ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 円周角と回転 / TG

（１）平面上に１２cm離れているA,Bがあり
Pがこの平面上を∠APB＝６０度　を保ちながら
動く

Pが動いてできる線と点A、Bで囲まれた面積を求めよ
またその作図もせよ。
∠APBは作る角のうち小さい方である

おそらく円周角使うのかなというところまで行きました。
図がイメージできず

（２）図を添付します
　　　正三角形ABC（１辺１cmで各頂点を中心として他の２点を結ぶ円弧を３つ描く

　

No.13312 - 2011/03/02(Wed) 11:07:29

☆ Re: 円周角と回転 / シャロン

(2)は問題の画像がぼやけていて読み取れません。手打ちで問題をアップロードしてください。

(1)は、ABを不等辺とする頂角120ﾟの二等辺三角形OAB、O'ABを考えます。
Pは円Oの優弧AB及び円O'の優弧AB上にありますから、求める軌跡は「雪だるま型」になり、求める面積は半径OA、中心角240ﾟの扇形の面積の二倍と一辺OAの菱形の面積を合わせた大きさになります。

No.13313 - 2011/03/02(Wed) 11:36:02

☆ Re: 円周角と回転 / TG

「三角形ABC（１辺１cmで各頂点を中心として他の２点を結ぶ円弧を３つ描く

この図形をCが直線l上にあって線分ACがlに垂直になっている状態から（画像の左側）
Aが初めてl上にくる瞬間（右側）
まで時計回りに滑らずに転がす時
Bが描く軌跡の長さは？」

（１）ありがとうございました。
　　　OABの方しか考えていませんでした。
　　　下も考えるんですね。

No.13314 - 2011/03/02(Wed) 12:56:18

☆ Re: 円周角と回転 / シャロン

BがAの位置に来るまでは、Cは動かないので、そこまでの道程は1*2π/6。

そのあとは、弧CAがl上を接して転がるが、Bは弧CAを含む円の中心なので、Bはlと平行に移動する。その道程は、弧CAの長さに等しいので、1*2π/6。

よって、求める曲線の長さは、2π/3

No.13316 - 2011/03/02(Wed) 13:12:36

★ コーシーシュワルツ / syooo

コーシーシュワルツの不等式(項が３つのバージョン)では､等号が成り立つのはどのようなときですか?

No.13306 - 2011/03/01(Tue) 18:23:54

☆ Re: コーシーシュワルツ / ヨッシー

展開して調べてみましょう。
　(sx+ty+uz)^2≦(s^2+t^2+u^2)(x^2+y^2+z^2)
において、
　(右辺)－(左辺)＝s^2y^2+s^2z^2+t^2x^2+t^2z^2+u^2x^2+u^2y^2-2stxy-2tuyz-2uszx
　＝(s^2y^2-2stxy+t^2x^2)+(s^2z^2-2uszx+u^2x^2)+(t^2z^2-2tuyz+u^2y^2)
　＝(sy-tx)^2+(sz-ux)^2+(tz-uy)^2≧０
となり、等号は、
　sy=tx かつ sz=ux かつ tz=uy
のとき。
(s,t,u)≠(0,0,0) かつ (x,y,z)≠(0,0,0) のときは、
　s:t:u=x:y:z
と書けます。

No.13308 - 2011/03/01(Tue) 22:21:42

☆ Re: コーシーシュワルツ / syooo

成る程!　地道に展開していけば分かりますね
ありがとうございます。

No.13310 - 2011/03/02(Wed) 00:29:30

☆ Re: コーシーシュワルツ / ヨッシー

ベクトルで表すと
　ａ＝(s,t,u)、ｂ＝(x,y,z)
に対して、
　(ａ・ｂ)²＜|ａ|²|ｂ|²
のことですから、
　ａ・ｂ＝|ａ||ｂ|cosθ
を適用すると、
|ａ|＝０または |ｂ|＝０のときは常に等号で、
それ以外のときは、
　cos²θ≦１
となり、等号は、θ＝０，π　のとき、つまり
ａとｂが一直線上にあるとき、と言えます。

No.13311 - 2011/03/02(Wed) 06:58:39

★ 代数的考察 / ぷるぷる

x,yについての連立方程式
3x+Y=ax・・?@
2x+2y=ay・・?A
が（ｘ、ｙ）＝（０，０）以外の解を持つaを求めよ。

解）?@、?Aより
(3-a)+y=0・・?@’
2x+(2-a)y=0・・?A’
であり、
?@’⇔y=(a-3)x・・?B
なのでこれを?A’に代入すると
｛２－（２－a)(3-a)｝＝０・・?C

