導関数f'(x)の定義は教科書に載ってましたので分かりましたが
微分dy:=f'(x)dxの定義でdxの定義が明らかにされていないのでdyは何のことか分かりません。
dxとは一体何なのでしょうか? dxは実数なのでしょうか?
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No.12723 - 2011/01/13(Thu) 05:50:46
| ☆ Re: / sore | | | 下のほうに説明が有ります。
http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/MULTIMEDIA/calc/node16.html
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No.12730 - 2011/01/13(Thu) 22:00:24 |
| ☆ (No Subject) / sore | | | グラフで捕らえると
http://nkiso.u-tokai.ac.jp/math/matsuda/webmath/multi/node12.html
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No.12731 - 2011/01/13(Thu) 22:10:02 |
| ☆ Re: 微分の定義でのdxって何? / eibei | | | ご回答誠に有難うございます。
> 下のほうに説明が有ります。
> http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/MULTIMEDIA/calc/node16.html
早速拝見いたしました。
特にf(x)=xの時はf'(x)=1だからdx:=?凅がdxの定義らしいですが
f(x)=x^2以外の時はf'(x)=2xなのでdx:=2x?凅なのでしょうか?
つまり,dxの定義は無限種類あると言うことでしょうか?
あとdx:=2x?凅の右辺は実数なのでdxも実数なのでしょうか?
> グラフで捕らえると
> http://nkiso.u-tokai.ac.jp/math/matsuda/webmath/multi/node12.html
すいません。どうやっても文字化けして閲覧できませんでした。
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No.12733 - 2011/01/13(Thu) 23:11:47 |
| ☆ (No Subject) / sore | | | f'(x)=lim[h→0]{f(x+h)-f(x)}/h
dy=f '(x)h
dx=(x)'h=1h=h なので dy=f '(x)dx
これを Y=f '(x)X と書いても関数としては同じことです。
（ x は固定して考えている。）
つまり、dy,dx は y=3x のx,y と同様単なるひとつの変数です。
firefox で閲覧可能です。
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No.12735 - 2011/01/13(Thu) 23:47:03 |
| ☆ Re: 微分の定義でのdxって何? / eibei | | | ありがとうございます。
> f'(x)=lim[h→0]{f(x+h)-f(x)}/h
> dy=f '(x)h
えっ? 今度はdyの定義がdy:=f'(x)dxからdy:=f '(x)hに変わってしまったのは何故のでしょうか?
dy=f'(x)hだとdyは導関数の定数h倍がdyという事になるのですね。
それと今,f'(x)=dy/dxと書けますから(∵導関数の定義)
dy=(dy/dx)hでdyは0でない実数ですから
h/dx=0でh=0となってしまいますね。
でもこれだと{f(x+h)-f(x)}/hが定義されないのですがどうすればいいのでしょうか?
> dx=(x)'h=1h=h なので dy=f '(x)dx
dxはhの事で実数だったのですね。
既に上でh=0が求まりましたからdx=0という風に結論づくのですがこれで正しいのでしょうか?
f'(x)の定義は
(dy/dx=)f'(x):=lim[dx→0]{f(x+dx)-f(x)}/dx
とも書けるのですね。
> これを Y=f '(x)X と書いても関数としては同じことです。
> （ x は固定して考えている。）
> つまり、dy,dx は y=3x のx,y と同様単なるひとつの変数です。
> firefox で閲覧可能です。
ありがとうございます。参考になります。
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No.12739 - 2011/01/14(Fri) 10:16:47 |
| ☆ Re: 微分の定義でのdxって何? / ast | | | dx,dyについてはいろいろと定式化の方法はありますが, 例示されたURLでの定式化に従えば, 全微分 dy=f'(x)dx は点 (x,y) における接線の方程式「そのもの」です (この場合, x,y は固定されていて, dx, dy が変数です).
また, この場合, 単独の dx, dy と微分係数 dy/dx に出てくる dx, dy とは無関係の別物 (dy/dx は一つの記号であって分数ではない) ですから
> dy=(dy/dx)hでdyは0でない実数ですからh/dx=0で
というような議論は意味を持ちません (今のように一変数函数のときは約分したように見えるだけで, 多変数になると事情が少し変わります. しかしそれだけでも覚え易いですから, 先ほどのような誤解をしないことだけに留意すれば, 極めて優れた記法ではあります). それに, たとえ意味を持ったとしても, h/dx=1(≠ 0) ですから h=dx が出るだけですね.
