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★ 数列の問題 / masaki
こんにちは。基礎問題なのですが、どうやっても正解にたどり着きません。解法のどこが間違っているのですか？また、正しい解法おしえてください。よろしくお願いします。

次の数列{an}について答えよ。
5,55,555,5555,…
一般項ｎの式で表せ。
解）{an}={5,55,555,5555,…}
　　{bn}={50,50×10,50×10^2,50×10^3…}
bn=50・10^(n-1)

an=a1+Σ【上：n-1,下：k=1】(50・10^(k-1))

an=5+50(10^n-1)/(10-1)
=5+50(10^n-1)/9

ここまでが自分の解法です。
正解は5(10^n-1)/9　らしいのですが、行き詰まりました…。
No.11039 - 2010/07/31(Sat) 02:25:07
☆ Re: 数列の問題 / かーと
＞50(10^n-1)/(10-1)

n-1項の和なので 10^n → 10^(n-1) となりますね。
あとは出てきた式を整理すれば正しい式が得られます。

とにかく解ければいいということであれば、
9,99,999,9999・・・・
の一般項が (10^n)-1 であることから、
a[n] の一般項はこれを 5/9 倍すれば簡単に求まります。
No.11040 - 2010/07/31(Sat) 02:52:34
☆ Re: 数列の問題 / masaki
なるほど！
丁寧な解説ありがとうございました！
No.11050 - 2010/07/31(Sat) 23:44:17
★ 高１ 数Ａ / あい
Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ、Ｇの７文字を１列に並べる時ＡがＢより左にあり、ＢがＣより左にある確率を求めよ。

っていう問題教えてください(;_;)
No.11035 - 2010/07/30(Fri) 22:55:01
☆ Re: 高１ 数Ａ / らすかる
ABCの順番は
ABC
ACB
BAC
BCA
CAB
CBA
の6通りあり、どれも同じ確率ですから
ABCの順番になる確率は1/6です。
No.11037 - 2010/07/30(Fri) 23:14:09
★ 高1 数Ａ / まっちょ

３個のさいころを同時に投
げる時、出る目の最小値が
３以上５以下である確率を
求めよ

という問題なのですが、
最小値が３,４,５の時で
場合分けをすると、
３→(2/3)^2
４→(1/2)^2
５→(1/3)^2
でこれらを足して49/72
と計算したのですが、
正解わ7/24でした

余事象も考えたのですが
最初と同じ答えになりま
した

教えてください


No.11033 - 2010/07/30(Fri) 21:38:08
☆ Re: 高1 数Ａ / ヨッシー
目の出方は 6~3＝216（通り）

最小が５の場合の数：
　５，６だけで出る目の場合の数は
　2^3＝８通り
　このうち、６，６，６ は除いて　７通り。
最小が４の場合の数:
　４，５，６ だけで出る目の場合の数は
　3^3＝27通り
　このうち８通りは、４を使っていないので、
　２７−８＝１９通り
最小が３の場合の数：
　３，４，５，６だけで出る目の場合の数は、
　4^3＝６４通り
　このうち２７通りは３を使っていないので、
　６４−２７＝３７通り
合計　７＋１９＋３７＝63
確率は、63/216＝7/24　となります。
No.11034 - 2010/07/30(Fri) 22:00:40
☆ Re: 高1 数Ａ / まっちょ

そうやって解くんですか！
全然思いつきませんでした

ありがとうございます！
No.11036 - 2010/07/30(Fri) 23:06:50
☆ Re: 高1 数Ａ / らすかる
別解
目の出方は6^3=216通り
最小が3以上となるのは出目が3,4,5,6のみの場合なので4^3=64通り
このうち最小が6となるのは(6,6,6)の1通りなので
最小が3〜5となるのは64-1=63通り
∴63/216=7/24
No.11038 - 2010/07/30(Fri) 23:23:33
☆ Re: 高1 数Ａ / まっちょ

楽に解けますね！
別解ありがとうございます！
No.11047 - 2010/07/31(Sat) 17:17:59
★ 高２ 青チャート数?T１４７ / 秋山ZERO
右の図の折れ線で表される関数をf(x)とする。
このとき、y＝f{f(x)}のグラフをかけ。また、0≦x≦1でf{f(x)}＝xとなるxの値を求めよ。

グラフはxが０でyが２、1で4、2で3、3で1、4で0です。


答えはx＝2/3です。
まず

解説
【与えられたｆ（ｘ）の式は，
０≦ｘ≦１のとき，ｙ＝２ｘ＋２で，値域は２〜４…?@
１≦ｘ≦２のとき，ｙ＝−ｘ＋５で，値域は３〜４…?A
２≦ｘ≦３のとき，ｙ＝−２ｘ＋７で，値域は１〜３…?B
３≦ｘ≦４のとき，ｙ＝−ｘ＋４で，値域は０〜１…?C

さらに?@の式は
０≦ｘ≦１／２のとき，値域は２〜３…?D

１／２≦ｘ≦１のとき，地域は３〜４…?E

とわけておく

ｆ（ｆ（ｘ））は，０≦ｘ≦１のとき，内側の値は?@によるので，
?Dのとき外側のｆ（ｘ）は?Bの式になり，

ｙ＝−２（２ｘ＋２）＋７となるから
ｆ（ｆ（ｘ））＝ｘは，
−２（２ｘ＋２）＋７＝ｘを解いて，ｘ＝３／５。ところが，?Dのときのｘの範囲に入っていないので解ではない。
?Eのとき外側のｆ（ｘ）は?Cの式になり，