であり、
｛?@、?A｝⇔｛?@’、?A’｝⇔｛?B、?A’｝⇔｛?B、?C｝
なので?B、?Cの解を考えればよい・・・以下略

とありました。｛?B、?A’｝⇔｛?B、?C｝が分からないです。

コメント）同値を崩さないようにするには加減法と聞いたことがあるのですが、?Cを作る過程で代入法を用いていますね。。

詳しい説明を御願いします。

No.13301 - 2011/03/01(Tue) 06:51:23

☆ Re: 代数的考察 / angel

ちょっと整理します。
　?@ ：3x+y=ax
　?@'：(3-a)x+y=0
　?B ：y=(a-3)x
　?A ：2x+2y=ay
　?A'：2x+(2-a)y=0
　?C ：( 2+(2-a)(a-3) )x=0　( ?A'に?Bを代入した結果 )
ここで、?@⇔?@'⇔?Bと、?A⇔?A'は ( 移項しただけだから ) 明らかで、後は ?Bかつ?A' ⇔ ?Bかつ?C の所がなぜ ( 特に説明もなく ) 成立しているのか、ということですね。

直感的に言うならば、?B：y=(a-3)x という前提がある世界、つまり y は (a-3)x に置き換えることができるし、(a-3)x を y に置き換えることもできる世界を考えてみると良いと思います。

そうすると、?A'の y は (a-3)x に置き換えられるので、2x+(2-a)(a-3)x=0 が成立する、つまり?A'⇒?Cですね。
逆に、?Cを一部展開して 2x+(2-a)(a-3)x=0 の形にすれば、(a-3)x は y に置き換えられるので 2x+(2-a)y=0 が成立する、つまり ?C⇒?A' ということになります。

まとめると、
　?Bの前提の下?A'⇔?Bの前提の下?C
ということで、これは
　?Bかつ?A'⇔?Bかつ?C
に他ならないわけです。

No.13324 - 2011/03/02(Wed) 22:19:58

☆ Re: 代数的考察 / angel

一応、まじめに論理的にどうなるかも調べてみましょう。
ここで、
　(1)「A⇒B」と「A⇒C」が共に成立するならば、「A⇒BかつC」も成立する
　(2)「AかつX⇒A」は、A,Xの内容に関わらず常に成立する
ということに注意しましょう。

すると、
　?Bかつ?A'⇒?B … (2)より成立
　?Bかつ?A'⇒?C … ?A'に?Bを代入している形なので成立
ゆえに(1)より、?Bかつ?A'⇒?Bかつ?C
続いて、
　?Bかつ?C⇒?B … (2)より成立
　?Bかつ?C⇒?A'
　　… ?Cを 2x+(2-a)(a-3)x=0 の形にして、
　　　?Bに従って(a-3)xをyに置き換えた形なので成立
ゆえに(1)より、?Bかつ?C⇒?Bかつ?A'

以上より、?Bかつ?A'⇔?Bかつ?C

No.13325 - 2011/03/02(Wed) 22:31:10

☆ Re: 代数的考察 / ぷるぷる

コメント）同値を崩さないようにするには加減法と聞いたことがあるのですが、?Cを作る過程で代入法を用いていますね。。

について、この問題の場合は代入法でなく加減法で解いても同じ結果が得られるから同値が成立している、つまり、一般に同値を崩さずに行くには加減法、代入法だと同値を保って式変形できない場合がある（例１）という理解で合ってますか？

例１）?@かつ?A⇔?@かつ?B
x^2=y・・?@,x=2y・・?A⇔x^2=y・・?@,(2y)^2=y・・?Bは言えない

No.13340 - 2011/03/04(Fri) 17:31:27

☆ Re: 代数的考察 / angel

うーん…。
私は「加減法」「代入法」という言葉を生まれて始めて聞きましたので、何とお答えすれば良いのか分かりませんが…。

> 例１）?@かつ?A⇔?@かつ?B
> x^2=y・・?@,x=2y・・?A⇔x^2=y・・?@,(2y)^2=y・・?Bは言えない

これは同値変形に問題があるのであって、いわゆる「代入」に責がある訳ではありません。

　・x^2=y かつ x=2y ⇔ x^2=y かつ x=2x^2
　　( x^2=y を x=2y に代入して y を消去 )
　・x^2=y かつ x=2y ⇔ (2y)^2=y かつ x=2y
　　( x=2y を x^2=y に代入して x を消去 )

