ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ △不等式 / 才賀　高校2年

失礼します。よろしくお願いします。

tは0≦t＜2πを満たす。cos(4t+π/6)≧1/2を解きなさい。

u=4t+π/6とおいてcosu≧1/2に直すところまでは分かったんですが、ここから先がよくわからないです。cosu≧1/2を解くと、0≦t≦π/3と5π/3≦t＜2πになると思ったんですが、答えが全然合いません。
分かり易く教えてください。お願いします。

No.11574 - 2010/09/16(Thu) 16:35:44

☆ Re: △不等式 / X

変数をtからuに置き換えたことにより、uの値の範囲も
変わっています。

0≦t＜2π (A)
u=4t+π/6 (B)
より
π/6≦u＜8π+π/6 (A)'
一方
cosu≧1/2 (C)
より
-π/3+2nπ≦u≦π/3+2nπ (C)'
(nは任意の整数)
(A)'(C)'より
π/6≦u≦π/3
,-π/3+2π≦u≦π/3+2π
,-π/3+4π≦u≦π/3+4π
,-π/3+6π≦u≦π/3+6π
,-π/3+8π≦u＜π/6+8π (D)
(B)を(D)に代入すると…。

No.11575 - 2010/09/16(Thu) 17:48:49

☆ Re: △不等式 / 才賀　高校2年

X様回答してくれてありがとうございました。
置き換えについてはよくわかりましたが、いろいろ調べたんですがどうしてもわからないことがあるのでさらに質問です。

＞/3+2nπ≦u≦π/3+2nπ (C)'
この式の意味がわからないです。2nπとかnは任意の整数とか、こちらはいったい何のことなんですか？

＞(A)'(C)'より
ここから先もよくわからないです。(A)'と(C)'を合わせるとどうして下のような5つの不等式になるのかもよくわからないです。

No.11587 - 2010/09/18(Sat) 00:14:14

☆ Re: △不等式 / X

まず次の例題を考えてみてください。
例題）
0≦u＜2π (P)
のとき
cosu≧1/2 (Q)
を満たすuの値の範囲を求めよ。

この解答は才賀さんが最初のレスで答えられているとおり、
0≦u≦π/3、5π/3≦u＜2π (R)
となります。
ここで重要なのはuの値の範囲に(P)という条件が付いていることです。
もしこの条件が付いていない場合、解答としては(R)の他に
単位円を余分に一周した
0+2π≦u≦π/3+2π、5π/3+2π≦u＜2π+2π
も解になりますし、更に余分に一周した
0+4π≦u≦π/3+4π、5π/3+4π≦u＜2π+4π
も解、逆向きに単位円を回ることも考えると、解は結局
0+2nπ≦u≦π/3+2nπ、5π/3+2nπ≦u＜2π+2nπ (R)'
(nは任意の整数)
となります。

では(P)が
π/6≦u＜8π+π/6 (P)'
となった場合はどうなるでしょうか。
この場合はuの値は単位円を(P)の場合に比べて余分に4周する範囲まで考える必要があります。
∵)(P)'の右辺において8π=2π×4

よって解は、まず１周目は(P)'の左辺を考慮に入れて
π/6≦u≦π/3、5π/3≦u＜2π (R1)
次に２周目は
0+2π≦u≦π/3+2π、5π/3+2π≦u＜2π+2π (R2)
以下３周目、４周目は
0+4π≦u≦π/3+4π、5π/3+4π≦u＜2π+4π (R3)
0+6π≦u≦π/3+6π、5π/3+6π≦u＜2π+6π (R4)
５周目は(P)'の右辺を考慮に入れて
0+8π≦u≦π/6+8π (R5)
ここで(R1)の２式目と(R2)の１式目の値の範囲が連続していることなどを考えて
(R1)～(R5)までをまとめると結局(P)'の場合のuの値の範囲は
π/6≦u≦π/3
,5π/3≦u≦π/3+2π
,5π/3+2π≦u≦π/3+4π
,5π/3+4π≦u≦π/3+6π
,5π/3+6π≦u＜π/6+8π (T)
となります。(続く)

No.11591 - 2010/09/18(Sat) 08:45:03

☆ Re: △不等式 / X

(No.11591の続き)
(D)と(T)は一見すると異なっているように見えますが、解答としては同じことです。
(それぞれの範囲の左辺を具体的に計算して比較してみましょう。)
なぜ見かけが違っているかですが、これは(C)'と(R)'の見かけ上の違いによります。
単位円上で見ると
0≦u≦π/3　(1)
5π/3≦u＜2π (2)
の二つの値の範囲は連続しています。
(0≦u＜2πであるために(1)(2)に分割してしまっている)
ですのでまず基準となるuの値の範囲として0≦u＜2πの代わりに
-π≦u＜π
を使い、１周目のuの値の範囲を
-π/3≦u≦π/3
と求めて、一般角に拡張しています。

No.11592 - 2010/09/18(Sat) 08:59:16

☆ Re: △不等式 / 才賀　高校2年

X様ありがとうございました！ホントにわかりやすかったです！！

No.11601 - 2010/09/18(Sat) 13:14:01

★ 数列です　見辛いですがお願いします / ハオ

数列a_nを以下のように定める
a_1=1 a_(n+1)=a_n +√(n+1)
(1)
a_n>n√n---(＊）　を証明せよ。

nについての証明ですから帰納法が妥当と思われますが
k=mの時（＊）を仮定してもk=m+1に繋がりません・・・。
宜しくお願いします

No.11566 - 2010/09/16(Thu) 08:31:57

☆ Re: 数列です　見辛いですがお願いします / ToDa

問題文は正しいでしょうか？
少なくともn=1のとき、すでに(＊)は破綻しています。

---

…もし(＊)の不等号が"≦"であればどうやら成立しそうなので、勝手にそういうことにして考えてみます。もし問題文の漸化式に誤りがあるのであればあまり意味がなくなりますが…

