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★ (No Subject) / 高校
わからなくて困ってます。
どなたか教えて下さい。
よろしくお願いします。


√3が無理数であることを用いて、次の問に答えよ。

(1)有理数a,bについて、等式a+b√3=0が成り立つならば、a=b=0であることを示せ。
(2)等式(12-√3)l-(1-2√3)m=lm+3n√3を満たす正の整数の組(l,m,n)をすべて求めよ。
No.13548 - 2011/04/17(Sun) 15:07:40
☆ Re: / ヨッシー
(1) 背理法で解きます。
もし、ｂ≠０ だとすると、
　ａ＋ｂ√3＝０　は
　√3＝-a/b
と書けて、・・・(以下略)

(2) 左辺を展開して、
　(12l−m)＋(2m−l)√3＝lm＋3n√3
移項して
　(12l−m−lm)＋(2m−l−3n)√3＝０
(1) より
　12l−m−lm＝０　かつ　2m−l−3n＝０

lm−12l＋m＝０ より
　(l＋1)(m−12)＝-12
l＋1≧2 より　(l+1, m-12) の組は
　(2, -6), (3, -4), (4, -3), (6, -2), (12, -1)
それぞれ、(l, m) の組は
　(1, 6), (2, 8), (3, 9), (5, 10), (11, 11)
このうち、n が整数になるのは・・・(以下略)
No.13550 - 2011/04/17(Sun) 18:31:12
★ 展開 / ぜっとん
(5x^2-2x+3)(3+2x-5x^2)
この式を展開してください。
No.13540 - 2011/04/15(Fri) 22:36:11
☆ Re: 展開 / ヨッシー
(5x^2-2x+3)(3+2x-5x^2)
={3+(5x^2-2x)}{3-(5x^2-2x)}
=3^2 - (5x^2-2x)^2
=9-25x^4+20x^3-4x^2
あとは好きなように並べ替えてください。
No.13542 - 2011/04/15(Fri) 23:34:05
★ よろしくお願いします / ゆきや
困っているのでよろしくお願いします。数1Aです。

任意の実数a,b,cについて、m(a^2+b^2+c^2)≧(a+b+c)である時、mの最小値を求めよ。また、m^3(a^4+b^4+c^4)≧(a+b+c)^4が成立することを示せ。

という問題の解き方を教えてください。途中まででもいいので。
No.13532 - 2011/04/14(Thu) 01:21:24
☆ Re: よろしくお願いします / ヨッシー
m(a^2+b^2+c^2)≧(a+b+c)^2 でしょうか？
No.13533 - 2011/04/14(Thu) 07:30:33
☆ Re: よろしくお願いします / ゆきや
あ、間違えてました。。
その通りです。
よろしくお願いします。
No.13534 - 2011/04/14(Thu) 09:46:15
☆ Re: よろしくお願いします / 豆
m(a^2+b^2+c^2)≧(a+b+c)^2　・・・＊
に、a=b=c=1を代入すると、
3m≧9　なので、m≧3は必要
3(a^2+b^2+c^2)-(a+b+c)^2=(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2≧0
はどんなa,b,cでも成立するので　mの最小値は3

＊のa,b,cをそれぞれa^2,b^2,c^2におきかえれば、
m(a^4+b^4+c^4)≧(a^2+b^2+c^2)^2
m^2　をかけて、
m^3(a^4+b^4+c^4)≧(m(a^2+b^2+c^2))^2
　　　　　　　　　≧((a+b+c)^2)^2　（再び＊を使う）
　　　　　　　　　=(a+b+c)^4
No.13535 - 2011/04/14(Thu) 11:43:28
☆ Re: よろしくお願いします / ゆきや
ありがとうございました！
本当に助かりました。なるほど、言われれば簡単な作業ですご、自分では思いつきなさそうな解答でした。
No.13536 - 2011/04/15(Fri) 01:30:30
☆ Re: よろしくお願いします / ゆきや
↑つきそうにない、の間違いです。

何度も書き込んでスペースをとってしまって申し訳ありませんでしたm(_ _)m
No.13537 - 2011/04/15(Fri) 01:31:51
★ ルートiは定義できる？ / たけし
２乗してiになる数はプラスマイナス(1/ルート2)プラスマイナス(i/ルート2)です。
ということは，(1/ルート2)＋(i/ルート2)をルートiとして定義しても大丈夫なのですか？何か矛盾（まずいこと）が起きますかね？
No.13530 - 2011/04/13(Wed) 23:38:24
☆ Re: ルートiは定義できる？ / らすかる
√iの定義だけそのように決めるぶんには問題ないと思います。
No.13531 - 2011/04/14(Thu) 00:51:27
☆ 複素数 z に関して、√z の定義の問題 / 森の水だより
参考までに、一般の話を書いておきます。
一般に複素数 z に対して w^2=z となるような複素数 w は2つ存在します
で、そのうち一方 を α とすると、もう一方は -α となります。
z が正の実数のときは正のほうを √z と書くことにきめて
z が負の実数のときは √z=i√(-z) と決めればよかったのですが
z が一般の複素数のときは２つあるうちのどちらを √z とするかのよりどころに困ります。
実部の正負でわけるとか(実部が0のときは虚部の正負)無理やり決めることはできますが、
あまり意味は無いので通常は複素数 z に対して
√z という記号は定義せずに話を進めます。
しかし、例えば「±√」を１つの記号と認識して
±√z とは「w^2=z となる複素数 z のうちのどちらか」
というふうに解釈すると、複素係数の2次方程式
ax^2+bx+c=0 の解も（実数係数の2次方程式の解の公式と同様に）
x={-b±√(b^2-4ac)}/2a　と書けることになります。
No.13541 - 2011/04/15(Fri) 23:05:02
☆ Re: ルートiは定義できる？ / らすかる
> 実部の正負でわけるとか(実部が0のときは虚部の正負)無理やり決めることはできますが、

