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★ (No Subject) / ブッター
Z=tanhφ=e^φ-e^-φ/e^φ+e^-φ

がなぜ
φ=1/2log1+Z/1-Z (-1<Z<+1)

になるかわかりません。お願いします。
No.13712 - 2011/05/09(Mon) 09:51:58
☆ Re: / ヨッシー
E=e^φ とおくと、
　Z=(E-1/E)/(E+1/E)
右辺の分母子にE を掛けて、
　Z=(E^2-1)/(E^2+1)
両辺 E^2+1 を掛けて、
　(E^2+1)Z=(E^2-1)
移項して整理すると、
　(1-Z)E^2=1+Z
Z=1 となるのは、E-1/E=E+1/E の時ですが、これは、
　1/E＝0
となりあり得ません。よって、1-Z≠0 より
　E^2＝e^(2φ)＝(1+Z)/(1-Z)
自然対数を取って、
　2φ＝log{(1+Z)/(1-Z)}
よって、
　φ＝(1/2)log{(1+Z)/(1-Z)}
となります。
No.13713 - 2011/05/09(Mon) 17:44:07
★ 高校数学 / 東海高校生
「３次元の場合にＡ×Ｂ＝−Ｂ×Ａを証明せよ」がわかりません。どなたか教えてください。定義通りに行列式の計算をするか、行列式の性質を使って教えてください。悩める受験生より
No.13705 - 2011/05/08(Sun) 18:50:57
☆ Re: 高校数学 / ヨッシー
問題文を省略せずに書いてみてください。

ＡやＢは何ですか？

行列式という言葉が出てきていますが、何の行列式でしょうか？

単純にＡ，Ｂが、３次の正方行列というのであれば、
Ａ＝Ｅ，Ｂ＝Ｅ とすると、この式は成り立ちません。
No.13706 - 2011/05/08(Sun) 21:42:32
☆ Re: 高校数学 / ヨッシー
ひょっとして、３次元のベクトルで、Ａ，Ｂはベクトルで、
Ａ×Ｂは外積なのでしょうか？

だとすると、
ａ＝(ａx, ａy, ａz)、ｂ＝(ｂx, ｂy, ｂz) とし、
ｅx＝(1,0,0)、ｅy＝(0,1,0)、ｅz＝(0,0,1) とすると、

と書けるので、普通に計算して、
　ａ×ｂ＝(ａyｂz−ａzｂy)ｅx＋(ａxｂz−ａzｂx)ｅy＋(ａxｂy−ａyｂx)ｅz
とし、ｂ×ａ も同様に計算すれば、示せます。

また、行列の中で、行を、（１，２，３）→（１，３，２） と入れ換えたとき、
転位が１カ所(奇数)あるので、行列式は−１倍になる、
という性質を使えば、すぐ導けます。
No.13707 - 2011/05/08(Sun) 22:11:11
★ 解説お願いします / くろ
数列ですが解説お願いします

等差数列{an} 等比数列{bn}がある。
a1=2b1=α, a2=b2+b3, a2+a3+a4=-(b2+b4)
が成り立つ。{an}{bn}の各項は整数で、{bn}の各項は0でない。

1、等比数列{bn}の公比rは何か、等差数列{an}の    公差dをαで表すと何か。

2、2(b1+b2+b3+b4+b5)=an
a1+a2+••••••+a27=2bn
それぞれnは何か。

3、α=2とする。数列{bn}の各項のうち、30桁の正の整数となるのは第何項か。log(10)3=0,4771
とする。
また、cn=anbnで定められる数列{cn}の初項から第n項までの和Snをnで表すと何か。

わかりにくかったらすみません
答え
1、r=-3,d=2α
2、31   7
3、第63項
     Sn={-(4n-1)(-3)^n  -1}/4
No.13704 - 2011/05/08(Sun) 17:14:38
☆ Re: 解説お願いします / ヨッシー
１．
　ｂ1＝α/2
　ｂ2＝αｒ/2
　ｂ3＝αｒ2/2
　ｂ4＝αｒ3/2
より、
　ａ1＝α
　ａ2＝αｒ(１＋ｒ)/2＝α＋ｄ
　ａ2＋ａ3＋ａ4＝−αｒ(１＋ｒ2)/2＝３α＋６ｄ
これより、
　α(ｒ2＋ｒ−２)＝２ｄ
　α(ｒ3＋ｒ＋６)＝−１２ｄ
よって、
　(ｒ3＋ｒ＋６)＝−６(ｒ2＋ｒ−２)
これを解いて、
　ｒ＝−３，(−３±√17)/2
ｒは整数なので、ｒ＝−３
このとき、ｄ＝２α

２．
結果、ａn＝(2n-1)α、ｂn＝(α/2)(-3)n-1 となります。

　２(ｂ1＋ｂ2＋ｂ3
＋ｂ4＋ｂ5)＝６１α
ａn でそれにあたるのは、
　２ｎ−１＝６１ より、ｎ＝３１

　ａ1＋・・・＋ａ27＝27(ａ1＋ａ27)/2＝３6α
一方、２ｂn＝α(-3)n-1 より
　３6＝(-3)n-1
となり、ｎ＝７ となります。

まずはここまで。
No.13708 - 2011/05/08(Sun) 22:44:35
☆ Re: 解説お願いします / ヨッシー
３．
α＝２ のとき、ｂn＝(-3)n-1 ですが、
　{ｂn}＝{1, -3, 9, -27, ・・・}
のように、正の数は、奇数番目に現れます。そこで、
　ｔn＝ｂ2n-1
を考えます。つまり、
　{ｔn}＝{1, 9, 81, ・・・}
で、ｔn＝９n-1＝３2n-2 であり、
30桁を超える、ｔn が、第ｍ項であれば、ｂn においては、第 2m-1 項ということになります。
　３2n-2≧１０29
を考えると、常用対数をとって、
　log(３2n-2)≧log(１０29)
　(2n-2)log３≧２９
log３=0.4771 とすると、
　2n-2≧29/0.4771≒60.78
より
　2n-2＝62 のときに、ｔn は30桁となり、
n=32 よって、ｂn においては、第63項となります。

