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★ 対称式 / まるこー
３つの文字（ｘ、ｙ、ｚ）について対称式か交代式かの見極め方を教えて下さい。

とある書物に「ｘ、ｙ、ｚの対称式とはｘ、ｙ、ｚの多項式でｘ、ｙ、ｚを入れ替えても変わらない式のことです。
例えばxy^2z+xyz^2+x^2yzは対称式です。この式で、ｘ→ｙ、ｙ→ｚ、ｚ→ｘと入れ替えてみましょう。
xy^2z+xyz^2+x^2yz・・?@→yz^2x+yzx^2+y^2zx・・?Aとなります。和の順序を入れ替えれば?@＝?Aとなります。」
とあります。しかし、交代式である(x-y)(y-z)(z-x)・・?Bをｘ→ｙ、ｙ→ｚ、ｚ→ｘと入れ替えてみても
(y-z)(z-x)(x-y)・・?C=(x-y)(y-z)(z-x)となりこれまた?B＝?Cとなってしまうのです。
No.13614 - 2011/04/30(Sat) 18:24:49
☆ Re: 対称式 / rtz
普通、対称式とか交代式は、
2文字間の入れ替えについて定義していると思いますが…？
(xとyだけ入れ替える、yとzだけ入れ替える、など)
No.13616 - 2011/04/30(Sat) 19:40:12
☆ Re: 対称式 / まるこー
ならば３つの文字について対称式か交代式か見極めるにはどうしたらよいのですか？
No.13618 - 2011/04/30(Sat) 23:26:55
☆ Re: 対称式 / シャロン
3つ(以上)の文字のどの2文字についても対称的(交代的)であれば、対称式(交代式)

ex.
(x-y)(y-z)(z-x)では、xとyのみを入れ替えた場合、yとzのみを入れ替えた場合、zとxのみを入れ替えた場合、いずれも符号が代わるだけなので、交代式。

(x+y)(y+z)(z+x)では、xとyのみを入れ替えた場合、yとzのみを入れ替えた場合、zとxのみを入れ替えた場合、いずれも同じ式なので、対称式。
No.13620 - 2011/05/01(Sun) 07:20:00
☆ Re: 対称式 / まるこー
やはり３通り調べないと駄目なのですか？
No.13637 - 2011/05/01(Sun) 22:00:46
☆ Re: 対称式 / シャロン
式f(x,y,z)がx,yについて対称式であり、x,zのについても対称式なら、
f(x,y,z)=f(y,x,z)=f(z,x,y)=f(x,z,y)からyとzについても対称式であるといえる。

式f(x,y,z)がx,yについて交代式であり、x,zのについても交代式なら、
f(x,y,z)=-f(y,x,z)=f(z,x,y)=-f(x,z,y)からyとzについても交代式であるといえる。

つまり、3つの文字については2とおりについて対称式/交代式であるかをしらべればよい。
No.13639 - 2011/05/02(Mon) 14:51:24
☆ Re: 対称式 / まるこー
f(x,y,z)=f(y,x,z)=f(z,x,y)=f(x,z,y)からyとzについても対称式
f(x,y,z)=-f(y,x,z)=f(z,x,y)=-f(x,z,y)からyとzについても交代式
をもう少し詳しく教えて下さい。というかこの式の説明を御願いしたいです。

例）f(x,y,z)=f(y,x,z)はｘとｙについての対称式でｘ、ｙを入れ替えたことを表しているのは分かりますが＝f(z,x,y)がどこから来たのかが分かりません。交代式の=f(z,x,y）となる理由も分かりません。

よろしく御願いします。
No.13641 - 2011/05/02(Mon) 17:39:40
☆ Re: 対称式 / まるこー
どなたでもいいです。分かる方御願いします。
No.13642 - 2011/05/04(Wed) 01:22:26
☆ Re: 対称式 / ヨッシー
f(x,y,z) が、xとy について対称式だとすると、
　f(x,y,z)＝f(y,x,z)
が成り立ちます。
※f(x,y,z)＝(x+y)(y+z)(z+x) とすると、f(y,x,z) は、x と y を入れ換えた
　f(y,x,z)＝(y+x)(x+z)(z+y)
を示します。確かに、f(x,y,z)＝f(y,x,z) ですね。

