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★ 0^0=？ / 256
http://homepage3.nifty.com/kouhei1016page/Math/Math005.HTM

0^0はいくつでしょうか？
URLのサイトの記述は正しいですか？
No.13369 - 2011/03/07(Mon) 21:04:52
☆ Re: 0^0=？ / らすかる
0^0は0/0と同様に不定です。
No.13373 - 2011/03/08(Tue) 07:18:48
☆ Re: 0^0=？ / 256
ありがとうございました
No.13374 - 2011/03/08(Tue) 12:55:49
★ 確率 / だい
座標平面上で点Ａ（-4，ー4）から点Ｂ（３，３）に至る最短経路について

問　第２象限内を通るものは何本あるか？


お願いします
No.13366 - 2011/03/07(Mon) 17:25:15
☆ Re: 確率 / シャロン
問題は正確に書き写してください。

それが正しい問題なら、最短経路はABを結ぶ線分のみであり、それは第2象限を通りませんから、第2象限を通る最短経路は0本です。
No.13368 - 2011/03/07(Mon) 18:05:49
☆ Re: 確率 / ヨッシー

一応書いておきます。
No.13370 - 2011/03/07(Mon) 21:19:34
☆ Re: 確率 / rtz
(14C7-8C4*6C3)/2
でもいいですね。
No.13372 - 2011/03/08(Tue) 00:48:57
☆ Re: 確率 / 256
> (14C7-8C4*6C3)/2
> でもいいですね。

全ての場合の数-原点を通る場合の数(第2象限も第4象限も通らない)
から
第4象限を通る場合の数(求める場合の数と同じ)
を除いている

ということで合っていますか？
No.13375 - 2011/03/08(Tue) 13:03:52
☆ Re: 確率 / ヨッシー
＞256さん
理解は合っていますね。

ただし、式をそのまま表現するなら、
　全ての場合の数−原点を通る場合の数＝原点を通らない場合の数
には、対称性より、第２象限を通る場合の数と、
第４象限を通る場合の数とが、同じ数ずつ含まれるので、
２で割っている、
といったことになるでしょう。

もちろん、問題が、格子線を通る場合についての問題であるならばです。
No.13376 - 2011/03/08(Tue) 17:34:54
★ 円と角度 / よういちろう
△ＡＢＣの３辺の中点Ｄ、Ｅ、Ｆのそれぞれを通って
△ＡＢＣの内接円に引いた接線がＥＦ、ＦＤ、ＤＥとそれぞれ
Ｐ、Ｑ、Ｒで交わるとすると、3点Ｐ、Ｑ、Ｒは同一直線上にある。
この事を証明せよという問題です。
先日の質問からアドバイスをいただいたり自分で考えたものの
どうしてもわかりません。
よろしくお願いします。
No.13355 - 2011/03/05(Sat) 21:54:35
☆ Re: 円と角度 / angel
なかなかに面倒な問題ではあります。
恐らく、内接円が絡む以上、三角比を使わないと解けないでしょう。というわけで、余弦定理を学習済みという前提で話を進めます。
ちなみに、問題文の図のような状況になるように、a＞b＞c で考えます。（それで一般性を失わない）
なお、二等辺三角形や正三角形ではそもそも問題が成立しません。

まずはどうやって「一直線」を示すか。取り敢えず円のことは忘れて図を眺めると、実はメラネウスの定理と同じ形をしていることに気付きます。(添付図の上段左)
なので、逆バージョン
　EP/FP・FQ/DQ・DR/ER=1 ⇒ P,Q,Rは一直線上
これを最終目標としましょう。
ただ、P,Qが三角形DEFの辺上とは限りません。（添付図の上段右のパターン）それでも、同じ等式を示せばO.K.です。
※E,P、D,Qが一致する場合はメラネウスは使えませんが、明らかに一直線上に来るので問題なし。

では、EPの長さはどうするか。
直感的に、EPを直接求めるのが難しそうなので、DPとACの交点（Lとする）に焦点をあてます。（添付図中段、左右）
今回、いたるところに平行四辺形ができていますから、三角形の相似もできていて、
　EP/FP = EL/DF = |CL-CE|/CE = |CL/CE - 1|
絶対値にしたのは、LがEよりもA,Cどちらよりにあっても対応できるように、です。

これで、後はLの位置さえ分かれば、という所まできました。
ようやっと内接円の性質の出番です。（添付図下段）
まず、AT=AU, BU=BS, CS=CT というところから、
　CS=CT=1/2・(a+b-c)
DはBCの中点ですから、CD=a/2
また同じ色で塗った直角三角形はそれぞれ合同ですから、
　DV=DS, LV=LT
ここから、CL=x, CD=a/2, LD=a/2+b-c-x という3辺をもつ△CDLに関する余弦定理
　x^2+(a/2)^2-(a/2+b-c-x)^2-2・x・a/2・cosC=0
が成立します。
一方、△ABCに関する余弦定理 cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab) もありますから cosC が消去でき、x=CL を求めることができます。

