ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 数学A 図形と計量　高2 / suuretu

正七角形ABCDEFGについて1/AC+1/AD=1/ABが成り立つことを証明せよ。
解答の意味が分かりません。
解答「AB＝x、AC＝y、AD=zとおき、対角線ACとBEの交点をHとする。
外接円をかくと弧AB、弧AC、弧AEの中心角は360°/7 、 (360°×2)/7 、(360°×3)/7
になる。a=180°/7として、円周角の定理を使うと図のように角度が分かる。
△BCHに着目して、∠AHB＝a＋2a=3a
斜線部の三角形は二等辺三角形になるので、AH＝x 網目部の２つの三角形は相似なので
x:(y-x)＝z:y
xz＋xy=yz
よって1/y＋1/z＝1/x」

また、別解では「a=180°/7とおき、正七角形の外接円の半径をRとする。
正弦定理を使うと、AB＝2Rsina AC=2Rsin2a AD＝2Rsin3a ・・・(以下略) 」

分からないところ?@
「外接円をかくと弧AB、弧AC、弧AEの中心角は360°/7 、 (360°×2)/7 、(360°×3)/7
になる。a=180°/7として、円周角の定理を使うと図のように角度が分かる。」
とありますが弧ABの中心角が360°/7というのは正七角形の中心を仮にOとすると
三角形AOBの∠AOBが360°/7となるんでしょうか？
だとすれば、弧ACのときは(360°/7)＋(360°/7)＝(360°×2)/7で理解できますが、
弧ADに対する中心角が、(360°×3)/7というのが理解できません。
いまA→B→Ｃ→Dと反時計周りに見ていってますよね？
じゃぁ弧AEの中心角は、(360°×4)/7になるんじゃないでしょうか？
時計回りにみたときの弧AEに対する中心角は確かに、(360°×3)/7になるのですが・・・
この変が良く分かりません。

また別解の方で
「a=180°/7とおき、正七角形の外接円の半径をRとする。
正弦定理を使うと、AB＝2Rsina AC=2Rsin2a AD＝2Rsin3a ・・・(以下略) 」
とありますが、なぜABの対角がsinaなんですか？
これもさっきと同じく中心をOとすれば
△OABにおいて正弦定理を利用すればいいんですよね？
だとするとABの対角は∠AOBとなりこれは弧ABに対する円周角なので360°/７になると思うのですが。
AC、ADのときも同じです。

解答の意味が本当に分かりません。
誰か分かる方、この解答の意味と自分が誤解してるところを教えてください。お願いします。

No.13877 - 2011/06/02(Thu) 09:42:53

☆ Re: 数学A 図形と計量　高2 / rtz

まず、
解答の図などは載せてください。
斜線部だの網目だのいわれてもこちらは分かりません。
図が載せられないなら言葉で言い換えるようにしてください(「斜線部の三角形→△ABH」など)。
今回は直接は質問とは関係がありませんが、過程として必要になる場合もありますので、
なるべくこちらにも分かるよう提示してください。

＞中心角
ここでは円周角がいくらか(∠ABE＝？)、
についての導出のための中心角ですから、180度より小さいほうで考えます。

＞正弦定理
ABなら△ABCです。
△OABなら「外接円の半径」がRになりませんね。
外接円の半径がRであることを使える三角形を見つけましょう。

あるいは、もし△OABを使うのであれば、
OからABに降ろした垂線の足をHとして、
∠OAH＝(180/7)度であり、△OAHが直角三角形であるので、
AB＝2AH＝2OA・sin((180/7)度)＝2Rsina
という方法もあります。

No.13879 - 2011/06/02(Thu) 11:15:50

★ 同値 / mint

実数ｘ、ｙ、ｚがx+y+z=3,x^2+y^2+z^2=9を満たしながら動くとき、y-xの最大値を求めよ。
という問題で
「x+y+z=3,x^2+y^2+z^2=9,y-x=kをみたす実数x,y,zが存在する」ためのｋの条件としてｋ(=y-x)の値域が得られる。
この「」はx^2+y^2+(3-x-y)^2=9,y-x=kを満たす実数x、yが存在する」という条件と同値という理由を（zが実数という条件や?@が消えた理由なども含めて）教えて下さい。

