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★ 重心を通る線分は面積を2等分？ / 28

任意の三角形でその重心を通る直線は三角形の面積を二等分する 99年東工大？の問題についてですが、この命題はどうやって証明しますか？ 中線によって区切られる6つの領域の面積が等しいことから解こうとしたのですが・・・ また、四角形、五角形、円と増えていくとどう証明されますか？ No.13504 - 2011/04/05(Tue) 23:17:02 ☆ Re: 重心を通る線分は面積を2等分？ / らすかる その命題は成り立ちませんので証明できません。 No.13505 - 2011/04/05(Tue) 23:52:41 ☆ Re: 重心を通る線分は面積を2等分？ / シャロン 反例を挙げる。 △ABCの重心Gを通り辺ABに平行な直線が、辺ACおよびBCと交わる点をそれぞれD、Eとする。また辺ABの中点をMとすれば、 △ABC∽△DECでCG=(2/3)CMから、△DEC=(2/3)^2*△ABC いまDEは重心Gを通るが、それは△ABCを4:5に分割する。 No.13507 - 2011/04/06(Wed) 01:00:30

★ 数学　演習問題 / 土肥

数学 お茶の水女子大学の問題です 相異なるn個の実数a1,a2,a3,・・・,anが不等式 a[1]-a[2]>a[2]-a[3]>・・・>a[n-1] - a[n]>a[n]-a[1](n≧3）を満たすならば、a[1]〜a[n]のうちで a[1]が最大であることを示せ。 解答 n個の数 a[1]-a[2] ,a[2]-a[3],a[3]-a[4]、・・・、a[n-1] - a[n]、a[n-a[1]は【単調減少数列】で、どれも0でなく、和が0であるから、 a[k-1] - a[k]>0>a[k]-a[k＋1] (2≦k≦n)を満たす自然数kがある。 ただし、a[n＋1]=a[1]とする。 a[1]>a[2]>・・・>a[k-1]>a[k]<a[k＋1]<・・・<a[n]<a[1] よってa1が最大である。 まず、単調減少数列とはどういう意味なのでしょうか？ちなみに数学?V,Ｃは習ってません。 また、 ＜〜は【単調減少数列】で、どれも0でなく、和が0であるから・・・＞ この文の意味が理解できません。 正直、解答を見てもやってることがさっぱりです； 誰か分かる方教えてください。お願いします。 No.13499 - 2011/04/05(Tue) 19:10:30 ☆ Re: 数学　演習問題 / ヨッシー 単調減少数列とは、 　5,4,2,1,0,-2,-4 のように、常に減り続ける数列のことです。 単調減少数列の項がすべて正であれば、和は正、 すべて負なら、和は負になります。 和が０になるということは、 　4,2,-1,-2,-3 のように、最初は正で、やがて負になるような数列であるはずです。 すると、どこかに、正の数から、負の数に変わるところがあるはずです。(上の例では、２から-1に変わるところ) 元の数列で表すと、 　a[2]-a[3]＝２＞０＞a[3]-a[4]＝−１ です。 上の例について言うと 　a[1]-a[2]＞a[2]-a[3]＞０＞a[3]-a[4]＞a[4]-a[5]＞a[5]-a[1] となります。 一般に書くと、 　a[1]-a[2]＞a[2]-a[3]＞・・・＞a[k-1]-a[k]＞０ 　＞a[k]-a[k+1]＞・・・＞a[n-2]-a[n-1]＞a[n-1]-a[n]＞a[n]-a[1] となります。 これらは、０を基準に考えると、 　a[1]-a[2]＞０ 　a[2]-a[3]＞０ 　　・・・ 　a[k-1]-a[k]＞０ 　０＞a[k]-a[k+1] 　　・・・ 　０＞a[n-2]-a[n-1] 　０＞a[n-1]-a[n] 　０＞a[n]-a[1] と書け、それぞれ 　a[1]＞a[2] 　a[2]＞a[3] 　　・・・ 　a[k-1]＞a[k] 　a[k]＜a[k+1] 　　・・・ 　a[n-2]＜a[n-1] 　a[n-1]＜a[n] 　a[n]＜a[1] となり、 a[1]>a[2]>・・・>a[k- 1]>a[k]<a[k＋1]<・・・<a[n]<a[1] よってa1が最大である。 が言えます。 No.13500 - 2011/04/05(Tue) 21:07:56 ☆ Re: 数学　演習問題 / 土肥 　4,2,-1,-2,-3 のように、最初は正で、やがて負になるような数列であるはずです。 すると、どこかに、正の数から、負の数に変わるところがあるはずです。(上の例では、２から-1に変わるところ) 元の数列で表すと、 　a[2]-a[3]＝２＞０＞a[3]-a[4]＝−１ これはa[2]=2 a[3]=-1　a[4]=-2としているのでしょうか？ No.13506 - 2011/04/06(Wed) 00:06:03 ☆ Re: 数学　演習問題 / ヨッシー a[1],a[2],a[3]・・・がそれぞれいくつなのかはわかりませんが、 　a[1]-a[2]=4 　a[2]-a[3]=2 　a[3]-a[4]=-1 　a[4]-a[5]=-2 　a[5]-a[1]=-3 であることだけは確かです。 No.13511 - 2011/04/06(Wed) 06:44:46

