ｘ＋ｙ＝X,x-y=Yとする。ｘ、ｙがー１≦x≦２、-2≦y≦1を満たしながら動く時（X、Y)が動く範囲を図示せよ。という問題で
Xの範囲は
(-1)+(-2)≦x+y≦２＋１
−３≦x+y＝X≦３
Yの方は
−１≦ーy≦２より
（-１）-１≦ｘーy≦２＋２
-２≦Y≦４
で図はX軸Y軸に平行な辺の正方形。
と解くと実際の答えの領域よりも広くなってしまい、
この解答は実は不正解なのですが、なぜ広くなってしまったのでしょうか。例えばこの領域（X軸Y軸に平行な辺の正方形）の点（２，４）ではこれを実現するようなx、yはｘ＝３、ｙ＝−１ですがこれはｘの方の定義域から外れています。
難しい質問だとは思いますがよろしく御願いします。別解は知っていますのでもとめておりません。
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No.14145 - 2011/07/02(Sat) 23:00:54
| ☆ Re: / そら | | | X,Yが独立ではないからです.
Xがある値を取るときに,それはある程度x,yを限定することになります.
このとき取りも直さずYの取れる値の範囲は限定されています.
具体例はpoさんが挙げた通りです.
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No.14146 - 2011/07/02(Sat) 23:08:18 |
| ☆ Re: / po | | | X,Yが独立ではない、という理由がまだ分かりません。
どうやってX,Yが独立ではないと見抜けばよいのですか？
よろしく御願いします。
参考
半径rの円は連立不等式ｙ≦ｘ＾２、y≧−（ｘ−６）＾２
の表す表面上の領域の中を自由に動かすことが出来る。ｒの最大値を求めよ。
解）ｙ＝ｆ（ｘ）＝ｘ＾２上の点を（ｓ、ｓ＾２）、
ｙ＝ｇ（ｘ）＝−（ｘ−６）＾２上の点を（ｔ＋６、−ｔ＾２）とおくと、ｄはｓ、ｔが全実数を動く時の√（s-t−６）＾２＋（ｓ＾２＋ｔ＾２）＾２の最小値である。
L=（s-t−６）＾２＋（ｓ＾２＋ｔ＾２）＾２とし
ｓ＋ｔ＝u、ｓ−ｔ＝ｖとおけば（u,vは独立に任意の実数を取れることに注意）、u^2+v^2=2(s^2+t^2)からL=〜
とあり、ここではｓ＋ｔ＝u、ｓ−ｔ＝ｖとおけば（u,vは独立に任意の実数を取れる、とあります。違いが分かりません。
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No.14149 - 2011/07/03(Sun) 10:58:34 |
| ☆ Re: / angel | | | > X,Yが独立ではない、という理由がまだ分かりません。
> どうやってX,Yが独立ではないと見抜けばよいのですか？
実際に、x,yの値を色々動かして、X,Yの値がどう変化するかを見ます。
そうすると、X=x+y, Y=x-y なので、yの値を大きくするほどXは大きく、Yは小さくなります。
そのため、Xの値をできるだけ大きくするように y=1 という上限いっぱいの値を選ぶと、確かにXは大きくなりますがYは小さくなってしまいます。
逆に、Yの値をできるだけ大きくするように y=-2 という下限いっぱいの値を選ぶと、Yは大きくなりますがXは小さくなります。
ということで、yの値を変化させても、X,Yの一方しか大きく(小さく)できない。両方同時に大きくさせたり、小さくさせたりはできないという制限があります。これが「独立でない」所以です。
実際問題として例えば最大値に着目すると、X,Yそれぞれの最大値は3,4なのですが、(X,Y)=(3,4)という両方同時に最大値という状況は作り出せないのです。
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No.14152 - 2011/07/03(Sun) 14:42:19 |
| ☆ Re: / そら | | | 参考の方は,u及びvの媒介たるs及びtが任意です.
そこが違いです.