ｙ＝−（２ｘ＋２）＋４となるから
ｆ（ｆ（ｘ））＝ｘは，
−（２ｘ＋２）＋４＝ｘを解いて，ｘ＝２／３。これは，?Eのときのｘの範囲に入っているので解である。

グラフに関しては，

０≦ｘ≦１／２のときは前出。
１／２≦ｘ≦１のときは前出。
１≦ｘ≦２のとき，外側のｆ（ｘ）は?Cだから，ｙ＝−（−ｘ＋５）＋４
２≦ｘ≦５／２のときは，内側のｆ（ｘ）外側のｆ（ｘ）とも?Bだから，ｙ＝−２（−２ｘ＋７）＋７
５／２≦ｘ≦３のときは，外側のｆ（ｘ）は?Aだから，ｙ＝−（−２ｘ＋７）＋５
３≦ｘ≦４のとき，外側のｆ（ｘ）は?@だから，ｙ＝２（−ｘ＋４）＋２】

グラフで
【さらに?@の式は
０≦ｘ≦１／２のとき，値域は２〜３…?D

１／２≦ｘ≦１のとき，地域は３〜４…?E

とわけておく】とするのはどうしてなんでしょうか？
それ以降も全くわかりません。
誰か分かる方教えてください。
お願いします
No.11027 - 2010/07/29(Thu) 23:32:18
☆ Re: 高２ 青チャート数?T１４７ / ヨッシー
>グラフで
>【さらに?@の式は
>０≦ｘ≦１／２のとき，値域は２〜３…?D
>
>１／２≦ｘ≦１のとき，地域は３〜４…?E
>
>とわけておく】とするのはどうしてなんでしょうか？

f(x) の値域が、f(f(x)) では、定義域になるので、
折れ線の折れ目の３のところで、分けるのです。

図のようにy=f(x) のグラフと、x=f(y) のグラフを描いて、
両者が交わる●の点が f(f(x))=x となる点で、0≦x≦1 では
x=2/3 です。
No.11031 - 2010/07/30(Fri) 06:57:51
★ 高１確率の問題 / 秋山ZERO
図のようにｎ（ｎ＞＝２）本の平行線と、それらに直行するｎ本の平行線が、それぞれ両辺とも同じ間隔a(a>０）で並んでいる

（１）上記のような、合計２ｎ本の直線のうち４本で囲まれる長方形（正方形を含む）は全部でいくつあるか。
（２）同様に、正方形は全部でいくつあるか。

解説
（２）a=1であるとしても一般性を失わない。縦の直線をｘ＝１、ｘ＝２、・・・・・ｘ＝ｎとし、横の直線をｙ＝１、ｙ＝２、・・・・
ｙ＝ｎとする正方形の一辺の長さをｋ（１＜＝ｋ＜＝ｎー１）とする。縦の２辺が乗っている２本の直線の組はｘ＝１とｘ＝ｋ＋１、
ｘ＝２とｘ＝ｋ＋２・・・・、ｘ＝ｎーｋとｘ＝ｎのｎーｋ通りある。同様に横の２辺がのっかている２本の直線の組もｎーｋ通りあり、
一辺の長さがｋの正方形は（ｎーｋ）＾２通りあり、正方形は全部で
n-1
Σ(n-k)^2=(n-1)^2+(n-2)^2+・・・・・+2^2+1^2・・・?@
k=1 =1/6n(n-1)(2n-1)(個）
ある。?@は（n-k)^2のｋに、1,2・・・・・・、n-1を代入した結果である。

まず、最後の
【n-1
Σ(n-k)^2=(n-1)^2+(n-2)^2+・・・・・+2^2+1^2・・・?@
k=1 =1/6n(n-1)(2n-1)(個）
ある。?@は（n-k)^2のｋに、1,2・・・・・・、n-1を代入した結果である。】
の部分がわかりません。
数列は既習なのｄすが
なぜ
n-1
Σ(n-k)^2=(n-1)^2+(n-2)^2+・・・・・+2^2+1^2・・・?@
k=1 =【1/6n(n-1)(2n-1)】(個）になるのでしょうか？

また、
【一辺の長さがｋの正方形は（ｎーｋ）＾２通りあり】とありますが、
なぜ2（n-k）通りではなく、【（ｎーｋ）＾２通り】なんでしょうか？

誰か分かる方教えてください。お願いします。
No.11025 - 2010/07/29(Thu) 22:58:30
☆ Re: 高１確率の問題 / ヨッシー
Σk=1〜nk^2＝1^2＋2^2＋・・・＋n^2
はk^2 のｋに1,2,・・・n を代入した結果です。
というのと同じで、Σの意味そのままです。

ｎ＝４のとき
長さが１の正方形は
　２・(4-1)＝６(個)
ではなく
　(4-1)^2＝９(個)
ですね。
No.11030 - 2010/07/30(Fri) 06:34:15
★ 場合の数です / BJ
高校一年です。よろしくお願いします。
図のような同じ大きさの５つの立方体からなる立体図形において、点Aから指定された点まで立方体の辺に沿って最短距離で行く経路について考える。
（1）点Aから点Ｃへの経路は何通りあるか。

（2）点Aから点Ｄへの経路は何通りあるか。

答えは、（１）は２０通り
　　　　（２）は５４通り　
ですが、解き方を教えてください。
No.11024 - 2010/07/29(Thu) 22:32:47
☆ Re: 場合の数です / ToDa
こういった経路の問題で、その道筋が複雑になる場合は、あれこれ計算して遠回りするよりもそのまま数えたほうが早かったりします。

