(n+1)/(n+3)・(b(n-1)-a(n-1))　( n≧2 )
　　　　　=( (n+1)・…・3 )/( (n+3)・…・5 )・(b(1)-a(1))　( n≧2 )
　　　　　=( (n+1)・…・3・2/2 ) / ( (n+3)・…・5・4・3・2/24 )・(b(1)-a(1))　( n≧2 )
　　　　　= 12( (n+1)・…・2 )/( (n+3)・…・2 )・(b(1)-a(1))　( n≧2 )
　　　　　= 12/( (n+3)(n+2) )・(b(1)-a(1))　( n≧2 )
　
　※ (n+1)・…・3 は 3から(n+1)までの整数全てを掛け合わせたものを表します。他の類似の表現も同様です

と考えることができるからです。これで n≧2 の全てのケースを同じ計算で導けます。

No.14391 - 2011/07/31(Sun) 08:13:02

☆ Re: 数列 / angel

ちなみに、場合の数で出てくる ! や P を使えば、もっと簡潔に書くこともできます。

　! ：階乗、例えば 4! = 4・3・2・1
　P ：順列、nPm とは nから大きい順に m個の整数を掛け合わせたもの
　　　例えば 6P4 = 6・5・4・3 = 6!/2! = 6!/(6-4)!
　　　つまり、一般に nPm = n!/(n-m)!

これでさっきの式を書き直すと、

　b(n)-a(n)=(n+1)/(n+3)・(b(n-1)-a(n-1))　( n≧2 )
　　　　　= (n+1)P(n-1) / (n+3)P(n-1) ・(b(1)-a(1))　( n≧2 )
　　　　　= ( (n+1)!/2! )/( (n+3)!/4! )・(b(1)-a(1))　( n≧2 )
　　　　　= 4!/2!・(n+1)!/(n+3)!・(b(1)-a(1))　( n≧2 )
　　　　　= 12/((n+3)(n+2))・(b(1)-a(1))　( n≧2 )

となります。
なお、1行目から2行目で Pの右に(n-1)が現れるのは、b(n)-a(n) から b(1)-a(1) に落としていくときに、(n-1)個の数をかけていくからです。
※分子は (n+1) から大きい順に(n-1)個なので (n+1)P(n-1)、分母は (n+3) からなので (n+3)P(n-1)

No.14392 - 2011/07/31(Sun) 08:23:54

☆ 回答ありがとうございます。 / ｄｊ２３

つまりb(n)-a(n)=(n+1/n+3)(ｂ(n-1)-a(n-1))(n＝２、３、・・）

＝(n+1/n+3)(n/n+2)(b(n-2)-a(n-2))=・・・
＝{4・３/(n+3)(n+2)}(b1-a1)(n=1,2のときも成立・・・★）
a1=5,b1=6よりb(n)-a(n)=12/(n+3)(n+2)
の★のタイミングではｎ＝１，２の確認は不必要ということですよね？ちなみにこれは解答をそのままうつしたのですが、誤植といっていいのですよね？

誤植を訂正した答案を作ってみました）

b(n)-a(n)=(n+1/n+3)(ｂ(n-1)-a(n-1))(n＝２、３、・・）

＝(n+1/n+3)(n/n+2)(b(n-2)-a(n-2))（ｎ＝２，３、・・）=・・・
＝{4・３/(n+3)(n+2)}(b1-a1)（ｎ＝２，３、・・・）
a1=5,b1=6よりb(n)-a(n)=12/(n+3)(n+2)（ｎ＝２，３、・・）・・☆
このときb(１)-a(１)=６－５＝１＝12/（1+3)(1+2)より
☆はｎ＝１でも成立
よってb(n)-a(n)=12/(n+3)(n+2)（ｎ＝１、２、３、・・）・・☆

これであっていますか？

No.14393 - 2011/07/31(Sun) 09:25:06

☆ Re: 数列 / angel

良いと思いますよ。

後はできれば、帰納法として解答を書けた方がより良いでしょう。( そちらの方が曖昧さが消えるので、ケチのつけにくい解答になるため )

No.14394 - 2011/07/31(Sun) 10:28:00

★ 数学　ベクトル / mtur

３点O､A､Bは一直線上にない点とし､OCﾍﾞｸﾄﾙ＝2OAﾍﾞｸﾄﾙ＋2OBﾍﾞｸﾄﾙとする｡また､OAﾍﾞｸﾄﾙ＝aﾍﾞｸﾄﾙ､OBﾍﾞｸﾄﾙ＝bﾍﾞｸﾄﾙとおく｡

(1)点PをBPﾍﾞｸﾄﾙ＝tBCﾍﾞｸﾄﾙ(tは実数)を満たす点とする｡このとき､OPﾍﾞｸﾄﾙをaﾍﾞｸﾄﾙ､bﾍﾞｸﾄﾙ､tで表せ｡

(2)点QをOQﾍﾞｸﾄﾙ＝2sOAﾍﾞｸﾄﾙ(sは実数)を満たす点とする｡PとQの中点をMとする｡t､sが0≦t≦1､0≦s≦1を満たしながら変化するとき､点Mの存在する範囲を図示せよ｡