以上の話をQ,Rについても考えて組み合わせれば、証明に辿り着けるはずです。
No.13371 - 2011/03/08(Tue) 00:21:15
★ 高1　図形と方程式 / れいひゃー
xy座標平面上の原点をO、座標が(6,0)、(6,8)である点をそれぞれA,Bとする。このとき、三角形OABの外接円、内接円の方程式を求めよ。

です。
答えは
内接円　(x-4)^2+(y-2)^2=4
です


外接円は解けましたが、
内接円の求め方が分からないです；
角二等分線を使う訳でもなさそうですし、
線分OA等の中点と接する訳でもなさそうなので
もうさっぱりです

分かる方説明お願いします＞＜
No.13353 - 2011/03/05(Sat) 19:38:22
☆ Re: 高1　図形と方程式 / X
まず内接円の半径を求めましょう。
内接円の半径をrとして△OABの面積を２通りの方法で
表すことでrについての方程式ができます。
後は△OABが∠OAB=90°の直角三角形であることから
(中心のx座標)=(Aのx座標)-r
更に内接円がx軸にy>0の側から接していることから
(中心のy座標)=r
ということで中心の座標も計算できます。
No.13354 - 2011/03/05(Sat) 20:34:34
☆ Re: 高1　図形と方程式 / れいひゃー
>△OABの面積を２通りの方法で
>表すことでrについての方程式ができます。

OA×AB÷2　　しか思いつかないのですが･･
rを使って表すことは出来るのですか?
No.13359 - 2011/03/06(Sun) 08:29:14
☆ Re: 高1　図形と方程式 / X
内接円の中心をCとして△OABを△ABC,△OBC,△OACの
３つの三角形に分割すると、この３つの三角形は
AB,OB,OAを底辺と見ると、内接円の半径rが高さ
になりますので…。
No.13363 - 2011/03/06(Sun) 11:57:01
☆ Re: 高1　図形と方程式 / れいひゃー
なるほど！
解けました、ありがとうございます＾＾
No.13365 - 2011/03/06(Sun) 16:23:45
★ 整数 / 合同式マスター
5でも１１でわっても１余る数が５５で割ると１余る数になる理由教えて下さい！！
No.13351 - 2011/03/05(Sat) 17:35:04
☆ Re: 整数 / シャロン
単純にいえば、「5で割っても11で割っても1余る数」から1を引いた数は、5でも11でも割り切れる数なので、最大公約数である55で割り切れます。「5で割っても11で割っても1余る数」はそれに1を加えた数ですから、55で割れば1余ります。


式で書けば、

5で割って1余る数は整数nを使って、5n+1と書けます。

同様に、11で割って1余る数は整数mを使って、11m+1と書けます。

5で割っても11で割っても1余る数はこれらを同時に満たすので、5n+1=11m+1です。
整理して、5n=11m
nもmも整数なので、11mも5の倍数で、11は5の倍数でないので、mが5の倍数、つまり、整数kを使って、m=5kと書けます。
すると、元の数は、11m+1=11*5k+1=55k+1と書け、55で割ると1余る数だとわかります。
No.13352 - 2011/03/05(Sat) 17:58:52
☆ Re: 整数 / 合同式マスター
式での説明は分かりましたが前半の言葉での説明がよくわかりませんでした。合同式で簡潔に説明とかできないのでしょうか・・。どうかよろしく御願いします。
No.13360 - 2011/03/06(Sun) 09:10:52
☆ Re: 整数 / angel
> 合同式で簡潔に説明とかできないのでしょうか・・。
それは合同式に夢を持ちすぎでは…

> 前半の言葉での説明がよくわかりませんでした。

シャロンさんの言っていることはとても簡潔なものです。

まず、
　5でも11でも割り切れる数 ( 5の倍数かつ11の倍数 )
　⇔ 55で割り切れる数 ( 55の倍数 )
という前提があります。この55というのは丁度5,11の最小公倍数ですね。

その上で、今回の問題の条件を満たす数を x とでも置くと、(x-1) というのは上に挙げた条件「5でも11でも割り切れる」に当てはまります。
なので、(x-1)は55で割り切れる、つまり x は55で割ると1余るということです。
No.13362 - 2011/03/06(Sun) 09:57:14
☆ Re: 整数 / シャロン
> 合同式で簡潔に説明とかできないのでしょうか・・。

angel さんや私が日本語や式でいったことを、合同式になおすだけですが。

n≡1(mod 5)∧n≡1(mod 11)
⇔ n-1≡0(mod 5)∧n-1≡0(mod 11)
⇔ n-1≡0(mod LCM(5,11))
⇔ n-1≡0(mod 55)
⇔ n≡10(mod 55)

