サイコロを投げて、xy平面上の点P0、P1、・・・・・・、Pnを次の規則(a)(b)によって定める。
(a)P0=(0,0)
(b)1≦k≦nのとき、k回目に出た目の数が1,2,3,4,のときにはPk-1をそれぞれ東、西、南、北に(1/2)^kだけ動かした点をPkとする。
また、k回目に出た目の数が5,6のときにはＰk=Pk-1とする。
ただし、y軸の正の向きを北と定める。
(1)Pnがx軸上にあれば、P0,P1・・・・・・、Pn-1もすべてx軸上にあることを示せ。
(2)Pnが第１象限｛(x,y)|x>0,y>0｝にある確率をnで表せ。
まず、問題文について
【k回目に出た目の数が1,2,3,4,のときにはPk-1をそれぞれ東、西、南、北に(1/2)^kだけ動かした点をPk】
この意味についてなのですが
解答を見ると、1の目は東に 2の目は西に 3の目は南に 4の目は北に対応してるとのことでした。
ですが、この問題文を初めに見たとき
1,2,3,4のうちどれか１つがでれば
↑
← Pk-1 →
↓
のように東西南北にそれぞれ動くということだと捉えてしまいました。
また、解答では
a回目に初めて北or南に動いたとすると
動く大きさは(1/2)^a
a＋1回目は(1/2)^a＋1
・・・・・・・
n回目は(1/2)^n
これら
(1/2)^a＋1 ＋(1/2)^a＋2 ＋ ・・・・・・＋(1/2)^nの和は最初に動いた(1/2)^aより小さいというのを用いていました。
これはa回目 a＋1回目・・・n回目にそれぞれ動く大きさを排反と捉えているのでしょうか？
次に
(２)について
これは解答の一部がわからないので一応全部答えを書き写します。
次のそれぞれの場合がある。
(ア)原点にある
(イ)x軸の原点以外の部分にある
(ウ)y軸の原点以外の部分にある
(エ)x軸上にもy軸上にもない
(ア)は 5か6の２通りなので(2/6)^n
(イ)になるのは、毎回1,3,5,6のいずれかが出る場合から5,6が出る場合を除いたときで
その確率は(4/6)^n − (2/6)^nです。
(ウ)になる確率も(イ)と同様
１(全体の確率)から(ア)、(イ)、(ウ)を除いたのが(エ)になる確率で
(エ)＝1 - 2・(2/3)^n＋(1/3)^n ・・・?@
この確率を第1,2,3,4象限で分け合っているという形で第１象限にある確率は?@の1/4
よって答えは1/4 × ?@
自分の思いついた方針もこれと同じだったのですが
(イ)を毎回1,3がでればいいので(2/6)^n
(ウ)を毎回2,4がでればいいので(2/6)^nとしてしまいました。
どうしてこれじゃあいけないのでしょうか？
誰かわかる方教えてください
おねがいします。
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No.13486 - 2011/04/03(Sun) 21:15:09
| ☆ Re: 確率高２ / X | | | >>これはa回目 a＋1回目・・・n回目にそれぞれ動く大きさを排反と捉えているのでしょうか？
ごめんなさい。質問の意味がよく分かりません。
>>(イ)を毎回1,3がでればいいので〜
(イ)の場合、例えば
1回目〜n-1回目が全て1の目でn回目が5の目
であっても条件を満たします。
つまりn回の試行のうち、少なくとも1回の試行で
1又は3の目が出れば、残りの試行が全て5,6の目であっても
条件を満たします。
(ウ)の場合も同様です。
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No.13487 - 2011/04/03(Sun) 22:06:42 |
| ☆ Re: 確率高２ / シャロン | | | >これはa回目 a＋1回目・・・n回目にそれぞれ動く大きさを排反と捉えているのでしょうか？
a〜n回までの移動の事象が違いに排反だから、距離を足し合わせているのではない。
P_nのy座標をy[n]とかくことにすると、
|y[n]-y[a]|≦|y[n]-y[n-1]|+|y[n-1]-y[n-2]|+...+|y[a+1]-y[a]| (∵三角不等式|x+y|≦|x|+|y|)
≦(1/2)^n+(1/2)^(n-1)+...+(1/2)^(a+1) (∵n回めにサイコロを振った出目による移動で南北方向に移動する距離の絶対値|y[n]-y[n-1]|は、3または4が出たときは(1/2)^n、それ以外では0なので、|y[n]-y[n-1]|≦(1/2)^n)
