ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / chico

円に関する定理のようなものの質問です。

ある問題を解いていて、分からなかったので解説を見たところ、この定理が使われていました。

ｘ^2＋ｙ^2＋ｌｘ＋ｍｙ＋ｎ＝０　と
ｘ^2＋ｙ^2＋ｌ'ｘ＋ｍ'ｙ＋ｎ'＝０　が２点で交わるとき、

ｋ（ｘ^2＋ｙ^2＋ｌｘ＋ｍｙ＋ｎ）＋（ｘ^2＋ｙ^2＋ｌ'ｘ＋ｍ'ｙ＋ｎ'）＝０

が、

ｋ＝－１　のとき　２つの交点を通る直線を
ｋ≠－１　のとき　２つの交点を通る円をあらわす。

これが、どうしてこのように直線や円を表すことになるのかが分かりません。出来るだけ噛み砕いて説明していただけると助かります。

読みづらくてすみません。よろしくお願いします。

No.13474 - 2011/04/02(Sat) 17:54:41

☆ Re: / ヨッシー

ｋ（ｘ^2＋ｙ^2＋ｌｘ＋ｍｙ＋ｎ）＋（ｘ^2＋ｙ^2＋ｌ'ｘ＋ｍ'ｙ＋ｎ'）＝０　・・・(1)
を展開すると、
　(k+1)x^2＋(k+1)y^2＋(kl+l')x＋(km+m')ｙ＋(kn+n')＝０
となります。
ｋ＝－１のとき
　(l'-l)x＋(m'-m)ｙ＋(n'-n)＝０
となって、直線の式になります。
　l=l' かつ m=m' のときは、直線になりませんが、この場合は、
そもそも、元の２つの円が、同じ中心を持つ円になるので、
２点で交わることはありません。

ｋ＝－１のとき
k+1≠0 より、
　(k+1)x^2＋(k+1)y^2＋(kl+l')x＋(km+m')ｙ＋(kn+n')＝０
の両辺を k+1 で割って、
　x^2＋y^2＋(kl+l')x/(k+1)＋(km+m')y/(k+1)＋(kn+n')/(k+1)＝０
となり、円の式になります。

これで、(1) が、直線または円を表すことがわかりました。さらに、
２つの交点を(a,b) (c,d) とすると、これらの点は、
　ｘ^2＋ｙ^2＋ｌｘ＋ｍｙ＋ｎ＝０
　ｘ^2＋ｙ^2＋ｌ'ｘ＋ｍ'ｙ＋ｎ'＝０
の両方の円周上にあるので、
　a^2＋b^2＋ｌa＋ｍb＋ｎ＝０
　c^2＋d^2＋ｌc＋ｍd＋ｎ＝０
および、
　a^2＋b^2＋ｌ'a＋ｍ'b＋ｎ'＝０
　c^2＋d^2＋ｌ'c＋ｍ'd＋ｎ'＝０
が成り立ちます。すると、(1) の左辺に(a,b)、(c,d) を代入した。
　k(a^2＋b^2＋ｌa＋ｍb＋ｎ)＋(a^2＋b^2＋ｌ'a＋ｍ'b＋ｎ')
や
　k(c^2＋d^2＋ｌc＋ｍd＋ｎ)＋(c^2＋d^2＋ｌ'c＋ｍ'd＋ｎ')
は０となり、(1) が、２点(a,b)、(c,d) に対して成り立つことがわかり、
(1) は、２交点を通る、直線または円であることがわかります。

No.13475 - 2011/04/02(Sat) 19:04:55

☆ Re: / chico

２交点を通る理由までとても詳しく、
おかげで腑に落ちました！
ありがとうございましたっ！

No.13476 - 2011/04/02(Sat) 20:31:00

★ 新高１　三角形の内心 / のんのん

△ABCの内心をIとするとき、∠BIC＝９０度＋(1/2)∠A が成り立つことを示せ。

という問題です。
高校の予習をしてこいと言われしているのですが、どうやっていいか分かりません。

よろしくお願いします。

No.13472 - 2011/04/02(Sat) 14:31:54

☆ Re: 新高１　三角形の内心 / X

題意から
線分BIは∠Bの二等分線
線分CIは∠Cの二等分線
ですので△BICに注目すると
∠BIC=180°-∠IBC-∠ICB
=180°-(1/2)∠B-(1/2)∠C (A)
一方△ABCにおいて
∠A+∠B+∠C=180° (B)
(B)を用いて(A)から∠B,∠Cを消去してみましょう。