同様に、x と z についても対称式だとすると、
　f(z,y,x)＝f(x,y,z)
です。

これを踏まえ、
　f(x,y,z)=f(y,x,z)=f(z,x,y)=f(x,z,y)
を見直すと、
　f(x,y,z)=f(y,x,z) は、x と y の入れ換え
　f(y,x,z)=f(z,x,y) は、x と z の入れ換え(※)
　f(z,x,y)=f(x,z,y) は、再び x と y の入れ換え
をおこなった変形と言うことがわかります。そして、
　f(x,y,z)=f(x,z,y)
であることから、y と z を入れ換えた式も、元の式と等しく、
y と z についても対称式であると言えます。
※ここでいう「x と z の入れ換え」は、文字x と文字z を
入れ換えて、
　f(y,x,z)→f(y,z,x)
とすることではなく、f(x,y,z) において、ｘの位置にある文字と
ｚの位置にある文字を入れ換える（第1変数と第3変数を入れ換える）
という意味です。
No.13648 - 2011/05/04(Wed) 06:15:49
☆ Re: 対称式 / ヨッシー
交代式については、どれか２つの文字を入れ換えると、符号が変わるので、f(x,y,z) に対して、
　f(y,x,z)、f(x,z,y)、f(z,y,x)
は、いずれも、−f(x,y,z) に等しくなります。
一方、たとえば、f(y,x,z) にさらに、交換を施した、f(z,x,y) は、
　f(z,x,y)＝−f(y,x,z)
となり、元の式からたどると、
　f(x,y,z)＝−f(y,x,z)＝f(z,x,y)
となります。

で、一番最初の話に戻ると、
>交代式である(x-y)(y-z)(z-x)・・?Bをｘ→ｙ、ｙ→ｚ、ｚ→ｘと入れ替えてみても
というのは、文字２つの入れ替えを２回おこなっているので、
符号がもどって、元の式に等しくなるのです。
３変数を、循環させた入れ替えは、このようなことになります。
No.13649 - 2011/05/04(Wed) 06:28:15
★ 数学高２ / suuretu
a,bを実数とする。
x＋3y≧a y＋3x≧b x≧0 y≧0を満たす(x,y)の領域Dにおけるx＋yの最小値を求めよ。

x＋3y≧a　⇔　y≧-x/3＋(a/3)・・・?@'

y＋3x≧b　⇔　y≧-3x＋b・・・?A'

これを図示すると、?@'?A'の切片a/3とbについて
どちらが上にあるか下にあるかで場合分けが必要。

ここで、x＋y=kとおく。これはy=-x＋kと変形できるので
求める最小値はk切片の値によって決まる。
i)a/3>b　ii)a/3=b iii)a/3<bのときで場合分けをする。

この方針でこの系統の問題はいつも解いていたのですが
この問題では通用しない(?)っぽいです。

あと、ずっと疑問だったのですが領域Dをy=-x＋kは通ってもいいのでしょうか？
だいたいこういう最小・最大を求める問題のときは領域Ｄと接する場合が多かったので心配です。

誰か分かる方教えてください。お願いします。
No.13606 - 2011/04/29(Fri) 23:13:48
☆ Re: 数学高２ / ヨッシー
細かく場合分けすると以下のようになります。
●は、最小値の現れる点です。

(2)と(5) 、(3)と(6) は、表現のしかたによっては、まとめることが出来ます。
No.13609 - 2011/04/30(Sat) 08:26:14
★ (No Subject) / ブッター
1、球面x^2+y^2+z^2=3が直線x=y/2=z-1から切り取る線分の長さを求めよ。

x=y/2=z-1=tとおいてx=t y=2t z=t+1とおいたのですが
tでまとめられません
No.13602 - 2011/04/29(Fri) 17:08:11
☆ Re: / ヨッシー
x=t y=2t z=t+1 を、x^2+y^2+z^2=3 に代入すると
ｔの２次方程式になります。
これを解くと、２つの異なる実数解になるのですが、
それらを、α、βとすると、
　(α、２α、α＋１)　（β、２β、β＋１）
が直線と球面の交点となり、この２点間の距離が、求める長さとなります。
No.13604 - 2011/04/29(Fri) 17:17:04
★ 高2　数列 / れいひゃー
数列　2,6,･･･1458,･･･　は等差数列となることができるか。また、等比数列となることができるか。

です
答えは
等差数列、等比数列いづれもできる
です


等差数列の証明?は出来たのですが、
等比数列の方が出来ません。
どのようにすればよいのか教えて下さい!
No.13601 - 2011/04/29(Fri) 16:59:07
☆ Re: 高2　数列 / ヨッシー
等差数列だと、公差が4なので、
　2,6,10・・・ の先に 1458 があるか？
一般項で言えば、
　4n-2＝1458
となる自然数ｎがあるか？
を言えばいいですね？
等比数列も同様に、公比が3なので、
　2,6,18,54・・・ の先に 1458 があるか？
一般項で言えば、
　2・3^(n-1)＝1458
となる自然数ｎがあるか？
ということを言えばいいです。
No.13603 - 2011/04/29(Fri) 17:13:36
☆ Re: 高2　数列 / れいひゃー
ありがとうございました！
No.13613 - 2011/04/30(Sat) 18:11:46
★ 文字の置き換え / ぺぺ
４次曲線C:ｙ＝ｘ＾４−2ax^2（a>0)上の点P＝（t,t^4-2at^2)がー√a≦ｘ≦√aの範囲で動く。PでのCの接線とCの交点をP,Q＝（α、α^4−２aα＾２）、R=（β、β^4-2aβ^2)とする。ただし、α≦β

