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★ ９月２日のレッドさんの問題について / 潤一郎
よろしくおねがいします。
レッドさんの問題を解いていたのですが。
計算はわかりますが。
一体この４ｃｍの正方形を４隅から取り除いた
平面はどのような形になるのですか？
どこにも底面が長方形になるとは書かれていません。

又それを組み立てるなんてできるとどうしてわかるのですか？つまり高さ４ｃｍとどうして決められるのですか？

教えて下さい宜しくお願いします。
No.11424 - 2010/09/05(Sun) 16:50:13
☆ Re: ９月２日のレッドさんの問題について / らすかる
ふたのない箱は身近にありませんか？（なければ想像して下さい）
箱を平面にするために、側面と側面の接続部分（90度に折れ曲がっている箇所）を
4箇所全部切って広げたらどういう形になるかやってみて下さい
（または考えてみて下さい）。
No.11425 - 2010/09/05(Sun) 17:59:04
☆ Re: ９月２日のレッドさんの問題について / 潤一郎
お返事ありがとうございました。
ああああ、なんて馬鹿な質問をしたのでしょう。
４隅たしかに正方形取れています。
しかも高さは何の問題もなく４ｃｍです。
てっきり、長方形から４ｃｍの正方形をとれば
あまりが出てもおかしくないという風に考えていました。
本当に僕もすっきりしました。
わかりやすい答えを教えてくださって感謝しています。
有難うございました。
No.11426 - 2010/09/05(Sun) 18:42:34
☆ Re: ９月２日のレッドさんの問題について / 潤一郎
らすかる先生へ
少し文章が変だったので、追加します。
頭に描いた図は凸が左右のようなのが浮かんで
でっぱってるところが２センチぐらいの
絵を描いていました。本当に情けないです。
以上です。すみませんでした。
No.11427 - 2010/09/05(Sun) 18:53:21
★ ?TA/?UBの応用 / masaki
こんにちは。

放物線y=x^2上の２点P(α,α^2),Q(β,β^2)(α＜β)における接線ℓ,mが直交しているとき、次の問いに答えよ。

(3)P,QがＣ上を動くとき、(2)で求めたＳが最小となるのはα＋βがどのような値をとったときか。また、Ｓの最小値も求めよ。

※(2)Ｃとℓ,mで囲まれる図形の面積をＳとすると
　　　Ｓ＝{(β-α))}^3/12 である。


Ｓが最小となる状況をどのように式として表すのかわかりません。よろしくおねがいします。
No.11423 - 2010/09/05(Sun) 14:28:35
☆ Re: ?TA/?UBの応用 / ヨッシー
ｙ＝ｘ^2 において、(α、α^2) (β、β^2) における接線の傾きは
それぞれ、２α、２βであり、これらが直交するので、
　２α・２β＝−１
　α＝-１/(４β)
の関係があります。αが　ｘ＜０ の範囲を動き、βが ｘ＞０の範囲を動くとします。
　Ｓ＝(β−α)^3/１２
　　＝(β＋1/4β)^3/12
β＋1/4β＞０ なので、β＋1/4β が最小の時、
(β＋1/4β)^3 も最小となります。

相加・相乗平均の関係より
　β＋1/4β≧２√(β・1/4β)＝1/2
等号は、β＝１/4βの時で、β^2＝１／４ の時。
β＞０ より β＝１／２ のとき。
このとき　α＝−１／２ であり、
　Ｓ＝１^3/12＝1/12
α＋β＝０となります。
No.11428 - 2010/09/05(Sun) 21:09:30
☆ Re: ?TA/?UBの応用 / masaki
なるほど。相加相乗平均を用いて、具体的にα、βを求めるということだったんですね！
式変形してα＋βを求めようとばかり考えていました。
丁寧な解説ありがとうございました。
No.11429 - 2010/09/05(Sun) 21:57:39
★ 高３ / tabibito
前回のmasakiさんの問題なんですけど・・・

angelさんがテーラー展開とマクローリン展開という言葉を口にしましたが、これって何ですか・・？ちょっと興味をもったのでよかったら教えてください。
No.11419 - 2010/09/04(Sat) 23:49:12
☆ Re: 高３ / らすかる
検索すれば詳しい説明がいくらでも出てきますよ。
No.11420 - 2010/09/04(Sat) 23:53:13
☆ Re: 高３ / スーパーカブ
n回微分できる関数、例えば三角函数なんかを
整関数で近似できるというすごいものです。
大学入試で出される問題の背景に潜んでいることが多いです。

さらに数学をやると区分的に滑らかな関数を三角函数で近似するものもあります。こちらはN回微分より条件が弱いのでさらに応用が広いです。
No.11421 - 2010/09/04(Sat) 23:57:48
☆ Re: 高３ / angel
あれ、ひょっとして今の高校の教科書 ( 微分・積分や数III、数Cとか ) には、全く載ってないんでしたっけ。
私の昔の記憶から、高校でもお話としては聞くものだと思って用語を出してしまいました。
載ってないのだとすれば、私の勘違いであり、勇み足です。申し訳ありません。

いずれにせよ、マクローリン/テイラー展開 ( もしくは「級数」 ) のちゃんとした話は大学の範囲なんですけどね。

らすかるさんの仰る通り、詳しくは検索にかけるなりして探して頂いた方が良いと思いますが、まあ、例えば、

　e^x = 1 + x + 1/2・x^2 + 1/6・x^3 +…+ 1/n!・x^n +…
　sinx = x - 1/6・x^3 + 1/120・x^5 +…+ (-1)^n/(2n+1)!・x^(2n+1) +…
　cosx = 1 - 1/2・x^2 + 1/24・x^4 +…+ (-1)^n/(2n)!・x^(2n) +…