各点に至る経路の総数を順次書き込んで、


こんな感じで答えの通りに。
No.11028 - 2010/07/30(Fri) 00:26:05
☆ Re: 場合の数です / らすかる
数えた方が早いかも知れませんが、計算で出すなら…

(1)
上右右右奥 の並べ方ですから、5!/3!=20通りです。

(2)
上右右右奥奥 の並べ方から
立方体のない左奥の角を通る
上前前前前前 の並べ方を引けば良いので
6!/(3!2!)-6!/5!=54通りです。
No.11029 - 2010/07/30(Fri) 01:53:15
☆ Re: 場合の数です / BJ
こういう場合は、数えたほうがいいのですね。
よくわかりました。ありがとうございました。
No.11032 - 2010/07/30(Fri) 08:00:03
★ 確率の問題です　高校２年せいです！ / 秋山ZERO
黄色のカードが6枚、赤色のカードが6枚、青色のカードが6枚ある。同じ色の6枚のカードには、それぞれ1から6までの数字が書かれている。 これら18枚のカードから続けて5枚を抜き取り、これらのカードを左から並べる。
(3)5枚のカードの数字の合計が7である順列は
1を3枚2を2枚を一列に
1･3･5!=360通り

(4)5枚のカードの中の3枚が同じ数字で残りの2枚も同じ数字である順列は何通りできるか
(3)では1を3枚のものにして、2を2枚のものにしています。ちょうど(3)が(4)が１つの例であると分かるのですが･･･。

6P2×360=10800
6つの数字から3枚のものと2枚のもの2つを取り出す順番を考えて選ぶ。
6つの数字から最初に選んだものを3枚にして次に選んだものを2枚のものにする。
とあるのですがここが分かりません。
まず なぜ「６つの数字から」なんでしょうか？
黄、青、赤のカードを全部合わせれば１８枚ありますし、
しかもその中に、例えば１なら
黄の１ 青の１ 赤の１もあるわけですよね？
本当によくわかりません。
誰か6Ｐ2になる理由を教えてください。お願いします
No.11021 - 2010/07/29(Thu) 19:13:33
☆ Re: 確率の問題です　高校２年せいです！ / ヨッシー
最初に1、次に2 を選んだとき、1を3枚、2を2枚と決めます。
最初に4、次に3 を選んだとき、4を3枚、3を2枚と決めます。
すると、6つの数字から、2つの数字を選んで並べる順列と
数字の選び方が一致します。
ちなみに、
11122, 11133, 11144, 11155, 11166
22211, 22233, 22244, 22255, 22266
33311, 33322, 33344, 33355, 33366
44411, 44422, 44433, 44455, 44466
55511, 55522, 55533, 55544, 55566
66611, 66622, 66633, 66644, 66655
数字の選び方は以上30(＝6Ｐ2)通りあります。
それぞれの選び方について、並べ方は360通りあるので、
　30×360＝10800
となります。
No.11022 - 2010/07/29(Thu) 20:30:55
☆ Re: 確率の問題です　高校２年せいです！ / 秋山ZERO
どうもありがとうございました！！！！！
No.11026 - 2010/07/29(Thu) 23:01:21
★ 高1 数Ａ / まっちょ

赤玉４個、白玉３個、青玉１個がある。この中から４個を取って作る組み合わせおよび順列の個数を求めよ。

全然わかりません！
教えてください泣


No.11015 - 2010/07/29(Thu) 10:35:39
☆ Re: 高1 数Ａ / らすかる
組合せは数えるのみです。
青玉がないとき
赤赤赤赤
赤赤赤白
赤赤白白
赤白白白
青玉があるとき
赤赤赤青
赤赤赤青
赤赤白青
赤白白青
白白白青

順列は上記それぞれについて何通りずつあるかを考えましょう。
No.11019 - 2010/07/29(Thu) 13:18:19
☆ Re: 高1 数Ａ / まっちょ

これわ数えるだけなんです
ね！気づきませんでした。
丁寧にありがとうございま
す！


No.11023 - 2010/07/29(Thu) 21:22:19
★ 積分と行列について（数?VＣ） / ハオ
失礼かもしれませんが2つの質問をさせて下さい。
(1)積分を勉強している途中に　ベータ関数はm!n!で割れ　と教わったのですが　ベータ関数とは如何なるものなのでしょうか？Im.n=∫(0〜1) x^m(1-x)^n dx(m≧0,n≧0)
の問題で言われたのですが　↑の式がベータ関数と言われるものなのでしょうか？
他のベータ関数もありましたら教えて下さい（一般形など）

(2)ハミルトンケーリーの定理を
　C.H と先生が略して使っていたのですがこの様な書き方でも試験では減点されないでしょうか？

以上2点宜しくお願いします。
No.11011 - 2010/07/29(Thu) 02:07:54
★ 確率の問題です　高校２年せいです！ / 秋山　零（ゼロ）
図のようにｎ（ｎ＞＝２）本の平行線と、それらに直行するｎ本の平行線が、それぞれ両辺とも同じ間隔a(a>０）で並んでいる

（１）上記のような、合計２ｎ本の直線のうち４本で囲まれる長方形（正方形を含む）は全部でいくつあるか。
（２）同様に、正方形は全部でいくつあるか。

解説
（２）a=1であるとしても一般性を失わない。縦の直線をｘ＝１、ｘ＝２、・・・・・ｘ＝ｎとし、横の直線をｙ＝１、ｙ＝２、・・・・
ｙ＝ｎとする正方形の一辺の長さをｋ（１＜＝ｋ＜＝ｎー１）とする。縦の２辺が乗っている２本の直線の組はｘ＝１とｘ＝ｋ＋１、
ｘ＝２とｘ＝ｋ＋２・・・・、ｘ＝ｎーｋとｘ＝ｎのｎーｋ通りある。同様に横の２辺がのっかている２本の直線の組もｎーｋ通りあり、
一辺の長さがｋの正方形は（ｎーｋ）＾２通りあり、正方形は全部で
n-1
Σ(n-k)^2=(n-1)^2+(n-2)^2+・・・・・+2^2+1^2・・・?@
k=1 =1/6n(n-1)(2n-1)(個）
ある。?@は（n-k)^2のｋに、1,2・・・・・・、n-1を代入した結果である。

