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★ 面積 / みー

おはようございます。
面積の問題について質問させていただきます。
問題と解答は画像のとおりです。

●１について
　この波線部の項はどのように出したのでしょうか。
●２について
　ここにtを代入すると0になってしまう気がするのですが、
　どうすればよいのでしょうか。

よろしくお願い致します。
No.13024 - 2011/02/09(Wed) 06:09:45
☆ Re: 面積 / シャロン
(1) 左辺を展開・整理して平方完成します。


(2) 0になってもかまいません。

どうしても0がいやなら、
f(x)の原始関数の一つがF(x)なら、定数Cとして、F(x)+Cもf(x)の原始関数ですから、
∫_a ^b f(x)dx = [F(x)+C]_a^bとすればいいだけですから。

こうしても、[F(x)+C]_a^b = (F(b)+C)-(F(a)+C) = F(b)-F(a)ですから、定積分の値は変わりません。
No.13025 - 2011/02/09(Wed) 07:32:37
☆ Re: 面積 / fudai
＞●１について
＞この波線部の項はどのように出したのでしょうか。
左辺はxの２次式で、x^2の係数は(1/t^6+1)であり、
左辺=0はx=tを重解にもつので(1/t^6+1)(x-t)^2と書けます。

＞●２について
＞ここにtを代入すると0になってしまう気がするのですが、
＞どうすればよいのでしょうか。
波線?Aは　計算すると(t-t)^3/3-(0-t)^3/3=t^3/3ですよ。
tだけ代入して0を代入するのを忘れてない？
No.13028 - 2011/02/09(Wed) 21:27:44
☆ Re: 面積 / みー

式変形できました!!
そのように考えれば
よかったのですね(>_<)!

はっ(。□゜)
完全に0の代入忘れです。
申し訳ありません(・_・;)

２つとも解決しました!
シャロン様、fudai様、
ありがとうございました。


No.13030 - 2011/02/09(Wed) 22:03:25
★ 高2　数学?U / こういち
x,yが実数値をとりながら変化するとき、（3x＋4y）/√（x^2＋y^2）

解答?@
「a,bが実数のとき、（3a＋4b）/√（a^2＋b^2）の最大、最小を求めよという問題に言い換えて考える
|3a＋4b|/√（a^2＋b^2）は直線l:ax＋by=0と点A（3,4）の距離を表すが、lは原点Oを通るので
、|3a＋4b|/√（a^2＋b^2）＝（lとAの距離） ≦AO＝5・・・?@
【等号は（lとAの距離）＝AO つまりAO⊥lのときにおこり、このとき、a:b=3:4
?@より-5≦（3a＋4b）/√（a^2＋b^2）≦5であり、左の等号はa:b＝3:4 a<0 b<0のとき、右の等号はa:b=3:4 a>0 b>0のときおきるので、最大値は５、最小値は-5】

解答?A
与式＝3・｛x/√（x^2＋y^2）｝＋4・｛y/√（x^2＋y^2）｝＝（3,4）・（｛x/√（x^2＋y^2）｝ 、｛y/√（x^2＋y^2）｝）となる。
（｛x/√（x^2＋y^2）｝ 、｛y/√（x^2＋y^2）｝）は図に描いてみると、原点Oを始点とし、ｐ→＝（x.y）方向の単位ベクトルなのでOP'→とすると
OA→とOP'→の内積で最大になるときと最小になるときを求めればよいので
OA→＝（3.4）より
【 最大値は|a→|・|p→|=5
最小値は-|a→|・|p→|=-5 】

まず解答?@で分からないところから。正直【 】の中の文章が何度読んでも理解できません。
【等号は（lとAの距離）＝AO つまりAO⊥lのときにおこり、】とかどういう意味なのか意味不明です。
あといきなり比a;b=3;4とかどうしてでてきたんですか？それになにか意味があるんでしょうか？

