ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 高校1年数学質問 / らんらんるー

円に内接する四角形ＡＢＣＤがあります。
ＡＢ＝４，ＢＣ＝５，ＣＤ＝７、ＤＡ＝１０　のとき
sinA および　この四角形の面積Ｓを求めてください。

No.13952 - 2011/06/12(Sun) 09:18:37

☆ Re: 高校1年数学質問 / X

四角形ABCDは円に内接しているので
∠D=180°-∠A (A)
一方△ABC,△ACDにおいてACに注目した余弦定理を用いることにより
AC^2=4^2+5^2-2・4・5・cosA
=7^2+10^2-2・7・10・cosD (B)
(A)(B)より
4^2+5^2-2・4・5・cosA=7^2+10^2-2・7・10・(-cosA)
これを解いてcosAの値を求め
(sinA)^2+(cosA)^2=1
によりsinAの値を求めます。
次にSですが、四角形ABCDを△ABC,△ACDに分割して
面積を計算し、和を取る方針で計算します。
その際、先ほど求めたsinAの値を使います。
((A)より
sinD=sinA
となることも使いましょう。)

No.13954 - 2011/06/12(Sun) 12:03:08

☆ Re: 高校1年数学質問 / らんらんるー

ありがとうございました

No.13956 - 2011/06/12(Sun) 18:21:57

★ (No Subject) / うま

空間内に4点A(1,2,-2)B(-1,6,1)C(5,4,-3)D(5,a,b)を頂点とする四面体ABCDがある。

三角形ABCの面積、
点P(9,p,-9)が平面ABC上にあるときpの値と、
点Dから平面ABCに下ろした垂線がDPとなるときのa、bの値、
このときの四面体ABCDの体積の求め方を説明して下さい。

No.13948 - 2011/06/12(Sun) 00:44:38

☆ Re: / うま

答え追加
面積5√6
p=-4,a=0,b=-17
体積40

No.13949 - 2011/06/12(Sun) 00:56:02

☆ Re: / シャロン

> 三角形ABCの面積、

三平方の定理から3辺の長さを求め、正弦定理でsinAを求めるなり、ヘロンの公式で求めるなりしましょう。

> 点P(9,p,-9)が平面ABC上にあるときpの値と、

平面ABCの方程式をsx+ty+uz=vとおいて、A、B、Cがこの面上にあることから平面の式を導き、さらにPがABC上にあることからpを求めます。

> 点Dから平面ABCに下ろした垂線がDPとなるときのa、bの値、
ABC⊥DPから、AP⊥DP、BP⊥DPなので、垂直なベクトルの内積が0になることから、求めます。

> このときの四面体ABCDの体積の求め方を説明して下さい。

四面体ABCDは、△ABCを底面、DPを高さとする三角錐です。
したがって体積は、(△ABC)(DP)/3

No.13950 - 2011/06/12(Sun) 01:21:40

★ (No Subject) / hjjjk

1から９までの数字を書いたカードが、それぞれ１枚ずつ合計
9枚入った箱がある。この箱からカードをまず１枚取り出し、
それを戻さずに、もう１枚取り出す。このとき、取り出した
２枚のカードを出た順に左から並べて2桁の数Aをつくる。
さらに、Aの一の位の数字と十の位の数字を入れかえた数をBとし、N＝｜A＾2－B^2｜とする。
（１）Nが36の倍数になる確率を求めよ。
（２）Nが81の倍数になる確率を求めよ。