また、α＝２ のとき、ａn＝4n-2 となるので、
　ｃn＝(4n-2)(-3)n-1
　Ｓn＝2・1＋6・(-3)＋10・9＋・・・＋(4n-6)(-3)n-2＋(4n-2)(-3)n-1
　-3Ｓn＝2・(-3)＋6・9＋10・(-27)＋・・・＋(4n-6)(-3)n-1＋(4n-2)(-3)n
上式から下式を引いて、
　４Ｓn＝2・1＋4{(-3)＋9＋(-27)＋・・・＋(-3)n-1}−(4n-2)(-3)n
　(-3)＋9＋(-27)＋・・・＋(-3)n-1＝{-3-(-3)n}/4
より、
　４Ｓn＝2・1＋{-3-(-3)n}−(4n-2)(-3)n
　　＝−１−(4n-1)(-3)n
よって、
　Ｓn＝{−１−(4n-1)(-3)n}／４
となります。
No.13709 - 2011/05/08(Sun) 23:08:43
☆ (No Subject) / くろ
詳しい解説本当ありがとうございました
No.13710 - 2011/05/08(Sun) 23:15:02
★ 再度質問です / ハオ
共通部分についての説明がいまいちよく分かりません。書籍を読んでもどれも文章ばかりで図で説明してくれません。もし図で説明できるなら図で教えて下さい。
x(not)∈∩{A_α;α∈J｝
⇔∃α_0∈J s.t x(not)∈A_α0
がドモルガンの証明に出てくるのですが、この部分も図で教えて下さい。
そもそも「⇔∃α_0∈J s.t x(not)∈A_α0」
の解釈は
「xがA_α0に含まれないようなα0(∈J）が存在する」
でいいんですよね？
合併集合については理解できました。
No.13695 - 2011/05/07(Sat) 08:08:47
☆ Re: 再度質問です / angel
話の内容自体は、高校の時とそれほど大きく変わっているわけではないので、注意して読み解けば理解できると思います。

単純な形として、2つの集合の場合

　x∈A∩B ⇔ x∈A かつ x∈B
　否定形： x not∈ A∩B ⇔ x not∈A または x not∈ B

は高校の知識でできるはずです。ここまでは良いでしょうか。

次に、これを複数にすると、

　x∈A1∩A2∩…∩An ⇔ x∈A1 かつ x∈A2 かつ … かつ x∈An
　⇔ 任意の i ( 1≦i≦n ) に対して x∈Ai
　　( ∀i ( 1≦i≦n ) x∈Ai )

　ちなみに、最初の式は x∈∩[i=1,n] Ai とも書けますね。Σと同じで、∩の下に i=1 上に n という表記だと思ってください。
　否定形は、
　x not∈ ∩[i=1,n] Ai ⇔ x not∈ A1 または x not∈ A2 または … または x not∈ An
　⇔ ある i ( 1≦i≦n ) に対して x not∈ Ai
　　( ∃i ( 1≦i≦n ) s.t. x not∈ Ai )

さて。ここで集合 I を、I={1,2,…,n} としてみましょうか。
そうすると、1≦i≦n というのは、i∈I と同じことですから、上の形は、
　x∈∩[i∈I]Ai ⇔ 任意の i∈I に対して x∈Ai ( ∀i∈I x∈Ai )
　否定形： x not∈ ∩[i∈I]Ai ⇔ ある i∈I に対して x not∈ Ai ( ∃i∈I s.t. x not∈ Ai )
と書き直すことができます。

…どうでしょうか。ハオさんの挙げた形と同じであると思えるでしょうか。ただ一つ違いがあるとすれば、上の I は 1〜n の自然数の集合であるのに対し、元の J は自然数の集合とは限らない所です。
No.13698 - 2011/05/07(Sat) 22:01:14
☆ Re: 再度質問です / ハオ
返信遅れて申し訳ありません
順序立てて説明していただきありがとう御座います
理解できました
No.13744 - 2011/05/12(Thu) 23:01:37
★ 三角関数 / nomu
cos5π/12　を１２乗するとcos5πになるのはなぜですか？
それと、そうなるのは偶然ですか？

どなたか、よろしくお願いします！
No.13686 - 2011/05/06(Fri) 19:43:03
☆ Re: 三角関数 / ast
ならないと思いますが……
No.13687 - 2011/05/06(Fri) 21:14:21
☆ Re: 三角関数 / らすかる
cos(5π/12)は実数ですから12乗すると負でない実数になりますが、
cos(5π)=-1は負の実数ですから一致しません。
No.13689 - 2011/05/06(Fri) 22:10:39
☆ Re: 三角関数 / nomu
解答ありがとうございます。
よく考えればそうですね・・・・
考えが及びませんでした。
黒板にそう書いていた先生に、今度指摘してみます！！
ありがとうございました！！！
No.13690 - 2011/05/06(Fri) 23:11:51
☆ Re: 三角関数 / rtz
{cos(5π/12)+i*sin(5π/12)}^12＝cos(5π)+i*sin(5π)
ですが、一部を又聞きされたのでしょうか…？
No.13691 - 2011/05/06(Fri) 23:14:16
☆ Re: 三角関数 / nomu
いえ。まさにその式です。
なぜ、その式が成り立つのでしょうか・・・？
No.13692 - 2011/05/06(Fri) 23:50:45
☆ Re: 三角関数 / rtz
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%89%E3%83%BB%E3%83%A2%E3%82%A2%E3%83%96%E3%83%AB%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
「ド・モアブルの定理」に依ります。