みたいなことができるんです。
ちなみに、この例では右辺が無限和ですが、途中で打ち切れば ( もしくは無限和にできない場合は )、近似になります。
コンピュータで初等関数の値を計算する時なんかにも、使われてたりしますよ。
No.11422 - 2010/09/05(Sun) 00:48:01
★ 微分の応用 / masaki
こんにちは。
久々の投稿となります。
問題は画像の通りです。
近似式を求める問題なのですが、チャート式等で調べてみましたがさっぱりです…。
f(x)≒f(0)+f'(0)xでも使うのでしょうか？
解説よろしくお願いします。
No.11410 - 2010/09/03(Fri) 22:09:08
☆ Re: 微分の応用 / angel
> f(x)≒f(0)+f'(0)x

そういうことです。
ただ、これは x≒0 の時の話なので、x≒3 であるこの問題ではそのままでは適用できなくて。
t=x-3 とでもおけば、t≒0 なので、f(t)≒f(0)+f'(0)t が使えます。( ヒントにある?凅というのが正にそれ )
No.11413 - 2010/09/03(Fri) 22:59:07
☆ Re: 微分の応用 / masaki
なるほど。
計算してみた結果、画像のようになりました。
√(1-x)の式にするにはどーすればよいのでしょうか？
No.11415 - 2010/09/04(Sat) 07:22:14
☆ Re: 微分の応用 / angel
あ…、ごめんなさい。これは私の説明が悪かった。
t=x-3 ( x=t+3 ) と置いたならば、√(1+x) = √(1+(t+3)) = √(t+4)
として、
f(t)=√(t+4)、t≒0 において f(t)≒f(0)+f'(0)t と考えなければなりません。
その後、t=x-3 を代入し直して、
　f(x-3)≒f(0)+f'(0)(x-3)
つまり、
　√(1+x)≒f'(0)x+f(0)-3f'(0)

ちなみに、これは t=0 周り、つまりマクローリン展開の話なので、最初から x=3 周りのテイラー展開で考えることもできます。
　g(x)=√(1+x) とするとき、
　x≒3 において、g(x)≒g(3)+g'(3)(x-3)
　つまり、√(1+x)=g(x)=g'(3)x+g(3)-3g'(3)

まあ、f(0),f'(0)か、g(3),g'(3)かの違いだけですね。

念のためですが、もし記述式で解答を書く場合は≒は使わないで下さいね。( 今は単なる説明なので、≒を使っていますが… )
No.11416 - 2010/09/04(Sat) 10:12:35
☆ Re: 微分の応用 / masaki
なるほど。解決しました！
近似式はまだ理解し切れていない部分が多いので練習が必要ですね。ありがとうございました。
No.11417 - 2010/09/04(Sat) 15:21:46
★ ヨッシー先生へ / りかです
こんばんは。
さがしましたが、見つからなかったので
又きます。ありがとうございました。
No.11408 - 2010/09/03(Fri) 20:17:32
★ ベクトルの最小値 / ぴよぴよ
はじめまして。
ａ(→)≠0(→)　ｂ(→)≠0(→)　のとき、
｜ａ(→)+ｔｂ(→)|を最小にするｔの値をｔ0、
最小値をｍとする。
ｔ0とｍを｜ａ(→)｜、｜ｔｂ(→)|、ａ(→)・ｔｂ(→)で
表せ。という問題です。
*******************************
高２の僕が考えたのは
｜ａ(→)+ｔｂ(→)|>=0 だから
｜ａ(→)+ｔｂ(→)|^2　が最小のとき
｜ａ(→)+ｔｂ(→)|も最小になるので

｜ａ(→)+ｔｂ(→)|^2
=｜a｜^2 + 2t(a・b) + t^2｜b｜^2
=｜b｜^2*t^2 + 2(a・b)t +｜a｜^2
このtの２次式を平方完成して
⇔
｜b｜^2{t + (a・b)/｜b｜^2}^2 - (a・b)^2/｜b｜^2 + ｜a｜^2 /｜b｜^2

これがt = -(a・b)/｜b｜^2　のとき（=t0）
最小値m^2 = {｜a｜^2 - (a・b)^2}/｜b｜^2
だと思います。でもこの先がわかりません。
そしてもうひとつ思ったのは
絶対値がt0で最小だから、はじめからt0を
代入したら
m^2 = ｜a + t0b｜^2
= ｜t0b｜^2 + 2(a + t0b) + ｜a｜^2
だから
m= √｜t0b｜^2 + 2(a・t0b) + ｜a｜^2
かなぁとおもいます。
何かが変だと思います。よろしくお願いします。
No.11407 - 2010/09/03(Fri) 16:08:49
☆ Re: ベクトルの最小値 / angel
> でもこの先がわかりません。

t も m^2 も出たのですから、これで終わりですよ。
答、t_0=-(ａ・ｂ)/|ｂ|^2、m=√(|ａ|^2|ｂ|^2-(ａ・ｂ)^2)/|ｂ|
ってことで。