★ 簡単な燃費の計算なんですが・・・ / ぴゅうーぼよん

車で10ℓの燃料で100km走行すると、1ℓあたりの燃費は 100÷10＝10kmとなりますよね。 次に20ℓで160km走行すると、1ℓあたりの燃費は 160÷20＝8kmになりますよね。 そこで、この２回分の1ℓあたりの燃費平均を求めるのに正しいのはどちらなのか教えてください。 ＊1回目の燃費10k/ℓと2回目の燃費8k/ℓをたして2で割る。 (10＋8)÷2＝9 ＊2回分の走行距離を2回分の燃料量で割る。 (100＋160)÷(10＋20)＝8.6666・・・・ どちらがなぜ正しく、なぜ誤りなの教えてください。 No.13498 - 2011/04/05(Tue) 18:38:38 ☆ Re: 簡単な燃費の計算なんですが・・・ / ヨッシー 後者の8.666 が正しいです。 こういうのは、極端な例を考えると違いがよくわかります。 1リットルの燃料で10km走って、燃費10km。 10000リットルの燃料で80000km走って、燃費8km。 ほとんどすべての燃料を、燃費8kmで走っているのに、 平均燃費9km ではおかしいですね。 燃費というのは、それ自体、平均のようなものです。 　１０リットルで１００ｋｍ　１リットルあたり１０ｋｍ 　１０人の合計点が１００点　１人の平均１０点 いわば、燃料１リットルあたりの平均点のようなものです。 部分の平均から全体の平均を出すには、全体の点数、全体の人数を 出してから、割るというのが正しいやり方です。 式で書くと、 　(燃費1×燃料量1＋燃費2×燃料量2＋・・・＋燃費n×燃料量n)÷(燃料量1＋燃料量2＋・・・＋燃料量n) で計算します。 これは、加重平均というやり方で、燃費10kmで走ったときに 使った燃料の量と、燃費8kmで走ったときに使った燃料の量の 重みが違うので、燃料量を掛けて重み付けをしています。 同じ１０リットルずつで、100km、80km 走ったときは、 　(10+8)÷2＝9 で正しいですが、これはたまたま重みが一緒であったためで、 　(燃費1×燃料量1＋燃費2×燃料量2)÷(燃料量1＋燃料量2) において、燃料量1＝燃料量2 であるので、 　(燃費1×燃料量1＋燃費2×燃料量1)÷(燃料量1＋燃料量1) 　＝(燃費1＋燃費2)÷２ と約分できるからです。 No.13501 - 2011/04/05(Tue) 21:32:25 ☆ Re: 簡単な燃費の計算なんですが・・・ / ぴゅうーぼよん ありがとうございました。 No.13513 - 2011/04/06(Wed) 18:12:57

★ 確立 / mj
AとBの2人がじゃんけんで勝負をすることにした。先に3勝したほうを勝者とするとき、4回目のじゃんけんでAが勝者となる確率はいくらか。ただし、あいこも1回と数えるものとする。 よろしくお願いします No.13495 - 2011/04/05(Tue) 08:10:16 ☆ Re: 確率 / ヨッシー ○を勝ち、×を負け、△をあいことすると、 Ａが４回目で勝者となる星取りは、 〇〇×○　〇〇△○ ○×○○　○△○○ ×○○○　△○○○ の６通り。 それぞれ、起こる確率は、1/3×1/3×1/3×1/3＝1/81 であるので、求める確率は、 　6/81＝2/27 No.13496 - 2011/04/05(Tue) 08:28:01 ☆ Re: 確立 / mj ありがとうございました。 No.13497 - 2011/04/05(Tue) 08:40:41

★ 図形と方程式　高校２年 / カナメ

ｋ＞０とする。ｘｙ平面上の二曲線 ｙ＝ｋ(ｘ-ｘ^3) ｘ＝ｋ(ｙ-ｙ^3) が第一象限にα≠βとなる交点(α,β)をもつようなｋの範囲を求めよ。 という問題で、上記の二式が対称式で足したり引いたりなどしてｘ^2+ｙ^2＝1…?@ ｘｙ＝1/ｋ…?A という式を得られました。問題はこのあとなんですが、解答には ｢この?@、?Aがｘ＞０、ｙ＞０、ｘ≠ｙを満たす解を持つことが題意が成り立つための必要十分条件であり、それは(1/√2,1/√2)が領域ｘｙ＞1/ｋにあることで、1/2＞1/k ∴ｋ＞２｣ (?T)ｘ≠ｙなのになぜ(1/√2,1/√2)が出てくるのか (?U)ｘｙ＞1/ｋにあればなぜ必要十分条件になるのか 以上の質問に答えていただければ嬉しいです また、以前教えてもらった時に 【(?T)について ?Aの式 xy=1/k はxとyを入れ替えても同じ式になるから，【?Aの関数はy=xに関して対称】となる。 ということは?Aの式はy=xに関して対称である，という条件を満たしながら動くことになる。 ?@と?Aの交点(α，β)がα≠βとなるには， ★?@とy=xの交点―つまりx=y=1/√2―を?Aが通る時よりも，?Aのグラフが原点に近い方でないといけない。 ということで，この条件を式にしたものが xy>1/kなる領域に(1/√2,1/√2)がある ということ．】 といわれたのですが まず、【xy=1/k はxとyを入れ替えても同じ式になるから，【?Aの関数はy=xに関して対称】となる。】の意味がいまいちよくわからないのと 図示してみても【★?@とy=xの交点―つまりx=y=1/√2―を?Aが通る時よりも，?Aのグラフが原点に近い方でないといけない。】というのがいまいちよく理解できません。(図がまちがってるかもしれないです) わかる方教えてください。よろしくおねがいします。 No.13491 - 2011/04/04(Mon) 01:49:14 ☆ Re: 図形と方程式　高校２年 / ヨッシー ｘ^2+ｙ^2＝1…?@ ｘｙ＝1/ｋ…?A が、第１象限で、異なる２交点を持てば、それが求める交点であるので、 両者が２点で交わるｋの値を考えます。 一方は円、もう一方は双曲線(反比例のグラフ)であるので、 点(1/√2, 1/√2) で１点で交わる 1/k＝0.5 のときを境に、 交わる、交わらないが分かれる。 というわけで、1/k＜1/2 のとき、２点で交わる、となります。 (1/√2,1/√2)は、両グラフが交わるか交わらないかの境目 つまり、１点で接するときの接点であり、最初の条件ｘ≠ｙとは 関係ありません。 No.13502 - 2011/04/05(Tue) 22:14:52 ☆ Re: 図形と方程式　高校２年 / ヨッシー ちなみに、交点が必ず、 　x^2＋y^2＝1 の円上にあるということを実感する図です。 No.13503 - 2011/04/05(Tue) 22:27:25