ですが、あくまで↑の式が成り立つだけであって、
{cos(5π/12)}^12≠cos(5π)であることは踏まえておいてください。
(x+y)^12＝x^12+y^12とはならないのと同じことです。
No.13694 - 2011/05/07(Sat) 04:32:32
★ (No Subject) / ガンジー
放物線ｙ＝ｘ＾２・・?@と円ｘ＾２＋（ｙ−a)^2=r^2(r>0)・・?Aが接するとき、
特に接点が頂点であるときはｙの重解条件で捉えることができないのに対し、ｙ＞０で２点で接するときだけは重解条件でとらえることができるのはなぜですか？覚えるしかないですか？
No.13685 - 2011/05/06(Fri) 16:47:42
☆ Re: / Kurdt
頂点で接するケース（たとえば a=-1,r=1）の場合の方程式を
実際に解いてみる（あるいは判別式の値を出してみる）と何か気付くのではないでしょうか。
No.13688 - 2011/05/06(Fri) 21:33:33
☆ Re: / ガンジー
y^2-(2a-1)y+a^2-r^2=0にa=-1,r=1を代入すると
y^2+3y=0
y(y+3y)=0
y=0,-3 私の言った様に、ｙ＝０で重解になりませんね。本来ならｙ＝０で重解となるべきところがなぜならないのかが知りたいのです。
No.13697 - 2011/05/07(Sat) 21:58:07
☆ Re: / ヨッシー
ｙ＝０，−３ において、ｙ＝ｘ^2 を解くと、
　ｘ＝０（重解）、√3ｉ、−√3ｉ
で、ちゃんと(0,0) のところで重解になっています。
ｙについて重解があるということと、ｘに付いて重解があるということは、
別のことです。
No.13699 - 2011/05/07(Sat) 22:12:39
☆ Re: / ガンジー
ｘに付いて重解があることは分かりましたが、なぜ接しているのに重解をもたないのかが知りたいのです。
放物線と直線が接するときに、接する⇔重解という考えを使ってきたのになぜこの放物線と円が接する場合だけ接する⇔重解がなりたたないのかが知りたいのです。
No.13701 - 2011/05/07(Sat) 23:20:25
☆ Re: / ヨッシー
接しているからこそ、ｘについて重解がある、と考えられませんか？

同じ図をもう一度描きますが、

円も、放物線も、ｙ軸に対して対称な位置に置かれているので、
交点も、ｙ軸に対して対称に現れます。

通常は最大 (ii) の実線の円のように、４点で交わります。
座標で言うと、
　(−√ｃ，ｃ)、(√ｃ，ｃ)、(−√ｄ，ｄ)、(√ｄ，ｄ)
です。
ここでまず言えることは、下の方の記事の?Bから得られる、
ｙの解は、ｙ＝ｃ，ｄ の２つですが、この裏には、
ｘ＝±√ｃ、±√ｄ の４つの解が隠れていると言うことです。
その結果、交点は４つ存在します。

接点の現れ方は、次の２通りです。
１．ｃかｄのどちらか（ここではｃとして説明）が０になって、本来２個だった、
　(−√ｃ，ｃ)、(√ｃ，ｃ)　が、１点（０，０）になる場合。
（図の(i) や (iii) の状態)
２．ｃとｄが一致して、
　(−√ｃ，ｃ)と(−√ｄ，ｄ)、(√ｃ，ｃ)と(√ｄ，ｄ)
が、それぞれ、同じ点になる場合。

２．は、(ii) の点線の円の状態で、この場合は、?Bの解として、
ｙが重解を持ちます。
ただし、この場合は、接点が２つになるので、問題の条件に合いません。

よって、問題に合う接し方は、１．の方となり、?Bの解としては、
ｙが重解にならなくても、ｙ＝０であるために、４つの点のうち２つ（だけ）が、同一となり、接する状態になります。
No.13702 - 2011/05/07(Sat) 23:42:06
☆ Re: / Kurdt
まず、例の方程式を解いたときになぜ重解にならないかを考えます。

y=x^2 を代入して得られる y+(y-a)^2=r^2 の方程式"だけ"を見たとき、
これが y＜0 の範囲で解を持つことは別に不思議でも何でもありませんね。

しかし、y=x^2≧0 より y＜0 の範囲の解は不適なものとなります。
y+(y-a)^2=r^2 の方程式だけで考えていこうとしたとき、
そういった見かけ上の解が出てくることにまず注意が必要です。

そのため（y 座標の視点で見たときの）交点の個数と、
この方程式の（見かけ上）の解の個数は一致しないことがあります。

もう少しくわしく言うと、円の一部が y＜0 の範囲に入ると問題を生じがちです。
そうでない場合でも問題を生じるときがあるので少し厄介ですが。
（ヨッシーさんの図の (iii) の上のようなケースです。
　より具体的には r＜1/2 のときにそういった状況が起きますが、
　このときは D=0 のときにすでに y＜0 の解となるので注意が必要です）

-------------------

次に、より大事なポイントとして y+(y-a)^2=r^2 は
「y 座標の視点」だけで見た方程式になっている点です。

ヨッシーさんの描かれた図の (ii) を見てください。
円全体が y≧0 の範囲にあって、D＞0 となるケースがこれにあたります。

交点は4つあるけども、y 座標が同じものが2つずつあるので、
「y 座標の視点」だけで見たら得られる解は2つなのですね。

ここで4つの交点を左上、左下、右下、右上の順に p,q,s,t とします。
この円を少しずつ上にあげていくと、p と q、s と t が近づいていきます。
そしていずれこの4点の y 座標が一致します。これが D=0 のときです。
このとき、左側に p(=q), 右側に s(=t) の接点を持つことになります。

これは上と下の交点の y 座標が近づきながら得られた接点ですので、
y の視点で見た方程式でも重解となり、D=0 で得ることができます。
（p と q、s と t の x 座標も一致してるので、x の視点でもそれぞれが重解です）

では、(ii) の図から円をどんどん下にさげるとどうなるでしょう。
いずれ (i) の状態になるということがわかると思います。
（ (iii) の上の円のような状態に関しては今回は無視します）

このとき「y 座標の視点」で見ると、解は2つありますよね。（y=0,b）
だけど q と s の x 座標がだんだん近づき、一致しています。
そのため、y の方程式では D＞0 ですが、x の視点では重解になっています。

y が重解かどうかと、x が重解かどうかに違いが出ていることがわかりますね。

これよりも円を下に下げると q と s は y＜0 の範囲に行き、
この分が y＜0 の範囲の見かけ上の解として出てきます。
そのため、この範囲においても D は D＞0 として値が出ます。

しかし、同時に p と t はどちらも原点へと近づいていきます。
このとき、近づいているのはこの両者の x 座標であることに注意します。

これが (iii) の下の円（原点で放物線と接する）のケースですが、
一致したのは p と t の x 座標なので x は重解になりますが、
p-t のペアと q-s のペアの y 座標が一致したわけではないので、
y の視点で見たときはこれは重解にはあたらないわけです。
そのため、これは「y 座標の視点で見た方程式の判別式」では求まらないのですね。
No.13703 - 2011/05/08(Sun) 01:47:30
☆ Re: / ガンジー
ありがとうございます。もう８０パーセント近くは理解できました。本当に有難うございます。
(?A）の点線図のようにｙ＞０で二点で接したまま半径を小さくしていくと、ちょうど接点が原点になった瞬間だけｙ＾２＝０でｙが重解をもつがそのあと半径を小さくしていくとなぜか形（放物線の上に円が乗っかっているという形）は同じなのにｙ＝０とｙ＝（負の解）のペアになる。これについて、なぜそうなるのかの説明を御願いします。
No.13716 - 2011/05/10(Tue) 04:57:21
☆ Re: / ヨッシー
ｙが重解を持ったまま（＝２点で接したまま）動かすという
発想はいいですが、その場合は、a=r=1/2 でｙ＝０(重解) に
なった時点で終わりです。
それ以上、半径を小さくしても、ｙが重解にはなりません。

