a.b.p.qは全てベクトルで、大きさを表すときはlal,lbl,lpl,lqlのように表すことにします。
平面上の二つのベクトルa,bがla+2bl=1,l-3a+bl=1を同時に満たしながら変化するときla+blの最大値を求めよ。
解)を写すと、 a+2p=p・・?@ -3a+b=q・・?A とおくとlpl=lql=1・・・?B
?@かつ?A⇔?@−?A×2かつ?@×3+?A ⇔a=(1/7)(p-2q)・・・?C,b=(1/7)(3p+q)・・・?D
よってla+bl=l?C+?Dl=(1/7)l4p+(-q)l ≦(1/7){l4pl+l-ql}=(1/7)(4lpl+lql)=5/7
『等号は4pと-qが同じ向きのときに成り立つ』から la+blの最大値は5/7
『 』が疑問に残ります。本当に成り立つのかどうか。本当に4pと-qが同じ向きになり得るp,qが存在するのかどうか。 確かに等号が成り立つと仮定すれば、4pと-qが同じ向きのときしか有り得ませんが。
参考:解答には「?@かつ?A⇔?Cかつ?Dなのでp,qは?Bをみたすように自由に動けます」とありました。この意味が分からないことが原因なのかもしれません。
かなり難しい質問かもしれませんが、どなたかよろしく御願いします。
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No.13175 - 2011/02/18(Fri) 16:55:57
| ☆ Re: 論理 / X | | | 4↑p=↑r,-↑q=↑s と置くと ↑p=(1/4)↑r,↑q=-↑s (A) 又 |↑r|=4,|↑s|=1 (A)' (A)を(4)(5)の各式に代入すると (4)は ↑a=(1/28)(↑r+8↑s) (4)' (5)は ↑b=(1/28)(3↑r-4↑s) (5)' (4)'(5)'は↑r,↑sを(A)'の条件で任意に取っても それに対応する↑a,↑bが存在することを示しています。
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No.13176 - 2011/02/18(Fri) 18:29:46 |
| ☆ Re: 論理 / 常に志すもの | | | 4↑p=↑r,-↑q=↑s と置いた理由がよく分かりません。何か意味があるのでしょうか。式変形の流れは理解できました。
(4)'(5)'は↑r,↑sを(A)'の条件で任意に取っても それに対応する↑a,↑bが存在することを示しています
の理由と意味が全く分かりません。
苦手な部分なのでなるだけ詳しく御願いします。 よろしく御願いします。
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No.13179 - 2011/02/18(Fri) 19:07:23 |
| ☆ Re: 論理 / X | | | では 見方を変えて4↑p,-↑qが同じ向きになるような ↑a,↑bの条件を実際に求めてみますね。
4↑p,-↑qが同じ向きですので -↑q=k(4↑p) (k>0) と表すことができます。 ∴↑q=-4k↑p (A) これを(3)に代入すると |↑p|=|-4k↑p|=1 ∴k=1/4 ∴(A)は ↑q=-↑p これに(1)(2)を代入すると -3↑a+↑b=-(↑a+2↑b) 整理して ↑b=(2/3)↑a となります。
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No.13205 - 2011/02/20(Sun) 10:03:33 |
| ☆ Re: 論理 / angel | | | Xさんではないですが、横から失礼します。
> 4↑p=↑r,-↑q=↑s と置いた理由がよく分かりません。 見易さのためと思われます。 添付の図のような「三角不等式」に適合することが一目で分かるように、4やら-1の係数のない形にされたのでしょう。 ※こういうことは良くあるので、慣れた方が良いと思います。 でもって、 > 本当に成り立つのかどうか。 というのは、ちゃんと成り立ちます。三角不等式というのはそういうものです。
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No.13206 - 2011/02/20(Sun) 10:16:32 |
| ☆ Re: 論理 / 常に志すもの | | | 問題をもう一度繰り返しますと、平面上の二つのベクトルa,bがla+2bl=1,l-3a+bl=1を同時に満たしながら変化するときla+blの最大値を求めよ。とあります。この文だけからはa,bが具体的にどのようなものであるかは不確定です。そしてXさんの計算により 4↑p,-↑qが同じ向きとなる↑p、↑qが存在する ⇔↑b=(2/3)↑aとなる↑b、↑aが存在する ということは分かりましたが、 これは ↑b=(2/3)↑aとなる↑b、↑aが仮に実在したら4↑p,-↑qが同じ向きとなる↑p、↑qが存在する と言っているだけであって、↑b=(2/3)↑aとなる↑b、↑a本当に存在するのかどうかが分かりません。la+2bl=1,l-3a+bl=1という縛りがありますので。
確かに三角不等式もベクトルp、qがあらゆる方向を向けるのならば等号成立が言えるでしょうが、「○○という条件の下では同じ向きになりえない」という場合もあると思います。
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No.13212 - 2011/02/20(Sun) 21:12:57 |
| ☆ Re: 論理 / X | | | >>angelさんへ >>4↑p=↑r,-↑q=↑s と置いた理由 についてのフォローありがとうございます。
>>常に志すものさんへ 確かに ↑b=(2/3)↑a (P) だけでは l↑a+2↑bl=1 (Q) l-3↑a+↑bl=1 (R) の条件を考えてませんね。 ではこの2つの条件を更に使って↑a,↑bに成り立つ条件 を考えてみましょうか。 (P)を(Q)に代入して |↑a|=3/7 (S) これは(P)を(R)に代入した場合にも成立します。 (つまり、(Q)(R)の条件を満たす↑aは存在します。) (R)(S)より |↑b|=(2/3)|↑a|=2/7 (T) つまり(S)(T)のような↑a,↑bでなおかつ↑a,↑bが 同じ向きであれば|↑a+↑b|は最大になります。
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No.13216 - 2011/02/21(Mon) 09:43:25 |
| ☆ Re: 論理 / 常に志すもの | | | そのような↑a,↑bが存在すると何故いえるのですか?
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No.13243 - 2011/02/23(Wed) 05:04:36 |
| ☆ Re: 論理 / X | | | 問題での↑a、↑bに関する前提条件が l↑a+2↑bl=1 (Q) l-3↑a+↑bl=1 (R) 以外に存在しないからです。 No.13216で仮に(P)を(Q)に代入して得られた|↑a|の値と (P)を(R)に代入して得られた|↑a|の値が一致しなければ (P)を満たす↑a、↑bは存在しないとなるのですが、実際 にはそうはなっていません。
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No.13247 - 2011/02/23(Wed) 12:46:29 |
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