私には日本語や式で表したほうが簡潔に思いますがね。
No.13364 - 2011/03/06(Sun) 12:14:48
★ 「，」の意味 / たけし（高２）
例えば、（x-1)(x-2)=0の解は「x=1，2」と書きますが，この意味は「x=1またはx=2」という意味ですよね。他にも不等式の解で(x-1)(x-2)>0の解は「x<1，2<x」と書きますが，この意味は「x<1または2<x」という意味ですよね。ということは記号「，」の意味は「または」であるということですか？
「，」の意味が「かつ」として使われるときもあるのですか？
細かい質問ですいません。
よろしくお願いします。
No.13346 - 2011/03/05(Sat) 13:52:38
☆ Re: 「，」の意味 / らすかる
例えば「x=1,y=2」は通常「x=1かつy=2」です。
「,」の意味は文脈によって変わります。
No.13347 - 2011/03/05(Sat) 14:48:14
★ 円と角度 / よういちろう
円および円と角度の問題です。
問題が多くて申し訳ありませんが
よろしくお願いします。（全部で6問です）

半径がそれぞれ4?p、3?p、2?pの円Ａ、Ｂ、Ｃを適当に
互いが相交わることが無いように描き、これら3つの円に接する円を作図せよ。全部で何種類あるか。
No.13339 - 2011/03/04(Fri) 15:16:09
☆ Re: 円と角度 / ヨッシー
一番最後の「作図せよ」は、文字通り、コンパスと定規だけを使って
ということでしょうか？
種類なら、各円（内接　or　外接）の２通りなので、
　２×２×２＝８（種類）
ですが。
No.13342 - 2011/03/05(Sat) 05:54:14
☆ Re: 円と角度 / らすかる
「円Aの内部に円Bと円CがあってAに内接、BとCに外接」とかは？
No.13343 - 2011/03/05(Sat) 07:34:17
☆ Re: 円と角度 / シャロン
> 「円Aの内部に円Bと円CがあってAに内接、BとCに外接」とかは？

A,B,Cは半径4,3,2cmなので、それは無理では？
No.13344 - 2011/03/05(Sat) 09:20:20
☆ Re: 円と角度 / らすかる
あ、そうですね。うっかりしてました（恥
No.13345 - 2011/03/05(Sat) 10:06:10
☆ Re: 円と角度 / よういちろう
内接と外接の組み合わせで8パターンあるので、
それらを実際に書いて調べてみればよい事がわかりました。
ありがとうございます。
その他の角度の問題はどうでしょうか…。
全く手も足もでなくて困っています。
よろしくお願いします。
No.13349 - 2011/03/05(Sat) 15:06:32
☆ Re: 円と角度 / ヨッシー
あ、必ずしも、
外外外、外外内、外内外、外内内、内外外、内外内、内内外、内内内
の８パターンではないようですが、
８通りではあるようです。
No.13350 - 2011/03/05(Sat) 15:18:21
☆ Re: 円と角度 / tororo
5通りとなる場合？
No.13379 - 2011/03/10(Thu) 05:22:54
★ 数学?T　二次関数 / 青森
二次関数y=-2ax+b+5・・・?@　（a,bは定数であり、a>0)
のグラフが点（-2,16)を通っている

(1) bをaで用いてあらわせ。また、関数?@のグラフの頂点を用いて表せ

お願いします　意味がまったくわかりません
No.13335 - 2011/03/04(Fri) 10:22:41
☆ Re: 数学?T　二次関数 / シャロン
問題は正確に書き写してください？

少なくとも○1は2次関数を表していません。

また、ネット上では、２乗は「^2」のように表してください。
No.13336 - 2011/03/04(Fri) 11:12:18
☆ Re: 数学?T　二次関数 / 青森
> 二次関数y=x^2-2ax+b+5・・・?@　（a,bは定数であり、a>0)
> のグラフが点（-2,16)を通っている
>
> (1) bをaで用いてあらわせ。また、関数?@のグラフの頂点を用いて表せ
>
> お願いします　意味がまったくわかりません
No.13337 - 2011/03/04(Fri) 11:15:35
☆ Re: 数学?T　二次関数 / シャロン
問題の後半も何か写し間違いがありそうです。