No.13473 - 2011/04/02(Sat) 15:41:44

★ 中学受験問題 / yuri

AとBが二人ですると、15日で終わる仕事があります。この仕事をAだけですると、21日かかります。
（１）Bだけで、この仕事を全部仕上げると何日かかりますか。

（２）今この仕事をAとBの二人で10日間した後、残りの仕事をBだけでしました。全部で何日間で仕事が出来ましたか。

No.13469 - 2011/04/01(Fri) 21:40:15

☆ Re: 中学受験問題 / シャロン

AとB2人あわせての1日あたりの作業量は1/15、A1人での1日あたりの作業量は1/21なので、B1人での1日あたりの作業量は全体の

1/15-1/21=2/105

したがって、B1人では、

1÷2/105=105/2=52+1/2

切り上げをして、∴53日かかる。

(2)
AとBの2人で作業する10日間で全体の

(1/15)×10=2/3

の作業が完了しているので、Bが1人でする作業は全体の

1-2/3=1/3

B1人では1日で全体の2/105の作業をできるので、全体の1/3の作業をするには、

(1/3)÷(2/105)=35/2=17+1/2

から、切り上げて18日かかる。
Aと一緒に作業した日数を足して、
10+18=28

∴28日間かかる。

No.13470 - 2011/04/01(Fri) 22:44:59

☆ Re: 中学受験問題 / yuri

ありがとうございました。

No.13471 - 2011/04/02(Sat) 09:46:44

★ この掲示板での質疑応答で / mk

問.(x-b)(x-c)(b-c)+(x-c)(x-a)(c-a)+(x-a)(x-b)(a-b)　を簡単にせよ

f(x)=(x-b)(x-c)(b-c)+(x-c)(x-a)(c-a)+(x-a)(x-b)(a-b)と置くと
f(a)=f(b)=f(c)=-(a-b)(b-c)(c-a) (A)
ここでf(x)の次数は２以下ですが(A)より
３つのxの値に対するf(x)の値が等しいので
f(x)は定数しかありえません。
よって
f(x)=-(a-b)(b-c)(c-a)

とありましたが、
＞f(x)の次数は２以下ですが(A)より
＞３つのxの値に対するf(x)の値が等しいので
＞f(x)は定数しかありえません。
と言えるのはなぜですか？

No.13465 - 2011/04/01(Fri) 18:48:03

☆ Re: この掲示板での質疑応答で / mk

a,b,cがすべて異なるときには、
二次以下の関数f(x)において
f(a)+(a-b)(b-c)(c-a)=0
f(b)+(a-b)(b-c)(c-a)=0
f(c)+(a-b)(b-c)(c-a)=0
により、xについての二次以下の方程式
f(x)+(a-b)(b-c)(c-a)=0…★が異なる３つの値に対して成り立つので、f(x)+(a-b)(b-c)(c-a)は恒等的に0となる。
よって、f(x)=-(a-b)(b-c)(c-a)　となるのは分かるのですが、例えばa=b≠cの場合はどう言えばいいのですか？
a=b=cの場合はf(x)=0となって成り立つのでいいのですが…

No.13466 - 2011/04/01(Fri) 19:03:07

☆ Re: この掲示板での質疑応答で / mk

a=b≠c等の場合も結果的に成り立ちますね。
解答に書くときはNo.13465 の記述でいいのでしょうか？
＞３つのxの値に対するf(x)の値が等しいので
の部分は「異なる」３つのxの値に対するf(x)の値が等しいので
でないと結論が言えない気がするので…
（そうなるとa=b≠c等の場合も分けて書く必要がでてくるのではないかと思います）
その辺りを説明お願いします。