(１)は大丈夫です。
問題は(２)なんですが
OM→＝(OB→/2)＋tOC→＋sOA→　のところまでいきました。
(OB→/2)＝OB'→とすると
OM→＝OB'→＋tOC→＋sOA→
ここからがわかりません。
http://www.densu.jp/kobe/01kobelsol.pdfに図がのっているのですが何度かいても図のようになりません。
誰か分かる方教えてください。お願いします。

No.14386 - 2011/07/29(Fri) 21:21:36

☆ Re: 数学　ベクトル / ヨッシー

関係ないかも知れませんが、
　ＯＣ＝２ＯＡ＋３ＯＢ
では？（ＯＢの係数）

No.14388 - 2011/07/29(Fri) 23:07:43

★ 数学　高２　 / mtur

実数ｔに対してxy平面上の直線
ｌ:y=2tx-t^2を考える。
ｔが｜t｜≧1の範囲を動くとき、直線ｌが通る点(x,y)の全体を図示せよ。

だいたいこういう系統の問題は
「直線y=2tx-t^2・・・?@の通過する点を(X 、Y)とするとY=2tX-t^2 がt≦-1、1≦t の範囲に少なくとも?@を満たすｔが１つ存在すればよい。」
という感じであとは解の配置問題として解けばいいと思うんですけど分からないところがあります。

(?],Y)は?@を通るのでY=2t?]-t^2
これをｔについての２次方程式とみてt^2-2?]t＋Y=0
平方完成すると、(ｔ－?])^2 -?]^2＋Y＝０となり
軸の方程式はt=?]

このあと?]≦-1 、?]>1のとき条件はf(?])≦0
-1＜?]≦０のときｆ(-1)≦0
0<?]≦1のとき f(1)≦0

と、どの場合でもまず１個は必ずt≦-1 1≦tの範囲にもつことはわかるんですけど
例えば-1＜?]≦0のとき f(-1)≦０かつf(1)≦0とすれば t≦-1 1≦tの範囲にそれぞれ１個ずつもって合計２個もちますよね。
ほかにも?]≦-1のときｆ(?])＜０かつｆ(－１)≧０であればこれはｔ≦-1の範囲に２個もちますよね。

解答では上記に書いた場合わけで本当に一個だけもてばよいというかんじでやってました。
ですが、２個持つ場合もあるから
(少なくとも１つもつ)＝(１こもつ)＋(２こもつ)と考えたほうがいいんじゃないかとおもったんですけど
どうして１こだけでもいいんですかね？
誰か分かる方教えてください。おねがいします

No.14384 - 2011/07/29(Fri) 18:50:09

☆ Re: 数学　高２　 / angel

方程式 t^2-2Xt+Y=0 が解を2個持ったとして、それをα,βとしましょう。
それが何を意味するかというと、元の直線の方程式のような形に直すと、
　Y=2αX-α^2
　Y=2βX-β^2
ということで、点(X,Y)は、直線 y=2αx-α^2 にも、y=2βx-β^2 にも含まれる、ということになるわけです。
※添付の図は、(X,Y)=(2,3), α,β=1,3 の場合の例

ところで、今調べていたのは、点(X,Y)が、**どれか1本でも良いので** y=2tx-t^2 (|t|≧1) の形の直線に含まれるかどうかでした。
ということは、適合する直線が1本でも2本でもどちらでも良くて、1本見つかればそれで十分なのです。

これが、tの2次方程式の方で考えると、解が1個でも見つかるかどうかが焦点で、2個見つけることに特に意味はない、となります。

No.14387 - 2011/07/29(Fri) 22:01:09

★ 数列　高ニ / わわわ

第二項が２第五項が１１の数列Anがある
二つの一般項BnとCnは
Bn＝An＋２
Cn=An-2
B1、B2、B3・・・とC1、C2、C3を合わせたすべての項を小さいほうから順に並べてつくられる数列をDnとする

Dnについてk＝１から２nまでのΣDkをnで表せ
よろしくお願い致します

No.14378 - 2011/07/29(Fri) 00:31:25

☆ Re: 数列　高ニ / ヨッシー

数列An の第２項、第５項以外の情報はありませんか？
等比数列とか、等差数列とか。

No.14379 - 2011/07/29(Fri) 04:01:48

☆ Re: 数列　高ニ / わわわ

> すみません　等差数列です

No.14380 - 2011/07/29(Fri) 12:06:24

☆ Re: 数列　高ニ / わわわ

DnはC1,C2,B1,C3,B2,C4,B3,B5・・・の順にナルトは思うのですが・・・

No.14381 - 2011/07/29(Fri) 12:15:23

☆ Re: 数列　高ニ / ヨッシー

An は -1, 2, 5, 8, 11, 14, ・・・
Bn は 1, 4, 7, 10, 13, 16, ・・・
Cn は -3, 0, 3, 6, 9, 12, ・・・
という数列なので、
Dn は -3, 0, 1, 3, 4, 6, 7, 9, 10, ・・・
という数列になり、
　Σ[k=1～2n]Dn＝Σ[k=1～n-1]Bk＋Σ[k=1～n+1]Ck
ただし、n=1 の時は、C1+C2
と表せます。
Bn＝3n-2, Cn＝3n-6 より、
　Σ[k=1～2n]Dk＝3n(n-1)/2-2(n-1)＋3(n+1)(n+2)/2-6(n+1)
　　＝3n^2-5n－1
これは、n=1 のときも満たす。よって、
　Σ[k=1～2n]Dk＝3n^2-5n－1