前半は、グラフが(-2,16)を通っているので、(x,y)=(-2,16)は○1をみたしますから、それを代入すれば、aとbの関係式が出ます。その関係式をbについて解くだけです。
No.13338 - 2011/03/04(Fri) 12:14:52
★ 高1　図形と方程式 / れいひゃー
直線l:2x+y+1=0　上の点と点P(-1,6)に関して対称な点は、直線(イ)=0　上にある。

です
答えは
2x+y-9
です

説明よろしくお願いします＞＜
No.13333 - 2011/03/04(Fri) 06:26:02
☆ Re: 高1　図形と方程式 / シャロン
l上の点A(x0,y0)と点Pに関して対称な点をB(x1,y1)とすると、PはABの中点ですから、
(x0+x1)/2=-1、(y0+y1)/2=6
これから、x1とy1の満たす関係式を導きます。
No.13334 - 2011/03/04(Fri) 08:57:13
☆ Re: 高1　図形と方程式 / れいひゃー
解けました！
助かりました、ありがとうございます＾＾
No.13348 - 2011/03/05(Sat) 14:50:46
★ 実数解の個数 / shun
aを正数とするとき、
方程式8^x-3a4^x+4a=0の異なる実数解の個数を求めよ。

よろしくお願いいたします。
No.13320 - 2011/03/02(Wed) 21:17:44
☆ Re: 実数解の個数 / シャロン
4^x=Xとおいて、2次方程式X^2-3aX+4a=0がX＞0の範囲で、aが変化することで実数解を何個持つかを調べましょう。
No.13321 - 2011/03/02(Wed) 21:45:14
☆ Re: 実数解の個数 / angel
ちょい違います。

2^x=X と置いて、
　8^x=(2^3)^x=2^(3x)=(2^x)^3=X^3
　同様に 4^x=(2^x)^2=X^2
から、3次方程式 X^3-3aX^2+4a=0 の X＞0 の範囲での実数解の個数を数えることになります。
この3次方程式の左辺の増減を微分して調べましょう。
No.13322 - 2011/03/02(Wed) 21:56:22
☆ Re: 実数解の個数 / シャロン
ねぼけてました。

angelさんフォローありがとうございます。

shunさん、失礼しました。
No.13323 - 2011/03/02(Wed) 22:01:35
★ 円周角と回転 / TG
（１）平面上に１２cm離れているA,Bがあり
Pがこの平面上を∠APB＝６０度　を保ちながら
動く

Pが動いてできる線と点A、Bで囲まれた面積を求めよ
またその作図もせよ。
∠APBは作る角のうち小さい方である


おそらく円周角使うのかなというところまで行きました。
図がイメージできず


（２）図を添付します
　　　正三角形ABC（１辺１cmで各頂点を中心として他の２点を結ぶ円弧を３つ描く

　
No.13312 - 2011/03/02(Wed) 11:07:29
☆ Re: 円周角と回転 / シャロン
(2)は問題の画像がぼやけていて読み取れません。手打ちで問題をアップロードしてください。

(1)は、ABを不等辺とする頂角120ﾟの二等辺三角形OAB、O'ABを考えます。
Pは円Oの優弧AB及び円O'の優弧AB上にありますから、求める軌跡は「雪だるま型」になり、求める面積は半径OA、中心角240ﾟの扇形の面積の二倍と一辺OAの菱形の面積を合わせた大きさになります。
No.13313 - 2011/03/02(Wed) 11:36:02
☆ Re: 円周角と回転 / TG
「三角形ABC（１辺１cmで各頂点を中心として他の２点を結ぶ円弧を３つ描く

この図形をCが直線l上にあって線分ACがlに垂直になっている状態から（画像の左側）
Aが初めてl上にくる瞬間（右側）
まで時計回りに滑らずに転がす時
Bが描く軌跡の長さは？」


（１）ありがとうございました。
　　　OABの方しか考えていませんでした。
　　　下も考えるんですね。
No.13314 - 2011/03/02(Wed) 12:56:18
☆ Re: 円周角と回転 / シャロン
BがAの位置に来るまでは、Cは動かないので、そこまでの道程は1*2π/6。