★ (No Subject) / あかさ
不定積分∫1/(cosx)~3dxってどうやったら求まりますか？ 色々な解き方があるなら、それも知りたいです。 No.13490 - 2011/04/04(Mon) 00:19:37 ☆ Re: / X では解法の一つを。 ∫dx/(cosx)^3=∫{(cosx)/(cosx)^4}dx と変形してsinx=tと置くと ∫dx/(cosx)^3=∫dt/(1-t^2)^2 =∫dt/{(1+t)(1-t)}^2 後は 1/{(1+t)(1-t)}^2 を部分分数分解して積分を計算します。 No.13493 - 2011/04/04(Mon) 18:37:47

★ 確率高２ / ほむほむ

サイコロを投げて、xy平面上の点P0、P1、・・・・・・、Pnを次の規則(a)(b)によって定める。 (a)P0=(0,0) (b)1≦k≦nのとき、k回目に出た目の数が1,2,3,4,のときにはPk-1をそれぞれ東、西、南、北に(1/2)^kだけ動かした点をPkとする。 また、k回目に出た目の数が5,6のときにはＰk=Pk-1とする。 ただし、y軸の正の向きを北と定める。 (1)Pnがx軸上にあれば、P0,P1・・・・・・、Pn-1もすべてx軸上にあることを示せ。 (2)Pnが第１象限｛(x,y)|x>0,y>0｝にある確率をnで表せ。 まず、問題文について 【k回目に出た目の数が1,2,3,4,のときにはPk-1をそれぞれ東、西、南、北に(1/2)^kだけ動かした点をPk】 この意味についてなのですが 解答を見ると、1の目は東に 2の目は西に 3の目は南に 4の目は北に対応してるとのことでした。 ですが、この問題文を初めに見たとき 1,2,3,4のうちどれか１つがでれば ↑ ← Pk-1 → ↓ のように東西南北にそれぞれ動くということだと捉えてしまいました。 また、解答では a回目に初めて北or南に動いたとすると 動く大きさは(1/2)^a a＋1回目は(1/2)^a＋1 ・・・・・・・ n回目は(1/2)^n これら (1/2)^a＋1 ＋(1/2)^a＋2 ＋ ・・・・・・＋(1/2)^nの和は最初に動いた(1/2)^aより小さいというのを用いていました。 これはa回目 a＋1回目・・・n回目にそれぞれ動く大きさを排反と捉えているのでしょうか？ 次に (２)について これは解答の一部がわからないので一応全部答えを書き写します。 次のそれぞれの場合がある。 (ア)原点にある (イ)x軸の原点以外の部分にある (ウ)y軸の原点以外の部分にある (エ)x軸上にもy軸上にもない (ア)は 5か6の２通りなので(2/6)^n (イ)になるのは、毎回1,3,5,6のいずれかが出る場合から5,6が出る場合を除いたときで その確率は(4/6)^n − (2/6)^nです。 (ウ)になる確率も(イ)と同様 １(全体の確率)から(ア)、(イ)、(ウ)を除いたのが(エ)になる確率で (エ)＝1 - 2・(2/3)^n＋(1/3)^n ・・・?@ この確率を第1,2,3,4象限で分け合っているという形で第１象限にある確率は?@の1/4 よって答えは1/4 × ?@ 自分の思いついた方針もこれと同じだったのですが (イ)を毎回1,3がでればいいので(2/6)^n (ウ)を毎回2,4がでればいいので(2/6)^nとしてしまいました。 どうしてこれじゃあいけないのでしょうか？ 誰かわかる方教えてください おねがいします。 No.13486 - 2011/04/03(Sun) 21:15:09 ☆ Re: 確率高２ / X >>これはa回目 a＋1回目・・・n回目にそれぞれ動く大きさを排反と捉えているのでしょうか？ ごめんなさい。質問の意味がよく分かりません。 >>(イ)を毎回1,3がでればいいので〜 (イ)の場合、例えば 1回目〜n-1回目が全て1の目でn回目が5の目 であっても条件を満たします。 つまりn回の試行のうち、少なくとも1回の試行で 1又は3の目が出れば、残りの試行が全て5,6の目であっても 条件を満たします。 (ウ)の場合も同様です。 No.13487 - 2011/04/03(Sun) 22:06:42 ☆ Re: 確率高２ / シャロン >これはa回目 a＋1回目・・・n回目にそれぞれ動く大きさを排反と捉えているのでしょうか？ a〜n回までの移動の事象が違いに排反だから、距離を足し合わせているのではない。 P_nのy座標をy[n]とかくことにすると、 |y[n]-y[a]|≦|y[n]-y[n-1]|+|y[n-1]-y[n-2]|+...+|y[a+1]-y[a]| (∵三角不等式|x+y|≦|x|+|y|) ≦(1/2)^n+(1/2)^(n-1)+...