ちなみに、図形的に考えたならば、ａ+tｂがｂに垂直、もしくは0ベクトルの時 ( ａ,ｂが一次従属/平行の場合 ) が、ベクトルの大きさが最小となるため、いずれにしても内積が0となることを考えればよくて、
　(ａ+tｂ)・ｂ = 0
から t_0 が求まります。
もしくは、正射影ベクトルのことを知っていれば、そこからでも良いですね。
No.11409 - 2010/09/03(Fri) 21:55:56
☆ Re: ベクトルの最小値 / ぴよぴよ
angel様、ありがとうございます
tとm^2が出ていたのですね！
図形的にも考えられるんですね！
勉強になりました。
あと少しわからないのですが、
｜ａ(→)｜、｜ｔｂ(→)|、ａ(→)・ｔｂ(→)を使って
表せとあるのですが、そこがよくわかりませんでした。（汗）
No.11411 - 2010/09/03(Fri) 22:23:51
☆ Re: ベクトルの最小値 / angel
｜ｔｂ(→)| は ｜ｂ(→)| の誤植ではないでしょうか。
同じく ａ(→)・ｔｂ(→) も。

変数 t が入っているのに、これで表せというのは、ちょっと無理。
で、｜ａ(→)｜、｜ｂ(→)|、ａ(→)・ｂ(→)を使った形は既に出来ているので、これで終わり、と。
No.11412 - 2010/09/03(Fri) 22:51:56
★ 三角方程式 / BB
こんにちは。

Suppose that x=3cosθ with π/2<θ<π.
Express the following in terms of x without using trigonometric functions.
(a) sin2θ, (b) cos(θ-π/2), (c) tan^2(cos^-1(x/3))

の問題を下記のように解きました。

sinθ=2sinθcosθ(∵加法定理) =2(√(1-cos^2θ))cosθ(∵π/2<θ<π)=2(√(1-x^2/3^2))x/3=2x(√(1-x^2))/9

cos(θ-π/2)=cosθcosπ/2+sinθsinπ/2(∵加法定理) =sinθ=√(1-cos^2θ) (∵π/2<θ<π)
=√(1-(x/3)^2)=(√(1-x^2))/3

tan^2(cos^-1(x/3))=1/(cos^2(cos^-1(x/3)))+1=1/(x/3)^2+1=(9+x^2)/x^2

としたのですが何故かペケでした。
何処が間違ってるのでしょうか??
No.11405 - 2010/09/03(Fri) 10:20:52
☆ Re: 三角方程式 / らすかる
(a) √(1-x^2/3^2)=√(9-x^2)/3 です。 √の中は 1-x^2 にはなりません。
(b) 同上
(c) (tanx)^2=1/(cosx)^2-1 です。
No.11406 - 2010/09/03(Fri) 15:34:00
☆ Re: 三角方程式 / BB
> (a) √(1-x^2/3^2)=√(9-x^2)/3 です。 √の中は 1-x^2 にはなりません。

そうでした。2x(√(9-x^2))/9でしたね。

> (b) 同上

これも(√(9-x^2))/3でしたね。

> (c) (tanx)^2=1/(cosx)^2-1 です。

これも失礼致しました。

(9-x^2)/x^2でしたね。

どうもありがとうございました。
No.11414 - 2010/09/04(Sat) 00:54:40
★ 高2数学２ / プリりカ
数学?U 誰か分かる方！！！（250枚）

xに関する不等式（2a-4）（sinx-a）>5a-5＋4cos^2x を成り立たせるxの値が少なくとも１つ存在するためには、
定数aはどのような範囲になければならないか。

答えではsinx=tとおいて
f（t）＝4｛t＋（a-2/4）｝^2 -9/4a^2としてf（t）の最大値が正となることを利用しています。
場合わけで
[1]-（a-2）/4≦0のとき
[2]-（a-2）/4>0のとき と場合わけしているのですが

どうして
[1]-（a-2）/4≦0 とできるのか分かりません
-（a-2）/4=0のときは
f（-1）=f（1）=0ですよね
これはわかるんですが・・・
あとたぶん-（a-2）/4≦0のとき というふうにできるのは
-（a-2）/4＝0が、-（a-2）/4<0のときの値と一致しているからなんだとおもうのですが
実際計算してみたところよくわからなくなってしまいました。
誰か分かるかたおしえてください。おねがいします！
No.11402 - 2010/09/03(Fri) 02:37:12
☆ Re: 高2数学２ / rtz
質問の趣旨がはっきりしませんが、
場合分けの境界の根拠ですか？

題意⇔-1≦t≦1の範囲でf(t)の最大値が0より大きい
ですから、y＝f(t)が下に凸な2次関数である以上、
-1≦t≦1の範囲では最大値はt＝-1かt＝1でしか取り得ません。
「t＝-1で最大となる」「t＝1で最大となる」の境界は、-1≦t≦1の中央であるt＝0です。
軸t＝-(1/4)(a-2)がt＝0より右ならt＝-1で最大ですし、左ならt＝1で最大です。
No.11403 - 2010/09/03(Fri) 03:12:49
★ 解の公式の利用について / レッド
中学３年生です。　この問題がどうしても解けなくて悩んでいます。

問題
横が縦より６?p長い長方形の厚紙があります。
この４すみから１辺が４?pの正方形を切り取り、
長方体をつくると、その体積は２００?p³になりました。
はじめの厚紙の縦と横の長さを求めなさい。