もう少し別な言い方をすると, dy/dx は Δx→0 の極限を取らないと意味を持ちませんが, dx および dy=f'(x)dx は点 (x,y) の近傍で常に意味を持つという点が異なります. あるいは dy/dx は x の函数だが, dx,dy は曲線 y=f(x) 上の点 (x,y) をパラメータとする局所変数の対の集まりであるというように言うこともできるかもしれません.
> 特にf(x)=xの時はf'(x)=1だからdx:=?凅がdxの定義らしいですが
これはリンク先の内容とかみ合っていないのが気になります. いまの議論では dy:=f'(x)Δx が dy の定義なので, y=x ならば dx=Δx というのは定義ではなく定理ということになります. なお, この場合に
> f(x)=x^2の時はf'(x)=2xなのでdx:=2x?凅なのでしょうか?
は (y=)f(x)=x^2 ですから (dy=)d(x^2)=2xΔx というのが正しいです. 一般には dy≠Δy となることがほとんどであることに注意してください.
曲線 y=f(x) が点 (x,y) で微分可能（=接線を持つ）とき, 点 (x,y) に極めて近い近傍での曲線の振舞いは, 接線 dy=f'(x)dx で殆ど正確に (誤差を含めて) 記述できるということが dy:=f'(x)Δx という定義には込められています. すなわち, x の増分が Δx であるとき, 曲線上の点 (x+Δx, y+Δy) に y+Δy=f(x+Δx) の関係が成り立ちますが, f が複雑な場合にはここから直接に Δy = f(x+Δx)-y = f(x+Δx)-f(x) を簡明に表わす式を得ることはむずかしいので, これを一次式で近似すること（一次近似）を考えるということです. そうすれば Δy と一次近似 dy:=f'(x)Δx との誤差は, Δx → 0 なる極限で 0 になります.
# 変数 x,y と曲線上の任意の点 (x,y) とで同じ文字を使うのは記述の便宜上のことですが, 点の座標としての x,y はこの話では常に固定されていることに注意しなければなりません. 変数の x,y は「曲線 y=f(x)」などという定型文くらいにしか現れません.
なお, どのような定式化に従うにせよ, y=f(x) が滑らかな函数である限り, 積分形 ∫dy=∫f'(x)dx (あるいはφ(x)を適当な条件を満たす函数 (テスト函数) として ∫φ(x)dy=∫φ(x)f'(x)dx) が成り立つので, 「全微分 dy=f'(x)dx とはこのような種類の積分のことだ」と捉えておいても大抵の場合まちがいではありません.
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No.12740 - 2011/01/14(Fri) 14:52:33 |
| ☆ Re: 微分の定義 / sore | | | 「変数 x が，ある x から x+hまで変化するときの変動量 を x の 増分(increment) といい，Δx で表わ」すということですから、意味としては h=Δx で
f'(x)=lim[h→0]{f(x+h)-f(x)}/h
＝lim[Δx→0]{f(x+Δx)-f(x)}/Δx
[定義] dy=f '(x)h=f '(x)Δx
x は固定しているので、ｘは定数で dy,h=Δx が変数です。
(lim[h→0]{f(x+h)-f(x)}/h＝lim[Δx→0]{f(x+Δx)-f(x)}/Δx)
dx=0 のときは、dy=f'(x)*0=0 です。
関数 y=3x で x=0 のとき y=0 と同じ意味です。
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No.12741 - 2011/01/14(Fri) 14:55:03 |
| ☆ Re: dy/dx 分数ではない / sore | | | dy/dx という記号が現れたとき、よく
「dy/dx は一つの記号であって分数ではない」
という、注意書きが付くときがありますが、
あれはdy/dx を分数として扱うことは禁止しているが、
「分数のように」扱うことを禁止しいるわけではなく
（例えば、逆関数の微分公式 dy/dx=1/(dx/dy) とか
置換積分の dx=g'(t)dt ）
dy/dx を無頓着に分数扱いすることへの戒めですね。
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No.12742 - 2011/01/14(Fri) 15:42:23 |
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