次に解答?Aで分からないところなんですけど
どうして【】内の計算式なんでしょうか？
内積はa→・b→＝|a→||b→|cosθっていう公式だって習いました。
なんで大きさどうしを掛け合わせることで内積の最大・最小が求まるのでしょうか？
誰か分かる方教えてください。よろしくおねがいいたします。
No.13017 - 2011/02/08(Tue) 21:52:51
☆ Re: 高2　数学?U / ヨッシー
原点を通る直線ｌ：ａｘ＋ｂｙ＝０と、点Ａ(3, 4)の距離が、
|3a＋4b|/√（a^2＋b^2）というのは、良いですか？
ｌが原点を通ると言うことは、ｌとＡの距離はＯＡの長さよりは
大きくならないということです。

図の赤線は点Ａと直線ｌとの距離ですが、赤線が、ＡＯと一致するとき以外は、
すべて、ＡＯより短いですね？
このとき、ＡＯは、直線ｌと垂直になっています（距離ですので）
さらにこのとき、直線ｌの傾きはＡＯと垂直である-3/4になっており、
　ａｘ＋ｂｙ＝０
と照らし合わせると、-a/b＝-3/4 より　ａ：ｂ＝３：４　となります。

解答２の方は、ＯＡとＯＰのなす角をθとすると、
　ＯＡ・ＯＰ’＝|ＯＡ||ＯＰ’|cosθ
であり、
　|ＯＡ|＝５，|ＯＰ’|＝１
で、cosθ＝−１の時最小値−５、cosθ＝１の時最大値５となります。
No.13018 - 2011/02/08(Tue) 22:30:11
☆ Re: 高2　数学?U / こういち
図のおかげですごく分かりやすくて理解できました。
ですがまだひとつわからないところが

-5≦（3a＋4b）/√（a^2＋b^2）≦5とありますが
ヨッシーさんのおっしゃるようにOA＝５より大きくなることはないので
|3a＋4b|/√（a^2＋b^2）≦5は理解できます。
が、どうして
-5≦（3a＋4b）/√（a^2＋b^2）≦5になるのかわかりません。
また、距離の公式より|3a＋4b|/√（a^2＋b^2）と分子には絶対値がついていますが-5≦（3a＋4b）/√（a^2＋b^2）≦5
では外れています。これはいつはずれたのでしょうか？
今、自分が考えついたことは
|3a＋4b|/√（a^2＋b^2）≦５より
わかりやすく
|3a＋4b|×1/√（a^2＋b^2）≦５とし1/√（a^2＋b^2）＝?]とすると
?]|3a＋4b|≦5⇔-5≦?]（3a＋4b）≦５ということでしょうか？
No.13019 - 2011/02/08(Tue) 23:09:04
☆ Re: 高2　数学?U / こういち
追加です。
cosθ＝−１の時最小値−５、cosθ＝１の時最大値５となります
とありますが
なぜ、cosθ＝-1とcosθ＝1のときなんでしょうか？
たとえばcosθ＝-2とかにしたほうが最小値は-10となるんじゃないでしょうか？
No.13020 - 2011/02/08(Tue) 23:12:22
☆ Re: 高2　数学?U / シャロン
cosθは、定義より-1以上1以下の値しか取りません。
No.13021 - 2011/02/08(Tue) 23:33:07
☆ Re: 高2　数学?U / ヨッシー
いつはずれたというか、元々はずれてたのですよ。

話の流れとしては、Ａの最大最小を調べたいのだけれども、
　|Ａ|
を調べたら　|Ａ|≦５ だった。
だから、可能性としては、Ａの取り得る値は小さくても−５だし、
大きくても５だ。つまり、−５≦Ａ≦５ だ。
あとは、具体的にＡ＝−５になる場合と、Ａ＝５になる場合が
存在すればＯＫ。
ということです。
No.13022 - 2011/02/08(Tue) 23:50:42
★ (No Subject) / nobuta
∫(x+2)√2x+1 dxの不定積分を求める問題なんですが