「実部の正負でわける」のは問題ないと思いますが、
虚部に正負はないので「実部が0のときは虚部の正負」は問題があると思います。
No.13543 - 2011/04/16(Sat) 03:05:13
☆ Re: ルートiは定義できる？ / 豆
複素数z=x+iyに対して、虚部は一般的に
Im(z)=y　で定義されると思いますので、問題ないと思います。
No.13544 - 2011/04/16(Sat) 09:35:03
☆ Re: ルートiは定義できる？ / らすかる
再度読み直したら
「実部の正負でわけるとか(実部が0のときは虚部の正負)無理やり決めることはできますが、」
は√の中身が虚数の場合について言っていたのですね。
それならば問題ありません。失礼しました。

私が問題と考えていたのは√の中身が負の実数の場合でした。
> z が負の実数のときは √z=i√(-z) と決めればよかった
これは2つあるうちの特定の一つに決めていることにならないと思います。
というより、特定して決めることは出来ないと思います。
iは「-1の平方根のうちのどちらか一つ」ですから
i√(-z) は「zの平方根のうちのどちらか一つ」と言っているだけですね。
No.13546 - 2011/04/16(Sat) 20:25:51
☆ Re: ルートiは定義できる？ / たけし
皆さんいろいろとありがとうございました。
大変面白い問題だと再認識しました。
No.13554 - 2011/04/20(Wed) 05:53:07
★ (No Subject) / むー
確率の問題なのですが、考えてもわかりません。
解説よろしくお願いします。


xy平面上で点Pは原点を出発点とし、さいころを1回投げるたびに、1または2の目が出たときはx軸方向に1だけ進み、3の目が出たときはx軸方向に-1だけ進み、4または5の目が出たときはy軸方向に1だけ進み、6の目が出たときはy軸方向に-1だけ進む。

(1)さいころを5回投げるとき点Pが点(2,-3)にいる確率を求めよ。

(2)さいころを2回投げるとき、P点のx座標の期待値を求めよ。
No.13527 - 2011/04/13(Wed) 18:34:20
☆ Re: / ヨッシー
(1) 1または2 が２回、６が３回出る確率なので、
A を１または２とすると、目の出方は
　AA666, A6A66, A66A6, A666A, 6AA66,
　6A6A6, 6A66A, 66AA6, 66A6A, 666AA
の１０通り。２つのＡに、１または２を当てはめる方法は、
それぞれについて、２×２＝４通り なので、目の出方は
全部で４０通り。

それぞれの目の出方について、それが出る確率は、
　(1/3)^2×(1/6)^3＝1/1944
よって、求める確率は、
　40/1944＝5/243

(2) ｘ座標だけに注目すると、
　1と2は＋１，3は−１，4と5と6は０と考えると、
１回あたりの期待値は、1×1/3＋(-1)×1/6＋0×1/2＝1/6
２回振ると、期待値は、1/6＋1/6＝1/3
No.13529 - 2011/04/13(Wed) 20:43:34
★ 高2　三角関数 / れいひゃー
次の関数の周期をもとめ、グラフを書け。

y=3sin(3θ-π/2)+1

です。


式変形?して、
y=3sin3(θ-π/6)+1
までできましたが、グラフが書けません。
教えてくださいお願いします＞＜
No.13526 - 2011/04/13(Wed) 18:17:38
☆ Re: 高2　三角関数 / ヨッシー
　y＝sinθ
　y＝3sinθ
　y＝sin(3θ)
　y＝sin(θ−π/2)
　y＝sinθ＋１
のグラフ、全部描けますか？
No.13528 - 2011/04/13(Wed) 20:29:26
☆ Re: 高2　三角関数 / れいひゃー
y＝sin(3θ)
が少し自信ないです。
No.13538 - 2011/04/15(Fri) 04:24:13
☆ Re: 高2　三角関数 / ヨッシー
いろんなコツ（例えば、y＝3sinθ は、y＝sinθ のグラフを
ｙ軸方向に３倍拡大する等）はありますが、まずは愚直に、
x=0 のとき、x=π/6 のとき、x=π/3 のとき、など、いくつもの
点をとって、つなぐことから始めましょう。
No.13539 - 2011/04/15(Fri) 06:14:35
☆ Re: 高2　三角関数 / れいひゃー
分かりました
頑張ってみます、ありがとうございました！＾＾
No.13549 - 2011/04/17(Sun) 17:27:38
★ (No Subject) / 高校
テストに出て来て
考えても考えても解りません…

y=x^2とy=xの図形でy=xを回転軸にできた体積は？

自分的には-45度動かしてx軸に重ねる方法とか考え、その放物線を積分すれば出ると思うのですが放物線の式の出し方が解りません。
お願い致します。
No.13521 - 2011/04/10(Sun) 15:45:22
☆ Re: / X
回転移動の一次変換を使います。
今、点(x,y)が原点中心の-45°の回転移動で点(X,Y)
に移ったとすると、点(X,Y)は原点中心の45°の回転移動
で点(x,y)に移りますので
x=(1/√2)X-(1/√2)Y (A)
y=(1/√2)X+(1/√2)Y (B)
(A)(B)を
y=x^2 (C)
に代入して
(1/√2)X+(1/√2)Y={(1/√2)X-(1/√2)Y}^2
従って(C)の回転移動後の方程式は
(1/√2)x+(1/√2)y={(1/√2)x-(1/√2)y}^2 (C)'
後は(C)'をyについて解きます。
No.13522 - 2011/04/10(Sun) 16:25:04
☆ Re: (No Subject) / 高校
そして出たのを積分すれば答えが出ると(･∀･)

有り難うございます。
No.13525 - 2011/04/10(Sun) 16:40:02
★ 証明の問題です / もこ
2日間頑張っているのですが、お手上げです。
宜しくお願いします。

＜問題＞

X1, X2, ..., Xn,... を独立した N(0, 1)確率変数とする。
次を証明せよ。

δ>0:

limit (n→∞) P{ | (X1+X2+...+Xn)/n^α | > δ} =
α>.5の場合は0
α=.5の場合は正数
α<.5の場合は1
No.13520 - 2011/04/07(Thu) 15:46:55
☆ Re: 証明の問題です / のぼりん
こんにちは。
正規分布の再生性により、確率変数
　　（Ｘ１＋Ｘ２＋…＋Ｘｎ）/ｎα
は、平均 ０、分散 ｎ１−２α の正規分布に従いますね。