代入法の原理(与えられた式⇔代入する式かつ代入された式）
から行くと
x+y+z=3・・?@,x^2+y^2+z^2=9・・?A,y-x=k・・?B
⇔x+y+z=3・・?@,x^2+y^2+(3-x-y)^2=9・・?A’、y-x=k・・?B
となるべきですよね。。

No.13872 - 2011/05/30(Mon) 00:50:35

☆ Re: 同値 / rtz

x+y+z=3,x^2+y^2+z^2=9,y-x=kをみたす実数x,y,zが存在する
⇔x+y+z=3,x^2+y^2+(3-x-y)^2=9,y-x=kをみたす実数x,y,zが存在する
⇔x^2+y^2+(3-x-y)^2=9,y-x=kをみたす実数x,yが存在し、z=3-x-yである

実数であるx,yが存在すれば、
x+y+z=3という式からzが実数であることは明白だからです。
また、この式自体は同値条件ではありますが、
問題を解いていく上ではzを求めるためだけの式に過ぎないので、
特に触れていないだけだと思います。

No.13873 - 2011/05/30(Mon) 04:43:51

☆ Re: 同値 / mint

回答有難うございます。

x+y+z=3,x^2+y^2+z^2=9,y-x=kをみたす実数x,y,zが存在する
⇔x+y+z=3,x^2+y^2+(3-x-y)^2=9,y-x=kをみたす実数x,y,zが存在する
⇔x^2+y^2+(3-x-y)^2=9,y-x=kをみたす実数x,yが存在し、z=3-x-yである
⇔x^2+(x+k)^2+(3-k-2x)^2=9・・?Cかつy-x=k・・?Bを満たす実数x,yが存在し、z=3-x-yである
?Cの判別式≧0が実数ｘが存在するための条件、?Bよりｘが実数よりｙも実数。?@よりｘ、ｙが実数のときｚも実数。

という考えであっていますか？

No.13874 - 2011/05/31(Tue) 01:27:45

☆ Re: 同値 / rtz

いいと思います。

No.13878 - 2011/06/02(Thu) 10:48:23

★ 高２　指数関数 / れいひゃー

x=1/2{a^(1/n)-a^(-1/n)}　のとき、{x+√(1+x^2)}^n　の値を求めよ。
ただし、a＞0、nは自然数とする。

答えは
a
です。

先生に聞いたら
√(1+x^2)=1/2{a^(1/n)+a^(-1/n)}
の式を教えてくださったのですが、
どうやってこの式が出てきたのかと、
ここからどうすればいいのかもわかりません
説明お願いします！

No.13869 - 2011/05/29(Sun) 12:17:20

☆ Re: 高２　指数関数 / シャロン

> どうやってこの式が出てきたのか

単純に
1+x^2=1+((1/2){a^(1/n)-a^(-1/n)})^2
=1+(1/4)(a^(2/n)-2+a^(-2/n))
=(1/4)(a^(2/n)+2+a^(-2/n))
={(1/2)(a^(1/n)+a^(-1/n))}^2
かつ、(1/2)(a^(1/n)+a^(-1/n))＞0なので、
√(1+x^2)=(1/2)(a^(1/n)+a^(-1/n))}です。

> ここからどうすればいいのかもわかりません
xと√(1+x^2)をaの式で表して展開していくだけです。

No.13870 - 2011/05/29(Sun) 15:26:16

★ (No Subject) / ノヴ

xy直交座標平面上を移動する資点Pの座標(x,y)は時刻tの関数として、

r=OP=(x,y)=t(cost,sint) (t>0)
であらわされる。

点Pの軌道の概形を図示せよ。

なんですが、どのような図になるんでしょうか？
求め方を教えていただきたいです。

No.13866 - 2011/05/28(Sat) 23:28:21

☆ Re: / ヨッシー

(cost,sint) だけだったら、単位円上をぐるぐる回るだけですね？
これに、半径ｔがさらに掛けられるので、徐々に原点から遠ざかる
渦巻きになります。
また、各方向において、渦巻きの幅は常に2πとなる特徴があります。
特徴的な点(0, π/2)、(－π, 0)、(0, －3π/2)、(2π, 0) などを
取りながら、結んでいけばいいでしょう。