つまり、ｙ＝０ と ｙ＝−α を解にもつ場合は、２点で接した状態の
延長ではないのです。
No.13717 - 2011/05/10(Tue) 11:23:34
☆ Re: / Kurdt
重解をとるときの y の値がどう変化するかを考えてみましょう。

r が大きいときは y＞0 の範囲で重解を取ることが分かります。
r が小さくなると y＞0 でありながらも y=0 へと近づいていき、
r=1/2 になると y=0 で重解を取るということになります。

では、さらに r を小さくするとどうなるかと言えば、
これまでの流れから想像できるように y＜0 の範囲で重解をとります。
（このとき実際には円は放物線と交点を持たない状況です）

そもそも y=0 で円が放物線に接するというのは
「x が重解になるから」というのが理由でした。

そこで y も同時に重解になるのはむしろ特殊な状況であって、
r=1/2 のときにたまたまそうなるというだけのものです。
あるいは r を小さくするにつれて重解をとる y の値が小さくなる流れの中、
r=1/2 のときにちょうどそれが y=0 になってくれると言ってもいいでしょう。

ちなみにこういった話はグラフ描画ソフトを使うと視覚的にも理解しやすいです。
（私はhttp://www.osaka-kyoiku.ac.jp/~tomodak/grapes/を使っています。）
No.13719 - 2011/05/10(Tue) 21:05:21
★ 常微分 / okaka
常微分方程式の問題です。

dy/dx=(3x-y-1)/(x+2y-5)を解け。

自分なりに解いてみたのですが、答えがあいませんでした…
解答は(y^2)+2xy-3(x^2)=Cxとなっています。
よろしくお願いします。
No.13674 - 2011/05/05(Thu) 21:53:32
☆ Re: 常微分 / X
x+2y-5=u
と置くと
y=(u-x+5)/2 (A)
dy/dx=(1/2)(du/dx)-1/2 (B)
(A)(B)より問題の微分方程式は
(1/2)(du/dx)-1/2=(7x-u-7)/(2u)
整理して
du/dx=7(x-1)/u (C)
後は(C)を変数分離法を使って解き、uを元に戻します。
No.13675 - 2011/05/05(Thu) 22:28:27
☆ Re: 常微分 / X
こちらの計算結果は
2y^2+2xy-3x^2+2x-10y=C (Cは任意定数)
となりました。
(okadaさんの計算結果と見かけが異なるかもしれませんが
左辺の係数比が同じであれば、okadaさんの結果と
同等の解答です。)

注)
解答である
>>(y^2)+2xy-3(x^2)=Cx
から微分方程式を導いてみたのですが
こちらの計算では問題の微分方程式にはなりませんでした。
No.13677 - 2011/05/05(Thu) 22:42:51
☆ Re: 常微分 / okaka
早速の解答ありがとうございます。
私も解答結果は2y^2+2xy-3x^2+2x-10y=Cとなりました！

Xさんの解答ともあいましたし。
どうやら解答が間違っているようです。

丁寧な解説の上、逆算までしていただき本当にありがとうございました。
No.13678 - 2011/05/05(Thu) 23:18:50
★ 高2　三角形…？ / れいひゃー
AB=√3、BC=√13、CA=2の三角形ABCがあり、辺ACの中点をMとする。

(1)∠BACの大きさを求めよ。

(2)三角形ABMの面積と線分BMの長さを求めよ。

(3)線分BM上に∠BAD=30°となる点Dをとる。このとき、sin∠ADMの値を求めよ。


答えは
(1)∠BAC=150°
(2)△ABM=√3/4、BM=√7
(3)sin∠ADM=√21/7
です。

(1)では150°ではなく値で出してしまったのですが、
やっぱりダメなのでしょうか…?
(2)以降は全滅です
説明お願いします！
No.13672 - 2011/05/05(Thu) 19:01:25
☆ Re: 高2　三角形…？ / ヨッシー
(1) 値というのは、cosの値でということでしょうか？
ダメを覚悟しておいて、部分点ならラッキーというところでしょうか。

(2)
△ＡＢＭは△ＡＢＣの半分の面積ですので、△ＡＢＣを
　(1/2)ＡＢ・ＡＣsin∠ＢＡＣ
から求めて２で割ります。
ＢＭは、△ＡＢＭにおける余弦定理から求めます。

(3)
△ＡＢＭにおける余弦定理から、cos∠ＡＭＢ を出します。
同時に、sin∠ＡＭＢも出します。
△ＡＤＭにおいて、∠ＤＡＭ＝120°なので、
　sin∠ＡＤＭ＝sin(180°−∠ＤＡＭ−∠ＡＭＤ)
から sin∠ＡＤＭ を求めます。
No.13673 - 2011/05/05(Thu) 20:02:48
☆ Re: 高2　三角形…？ / れいひゃー
ありがとうございます！
No.13715 - 2011/05/10(Tue) 03:59:38
★ 放物線と円 / ガンジー
放物線ｙ＝ｘ＾２・・?@と円ｘ＾２＋（ｙ−a)^2=r^2(r>0)・・?Aが１点のみで接する場合、a,rに関する条件を求めよ。

解）放物線と円が一点のみで接するには?@、?Aより得る
y^2-(2a-1)y+a^2-r^2=0・・?Bが０と０以下の実数解を持てばよい。

とあるのですが?Bが０と０以下の実数解を持てばよい。がどこから来たのかが分かりません。どなたか教えて下さい。よろしく御願いします。
No.13669 - 2011/05/05(Thu) 14:44:22
☆ Re: 放物線と円 / ヨッシー
放物線と円の位置関係は、図のようなものがあります。


