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★ (No Subject) / mazenda
整式P(x)をx-2で割った余りが３
(x-1)^2で割った余りが2x+1であるとき、
P(x)を(x-2)(x-1)^2で割った余りを求めよ。

P(x)=(x-2)(x-1)^2Q(x)+ax^2+bx^1+c　?@　とおくのは分かりますが、
?@を(x-1)^2で割るとかかいてあります。
じゃ?@を(x-1)で割ったしても答えはでるんですか？

そもそもわかってないんでへんな解釈だと思いますが
どなたこの問題を解説していただけないでしょうか？
よろしくお願いします。
No.11994 - 2010/10/19(Tue) 22:42:10
☆ Re: / karubi
x-1で割っても答えがでるのかは分かりません。
様々な手法をフルに活用していくつかの方程式を連立させればもしかしたら出るかもしれませんが、普通は考えないと思います。とりあえずx-1で割った余りが与えられていないのでムリしてx-1で割ることはないでしょう。

Ｐ（ｘ）＝(x-2)(x-1)^2Q(x)+(xの２次以下の式）
（x-1)^2で割った余りが2x+1より
（xの２次以下の式）＝a(x-1)^2+2x+1とおける

Ｐ（２）＝３⇔a+5=3⇔a=-2より

求める余りは
-2(x-1)^2+1
=-2x^2+4x-1
No.11997 - 2010/10/19(Tue) 23:55:37
☆ Re: / mazenda
ありがとうございます。
理解する事ができました。
またよろしくお願いします。
No.12012 - 2010/10/21(Thu) 04:02:41
★ 曲線の長さ / shimeji
曲線の長さを求める問題です。よろしくお願いします。

aは正の定数,r=(x^2+y^2)^(1/2),θ=arctan(y/x)であるとき
r=aθ(0≦θ≦b)
の曲線の長さを求めよ。

という問題なのですが、x^2+y^2=(aθ)^2として三角関数を媒介変数表示で表すとx=aθcosθ,y=aθsinθとなるので求める長さLは
　 b
L=∫〔{(aθcosθ)^2+(aθsinθ)^2})^(1/2)〕dθ
　 0
　 b
=a∫{(1+θ^2)^(1/2)}dθ
　 0
=a/2〔b(b^2+1)^(1/2)+log{b+(b^2+1)}〕
という方法で答えになり正解なのですが、θ=arctan(y/x)を使っていないので、間違っているのだと思います。

お手数お掛けしますが解説・アドバイス等よろしくお願いします。
No.11987 - 2010/10/19(Tue) 19:00:03
☆ Re: 曲線の長さ / shimeji
すいません。答えが間違っていました…

a/2〔b(b^2+1)^(1/2)+log{b+(b^2+1)}〕
ではなく、
a/2〔b(b^2+1)^(1/2)+log{b+(b^2+1)^(1/2)}〕
です。

改めてよろしくお願いします。
No.11988 - 2010/10/19(Tue) 19:14:52
☆ Re: 曲線の長さ / 板橋
御自身の解答の中で、x=aθcosθ,y=aθsinθとおいてらっしゃいます。θ≠0の場合、y/x=aθsinθ/aθcosθ=tanθであるため、θ=tan-1(y/x)=arctan(y/x)となり、使ってらっしゃいます。
No.11990 - 2010/10/19(Tue) 20:05:05
☆ Re: 曲線の長さ / shimeji
確かに使ってますね！気づきませんでした…

ありがとうございました。
No.11993 - 2010/10/19(Tue) 22:13:45
★ 数学１（高１） / ♪
こんばんは。
２次不等式の質問です。
放物線y=x^2-2ax+a+2とx軸が次の範囲において異なる２点で交わる時、定数aの値の範囲を求めよ。
１点はx<1,ほかの１点はx>1

よろしくお願いします！
No.11984 - 2010/10/19(Tue) 00:03:43
☆ Re: 数学１（高１） / ヨッシー

y=x^2-2ax+a+2 のグラフを色々描いてみました。
このうちで、条件を満たすものは、青のグラフです。
青にはあって、赤にはない特徴は、ｘ＝「　　」 のとき、ｙが「　　」である。
このことからａについての不等式が作れます。
No.11985 - 2010/10/19(Tue) 06:47:26
★ (No Subject) / たけ
高校２年生です。数学が中学から苦手でどうしても分からないので質問に来ました…。

a,bを実数として、２次方程式 x^2-ax+b=0 を考える。

（1）この方程式が実数解をもつような点（a,b）の存在範囲を図示せよ。
（2）この方程式が-1<x<1の範囲に少なくとも１つの解をもつような点（a,b）の存在範囲を図示せよ。
（3）この方程式の解の絶対値がすべて1より小となるような点（a,b）の存在範囲を図示せよ。ただし、複素数z=u+iv（u,v：実数）の絶対値とは √u^2+v^2 のことである。