数学的帰納法で解いてみると、

n=kのときの成立を仮定し、n=k+1のときも成立する

ことを言えばよいのですが(k=m,m+1という指定の意図が分かりかねたのですが、数学的帰納法のステップは理解しているということで宜しいですね？)

仮定により、
0 ≦ k√k - a_k が成り立つので、この元で
0 ≦ (k+1)√(k+1) - a_(k+1) を示せばいいわけです。

漸化式を用いればa_(k+1)が消去できるので、仮定を持ち出すことが出来るようになります。

とりあえずここまで。

No.11570 - 2010/09/16(Thu) 12:01:41

☆ Re: 数列です　見辛いですがお願いします / ハオ

大変失礼いたしました
訂正
(1)a_n>(2/3)*n√n です
宜しくお願いします

No.11571 - 2010/09/16(Thu) 13:36:11

☆ Re: 数列です　見辛いですがお願いします / ハオ

連投申し訳ありません
k=mの時→n=mの時
k=m+1の時→n=m+1の時
に訂正お願いします

No.11572 - 2010/09/16(Thu) 13:38:01

☆ Re: 数列です　見辛いですがお願いします / ToDa

やはり上記と同様に、a_(k+1)を消去して不等式を評価しましょう。他に方法があり、工夫の余地もあると思いますが、とりあえずガリガリとやってみたら解けたようなのでそれを書いておきます。

前半は略しますが、つまるところ
a_k + √(k+1) - (2/3)(k+1)√(k+1) ＞ 0をいえばよいので、

a_k + √(k+1) - (2/3)(k+1)√(k+1) ＞ (2/3)k√k + √(k+1) - (2/3)(k+1)√(k+1)
= (2/3)k(√k - √(k+1)) + (1/3)√(k+1)
= (2/3)k(√k - √(k+1))(√k + √(k+1))/(√k + √(k+1)) + (1/3)√(k+1)
= (√(k(k+1)) - k + 1)/3(√k + √(k+1)) ＞ 0 (∵√(k(k+1)) - k ＞ 0)

という感じです。気づけば分かる点だと思うので最後まで書きました。

No.11573 - 2010/09/16(Thu) 15:50:55

☆ Re: 数列です　見辛いですがお願いします / ハオ

有難うございました。
式の扱いの未熟さを痛感いたしました。

No.11577 - 2010/09/16(Thu) 20:01:11

★ 三次関数の実数解 / bone

こんにちは。
お願いします。

x^2-3ax+4a=0(aは実数定数)の愛子となる実数解の個数を求めよ

典型問題だと思いますが、今までは、右辺の関数をf(x)とおき、f(x)’の二つの解が＝０の場合と、そうでない場合、とで場合わけをしてやっていました。
しかし、f(x)'が判別式で極値を持つか否かに注目し、D>0か≦０かで場合わけすると言う方法でもいいのでしょうか？
後者の場合→実数解１つ
前者の場合→f(０)ｆ（２a ）>0,<0,=0でそれぞれ場合わけ
一つの場合は最後に範囲をあわせる

また、どちらの方がこれから難問などといていくに当たり対応しやすいでしょうか？
宜しくお願いします。

No.11551 - 2010/09/15(Wed) 16:57:11

☆ Re: 三次関数の実数解 / ast

落ち着いて説明を見直してください, わたしには「二次方程式」の問題に見えます. 三次「方程式」の問題の解き方を聞いておられるということでよいのですよね?

> 右辺の関数をf(x)とおき、
「左辺」を f(x) とおいたのですね, それで f(x) は x の三次多項式なのですね?

> f(x)’の二つの解が＝０の場合と、そうでない場合、とで場合わけ
導函数の解が 0 かどうかで場合が異なるというのは考えにくいのですが, 本当はどのような場合わけですか? f(x)′ は f(x) の導函数 f′(x) のつもりということでよいのですよね, f(x) が三次ですから, f′(x) は二次です. 二次方程式 f′(x)=0 を解くと三次函数 f(x) の極値の位置が決まりますから, 二次方程式 f′(x)=0 が重根を持つかどうかで場合わけということですか? それとも f′(x)=0 に解があるかどうかでの場合わけですか?
# 注意. f′(x) とか (f(x))′ とは書きますが, f(x)′ とは書きません, たとえば x=1 における導函数の値 f′(1) を表したくて f(1)′ と書いてしまうと, 事によっては「f(1) は定数なので f(1)′ は定数函数を微分した」という意味になって 0 になってしまい不都合です.

> f(x)'が判別式で極値を持つか否かに注目し、D>0か≦０かで場合わけすると言う方法でもいいのでしょうか？
どういう意味でしょうか, f′(x) は二次函数なので極値は必ず持ちます. f(x) が極値を持つかどうかということであれば, bone さんの仰るもう一つのやり方との差異がわかりません.

> どちらの方がこれから難問などといていくに当たり対応しやすいでしょうか？
一般論で言えば, 難問に対応したいならば, 一つの方法に絞るのではなく, さまざまなアプロ－チを試せるようにしておいたほうがいいです. 一発撃って外れたらもう打つ手が無いというのは, 玉砕の可能性が高まります.