No.13867 - 2011/05/29(Sun) 02:00:58

★ 三角関数の問題 / shun

y=2sinx+2cosx+sin2x(0≦x≦2π）について
この関数の最大値、最小値およびその時のxの値を求めよ。

という問題で、最大値、最小値を求めるところまでは分かったのですが、その時のxの値の求め方が分かりません。
どなたか求め方を教えて下さい。宜しくお願いします。

No.13864 - 2011/05/28(Sat) 22:29:31

☆ Re: 三角関数の問題 / X

>>最大値、最小値を求めるところまでは分かったのですが、
とありますが、その求める過程をアップしてもらえませんか？。
それを元にしないと適切な説明ができませんので。

No.13865 - 2011/05/28(Sat) 23:09:41

★ 高３数学です。 / Ｙ

３次関数と接線の問題です。

曲線y=x^3 上の原点以外の点Pにおける接線がx軸、y軸および、再びこの曲線と交わる点を、それぞれＱ，Ｒ，Ｓとするとき、ＱＲ：ＲＳを求めよ。

自分で解きました。

P(α,α^3), S(β,β^3)とおく。
点Sからx軸に下ろした垂線とx軸の交点をHとする。

y = x^3 の　接線の傾きは微分して
3x^2 , これに　P(α , α^3 ) を通るから、代入して接線の式を求めると

y = 3α^2 x － 2α^3
とわかった。これにより点Ｑのx座標が求まる。
0 = 3α^2 x － 2α^3
これを解いて
x = (2/3)α

関数　y = x^3　と　接線　y = 3α^2 x － 2α^3が
α（重解）とβを持つとする。

x^3 － 3α^2x + 2α^3 = ( x－α)^2 *( x－β)
⇔
x^3 － 3α^2x + 2α^3 = ( x^2－2αx + α^2 ) ( x－β)
⇔
x^3 － 3α^2x + 2α^3 = x^3 －βx^2 － 2αx^2 + 2αβｘ + α^2x　－ α^2β
⇔
x^3 － 3α^2x + 2α^3 = x^3 － (2α+β)x^2 + (2αβ+α^2)x － α^2β

左辺＝右辺より係数を比較して、
0 = 2α + β
－3α^2 = 2αβ + α^2
2α^3 = －α^2β
これより
β = －2α
以上より
ＱＲ：ＲＳ　＝　ＱＯ：ＯＨ　＝　｜(2/3)α｜　：　｜－2α｜　＝　１：３　//

自分で解いてみたのですがどうも、
関数－接線＝(x－α)^2(x－β)のところが
ちゃんと説明しろと言われても、あいまいにしかわかっていない気がします。ここの説明をはっきり出来るようにしたいのですがよろしくお願いいたします。

No.13850 - 2011/05/23(Mon) 21:07:53

☆ Re: 高３数学です。 / X

Yさんの仰るとおり
>>関数－接線＝(x－α)^2(x－β)
となる説明が無いので解答としては不完全ですが
この理由の説明は煩雑です。ですので
>>x^3 － 3α^2x + 2α^3 = (x-α)^2 *(x－β)
と置くよりも、実際に
x^3-3(α^2)x+2α^3
を
>>x^3 － 3α^2x + 2α^3 = (x-α)^2 *(x－β)
を目標に因数分解することを考えた方が
議論を避けることができ解答が容易です。
この問題の場合ですが
x^3-3(α^2)x+2α^3
=x^3+α^3+α^3-3α・α・x
(x+α+α)(x^2+α^2+α^2-αx-αx-α^2)
=(x+2α)(x^2+α^2-2αx)
=(x+2α)(x-α)^2
と因数分解できますので
β=-2α
となります。
或いは
x^3-3(α^2)x+2α^3
を
(x-α)^2
で実際に割ってみてもいいでしょう。