簡単そうに見えてやり方がよく分かりません。
どっちかをtとおいて計算をしたいのですが、うまくできません。
No.13015 - 2011/02/08(Tue) 21:03:59
☆ Re: / シャロン
2x+1=tとすればできます。
No.13016 - 2011/02/08(Tue) 21:43:33
☆ Re: / nobuta
1/5(x+3)(2x+1)^3/2+C
になりますか？
No.13026 - 2011/02/09(Wed) 10:44:23
☆ Re: (No Subject) / そう
2x+1=tとして計算してみました
1/5(x+3)(2x+1)^3/2+Cになりますよ
No.13027 - 2011/02/09(Wed) 13:43:58
★ (No Subject) / がルーラ
３辺の長さがいずれも整数値であるような直角三角形の直角をはさむ２辺のうち少なくとも一方の長さは偶数であることを証明せよ。
この問題の証明法がわかるまでにどのように試行錯誤したらよいのか、つまりアプローチ法を教えて下さい。（解答は手元にあります）mod4で場合わけする理由が分からないのです。あるいは、単に知識の問題で、ピタゴラス数の問題だからmod4で考えるとうまくいくことが多い、という事実からmod4で場合分けしたのでしょうか？
No.13005 - 2011/02/06(Sun) 22:16:13
☆ Re: / シャロン
直角を挟む２辺が共に奇数の場合を考え、
斜辺が4n+2の形になり平方数にならないことから背理法で

というのがすぐに思い付いた証明の方針ですが。
No.13007 - 2011/02/06(Sun) 22:26:26
☆ Re: / rune
偶数であることの証明だからまずはmod2でやってみよう
→示せない
→情報量を増やすためにmod4でやってみよう
→うまくいった。
No.13013 - 2011/02/07(Mon) 23:50:57
★ (No Subject) / いかさま
次の条件を満たす放物線の方程式を求めよ。

放物線y=-2x^2を平行移動したもので、頂点が直線y=2x+1上にあり、点(1,3)を通る。
No.13002 - 2011/02/06(Sun) 21:18:23
☆ Re: / angel
「平行移動したもので」とありますので、その平行移動した距離を方程式で求めましょう。

x軸方向にa、y軸方向にb移動したとすると、移動後の放物線の方程式は、
　(y-b)=-2(x-a)^2
となります。元の方程式から y→y-b、x→x-a と置き換えた形です。元の頂点(0,0)は(a,b)に移ることになります。
なので、

　・頂点(a,b)がy=2x+1上にある
　・放物線(y-b)=-2(x-a)^2は点(1,3)を通る

という条件があることになります。ここからa,bを求めましょう。
No.13006 - 2011/02/06(Sun) 22:25:23
☆ Re: (No Subject) / いかさま
解けました。
ありがとうございました。
No.13010 - 2011/02/07(Mon) 06:24:31
★ 領域 / みー

こんばんは。不等式の領域についての質問です。
問題と解答は画像のとおりです。
ピンクの矢印のところなのですが、
なぜこの傾きの条件になるのでしょうか。
よろしくお願い致します。
No.13001 - 2011/02/06(Sun) 20:54:52
☆ Re: 領域 / シャロン
○３'の傾きがこの範囲にない場合、領域が三角形とならないからです。

○１と○２で表される領域のグラフに、(-2/3,1/2)を通り傾きー１、０、１の直線のグラフを書き込んで、領域が三角形にならないことを確かめましょう。
No.13003 - 2011/02/06(Sun) 21:32:06
☆ Re: 領域 / みー

なるほど(>_<)
書いてみるとわかりやすいですね。
ありがとうございました！


No.13014 - 2011/02/08(Tue) 09:26:35
★ 筑駒中２０１１ / ケトル
http://www.yotsuyaotsuka.com/kaitou-sokuhou/asahi/2011tsukuba_komaba_math_q.pdf
この４番なんですが、解答では(2)3.5 (3)1848.5
となっています。
しかし僕がやったら(2)2 (3)822
(3)で辺AB上のPの動く軌跡をℓcとすると図より対称性からℓc=ℓbになります。
だから計算すると
Pの軌跡の長さ=ℓa+ℓb+ℓc=3*822ℓ
一方円周の長さ3ℓなので、計算すると
Pの軌跡の長さは円周の3*822ℓ/3ℓ=822倍とでました

どこが間違っているかわかりません。
よろしくお願いします。
No.12994 - 2011/02/06(Sun) 11:25:06
☆ Re: 筑駒中２０１１ / ケトル
あれうまく表示されませんね。jpegに変換してみました
No.12995 - 2011/02/06(Sun) 11:34:36
☆ Re: 筑駒中２０１１ / ケトル
あれ？
No.12996 - 2011/02/06(Sun) 11:41:27
☆ Re: 筑駒中２０１１ / ケトル
BC上の(3/2)*810→(3/2)*820でした
上の計算は間違いありません
No.12997 - 2011/02/06(Sun) 11:50:22
☆ Re: 筑駒中２０１１ / moto