No.11552 - 2010/09/15(Wed) 17:04:16

☆ Re: 三次関数の実数解 / bone

x^3-3ax^2+4aでした。
次数が大きく間違っておりすみませんでした！

まず一般的？と思うのが、(f(x))’＝０はｘ＝０，２aとでてくるので、この二つが等しいとき極値を持たず実数解一つ
等しくない場合は極値の符号で場合わけ

という方法です。

私が考えたのは二次にした微分の方程式をとかずにDで場合わけして、（Dで極値の有無が調べられる）実数解を考えていく
というものです。

極値で場合わけした所で実数解の個数とは異なるために再度色々考えることになるので少し遠回りなのかもしれないですが・・・＞＜
とりあえずD≦０であれば極値を持たないので実数解は一つのみと絞ることができました。

拙い説明で申し訳ありませんがお願いします。

No.11556 - 2010/09/15(Wed) 17:39:32

☆ Re: 三次関数の実数解 / angel

> 等しくない場合は極値の符号で場合わけ

そんなboneさんには、これを進呈しましょう。

　f(α)とf(β)が異符号 ⇔ f(α)・f(β)＜0

f(0), f(2a) のどちらが極大/極小かは分かりませんが、x軸をはさんで極が逆の領域にあれば、それで方程式は3実数解を持つわけですから、f(0)・f(2a)＜0 を解けば必要十分。

ちなみに、f(0)・f(2a)=0 ( a≠0 ) の場合、どちらかの極でx軸と接するので、いずれにせよ、重解+異なる実数解となります。

ちなみに、一般の3次方程式 px^3+qx^2+rx+s=0 ( p≠0 ) に関しては、
D=27(27p^2s-9pqr+q^3)^2 + 4(9pr-q^2)^3
に対して、
・D＜0 … 異なる3実数解
・D=0 … 3重解もしくは、重解+異なる実数解 ( 3重解は 9pr-q^2=0 のみ )
・D＞0 … 1実数解+共役複素数解
となります。…覚えてもしようがないですけど。
※面倒なので、普通は x^3+px+q=0 で考えて、D=27q^2+4p^3 でしょうけど。

No.11561 - 2010/09/15(Wed) 23:58:43

☆ Re: 三次関数の実数解 / bone

ご回答有難うございます。
f(α)とf(β)の掛け算の符号による場合わけというのは、私が１１５５６の記事で書いた最初の方法でとりました。

angelさんの最後の方法は三次方程式のDでしょうか？
受験数学ではおそらく未だ見たことないです・・・
結局１１５５６の記事の後者のほうでは（微分した二次方程式のDの場合わけ）上手いやり方とはいえないのでしょうか・・・？

No.11563 - 2010/09/16(Thu) 02:22:40

☆ Re: 三次関数の実数解 / angel

boneさんのおっしゃる場合分けは、

　2次方程式 f'(x)=0 の判別式 D に対して
　(1) D＜0 … f(x)=0 の解は1実数解と共役複素数解
　(2) D=0 … f(x)=0 の解は3重解または、1実数解と共役複素数解
　　→ いずれにしても、実数解は1種類
　(3) D＞0 の場合、f'(x)=0 の解をα,β として、
　　(3)-1 f(α)f(β)＜0 … f(x)=0 の解は3実数解
　　(3)-2 f(α)f(β)=0 … f(x)=0 の解は重解と異なる実数解
　　(3)-3 f(α)f(β)＞0 … f(x)=0 の解は1実数解と共役複素数解

ということでしょうか?
これはこれで、勿論正しいですよ。

ただ、今回の問題では、f'(x)=0 の D を計算するまでもなく、f'(x)=0 の解が分かりますから、敢えて計算する意味は薄いかな、と。

では、一般の問題として、f'(x)=0 の解が簡単に求まらない場合。
その時は勿論 D を計算することになるでしょうが、(3)あたりの計算が大変過ぎるので、あまりそういう問題を解く機会はないでしょうね。

> angelさんの最後の方法は三次方程式のDでしょうか？
> 受験数学ではおそらく未だ見たことないです・・・
ええ、出ないですから。覚える必要もないです。
ただ、単純な形 x^3+px+q=0 であれば、解の個数とその条件は自力で計算できると思います。

No.11583 - 2010/09/17(Fri) 22:28:36

☆ Re: 三次関数の実数解 / bone

お返事が遅くなってすみません。
よくわかりました、これからも適宜考えていこうと思います。。。。
ありがとうございました。

No.11650 - 2010/09/22(Wed) 03:24:15

★ ラジアンってなに？ / mazenda

はじめまして。高３の数学?Vの問題で質問させてください。
f(x)=x+2cosx (0≦x≦π)の最大値、最小値を答えよという問題です。
微分したf(x)=1-2sinxで　増減表より
f(0)=2
f(Π／6)=(Π／6)+3
f((5/6)π)=(5/6)π-√3
f(Π)=π-2　　のそれぞれの値が求まった後　大小比較して
最大値と最小値きめるのですがその先がわかりません。

（Π／6)+3＞π-2
　(5/6)π-√3>2 .........?@
と解答はなっていて

（Π／6)+3が最大値
　(5/6)π-√3が最小値

?@の大小比較が全くわかりません。
ラジアン＋実数がなにをあらわすんでしょうか？
（これが一番の疑問です。）
どうやったら大小が比較できるのでしょうか？
よろしくおねがいします。

No.11538 - 2010/09/14(Tue) 23:11:46

☆ Re: ラジアンってなに？ / ToDa

(5/6)π-√3 ≒ (5/6)×3.141592 - 1.7320508なので……
というのでは答えにはなりませんかね？

---
三角関数の微分まで進んでいるということは、それまでの段階で弧度法を学んでいるということになります。

弧度法が出てくるまでは、角度は度数法で表していました。それまでの三角関数というものは、sin30°だのcos120°だの、度数法で表された角度を定義域として持つ関数でした。

