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★ 漸化式と数列 / ビリー
漸化式の問題です。
次の条件によって定められる数列a{n}の一般項を求めよ。

a{1}=2 a{n+1}-a{n}=3n^2+n

◎答え

数列a{n}の階差数列の第n項は３n^2+n
よってn≧２の時
a{n}=a{1}+sum_{k=1}^{n-1}frac(3k^2+k)
までは分かるのですが
ここから
2+3･1/6(n-1)n(2n-1)+1/2(n-1)n
に変換されるわけが分かりません。
公式から考えて
2+3･1/6(n+1)n(2n+1)+1/2(n+1)n
ではないのですか？

よく考えたのですが分かりませんでした。
説明よろしくお願いします。

sumやfracという記号を今回初めて使ったので
間違っていたら申し訳ないです；
No.13250 - 2011/02/23(Wed) 23:29:46
☆ Re: 漸化式と数列 / ヨッシー
それは、ｋを１からｎまで足したときの公式ですね。
階差の場合は、１からｎ−１までなので・・・
No.13251 - 2011/02/23(Wed) 23:38:41
☆ Re: 漸化式と数列 / シャロン
余談ですが、
>sumやfrac
TeXの表記であれば、\sum、\fracと頭に半角の\をつけましょう。

また、\fracは\frac{a}{b}の形でa/bの分数を表しますから、ここでは不要です。
No.13255 - 2011/02/24(Thu) 18:31:32
☆ Re: 漸化式と数列 / ビリー
なんとなく分かりました！！
ヨッシーさんシャロンさんありがとうございます。
No.13287 - 2011/02/28(Mon) 10:35:13
★ (No Subject) / ambitious
３≦2x+y≦４、５≦3x+2y≦６のとき(x+y)/(2x+y)のとりうる値の範囲を求めよ。

答えは[1/4,1]です。線形計画法ではちょっとやれませんでした。どなたか詳しい解説を御願いします
No.13244 - 2011/02/23(Wed) 05:10:25
☆ Re: / シャロン
2x+y=X、3x+2y=Yとおけば、

(x+y)/(2x+y)=(Y-X)/X=Y/X-1です。
No.13245 - 2011/02/23(Wed) 07:51:37
☆ Re: / ambitious
その式変形は理解しました
No.13248 - 2011/02/23(Wed) 15:44:06
☆ Re: / シャロン
Y/X-1=kとおけば、Y=(k+1)Xですから、原点をとおり傾きk+1の直線が領域[3,4]×[5,6]と共有点を持つようなkを求めれば...
No.13249 - 2011/02/23(Wed) 15:56:43
☆ Re: / ambitious
[3,4]×[5,6]とはなんのことですか？
No.13252 - 2011/02/24(Thu) 11:38:21
☆ Re: / シャロン
解り難かったですかね。

3≦X≦4かつ5≦Y≦6で表される領域のことです。
No.13254 - 2011/02/24(Thu) 12:48:28
☆ Re: / ambitious
X,Yが３≦X≦４、５≦Y≦６の範囲の値をどうして勝手に取りうるか教えて下さい。2x+y=X、3x+2y=Yとおくことに抵抗があります。
No.13259 - 2011/02/24(Thu) 22:22:44
☆ Re: / シャロン
>X,Yが３≦X≦４、５≦Y≦６の範囲の値をどうして勝手に取りうるか教えて下さい。

「3≦2x+y≦4、5≦3x+2y≦6」のときとはx,yが2x+y、3x+2yがそういう値をとるように動くといういみですね。
問題で2x+y、3x+2yがそう動くと定義されているのですから、同じ値と定義したX、Yも当然そう動きます。


X、Yを置かなくても、(x+y)/(2x+y)=kがxy平面上で条件を満たす領域(平行四辺形となります)と共有点を持つようなkを求めればいいのです。

(x+y)/(2x+y)=kとは(k-1)y=-(2k-1)xと原点を通る直線を表すことになります。
k≠1では、y={-(2k-1)/(k-1)}xとなり、傾き-{(2k-1)/(k-1)}≧-2/3で、1/4≦k＜1です。
k=1の場合、これはy軸を表し、平行四辺形の頂点(0,3)で共有点を持ちますから、k=1も解となるため、
求めるkの範囲は1/4≦k≦1となります。
No.13260 - 2011/02/25(Fri) 00:11:11
★ (No Subject) / あす
空間図形の問題が苦手で困っています。
どなたか解説よろしくお願いします。


四角錐A-BCDEで、四角形PQRSは底面に平行な平面で切った切り口である。
AP=8,PB=4で、四角錐A-PQRSの体積が16のとき、次の立体の体積を求めよ。