= (1/2)^(a+1)*(1-(1/2)^(n-a))/(1-1/2) (∵初項(1/2)^(a+1)、公比1/2、項数n-aの等比数列の和)
= (1/2)^a*(1-(1/2)^(n-a))
＜(1/2)^a (∵(1/2)^(n-a)＞0)
= |y[a]|
なので、a回めのサイコロの出目で初めて南(北)へ移動しx軸から外れたら、それ以降の出目がすべて北(南)へ移動したとしても移動距離の合計がa回めで移動した距離以上にならないので、x軸上へ戻ることはできない。
ということをいっている。
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No.13488 - 2011/04/03(Sun) 22:39:32 |
| ☆ Re: 確率高２ / ほむほむ | | | 回答ありがとうございます。
理解力が足りないゆえ恐縮ですがわからないところを追加で質問させていただきます。
例えばk=3とすると
1≦3≦nのとき、３回目に出た目の数が１，２，３，４のときにはＰ2をそれぞれ東、西、南、北に(1/2)＾ｋだけ動かした点をP３とする。
となりますが、この場合１回目と２回目はどうなるんですか？
例えば１回目に２が出て２回目に３がでても
規則(b)には当てはまらないので(規則(b)は今【3回目】に出た目に関しては動かしたりとどまったりできるというルールであり、それ以外の回数についてはこのルールは無関係)
０回目(P0=(0,0))の位置と1回目と2回目は変わらないんでしょうか？
その場合Ｐ2というのはP0と同じ(０，０)にとどまっているままなのでしょうか？
また、
(1/2)^a＋1 ＋(1/2)^a＋2 ＋ ・・・・・・＋(1/2)^n＜(1/2)^a・・・?@
という式について。
a回目のサイコロの出目で初めて移動するとする。
わかりやすくするために
a=２とおきます。
じゃぁ?@の式は
(1/2)^3 ＋(1/2)^4 ＋ ・・・・・・＋(1/2)^n＜(1/2)^2とおけますよね。
まず最初の(1/2)^3というのは３回目に規則(ｂ)の効果が発動するんですよね？これってさっきk=3とおいてたとえてみたのと同じで１回目２回目はまったく無関係で３回目に初めて(1/2)^３だけ移動して４回目〜n回目も規則(ｂ)は無関係なのですよね？
なんだか意味がわからなくなってきました。
説明が下手で本当に申し訳ないです＾＾；
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No.13489 - 2011/04/04(Mon) 00:00:02 |
| ☆ Re: 確率高２ / シャロン | | | 問題の、というか規則(b)の解釈が間違っている。
kは固定された値でなく、順次変わる値である。
1回めのサイコロを振るときには、規則(b)をk=1として適用する。
2回めのサイコロを振るときには、規則(b)をk=2として適用する。
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n回めのサイコロを振るときには、規則(b)をk=nとして適用する。
>この場合１回目と２回目はどうなるんですか？
3回めのサイコロを振ったときにはもうすでに1,2回めの処理は終わっている。その時その時の出目にしたがって、動点は移動している。
>例えば１回目に２が出て２回目に３がでても
この場合には、1回めで西に1/2、2回めで南に1/4移動したあと、つまり、P_2が(-1/2,-1/4)の位置から、
規則(b) (k=3として)と3回めの出目にしたがってP_3が決まる。
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No.13492 - 2011/04/04(Mon) 11:47:23 |
| ☆ Re: 確率高２ / カナメ | | | 規則(b)完全に勘違いしていました＾＾；
ですがおかげで理解できました。
このたびは本当にありがとうございました！
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No.13494 - 2011/04/04(Mon) 21:13:38 |
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