よろしくお願いします。

No.13945 - 2011/06/11(Sat) 21:16:11

☆ Re: / ヨッシー

９枚から、２枚取り出す組み合わせを考え、
引いたカードを a,b (ａ＞ｂ) とします。
このとき、Ａ＝10a+b, Ｂ＝10b+a とすると、
　Ｎ＝Ａ^2－Ｂ^2
のように、絶対値なしで表現できます。
　Ｎ＝(10a+b)^2－(10b+a)^2
　　＝99(a^2－b^2)
であるので、
(1) a^2－b^2 が４の倍数であれば、条件を満たします。
　a^2－b^2＝(a-b)(a+b) であるので、
　a, b が奇数と偶数であれば、条件を満たさないことは明らか。
　a, b ともに、偶数または a, b ともに奇数の場合、条件を満たすことは明らかです。
　全体は、9Ｃ2＝36 通り。このうち、両者偶数が4Ｃ2＝6(通り)
　両者奇数が5Ｃ2＝10(通り)なので、求める確率は、
　16/36＝4/9
(2) a^2－b^2 が9の倍数であれば、条件を満たします。
　a^2－b^2＝(a-b)(a+b) であるので、
　i) a-b, a+b ともに3の倍数である場合
　　a, b ともに３の倍数であるときに限り、
　　場合の数は、3Ｃ2＝3(通り)。
　ii) a+b が９の倍数である場合
　　(a,b)＝(8,1)(7,2)(5,4)
　　の３通り。
　よって求める確率は、
　　6/36＝1/6

※順列で考えると、総数が 9Ｐ2＝72(通り) と２倍になる代わりに、
　上では、(a,b)＝(6,4) を１通りと数えたのを、順列では、
　(a,b)＝(6,4)(4,6) の２通り数えるので、確率は、分母分子
　ともに２倍となり、同じになります。

No.13946 - 2011/06/11(Sat) 22:07:05

☆ Re: / hjjjk

分かりました。ありがとうございます。

No.13947 - 2011/06/11(Sat) 23:33:17

★ (No Subject) / ピカチュウ

二つの相似な三角形があります。それらの相似比は３：４です。このとき其々の三角形の内接円の半径の比も３：４になる理由を教えて下さい。

No.13942 - 2011/06/11(Sat) 19:49:50

☆ Re: / X

問題の二つの三角形の周囲の長さをl,l'、面積をS,S'
、内接円の半径をr,r'とします。
このとき題意から
l:l'=3:4 (A)
S:S'=3^2:4^2=9:16 (B)
又
S=(1/2)rl (C)
S'=(1/2)r'l' (D)
ですので
r=2S/l (C)'
r'=2S'/l' (D)'
(A)(B)より
i'=(4/3)l (A)'
S'=(16/9)S (B)'
(A)'(B)'を(D)'へ代入して
r'=(4/3)×2S/l (E)
(C)'、(E)により
r:r'=2S/l:(4/3)×2S/l=3:4
となります。

No.13943 - 2011/06/11(Sat) 20:10:03

☆ Re: / シャロン

△ABC∽△A'B'C'とします。

いま、△ABCおよび△A'B'C'の内心をそれぞれI、I';I、IからそれぞれAB、A'B'へ下ろした垂線の足をHおよびH'とする。

AI、A'I'はそれぞれ∠CAB、∠C'A'B'の二等分線なので、
∠IAB=(1/2)∠CAB=(1/2)∠C'A'B'=∠I'A'B'
同じく、
∠IBA=(1/2)∠CBA=(1/2)∠C'B'A'=∠I'B'A'
∴△IAB∽△I'A'B'

さらに、∠IAH=∠I'A'H'、∠IHA=∠I'H'A'=∠Ｒより、
∴△IAH∽△I'A'H'

IHおよびI'H'はそれぞれ△ABC、△A'B'C'の内接円の半径であり

AB:A'B'=IA:I'A'=IH:I'H'

から、相似な三角形の内接円の半径の比は三角形の相似比に等しい。

#同様に外接円の半径も相似比に従います。

No.13944 - 2011/06/11(Sat) 20:15:22

★ (No Subject) / まうす

y=ax^2と２点A,Bで交わる直線Cがあります。その２点のｘ座標ををα、βとするとCの傾きはa(α＋β）とありました。これはy=ax^2に限らず、頂点が原点でない場合も成り立つのでしょうか？