(1)四角錐A-BCDE
(2)立体PQRS-BCDE
No.13235 - 2011/02/21(Mon) 22:55:43
☆ Re: / X
(1)
題意から
四角錘A-PQRS∽四角錘A-BCDE
であり、その相似比は
AP:AB=8:(8+4)=2:3
体積比は相似比の３乗になりますから…
(2)
(1)の結果から四角錐A-PQRSの体積を引きます。
No.13236 - 2011/02/21(Mon) 23:03:12
☆ Re: / シャロン
△ABCと△APQは、BC//PQより、∠ABC=∠APQかつ∠ACB=∠AQPですから、△ABCと△APQは相似です。同様に、△ACDと△AQR、△ADEと△ARS、△AEBと△ASPも相似です。これらの相似比はAB:APになります。
したがって、A-BCDEとA-PQRSも相似で相似比はAB:APですから、体積比は(AB/AP)^3になります。

また、立体PQRS-BCDEは、錐A-BCDEから錐A-PQRSを取り除いたものです。
No.13237 - 2011/02/21(Mon) 23:09:34
☆ Re: (No Subject) / あす
体積比からどのように体積を求めるのですか？
No.13240 - 2011/02/22(Tue) 06:28:02
☆ Re: / ヨッシー
たとえば、立体Ｐと立体Ｑの体積比が
　２：７
で、Ｐの体積が４であれば、Ｑの体積は
　４×（７／２）＝１４
です。

この問題では、
四角錐Ａ−ＢＣＤＥ：四角錐Ａ−ＰＱＲＳ＝２７：８
がわかっていて、四角錐A-PQRSの体積が16 なので、
四角錐Ａ−ＢＣＤＥが出ますね。
No.13241 - 2011/02/22(Tue) 07:06:15
☆ Re: (No Subject) / あす
解けました。
皆さんわかりやすく教えて頂きどうもありがとうございました。
No.13242 - 2011/02/22(Tue) 09:07:17
★ (No Subject) / リン
正三角形ＡＢＣの内接円Ｏ1の半径をｒとする。辺ＡＢ、ＡＣと円Ｏ1に接する円をＯ2とし、
辺ＡＢ、ＡＣとＯ2に接する円をＯ3とする。このように次々に小さくなる円を作るとき
全ての円の面積を求めよ。

数?Vの極限で解いてください。
お願いします。
No.13230 - 2011/02/21(Mon) 20:29:58
☆ Re: / X
円O[n]の半径をr[n]、外接している正三角形の一辺の長さを
a[n]として、まずはr[n]に関する漸化式を求めることを
考えます。
まずO[n]に外接する正三角形の面積について
(1/2)(√3/2)a[n]^2=3・(1/2)a[n]r[n]
∴a[n]≠0に注意すると
a[n]=(2√3)r[n] (A)
一方、円O[n]、円O[n-1]に外接する正三角形の
高さに注目して相似比を考えると
a[n]:a[n-1]={(√3/2)a[n-1]-2r[n-1]}:(√3/2)a[n-1]
これより
(√3/2)a[n]=(√3/2)a[n-1]-2r[n-1] (B)
(A)より
a[n-1]=(2√3)r[n-1] (A)'
(A)(A)'より(B)は
3r[n]=3r[n-1]-2r[n-1]
∴r[n]=(1/3)r[n-1]
この漸化式をr[1]=rの下で解くと
r[n]=r(1/3)^(n-1)
よって求める面積の和をSとすると
S=Σ[n=1〜∞]πr[n]^2
=…
(無限等比級数になります。)
No.13232 - 2011/02/21(Mon) 21:19:09
☆ Re: / シャロン
BCの長さを求めます。
O1とO2の接点を通りBCに平行な直線とL1とし、L1と辺AB、ACとの交点をB1、C1とした場合、AB1C1は正三角形であり、ABCと相似。
よって、BC:B1C1=r:(O2の半径)
すべてのOnとO(n+1)についてこの関係が成り立つので、面積の総和は初項πr^2、公比がB1C1/BCの等比級数となります。
No.13233 - 2011/02/21(Mon) 21:22:24
★ 関数 / リン
方程式√(x+1)-x-k=0が異なる2つの実数解をもつように、実数kの値の範囲を求めよ。