No.13851 - 2011/05/23(Mon) 22:23:38

☆ Re: 高３数学です。 / X

敢えて
>>関数－接線＝(x－α)^2(x－β)
となる説明をつけるとすれば以下の通りです。

今、三次関数
y=f(x)
上の点(α、f(α))
における接線の方程式
y=f'(α)(x-α)+f(α)
について
F(x)=f(x)-{f'(α)(x-α)+f(α)}
を考えると
F(α)=0 (A)
F'(α)=0 (B)
(A)より
F(x)=(x-α)g(x) (C)
(g(x)は二次式)
と置くことができます。
このとき、積の微分により
F'(x)=g(x)+(x-α)g'(x) (C)'
(B)(C)'より
g(α)=0
∴g(x)=(x-α)(ax+b) (a≠0)
の形になります。
よって(C)から
F(x)=(ax+b)(x-α)^2
特にf(x)のx^3の係数が1の場合はa=1となり
F(x)=(x+b)(x-α)^2
の形となります。

No.13852 - 2011/05/23(Mon) 22:33:21

☆ ありがとうございます！！ / Ｙ

うわぁ～～！！本当！！めちゃくちゃすっきりしました！！
ありがとうございます！！もっと数をこなしたいと思います！！感動です！！お世話になりました！！

No.13855 - 2011/05/24(Tue) 19:03:37

★ xについての恒等式 / しろ

cの値は？

a(x-2)^2+b(x-1)+c=2x^2-9x+6

途中式を含め解法を教えてください。
よろしくお願いします。

No.13849 - 2011/05/23(Mon) 20:52:25

☆ Re: xについての恒等式 / X

問題の恒等式を(A)とします。
解法その１)
((A)の左辺)=a(x^2-4x+4)+b(x-1)+c
=ax^2+(b-4a)x+4a-b+c
これと(A)の右辺との係数を比較すると
a=2 (B)
b-4a=-9 (C)
c=6 (D)
(B)(C)(D)を連立して解きます。

解法その２)
(A)は任意のxに対して成立するので、
x=0,1,2のときも成立します(必要条件)。(P)
よってx=0,1,2を(A)に代入して
4a-b+c=6 (B)
a+c=-1 (C)
b+c=-4 (D)
(B)(C)(D)を連立して解いてa,b,cを求めます。
(但しこの解法では(P)により、求めたa,b,cに対して
(A)が成立することを確かめなくてはいけません。)

No.13853 - 2011/05/23(Mon) 22:45:02

☆ Re: xについての恒等式 / しろ

Xさん回答ありがとうございます。

=ax^2+(b-4a)x+4a-b+c
ココから下の、係数の比較と連立が理解できてません。

これと(A)の右辺との係数を比較すると
a=2 (B)
b-4a=-9 (C)
c=6 (D)
(B)(C)(D)を連立して解きます。

答えは-3です。アドバイス頂ければ幸いです。

No.13856 - 2011/05/24(Tue) 19:11:50

☆ Re: xについての恒等式 / X

ごめんなさい、(D)を間違えてますね。
正しくは
4a-b+c=6 (D)
です。

No.13857 - 2011/05/24(Tue) 21:00:40

☆ Re: xについての恒等式 / しろ

ありがとうございました。
解法２で理解できました。

解法１は私の力不足で理解できませんでした＞＜

No.13861 - 2011/05/25(Wed) 22:36:08

☆ Re: xについての恒等式 / X

では解法その１の
a=2 (B)
b-4a=-9 (C)
4a-b+c=6 (D)
を連立して解いてみます。
(B)を(C)に代入して
b-8=-9
∴b=-1 (C)'
(B)(C)'を(D)に代入して
8+1+c=6
∴c=-3
よって
(a,b,c)=(2,-1,-3)
となります。