よろしく御願いします

No.13933 - 2011/06/10(Fri) 17:09:17

☆ Re: / らすかる

2点α、βを加算するとどういう値になるのですか？
例えばαが(-1,1)、βが(1,1)のときα+βは(0,2)ですか？

No.13934 - 2011/06/10(Fri) 17:22:07

☆ Re: / まうす

失礼しました、その２点のｘ座標をα、β・・・
でした。

No.13935 - 2011/06/10(Fri) 21:35:35

☆ Re: / シャロン

原点が頂点でも正しくない。

反例:y=x^2、C:y=x

No.13936 - 2011/06/10(Fri) 22:17:56

☆ Re: / まうす

質問を訂正しておきました。再度よろしく御願いします。

No.13937 - 2011/06/11(Sat) 00:10:53

☆ Re: / シャロン

訂正後:
頂点がy軸上になければ正しくない。

反例:放物線y=x²+x-2、C:y=0

No.13938 - 2011/06/11(Sat) 00:25:50

☆ Re: / シャロン

頂点がy軸上なら成り立つことの証明

放物線:y=ax²+b、直線C:y=px+qとおく。この傾きはpである。

このとき、2交点のx座標はax²-px+(b-q)=0の2実数解であるので、これらをα、βとすると、
解と係数の関係から、α+β=p/a
したがって、p=a(α+β)である。

QED

No.13939 - 2011/06/11(Sat) 00:29:42

☆ Re: / 赤井

f(x)=ax^2+bx+cとしましょう。
傾きは(f(α) - f(β))/(α-β)なので、
整理するとa(α+β)+bとなりますね。

No.13941 - 2011/06/11(Sat) 00:34:05

★ 三角比 / 高校生

次の条件を満たす三角形ＡＢＣとその外接円Oを考える。
AB=2、AC=3、cosA＝1/4

∠Aの二等分線と円Oの交点をDとする。
このとき、cos∠BDC=-1/4である。BDはいくつか。

BDはどのように求めたらよろしいでしょうか。

No.13931 - 2011/06/08(Wed) 22:22:29

☆ Re: 三角比 / X

題意から
∠BAD=∠CAD
ですので、これらを円Oに対する円周角と見ると
弧BD=弧CD (但しいずれも小さいほうを取ります。)
∴弧BD、弧CDに対応する弦を考えると
BD=CD
そこで
BD=CD=x
と置き、△ABC、△BDCにおいて余弦定理を使うと
BC^2=2^2+3^2-2・2・3・(1/4) (D)
BC^2=x^2+x^2-2(x^2)・(-1/4) (E)
(D)(E)より
2x^2+(1/2)x^2=10
∴x=2 (∵)x>0
よってBD=2となります。

No.13932 - 2011/06/09(Thu) 09:32:19

★ 算数　小5 / わっクン

12でわったとき、商とあまりが同じ整数になる3けたの数の和を求めなさい。

No.13928 - 2011/06/08(Wed) 10:32:42

☆ Re: 算数　小5 / シャロン

どんな整数でも12で割ったときのあまりは0から11のいずれかの整数。

また、100÷12=8あまり4で、12×8+8=104＞100。
12×11+11=143。だから、元の数を12で割った商・余りは8から11まで。

よって、求める和は
(12×8+8)+(12×9+9)+(12×10+10)+(12×11+11)
= (12×8+1×8)+(12×9+1×9)+(12×10+1×10)+(12×11+1×11)
= {(12+1)×8}+{(12+1)×9}+{(12+1)×10}+{(12+1)×11}
= (12+1)×(8+9+10+11) #単純に計算すると足し算・掛け算を多くしなければならないので、同じもの同士を「分配法則」をつかってまとめると楽なので、そうした。
= 13×38
= 494
となる。

No.13929 - 2011/06/08(Wed) 11:42:58

☆ Re: 算数　小5 / わっクン

とってもよくわかりました。シャロンさん有難うございました

No.13930 - 2011/06/08(Wed) 12:38:16

★ 図形高2です / チャン

AB=6,AC=3,cosA=1/4の三角形ABCにおいて
とりあえず、BC=6,三角形ABCの外接円の半径R=4√15/5

角Aの二等分線と辺BCとの交点をDとし、点Aを通り点Dで辺BCに接する円Oと辺AB、辺CAの交点をそれぞれE、Fとする。
BD=4は求めれました。
•BEとCFの長さ
•BEとEA、CFとFAの長さの比
•EFの長さ
の求め方を説明して下さい。
さらに、点Aにおける円Oの接線に、点Cから下ろした垂線をCPとするとき、APの長さの求め方を教えて下さい。