ところが、弧度法というものが登場した時に、sin(π/6)だの、cos(2π/3)だの、「°」の記号が付かないただの実数値を三角関数の定義域として使ってもよいということになったわけですが、なんで今まで「°」を使うように約束されていたルールを無視してもいいのか、という疑問は湧きませんでしたか？　そうでなくても、なんで弧度法なんて新しいものを持ち出す必要があるのか、とは思いませんでしたか？　(思いませんでした、と言われたら困るのですが…)その疑問はどうやって解決しましたか？

＃分かり辛いようでしたら、この書き込みは丸ごと無視しちゃってください。

No.11540 - 2010/09/15(Wed) 00:06:14

☆ todaさん返答ありがとうございます。 / mazenda

πは3.14をすっかりわすれていました。
あとラジアンって単位が混乱のもとなのは間違いありません。

返信にあったような疑問がどんどんふくらみます。
角度（°）が実数値に置き換わった変遷がぜんぜんわかりません。

もしヒントがおありでしたら、ぜひアドバイスおねがいします。
自分でもグーグルで調べようとおもいます。

No.11543 - 2010/09/15(Wed) 00:37:13

☆ Re: ラジアンってなに？ / angel

こんな図ではいかがでしょう。
角度θの単位は、勿論ラジアン(rad)です。

一緒に出てくる r というのは、意味的には「長さ」
2 というのは、2倍の2ですから、意味的には倍率とか割合とか比とか。
と考えると、2 と足し算しているθの位置づけが見えてこないでしょうか。

No.11558 - 2010/09/15(Wed) 21:56:37

★ 区分求積 / 匿名

151の問題なのですが、
全く解き方がわかりません…

宜しくお願いします。

No.11531 - 2010/09/14(Tue) 19:08:26

☆ Re: 区分求積 / ヨッシー

1+2+･･･+n＝n(n+1)/2
1^4＋2^4＋･･･n^4＝n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)/30
より、
　(与式)＝lim 900n^5(n+1)^5/32n^2(n+1)^2(2n+1)^2(3n^2+3n-1)^2
　　＝lim 225n^3(n+1)^3/8(2n+1)^2(3n^2+3n-1)^2
分母子とも６次なので、６次の項の係数だけ抜き出すと、
　(与式)＝225/(8・4・9)＝25/32

No.11534 - 2010/09/14(Tue) 22:12:42

☆ Re: 区分求積 / angel

一応、「区分求積」というヒントがありますので、積分を使った形で。

良くある添付の図のような形で、短冊状の長方形の面積の和は、積分値に近づいていきます。つまり、

　lim 1/n・( f(a+1/n) + f(a+2/n) + … + f(a+k/n) + … + f(a+n/n) ) = ∫[a,a+1] f(x)dx

今回の問題では、分母・分子とも n^10 で割ってやると、
　(分母)÷n^10 = ( 1/n・( (0+1/n)^4 + (0+2/n)^4 + … + (0+n/n)^4 ) )^2
　(分子)÷n^10 = ( 1/n・( (0+1/n) + (0+2/n) + … + (0+n/n) )^5
となり、いずれも積分を用いた値に収束するため、

(与式)
= lim(分子÷n^10)/lim(分母÷n^10)
= ( ∫[0,1] xdx )^5 / ( ∫[0,1] x^4dx )^2

と計算できます。

No.11536 - 2010/09/14(Tue) 22:49:51

☆ Re: 区分求積 / 匿名

ご説明ありがとうございます！

1つ目の解法の方で
1^4＋2^4＋･･･n^4＝n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)/30
とありますが、これはどのように出したものなのでしょうか?

また、2つ目の方で｢分母・分子とも n^10 で割る｣
とありますが、これに気づくコツ(?)のようなものはありますか…?

No.11539 - 2010/09/14(Tue) 23:44:01

☆ Re: 区分求積 / ToDa

＞1つ目の解法の方で
＞1^4＋2^4＋･･･n^4＝n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)/30
＞とありますが、これはどのように出したものなのでしょうか?

とりあえずヒント。

数列の項で、
1^2 + 2^2 + … + n^2 = n(n+1)(2n+1)/6
という公式を習いますが、さて、これはどのように証明したか覚えていますか？　それの応用です。

No.11541 - 2010/09/15(Wed) 00:10:51

☆ Re: 区分求積 / angel

> 気づくコツ(?)のようなものはありますか…?
「区分求積法」とあるので、1/n・f(a+k/n) の形を作るのが、コツと言えばコツでしょうか。なお、問題によっては、細部が変わってくることも。( 1/n・f(a+(k-1)/n) とか )

今回は、1^4+2^4+…+n^4 の形を見て、

　1^4+2^4+…+k^4+…+n^4　　※一般化のため、kを勝手に追加
　= n^4・( (1/n)^4+(2/n)^4+…+(k/n)^4+…+(n/n)^4 )
　= n^5・1/n・( (1/n)^4+(2/n)^4+…+(k/n)^4+…+(n/n)^4 )

といった感じ。

No.11542 - 2010/09/15(Wed) 00:17:07

★ ベクトル / bone

こんばんは。
すみませんが質問お願いします。

ベクトルabに対してOP→＝sa→+tb→(s,tは実数)と定める

(1)-1≦ｓ≦２、０≦ｔ≦１のとき、点Pの存在範囲を図示せよ

ｓ、ｔの射交座標を使ってとこうとし、s、tをたて、横にその範囲で動かした座標平面は単純にマス三つ分の範囲だと考えてしまいましたが、答えは全く異なるようです。（図示した図を載せられず、言葉足らずでわかりにくいかもしれませんが・・・）
どういう風に用い、考えればいいのでしょうか？
斜交座標について書いてある参考書が少なく調べられませんでした。
よろしくお願いします。