お手数ですが、教えてください。よろしくお願いします。
No.11397 - 2010/09/02(Thu) 19:17:47
☆ Re: 解の公式の利用について / ヨッシー
縦ｘcmとすると、横はｘ＋６cm です。
４隅から、4cm ずつ切り取ると底面の縦横は、
ｘ−８，ｘ−２ であり、面積は、(x-8)(x-2)
高さは４cmなので、体積は
　4(x-8)(x-2)＝200
４で割って、
　(x-8)(x-2)＝50
展開して
　ｘ^2−10x−34＝０
解の公式より
　ｘ＝５±√59
ｘ＞０より　ｘ＝５＋√59
縦が　5＋√59cm　横が　11＋√59cm
No.11398 - 2010/09/02(Thu) 21:43:55
☆ Re: 解の公式の利用について / レッド
ありがとうございます！！　これで頭が、
すっきりしました。
No.11404 - 2010/09/03(Fri) 04:52:10
★ 場合の数について / りかです
場合の数について勉強しています。小学校６年生です。
わかっているつもりなんですけど、問題をやってみたいので
ここのどこを見たらいいですか？教えて下さい。
No.11396 - 2010/09/02(Thu) 17:37:27
☆ Re: 場合の数について / ヨッシー
ここは、特に問題を載せているページではありませんので、
「この問題！！」と指し示すことは出来ませんが、
質問のコーナーには、何かあるかも知れません。
No.11399 - 2010/09/02(Thu) 21:48:39
★ 数学2の問題です！＞＜　こう２です！ / プリりカ
数学 よくわからない問題

0≦x≦π/2の範囲で、不等式 asin^2x＋bcos^2x＋2sinx≧0・・・?@の解が
π/4≦x≦π/3であるとき、定数a,bの値を求めよ。

π/4≦x≦π/3
つまりsinx=tとおいたとき
1/√2 ≦t≦ √3/2の範囲で?@がy=0よりも上にあればいいんですよね？
このときは、上に凸でないといけませんよね。
それはイメージできるのですが、上に凸であるこの関数が
ちょうど1/√2 ≦t≦ √3/2の範囲でy=0になる・・・
どういえばよくわからないのですが
の範囲で
asin^2x＋bcos^2x＋2sinx>0なら
上に凸でその範囲内で＞０（y=0より上にあればいい）というのはわかるのですが、
asin^2x＋bcos^2x＋2sinx=0の場合がわからないんです。
この場合って別に（1/√2 、0）と（√3/2 、0）を通らなくてもいいですよね？
asin^2x＋bcos^2x＋2sinx>0ならこの2点をとおらなきゃいけないというのはなんとなくわかるのですが・・・

あと答えでは
題意を満たすための条件が
「f（1/√2）＝0かつf（√3/2）かつt^2の係数が＜０」となっているのですが
正直意味がよくわかっていません。

もし、asin^2x＋bcos^2x＋2sinxの関数が重解をもって
範囲の1/√2 ≦t≦ √3/2中のどこかで1点で交わった場合は
交点（1/√2 、0）と（√3/2 、0）を通る必要がないようにおもうのですが

誰か分かる方教えてください。お願いします。

ちなみに答えは、a=√2-2√3、b=2√3-3√2です。
No.11393 - 2010/09/02(Thu) 07:23:40
☆ Re: 数学2の問題です！＞＜　こう２です！ / rtz
「解がπ/4≦x≦π/3の範囲にある」ではなく、
「解がπ/4≦x≦π/3である」ですから、
y＝f(t)について、
t＝1/√2,√3/2でy＝0になるような上に凸の2次関数になります。

解いた結果がπ/4≦x≦π/3に一致するのです。
例えば解が(13/48)π≦x≦(5/16)πだとか、x＝(7/24)πだとかになるような場合を考える必要はありません。
No.11395 - 2010/09/02(Thu) 13:06:04
☆ Re: 数学2の問題です！＞＜　こう２です！ / angel
0≦x≦π/2の範囲で、不等式 asin^2x＋bcos^2x＋2sinx≧0の解がπ/4≦x≦π/3である

⇔

・0≦x＜π/4
　不等式 asin^2x+bcos^2x+2sinx≧0 はこの範囲では常に不成立
　( つまり、常にasin^2x+bcos^2x+2sinx＜0 )
・π/4≦x≦π/3
　不等式 asin^2x+bcos^2x+2sinx≧0 はこの範囲では常に成立
・π/3＜x≦π/2
　不等式 asin^2x+bcos^2x+2sinx≧0 はこの範囲では常に不成立
　( つまり、常にasin^2x+bcos^2x+2sinx＜0 )
・上記以外のx ( x＜0 または x＞π/2 )
　不等式が成立してもしなくてもどちらでも良い
No.11400 - 2010/09/02(Thu) 21:55:31
☆ Re: 数学2の問題です！＞＜　こう２です！ / プリりカ
ありがとうございました。
No.11401 - 2010/09/03(Fri) 02:36:15
★ 高2　数?U / hiro
問題　aを正の定数とする。xに関する不等式ax^3＋ｋ/√ａ≧xが、x＞0で成り立つようなｋの中で最小となるものは？

√ａは0でないので、−ａ√a・x^3＋√a・x≦k

左辺をf(x)とすると、導関数はー√a(3ax^2−1)となるので、極値はx＝±１/√3a　
x＞0より最大値はx＝１/√3a

題意よりｙ＝ｋがf(x)の最大値の時ｋの最小値となる。
よってf(１/√3a)＝−1/2√3

と私は解いたのですが…。
答えは、2/3√3です。

どこが違うのか教えて下さい。よろしくお願いします。
No.11388 - 2010/09/01(Wed) 11:16:15
☆ Re: 高2　数?U / angel
f(1/√(3a))=2/(3√3)=2√3/9 ですよ。なので、最後だけ計算間違いですね。
No.11389 - 2010/09/01(Wed) 22:06:54
☆ 補足 / angel
後は、解答を書くときに気をつけるとしたら。

