ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / ノヴ

xy直交座標平面上を移動する資点Pの座標(x,y)は時刻tの関数として、

r=OP=(x,y)=t(cost,sint) (t>0)
であらわされる。

点Pの軌道の概形を図示せよ。

なんですが、どのような図になるんでしょうか？
求め方を教えていただきたいです。

No.13866 - 2011/05/28(Sat) 23:28:21

☆ Re: / ヨッシー

(cost,sint) だけだったら、単位円上をぐるぐる回るだけですね？
これに、半径ｔがさらに掛けられるので、徐々に原点から遠ざかる
渦巻きになります。
また、各方向において、渦巻きの幅は常に2πとなる特徴があります。
特徴的な点(0, π/2)、(－π, 0)、(0, －3π/2)、(2π, 0) などを
取りながら、結んでいけばいいでしょう。

No.13867 - 2011/05/29(Sun) 02:00:58

★ 三角関数の問題 / shun

y=2sinx+2cosx+sin2x(0≦x≦2π）について
この関数の最大値、最小値およびその時のxの値を求めよ。

という問題で、最大値、最小値を求めるところまでは分かったのですが、その時のxの値の求め方が分かりません。
どなたか求め方を教えて下さい。宜しくお願いします。

No.13864 - 2011/05/28(Sat) 22:29:31

☆ Re: 三角関数の問題 / X

>>最大値、最小値を求めるところまでは分かったのですが、
とありますが、その求める過程をアップしてもらえませんか？。
それを元にしないと適切な説明ができませんので。

No.13865 - 2011/05/28(Sat) 23:09:41

★ 高３数学です。 / Ｙ

３次関数と接線の問題です。

曲線y=x^3 上の原点以外の点Pにおける接線がx軸、y軸および、再びこの曲線と交わる点を、それぞれＱ，Ｒ，Ｓとするとき、ＱＲ：ＲＳを求めよ。

自分で解きました。

P(α,α^3), S(β,β^3)とおく。
点Sからx軸に下ろした垂線とx軸の交点をHとする。

y = x^3 の　接線の傾きは微分して
3x^2 , これに　P(α , α^3 ) を通るから、代入して接線の式を求めると

y = 3α^2 x － 2α^3
とわかった。これにより点Ｑのx座標が求まる。
0 = 3α^2 x － 2α^3
これを解いて
x = (2/3)α

関数　y = x^3　と　接線　y = 3α^2 x － 2α^3が
α（重解）とβを持つとする。

x^3 － 3α^2x + 2α^3 = ( x－α)^2 *( x－β)
⇔
x^3 － 3α^2x + 2α^3 = ( x^2－2αx + α^2 ) ( x－β)
⇔
x^3 － 3α^2x + 2α^3 = x^3 －βx^2 － 2αx^2 + 2αβｘ + α^2x　－ α^2β
⇔
x^3 － 3α^2x + 2α^3 = x^3 － (2α+β)x^2 + (2αβ+α^2)x － α^2β

左辺＝右辺より係数を比較して、
0 = 2α + β
－3α^2 = 2αβ + α^2
2α^3 = －α^2β
これより
β = －2α
以上より
ＱＲ：ＲＳ　＝　ＱＯ：ＯＨ　＝　｜(2/3)α｜　：　｜－2α｜　＝　１：３　//

自分で解いてみたのですがどうも、
関数－接線＝(x－α)^2(x－β)のところが
ちゃんと説明しろと言われても、あいまいにしかわかっていない気がします。ここの説明をはっきり出来るようにしたいのですがよろしくお願いいたします。