?Bの式からは、交点のｙ座標が得られます。

(i) のような場合、ｙ＝０　と　ｙ＝ｂ（＞０）が得られ、
これより、(0,0)、(−√ｂ、ｂ）、(√ｂ、ｂ）の３点が交点として得られます。

(ii) のような場合、ｙ＝ｃ、ｄ(いずれも正)が得られ、
これより、(−√ｃ、ｃ）、(√ｃ、ｃ）、(√ｄ、ｄ）、(√ｄ、ｄ）の４点が交点として得られます。
点線の円は、ｙが正の重解を持つ場合で、この場合は、２点で接することになります。

(iii) のような場合は、ｙ＝０　と　もう一つ負の解を持ち、
(0,0) はグラフ上に現れますが、ｙが負の値の場合は、ｘが
虚数になるので、グラフには現れません。
点線の円は、ｙがともに負か、虚数解の場合で、交点は存在しません。
また特に、?Bがｙ＝０を重解に持つときも、交点は(0,0) だけとなります。
No.13670 - 2011/05/05(Thu) 15:18:48
☆ Re: 放物線と円 / ガンジー
詳しい解説有難うございます。
ところでなぜ?Bのケースで2曲線が接する⇔重解をもつ
が成り立たないのですか？
No.13680 - 2011/05/06(Fri) 03:04:50
☆ Re: 放物線と円 / ヨッシー
?Bは、ｙの２次式ですが、これを、ｘの４次式と見れば、
ｙ＝０ において、ｘ＝０(重解) となっています。
No.13681 - 2011/05/06(Fri) 06:09:21
☆ Re: 放物線と円 / ガンジー
ｘの４重解になっているということですね。ありがとうございます。

?Bの式でｙ＝０で重解とならないのはなぜですか？
なぜ、ｙ＝０とｙ＝負の解という組み合わせなのですか？ということが知りたいです。
No.13683 - 2011/05/06(Fri) 13:22:07
☆ Re: 放物線と円 / ヨッシー
必ずしも４重解ではありません。
?Bの解が、ｙ＝０，−α (α＞０) だとすると、ｙ＝ｘ^2 より、
ｘ＝０が重解で、その他にｘ＝±√αｉ という虚数解があります。
虚数解は、グラフでは表現されないので、(0,0) で接する部分だけが、
図示されます。

特に、ａ＝1/2、ｒ＝1/2 のとき、?B の解は、ｙ＝０(重解)となり、
ｘ＝０ が４重解となります。
No.13684 - 2011/05/06(Fri) 16:44:04
☆ Re: 放物線と円 / ガンジー
13670の記事で(iii) のような場合（原点で接しそれ以外に共有点を持たないとき）は、ｙ＝０　と　もう一つ負の解を持ち、?Bがｙ＝０を重解に持つときも、交点は(0,0)（原点で接しそれ以外に共有点を持たない） だけとなります。
とありますが、ということは原点で接しそれ以外に共有点を持たないときは?@ｙ＝０と負の解?Aｙ＝０で重解
の２パターンがあるということですか？ｙ＞０で接するとき以外はｙの２次方程式で接する⇔重解とはならないと書いてあったのですが。

No.13696 - 2011/05/07(Sat) 21:51:19
☆ Re: 放物線と円 / ヨッシー
(1) の状態（原点で両者が接している）から、徐々に
半径を小さくしていきます。
原点で接するので、ａ＝ｒ（ａが負のときは　ａ＝−ｒ）は必須です。

最初は、原点ともう２点、計３個の共有点があります。
このとき、ｙ＝０ と、ｙ＝ｂ（＞０）です。
ｘについて言えば、
　ｙ＝０ のとき ｘ＝０(重解)
　ｙ＝ｂ のとき ｘ＝±√ｂ
です。

やがて、ａ＝ｒ＝1/2 になると、ｂも０となり、
　ｙ＝０(重解)　ｘ＝０(４重解)
となる瞬間があり、さらに、半径を小さくすると、
　ｙ＝０，ｙ＝−α
が解となり、ｘについて言えば、
　ｘ＝０（重解）、ｘ＝±√αｉ
となり、(0,0) は依然として接点となります。

さらに半径を小さくすると、ａ＝ｒ＝０　になりますが、これは許されていないので、
すっ飛ばして、ａをマイナスにすると、(iii) の図の、下の方の円
になり、やはり、
　ｙ＝０，ｙ＝−α
が解となり、
　ｘ＝０（重解）、ｘ＝±√αｉ
となります。
No.13700 - 2011/05/07(Sat) 22:26:32
★ 集合の基礎 / ハオ
一般の合併集合と共通部分についての説明がいまいちよく分かりません。書籍を読んでもどれも文章ばかりで図で説明してくれません。もし図で説明できるなら図で教えて下さい。
x(not)∈∩{A_α;α∈J｝
⇔∃α_0∈J s.t x(not)∈A_α0
がドモルガンの証明に出てくるのですが、この部分も図で教えて下さい。
そもそも「⇔∃α_0∈J s.t x(not)∈A_α0」
の解釈は
「xがA_α0に含まれないようなα0(∈J）が存在する」
でいいんですよね？
No.13666 - 2011/05/05(Thu) 10:34:57
☆ Re: 集合の基礎 / ハオ
たとえば合併集合でしたらこんな理解でいいのですよね？
No.13667 - 2011/05/05(Thu) 11:12:48
☆ Re: 集合の基礎 / ハオ
見づらくて申し訳ありません
トリミングしました
これで見やすくなればいいのですが
No.13668 - 2011/05/05(Thu) 11:17:10
★ 数?U / らい
加法定理の証明の問題です。
途中からわかりません。
この先の証明を教えて下さい。
よろしくお願いします。


sin3θ=3sinθ-4sin^3θが成り立つことを示せ。

[証明]
sin3θ=sin(θ+2θ)=sinθcos2θ+cosθsin2θ=sinθcos(θ+θ)+cosθsin(θ+θ)
No.13659 - 2011/05/04(Wed) 22:55:01
☆ Re: 数?U / Kurdt
sinとcosの倍角公式を使ったうえで、
cos^2θはcos^2θ=1-sin^2θを適用してsinで表せばいいでしょう。
No.13660 - 2011/05/05(Thu) 00:45:30
☆ Re: 数?U / らい
わかりました。
回答ありがとうございました。
No.13662 - 2011/05/05(Thu) 09:13:30
★ 非負整数の組 / mataki
不等式
a+b+c+d+e≦10
を満たす非負整数の組(a,b,c,d,e)は全部で何通り存在するか。

