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★ (No Subject) / 高2です
△ABCにおいて、AB＝5、BC＝3、CA＝4とする。
辺AB上に点P、辺CA上に点Qをとり、AP＝x、AQ＝yとする。 △APQの面積が△ABCの面積の1／2であるとき、次の問いに答えよ。

（1） x、yの間に成り立つ関係式を求めよ。
（2） 線分PQの長さをx、yを用いて表せ。
（3） △APQの周の長さをsとするとき、sの最小値を求めよ。また、そのときのx、yの値を求めよ。

よろしくお願いします
No.13441 - 2011/03/26(Sat) 20:00:33
☆ Re: / 高2です
↑解決しました。すみません。

加えて質問があります。

aを実数とする。2つの放物線y=x^2+1…?@、y=-x^2+2ax-a^2+a+2…?Aが異なる2点で交わるとき、次の問に答えよ。

(1)aの値の範囲を求めよ
(2)放物線?@、?Aで囲まれた図形の面積をSとするとき、Sをaを用いて表せ。
(3)Sの最大値とそのときのaの値を求めよ。

よろしくお願いします
No.13442 - 2011/03/26(Sat) 20:53:35
☆ Re: / シャロン
(1)
○1、○2の方程式をそれぞれy=f(x)、y=g(x)とすると連立させた、
f(x)=g(x)
が異なる2実数解を持つので、このxについての方程式の解の判別式が正であることから、aについての不等式を考える。

(2)
2放物線で囲む図形がある範囲では、g(x)＞f(x)の上方にあるので、f(x)=g(x)の2解をα,β (α＜β)とすると、
S=∫_α^β (g(x)-f(x))dx
No.13443 - 2011/03/26(Sat) 22:04:36
★ (No Subject) / kyoudai
3次元空間で、異なる二点A,Bからの距離が等しい点の集合はA,Bの垂直二等分面
になることは幾何的にどう証明したらいいのでしょうか？
No.13439 - 2011/03/25(Fri) 23:46:49
☆ Re: / angel
2次元の時と大きくは変わらないです。
条件を満たす任意の点をP、ABの中点をMとすると、PとMが一致する時を除いて△ABPが二等辺三角形となることから PM⊥ABが分かります。
ということで、
　PM⊥AB⇒Pは「Mを含みABに垂直な平面」上にある
というように必要条件が示せます。
十分条件については、ほぼこの裏返しで説明できますね。
No.13440 - 2011/03/26(Sat) 12:24:56
☆ Re: / kyoudai
逆に、Mを含みABに垂直な平面上の任意の点Qで、
（Q≠M）△AMQ≡△BMQ（∵AM=BM,∠AMQ≡∠BMQ=90°,MQ共通)
よりAQ=BQである。
また、Q=MのときもAQ=BQである。
以上より、3次元空間で、異なる二点A,Bからの距離が等しい点の集合はA,Bの垂直二等分面であることが示された。

でいいんですかね？
あと、この問題の場合の必要条件とか十分条件が何を指しているのかがよく分かりません。
命題A⇒B　においてBはAであるための必要条件で、
AはBであるための十分条件である、ということは分かるのですが、幾何学における軌跡の問題をちゃんとやったことがないので、教えてください。
No.13444 - 2011/03/27(Sun) 14:05:09
☆ Re: / angel
> …(前略)…
> でいいんですかね？

問題ないと思います。

> 必要条件とか十分条件が何を指しているのかがよく分かりません。

私が概要を説明した、「PA=PBを満たす点PはA,Bの垂直二等分面上にある」というのが必要条件。
kyoudaiさんがその後「逆に〜」以降で説明した「A,Bの垂直二等分面上にある点QはQA=QBを満たす」が十分条件です。

言い方を替えると、

・まず、点PがPA=PBを満たすためには、PがA,Bの垂直二等分面上にあることが「必要」
・逆に、点PがA,Bの垂直二等分面上にあるならば、「十分」にPA=PBを満たす。
・よって、点PがPA=PBを満たすためには、PがA,Bの垂直二等分面上にあることが「必要十分」