答え:BE=8/3,CF=4/3
BE:EA=4:5,CF:FA=4:5
EF=10/3
AP=21/8

No.13925 - 2011/06/08(Wed) 00:50:09

☆ Re: 図形高2です / X

>>•BEとCFの長さ
>>•BEとEA、CFとFAの長さの比
>>•EFの長さ
>>の求め方を説明して下さい。
これはBEとCFの長さを求められれば、後は自力で計算できると思いますので
そこだけ方針を。
題意から接弦定理により
∠BAD=∠BDE
これと∠ABCが共通であることから
△ABD∽△BDE (A)
同様な考え方で
△ACD∽△BDF (B)
(A)(B)より相似比を使うと…。

No.13926 - 2011/06/08(Wed) 08:35:24

☆ Re: 図形高2です / X

>>APの長さの求め方を教えて下さい。
△ACPに注目すると題意から
AP=ACcos∠CAP
ということでcos∠CAPの値を求めることを考えます。
さて接弦定理により
∠CAP=∠ADF
で△ADFに余弦定理を使うと
cos∠ADF=…
注)
前準備として
△ACD∽△BDF
を用いてDFの長さを求めておきましょう。

No.13927 - 2011/06/08(Wed) 08:40:52

★ 極限 / 三点セット

高3です。

関数f(x)は、(x^2+x-2)f(x)=ax^3+bx^2+c+d*sin(x^2-1)を満たす。

lim[x→∞]f(x)=3、lim[x→1]f(x)=8のとき、a,b,c,dを求めよ。

です。a,bは、lim[x→∞]f(x)=3から求められたのですが、c,dを求められず困っています。

解説お願いします。

No.13920 - 2011/06/07(Tue) 20:24:51

☆ Re: 極限 / シャロン

x→1でx²+x-2→0なので、lim_x→1f(x)が有限な値を取るためには、ax³+bx²+c+d*sin(x²-1)→0であることが必要なことからcを求める。

このとき、x→1でx³+bx²+c→0からax³+bx²+c=(x-1)g(x) (g(x)は2次以下の整式)とかけ、lim_x→1f(x)=lim_x→1(g(x)+(d*sin(x²-1))/(x-1))からdが求まる。

No.13921 - 2011/06/07(Tue) 21:11:20

★ 早稲田（商） / akb

(1)(2)は分かったのですが(3)が
いくら考えても分かりません。
(2)を参考にせよとだけヒントが書かれていましたが…
解説お願いします。
答えは(1)-1(2)7(3)284です。

No.13917 - 2011/06/07(Tue) 18:44:15

☆ Re: 早稲田（商） / ヨッシー

(1)
ａ_n+2＝ａ_n+1－ａ_n
と書けるので、
　ａ₃＝４－１＝３
　ａ₄＝３－４＝－１
(2)
このあと、
　ａ₅＝－４
　ａ₆＝－３
　ａ₇＝１
　ａ₈＝４
と、あとはこの繰り返しなので、
　(ａ₁＋ａ₂＋ａ₃＋ａ₄＋ａ₅＋ａ₆)
　＝(ａ₇＋ａ₈＋ａ₉＋ａ₁₀＋ａ₁₂＋ａ₁₃)
　＝・・・・＝０
となり、
　(与式)＝ａ₉₁＋ａ₉₂＋ａ₉₃＋ａ₉₄
　　＝ａ₁＋ａ₂＋ａ₃＋ａ₄＝７

(3)
　(与式)＝１×(1+7+13+19+・・・+91)＋４×(2+8+14+20+・・・+92)
　　＋３×(3+9+15+21+・・・+93)－１×(4+10+16+22+・・・+94)
　　－４×(5+11+17+23+・・・+89)－３×(6+12+18+24+・・・+90)
を計算すれば出来ます。

