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★ 二次関数 / チーは高3
【質問】
kは実数の定数とする。xの定義域は,-1≦k≦-1/2のとき-1≦x≦(4k+1)/3,-1/2＜k＜1/2のとき(4k-1)/3≦x≦(4k+1)/3,1/2≦k≦1のとき(4k-1)/3≦x≦1である。

この定義域のもとで二次関数y=3x^2-6kx+4k^2の最大値と最小値を求めなさい。


軸がkですが、この軸は三つの定義域のどこに含まれるのでしょうか？定義域と軸に同じ文字が入っていて状況がこんがらがります。
解説をどうかお願いします。
No.14115 - 2011/06/30(Thu) 03:25:00
☆ Re: 二次関数 / X
(i)-1≦k≦-1/2のとき
-1≦x≦(4k+1)/3ですので
軸は少なくとも定義域の左端より右側にあります。
そこでkと(4k+1)/3の大小関係を比較すると
(4k+1)/3-k=(k+1)/3≧0
∴k≦(4k+1)/3
つまり軸は問題の定義域の範囲内にあります。
範囲内のどちら寄りかは、定義域の中点である
x={1+(4k+1)/3}/2
とkとを比較しましょう。

以下
(ii)-1/2＜k＜1/2のとき
(iii)1/2≦k≦1のとき
で同様に端点の値(必要であれば定義域の中点の値)と
kとの大小関係を考えます。
但し、kの値が変わっていることに注意しましょう。
No.14116 - 2011/06/30(Thu) 08:31:02
☆ Re: 二次関数 / チーは高3
回答をしてくださってありがとうございます！
kは三つの定義域-1≦x≦(4k+1)/3,(4k-1)/3≦x≦(4k+1)/3,(4k-1)/3≦x≦1のうち-1≦x≦(4k+1)/3に含まれるということでしょうか？一番左側の定義域に軸が含まれるのならk=1のときに最大値をとるのではないのですか？なぜx={1+(4k+1)/3}/2というものが出てくるのでしょうか？
No.14117 - 2011/06/30(Thu) 15:50:26
☆ Re: 二次関数 / X
＞＞〜に含まれるということでしょうか？
違います。
問題文の書き方に惑わされるかもしれませんが、この問題では、
3種類のkの値の範囲に対して、それぞれに対応している
定義域における最大値と最小値を別々に考えるのであって、
3つの定義域で問題の二次関数を同時に分割して考えている
わけではありません。
つまり
(i)-1≦k≦-1/2のとき
は-1≦x≦(4k+1)/3における最大値、最小値
(ii)-1/2＜k＜1/2のとき
は-1≦x≦(4k+1)/3における最大値、最小値
(iii)1/2≦k≦1のとき
は(4k-1)/3≦x≦1における最大値、最小値
をそれぞれ求める必要があり、最終的な解答は
最大値、最小値の組が３つということになります。

>>一番左側の定義域に軸が含まれるのなら〜
上記の場合分けの話を読んでもう一度考えてみて下さい。
No.14123 - 2011/07/01(Fri) 05:00:28
☆ Re: 二次関数 / チーは高3
回答ありがとうございました。無事解決しました。
No.14148 - 2011/07/03(Sun) 00:26:34
★ (No Subject) / せつな
はじめまして、解法をおしえてください

曲線y=X^2+5X+2と直線y=x+kが接する

このとき定数kの値は？
No.14112 - 2011/06/28(Tue) 00:31:11
☆ Re: / mokomoko
x^2+5x+2=x+kが重解を持てばいいので、判別式=0となるkを求めます。
No.14113 - 2011/06/28(Tue) 01:34:46
☆ Re: / せつな
ありがとうございました
No.14114 - 2011/06/29(Wed) 02:30:56
★ 高2　数列 / れいひゃー
(1)1+2・3+3・3^n+・・・・+n・3^(n-1)を求めよ

(2)x≠1のとき、1+4x+7x^2+・・・・+(3n-2)x^(n-1)



答えは
(1){1+(2n-1)3^n}/4

(2){1+2x-(3n+1)x^n+(3n-2)^(n+1)}/(1-x)^2

です
教科書に似たような例題があって、
そっちでしていたように

S-2S＝・・・・・

と言う感じでしていたのですが
何度やっても違う答えが出てきました
説明をお願いします・・
No.14109 - 2011/06/27(Mon) 20:28:07
☆ Re: 高2　数列 / ヨッシー
(1)
Ｓ＝1+2・3+3・3^2+・・・・+n・3^(n-1)　とおきます。
３Ｓ＝1・3+2・3^2+・・・・+(n-1)・3^(n-1)+n・3^n
上式から下式を引いて
　−２Ｓ＝1−n・3^n＋{3+3^2+・・・+3^(n-1)}
　　＝1−n・3^n＋(3^n−3)/2
よって、Ｓ＝{(2n-1)3^n＋1}/4

(2)
Ｓ＝1+4x+7x^2+・・・・+(3n-2)x^(n-1)　とおきます。
ｘＳ＝1x+4x^2+・・・・+(3n-5)x^(n-1)+(3n-2)x^n
上式から下式を引くと
(1-x)Ｓ＝1−(3n-2)x^n＋3{x＋x^2＋・・・＋x^(n-1)}
　　＝1−(3n-2)x^n＋3(x^n-x)/(x-1)
よって、
　Ｓ＝{1+2x-(3n+1)x^n+(3n-2)x^(n+1)}/(x-1)^2

それぞれ、普通の等比数列の和の計算は省略しました。
No.14111 - 2011/06/27(Mon) 23:18:19
★ (No Subject) / mania
m,nは自然数で互いに素ならば、2^m-1,2^n-1も互いに素であることを示せ。

解）対偶を証明する。以下modpとする。
2^m-1,2^n-1がともに素因数ｐをもつ、すなわち
2^m≡1,2^n≡1（modp)・・?@
とする。

いま、2^i≡１（modp)をみたす最小の自然数iをｋとし、
2^1,2^2,2^3、・・・をｐで割ったあまりをa1,a2,a3,・・・
とすると
数列｛an｝はa1,a2,a3,・・,ak（＝１）の繰り返しである。