10個の○と5個の仕切りを並べると
a=1番目の仕切りより左にある○の個数
b=1番目と2番目の仕切りの間にある○の個数
c=2番目と3番目の仕切りの間にある○の個数
d=3番目と4番目の仕切りの間にある○の個数
e=4番目と5番目の仕切りの間にある○の個数

のように対応付けられることまでは分かりました。

でもその後どうしたらいいかわかりません！
No.13657 - 2011/05/04(Wed) 20:56:14
☆ Re: 非負整数の組 / rtz
http://www2.ezbbs.net/cgi/reply?id=eijitkn&dd=34&re=13388

考える葦さんの方でで答えてもらったことを、
なぜこちらで、しかも自分が考えたように書くのでしょうか。
分からないならあちらでそのまま質問すれば良いのでは？
答えていただいた方にも失礼だと思います。
No.13658 - 2011/05/04(Wed) 21:06:43
☆ Re: 非負整数の組 / ハオ
あくまで個人的な解答ですので間違っているかもしれません。参考程度にお考えください。
不等式a+b+c+d+e≦10を満たす非負整数の組ということですのでa+b+c+d+e≧0となるはずです。
ですから高々0,1,2,・・・10の通りを調べればいいと思います。
a+b+c+d+e=0(a,b,c,d,e≧0)
a+b+c+d+e=1(a,b,c,d,e≧0)
・・・・
a+b+c+d+e=10(a,b,c,d,e≧0)
です。これならただ単純に重複組み合わせの考えで一発だと思いますよ。仕切りで考えるやり方を僕も高校時代勧められましたが重複組み合わせのHを使ったほうが合ってました。
No.13746 - 2011/05/12(Thu) 23:41:44
★ 対称性 / 小津
f(θ）＝sinθ＋１/sinθ　がθ＝π/2で対称になる理由を教えて下さい。
No.13655 - 2011/05/04(Wed) 17:47:57
☆ Re: 対称性 / のぼりん
こんばんは。
　　ｆ（π＋π/２）＝ｓｉｎ（π＋π/２）＋１/ｓｉｎ（π＋π/２）＝−２
　　ｆ（−π＋π/２）＝ｓｉｎ（−π＋π/２）＋１/ｓｉｎ（−π＋π/２）＝２
θ＝π/２ で対称になりませんが？
No.13656 - 2011/05/04(Wed) 19:20:02
☆ Re: 対称性 / らすかる
sinθ=sin(π-θ) から sin(π/2+θ)=sin(π-(π/2+θ))=sin(π/2-θ)
よって
f(π/2+θ)=sin(π/2+θ)+1/sin(π/2+θ)
=sin(π/2-θ)+1/sin(π/2-θ)
=f(π/2-θ)
なので、f(θ)はθ=π/2で対称になります。

# ｆ（π＋π/２）＝ｆ（−π＋π/２）＝−２ です。
No.13661 - 2011/05/05(Thu) 02:31:41
☆ Re: 対称性 / のぼりん
ひどい計算違いをしていました。
誠に申し訳ありませんでした。
No.13663 - 2011/05/05(Thu) 09:14:40
★ 多項式とは / BJ
多項式P（ｘ）はP(P(x))=P(x＾２)を満たしている。このときP(x)=●
（08 日本獣医生命科学大）について、計算するとP(x)＝ｋ（ｋは任意の定数）、±ｘ＾２
が答えなのですが、これらって単項式ですよね？多項式って書いてるから答え：無し　が正解ですか？
No.13653 - 2011/05/04(Wed) 17:09:04
☆ Re: 多項式とは / X
単項式は多項式の特別な場合と考えれば問題ないと思います。
No.13654 - 2011/05/04(Wed) 17:20:29
★ 極限 / きなこ
a^3x/b^2x の極限値が分かりません。
教えていただけると助かります。
No.13651 - 2011/05/04(Wed) 09:57:31
☆ Re: 極限 / シャロン
どの変数について極限をとるのか？
その変数をどの値に寄せたときの極限か？
また、その書き方ではふつう、(aの3乗)×xと解釈されるがそれでいいのか？
No.13652 - 2011/05/04(Wed) 13:10:35
★ 高１の二次不等式 / キイロ
二次不等式といえば、グラフを書いて範囲を求めるやり方が多いと思います。
実際授業では、そのやり方で問題を解いていました。

ですが、グラフを書いて範囲を求めるやり方ではないやり方（？）の意味がいまいち理解出来ません。


1．a
2．a<b かつ (x-a)(x-b)>0 ならば、x
この意味は分かります。
でも下の問題の意味が分かりません。


(1) x^2＋x-6<0
　(x＋3)(X-2)<0
　　　　　　　答え　-3<x<2


(2) x^2＋5x＋6≧0
　(x＋3)(x＋2)>0
　　　　　　　　　　答え　x≦-3,-2≧x

1と(1)が対応していて、2と(2)が対応しているのは分かります。
でも、(1)は(x＋3)(X-2)<0なので(x-a)(x-b)<0の形ではないように感じます。
あと、a<bだとこの式の場合、3がa、2がbだと思うのですが、これじゃあ3<2になっちゃいますよね？

どう考えれば良いのか分かりません…
よろしくお願いします。
No.13643 - 2011/05/04(Wed) 02:21:17
☆ Re: 高１の二次不等式 / Kurdt
不等号は必ず全角の ＜ や ＞ を使いましょう。
半角の不等号を使うと表示がおかしくなることがあります。
途中から全部太字になってしまったのもそれが原因でしょう。

さて、本題ですが、
(x+3)(x-2)＜0 は ( x-(-3) )(x-2)＜0 と考えればいいのです。
そうすると a=-3, b=2 となります。
No.13644 - 2011/05/04(Wed) 02:24:25
☆ Re: 高１の二次不等式 / キイロ
すいません！
入力しても何故か一部反映されなくて…

写真は上でおかしくなっているところに入る文です。
よろしくお願いします。
No.13645 - 2011/05/04(Wed) 02:35:22
☆ Re: 高１の二次不等式 / キイロ
あ…そうだったんですね…
ご指摘ありがとうございます。
直したいのですが、編集パスを入れるの忘れてしまったのでこのままにさせて頂きます。