お願いします…！
No.11982 - 2010/10/18(Mon) 22:36:07
☆ Re: / ヨッシー
(1)は判別式より
　a^2-4b≧0
このグラフを描きます。
(2) を満たす y=x^2-ax+b のグラフは、下の３通りです。

　f(x)＝x^2-ax+b　とおくと、
　?@ f(-1)＜０ かつ f(1)＞０
　?A f(-1)＞０ かつ f(1)＜０
　?B 判別式 a^2-4b≧0、　軸 x=-a/2 が −１＜-a/2＜１
　　f(-1)＞０ かつ f(1)＞０
をそれぞれ求めます。?@または?Aまたは?B の範囲が、求める範囲です。

(3)解が実数の時は、(2) で求めていますので、解が虚数の時を調べます。
No.11986 - 2010/10/19(Tue) 06:58:55
☆ Re: / たけ
ヨッシーさんありがとうございます！
（3）なのですが、
2解が共に複素数の時、α+βi,α-βiとする。
D＜0
（α+βi）+（α-βi）＝2α
（α+βi）（α-βi）＝α^2+β^2
まではやってみたのですが、それからどうすればいいのかと、
どう図示していいのか分かりません；；
No.11991 - 2010/10/19(Tue) 21:09:45
☆ Re: / ヨッシー
（α+βi）+（α-βi）＝2α
（α+βi）（α- βi）＝α^2+β^2
に、解と係数の関係を適用すると
　2α＝a
　α^2＋β^2＝ｂ
であり、解の絶対値は√(α^2＋β^2)＜１なので、
　√ｂ＜１　よって　ｂ＜１
となります。
これに、Ｄ＜０ の条件を合わせます。
No.11992 - 2010/10/19(Tue) 21:32:10
☆ Re: / たけ
分かりました！本当にありがとうございました!!
No.11995 - 2010/10/19(Tue) 23:29:45
★ 数列 / ドドラ
いつもお世話になります。
解説の赤線を引いたところで、なぜ{bn}(n=1,2,3…)が等差数列になるとき
6+2p=p+5
になるのかが分かりません。
よろしくお願いします。
No.11976 - 2010/10/18(Mon) 20:52:33
☆ Re: 数列 / rtz
bn＝6n+2pはn≧2の範囲で等差数列です。
n≧1で等差数列になるためには、
↑の式自体がn＝1でも合っていなければなりません。

ですので、
式から導かれた6*1+2pと、本当の値であるp+5が等しいとすれば、
求めるべきpの値が出ます。


まぁ公差6を出して、
b2＝12+2pから6引いても同じことですね。
こちらの方が分かりやすいでしょうか。
No.11977 - 2010/10/18(Mon) 21:16:17
★ 確立 / マユ
中間考査の問題です。
わからなっかた問題があるので教えて下さいｍ(_　_)ｍ