のどちらかであれば、「代入」を用いて、かつ同値変形にもなっています。

No.13341 - 2011/03/05(Sat) 00:37:16

★ 高１　数?U　二次方程式の解 / れいひゃー

(1)二次方程式2X^2+3X+4=0の２つの解をα、βとするとき、α^4+α^2β^2+β^4の値を求めよ。

(2)X^2-2X+√3=0の2つの解をα、βとするとき、α^3β^2、α^2β^3を解とする二次方程式を1つ作れ。

です。
答えは
(1)-(15/16)　　(書き方が間違ってるかもしれないです；)
(2)X^2-6X+9√3=0
です

(1)は解と係数の関係により
α+β=-(3/2),αβ=2
としてα^4+α^2β^2+β^4にいれていこうかなと思ったのですが、
何度やっても答えとあいません。
(2)に至ってはさっぱりです。

分かる方は、解説等をして下さると嬉いです。

No.13292 - 2011/02/28(Mon) 17:09:06

☆ Re: 高１　数?U　二次方程式の解 / X

(1)
α^4+(α^2)(β^2)+β^4
=(α^2+β^2)^2-(αβ)^2
={(α+β)^2-2αβ}^2-(αβ)^2
=…

(2)
解と係数の関係より
α+β=2 (A)
αβ=√3 (B)
一方
t=α^3β^2
u=α^2β^3
と置くと(A)(B)により
t+u=…
tu=…
であるから解と係数の関係により求める二次方程式は…。

No.13293 - 2011/02/28(Mon) 17:23:34

☆ Re: 高１　数?U　二次方程式の解 / れいひゃー

(1)は解けました!
ありがとうございます＾＾*

(2)ですが、
t+u=…
tu=…
のところが解けないのです
図々しいですけど、そこの計算過程?も教えていただけると嬉しいです；

No.13302 - 2011/03/01(Tue) 07:58:03

☆ Re: 高１　数?U　二次方程式の解 / シャロン

t+uもtuも、α+βとαβであらわせますから、それらの値を代入するだけです。

No.13304 - 2011/03/01(Tue) 08:46:32

☆ Re: 高１　数?U　二次方程式の解 / れいひゃー

何とか解けました！
Xさん、シャロンさんありがとうございました＾＾

No.13305 - 2011/03/01(Tue) 12:26:53

★ 漸化式 / shun

数列{a[n]}がa[1]=-1,2S[n]=3a[n+1]-2a[n]-1を満たすとき次の問いに答えよ。

(1)b[n]=a[n+1]-1/3a[n]とするとき、b[n+1]=2b[n]を示せ。

(2)c[n]=a[n+1]-2a[n]とするとき、c[n+1]=1/3c[n]を示せ。

(3)数列{a[n]}の一般項を求めよ。

宜しくお願いします。

No.13290 - 2011/02/28(Mon) 15:50:36

☆ Re: 漸化式 / ヨッシー

S[n] は、a[n] の第１項から第ｎ項までの和ということで良いですね？

n=1 とすると、S[1]=a[1] より、
　2a[1]=3a[2]-2a[1]-1
　3a[2]=4a[1]+1=-3
より
　a[2]=-1
また、S[n+1]－S[n]＝a[n+1] より、
　2S[n+1]=3a[n+2]-2a[n+1]-1
　2S[n]=3a[n+1]-2a[n]-1
上式から、下式を引いて、
　2a[n+1]＝3a[n+2]-5a[n+1]+2a[n]
　3a[n+2]-7a[n+1]+2a[n]=0　・・・(i)

(1)
(i) を変形して、
　3a[n+2]-a[n+1]=6a[n+1]-2a[n]
３で割って、
　a[n+2]-(1/3)a[n+1]=2{a[n+1]-(1/3)a[n]}
よって、
　b[n+1]＝2b[n]
が成り立ちます。

(2)
(i) を変形して、
　3a[n+2]-6a[n+1]=a[n+1]-2a[n]
３で割って、
　a[n+2]-2a[n+1]=(1/3)(a[n+1]-2a[n])
よって、
　c[n+1]＝(1/3)c[n]
が成り立ちます。