＞解答では(2)3.5 (3)1848.5
＞となっています。
＞しかし僕がやったら(2)2 (3)822

図が間違っているような気がします。

Ｐは、Ａ点には来ません。
その前に、ＡＢ上で止まります(赤の点)

(2)を、描いて確認してみてください。
解答通り、3.5になります。

(1)(2)で問題の把握と偶数・奇数の違いを考えさせ(3)を問う
･･･というのが問題の意図のような気がします。
No.12998 - 2011/02/06(Sun) 18:55:43
☆ Re: 筑駒中２０１１ / angel
motoさんの説明どおり、(1),(2)は奇数・偶数での違いを意識させる導入問題でしょう。
図を描いてみましたので、ご覧になってください。
No.12999 - 2011/02/06(Sun) 19:24:27
★ 三角方程式 / みー

こんばんは。三角関数についての質問です。
問題と解答は画像の通りです。
●１について
　なぜこの条件を出してきたのでしょうか。
●２について
　x=2nπ,π/2+2nπ　のほかに
　x=nπではいけないでしょうか。

よろしくお願い致します。
No.12990 - 2011/02/05(Sat) 22:13:19
☆ Re: 三角方程式 / シャロン
(1)上の「『sin x=0または1』かつ『cos x=0または1』」という条件だけでは、「sin x=0かつcos x=0」や「sin x=1かつcos x=1」という可能性を排除していないからです。
このようなxは存在しませんが、それは(sin x)^2+(cos x)^2=であるためなので、その条件をいっているのです。


(2)x=nπでは、nが奇数のときcos x=-1となりますから。
No.12991 - 2011/02/05(Sat) 22:58:34
☆ Re: 三角方程式 / みー

ありえない条件を存在させないためのものだったのですね(^_^)!

cosπ=-1でしたね(>_<)
ずっと1だと思い込んでいました。

全て解決しました!
ありがとうございました！


No.12993 - 2011/02/06(Sun) 09:31:15
★ (No Subject) / the clock
x,y∈N(自然数）のとき
(x-y)(3x+3y+1)=x^2
(x-y)が平方数のとき、3x+3y+1が平方数になるみたいですが
なぜか分かりません。。
No.12979 - 2011/02/04(Fri) 22:15:14
☆ Re: / フリーザ
右辺が平方数だからです
No.12981 - 2011/02/04(Fri) 23:35:15
☆ Re: / the clock
確信を持っていえますか・・・？もっと詳しい説明を期待しています。
No.12986 - 2011/02/05(Sat) 17:06:09
☆ Re: / ヨッシー
x-y=m^2 (m は自然数) と書けるので、
　3x+3y+1＝(x/m)^2
と書けます。
No.12987 - 2011/02/05(Sat) 17:57:55
☆ Re: / シャロン
加えて、有理数の二乗が整数になる場合、元の有理数が整数であることをいえば、より正確でしょう。
No.12988 - 2011/02/05(Sat) 18:16:51
☆ Re: / the clock
平方数って分数の２乗でも平方数というのですか？
No.12989 - 2011/02/05(Sat) 18:41:17
☆ Re: (No Subject) / ヨッシー
x/m が整数になることは、若干の考察で明らかになります。
No.12992 - 2011/02/05(Sat) 23:04:19
☆ Re: / the clock
一般に、平方数って分数の２乗でも平方数といいますか？
No.13004 - 2011/02/06(Sun) 21:36:24
☆ Re: / angel
> 一般に、平方数って分数の２乗でも平方数といいますか？

言わないのでは。
取り敢えず、一般に自然数k,m,nに対して
　n^2・k=m^2
が成立するときは、mはnで割り切れます。( m/n は自然数となる )
なので、k=(m/n)^2 は自然数を平方したものです。
…ということを、上で皆さんおっしゃっているのですが。

分数(整数でない有理数)のことを考える必要はありません。
No.13008 - 2011/02/06(Sun) 23:02:33
☆ Re: / the clock
分数の２乗を平方数といわないならx/mが整数だといえなければいけませんね。ということでx/m が整数になるという、若干の考察を教えて下さい。