ということです。軌跡の問題の場合、ほぼ必ず必要条件と十分条件の両方を説明することになります。
No.13446 - 2011/03/27(Sun) 17:45:20
☆ Re: / angel
あ、念のためですが、解答の中に「必要条件」や「十分条件」と言った文言を明記しなければならない、ということではないですよ。（もちろん書いても良い）
しかしながら、その内容は必要条件・十分条件の説明に他ならないわけです。
No.13447 - 2011/03/27(Sun) 17:52:41
☆ Re: / kyoudai
よく分かりました。ありがとうございました。
No.13453 - 2011/03/29(Tue) 16:21:13
★ (No Subject) / あーちゃん
８本中当たりが３本はいったくじがあります。そこから同時に４本引くとき、当たりを２本以上引く確率を求めなさい。
さっぱりわかりません。よろしくお願いします。
No.13436 - 2011/03/24(Thu) 21:02:10
☆ Re: / シャロン
クジ１本１本に１から８までの番号がついているかのように区別して、１から３までが当たりとします。

全事象は８本から４本を取り出す組み合わせの数なので、8Ｃ4=70通りです。

当たりを2本以上抽くのは、当たり3本とハズレ1本を抽く場合か、当たり2本とハズレ2本を抽く場合のいずれかであり、これらは排反です。
(1)当たりを3本抽く場合
当たりクジの組み合わせは1通り、ハズレクジは４から８番の５通りなので、合計5通りです。

(2)当たりを2本抽く場合
当たりクジの組み合わせは3Ｃ2=3通り、ハズレクジは5Ｃ2=10通りなので、合計3*10=30通りです。

(1)(2)より、当たりを2本以上抽くのは35通りなので、当たりを2本以上抽く確率は35/70=1/2です。
No.13437 - 2011/03/24(Thu) 21:39:59
☆ Re: / あーちゃん
ありがとうございました。
よくわかりました。
No.13438 - 2011/03/24(Thu) 22:16:41
☆ Re: / らすかる
引いた4本と残りの4本のどちらか一方だけに当たりが2本以上入っており、
2本以上である確率は引いた方、残りの方で同じなので1/2。
No.13449 - 2011/03/28(Mon) 13:09:10
★ 期待値 / みぃ
解説みてもよくわかりません

わかるように教えて下さい＞＜


赤玉と白玉が２個ずつ入った袋の中から、玉を２個同時に取り出すとき、白玉の出る個数Xの期待値を求めよ。


答えは１ですｍ(_　_)ｍ
No.13433 - 2011/03/23(Wed) 19:05:43
☆ Re: 期待値 / シャロン
Xの期待値とは、Xのとる値xに対し、{x*(X=xとなる確率)}の総和です。

X=0となるのは、(2Ｃ0)(2Ｃ2)/(4Ｃ2)=1/6
X=1となるのは、(2Ｃ1)(2Ｃ1)/(4Ｃ2)=2/3
X=2となるのは、(2Ｃ2)(2Ｃ0)/(4Ｃ2)=1/6

なので、
期待値は、(1/6)*0+(2/3)*1+(1/6)*2=1です。
No.13434 - 2011/03/23(Wed) 20:01:20
☆ Re: 期待値 / シャロン
少し回答が不明瞭でした。

>X=0となるのは、
などは、
X=0となる確率は、
などに読み替えてください。
No.13435 - 2011/03/24(Thu) 16:35:06
★ 数的推理 / みほ
ある試験で次のような結果が得られました。
?@男子の平均点は54点でした。
?A女子の平均点は59点でした。
?B合格者の数は不合格者の数のちょうど3分の1でした。
?C全受験者の30％は女子でした。
?D合格者の平均点は、合格者の最低点より13点高い。?E不合格者の平均点は、合格者の平均点より26点低い。
このとき、合格者の最低点を求めなさい。


解説お願いします。

No.13431 - 2011/03/22(Tue) 18:46:22
☆ Re: 数的推理 / そら
?@?A?Cから,全体の平均点が分かります.
?B?D?Eから,全体の平均点と合格者の最低点の関係が分かります.
No.13432 - 2011/03/22(Tue) 18:51:14
★ 確率の問題です / レッツ藤子
中３です。確率の問題なのですが教えてください。

大小２つのさいころを投げて出た目の数をそれぞれａとｂに
する。このａとｂを用いて、方程式 ax＋by＝６ をつくる。
このとき次の問に答えなさい。

(１) ax＋by＝６ のグラフが点(1,1)を通る直線になる確率

(２) ax＋by＝６ のグラフが直線 y = 2x と平行になる確率

分からないのでぜひ教えてください。
No.13426 - 2011/03/22(Tue) 16:11:03
☆ Re: 確率の問題です / シャロン
(1)
ax+by=6が(1, 1)を通るということは、(x,y)=(1,1)を直線の式に代入した、a+b=6が成り立つということです。