(3)
b[1]＝a[2]-(1/3)a[1]＝-2/3
より、b[n] は、初項 -2/3 公比２の等比数列。
よって、b[n] の一般項は、
　b[n]＝(-1/3)・2^n
よって、
　a[n+1]-1/3a[n]＝(-1/3)・2^n　・・・(ii)
c[n] について同様に考えると、
　a[n+1]-2a[n]＝(1/3)^(n-1)　・・・(iii)
(ii)－(iii) より
　(5/3)a[n]＝(-1/3)・2^n－(1/3)^(n-1)
よって、
　a[n]＝(3/5){(-1/3)・2^n－(1/3)^(n-1)}

こちらも合わせてご覧ください。

No.13291 - 2011/02/28(Mon) 16:43:18

☆ Re: 漸化式 / shun

丁寧なご説明、ありがとうございました。

No.13295 - 2011/02/28(Mon) 21:42:19

★ 高１　数列 / ビリー

数列の問題で解説の途中の
数式の変換を解説願います。

2n+1/n^2(n+1)^2=1/n^2-1/(n+1)^2

簡単でしたらすみません；

No.13288 - 2011/02/28(Mon) 10:56:35

☆ Re: 高１　数列 / シャロン

右辺を計算すれば左辺になります。

No.13289 - 2011/02/28(Mon) 11:17:32

☆ Re: 高１　数列 / ビリー

すいません；

2n+1/n^2(n+1)^2から1/n^2-1/(n+1)^2

とは思いつきなのでしょうか？
それともよくある変換パターンなのでしょうか？

No.13307 - 2011/03/01(Tue) 21:48:59

☆ Re: 高１　数列 / ヨッシー

数列の和を求めるときには、よく目にします。

1/n(n-1)＝1/(n-1)－1/n
なんかもよく目にします。

遡れば、算数の問題の
　1/(1・2)＋1/(2・3)＋1/(3・4)＋・・・＋1/(99・100)
を求めなさい。というようなのも同類です。

No.13309 - 2011/03/01(Tue) 22:53:08

☆ Re: 高１　数列 / angel

分数でない場合でも似たような例として、
　n(n+1) = 1/3・( -(n-1)n(n+1) + n(n+1)(n+2) )
　n(n+1)(n+2) = 1/4・( -(n-1)n(n+1)(n+2) + n(n+1)(n+2)(n+3) )
　…
というのがあります。
2番目の例で言うと、
　1・2・3 + 2・3・4 + … + 8・9・10
　= 1/4・( -0・1・2・3・4 + 1・2・3・4 ) + 1/4・( -1・2・3・4 + 2・3・4・5 ) + … + 1/4・( -7・8・9・10 + 8・9・10・11 )
　= 1/4・( -0・1・2・3 + 8・9・10・11 )
のように、和を効率良く計算するのに役立つ訳です。
※両端以外はプラスの項とマイナスの項が同じだけ現れるので、和を取ると打ち消し合っています。

分数の場合でも、
　1/(n(n+1)) = 1/n-1/(n+1)
　1/(n(n+1)(n+2)) = 1/2・( 1/(n(n+1)) - 1/((n+1)(n+2)) )
　1/(n(n+1)(n+2)(n+3)) = 1/3・( 1/(n(n+1)(n+2)) - 1/((n+1)(n+2)(n+3)) )
　…
と、次数を上げたバリエーションがあります。

No.13326 - 2011/03/02(Wed) 22:58:07

☆ Re: 高１　数列 / シャロン

2n-1=n^2-(n-1)^2なんてのも使いますね。

これをつかえば、1からn番目までの奇数の総和は、
{2n-1}+{2(n-1)-1}+...+3+1
= {n^2-(n-1)^2}+{(n-1)^2-(n-2)^2}+...+(2^2-1^2)+(1^2-0^2)
= n^2+{-(n-1)^2+(n-1)^2}+{-(n-2)^2+...+2^2}+{-1^2+1^2}-0^2
= n^2+0+0+...+0+0-0^2
= n^2
となりますね。

No.13367 - 2011/03/07(Mon) 17:59:24

★ (No Subject) / omg

以下の方程式は与えられた区間に実数解をもつことを示せ。
?@2x^3+x^2-5x+1=0[0,1]
?Ax^3-3x-1=0[-2,-1],[-1,0],[1,2]