１から１５０までの１５０枚の番号札から１枚引くとき、次の確立を求めよ。

?@７の倍数が出る確率
?A７の倍数が出ない場わい
?B３の倍数または７の倍数がでる確立
?C３の倍数でも７の倍数でもない確立


男子３人、女子４人が１列に並ぶときの次の確立を求めよ。

?@両端が男子になる確率
?A女子４人が続いて並ぶ確立
?B男女交互に並ぶ確立

です。
おしえてくださいｍ(_　_)ｍ　　　　　　　　　　
No.11975 - 2010/10/18(Mon) 20:23:19
☆ Re: 確立 / X
一問目)
まず全ての札の引き方は150[通り] (A)
(1)
150÷7=21余り3
∴7の倍数になる札の引き方は21[通り] (B)
∴求める確率は21/150=7/50
(2)
問題の事象は(1)の事象の否定となっていますので
(A)(B)を使うと求める場合の数は
150-21=129[通り]
(3)
150÷3=50
∴3の倍数になる札の引き方は50[通り] (C)
又、3と7の最小公倍数は21で
150÷21=7余り3
∴3と7の公倍数になる札の引き方は7[通り] (D)
(B)(C)(D)より
3の倍数又は7の倍数になる札の引き方は
21+50-7=64[通り]
∴求める確率は
64/150=32/75
(4)
これは(3)の事象の否定の事象の確率ですので、
(3)の結果を使うと求める確率は
1-32/75=43/75
No.11979 - 2010/10/18(Mon) 21:27:57
☆ Re: 確立 / X
2問目)
まず全ての並び方は
7![通り]
(1)
両端の男子の選び方は
3P2=6[通り]
残りの男子1人と女子4人でできる列の並び方は
5![通り]
よって問題の事象の場合の数は
6・5![通り]
∴求める場合の数は
6・5!/7!=1/7
(2)
女子4人だけで列を作る場合、その並び方の数は
4![通り]
一方、女子4人の連続した並び方が特定の一つになる場合の
並び方の数は
(3+1)!=4![通り]
∴問題の事象の場合の数は
4!・4![通り]
ですので求める確率は
4!・4!/7!=4/35
(3)
まず、同じ性別では区別できない場合の列の並びを考えます。
今、○を男子、×を女子とすると男女交互となる列の作り方は
×○×○×○×
の1[通り]しかありません。
ここで同じ性別でも区別して考えるとすると、同じ性別で
作る順列の数を考えて、問題の事象の場合の数は
3!・4![通り]
よって求める確率は
3!・4!/7!=1/35
No.11980 - 2010/10/18(Mon) 21:42:18
☆ Re: 確立 / マユ
わかりました＾＾

ありがとうございました＾＾
No.12007 - 2010/10/20(Wed) 21:07:56
★ パズル的な問題 / たける
大学１年です。かなり考えましたが、できそうでできません。誰か教えてください。
「kを自然数とする。円状にオセロが3k+1枚置かれている。今すべてが白であるとする。次の作業を繰り返すとき、ちょうど３個の白のオセロだけが残ることはないことを証明しなさい。
作業：白のオセロを一つ選んで、取り除く。取り除いたオセロの両隣のオセロの白黒を反転させる（取り除いて空いたスペースは埋めていくものとする）。」
No.11966 - 2010/10/18(Mon) 01:08:14
★ 高２　数?U / アジル
x^100をx^2＋x＋1で計算する。
商の中でx^88、x^33の係数を求めよ。
また、余りを求めよ。

画像は、係数だけをとって計算しています。
解答には計算で
商のx^88の係数は、（98-88＋1）÷3＝3余り2から「-1」
商のx^33の係数は、（98-33＋1）÷3＝22余り0から「０」
商の定数項は、（98＋1）÷3＝33余り0から「０」
よって、余りはx

とあるのですが
計算式の意味とその計算結果からどうして「−１」や「０」などが分かるのか
全く分かりません。
誰か分かる方教えてください。
おねがいします！
No.11963 - 2010/10/17(Sun) 23:43:34
☆ Re: 高２　数?U / angel
計算式には深い意味はありませんし、この通りの計算式でなければならないという必然性もありません。

ただ、商のx^nの係数なり、割り算の筆算のそれぞれの段で現れる余りが、周期3で繰り返している、ということを利用しているのです。
※解説にある筆算の結果を見れば、それが分かります。

商で言えば、x^98, x^97, x^96 の係数がそれぞれ 1, -1, 0 です。これに周期3ということで考えると、88と97は3で割った余りが同じですから、x^88の係数は、x^97と同じ -1 になることが分かるのです。
No.11965 - 2010/10/18(Mon) 00:49:22
★ 平方根（？） / 千紘
中3の平方根の問題です。
2つわからない問題があるので、教えてください。

問題集のものなので答えはあるんですが、
解説がないので困っています。

?@2つの数A,Bがある。最大公約数が12で、2つの数の積が2160であるとき、AとBの最小公倍数を求めなさい。
　A.180

?A分母が80である78個の分数2/80,3/80,4/80,………,78/80,79/80の中で、約分すると分子が1となる分数は何個あるか答えなさい。
　A.8個
No.11962 - 2010/10/17(Sun) 23:19:37
☆ Re: 平方根（？） / angel
?@
一般に、2数A=aG, B=bG ( Gは最大公約数 ) に関して、
最小公倍数 L は、L=abG=AB/G として表すことができます。
今回、最大公約数 G=12, 積AB=2160 なので、上の式に当てはめることで、最小公倍数を計算する事ができます。