(2)
問題は正しいですか？

正しいものとして解けば、ax+by=6を変形してy=-(a/b)x+(6/b)がy=2xと平行なので、-a/b=2、つまり、a=-2bとなる確率を求めるということです。
しかし、a,bはともに正なのでa=-2bとなることはありえません。したがって、求める確率は0です。
No.13427 - 2011/03/22(Tue) 16:24:34
☆ Re: 確率の問題です / レッツ藤子
すみません。問題文間違えました。

(２) ax ＋ by ＝６ のグラフが直線 y = -2x と

平行になる確率
No.13428 - 2011/03/22(Tue) 16:27:40
☆ Re: 確率の問題です / シャロン
(2)
であれば、a=2bが成り立つということです。

(1)(2)とも、そうなる場合を書き出してそれが何通りであるかを数えて、全事象の場合の数で割るだけです。
No.13429 - 2011/03/22(Tue) 17:51:29
☆ Re: 確率の問題です / レッツ藤子
ありがとうございます！！
No.13430 - 2011/03/22(Tue) 18:44:18
★ 積分と体積 / シュークリーム
高校１年です。

「底面の半径がa,高さが2aの直円柱がある。この底面の直径ABを含み、底面と60°の傾きをなす平面で、直円柱を２つの立体に分けるとき、小さい方の立体の体積を求めよ。」
という問題です。

考え方は、直円柱を横から見ると、直角三角形が見えるので、そこを積分するのだと思うのですが、そこの方法が良く分かりません。

その部分の解説をお願いします。
No.13421 - 2011/03/20(Sun) 09:46:31
☆ Re: 積分と体積 / シャロン
円柱の底面をxy平面、底面の中心を原点、直径ABをx軸とするように座標を考える。

体積を求める立体Vの平面x=Xでの断面は直角三角形(3角は30ﾟ、60ﾟ、90ﾟ)で、底辺√(a^2-X^2)、高さtan60ﾟ*√(a^2-X^2)なので、この断面積は(√3/2)(a^2-X^2)です。
(いちおう、円柱をカットする平面が円柱の上の底面と交わらないことをいっておきましょう。)

これを区間-a≦x≦aでxについて積分します。
被積分関数が偶関数で、積分区間が0について対称なので、2∫_0^a(√3/2)(a^2-x^2)dxで求まりますね。
No.13422 - 2011/03/20(Sun) 11:08:12
☆ Re: 積分と体積 / シュークリーム
理解することができました。ありがとうございます。
No.13423 - 2011/03/20(Sun) 13:01:14
★ (No Subject) / むーとん
円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=√10、BC=2√10、CD=3、DA=6であるとし、対角線ACとBDの交点をEとする。
　
BE=(アイ/ウエ）BD

この問題の解説をお願いします。

連続で失礼しました。
No.13411 - 2011/03/17(Thu) 16:27:52
☆ Re: / ヨッシー
　△ＡＢＣ＝(1/2)ＡＢ・ＢＣsin∠ＡＢＣ＝10sin∠ＡＢＣ
　△ＡＣＤ＝(1/2)ＡＤ・ＣＤsin∠ＡＤＣ＝9sin∠ＡＤＣ
∠ＡＤＣ＝180°−∠ＡＢＣ であるので、
　sin∠ＡＤＣ＝sin∠ＡＢＣ
よって、
　△ＡＢＣ：△ＡＣＤ＝１０：９　　（面積比）
よって、
　ＢＥ：ＥＤ＝１０：９
であるので、
　ＢＥ＝(10/19)ＢＤ
No.13412 - 2011/03/17(Thu) 16:41:53
☆ Re: / むーとん
ありがとうございました。
わかりやすくて助かりました。
No.13415 - 2011/03/18(Fri) 11:26:06
★ (No Subject) / むーとん
a,b,cを定数とするxの関数f(x)=(1/3)x^3+ax^2+bx+cの導関数f'(x)について、次の問に答えなさい。

f'(x)が区間1≦x≦3において、常に3≦f'(x)≦4を満たしているとき、a=-ア、b=イである。さらに、f(3)=18であるとき、c=ウである。

この問題の解説をお願いします。
No.13410 - 2011/03/17(Thu) 16:22:02
☆ Re: / X
問題のf(x)より
f'(x)=x^2+2ax+b