お願い致します。

No.13281 - 2011/02/27(Sun) 20:30:27

☆ Re: / X

(1)だけ示しますのでそれを参考にして
(2)を解いてみて下さい。

(1)
f(x)=2x^3+x^2-5x+1
のとき
f(0)＝1>0
f(-1)=-1<0
∴中間値の定理により題意は成立します。

No.13282 - 2011/02/27(Sun) 20:50:19

☆ Re: (No Subject) / omg

なんとなく理解できました。
中間値の定理って言うんですか‥
数?U範囲ですか？

＞f(-1)=-1<0

これはf(1)=-1<0ですよね？

(2)f(x)=x^3-3x-1とおく。
f(-2)=-3<0、f(-1)=1>0
f(0)=-1<0、f(1)=-3<0
f(2)=1>0

∴中間値の定理より題意成立

‥で、okですか？？

No.13283 - 2011/02/27(Sun) 21:37:56

☆ Re: / シャロン

一応、「f(x)は実数全体で連続なので」を、「中間値の定理より」の前にいったほうがいいでしょう。

No.13284 - 2011/02/27(Sun) 22:03:07

★ コラッツ予想的な問題 / ダンデ

こんばんは。以下の問題を教えてください。

自然数について、以下の規則で必ず１にすることができます。
規則?@：その数が奇数ならば１を足す。
規則?A：その数が偶数ならば２で割る。

たとえば、１０という数は、
１０→５→６→３→４→２→１
と６回で１になります。

ある数は８回で１になります。８回のうち１回は「規則?@」を、残りは「規則?A」を使います。ところが、「規則?@」で１を足すところを、間違えて１を引いてしまったため、「規則?A」が一回減り、全部で７回で１になりました。
ある数を求めなさい。

お願いいたします。

No.13278 - 2011/02/27(Sun) 19:14:18

☆ Re: コラッツ予想的な問題 / ヨッシー

規則１で１を足すところを、１引くと、本来の状況から、２少ない状況から始めて、
その後、規則２が１回減っているので、２少なくなることと、
規則２を１回行ったのと同じ効果があるということなので、
規則１のあと、４になったか、２になったかの違いです。
よって、１から逆にたどると
　１→２→４→３→６→１２→２４→４８→９６
よって、ある数は９６で、
　９６→４８→２４→１２→６→３→４→２→１
が
　９６→４８→２４→１２→６→３→２→１
になったということです。

No.13280 - 2011/02/27(Sun) 20:30:18

☆ Re: コラッツ予想的な問題 / ダンデ

わかりました。ありがとうございました。

No.13285 - 2011/02/27(Sun) 22:17:44

★ 数列の問題 / shun

高２です。以下の問題の解き方がわからないので教えてください。

a[n]=3n-1の等差数列がある。２００以下のa[n]のうち偶数であるものの和を求めよ。

答えは３４３４になるそうなのですが。宜しくお願いします。

No.13273 - 2011/02/27(Sun) 09:53:26

☆ Re: 数列の問題 / のぼりん

こんにちは。
ｎの範囲は、正整数と解しました。

ａ_ｎが２００以下となるためには、３ｎ－１≦２００、つまりｎ≦６７であることが必要十分です。
ａ_ｎが偶数となるためには、３ｎが奇数、つまりｎが奇数であることが必要十分です。
この条件は、ｎ＝２ｋ＋１と表すと、０≦ｋ≦３３と書けます。

従って、
　　　求める和＝??_ｋ＝０^３３｛３（２ｋ＋１）－１｝
　　　＝??_ｋ＝０^３３（６ｋ＋２）＝３，４３４
となります。

No.13276 - 2011/02/27(Sun) 11:33:50

☆ Re: 数列の問題 / shun

ありがとうございます。よく理解できました。

No.13296 - 2011/02/28(Mon) 21:43:20

★ サイコロ / ひよこ

３個のサイコロを同時に投げるとき出る目の最大値が６になる確率を求めよ。

解）確率では同じに見えるものでも全て区別して考えるので三つのサイコロをそれぞれ大,中,小と名付けると
大中小は順に
6\\
\6\
\\6
\66
6\6
66\
666
\:1～5

