お聞きしたいことがあります。
1/(n+1)から1/nまでの積分で、tの範囲は0≦t≦1
∫√(1+(sin(π/t)+(π/t)cos(π/t))^2)dt≧4/(2n+1)
これを示したいのですがうまくいきません。
普通に計算して答えを出すわけではないようなのですが、どうしたらいいのでしょう？
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No.13560 - 2011/04/21(Thu) 17:31:17
| ☆ Re: / angel | | | 長くなるので何回かに分けていきます。
まずは、不等式の左辺にπ/t の形があって扱い辛いので置換積分します。
x=πt とすると、dt/dx=-π/x^2、t=1/(n+1), 1/n に対応する x は、x=(n+1)π,nπのため、
(左辺) = ∫[(n+1)π,nπ] √(1+(sinx+xcosx)^2)・(-π/x^2) dx
= π∫[nπ,(n+1)π] 1/x^2・√(1+(sinx+xcosx)^2) dx
※マイナスを解消するときに、積分区間が逆になることに注意
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No.13596 - 2011/04/29(Fri) 08:06:06 |
| ☆ Re: / angel | | | 続いて、√を含んだ形をどうするかですが、曲線の長さを計算する式 L=∫[x1,x2]√(1+f'(x)^2)dx のことを考えると、
√(1+f'(x)^2) = L'(x)
のように表せることに着目します。
ちょうど f(x)=xsinx とするとき、f'(x)=sinx+xcosx です。
ということで、L(x) を、y=f(x)=xsinx の長さとして話を進めます。イメージとしては添付の図をご参照下さい。
簡単のため、a=nπ, b=(n+1)π, m=(n+1/2)π、n を偶数 ( つまり、a≦x≦b において f(x)≧0 )、L(a)=0 ( つまり、(a,f(a))から(x,f(x))までの長さがL(x) ) とします。
そうすると、L'(x)=√(1+f'(x)^2) ですから、
(左辺)=π∫[a,b] L'(x)/x^2・dx
と表すことができます。
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No.13607 - 2011/04/29(Fri) 23:54:53 |
| ☆ Re: / angel | | | 後は導入したL(x)の大きさを見積もります。
ここで、a≦x≦m と m＜x≦b で事情が異なるため、分けて考えてみます。
添付の図の通り、
a≦x≦m では L(x)≧f(x) 特に L(a)=0, L(m)≧f(m)
m＜x≦b では L(x)-L(m)≧f(m)-f(x)
よって L(x)≧L(m)+f(m)-f(x)≧2f(m)-f(x) 特に L(b)≧2f(m)
では、計算に移ります。
まずは部分積分 ∫uvdx = Uv - ∫Uv'dx ( U=∫udx ) から
(左辺)=π∫[a,b] L'(x)/x^2・dx
= π( [ L(x)/x^2 ][a,b] -∫[a,b] L(x)・(-2/x^3)dx )
= π( L(b)/b^2-L(a)/a^2 ) + 2π∫[a,b] L(x)/x^3・dx
= πL(b)/b^ + 2π( ∫[a,m] L(x)/x^3・dx + ∫[m,b] L(x)/x^3・dx )
∫L(x)/x^3・dx の区間を分けたのは、L(x)の見積もりがmを境に変わっているのに対応させたためです。ここで上の見積もりを導入。
(左辺)≧π・2f(m)/b^2 + 2π( ∫[a,m] f(x)/x^3・dx + ∫[m,b] (2f(m)-f(x))/x^3・dx )
= 2πf(m)/b^2 + 4πf(m)∫[m,b] dx/x^3 + 2π( ∫[a,m] f(x)/x^3・dx - ∫[m,b] f(x)/x^3・dx )
最後に f(x)/x^3 = sinx/x^2 となりますから、1/x^2 を定数で見積もってあげます。プラスの項では分母が大きくなるように、マイナスの項では分母が小さくなるように。
(左辺) ≧ 2πf(m)/b^2 + 4πf(m)∫[m,b] dx/x^3 + 2π( ∫[a,m]sinx/m^2・dx - ∫[m,b] sinx/m^2・dx )
= 2πf(m)/b^2 + 4πf(m)∫[m,b] dx/x^3 + 2π/m^2・( ∫[a,m] sinxdx - ∫[m,b] sinxdx )
これを計算すれば解にたどり着けます。
なお、n が奇数の場合は符号が逆になりますが、話としてはほぼ同じになります。
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No.13610 - 2011/04/30(Sat) 10:51:34 |
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