No.13850 - 2011/05/23(Mon) 21:07:53

☆ Re: 高３数学です。 / X

Yさんの仰るとおり
>>関数－接線＝(x－α)^2(x－β)
となる説明が無いので解答としては不完全ですが
この理由の説明は煩雑です。ですので
>>x^3 － 3α^2x + 2α^3 = (x-α)^2 *(x－β)
と置くよりも、実際に
x^3-3(α^2)x+2α^3
を
>>x^3 － 3α^2x + 2α^3 = (x-α)^2 *(x－β)
を目標に因数分解することを考えた方が
議論を避けることができ解答が容易です。
この問題の場合ですが
x^3-3(α^2)x+2α^3
=x^3+α^3+α^3-3α・α・x
(x+α+α)(x^2+α^2+α^2-αx-αx-α^2)
=(x+2α)(x^2+α^2-2αx)
=(x+2α)(x-α)^2
と因数分解できますので
β=-2α
となります。
或いは
x^3-3(α^2)x+2α^3
を
(x-α)^2
で実際に割ってみてもいいでしょう。

No.13851 - 2011/05/23(Mon) 22:23:38

☆ Re: 高３数学です。 / X

敢えて
>>関数－接線＝(x－α)^2(x－β)
となる説明をつけるとすれば以下の通りです。

今、三次関数
y=f(x)
上の点(α、f(α))
における接線の方程式
y=f'(α)(x-α)+f(α)
について
F(x)=f(x)-{f'(α)(x-α)+f(α)}
を考えると
F(α)=0 (A)
F'(α)=0 (B)
(A)より
F(x)=(x-α)g(x) (C)
(g(x)は二次式)
と置くことができます。
このとき、積の微分により
F'(x)=g(x)+(x-α)g'(x) (C)'
(B)(C)'より
g(α)=0
∴g(x)=(x-α)(ax+b) (a≠0)
の形になります。
よって(C)から
F(x)=(ax+b)(x-α)^2
特にf(x)のx^3の係数が1の場合はa=1となり
F(x)=(x+b)(x-α)^2
の形となります。

No.13852 - 2011/05/23(Mon) 22:33:21

☆ ありがとうございます！！ / Ｙ

うわぁ～～！！本当！！めちゃくちゃすっきりしました！！
ありがとうございます！！もっと数をこなしたいと思います！！感動です！！お世話になりました！！

No.13855 - 2011/05/24(Tue) 19:03:37

★ xについての恒等式 / しろ

cの値は？

a(x-2)^2+b(x-1)+c=2x^2-9x+6

途中式を含め解法を教えてください。
よろしくお願いします。

No.13849 - 2011/05/23(Mon) 20:52:25

☆ Re: xについての恒等式 / X

問題の恒等式を(A)とします。
解法その１)
((A)の左辺)=a(x^2-4x+4)+b(x-1)+c
=ax^2+(b-4a)x+4a-b+c
これと(A)の右辺との係数を比較すると
a=2 (B)
b-4a=-9 (C)
c=6 (D)
(B)(C)(D)を連立して解きます。

解法その２)
(A)は任意のxに対して成立するので、
x=0,1,2のときも成立します(必要条件)。(P)
よってx=0,1,2を(A)に代入して
4a-b+c=6 (B)
a+c=-1 (C)
b+c=-4 (D)
(B)(C)(D)を連立して解いてa,b,cを求めます。
(但しこの解法では(P)により、求めたa,b,cに対して
(A)が成立することを確かめなくてはいけません。)

No.13853 - 2011/05/23(Mon) 22:45:02

☆ Re: xについての恒等式 / しろ

Xさん回答ありがとうございます。

=ax^2+(b-4a)x+4a-b+c
ココから下の、係数の比較と連立が理解できてません。

これと(A)の右辺との係数を比較すると
a=2 (B)
b-4a=-9 (C)
c=6 (D)
(B)(C)(D)を連立して解きます。

答えは-3です。アドバイス頂ければ幸いです。

No.13856 - 2011/05/24(Tue) 19:11:50

☆ Re: xについての恒等式 / X

ごめんなさい、(D)を間違えてますね。
正しくは
4a-b+c=6 (D)
です。

No.13857 - 2011/05/24(Tue) 21:00:40

☆ Re: xについての恒等式 / しろ

ありがとうございました。
解法２で理解できました。

解法１は私の力不足で理解できませんでした＞＜

No.13861 - 2011/05/25(Wed) 22:36:08

☆ Re: xについての恒等式 / X

では解法その１の
a=2 (B)
b-4a=-9 (C)
4a-b+c=6 (D)
を連立して解いてみます。
(B)を(C)に代入して
b-8=-9
∴b=-1 (C)'
(B)(C)'を(D)に代入して
8+1+c=6
∴c=-3
よって
(a,b,c)=(2,-1,-3)
となります。