よって2^i≡１（modp)すなわちai＝１をみたす自然数iはｋ、２ｋ、３ｋ、・・・である。

したがって?@をみたすｍ、ｎはともにｋの倍数であるが
ｋ＝１ではない。（なぜならば


このあとの回答が分からないので教えて下さい。よろしく御願いします。
No.14106 - 2011/06/27(Mon) 06:01:02
☆ Re: / らすかる
2^1を素数で割った余りは0か2であり、1になることはない）
No.14107 - 2011/06/27(Mon) 09:21:10
☆ Re: / mania
2^1を素数で割った余りは0か2であり、1になることはない,というのは分かりますが、これが何の関係があるのかが全く分かりません。もう少し詳しい解説を頂きたいです。よろしく御願いします。
No.14108 - 2011/06/27(Mon) 19:26:25
☆ Re: / らすかる
「このあとの回答」を質問されていたので
「なぜならば」に続く文を書いたんですが…

k=1ならばa1=a2=a3=…=1 ですが
a1=(2^1をpで割った余り) が1になることはありませんから
k≠1ということです。
No.14110 - 2011/06/27(Mon) 22:43:35
★ (No Subject) / ケレンスキー
放物線ｙ＝ｘ＾２と直線ｙ＝−ｘ−１がある。この直線上の点で放物線との距離が最小となる点の座標と、その距離の最小値を求めよ。

わかりません、よろしくお願いします。
No.14080 - 2011/06/24(Fri) 23:21:11
☆ Re: / ヨッシー


y=-x-1 を平行移動して、放物線に接するまで動かしたとき、
接点から、元の直線に下ろした垂線の長さが求める距離で、
垂線の足が求める点です。
No.14083 - 2011/06/25(Sat) 01:46:55
☆ Re: / ケレンスキー
ありがとうございます。答案の半分くらいまで教えていただけないでしょうか。
No.14100 - 2011/06/25(Sat) 18:54:27
☆ Re: / ヨッシー
微分が使える場合
　ｙ＝ｘ^2　を微分して、　ｙ＝２ｘ
　接線の傾きが−１になるｘは、２ｘ＝−１　より　ｘ＝-1/2
　よって、接点は、(-1/2, 1/4)
微分が使えない場合
　接線の式を　ｙ＝−ｘ＋ｋ とします。ｙ＝ｘ^2 と連立させて、
　　ｘ^2＝−ｘ＋ｋ
　　ｘ^2＋ｘ−ｋ＝０
　判別式をとって、
　　１＋４ｋ＝０　より　k=-1/4
　このとき、ｙ＝ｘ^2 と ｙ＝−ｘ−1/4 の解は、
　ｘ＝-1/2、ｙ＝1/4 よって、接点は (-1/2, 1/4)

とりあえず、接点を求めてみました。
No.14101 - 2011/06/25(Sat) 20:34:53
☆ Re: / ケレンスキー
やっとわかりました。ありがとうございました。
No.14102 - 2011/06/25(Sat) 22:47:15
☆ Re: / ケレンスキー
やっとわかりました、ありがとうございました。
No.14103 - 2011/06/25(Sat) 22:47:49
★ (No Subject) / 怪談レストラン
問い１（参考）
実数x、yがx^2+y^2=1の関係を満たして変化する時、２x＋yのとりうる値の最大値を求めよ。

答案（写しました）
2x+yがｋという値を取りうるための条件は
x^2+y^2=1かつ２x＋y＝ｋを満たす実数ｘ、ｙが存在することであり、この条件はx^2+(k-2x)^2=１・・?@を満たす実数xが存在することと同値。?@は５x^２−４kx＋k^２−１＝０となり、これらを満たす実数ｘが存在する条件はD/4≧０⇔ｋ^２≦５　これを満たす最大のｋが答えで、それは√５


問い２（参考）
ｘ、ｙは実数で(x^2+y^2)^2=x^２−y^２であるときx^２＋（１−y）^２の最大値を求めよ。

答案（写しました）
x^２＋（１−y）^２がｋという値をとりうるための条件は
(x^2+y^2)^2=x^２−y^２・・?@かつx^２＋（１−y）^２＝ｋ・・?Aをみたす実数ｘ、ｙが存在することである。?Aをｘについて解いて?@に代入すると
６y^2＋２（２k−３）y＋k^２−３k＋２＝０・・?Bが得られる。この?Bを満たす実数yが存在することが必要条件でD/4≧０⇔3−√３/2≦ｋ≦３＋√３/2
ｋ＝（３＋√３）/2・・(※)のとき?Bのｙは重解でｙ＝−√3/6、?Aの式はx^2＝（３＋√３）/2−（１＋√３/6）^２＞０となり?Aをみたす実数ｘが存在することになり、（※）が答え。


問い３：実数x、yがx^2+y^2=1の関係を満たして変化する時、x^2+4yのとりうる値の最大値を求めよ。

問い１，２に倣って作った私の答案：
x^２＋４yがｋという値をとりうるための条件は
x^2+y^2=1・・?@かつx^２＋４y＝ｋ・・?Aをみたす実数x、yが存在することである。
?@ を?Aに代入してy^2−４y＋k−1＝０・・?Bを満たすｙが存在することが必要条件で
D/4≧０⇔5≧ｋ
ｋ＝５・・（※）のとき?Bは重解ｙ＝２、?Aの式はx^2＝５−４×２＜０となり?Aをみたす実数ｘが存在しないことになり、（※）が答えとならない。

問い1問い２と全く同じように解いたのですが答えは出ませんでした。どこが駄目なのでしょうか。
そもそも存在条件に結びつけるやり方では問い３は解けないということなのでしょうか。よろしく御願いします。
No.14078 - 2011/06/24(Fri) 19:21:58
☆ Re: / X
問い2を参考にして解いたと思いますが、その問い2で
＞＞６y^2＋２（２k−３〜必要条件で
の「必要条件」に注目して下さい。
これは必要条件であって十分条件ではありません。
(ですから後で十分性を確かめているわけですが。)
問い２の場合はそれでも十分性が満たされたので
問題ありませんでしたが、怪談レストランさんの
答案通り、問い３では同じようなわけにはいけません。

ではどうするかですが、どこで十分性が抜けるのか
を考えます。

さて、問い２と同じように
x^2+y^2=1 (1)
x^2+4y=k (2)
から二次方程式に持っていくために、yを消去するわけですが
この際にxが実数であるための条件が抜けているのが
十分性が満たされない理由です。
(2)より
x^2=k-4y
ですがxは実数ですので
k-4y≧0
∴k/4≧y (P)
従って求める条件は
y^2-4y+k-1=0 (3)
が(P)のような実数解を持つ条件となります。

この考えから逆に問い２も同じ方針で解けるのではないか？
という疑問がわくと思いますが実際その通りです。
ですが、問い２の場合はその条件が煩雑になるので
敢えて避けているようです。
(とりあえず必要条件を考えて、後で十分条件を考えてみたら
たまたまうまく行ったという感じだと思います。)
No.14081 - 2011/06/24(Fri) 23:27:00
☆ 回答ありがとうございます / 怪談レストラン
?@かつ?A⇔?@かつ?Bより
x^2+y^2=1 (1)
でxは実数だから
−１≦y≦１(P)
従って求める条件は
y^2-4y+k-1=0 (3)
が(P)のような実数解を持つ条件と考えた方が実践的だと思ったのですがどうでしょうか。。