よろしく御願いします。
No.13011 - 2011/02/07(Mon) 22:11:34
☆ Re: / ヨッシー
上の皆さんの記事にもいっぱい考察がありますが、
とりあえず、こんなのでどうでしょう。

3x+3y+1＝(x/m)^2 において、
x/m が整数でない分数だとすると、(x/m)^2 も整数でない分数です。
一方、x,y は自然数なので、3x+3y+1 は自然数です。
よって、3x+3y+1＝(x/m)^2 は、矛盾することになり、
x/m は整数であるといえます。

これは、シャロンさんの
「有理数の二乗が整数になる場合、元の有理数が整数である」
に通じます。

もちろん、angel さんの
一般に自然数k,m,nに対して
　n^2・k=m^2
が成立するときは、mはnで割り切れます。( m/n は自然数となる )
でも、十分考察になっています。

とどのつまり、フリーザさんの
　右辺が平方数だからです
に、帰着するわけです。
No.13012 - 2011/02/07(Mon) 22:55:14
★ 三角関数 / みー

こんばんは。三角関数についての質問です。
問題と解答は画像の通りです。
→の部分がわからないのですが、
私が計算するとどうしても
cosα=3/5√5
sinα=4/5√5
になってしまいます。
どのように計算すればよいのでしょうか。
よろしくお願い致します。
No.12977 - 2011/02/04(Fri) 20:05:13
☆ Re: 三角関数 / ToDa
合成の方法は図でも描いてみればすぐではあるのですが、

どのように計算したかをまず書いてください。
No.12978 - 2011/02/04(Fri) 20:14:28
☆ Re: 三角関数 / みー

今、計算したものを
書き込もうと式を書いていたら
分母を計算するときは分母だけ、
分子を計算するときは分子だけを
代入していたことに気づきました(;_;)

お騒がせしましたm(_ _)m

No.12985 - 2011/02/05(Sat) 05:45:31
★ (No Subject) / ぼっすん
ac≡bc(modm)
一般に（c,m)=dならばm=m'dとおくとき
a≡b(modm')となる理由を教えて下さい
No.12971 - 2011/02/04(Fri) 18:36:12
☆ Re: / シャロン
a≡b（mod m）とは、
ある整数nが存在して a-b=nm
ということです。

c=0の場合、(c,m)=mより、m'=1なので、a-b=m'×1となる整数が存在しますので、a≡b (mod m')は成り立ちます。

c≠0の場合、
いま、ac≡bc(mod m)ですから、
ある整数nが存在して、ac-bc=nm...(★)とかけます。

ここで、（c,m'd）=dですから、整数c'をつかってc=c'dとかけます。(d≠0)

★より、c'd(a-b)=nm'd
c'(a-b)=nm'
ここで、m'はc'と素なので、nはc'の倍数であり、整数n'が存在してn=c'n'とかけます。
したがって、a-b=n'm'
つまり、a≡b (mod m)
■QED
No.12974 - 2011/02/04(Fri) 19:29:52
☆ Re: / シャロン
下から２行目タイプミスです。
正しくは、a≡b (mod m')です。
No.12975 - 2011/02/04(Fri) 19:32:48
★ 整数の事実 / ロブ・ルッチ
x,y:自然数で
(x-y)(2x+2y+1)=y^2・・?@
ここでx-yが任意の素因数をｐとするとき、式の形から右辺ｙ＾２は素因数ｐをもち、したがってｙも素因数ｐをもつ。

事実：ｙ＾２は素因数ｐをもち、したがってｙも素因数ｐをもつ。
について
質問１：この事実はｙの２乗のときだけ言えることですか？
質問２：この事実はｐが素因数のときだけ言えることですか？
質問３：この事実が言える訳を教えて下さい。（なんとなくは分かるのですがなにかハッキリしません）

以上３点よろしく御願いします
No.12965 - 2011/02/04(Fri) 11:08:19
☆ Re: 整数の事実 / らすかる
＞質問１
３乗でも４乗でも、自然数乗なら言えます。

