ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 直交曲線 / mono

曲線群 xy=C の直交曲線群を求め、次に、求めた直交曲線群から逆に始めて、その曲線群の直交曲線群は、もとの曲線群になることを確かめよ。

という問題です。
お手数おかけしますがよろしくお願いします!

No.13813 - 2011/05/19(Thu) 08:11:17

☆ Re: 直交曲線 / ast

xy=Cは方程式y+xy'=0の解曲線群なので, 傾きy'をこれに直交する-1/y'に置き換えたyy'-x=0の解曲線群が求める直交曲線群です. 後半はこれを逆にたどれば自明でしょう.

No.13835 - 2011/05/20(Fri) 13:29:20

☆ Re: 直交曲線 / mono

なるほどです！
ありがとうございます。

No.13836 - 2011/05/20(Fri) 19:52:45

★ 解析学3 / さくら

最後にむずかしすぎて手が出せませんでした涙

次のような区間の列がある。
[a1,b1]⊇[a2,b2]⊇…⊇[an,bn]⊇…
次に答えよ。
(1)数列{an},{bn}は収束することを示せ。

(2)lim(bn-an)=0ならば、
lim(an)=lim(bn)であることを示せ。
(すべてn→∞)

No.13806 - 2011/05/18(Wed) 19:30:07

☆ Re: 解析学3 / X

(1)
[a[1],b[1]]⊇[a[2],b[2]]⊇…⊇[a[n],b[n]]⊇…
により
a[1]≦…≦a[n]≦b[1]
a[1]≦b[n]≦…≦b[1]
よって
{a[n]}は上に有界な単調増加列
{b[n]}は下に有界な単調減少列
ですので共に収束します。

(2)
(1)の結果により
lim[n→∞]a[n]
lim[n→∞]b[n]
はいずれも有限確定値ですので、仮定である
lim[n→∞]{b[n]-a[n]}=0
のとき
lim[n→∞]b[n]-lim[n→∞]a[n]=0
∴lim[n→∞]b[n]=lim[n→∞]a[n]

No.13820 - 2011/05/19(Thu) 18:00:28

★ 解析学2 / さくら

方程式e^x-3x=0は0と1の間、
または1と2の間に解をもつことを示せ。

こちらもお願いします

No.13805 - 2011/05/18(Wed) 19:17:19

☆ Re: 解析学2 / らすかる

f(x)=e^x-3x とすると
f(0)=1
f(1)=e-3＜0
f(2)=e^2-6＞0
よってf(x)はx=0とx=1の間、x=1とx=2の間で
それぞれx軸と交わる。

No.13807 - 2011/05/18(Wed) 19:56:11

☆ Re: 解析学2 / 森の水だより

中間値の定理を用いることを書いておいた方がよいでしょうな。

No.13812 - 2011/05/18(Wed) 21:42:37

★ 解析学 / さくら

次の等式が成り立つことを示せ。
cos^(-1)(-x)=π-cos^(-1)x
※分かりにくいかもしれませんが、アークコサインです

どうすればいいのかさっぱり分かりませんでした

No.13804 - 2011/05/18(Wed) 19:15:10

☆ Re: 解析学 / ヨッシー

アークコサインをacos と書くことにします。
　y=acos(x)
は、定義域 -1≦x≦1 で、値域 0≦y≦π を持ちます。
　ｙ＝π－acos(x)
より
　acos(x)＝π－ｙ
0≦π－ｙ≦π より、
　ｘ＝cos(π－ｙ)＝-cosｙ
よって、
　cos(y)＝-x
-1≦-x≦1 より
　ｙ＝acos(-x)
となり、
　acos(-x)＝π－acos(x)
となります。

No.13814 - 2011/05/19(Thu) 08:54:53

★ 不等式の証明 / みみ

ｘ＞ｙのとき、(ｘ+2ｙ)／3＞(ｘ+3ｙ)／4であることを証明せよ。

No.13801 - 2011/05/18(Wed) 18:43:05

☆ Re: 不等式の証明 / みみ

これの解き方を教えて下さい＞＜

No.13802 - 2011/05/18(Wed) 18:44:05

☆ Re: 不等式の証明 / らすかる

(左辺)-(右辺)
=(x+2y)/3-(x+3y)/4
=(x-y)/12
＞0　（∵x＞y）
です。

No.13809 - 2011/05/18(Wed) 19:59:57

☆ Re: 不等式の証明 / みみ

わかりました＾＾

ありがとうございました♪

No.13822 - 2011/05/19(Thu) 19:43:05

★ 無限級数 / 高3

数列{a(n)}の一般項を
a(n)=k{(2k)^(n-1)}+(1/2)^n
とするとき、
（1）lim[n→∞]a(n)=0となるようなkの値の範囲を求めよ。
A.-1/2<k<1/2 ？
（2）Σ[n=1,∞]{a(n)}^2が収束するようなkの値の範囲を求めよ。
（3）Σ[n=1,∞]{a(n)}^2=1/3になるようなkの値を求めよ。