※　出先にいたため今まで投稿できず、超遅回答になってしまいました。
No.13547 - 2011/04/17(Sun) 14:02:38
★ 指数対数 / anna
4つの数 4^5/6, log{2}(3), log{4}(7), 2^4/3 の大小を比較せよ。

よろしくお願いします。
No.13517 - 2011/04/07(Thu) 11:58:34
☆ Re: 指数対数 / X
まずは比較しやすい値同士を比較してみましょう。

4^(5/6)=(2^2)^(5/6)=2^(5/3)＞2^(4/3) (A)
log[4]7=(log[2]7)/(log[2]4)
=(1/2)log[2]7=log[2]√7＜log[2]3 (B)
又
1=log[2]2＜log[2]3＜log[2]4=2
∴0＜log[2](log[2]3)＜1 (C)
で
log[2]{2^(4/3)}=4/3 (D)
(C)(D)より
log[2]{2^(4/3)}＞log[2](log[2]3)
∴2^(4/3)>log[2]3 (E)
(A)(B)(E)より
log[4]7＜log[2]3＜2^(4/3)＜4^(5/6)
となります。
No.13518 - 2011/04/07(Thu) 12:14:23
☆ Re: 指数対数 / anna
ありがとうございました。
1つ質問で、1=log[2]2＜log[2]3＜log[2]4=2からどのようにして　∴0＜log[2](log[2]3)＜1 (C)になったのですか。
No.13519 - 2011/04/07(Thu) 13:46:18
☆ Re: 指数対数 / X
1=log[2]2＜log[2]3＜log[2]4=2
つまり
1＜log[2]3＜2
∴各辺の2を底とする対数を取ると…。
No.13523 - 2011/04/10(Sun) 16:27:51
★ 数列の応用 / suuretu
Σ[k=1,2007]sin(kπ)/3

まずkを6で割った余りに分類してsin(kπ)/3の値を調べているのですがなぜなのでしょうか？

mを整数とすると
k=6m＋1のとき sin(2mπ＋π/3)＝sinπ/3＝√3/2

k=6m＋2のとき sin(2mπ＋2π/3)＝sin2π/3=√3/2

k=6m＋3のとき sin(2mπ＋π)＝sinπ＝0

k=6m＋4のとき sin(2mπ＋4π/3)＝sin4π/3＝-√3/2

k=6m＋5のとき sin(2mπ＋5π/3)=sin5/3π=-√3/2

k=6mのとき sin2mπ=0

2007=6・334＋3であるから
Σ[k=1,2007]sin(kπ)/3＝334(√3/2＋√3/2＋0-√3/2-√3/2＋0)＋√3/2＋√3/2＋0=√3
この計算式の意味もよくわからないし
なによりk=6m〜 とか発想の仕方が分かりません。
どうして解答のようになるのでしょうか？
説明できる方おねがいします
No.13509 - 2011/04/06(Wed) 01:56:21
☆ Re: 数列の応用 / rtz
まず、sin((kπ)/3)ときちんと括弧を使うこと。
(sin(kπ))/3と区別がつかない。


何もわからないなら、
とりあえず、k＝1〜12くらいまで実際に計算してみればいいでしょう。
規則性に気付くはず。
そうすればなぜ6通りに場合分けしたかも自ずと分かると思われます。
No.13510 - 2011/04/06(Wed) 03:14:21
★ 数学　すごく難しいです / 土肥
数学 難しいです・・・

１以上の整数全体の集合をＮとし、その部分集合をＳ
Ｓ＝｛３ｘ＋７ｙ｜ｘ、ｙ∈Ｎ｝ とする。
Ｓはある整数ｎ以上のすべての整数を含むことを示し、ｎの最小値を求めよ。

自分の解答(途中までしかできませんでした)

3x＋7y=nとする。これを満たす(x,y)の組を１つ見つけると(x,y)=(-2n,n)がある。
したがって、3(x＋2n)＋7(y-n)=0
ここで、３と７は互いに素だから
x＋2n=-7k
y-n=3k (kは整数)

x=-2n-7k
y=n＋3k
x≧1 y≧1より
-2n-7k≧1 ⇔ k≦-(2a＋1)/7
n＋3k≧1 ⇔ k≧(1-n)/3

ここまでやったのですが、自分が何をやってるのか分からなくなってしまいました。
解答では

x=-2n＋7k(kは整数)
y=n-3k

x>0 y>0より2/7n これを満たす整数kが常に存在するための条件は
n/3 - 2/7n=n/21 >1
よって、Sは22以上のすべての自然数nを含む (ただしSは21を含まない)
よってnの最小値は22

まず、聞きたいのですがxとyはN(1以上の整数の集合)の中にあるので
x≧1 y≧1は確定ですよね？
じゃあ、部分集合であるSの最小値はx=1,y=1のときでS＝10になると思います。
S{n=3x＋7y(x≧1、y≧1)}の中である数n以上のすべての整数を含むのがSなので
そのある数というのがなんなのかを求めたいわけですよね。
例えばS=11のときこれを満たすx,yは存在しないので11は部分集合Sの中には入らない
S＝12のときこれも入らない
・・・・・・これらを続けていくうちにあるS、つまりあるnの値以上のすべての整数がSの中に入り続けるということですよね。

それと次の疑問なのですが、解答ではどうしてx>0,y>0としているのでしょうか？x≧1,y≧1の間違いでしょうか？
また、解答の後半の
「x>0 y>0より2/7n これを満たす整数kが常に存在するための条件は
n/3 - 2/7n=n/21 >1」
この作業をする意味がよくわかりません。整数kが常に存在すればなにが起こるんですか？
誰か分かる方おしえてください。(特に解答の意味を)おねがいします
No.13508 - 2011/04/06(Wed) 01:14:45
☆ Re: 数学　すごく難しいです / ヨッシー
これに近い問題が、こちらにあります。
No.13512 - 2011/04/06(Wed) 16:55:22
☆ Re: 数学　すごく難しいです / suuretu
ノート分配問題の解答で
「えっと、一人でも多かったら、組合せがあるので、
まずは、３Ｘ＋１０Ｙ＝１ の整数解を求めます。
で、　Ｘ＝−３，Ｙ＝１