教えてほしいところ
?@なぜ正方形の１辺の長さｋの範囲が（１＜＝ｋ＜＝ｎー１）なんでしょうか？
それとn-k通りあるというのは
【x=1】とx=k+1 【x=2】とx=k+2 ・・・・・・【x=n-k】とx=n
の【】の部分だけをみて
n-k-1+1=n-k（通り）ということでしょうか？
正直よく理解できていません。
画像も幅kのところがなんで画像のようになってるのかわかりませんでした。
誰か分かる方教えてください。おねがいします
No.11010 - 2010/07/29(Thu) 00:29:24
☆ Re: 確率の問題です　高校２年せいです！ / ヨッシー
田　の字を思い浮かべると、
線は縦横３本ずつですが、長方形の幅は最大２までです。
よって、線がｎ本なら、長方形の幅は最大n-1までです。

数え方は【】の部分だけ見てという理解で良いです。

画像は、ｎ＝７のときに、ｋ＝３の正方形を１つ作った一例ですね。
図の下の方に、円弧が４つあるように、幅３の切り出し方は
１〜４、２〜５、３〜６，４〜７　の４通りです。
No.11013 - 2010/07/29(Thu) 05:21:06
☆ Re: 確率の問題です　高校２年せいです！ / 秋山ZERO
分かりました！ありがとうございます(*´ω｀*)
No.11020 - 2010/07/29(Thu) 19:13:10
★ (No Subject) / インダス
周波数領域のデータの逆DFTに関する問題です。

X(k)={√3, √3/2-j*1/2, √3/2+j*1/2} (k=0,1,2)
を逆DFTにより実領域へ変換した結果の内、
x(1)を求めよ。ただし、j=√-1

x(k)=1/√N*Σ_[n=0,N-1] X(n)W^-kn より、

=1/√3*Σ_[n=0,2] X(n)W^-kn

また、W^-knはオイラーの公式より、
=e^(j*2π/N*kn)=cos(2π/N*kn)+jsin(2π/N*kn)
=e^(j*2π/3*kn)=cos(2π/3*kn)+jsin(2π/3*kn)

X(1) = √3/2-j*1/2 より、

W^{-(√3/2-j*1/2)*0}=cos(0)+jsin(0)=1+0=1
このあと、n=2までやって全部足せばいいのですが、
cosとsinの中身がごちゃごちゃになってそれをどうやって計算すればいいのか悩んでいます。

よろしくお願いします。
No.11009 - 2010/07/28(Wed) 20:37:53
★ (No Subject) / そらぷー
次の微分方程式を定数変化法を用いて解け：
(dx/dt)+tx=t^2+1
と言う問題で
同次方程式の解ｘ＝Cexp(-t^2/2)

それからＣ(x)=∫（t^2+1)exp(t^2/2)
までもっていけたのですが、これの積分の仕方がわかりません。部分積分も出来ないし・・・
一体どこが悪いんでしょうか？教えてください＞＜
No.11008 - 2010/07/28(Wed) 18:56:42
☆ Re: / そらぷー
ならば質問の仕方を変えます。Ｃ(x)=∫（t^2+1)exp(t^2/2)dtのやり方を教えてください
No.11043 - 2010/07/31(Sat) 12:50:59
☆ Re: / phaos
和を分けて, 後半だけ部分積分すると出来ます。
∫（t^2+1)exp(t^2/2)dt
= ∫t^2 exp(t^2/2)dt + ∫exp(t^2/2)dt
= ∫t^2 exp(t^2/2)dt + t exp(t^2/2) - ∫t・t exp(t^2/2)dt
= t exp(t^2/2) + C.
No.11046 - 2010/07/31(Sat) 17:01:18
★ 高1 数Ａ / まっちょ

1から30までの整数から異なる3個を選んで組を作るとき3個の数の積が4の倍数となる組わ何通りあるか


私わ、
(a)３個全部が偶数のとき
(b)２個が偶数のとき
(c)１個が４の倍数であとの
２個が奇数のとき

に分けて考えたら、
455+1575+105=2135通りに
なったのですが、
正解わ2765通りでした(ΟДо)

教えてください(つω；)
No.11005 - 2010/07/28(Wed) 10:56:00
☆ Re: 高1 数Ａ / らすかる
(c)で４の倍数の個数を掛けるのを忘れています。
No.11006 - 2010/07/28(Wed) 11:50:21
☆ Re: 高1 数Ａ / まっちょ

何度もごめんなさい

どうして４の倍数の
個数をかけるのです
か??
No.11014 - 2010/07/29(Thu) 09:21:51
☆ Re: 高1 数Ａ / らすかる
例えば選んだ奇数が1と3の場合に
(1,3,4)(1,3,8)(1,3,12)(1,3,16)(1,3,20)(1,3,24)(1,3,28)
の7通りがありますね。
No.11017 - 2010/07/29(Thu) 12:42:29
☆ Re: 高1 数Ａ / まっちょ