No.11524 - 2010/09/13(Mon) 23:20:30

☆ Re: ベクトル / シンジ

あっていると思いますよ。

特にa = (1, 0), b = (0,1)の場合が直交座標系で、sをx, tをyと置き換えればいつものxy座標平面ですね。

No.11527 - 2010/09/14(Tue) 04:16:13

☆ Re: ベクトル / ヨッシー

こんな風になっていればＯＫです。

No.11528 - 2010/09/14(Tue) 06:09:54

☆ Re: ベクトル / bone

ありがとうございます。
私はヨッシーさんの図形のs、tを逆にした形を答えとしてしまったのですが、それでもよいのでしょうか？（ｓをx軸方向、tをy軸方向にとりました。）
ちなみに答えはこれです。
第四象限のようなところにも領域が食い込んでいるので、私が考えた図とは異なるなあと思いました。（私はこの正答の領域をちょっとずらして１，２象限にかかるようにした形だと思いました）

No.11529 - 2010/09/14(Tue) 11:34:04

☆ Re: ベクトル / ast

図はよく見えないんですが, 二つのベクトル a, b の直交座標系に関する成分が与えられているようなので, それを提示してもらったほうが皆さん答えやすいと思います.

> s、tを逆にした形
a, b を逆にしたならともかく, a, b はそのままで s, t を逆にしてたのならまずいですね.

# どうでもいいことではあるんですが「質問お願いします。」という表現に何か違和感を覚えるのは私だけでしょうか……^^;

No.11530 - 2010/09/14(Tue) 15:13:44

☆ Re: ベクトル / bone

ご回答ありがとうございます。

質問お願いします。というのはあった方が丁寧でいいと思っていましたが、簡素なほうがいいというのであればこれから気をつけたいと思います。

つまり答えは斜交座標で表した図はヨッシーさんの図を横のしたような平行四辺形の形になるようです。この領域を直交座標にそれをそのまま表した感じなので、平行四辺形の底辺がX座標に沿うのではなく斜めになっていて、何故X軸に沿うような形にならないのかと疑問なのです。
例えば一番左下に来ると思われる点は（-1,o）なのでその点をｘ座標にそのままとるのではないかと思ったのです。回答は(－1，1)辺りが一番左下の点になっています。
疑問点の説明が上手く伝わるといいのですが・・・

よろしくお願いします。

No.11546 - 2010/09/15(Wed) 11:48:02

☆ Re: ベクトル / ast

> 何故X軸に沿うような形にならないのかと疑問なのです。

斜交座標という概念自体について bone さんは思い違いをされているような気もしますが, 勝手なベクトル a, b が与えられて斜交座標系 "だけ" を考えているのなら「直交座標系との相互の関係は気にしません」のでシンジさんやヨッシーさんのようなお答えがでるのが普通です. もともとの直交座標と原点がどのようになっていたとしても, 斜交座標だけをもちいた記述であれば関係ありません, 原点も新たに取り直せます.

しかし, bone さんは "斜交座標と直交座標の相互関係" のほうを問題にしておられるので, その問題の設定では a, b が直交座標のどこにあるべきかはあらかじめ決まっているという可能性も高く, それは bone さんに明らかにしていただかないと, それ以上の検討は進みません.
# No.11529 の図は小さすぎてまったく読めないです.

再度お伺いします, bone さんの口ぶりだと "二つのベクトル a, b の直交座標系に関する成分がもともと与えられている" としかおもえないのですが, そのような記載はあるか確認して教えてください. あるいはそのような記述が見当たらない場合, ベクトル a, およびベクトル b がどのように与えられているか教えてください.

> 質問お願いします。というのはあった方が丁寧でいいと思っていましたが、
> 簡素なほうがいいというのであればこれから気をつけたいと思います。

いえ, そういう意味ではなく「質問お願いします」だと, 恐らく何らかの文章が省略されてしまった結果だとは推測できるものの, その文面どおりに受け取ると「質問をしてください」という意味になるのではないか, 実際には「回答 (あるいはアドバイス) をお願いします」あるいは「質問 (あるいは疑問) があるので回答お願いします」というような表現が用いられる場面ではないのだろうか, というような意味です.

No.11549 - 2010/09/15(Wed) 16:40:47

☆ Re: ベクトル / bone

astさん、ご丁寧に有難うございました。
ご指摘のことがわかりました！
今回問題文をよく見たら隣に図があり、概念的なベクトルではなくしっかり与えられていましたので直交座標との相互関係を考えなければいけなかったのですね。

一応写真を拡大してみました。今度は見れるといいのですが・・・

(1)は理解できました。
(２)ですが、今度はs+０，５t＝１、０≦ｓ、０≦ｔを斜交座標で表すことはできるのですがそれをこの直交座標に適応するにはどうやったらいいのでしょうか？なんだか混乱してよくわかりません。
すみませんがお願いします。

文について
成程です。
そういうことだったんですね。
明らかに日本語の省略がありました。
これから改めます！

No.11554 - 2010/09/15(Wed) 17:29:21

☆ Re: ベクトル / bone

自分で考えた斜交座標の画像はこれです。
これを直交座標に適応したいのですが・・・

No.11555 - 2010/09/15(Wed) 17:31:13

☆ Re: ベクトル / ast

No.11555 を見る限り点の軌跡自体はきちんとわかっているようですから, 後は単に "点を位置ベクトルで表す" ことを復習するのが肝要ではないでしょうか.

