３つの文字（ｘ、ｙ、ｚ）について対称式か交代式かの見極め方を教えて下さい。
とある書物に「ｘ、ｙ、ｚの対称式とはｘ、ｙ、ｚの多項式でｘ、ｙ、ｚを入れ替えても変わらない式のことです。
例えばxy^2z+xyz^2+x^2yzは対称式です。この式で、ｘ→ｙ、ｙ→ｚ、ｚ→ｘと入れ替えてみましょう。
xy^2z+xyz^2+x^2yz・・?@→yz^2x+yzx^2+y^2zx・・?Aとなります。和の順序を入れ替えれば?@＝?Aとなります。」
とあります。しかし、交代式である(x-y)(y-z)(z-x)・・?Bをｘ→ｙ、ｙ→ｚ、ｚ→ｘと入れ替えてみても
(y-z)(z-x)(x-y)・・?C=(x-y)(y-z)(z-x)となりこれまた?B＝?Cとなってしまうのです。
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No.13614 - 2011/04/30(Sat) 18:24:49
| ☆ Re: 対称式 / rtz | | | 普通、対称式とか交代式は、
2文字間の入れ替えについて定義していると思いますが…？
(xとyだけ入れ替える、yとzだけ入れ替える、など)
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No.13616 - 2011/04/30(Sat) 19:40:12 |
| ☆ Re: 対称式 / まるこー | | | ならば３つの文字について対称式か交代式か見極めるにはどうしたらよいのですか？
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No.13618 - 2011/04/30(Sat) 23:26:55 |
| ☆ Re: 対称式 / シャロン | | | 3つ(以上)の文字のどの2文字についても対称的(交代的)であれば、対称式(交代式)
ex.
(x-y)(y-z)(z-x)では、xとyのみを入れ替えた場合、yとzのみを入れ替えた場合、zとxのみを入れ替えた場合、いずれも符号が代わるだけなので、交代式。
(x+y)(y+z)(z+x)では、xとyのみを入れ替えた場合、yとzのみを入れ替えた場合、zとxのみを入れ替えた場合、いずれも同じ式なので、対称式。
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No.13620 - 2011/05/01(Sun) 07:20:00 |
| ☆ Re: 対称式 / まるこー | | | No.13637 - 2011/05/01(Sun) 22:00:46 |
| ☆ Re: 対称式 / シャロン | | | 式f(x,y,z)がx,yについて対称式であり、x,zのについても対称式なら、
f(x,y,z)=f(y,x,z)=f(z,x,y)=f(x,z,y)からyとzについても対称式であるといえる。
式f(x,y,z)がx,yについて交代式であり、x,zのについても交代式なら、
f(x,y,z)=-f(y,x,z)=f(z,x,y)=-f(x,z,y)からyとzについても交代式であるといえる。
つまり、3つの文字については2とおりについて対称式/交代式であるかをしらべればよい。
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No.13639 - 2011/05/02(Mon) 14:51:24 |
| ☆ Re: 対称式 / まるこー | | | f(x,y,z)=f(y,x,z)=f(z,x,y)=f(x,z,y)からyとzについても対称式
f(x,y,z)=-f(y,x,z)=f(z,x,y)=-f(x,z,y)からyとzについても交代式
をもう少し詳しく教えて下さい。というかこの式の説明を御願いしたいです。
例）f(x,y,z)=f(y,x,z)はｘとｙについての対称式でｘ、ｙを入れ替えたことを表しているのは分かりますが＝f(z,x,y)がどこから来たのかが分かりません。交代式の=f(z,x,y）となる理由も分かりません。
よろしく御願いします。
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No.13641 - 2011/05/02(Mon) 17:39:40 |
| ☆ Re: 対称式 / まるこー | | | No.13642 - 2011/05/04(Wed) 01:22:26 |
| ☆ Re: 対称式 / ヨッシー  | | | f(x,y,z) が、xとy について対称式だとすると、
f(x,y,z)＝f(y,x,z)
が成り立ちます。
※f(x,y,z)＝(x+y)(y+z)(z+x) とすると、f(y,x,z) は、x と y を入れ換えた
f(y,x,z)＝(y+x)(x+z)(z+y)
を示します。確かに、f(x,y,z)＝f(y,x,z) ですね。
同様に、x と z についても対称式だとすると、
f(z,y,x)＝f(x,y,z)
です。
これを踏まえ、
f(x,y,z)=f(y,x,z)=f(z,x,y)=f(x,z,y)
を見直すと、
f(x,y,z)=f(y,x,z) は、x と y の入れ換え
f(y,x,z)=f(z,x,y) は、x と z の入れ換え(※)
f(z,x,y)=f(x,z,y) は、再び x と y の入れ換え
をおこなった変形と言うことがわかります。そして、
f(x,y,z)=f(x,z,y)
であることから、y と z を入れ換えた式も、元の式と等しく、
y と z についても対称式であると言えます。
※ここでいう「x と z の入れ換え」は、文字x と文字z を
入れ換えて、
f(y,x,z)→f(y,z,x)
とすることではなく、f(x,y,z) において、ｘの位置にある文字と
ｚの位置にある文字を入れ換える（第1変数と第3変数を入れ換える）
という意味です。
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No.13648 - 2011/05/04(Wed) 06:15:49 |
| ☆ Re: 対称式 / ヨッシー | | | 交代式については、どれか２つの文字を入れ換えると、符号が変わるので、f(x,y,z) に対して、
f(y,x,z)、f(x,z,y)、f(z,y,x)
は、いずれも、−f(x,y,z) に等しくなります。
一方、たとえば、f(y,x,z) にさらに、交換を施した、f(z,x,y) は、
f(z,x,y)＝−f(y,x,z)
となり、元の式からたどると、
f(x,y,z)＝−f(y,x,z)＝f(z,x,y)
となります。
で、一番最初の話に戻ると、
>交代式である(x-y)(y-z)(z-x)・・?Bをｘ→ｙ、ｙ→ｚ、ｚ→ｘと入れ替えてみても
というのは、文字２つの入れ替えを２回おこなっているので、
符号がもどって、元の式に等しくなるのです。
３変数を、循環させた入れ替えは、このようなことになります。
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No.13649 - 2011/05/04(Wed) 06:28:15 |
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