ありがとうございます！


No.11018 - 2010/07/29(Thu) 13:12:23
★ 高2数学２ / ゆうきんころ
図形と方程式 高2 分かりません

aを正の実数とし、2つの放物線C1:y=x^2,C2:y=x^2-4ax+4aを考える。

(1) C1,C2の両方に接する直線lの方程式を求めよ。

（1）がわかりません。
自分はぱっと見
放物線C1:y=x^2上のｘ座標をｔとおくとして
すると接点の座標は（ｔ，ｔ＾2）
傾きをｍとすると接線の方程式は
ｙ−ｔ＾２＝ｍ（ｘ−ｔ）
ｙ＝ｔ＾２−ｍｔ+ｍｘ
これと円Ｃ２が接すればよいから・・・あれこの後どうすればいいんだっけ？〜；〜；
ってな状態です；
答えはｙ＝２（1-a）x-（1-a）^2です。
誰か分かる方いらっしゃったら教えてください。
おねがいします。

あと私の考え方はどこがまちがっているのでしょうか？
No.11002 - 2010/07/28(Wed) 01:37:46
☆ Re: 高2数学２ / rtz
＞接点の座標は（ｔ，ｔ＾2）
とした時点で接線の方程式は求まります。
＞傾きをｍとする
必要はありません。
不必要に文字を増やして混乱しては元も子も無いですね。

＞円Ｃ２
C2は円ではなく放物線と問題文にもありますが…。


このまま続けるなら、
C1の(t,t2)における接線の方程式を求める
→それがC2と接するので、
2つの方程式を辺々引いた、xに関する2次方程式が重解を持つとして云々
など。
No.11003 - 2010/07/28(Wed) 01:59:24
★ 数学の部屋 / ギコエルｘ
数学の部屋にも掲載したものです。
x÷yの値なんですが、わかる方がいらっしゃればお願い致します。（出来れば解き方も・・・・）


No.10989 - 2010/07/27(Tue) 21:39:39
☆ Re: 数学の部屋 / らすかる
あちらで書いた通り、xの根号の中が負になりますから、
問題不備であって値は求まりませんよ。

ただし、出題者が想定していた解は
x=99,y=11でx/y=9だと思います。

もし根号の中の負数を許す場合、
xの途中に√(1+0*√…)という部分が出てきますので、
それ以降の値をすべて無視できます。
そうすると有限項となって
x/y=9.00000000000000000000000000001054492629807579903875…
という半端な値になります。
いずれにしても出題者の意図には反していると思います。
No.10990 - 2010/07/27(Tue) 21:41:24
☆ Re: 数学の部屋 / ギコエルｘ
問題不備なんですね・・・。

ところでどうしてy=11になるのでしょうか？
x=99以前にそちらは正しいようですので凄い気になります。

教えてください。宜しくお願い致します。m(_ _)m
No.10991 - 2010/07/27(Tue) 21:42:11
☆ Re: 数学の部屋 / らすかる
では概略だけ。
√(1+10)
√(1+10√(1+11))
√(1+10√(1+11√(1+12)))
√(1+10√(1+11√(1+12√(1+13))))
・・・
という数列を考えると、これは増加数列です。
もし√(1+13)=14だとしたら
√(1+10√(1+11√(1+12*14)))
=√(1+10√(1+11√(13^2)))
=√(1+10√(1+11*13))
=√(1+10√(12^2))
=√(1+10*12)
=√(11^2)
=11
のようになりますが、実際は√(1+13)＜14ですから
（一般的には√(1+n)＜n+1ですから）
この数列の任意の項は11未満です。
しかしもしこの数列の極限値が11より小さい値だとすると、
（細かい説明は省略しますが）
逆順に計算していった時にいつか負の値になり矛盾します。
よって極限値は11とわかります。
No.10993 - 2010/07/27(Tue) 21:44:12
☆ Re: 数学の部屋 / ギコエルｘ
貴重なご解答有難う御座います！
やはり秘密が解ければ解ける程、気になる問題ですね・・・
数列の任意の項が11未満というところは理解出来ました。

＞逆順に計算していった時にいつか負の値になり矛盾します。
ここの部分をもうちょっと詳しく説明して頂けないでしょうか？
そういえば1＋2＋3＋4＋5・・・・・・と無限に足していけば答えはマイナスの値になると聞いたことがありますが、これは全く理解出来ませんでした。省略された部分はこれと似たような感じでしょうか？