?A
「約分すると分子が1」ということは、「分子が分母を割り切る」ということです。
つまり、今回数えるのは、分子が分母80を割り切るものの数、つまり約数の数なのです。
80=2^4×5^1 の約数は、(4+1)×(1+1)=10 個ですが、内 1,80 の2個は最初から除かれているため、10-2=8 が最終的な答です。
No.11964 - 2010/10/18(Mon) 00:36:08
☆ Re: 平方根（？） / 千紘
ありがとうございました！

そうやって考えたらいいんですね；；
No.11973 - 2010/10/18(Mon) 19:21:36
☆ Re: 平方根（？） / 千紘
80の約数の数は、(4+1)×(1+1)で求められるんですか？

約数の数の求め方の公式があるのでしたら、
教えていただけると嬉しいです。
No.11974 - 2010/10/18(Mon) 19:31:16
☆ Re: 平方根（？） / ヨッシー
公式もありますが、まずは、こちらを見て、理屈を理解しましょう。
No.11978 - 2010/10/18(Mon) 21:23:34
☆ Re: 平方根（？） / 千紘
あ、ありがとうございます！！
No.11981 - 2010/10/18(Mon) 21:58:03
★ (No Subject) / クロ
離心率というのがよくわかりません。楕円に関して言えば、ある参考書にはx^2/a^2+y^2/b^2=1,A(a,0)B(0,b)
e=√（a^2-b^2)/a=OF/OAとあり

ある参考書には定点ＦとＦを通らない低直線ｌが与えられたときＦまでの距離とｌまでの距離の比が一定であるＰの奇跡は二次曲線である。Ｆを焦点ｌを準線という。Ｐからｌにおろした垂線をＰＨとしe=PF/PHとありました。

最初の参考書ではe=(原点から焦点までの距離）÷（原点からＡまでの距離）であったのに対し、

後者ではe=(焦点から二次曲線状の点）÷（準線から二次曲線状の点）となっています

この2者が同じになる理由が知りたいです。
No.11960 - 2010/10/17(Sun) 21:24:30
☆ 離心率 / angel
前者では「楕円」(真円含む)に限った話になっているのに対し、後者では「楕円」ではなく「二次曲線」となっている所に注意。

つまり、後者の方がより広い概念であり、二次曲線(楕円・放物線・双曲線)の形状を特徴付ける数値になっているということです。
実際、離心率が等しければ相似になりますから。
※例えば、真円(離心率0)は全て相似、放物線(離心率1)も全て相似

ただまあ、「離心率」という用語からすると、前者の定義の方がイメージしやすいようにも思いますが。

2者が同じになる理由は良く分からないです。まあ、とはいえ、少なくとも計算すれば、両者が一緒になることは確認できます。

後者と一致するように前者を定めたのか、前者と後者の概念が別々に生まれて、後で一致することが確認されたのか、歴史的な経緯については分かりません。
No.11967 - 2010/10/18(Mon) 01:11:39
★ 積分 / あおい
模試の問題でわからなかった問題です。
関数f(x)=2x(logx-1)があり、曲線y=f(x)上の点(e,f(e))における接線をl:y=g(x)とする。ただし、e=2.718…は自然対数の底である。
(1)接線lの方程式を求めよ。
(2)x>0において、不等式f(x)≧g(x)が成り立つことを示せ。
(3)曲線y=f(x)の1/e≦x≦eの部分とx軸および直線x=1/eで囲まれた部分の面積をSとする。Sを求めよ。また、曲線y=f(x)と、接線lおよび直線x=1/eで囲まれた部分の面積をTとする。
このとき、SとTの大小を比較せよ。

(1)までは解けましたが、それからがわかりません。
よろしくお願いします。
No.11957 - 2010/10/17(Sun) 20:34:07
☆ Re: 積分 / X
(2)
h(x)=f(x)-g(x)
と置いてx>0におけるh(x)の増減を調べh(x)≧0を証明します。

(3)
1/e≦x≦eにおいてf(x)≦0であることに注意すると
S=-∫[1/e→e]f(x)dx
=∫[1/e→e]2x(1-logx)dx
=…(部分積分を使いましょう。)
又(2)の結果を使うと
T=∫[1/e→e]{f(x)-g(x)}dx
=∫[1/e→e]f(x)dx-∫[1/e→e]g(x)dx
=-S-∫[1/e→e]g(x)dx
=…
よって
S-T=…
No.11958 - 2010/10/17(Sun) 21:09:16
☆ Re: 積分 / あおい
ありがとうございます。
じっくり考えてみます
No.11968 - 2010/10/18(Mon) 02:40:10
★ ベクトル / りぷ
ａ↑、ｂ↑共に０↑ではないとする。