+(1/2)^(a+1) (∵n回めにサイコロを振った出目による移動で南北方向に移動する距離の絶対値|y[n]-y[n-1]|は、3または4が出たときは(1/2)^n、それ以外では0なので、|y[n]-y[n-1]|≦(1/2)^n) = (1/2)^(a+1)*(1-(1/2)^(n-a))/(1-1/2) (∵初項(1/2)^(a+1)、公比1/2、項数n-aの等比数列の和) = (1/2)^a*(1-(1/2)^(n-a)) ＜(1/2)^a (∵(1/2)^(n-a)＞0) = |y[a]| なので、a回めのサイコロの出目で初めて南(北)へ移動しx軸から外れたら、それ以降の出目がすべて北(南)へ移動したとしても移動距離の合計がa回めで移動した距離以上にならないので、x軸上へ戻ることはできない。 ということをいっている。 No.13488 - 2011/04/03(Sun) 22:39:32 ☆ Re: 確率高２ / ほむほむ 回答ありがとうございます。 理解力が足りないゆえ恐縮ですがわからないところを追加で質問させていただきます。 例えばk=3とすると 1≦3≦nのとき、３回目に出た目の数が１，２，３，４のときにはＰ2をそれぞれ東、西、南、北に(1/2)＾ｋだけ動かした点をP３とする。 となりますが、この場合１回目と２回目はどうなるんですか？ 例えば１回目に２が出て２回目に３がでても 規則(b)には当てはまらないので(規則(b)は今【3回目】に出た目に関しては動かしたりとどまったりできるというルールであり、それ以外の回数についてはこのルールは無関係) ０回目(P0=(0,0))の位置と1回目と2回目は変わらないんでしょうか？ その場合Ｐ2というのはP0と同じ(０，０)にとどまっているままなのでしょうか？ また、 (1/2)^a＋1 ＋(1/2)^a＋2 ＋ ・・・・・・＋(1/2)^n＜(1/2)^a・・・?@ という式について。 a回目のサイコロの出目で初めて移動するとする。 わかりやすくするために a=２とおきます。 じゃぁ?@の式は (1/2)^3 ＋(1/2)^4 ＋ ・・・・・・＋(1/2)^n＜(1/2)^2とおけますよね。 まず最初の(1/2)^3というのは３回目に規則(ｂ)の効果が発動するんですよね？これってさっきk=3とおいてたとえてみたのと同じで１回目２回目はまったく無関係で３回目に初めて(1/2)^３だけ移動して４回目〜n回目も規則(ｂ)は無関係なのですよね？ なんだか意味がわからなくなってきました。 説明が下手で本当に申し訳ないです＾＾； No.13489 - 2011/04/04(Mon) 00:00:02 ☆ Re: 確率高２ / シャロン 問題の、というか規則(b)の解釈が間違っている。 kは固定された値でなく、順次変わる値である。 1回めのサイコロを振るときには、規則(b)をk=1として適用する。 2回めのサイコロを振るときには、規則(b)をk=2として適用する。 : : n回めのサイコロを振るときには、規則(b)をk=nとして適用する。 >この場合１回目と２回目はどうなるんですか？ 3回めのサイコロを振ったときにはもうすでに1,2回めの処理は終わっている。その時その時の出目にしたがって、動点は移動している。 >例えば１回目に２が出て２回目に３がでても この場合には、1回めで西に1/2、2回めで南に1/4移動したあと、つまり、P_2が(-1/2,-1/4)の位置から、 規則(b) (k=3として)と3回めの出目にしたがってP_3が決まる。 No.13492 - 2011/04/04(Mon) 11:47:23 ☆ Re: 確率高２ / カナメ 規則(b)完全に勘違いしていました＾＾； ですがおかげで理解できました。 このたびは本当にありがとうございました！ No.13494 - 2011/04/04(Mon) 21:13:38

★ 根号を含む式の計算 / ぽむ

中学３年の問題です。 (√3+2)(√3+6)-6/√3　がわかりません。 答えは、6√3+15です。 以下まではあっている気がします まず(√3+2)(√3+6)を展開させて (√3)^2+8√3+12-6√3/3 ですよね・・・。 間違っていたら指摘お願いします。 No.13483 - 2011/04/03(Sun) 10:16:35 ☆ Re: 根号を含む式の計算 / ヨッシー そこまでは合っています。 さらに、 　(√3)^2 はいくつになりますか？ 　6√3/3 は約分したらいくつになりますか？ を考えます。 No.13484 - 2011/04/03(Sun) 10:51:56 ☆ Re: 根号を含む式の計算 / ぽむ (√3)^2 = 3 6√3/3 =2√3 ですよね (√3)^2+8√3+12-6√3/3 ↓↓↓ 3+8√3+12-2√3 6√3+15.... おおおおおおっ　答えになりました。 ありがとうございます！ No.13485 - 2011/04/03(Sun) 11:39:16