No.13862 - 2011/05/25(Wed) 23:18:21

☆ Re: xについての恒等式 / くろ

教科書読めば分かるだろ？
学校行ってんのか？

No.13863 - 2011/05/27(Fri) 12:00:16

★ 中点連結定理 / ぜっとん

　ADとBCは平行、AD=10?p、BC=16?pの台形で、AB,ACの中点をM,Nとする。このとき、四角形AMNDと四角形MBCNの面積の比を求めなさい。ただし、MNとBCは平行であることを利用してよい。

No.13845 - 2011/05/22(Sun) 21:21:55

☆ Re: 中点連結定理 / X

題意から四角形AMNDと四角形MBCNは高さが等しい台形と
みなすことができるので、この高さをh[cm]とし
MN=x[cm]
四角形AMNDと四角形MBCN面積をS[cm^2],T[cm^2]
とすると
S=(1/2)(x+10)h (A)
T=(1/2)(x+16)h (B)
一方△ABCにおいて中点連結定理により
x=(1/2)BC=8[cm] (C)
(A)(B)(C)より
S:T=…

No.13847 - 2011/05/23(Mon) 10:23:22

★ 移項の図形的意味 / rio

方程式における移項の操作の意味について質問です。

3x+5=5x+1
という方程式は
y=3x+5
y=5x+1
という2つの関数のグラフの交点のx座標を求めることですよね。
また、元の方程式を移項して
2x=4
としてみると、これは
y=2x
y=4
という2つの関数のグラフの交点のｘ座標を求めることです。
つまり
y=3x+5
y=5x+1
という2つのグラフの交点のx座標は、移項という操作を経て
y=2x
y=4
という2つのグラフの交点として考えても同じということになります。
これは、最初の2つのグラフが移項によって交点のx座標を維持したまま別の2つのグラフに移動されたとも言えるとおもいます。

中1以来、「式の同値変形」として何気なく行っていた移項という操作は、2つのグラフの交点のx座標を維持したままの移動という「図形的な意味」を持っているのでしょうか？

宜しくお願い致します。

No.13843 - 2011/05/22(Sun) 10:16:05

☆ Re: 移項の図形的意味 / そら

y=5x+1がy=4に"変化"することがグラフの移動なのかという疑問はありますが,
そして"意味"という言葉を与えるほどなのかは分かりませんが,
たぶんそういうことになると思います.

No.13844 - 2011/05/22(Sun) 11:31:19

☆ Re: 移項の図形的意味 / rio

早速のご返信ありがとうございます。
移項が、「交点を中心とした回転移動とy軸方向の移動」という操作になっていると言えるのですね。
もう少し踏み込んで、行列などで表現出来て、より具体的に「移項」と「グラフの移動」のつながりを掴めないものなのでしょうか？

No.13848 - 2011/05/23(Mon) 15:49:05

☆ Re: 移項の図形的意味 / angel

いや、移項という操作に図形的な意味を求めるのは苦しいと思います。
1次関数ならまだしも、2次以上の関数やら何やらでは説明がつかないでしょう。

移項ってそもそも、等号（不等号）を挟んだ両辺に同じ項を足しても（引いても）、等号（不等号）は同様に成立するって話の延長ですからね。

No.13854 - 2011/05/24(Tue) 01:06:09

☆ Re: 移項の図形的意味 / rio

ありがとうございました。少し不思議な関係だなと思いましたが、残念です。自分でもさらに考察してみたいと思います。

No.13858 - 2011/05/25(Wed) 05:02:39

★ (No Subject) / ケレンスキー

ガラスでできた玉で、赤色のものが４個、青色のものが４個、白色のものが１個ある。玉には中心を通って穴があいているとする。これらすべての玉に糸を通して首輪を作る方法は何通りあるか。
よろしくおねがいします。