そのあとは、弧CAがl上を接して転がるが、Bは弧CAを含む円の中心なので、Bはlと平行に移動する。その道程は、弧CAの長さに等しいので、1*2π/6。

よって、求める曲線の長さは、2π/3
No.13316 - 2011/03/02(Wed) 13:12:36
★ コーシーシュワルツ / syooo
コーシーシュワルツの不等式(項が３つのバージョン)では､等号が成り立つのはどのようなときですか?
No.13306 - 2011/03/01(Tue) 18:23:54
☆ Re: コーシーシュワルツ / ヨッシー
展開して調べてみましょう。
　(sx+ty+uz)^2≦(s^2+t^2+u^2)(x^2+y^2+z^2)
において、
　(右辺)−(左辺)＝s^2y^2+s^2z^2+t^2x^2+t^2z^2+u^2x^2+u^2y^2-2stxy-2tuyz-2uszx
　＝(s^2y^2-2stxy+t^2x^2)+(s^2z^2-2uszx+u^2x^2)+(t^2z^2-2tuyz+u^2y^2)
　＝(sy-tx)^2+(sz-ux)^2+(tz-uy)^2≧０
となり、等号は、
　sy=tx かつ sz=ux かつ tz=uy
のとき。
(s,t,u)≠(0,0,0) かつ (x,y,z)≠(0,0,0) のときは、
　s:t:u=x:y:z
と書けます。
No.13308 - 2011/03/01(Tue) 22:21:42
☆ Re: コーシーシュワルツ / syooo
成る程!　地道に展開していけば分かりますね
ありがとうございます。
No.13310 - 2011/03/02(Wed) 00:29:30
☆ Re: コーシーシュワルツ / ヨッシー
ベクトルで表すと
　ａ＝(s,t,u)、ｂ＝(x,y,z)
に対して、
　(ａ・ｂ)2＜|ａ|2|ｂ|2
のことですから、
　ａ・ｂ＝|ａ||ｂ|cosθ
を適用すると、
|ａ|＝０ または |ｂ|＝０ のときは常に等号で、
それ以外のときは、
　cos2θ≦１
となり、等号は、θ＝０，π　のとき、つまり
ａ と ｂ が一直線上にあるとき、と言えます。
No.13311 - 2011/03/02(Wed) 06:58:39
★ 代数的考察 / ぷるぷる
x,yについての連立方程式
3x+Y=ax・・?@
2x+2y=ay・・?A
が（ｘ、ｙ）＝（０，０）以外の解を持つaを求めよ。

解）?@、?Aより
(3-a)+y=0・・?@’
2x+(2-a)y=0・・?A’
であり、
?@’⇔y=(a-3)x・・?B
なのでこれを?A’に代入すると
｛２−（２−a)(3-a)｝＝０・・?C

であり、
｛?@、?A｝⇔｛?@’、?A’｝⇔｛?B、?A’｝⇔｛?B、?C｝
なので?B、?Cの解を考えればよい・・・以下略

とありました。｛?B、?A’｝⇔｛?B、?C｝が分からないです。

コメント）同値を崩さないようにするには加減法と聞いたことがあるのですが、?Cを作る過程で代入法を用いていますね。。

詳しい説明を御願いします。
No.13301 - 2011/03/01(Tue) 06:51:23
☆ Re: 代数的考察 / angel
ちょっと整理します。
　?@ ：3x+y=ax
　?@'：(3-a)x+y=0
　?B ：y=(a-3)x
　?A ：2x+2y=ay
　?A'：2x+(2-a)y=0
　?C ：( 2+(2-a)(a-3) )x=0　( ?A'に?Bを代入した結果 )
ここで、?@⇔?@'⇔?Bと、?A⇔?A'は ( 移項しただけだから ) 明らかで、後は ?Bかつ?A' ⇔ ?Bかつ?C の所がなぜ ( 特に説明もなく ) 成立しているのか、ということですね。

直感的に言うならば、?B：y=(a-3)x という前提がある世界、つまり y は (a-3)x に置き換えることができるし、(a-3)x を y に置き換えることもできる世界を考えてみると良いと思います。

そうすると、?A'の y は (a-3)x に置き換えられるので、2x+(2-a)(a-3)x=0 が成立する、つまり?A'⇒?Cですね。
逆に、?Cを一部展開して 2x+(2-a)(a-3)x=0 の形にすれば、(a-3)x は y に置き換えられるので 2x+(2-a)y=0 が成立する、つまり ?C⇒?A' ということになります。

まとめると、
　?Bの前提の下?A'⇔?Bの前提の下?C
ということで、これは
　?Bかつ?A'⇔?Bかつ?C
に他ならないわけです。
No.13324 - 2011/03/02(Wed) 22:19:58
☆ Re: 代数的考察 / angel
一応、まじめに論理的にどうなるかも調べてみましょう。
ここで、
　(1)「A⇒B」と「A⇒C」が共に成立するならば、「A⇒BかつC」も成立する
　(2)「AかつX⇒A」は、A,Xの内容に関わらず常に成立する
ということに注意しましょう。