ここで、まず生徒数が ３ｎ のときは、大丈夫なので、３ｎ＋１ のときをかんがえます。
このとき、 ３(ｎ−３)＋１０＝３ｎ＋１
また、 ３(ｎ−６)＋２０＝３ｎ＋２

よって、ｎ≧６ ならば、大丈夫。

ここで、１７ は、３と１０であらわせないので、よって17人」
とあるのですが
【ここで、まず生徒数が ３ｎ のときは、大丈夫なので、３ｎ＋１ のときをかんがえます。
このとき、 ３(ｎ−３)＋１０＝３ｎ＋１
また、 ３(ｎ−６)＋２０＝３ｎ＋２

よって、ｎ≧６ ならば、大丈夫。

ここで、１７ は、３と１０であらわせないので、よって17人】この部分がよくわからなかったです。
あとどうして３Ｘ＋１０Ｙ＝１とおくのかもわかりません。
No.13514 - 2011/04/06(Wed) 20:55:06
☆ Re: 数学　すごく難しいです / ヨッシー
まず、おことわりですが、ノート分配の問題は、
　３ｘ＋１０ｙ
で、ｘ＝０　または　ｙ＝０ の場合も許しています。
この点が、上の、Ｓ＝｛３ｘ＋７ｙ｜ｘ、ｙ∈Ｎ｝の問題とは
違いますので、それは承知しておいて下さい。

３Ｘ＋１０Ｙ＝１ から　Ｘ＝−３，Ｙ＝１　を導いているのは、
10冊を１セット増やして、3冊を３セット減らすと、全体の冊数は
１増えることを見つけるためです。

３ｎで表される、３，６，９・・・は、３Ｘ＋１０Ｙ で表せます。
では、３ｎ＋１ はどうかというと、３ｎのところに、
３冊を３セット減らして、１０冊を１セット増やせば、
　３（ｎ−３）＋１０＝３ｎ＋１
のように、作ることが出来ます。
ただし、３冊が−２セット、などはあり得ないので、
ｎ−３は、最小でも０でないといけません。
よって、ｎ≧３ となり、このとき、３ｎ＋１で表される
　１０，１３，１６・・・・
は、３Ｘ＋１０Ｙ で表せます。
同様に、３ｎ＋２は、３ｎ＋１のところに、さらに３冊を３セット減らして、
１０冊を１セット増やして
　３（ｎ−６）＋２０＝３ｎ＋２
と作れます。同様に、ｎ≧６であることが必要で、このとき、
３ｎ＋２ で表される、２０，２３，２６・・・は、３Ｘ＋１０Ｙで表せます。以上より、３Ｘ＋１０Ｙで表される数は、
　３，６，９，１２，１５，１８，２１・・・
　１０，１３，１６，１９，２２，２５・・・・
　２０，２３，２６、２９・・・
であり、１８以上の整数は、すべてこれらに含まれます。
すると、１７が３Ｘ＋１０Ｙで表せない最大の数となります。
No.13515 - 2011/04/06(Wed) 22:51:06
☆ Re: 数学　すごく難しいです / angel
取り敢えず、ヨッシーさんの提示された問題は置いて、元の問題から。良く分からない時は具体的に数値を挙げていくのも手です。

「1以上」という条件を取り敢えず考えないで、3x+7y=n となる整数(x,y)の組み合わせを見てみます。

　n=1…(x,y)=(5,-2)　n=2…(x,y)=(3,-1)　n=3…(x,y)=(1,0)
　n=4…(x,y)=(6,-2)　n=5…(x,y)=(4,-1)　n=6…(x,y)=(2,0)
　n=7…(x,y)=(7,-2)　n=8…(x,y)=(5,-1)　n=9…(x,y)=(3,0)
　…
　n=19…(x,y)=(11,-2)　n=20…(x,y)=(9,-1)　n=21…(x,y)=(7,0)

勿論、(x,y)の組み合わせは他にもありますが、意図的に y=0,-1,-2 となるものを選んでいます。そうすると、自動的に x は 1以上になります。そうでないと 3x+7y が正になりませんから。
良く見てみると、nが3増える毎にxが1増えるだけで非常に規則正しいですね。

ここでそれぞれyを3増やしてみるとどうでしょうか?
例えば (x,y)=(5,-2), n=3x+7y=1 に対してyを3増やすと
(x,y)=(5,1), n=3x+7y=22 となります。
そうすると、元々 0,-1,-2 のいずれかだったyは、3増やすことで1以上の整数になります。
また、どの場合でもnは21増えます。

そうすると n=22 に対しては (x,y)=(5,1)、n=23 に対しては (x,y)=(3,2)、… といった具合に、22≦n≦42 に対しては x≧1, y≧1, n=3x+7y となる整数(x,y)が必ず存在することが分かります。
更にnが大きい場合でも、yを3ずつ増やしていけば同じ話です。つまり、n≧22 に対して x≧1,y≧1,n=3x+7y となる整数(x,y)が必ず存在します。なので、結局問題の答が 22 と分かります。
※n=21では都合の良い(x,y)がないことが事前に分かっているものとします。

この路線で解答を作ることもできますがそれはさておき、具体的な数の状況を把握した上で、もう一度模範解答を眺めなおしては如何でしょう。
No.13516 - 2011/04/06(Wed) 23:30:47
★ 重心を通る線分は面積を2等分？ / 28
任意の三角形でその重心を通る直線は三角形の面積を二等分する