★ 数学 確立の問題 高２ / ばくはげ

＜問題＞ 数字1,2,3をn個並べてできるn桁の数全体を考える。そのうち1が奇数回現れるものの個数をa[n]、 1が偶数回現れるか、まったく現れないものの個数をb[n]とする。a[n+1],b[n+1]をa[n],b[n]で表せ。 ＜解答例＞ n+1桁の数で、1が奇数回現れるもの（a[n+1]個ある）は、n桁で1が奇数回現れるもの（a[n]個ある）の 右に2か3をつけるか、または、1が偶数回現れるか、まったく現れないもの（b[n]個ある）の右に1を つけて得られるから、a[n+1]=2[an]+b[n]。＊bn+1については省略します。 【a[n+1]=2a[n]+b[n]】の意味について質問です。 ためしにa[5]で考えてみると a[5]は５桁(○○○○○)のうち1が奇数回現れるものの個数ですよね。 これをa[4]とb[4]を使って等式を作ると a[4]は【1】232● といった場合でa[5]のとき、●には２or3がくるので２通り b[4]は、【1】2【1】3●といった場合(1が偶数個)や、２３２２●(1が現れない)といった場合であり a[5] つまり1が奇数個でるためには●に1が入ればよいので1通り したがって a[5]＝2・a[4]＋1・b[4] これを一般化したものが a[n+1]=2a[n]+b[n]ということなのでしょうか？ ここでひとつ疑問が浮かび上がってきたのですが 2×a[n]と1×b[n]の意味について これは、例えば１、２、３の三枚のカードを使って３桁の数が偶数になる場合を答えなさいという問題があったとして ○○●の３桁で●には２が入るのが確定しているので１通り。○○には１，３がはいるので２！＝２通り したがって２×1＝2通り となるときのように ○○の場合の数 × ●の場合の数 というのは 2×a[n]と1×b[n]の計算式と同じ意味でしょうか？ 数学が苦手なのでわかりません； 誰かわかる方おしえてください。おねがいします。 No.13478 - 2011/04/02(Sat) 21:55:25 ☆ Re: 数学 確立の問題 高２ / X >>したがって >>a[5]＝2・a[4]＋1・b[4] これを一般化したものが >>a[n+1]=2a[n]+b[n]ということなのでしょうか？ その通りです。 >>○○の場合の数 × ●の場合の数 というのは >>2×a[n]と1×b[n]の計算式と同じ意味でしょうか？ 「意味」というのが考え方という意味であれば、 同じ考え方です。 No.13480 - 2011/04/02(Sat) 23:20:22

★ 数?Vの微分の問題です / 高３

次の関数において、x=0における連続性および微分可能性を調べよ。ただし、〔x〕はxを超えない最大の整数とする。 （１） f(x)=x〔x〕 （２） f(x)=｜x｜cosx （３） f(x)=〔cosx〕 略解しかないので困っています。詳しい解法を教えてもらえるとありがたいです。よろしくお願いします。 No.13477 - 2011/04/02(Sat) 20:51:44 ☆ Re: 数?Vの微分の問題です / シャロン f(x)がx=aで連続⇔lim_{x→a}f(x)が存在して、lim_{x→a}f(x)=f(a) f(x)がx=aで微分可能⇔lim_{h→0}((f(a+h)-f(a))/h)が存在する また、f(x)がx=aで微分可能⇒f(x)はx=aで連続 以上を踏まえて、 (1) 0＜x＜1ではf(x)=0、-1＜x＜0ではf(x)=-x、f(0)=0なので、 lim_{x→0}f(x)=f(0) よりf(x)はx=0で連続。 また、 lim_{h→+0} ((f(h)-f(0))/h) = lim_{h→+0} (0/h) = 0 lim_{h→-0} ((f(h)-f(0))/h) = lim_{h→-0} (-h/h) = -1 より、右極限と左極限が一致しないので極限lim_{h→0} ((f(h)-f(0))/h)は存在しない。 ∴f(x)はx=0で微分可能でない。 (2) -xcos(x)≦f(x)≦xcos(x)から、-x≦f(x)≦xで、 lim_{x→0}x=0 lim_{x→0}(-x)=0 から、lim_{x→0}f(x)=0 f(0)=0より、f(x)はx=0で連続。 また、 lim_{h→+0} ((f(h)-f(0))/h) = lim_{h→+0} (hcos(h)/h) = lim_{h→+0} cos(h) = 1 lim_{h→-0} ((f(h)-f(0))/h) = lim_{h→-0} (-hcos(h)/h) = lim_{h→+0} (-cos(h)) = -1 より、右極限と左極限が一致しないので極限lim_{h→0} ((f(h)-f(0))/h)は存在しない。 ∴f(x)はx=0で微分可能でない。 (3) -π/2＜x＜π/2かつx≠0で0＜cos(x)＜1より、-π/2＜x＜π/2かつx≠0でf(x)=0なので、 lim_{x→0}f(x)=0 しかしcos(0)=1からf(0)=1であり、lim_{x→0}f(x)≠f(0)なので、f(x)はx=0で連続でない。 さらに、連続でないので微分可能でもない。 No.13479 - 2011/04/02(Sat) 23:04:03 ☆ Re: 数?Vの微分の問題です / 高3 ありがとうございました。とてもわかりやすい説明でした。 No.13481 - 2011/04/02(Sat) 23:35:34