線分QRの長さをLとする。a=７/12のときLの最大値を求めよ。

解答）L＝・・・＝８｛1+16t^2(t^2-a)^2}(a-t^2)
u=a-t^2とおくと、ー√a≦ｘ≦√aより、uの変域は
０≦u≦a(=7/12)であり、・・・

という風に
４次曲線C:ｙ＝ｘ＾４−2ax^2（a>0)上の点P＝（t,t^4-2at^2)がー√a≦ｘ≦√aの範囲で動く。PでのCの接線とCの交点をP,Q＝（α、α^4−２aα＾２）、R=（β、β^4-2aβ^2)とする。ただし、α≦β

線分QRの長さをLとする。a=７/12のときLの最大値を求めよ。

L＝・・・＝８｛1+16t^2(t^2-a)^2}(a-t^2)
u=a-t^2とおくと、ー√a≦ｘ≦√aより、uの変域は
０≦u≦a(=7/12)であり、・・・

という風に
u=a-t^2（ー√a≦ｘ≦√a）と置換してよいのでしょうか？
このように文字を置き換えるときは,何でもかんでもできるわけではなく、
変数が一対一に対応して無いと駄目、と聞いたことがあります。ー√a≦ｘ≦√aだとu１つにたいして二つのaが存在してしまいますよね。。

苦手なところなので、厚かましいですが、なるだけ詳しく教えてくれたら嬉しいです。よろしく御願いします。
No.13597 - 2011/04/29(Fri) 12:56:27
☆ Re: 文字の置き換え / ぺぺ
すみません・・７〜１３行目は無視してください><
No.13598 - 2011/04/29(Fri) 12:59:00
☆ Re: 文字の置き換え / X
変数が一対一に対応してないと駄目ということはありません。
Lが最大となるuの値に対してtの値が2つ対応するのなら
その2つの値が両方ともLが最大のときのtの値になります。
No.13599 - 2011/04/29(Fri) 16:13:21
☆ Re: 文字の置き換え / X
次の例題を考えて見ましょうか。
例題)
0≦θ≦πのとき
y=-(sinθ)^2+sinθ+1
が最大のときのθの値を求めよ。
解答)
この問題の場合も
x=sinθ (A)
と置くと
θ≠π/2のときxの値1つに対してθの値が2つ対応します
が問題ありません。
(A)のとき
0≦x≦1
y=-x^2+x+1=-(x-1/2)^2+5/4
よってyはx=1/2のときに最大になりますから
最大となるときのθについて
sinθ=1/2
∴θ=π/6,5π/6
となります。
No.13600 - 2011/04/29(Fri) 16:20:06
☆ Re: 文字の置き換え / ぺぺ
わかりました。じゃあ普通は何も考えずに適当に置換していいんですね。
置換積分をするときに一対一対応になってないと駄目、というのは本当ですか？
No.13605 - 2011/04/29(Fri) 20:05:06
☆ Re: 文字の置き換え / X
定積分の置換ということであれば、積分範囲で１対１に
変数が対応してない場合、
(i)１対１に対応するように積分範囲を分割する
(ii)１対１に対応するように変換する式を選ぶ
といった対応を取ります。