No.13467 - 2011/04/01(Fri) 19:12:24

☆ Re: この掲示板での質疑応答で / シャロン

a,b,cのいずれの2つも等しくないなら、f(x)=定数を示したあと、

a,b,cのなかで等しい値を持つ2数の組があれば、対称性からa=bと仮定してよいので、
f(x) = (x-b)(x-c)(b-c)+(x-c)(x-a)(c-a)+(x-a)(x-b)(a-b)
= (x-a)(x-c)(a-c)-(x-c)(x-a)(a-c)
= 0
でこれは、上のf(x)で、a=bとした場合と一致する。

#(これは3つの数がすべて等しくても成立する)
を示せば良いかと思います。

No.13468 - 2011/04/01(Fri) 21:00:56

☆ Re: この掲示板での質疑応答で / mk

ありがとうございました。

No.13482 - 2011/04/03(Sun) 02:44:31

★ 中２・一次関数（急ぎます） / ぷりん

すいません、途中式も含めて教えていただける方
募集してます＞＜

一次関数と変域についての問題です。
（ｘは「エックス」です）

?@
一次関数ｙ＝-ｘ+６において、ｘの変域が２≦ｘ≦ａのとき
ｙの変域が１≦ｙ≦ｂである。
ａとｂの値を求めなさい。

?A
一次関数ｙ＝ａｘ+ｂは a＜０で、ｘの変域が１≦ｘ≦３のとき、
ｙの変域が１≦ｙ≦３である。
aとｂの値を求めなさい。

どちらか１つだけなら分かる、という答えでもいいです＞＜
急ぎますが、お願いします！

No.13460 - 2011/03/31(Thu) 14:16:40

☆ Re: 中２・一次関数（急ぎます） / X

(1)
y=-x+6 (A)
のグラフは右下がりの直線になるので
xが最大のときyは最小
xが最小のときyは最大
となります。従って問題の変域から
x=2のときy=b
x=aのときy=1
となりますから(A)よりa,bについての方程式ができます。

(2)
a<0より
y=ax+b
のグラフは右下がりの直線になります。
後は(1)と考え方は同じです。
但しこちらは最終的にa,bについての連立方程式を
解くことになるので注意しましょう。

No.13462 - 2011/03/31(Thu) 15:11:28

☆ Re: / ぷりん

有難うございました！
お陰でよく理解できました。

No.13463 - 2011/03/31(Thu) 15:27:49

★ 中2の１次関数の問題 / キイロ

こんにちは。

中２の１次関数の問題を解いていたのですが、分からない問題があって質問させていただきます。
写真の問題の（２）が分かりません。
答えは、y=－2x＋28　xの変域は９≦x≦14
なのですが、ドリルには答えだけで解説がないので、分かりません。

何故、y=－2x＋28　になるのでしょうか。
28はどこからきたのでしょうか。

よろしくお願いします。

No.13458 - 2011/03/31(Thu) 11:13:33

☆ Re: 中2の１次関数の問題 / X

この問題でxは点Pが長方形ABCDの辺に沿って、点Aから
動いた距離を表します。
(点Pが辺AD上にない場合はx=APとはならないことに注意)
従って点Pが辺BC上にある場合
CP=x-(CD+DA)=x-(4+5)=x-9
ですので
BP=BC-CP=5-(x-9)=-x+14
よって△ABPの面積yは
y=(1/2)×AB×BP=(1/2)×4×(-x+14)
=-2x+28
又このときのxの変域は
AD+CD≦x≦AD+CD+BC
ですので
9≦x≦14
となります。

No.13461 - 2011/03/31(Thu) 15:04:49

☆ Re: 中2の１次関数の問題 / キイロ

ありがとうございます！
やっと理解できました。

No.13464 - 2011/04/01(Fri) 14:10:11

★ ベクトルの公式について / shun

高2です。学校のベクトルの授業で、直線のベクトル方程式には、
　(1)　↓p=↓a＋t↓d
　(2) ↓p=s↓a＋t↓b s＋t=1
の2つがあることを習いましたが、それらの使い分けが良く分かりません。どなたか教えてください。よろしくお願いします。　