（１）
｜ａ↑＋ｔ（ｂ↑）｜を最小にする実数ｔの値ｔoと、そのときの最小値ｍを、｜ａ↑｜、｜ｂ↑｜、ａ↑・ｂ↑を用いて表せ。

（２）
更に、ａ↑とｂ↑が平行でないとき、ａ↑＋ｔ（ｂ↑）はｂ↑に垂直であることを示せ。



というのが分かりません。
（１）は一回２乗してみたのですがなんだかよく分からない方向に転がってしまい・・・・

かなり見づらいですがどなたか解説して頂けないでしょうか？
No.11954 - 2010/10/17(Sun) 20:13:57
☆ Re: ベクトル / rtz
(1)
一見面倒に見えますが、
|↑a|2=p、|↑b|2=q、↑a・↑b=rなどと文字で置いてみましょう。
「〜を最小にするt」ですから、tの2次式と思って解いてみましょう。

(2)
tではなくt0ではないのですか？
垂直から内積が0、そして先程のt0を使えばよいでしょう。
No.11956 - 2010/10/17(Sun) 20:30:51
☆ Re: ベクトル / りぷ
（１）は出来ました！
ありがとうございましたっ

しかし（２）が、内積０は分かるのですが、t0をどの様に使えば良いのかイマイチ分かりません。。。
No.11959 - 2010/10/17(Sun) 21:20:02
☆ Re: ベクトル / 七
t0をそのまま代入して
a↑＋t0(b↑)とb↑との内積が0になることを示せばいいのです。
No.11972 - 2010/10/18(Mon) 15:58:11
☆ Re: ベクトル / りぷ
分かりましたっ
考えてみます！
No.11983 - 2010/10/18(Mon) 23:39:59
★ 確率 / いかみりん
トランプの問題です。

５２枚の中からどうじに２枚のカードをひくとき、両方とも絵札である確率を求めよ。

という問題が解けません。


絵札は全部で１２枚だからそれを５２枚で割るのでしょうか。
CやPを使わなくていいのかな、と思い
なんか違うなーという感じです。

解説よろしくお願いします。
No.11941 - 2010/10/17(Sun) 19:11:30
☆ Re: 確率 / らすかる
> 絵札は全部で１２枚だからそれを５２枚で割るのでしょうか。
違います。
それだと引いた枚数(2枚)がどこにも出てこなくておかしいですね。

確率は
(絵札から2枚選ぶ組合せの数)/(全体から2枚選ぶ組合せの数)
です。
No.11942 - 2010/10/17(Sun) 19:16:53
☆ Re: 確率 / いかみりん
12Ｃ2＝６６
割る
52Ｃ2＝１３７８

ということでしょうか？
No.11943 - 2010/10/17(Sun) 19:28:19
☆ Re: 確率 / らすかる
52C2の計算が間違っていますが、
意味的にはそういうことです。
No.11944 - 2010/10/17(Sun) 19:32:36
☆ Re: 確率 / いかみりん
52×53にしていました。

66/1326　ですか　？
No.11945 - 2010/10/17(Sun) 19:35:49
☆ Re: 確率 / らすかる
式はそれで正しいです。
答えは約分してください。
No.11948 - 2010/10/17(Sun) 19:55:35
☆ Re: 確率 / いかみりん
はい。
１１/２２１　　でしょうか？
No.11949 - 2010/10/17(Sun) 19:59:45
☆ Re: 確率 / らすかる
はい、正解です。
No.11950 - 2010/10/17(Sun) 20:01:27
☆ Re: 確率 / いかみりん
なんとなくやり方が分かってきました。
ありがとうございます。


それでまだまだあるのですが、次のもいいですか？；


?A二枚とも絵札、まだは二枚とも同じマークである確率を求めよ。

またはってことは、orですよね、
これはどうやってやったらいいのでしょうか？
すいませんがよろしくお願いします。
No.11951 - 2010/10/17(Sun) 20:05:27
☆ Re: 確率 / らすかる
「二枚とも絵札である確率」と
「二枚とも同じマークである確率」を足すと
「二枚とも絵札」かつ「二枚とも同じマーク」である確率が重複して足されますので
その分を引きます。
よって
(二枚とも絵札である確率)＋(二枚とも同じマークである確率)
−(「二枚とも絵札」かつ「二枚とも同じマーク」である確率)
で計算できますね。
No.11952 - 2010/10/17(Sun) 20:11:22
☆ Re: 確率 / ヨッシー
(２枚とも絵札の確率)＋(２枚とも同じマークの確率)−(２枚とも絵札で同じマークの確率)
で求められます。
No.11953 - 2010/10/17(Sun) 20:11:52
☆ Re: 確率 / いかみりん
(２枚とも同じマークの確率)とは
スペード、ハート、クローバー、ダイヤ四つ分でしょうか？