・√ａは0でないので、
　→ 「不等式の両辺に√a＞0 をかけて整理すると」くらい。
　　負の数をかけると、不等号の向きが逆転するため、正か負かは毎回言及した方が良い
・極値はx＝±１/√3a
　→「x＝±１/√(3a) においてf(x)は極値を取る」
　　もしくは、「f'(x)＝0の解は、x＝±１/√(3a)」
・x＞0より最大値はx＝１/√3a
　→「x＞0より、f(x)が最大値を取るxの値は、x＝１/√(3a)」
　　もしくは、「x＞0において、f(1/√(3a))が極大値かつ最大値」
・題意よりｙ＝ｋがf(x)の最大値の時ｋの最小値となる。
　→ ストレートに、「題意を満たすkの最小値は、f(x)の最大値に等しい」でよい

というところでしょうか。
No.11390 - 2010/09/01(Wed) 22:25:07
☆ Re: 高2　数?U / hiro
ありがとうございます！！
何回か解いてみても同じ答えになって…

解決しました。
No.11394 - 2010/09/02(Thu) 10:07:40
★ (No Subject) / kana
問題）1,2,・・・10の１０枚のカードから同時に3枚のカードを選び、選んだ3数に書かれている数の積が１０の倍数となる確率を求めよ。

私が作った解答）

10枚同時に、とあるので確率の分母は１０Ｃ３＝１２０

１）１０を含むとき

残り9枚から2枚を選べばよいので、
確率の分子は９Ｃ２＝３６
よって36/120

２）１０を含まないとき

まず、５は必ず含まれていないといけないので、
残り2枚の組み合わせを考えればよい。
その残り2枚のうち、少なくとも1枚は偶数（10以外の２，４，６，８）なので4通り。残り1枚は
「５」、「１０」、「２，４，６，８で選ばれた一枚」
以外の7枚から選ぶので7通り
よって確率の分子は１・４・７＝２８

よって確率は２８/120

1)、２）の事象は互いに独立なので
36/120+28/120=8/15

となったのですが、実際の答えは２９/60なのです。
どこが悪いのでしょうか。教えてください。
No.11386 - 2010/09/01(Wed) 02:33:34
☆ Re: / らすかる
10を含まないとき、
(5) と 偶数(2) と 残りのうち(4)
と選ぶのと
(5) と 偶数(4) と 残りのうち(2)
と選ぶのが重複しています。
つまり5以外の2枚が偶数である場合が2倍数えられています。
5以外が2枚とも偶数の場合と
偶数奇数1枚ずつの場合は
別々に計算しましょう。
No.11387 - 2010/09/01(Wed) 02:50:57
☆ 別解 / angel
逆 ( 余事象 ) を考えるのも良いですね。
「10の倍数にならない」だと、
・10,5を含まない
　→ 8種類中3種類、8C3=56通り
・5を含むが、偶数を含まない
　→ 5および、1,3,7,9の奇数4種類中2種類、4C2=6通り

「10の倍数にならない」確率は、(56+6)/120 = 31/60 と計算できます。答はその余事象の確率で、1-31/60=29/60
2通り以上の方法で計算するクセをつけておくと、自然に答のチェックができますし、良いですよ。
No.11391 - 2010/09/01(Wed) 23:02:37
☆ Re: / らすかる
他には、場合分けしなくて済む方法として
(全体)=10C3通り
(2の倍数でない組合せ)=5C3通り　(奇数)
(5の倍数でない組合せ)=8C3通り　(5の倍数以外)
(2の倍数でも5の倍数でもない組合せ)=4C3通り　(1,3,7,9)
∴(2の倍数かつ5の倍数である組合せ)=10C3-5C3-8C3+4C3=58通り
という計算方法もあります。
No.11392 - 2010/09/02(Thu) 00:03:43
★ 高2　数2 / 秋人
円x^2＋y^2-4=0と円x^2-2x＋y^2-4y＋3=0の交点を通り、
中心が直線x-2y-2=0上にある円の方程式を求めよ。
まずk（x^2＋y^2-4）＋x^2-2x＋y^2-4y＋3=0と表せれるのはわかるのですが
これを変形して｛x-（1/k＋1）｝^2＋｛y-（2/k＋1）｝^2＝（4k^2＋k＋2）/（k＋1）^2・・・?@
となるのですが
（4k^2＋k＋2）/（k＋1）^2
この部分がどうしてもうまくいきません。
次数が３のものがでてきてしまうのです・・・
一度はできたのですが
ノートを紛失しまったために確認できずにいます。
また、疑問なんですが
（x^2＋y^2-4）＋k（x^2-2x＋y^2-4y＋3）=0として?@のような要領であらわすと
円の方程式の中心の座標がかわりますよね？
自分でやるとｘ座標がk/k＋1とかになりました・・・
これはいったいどういうことなんでしょうか。
誰か分かるかたおしえてください。おねがいします
No.11384 - 2010/08/31(Tue) 22:44:51
☆ Re: 高2　数2 / ヨッシー
k（x^2＋y^2-4）＋x^2-2x＋y^2-4y＋3=0
より
(k+1)x^2-2x＋(k+1)y^2-4y−4k＋3＝０
k+1=0 の時は、この式は直線を表し、今回は、そういう場合は
考えないので、両辺 k+1 で割ります。
　x^2-2x/(k+1)＋y^2-4y/(k+1)＝(4k−3)/(k+1)
完全平方にして、
　x^2-2x/(k+1)＋{1/(k+1)}^2＋y^2-4y/(k+1)＋{2/(k+1)}^2＝(4k−3)/(k+1)＋{1/(k+1)}^2＋{2/(k+1)}^2
　{x-1/(k+1)}^2＋{y-2/(k+1)}^2＝(4k−3)(k+1)/(k+1)^2＋5/(k+1)^2＝(4k^2+k-3+5)/(k+1)^2
です。この中心が、x-2y-2=0 上にあるので、
　1/(k+1)−4/(k+1)＝2
　-3/(k+1)＝2
より
　k+1＝-3/2
　k=-5/2
このとき、中心は、(-2/3, -4/3)　(半径は省略)