そうしますと
問い１は
x^2+y^2=1かつ２x＋y＝ｋ
⇔x^2+(k-2x)^2=１かつ２x＋y＝ｋ
問い３は
x^2+y^2=1 かつx^2+4y=k
⇔(k-4y)^2+y^2=1 かつx^2+4y=k

ですが、しかし、
問い３だけx^2+y^2=1 (1)
でxは実数だから
−１≦y≦１(P)
の作業を行なっています。

問い３と同じ理屈なら
問い１は単に『x^2+(k-2x)^2=１が存在する条件』ではなく、『‘−１≦x≦１をみたすような’x^2+(k-2x)^2=１が存在する条件』となるのが筋じゃないでしょうか。
なぜ問い3ではx^2=1-y^2≧０より1≧ｙ＾２の作業が必要で
問い１ではy^2=1-x^2≧０より１≧ｘ＾２の作業が必要でないのか、また、問い１ではy^2=1-x^2≧０より１≧ｘ＾２の作業が必要でないのに、なぜ問い3ではx^2=1-y^2≧０より1≧ｙ＾２の作業が必要なのか、そこをどうか教えて下さい。よろしく御願いします。
No.14084 - 2011/06/25(Sat) 03:39:22
☆ Re: / angel
> 問い１は単に『x^2+(k-2x)^2=１が存在する条件』ではなく、『‘−１≦x≦１をみたすような’x^2+(k-2x)^2=１が存在する条件』となるのが筋じゃないでしょうか。

はい。確かに筋です。
ですが、問い1に関しては -1≦x≦1 の条件を「結果的に」考慮する必要がなくなるため、省略していると見なしてください。もちろん省略しなくとも間違いにはなりませんので、自信がなければ安全側 ( 省略せずに書く方 ) に倒した方が良いでしょう。
※解答として書かなければいけないことと、問題を解く上で考えなければいけないことは、必ずしも同じではないのです。
No.14089 - 2011/06/25(Sat) 11:08:26
☆ 違い / angel
では問い1と問い3の違いを改めて見てみましょう。

問い1：
x^2+(k-2x)^2=1 という方程式は、x^2+y^2=1, 2x+y=k の両方を満たす時の x の条件として導かれたものでした。
なお、k-2x=y の形にして代入し直せば、この方程式はまた x^2+y^2=1 の形に戻せます。そのため、
　x^2+y^2=1 かつ 2x+y=k ⇔ x^2+(k-2x)^2=1 かつ 2x+y=k
という同値関係が成立します。

ここで、ある k に対して x が解を持つとし、その解の1つをx=αとしましょう。つまり α^2+(k-2α)^2=1 は既に成立しているものとします。
そうすると、y=k-2α という対応する「実数」を無条件で考えることができて、これは 2x+y=k を満たします。
で、同値関係なので、(x,y)=(α,k-2α) というのは当然のように x^2+y^2=1 かつ x+2y=k も満たします。
そこから x^2+y^2=1 ⇔ x^2=1-y^2 ⇒ -1≦x≦1 という条件が自動的に導けますから、「結果的に」-1≦x≦1 となるかどうかを考えなくても良かった、というわけです。( ならないはずがないから )


問い3：
同じように整理すると、
　x^2+y^2=1 かつ x^2+4y=k ⇔ (k-4y)+y^2=1 かつ x^2+4y=k
という同値関係が導けます。

ところが、ある k に対して (k-4y)+y^2=1 が解 y=β を持ったとしましょう。その時に、x^2=k-4β を満たす「実数」x があるとは限らないのです。それは k-4β≧0 である保証がないから。
※問い1 の場合は、2x+y=k と一次式の条件だったため、x=αに対応する「実数」y=k-2αが無条件に作れたのです。今回は2次式の条件というのが大きく影響しています。

ということで、単純に y の解があるかどうかを考えるだけではダメ、ということになります。
素直に考えると、「y≦k/4 を満たすような解 y が存在する」と条件を厳しくすれば良いように思えるのですが、k 自体が固定された値ではないので結構面倒です。なので別口として、-1≦y≦1 という条件を引っ張ってきているわけです。
No.14090 - 2011/06/25(Sat) 11:41:15
☆ 問い3別解 / angel
問い3に関しては、次のような別解も考えられます。

X=x^2 とおく。このとき X≧0 である。
すると、
　x^2+y^2=1 かつ x^2+4y=k
　⇔ X≧0 かつ X+y^2=1 かつ X+4y=k
　⇔ X≧0 かつ X+( (k-X)/4 )^2=1 かつ X+4y=k
Xに関する2次方程式 X+( (k-X)/4 )^2=1 が X≧0 なる解を持つためには…(中略)…より -4≦k≦4 ( ※必要十分です )
よって、k=4 が最大値

この解であれば、-1≦x≦1 や -1≦y≦1 のことは「結果的に」考えなくても良くなります。X≧0 を考慮するだけで吸収できていますから。
No.14091 - 2011/06/25(Sat) 11:56:46
☆ Re: 回答有難うございます / 怪談レストラン
そこから x^2+y^2=1 ⇔ x^2=1-y^2 ⇒ -1≦x≦1 という条件が自動的に導けますから、「結果的に」-1≦x≦1 となるかどうかを考えなくても良かった、というわけです。( ならないはずがないから )の部分が分かりません。また、そこからとはどこからですか？

x^2+(k-2x)^2=1 をみたす実数ｘが存在すればy=k-2xよりｙも自動的に実数として存在することは分かりました。


よろしく御願いします。
No.14095 - 2011/06/25(Sat) 14:36:07
☆ 「そこ」とは / angel
> また、そこからとはどこからですか？
「そこ」とは、直前にある
　(x,y)=(α,k-2α) というのは当然のように x^2+y^2=1 かつ x+2y=k も満たします。
のことを指します。

> 「結果的に」-1≦x≦1 となるかどうかを考えなくても良かった、というわけです。( ならないはずがないから )

結局問い1の解答の中では、(x,y)の組み合わせとして「x^2+y^2=1を満たす実数」しか登場させていないのです。
※(x,y)=(α,k-2α)というのもそういう組み合わせです。

そもそもなぜ-1≦x≦1の条件を考えようとしたかというと、(x,y)の組み合わせを作りだす時に、うっかりx^2+y^2=1を満たさない不適切な組にならないかをチェックしよう、という目論見があったはずです。つまり -1≦x≦1 の範囲に収まらなければ不適切、ということで。
でも今回、x^2+y^2=1を満たす組み合わせしか作っていません ( xが解を持てば、対応するyが必ず作れる ) から、「うっかり不適切な」組はありえないことですし、-1≦x≦1 は当然成立するというわけです。
※念のため再掲しますが、x^2+y^2=1 ⇔ x^2=1-y^2 ⇒ -1≦x≦1 ですから。