それから問題不備とわかった以上はxについては考えない事にします！
No.10994 - 2010/07/27(Tue) 21:44:48
☆ Re: 数学の部屋 / らすかる
もし極限が11だとすると
11=√(1+10√(1+11√(1+12√…
121=1+10√(1+11√(1+12√…
120=10√(1+11√(1+12√…
12=√(1+11√(1+12√…
144=1+11√(1+12√…
143=11√(1+12√…
13=√(1+12√…
のようになり永久に矛盾が生じません。
もし極限が11より少し小さい10.9だったとすると
10.9=√(1+10√(1+11√(1+12√(1+13√(1+14√(1+15√(1+16√(1+17√(1+18√(1+19√…
118.81=1+10√(1+11√(1+12√(1+13√(1+14√(1+15√(1+16√(1+17√(1+18√(1+19√…
117.81=10√(1+11√(1+12√(1+13√(1+14√(1+15√(1+16√(1+17√(1+18√(1+19√…
11.781=√(1+11√(1+12√(1+13√(1+14√(1+15√(1+16√(1+17√(1+18√(1+19√…
138.791961=1+11√(1+12√(1+13√(1+14√(1+15√(1+16√(1+17√(1+18√(1+19√…
137.791961=11√(1+12√(1+13√(1+14√(1+15√(1+16√(1+17√(1+18√(1+19√…
12.5265…=√(1+12√(1+13√(1+14√(1+15√(1+16√(1+17√(1+18√(1+19√…
156.9142…=1+12√(1+13√(1+14√(1+15√(1+16√(1+17√(1+18√(1+19√…
155.9142…=12√(1+13√(1+14√(1+15√(1+16√(1+17√(1+18√(1+19√…
155.9142…=12√(1+13√(1+14√(1+15√(1+16√(1+17√(1+18√(1+19√…
12.9928…=√(1+13√(1+14√(1+15√(1+16√(1+17√(1+18√(1+19√…
168.8142…=1+13√(1+14√(1+15√(1+16√(1+17√(1+18√(1+19√…
167.8142…=13√(1+14√(1+15√(1+16√(1+17√(1+18√(1+19√…
12.9087…=√(1+14√(1+15√(1+16√(1+17√(1+18√(1+19√…
166.6368…=1+14√(1+15√(1+16√(1+17√(1+18√(1+19√…
165.6368…=14√(1+15√(1+16√(1+17√(1+18√(1+19√…
11.8312…=√(1+15√(1+16√(1+17√(1+18√(1+19√…
139.9773…=1+15√(1+16√(1+17√(1+18√(1+19√…
138.9773…=15√(1+16√(1+17√(1+18√(1+19√…
9.2651…=√(1+16√(1+17√(1+18√(1+19√…
85.8431…=1+16√(1+17√(1+18√(1+19√…
84.8431…=16√(1+17√(1+18√(1+19√…
5.3026…=√(1+17√(1+18√(1+19√…
28.1185…=1+17√(1+18√(1+19√…
27.1185…=17√(1+18√(1+19√…
1.5952…=√(1+18√(1+19√…
2.5447…=1+18√(1+19√…
もう少し続けると左辺は負になりますが、続けなくても
この時点で右辺＞19でなければならないので正しくないことがわかります。
厳密な証明は、極限値を「11より少し小さい値」とおくと
上記の計算により左辺がいずれ負になることを示せば良いと思います。
No.10995 - 2010/07/27(Tue) 21:45:55
☆ Re: 数学の部屋 / ギコエルｘ
友人が何か簡単な定理があると言っていたのですがそのようなものはありますでしょうか？

ちなみにご解答は凄く有難いと同時に少し気の毒なんですが、やはりここまでくると理解できません。。。
そもそも極限とは何かさっぱり。。。
No.10996 - 2010/07/27(Tue) 21:46:46
☆ Re: 数学の部屋 / らすかる
定理は存じません。
この問題自体「極限」を扱っていますから、
「極限」がわからないと理解は難しいと思います。
No.10997 - 2010/07/27(Tue) 21:47:28
☆ Re: 数学の部屋 / ギコエルｘ
やはりもう1度友人に連絡してみたのですが、中学生レベルの知識でもこの問題が解決できる定理が存在するようです。。。
今は教えてくれないんですが、しばらくすると聞けるかもしれません。その時はこの掲示板に書き込もうと思いますが、、、、、、
何かありますかねー・・・？
No.10998 - 2010/07/27(Tue) 21:48:16
☆ ギコエルｘ / yuuki
x=√(1＋10√(1＋11√(1＋12√......)))
x^2=1＋10√(1＋11√(1＋12√......))
(x^2-1)/10=√(1＋11√(1＋12√......))＜12

(x^2-1)/10＜12
x^2-121＜0
-11＜x＜11

11=√(1＋10√(1＋11√(1＋12√......)))矛盾が生じない
-11=√(1＋10√(1＋11√(1＋12√......)))矛盾が生じない
-11＜x＜11=√(1＋10√(1＋11√(1＋12√......)))矛盾する？

xの変域が-11＜x＜11なのに11と-11が矛盾しないのが不思議です・・・・・
答えは-11ではなく11だそうで、らすかるさんので合ってました。どうも有難う御座いました。

記事は消してしまいました・・・・・。（すみません）
No.10999 - 2010/07/27(Tue) 21:49:37
☆ Re: 数学の部屋 / らすかる
＞xの変域が-11＜x＜11なのに
違います。最初の式で x=√(1+… となっていますから、
あり得るのはx＞0のみです。
No.11000 - 2010/07/28(Wed) 00:35:49
★ 多項式の問題です / 一樹
(1)x^2+x=1のときx^5-5xの値を求めよ。
(2)x=1+√7のとき、x^4+2x^3-12x^2-26x-14の値を求めよ。
という問題で
問題集には指針として『多項式の値』は
「割り算の恒等式を利用」や「条件式を用い次数を下げる」と書いてあるんですが
この問題にどう応用していくのか見当が付きません
(1)はx^2=x-1を利用して地道に次数を下げて、(2)はガチガチの計算しか思いつかないのですが
何かうまい求め方があるのでしょうか？
No.10987 - 2010/07/27(Tue) 19:50:13
☆ Re: 多項式の問題です / らすかる
(1)
x^2=1-x から x^4=(1-x)^2=1-2x+x^2=1-2x+(1-x)=2-3x なので
x^5-5x=(2-3x)x-5x=-3x^2-3x=-3(x^2+x)=-3