No.13839 - 2011/05/21(Sat) 14:45:18

☆ Re: / らすかる

白を基準にして残り8個の並び方を考えた場合、
表裏を別々として8C4通り
そのうち裏返しても変わらないのが4C2通り
よって求める答えは (8C4-4C2)÷2+4C2=38通り

No.13842 - 2011/05/21(Sat) 16:51:58

☆ Re: / ケレンスキー

> 白を基準にして残り8個の並び方を考えた場合、
> 表裏を別々として8C4通り
> そのうち裏返しても変わらないのが4C2通り
> よって求める答えは (8C4-4C2)÷2+4C2=38通り

ありがとうございました。

No.13889 - 2011/06/04(Sat) 10:00:59

★ 不等式の証明 / みみ

以下の問題の解き方を教えて下さい＞＜

１、a＞０，b＞０のとき、次の不等式を証明せよ。

(１)(a+b)√(ab)＞＝２ab
(２)３√a+２√b＞√(９a+４b)

２、a＞０，b＞０のとき、次の不等式を証明せよ。また、等　　号が成り立つときを調べよ。

(１)２a+３／a＞＝２√６
(２)９ab+１／(ab)＞＝６
(３)a+b+１／(a＋b)＞＝２

です＞＜

No.13823 - 2011/05/19(Thu) 20:38:18

☆ Re: 不等式の証明 / みみ

２の等号の間のスペースは関係ありません；

No.13824 - 2011/05/19(Thu) 20:39:18

☆ Re: 不等式の証明 / ヨッシー

(1)
　(a+b)√(ab)＞０、２ab＞０より
(a+b)√(ab)≧2ab は、{(a+b)√(ab)}^2≧(2ab)^2 と同値。
　{(a+b)√(ab)}^2－(2ab)^2＝ab(a+b)^2－4a^2b^2
　　＝ab(a-b)^2≧0
よって、(a+b)√(ab)≧2ab は成り立ち、等号は、a=b のとき。

(2) も、２乗して考えれば、出来るでしょう。

２．は、相加・相乗平均で、すぐ出来ます。例えば、
(1) 2a＞０、3/a＞０より、相加・相乗平均が適用できて、
　2a＋3/a≧2√{2a(3/a)}＝2√6
等号は、2a=3/a より、ａ＝√(3/2)＝√6/2 のとき。
のような感じです。

No.13831 - 2011/05/20(Fri) 08:50:22

★ (No Subject) / 高1生(数2やってます)

円C:(x+1)^2+(y-1)^2=4
直線l:y=|kx-2k+1|
とするとき、xy平面上で、円Cのグラフと直線lのグラフが1点で接するようなkの値を求めよ。

直線lは円Cの外の点(2,1)を通るのでどこかで接するのは分かったのですが、どうやったら絶対値をはずせるのか分かりません。
もしくは絶対値を外さなくても解ける問題なのでしょうか？
解説よろしくお願いします。

No.13816 - 2011/05/19(Thu) 12:46:13

☆ Re: / ヨッシー

直線ｌは、(2,1) を通る直線(ただしｘ軸で跳ね返る)なので、
(2,1) から、直接円に接する場合と、ｘ軸で１回反射して、
円に接する場合があります。
ｘ軸で反射する場合は、(2,-1) から、直接接すると考えれば良いでしょう。

図を参照してください。

No.13817 - 2011/05/19(Thu) 14:29:40

☆ Re: / 高1生

図まで描いて下さりありがとうございます。

まず(2,1)を通る方は
l:y=k(x-2)+1よりkx-y-2k+1=0
（円Cの中心とlとの距離）＝（円Cの半径）から
|-k-1-2k+1|/√(k^2+1) = 2
k=±2/√5
グラフよりlの傾きkは明らかに負だからk=-2/√5

