x=g(t)のとき
∫f(x)dx=∫f(x)(dx/dt)dt=∫f(g(t))g'(t)dt
の証明の仕方が分かりません。左辺=右辺の証明はわかるのですが、左辺＝中辺 または 中辺＝右辺 はどの様に示すのでしょう？
あと、左辺の∫の直後と右辺のそれは、それぞれf(x)と
f(g(t))ですが、両者はどう違うのですか？
|
No.12608 - 2011/01/04(Tue) 09:11:02
| ☆ Re: 置換積分 高3 / 板橋 | | | x=g(t)ならば、dx=g'(t)dtであるので、
∫f(x)dx=∫f(g(t))g'(t)dt
となります。
あと、左辺の∫の直後と右辺のそれは、それぞれf(x)と
f(g(t))ですが、両者はどう違うのですか？
というご質問に関してですが、前者のfはxの関数、後者のfはtの関数であり、f(x)とf(g(t))の形も違います。（前者の場合fの変数はx、後者の場合fの変数はg(t)と考えると良いと思います）。
使い方としては、
∫sin2xdxという積分の場合、
2x=tとおくと、
2dx=dtであるので、
与式=∫sint(dt/2)
となります。
置換積分と呼ばれているものです。
|
No.12610 - 2011/01/04(Tue) 09:28:38 |
| ☆ Re: 置換積分 高3 / syooo 高2 | | | 丁寧な回答ありがとうございます。
単独のdx,dtとは何なのですか？ dx/dtは関数x=g(t)の導関数x'=g'(t)
を表してるという事ならわかりますが・・・
あと中辺が左辺や右辺と等しいことはどう示せばいいのですか？
|
No.12623 - 2011/01/04(Tue) 23:13:48 |
| ☆ Re: 置換積分 高3 / 板橋 | | | dx/dt=dg(t)/dt=g'(t)
です。
以下、左辺=中辺=右辺の証明です。
x=g(t)ならば、dx=g'(t)dt
であるので、
∫f(x)dx=∫f(x)*(dx/dt)*(dt)=中辺
∫f(x)*(dx/dt)*(dt)=∫f(g(t))*{g'(t)dt/dt}*dt
=∫f(g(t))*g'(t)dt=右辺
dxはxの微小変化
dtはtの微小変化
を表します。
尚、ご参考のために申し上げておきますが、
?凅≠dx
?冲≠dt
です。
変数変換をする場合、対応をきちんと意識なさっておくほうが良いと思います。そうすれば、y=x中心に回転という問題であっても混乱することはないと思います。
|
No.12625 - 2011/01/04(Tue) 23:39:08 |
| ☆ Re: 置換積分 高3 / ast | | | 高校でどのように置換積分の公式を教えるのか, よく存じません (し, 同教えられたんだかさっぱり忘れました) が
> x=g(t)ならば、dx=g'(t)dt であるので、
というのははいま示そうとしている積分の等式 "x=g(t)のとき ∫f(x)dx=∫f(x)(dx/dt)dt" を, これが成り立つ前提で, 略記（あるいは記号的に示唆）するものであるので, 本件で用いるのは不適当ではないかと思います. 何らかの適当な極限に関する議論が求められているのではないでしょうか (高校数学だと積分は「微分の逆」扱いですから, もしかしたら合成函数の微分公式あたりからということで誤魔化すんだったかもしれません).
一方, ∫f(x)(dx/dt)dt=∫f(g(t))g'(t)dt のほうはそもそも x=g(t) かつ dx/dt=g'(t) なので, 証明を要しません. 一致するしないの問題ではなく, もともと「まったく同じ式」だということです. 厳密にやるなら代入原理とかの論理学方面の話になるのかもしれませんが, 高校数学でそういうことを求められるとも考えにくいので, 「明らか」で良いと思います.
|
No.12631 - 2011/01/05(Wed) 07:12:07 |
| ☆ Re: 置換積分 高3 / syooo 高2 | | | お礼遅くなってすいません； 左辺＝中辺の証明はdx＝g'(t)dtを使っていいかによって方法が変わるみたいですが、左辺＝右辺と中辺＝右辺が証明済みなので明らかに左辺＝中辺も成り立ちますね。
板橋さん、astさん、ありがとうございました。
|
No.12647 - 2011/01/06(Thu) 21:58:35 |
|
