数列｛a(n)}（n=1,2・・）は連続する三項について
a(2n-1),a(2n),a(2n+1)(n=1,2・・・）はいずれも等差数列をなし、
a(2n),a(2n+1),a(2n+2)(n=1,2・・・）はいずれも等比数列を
なすという。a(1)=1,a(2)=２のときa(2n)を求めよ。
答え）a(2n)=(n+1)^2/2(n=1,2・・・）であることを数学的帰納法で証明する。
?T）a(2)=2=(1+1)^2/2によりn=1のときは正しい
?U）n=1,2,・・・,kのとき正しいとすると
・・・（略）・・・ｎ＝ｋ＋１の時も正しい
※a(2k),a(2k-2),・・・,a(4),a(2)の仮定と書いてありました
とあるのですがこの帰納法の仕組みが分かりません。
どうぞよろしく御願いします。
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No.14076 - 2011/06/24(Fri) 15:15:38
| ☆ Re: / X | | | 最初に習う数学的帰納法の考え方は
(i)n=1のときの成立を証明
(ii)n=kのときの成立を仮定したとき、n=k+1の成立を証明
この２つにより、n=1,2,…の場合の成立の証明が
n=1のときに成立するのでn=2のときも成立する
n=2のときに成立するのでn=3のときも成立する
…
となります。
それに対してこの問題での数学的帰納法の証明方法は
(ii)の場合の成立を仮定するnの条件が
n=k
の場合のみではなく
n≦k
となるような場合にしてあります。
((∵)問題の条件でn=2k-1の場合を使う必要があるため)
従ってこれが証明されると
n=1の時に成立するのでn=2のときも成立する
n=1,2の時に成立するのでn=3のときも成立する
n=1,2,3の時に成立するのでn=4のときも成立する
…
となります。
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No.14077 - 2011/06/24(Fri) 18:49:01 |
| ☆ Re: / refresh | | | ありがとうございます。普通の帰納法とは違うということだけは分かりました。
この回答の帰納法は
n＝１（?T）→「ｎ＝２、ｎ＝３」→「ｎ＝１，２，３」→・・・の形で全ての自然数ｎをカバーしているかのようですが実は最初の→が言えません。(?U）の議論ではa(2k),a(2k-2)の二つの仮定をしているので最初のｎ＝１だけの用意では?U）が適用できないからです。とあります。これについても詳しく御願いします。まだ、この帰納法の仕組みがよく分からないです。よろしくおねがいします。
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No.14086 - 2011/06/25(Sat) 05:33:18 |
| ☆ Re: / シャロン | | | > この回答の帰納法は
> n＝１（?T）→「ｎ＝２、ｎ＝３」→「ｎ＝１，２，３」→・・・の形で全ての自然数ｎをカバーしているかのようですが実は最初の→が言えません。(?U）の議論ではa(2k),a(2k-2)の二つの仮定をしているので最初のｎ＝１だけの用意では?U）が適用できないからです。
k=1のとき、a(2k-2)とはつまりa(0)だが、{a(n)}は添え字が1から始まるので、a(0)は定義されないし、
a(0)が仮に定義できたとして、a(1), a(2)から等比数列の漸化式で計算できるか保証されない(あくまで、等比数列の漸化式はn≧1で成り立つことしか仮定されていない)から。
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No.14087 - 2011/06/25(Sat) 07:19:33 |
| ☆ 変則的に見える帰納法 / angel | | | Xさんの説明にある
> n=1の時に成立するのでn=2のときも成立する
> n=1,2の時に成立するのでn=3のときも成立する
> n=1,2,3の時に成立するのでn=4のときも成立する
というのは、一見変則的に見えますが、これも立派な帰納法です。
ある変数nを含んだ命題をP(n)とします。
良くある帰納法は、
・P(1)が成立する
・P(k)⇒P(k+1)も成立する ( P(k)が成立するならば、P(k+1)も成立する )
・よって、任意のnに対してP(n)が成立する
という形になります。
では、今命題 Q(n) を m≦n⇒P(m) ( n以下の全てのmに対してP(m) ) としてみましょう。
すると、
・P(1)が成立する
⇔ Q(1)が成立する
(∵1以下の全てのmに対してP(m)が成立するため )