となるので、求める確率は（5・5×６＋１）/6^3=151/216

としたのですが、答えは９1/２１６でした。どこが悪いのか教えて下さい。何回やってもこの答えにならないのです。誰か助けてください。

No.13270 - 2011/02/27(Sun) 07:19:47

☆ Re: サイコロ / Kurdt（かーと）

こんにちは。

上3つはそれぞれ5×5通りですが、次の3つはそれぞれ5通りですよね。
そのため式は(25×3+5×3+1)/6^3 となるでしょう。

ただ、この方法より余事象を使ったほうがもっと簡単に解けますが。
（ 1-(6が出ない確率) とするだけで解けます）

No.13271 - 2011/02/27(Sun) 08:49:57

☆ Re: サイコロ / ひよこ

助かりました！！ありがとうございます！

No.13272 - 2011/02/27(Sun) 09:36:43

★ 空間２直線 / なな

質問失礼します。

２直線l:3-x=(y-5)/2=(z+5)/2、m:x-2=y/2=z+1がある。l上に点P、m上に点Qをとるとき、線分PQの最小値を求めよ。またそのときのP、Qの座標を求めよ。

解説宜しくお願いします。

No.13268 - 2011/02/26(Sat) 21:15:18

☆ Re: 空間２直線 / rtz

流れとしては、
P,Qをそれぞれ媒介変数を用いて表す。
→PQ²を、用いた媒介変数で表す。
→平方完成して最小値を求める。
です。

Pのx座標をpなどとしてy,z座標をだしましょう。
Qもqなどを使って表します。
PQ²をp,qの式にして、
PQ²＝(ap＋bq＋c)²＋(dq＋e)²＋f
の形に平方完成すれば、どのようなp,qで最小値をとるのか求まります。

No.13269 - 2011/02/26(Sat) 21:48:42

☆ Re: 空間２直線 / なな

求められました(^_^)

rtzさんありがとうございました。

No.13275 - 2011/02/27(Sun) 10:45:18

★ 数２ / まっちょ

実数x,y,zが条件x+2y+3z=1を
みたすとき、x^2+4y^2+9z^2の
最小値とそのときのx,y,zを
求めよ。

コーシーシュワルツの不等式を
使うらしいのですが解き方が
よくわかりません。
教えてください。

No.13265 - 2011/02/26(Sat) 14:31:38

☆ Re: 数２ / ヨッシー

コーシーシュワルツの不等式は必須なのでしょうか？

使わないでも良いなら、
　Ｘ＝ｘ，Ｙ－２ｙ，Ｚ＝３ｚ
とおくと、
　Ｘ＋Ｙ＋Ｚ＝１のときＸ²＋Ｙ²＋Ｚ² の最小値
ということになりますが、
球Ｘ²＋Ｙ²＋Ｚ²＝ｋ²　が
平面Ｘ＋Ｙ＋Ｚ＝１と、共有点を持ちながら、半径ｋを最小にするには？
と考えると、
球が、平面に接するときが、半径最小で、そのとき接点と
原点を結ぶ線は、平面に垂直なので、接点Ｐについて、
ＯＰは、平面の法線ベクトル(1,1,1) と平行なので、
Ｐの座標は、(t,t,t)　と書けます。
Ｘ＋Ｙ＋Ｚ＝１に代入して、ｔ＝1/3 。
よって、Ｘ＝Ｙ＝Ｚ＝1/3 のとき、
　Ｘ²＋Ｙ²＋Ｚ²は、最小値1/3 を持ちます。
このとき、x=1/3, y=1/6, z=1/9 となります。

No.13266 - 2011/02/26(Sat) 15:12:18

☆ Re: 数２ / angel

ベクトル u,v に関するコーシー・シュワルツの不等式
　|u・v|≦|u||v| ( 等号成立はu,vが平行 )
に対して、
　u=(1,1,1), v=(x,2y,3z)
を適用すれば、
　|x+2y+3z|≦√(3(x^2+4y^2+9z^2)) ( 等号成立は x=2y=3z )
となりますから、x+2y+3z=1 という前提から、
　1≦√( 3(x^2+4y^2+9z^2) ) ( 等号成立は x=2y=3z=1/3 )
ということで、x^2+4y^2+9z^2 の最小値1/3、そのとき x=1/3,y=1/6,z=1/9 が導き出せます。

No.13267 - 2011/02/26(Sat) 15:38:06

☆ Re: 数２ / まっちょ

どちらも丁寧な説明ありがとう
ございます！
理解できました！

No.13277 - 2011/02/27(Sun) 17:47:38

★ Weierstrassの優級数判定とはこれの事? / noname

定義についての質問です。
Def642はWeierstrass' majorant series theoremと呼ばれるものだと思います。
そしてWeierstrass' majorant testを
Def646とDef650の2通り見つけたのですがどちらもWeierstrass' majorant testと呼ぶのでしょうか?