すると、
　?Bかつ?A'⇒?B … (2)より成立
　?Bかつ?A'⇒?C … ?A'に?Bを代入している形なので成立
ゆえに(1)より、?Bかつ?A'⇒?Bかつ?C
続いて、
　?Bかつ?C⇒?B … (2)より成立
　?Bかつ?C⇒?A'
　　… ?Cを 2x+(2-a)(a-3)x=0 の形にして、
　　　?Bに従って(a-3)xをyに置き換えた形なので成立
ゆえに(1)より、?Bかつ?C⇒?Bかつ?A'

以上より、?Bかつ?A'⇔?Bかつ?C
No.13325 - 2011/03/02(Wed) 22:31:10
☆ Re: 代数的考察 / ぷるぷる
コメント）同値を崩さないようにするには加減法と聞いたことがあるのですが、?Cを作る過程で代入法を用いていますね。。

について、この問題の場合は代入法でなく加減法で解いても同じ結果が得られるから同値が成立している、つまり、一般に同値を崩さずに行くには加減法、代入法だと同値を保って式変形できない場合がある（例１）という理解で合ってますか？

例１）?@かつ?A⇔?@かつ?B
x^2=y・・?@,x=2y・・?A⇔x^2=y・・?@,(2y)^2=y・・?Bは言えない
No.13340 - 2011/03/04(Fri) 17:31:27
☆ Re: 代数的考察 / angel
うーん…。
私は「加減法」「代入法」という言葉を生まれて始めて聞きましたので、何とお答えすれば良いのか分かりませんが…。

> 例１）?@かつ?A⇔?@かつ?B
> x^2=y・・?@,x=2y・・?A⇔x^2=y・・?@,(2y)^2=y・・?Bは言えない

これは同値変形に問題があるのであって、いわゆる「代入」に責がある訳ではありません。

　・x^2=y かつ x=2y ⇔ x^2=y かつ x=2x^2
　　( x^2=y を x=2y に代入して y を消去 )
　・x^2=y かつ x=2y ⇔ (2y)^2=y かつ x=2y
　　( x=2y を x^2=y に代入して x を消去 )

のどちらかであれば、「代入」を用いて、かつ同値変形にもなっています。
No.13341 - 2011/03/05(Sat) 00:37:16
★ 最大最小 / りお
添付の問題がわかりません。
本問についてもそうなのですが、関数の最大最小についてこのような複雑なものを解くコツ（大学1年レベルです）はあるのでしょうか。
大学1年レベルしか知らない人間にとっては、関数自体があまりに見たことのないかたちなので手がつきません。
No.13300 - 2011/03/01(Tue) 00:20:34
☆ Re: 最大最小 / シャロン
コツも何もありません。

微分して増減を調べるだけです。
No.13303 - 2011/03/01(Tue) 08:43:56
☆ Re: 最大最小 / ｋ
高校生レベルですよ
No.13315 - 2011/03/02(Wed) 12:56:37
☆ Re: 最大最小 / りお
ご返信ありがとうございます。考えてみます。
No.13317 - 2011/03/02(Wed) 19:06:32
★ 導関数 / (^ω^)

方程式x^4-4x^3+4x^2-2=0の異なる実数解の個数を求めよ。

４次の関数になると増減表の書き方はどうなるのでしょうか。
まだよく理解していないもので‥；；
詳しい解説をお願いします(＞＜)


No.13297 - 2011/02/28(Mon) 22:26:37
☆ Re: 導関数 / ヨッシー
f(x)＝x^4-4x^3+4x^2-2 とおきます。微分すると
f'(x)＝4x^3-12x^2+8x＝4x(x-1)(x-2)
となるので、増減表は

のようになります。
f(x) の値が、正から負に変わるところが、f(x)＝０の解ですから、
f(x)＝０ の解は、ｘ＜０ の範囲で１つ、ｘ＞２ の範囲で１つ
合計２個存在します。
No.13298 - 2011/02/28(Mon) 23:06:14
★ 高１　数?U　二次方程式の解 / れいひゃー
(1)二次方程式2X^2+3X+4=0の２つの解をα、βとするとき、α^4+α^2β^2+β^4の値を求めよ。

(2)X^2-2X+√3=0の2つの解をα、βとするとき、α^3β^2、α^2β^3を解とする二次方程式を1つ作れ。


です。
答えは
(1)-(15/16)　　(書き方が間違ってるかもしれないです；)
(2)X^2-6X+9√3=0
です

(1)は解と係数の関係により
α+β=-(3/2),αβ=2
としてα^4+α^2β^2+β^4にいれていこうかなと思ったのですが、
何度やっても答えとあいません。
(2)に至ってはさっぱりです。