No.13454 - 2011/03/30(Wed) 13:28:28

☆ Re: ベクトルの公式について / シャロン

(1)では、位置ベクトル↓aと方向ベクトル↓dをつかって、通る点と方向で直線を表しているのに対し、

(2)は、位置ベクトル↓a、↓bで表される点A、Bを結ぶ直線を表している。

(1)は、直線の向きがわかっている場合に、
(2)は、通る2点がわかっているときに使う。

また、↓p=↓a+t↓d=-t↓a+(t-1)(↓d-↓a)と書き直せば、-tをs'、t-1をt'、↓d-↓aを↓bとみることで、↓p=s'↓a+t'↓b、s'+t'=1の形になるし、

逆に、↓p=s↓a+t↓b=↓a+(t↓b+(s-1)↓a)=↓a+(t↓b-(1-s)↓a)=↓a+t(↓b-↓a)から、
↓b-↓aを↓dと見れば、↓p=↓a+t↓dの形に直せる。

No.13456 - 2011/03/30(Wed) 15:47:46

★ 高1の因数分解です、急ぎます / ゆっさ遊佐

5a^3b-25a^2b^2+15ab^3

(x+y)^3-z^3

(x-b)(x-c)(b-c)+(x-c)(x-a)(c-a)+(x-a)(x-b)(a-b)
最後の問題は簡単にせよ、という問題でした

少し急ぎますが、よろしくお願いします

No.13450 - 2011/03/29(Tue) 09:33:31

☆ Re: 高1の因数分解です、急ぎます / X

一問目)
5abをくくりだして、()内をaの２次式と見て
たすきがけしましょう。
二問目)
公式
a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)
を使います。

三問目)
もっと簡単な方法があるかもしれませんが
ここでは正攻法で普通に展開してまとめてみます。
(x-b)(x-c)(b-c)+(x-c)(x-a)(c-a)+(x-a)(x-b)(a-b)
=(b-c){x^2-(b+c)x+bc}+(c-a){x^2-(c+a)x+ca}
+(a-b){x^2-(a+b)x+ab}
={(b-c)+(c-a)+(a-b)}x^2-{(b+c)(b-c)+(c+a)(c-a)+(a+b)(a-b)}x+{(b-c)bc+(c-a)ca+(a-b)ab}
=(b-c)bc+(c-a)ca+(a-b)ab

No.13451 - 2011/03/29(Tue) 10:39:09

☆ Re: 高1の因数分解です、急ぎます / X

三問目)
(別解)
f(x)=(x-b)(x-c)(b-c)+(x-c)(x-a)(c-a)+(x-a)(x-b)(a-b)
と置くと
f(a)=f(b)=f(c)=-(a-b)(b-c)(c-a) (A)
ここでf(x)の次数は２以下ですが(A)より
３つのxの値に対するf(x)の値が等しいので
f(x)は定数しかありえません。
よって
f(x)=-(a-b)(b-c)(c-a)
(No.13451の場合の解答と見掛けは異なりますが、
変形すればこの式と同じになります。)

No.13452 - 2011/03/29(Tue) 10:44:20

☆ Re: 高1の因数分解です、急ぎます / ゆっさ遊佐

ありがとうございました

おかげで助かりました

No.13457 - 2011/03/30(Wed) 22:47:23

★ (No Subject) / 高2です

△ABCにおいて、AB＝5、BC＝3、CA＝4とする。
辺AB上に点P、辺CA上に点Qをとり、AP＝x、AQ＝yとする。 △APQの面積が△ABCの面積の1／2であるとき、次の問いに答えよ。

（1） x、yの間に成り立つ関係式を求めよ。
（2）線分PQの長さをx、yを用いて表せ。
（3） △APQの周の長さをsとするとき、sの最小値を求めよ。また、そのときのx、yの値を求めよ。