数?Vの関数の問題です。よろしくお願いします。
No.13227 - 2011/02/21(Mon) 17:53:46
☆ Re: 関数 / ヨッシー
　√(x+1)-x-k=0
移項して
　√(x+1)=x+k
２乗して、
　x+1=x^2+2kx+k^2
整理して、
　x^2+(2k-1)x+(k^2-1)=0
これが、x≧-1 の範囲に２つの異なる実数解を持つように
ｋの範囲を決めます。
x≧-1 は √(x+1) から来ています。
No.13228 - 2011/02/21(Mon) 18:18:27
☆ Re: 関数 / リン
ありがとうございます！！
No.13229 - 2011/02/21(Mon) 18:20:00
☆ Re: 関数 / リン
> 　√(x+1)-x-k=0
> 移項して
> 　√(x+1)=x+k
> ２乗して、
> 　x+1=x^2+2kx+k^2
> 整理して、
> 　x^2+(2k-1)x+(k^2-1)=0
> これが、x≧-1 の範囲に２つの異なる実数解を持つように
> ｋの範囲を決めます。
> x≧-1 は √(x+1) から来ています。

この後は判別式で求めればいいのですか？
D=(2k-1)^2-4(k^2-1)>0
これを解けばいいのですか？
No.13231 - 2011/02/21(Mon) 20:59:40
☆ Re: 関数 / シャロン
判別式だけでは、２つの異なる実数解を持つことしか示せません。

解が２つともx≧-1でなければなりませんから、f(x)=x^2+(2k+1)x+(k^2-1)としたとき、y=f(x)のグラフの軸のx座標が-1以上かつ、f(-1)≧0でなければなりません。
No.13234 - 2011/02/21(Mon) 21:31:57
☆ Re: 関数 / angel
ちょっと待ってください。
x≧-1 ではまずいです。
もちろん x≧-1は成り立つのですが、それだけを元に考えを進めるのがN.G.です。

正しくは、√(x+1)=x+k から、
　x+1=(x+k)^2　( x≧-k )
です。こうすれば、x≧-1 のことを気にする必要はありません。
No.13239 - 2011/02/21(Mon) 23:52:32
★ 加法定理 / すもも

(cos5/12)π*cosπ/6＋(sin5/12)π*sinπ/6

加法定理の章の問題です。よろしくお願いします。
No.13223 - 2011/02/21(Mon) 16:15:32
☆ Re: 加法定理 / ヨッシー
cos(5π/12)cos(π/6)＋sin(5π/12)sin(π/6)
のことだとします。
加法定理の公式
　cos(α−β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
より
　(与式)＝cos(5π/12−π/6)＝cos(π/4)
です。
No.13224 - 2011/02/21(Mon) 16:20:23
☆ Re: 加法定理 / すもも

遅くなってすみません(＞＜)
ありがとうございました！
No.13253 - 2011/02/24(Thu) 11:40:54
★ 方程式 / バカ男
中一の男子ですが、わからない所があるので、質問します。

0.8x＝900　掛ける　1.2
両辺に5を掛けて
4x＝900　掛ける　6になりますが、なぜ両辺に5を掛けているのに900は4500にならないんですか？
教えてください。
No.13219 - 2011/02/21(Mon) 12:06:18
☆ Re: 方程式 / rtz
かける(小学校までの×)は、Web表記として
*[アスタリスク]か・[中点]が通常使われます。

簡単な例で見てみましょう。

6＝2*3

これを両辺5倍するとき、

(6*5)＝2*(3*5)
(6*5)＝(2*5)*(3*5)

どちらが正しいでしょうか？

これを踏まえて900に5を掛ける必要がない理由を考えましょう。
No.13220 - 2011/02/21(Mon) 14:15:52
☆ Re: 方程式 / バカ男
正しいのは(6・5)＝2・(3・5)だと思います。
でも、900に5を掛ける必要がない理由はまだわかりません。
No.13221 - 2011/02/21(Mon) 15:56:49
☆ Re: 方程式 / rtz
＞正しいのは(6・5)＝2・(3・5)
そうですね。

つまり、式全体を5倍、という計算をするとき、
(0.8x)を5倍し、(900・1.2)も5倍するわけです。
計算としては(900・1.2)・5です。

これは
(900・1.2)・5＝900・(1.2・5)であり、
(900・1.2)・5＝(900・5)・(1.2・5)にはなりません。
No.13225 - 2011/02/21(Mon) 16:22:20
☆ Re: 方程式 / ヨッシー
900に5を掛け、1.2にも5を掛けたのでは、右辺は5を2回掛けたことになり、
5を1回しか掛けていない左辺と、等しくなくなります。
　6＝2×3　・・・　正しい
　6×5＝2×(3×5)　・・・正しい
　6×5＝(2×5)×(3×5)　・・・5を掛けすぎ
が理解できるなら、
　0.8x＝900×1.2　・・・　正しい
　0.8x×5＝900×(1.2×5)　・・・　正しい
　0.8x×5＝(900×5)×(1.2×5)　・・・　5を掛けすぎ
も、同じ理屈だとわかると思います。
No.13226 - 2011/02/21(Mon) 16:25:29
★ (No Subject) / 羽浪