No.13918 - 2011/06/07(Tue) 19:01:05

☆ Re: 早稲田（商） / X

別解)
ヒント通りの方針で。

(2)の過程で
a[6l+1]=1
a[6l+2]=4
a[6l+3]=3
a[6l+4]=-1
a[6l+5]=-4
a[6l+6]=-3
(但しlは0又は自然数)
ということを導いたと思います。これより
(6l+1)a[6l+1]=6l+1
(6l+2)a[6l+2]=4(6l+2)
(6l+3)a[6l+3]=3(6l+3)
(6l+4)a[6l+4]=-(6l+4)
(6l+5)a[6l+5]=-4(6l+5)
(6l+6)a[6l+6]=-3(6l+6)
これらを辺々足すと右辺のlの項は相殺されて
(6l+1)a[6l+1]+(6l+2)a[6l+2]+(6l+3)a[6l+3]
+(6l+4)a[6l+4]+(6l+5)a[6l+5]+(6l+6)a[6l+6]
=-24
これを(2)と同様に問題の和の第１項から第90項までに
適用すると…。

No.13919 - 2011/06/07(Tue) 19:03:44

★ 微分積分 / ハオ

∫{log(logx) + 1/logx}dxが分かりません。
宜しくお願いします。
答えはxlog(ligx)+Cになるらしいのですが、略解が端折られすぎてて理解できません。

No.13914 - 2011/06/07(Tue) 10:57:51

☆ Re: 微分積分 / 豆

log(logx)を部分積分、
∫log(logx)dx=xlog(logx)-∫xdx/(xlogx)=xlog(logx)-∫dx/logx

No.13915 - 2011/06/07(Tue) 11:37:40

☆ Re: 微分積分 / ハオ

なるほど、普通に部分積分だったのですか
お早い解答有難うございます！

No.13916 - 2011/06/07(Tue) 11:47:57

★ 確率 / トンボ

確率（F 分布）の問題です。
数値は表がないと分からないので、考え方だけでも教えて頂けたら幸いです。よろしくお願いします。

確率変数X1,X2は独立で、それぞれ自由度14のx^2分布、自由度20のx^2分布にしたがうとき、

P(X1≧X2f)=0.01

となるｆの値を求めよ。

No.13913 - 2011/06/07(Tue) 08:48:38

☆ Re: 確率 / トンボ

何とか自力で解けました！
失礼しました。

No.13923 - 2011/06/07(Tue) 22:43:22

★ (No Subject) / zee

分からない問題があります。

AB=3　AD=4である直方体ABCD-EFGHにおいて、球Ｓが三角柱ABC-EFGの
全ての面に内接するとき、次の問いに答えよ。
(1)辺ＡＥの長さを求めよ。
(2)球Ｓの中心と、頂点Ｆとの間の距離を求めよ。
(3)三角柱の3つの面ABFE、BCGF、EFGと、球Ｓのいずれにも接する球の半径を求めよ。

それで、
(1)
△ABCの内接円の半径をrとすると、球Sの半径もrである。
（直方体を真上から見た風景を想像して下さい）

AC=5なので、△ABCの面積を2通りに表すと、
(1/2)×3×4=(1/2)×3×r+(1/2)×4×r+(1/2)×5×r
となるので、r=1
AEの長さは球Sの直径と等しいので、AE=2

(2)
xyz座標系において、Eを原点に置き、EFとx軸、EHとy軸、EAとz軸が
それぞれ重なるように置く。
すると、球Sの中心の座標は(2,1,1)であり、Fの座標は(3,0,0)なので、
その距離は、??3である。

というところまでは理解できたのですが、3番目の解答として書かれていた事で理解が出来ていないところがあります。

（3）面ABEF、BCGF、EFGと球Sに接する球の中心を
O',半径をr'とする。
球Sのr=1に対してOF＝??3であるのでO'F=??3r'
よって　OF=r+r'+??3r'=1+(1+??3)r'
OF=??3より
1+(1+??3)r'=??3
これを解いて、
r'=2-??3

ということらしいのですが、
どうして以下のようになるのかが分かりません。
OF＝??3であるのでO'F=??3r'

どなたか教えていただけないでしょうか？

No.13911 - 2011/06/06(Mon) 22:28:38

☆ Re: / ヨッシー

Ｆを原点として、ＦＢ、ＦＥ、ＦＧが、ｘ軸、ｙ軸、ｚ軸であるように
見立てます。
球Ｓの中心Ｏの座標は、(1,1,1) で、ＦＯ＝√3 です。
Ｏ' は、線分ＦＯ上のどこかにあって、座標は、
(r’,r’,r’) （０＜ｒ＜１）、ＦＯ’＝√3ｒ’
となります。