注)今度からスレの内容と関連性のない質問は改めて
スレを立てるようにしましょう。
No.13612 - 2011/04/30(Sat) 13:32:06
★ (No Subject) / km
?僊BCはAB=AC=1を満たす二等辺三角形である。さらに、正方形PQRSは辺BC上にあり、頂点R、Sがそれぞれ辺AC、AB上にある。
∠B＝θとする。正方形PQRSの一辺の長さをθを用いて表せ。
よろしくおねがいします。
No.13591 - 2011/04/27(Wed) 21:38:07
☆ Re: / X
正方形PQRSの一辺の長さをxとすると、題意から
AR=(1/2)RS/cos∠ARS=x/(2cosθ) (A)
RB=RP/sin∠B=x/sinθ (B)
AR+RB=AB=1 (C)
(A)(B)(C)より
x/(2cosθ)+x/sinθ=1
∴x=(2sinθcosθ)/(sinθ+2cosθ)
No.13593 - 2011/04/27(Wed) 23:22:38
☆ Re: / km
ありがとうございます。
No.13594 - 2011/04/28(Thu) 07:25:59
★ 質問です / 受験生
正四面体の１つの頂点Aから底面へ下ろした垂線をAHとし、正四面体の重心をGとするときAG:GH=3:1となる証明が分かりません?ｫどういう方針で証明するのですか？
No.13589 - 2011/04/26(Tue) 22:10:10
☆ Re: 質問です / ヨッシー
正四面体の重心の定義というのも、なかなかやっかいですが、
とりあえず、４つの頂点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄのどこからも、
同じように見える点、とでもしておきましょう。
どこから見ても同じなので、４点Ａ，Ｂ，Ｃ，ＤとＧとで出来る
４つの四面体ＧＡＢＣ，ＧＢＣＤ，ＧＣＤＡ，ＧＤＡＢは、
いずれも合同な四面体です。
したがって、四面体ＧＢＣＤは、正四面体ＡＢＣＤの体積の
1/4 です。
点Ｇは、ＡＨ上にあるのですが、△ＢＣＤを底辺とすると、
四面体ＧＢＣＤの高さはＧＨ、正四面体ＡＢＣＤの高さは
ＡＨとなります。
底面が共通で、体積が４倍なので、高さは
　ＡＨ：ＧＨ＝４：１
となります。
No.13590 - 2011/04/26(Tue) 22:19:28
☆ 受験生 / 受験生
良く分かりました！
ありがとうございます。
No.13592 - 2011/04/27(Wed) 21:43:36
★ 数3Cの問題です / rio
添付の問題（例題5）と解説の中にわからない点があります。

(1)問題の直後、解説の前の部分の3行目
sinx=1のときに与えられた関数の値は1となる。したがって・・

なぜ、「したがって」なのでしょうか。sinx=1のときに着目することと不等式に帰着させることのつながりがわかりません。

(2)解説の4行目〜
この不等式はsinxが1,ー1,0のときに成り立つから・・・

なぜ「成り立つから」sinx=tとおくのでしょうか？

(3)解説の最後から2行目
sinx=1のとき(1)の等号が成り立つから、これが求めるaの範囲である

なぜ、sinx=1のときに(1)の等号が成り立つことを確認する必要があるのでしょうか？

すべてsinxに関する疑問なので、関連があるのかもしれませんが行き詰っています。宜しくお願いいたします。
No.13585 - 2011/04/25(Mon) 19:34:22
☆ Re: 数3Cの問題です / rtz
＞なぜ、「したがって」
sinx＝1、即ちcosx＝0のときに「aに関わらず」式の値が1となるからです。
つまりaがどういう値をとろうが式のとりうる範囲に1は入ってしまうわけで、
定石通りの、微分して、それが0になるxが云々、
aで場合分けしてxがこんなときに最大値となってそれが1であるからaの値は云々
としなくても、x＝π/2で式は1になってることが分かってるわけですから、
不等式を解くのと一緒だよね、ってことでしょう。

＞なぜ「成り立つから」
「成り立つから」はうしろの「つぎの(2)かつ(3)」に繋がってます。
sinx＝tはtって何って言われないためのおいた文字の説明です。
成り立つからsinx＝tというわけではありません。
分かりにくいなら「sinx＝tとおくと」を削って、
「同値である」の後ろに「(ただしt＝sinx)」を付け加えればいいでしょう。

＞確認する必要
流れでは必要ないように見えますが、「解」が始まっている部分を見ましょう。
前半のsinx＝1の議論は入っていません。
のでここに入れました。
No.13586 - 2011/04/25(Mon) 22:07:32
☆ Re: 数3Cの問題です / rio
ありがとうございました。良く理解できました。
No.13587 - 2011/04/25(Mon) 23:35:01
★ 数3Cグラフの書き方 / rio
数3Cの問題集で
y=(-2)/(t^2+t) (-1≦t≦1)のグラフについて、
「微分しなくても、分母を平方完成すればグラフは明らか」
とだけ説明されていました。
分母の平方完成をどのように利用すればよいのかわかりません。添付のものは、私なりに平方完成を眺めながら、グラフを書いた考え方ですが、よく考えるとt=-1,0が漸近線になることなど平方完成しなくても因数分解でわかるものなので、どこで使えばよいのかがわかりません。宜しくお願いいたします。
No.13584 - 2011/04/25(Mon) 19:10:22
☆ Re: 数3Cグラフの書き方 / シャロン
>-1＜t＜0で(t+1/2)=0でyは最小値8

で平方完成を使用しているのでは？
No.13588 - 2011/04/26(Tue) 21:16:49
☆ Re: 数3Cグラフの書き方 / rio
なるほど。ありがとうございました。
No.13595 - 2011/04/28(Thu) 23:45:41
★ (No Subject) / ブッター
次の極限を求めよ。
(1)lim[x→0+0](1+1/x)