それともどちらか片方はWeierstrass' majorant testとは呼ばないのでしょうか?
その場合は何と呼ばれるのでしょうか?

あと間違いがありましたらご指摘頂けましたら幸いでございます。

No.13264 - 2011/02/26(Sat) 11:43:33

☆ Re: Weierstrassの優級数判定とはこれの事? / のぼりん

こんにちは。
Ｄｅｆ６４２、Ｄｅｆ６４６とは、何のことでしょうか？

※　定義に関する質問の場合、一般的には、人により異なる定義をすることがあるので、その定義をした人（先生？）に聞くしかない様に思われます。

No.13274 - 2011/02/27(Sun) 10:31:03

☆ Re: Weierstrassの優級数判定とはこれの事? / noname

> Ｄｅｆ６４２、Ｄｅｆ６４６とは、何のことでしょうか？

すいません。番号は何も関係ありません。誤植でした。

ただのDefと解釈して下さい。

No.13361 - 2011/03/06(Sun) 09:48:30

★ 御質問に答えるコーナーの平面図形の問題について / むこう

むこう、と申します。
様々な算数・数学の問題を取り扱われている素敵なサイトに出会いました。
GIFのコンテンツも充実しているので、ゆっくり見させていただきます。

トップページから下へスクロールして見られる「御質問に答えるコーナー」で、
思いついたことをここで書かせていただきます。

李さん１　から2008/10/07　に届いた平面図形の問題の回答についてです。
BC=xと置き、補助線から見事にxの値を求めていますが、
それからの正三角形の一辺の求め方が少し工夫できると思います。
辺BCの延長上にあるAの対角の点をEとしますと、
正方形の1辺の長さが１ですから、CE=BE-BC=1-(2-√3)=√3-1　です。
辺CEは直角二等辺三角形の一辺ですから、その辺の比が1：1：√2であることを
知っているものとすれば、正三角形の辺が √2(√3-1)-√6-√2 と求められます。

私がこの問題を初めに解いたとき、CE=xと置き、AC=√2・xであることから、
△ABCに三平方の定理を適用した方程式1^2+(x-1)^2=(√2・x)^2 から答えを求めました。

No.13261 - 2011/02/25(Fri) 23:12:57

☆ Re: 御質問に答えるコーナーの平面図形の問題について / ヨッシー

ありがとうございます。

ＣＥ＝ｘ　とおく方法を少しアレンジして、こちらを更新しました。

No.13279 - 2011/02/27(Sun) 20:06:08

★ 数A　高一 / みぃ

この問題の解き方を、わかりやすく教えて下さいｍ(_　_)ｍ

平行四辺形ＡＢＣＤの辺ＢＣ、ＣＤの中点をそれぞれＥ、Ｆとし、対角線ＢＤとＡＥ、ＡＦとの交点をそれぞれＰ、Ｑとする。ＢＤ＝１２のとき、線分ＰＱの長さを求めよ。

です。
お願いしますｍ(_　_)ｍ

No.13256 - 2011/02/24(Thu) 19:33:30

☆ Re: 数A　高一 / みぃ

ちなみに答えは
ＰＱ＝４です。

No.13257 - 2011/02/24(Thu) 19:37:36

☆ Re: 数A　高一 / シャロン

FEの延長とABの延長の交点をGとする。
∠EBG=∠ECF、∠BEG=∠CEF、BE=ECより、
△BEG≡△CEF
よって、EG=6。
同様に、EFの延長とADの延長の交点をHとすると、△DHF≡△CEFよりFH=6。

また、∠ABP=∠AGE、∠BAP=∠GAEから、△ABP∽△AGE。BG=CF=(1/2)ABより、BP:GE=2:3。
よって、BP=4。
同様に、△AQD∽△AFHで、QD:FH=2:3より、QD=4。