No.13912 - 2011/06/06(Mon) 22:52:38

☆ Re: / zee

ヨッシーさん
ありがとうございました

そういう思考過程があったのですね。
当たり前のように飛ばされてるところが少し分かりにくかったので本当に助かりました。

No.13922 - 2011/06/07(Tue) 22:16:45

★ (No Subject) / shun

ニューアクションα＜例256＞の一橋大の問題です。

５数p,2p+1,4p-1,6p-1,8p+1がいずれも素数となる自然数pを全て求めよ。

この問題の解説の一番はじめで、「pは２以上の自然数であるから、自然数kを用いて5k,5k+1,5k-3,5k-2,5k-1のいずれかで表される」とありましたが、この文章の意味がよくわかりませんでした。もう少しわかりやすく教えて下さい。
よろしくお願いします。

No.13909 - 2011/06/06(Mon) 19:30:51

☆ Re: / シャロン

5k,5k+1,5k-3,5k-2,5k-1
のkに1を代入、

そのあと、kに2を代入、

以下、3,4,5,...を代入していけば、2以上の自然数が全て表せることがわかるとおもう。

※通常、全ての自然数を表す場合、5での剰余を考えて、5k,5k-4,5k-3,5k-2,5k-1と表すことが多いが、この場合、2以上の自然数を表せればよい、つまり、1を表す必要はないので。

No.13910 - 2011/06/06(Mon) 20:23:55

★ 数?V / peeep

x=cos^3t y=sin^3t (0≦t≦2π)の曲線で囲まれた面積を求めよ

これが(1,0) (-1,0) (0,1) (0,-1)だけでx軸かy軸と交わる図形ということまでは分かりました。
ヒントでは第1象限の面積を4倍しているのですが、この図形がx軸y軸に対象な図形だというのはどう考えればいいのですか？
よろしくおねがいします。

No.13904 - 2011/06/05(Sun) 01:00:26

☆ Re: 数?V / シャロン

t=t₀のときの点P(x_t₀,y_t₀)を考えると、

t=2π-t₀のときの点(x_2π-t₀,y_2π-t₀)は

x_2π-t₀={cos(2π-t₀)}³=cos³(t₀)=x_t₀

y_2π-t₀=sin³(2π-t₀)=-sin³(t₀)=-y_t₀

したがって、Pとx座標が同じでy座標の符号だけが逆の点も曲線上に存在する、つまり、曲線はx軸対称。

また、0≦t₀＜πのとき、t=π+t₀のときの点(x_π+t₀,y_π+t₀)は

x_π+t₀=cos³(π+t₀)=-cos³(t₀)=-x_t₀

y_π+t₀=sin³(π+t₀)=-sin³(t₀)=-y_t₀

したがって、Pと座標の絶対値が同じで符号だけが逆の点も曲線上に存在する、つまり、曲線は原点対称。

∴(x,y)が曲線上にあるなら、(x,-y),(-x,-y)もあり、さらに―(-x,-y)とx軸について対称な―(-x,y)も曲線上にある、つまり、曲線はy軸対称でもある。

No.13905 - 2011/06/05(Sun) 08:07:15

☆ Re: 数?V / シャロン

ちょいと自己補足

> また、0≦t₀＜πのとき、

π≦t₀＜2πでは逆にt=t₀-πの点が原点対称な位置に来ることが同様に示せる。

> したがって、Pと座標の絶対値が同じで符号だけが逆の点も曲線上に存在する、つまり、曲線は原点対称。

No.13906 - 2011/06/05(Sun) 08:11:08

★ 常微分 / okaka

常微分の問題です。
結構ねっばったつもりなのですが、この2問が解けませんでした。
よろしくお願いします。

次の微分方程式を解け。
(y')×(y'')=2(y'')^2

次の微分方程式の一般解を求めよ。
(y'')-3(y')+2y={2(e^(2x))}×cosx

No.13898 - 2011/06/04(Sat) 17:38:22

☆ Re: 常微分 / X

一問目)
問題の微分方程式から
(y"-2y')y'=0
∴y"-2y'=0又はy'=0
(i)y"-2y'=0のとき
y'=Ce^(2x) (Cは任意定数)
∴y=Ce^(2x)+D (C,Dは任意定数) 注)C/2を改めてCと置いた
(ii)y'=0のとき
y=E (E:任意定数)
これは(i)の解でC=0の場合に含まれます。