Oは△ABCの内部の点とし、↑OA=↑a、↑OB=↑b、↑OC=cとする。△OBC:△OCA:△OAB=r:s:tであるとき、BD:DC=t:s、OA:OD=(s+t):rを証明せよ。ただし、Dは直線AOとBCの交点とする。

ベクトルで解くとなるとどうなるのでしょうか。詳しい解説をお願いします。



No.13211 - 2011/02/20(Sun) 17:31:39
☆ Re: / angel
ちょっと計算が面倒ですが。

Dが直線AOとBCの交点であり、Oは△ABCの内部の点なので、Dは線分BC上にあることが分かります。
これより、あるp,q ( 0＜p,q＜1, p+q=1 ) に対して、↑d=p・↑b+q・↑c ( ↑d=↑OD ) と表せます。
また、A,O,Dはこの順に一直線上にあることになりますから、ある k ( k＞0 ) に対して、↑a=-k・↑d です。

これより、
　↑a = -( α↑b + β↑c ) ( α,β＞0 )
　k = α + β
　p = α/k, q = β/k

と、ここまで準備しましたら、三角形の面積をベクトルで表現します。
例えば、△OBC であれば、
　(面積) = 1/2・√( |↑b|^2・|↑c|^2 - (↑b・↑c)^2 )
となりますので、面積比の条件は、
　あるM(M≠0) に対して
　|↑b|^2・|↑c|^2 - (↑b・↑c)^2 = r^2・M
　|↑c|^2・|↑a|^2 - (↑c・↑a)^2 = s^2・M
　|↑a|^2・|↑b|^2 - (↑a・↑b)^2 = t^2・M
と置き換えられます。( √が出てくるので二乗しています )

後は、↑a=-( α↑b + β↑c ) を代入して色々整理してあげれば、α,βを出す事ができ、p,q,k が分かりますから、それがそのまま長さの比になります。
No.13214 - 2011/02/21(Mon) 00:24:10
★ 数A確率 / ほむら
袋の中に白球10個、黒球60個が入っている。
この袋の中から1球ずつ取り出して色を調べては戻すという試行を40回行うとき、
白球が何回とり出される確率が最も大きいか。

解答集ではp[n+1]-p[n]で大小関係を求めていたのですが
画像の下から5行目→4行目への計算がよくわからないです…
No.13210 - 2011/02/20(Sun) 16:58:02
☆ Re: 数A確率 / angel
40!/( 6^(n+1)・(n+1)!・(39-n)! ) - 40!/( 6^n・n!・(40-n)! )
→ 40!/( 6^(n+1)・(n+1)!・(40-n)! )・( (40-n)-6(n+1) )

というところでしょうか。
これは分数の引き算をするために通分しているのです。

　6^(n+1)=6・6^n
　(n+1)! = (n+1)・n!
　(40-n)! = (40-n)・(40-n-1)! = (40-n)・(39-n)!
という所から、
　1/6^n = 6/6^(n+1)
　1/n! = (n+1)/(n+1)!
　1/(39-n)! = (40-n)/(40-n)!
として通分を行い、分子の共通項である40!でまとめると、解説のような式になります。
No.13213 - 2011/02/20(Sun) 21:25:16
☆ Re: 数A確率 / シャロン
>>ほむらさん
15日のときのレスが下がり過ぎてて気づきませんでした。すいません。

なお、15日のレスでわたしがした解答で、解答集と違いp[n]とp[n+1]の比で大小を比較したのは、確率や場合の数の問題では、mＰn、mＣnや階乗の積同士の分数の形での計算が多いため、比で計算したほうが約分できて、比較しやすいだろう、という一種の経験からです。
もちろん、問題によっては差で比較した方が解りやすい場合もあります。