(2)lim[x→0+0]x^1/x

(3)lim[x→0+0]x^sinx

なんですが、(1)は1　(2)は∞　(3)は1　だと思うのですがどうでしょう？よくわからないので教えてください！
No.13582 - 2011/04/24(Sun) 22:27:45
☆ Re: / シャロン
(1)

x→+0のとき、1/xは∞に発散する。1+1/x＞1/xなので、1+1/xも∞に発散。

(2)
x^(1/x)=e^((logx)/x)
ここでx→+0のとき、logx→-∞、1/x→∞から、(logx)/x→-∞なので、e^((logx)/x)=x^(1/x)→0

(3)
x^sinx=e^((xlogx)((sinx)/x))=e^(((logx)/(1/x))((sinx)/x))

ここでロピタルの定理より、
lim_{x→+0}(logx)/(1/x)=lim_{x→+0}(1/x)/(-1/x^2)=lim_{x→+0}(-x)=0

また、lim_{x→+0}(sinx)/x=1からx→+0で
((logx)/(1/x))((sinx)/x)→0

∴x^sinx→e^0=1
No.13583 - 2011/04/25(Mon) 01:23:40
★ 双曲線 / prime
双曲線(x^2)/4 - (y^2)/9 = 1上にある2点の中点Mが存在することのできる領域を求めよ.

上の問題が分かりません。どなたかご教授願います。
No.13581 - 2011/04/24(Sun) 17:16:35
☆ Re: 双曲線 / angel
双曲線上の2点を取って中点を調べていくのでは、解にたどり着くのは難しいです。
逆に、先に中点となる点を決めて、その点に対応する双曲線上の2点が存在しうるかを考えます。

そうすると、こんな感じに。
--
点M(X,Y) を中点とする2点は、(X+s,Y+t), (X-s,Y-t) と置く事ができる。
そのため、
　双曲線上のある2点の中点がMとなる
　⇔ ある s,t に対して (X+s,Y+t), (X-s,Y-t) が共に双曲線上にある
　⇔ s,tの連立方程式 (X+s)^2/4-(Y+t)^2/9=1, (X-s)^2/4-(Y-t)^2/9=1 が解を持つ
--
ここから計算していくのが良さそうです。
No.13611 - 2011/04/30(Sat) 13:07:19
☆ Re: 双曲線 / prime
その発想はありませんでした・・・ありがとうございます。無事解けました！
No.13623 - 2011/05/01(Sun) 13:53:38
★ 高2　数列 / れいひゃー
3辺の長さが等差数列をなす直角三角形の3辺の比を求めよ。

です。
3:4:5
です

3辺の長さを　a-d，a，a+d 　と置いて、三平方の定理から
(a-d)^2＋a^2=(a+d)^2　　としてみたのですが、
ここから先が分かりません
どなたか教えてくださいお願いします＞＜
No.13576 - 2011/04/24(Sun) 11:08:20
☆ Re: 高2　数列 / らすかる
その式を展開して整理するとどうなりますか？
No.13577 - 2011/04/24(Sun) 11:30:53
☆ Re: 高2　数列 / れいひゃー
(a-d)^2＋a^2=(a+d)^2

a^2+a^2-2ad+d^2=a^2+2ad+d^2

0=a^2-4ad


だと思うのですが…
No.13578 - 2011/04/24(Sun) 11:41:58
☆ Re: 高2　数列 / らすかる
a^2=4ad ですね。
a≠0 ですから、両辺をaで割ることが出来ます。
この式を使って3辺の長さをdだけで表すと…
No.13579 - 2011/04/24(Sun) 14:33:04
☆ Re: 高2　数列 / れいひゃー
なるほど!
解けましたありがとうございます!＾＾
No.13580 - 2011/04/24(Sun) 14:35:42
★ 教えてください / tyr
楕円(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1 (a>0,b>0)上に２点A,Bがある。原点OとABの距離をhとする。∠AOB=π/2のとき,
(1)(1/h^2)=(1/OA^2)+(1/OB^2)を示せ。
(2)hをa,bを用いて示せ。

ベクトルか極座標的な考え方使うんですかね？わかりません。
No.13570 - 2011/04/23(Sat) 14:38:29
☆ Re: 教えてください / rtz
(1)
△OABの面積を、OA＆OB、AB＆hの2通りの表し方で表しましょう。
ちなみに△OABは直角三角形です。

(2)
A(acosθ,bsinθ)、B(acos(θ+(π/2)),bsin(θ+(π/2)))＝(-asinθ,bcosθ)
とおいても一般性は失われません。
あとは頑張って計算してみましょう。
No.13571 - 2011/04/23(Sat) 19:10:50
☆ Re: 教えてください / angel
私も三角関数を使う手を考えたのですが、なかなかそれは厳しそうです。
∠AOB=π/2 ( 直角 ) だからといって、A(acosθ,bsinθ), B(acos(θ+π/2),bsin(θ+π/2)) とは置けないのです。