以上から解は
y=Ce^(2x)+D (C,Dは任意定数)

No.13899 - 2011/06/04(Sat) 18:44:26

☆ Re: 常微分 / okaka

ありがとうございます。
２つに分けるんですね！

No.13900 - 2011/06/04(Sat) 20:49:25

☆ Re: 常微分 / X

(二問目)
y"-3y'+2y=0
の解は
y=Ae^x+Be^(2x) (A,Bは任意定数)
従って問題の微分方程式の特殊解を
y=C{e^(2x)}sinx+D{e^(2x)}cosx (A)
と置くと、求める一般解は
y=Ae^x+Be^(2x)+C{e^(2x)}sinx+D{e^(2x)}cosx
(A,Bは任意定数)
となります。
後は(A)を問題の微分方程式に代入し、係数比較により
C,Dの値を求めます。

参考キーワード)
定数係数２階線形微分方程式、同次形、未定係数法

No.13907 - 2011/06/05(Sun) 09:16:25

☆ Re: 常微分 / okaka

1問目に引き続き、2問目も丁寧な解説ありがとうございます！

自力で解けるよう、頑張ります。

No.13908 - 2011/06/05(Sun) 21:05:44

★ 幾何 / ウィル

三角形C'BDは三角形BCDをBDを軸に折り返したもので、四角形ABCDは長方形です。このときDM＝(1/2)BDになる理由が分かりません。どなたかよろしく御願いします。

No.13891 - 2011/06/04(Sat) 12:23:27

☆ Re: 幾何 / らすかる

△ABD≡△C'DB から ∠ABE=∠ABD-∠EBD=∠C'DB-∠EDB=∠C'DE
よって△ABE≡△C'DEなのでBE=DE
二等辺三角形の頂点から底辺に下ろした垂線は底辺を２等分します。

No.13892 - 2011/06/04(Sat) 12:31:43

☆ Re: 幾何 / ウィル

△ABD≡△C'DB は分かりましたが ∠ABE=∠ABD-∠EBD=∠C'DB-∠EDB=∠C'DE
よって△ABE≡△C'DEの部分が分かりません。どうかよろしく御願いします。

No.13893 - 2011/06/04(Sat) 12:47:58

☆ Re: 幾何 / らすかる

∠ABE=∠C'DE, ∠BAD=∠DC'B, AB=C'D なので
一辺と両端の角が等しく△ABE=△C'DEとなります。

No.13895 - 2011/06/04(Sat) 13:00:23

☆ Re: 幾何 / ウィル

そもそもなぜ∠ABE=∠C'DEが言えるのですか？

No.13896 - 2011/06/04(Sat) 15:13:12

☆ Re: 幾何 / ヨッシー

∠ＡＢＤ＝∠ＢＤＣ＝∠ＢＤＣ’
∠ＡＤＢ＝∠ＤＢＣ＝∠ＤＢＣ’　より
　∠ＡＢＥ＝∠ＡＢＤ－∠ＤＢＣ’
　∠Ｃ’ＤＥ＝∠ＢＤＣ’－∠ＡＤＢ
で表される２つの角　∠ＡＢＥと∠Ｃ’ＤＥは等しくなります。

No.13897 - 2011/06/04(Sat) 16:59:47

☆ Re: 幾何 / らすかる

私が書いた
∠ABE=∠ABD-∠EBD=∠C'DB-∠EDB=∠C'DE
という式は
∠ABE=∠ABD-∠EBD
∠ABD-∠EBD=∠C'DB-∠EDB
∠C'DB-∠EDB=∠C'DE
∴∠ABE=∠C'DE
という意味です。一つずつ確認しましょう。

No.13901 - 2011/06/04(Sat) 21:45:05

☆ Re: 幾何 / ウィル

理解しました。ありがとうございます。しかし気づいたのですが、そもそも∠ＡＤＢ＝∠ＤＢＣ＝∠ＤＢＣ’だけで三角形EBDは二等辺三角形と分かるので
回答としては「∠ＡＤＢ＝∠ＤＢＣ＝∠ＤＢＣ’だから。」という理由だけでDM＝(1/2)BDと言ってよいのではないでしょうか？