本問 (2) は a を位置ベクトルとする点を A, 2b を位置ベクトルとする点を B とおけば (要するにベクトル a, 2b の終点にそれぞれ A, B と名前を付ければ), P は二点 A, B を内分する点ですから, お示しの軌跡は線分 AB となるはずです.

No.11557 - 2010/09/15(Wed) 18:11:40

☆ Re: ベクトル / bone

多分わかりました。
単にベクトルの位置に直して適応させてみればよいのですね。
長々とありがとうございました！

No.11562 - 2010/09/16(Thu) 02:18:08

★ 直線の通過領域 / bone

質問お願いします。

文字ｔを含む直線ｌ：y=(1-2t)x+t^2がある。tが０≦ｔ≦１の範囲で変化するときこの直線ｌが通過する領域をxy座標平面状に図示せよ。

まず、ｔについての方程式にし
t^2-2xt+x-y=0
これが0≦ｔ≦１の間に実数解を持てばよい。とし
ここから計算する際
実数解の個数で場合分けで
二個もつ場合の条件が
D>0
0<軸<1
とt＝0，1のとき方程式≧０
の条件だと思うのですが、イコールが軸と判別式の条件どちらにもつくようなのです。
二個の場合はつかないと思うのですが・・・
何故つくのでしょうか？

また、この実数解の個数の場合わけ以外にも何かやり方はあるのでしょうか？
すみませんがお願いします。

No.11506 - 2010/09/12(Sun) 14:50:12

☆ Re: 直線の通過領域 / ヨッシー

t^2-2xt+x-y=0
の解は２つありますね。虚数解であるときは、論外として、
それ以外のときで、
1) 重解も含めて、解が両方とも 0≦ｔ≦1 にある。
2) 一方が 0≦ｔ≦1 で、一方が、ｔ＜0 またはｔ＞1
とに分けているのではないでしょうか？

1) をさらに、異なる２解の場合と、重解の場合に分けても良いでしょうが、
結局「＝」が入る入らないの違いでしょうから、分けていないのだと思います。

No.11507 - 2010/09/12(Sun) 15:43:54

☆ Re: 直線の通過領域 / angel

> 何故つくのでしょうか？

場合分けの流儀は、結構色々あるので、慎重に見ないといけません。
途中の論理に不整合がなく、かつ、最終結果が同じになるのであれば、それもそれで「正解」なのです。

> 二個もつ場合の条件が
> D＞0
> 0＜軸＜1
> とt＝0，1のとき方程式≧０
> の条件だと思うのですが、イコールが軸と判別式の条件どちらにもつくようなのです。
> 二個の場合はつかないと思うのですが・・・

もし、「異なる2実数解」を持つ条件と明言した上で、軸や判別式の条件の不等号として≦や≧を使用しているのであれば、明確な誤りです。減点は免れないでしょう。
しかし、「2実数解もしくは重解」等々、まとめやすい単位でまとめてしまった結果であれば、≦や≧も考えられる所です。
そこは、解答に書いてある文言を注意深く見直してみましょう。

※ずるい言い方をすれば、「～の時の条件は…、～の時の条件は…、・・・」という解答だと対応にズレがあると減点の的になりますが、「条件…、もしくは条件…、・・・」と言えば、総合的にあっていればO.K.という事になります。

No.11509 - 2010/09/12(Sun) 21:53:11

☆ Re: 直線の通過領域 / angel

お騒がせしてすいません。
ウソを含んだ内容だったので、書き直しました。

> また、この実数解の個数の場合わけ以外にも何かやり方はあるのでしょうか？

解の個数が違うと、条件にも大きな差が出ますから、この観点での場合分けは必須です。
ただ、どのように分かり易く、かつ計算し易く場合分けするか、は、工夫の余地があると思います。

以下は私の好みになりますが…

もともとの条件 0≦t≦1 というのは、= を含んだ不等号があり、条件として結構厄介なので、
　・t=0 もしくは t=1 の解を持つ
　・t=0,1 の解を持たず、0＜t＜1 の解を持つ
と分離するのが吉。

そうすると、場合分け第一弾としては、f(t)=t^2-2xt+x-y と置いて表現すると、

　1. t=0 もしくは t=1 の解を持つ ⇔ f(0)=0 もしくは f(1)=0 ⇔ f(0)・f(1)=0
　2. t=0,1 の解を持たず、0＜t＜1 の解を持つ

= を含まない不等号になれば、あまり悩む必要はなくて、

　1. f(0)・f(1)=0
　2.1. t=0,1の解を持たず、0＜t＜1 では重解でない1解のみを持つ ⇔ f(0)・f(1)＜0
　2.2. 0＜t＜1 の重解を持つ ⇔ D=0 かつ 0＜軸＜1
　　※f(0)＞0, f(1)＞0 は自動的に満たされる
　2.3. 0＜t＜1 の2解を持つ ⇔ f(0)＞0 かつ f(1)＞0 かつ D＞0 かつ 0＜軸＜1

意味的には、この4通りの場合分けで過不足・重複はありません。
後は、やらなくても良いですが、数式的に似たような条件をまとめるなら、
　1. および 2.1. … f(0)・f(1)≦0
　2.2. および 2.3. … f(0)＞0 かつ f(1)＞0 かつ D≧0 かつ 0＜軸＜1
と、最終的に2通りにまで絞れます。
※2.2.と2.3.をまとめることができるのは、2.2.の条件が、暗黙の内に f(0)＞0, f(1)＞0 を含んでいるからです。
※勿論、最初から2.2.と2.3.を場合分けせずに、まとめて「0＜t＜1 に2解もしくは重解を持つ」という条件にしてしまっても構いません。