＞質問２
そうです。

＞質問３
自明な「yが素因数pを持たなければy^2も素因数pを持たない」の対偶です。
No.12966 - 2011/02/04(Fri) 11:37:28
☆ Re: 整数の事実 / ロブ・ルッチ
回等ありがとうございます。
質問２’：この事実はｐが素因数のときだけ言えるとのことですが、それはなぜですか？
No.12969 - 2011/02/04(Fri) 17:20:47
☆ Re: 整数の事実 / らすかる
例えばy=6のときy^2は因数9を持ちますがyは因数9を持ちません。
No.12976 - 2011/02/04(Fri) 19:40:43
★ (No Subject) / nebiru
問題）a,b,p,qは全て自然数で
(p^2+q^2)/a=(pq)/b
を満たしている。aとbの最大公約数が１のとき√(a^2+2b)は自然数であることを示せ。

解）ｐとｑの最大公約数をｄとおくとｐ＝ｄｘ、ｑ＝ｄｙ（xとyは互いに素）とおけ、このとき
与式⇔ｂ（d^2x^2)+d^2y^2)=ad^2xy
とあるのですが、なぜ⇔なのですか？

なるだけ詳しく教えて下さい。
No.12964 - 2011/02/04(Fri) 10:58:40
☆ Re: / シャロン
ｐ、ｑをｄｘ、ｄｙに書き換え、両辺にａｂ（≠０）をかけているだけですから。
No.12967 - 2011/02/04(Fri) 12:04:49
☆ Re: / nebiru
そんな単純な話ではない気がします
もし
「両辺にａｂ（≠０）をかけている」操作で同値が保たれるのなら

例えば整数a,bについて
1/a+1/b=2・・?@
両辺にab(≠０)をかけると
b+a=2ab・・・?A
この?@、?Aが同値と言っていることになります
?Aはa=b=0を満たしますが?@は満たしません。

くどいくらいに詳しく御願いします
No.12968 - 2011/02/04(Fri) 17:18:08
☆ Re: / シャロン
ａｂ≠０を仮定したうえで、両辺にかけているのですから、ａもｂも０ではありえません。
（ａｂ≠０⇔ａ≠０かつｂ≠０ですね）

そもそも、ａｂ＝０なら、ａやｂが分母になることはありえません。(０で割っていることになりますから)
No.12970 - 2011/02/04(Fri) 18:09:32
☆ Re: / nebiru
逆に言えばａｂ≠０を仮定しなければ同値はなりたたないということですね。
つまり1/a+1/b=2⇔b+a=2abかつab≠０
です。

ということは
与式⇔ｂ（d^2x^2)+d^2y^2)=ad^2xyかつab≠０
でないのかと言うことです。

質問内容の意図が伝わりにくかったようで申し訳ありません。１２９６４の質問に対するご回答を御願い致します。
No.12972 - 2011/02/04(Fri) 18:45:40
☆ Re: / シャロン
>意図が伝わりにくかったようで
いえいえ、それはお互い様のようですので。


確かに両辺に０をかけた場合には、同値とはなりませんが、本題では、題意よりａ、ｂは自然数ですから、当然ａｂは０でないことが仮定されています。
私の最初の解説では、「両辺に０をかけた場合は同値にならないけど、題意からａｂ≠０ですよ、だからこれは同値ですよ」という確認の意味で「（ａｂ≠０）」と書いています。