★ (No Subject) / chico

円に関する定理のようなものの質問です。 ある問題を解いていて、分からなかったので解説を見たところ、この定理が使われていました。 ｘ^2＋ｙ^2＋ｌｘ＋ｍｙ＋ｎ＝０　と ｘ^2＋ｙ^2＋ｌ'ｘ＋ｍ'ｙ＋ｎ'＝０　が２点で交わるとき、 ｋ（ｘ^2＋ｙ^2＋ｌｘ＋ｍｙ＋ｎ）＋（ｘ^2＋ｙ^2＋ｌ'ｘ＋ｍ'ｙ＋ｎ'）＝０ が、 ｋ＝−１　のとき　２つの交点を通る直線を ｋ≠−１　のとき　２つの交点を通る円をあらわす。 これが、どうしてこのように直線や円を表すことになるのかが分かりません。出来るだけ噛み砕いて説明していただけると助かります。 読みづらくてすみません。よろしくお願いします。 No.13474 - 2011/04/02(Sat) 17:54:41 ☆ Re: / ヨッシー ｋ（ｘ^2＋ｙ^2＋ｌｘ＋ｍｙ＋ｎ）＋（ｘ^2＋ｙ^2＋ｌ'ｘ＋ｍ'ｙ＋ｎ'）＝０　・・・(1) を展開すると、 　(k+1)x^2＋(k+1)y^2＋(kl+l')x＋(km+m')ｙ＋(kn+n')＝０ となります。 ｋ＝−１ のとき 　(l'-l)x＋(m'-m)ｙ＋(n'-n)＝０ となって、直線の式になります。 　l=l' かつ m=m' のときは、直線になりませんが、この場合は、 そもそも、元の２つの円が、同じ中心を持つ円になるので、 ２点で交わることはありません。 ｋ＝−１ のとき k+1≠0 より、 　(k+1)x^2＋(k+1)y^2＋(kl+l')x＋(km+m')ｙ＋(kn+n')＝０ の両辺を k+1 で割って、 　x^2＋y^2＋(kl+l')x/(k+1)＋(km+m')y/(k+1)＋(kn+n')/(k+1)＝０ となり、円の式になります。 これで、(1) が、直線または円を表すことがわかりました。さらに、 ２つの交点を(a,b) (c,d) とすると、これらの点は、 　ｘ^2＋ｙ^2＋ｌｘ＋ｍｙ＋ｎ＝０ 　ｘ^2＋ｙ^2＋ｌ'ｘ＋ｍ'ｙ＋ｎ'＝０ の両方の円周上にあるので、 　a^2＋b^2＋ｌa＋ｍb＋ｎ＝０ 　c^2＋d^2＋ｌc＋ｍd＋ｎ＝０ および、 　a^2＋b^2＋ｌ'a＋ｍ'b＋ｎ'＝０ 　c^2＋d^2＋ｌ'c＋ｍ'd＋ｎ'＝０ が成り立ちます。すると、(1) の左辺に(a,b)、(c,d) を代入した。 　k(a^2＋b^2＋ｌa＋ｍb＋ｎ)＋(a^2＋b^2＋ｌ'a＋ｍ'b＋ｎ') や 　k(c^2＋d^2＋ｌc＋ｍd＋ｎ)＋(c^2＋d^2＋ｌ'c＋ｍ'd＋ｎ') は０となり、(1) が、２点(a,b)、(c,d) に対して成り立つことがわかり、 (1) は、２交点を通る、直線または円であることがわかります。 No.13475 - 2011/04/02(Sat) 19:04:55 ☆ Re: / chico ２交点を通る理由までとても詳しく、 おかげで腑に落ちました！ ありがとうございましたっ！ No.13476 - 2011/04/02(Sat) 20:31:00

★ 新高１　三角形の内心 / のんのん
△ABCの内心をIとするとき、∠BIC＝９０度＋(1/2)∠A が成り立つことを示せ。 という問題です。 高校の予習をしてこいと言われしているのですが、どうやっていいか分かりません。 よろしくお願いします。 No.13472 - 2011/04/02(Sat) 14:31:54 ☆ Re: 新高１　三角形の内心 / X 題意から 線分BIは∠Bの二等分線 線分CIは∠Cの二等分線 ですので△BICに注目すると ∠BIC=180°-∠IBC-∠ICB =180°-(1/2)∠B-(1/2)∠C (A) 一方△ABCにおいて ∠A+∠B+∠C=180° (B) (B)を用いて(A)から∠B,∠Cを消去してみましょう。 No.13473 - 2011/04/02(Sat) 15:41:44

★ 中学受験問題 / yuri

AとBが二人ですると、15日で終わる仕事があります。この仕事をAだけですると、21日かかります。 （１）Bだけで、この仕事を全部仕上げると何日かかりますか。 （２）今この仕事をAとBの二人で10日間した後、残りの仕事をBだけでしました。全部で何日間で仕事が出来ましたか。 No.13469 - 2011/04/01(Fri) 21:40:15 ☆ Re: 中学受験問題 / シャロン AとB2人あわせての1日あたりの作業量は1/15、A1人での1日あたりの作業量は1/21なので、B1人での1日あたりの作業量は全体の 1/15-1/21=2/105 したがって、B1人では、 1÷2/105=105/2=52+1/2 切り上げをして、∴53日かかる。 (2) AとBの2人で作業する10日間で全体の (1/15)×10=2/3 の作業が完了しているので、Bが1人でする作業は全体の 1-2/3=1/3 B1人では1日で全体の2/105の作業をできるので、全体の1/3の作業をするには、 (1/3)÷(2/105)=35/2=17+1/2 から、切り上げて18日かかる。 Aと一緒に作業した日数を足して、 10+18=28 ∴28日間かかる。 No.13470 - 2011/04/01(Fri) 22:44:59 ☆ Re: 中学受験問題 / yuri ありがとうございました。 No.13471 - 2011/04/02(Sat) 09:46:44