よろしくお願いします

No.13441 - 2011/03/26(Sat) 20:00:33

☆ Re: / 高2です

↑解決しました。すみません。

加えて質問があります。

aを実数とする。2つの放物線y=x^2+1…?@、y=-x^2+2ax-a^2+a+2…?Aが異なる2点で交わるとき、次の問に答えよ。

(1)aの値の範囲を求めよ
(2)放物線?@、?Aで囲まれた図形の面積をSとするとき、Sをaを用いて表せ。
(3)Sの最大値とそのときのaの値を求めよ。

よろしくお願いします

No.13442 - 2011/03/26(Sat) 20:53:35

☆ Re: / シャロン

(1)
○1、○2の方程式をそれぞれy=f(x)、y=g(x)とすると連立させた、
f(x)=g(x)
が異なる2実数解を持つので、このxについての方程式の解の判別式が正であることから、aについての不等式を考える。

(2)
2放物線で囲む図形がある範囲では、g(x)＞f(x)の上方にあるので、f(x)=g(x)の2解をα,β (α＜β)とすると、
S=∫_α^β (g(x)-f(x))dx

No.13443 - 2011/03/26(Sat) 22:04:36

★ (No Subject) / kyoudai

3次元空間で、異なる二点A,Bからの距離が等しい点の集合はA,Bの垂直二等分面
になることは幾何的にどう証明したらいいのでしょうか？

No.13439 - 2011/03/25(Fri) 23:46:49

☆ Re: / angel

2次元の時と大きくは変わらないです。
条件を満たす任意の点をP、ABの中点をMとすると、PとMが一致する時を除いて△ABPが二等辺三角形となることから PM⊥ABが分かります。
ということで、
　PM⊥AB⇒Pは「Mを含みABに垂直な平面」上にある
というように必要条件が示せます。
十分条件については、ほぼこの裏返しで説明できますね。

No.13440 - 2011/03/26(Sat) 12:24:56

☆ Re: / kyoudai

逆に、Mを含みABに垂直な平面上の任意の点Qで、
（Q≠M）△AMQ≡△BMQ（∵AM=BM,∠AMQ≡∠BMQ=90°,MQ共通)
よりAQ=BQである。
また、Q=MのときもAQ=BQである。
以上より、3次元空間で、異なる二点A,Bからの距離が等しい点の集合はA,Bの垂直二等分面であることが示された。

でいいんですかね？
あと、この問題の場合の必要条件とか十分条件が何を指しているのかがよく分かりません。
命題A⇒B　においてBはAであるための必要条件で、
AはBであるための十分条件である、ということは分かるのですが、幾何学における軌跡の問題をちゃんとやったことがないので、教えてください。

No.13444 - 2011/03/27(Sun) 14:05:09

☆ Re: / angel

> …(前略)…
> でいいんですかね？

問題ないと思います。

> 必要条件とか十分条件が何を指しているのかがよく分かりません。

私が概要を説明した、「PA=PBを満たす点PはA,Bの垂直二等分面上にある」というのが必要条件。
kyoudaiさんがその後「逆に～」以降で説明した「A,Bの垂直二等分面上にある点QはQA=QBを満たす」が十分条件です。

言い方を替えると、

・まず、点PがPA=PBを満たすためには、PがA,Bの垂直二等分面上にあることが「必要」
・逆に、点PがA,Bの垂直二等分面上にあるならば、「十分」にPA=PBを満たす。
・よって、点PがPA=PBを満たすためには、PがA,Bの垂直二等分面上にあることが「必要十分」

ということです。軌跡の問題の場合、ほぼ必ず必要条件と十分条件の両方を説明することになります。

No.13446 - 2011/03/27(Sun) 17:45:20

☆ Re: / angel

あ、念のためですが、解答の中に「必要条件」や「十分条件」と言った文言を明記しなければならない、ということではないですよ。（もちろん書いても良い）
しかしながら、その内容は必要条件・十分条件の説明に他ならないわけです。