前半)
以下のようにy=f'(x)のグラフの軸である直線x=-aと
区間1≦x≦3との位置関係について場合分けし、
f'(x)の最大値と最小値についてa,bの連立方程式を
立てて解いてみましょう。
(i)-a≦1のとき
(ii)1≦-a≦2のとき
(iii)2≦-a≦3のとき
(iv)3≦-aのとき

後半)
前半の結果からa,bの値は分かっていますので
f(3)=18
によりcについての方程式ができます。
No.13414 - 2011/03/18(Fri) 07:27:46
☆ Re: / むーとん
もう少し詳しく教えて頂けませんか？
理解不足ですいません。
No.13416 - 2011/03/18(Fri) 15:14:07
☆ Re: / X
では前半の場合分けで(i)の場合だけ計算してみます。

(i)のとき
y=f'(x)のグラフの軸は区間1≦x≦3の範囲外左側に
あります。(y=f'(x)のグラフを描きましょう。)
従ってf'(x)はx=3で最大、x=1で最小となりますので
3≦f'(x)≦4
と考え合わせると
f'(3)=4 (P)
f'(1)=3 (Q)
(P)より
9+6a+b=4 (P)'
(Q)より
1+2a+b=3 (Q)'
(P)'(Q)'をa,bの連立方程式として解くと
(a,b)=(-7/4,13/2)
となりますがこれは(i)の条件である
-a≦1
つまり
-1≦a
を満たさないので不適になります。

同じ調子で(ii)(iii)(iv)の場合を計算し、(i)のように
不適にならない(a,b)の値が求める値となります。
注意点としては描くグラフはy=f'(x)のものであって
y=f(x)のグラフではない、ということです。
No.13418 - 2011/03/18(Fri) 19:25:41
☆ Re: / X
もう少し補足しておきます。
y=f'(x)のグラフの軸と区間1≦x≦3との位置関係ですが
(i)は範囲外左側
(ii)は範囲内左寄り
(iii)は範囲内右寄り
(iv)は範囲外右側
となります。
No.13419 - 2011/03/19(Sat) 07:53:04
☆ Re: / むーとん
ありがとうございました。
頑張ってみます!!
No.13420 - 2011/03/19(Sat) 16:18:21
★ (No Subject) / むーとん
放物線ｙ=3x^2-6x-9と曲線y=|2x^2-4x-6|の交点のx座標はx=-アとx=イである。
この放物線とこの曲線とで囲まれる図形の面積は(ウエオ)/カである。


この問題の解説をお願いします。
No.13409 - 2011/03/17(Thu) 16:12:48
☆ Re: / ヨッシー
ｙ=3x^2-6x-9＝3(x+1)(x-3)
y=|2x^2-4x-6|＝2|(x+1)(x-3)| であるので、
x=-1, x=3 が交点となり、求める面積は
　∫-13{(-2x^2+4x+6)−(3x^2-6x-9)}dx
　＝160/3


No.13413 - 2011/03/17(Thu) 21:36:26
☆ Re: / むーとん
最後の答えの計算過程をもう少し詳しく教えてください。
No.13417 - 2011/03/18(Fri) 15:18:00
☆ Re: / シャロン
とくにひねったところもない定積分です。

どこで計算に詰まりましたか？
No.13424 - 2011/03/20(Sun) 18:51:27
☆ Re: / ヨッシー
　∫-13{(-2x^2+4x+6)−(3x^2-6x-9)}dx
　＝∫-13(-5x^2+10x+15)dx
　＝[(-5/3)x^3+5x^2+15x]-13
　＝160/3
としても良いですし、
　∫-13{(-2x^2+4x+6)−(3x^2-6x-9)}dx
　＝∫-13(-5x^2+10x+15)dx
　＝-5∫-13(x+1)(x-3)dx
　＝-5(-1-3)^3/6＝160/3
としても良いです。
No.13425 - 2011/03/21(Mon) 18:09:45
★ 高１　微分 / ビリー
こんにちは＾＾

次の空欄に最も適当な数または符号を入れよ、という問題で
解説がなかったので解説願います。
（
不等式4^x-65・2^(x+2)+1024≦0を満たすxの値の範囲は[ア、2]≦x≦[イ、8]である。

xがこの範囲にあるとき
y=(log[2]16/x)(log[2]x^2/4)の最大値と最小値を求めよう。

t=log[2]xとおくと
[ウ、1]≦ｔ≦[エ、3]であり
y=[オ、-2]t^2+[カ、10]t-[キ、8]である。

したがって、
yはx=[ク、4√2]のとき最大値[ケ、9/2]をとり、
x=[コ、2]のとき最小値[サ、0]をとる。


長々とすいません。
詳しい解説お願いします。
No.13404 - 2011/03/16(Wed) 10:41:20
☆ Re: 高１　微分 / シャロン
>不等式4^x-65・2^(x+2)+1024≦0を満たすxの値の範囲は[ア、2]≦x≦[イ、8]である。