で、問い3は状況が違います。
(k-4y)+y^2=1 が単純に解を持つように例えば k=5 を考えた場合、yだけを見れば解は y=2 となります。
しかし x^2=k-4y を満たす実数xは存在していませんから、条件を満たす(x,y)の組はナシとなります。
ここでもし x の存在を考えることなく y が解を持つだけで満足してしまうと、(x,y)=(何か,2) という x^2+y^2=1 を満たない不適切な組み合わせを作り上げてしまったことになるのです。だからこそ、-1≦y≦1 という範囲チェックか、もしくは何か別のチェック ( 上であげた別解のX≧0のような ) が必要なのです。

結局のところ重要なのは、「存在」が当然なのか当然ではないのか、という所ではないでしょうか。
No.14097 - 2011/06/25(Sat) 15:30:36
☆ Re: / 怪談レストラン
-1≦x≦1と -1≦ｙ≦1がごちゃごちゃになっていませんでしょうか？ところどころ意味が分からなくなってきます。例えばx^2+y^2=1 ⇔ x^2=1-y^2 ⇒ -1≦x≦1 など。-1≦y≦1でいいんですよね？
結局のところ
問い１は
x^2+y^2=1かつ２x＋y＝ｋ・・?T
⇔x^2+(k-2x)^2=１かつ２x＋y＝ｋ・・?U
で?Uの式に
x^2+y^2=1はないからx^2+y^2=1 ⇔ x^2=1-y^2≧０は考えなくてよい。x^2+(k-2x)^2=１かつ２x＋y＝ｋの式だけに集中してよい。
問い３は
x^2+y^2=1 かつx^2+4y=k
⇔(k-4y)^2+y^2=1 かつx^2+y^2=1
でx^2+y^2=1があるからx^2=1ーy^２≧０の条件も入ってくる

という理解で合っていますか？
No.14104 - 2011/06/26(Sun) 04:35:41
☆ Re: / X
横から失礼します。

angelさんのNo.14090,No.14097の回答の
>>x^2+y^2=1 ⇔ x^2=1-y^2 ⇒ -1≦x≦1
ですがこれは
x^2+y^2=1 ⇔ y^2=1-x^2 ⇒ -1≦x≦1
のタイプミスだと思います。
(文脈から見て-1≦x≦1となる理由を載せたかったと
思われますので)
そこを補った上でもう一度ご覧下さい。

>>結局のところ〜という理解で合っていますか？
それで問題ないと思います？。
No.14127 - 2011/07/01(Fri) 11:07:32
☆ Re: / angel
遅くなって申し訳ありません。また、Xさんフォローありがとうございます。
> -1≦x≦1と -1≦ｙ≦1がごちゃごちゃになっていませんでしょうか？

いいえ。
もともと問い1.は、xの2次方程式の解に対して範囲のチェックを行うかどうかの話なので、-1≦x≦1 ( -1≦y≦1 ではなく ) です。
逆に問い3.は、yの2次方程式の解に対して同じく範囲のチェックを行っている話なので、-1≦y≦1 です。
そこを逆に書いたりはしていないはずですね。

>>>x^2+y^2=1 ⇔ x^2=1-y^2 ⇒ -1≦x≦1
>ですがこれは
>x^2+y^2=1 ⇔ y^2=1-x^2 ⇒ -1≦x≦1
>のタイプミスだと思います。
タイプミスではないのですけどね…
もっと丁寧に書くなら x^2+y^2=1 ⇔ x^2=1-y^2 ⇒ x^2≦1 ⇔ -1≦x≦1 のことですから。
※xが焦点になっているので、xを左辺に持ってきているだけのこと

ひょっとして x^2+y^2=1 ⇔ x^2=1-y^2 ときたら、次は 1-y^2≧0 ⇔ -1≦y≦1 と来るしかないと思っていたとか？
だとしたら申し訳ないところですが、それはちょっとどうかとも思います。

>>>結局のところ〜という理解で合っていますか？
>それで問題ないと思います？。
その理解に問題はないと思います。
※ただ、「なぜOK/NG」ではなく、「どの形ならOK/NG」で解釈しているとすると、ちょっと危うい気がします。
No.14138 - 2011/07/02(Sat) 09:21:39
★ (No Subject) / refresh
数列｛a(n)}（n=1,2・・）は連続する三項について
a(2n-1),a(2n),a(2n+1)(n=1,2・・・）はいずれも等差数列をなし、
a(2n),a(2n+1),a(2n+2)(n=1,2・・・）はいずれも等比数列を

なすという。a(1)=1,a(2)=２のときa(2n)を求めよ。

答え）a(2n)=(n+1)^2/2(n=1,2・・・）であることを数学的帰納法で証明する。
?T）a(2)=2=(1+1)^2/2によりn=1のときは正しい
?U）n=1,2,・・・,kのとき正しいとすると
・・・（略）・・・ｎ＝ｋ＋１の時も正しい
※a(2k),a(2k-2),・・・,a(4),a(2)の仮定と書いてありました
とあるのですがこの帰納法の仕組みが分かりません。
どうぞよろしく御願いします。
No.14076 - 2011/06/24(Fri) 15:15:38
☆ Re: / X
最初に習う数学的帰納法の考え方は
(i)n=1のときの成立を証明
(ii)n=kのときの成立を仮定したとき、n=k+1の成立を証明
この２つにより、n=1,2,…の場合の成立の証明が
n=1のときに成立するのでn=2のときも成立する
n=2のときに成立するのでn=3のときも成立する
…
となります。
それに対してこの問題での数学的帰納法の証明方法は
(ii)の場合の成立を仮定するnの条件が
n=k
の場合のみではなく
n≦k
となるような場合にしてあります。
((∵)問題の条件でn=2k-1の場合を使う必要があるため)
従ってこれが証明されると
n=1の時に成立するのでn=2のときも成立する
n=1,2の時に成立するのでn=3のときも成立する
n=1,2,3の時に成立するのでn=4のときも成立する
…
となります。
No.14077 - 2011/06/24(Fri) 18:49:01
☆ Re: / refresh
ありがとうございます。普通の帰納法とは違うということだけは分かりました。