No.13902 - 2011/06/04(Sat) 21:45:37

☆ Re: 幾何 / ヨッシー

そうです。

それに気づけば◎。

No.13903 - 2011/06/04(Sat) 22:17:13

★ 幾何 / ウィル

正方形ABCD（左上の頂点がA、左下の頂点がB、右下の頂点がC、右上の頂点がD)の内部に正三角形AGFがありGは線分BC上、Fは線分CD上にあります。AC⊥GFになる理由を教えて下さい。つまり正三角形AGFがなぜACに関して対称なのが分かりません。よろしく御願いします。

No.13884 - 2011/06/04(Sat) 01:10:54

☆ Re: 幾何 / rtz

それだけでは垂直にはなりません。
他に条件があるはずです(CG＝CFなど)。

No.13885 - 2011/06/04(Sat) 01:15:16

☆ Re: 幾何 / ウィル

問題を訂正しましたのでもう一度御願いします。（正三角形AGFでした）

No.13886 - 2011/06/04(Sat) 01:51:35

☆ Re: 幾何 / rtz

図を描いて考えてみましょう。

AG＝AF、AB＝ADで、∠B＝∠D＝90度ですから、
三平方の定理からBG＝DFは言えますね。

ここからBC＝CDから、GC＝FCがわかります。
∠Cは90度ですから△CFGは直角二等辺三角形です。

あとはACとGFの交点をPとかおいて、∠GPCを求めればいいですね。

No.13887 - 2011/06/04(Sat) 02:50:17

☆ Re: 幾何 / らすかる

あまり違いませんが別解です。
△ABGと△ADFは斜辺と他の一辺が等しいことから合同なのでBG=DF
よってGC=FCとなって四角形AGCFは凧形なので、AC⊥GF
（あるいは△AGC≡△AFC（三辺相等）によりACに関して対称）

No.13888 - 2011/06/04(Sat) 05:52:59

☆ Re: 幾何 / ウィル

納得しました！ありがとうございます。

No.13890 - 2011/06/04(Sat) 12:19:34

★ (No Subject) / ｆｇｔｘ

放物線C1：y＝－（x－１）＾2－１上の点PにおけるC1の接線が、放物線C2：y＝x＾2と異なる２点Q、Rで交わっている。
このとき、線分QRの中点をMとする。PがC1上を動くときのMの
軌跡を求めよ。

よろしくお願いします。

No.13881 - 2011/06/02(Thu) 21:32:45

☆ Re: / ヨッシー

Ｐ(t, -(t-1)^2-1) とおくと、点ＰにおけるＣ1の接線の傾きは、
2-2t であるので、接線の式は、
　ｙ＝(2-2t)(x-t)-(t-1)^2-1
　ｙ＝(2-2t)ｘ＋t^2ー2
となります。これと、y=x^2 が２点で交わるので、両者を連立させて、
　x^2＋2(t-1)x－t^2＋2＝０　　・・・(1)
判別式は
　(t-1)^2＋t^2－2＝2t^2-2t^1＞０
より
　ｔ＜(1-√3)/2、(1+√3)/2＜t
Ｑ、Ｒの座標を、(α, α^2)、(β, β^2) とすると、Ｍの座標は、
　((α＋β)/2, (α^2＋β^2)/2)
(1)における解と係数の関係より、
　α＋β＝2-2t, αβ＝2－t^2
　α^2＋β^2＝(α+β)^2－2αβ＝６ｔ^2－８ｔ
よって、Ｍの座標は、
　(1-t, 3t^2－4t)
ｘ＝１－ｔ，ｙ＝3t^2－4t とおいて、ｔを消去すると、
　ｙ＝３ｘ^2－２ｘ－１
定義域は、
　ｘ＞(1＋√3)/2、(1－√3)/2＞ｘ

No.13882 - 2011/06/02(Thu) 23:49:19

☆ Re: / ｆｇｔｘ

ありがとうございます。

No.13883 - 2011/06/03(Fri) 06:40:50