99年東工大？の問題についてですが、この命題はどうやって証明しますか？
中線によって区切られる6つの領域の面積が等しいことから解こうとしたのですが・・・


また、四角形、五角形、円と増えていくとどう証明されますか？
No.13504 - 2011/04/05(Tue) 23:17:02
☆ Re: 重心を通る線分は面積を2等分？ / らすかる
その命題は成り立ちませんので証明できません。
No.13505 - 2011/04/05(Tue) 23:52:41
☆ Re: 重心を通る線分は面積を2等分？ / シャロン
反例を挙げる。

△ABCの重心Gを通り辺ABに平行な直線が、辺ACおよびBCと交わる点をそれぞれD、Eとする。また辺ABの中点をMとすれば、
△ABC∽△DECでCG=(2/3)CMから、△DEC=(2/3)^2*△ABC
いまDEは重心Gを通るが、それは△ABCを4:5に分割する。
No.13507 - 2011/04/06(Wed) 01:00:30
★ 数学　演習問題 / 土肥
数学 お茶の水女子大学の問題です

相異なるn個の実数a1,a2,a3,・・・,anが不等式
a[1]-a[2]>a[2]-a[3]>・・・>a[n-1] - a[n]>a[n]-a[1](n≧3）を満たすならば、a[1]〜a[n]のうちで
a[1]が最大であることを示せ。

解答
n個の数 a[1]-a[2] ,a[2]-a[3],a[3]-a[4]、・・・、a[n-1] - a[n]、a[n-a[1]は【単調減少数列】で、どれも0でなく、和が0であるから、
a[k-1] - a[k]>0>a[k]-a[k＋1] (2≦k≦n)を満たす自然数kがある。
ただし、a[n＋1]=a[1]とする。

a[1]>a[2]>・・・>a[k-1]>a[k]<a[k＋1]<・・・<a[n]<a[1]
よってa1が最大である。

まず、単調減少数列とはどういう意味なのでしょうか？ちなみに数学?V,Ｃは習ってません。
また、

＜〜は【単調減少数列】で、どれも0でなく、和が0であるから・・・＞
この文の意味が理解できません。

正直、解答を見てもやってることがさっぱりです；
誰か分かる方教えてください。お願いします。
No.13499 - 2011/04/05(Tue) 19:10:30
☆ Re: 数学　演習問題 / ヨッシー
単調減少数列とは、
　5,4,2,1,0,-2,-4
のように、常に減り続ける数列のことです。
単調減少数列の項がすべて正であれば、和は正、
すべて負なら、和は負になります。
和が０になるということは、
　4,2,-1,-2,-3
のように、最初は正で、やがて負になるような数列であるはずです。
すると、どこかに、正の数から、負の数に変わるところがあるはずです。(上の例では、２から-1に変わるところ)
元の数列で表すと、
　a[2]-a[3]＝２＞０＞a[3]-a[4]＝−１
です。
上の例について言うと
　a[1]-a[2]＞a[2]-a[3]＞０＞a[3]-a[4]＞a[4]-a[5]＞a[5]-a[1]
となります。
一般に書くと、
　a[1]-a[2]＞a[2]-a[3]＞・・・＞a[k-1]-a[k]＞０
　＞a[k]-a[k+1]＞・・・＞a[n-2]-a[n-1]＞a[n-1]-a[n]＞a[n]-a[1]
となります。
これらは、０を基準に考えると、
　a[1]-a[2]＞０
　a[2]-a[3]＞０
　　・・・
　a[k-1]-a[k]＞０
　０＞a[k]-a[k+1]
　　・・・
　０＞a[n-2]-a[n-1]
　０＞a[n-1]-a[n]
　０＞a[n]-a[1]
と書け、それぞれ
　a[1]＞a[2]
　a[2]＞a[3]
　　・・・
　a[k-1]＞a[k]
　a[k]＜a[k+1]
　　・・・
　a[n-2]＜a[n-1]
　a[n-1]＜a[n]
　a[n]＜a[1]
となり、
a[1]>a[2]>・・・>a[k- 1]>a[k]<a[k＋1]<・・・<a[n]<a[1]
よってa1が最大である。
が言えます。
No.13500 - 2011/04/05(Tue) 21:07:56
☆ Re: 数学　演習問題 / 土肥
　4,2,-1,-2,-3
のように、最初は正で、やがて負になるような数列であるはずです。
すると、どこかに、正の数から、負の数に変わるところがあるはずです。(上の例では、２から-1に変わるところ)
元の数列で表すと、
　a[2]-a[3]＝２＞０＞a[3]-a[4]＝−１

これはa[2]=2 a[3]=-1　a[4]=-2としているのでしょうか？
No.13506 - 2011/04/06(Wed) 00:06:03
☆ Re: 数学　演習問題 / ヨッシー
a[1],a[2],a[3]・・・がそれぞれいくつなのかはわかりませんが、
　a[1]-a[2]=4
　a[2]-a[3]=2
　a[3]-a[4]=-1
　a[4]-a[5]=-2
　a[5]-a[1]=-3
であることだけは確かです。
No.13511 - 2011/04/06(Wed) 06:44:46
★ 簡単な燃費の計算なんですが・・・ / ぴゅうーぼよん
車で10ℓの燃料で100km走行すると、1ℓあたりの燃費は
100÷10＝10kmとなりますよね。

次に20ℓで160km走行すると、1ℓあたりの燃費は
160÷20＝8kmになりますよね。

そこで、この２回分の1ℓあたりの燃費平均を求めるのに正しいのはどちらなのか教えてください。

＊1回目の燃費10k/ℓと2回目の燃費8k/ℓをたして2で割る。
(10＋8)÷2＝9

＊2回分の走行距離を2回分の燃料量で割る。
(100＋160)÷(10＋20)＝8.6666・・・・

どちらがなぜ正しく、なぜ誤りなの教えてください。
No.13498 - 2011/04/05(Tue) 18:38:38
☆ Re: 簡単な燃費の計算なんですが・・・ / ヨッシー
後者の8.666 が正しいです。