（x^2＋y^2-4）＋k（x^2-2x＋y^2-4y＋3）=0　とすると、
(1+k)x^2-2kx＋(1+k)y^2-4ky＝4-3k
両辺1+kで割って、
　x^2-2kx/(1+k)＋y^2-4ky/(1+k)＝(4-3k)/(1+k)
　x^2-2kx/(1+k)＋{k/(1+k)}^2＋y^2-4ky/(1+k)＋{2k/(1+k)}^2＝(4-3k)/(1+k)＋{k/(1+k)}^2＋{2k/(1+k)}^2
　{x-k/(1+k)}^2＋{y-2k/(1+k)}^2＝(-3k^2+k+4+5k^2)/(1+k)^2＝(2k^2+k+4)/(1+k)^2
この中心が、x-2y-2=0 上にあるので、
　k/(1+k)−4k/(1+k)＝2
　-3k/(1+k)＝2
　-3k＝2(k+1)
　ｋ＝-2/5
このとき中心は、(-2/3, -4/3)　(半径は省略)

となり、結果は同じになります。
No.11385 - 2010/08/31(Tue) 23:44:20
★ (No Subject) / rui


詳しい解説をお願いしたいです。

0≦θ≦πのとき、次の関数の最大値、最小値を求めよ。
?@y=3sinθ+4cosθ
?Ay=3sin^2+4sinθcosθ

教えてください。

答えは、?@最大値５最小値ー４?A最大値４最小値ー１です。

　
No.11376 - 2010/08/30(Mon) 17:19:48
☆ Re: / ヨッシー
(1) 合成の公式より
　ｙ＝５sin(θ＋α)
　sinα＝4/5, cosα＝3/5
と書けます。αは第１象限の角なので、0≦θ≦π のとき、
sin(θ＋α)自身は、θ＋α＝π/2 のとき最大、θ＝πのとき最小です。

(2)
sin^2θ＝(1−cos2θ)/2
2sinθcosθ＝sin2θ　より、
　ｙ＝(3/2)(1−cos2θ)＋2sin2θ
　　＝3/2＋2sin2θ−(3/2)cos2θ
合成の公式より
　ｙ＝3/2＋(5/2)sin(2θ＋α)
　sinα＝-3/5, cosα＝4/5　と書けます。
0≦2θ≦2π より、2θ＋α は、全周の角を取るので、
sin(2θ＋α) は、最大値１、最小値−１です。
No.11377 - 2010/08/30(Mon) 18:46:01
☆ Re: / rui


> ヨッシーさん
　解説ありがとうございました！


　
No.11382 - 2010/08/31(Tue) 15:30:42
★ (No Subject) / ナミネ
はじめてここを利用させていただきます。
解説のない問題なので、出来れば解答の大まかな流れを教えてください。
よろしくお願いいたします。

OA=2√2　OB=3　角度AOB=π/4である三角形OAB
OCベクトル=OAベクトル-(2/3)OBベクトルを満たす点をCとする

辺ABをt:1-tに内分する点をPとし、直線OPと直線BCの交点をQよする

(1)内積OA･OB、OC･ACの値を求めよ
(2)OQベクトル=k(OP)ベクトルとするとき、実数kの値をtを用いて表せ

(3)4点O A C Pが同一円周上にあるとする。
tの値を求めよ
三角形OBQの面積を求めよ
No.11375 - 2010/08/29(Sun) 23:59:31
☆ Re: / ヨッシー

図のように、ＯＢとＯＣは直角になることを確認しておきます。

(1)
ＯＡ・ＯＢ＝2√2×３×√2/2＝６
ＯＣ・ＡＣ＝ＯＣ・(ＯＣ−ＯＡ)
　＝|ＯＣ|2−ＯＣ・ＯＡ
　＝２2−２×2√2×√2/2＝０
（ＯＣ、ＡＣ は、見るからに直角ですが）

(2)
まず、
ＯＡとＢＣの交点をＤとすると、ＯＤ：ＤＡ＝３：２
より、メネラウスの定理より
　(ＯＱ/ＱＰ)(ＰＢ/ＢＡ)(ＡＤ/ＤＯ)＝１
　{k/(1-k)}{(1-t)/1}(2/3)＝１
これより、
　ｋ＝3/(5-2t)