2^x=Xとおくと、
4^x=(2^2)^x=2^(2x)=(2^x)^2=X^2
2^(x+2)=(2^x)*(2^2)=4*(2^x)=4X
なので、不等式4^x-65・2^(x+2)+1024≦0は、X^2-260X+1024≦0 (X＞0)を解いて、
4≦X≦256より
4=2^2、256=2^8から各辺の対数をとって
log[2](2^2)≦x≦log[2](2^8)
つまり、2≦x≦8 (ア、イ)


>xがこの範囲にあるとき
>y=(log[2]16/x)(log[2]x^2/4)の最大値と最小値を求めよう。

>t=log[2]xとおくと
>[ウ、1]≦ｔ≦[エ、3]であり

2^1=2≦x≦8=2^3なので、各辺の対数をとって、
1≦t≦3 (ウ、エ)

また、y = (log[2](16/x))(log[2]((x^2)/4))
= ((log[2]16)-(log[2]x))(2(log[2]x)-(log[2]4))
= (4-t)(2t-2)
= -2t^2+10t-8 (オ、カ、キ)

= -2(t-5/2)^2+9/2

1≦t≦3の範囲では、t=5/2のとき、つまりx=2^(5/2)=√(32)=4√2のとき、yは最大値9/2となる。 (ク、ケ)
また、t=1のときy=0、t=3のときy=4
よって、yはt=1、つまりx=2^1=2のとき、最小値0をとる。 (コ、サ)
No.13406 - 2011/03/16(Wed) 13:16:18
☆ Re: 高１　微分 / ビリー
シャロンさんこんにちは。
めっちゃ分かりました。
ありがとうございます！
No.13408 - 2011/03/17(Thu) 10:23:34
★ 微分の問題 / きなこ
高校２年です。微分の質問です。
３次関数f(x)=x3+ax2+2bx　が、0<x<2の範囲で極大値と極小値をもつための実数a,bの条件を求め、その範囲をab平面上に図示せよ。

という問題です。
文字の後の数字は三乗、二乗という意味です。
わかりにくいかも知れませんが、よろしくお願いします。
No.13403 - 2011/03/15(Tue) 22:58:19
☆ Re: 微分の問題 / シャロン
微分可能な関数f(x)がx=x_0で極値を取るなら、f'(x_0)=0です。

つまり、f'(x)が0<x<2で2回以上0となればいいのです。f(x)は3次関数なので、f'(x)は2次であり、f'(x)が0<x<2で異なる2実数解を持つようなa,bの範囲を調べます。
No.13405 - 2011/03/16(Wed) 12:00:49
★ 一次変換 / もりや
行列の一次変換について質問です
行列Ａ＝[[a,b][c,d]]で表される一次変換fのdet＝0であることはｆで表される変換が座標平面上の任意の点を同一直線上に移動させる変換であることの証明が分かりません
また、行列Ａ＝[[a,b][c,d]]で表される一次変換fのdet＝0⇔ｆで表される変換が座標平面上の任意の点を同一直線上に移動させる変換なのでしょうか？
No.13399 - 2011/03/15(Tue) 01:35:53
☆ Re: 一次変換 / シャロン
Ａ=Ｏ(零行列)の場合には、平面上の点はすべて原点(0,0)へ移るので、以下Ａは非零とします。


〈x,y〉は列ベクトルを表すものとして、

[[a,b][c,d]]〈x,y〉=〈ax+by,cx+dy〉
c(ax+by)-a(cx+dy)=0 (∵detＡ=0)

したがって、平面上の点(x,y)は、fによって直線cx+ay=0上へ移る。

>行列Ａ＝[[a,b][c,d]]で表される一次変換fのdet＝0⇔ｆで表される変換が座標平面上の任意の点を同一直線上に移動させる変換なのでしょうか？

→は上で示したので、←を示す

任意の2×2行列ＡについてＡ〈0,0〉=〈0,0〉なので、Ａによって平面全体が直線へ移るなら、その直線は(0,0)を通るので、fによってpx+qy=0へ移るとする。
この一次変換によって点(1,0),(0,1)はそれぞれ、(a,c),(b,d)へ移り、これらはpx+qy=0上にあるので、ap+cq=0, bp+dq=0
q≠0なら、c=-ap/q, d=-bp/qより、ad-bc=-abp/q+abp/q=0
q＝0なら、a=b=0より、ad-bc=0-0=0