こういうのは、極端な例を考えると違いがよくわかります。
1リットルの燃料で10km走って、燃費10km。
10000リットルの燃料で80000km走って、燃費8km。
ほとんどすべての燃料を、燃費8kmで走っているのに、
平均燃費9km ではおかしいですね。

燃費というのは、それ自体、平均のようなものです。
　１０リットルで１００ｋｍ　１リットルあたり１０ｋｍ
　１０人の合計点が１００点　１人の平均１０点
いわば、燃料１リットルあたりの平均点のようなものです。

部分の平均から全体の平均を出すには、全体の点数、全体の人数を
出してから、割るというのが正しいやり方です。

式で書くと、
　(燃費1×燃料量1＋燃費2×燃料量2＋・・・＋燃費n×燃料量n)÷(燃料量1＋燃料量2＋・・・＋燃料量n)
で計算します。
これは、加重平均というやり方で、燃費10kmで走ったときに
使った燃料の量と、燃費8kmで走ったときに使った燃料の量の
重みが違うので、燃料量を掛けて重み付けをしています。

同じ１０リットルずつで、100km、80km 走ったときは、
　(10+8)÷2＝9
で正しいですが、これはたまたま重みが一緒であったためで、
　(燃費1×燃料量1＋燃費2×燃料量2)÷(燃料量1＋燃料量2)
において、燃料量1＝燃料量2 であるので、
　(燃費1×燃料量1＋燃費2×燃料量1)÷(燃料量1＋燃料量1)
　＝(燃費1＋燃費2)÷２
と約分できるからです。
No.13501 - 2011/04/05(Tue) 21:32:25
☆ Re: 簡単な燃費の計算なんですが・・・ / ぴゅうーぼよん
ありがとうございました。
No.13513 - 2011/04/06(Wed) 18:12:57
★ 確立 / mj
AとBの2人がじゃんけんで勝負をすることにした。先に3勝したほうを勝者とするとき、4回目のじゃんけんでAが勝者となる確率はいくらか。ただし、あいこも1回と数えるものとする。
よろしくお願いします
No.13495 - 2011/04/05(Tue) 08:10:16
☆ Re: 確率 / ヨッシー
○を勝ち、×を負け、△をあいことすると、
Ａが４回目で勝者となる星取りは、
〇〇×○　〇〇△○
○×○○　○△○○
×○○○　△○○○
の６通り。
それぞれ、起こる確率は、1/3×1/3×1/3×1/3＝1/81
であるので、求める確率は、
　6/81＝2/27
No.13496 - 2011/04/05(Tue) 08:28:01
☆ Re: 確立 / mj
ありがとうございました。
No.13497 - 2011/04/05(Tue) 08:40:41
★ 図形と方程式　高校２年 / カナメ
ｋ＞０とする。ｘｙ平面上の二曲線
ｙ＝ｋ(ｘ-ｘ^3)
ｘ＝ｋ(ｙ-ｙ^3)
が第一象限にα≠βとなる交点(α,β)をもつようなｋの範囲を求めよ。
という問題で、上記の二式が対称式で足したり引いたりなどしてｘ^2+ｙ^2＝1…?@
ｘｙ＝1/ｋ…?A

という式を得られました。問題はこのあとなんですが、解答には
｢この?@、?Aがｘ＞０、ｙ＞０、ｘ≠ｙを満たす解を持つことが題意が成り立つための必要十分条件であり、それは(1/√2,1/√2)が領域ｘｙ＞1/ｋにあることで、1/2＞1/k ∴ｋ＞２｣
(?T)ｘ≠ｙなのになぜ(1/√2,1/√2)が出てくるのか

(?U)ｘｙ＞1/ｋにあればなぜ必要十分条件になるのか
以上の質問に答えていただければ嬉しいです
また、以前教えてもらった時に
【(?T)について
?Aの式
xy=1/k
はxとyを入れ替えても同じ式になるから，【?Aの関数はy=xに関して対称】となる。

ということは?Aの式はy=xに関して対称である，という条件を満たしながら動くことになる。
?@と?Aの交点(α，β)がα≠βとなるには，
★?@とy=xの交点―つまりx=y=1/√2―を?Aが通る時よりも，?Aのグラフが原点に近い方でないといけない。

ということで，この条件を式にしたものが
xy>1/kなる領域に(1/√2,1/√2)がある
ということ．】

といわれたのですが
まず、【xy=1/k
はxとyを入れ替えても同じ式になるから，【?Aの関数はy=xに関して対称】となる。】の意味がいまいちよくわからないのと
図示してみても【★?@とy=xの交点―つまりx=y=1/√2―を?Aが通る時よりも，?Aのグラフが原点に近い方でないといけない。】というのがいまいちよく理解できません。(図がまちがってるかもしれないです)

わかる方教えてください。よろしくおねがいします。
No.13491 - 2011/04/04(Mon) 01:49:14
☆ Re: 図形と方程式　高校２年 / ヨッシー
ｘ^2+ｙ^2＝1…?@
ｘｙ＝1/ｋ…?A
が、第１象限で、異なる２交点を持てば、それが求める交点であるので、
両者が２点で交わるｋの値を考えます。

一方は円、もう一方は双曲線(反比例のグラフ)であるので、
点(1/√2, 1/√2) で１点で交わる 1/k＝0.5 のときを境に、
交わる、交わらないが分かれる。

というわけで、1/k＜1/2 のとき、２点で交わる、となります。

(1/√2,1/√2)は、両グラフが交わるか交わらないかの境目
つまり、１点で接するときの接点であり、最初の条件ｘ≠ｙとは
関係ありません。
No.13502 - 2011/04/05(Tue) 22:14:52
☆ Re: 図形と方程式　高校２年 / ヨッシー
ちなみに、交点が必ず、
　x^2＋y^2＝1
の円上にあるということを実感する図です。