∴PQ=BD-BP-QD=4。

No.13258 - 2011/02/24(Thu) 20:04:39

☆ Re: 数A　高一 / みぃ

返事遅くなってごめんなさいｍ(_　_)ｍ

なんとなくわかりました＾＾
ありがとうございました＾＾

No.13319 - 2011/03/02(Wed) 21:05:20

★ 漸化式と数列 / ビリー

漸化式の問題です。
次の条件によって定められる数列a{n}の一般項を求めよ。

a{1}=2 a{n+1}-a{n}=3n^2+n

◎答え

数列a{n}の階差数列の第n項は３n^2+n
よってn≧２の時
a{n}=a{1}+sum_{k=1}^{n-1}frac(3k^2+k)
までは分かるのですが
ここから
2+3･1/6(n-1)n(2n-1)+1/2(n-1)n
に変換されるわけが分かりません。
公式から考えて
2+3･1/6(n+1)n(2n+1)+1/2(n+1)n
ではないのですか？

よく考えたのですが分かりませんでした。
説明よろしくお願いします。

sumやfracという記号を今回初めて使ったので
間違っていたら申し訳ないです；

No.13250 - 2011/02/23(Wed) 23:29:46

☆ Re: 漸化式と数列 / ヨッシー

それは、ｋを１からｎまで足したときの公式ですね。
階差の場合は、１からｎ－１までなので・・・

No.13251 - 2011/02/23(Wed) 23:38:41

☆ Re: 漸化式と数列 / シャロン

余談ですが、
>sumやfrac
TeXの表記であれば、\sum、\fracと頭に半角の\をつけましょう。

また、\fracは\frac{a}{b}の形でa/bの分数を表しますから、ここでは不要です。

No.13255 - 2011/02/24(Thu) 18:31:32

☆ Re: 漸化式と数列 / ビリー

なんとなく分かりました！！
ヨッシーさんシャロンさんありがとうございます。

No.13287 - 2011/02/28(Mon) 10:35:13

★ (No Subject) / ambitious

３≦2x+y≦４、５≦3x+2y≦６のとき(x+y)/(2x+y)のとりうる値の範囲を求めよ。

答えは[1/4,1]です。線形計画法ではちょっとやれませんでした。どなたか詳しい解説を御願いします

No.13244 - 2011/02/23(Wed) 05:10:25

☆ Re: / シャロン

2x+y=X、3x+2y=Yとおけば、

(x+y)/(2x+y)=(Y-X)/X=Y/X-1です。

No.13245 - 2011/02/23(Wed) 07:51:37

☆ Re: / ambitious

その式変形は理解しました

No.13248 - 2011/02/23(Wed) 15:44:06

☆ Re: / シャロン

Y/X-1=kとおけば、Y=(k+1)Xですから、原点をとおり傾きk+1の直線が領域[3,4]×[5,6]と共有点を持つようなkを求めれば...

No.13249 - 2011/02/23(Wed) 15:56:43

☆ Re: / ambitious

[3,4]×[5,6]とはなんのことですか？

No.13252 - 2011/02/24(Thu) 11:38:21

☆ Re: / シャロン

解り難かったですかね。

3≦X≦4かつ5≦Y≦6で表される領域のことです。

No.13254 - 2011/02/24(Thu) 12:48:28

☆ Re: / ambitious

X,Yが３≦X≦４、５≦Y≦６の範囲の値をどうして勝手に取りうるか教えて下さい。2x+y=X、3x+2y=Yとおくことに抵抗があります。

No.13259 - 2011/02/24(Thu) 22:22:44

☆ Re: / シャロン

>X,Yが３≦X≦４、５≦Y≦６の範囲の値をどうして勝手に取りうるか教えて下さい。

「3≦2x+y≦4、5≦3x+2y≦6」のときとはx,yが2x+y、3x+2yがそういう値をとるように動くといういみですね。
問題で2x+y、3x+2yがそう動くと定義されているのですから、同じ値と定義したX、Yも当然そう動きます。

X、Yを置かなくても、(x+y)/(2x+y)=kがxy平面上で条件を満たす領域(平行四辺形となります)と共有点を持つようなkを求めればいいのです。

(x+y)/(2x+y)=kとは(k-1)y=-(2k-1)xと原点を通る直線を表すことになります。
k≠1では、y={-(2k-1)/(k-1)}xとなり、傾き-{(2k-1)/(k-1)}≧-2/3で、1/4≦k＜1です。
k=1の場合、これはy軸を表し、平行四辺形の頂点(0,3)で共有点を持ちますから、k=1も解となるため、
求めるkの範囲は1/4≦k≦1となります。

No.13260 - 2011/02/25(Fri) 00:11:11