(2)も( x-(-3) )（ x(-2) ）＞0
と考えると、a＜bになりますね。なるほど…

ということは、因数分解をする時に、a＜bの関係にするため、数が小さい方を左の（）にいれなくてはいけないのでしょうか？
No.13646 - 2011/05/04(Wed) 02:50:34
☆ Re: 高１の二次不等式 / ヨッシー
別に、因数分解の順はどちらでも良いです。
たとえば、
　(x-2)(x+3)＜０
と書いたとしても、頭の中で、-3 と 2 とでは、-3 の方が
小さいなぁ、とわかっていればいいのです。
　(x-2)(x+3)＜０
この式から、直ちに、
　-3＜ｘ＜2
とすることが出来ます。
　(x＋3)(x＋2)＞0
も同様です。
No.13647 - 2011/05/04(Wed) 05:55:42
☆ Re: 高１の二次不等式 / キイロ
ありがとうございます！
やっとモヤモヤが解決しました！
No.13650 - 2011/05/04(Wed) 09:18:34
★ 集合論の基礎 / ハオ
初歩的な質問で申し訳ありませんが
{x^2 -3x+2;x∈R}={x∈R;x≧-1/4}
とあるのですが何故この様になるのでしょうか？
x^2 -3x+2はx∈Rの中で動かすと確かに-1/4以上になりますが
x≧-1/4ではありませんよね？
No.13635 - 2011/05/01(Sun) 19:25:58
☆ Re: 集合論の基礎 / シャロン
ここではどちらのxも従属変数として使用されていて、左辺と右辺では、xはおなじものをが表してはいない。
No.13636 - 2011/05/01(Sun) 20:56:57
☆ Re: 集合論の基礎 / angel
なので、{ x^2-3x+2; x∈Ｒ } = { y∈Ｒ; y≧-1/4 } でも同じこと。
結局、
　・任意のx∈Ｒに対して、y=x^2-3x+2 かつ y≧-1/4 なる y∈Ｒが存在する
　　( 任意の x∈Ｒに対して、x^2-3x+2≧-1/4 )
　・任意の y≧-1/4 なる y∈Ｒに対して、y=x^2-3x+2 なる x∈Ｒが存在する
の両方が成立することを意味します。
No.13640 - 2011/05/02(Mon) 15:15:52
☆ Re: 集合論の基礎 / ハオ
返事が遅くなって申し訳ありません
大学の数学は難しいです
No.13664 - 2011/05/05(Thu) 10:18:00
☆ Re: 集合論の基礎 / ハオ
有難うございました
No.13665 - 2011/05/05(Thu) 10:18:17
★ 高1 円錐台の体積 / taka
高さがh、上底面の半径がr1、下底面の半径がr2
ただし、0 <r1<r2 である円錐台の体積Vを求めよ。

パッと見て (r1+r2)/2*h かなと思ったのですが、
先生には違うと言われました。

円錐台を円柱として考えるとだめなのでしょうか？
円錐台を円錐にして、
相似比と体積比の関係を使う解法は理解できました。

ですが、答えが一致しない理由を知りたいです。
お願いします。
No.13624 - 2011/05/01(Sun) 14:46:36
☆ Re: 高1 円錐台の体積 / X
では逆にお聞きしますがtakaさんが円錐台の体積を
>>(r1+r2)/2*h
とされた根拠は何でしょうか？。
恐らく台形の面積からの類推だと思いますが
円錐台を二つ組み合わせても円柱にも直方体にも
なりません。
又
>>(r1+r2)/2*h
の次元は(長さ)^2となっており、この点からも
体積ではありえません。
No.13625 - 2011/05/01(Sun) 16:15:04
☆ Re: 高1 円錐台の体積 / taka
すみません、間違えました。
Pi * ((r1+r2)/2)^2 * h でした。
申し訳ないです。
No.13626 - 2011/05/01(Sun) 16:25:52
☆ Re: 高1 円錐台の体積 / taka
もう一つ、補足があります。
円錐台を円柱と考えたのは、
r1とr2の平均をとってそれを半径とした、
円柱とすれば体積は等しいのではと考えたからです。
分かりにくくてごめんなさい。
No.13627 - 2011/05/01(Sun) 16:29:44
☆ Re: 高1 円錐台の体積 / X
No.13625でも取り上げましたが
似たような例として上底a,下底b、高さhの台形の
面積Sについて
S={(a+b)/2}h
となることを考えてみます。
これは合同な二つの台形を組み合わせると
底辺a+b、高さhの平行四辺形ができるため、
これを半分にして
底辺(a+b)/2,高さhの平行四辺形の面積に等しい
いう図形的な根拠があります。

しかしながら円錐台については合同な二つの円錐台を
組み合わせても円柱にはならず、この考え方は使えません。
つまりtakaさんの考え方には根拠がなく、正しいとは
言えません。
No.13628 - 2011/05/01(Sun) 16:53:14
☆ Re: 高1 円錐台の体積 / taka
合同な２つの円錐台を重ねる必要があるのでしょうか？
私は、
ある高さにある円を取り出してすべて足したものと、
それらの平均の円を同じ数だけ足したものが
等しいと考えました。
つまり等差数列のような感じです。
No.13629 - 2011/05/01(Sun) 17:10:21
☆ Re: 高1 円錐台の体積 / taka
薄く汚いですが、私の考えを紙にまとめました。
No.13630 - 2011/05/01(Sun) 17:44:15
☆ Re: 高1 円錐台の体積 / X
そのような考え方であれば、平均化するのは
円の面積であって円の半径ではありません。
ですが、
円の面積∝(円の半径)＾2
ですので半径の平均を出すように簡単にはいきません。

例)
半径a,b、高さh/2の二つの円柱を対称軸が一致するように
重ねた、高さhの立体を考えてみます。
この立体の体積Vは
V=(h/2)πa^2+(h/2)πb^2
=h{(πa^2+πb^2)/2}
となりますのでこの立体と体積、高さが等しい円柱の
底面の円の面積は
(πa^2+πb^2)/2
つまり二つの円柱の底面の円の面積の平均になっています。
がこの円の半径は、
√{(a^2+b^2)/2}
となり、二つの円柱の底面の半径の平均にはなりません。
No.13632 - 2011/05/01(Sun) 18:17:15
☆ Re: 高1 円錐台の体積 / X
実はtakaさんの考えのように、円錐台を薄くスライスした
円柱の総和として体積を求めるという考え方は
この後学習する積分という項目の中の区分求積法という
考え方と同じです。
その考え方を学んだ後にもう一度考えてみることを
お勧めします。
No.13633 - 2011/05/01(Sun) 18:24:49
☆ Re: 高1 円錐台の体積 / taka
今、うーっと唸りながら考えてますが、難しいです。
詳しい解説ありがとうございました。