それとも
前の問題で「二枚ともハートの確率」を出したので
それを使うということでしょうか？
No.11955 - 2010/10/17(Sun) 20:16:07
☆ Re: 確率 / らすかる
> (２枚とも同じマークの確率)とは
> スペード、ハート、クローバー、ダイヤ四つ分でしょうか？
はい、そうです。

> それとも
> 前の問題で「二枚ともハートの確率」を出したので
> それを使うということでしょうか？
(二枚ともスペードの確率)＋(二枚ともハートの確率)
＋(二枚ともクラブの確率)＋(二枚ともダイヤの確率)
ですから、「二枚ともハートの確率」の4倍ですね。
No.11961 - 2010/10/17(Sun) 23:05:40
☆ Re: 確率 / いかみりん
らすかるさん、ヨッシーさん

解けました。お二人とも
どうもありがとうございました。

らすかるさんにいたっては
長く付き合ってもらって、本当に助かりました。

また機会があればよろしくお願い致します。
No.11971 - 2010/10/18(Mon) 07:20:05
★ (No Subject) / クロック
数列anの初項から第ｎ項までの和をＳ（ｎ）とするとき、
Ｓ（ｎ）はＳ（１）＝２，
Ｓ（ｎ＋１）−４Ｓ（ｎ）＝3^(n+1)-1(n≧１）をみたす。

１）数列anの一般項をもとめよ。

自分が作った解答
Sn+1-4Sn=3^(n+1)-1(n≧１）・・?@
Sn-4Sn-1=3^n-1)(n≧２）・・?A
?@かつ?Aより
a(n+1)=4a(n)+2・３^n・・?B
ｎ≧１（ただし?@）かつｎ≧２（ただし?A）なのでｎ≧２のときしか?Bは成立しない

?Bを変形して
a（n+1）+2・3^(n+1)=4(an+2・3^n)
=4^（n-1)(a2+2・3^2)
=2・4^(n+1)（n≧２）（ただし※）

（※?@よりS1=a1=2,（a2+a1）-4a1=8よりa2=14）
よって
an=2・4^n-2・3^n(ｎ≧３）
a1=2・４−２・３＝２よりｎ＝１も成立。
a2=2・１６−２・９＝１４よりn=2も成立。

これで合っていますでしょうか？解説と違うやり方なので確認させてもらいたく参上致しました。
No.11940 - 2010/10/17(Sun) 19:09:02
☆ Re: / らすかる
基本的には合っていますが、少し修正した方が良い細かい点がいくつかあります。
・?Aの左辺は（掲示板上では） (Sn) - (4Sn) - (1) に見えます。
・?Aの右辺で3^n-1の次にある「）」は誤記載ですね。
・「?@かつ?Aより」は「?@−?Aより」とした方がわかりやすいです。
・「…なのでn≧2のときしか?Bは成立しない」は正しくありません。
　こう言うためにはn=1のときに成立しないことを示さなければなりません。
　単に a(n+1)=4a(n)+2・3^n　(n≧2) …?B とすれば十分です。
・「※?@よりS1=a1=2,（a2+a1）-4a1=8よりa2=14」は
　?@からS1=a1=2が導かれ、（a2+a1）-4a1=8からa2=14が導かれるように見えます。
　「※S1=a1=2であり、?@より（a2+a1）-4a1=8なのでa2=14」
　のようにした方が良いと思います。
No.11947 - 2010/10/17(Sun) 19:54:53
★ ベクトルの不等式 / 高校２年　文系
「コーシーシュバルツの不等式」についてです。

いくらかネットで調べてみたのですが、絶対値の様な「‖」の記号や、Σなどが出てきてよく分かりません。

私は文系なので、まだ平面のベクトルまでしか習っておらず、数列は分かりません。
理系は同じ範囲までに習っているので数列を知らなくても理解は出来るのではないかと思っているのですが・・・。