>>angelさん
フォローありがとうございます。
No.13238 - 2011/02/21(Mon) 23:50:13
★ 領域の問題 / ハム
「点（q,0）を焦点としｙ軸を準線とする放物線をＤとする。qが0でない実数を動くとき、放物線Ｄが通過する領域を図示せよ。」という問題がわかりません。よろしくお願いします。
No.13207 - 2011/02/20(Sun) 10:20:55
☆ Re: 領域の問題 / rtz
xy平面上の点(x,y)がD上の点である
⇔(x,y)が放物線の方程式を満たすようなqが存在する
⇔放物線の方程式をqに関する方程式f(q)＝0としたとき、この方程式の判別式が非負
No.13215 - 2011/02/21(Mon) 01:10:29
★ 角度の問題 / よういちろう
すみません。
画像がのらなかったので
こちらを見てください。
No.13201 - 2011/02/19(Sat) 23:20:51
☆ Re: 角度の問題 / ヨッシー
∠ＯＣＥ＝ｙとして、ｘ＋ｙ＝80°
まで出たのなら、
△ＯＣＥにおいて、∠ＣＯＥ＝120°なので、
　ｙ＝30°
よって、
　ｘ＝50°
が得られます。
No.13202 - 2011/02/20(Sun) 08:17:15
☆ Re: 角度の問題 / ヨッシー
その前に、ＢＯの延長が、ＣＥとＡＤの交点を通ることを
言っておかないといけませんね。

ＡＤとＣＥの交点をＦとします。

まず、３点ＢＯＦが一直線上にあることを示します。
△ＯＦＤと△ＯＦＥの合同が示せたら（証明省略）
　∠ＥＯＦ＝20°
より、
　∠ＦＯＢ＝20°＋80°＋80°＝180°
となり、
３点ＢＯＦは一直線上にあります。
No.13204 - 2011/02/20(Sun) 08:30:18
★ 角度の問題 / よういちろう
三たびすみません。
よろしくお願いします。
こちらは∠OCE=yとして
x+y=80°までは出せたのですが…。
No.13200 - 2011/02/19(Sat) 23:18:10
☆ Re: 角度の問題 / ヨッシー
画像を貼った方の記事に解答を載せました。
No.13203 - 2011/02/20(Sun) 08:19:00
★ 角度の問題 / よういちろう
再び角度の問題です。
よろしくお願いします。
こちらは全く手が付きませんでした。
No.13192 - 2011/02/19(Sat) 17:47:45
☆ Re: 角度の問題 / ヨッシー

ＯＢ＝ＯＡより点Ａも、Ｏを中心とした円周上にあります。
これを踏まえて、∠ＯＢＡと等しい角に●を付けると、
上の図のようになります。
●の付いた角の大きさをｙとすると、
△ＯＣＡにおいて、∠ＯＡＣ＝90°−ｙ
ＯＡ＝ＯＤより　∠ＯＤＡ＝∠ＯＡＣ＝90°−ｙ
よって、∠ＡＯＤ＝２ｙ
すると、∠ＢＯＡ＝80°＋２ｙ　となります。

四角形ＡＯＢＣは円に内接する四角形なので、
　∠ＢＣＡ＋∠ＢＯＡ＝80°＋４ｙ＝180°
　ｙ＝25°
　ｘ＝50°−ｙ＝25°
となります。
No.13195 - 2011/02/19(Sat) 20:04:02
☆ Re: 角度の問題 / ヨッシー
∠ＡＯＤ＝２ｙ
が出たところで、円周角より ｘはその半分なので、
　ｘ＝ｙ
　∠ＤＢＯ＝２ｘ＝50°
よって、
　ｘ＝25°
としても出ますね。
No.13196 - 2011/02/19(Sat) 20:16:57
☆ Re: 角度の問題 / よういちろう
再びありがとうございました。
No.13199 - 2011/02/19(Sat) 23:03:56
★ (No Subject) / 10年６月号
(x^2+x^(1/2))^(1/2)=1-x・・?@
を解けという問題です

解答を作りました。

?@⇔x^2+x^(1/2)=(1-x)^2かつx^2+x^(1/2)≧０かつ1-x≧０
⇔√ｘ＝1-2xかつ１≧ｘ
⇔ｘ＝（1-2x)^2かつ１≧ｘかつx≧０かつ1-2x≧０
⇔x=1/4,1かつ０≦x≦1/2
⇔x=1/4

x≧０がどの段階で考慮するのかが不安です。

その他、ご指摘があればよろしく御願いします。

√A=B⇔A＝B^2かつB≧０かつA≧０で計算しました
No.13191 - 2011/02/19(Sat) 17:20:48
☆ Re: / rtz
いいんじゃないでしょうか。

＞x≧０
私はあとで忘れたら困るので大体1回目の式変形時に書いてます。
No.13194 - 2011/02/19(Sat) 18:50:48
☆ Re: / 10年６月号
√A=B⇔A＝B^2かつB≧０かつA≧０のA≧０は必要ですか？理由とともに教えてもらえませんか？ちなみにB^2=A≧０だから、だけでは分かりません。なるだけ詳しくお願いします。