(1)を使って(2)以降どう解けばいいのかわかりません。
解答解説お願いします。

No.13796 - 2011/05/18(Wed) 08:39:25

☆ Re: 無限級数 / X

(1)
はそれで問題ありません。

(2),(3)ですが(1)の結果を使う必要はありません。
(2)
問題の無限級数の部分和をS[n]と置くと
S[n]=Σ[j=1,n]{a(j)}^2
=Σ[j=1,n]{(1/2)(2k)^n+(1/2)^n}^2
=Σ[j=1,n]{(1/2)(2k)^(2n)+k^n+(1/2)^(2n)}
=Σ[j=1,n]{(1/2)(4k^2)^n+k^n+(1/4)^n} (A)
よってS[n]が収束するには(A)の第一項と第二項について
4k^2<1 (B) (注：kは実数ゆえk^2>0)
-1<k<1 (C)
(B)(C)を連立して解きます。

(3)
(A)よりS[n]が収束するとき
lim[n→∞]S[n]
=(1/2)(4k^2)/(1-4k^2)+k/(1-k)+(1/4)/(1-1/4)
∴条件から
(1/2)(4k^2)/(1-4k^2)+k/(1-k)+(1/4)/(1-1/4)=1/3
これを解いて(2)の結果を満たすkの値を求めます。
こちらの計算では
k=(1-√7)/6
となりました。

No.13797 - 2011/05/18(Wed) 09:45:42

☆ Re: 無限級数 / 高3

大筋は納得いったのですが、一つだけ疑問点があります。
k=0となることはないのでしょうか？(B)(C)の共通部分にk=0は含まれていますし、(3)の答にも入りそうですが……(k=(1-√7)/6は導けました)

No.13798 - 2011/05/18(Wed) 12:42:56

☆ Re: 無限級数 / X

ああ、確かにk=0も(3)の解の一つですね。
ごめんなさい、見落としていました。

No.13800 - 2011/05/18(Wed) 17:41:54

☆ Re: 無限級数 / 高3

たいへんよく分かりました。詳しい解説を本当にありがとうございました。

No.13811 - 2011/05/18(Wed) 20:08:08

★ (No Subject) / ｆｇｔｘ

α＝３６０°/７でcos3α＝cos4αかなりたつとき
cosαの小数第一位の値を求めよ。
お願いします。

No.13792 - 2011/05/17(Tue) 19:00:45

☆ Re: / らすかる

# うまい解き方ではないかも知れませんが…

cos3α=4(cosα)^3-3cosα
cos4α=8(cosα)^4-8(cosα)^2+1
なので、cosα=tとおけば
4t^3-3t=8t^4-8t^2+1 つまり
8t^4-4t^3-8t^2+3t+1=0
f(t)=8t^4-4t^3-8t^2+3t+1 とおくと
f(-1)=2
f(-1/2)=-3/2
f(0)=1
f(3/4)=-13/32
f(1)=0
なので、f(t)=0は-1＜t＜-1/2、-1/2＜t＜0、
0＜t＜3/4、t=1の4つの解を持つが、
0°＜360°/7＜90° から 0＜t＜1 なので
cosαはf(t)=0の解のうち0＜t＜3/4である解。
f(0.6)=0.0928＞0
f(0.7)=-0.2712＜0
だから0.6＜t＜0.7
よって小数第一位の数字は 6

No.13799 - 2011/05/18(Wed) 13:12:40

☆ Re: / ｆｇｔｘ

ありがとうございます。

No.13830 - 2011/05/20(Fri) 07:53:09

★ 高2　数列 / れいひゃー

数列1,2,1,3,2,1,4,3,2,1,5,…において
（1）m回目のnは第何項に現れるか。
（2）第200項を求めよ。

です
（1）第｛1/2(n+m-1)(n+m)-(n-1)｝項
（2）11
です
全く分からないので説明おねがいします！

No.13789 - 2011/05/17(Tue) 04:25:20

☆ Re: 高2　数列 / ヨッシー

(1)
(1)(2,1)(3,2,1)(4,3,2,1) というグループ分けになるのは分かりますか？
(1) を第１群、(2,1) を第２群、(3,2,1) を第３群のように呼び、
(3,2,1) の 2 を、第３群の第２項のように呼ぶことにします。