(1)は地道に A(x1,y1) B(x2,y2) とでも置いて計算すればできますが…
直線ABの方程式は、(y1-y2)x-(x1-x2)y+(x1y2-x2y1)=0 と置けますから、hをx1,x2,y1,y2で表すことができます。
後は ∠AOB=π/2 の条件を x1x2+y1y2=0 と読み替えてあげれば…。

(2)はちょっと上手い手が思いつきませんでした。
ただ、∠AOB=π/2ということから、Aは楕円とy=mxの交点、Bは楕円とx=-myの交点と考えれば、OA^2, OB^2 をa,b,mで表すことができます。
No.13573 - 2011/04/23(Sat) 19:30:43
☆ Re: 教えてください / tyr
ありがとうございました
無事に解けました
No.13575 - 2011/04/23(Sat) 22:58:51
★ よろしくお願いします / zucky
３次関数F(x)=3x^3+ax^2+bx+cが次の条件(i),(ii)をみたすときa,b,cの値を求めよ。
(i)f(x)はx=α,x=βで極値をとり、2点(α,f(α)),(β,f(β))は点(0,1)に関して点対称である。
(ii)|f(α)-f(β)|=4/9

教えてくださいっ！
No.13567 - 2011/04/23(Sat) 11:49:37
☆ Re: よろしくお願いします / angel
3次関数のグラフの特性として、変曲点(f''(x)=0となるところ)は、極大点・極小点の中点となる、というものがあります。
それを知っていれば、条件(i)から
　f''(0)=0
　f(0)=1
という条件が導き出せますから、a=0,c=1がわかります。
後は、x=α,βで極値を取るということから、f'(x)=0 がx=α,βを解に持つという条件からまとめれば良いです。
α,βの大小は好きなように設定してください。
No.13568 - 2011/04/23(Sat) 14:26:55
☆ Re: よろしくお願いします / angel
念のためですが、
　点A,Bは点Mに関して(点)対称
　⇔ 点Mは点A,Bの中点
というところにも注意してください。

ちなみに、3次関数の変曲点の性質を知らない場合は、ちょっと地道になりますが「2次方程式の解と係数の関係」から攻めていくことになるでしょう。
まず、f'(x)=9x^2+2ax+b=0の解がα,βということから
　α+β=-2a/9, αβ=b/9
条件(i)から (α+β)/2=0, (f(α)+f(β))/2=1
…この時点でa=0が分かりますから、後はほぼ同じですね。
※α,β=±√b/3 となるため、計算が非常に楽
No.13569 - 2011/04/23(Sat) 14:37:26
★ (No Subject) / ブッター
次の条件をみたす平面の方程式を求めよ。
点(1,2,4)を通り、直線x-1=y+3/2=2-z/3 に垂直な平面

法線ベクトルは(1,2,-3)になるらしいのですが
この問題の法線の求め方が分かりません。
No.13564 - 2011/04/23(Sat) 00:42:20
☆ Re: / ヨッシー
直線x-1=(y+3)/2=(2-z)/3 ですね。

点(a,b,c) を通って、ベクトル（d,e,f) に平行な直線の式は、
　(x-a)/d=(y-b)/e=(z-c)/f
と書けます。

この問題の場合、直線x-1=(y+3)/2=(2-z)/3 の方向ベクトルが、
求める平面の法線ベクトルとなります。
No.13565 - 2011/04/23(Sat) 02:31:34
☆ Re: / ブッター
詳しくありがとうございました！
No.13574 - 2011/04/23(Sat) 22:48:41
★ 数3Cの問題です / rio
下の問題の解答で
g(α）＝（-α^2+2α-1)e^α　＋2(α-1)
　　　＝g'(α)+(2α-4)e^α　+2(α-2)
と変形しているのですが、どういった動機でこの変形をするのかがわかりません。g'(α)=0を利用した字数下げのようなものなのかとも思いましたがよくわかりません。よろしくお願い致します。
No.13561 - 2011/04/21(Thu) 18:15:30
☆ Re: 数3Cの問題です / ヨッシー
意図は、次数下げ（と言えるかどうかは別にして）のような
ものです。
g(α) の式に g'(α) を代入した、というだけの変形です。
No.13563 - 2011/04/22(Fri) 12:03:15
☆ Re: 数3Cの問題です / rio
ありがとうございました。見たことのない変形なので、びっくりしてしまいました。定石といえるものなのでしょうか。
頭に入れておきたいと思います。
No.13566 - 2011/04/23(Sat) 10:22:37
☆ Re: 数3Cの問題です / ast
> 定石といえるものなのでしょうか。

いいえ. 一般に応用できるテクニックというわけではなく, この問題でたまたまうまくいっただけの, 個別の話です.