よって、Ａによって表されるfで平面全体が直線へ移るなら、ad-bc=0、つまりdetＡ=0
No.13400 - 2011/03/15(Tue) 08:27:52
☆ Re: 一次変換 / もりや
シャロンさんありがとうございます
公式集にもこの証明が書いておらずググっても中途半端で困っていたのですがおかげで綺麗に解決いたしました。
No.13401 - 2011/03/15(Tue) 12:21:11
★ (No Subject) / みぃ
次の因数分解のしかたを教えて下さい


2x^-3xy-2y＾+5x+5y-3

です。
たすきがけがうまくできません（（汗
No.13397 - 2011/03/14(Mon) 20:19:21
☆ Re: / シャロン
与式 = 2x^2-(3yｰ5)x-(2y^2-5y+3)
= 2x^2-(3y-5)x-(y-1)(2y-3)
1,2とy-1,2yｰ3の積の和/差のyの係数が-3になるようにして
= {2x+(y-1)}{x-(2y-3)}
= (2x+y-1)(x-2y+3)
No.13398 - 2011/03/14(Mon) 21:04:43
☆ Re: / みぃ
ありがとうございました♪
No.13402 - 2011/03/15(Tue) 19:31:02
★ 高1　平面上のベクトル / れいひゃー
座標平面上に3点O(0,0)、A(2,3)、B(6,1)がある。点Pの位置が実数s、tを用いて　OP↑=sOA↑+tOB↑で表されている。次の場合のそれぞれについて、点Pの位置または存在範囲を図示し、その理由を説明せよ。

(1)s=1/2、t=1/2
(2)s+t=1、s≧0、t≧0


です。
答えには、図と、
(1)Pは線分ABの中点
(2)Pは線分ABをt:(1-t)に内分する点
と書いてありました。

類題が手元の参考書にあったのですが、
そちらを見てもさっぱりです；
あと、
「その理由を説明せよ。」とありますが、
何の理由をどのように説明しろと言うのでしょうか？

分かる方説明お願いします…
No.13395 - 2011/03/12(Sat) 18:17:48
☆ Re: 高1　平面上のベクトル / X
教科書のベクトルの項目で、
内分点、位置ベクトル
というキーワードを探し、関係する事項を見直して
みましょう。
No.13396 - 2011/03/12(Sat) 18:37:38
★ (No Subject) / やあ
二つの曲線y=x^2とy=-x^2＋２ax-a^4が交わるとき、この二つの曲線で囲まれる図形の面積を最大にする定数aの値は？


おねがいします
No.13392 - 2011/03/12(Sat) 16:24:50
☆ Re: / ヨッシー
両者を連立させた
　2x^2-2ax+a^4=0
において、異なる実数解を持つので、
　D/4＝a^2-2a^4＞０
a=0 は不適なので、a≠0 として、両辺 a^2 で割ると
　1-2a^2＞０
より
　−√2/2＜Ａ＜√2/2

このとき、２解をｘ＝α、β (α＜β） とすると、
面積Ｓは、
　Ｓ＝２(β−α)^3/6＝(β−α)^3/3

解と係数の関係より・・・
　あとは前の質問と同じです。
No.13394 - 2011/03/12(Sat) 16:57:23
★ (No Subject) / やあ
放物線y=x^2上の原点以外の点Ｐを通り、この点における接線に垂直な直線とこの放物線で囲まれる図形の面積の最小値は？またこのときの点Ｐの座標は？ただし、点Ｐのｘ座標は正とする。