No.11511 - 2010/09/12(Sun) 22:16:34

☆ Re: 直線の通過領域 / ToDa

＞この実数解の個数の場合わけ以外にも何かやり方

直線lは、曲線y=x-x^2の点(t,t-t^2)における接線であることに注目してみるのはどうでしょう。

No.11513 - 2010/09/12(Sun) 22:57:35

☆ Re: 直線の通過領域 / bone

みなさん沢山有難うございます。

ヨッシーさんの方法は今までよく載っていた書き方でした！ありがとうございます！

angelさんの方法は条件をイコールの持つ持たないで分けてしまうのは全く思いつかなかったです。楽そうな気がします。
?Aの条件はまとめて
D≧０
０＜軸＜１
f(0)>0
f(1)>0
でいいでしょうか？？

また、※ずるい言い方をすれば、「～の時の条件は…、～の時の条件は…、・・・」という解答だと対応にズレがあると減点の的になりますが、「条件…、もしくは条件…、・・・」と言えば、総合的にあっていればO.K.という事になります。
というのはどういう意味でしょうか？
私は上のほうの表現を使いがちなので、知らず知らずに減点受けているかもしれません。
教えてほしいです。

Todaさんの考え方はちょっとわかりませんでした、すみません。

No.11515 - 2010/09/13(Mon) 00:37:25

☆ Re: 直線の通過領域 / ToDa

詳しくは「包絡線」あたりの単語で検索していただくとして…

直線lはどうせ何かの接線にでもなるのだろうと見当を付けて計算してみれば、曲線y=x-x^2の点(t,t-t^2)における接線となることが分かるので(この辺、ちょっと乱暴な考え方ですが)、y=x-x^2を描いてみたうえでtをいろいろ動かしてみれば、

のようになるので、求める領域はだいたい見当が付きます。もちろん答案に書く上ではその辺はきっちりと詰めなければなりませんが。

また別の方法として、xを固定した上でtを動かし、yのとりうる範囲を求めてみる、というのもありますね。

No.11516 - 2010/09/13(Mon) 08:56:51

☆ Re: 直線の通過領域 / bone

TODAさん
わかりました。
ご丁寧に有難うございました。
xを固定した上でtを動かし、yのとりうる範囲を求めてみる
というのはやってみますね。

angelさんの記述に関してはどなたかおわかりにならないでしょうか？？

No.11521 - 2010/09/13(Mon) 22:51:02

☆ Re: 直線の通過領域 / angel

> angelさんの記述に関してはどなたかおわかりにならないでしょうか？？

ああ、あまり深く考える必要はないですよ。あんまり大した事ではないので。
例えば、図のような条件があったとして。

これを場合分けする場合、A,Bの2通りで場合分けしても、A,Cの2通りで場合分けしても良いのですが…

O.K.な例その1
　1. Aの場合
　　A(x)=0 より、x=1,2
　2. Bの場合
　　B(x)=0 より、x=2,3
　よって、題意を満たす x は、x=1,2,3

O.K.な例その2
　1. Aの場合
　　A(x)=0 より、x=1,2
　2. Cの場合
　　C(x)=0 より、x=3
　よって、題意を満たす x は、x=1,2,3

N.G.な例
　1. Aの場合
　　A(x)=0 より、x=1,2
　2. Bの場合
　　C(x)=0 より、x=3　　← 条件Bとその時の方程式C(x)=0が不一致
　よって、題意を満たす x は、x=1,2,3

ずるい例 ( でもO.K. )
　1. A(x)=0 の場合
　　x=1,2
　2. C(x)=0 の場合
　　x=3
　よって、題意を満たす x は、x=1,2,3

全部、最終的な答えは合っていますが、N.G.の例は部分的に説明にウソがあるので減点対象になります。
例えば、今回の問題なら、
　tが0≦t≦1に2解を持つ
　⇔ f(0)≧0かつf(1)≧0かつD≧0かつ0≦軸≦1
とか書いたら、部分的にウソなのでN.G.
でも、数式で条件を書いているだけなら、「2解を持つ」と名言しなければ、他の条件との組み合わせがちゃんとしていればO.K.
とはいえ、数式の意味する所を説明していないので、「ずるい」と表現しています。( ダメとは言わないけど、説明不足と取られる可能性はあるので注意 )

結局何が言いたいかと言うと、
・場合分けする場合には、自分の分類した各状況と、それを表す数式条件はちゃんと一致させましょう
　※数式だけしか書かなければ、ちょっとズルいけど、ボロを出す可能性は減るかも。その代わり、説明不足と取られる可能性は増えるかも。
・解答例等で、数式しか書いていない場合は、それがどういう意味を持つかは、あせって決め打たずに、じっくり吟味しましょう
ということです。

※実は、No.11511を最初に書いたとき、場合分け 2. や 2.1. で「t=0,1 の解を持たず」という文言を抜かしていたので、正にN.G.な例を自分で作ってしまっていました。なんで、訂正したのですが、まあ、あまり偉そうな事は言えなかったりします。

No.11525 - 2010/09/14(Tue) 01:04:43

☆ Re: 直線の通過領域 / bone

成程ご丁寧にどうもありがとうございました！
最後に聞きたいのですが、前の前の記事の
?Aの条件はまとめて
D≧０
０＜軸＜１
f(0)>0
f(1)>0
でいいでしょうか？？
ということに関しての答えをいただけると嬉しいです。
宜しくお願いします。

No.11526 - 2010/09/14(Tue) 02:08:57

☆ Re: 直線の通過領域 / angel

> ?Aの条件はまとめて …(中略)… でいいでしょうか？？

iiというのが何処を指しているのかがちょっと分からないのですが、私が分類した中で 2.2. と 2.3. に当たる部分は、boneさんの提示した形の条件にまとめられますよ。
No.11511 の最後の方で、その点に触れていますが、その事で良いでしょうか?