No.13447 - 2011/03/27(Sun) 17:52:41

☆ Re: / kyoudai

よく分かりました。ありがとうございました。

No.13453 - 2011/03/29(Tue) 16:21:13

★ (No Subject) / あーちゃん

８本中当たりが３本はいったくじがあります。そこから同時に４本引くとき、当たりを２本以上引く確率を求めなさい。
さっぱりわかりません。よろしくお願いします。

No.13436 - 2011/03/24(Thu) 21:02:10

☆ Re: / シャロン

クジ１本１本に１から８までの番号がついているかのように区別して、１から３までが当たりとします。

全事象は８本から４本を取り出す組み合わせの数なので、8Ｃ4=70通りです。

当たりを2本以上抽くのは、当たり3本とハズレ1本を抽く場合か、当たり2本とハズレ2本を抽く場合のいずれかであり、これらは排反です。
(1)当たりを3本抽く場合
当たりクジの組み合わせは1通り、ハズレクジは４から８番の５通りなので、合計5通りです。

(2)当たりを2本抽く場合
当たりクジの組み合わせは3Ｃ2=3通り、ハズレクジは5Ｃ2=10通りなので、合計3*10=30通りです。

(1)(2)より、当たりを2本以上抽くのは35通りなので、当たりを2本以上抽く確率は35/70=1/2です。

No.13437 - 2011/03/24(Thu) 21:39:59

☆ Re: / あーちゃん

ありがとうございました。
よくわかりました。

No.13438 - 2011/03/24(Thu) 22:16:41

☆ Re: / らすかる

引いた4本と残りの4本のどちらか一方だけに当たりが2本以上入っており、
2本以上である確率は引いた方、残りの方で同じなので1/2。

No.13449 - 2011/03/28(Mon) 13:09:10

★ 期待値 / みぃ

解説みてもよくわかりません

わかるように教えて下さい＞＜

赤玉と白玉が２個ずつ入った袋の中から、玉を２個同時に取り出すとき、白玉の出る個数Xの期待値を求めよ。

答えは１ですｍ(_　_)ｍ

No.13433 - 2011/03/23(Wed) 19:05:43

☆ Re: 期待値 / シャロン

Xの期待値とは、Xのとる値xに対し、{x*(X=xとなる確率)}の総和です。

X=0となるのは、(2Ｃ0)(2Ｃ2)/(4Ｃ2)=1/6
X=1となるのは、(2Ｃ1)(2Ｃ1)/(4Ｃ2)=2/3
X=2となるのは、(2Ｃ2)(2Ｃ0)/(4Ｃ2)=1/6

なので、
期待値は、(1/6)*0+(2/3)*1+(1/6)*2=1です。

No.13434 - 2011/03/23(Wed) 20:01:20

☆ Re: 期待値 / シャロン

少し回答が不明瞭でした。

>X=0となるのは、
などは、
X=0となる確率は、
などに読み替えてください。

No.13435 - 2011/03/24(Thu) 16:35:06

★ 数的推理 / みほ

ある試験で次のような結果が得られました。
?@男子の平均点は54点でした。
?A女子の平均点は59点でした。
?B合格者の数は不合格者の数のちょうど3分の1でした。
?C全受験者の30％は女子でした。
?D合格者の平均点は、合格者の最低点より13点高い。?E不合格者の平均点は、合格者の平均点より26点低い。
このとき、合格者の最低点を求めなさい。

解説お願いします。

No.13431 - 2011/03/22(Tue) 18:46:22

☆ Re: 数的推理 / そら

?@?A?Cから,全体の平均点が分かります.
?B?D?Eから,全体の平均点と合格者の最低点の関係が分かります.

No.13432 - 2011/03/22(Tue) 18:51:14

★ 確率の問題です / レッツ藤子

中３です。確率の問題なのですが教えてください。

大小２つのさいころを投げて出た目の数をそれぞれａとｂに
する。このａとｂを用いて、方程式 ax＋by＝６をつくる。
このとき次の問に答えなさい。

(１) ax＋by＝６のグラフが点(1,1)を通る直線になる確率

(２) ax＋by＝６のグラフが直線 y = 2x と平行になる確率

分からないのでぜひ教えてください。

No.13426 - 2011/03/22(Tue) 16:11:03

☆ Re: 確率の問題です / シャロン

(1)
ax+by=6が(1, 1)を通るということは、(x,y)=(1,1)を直線の式に代入した、a+b=6が成り立つということです。

(2)
問題は正しいですか？

正しいものとして解けば、ax+by=6を変形してy=-(a/b)x+(6/b)がy=2xと平行なので、-a/b=2、つまり、a=-2bとなる確率を求めるということです。
しかし、a,bはともに正なのでa=-2bとなることはありえません。したがって、求める確率は0です。