これは「平面のベクトル」まででは理解できないものなのでしょうか？
もしそうでなければ、どなたか今の私の学習範囲までの知識で分かるように説明して頂けないでしょうか？

よろしくお願いします。
No.11938 - 2010/10/17(Sun) 14:26:50
☆ Re: ベクトルの不等式 / のなめ
//は平行の意味の記号ですね。
Σは次元が大きくなったときに使っています。

コーシーシュワルツの不等式は2つのベクトルa, bに対して絶対値の積は内積以上ということを表しています。
|a|・|b|≧a・b

下のサイトでは(a,b)が内積を表しています。
http://tea9702.hp.infoseek.co.jp/check/chuchy.html
No.11939 - 2010/10/17(Sun) 18:17:33
☆ Re: ベクトルの不等式 / 高校２年　文系
意外とシンプルなものだったんですね。
スッキリしました（笑）

ありがとうございましたっ
No.11946 - 2010/10/17(Sun) 19:54:09
★ 定義域と値域 / Noriko
r(x)=√(4-√(x-4))の定義域と値域を求めよ。
という問題です。

実数条件から
4-√(x-4)≧0でなければなりませんらか

4≦x≦20, 0≦r(x)≦2

と求まったのですがこれで正しいでしょうか?
No.11934 - 2010/10/17(Sun) 06:49:35
☆ Re: 定義域と値域 / らすかる
はい、正しいです。
No.11935 - 2010/10/17(Sun) 07:26:27
☆ Re: 定義域と値域 / 七
「らか」以外は正しいと思います。
No.11936 - 2010/10/17(Sun) 07:26:27
☆ Re: 定義域と値域 / Noriko
どうも感謝です。
No.11970 - 2010/10/18(Mon) 04:05:18
★ よろしくおねがいします / ぱすかる
はじめまして。

A町とB町の間を、2台のバスP,Qがそれぞれ一定の速さで往復します。9時にPはA町を,QはB町を同時に出発し、9時12分にB町から7.2kmのところではじめてすれちがいました。それぞれB町,A町に着くとすぐに折り返したところ、 A町から4.8kmのところで2度目にすれちがいました。

?@2度目にすれちがったのは何時何分か。
?AA町からB町までの道のりは何kmあるか。

という問題です。バスQの時速は分かるのですが、それ以上先に進めません。
よろしくおねがいします。
No.11931 - 2010/10/16(Sat) 23:57:04
☆ Re: よろしくおねがいします / ぱすかる
記入するのを忘れてしまっていました。
この問題は算数の問題なので方程式なしでお願いします。
No.11932 - 2010/10/17(Sun) 00:09:20
☆ Re: よろしくおねがいします / ぱすかる
何度も失礼します。

ひとりで考えていた結果、あっさりと解けてしまいました。
ご迷惑をおかけしまして、申し訳ありませんでした。
No.11933 - 2010/10/17(Sun) 01:06:13
★ 接する円と三角関数 / 高1ｱﾒ
半径3の円に半径2,1,X(0<x<1)の円が,
どれも他の円と接している状態である。
また、半径2の円と半径1の円の直径は
同一直線上(半径3の円の直径)にある。
このとき、Xの値を求めよ。
答えは6/7になることが分かっているのですが,なぜか教えてください
No.11929 - 2010/10/16(Sat) 22:32:36
☆ Re: 接する円と三角関数 / らすかる
半径3の円の中心を(0,0)
半径2の円の中心を(1,0)
半径1の円の中心を(-2,0)
半径Xの円の中心を(x,y)
とすると
(x+2)^2+y^2=(1+X)^2 … (1)
(x-1)^2+y^2=(2+X)^2 … (2)
x^2+y^2=(3-X)^2 … (3)
(1)-(3) から x=2X-3
(2)-(3) から x=-5X+3
2式からxを消去して X=6/7
No.11930 - 2010/10/16(Sat) 23:07:48
☆ Re: 接する円と三角関数 / 高1ｱﾒ
よく解りました。ありがとうございます。
No.11937 - 2010/10/17(Sun) 10:44:42
★ 不定積分 / 電気屋 LPF
社会人です。数学は25年くらいご無沙汰しています。