相加相乗平均を使うらしいです

答えは最小値は４/３で、Ｐ(1/2,1/4)です

おねがいします
No.13388 - 2011/03/12(Sat) 02:49:31
☆ Re: / ヨッシー
点Ｐを(t,t^2) (t≠0)とします。この点における接線の傾きは 2t なので、
それに垂直な直線の傾きは -1/2t、直線の式は、
　ｙ＝(-1/2t)(x-t)＋t^2＝-x/2t＋1/2＋t^2
これと y＝x^2 を連立させた、
　x^2＋x/2t−1/2−t^2＝０
において、２解をα、β（α＜β） とすると、問題の面積Ｓは
　Ｓ＝(β−α)^3/6
解と係数の関係より
　α＋β＝-1/2t、αβ＝−1/2−t^2
　(β−α)^2＝(α＋β)^2−４αβ
　　　＝1/4t^2＋２＋4t^2
β−α＞０ より (β−α)^2 が最小のとき、Ｓも最小
相加相乗平均より、
　1/4t^2＋4t^2≧2√(1/4t^2)4t^2＝２
等号は、1/4t^2＝4t^2 つまり、ｔ＝±1/2 のとき
Ｐのｘ座標は正なので、t=1/2 このとき、
　(β−α)^2＝４
　β−α＝２
　Ｓ＝８／６＝４／３
No.13391 - 2011/03/12(Sat) 13:02:57
☆ Re: / やあ
ありがとう
No.13393 - 2011/03/12(Sat) 16:25:22
★ (No Subject) / やあ
y＝(x-2)|x+2|についてこの曲線上の点(2,0)における接線の方程式y=4x-8とこの曲線で囲まれた部分の面積は？

答えは６４です

おねがいします
No.13387 - 2011/03/12(Sat) 02:37:57
☆ Re: / ヨッシー
ｘ＜-2 のとき
　ｙ＝-(x-2)(x+2)＝4-x^2
ｘ≧-2 のとき
　ｙ＝(x-2)(x+2)＝x^2-4
ですから、グラフはこうなります。

斜線部が面積を求める部分です。
　∫-6〜-2(4-x^2-4x+8)dx＋∫-2〜2(x^2-4-4x+8)dx
で求められます。
　
No.13390 - 2011/03/12(Sat) 08:03:28
★ 微分 / だいき
関数y=x^3‐3a^2x+3のｘが‐1以上１以下における最大値が４であるとき定数aの値を求めよ。ただしa>0とする。


おねがいします
No.13384 - 2011/03/11(Fri) 01:20:27
☆ Re: 微分 / angel
取り敢えず微分して増減を調べる所は良いでしょうか。
f(x)=x^3-3a^2x+3 とおきまして、-1≦x≦1 という範囲を取り敢えず無視すれば、a＞0 のため f(-a)が極大、f(a)が極小となることが分かります。

では、-1≦x≦1における最大値をどう考えるか。
極値が-1≦x≦1 の範囲にあるか、また、極(大)値が最大値になっているかという観点から、添付の図のような3パターンに場合わけできます。
左から言うと、
　・極値は範囲外 ( a＞1 )、f(-1)が最大値で f(-1)=4
　・極値が範囲内 ( 0＜a≦1 )、極大値が最大値で f(-a)=4≧f(1)
　・極値が範囲内 ( 0＜a≦1 )、極大値よりも右端の値が上回り、f(1)=4＞f(-a)
となります。
それぞれのパターンを計算しましょう。全部のパターンで適切な解があるとは限らないことに注意。
No.13385 - 2011/03/11(Fri) 02:32:00
☆ Re: 微分 / だいき
ありがとうございます。
No.13386 - 2011/03/12(Sat) 00:51:49
★ 高1　軌跡と方程式 / れいひゃー
直線3x−4y＋10＝0とx軸の両方に接する円の中心の軌跡の方程式をもとめよ。


答えは
3x−9y＋10＝0、3x＋y＋10＝0
ただし点(-10/3、0)を除く
です


分かる方説明お願いします；
No.13377 - 2011/03/09(Wed) 19:49:40
☆ Re: 高1　軌跡と方程式 / シャロン
2直線に接する円の中心は、その2直線から等距離にあるので、その2直線の成す角の２等分線上にあります。2直線の成す角は鋭角と鈍角、それにそれぞれの対頂角の4箇所でき、対頂角に対応する2等分線は同じ直線上になります。

但し、2直線の交点は、そこを中心に2直線に接する円を描けないので、除外します。

3x-4y+10=0とx軸(y=0)の交点は(x,y)=(-10/3,0)

また、3x-4y+10=0とx軸の成す角の一つをθ(0<θ<π/2)とおくと、cosθ=4/5なので、この角の二等分線の傾きtan(θ/2)は、

(tan(θ/2))^2=(1-cosθ)/(1+cosθ)=1/9

0<θ<π/2よりtan(θ/2)=1/3です。

もう1組の2等分線は、これと垂直なので、傾きは-1/(1/3)=-3

よって、求める軌跡は、
点(-10/3,0)を通る傾き1/3の直線と、点(-10/3,0)を通る傾き-3の直線。但し、点(-10/3,0)を除く。
となり、直線を式で表せば、解答のようになります。
No.13378 - 2011/03/09(Wed) 21:30:53
☆ Re: 高1　軌跡と方程式 / れいひゃー
>cosθ=4/5なので、この角の二等分線の傾きtan(θ/2)は、
>(tan(θ/2))^2=(1-cosθ)/(1+cosθ)=1/9