この回答の帰納法は
n＝１（?T）→「ｎ＝２、ｎ＝３」→「ｎ＝１，２，３」→・・・の形で全ての自然数ｎをカバーしているかのようですが実は最初の→が言えません。(?U）の議論ではa(2k),a(2k-2)の二つの仮定をしているので最初のｎ＝１だけの用意では?U）が適用できないからです。とあります。これについても詳しく御願いします。まだ、この帰納法の仕組みがよく分からないです。よろしくおねがいします。
No.14086 - 2011/06/25(Sat) 05:33:18
☆ Re: / シャロン
> この回答の帰納法は
> n＝１（?T）→「ｎ＝２、ｎ＝３」→「ｎ＝１，２，３」→・・・の形で全ての自然数ｎをカバーしているかのようですが実は最初の→が言えません。(?U）の議論ではa(2k),a(2k-2)の二つの仮定をしているので最初のｎ＝１だけの用意では?U）が適用できないからです。

k=1のとき、a(2k-2)とはつまりa(0)だが、{a(n)}は添え字が1から始まるので、a(0)は定義されないし、
a(0)が仮に定義できたとして、a(1), a(2)から等比数列の漸化式で計算できるか保証されない(あくまで、等比数列の漸化式はn≧1で成り立つことしか仮定されていない)から。
No.14087 - 2011/06/25(Sat) 07:19:33
☆ 変則的に見える帰納法 / angel
Xさんの説明にある
> n=1の時に成立するのでn=2のときも成立する
> n=1,2の時に成立するのでn=3のときも成立する
> n=1,2,3の時に成立するのでn=4のときも成立する
というのは、一見変則的に見えますが、これも立派な帰納法です。

ある変数nを含んだ命題をP(n)とします。
良くある帰納法は、
　・P(1)が成立する
　・P(k)⇒P(k+1)も成立する ( P(k)が成立するならば、P(k+1)も成立する )
　・よって、任意のnに対してP(n)が成立する
という形になります。

では、今命題 Q(n) を m≦n⇒P(m) ( n以下の全てのmに対してP(m) ) としてみましょう。
すると、
　・P(1)が成立する
　　⇔ Q(1)が成立する
　　(∵1以下の全てのmに対してP(m)が成立するため )
　・( m≦k⇒P(m) )⇒P(k+1)が成立する
　　※k以下の全てのmに対しP(m)が成立するならば、P(k+1)も成立する
　　⇔ Q(k)⇒P(k+1)が成立する
　　⇔ Q(k)⇒( Q(k)かつP(k+1) ) が成立する
　　　(∵A⇒B は A⇒(AかつB) と同値のため )
　　⇔ Q(k)⇒Q(k+1)が成立する
　　　(∵Q(k+1) は、「k+1以下の全てのmでP(m)」なので、
　　　　「k以下の全てのmでP(m)」かつ「P(k+1)」と同値。
　　　　つまり、Q(k+1)⇔Q(k)かつP(k+1)
ということで、実はこれはQ(n)に関する帰納法になっていて、「任意のnに対してQ(n)が成立する」ということが言えます。
そうすると、
　任意のnに対してQ(n)が成立する
　⇔ m≦nである任意のm,nの組に対して P(m)が成立する
となるので、結局「任意のnでP(n)が成立する」ということと同じことを言っているわけです。
No.14093 - 2011/06/25(Sat) 14:07:33
☆ 普通の帰納法を使った解法 / angel
今回は、上で説明した「変則的に見える」帰納法を使わなくとも、普通の帰納法で証明することもできます。

まず問題を整理します。
数列b[n], c[n] を、
　b[n]=a[2n-1]
　c[n]=a[2n]
として置いた時、a[n]の条件は次のように言い換えられます。
　等差数列条件 … b[n]+b[n+1]=2c[n]
　等比数列条件 … c[n]・c[n+1] = b[n+1]^2
　初期値条件 … b[1]=1, c[1]=2

そうすると、
　b[n]=n(n+1)/2 かつ c[n]=(n+1)^2/2
という命題については、通常の帰納法で証明できます。
で、これは目的である a[2n]=(n+1)^2/2 ( ⇔c[n]=(n+1)^2/2 ) を含んでいるので、もう十分となるわけです。
No.14094 - 2011/06/25(Sat) 14:23:48
☆ Re: / refresh
回答ありがとうございます。

シャロンさんの説明は何かの理由を教えてくださっているようですが、何の理由を述べているのかよくわかりません。

angelさんの回答も抽象的すぎて私には無理でした。すみません。ちなみに14086の回答はどの部分だったのでしょうか。。
No.14096 - 2011/06/25(Sat) 15:04:13
☆ 思惑というか / angel
> angelさんの回答も抽象的すぎて私には無理でした。
それは申し訳ありません。
まあ、14093の内容については無理しなくても問題はありませんから、気になさらずに。

> ちなみに14086の回答はどの部分だったのでしょうか。。
14093については、
>> まだ、この帰納法の仕組みがよく分からないです。
という14086のコメントに対して、Xさんが14077で挙げた帰納法を別の角度で説明しようとしたものです。

>> 実は最初の→が言えません。
の部分については、私は何も回答していません。

で、14094の別解は14086に対する直接の回答ではありませんが、こっちの方は普通の帰納法なので理解しやすいと思います。( 逆にこれは理解できるまで考えてほしい )
分かりやすい別解があるなら、難しい模範解答例にこだわる必要はないと、私は思っていますから…
※というか、今回「変則的に見える帰納法」は必要ないでしょうから。
No.14098 - 2011/06/25(Sat) 15:53:27
☆ Re: / シャロン
>(?U）の議論ではa(2k),a(2k-2)の二つの仮定をしているので最初のｎ＝１だけの用意では?U）が適用できないからです。とあります。

「n=kのとき、成り立つ」という仮定で、計算式内にa(2k-2)を使用することになりますが、
では、n=1のときのa(2k-2)ってなに？
どうやって計算するの？
ということです？
No.14099 - 2011/06/25(Sat) 16:17:02
★ (No Subject) / ボールペン
正三角形ABCを正三角形ABCの内部または辺上にある点を中心として一回転させた時の三角形ABCの辺が通過する領域を求めたいのですが、どうやって作図すればよいのでしょうか？作図の方法が知りたいです。よろしく御願いします。
No.14072 - 2011/06/24(Fri) 12:40:33
☆ Re: / X
中心を取る点をPとします。
例えば辺ABが通過する領域を作図したい場合
(i)点Pが辺AB上にある場合
線分AP,BPの内で長い方を半径とする点Pを中心とする円
を描くと、求める領域はこの円の周及び内部になります。

(ii)点Pが辺AB上にない場合
点Pから辺ABに下ろした垂線の足をQとすると
求める領域は
線分AP,BPの内で長い方を半径とする点Pを中心とする円
と
線分PQを半径、点Pを中心とする円
に囲まれたドーナツ状の領域(境界含む)
となります。

辺BC,CAに対しても同様に考えます。
No.14073 - 2011/06/24(Fri) 13:09:38
☆ Re: / ヨッシー
中心点が辺から離れている場合がイメージ出来れば、
辺上に中心がある場合も、大体想像できるでしょう。