No.13427 - 2011/03/22(Tue) 16:24:34

☆ Re: 確率の問題です / レッツ藤子

すみません。問題文間違えました。

(２) ax ＋ by ＝６のグラフが直線 y = -2x と

平行になる確率

No.13428 - 2011/03/22(Tue) 16:27:40

☆ Re: 確率の問題です / シャロン

(2)
であれば、a=2bが成り立つということです。

(1)(2)とも、そうなる場合を書き出してそれが何通りであるかを数えて、全事象の場合の数で割るだけです。

No.13429 - 2011/03/22(Tue) 17:51:29

☆ Re: 確率の問題です / レッツ藤子

ありがとうございます！！

No.13430 - 2011/03/22(Tue) 18:44:18

★ 積分と体積 / シュークリーム

高校１年です。

「底面の半径がa,高さが2aの直円柱がある。この底面の直径ABを含み、底面と60°の傾きをなす平面で、直円柱を２つの立体に分けるとき、小さい方の立体の体積を求めよ。」
という問題です。

考え方は、直円柱を横から見ると、直角三角形が見えるので、そこを積分するのだと思うのですが、そこの方法が良く分かりません。

その部分の解説をお願いします。

No.13421 - 2011/03/20(Sun) 09:46:31

☆ Re: 積分と体積 / シャロン

円柱の底面をxy平面、底面の中心を原点、直径ABをx軸とするように座標を考える。

体積を求める立体Vの平面x=Xでの断面は直角三角形(3角は30ﾟ、60ﾟ、90ﾟ)で、底辺√(a^2-X^2)、高さtan60ﾟ*√(a^2-X^2)なので、この断面積は(√3/2)(a^2-X^2)です。
(いちおう、円柱をカットする平面が円柱の上の底面と交わらないことをいっておきましょう。)

これを区間-a≦x≦aでxについて積分します。
被積分関数が偶関数で、積分区間が0について対称なので、2∫_0^a(√3/2)(a^2-x^2)dxで求まりますね。

No.13422 - 2011/03/20(Sun) 11:08:12

☆ Re: 積分と体積 / シュークリーム

理解することができました。ありがとうございます。

No.13423 - 2011/03/20(Sun) 13:01:14

★ (No Subject) / むーとん

円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=√10、BC=2√10、CD=3、DA=6であるとし、対角線ACとBDの交点をEとする。
　
BE=(アイ/ウエ）BD

この問題の解説をお願いします。

連続で失礼しました。

No.13411 - 2011/03/17(Thu) 16:27:52

☆ Re: / ヨッシー

　△ＡＢＣ＝(1/2)ＡＢ・ＢＣsin∠ＡＢＣ＝10sin∠ＡＢＣ
　△ＡＣＤ＝(1/2)ＡＤ・ＣＤsin∠ＡＤＣ＝9sin∠ＡＤＣ
∠ＡＤＣ＝180°－∠ＡＢＣであるので、
　sin∠ＡＤＣ＝sin∠ＡＢＣ
よって、
　△ＡＢＣ：△ＡＣＤ＝１０：９　　（面積比）
よって、
　ＢＥ：ＥＤ＝１０：９
であるので、
　ＢＥ＝(10/19)ＢＤ

No.13412 - 2011/03/17(Thu) 16:41:53

☆ Re: / むーとん

ありがとうございました。
わかりやすくて助かりました。

No.13415 - 2011/03/18(Fri) 11:26:06

★ (No Subject) / むーとん

a,b,cを定数とするxの関数f(x)=(1/3)x^3+ax^2+bx+cの導関数f'(x)について、次の問に答えなさい。

f'(x)が区間1≦x≦3において、常に3≦f'(x)≦4を満たしているとき、a=-ア、b=イである。さらに、f(3)=18であるとき、c=ウである。

この問題の解説をお願いします。

No.13410 - 2011/03/17(Thu) 16:22:02

☆ Re: / X

問題のf(x)より
f'(x)=x^2+2ax+b

前半)
以下のようにy=f'(x)のグラフの軸である直線x=-aと
区間1≦x≦3との位置関係について場合分けし、
f'(x)の最大値と最小値についてa,bの連立方程式を
立てて解いてみましょう。
(i)-a≦1のとき
(ii)1≦-a≦2のとき
(iii)2≦-a≦3のとき
(iv)3≦-aのとき