ｎは最初、第ｎ群の第１項に現れ、２回目は、第n+1群の第２項、
３回目は、第n+2群の第３項に現れます。
よって、ｍ回目のｎは、第n+m-1群の第ｍ項に現れます。

第n+m-2群の最後の項までの項数は、
　１＋２＋３＋・・・＋(n+m-2)＝(n+m-2)(n+m-1)/2
ここからさらにｍ個進んだところに、ｍ回目のｎがあるので、
(n+m-2)(n+m-1)/2＋ｍとなります。

上の解答の、第｛1/2(n+m-1)(n+m)-(n-1)｝項は、
第n+m-1群の最後から、n-1 だけ戻ったという考え方で、
展開すれば、どちらもおなじになります。

(2)
１＋２＋３＋・・・＋１９＝１９０
であり、第191項からは、第20群が、(20,19,18・・・) のように
始まるので、
この群の第10項である、１１が第２００項となります。

No.13790 - 2011/05/17(Tue) 14:04:27

☆ Re: 高2　数列 / れいひゃー

丁寧な説明ありがとうございます！
二つほど質問があるのですが…

>よって、ｍ回目のｎは、第n+m-1群の第ｍ項に現れます。

ここはひらめきというか、
慣れていくしかないのでしょうか?

>ここからさらにｍ個進んだところに、ｍ回目のｎがあるので、
>(n+m-2)(n+m-1)/2＋ｍとなります。

上ではなく下にmをたしたのは何故ですか?

No.13791 - 2011/05/17(Tue) 17:51:30

☆ Re: 高2　数列 / ヨッシー

慣れだけではありません。
　１回目：第ｎ群の第１項
　２回目：第n+1群の第２項
　３回目：第n+2群の第３項
という規則を経て、
　ｍ回目：第n+m-1群の第ｍ項
を導きます。

下というのは分母のことでしょうか？
ｍは分数とは独立した数です。
{(n+m-2)(n+m-1)/2}＋ｍと書いたらわかるでしょうか？

No.13793 - 2011/05/17(Tue) 20:50:52

☆ Re: 高2　数列 / れいひゃー

わかりました！
ありがとうございます！＾＾

No.13794 - 2011/05/17(Tue) 22:36:58

★ (No Subject) / 受験生

aを実数とし、
(x+2)|x-1|＝|x+2|(x-1)+a
を満たす実数xの集合をSで表す。
集合Sの要素の個数を調べるために、関数
f(x)＝(x+2)|x-1|-|x+2|(x-1)
を考える。

この関数は
x≦-2のとき、f(x)＝0
-2<ｘ≦1のとき、f(x)＝-2x^2-2x+4
1<xのとき、f(x)=0

である。
（１）Sがただ１個の要素からなるようなaの値を求めよ。
（２）Sがちょうど2個の要素からなるようなaの範囲を求めよ。
（３）Sの要素が無数にあるのはaがいくつのときか。

よろしくお願いします。

No.13781 - 2011/05/16(Mon) 09:05:08

☆ Re: / X

まずy=f(x)のグラフを描きましょう。
このグラフとx軸平行の直線y=aとの交点が
(1)の場合は1個であるとき
(2)の場合は2個であるとき
(3)の場合は無数に存在するとき
のaに対する条件を考えましょう。

No.13783 - 2011/05/16(Mon) 11:55:03

☆ Re: / X

こちらの計算では
(1)a=9/2
(2)0＜a＜9/2
(3)a=0
となりました。

No.13784 - 2011/05/16(Mon) 11:56:29

★ (No Subject) / 受験生

nを自然数、kを1≦k≦nを満たす自然数とするとき、(n/k)^k≦C[n→k]≦n^k/2^(kｰ1)が成り立つことを示せ。ただしC[n→k]は二項係数である。

平均値の定理を使って解こうとしたんですがうまくいきません?ｫ

どういう方針で解くんでしょうか？

No.13780 - 2011/05/16(Mon) 06:19:26

☆ Re: / angel

それぞれ大体 k項の積になっていますから、その一つ一つの項を比較すれば実はわかるようになっています。

C[n,k] = P[n,k]/k! であることから、
　(n/k)^k ≦ C[n,k] ≦ n^k/2^(k-1)
　⇔ k!/k^k ≦ P[n,k]/n^k ≦ ( k!/2^k )・2
　⇔ k/k・(k-1)/k・…・1/k ≦ n/n・(n-1)/n・…・(n-k+1)/n ≦ ( k/2・(k-1)/2・…・1/2 )・2