ここのところがよく分からないのですが、
cosθ=4/5がどうやって出てきたのかと、
角二等分線の傾きがtanθの理由、
(tan(θ/2))^2=…の式変形？が分からなかったので、教えて頂けると嬉しいです＞＜；
No.13380 - 2011/03/10(Thu) 16:57:03
☆ Re: 高1　軌跡と方程式 / シャロン
>cosθ=4/5がどうやって出てきたのか

3x-4y+10=0はy=(3/4)x+5/2と書けます。この直線をLとします。
L上の1点Pからx軸正方向に1移動した点をQ、Qを通りy軸に平行な直線がLと交わる点をRとします。

△PQRは∠Qが直角で、PQ=1。また、Lの傾きが3/4なので、QR=3/4です。
三平方の定理からPR=5/4です。
また、PQはx軸に平行なので、∠RPQはx軸正方向とL(上の点のx座標が増大していく方向)が成す角であり、したがって、cosθ=(PQ)/(PR)=4/5です。

>角二等分線の傾きがtanθの理由、

角二等分線の傾きはtan(θ/2)です。

上にも書きましたが、直線の傾きとは、xが1増加した場合、yはどれだけ増える(減る)かでｓから、直線とx軸と、x軸に垂直な直線で作られる直角三角形を考えます。
(直線とx軸の交点をA、x軸と「x軸に垂直な直線」との交点をB、元の直線とこの「x軸に垂直な直線」との交点をCとしましょうか)

直線とx軸との成す角がαなら、tanα=(BC)/(AB)です(但し、BCの長さは符号を含めて考える、つまりCがx軸より下ならBCはマイナスと考える)が、これは「xが1増えた場合のyの増分」、つまりその直線の傾きそのものです。

いま、Lとx軸の成す角をθとしたので、その角二等分線とx軸の成す角はθ/2、したがって二等分線の傾きはtan(θ/2)

>(tan(θ/2))^2=…の式変形？

未修かもしれませんが、半角の公式というものです。
これはcosの倍角の公式から導出できます。
cos(2θ)=2(cosθ)^2-1=1-2(sinθ)^2から
(cosθ)^2={cos(2θ)+1}/2、(sinθ)^2={1-cos(2θ)}/2
tanθ=(sinθ)/(cosθ)より、
(tanθ)^2 = {(sinθ)^2}/{(cosθ)^2}
= {1-cos(2θ)}/{cos(2θ)+1}

つまり、
(tan(θ/2))^2 = {1-cos(θ)}/{cos(θ)+1}
です。
No.13381 - 2011/03/10(Thu) 18:26:16
☆ Re: 高1　軌跡と方程式 / シャロン
>cosθ=4/5がどうやって出てきたのか

が、「なぜいきなりcosを持ち出す必要があったか」という意味の質問でしたら、

あとでtanの半角公式をつかうから

という理由です。
No.13382 - 2011/03/10(Thu) 18:28:54
☆ 別解 / angel
シャロンさんの解法は、「角の二等分線を求める」という考えが基本になっています。が、「2直線から等距離にある」という点を主眼において計算する別解もあります。

　点(X,Y)と直線3x-4y+10=0 の距離は |3X-4Y+10|/√(3^2+4^2)
　点(X,Y)とx軸の距離は |Y|

　よって、題意を満たす点(X,Y)は
　|3X-4Y+10|/√(3^2+4^2)=|Y| を満たす
　分母をはらって辺々平方すると (3X-4Y+10)^2=(5Y)^2
　因数分解すると (3X+Y+10)(3X-9Y+10)=0

ということで、3X+Y+10=0, 3X-9Y+10=0 という2直線を表す条件が浮かび上がります。
No.13383 - 2011/03/10(Thu) 23:39:37
☆ Re: 高1　軌跡と方程式 / れいひゃー
シャロンさん、angelさん、
ありがとうございました！
シャロンさんの方も、angelさんの方も解いてみたのですが、
両方解けました＾＾*
お礼が遅れて申し訳ないです；
本当にありがとうございました！
No.13389 - 2011/03/12(Sat) 05:43:38
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