実際, α の二次式よりも一次式のほうが評価し易いことと, 和よりも積のほうが符号が見やすいこと, 比較対照が少ないほうが考慮すべき点が減ることなどを考えると, 当該の変形は極めて運良くそれらを全てクリアしていますが, そのことが別な問題でもうまく行くというようなことは, 全く期待できないことが実感できるはずです.

一般論と個別の議論とを混同することは, 非常に危ういです.
No.13572 - 2011/04/23(Sat) 19:22:13
★ (No Subject) / ろーち
お聞きしたいことがあります。
1/(n+1)から1/nまでの積分で、tの範囲は0≦t≦1
∫√(1+(sin(π/t)+(π/t)cos(π/t))^2)dt≧4/(2n+1)
これを示したいのですがうまくいきません。
普通に計算して答えを出すわけではないようなのですが、どうしたらいいのでしょう？
No.13560 - 2011/04/21(Thu) 17:31:17
☆ Re: / angel
長くなるので何回かに分けていきます。

まずは、不等式の左辺にπ/t の形があって扱い辛いので置換積分します。
x=πt とすると、dt/dx=-π/x^2、t=1/(n+1), 1/n に対応する x は、x=(n+1)π,nπのため、

(左辺) = ∫[(n+1)π,nπ] √(1+(sinx+xcosx)^2)・(-π/x^2) dx
　= π∫[nπ,(n+1)π] 1/x^2・√(1+(sinx+xcosx)^2) dx
※マイナスを解消するときに、積分区間が逆になることに注意
No.13596 - 2011/04/29(Fri) 08:06:06
☆ Re: / angel
続いて、√を含んだ形をどうするかですが、曲線の長さを計算する式 L=∫[x1,x2]√(1+f'(x)^2)dx のことを考えると、
　√(1+f'(x)^2) = L'(x)
のように表せることに着目します。

ちょうど f(x)=xsinx とするとき、f'(x)=sinx+xcosx です。
ということで、L(x) を、y=f(x)=xsinx の長さとして話を進めます。イメージとしては添付の図をご参照下さい。
簡単のため、a=nπ, b=(n+1)π, m=(n+1/2)π、n を偶数 ( つまり、a≦x≦b において f(x)≧0 )、L(a)=0 ( つまり、(a,f(a))から(x,f(x))までの長さがL(x) ) とします。

そうすると、L'(x)=√(1+f'(x)^2) ですから、

(左辺)=π∫[a,b] L'(x)/x^2・dx

と表すことができます。
No.13607 - 2011/04/29(Fri) 23:54:53
☆ Re: / angel
後は導入したL(x)の大きさを見積もります。
ここで、a≦x≦m と m＜x≦b で事情が異なるため、分けて考えてみます。
添付の図の通り、
　a≦x≦m では L(x)≧f(x) 特に L(a)=0, L(m)≧f(m)
　m＜x≦b では L(x)-L(m)≧f(m)-f(x)
　　よって L(x)≧L(m)+f(m)-f(x)≧2f(m)-f(x) 特に L(b)≧2f(m)

では、計算に移ります。
まずは部分積分 ∫uvdx = Uv - ∫Uv'dx ( U=∫udx ) から

(左辺)=π∫[a,b] L'(x)/x^2・dx
　= π( [ L(x)/x^2 ][a,b] -∫[a,b] L(x)・(-2/x^3)dx )
　= π( L(b)/b^2-L(a)/a^2 ) + 2π∫[a,b] L(x)/x^3・dx
　= πL(b)/b^ + 2π( ∫[a,m] L(x)/x^3・dx + ∫[m,b] L(x)/x^3・dx )

∫L(x)/x^3・dx の区間を分けたのは、L(x)の見積もりがmを境に変わっているのに対応させたためです。ここで上の見積もりを導入。

(左辺)≧π・2f(m)/b^2 + 2π( ∫[a,m] f(x)/x^3・dx + ∫[m,b] (2f(m)-f(x))/x^3・dx )
　= 2πf(m)/b^2 + 4πf(m)∫[m,b] dx/x^3 + 2π( ∫[a,m] f(x)/x^3・dx - ∫[m,b] f(x)/x^3・dx )

最後に f(x)/x^3 = sinx/x^2 となりますから、1/x^2 を定数で見積もってあげます。プラスの項では分母が大きくなるように、マイナスの項では分母が小さくなるように。

(左辺) ≧ 2πf(m)/b^2 + 4πf(m)∫[m,b] dx/x^3 + 2π( ∫[a,m]sinx/m^2・dx - ∫[m,b] sinx/m^2・dx )
　= 2πf(m)/b^2 + 4πf(m)∫[m,b] dx/x^3 + 2π/m^2・( ∫[a,m] sinxdx - ∫[m,b] sinxdx )