あとは、３辺について同じことを考えれば良いです。
No.14074 - 2011/06/24(Fri) 14:01:01
☆ Re: / ボールペン
解説有難うございます。解説の内容は理解できました。
しかし、PがAB上にあるにしろ、ないにしろBC,ACの辺も個別に（Pを中心として）回転させるので、ABの通過領域とそれらのBC、ACの通過領域の重複部分こそが求める三角形ABCの辺の通過領域であるわけで、それをどうやって求めるのかが分かりません。
No.14075 - 2011/06/24(Fri) 15:02:58
☆ Re: / ヨッシー
問題文をそのまま載せてみていただけますか？
「通過領域の重複部分こそが求める・・・」と読み取れる文章なのか？
また、作図をすれば終わりなのか？半径まで求めるのか？
中心は、固定されているのか、至る所を動いた末の辺が通った
領域を求めるのか？
最初の文章では、曖昧な部分があるので。
No.14082 - 2011/06/25(Sat) 01:29:37
☆ Re: / ボールペン
問題は一辺の長さが２√3の正三角形ABCがある。今、三角形ABCの内部また辺上に点Pをとり、点Pを中心として三角形ABCを一回転させたとき、三角形ABCの辺が通過する部分の面積をS(P)とする。S(P)≦１０πをみたすような点Pの存在範囲の面積を求めよ。というものです。
No.14085 - 2011/06/25(Sat) 04:20:32
☆ Re: / ToDa
答えて差し上げたいのですが、なぜか7月10日まで答えてはいけないような気がするので、非常に心苦しいのですがそれまでお待ち頂けますでしょうか。
No.14092 - 2011/06/25(Sat) 13:33:09
★ 高2、指数関数 / 推薦とる！

√(1/2)、^2√(1/4)、^4√(1/8)
この3つを数の小さい順に並べなさい。

考え方がわからないです！
よろしくお願いします！
No.14067 - 2011/06/23(Thu) 23:22:13
No.14068 - 2011/06/23(Thu) 23:23:01
☆ Re: 高2、指数関数 / 推薦とる！
すみません！削除の仕方がわからず、3つ連投になってしまいました！ここに答えてくださると嬉しいです！
No.14069 - 2011/06/23(Thu) 23:24:42
☆ Re: 高2、指数関数 / シャロン
> √(1/2)、^2√(1/4)、^4√(1/8)

^4√は4乗根の意味ですね？
ネット上では、[4]√ のように書くことが一般的なので、この回答では[4]√のように書くことにします。

指数に関するいくつかの計算法則を確認しましょう。

1/a=a^(-1)、(a^b)^c=a^(bc)、[n]√a=a^(1/n)
また、a＞1では、b＜c ⇔ a^b＜a^cです。

それぞれが2の何乗になるかを考えましょう。
No.14070 - 2011/06/24(Fri) 01:17:46
☆ Re: 高2、指数関数 / らすかる
全部４乗するという手もありますね。
No.14071 - 2011/06/24(Fri) 07:19:11
★ お願いします / めぐ
はじめまして高３です。この問題の解説をお願いいたします。
実数a,bでa^2+b^2＞0として、変数θが連立不等式
asinθ+bcosθ≧0,acosθ-bsinθ≧0
を満たす範囲にあるとき、sinθの最大値を求めよ。
No.14064 - 2011/06/23(Thu) 20:41:09
☆ Re: お願いします / ヨッシー
a/√(a^2+b^2)＝cosφ
b/√(a^2+b^2)＝sinφ　とおくと、
　asinθ＋bcosθ＝√(a^2+b^2)sin(θ＋φ)≧０
　acosθ−bsinθ＝√(a^2+b^2)cos(θ＋φ)≧０
より、０≦θ＋φ≦π/2
　−φ≦θ≦π/2−φ
０≦−φ≦π/2　のとき、θ＝π/2 のとき　最大値　１
π/2＜−φ≦5π/4 のとき、θ＝−φ のとき
　最大値　sin(−φ)＝−b/√(a^2+b^2)
5π/4＜−φ＜2π　のとき、θ＝π/2−φ　のとき
　最大値　sin(π/2−φ)＝cosφ＝a/√(a^2+b^2)

まとめると、

No.14065 - 2011/06/23(Thu) 22:20:01
★ (No Subject) / cnn
放物線ｙ＝ｘ＾２上に原点０と同点P,QをかくPOQ＝９０度となるようにとるとき直線PQは定点を通る。その定点を求めよ。

解）Oは放物線の対称軸（ｙ軸）上にあるので定点も対称軸上にあることは明らかで、あとはP（１．１）、Q(１．−１）の場合を考えて、定点は（０，１）

なのですが定点も対称軸上にあることは明らか、とあるのですがなぜ明らかなのでしょうか？
どうかよろしくおねがいします。
No.14061 - 2011/06/23(Thu) 08:43:43
☆ Re: / シャロン
P(p,p^2)のときと、P'(-p,p^2)のときを考えると、対称性から、PQ,P'Q'はy軸上の1点Rでのみ交わることは明らか。

PQ,P'Q'が共通して通っているのはRのみなので、pを動かした場合に必ず通る点があるとすれば、R以外ない。
No.14062 - 2011/06/23(Thu) 10:06:51
☆ Re: / ヨッシー
放物線ｙ＝ｘ^2 上に原点０と動点P,Qをかく。∠POQ＝９０度となるようにとるとき直線PQは定点を通ることを示した上で、その定点を求めよ。

だと、大変ですが、「通る」と断定しているので、上のようで良いのですね。


No.14063 - 2011/06/23(Thu) 18:20:28
★ (No Subject) / ビリー

こんばんは。
高２女です。
スタンダードという問題集の問題なのですが
答えに解説がついておらず困っております；

★問題
方程式lx^2-4l-2x-k=0が異なる３つの実数解を持つとき、kの値を求めよ。


答え、k=4 、5


どうぞよろしくお願いします。
No.14057 - 2011/06/22(Wed) 21:20:03
☆ Re: / シャロン

> 方程式|x^2-4|-2x-k=0が異なる３つの実数解を持つとき、

とは、

|x^2-4|=2x-kが異なる３つの実数解を持つとき、

つまり、y=|x^2-4|...(★)とy=2x-kのグラフが3点のみを共有するときです。

★のグラフを描いて、そこに傾き2の直線を何本か書き加え、どういうときなら、共有点が3つになるか調べましょう。


kを大きい値から小さい値へ変化させて行くことで、

kが十分大きいときには、共有点は、x＜-2の領域と2＜xの領域に1つずつの計2つ
↓
あるkで、-2＜x＜2の領域で直線が★に接する
↓
それからしばらくは、x＜-2で1箇所、-2＜x＜2で2箇所、2＜xで1箇所、交わる状態になり、
↓
x=-2で直線と★が共有点を持つ状態になる。このとき、他に直線と★は、-2＜x＜2で1箇所、2＜xで1箇所、交わる
↓
それより小さいkでは、-2＜x＜2で1箇所、2＜xで1箇所共有
↓
さらにあるkで、x=2でのみ点を共有
↓
十分小さいkでは、直線は★と共有点を持たない