よろしく御願いします。
No.13197 - 2011/02/19(Sat) 20:39:02
☆ Re: / angel
> A≧0は必要ですか？

必要ではありません。ただし付けたとしても間違いではありません。

> 理由とともに教えてもらえませんか？ちなみにB^2=A≧0だから、だけでは分かりません。

いや、まさにそれが理由です。
つまり、B^2=A という条件がある時点で既にA≧0が確定しているのだから、更にA≧0の条件を付け加えなくても良いということ。

うーん、なんというか。「落馬する」っていう時点で「馬から」という意味が含まれているのに、あえて「馬から落馬する」と重複した表現をするような。そんな印象です。

ただ、国語の場合であれば重複表現でよろしくないとされますが、数学の場合は別に重複しているからといって減点とはならないので、自信がなければ敢えて削らなくても良いと思います。
No.13198 - 2011/02/19(Sat) 23:03:26
☆ Re: / angel
一応ちゃんとした説明も。
「A=B^2」という条件をP、「A≧0」という条件をQとすると、P⇒Qが成立する、つまり添付の図のようにP,Q間に包含関係ができています。

そうすると、「条件Pかつ条件Q」の示す事象と「条件P」の示す事象というのは、実は全く同じものです。
同じもの、ということは「条件Pかつ条件Q」と言う代わりに「条件P(のみ)」と言ったとしても意味は同等ですし、表現として簡潔になります。

今回の話で言えば、「A=B^2かつA≧0」と「A=B^2」は同値、なので後者の表現にすればA≧0の部分が必要ない、ということです。
No.13208 - 2011/02/20(Sun) 10:43:22
☆ Re: / 10年６月号
√A−√B＝√Cの同値変形だったらどうなりますか？
Bの値を求めたいです。
No.13262 - 2011/02/26(Sat) 00:35:50
☆ Re: / angel
> √A−√B＝√Cの同値変形だったらどうなりますか？
√を計算した結果が複素数になることまで考えると、(A,B,C)=(-9,-4,-1)なんてのもアリになるのですが、それはナシで良いでしょうか?

Bを求める場合、
　√B = √A - √C
ですから、両辺を平方して
　B = (√A-√C)^2 = A+C-2√(AC)　( A≧C≧0 )
ですね。≧0 ってのは、複素数ナシから来ている条件です。

もしも複素数まで気にするなら、上記に加えて
　√(-B) = √(-A) - √(-C) ( A,B,C≦0 )
の場合、つまり
　-B = (√(-A)-√(-C) )^2 ( -A≧-C≧0 )
　⇔ B = A+C+2√(AC) ( A≦C≦0 )
ってのも入れないといけません。
No.13263 - 2011/02/26(Sat) 01:42:35
★ (No Subject) / さざえ
AB＞ADである平行四辺形ABCDを,対角線ACを折り目として折り返したものがある。
この頂点Dが移った点をEとし,ABとECの交点をFとするとき,
△AEF≡△CBFであることを証明しなさい。
No.13188 - 2011/02/19(Sat) 16:40:36
☆ Re: / シャロン
△ABC≡△CDA≡△CEAより∠ACB=∠CAE、∠BAC=∠ECA
∴∠FAE=∠FCB
∠AEF=∠CBF(平行四辺形の対角)
また、△CAB≡△AECよりBC=EA
２角とその間の辺の長さが等しいので、△AEF≡△CBF
No.13190 - 2011/02/19(Sat) 16:59:27
★ (No Subject) / エミ
平行四辺形ABCDの、対角線の交点をOとする。
対角線BD上に、BE=DFとなる点E,Fを取るとき、
四角形AECFは平行四辺形であることを証明しなさい。
No.13187 - 2011/02/19(Sat) 16:25:48
☆ Re: / シャロン
∠ABE=∠CDF(錯角)
AB=CD(平行四辺形の対辺)
BE=DF(仮定)
∴△ABE≡△CDF
∴AE=CF...[1]
∠BAE=∠DCF
∠BAC=∠DCA(錯角)
∴∠EAC=∠FCA
∴AE//CF(錯角が等しい)...[2]
[1][2]よりAECFは平行四辺形。
No.13189 - 2011/02/19(Sat) 16:43:57
★ 角度の問題 / よういちろう
すみません。
画像を載せ忘れました。
よろしくお願いします。
No.13183 - 2011/02/19(Sat) 01:48:31
★ １次関数 / TG
３本の直線
l：　y＝-x-2
m：　y＝５x−８
n：　y＝(1/5)x＋(8/5)
それらの交点は
A(2,2)B(-3,1)C(1,-3)である