これを計算すれば解にたどり着けます。
なお、n が奇数の場合は符号が逆になりますが、話としてはほぼ同じになります。
No.13610 - 2011/04/30(Sat) 10:51:34
★ 数学?T / やと
数学?Tでお聞きしたいことがあります。
x^4-4x^3+(a+4)x^2-2axの式をaについて降べきの順に整理します。
計算していただければすぐ分かるのですが、答えは(x^2-2x)a+(x^4-4x^3+4x^2)です。
ここで質問なのですが、(x^2-2x)aはx(x-2)aと表してはいけないのでしょうか？
その訳も添えてご回答頂ければ幸いです。よろしくおねがいします。
No.13556 - 2011/04/20(Wed) 06:07:56
☆ Re: 数学?T / ヨッシー
良いと思いますし、定数項も x^2(x-2)^2 としても良いでしょう。

理由は、ちゃんと ａ の降べきになっているからです。
No.13557 - 2011/04/20(Wed) 07:42:56
☆ Re: 数学?T / やと
これで失点しまうのかと思っていましたので助かりました。
迅速なご回答ありがとうございます。
No.13562 - 2011/04/21(Thu) 19:01:27
★ 条件不足にならない理由 / たけし
よくある解の符号問題についてです。
例えば、２次方程式ax^2+bx+c=0の解がともに異なる２つの正の解ならば，その必要十分条件は，Ｄ＞０かつα＋β＞０かつαβ＞０となるのは分かります。※α,βは方程式の解

しかし,２次方程式ax^2+bx+c=0の解が異符号の解になる必要十分条件がαβ＜０だけなのはなぜですか？α＋βの符号については定められないので条件に入らないのは分かります。判別式Ｄについてはなぜ条件にＤ＞０がいらないのでしょうか？直感的には,異符号なのだから実数解なのでＤ＞０が必要な気がするのですが・・・。
No.13555 - 2011/04/20(Wed) 05:58:56
☆ Re: 条件不足にならない理由 / ヨッシー
虚数解を持つなら、α＝ｍ＋ｎｉ、β＝ｍ−ｎｉ （ｍ，ｎは実数、ｎ≠０)
のようになるのですが、このとき、
　αβ＝ｍ^2＋ｎ^2＞０
となるので、αβ＜０ となるのは、解が実数の時に限るからです。
No.13558 - 2011/04/20(Wed) 07:46:38
☆ Re: 条件不足にならない理由 / ヨッシー
別の見方をすると、解と係数の関係より
　αβ＝ｃ／ａ
ですが、これが　ｃ／ａ＜０ であれば、両辺にａ^2（＞０）を掛けて、
　ａｃ＜０
すると、Ｄ＝ｂ^2−４ａｃ＞０ が成り立ちます。
No.13559 - 2011/04/20(Wed) 07:48:59
★ 2011センター試験2Bの問題1 / ジョン・ロック
y=cos2θ+√3sin2θ-2√3cosθ-2sinθ (-π/2≦θ≦0)の最小値を求めよ。

という問題なのですが、センターではsinθ+√3cosθ=t　とおけという誘導がついていました。
もしこれが２次試験で、上の問題のように誘導なしの形式で出た場合、どのようにアプローチすればいいのでしょうか？sinθ+√3cosθ=t　なんて置き換えはとても思いつきません。
No.13551 - 2011/04/19(Tue) 18:11:59
☆ Re: 2011センター試験2Bの問題1 / X
回答になっていないかもしれませんが
sinθ+√3cosθ=t
と置くという発想がどの辺りから出たのかということを
こんなことじゃないかなと思って書いておきます。
まず問題の式を見たとき、思いつくのが三角関数の合成が
使えないかということです。
とりあえず、その方針で変形してみます。

y=(cos2θ+√3sin2θ)-2(√3cosθ+sinθ)
=2cos(2θ-π/3)-4cos(θ-π/6)
ここでのみそは合成後にsin…の形ではなく
cos…の形にすることです。
ここから更に変形して
y=2cos{2(θ-π/6)}-4cos(θ-π/6)
=2{2{cos(θ-π/6)}^2-1}-4cos(θ-π/6)
というように問題の関数がcos(θ-π/6)の関数
として表すことができます。
これを逆に辿って
sinθ+√3cosθ=t
と置いたのではないでしょうか？。
No.13552 - 2011/04/20(Wed) 00:25:21
☆ Re: 2011センター試験2Bの問題1 / ジョン・ロック
なるほど。cosで合成ですか。ありがとうございます。
これはやったことがないと思いつきませんね。
どなたか別解があればよろしくお願いします。
No.13553 - 2011/04/20(Wed) 02:18:07
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