★ この掲示板での質疑応答で / mk

問.(x-b)(x-c)(b-c)+(x-c)(x-a)(c-a)+(x-a)(x-b)(a-b)　を簡単にせよ f(x)=(x-b)(x-c)(b-c)+(x-c)(x-a)(c-a)+(x-a)(x-b)(a-b)と置くと f(a)=f(b)=f(c)=-(a-b)(b-c)(c-a) (A) ここでf(x)の次数は２以下ですが(A)より ３つのxの値に対するf(x)の値が等しいので f(x)は定数しかありえません。 よって f(x)=-(a-b)(b-c)(c-a) とありましたが、 ＞f(x)の次数は２以下ですが(A)より ＞３つのxの値に対するf(x)の値が等しいので ＞f(x)は定数しかありえません。 と言えるのはなぜですか？ No.13465 - 2011/04/01(Fri) 18:48:03 ☆ Re: この掲示板での質疑応答で / mk a,b,cがすべて異なるときには、 二次以下の関数f(x)において f(a)+(a-b)(b-c)(c-a)=0 f(b)+(a-b)(b-c)(c-a)=0 f(c)+(a-b)(b-c)(c-a)=0 により、xについての二次以下の方程式 f(x)+(a-b)(b-c)(c-a)=0…★が異なる３つの値に対して成り立つので、f(x)+(a-b)(b-c)(c-a)は恒等的に0となる。 よって、f(x)=-(a-b)(b-c)(c-a)　となるのは分かるのですが、例えばa=b≠cの場合はどう言えばいいのですか？ a=b=cの場合はf(x)=0となって成り立つのでいいのですが… No.13466 - 2011/04/01(Fri) 19:03:07 ☆ Re: この掲示板での質疑応答で / mk a=b≠c等の場合も結果的に成り立ちますね。 解答に書くときはNo.13465 の記述でいいのでしょうか？ ＞３つのxの値に対するf(x)の値が等しいので の部分は「異なる」３つのxの値に対するf(x)の値が等しいので でないと結論が言えない気がするので… （そうなるとa=b≠c等の場合も分けて書く必要がでてくるのではないかと思います） その辺りを説明お願いします。 No.13467 - 2011/04/01(Fri) 19:12:24 ☆ Re: この掲示板での質疑応答で / シャロン a,b,cのいずれの2つも等しくないなら、f(x)=定数を示したあと、 a,b,cのなかで等しい値を持つ2数の組があれば、対称性からa=bと仮定してよいので、 f(x) = (x-b)(x-c)(b-c)+(x-c)(x-a)(c-a)+(x-a)(x-b)(a-b) = (x-a)(x-c)(a-c)-(x-c)(x-a)(a-c) = 0 でこれは、上のf(x)で、a=bとした場合と一致する。 #(これは3つの数がすべて等しくても成立する) を示せば良いかと思います。 No.13468 - 2011/04/01(Fri) 21:00:56 ☆ Re: この掲示板での質疑応答で / mk ありがとうございました。 No.13482 - 2011/04/03(Sun) 02:44:31

★ 中２・一次関数（急ぎます） / ぷりん

すいません、途中式も含めて教えていただける方 募集してます＞＜ 一次関数と変域についての問題です。 （ｘは「エックス」です） ?@ 一次関数ｙ＝-ｘ+６において、ｘの変域が２≦ｘ≦ａのとき ｙの変域が１≦ｙ≦ｂである。 ａとｂの値を求めなさい。 ?A 一次関数ｙ＝ａｘ+ｂは a＜０で、ｘの変域が１≦ｘ≦３のとき、 ｙの変域が１≦ｙ≦３である。 aとｂの値を求めなさい。 どちらか１つだけなら分かる、という答えでもいいです＞＜ 急ぎますが、お願いします！ No.13460 - 2011/03/31(Thu) 14:16:40 ☆ Re: 中２・一次関数（急ぎます） / X (1) y=-x+6 (A) のグラフは右下がりの直線になるので xが最大のときyは最小 xが最小のときyは最大 となります。従って問題の変域から x=2のときy=b x=aのときy=1 となりますから(A)よりa,bについての方程式ができます。 (2) a<0より y=ax+b のグラフは右下がりの直線になります。 後は(1)と考え方は同じです。 但しこちらは最終的にa,bについての連立方程式を 解くことになるので注意しましょう。 No.13462 - 2011/03/31(Thu) 15:11:28 ☆ Re: / ぷりん 有難うございました！ お陰でよく理解できました。 No.13463 - 2011/03/31(Thu) 15:27:49

