高3です
放物線C:y=-(1/2)x^2+4x-6を考える。点(0,1)を通り、傾きがtの直線をlとする。ただし、4-??14≦t≦4+??14
i)C上の点Pにおける法線が直線lと点Qで直行するとき、PとQの座標を求めよ。
ii)線分PQの長さを最大にするtの値を求めよ。
よろしくお願いします。
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No.12883 - 2011/01/27(Thu) 20:57:23
| ☆ Re: / angel | | | まず、法線ってのは接線に垂直な直線なので、
(PにおけるCの法線)⊥(PにおけるCの接線)
(PにおけるCの法線)⊥(直線l)
ってところから、(PにおけるCの接線)と(直線l)が平行であることが分かります。つまり、接線の傾きも t
そうすれば、dy/dx=-x+4=t を解くことで、Pのx座標をtで表すことができ、Pの座標が求められるという寸法です。
Qの座標は…、素直に法線の方程式を出して、直線lの方程式と連立、でしょうか。
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No.12886 - 2011/01/27(Thu) 23:32:31 |
| ☆ Re: / はら | | | 一応やってみると、出てきた値が煩雑になってしまったのですが・・・
与条件より、lは y=tx+1…?@ とおける
P(p,(-1/2)p^2+4p-6),Q(q,tq+1)とおく
Pの座標はP(4-t,(-1/2)P^2+4p-6)とわかる(詳しい説明は省略します)
P≠-4として、?@よりPにおけるCの法線は y={1/(p-4)}x-p/(p-4)-(1/2)p^2+4p-6…?A
(ここからP=-4でも成立することを証明したのですが省略します)
またPにおけるCの法線とlはQで交わるので、?@と?Aにおいてyを消去し、x=qを代入すると
q/(p-4)-p/(p-4)-(1/2)p^2+4p-6=tq+1
-(q/t)+(4-t)/t-(1/2)t~2+2=tq+1
q-4+t+(1/2)t^3-t+qt^2=0
2(t^2+1)q=8-t~3
q=(8-t^3)/2(t^2+1)
tq+1=(-t^4+2t^2+10t)/2(t^2+1)
よってQ((8-t^3)/2(t^2+1),(-t^4+2t^2+10t)/2(t^2+1))
となるのですが、ここまで合ってますでしょうか？
このようにしてPQの長さを出すと、とても計算が煩雑になってしまうので、確信がもてません。
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No.12900 - 2011/01/29(Sat) 21:13:20 |
| ☆ Re: / angel | | | まあ確かに計算は面倒です。
ちなみにQの座標は ( (-t^3+8)/2(t^2+1), (-t^4+2t^2+8t+2)/2(t^2+1) ) です。ちょっと惜しい。
正しいかどうかは、適当なtの値を当てはめて確かめるのが手。
多分計算しやすいのはt=2の時です。
さて。どのように計算を工夫するかという所ですが、
・なるべく分数の計算を減らす
・具体的な計算はなるべく後回しにする
といったところでしょうか。
特にPのy座標はどうやっても2次式になるため、後の計算に響きます。そこで、Pの座標を(α,β)とでも置いて途中まで進めることにします。
なお、α=4-t, β=-1/2・α^2+4α-6=(4-t^2)/2 です。
そして法線の方程式ですが、傾きが -1/t なので、
y=-1/t・(x-α)+β
なのですが、分数を避けるため、(x-α)+t(y-β)=0 の形にしておきます。そうすると、
直線l：y=tx+1
Pでの法線：(x-α)+t(y-β)=0
の連立方程式を解く事になります。これを解いてからα,βに具体的な値を代入すれば、上で挙げた答になります。
(2)に関しても、α,βを残したままで計算した方が多分楽です。Qの座標を(γ,δ)とすると、P,Qのx座標,y座標の差は、
γ-α=t(t^2-8t+2)/2(t^2+1)
δ-β=-(t^2-8t+2)/2(t^2+1)
そのため、
PQ=√( (γ-α)^2+(δ-β)^2 )=|t^2-8t+2|/2√(t^2+1)
となります。( ||は絶対値 )
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No.13000 - 2011/02/06(Sun) 20:37:45 |
| ☆ Re: / ToDa | | | lとCのPを通る接線は平行で、またlは必ず点(0,1)を通るので、(0,1)とCのPを通る接線の距離を考えるというのが方法としては実戦的でしょうか。
出題者側がそれを意図しているなら、(1)はちょっと意地悪な問題設定ですね。
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No.13023 - 2011/02/09(Wed) 01:23:05 |
| ☆ Re: / angel | | | 失礼しました。上のPQの長さの分母を間違えていたため修正しました。
> 出題者側がそれを意図しているなら、(1)はちょっと意地悪な問題設定ですね。
ああ、(1)がなければ(0,1)と接線の距離で考えるところですね。私もすっかり誘導されてしまいました。
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No.13043 - 2011/02/11(Fri) 09:27:53 |
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