No.13862 - 2011/05/25(Wed) 23:18:21

☆ Re: xについての恒等式 / くろ

教科書読めば分かるだろ？
学校行ってんのか？

No.13863 - 2011/05/27(Fri) 12:00:16

★ 移項の図形的意味 / rio

方程式における移項の操作の意味について質問です。

3x+5=5x+1
という方程式は
y=3x+5
y=5x+1
という2つの関数のグラフの交点のx座標を求めることですよね。
また、元の方程式を移項して
2x=4
としてみると、これは
y=2x
y=4
という2つの関数のグラフの交点のｘ座標を求めることです。
つまり
y=3x+5
y=5x+1
という2つのグラフの交点のx座標は、移項という操作を経て
y=2x
y=4
という2つのグラフの交点として考えても同じということになります。
これは、最初の2つのグラフが移項によって交点のx座標を維持したまま別の2つのグラフに移動されたとも言えるとおもいます。

中1以来、「式の同値変形」として何気なく行っていた移項という操作は、2つのグラフの交点のx座標を維持したままの移動という「図形的な意味」を持っているのでしょうか？

宜しくお願い致します。

No.13843 - 2011/05/22(Sun) 10:16:05

☆ Re: 移項の図形的意味 / そら

y=5x+1がy=4に"変化"することがグラフの移動なのかという疑問はありますが,
そして"意味"という言葉を与えるほどなのかは分かりませんが,
たぶんそういうことになると思います.

No.13844 - 2011/05/22(Sun) 11:31:19

☆ Re: 移項の図形的意味 / rio

早速のご返信ありがとうございます。
移項が、「交点を中心とした回転移動とy軸方向の移動」という操作になっていると言えるのですね。
もう少し踏み込んで、行列などで表現出来て、より具体的に「移項」と「グラフの移動」のつながりを掴めないものなのでしょうか？

No.13848 - 2011/05/23(Mon) 15:49:05

☆ Re: 移項の図形的意味 / angel

いや、移項という操作に図形的な意味を求めるのは苦しいと思います。
1次関数ならまだしも、2次以上の関数やら何やらでは説明がつかないでしょう。

移項ってそもそも、等号（不等号）を挟んだ両辺に同じ項を足しても（引いても）、等号（不等号）は同様に成立するって話の延長ですからね。

No.13854 - 2011/05/24(Tue) 01:06:09

☆ Re: 移項の図形的意味 / rio

ありがとうございました。少し不思議な関係だなと思いましたが、残念です。自分でもさらに考察してみたいと思います。

No.13858 - 2011/05/25(Wed) 05:02:39

★ (No Subject) / ケレンスキー

ガラスでできた玉で、赤色のものが４個、青色のものが４個、白色のものが１個ある。玉には中心を通って穴があいているとする。これらすべての玉に糸を通して首輪を作る方法は何通りあるか。
よろしくおねがいします。

No.13839 - 2011/05/21(Sat) 14:45:18

☆ Re: / らすかる

白を基準にして残り8個の並び方を考えた場合、
表裏を別々として8C4通り
そのうち裏返しても変わらないのが4C2通り
よって求める答えは (8C4-4C2)÷2+4C2=38通り

No.13842 - 2011/05/21(Sat) 16:51:58

☆ Re: / ケレンスキー

> 白を基準にして残り8個の並び方を考えた場合、
> 表裏を別々として8C4通り
> そのうち裏返しても変わらないのが4C2通り
> よって求める答えは (8C4-4C2)÷2+4C2=38通り

ありがとうございました。

No.13889 - 2011/06/04(Sat) 10:00:59

★ 不等式の証明 / みみ

以下の問題の解き方を教えて下さい＞＜

１、a＞０，b＞０のとき、次の不等式を証明せよ。

(１)(a+b)√(ab)＞＝２ab
(２)３√a+２√b＞√(９a+４b)