これが積分に繋がってるとは。
お勧め通り、今から積分を勉強することにします。

有難うございました。
No.13634 - 2011/05/01(Sun) 18:30:35
☆ Re: 高1 円錐台の体積 / samurai
円錐台→円錐
　相似の関係から計算で解く事が可能。
円錐台→円柱
　相似でも何でもない全く別の立体なので与えられた問題を解くことはできませんね。

ちなみに個人的に聞きたいのですが

問題の答えは

V=(1/3)*π*h*{(r2^3-r1^3)/(r2-r1)}

でしょうか？
No.13679 - 2011/05/05(Thu) 23:33:10
☆ Re: 高1 円錐台の体積 / ヨッシー
そうですね。
あるいは、割り算をして
　(1/3)πｈ(r1^2＋r1r2＋r2^2)
としても良いでしょう。
No.13682 - 2011/05/06(Fri) 06:41:59
☆ Re: 高1 円錐台の体積 / samurai
>>ヨッシーさん
お返事有難うございます。
見栄え的にはどちらがいいんでしょうかね。
その辺りはもう疎くなってしまいました。
No.13693 - 2011/05/07(Sat) 01:52:26
☆ Re: 高1 円錐台の体積 / ヨッシー
見栄えよりも、
　(1/3)πｈ(r1^2＋r1r2＋r2^2)
だと、r1＝r2 つまり、円柱の場合にも適用できるという特徴がありますね。

この、(r1^2＋r1r2＋r2^2)/3 の部分は、○○平均という
名前があるかも知れません。（ないかも知れません^^;）
No.13714 - 2011/05/09(Mon) 17:54:37
★ 高2　三角関数 / れいひゃー
次の式を　sin2x、cos2x、sinx、cosx　のうちのいづれかを用いて表せ。
(1)
sin(x+π/3)cos(x-π/3)
(2)
cos(x+π/4)+cos(x-π/4)



です
答えは
(1)　1/2sin2x+√3/4
(2)　√2cosx
です
和積の変換公式を使うのかと思ったのですが、どんどん分からなくなっていく一方で…；
よろしくお願いします！
No.13621 - 2011/05/01(Sun) 10:42:08
☆ Re: 高2　三角関数 / X
(1)
積和の公式を使うと
sin(x+π/3)cos(x-π/3)
=(1/2){sin{(x+π/3)+(x-π/3)}+sin{(x+π/3)-(x-π/3)}}
=…

(2)
和積の公式を使うと
cos(x+π/4)+cos(x-π/4)
=2cos{{(x+π/4)+(x-π/4)}/2}cos{{(x+π/4)-(x-π/4)}/2}
=…

注)
「和積の公式を使って」という指定が問題にはありませんので
加法定理で展開して整理するのも一つの方法です。
No.13622 - 2011/05/01(Sun) 11:21:38
☆ Re: 高2　三角関数 / れいひゃー
ありがとうございます！
和積の方で解きましたが、加法定理の方も挑戦してみようと思います＾＾
No.13671 - 2011/05/05(Thu) 18:51:41
★ 合成関数の微分と置換 / rio
添付の問題＆解答についてです。
解答の最後の（注）の内容がわかりません。

g(f(x))について、f(x)=tとおいたときg(x)の「x」に対する変化を調べるには　dg(f(x))/dxを求めることが必要で、
dg(f(x))/dx=g'(f(x))=dg(t)/dt・dt/dx となることは合成関数の微分ということで理解しています。

注の内容は

g(f(x))について、f(x)=tとおいたときg(t)の「t」に対する変化を調べるには　dg(f(x))/dtを求めることが必要で、
dg(f(x))/dt=dg(t)/dx・dx/dt となる

という説明だとおもうのですが、g(t)の「tに対する変化」を調べるには単純にdg(t)/dt を考えてはいけないのでしょうか。

なぜ、注にあるようにg'(x)=(1-t)(2t+1)を考えてはいけないのかがわかりません。

宜しくお願いいたします。
No.13615 - 2011/04/30(Sat) 19:17:39
☆ Re: 合成関数の微分と置換 / X
g'(x)=(1-t)(2t+1) (A)
はg(x)の「xによる導関数」においてcosx=tと
置いたのであって、g'(x)の「xに関する増減」を
調べるためのの置き換え
(例えば、g'(x)≧0をtの不等式と見て解いて
tの値の範囲を求め、置き換えを元に戻して
g'(x)≧0となるxの値の範囲を求める)
であれば問題ありませんが、(A)は
g(x)の「tによる導関数」つまりdg(x)/dt
とは全くの別物です。

仮に(A)におけるtがxに関して単調増加であれば
(A)の符号の変化をtに関してのみ考えても
問題ありませんがこの問題の場合は
t=cosx (0<x<π)
ですのでtはxに関し単調減少です。
従って、g'(x)の符号の変化がxの増加に対する場合と
tの増加に対する場合とでは逆になり、注の通り
g(x)はt=-1/2のときに「(最大ではなく)最小」になる
という誤った結論が出てしまいます。
No.13617 - 2011/04/30(Sat) 21:28:49
☆ Re: 合成関数の微分と置換 / rio
早速のご回答ありがとうございました。
>(A)は
g(x)の「tによる導関数」つまりdg(x)/dt
とは全くの別物です。

この点ですが、結果として違ってしまうことはわかりましたが、なぜ別物になってしまうのでしょうか？
文字を置き換えて、その文字で微分するというのは、単に記述法を変えただけのように思えます。
f(cosx)をcosxで微分するというのは、f(t)をtで微分することとどこで違って来るのでしょうか。

dg(f(x))/dt=dg(f(x))/dx・dx/dt

をきちんと理解できていないということなのだと思いますが、宜しくお願い致します。
No.13638 - 2011/05/02(Mon) 06:06:21
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