No.11533 - 2010/09/14(Tue) 22:03:57

★ 確率最大最小 / bone

こんばんは。
すみませんが質問お願いいたします。

１～6までの目が等しい確率で出るさいころを４回投げる試行を考える。
?@出る目の最小値が１である確率を求めよ
?A出る目の最小値が１でかつ最大値が6である確率を求めよ

?@は１－（5/6)^4で解けました。
?Aは同じような方法でときたいのですがどうやったらいいのでしょうか？

よろしくお願いします。

No.11493 - 2010/09/11(Sat) 22:36:39

☆ Re: 確率最大最小 / angel

こんな表を書いてみましょうか。( 添付の図を参照 )
なお、赤字部分は他から導き出すところです。
表中のαを計算することで、?@の答え 1-α が出せているので、
同じようにβ,γを計算してあげれば、?Aの答え 1-α-β+γ が出せます。
β,γとも、αとほとんど同じやり方で。
なお、?Aは全パターン調べてもそんなに手間ではないです。結果の確認がてら、調べてみても良いでしょう。

No.11494 - 2010/09/11(Sat) 23:04:45

☆ Re: 確率最大最小 / bone

ありがとうございます図は理解できました。
しかしγはどうやってだすのでしょうか？
2～5からのみ選ぶということで（4/6）^4でしょうか？

No.11501 - 2010/09/12(Sun) 09:21:51

☆ Re: 確率最大最小 / ヨッシー

>2～5からのみ選ぶということで（4/6）^4でしょうか？
それで良いと思います。

No.11502 - 2010/09/12(Sun) 09:30:25

☆ Re: 確率最大最小 / bone

できました！
どうもありがとうございました。
また、今回の問題はこうやって表にしてとくのが一番簡単でしょうか？
違う方法もあるのでしょうか？
良ければ教えてください。

No.11505 - 2010/09/12(Sun) 14:39:37

☆ Re: 確率最大最小 / ヨッシー

余事象を何度となく使いますので、混乱しないように
表を書くなり、図に描くなりするのが良いでしょう。
計算自体は、この方法が一番楽でしょう。

例えば、
１が１回、６が１回、他が２回
１が２回、６が１回、他が１回
１が３回、６が１回
１が１回、６が２回、他が１回
１が２回、６が２回
１が３回、６が１回
で場合わけして、求めるというような方法もありますが、
やめたほうがいいでしょう。

No.11508 - 2010/09/12(Sun) 17:29:30

☆ Re: 確率最大最小 / bone

本当に余事象多くて混乱します・・・
わかりました、ありがとうございました！

No.11514 - 2010/09/13(Mon) 00:15:24

★ 数列 / ぬめぬめ

初項0、公差-2の等差数列を考える。
連続して並ぶ2n+1項のうち、初めのn+1項の和が、
次のn項の和に等しければ2n+1項のうちの中央の項は
（　　　）である。

答えは-2n^2-2nでしたが、どうしてこうなるのか分かりません。よろしくお願いします。

No.11488 - 2010/09/11(Sat) 18:12:57

☆ Re: 数列 / らすかる

求める項の値をkとおくと
初めのn+1項の和は (k+2n)+(k+2n-2)+…+(k)=(k+n)(n+1)
次のn項の和は (k-2)+(k-4)+…+(k-2n)=(k-n-1)n
これが等しいので…

No.11489 - 2010/09/11(Sat) 18:38:57

☆ Re: 数列 / angel

オーソドックスに行くなら、答として求めるべき「中央の項」を x とでも置いて、方程式を立てましょう。

で、どんな状況になっているか、具体的に小さな n で確かめてみるとして、n=3 の例を考えてみましょう。
公差は -2 で、中央の項 x を挟んで 3項ずつあるので、

　x+2×3, x+2×2, x+2×1, x, x-2×1, x-2×2, x-2×3

の7項がまずあります。
初めのn+1項とは、x+2×3～x なので、その合計は、
　1/2 × ( (x+2×3) + x ) × (3+1)
です。( (初項+末項)×項数÷2 )
一方、次のn項とは、x-2×1～x-2×3 なので、その合計は、
　1/2 × ( (x-2×1) + (x-2×3 ) × 3
この2通りの和が等しいということなので、求める方程式は、
　1/2×((x+2×3)+x)×(3+1) = 1/2×((x-2×1)+(x-2×3))×3
です。これで x が分かります。

これは、n=3に限定したお話なので、一般のnに対して同じように考えて方程式を立てれば良い、ということです。

No.11490 - 2010/09/11(Sat) 18:43:29

☆ Re: 数列 / ヨッシー

算数的に解くなら、
中央の項は、第n+1項で、これは初めのn+1項に属します。
これを除いた、第1項から第n項までと、後半の、第n+2項から第2n+1項の
それぞれｎ項ずつを比較すると、
　第n+2項は第1項より 2(n+1) 小さいです。
　第n+3項は第2項より 2(n+1) 小さいです。
　第n+4項は第3項より 2(n+1) 小さいです。
　　・・・
　第2n+1項は第n項より 2(n+1) 小さいです。
よって、第n+2項から第2n+1項の和は、第1項から第n項までの和より
　2(n+1)×n
小さいです。この分を、第n+1項で帳消しにしているので、
第n+1項は、　－2(n+1)×n　となります。

公差がマイナスなので、ややこしいですが、イメージは、
公差プラス２として考えればいいでしょう。

No.11491 - 2010/09/11(Sat) 21:34:20