・( m≦k⇒P(m) )⇒P(k+1)が成立する
※k以下の全てのmに対しP(m)が成立するならば、P(k+1)も成立する
⇔ Q(k)⇒P(k+1)が成立する
⇔ Q(k)⇒( Q(k)かつP(k+1) ) が成立する
(∵A⇒B は A⇒(AかつB) と同値のため )
⇔ Q(k)⇒Q(k+1)が成立する
(∵Q(k+1) は、「k+1以下の全てのmでP(m)」なので、
「k以下の全てのmでP(m)」かつ「P(k+1)」と同値。
つまり、Q(k+1)⇔Q(k)かつP(k+1)
ということで、実はこれはQ(n)に関する帰納法になっていて、「任意のnに対してQ(n)が成立する」ということが言えます。
そうすると、
任意のnに対してQ(n)が成立する
⇔ m≦nである任意のm,nの組に対して P(m)が成立する
となるので、結局「任意のnでP(n)が成立する」ということと同じことを言っているわけです。
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No.14093 - 2011/06/25(Sat) 14:07:33 |
| ☆ 普通の帰納法を使った解法 / angel | | | 今回は、上で説明した「変則的に見える」帰納法を使わなくとも、普通の帰納法で証明することもできます。
まず問題を整理します。
数列b[n], c[n] を、
b[n]=a[2n-1]
c[n]=a[2n]
として置いた時、a[n]の条件は次のように言い換えられます。
等差数列条件 … b[n]+b[n+1]=2c[n]
等比数列条件 … c[n]・c[n+1] = b[n+1]^2
初期値条件 … b[1]=1, c[1]=2
そうすると、
b[n]=n(n+1)/2 かつ c[n]=(n+1)^2/2
という命題については、通常の帰納法で証明できます。
で、これは目的である a[2n]=(n+1)^2/2 ( ⇔c[n]=(n+1)^2/2 ) を含んでいるので、もう十分となるわけです。
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No.14094 - 2011/06/25(Sat) 14:23:48 |
| ☆ Re: / refresh | | | 回答ありがとうございます。
シャロンさんの説明は何かの理由を教えてくださっているようですが、何の理由を述べているのかよくわかりません。
angelさんの回答も抽象的すぎて私には無理でした。すみません。ちなみに14086の回答はどの部分だったのでしょうか。。
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No.14096 - 2011/06/25(Sat) 15:04:13 |
| ☆ 思惑というか / angel | | | > angelさんの回答も抽象的すぎて私には無理でした。
それは申し訳ありません。
まあ、14093の内容については無理しなくても問題はありませんから、気になさらずに。
> ちなみに14086の回答はどの部分だったのでしょうか。。
14093については、
>> まだ、この帰納法の仕組みがよく分からないです。
という14086のコメントに対して、Xさんが14077で挙げた帰納法を別の角度で説明しようとしたものです。
>> 実は最初の→が言えません。
の部分については、私は何も回答していません。
で、14094の別解は14086に対する直接の回答ではありませんが、こっちの方は普通の帰納法なので理解しやすいと思います。( 逆にこれは理解できるまで考えてほしい )
分かりやすい別解があるなら、難しい模範解答例にこだわる必要はないと、私は思っていますから…
※というか、今回「変則的に見える帰納法」は必要ないでしょうから。
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No.14098 - 2011/06/25(Sat) 15:53:27 |
| ☆ Re: / シャロン | | | >(?U）の議論ではa(2k),a(2k-2)の二つの仮定をしているので最初のｎ＝１だけの用意では?U）が適用できないからです。とあります。
「n=kのとき、成り立つ」という仮定で、計算式内にa(2k-2)を使用することになりますが、
では、n=1のときのa(2k-2)ってなに？
どうやって計算するの？
ということです？
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No.14099 - 2011/06/25(Sat) 16:17:02 |
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