（１）lとmをそれぞれ平行移動すると
　　A、B,Cはそれに伴い移動する
　　?僊BCの面積を変えずに移動すると
　　　点Cはどのような直線上にあるか
　答えy＝(1/5)x-(16/5)
y=(1/5)x+(32/5)

(2)nのみを平行移動すると
　?僊BCの面積がもとの１／４　になった
　そのときのA、Bの座標は？


この二つのもんだいがわかりません
お願いします
No.13182 - 2011/02/19(Sat) 01:23:19
☆ Re: １次関数 / angel
この問題では、平行移動しか行わないため、直線同士のなす角は変わりません。そのため、動いた後の△ABCも、元の△ABCと合同もしくは相似となります。

その上で、(1)では面積も変わっていないため合同。つまりABの長さが変わっていません。ということは、ABを底辺として見たときのCの高さも変わらないため、CはABに平行な直線上を動くことになります。

(2)は面積1/4のため、長さ1/2の相似形へと移動したことになります。
一つの候補としては、AC,BCの中点へと移動したもの。
もう一つ忘れてはいけないのが、Cを挟んで逆側に移動する場合。

つまり、等間隔に A,A',C,A''、B,B',C,B'' がそれぞれ直線上に並んでいて、A',B' というペアとA'',B''というペアの2組が答になります。
No.13184 - 2011/02/19(Sat) 02:17:38
★ 角度の問題 / よういちろう
質問があります。
円に内接する四角形が関係しそうなところまでは
わかったのですが…。
よろしくお願いします。
No.13181 - 2011/02/18(Fri) 23:50:48
☆ Re: 角度の問題 / ヨッシー

∠ＦＡＥ＋∠ＦＧＥ＝90°＋90°＝180°　より
四角形ＡＦＧＥは同一円周上にあります。
円周角、および対称性より
　∠ＧＦＥ＝∠ＧＡＥ＝∠ＧＣＤ＝ｘ
また
　∠ＦＡＧ＝∠ＦＥＧ＝ｙ
とします。
一方、四角形ＣＤＥＧも同一円周上の点であり、
　∠ＧＣＤ＋∠ＧＥＤ＝180°
より
　∠ＧＣＤ＝∠ＧＥＡ＝ｘ
が言えます。
以上より、
　ｘ＝40°＋ｙ
　ｘ＋ｙ＝90°
これを解いて、
　ｘ＝65°、ｙ＝25°
となります。
No.13185 - 2011/02/19(Sat) 06:11:44
☆ Re: 角度の問題 / よういちろう
ありがとうございました。
No.13193 - 2011/02/19(Sat) 17:48:25
★ 論理 / 常に志すもの
a.b.p.qは全てベクトルで、大きさを表すときはlal,lbl,lpl,lqlのように表すことにします。

平面上の二つのベクトルa,bがla+２bl=1,l-3a+bl=1を同時に満たしながら変化するときla+blの最大値を求めよ。

解）を写すと、
a+2p=p・・?@
-3a+b=q・・?A
とおくとlpl=lql=1・・・?B

?@かつ?A⇔?@−?A×２かつ?@×３＋?A
　　　　⇔a=(1/7)(p-2q)・・・?C,b=(1/7)(3p+q)・・・?D

よってla+bl=l?C＋?Dｌ＝(1/7)l4p+(-q)l
≦(1/7)｛l4pl+l-ql}=(1/7)(4lpl+lql)=5/7

『等号は4pと-qが同じ向きのときに成り立つ』から
la+blの最大値は5/7

『　』が疑問に残ります。本当に成り立つのかどうか。本当に4pと-qが同じ向きになり得るp,qが存在するのかどうか。
確かに等号が成り立つと仮定すれば、4pと-qが同じ向きのときしか有り得ませんが。

参考：解答には「?@かつ?A⇔?Cかつ?Dなのでp,qは?Bをみたすように自由に動けます」とありました。この意味が分からないことが原因なのかもしれません。

かなり難しい質問かもしれませんが、どなたかよろしく御願いします。
No.13175 - 2011/02/18(Fri) 16:55:57
☆ Re: 論理 / X
4↑p=↑r,-↑q=↑s
と置くと
↑p=(1/4)↑r,↑q=-↑s (A)
又
|↑r|=4,|↑s|=1 (A)'
(A)を(4)(5)の各式に代入すると
(4)は
↑a=(1/28)(↑r+8↑s) (4)'
(5)は
↑b=(1/28)(3↑r-4↑s) (5)'
(4)'(5)'は↑r,↑sを(A)'の条件で任意に取っても
それに対応する↑a,↑bが存在することを示しています。
No.13176 - 2011/02/18(Fri) 18:29:46
☆ Re: 論理 / 常に志すもの
4↑p=↑r,-↑q=↑s
と置いた理由がよく分かりません。何か意味があるのでしょうか。式変形の流れは理解できました。