(2)
x=1+√7 から x-1=√7 なので (x-1)^2=7 すなわち x^2-2x-6=0
あとは x^2=2x+6 で次数を下げて
x^4+2x^3-12x^2-26x-14
=(2x+6)^2+2x(2x+6)-12x^2-26x-14
=-4x^2+10x+22
=-4(2x+6)+10x+22
=2x-2
=2(1+√7)-2
=2√7
とするか、あるいは多項式の割り算を行って
x^4+2x^3-12x^2-26x-14
=(x^2-2x-6)(x^2+4x+2)+(2x-2)
=2x-2
=2√7
とするか。
No.10988 - 2010/07/27(Tue) 20:26:51
☆ Re: 多項式の問題です / 一樹
なるほど
ー…
x=1+√7
からそんな変形ができるんですね
詳しい説明ありがとうございました

No.11007 - 2010/07/28(Wed) 12:36:50
★ (No Subject) / anly
進研模試の数?Tです。

-1<2x-3≦7・・・?@
（2x-a+5）/3≦a+（5/3）・・・?A
（5x+6）/3>（3x+a）/2+2・・・?B
（１）不等式?@?Aをそれぞれ解け
（２）不等式?@?Bをともに満たすｘが存在しないとき、aのとりうる値の範囲を求めよ。
（３）不等式?@?Aをともに満たす整数ｘの個数をｍ、不等式?@、?Bをともに満たす整数ｘの個数をｎとする。
ｍ＝２のとき、aのとりうる値の範囲を求めよ。また、ｍ＝ｎ＝１のとき、aのとりうる値の範囲を求めよ。

これの(２)が全然分かりません。
分かりやすく教えてください。
あと(３)もよくわかりませんでした。。
No.10986 - 2010/07/27(Tue) 18:01:55
★ 高1　数Ａ / まっちょ

立方体の６つの面を６色で塗り分ける方法わ何通りあるか

6!で720通りだと思ってたら
答えわ30通りでした(´_ゝ`)


教えてください!
No.10984 - 2010/07/27(Tue) 09:45:02
☆ Re: 高1　数Ａ / らすかる
720通りの中には向きを変えると同じ色になる組がたくさんあります。
一つの塗り分け方に対して、「どの面を上にするか」(6通り)と
「側面の向きはどの向きにするか」(4通り)があって24倍になりますので
720÷24=30通りです。

最もポピュラーな方法は、一つの色を固定して反対側の色を選び(5通り)
残りの側面を円順列((4-1)!=6通り)で決めて5×6=30通りと求めます。
No.10985 - 2010/07/27(Tue) 10:05:51
☆ Re: 高1　数Ａ / まっちょ

わかりました〜！
円順列と似てますね！
ありがとうございます^^
No.11004 - 2010/07/28(Wed) 10:26:30
★ 高2 / ゆうきんころ
0≦x≦π/2、0≦y≦π/2 cosx+cosy=1のとき
[1]x-yのとりうる値の範囲を求めよ。
解答には
0≦x≦π/2の範囲で、cosxは単調減少→cosyは単調増加→yは単調減少→x-yは単調増加
よって-π/2≦x-y≦π/2
とあるのですが

まずcosx+cosy=1を
cosx=1-cosyに変形します。
cosyが増加するとcosxは減少します。
なので
【cosxは単調減少→cosyは単調増加】は分かるのですが
【→yは単調減少→x-yは単調増加】の意味がわかりません。
誰か分かる方教えてください。おねがいします。
No.10979 - 2010/07/26(Mon) 23:50:09
☆ Re: 高2 / ヨッシー
0≦y≦π/2 の範囲で、
cosｙ が、どんどん大きくなることと、ｙがどんどん小さくなることは
一致しますね？

さらに、−ｙを考えると、−ｙは単調増加です。
ｘがどんどん増えるにつれて、−ｙがどんどん増えるなら、
両者を足した　ｘ−ｙ も、どんどん増えることでしょう。

よって、ｘ−ｙ は、
ｘが最小の時最小で、ｘが最大の時最大となります。
No.10980 - 2010/07/27(Tue) 00:06:19
☆ Re: 高2 / ゆうきんころ
回答ありがとうございます。
ですがまだわからないところが；
私はまず
y=cosxとしてグラフを書いてみました。
今xには０≦x≦π/２という条件があるので
この０〜π/2の間では
グラフは単調減少になっていますよね。
そしてこのグラフが単調減少しているのでxは増加しています。
これをy=cosyとしても軸の設定が変わるだけで同じように思えるのですがこれは一体どういうことなんでしょうか(〜〜；)
あと
【 0≦y≦π/2 の範囲で、
cosｙ が、どんどん大きくなることと、ｙがどんどん小さくなることは
一致しますね？ 】
すみません。頭がかなり弱いので良く理解できません。
0〜π/2の範囲ではcosyが増えることはある（？）のでしょうが
グラフに書いてみてもそれがうまくつかめません。

最初に書いたように
cosx+cosy＝1
を変形してcosx=1-cosy
cosyが例えば10とか11とか適当に決めたとして
これをどんどんふやしていくと
cosxは当然減少するしcosyは増加します。
だから
cosxは単調減少するのならcosyは単調増加というのはなんとなく理解できるのですが
そのあとのyは単調減少というのがやはり分かりません。
そもそもcosxとcosyというのはグラフ的には同じじゃないんですか？
解答の続きには
「x=0のときy=π/2　でx-y=-π/2
x=π/2のときy=0でx-y＝π/2よって　答え」
とあるのですが
x=0のとき
cosx+cosy=1より
cos0+cosy=1
cosy=1となってこのあとがわかりません
たぶんはなっからまちがっているとおもいます。
長くなりましたが、この疑問に対するお答えの方よろしくおねがいいたしますm_m