という変化を確認しましょう。
No.14059 - 2011/06/22(Wed) 21:56:50
☆ Re: / ビリー
ありがとうございます
解決しました！！！！！！
No.14105 - 2011/06/26(Sun) 16:19:38
★ (No Subject) / れいひゃー
次の計算をせよ


(1)128^(3/4)×32^(-1/5)×(log2(16))÷8^(3/4)

(2){[4]√(9/25)+[4]√(49/100)}{[4]√(9/25)-[4]√(49/100)}+[3]√50×[3]√(5/16)

(3)2^(x+1)+2^(2-x)=9

(4)log1/3(3x-2)≧log1/9(2-x)

(5)x^{log3(9x)}=(x/3)^8




です
答えが分からない上に、一気に5つも本当にすみません。
ですが
全部本当に分からないので教えてくださると嬉しいです
No.14056 - 2011/06/22(Wed) 19:57:35
☆ Re: / シャロン
(1)(2)
a＞0なら(a^b)^c=a^(bc)
(a^b)×(a^c)=a^(b+c)
(a^b)÷(a^c)=a^(b-c)
[n]√a=a^(1/n)
log[a](a^b)=b
を使って、計算しましょう。

例えば、(1)は2^xの形に直して計算しましょう。

(3)以降は、以下をxについて解け、と解釈して回答。

>(3)2^(x+1)+2^(2-x)=9
2^x=Xとおくと、X＞0で、
2^(x+1)=(2^x)×2=2X
2^(2-x)=(2^2)÷(2^x)=4/X
より、2X^2-9X+4=0からXを求め、x=log[2]Xとして解きます。


> (4)log1/3(3x-2)≧log1/9(2-x)
対数の底は曖昧にならないよう、[]でくくるなどしましょう。

log[1/3](3x-2)≧log[1/9](2-x)

底の変換公式
log[a]x=(log[b]x)/(log[b]a) (但し、a≠1、a,b,xはいずれも正)
を使用して、

log[1/3](3x-2)={log[3](3x-2)}/{log[3](1/3)}=-log[3](3x-2)

log[1/9](2-x)={log[3](2-x)}/{log[3](1/9)}=-{log[3](2-x)}/2

よって、-log[3](3x-2)≧-{log[3](2-x)}/2
∴log[3]{(3x-2)^2}≦log[3](2-x)
a＞1のとき、x＜yならa^x＜a^yなので、
3^[log[3]{(3x-2)^2}]≦3^{log[3](2-x)}
∴(3x-2)^2≦2-x
これを解いて、...。



> (5)x^{log3(9x)}=(x/3)^8
関数の定義域よりx＞0。したがって、式の値は正であり、両辺について3を底とする対数を取って

{(log[3]x)+2}(log[3]x)=8{(log[3]x)-1}

log[3]x=Xとおくと、
(X+2)X=8(X-1)
X^2-6X+8=0
これを解いて、x=3^Xから、...。
No.14058 - 2011/06/22(Wed) 21:38:41
★ 絶対値 / 匿名希望
はじめまして、40代のサラリーマンです。お忙しいところ大変おそれいりますが、以下の答えの解説をお願いいたします。

x＝π/2であるとき、|x-1|+|x-2|の値を求めよ。
答え　1

うーん、解説をいただければ幸いです。
よろしくお願いいたします。
No.14053 - 2011/06/22(Wed) 05:42:59
☆ Re: 絶対値 / シャロン
|x|は、

|x|=x (x≧0のとき)、
|x|=-x (x＜0のとき)

で定義される関数です。

2＜π＜4ですから、1＜x＜2。
つまり、x-2＜0かつ0＜x-1ですから、

|x-1|+|x-2|=(x-1)+{-(x-2)}
=x-1-x+2
=1です。

ご不明な点があれば、どの部分かを挙げてご質問下さい。
No.14054 - 2011/06/22(Wed) 06:16:53
☆ Re: 絶対値 / 匿名希望
シャロン様

早速の返信、ありがとうございました。
非常に助かりました。
一筋の光明が見えてきたような気がします。
また、アドバスをお願いすることがあると思います。
そのときは、どうぞよろしくお願い申し上げます。
No.14060 - 2011/06/23(Thu) 04:58:07
★ 高2　数列 / れいひゃー
(1)1辺の長さ1の正方形の各辺を1：2に内分する4点を結んでできる正方形の面積をS1とする。同様に、新しく出来た正方形の4辺を2：1に内分する4点を結んでできる正方形の面積をS2とする。　以下同様に、この操作をn回行った後に出来る正方形の面積をSnとするとき、Snをnの式で表せ。


(2)平面上にn個の円があって、それらのどの2つの円も互いに交わり、3つ以上の円は同じ点では交わらない。これらの円は平面をいくつの部分に分けるか。


答えは
(1)Sn＝(5/9)^n
(2)(n^2-n+2)個

だそうです
(2)は手がつけられないのですが、
(1)の　5/9　は面積比のやつですか…?
No.14048 - 2011/06/20(Mon) 22:57:18
☆ Re: 高2　数列 / X
(1)
>>(1)の　5/9　は面積比のやつですか…?
その通りです。
内分点により新しくできた正方形の面積は
元の正方形の面積の
5/9倍
になります。
((∵)削られる４つの直角三角形の面積を考えましょう。)
∴S[n]=(5/9)S[n-1]
で
S[1]=5/9
ですので
S[n]=S[1](5/9)^(n-1)=(5/9)^n
となります。
No.14049 - 2011/06/20(Mon) 23:12:35
☆ Re: 高2　数列 / シャロン
(2)

いま、k個の円が平面上、条件をみたすようにあって、ここにk+1個目の円を条件を満たすように書くとします。

すると、このk+1個目の円はそれまでの円と2個ずつの交点を持ちます。k+1個目の円の周はそれまでの円の周で2(k+1)個の弧分けられます。

逆に、分けられた各弧はそれぞれ、すでに描かれた円で分割された領域を1つずつ、2個の領域へと分割します。つまり、k+1個目の円を描くことで、領域は2(k+1)個増えます。

つまり、n個の円で分割された場合の領域の数をa[n]と書くことにすると、

a[1]=2、a[n+1]=a[n]+2(n+1)