ちなみに、最初の変形は各辺 n^k で割って k! をかけています。後は 1/2^(k-1) = 2/2^k ですね。
これで各項を比較してみましょう。
左側の不等号は、こうした方が分かりやすいかも
　(1-0/k)・(1-1/k)・…・(1-(k-1)/k) ≦ (1-0/n)・(1-1/n)・…・(1-(k-1)/n)
右辺の方が、左辺よりも大きな（もしくは等しい）項を掛け合わせているので、≦が成立するという寸法です。

右側の不等号はもっと単純で、n/n,(n-1)/n,…,(n-k+1)/nはすべて1以下であるのに対し、k/2,(k-1)/2,…,1/2 は 1/2 を除いてすべて1以上、しかも最後に×2がついているので1/2の分もチャラになるという寸法です。

No.13838 - 2011/05/21(Sat) 09:28:11

★ 高2　三角関数 / れいひゃー

図のように半径1の円に正十二角形が内接している
(1)一辺のながさABをもとめよ
(2)円の直径に対する正十二角形の周のながさの割合を小数第1位まで求めよ
ただし､√6=2､449…､√2=1､414…とする

です
(1)(√6-√2)/2
()3､1

です
説明お願いします!(´･ω･｀)

No.13775 - 2011/05/15(Sun) 21:46:17

☆ Re: 高2　三角関数 / れいひゃー

図がはれませんのですが…；
えっと
12つの角のうちの4つの角の頂点がx軸とy軸にぴったりかさなっているというのか･･･
上手く説明が出来ないです＞＜；
本当にすみません…

No.13776 - 2011/05/15(Sun) 21:55:12

☆ Re: 高2　三角関数 / X

(1)
題意から
∠OAB=2π/12=π/6
OA=OB=1
∴△OABについて余弦定理により
AB^2=…

(2)
問題の割合をaとすると(1)の結果を使って
a=12・{(√6-√2)/2}/2
=3(√6-√2)
=…(近似値を代入して…)

No.13777 - 2011/05/15(Sun) 22:17:14

☆ Re: 高2　三角関数 / れいひゃー

>12・{(√6-√2)/2}/2

は何の式なんでしょうか…?

No.13778 - 2011/05/15(Sun) 23:21:19

☆ Re: 高2　三角関数 / rtz

＞「円の直径」に対する「正十二角形の周のながさ」の割合
それぞれ2つの「」はどう出すのか、考えましょう。

No.13779 - 2011/05/16(Mon) 02:23:37

☆ Re: 高2　三角関数 / れいひゃー

ありがとうございました！

No.13788 - 2011/05/17(Tue) 04:16:58

★ この問題がわかりません!! / 瑛海

　Aさんの身長はCさんの身長より16?p高く、Bさんの身長の　　1.2倍より8?p低い。また、Bさんの身長はCさんの身長より
　8?p低い。
　Aさん、Bさん、Cさんの身長はそれぞれ何?pですか。
　誰か一人を選び、その人の身長を答えなさい。

という問題です。
母と話し合ったのですが、分かりません!
詳しく教えて下さい!!
（明日がテストなので、なるべく早めにお願いします）

No.13769 - 2011/05/15(Sun) 12:34:49

☆ Re: この問題がわかりません!! / moto

図をみながら･･･
　?@「Aさんの身長はCさんの身長より16?p高く」
　?A「(Aさんの身長は)Bさんの身長の1.2倍より8?p低い」
　?B「Bさんの身長はCさんの身長より8?p低い。」

?@?A?Bと図から、
　16＋8＋8＝32cm　が、Ｂさんの0.2倍に相当します

それで、
　32÷0.2＝160　･･･　Ｂさん
　160＋8＝168　････　Ｃさん
　168＋16＝184　･･･　Ａさん

　160×1.2＝192　･･･　Ｂさんの1.2倍
　192－8＝184

No.13770 - 2011/05/15(Sun) 15:00:46

☆ Re: この問題がわかりません!! / Kurdt

・Aさんの身長はCさんより16cm高い
・Bさんの身長はCさんより8cm低い

この2つから「Aさんの身長はBさんの身長より24cm高い」とわかります。

Bさんの身長を ?I とすると、Aさんの身長は ?K-8 です。
AさんとBさんの身長の差は ?A-8 [cm] と言えます。

これが 24cm なので、?A=32 → ?@=16 cm となり、B さんの身長が160cm とわかります。

No.13771 - 2011/05/15(Sun) 15:11:16

★ (No Subject) / なち

?Bがわかりません。
解説をお願いします。

関数y=sin^3x+cos^3x+4sinxcosx+1について、次の問に答えよ。

?@sinx+cosx=tとおくとき、yをtの式で表せ。
答え→y=-t^3/2+2t^2+3t/2-1

?Atの動く範囲を求めよ。
答え→-√2≦t≦√2

?Byの最大値と最小値を求めよ。

よろしくお願いします。

No.13767 - 2011/05/15(Sun) 07:28:39

☆ Re: / X

(1)の結果を使って(2)の結果のtの値の範囲で
tに対するyの増減を考えましょう。
((1)の結果をtについて微分すると…。)