また、０で割ることはできませんから、nebiruさんが例にだした等式でも、分母≠０のはずですから、ａｂは０でないことは一種の仮定としてよいものと思います。
No.12973 - 2011/02/04(Fri) 19:01:45
★ 空間・体積 / (*゛‐゛*)
　座標空間において、原点O (0,0,0)、点P(1,0,1)、
点Q (2,1,0)を頂点とする三角形0PQがある。この三角形OPQをy軸の周りに回転してできる回転体の体積Vを求めよ。
という問題の質問です。
No.12959 - 2011/02/03(Thu) 20:21:22
☆ Re: 空間・体積 / ヨッシー
ＯＰは、ｙ軸を一周すると、半径√2 の円盤を描きます。
ＯＱは、ｙ軸を一周すると、底面の半径２、高さ１の円すいを描きます。（体積4π/3)
ｙ座標 ｙ （０≦ｙ≦１）における、線分ＰＱ上の点は、
　(1+y,y,1-y)
であるので、ｙ軸からの距離は√(２＋２y^2)
よって、ＰＱをｙ軸周りに回転させて出来る立体の体積は
　π∫01(2+2y^2)dy
　＝8π/3
以上より、求める体積は
　8π/3−4π/3＝4π/3
No.12961 - 2011/02/03(Thu) 22:24:24
☆ Re: 空間・体積 / (*゛‐゛*)
ありがとうございます。
OPがy座標を１周すると、三角錐ではなく円盤になるのはどうしてですか？
No.12962 - 2011/02/03(Thu) 23:24:54
☆ Re: 空間・体積 / ヨッシー
ｚｘ平面上にある＝ｙ軸と垂直
だからです。
No.12963 - 2011/02/04(Fri) 06:44:28
☆ Re: 空間・体積 / (*゛‐゛*)
なるほどですね！
あと、ｙ座標 ｙ（０≦ｙ≦１）における、線分ＰＱ上の点は(1+y,y,1-y)となるのはどうしてですか？
No.12980 - 2011/02/04(Fri) 23:29:29
☆ Re: 空間・体積 / ヨッシー
y=0 のとき、x=1, z=1 であり、
y=1 のとき、x=2, z=0 であり、
ｙとｘ、ｙとｚはそれぞれ、１次関数的に変化するので、
　ｘ＝１＋ｙ、ｚ＝１−ｙ
という関係になります。
No.12982 - 2011/02/05(Sat) 00:01:14
☆ Re: 空間・体積 / (*゛‐゛*)
分かりました！
あの、どうしてもy軸からの距離が√(3y2乗＋2)になるのですが…
No.12983 - 2011/02/05(Sat) 00:24:15
☆ Re: 空間・体積 / ヨッシー
それは、原点からの距離を出しているのでは？
No.12984 - 2011/02/05(Sat) 00:44:30
☆ Re: 空間・体積 / (*゛‐゛*)
あ、そうみたいでした??
ありがとうございます！！
No.13009 - 2011/02/06(Sun) 23:30:31
★ (No Subject) / かんたーの
有理点って何ですか？
No.12956 - 2011/02/03(Thu) 15:49:03
☆ Re: / シャロン
xy座標上で、x、yの値がともに有理数となる点です。
また、３次以上でも同様に、x、y、z、、、がすべて有理数となる点です。

たとえば、(0,0)、(-1,5)、(1/9,7/5)などは（2次元での）有理点ですが、(0,√2)、(e,π)などは有理点ではありません。
No.12957 - 2011/02/03(Thu) 17:03:41
★ (No Subject) / nobuta
x,yが次の式で表されるとき、dy/dxおよびd^2y/dx^2をθ
の式で表せ。

x=a(θ-sinθ)
y=a(1-cosθ)

やり方がまったくわかりません。まずはy=xの形に持っていく
のでしょうか？
No.12955 - 2011/02/03(Thu) 14:33:06
☆ Re: / シャロン
媒介変数表示での微分というのがあります。

x、yがtの関数のとき、
dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt)
です。

d^2y/dx^2 はdy/dxをさらにxで微分します。（dy/dxはθの関数ですから、ちょっと工夫が必要です）
No.12958 - 2011/02/03(Thu) 17:09:18
★ (No Subject) / barairo
複素数値関数の計算ってなんのことか分かりますでしょうか。どなたか教えて下さい
No.12951 - 2011/02/03(Thu) 02:03:23
☆ Re: / シャロン
定義域あるいは値域が複素数の部分集合となっている（かつ通常は実数の部分集合でない）関数です。

f(x)=x^2-xなども、通常は定義域としてx∈Ｒで考えますが、x∈Ｃの範囲で、たとえばx=iとしてf(i)=-1-iと計算できますね。

ただ、指数、対数、三角関数では変数xが¬（x∈Ｒ)となる場合には、Ｒの範囲での計算と矛盾がなくなるように適切に計算方法を定義する必要があります。
No.12954 - 2011/02/03(Thu) 10:39:48
★ 一次関数 / ぜっとん
　2直線　3x-y=-a, 2x+y=7 が1点で交わり、その交点のy座標が0であるとき、定数aの値を求めなさい。
No.12945 - 2011/02/02(Wed) 22:06:57
☆ Re: 一次関数 / tororo
以下の要領で、求められます。
?@直線2x+y=7 上のy座標が0である点の座標を求めなさい。
?A直線3x-y=-aが?@で求めた点を通るとき、定数aの値を求めなさい。
No.12949 - 2011/02/03(Thu) 00:27:50
★ 相似の関係 / √
相似の関係について教えてください。