後半)
前半の結果からa,bの値は分かっていますので
f(3)=18
によりcについての方程式ができます。

No.13414 - 2011/03/18(Fri) 07:27:46

☆ Re: / むーとん

もう少し詳しく教えて頂けませんか？
理解不足ですいません。

No.13416 - 2011/03/18(Fri) 15:14:07

☆ Re: / X

では前半の場合分けで(i)の場合だけ計算してみます。

(i)のとき
y=f'(x)のグラフの軸は区間1≦x≦3の範囲外左側に
あります。(y=f'(x)のグラフを描きましょう。)
従ってf'(x)はx=3で最大、x=1で最小となりますので
3≦f'(x)≦4
と考え合わせると
f'(3)=4 (P)
f'(1)=3 (Q)
(P)より
9+6a+b=4 (P)'
(Q)より
1+2a+b=3 (Q)'
(P)'(Q)'をa,bの連立方程式として解くと
(a,b)=(-7/4,13/2)
となりますがこれは(i)の条件である
-a≦1
つまり
-1≦a
を満たさないので不適になります。

同じ調子で(ii)(iii)(iv)の場合を計算し、(i)のように
不適にならない(a,b)の値が求める値となります。
注意点としては描くグラフはy=f'(x)のものであって
y=f(x)のグラフではない、ということです。

No.13418 - 2011/03/18(Fri) 19:25:41

☆ Re: / X

もう少し補足しておきます。
y=f'(x)のグラフの軸と区間1≦x≦3との位置関係ですが
(i)は範囲外左側
(ii)は範囲内左寄り
(iii)は範囲内右寄り
(iv)は範囲外右側
となります。

No.13419 - 2011/03/19(Sat) 07:53:04

☆ Re: / むーとん

ありがとうございました。
頑張ってみます!!

No.13420 - 2011/03/19(Sat) 16:18:21

★ (No Subject) / むーとん

放物線ｙ=3x^2-6x-9と曲線y=|2x^2-4x-6|の交点のx座標はx=-アとx=イである。
この放物線とこの曲線とで囲まれる図形の面積は(ウエオ)/カである。

この問題の解説をお願いします。

No.13409 - 2011/03/17(Thu) 16:12:48

☆ Re: / ヨッシー

ｙ=3x^2-6x-9＝3(x+1)(x-3)
y=|2x^2-4x-6|＝2|(x+1)(x-3)| であるので、
x=-1, x=3 が交点となり、求める面積は
　∫_-1³{(-2x^2+4x+6)－(3x^2-6x-9)}dx
　＝160/3

No.13413 - 2011/03/17(Thu) 21:36:26

☆ Re: / むーとん

最後の答えの計算過程をもう少し詳しく教えてください。

No.13417 - 2011/03/18(Fri) 15:18:00

☆ Re: / シャロン

とくにひねったところもない定積分です。

どこで計算に詰まりましたか？

No.13424 - 2011/03/20(Sun) 18:51:27

☆ Re: / ヨッシー

　∫_-1³{(-2x^2+4x+6)－(3x^2-6x-9)}dx
　＝∫_-1³(-5x^2+10x+15)dx
　＝[(-5/3)x^3+5x^2+15x]_-1³
　＝160/3
としても良いですし、
　∫_-1³{(-2x^2+4x+6)－(3x^2-6x-9)}dx
　＝∫_-1³(-5x^2+10x+15)dx
　＝-5∫_-1³(x+1)(x-3)dx
　＝-5(-1-3)^3/6＝160/3
としても良いです。

No.13425 - 2011/03/21(Mon) 18:09:45