分かる方は、解説等をして下さると嬉いです。
No.13292 - 2011/02/28(Mon) 17:09:06
☆ Re: 高１　数?U　二次方程式の解 / X
(1)
α^4+(α^2)(β^2)+β^4
=(α^2+β^2)^2-(αβ)^2
={(α+β)^2-2αβ}^2-(αβ)^2
=…

(2)
解と係数の関係より
α+β=2 (A)
αβ=√3 (B)
一方
t=α^3β^2
u=α^2β^3
と置くと(A)(B)により
t+u=…
tu=…
であるから解と係数の関係により求める二次方程式は…。
No.13293 - 2011/02/28(Mon) 17:23:34
☆ Re: 高１　数?U　二次方程式の解 / れいひゃー
(1)は解けました!
ありがとうございます＾＾*

(2)ですが、
t+u=…
tu=…
のところが解けないのです
図々しいですけど、そこの計算過程?も教えていただけると嬉しいです；
No.13302 - 2011/03/01(Tue) 07:58:03
☆ Re: 高１　数?U　二次方程式の解 / シャロン
t+uもtuも、α+βとαβであらわせますから、それらの値を代入するだけです。
No.13304 - 2011/03/01(Tue) 08:46:32
☆ Re: 高１　数?U　二次方程式の解 / れいひゃー
何とか解けました！
Xさん、シャロンさんありがとうございました＾＾
No.13305 - 2011/03/01(Tue) 12:26:53
★ 漸化式 / shun
数列{a[n]}がa[1]=-1,2S[n]=3a[n+1]-2a[n]-1を満たすとき次の問いに答えよ。

(1)b[n]=a[n+1]-1/3a[n]とするとき、b[n+1]=2b[n]を示せ。

(2)c[n]=a[n+1]-2a[n]とするとき、c[n+1]=1/3c[n]を示せ。

(3)数列{a[n]}の一般項を求めよ。

宜しくお願いします。
No.13290 - 2011/02/28(Mon) 15:50:36
☆ Re: 漸化式 / ヨッシー
S[n] は、a[n] の第１項から第ｎ項までの和ということで良いですね？

n=1 とすると、S[1]=a[1] より、
　2a[1]=3a[2]-2a[1]-1
　3a[2]=4a[1]+1=-3
より
　a[2]=-1
また、S[n+1]−S[n]＝a[n+1] より、
　2S[n+1]=3a[n+2]-2a[n+1]-1
　2S[n]=3a[n+1]-2a[n]-1
上式から、下式を引いて、
　2a[n+1]＝3a[n+2]-5a[n+1]+2a[n]
　3a[n+2]-7a[n+1]+2a[n]=0　・・・(i)

(1)
(i) を変形して、
　3a[n+2]-a[n+1]=6a[n+1]-2a[n]
３で割って、
　a[n+2]-(1/3)a[n+1]=2{a[n+1]-(1/3)a[n]}
よって、
　b[n+1]＝2b[n]
が成り立ちます。

(2)
(i) を変形して、
　3a[n+2]-6a[n+1]=a[n+1]-2a[n]
３で割って、
　a[n+2]-2a[n+1]=(1/3)(a[n+1]-2a[n])
よって、
　c[n+1]＝(1/3)c[n]
が成り立ちます。

(3)
b[1]＝a[2]-(1/3)a[1]＝-2/3
より、b[n] は、初項 -2/3 公比２の等比数列。
よって、b[n] の一般項は、
　b[n]＝(-1/3)・2^n
よって、
　a[n+1]-1/3a[n]＝(-1/3)・2^n　・・・(ii)
c[n] について同様に考えると、
　a[n+1]-2a[n]＝(1/3)^(n-1)　・・・(iii)
(ii)−(iii) より
　(5/3)a[n]＝(-1/3)・2^n−(1/3)^(n-1)
よって、
　a[n]＝(3/5){(-1/3)・2^n−(1/3)^(n-1)}

こちらも合わせてご覧ください。
No.13291 - 2011/02/28(Mon) 16:43:18
☆ Re: 漸化式 / shun
丁寧なご説明、ありがとうございました。
No.13295 - 2011/02/28(Mon) 21:42:19
★ 高１　数列 / ビリー
数列の問題で解説の途中の
数式の変換を解説願います。

2n+1/n^2(n+1)^2=1/n^2-1/(n+1)^2

簡単でしたらすみません；
No.13288 - 2011/02/28(Mon) 10:56:35
☆ Re: 高１　数列 / シャロン
右辺を計算すれば左辺になります。
No.13289 - 2011/02/28(Mon) 11:17:32
☆ Re: 高１　数列 / ビリー
すいません；