No.13503 - 2011/04/05(Tue) 22:27:25
★ (No Subject) / あかさ
不定積分∫1/(cosx)~3dxってどうやったら求まりますか？
色々な解き方があるなら、それも知りたいです。
No.13490 - 2011/04/04(Mon) 00:19:37
☆ Re: / X
では解法の一つを。
∫dx/(cosx)^3=∫{(cosx)/(cosx)^4}dx
と変形してsinx=tと置くと
∫dx/(cosx)^3=∫dt/(1-t^2)^2
=∫dt/{(1+t)(1-t)}^2
後は
1/{(1+t)(1-t)}^2
を部分分数分解して積分を計算します。
No.13493 - 2011/04/04(Mon) 18:37:47
★ 確率高２ / ほむほむ
サイコロを投げて、xy平面上の点P0、P1、・・・・・・、Pnを次の規則(a)(b)によって定める。

(a)P0=(0,0)

(b)1≦k≦nのとき、k回目に出た目の数が1,2,3,4,のときにはPk-1をそれぞれ東、西、南、北に(1/2)^kだけ動かした点をPkとする。
また、k回目に出た目の数が5,6のときにはＰk=Pk-1とする。
ただし、y軸の正の向きを北と定める。

(1)Pnがx軸上にあれば、P0,P1・・・・・・、Pn-1もすべてx軸上にあることを示せ。

(2)Pnが第１象限｛(x,y)|x>0,y>0｝にある確率をnで表せ。

まず、問題文について
【k回目に出た目の数が1,2,3,4,のときにはPk-1をそれぞれ東、西、南、北に(1/2)^kだけ動かした点をPk】
この意味についてなのですが
解答を見ると、1の目は東に 2の目は西に 3の目は南に 4の目は北に対応してるとのことでした。
ですが、この問題文を初めに見たとき
1,2,3,4のうちどれか１つがでれば
↑
← Pk-1 →
↓
のように東西南北にそれぞれ動くということだと捉えてしまいました。

また、解答では
a回目に初めて北or南に動いたとすると
動く大きさは(1/2)^a
a＋1回目は(1/2)^a＋1
・・・・・・・
n回目は(1/2)^n
これら
(1/2)^a＋1 ＋(1/2)^a＋2 ＋ ・・・・・・＋(1/2)^nの和は最初に動いた(1/2)^aより小さいというのを用いていました。
これはa回目 a＋1回目・・・n回目にそれぞれ動く大きさを排反と捉えているのでしょうか？
次に
(２)について
これは解答の一部がわからないので一応全部答えを書き写します。

次のそれぞれの場合がある。
(ア)原点にある
(イ)x軸の原点以外の部分にある
(ウ)y軸の原点以外の部分にある
(エ)x軸上にもy軸上にもない

(ア)は 5か6の２通りなので(2/6)^n
(イ)になるのは、毎回1,3,5,6のいずれかが出る場合から5,6が出る場合を除いたときで
その確率は(4/6)^n − (2/6)^nです。
(ウ)になる確率も(イ)と同様
１(全体の確率)から(ア)、(イ)、(ウ)を除いたのが(エ)になる確率で
(エ)＝1 - 2・(2/3)^n＋(1/3)^n ・・・?@
この確率を第1,2,3,4象限で分け合っているという形で第１象限にある確率は?@の1/4

よって答えは1/4 × ?@

自分の思いついた方針もこれと同じだったのですが
(イ)を毎回1,3がでればいいので(2/6)^n
(ウ)を毎回2,4がでればいいので(2/6)^nとしてしまいました。
どうしてこれじゃあいけないのでしょうか？
誰かわかる方教えてください
おねがいします。
No.13486 - 2011/04/03(Sun) 21:15:09
☆ Re: 確率高２ / X
>>これはa回目 a＋1回目・・・n回目にそれぞれ動く大きさを排反と捉えているのでしょうか？
ごめんなさい。質問の意味がよく分かりません。

>>(イ)を毎回1,3がでればいいので〜
(イ)の場合、例えば
1回目〜n-1回目が全て1の目でn回目が5の目
であっても条件を満たします。
つまりn回の試行のうち、少なくとも1回の試行で
1又は3の目が出れば、残りの試行が全て5,6の目であっても
条件を満たします。
(ウ)の場合も同様です。
No.13487 - 2011/04/03(Sun) 22:06:42
☆ Re: 確率高２ / シャロン
>これはa回目 a＋1回目・・・n回目にそれぞれ動く大きさを排反と捉えているのでしょうか？
a〜n回までの移動の事象が違いに排反だから、距離を足し合わせているのではない。

P_nのy座標をy[n]とかくことにすると、
|y[n]-y[a]|≦|y[n]-y[n-1]|+|y[n-1]-y[n-2]|+...+|y[a+1]-y[a]| (∵三角不等式|x+y|≦|x|+|y|)
≦(1/2)^n+(1/2)^(n-1)+...+(1/2)^(a+1) (∵n回めにサイコロを振った出目による移動で南北方向に移動する距離の絶対値|y[n]-y[n-1]|は、3または4が出たときは(1/2)^n、それ以外では0なので、|y[n]-y[n-1]|≦(1/2)^n)
= (1/2)^(a+1)*(1-(1/2)^(n-a))/(1-1/2) (∵初項(1/2)^(a+1)、公比1/2、項数n-aの等比数列の和)
= (1/2)^a*(1-(1/2)^(n-a))
＜(1/2)^a (∵(1/2)^(n-a)＞0)
= |y[a]|
なので、a回めのサイコロの出目で初めて南(北)へ移動しx軸から外れたら、それ以降の出目がすべて北(南)へ移動したとしても移動距離の合計がa回めで移動した距離以上にならないので、x軸上へ戻ることはできない。


ということをいっている。
No.13488 - 2011/04/03(Sun) 22:39:32
☆ Re: 確率高２ / ほむほむ
回答ありがとうございます。
理解力が足りないゆえ恐縮ですがわからないところを追加で質問させていただきます。