(3)
∠ＯＣＡは直角なので、∠ＯＰＡが直角なら、
４点ＯＡＣＰは、同一円周上にあります。
　ＯＰ・ＡＢ＝{(1-t)ＯＡ＋ｔＯＢ}・(ＯＢ−ＯＡ)
　　＝５ｔ−３＝０
より　ｔ＝３／５
このとき、
　ｋ＝15/19
なので、
△ＯＡＢ＝３
△ＯＰＢ＝△ＡＢＣ×2/5＝6/5
△ＯＢＱ＝△ＯＰＢ×15/19＝18/19
No.11378 - 2010/08/30(Mon) 21:57:21
☆ Re: / ナミネ
解説ありがとうございます。
学校のプリントの問題だったのですが
先生の（3）の解答は 9/7 となっていました。
（1）（2）は先生の答えと一致しています。
先生の答えが間違っているのでしょうか？
No.11379 - 2010/08/30(Mon) 23:34:18
☆ Re: / ヨッシー
(3) は、
ｔ＝２／５
ｋ＝５／７

△ＯＰＢ＝△ＡＢＣ×3/5＝9/5
△ＯＢＱ＝△ＯＰＢ×５／７＝９／７
ですね。

失礼しました。
No.11380 - 2010/08/31(Tue) 00:09:49
☆ Re: / ナミネ
解説ありがとうございます。
ひとつわからない点があります。

(2)
まず、
ＯＡとＢＣの交点をＤとすると、ＯＤ：ＤＡ＝３：２

とのことですが、どこからこの比を求めたのでしょうか？
No.11381 - 2010/08/31(Tue) 11:26:25
☆ Re: / ヨッシー
ＤからＯＣに垂線ＤＥを下ろします。
ＣＥ：ＥＤ＝ＣＯ：ＯＢ＝２：３
ＯＥ：ＥＤ＝１：１＝３：３
よって、ＡＤ：ＤＯ＝ＣＥ：ＥＯ＝２：３
です。
No.11383 - 2010/08/31(Tue) 15:36:55
★ 割られる式の決定 / ドドラ
問題
x^2で割ると3x+2余り、x^2+2+1で割ると2x+3余るようなxの多項式のうちで、次数が最小のものを求めよ。

解説
多項式をP(x)とし、割る式x^2+1、x^2+x+1の積(x^2+1)(x^2+x+1)で割ったときの基本関係に注目すると
P(x)=(x^2+1)(x^2+x+1)Q(x)+R(x)　R(x)は3次以下または0
P(x)をx^2+1、x^2+x+1で割ったときの余りは、R(x)をx^2+1、x^2+x+1で割ったときの余りにそれぞれ等しいから、求める多項式はR(x)そのものである。

R(x)をx^2+1で割ったときの商は1次以下の式であり、条件から
R(x)=(x^2+1)(ax+b)+3x+2
同様に　R(x)=(x^2+x+1)(ax+c)+2x+3　と書ける。
よって(x^2+1)(ax+b)+3x+2=(x^2+x+1)(ax+c)+2x+3
この恒等式からa=1,b=2,c=1
したがって、求める多項式は
R(x)=(x^2+1)(x+2)+3x+2=x^3+2x^2+4x+4


i)なぜ多項式をP(x)とし、割る式x^2+1、x^2+x+1の積(x^2+1)(x^2+x+1)で割ったときの基本関係に注目するのか？

ii)なぜ求める多項式はR(x)そのものになるのか。

iii)R(x)=(x^2+1)(ax+b)+3x+2
同様に　R(x)=(x^2+x+1)(ax+c)+2x+3　となぜ書けるのか。

以上の３点が分かりません。
よろしくお願いします。
No.11370 - 2010/08/29(Sun) 18:08:57
☆ Re: 割られる式の決定 / rtz
問題文に間違いがありますね(× x2 → ○ x2+1)。

i)簡単にいえば、
＞P(x)をx2+1、x2+x+1で割ったときの余りは、R(x)をx2+1、x2+x+1で割ったときの余りにそれぞれ等しい
ことを利用するためです。
(x2+1)(x2+x+1)Q(x)の部分はx2+1、x2+x+1両方で割り切れますから、
余りがいくらということには関与しません。
両方で割れてしまうところは、もう割れることは分かっているのでどけておいて、
残った部分で余りを考えるということです。

ii)もし4次(R(x)は3次以下)以上なら、(x2+1)(x2+x+1)という4次式で割れてしまいますね。
それなら「次数が最小」という問題の条件に合いません。

iii)R(x)は3次以下ですから、R(x)＝px3+qx2+rx+sなどとおいてもいいのですが、
結局これをx2+1で割ってみると、
px+qという「1次式の商」と、(r-p)x+(s-q)という「1次式の余り」が得られます。
この余りは3x+2に他ならないので、ここから求めてもよいのですが、
「1次式の商」と「1次式の余り(＝3x+2)」となることは明白ですから、
ならば割る手間を考えて、最初から「1次式の商」をax+bとしておけば、
R(x)＝(x2+1)(ax+b)＋(3x+2)と表すことができます。
まぁテクニックの1つだと思ってください。
No.11371 - 2010/08/29(Sun) 19:03:21
☆ Re: 割られる式の決定 / ドドラ
詳しい説明ありがとうございます。
理解できました。
No.11373 - 2010/08/29(Sun) 22:14:01
★ 関数項級数の一様収束 / rio
(1)の解法なのですが、最後の∴sup以下の式の意味がわかりません。
わたしは、1/2nが求まった後に
与えられたεに対して、n>ε/2となるnを取れば、xとは無関係にg(x)<εと出来る。よって一様収束する。
と書きました。この論は間違いでしょうか。
No.11368 - 2010/08/29(Sun) 02:03:24
☆ Re: 関数項級数の一様収束 / サボテン
n>2/εの間違いですよね？