No.13772 - 2011/05/15(Sun) 18:07:47

☆ Re: (No Subject) / なち

回答ありがとうございます。
微分してy=-3t^2/2+4t+3/2となりました。
このあとの計算がわかりません。

No.13773 - 2011/05/15(Sun) 19:04:34

☆ Re: / X

dy/dt=(-3/2)t^2+4t+3/2=0
となるtの値を求めて、tに対するyの増減表を描きましょう。

No.13787 - 2011/05/16(Mon) 18:17:16

★ テイラー展開と予想 / rio

添付の問題と解説についてです。
テイラー展開の式との類似からaを1/3と予想したり、kを-1/2以下だと予想したりしたあとに、どのようにして活用して解けばよいのかが分かりません。宜しくお願いいたします。

No.13765 - 2011/05/14(Sat) 19:51:30

☆ Re: テイラー展開と予想 / 戸だ。

a=1/3で成り立つことと、a≠1/3で成り立たないことを示す。

k≦-1/2で成り立つことと、k＞-1/2で成り立たないことを示す。

って具合ですかね。なお、どのようにしてその定数を導いたかなんてのは(多分)答案には書く必要はありません。

No.13768 - 2011/05/15(Sun) 08:33:02

☆ Re: テイラー展開と予想 / rio

ありがとうございました。確認できました。

No.13795 - 2011/05/18(Wed) 01:49:51

★ 高2　三角関数 / れいひゃー

0≦x≦πのとき､
cosx+cos3x+cos5x＜0　を解け

答え
π/6＜x＜π/3､π/2＜x＜2/3π､5/6π＜x≦π

です。
説明お願いします！

No.13759 - 2011/05/14(Sat) 14:45:41

☆ Re: 高2　三角関数 / ヨッシー

加法定理を繰り返し用いると、こちらのような公式が作れます。
これを適用すると、
　cosｘ＋cos3x＋cos5x＝16cos⁵ｘ－16cos³ｘ＋3cosｘ
　＝16cosｘ(cos²ｘ－1/4)(cos²－3/4)
　＝16(cosｘ＋√3/2)(cosｘ＋1/2)cosｘ(cosｘ－1/2)(cosｘ－√3/2)
これが負になるには、
　cosｘ＜-√3/2
　-1/2＜cosｘ＜０
　1/2＜cosｘ＜√3/2
よって、上のような答えになります。

No.13760 - 2011/05/14(Sat) 15:11:43

☆ Re: 高2　三角関数 / rtz

cosx+cos3x+cos5x＜0
⇔(cosx+cos5x)+cos3x＜0
⇔2cos3xcos2x+cos3x＜0
⇔cos3x(1+2cos2x)＜0
を使ってもよいかと(結果は同じです)。

No.13766 - 2011/05/14(Sat) 21:05:24

☆ Re: 高2　三角関数 / れいひゃー

解けました！
ありがとうございます＾＾

No.13774 - 2011/05/15(Sun) 21:33:23

★ 答えがなくて困ってます / jon

S(t)の面積の最小値は(1/24)(b-a)^3であってますか？

No.13756 - 2011/05/14(Sat) 12:17:18

☆ Re: 答えがなくて困ってます / ヨッシー

ａ＜ｘ＜ｔの部分にある図形について、直線を、
　ｙ＝ｍｘ＋ｎ
とすると、面積は、
　∫_a～tｍｘ＋ｎ－ｘ²ｄｘ
であり、ｍｘ＋ｎ－ｘ²＝０の解は、
　ｘ＝ａ，ｔ
であるので、面積はこちらより
　(ｔ－ａ)³／６
同様に、右の部分は、(ｂ－ｔ)³／６
　f(t)＝{(ｔ－ａ)³＋(ｂ－ｔ)³}／６
と置いて、増減を調べると、
　f((a+b)/2)＝(b-a)³/24
が最小となります。

No.13758 - 2011/05/14(Sat) 12:52:19

☆ Re: 答えがなくて困ってます / jon

同じ方針で解きました。
ありがとうございました。

No.13782 - 2011/05/16(Mon) 11:45:57