次に(2,-1)を通る方は
l':y=k(x-2)-1よりkx-y-2k-1=0
（円Cの中心とl'との距離）＝（円Cの半径）から
|-k-1-2k-1|/√(k^2+1) = 2
k=-12/5
ここで疑問なのですが、(2,-1)を通る直線l'はx軸で跳ね返っていなければ本来傾きが正のはずです。しかし私が出した答えはk<0となりました。
こうなったのはどこで間違ったからでしょうか。また、どのように説明すれば良いのでしょうか。
貴重な時間を割いていただき申し訳ありませんが、もう少しだけ私の質問に付き合って下さい。お願いします。

No.13827 - 2011/05/19(Thu) 23:06:41

☆ Re: / ヨッシー

(2,-1) から、円に直接接する直線の傾きが、-12/5 であれば、
答えは、k=12/5 です。

>本来傾きが正のはずです。
の認識は正しいです。

No.13832 - 2011/05/20(Fri) 09:21:15

☆ Re: / 高1生

よく分かりました！丁寧な解説ありがとうございました！

No.13833 - 2011/05/20(Fri) 09:23:57

★ 直交曲線 / mono

曲線群 xy=C の直交曲線群を求め、次に、求めた直交曲線群から逆に始めて、その曲線群の直交曲線群は、もとの曲線群になることを確かめよ。

という問題です。
お手数おかけしますがよろしくお願いします!

No.13813 - 2011/05/19(Thu) 08:11:17

☆ Re: 直交曲線 / ast

xy=Cは方程式y+xy'=0の解曲線群なので, 傾きy'をこれに直交する-1/y'に置き換えたyy'-x=0の解曲線群が求める直交曲線群です. 後半はこれを逆にたどれば自明でしょう.

No.13835 - 2011/05/20(Fri) 13:29:20

☆ Re: 直交曲線 / mono

なるほどです！
ありがとうございます。

No.13836 - 2011/05/20(Fri) 19:52:45

★ 解析学3 / さくら

最後にむずかしすぎて手が出せませんでした涙

次のような区間の列がある。
[a1,b1]⊇[a2,b2]⊇…⊇[an,bn]⊇…
次に答えよ。
(1)数列{an},{bn}は収束することを示せ。

(2)lim(bn-an)=0ならば、
lim(an)=lim(bn)であることを示せ。
(すべてn→∞)

No.13806 - 2011/05/18(Wed) 19:30:07

☆ Re: 解析学3 / X

(1)
[a[1],b[1]]⊇[a[2],b[2]]⊇…⊇[a[n],b[n]]⊇…
により
a[1]≦…≦a[n]≦b[1]
a[1]≦b[n]≦…≦b[1]
よって
{a[n]}は上に有界な単調増加列
{b[n]}は下に有界な単調減少列
ですので共に収束します。

(2)
(1)の結果により
lim[n→∞]a[n]
lim[n→∞]b[n]
はいずれも有限確定値ですので、仮定である
lim[n→∞]{b[n]-a[n]}=0
のとき
lim[n→∞]b[n]-lim[n→∞]a[n]=0
∴lim[n→∞]b[n]=lim[n→∞]a[n]

No.13820 - 2011/05/19(Thu) 18:00:28

★ 解析学 / さくら

次の等式が成り立つことを示せ。
cos^(-1)(-x)=π-cos^(-1)x
※分かりにくいかもしれませんが、アークコサインです

どうすればいいのかさっぱり分かりませんでした

No.13804 - 2011/05/18(Wed) 19:15:10

☆ Re: 解析学 / ヨッシー

アークコサインをacos と書くことにします。
　y=acos(x)
は、定義域 -1≦x≦1 で、値域 0≦y≦π を持ちます。
　ｙ＝π－acos(x)
より
　acos(x)＝π－ｙ
0≦π－ｙ≦π より、
　ｘ＝cos(π－ｙ)＝-cosｙ
よって、
　cos(y)＝-x
-1≦-x≦1 より
　ｙ＝acos(-x)
となり、
　acos(-x)＝π－acos(x)
となります。

No.13814 - 2011/05/19(Thu) 08:54:53