他の議論は問題ないと思います。
No.11369 - 2010/08/29(Sun) 15:10:54
☆ Re: 関数項級数の一様収束 / rio
すいません
1/2n<ε　より　n>1/2ε　となるnを取る　の間違いでした。これでは如何でしょうか。
No.11372 - 2010/08/29(Sun) 19:27:00
★ △ＡＢＣにおいて… / るゐ

△ＡＢＣにおいて、ＢＣ＝ａ、ＣＡ＝ｂ、ＡＢ＝ｃとする。
ａcosＡ＝ｂcosＢとｂtanＢ＝ｃtanＣがともに成り立つとき、
△ＡＢＣはどんな形をしているか。

正三角形になるみたいですが、式変形の方法を教えて下さい。

　
No.11364 - 2010/08/28(Sat) 16:28:26
☆ Re: △ＡＢＣにおいて… / ヨッシー
cos は余弦定理で、sin は正弦定理で辺の長さに変えるのが、
扱いやすいでしょう。
　ａcosＡ＝ｂcosＢ
は、余弦定理より
　ａ{(ｂ^2＋ｃ^2−ａ^2)/２ｂｃ}＝ｂ{(ｃ^2＋ａ^2−ｂ^2)/２ｃａ}
　ａ^2(ｂ^2＋ｃ^2−ａ^2)＝ｂ^2(ｃ^2＋ａ^2−ｂ^2)
　(ａ^2−ｂ^2)(ａ^2＋ｂ^2−ｃ^2)＝０　・・・(1)
まで、変形します。

　ｂtanＢ＝ｃtanＣ
は、
　ｂsinＢcosＣ＝ｃsinＣcosＢ　・・・(2)
正弦定理より
　sinＢ＝ｂ/２Ｒ、sinＣ＝ｃ/２Ｒ　（Ｒは外接円の半径）
よって、(2) は
　ｂ^2{(ａ^2＋ｂ^2−ｃ^2)/２ａｂ}＝ｃ^2{(ｃ^2＋ａ^2−ｂ^2)/２ｃａ}
　ｂ(ａ^2＋ｂ^2−ｃ^2)＝ｃ(ｃ^2＋ａ^2−ｂ^2)
　(ｂ−ｃ)(ａ^2＋ｂ^2＋２ｂｃ＋ｃ^2)＝０　　・・・(3)
(1) から言えることは、△ＡＢＣは
　ａ＝ｂ　の二等辺三角形　または　∠Ｃ＝90°の直角三角形
(3) から言えることは、△ＡＢＣは、
　ｂ＝ｃ の二等辺三角形

これらが両方満たされるのは、ａ＝ｂ＝ｃのとき。
No.11365 - 2010/08/28(Sat) 19:27:17
☆ Re: △ＡＢＣにおいて… / るゐ


解説有難うございます＞＜
助かりました。


　
No.11374 - 2010/08/29(Sun) 22:33:28
★ こう２ / 菊次郎
△OABがあり、OA＝4、OB=3,cos∠AOB＝2/3である。
OA→・OB→＝ア
辺ABを１：２にない分する点をCとし、辺OA上にOD→＝kOA（kは実数）となる点Dをとると
CD→＝｛k-（イ/ウ）OA→ - （エ/オ）OB→
これはCD→＝OD→ - OC→を利用すればいいだけですよね。
CD⊥ABのとき kの値を求めよ。
これはCD→・AB→＝０で解くだけですか？
一応計算が間違ってなければk=5/ 8になりました（暗算でやったので間違ってるかもしれないです。）
さらにこのとき、辺OB、AB上にそれぞれ点E,Fをとり、四角形CDEFが長方形になるようにすると
OF→＝（ク/ケコ）OA→＋（サシ/スセ）OB→である。
一応自分の答えは
1/24OA→＋17/24→OB→ （?）すいません。うろおぼえなので数値が違うかもしれないです。
分母がたしか２０なんとかになったきがします。
長方形になるということは
いまCD⊥ABなので点Cと点Dはちょうど垂線をおろした直線上と辺との交点というわけですから
要するに真下にあるってことですよね。
だから四角形CDEFが長方形になるっていうのは
EFの位置はだいたいきまってきますよね。
だからCE=DFとかなんとかを利用して
OF→＝OＣ→＋CD→＋DF→でまず1通り表して、つぎに
AF：FBをt:1-tするとの流れで
OF→をもう一通り表してあとは係数比較してkとtがでてくるのでtを消去するとkが
5/8となり
OD→＝5/8OA→＝5/8OB→となって
あ、これは長方形になりそうだな・・っておもって
答えたかんじなのですが、友達に聞いたところ
「それ普通にまちがってる。だいたいk=5/8とか同じになるわけないじゃん」と返されました。
自分でも間違ってるきがするので
誰か正しい答えを教えてください。おねがいします
No.11358 - 2010/08/28(Sat) 00:54:39
☆ Re: こう２ / 菊次郎
「OD→＝5/8OA→＝5/8OB→となって
あ、これは長方形になりそうだな・・っておもって」
すみません、この部分は誤りです。
あと答えは
OF→＝1/24OA→＋23/24OB→になりました。
No.11359 - 2010/08/28(Sat) 00:55:57
☆ Re: こう２ / ヨッシー
ＤＥ//ＡＢ より、
ＯＥ＝ｋＯＢ＝(5/8)ＯＢ
一方、ＤＣ＝(1/24)ＯＡ＋(1/3)ＯＢ
より
ＯＦ＝ＯＥ＋ＤＣ
　　　＝(1/24)ＯＡ＋(23/24)ＯＢ
です。
No.11363 - 2010/08/28(Sat) 10:39:32
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