例えばk=3とすると
1≦3≦nのとき、３回目に出た目の数が１，２，３，４のときにはＰ2をそれぞれ東、西、南、北に(1/2)＾ｋだけ動かした点をP３とする。
となりますが、この場合１回目と２回目はどうなるんですか？
例えば１回目に２が出て２回目に３がでても
規則(b)には当てはまらないので(規則(b)は今【3回目】に出た目に関しては動かしたりとどまったりできるというルールであり、それ以外の回数についてはこのルールは無関係)
０回目(P0=(0,0))の位置と1回目と2回目は変わらないんでしょうか？
その場合Ｐ2というのはP0と同じ(０，０)にとどまっているままなのでしょうか？
また、
(1/2)^a＋1 ＋(1/2)^a＋2 ＋ ・・・・・・＋(1/2)^n＜(1/2)^a・・・?@
という式について。
a回目のサイコロの出目で初めて移動するとする。
わかりやすくするために
a=２とおきます。
じゃぁ?@の式は
(1/2)^3 ＋(1/2)^4 ＋ ・・・・・・＋(1/2)^n＜(1/2)^2とおけますよね。
まず最初の(1/2)^3というのは３回目に規則(ｂ)の効果が発動するんですよね？これってさっきk=3とおいてたとえてみたのと同じで１回目２回目はまったく無関係で３回目に初めて(1/2)^３だけ移動して４回目〜n回目も規則(ｂ)は無関係なのですよね？

なんだか意味がわからなくなってきました。
説明が下手で本当に申し訳ないです＾＾；
No.13489 - 2011/04/04(Mon) 00:00:02
☆ Re: 確率高２ / シャロン
問題の、というか規則(b)の解釈が間違っている。

kは固定された値でなく、順次変わる値である。

1回めのサイコロを振るときには、規則(b)をk=1として適用する。
2回めのサイコロを振るときには、規則(b)をk=2として適用する。
:
:
n回めのサイコロを振るときには、規則(b)をk=nとして適用する。

>この場合１回目と２回目はどうなるんですか？
3回めのサイコロを振ったときにはもうすでに1,2回めの処理は終わっている。その時その時の出目にしたがって、動点は移動している。

>例えば１回目に２が出て２回目に３がでても

この場合には、1回めで西に1/2、2回めで南に1/4移動したあと、つまり、P_2が(-1/2,-1/4)の位置から、
規則(b) (k=3として)と3回めの出目にしたがってP_3が決まる。
No.13492 - 2011/04/04(Mon) 11:47:23
☆ Re: 確率高２ / カナメ
規則(b)完全に勘違いしていました＾＾；
ですがおかげで理解できました。
このたびは本当にありがとうございました！
No.13494 - 2011/04/04(Mon) 21:13:38
★ 根号を含む式の計算 / ぽむ
中学３年の問題です。
(√3+2)(√3+6)-6/√3　がわかりません。
答えは、6√3+15です。

以下まではあっている気がします
まず(√3+2)(√3+6)を展開させて
(√3)^2+8√3+12-6√3/3
ですよね・・・。
間違っていたら指摘お願いします。
No.13483 - 2011/04/03(Sun) 10:16:35
☆ Re: 根号を含む式の計算 / ヨッシー
そこまでは合っています。
さらに、
　(√3)^2 はいくつになりますか？
　6√3/3 は約分したらいくつになりますか？
を考えます。
No.13484 - 2011/04/03(Sun) 10:51:56
☆ Re: 根号を含む式の計算 / ぽむ
(√3)^2 = 3
6√3/3 =2√3 ですよね

(√3)^2+8√3+12-6√3/3
↓↓↓
3+8√3+12-2√3
6√3+15....
おおおおおおっ　答えになりました。
ありがとうございます！
No.13485 - 2011/04/03(Sun) 11:39:16
★ 数学 確立の問題 高２ / ばくはげ

＜問題＞
数字1,2,3をn個並べてできるn桁の数全体を考える。そのうち1が奇数回現れるものの個数をa[n]、
1が偶数回現れるか、まったく現れないものの個数をb[n]とする。a[n+1],b[n+1]をa[n],b[n]で表せ。
＜解答例＞
n+1桁の数で、1が奇数回現れるもの（a[n+1]個ある）は、n桁で1が奇数回現れるもの（a[n]個ある）の
右に2か3をつけるか、または、1が偶数回現れるか、まったく現れないもの（b[n]個ある）の右に1を
つけて得られるから、a[n+1]=2[an]+b[n]。＊bn+1については省略します。

【a[n+1]=2a[n]+b[n]】の意味について質問です。

ためしにa[5]で考えてみると
a[5]は５桁(○○○○○)のうち1が奇数回現れるものの個数ですよね。
これをa[4]とb[4]を使って等式を作ると
a[4]は【1】232● といった場合でa[5]のとき、●には２or3がくるので２通り
b[4]は、【1】2【1】3●といった場合(1が偶数個)や、２３２２●(1が現れない)といった場合であり
a[5] つまり1が奇数個でるためには●に1が入ればよいので1通り

したがって
a[5]＝2・a[4]＋1・b[4] これを一般化したものが
a[n+1]=2a[n]+b[n]ということなのでしょうか？

ここでひとつ疑問が浮かび上がってきたのですが
2×a[n]と1×b[n]の意味について

これは、例えば１、２、３の三枚のカードを使って３桁の数が偶数になる場合を答えなさいという問題があったとして
○○●の３桁で●には２が入るのが確定しているので１通り。○○には１，３がはいるので２！＝２通り
したがって２×1＝2通り
となるときのように
○○の場合の数 × ●の場合の数 というのは
2×a[n]と1×b[n]の計算式と同じ意味でしょうか？

数学が苦手なのでわかりません；
誰かわかる方おしえてください。おねがいします。
No.13478 - 2011/04/02(Sat) 21:55:25
☆ Re: 数学 確立の問題 高２ / X
>>したがって
>>a[5]＝2・a[4]＋1・b[4] これを一般化したものが
>>a[n+1]=2a[n]+b[n]ということなのでしょうか？
その通りです。

>>○○の場合の数 × ●の場合の数 というのは
>>2×a[n]と1×b[n]の計算式と同じ意味でしょうか？
「意味」というのが考え方という意味であれば、
同じ考え方です。
No.13480 - 2011/04/02(Sat) 23:20:22
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