No.10982 - 2010/07/27(Tue) 00:33:03
☆ Re: 高2 / ヨッシー
>y=cosxとしてグラフを書いてみました。
とおくと、
　cosx+cosy=1
のｙと混同するので、
　u=cosｘ
　v=cosｙ
　ｕ＋ｖ＝１
とおくのが良いでしょう。

たとえば、ｘ＝０のとき
　ｕ＝cos０＝１
なので、
　ｖ＝１−ｕ＝０
ｖ＝０ となるｙはπ/2 です。
ｘが０より少し大きくなると、ｕは１より少し小さくなります。
それにつれて、ｖは０より少し大きくなり、ｙはπ/2 より少し小さくなります。

これが、ｘを０からπ/2 まで増やすとき、至る所で起こります。
つまり、ｘを増やすと、ｕは必ず減っていき、ｖは必ず増えていき、ｙは必ず減っていきます。

グラフで表すと、たとえば下のようになります。

No.10983 - 2010/07/27(Tue) 06:43:42
☆ Re: 高2 / ゆうきんころ
図までつけてくださりありがとうございました！
No.11001 - 2010/07/28(Wed) 01:37:19
★ 確率 / meta
箱の中にＡと書かれたカード、Ｂと書かれたカード、Ｃと書かれたカードがそれぞれ４枚ずつ入っている。男性６人、女性６人が箱の中から１枚ずつカードを引く。ただし、引いたカードは戻さない。
（1）Ａと書かれたカードを４枚とも男性が引く確率を求めよ。
（2）Ａ，Ｂ，Ｃと書かれたカードのうち、少なくとも１種類のカードを４枚とも男性または４枚とも女性が引く確率を求めよ。

確率はどうも苦手です…

分母は12！/4！*4!*4!=51975とかですか？
（2）は余事象っぽいですが…

しばらく確率をやっていなかったのでかなり曖昧になっています

考え方を教えてください。よろしくお願いします
No.10975 - 2010/07/26(Mon) 10:48:22
☆ Re: 確率 / angel
(1)
この問題では、全てのカードが余ることなく、男性/女性に行き渡ります。なので、
　12人(男性6人・女性6人)が1枚ずつカードを引く
ではなく、
　カード12枚が、1人ずつパートナーを選ぶ
と考えることができます。

その上で、Aと書かれたカードに、こっそり A1〜A4まで名前をつけてあげると、求める確率は、
「A1〜A4が全て男性をパートナーとして選ぶ確率」と言い換えることができます。

後は組み合わせでも、順列でも行けますが…組み合わせで考えるなら、
　(確率)=(男性6人から4人選ぶ選び方)/(12人全員から4人選ぶ選び方)
とか。
No.10977 - 2010/07/26(Mon) 22:29:41
☆ Re: 確率 / angel
(2)
余事象ではなく、
　(PまたはQである確率) = (Pである確率) + (Qである確率) - (PかつQである確率)
というような計算のお話。ピンと来ない場合は、ベン図を描いてみましょう。集合のお話と同じです。

さて、「少なくとも」という表現そのままでは漠然としていますから、こう整理します。
　少なくとも1種類のカードを４枚とも男性または女性が引く
　⇔ ( Aを4枚とも男性が引く ) または ( Aを4枚とも女性が引く )
　　または ( Bを4枚とも男性が引く ) または ( Bを4枚とも女性が引く )
　　または ( Cを4枚とも男性が引く ) または ( Cを4枚とも女性が引く )

…「または」で6個のパートが連結しているので、分かりにくいかもしれません。ちょっと少ない例から行ってみましょう。

　(XまたはYまたはZである確率)
　= (Xまたは(YまたはZ)である確率)
　= (Xである確率) + (YまたはZである確率) - (Xかつ(YまたはZ)である確率)
　= (Xである確率) + (YまたはZである確率) - ((XかつY)または(XかつZ)である確率)

ちょっとここで一旦止めます。
今回、男性も女性も6人しかいませんから、2種類以上のカードを男性/女性のみで独占することはできません。
できるとすれば、男性がAを独占かつ女性がBを独占といったような複合のみです。

そうすると、上のX,Y,Zを使った例でいくと、
　XかつYかつZは起こらない、つまり (XかつYかつZとなる確率)=0
ということになります。(X等には、例えば「男性がAを独占する」等をあてはめてください)

なので、
　(XまたはYまたはZである確率)
　= (Xである確率) + (YまたはZである確率) - ((XかつY)または(XかつZ)である確率)
　= (Xである確率) + (YまたはZである確率) - (XかつYである確率) - (XかつZである確率)
　※((XかつY)かつ(XかつZ)である確率) = (XかつYかつZである確率)=0
と、「または」の3連結を2連結に落とし込むことができます。
同じ調子で、「または」の6連結を、5,4,3,2 と落とし込めば良いです。

ああ、1種類計算しなければならない確率がありますので、念のため。
「Aと書かれたカードを4枚とも男性が引き、かつ、Bと書かれたカードを4枚とも女性が引く確率」です。これは(1)と同じ要領で、別途計算しておいて下さい。
No.10978 - 2010/07/26(Mon) 22:51:25
☆ Re: 確率 / meta
返信がかなり遅れてしまいました。申し訳ありません。

後半で疑問点が浮上しました。

(XまたはYまたはZである確率)
= (Xである確率) + (YまたはZである確率) - ((XかつY)または(XかつZ)である確率)
= (Xである確率) + (YまたはZである確率) - (XかつYである確率) - (XかつZである確率)

という部分です。

これって最初の変形では、（XかつYかつZである確率）を1回しか引いていないのに、2度目の変形では2回引いていることになりませんか？
No.11168 - 2010/08/10(Tue) 12:41:05
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