三角形の３つの角度が等しい三角形は、みんな相似の関係に
なりますが、これは三角形の場合だけですか？
（円と正多角形は、みんな相似の関係になるので、この２つは除いて考えます）

よろしくお願い致します。
No.12942 - 2011/02/02(Wed) 21:17:20
☆ Re: 相似の関係 / らすかる
三角形だけではありません。
例えば「ひし形」も角度が等しければ相似になります。
No.12943 - 2011/02/02(Wed) 21:33:12
☆ Re: 相似の関係 / √
らすかるさん　有り難うございます。

あっ　そうですね。
ひし形は正方形を歪ませた形ですね。

では「全ての角度が同じというだけで相似の関係」になると言える図形は、
?@三角形
?A円や正多角形
?B円や正多角形を同じ割合で歪ませた図形（楕円や菱形など）

この３つの場合だけと考えてよろしいでしょうか？
No.12944 - 2011/02/02(Wed) 21:54:21
☆ Re: 相似の関係 / √
付け足しです。
私の質問の仕方が変かも。。

全ての角度が等しくて、辺の比が同じなら「相似の関係」にありますが、
「三角形」だけは３つの角度が等しいというだけで相似の関係にあると決められる。
だけど四角形は角度だけでなく、辺の比も考えなくてはイケナイ。
なぜ三角形だけ？　となりました。。。
No.12947 - 2011/02/02(Wed) 22:31:41
☆ 三角形だけは特別？ / √
またまた付け足しです。

これは「相似」だけでなく「合同」にも言えることですね。
３辺の長さが、みな同じなら「合同」の三角形。

でも、
４辺の長さが、みな同じでも「合同」の四角形とは言えない。

きっと「三角形」だけは特別な図形なのですね。。
No.12948 - 2011/02/02(Wed) 23:05:12
★ 数学２　高2 / まゆ汰
数学の問題で分からないところがあります。

0°≦x≦90°のとき、2sinx ＋ cosxの最大値と最小値を求めよ。
まず
2sinx ＋ cosxを合成すると
√５cos（x-α）
ここでx-aについて吟味すると
aはtanθ＝aとおくと 図（合成するときの図です。y座標2、x座標1の第１象限）より角度aをもつ直線の傾きは2（y=2x）なので
tan30°＝1/√3 よりも大きいので
aの範囲は30°<a<90°
あとは図をかいて最大、最小となるところを求めるだけで答えはあっていたのですが、
自分の解答と解説の解答が一部違っていました。
自分はaの範囲を30°<a<90°としましたが、答えでは45°<a<90°でした。
これはどうしてなんでしょうか？だれかわかるかたおしえてください。お願いします
No.12939 - 2011/02/02(Wed) 17:53:37
☆ Re: 数学２　高2 / まゆ汰
補足なんですけど
30°＜a<90°じゃなくて
正しくは0°＜a<90°ですよね。
なんで45°＜a<90°なのかはさっぱりわかりませんが＾＾；
No.12940 - 2011/02/02(Wed) 18:23:52
☆ Re: 数学２　高2 / X
合成後の式をよく見てください。
√５sin（x+α)
ではなくて
√５cos（x-α)
となってますね。
これは
2sinx+cosx=cosx+2sinx
=√5{(1/√5)cosx+(2/√5)sinx}
と見て
cosα=1/√5
sinα=2/√5
なるαを考えて
2sinx+cosx=√5(cosxcosα+sinxsinα)
=√5cos(x-α)
と変形しています。
従ってこの場合の合成に使う図は
底辺が1、高さが2の直角三角形
です。
ですので
tanα=2
∴1<tanα
ですので
45°<α<90°
となります。
No.12941 - 2011/02/02(Wed) 18:45:14
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