2n+1/n^2(n+1)^2から1/n^2-1/(n+1)^2

とは思いつきなのでしょうか？
それともよくある変換パターンなのでしょうか？
No.13307 - 2011/03/01(Tue) 21:48:59
☆ Re: 高１　数列 / ヨッシー
数列の和を求めるときには、よく目にします。

1/n(n-1)＝1/(n-1)−1/n
なんかもよく目にします。

遡れば、算数の問題の
　1/(1・2)＋1/(2・3)＋1/(3・4)＋・・・＋1/(99・100)
を求めなさい。というようなのも同類です。
No.13309 - 2011/03/01(Tue) 22:53:08
☆ Re: 高１　数列 / angel
分数でない場合でも似たような例として、
　n(n+1) = 1/3・( -(n-1)n(n+1) + n(n+1)(n+2) )
　n(n+1)(n+2) = 1/4・( -(n-1)n(n+1)(n+2) + n(n+1)(n+2)(n+3) )
　…
というのがあります。
2番目の例で言うと、
　1・2・3 + 2・3・4 + … + 8・9・10
　= 1/4・( -0・1・2・3・4 + 1・2・3・4 ) + 1/4・( -1・2・3・4 + 2・3・4・5 ) + … + 1/4・( -7・8・9・10 + 8・9・10・11 )
　= 1/4・( -0・1・2・3 + 8・9・10・11 )
のように、和を効率良く計算するのに役立つ訳です。
※両端以外はプラスの項とマイナスの項が同じだけ現れるので、和を取ると打ち消し合っています。

分数の場合でも、
　1/(n(n+1)) = 1/n-1/(n+1)
　1/(n(n+1)(n+2)) = 1/2・( 1/(n(n+1)) - 1/((n+1)(n+2)) )
　1/(n(n+1)(n+2)(n+3)) = 1/3・( 1/(n(n+1)(n+2)) - 1/((n+1)(n+2)(n+3)) )
　…
と、次数を上げたバリエーションがあります。
No.13326 - 2011/03/02(Wed) 22:58:07
☆ Re: 高１　数列 / シャロン
2n-1=n^2-(n-1)^2なんてのも使いますね。

これをつかえば、1からn番目までの奇数の総和は、
{2n-1}+{2(n-1)-1}+...+3+1
= {n^2-(n-1)^2}+{(n-1)^2-(n-2)^2}+...+(2^2-1^2)+(1^2-0^2)
= n^2+{-(n-1)^2+(n-1)^2}+{-(n-2)^2+...+2^2}+{-1^2+1^2}-0^2
= n^2+0+0+...+0+0-0^2
= n^2
となりますね。
No.13367 - 2011/03/07(Mon) 17:59:24
★ 微積分と不等式 / rio
大学１年生の微積分の問題なのですが、
「不等式の証明」に微積分をどのように使うのかが全く検討がつきません。この２問について、どのように解けばよいのかご教授お願い致します。
No.13286 - 2011/02/28(Mon) 00:17:38
☆ Re: 微積分と不等式 / sorede
log[左辺]=(1/x)log(a^x+b^x)/2　→　f '(0)
f(x)=log(a^x+b^x)/2

[右辺]=max{a,b}　　になる。
No.13294 - 2011/02/28(Mon) 18:47:32
☆ Re: 微積分と不等式 / りお
ありがとうございます。少しお時間を頂いて、考えてみます。
No.13318 - 2011/03/02(Wed) 19:07:20
★ (No Subject) / omg

以下の方程式は与えられた区間に実数解をもつことを示せ。
?@2x^3+x^2-5x+1=0[0,1]
?Ax^3-3x-1=0[-2,-1],[-1,0],[1,2]

お願い致します。


No.13281 - 2011/02/27(Sun) 20:30:27
☆ Re: / X
(1)だけ示しますのでそれを参考にして
(2)を解いてみて下さい。

(1)
f(x)=2x^3+x^2-5x+1
のとき
f(0)＝1>0
f(-1)=-1<0
∴中間値の定理により題意は成立します。
No.13282 - 2011/02/27(Sun) 20:50:19
☆ Re: (No Subject) / omg


なんとなく理解できました。
中間値の定理って言うんですか‥
数?U範囲ですか？


＞f(-1)=-1<0

これはf(1)=-1<0ですよね？




(2)f(x)=x^3-3x-1とおく。
f(-2)=-3<0、f(-1)=1>0
f(0)=-1<0、f(1)=-3<0
f(2)=1>0

∴中間値の定理より題意成立



‥で、okですか？？



No.13283 - 2011/02/27(Sun) 21:37:56
☆ Re: / シャロン
一応、「f(x)は実数全体で連続なので」を、「中間値の定理より」の前にいったほうがいいでしょう。
No.13284 - 2011/02/27(Sun) 22:03:07
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