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No.14153 - 2011/07/03(Sun) 16:00:02 |
| ☆ Re: / po | | | 両方同時に大きくさせたり、小さくさせたりはできない,
これが「独立でない」ということは両方同時に大きくさせたり、小さく出来れば独立ということですか？
ｘ＋ｙ＝X,２ｘ＋３ｙ=Yならｘ（ｙ)を大きくするとX,Y両方大きくなるし、ｘを小さくするとX,Y両方小さくなるので独立ということですか？
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No.14158 - 2011/07/04(Mon) 00:26:13 |
| ☆ Re: / po | | | No.14163 - 2011/07/04(Mon) 22:38:44 |
| ☆ Re: / らすかる  | | | 独立かどうかは、x,yの範囲が制限されているかどうかによります。
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No.14164 - 2011/07/05(Tue) 00:07:44 |
| ☆ Re: / po | | | X=（ｘ、ｙからなる式）、Y=（ｘ、ｙからなる式）、ｘ、ｙに制限なし。ならばいかなる場合でもX,Yは独立、
X=（ｘ、ｙからなる式）、Y=（ｘ、ｙからなる式）、ｘ、ｙに制限あり。ならばいかなる場合でもX,Yは独立でない
と暗記してよいということですか？
教えて下さい。よろしくおねがいします。
よろしく御願いします。
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No.14165 - 2011/07/05(Tue) 00:16:54 |
| ☆ Re: / angel | | | > ｘ＋ｙ＝X,２ｘ＋３ｙ=Yならｘ（ｙ)を大きくするとX,Y両方大きくなるし、ｘを小さくするとX,Y両方小さくなるので独立ということですか？
いいえ。Xを大きくしてかつYを小さくする ( もしくはXを小さくしてかつYを大きくする ) ような、そういう値の決め方がとれません。やっぱり独立ではありません。
> ここではｓ＋ｔ＝u、ｓ−ｔ＝ｖとおけば（u,vは独立に任意の実数を取れる、とあります。違いが分かりません。
添付の図をご覧ください。( s,t,u,v と x,y,X,Y の違いはありますが )
上は -1≦x≦2, -1≦y≦2 の場合の (x,y) の存在範囲と (X,Y) ( X=x+y, Y=x-y ) の存在範囲の対応です。
下はもうちょっと範囲を広げて、-2≦x≦4, -2≦y≦4 の場合の(x,y),(X,Y)の存在範囲の対応です。
これでx,yの範囲をどんどん広げていくとどうでしょうか。X,Yの範囲もどんどん広がっていって、終には、(x,y)の範囲が無制限となれば(X,Y)の範囲も無制限になると思えるでしょうか。
「独立」というよりは、「制限がない」という感覚でいた方が良いでしょう。
でも、じゃあ、x,yが無制限なら、x,yの式からなるX,Yは常に無制限なのか。そんなことはありません。
ためしに X=x^2+y^2, Y=x^2-y^2 というのを同じように考えてみてください。
> …(略)…と暗記してよいということですか？
暗記はどんなときも私はお勧めしません。
ただ、x,yに制限があるならば、X,Yにも制限があるというのは、それほど外さない考えではあるでしょう。
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No.14166 - 2011/07/05(Tue) 01:03:29 |
| ☆ Re: / らすかる | | | 14145の例では -3≦X≦3, -2≦Y≦4 ですが、例えばX=3のとき
x=2,y=1と決まってしまい、YはY=1という一つの値しかとれません。
14149の例では、任意のu,vに対して s=(u+v)/2, t=(u-v)/2 が対応しますので
u,vは任意の値をとれます。
14158の例では、x,yの範囲に制限がなければ任意のX,Yに対して
x=3X-Y, y=Y-2X が対応しますのでX,Yは任意の値をとれますが、
x,yの範囲に制限があれば14145と同様に任意の値がとれなくなります。
（これが14164で書いた意味です）
暗記するならば、
「s,tの範囲に制限がなく、s+t=u, s-t=v のようにおいた場合は
u,vの範囲は無制限であり、その他の場合は個別に検討が必要」
と覚えるのが良いと思います。
（s,tの範囲に制限がなく、s+t=u, s-t=v のようにおくケースは結構でてきます。）
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No.14167 - 2011/07/05(Tue) 10:40:40 |
| ☆ Re: / po | | | X=x^2+y^2, Y=x^2-y^2 の（X,Y）の存在範囲が図示できないので教えて下さい。
x,yが独立⇒X,Yが独立は偽（反例 X=x^2+y^2, Y=x^2-y^2）
x,yが独立でない⇒X,Y（ｘ、ｙからなる式）が独立でない
は真ですか？偽なら反例を教えてください。
よろしく御願いします
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No.14168 - 2011/07/05(Tue) 10:47:35 |
| ☆ Re: / らすかる | | | x^2≧0, y^2≧0 ですから、
X=x^2+y^2, Y=x^2-y^2 の(X,Y)の存在範囲は
X=x+y, Y=x-y (x≧0, y≧0) の(X,Y)の存在範囲と同じです。
x,yが独立でない⇒X,Yが独立でない
は偽です。
反例
|x-y|＜1
X=x+y
Y=
1/(x-y)-1 (x-y＞0)
0 (x-y=0)
1-1/(y-x) (x-y＜0)
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No.14169 - 2011/07/05(Tue) 11:45:24 |
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