２、a＞０，b＞０のとき、次の不等式を証明せよ。また、等　　号が成り立つときを調べよ。

(１)２a+３／a＞＝２√６
(２)９ab+１／(ab)＞＝６
(３)a+b+１／(a＋b)＞＝２

です＞＜

No.13823 - 2011/05/19(Thu) 20:38:18

☆ Re: 不等式の証明 / みみ

２の等号の間のスペースは関係ありません；

No.13824 - 2011/05/19(Thu) 20:39:18

☆ Re: 不等式の証明 / ヨッシー

(1)
　(a+b)√(ab)＞０、２ab＞０より
(a+b)√(ab)≧2ab は、{(a+b)√(ab)}^2≧(2ab)^2 と同値。
　{(a+b)√(ab)}^2－(2ab)^2＝ab(a+b)^2－4a^2b^2
　　＝ab(a-b)^2≧0
よって、(a+b)√(ab)≧2ab は成り立ち、等号は、a=b のとき。

(2) も、２乗して考えれば、出来るでしょう。

２．は、相加・相乗平均で、すぐ出来ます。例えば、
(1) 2a＞０、3/a＞０より、相加・相乗平均が適用できて、
　2a＋3/a≧2√{2a(3/a)}＝2√6
等号は、2a=3/a より、ａ＝√(3/2)＝√6/2 のとき。
のような感じです。

No.13831 - 2011/05/20(Fri) 08:50:22

★ (No Subject) / 高1生(数2やってます)

円C:(x+1)^2+(y-1)^2=4
直線l:y=|kx-2k+1|
とするとき、xy平面上で、円Cのグラフと直線lのグラフが1点で接するようなkの値を求めよ。

直線lは円Cの外の点(2,1)を通るのでどこかで接するのは分かったのですが、どうやったら絶対値をはずせるのか分かりません。
もしくは絶対値を外さなくても解ける問題なのでしょうか？
解説よろしくお願いします。

No.13816 - 2011/05/19(Thu) 12:46:13

☆ Re: / ヨッシー

直線ｌは、(2,1) を通る直線(ただしｘ軸で跳ね返る)なので、
(2,1) から、直接円に接する場合と、ｘ軸で１回反射して、
円に接する場合があります。
ｘ軸で反射する場合は、(2,-1) から、直接接すると考えれば良いでしょう。

図を参照してください。

No.13817 - 2011/05/19(Thu) 14:29:40

☆ Re: / 高1生

図まで描いて下さりありがとうございます。

まず(2,1)を通る方は
l:y=k(x-2)+1よりkx-y-2k+1=0
（円Cの中心とlとの距離）＝（円Cの半径）から
|-k-1-2k+1|/√(k^2+1) = 2
k=±2/√5
グラフよりlの傾きkは明らかに負だからk=-2/√5

次に(2,-1)を通る方は
l':y=k(x-2)-1よりkx-y-2k-1=0
（円Cの中心とl'との距離）＝（円Cの半径）から
|-k-1-2k-1|/√(k^2+1) = 2
k=-12/5
ここで疑問なのですが、(2,-1)を通る直線l'はx軸で跳ね返っていなければ本来傾きが正のはずです。しかし私が出した答えはk<0となりました。
こうなったのはどこで間違ったからでしょうか。また、どのように説明すれば良いのでしょうか。
貴重な時間を割いていただき申し訳ありませんが、もう少しだけ私の質問に付き合って下さい。お願いします。

No.13827 - 2011/05/19(Thu) 23:06:41

☆ Re: / ヨッシー

(2,-1) から、円に直接接する直線の傾きが、-12/5 であれば、
答えは、k=12/5 です。

>本来傾きが正のはずです。
の認識は正しいです。

No.13832 - 2011/05/20(Fri) 09:21:15

☆ Re: / 高1生

よく分かりました！丁寧な解説ありがとうございました！

No.13833 - 2011/05/20(Fri) 09:23:57