No.14382 - 2011/07/29(Fri) 14:31:37

☆ Re: 数列　高ニ / わわわ

わかりました。ありがとうございました

No.14383 - 2011/07/29(Fri) 14:57:45

★ 集合 / ハオ

選択公理について理解が出来ません。
定義：空でない集合Aの元が全て空でない集合だとする。このときAから和集合∪Aへの写像fでAの全ての元xに対してf(x)∈xとなるものが存在する。

だそうですが、A＝∪Aではないのですか？
つまり、A={A_i;i∈I}と∪Aは同じものを表すと思うのですが、それだと選択公理がいまいち理解出来ません。
自分なりに考えてみたのですが∪AはAの元の元全体を表すもので、Aは単にAの元即ち単に集合A_i,i∈Iのそれぞれを指すものであってA_i,i∈Iの元には注目しないとすれば何となく理解できる気がしますがあっていますか？

つまり、Aの全ての元xに対して　というのは Aの元の集合A_i,i∈I であり　f(x)というのはA_i,i∈Iの元を表す。
そう考えれば f(x)∈xというのも納得できるのですが、どうでしょうか。

No.14375 - 2011/07/28(Thu) 01:05:50

☆ Re: 集合 / ast

> だそうですが、A＝∪Aではないのですか？
はい違います. ふつう, 集合族 M に対して ∪M は M に属する集合すべてに関する和 ∪_[x∈M]x をあらわします. これは適当な添字集合 Λ をとって, M = {m_λ | λ ∈ Λ} と書くならば, ∪M = ∪_[λ∈Λ]m_λ と書いても同じことです. したがって
> ∪AはAの元の元全体を表すもの
という解釈が正しい. 参照されている文献のどこかにこういったことに関する断り書きは無いのでしょうか, ないのであれば別の文献も並行して読まれることを薦めます.

結局のところ,
> Aの全ての元xに対してf(x)∈xとなるもの
これは取りも直さず, 選択函数 f は A に属する各々の集合 (それは仮定により空でない) からそれぞれひとつずつ元を拾い出すものであるという意味です.

No.14376 - 2011/07/28(Thu) 03:04:29

☆ Re: 集合 / ハオ

astさん回答有難う御座います。
注意深く参考書を読んだところ、∪AはAの元の元の全体であるという記述がありました。最初読んでいた頃には、特に気にもせず、Aも元全体を表すんだから同じじゃん！と勘違いしていました。
朧げですが理解できた気がします。（←否定的な意味ではなく、日々精進するという意味合いを込めて）
本当に有難う御座いました。
また集合論の参考書を読んでわからなくなった所は質問させて頂くと思いますがよろしくお願いします。

No.14377 - 2011/07/28(Thu) 17:34:27

★ (No Subject) / むろい

よろしくお願いします。

連立不等式x^2-6x+y^2+5≦0，x+y≦5の表す領域をＤとする。また、曲線x^2+y^2-2ax-2y+a^2＝0がDの点を通るような実数aの最大値と最小値を求めよ。

という問題で、最小値は円同士が接することから
（半径の和）＝（2中心点間の距離）で
a=3-2??2

最大値は不定な円と直線が接することから、
a=4+??2

と出せたのですが、aの最大値、最小値はそれぞれｘ、ｙはそれぞれ何の時にでるのでしょうか。

代入して計算しようとしたのですが、イマイチあいません。
どなたか宜しければご指導いただけませんか？
計算の過程も教えていた駄々ければ幸いです。

ちなみに答えは、

ｘ＝4+??2/2、ｙ＝1-??2/2のとき、
最大値4+??2

ｘ＝3-4??2/3、ｙ＝2/3の時
最小値3-2??2

となっています。

No.14373 - 2011/07/27(Wed) 23:42:32

☆ Re: / ヨッシー

すでに、ａの最大値、最小値はわかっているので、
最小値を与える点
点(a,1) と点(3,0) を１：２に内分する点
　(2a/3＋1, 2/3)
に、ａ＝3-2√2 を代入して、
　(3-4√2/3, 2/3)

最大値を与える点
点(a,1) を通り、傾き1の直線
　ｙ＝ｘ－ａ＋１
とｘ＋ｙ＝５の交点
　(2+a/2, 3-a/2)
に、ａ＝4+√2 を代入して、
　(4+√2/2, 1-√2/2)

となります。

No.14374 - 2011/07/28(Thu) 00:21:11