（最終的には、この式で、
0〜∞の定積分をしたいのですが、それに先立ち、）
この式の不定積分を教えていただけると
ありがたいです。よろしくお願いします。
No.11926 - 2010/10/16(Sat) 20:52:15
☆ Re: 不定積分 / rtz
検索すれば幾つか出てくるでしょう。
ttp://d.hatena.ne.jp/arakik10/20090630/p1
など。
No.11927 - 2010/10/16(Sat) 21:28:57
☆ Re: 不定積分 / 電気屋 LPF
有難うございました。助かりました。
No.11928 - 2010/10/16(Sat) 21:59:16
★ 基底の延長定理？の証明 / rio
定理1.5.7の帰納法の証明の骨子がつかめません
証明4行目の「仮定法の仮定を適用する」というところで
「仮定法の仮定」とは何のことで、「適用する」とは何をしているのかがわかりません。
宜しくお願い致します。
No.11925 - 2010/10/15(Fri) 18:35:50
☆ Re: 基底の延長定理？の証明 / ast
お書きの内容だけからでは何に引っかかっているのかちょっとよくわからないですが,　高校で数学的帰納法は履修済みと思うのでそのつもりで書きます.

定理の内容を, (はじめに与えられる生成系に属するベクトルの個数) n を一つ止めるごとに定まる命題 P(n) の集まりとみなして, 全ての自然数 n に対して P(n) が真であることを主張するものと読み替えるというのが, 「n に関する (数学的) 帰納法で示す」という文言が暗黙に含む内容であるととりあえず理解してください. つまり, 本問では P(n) は「ベクトル空間 V に n 個のベクトルからなる生成系 {x_1, ..., x_n} で（省略）は V の基底である」ということを指します.
# もとの問題文との差異がわからんという場合は, 高校でやるように杓子定規に「n=k のとき〜」などと書いて P(k) などを考えればいいと思いますが, 悪戯に文字を増やすだけにしかならないので普通はしません.
# また, 実際には m も 0 ≤ m ≤ n の範囲で任意の値をとりうる定数ですが, (自明な場合を例外として先に処理してしまえば) 議論が m に依存しない形で (たまたま) 展開できるので, 目立ったところには出てきていませんし, 以下でも特には言及しません.

周知のように, 帰納法の肝は "「P(n-1) が真と仮定する」ならば必ず P(n) もまた真" を示すところにあり, 「P(n-1) が真と仮定する」がいわゆる「帰納法の仮定」です.
# 仮定法ではありません, 仮定法は英語だかフランス語だかの文法です :-)

そして,「帰納法の仮定を適用する」とは文字通り, P(n-1) が真であることから導き出される事実を確認することです. P(n-1) が真であるとはどういうことかを適用する対象に即して書き出すことだといっても良いでしょう. 本問では, n-1 個のベクトルからなる生成系が取れるような (任意の) 部分空間では定理の主張するような方法 (既知の一次独立系に一次従属となる「余分なベクトル」を省きながら, 番号の若い順に一次独立なベクトルを付け加えていく方法) で基底が本当にとれるということです.

しかし, もしかすると rio さんがわからないと仰るのは帰納法自体ではなく, 仮定を適用するために行う場合わけの指針が立たないということではないかと邪推しています.

まず, 本問よりも前にどうやら既に一次独立系にベクトルをうまく増やせば基底に延長できるという「不足系から増やす」方向の定理が登場しているようですが, 本問はこれとはむしろ逆に「過剰系から減らす」方向で基底が取れるということを述べており, 実際そのあとの「系」ではそれらをまとめた形に述べてあります.

これを踏まえて, あるベクトルが余分なベクトルなのか必要なベクトルなのかを考えます (これが証明の骨子だと私は思います). そして, そのようなことを検討するベクトルとしては, i_j たちの選び方から x_n に注目するのが妥当であり, 模範解答では先に x_n が余分だった場合と, 後で x_n が必要となる場合を述べて, いずれの場合も P(n-1) として処理できる形に帰着できることを用いています.

# 明らかなことではありますが, ここで (特に後者の場合に), {x_1, ..., x_n} と {x_1, ..., x_[n-1]} から選び出される i_1, ..., i_[r-1] は必ず一致する (i_r は除く) ことにも一応注意しておいたほうが良いでしょう (解答では {i_1, ..., i_r} は既に選び出された後で場合わけが始まりますが, このことは i_r = n のときに W の基底がそれらの i_j たちを使って得られることの理由になります).
No.11969 - 2010/10/18(Mon) 03:47:45
☆ Re: 基底の延長定理？の証明 / rio
ありがとうございます。少し考えさせて頂きたいと思います。
No.12024 - 2010/10/23(Sat) 11:21:46
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