(4)'(5)'は↑r,↑sを(A)'の条件で任意に取っても
それに対応する↑a,↑bが存在することを示しています

の理由と意味が全く分かりません。

苦手な部分なのでなるだけ詳しく御願いします。
よろしく御願いします。
No.13179 - 2011/02/18(Fri) 19:07:23
☆ Re: 論理 / X
では 見方を変えて4↑p,-↑qが同じ向きになるような
↑a,↑bの条件を実際に求めてみますね。

4↑p,-↑qが同じ向きですので
-↑q=k(4↑p) (k>0)
と表すことができます。
∴↑q=-4k↑p (A)
これを(3)に代入すると
|↑p|=|-4k↑p|=1
∴k=1/4
∴(A)は
↑q=-↑p
これに(1)(2)を代入すると
-3↑a+↑b=-(↑a+2↑b)
整理して
↑b=(2/3)↑a
となります。
No.13205 - 2011/02/20(Sun) 10:03:33
☆ Re: 論理 / angel
Xさんではないですが、横から失礼します。

> 4↑p=↑r,-↑q=↑s と置いた理由がよく分かりません。
見易さのためと思われます。
添付の図のような「三角不等式」に適合することが一目で分かるように、4やら-1の係数のない形にされたのでしょう。
※こういうことは良くあるので、慣れた方が良いと思います。
でもって、
> 本当に成り立つのかどうか。
というのは、ちゃんと成り立ちます。三角不等式というのはそういうものです。
No.13206 - 2011/02/20(Sun) 10:16:32
☆ Re: 論理 / 常に志すもの
問題をもう一度繰り返しますと、平面上の二つのベクトルa,bがla+２bl=1,l-3a+bl=1を同時に満たしながら変化するときla+blの最大値を求めよ。とあります。この文だけからはa,bが具体的にどのようなものであるかは不確定です。そしてXさんの計算により
4↑p,-↑qが同じ向きとなる↑ｐ、↑ｑが存在する
⇔↑b=(2/3)↑aとなる↑ｂ、↑aが存在する
ということは分かりましたが、
これは
↑b=(2/3)↑aとなる↑ｂ、↑aが仮に実在したら4↑p,-↑qが同じ向きとなる↑ｐ、↑ｑが存在する
と言っているだけであって、↑b=(2/3)↑aとなる↑ｂ、↑a本当に存在するのかどうかが分かりません。la+２bl=1,l-3a+bl=1という縛りがありますので。

確かに三角不等式もベクトルp、ｑがあらゆる方向を向けるのならば等号成立が言えるでしょうが、「○○という条件の下では同じ向きになりえない」という場合もあると思います。
No.13212 - 2011/02/20(Sun) 21:12:57
☆ Re: 論理 / X
>>angelさんへ
>>4↑p=↑r,-↑q=↑s と置いた理由
についてのフォローありがとうございます。

>>常に志すものさんへ
確かに
↑b=(2/3)↑a (P)
だけでは
l↑a+2↑bl=1 (Q)
l-3↑a+↑bl=1 (R)
の条件を考えてませんね。
ではこの２つの条件を更に使って↑a,↑bに成り立つ条件
を考えてみましょうか。
(P)を(Q)に代入して
|↑a|=3/7 (S)
これは(P)を(R)に代入した場合にも成立します。
(つまり、(Q)(R)の条件を満たす↑aは存在します。)
(R)(S)より
|↑b|=(2/3)|↑a|=2/7 (T)
つまり(S)(T)のような↑a,↑bでなおかつ↑a,↑bが
同じ向きであれば|↑a+↑b|は最大になります。
No.13216 - 2011/02/21(Mon) 09:43:25
☆ Re: 論理 / 常に志すもの
そのような↑a,↑bが存在すると何故いえるのですか？
No.13243 - 2011/02/23(Wed) 05:04:36
☆ Re: 論理 / X
問題での↑a、↑bに関する前提条件が
l↑a+2↑bl=1 (Q)
l-3↑a+↑bl=1 (R)
以外に存在しないからです。
No.13216で仮に(P)を(Q)に代入して得られた|↑a|の値と
(P)を(R)に代入して得られた|↑a|の値が一致しなければ
(P)を満たす↑a、↑bは存在しないとなるのですが、実際
にはそうはなっていません。
No.13247 - 2011/02/23(Wed) 12:46:29
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