★ 中2の１次関数の問題 / キイロ

こんにちは。 中２の１次関数の問題を解いていたのですが、分からない問題があって質問させていただきます。 写真の問題の（２）が分かりません。 答えは、y=−2x＋28　xの変域は９≦x≦14 なのですが、ドリルには答えだけで解説がないので、分かりません。 何故、y=−2x＋28　になるのでしょうか。 28はどこからきたのでしょうか。 よろしくお願いします。 No.13458 - 2011/03/31(Thu) 11:13:33 ☆ Re: 中2の１次関数の問題 / X この問題でxは点Pが長方形ABCDの辺に沿って、点Aから 動いた距離を表します。 (点Pが辺AD上にない場合はx=APとはならないことに注意) 従って点Pが辺BC上にある場合 CP=x-(CD+DA)=x-(4+5)=x-9 ですので BP=BC-CP=5-(x-9)=-x+14 よって△ABPの面積yは y=(1/2)×AB×BP=(1/2)×4×(-x+14) =-2x+28 又このときのxの変域は AD+CD≦x≦AD+CD+BC ですので 9≦x≦14 となります。 No.13461 - 2011/03/31(Thu) 15:04:49 ☆ Re: 中2の１次関数の問題 / キイロ ありがとうございます！ やっと理解できました。 No.13464 - 2011/04/01(Fri) 14:10:11

★ 補足 / shun
すいません。先ほどの投稿の（２）の式は ↓p=s↓a＋t↓bとs＋t=1の2つの式を表しています。 No.13455 - 2011/03/30(Wed) 13:32:34

★ ベクトルの公式について / shun

高2です。学校のベクトルの授業で、直線のベクトル方程式には、 　(1)　↓p=↓a＋t↓d 　(2) ↓p=s↓a＋t↓b s＋t=1 の2つがあることを習いましたが、それらの使い分けが良く分かりません。どなたか教えてください。よろしくお願いします。　 No.13454 - 2011/03/30(Wed) 13:28:28 ☆ Re: ベクトルの公式について / シャロン (1)では、位置ベクトル↓aと方向ベクトル↓dをつかって、通る点と方向で直線を表しているのに対し、 (2)は、位置ベクトル↓a、↓bで表される点A、Bを結ぶ直線を表している。 (1)は、直線の向きがわかっている場合に、 (2)は、通る2点がわかっているときに使う。 また、↓p=↓a+t↓d=-t↓a+(t-1)(↓d-↓a)と書き直せば、-tをs'、t-1をt'、↓d-↓aを↓bとみることで、↓p=s'↓a+t'↓b、s'+t'=1の形になるし、 逆に、↓p=s↓a+t↓b=↓a+(t↓b+(s-1)↓a)=↓a+(t↓b-(1-s)↓a)=↓a+t(↓b-↓a)から、 ↓b-↓aを↓dと見れば、↓p=↓a+t↓dの形に直せる。 No.13456 - 2011/03/30(Wed) 15:47:46

★ 高1の因数分解です、急ぎます / ゆっさ遊佐

5a^3b-25a^2b^2+15ab^3 (x+y)^3-z^3 (x-b)(x-c)(b-c)+(x-c)(x-a)(c-a)+(x-a)(x-b)(a-b) 最後の問題は簡単にせよ、という問題でした 少し急ぎますが、よろしくお願いします No.13450 - 2011/03/29(Tue) 09:33:31 ☆ Re: 高1の因数分解です、急ぎます / X 一問目) 5abをくくりだして、()内をaの２次式と見て たすきがけしましょう。 二問目) 公式 a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) を使います。 三問目) もっと簡単な方法があるかもしれませんが ここでは正攻法で普通に展開してまとめてみます。 (x-b)(x-c)(b-c)+(x-c)(x-a)(c-a)+(x-a)(x-b)(a-b) =(b-c){x^2-(b+c)x+bc}+(c-a){x^2-(c+a)x+ca} +(a-b){x^2-(a+b)x+ab} ={(b-c)+(c-a)+(a-b)}x^2-{(b+c)(b-c)+(c+a)(c-a)+(a+b)(a-b)}x+{(b-c)bc+(c-a)ca+(a-b)ab} =(b-c)bc+(c-a)ca+(a-b)ab No.13451 - 2011/03/29(Tue) 10:39:09 ☆ Re: 高1の因数分解です、急ぎます / X 三問目) (別解) f(x)=(x-b)(x-c)(b-c)+(x-c)(x-a)(c-a)+(x-a)(x-b)(a-b) と置くと f(a)=f(b)=f(c)=-(a-b)(b-c)(c-a) (A) ここでf(x)の次数は２以下ですが(A)より ３つのxの値に対するf(x)の値が等しいので f(x)は定数しかありえません。 よって f(x)=-(a-b)(b-c)(c-a) (No.13451の場合の解答と見掛けは異なりますが、 変形すればこの式と同じになります。) No.13452 - 2011/03/29(Tue) 10:44:20 ☆ Re: 高1の因数分解です、急ぎます / ゆっさ遊佐 ありがとうございました おかげで助かりました No.13457 - 2011/03/30(Wed) 22:47:23

★ 因数分解 / 新高１になります
因数分解しなさい。 （ｐ＋１）ｑの２乗−ｐ−１ 解き方が分かりません。よろしくお願いします。 No.13445 - 2011/03/27(Sun) 17:37:14 ☆ Re: 因数分解 / シャロン 自乗はネット上ではq^2のようにかくようにしましょう。 展開した後最も次数の低い文字(p)でくくりましょう。 (p+1)q^2-p-1 = pq^2+q^2-p-1 = p(q^2-1)+(q^2-1) = ... 何か見えて来ませんか？ No.13448 - 2011/03/27(Sun) 19:55:48

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