という漸化式が立てられます。
No.14051 - 2011/06/21(Tue) 21:44:18
☆ Re: 高2　数列 / れいひゃー
解けました！
Xさん、シャロンさんありがとうございました！＾＾
No.14055 - 2011/06/22(Wed) 19:37:46
★ (No Subject) / s2sakuras3
二つの数列{an},{bn}がある。
数列{an}は等差数列であり、その第4項が25で、第9項が40である。
また、数列{bn}は数列{an}と同じ初項をもつ等比数列であり、その第4項が128である。ただし、数列{bn}の公比は実数とする。

（1）数列{an}の初項はアイ、公差はウである。
　　また、{bn}の公比はエである。

（2）二つの数列{an}と{bn}の両方に含まれる数を小さい方から順に3こ並べると、16、オカ、キクケとなる。

（3）数列{cn}をcn=an・bnで定め、T=Σ(n,k=1)ckとおく。
T-エTを考えることよりTを求めると、
T=(コn+サシ)・（ス）^n+4−セソタとなる。

解答をよろしくおねがいします！！
No.14045 - 2011/06/20(Mon) 16:39:18
☆ Re: / TT
No.14028,14031を参照
No.14046 - 2011/06/20(Mon) 17:04:26
★ 式の記号‘//’とは / rikako
理科の公式なのですが
A＝−{(R//r)I}/V
という式があって、AとかVとか電圧や電流の値なのですが
式のRとrの間の‘//’の平行みたいな記号は
どう計算したらいいですか？
No.14043 - 2011/06/20(Mon) 00:45:40
☆ Re: 式の記号‘//’とは / mokomoko
Rとrが並列に接続されていることを示しています。

そのためR//rの合成抵抗をXとおいたとき、
1/X = 1/R + 1/r の関係が成立します。
これを X について解くと X=Rr/(R+r) です。

ここから2つの抵抗を並列につないだときは、
合成抵抗が 積/和 になるとおぼえてもいいでしょう。
No.14044 - 2011/06/20(Mon) 04:54:03
★ (No Subject) / かれん
1/(3-2√2)の少数部分は？

解き方を教えてください
答えは2(√2-1)です
よろしくお願いします
No.14040 - 2011/06/20(Mon) 00:16:06
☆ Re: / X
分母を有理化すると
1/(3-2√2)=(3+2√2)/(9-8)
=3+2√2
ここで
1.4<√2<1.5
ですので
5.8<1/(3-2√2)<6
従って1/(3-2√2)の整数部分は5なので小数部分は
3+2√2-5=2(√2-1)
となります。
No.14041 - 2011/06/20(Mon) 00:30:38
☆ Re: / かれん
ありがとうございました
No.14052 - 2011/06/21(Tue) 22:21:12
★ 高2　三角関数 / れいひゃー
次の等式が成り立つような△ABCはどのような形か

(2)sinAcosA＝sinAcosB

答えは
BC＝CAの二等辺三角形　または　∠C＝π/2の直角三角形

です
和積の公式を使ったのですが、
分からなくなっていってしまいました
どなたか説明お願いします；
No.14030 - 2011/06/19(Sun) 09:35:58
☆ Re: 高2　三角関数 / ヨッシー
問題が違うか、答えが違います。

問題が正しいならば、
sinＡが共通にあるので、移項して整理すると
　sinＡ(cosＡ−cosＢ)＝０
で、sinＡ＞０ なので　cosＡ＝cosＢ　より　Ａ＝Ｂ
よって　ＣＡ＝ＣＢ　のみが答えです。
No.14032 - 2011/06/19(Sun) 12:44:45
☆ Re: 高2　三角関数 / れいひゃー
ごめんなさい！
問題が違いました

正しくは

sinAcosA＝sinBcosB

です
大変失礼しました＞＜；
もう一度お願いします；；
No.14033 - 2011/06/19(Sun) 13:38:11
☆ Re: 高2　三角関数 / angel
和積の公式として、
　sinα+sinβ=2sin((α+β)/2)・cos((α-β)/2)
　sinα-sinβ=2cos((α+β)/2)・sin((α-β)/2)
というのがあり、今回も利用できるのですが、公式そのものを覚えるのは余りお勧めしません。
　α=(α+β)/2 + (α-β)/2, β=(α+β)/2 - (α-β)/2
を利用して、
　sinα
　=sin((α+β)/2+(α-β)/2)
　=sin((α+β)/2)・cos((α-β)/2) + cos((α+β)/2)・sin((α-β)/2)
　sinβ
　=sin((α+β)/2-(α-β)/2)
　=sin((α+β)/2)・cos((α-β)/2) - cos((α+β)/2)・sin((α-β)/2)
となる過程をおさえておく方が大事です。

さて、改めてこの問題では、まず倍角 sin2θ=2sinθcosθを利用します。すると、
　sinAcosA=sinBcosB
　⇔ 1/2・sin2A = 1/2・sin2B
　⇔ 1/2・(sin2A - sin2B) = 0
　⇔ cos(A+B)・sin(A-B) = 0　　　…和積を利用
ということで、A,Bの範囲を考えると A+B=π/2 もしくは A-B=0 となります。
No.14034 - 2011/06/19(Sun) 17:32:11
☆ Re: 高2　三角関数 / れいひゃー
ありがとうございます！
No.14047 - 2011/06/20(Mon) 22:37:16
★ (No Subject) / 渚
二つの数列{an},{bn}がある。
数列{an}は等差数列であり、その第4項が25で、第9項が40である。
また、数列{bn}は数列{an}と同じ初項をもつ等比数列であり、その第4項が128である。ただし、数列{bn}の公比は実数とする。

（1）数列{an}の初項はアイ、公差はウである。
　　また、{bn}の公比はエである。

（2）二つの数列{an}と{bn}の両方に含まれる数を小さい方から順に3こ並べると、16、オカ、キクケとなる。

（3）数列{cn}をcn=an・bnで定め、T=Σ(n,k=1)ckとおく。
T-エTを考えることよりTを求めると、
T=(コn+サシ)・（ス）^n+4−セソタとなる。

過去問なのですが全然わかりません。
よろしくおねがいします！
No.14028 - 2011/06/19(Sun) 08:28:53
☆ Re: / シャロン
> 二つの数列{an},{bn}がある。
> 数列{an}は等差数列であり、その第4項が25で、第9項が40である。
> また、数列{bn}は数列{an}と同じ初項をもつ等比数列であり、その第4項が128である。ただし、数列{bn}の公比は実数とする。
>
> （1）数列{an}の初項はアイ、公差はウである。

{a[n]}の初項をa、公差をdとおけば、第n項はa+(n-1)dと書けるので、
a+3d=25
a+8d=40
この連立方程式を解くと、...

> 　　また、{bn}の公比はエである。
{b[n]}の公比をrとおけば、第n項はar^(n-1)と書けるので、ar^3=128から、...
No.14031 - 2011/06/19(Sun) 11:03:19
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